Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Lectio Praecursoria:Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoriaja fraktionaaliset integraalioperaattoritJanne KorvenpääMatematiikan ja systeemianalyysin laitosAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu
18.11.2016
Lectio Praecursoria18.11.2016
2/34
Lokaali ja lineaarinen: Laplacen yhtälö
I Yksi tyypillisimpiä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä.I Tavoitteena etsiä n:n muuttujan funktio u siten, että
∆u =∂2u∂x2
1+∂2u∂x2
2+ · · ·+ ∂2u
∂x2n
= 0 joukossa Ω ⊂ Rn.
∆ on nimeltään Laplacen operaattori.I Fysiikassa Ω on usein 2- tai 3-ulotteinen kappale.I Mallintaa useita fysiikan ilmiöitä kappaleessa Ω:
I lämpötilan jakautumista tasapainotilassa,I sähköpotentiaalia tasapainotilassa,I aaltoliikkeen tasapainotilaa.
Lectio Praecursoria18.11.2016
3/34
Lokaali ja lineaarinen: Laplacen yhtälö
I Yksi tyypillisimpiä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä.I Tavoitteena etsiä n:n muuttujan funktio u siten, että
∆u =∂2u∂x2
1+∂2u∂x2
2+ · · ·+ ∂2u
∂x2n
= 0 joukossa Ω ⊂ Rn.
∆ on nimeltään Laplacen operaattori.
I Fysiikassa Ω on usein 2- tai 3-ulotteinen kappale.I Mallintaa useita fysiikan ilmiöitä kappaleessa Ω:
I lämpötilan jakautumista tasapainotilassa,I sähköpotentiaalia tasapainotilassa,I aaltoliikkeen tasapainotilaa.
Lectio Praecursoria18.11.2016
4/34
Lokaali ja lineaarinen: Laplacen yhtälö
I Yksi tyypillisimpiä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä.I Tavoitteena etsiä n:n muuttujan funktio u siten, että
∆u =∂2u∂x2
1+∂2u∂x2
2+ · · ·+ ∂2u
∂x2n
= 0 joukossa Ω ⊂ Rn.
∆ on nimeltään Laplacen operaattori.I Fysiikassa Ω on usein 2- tai 3-ulotteinen kappale.I Mallintaa useita fysiikan ilmiöitä kappaleessa Ω:
I lämpötilan jakautumista tasapainotilassa,I sähköpotentiaalia tasapainotilassa,I aaltoliikkeen tasapainotilaa.
Lectio Praecursoria18.11.2016
5/34
Laplacen yhtälön reuna-arvo-ongelmaI Yksi tyypillisimmistä tilanteista on, että funktion u arvo
tunnetaan joukon Ω reunalla ∂Ω.I Esim. kappaleen sähköpotentiaali on mitattu sen reunalla ja
halutaan selvittää sähköpotentiaalijakauma kappaleensisällä.
I Funktio u ratkaistavissa yksikäsitteisesti, kunhanreunakäyttäytyminen ei tavattoman monimutkaista.
∆u = 0 Ω:ssau = ?
∂Ω:llau
Lectio Praecursoria18.11.2016
6/34
1-ulotteinen Laplacen yhtälöI Differentiaaliyhtälö u′′(x) = 0.
I
⇒ u′(x) = a ⇒ u(x) = ax + b
joillakin vakioilla a ja b.
x
u′
x
u
Lectio Praecursoria18.11.2016
7/34
1-ulotteinen Laplacen yhtälöI Differentiaaliyhtälö u′′(x) = 0.I
⇒ u′(x) = a ⇒ u(x) = ax + b
joillakin vakioilla a ja b.
x
u′
x
u
Lectio Praecursoria18.11.2016
8/34
1-ulotteinen reuna-arvo-ongelmaI Ω = (−1,1), ∂Ω = −1,1.I u(−1) = −1, u(1) = 1; v(−1) = −0.5, v(1) = 2.I ∆u = 0 joukossa Ω; ∆v = 0 joukossa Ω.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
u
u:n reuna-arvot
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
v
v :n reuna-arvot
Lectio Praecursoria18.11.2016
9/34
1-ulotteinen reuna-arvo-ongelmaI Ω = (−1,1), ∂Ω = −1,1.I u(−1) = −1, u(1) = 1; v(−1) = −0.5, v(1) = 2.I ∆u = 0 joukossa Ω; ∆v = 0 joukossa Ω.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
u
u:n kuvaaja
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
v
v :n kuvaaja
Lectio Praecursoria18.11.2016
10/34
Epälokaali: fraktionaalinen Laplacen yhtälö
I Fraktionaalinen→ derivointien kertaluku ei kokonaisluku.
I Voidaan määritellä Fourierin muunnoksen F avulla, jokamuuntaa derivoinnin kertolaskuksi taajuuspuolelle;
I F (−∆u) = |ξ|2Fu, ξ ∈ Rn on taajuuspuolen muuttuja.I Fraktionaalinen Laplacen yhtälö kertaluvulla s ∈ (0,1):
(−∆)su = F−1(|ξ|2sFu) = 0.
I Esiintyy useiden pitkäkantamaisten ilmiöidenmallinnuksessa mm. fysiikassa, materiaalitieteissä jafinanssimatematiikassa:
I Qvasigeostrofiset virtausmallit,I Huokoisen aineen diffuusiomallit,I Amerikkalaisten optioiden hinnoittelumallit.
Lectio Praecursoria18.11.2016
11/34
Epälokaali: fraktionaalinen Laplacen yhtälö
I Fraktionaalinen→ derivointien kertaluku ei kokonaisluku.I Voidaan määritellä Fourierin muunnoksen F avulla, joka
muuntaa derivoinnin kertolaskuksi taajuuspuolelle;I F (−∆u) = |ξ|2Fu, ξ ∈ Rn on taajuuspuolen muuttuja.
I Fraktionaalinen Laplacen yhtälö kertaluvulla s ∈ (0,1):
(−∆)su = F−1(|ξ|2sFu) = 0.
I Esiintyy useiden pitkäkantamaisten ilmiöidenmallinnuksessa mm. fysiikassa, materiaalitieteissä jafinanssimatematiikassa:
I Qvasigeostrofiset virtausmallit,I Huokoisen aineen diffuusiomallit,I Amerikkalaisten optioiden hinnoittelumallit.
Lectio Praecursoria18.11.2016
12/34
Epälokaali: fraktionaalinen Laplacen yhtälö
I Fraktionaalinen→ derivointien kertaluku ei kokonaisluku.I Voidaan määritellä Fourierin muunnoksen F avulla, joka
muuntaa derivoinnin kertolaskuksi taajuuspuolelle;I F (−∆u) = |ξ|2Fu, ξ ∈ Rn on taajuuspuolen muuttuja.
I Fraktionaalinen Laplacen yhtälö kertaluvulla s ∈ (0,1):
(−∆)su = F−1(|ξ|2sFu) = 0.
I Esiintyy useiden pitkäkantamaisten ilmiöidenmallinnuksessa mm. fysiikassa, materiaalitieteissä jafinanssimatematiikassa:
I Qvasigeostrofiset virtausmallit,I Huokoisen aineen diffuusiomallit,I Amerikkalaisten optioiden hinnoittelumallit.
Lectio Praecursoria18.11.2016
13/34
Epälokaali: fraktionaalinen Laplacen yhtälö
I Fraktionaalinen Laplacen yhtälö voidaan esittää myösintegraalidifferentiaaliyhtälönä
(−∆)su(x) =
∫Rn
u(x)− u(y)
|x − y |n+2s dy = 0.
I Epälokaalisuus→ integraalin vuoksi (−∆)su(x) riippuufunktion u arvoista myös kaukana pisteestä x , eiainoastaan x :n lähiympäristössä kuten derivaatoistakoostuva ∆u(x).
Lectio Praecursoria18.11.2016
14/34
Epälokaali: fraktionaalinen Laplacen yhtälö
I Fraktionaalinen Laplacen yhtälö voidaan esittää myösintegraalidifferentiaaliyhtälönä
(−∆)su(x) =
∫Rn
u(x)− u(y)
|x − y |n+2s dy = 0.
I Epälokaalisuus→ integraalin vuoksi (−∆)su(x) riippuufunktion u arvoista myös kaukana pisteestä x , eiainoastaan x :n lähiympäristössä kuten derivaatoistakoostuva ∆u(x).
Lectio Praecursoria18.11.2016
15/34
Epälokaali satunnaiskävely
I Jos u(x) kuvaa satunnaiskävelyn todennäköisyys-jakaumaa olla pisteessä x , niin
I Lokaalille satunnaiskävelylle (Brownin liike) ∆u = 0,I Eräälle epälokaalille satunnaiskävelylle (−∆)su = 0.
Lectio Praecursoria18.11.2016
16/34
Epälokaali satunnaiskävelyI Jos u(x) kuvaa satunnaiskävelyn todennäköisyys-
jakaumaa olla pisteessä x , niinI Lokaalille satunnaiskävelylle (Brownin liike) ∆u = 0,I Eräälle epälokaalille satunnaiskävelylle (−∆)su = 0.
Lectio Praecursoria18.11.2016
17/34
Epälokaali reuna-arvo-ongelma
I Fraktionaaliselle Laplacen yhtälölle "reuna-arvot" ontunnettava koko joukon Ω ulkopuolisessa osassa Rn \ Ω,jotta ratkaisun voi määrittää yksikäsitteisesti.
(−∆)su = 0 Ω:ssau = ?
(Rn \ Ω):llau
Lectio Praecursoria18.11.2016
18/34
Epälokaali reuna-arvo-ongelma
I Fraktionaaliselle Laplacen yhtälölle "reuna-arvot" ontunnettava koko joukon Ω ulkopuolisessa osassa Rn \ Ω,jotta ratkaisun voi määrittää yksikäsitteisesti.
(−∆)su = 0 Ω:ssau = ?
(Rn \ Ω):llau
Lectio Praecursoria18.11.2016
19/34
1-ulotteinen epälokaali reuna-arvo-ongelmaI Ω = (−1,1), R \ Ω = (−∞,−1] ∪ [1,∞).I u(x) = x (R \ Ω):lla; v(x) = maxx ,−1 (R \ Ω):lla.I (−∆)2/3u = 0 joukossa Ω; (−∆)2/3v = 0 joukossa Ω.
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
u
u:n reuna-arvot
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
v
v :n reuna-arvot
Lectio Praecursoria18.11.2016
20/34
1-ulotteinen epälokaali reuna-arvo-ongelmaI Ω = (−1,1), R \ Ω = (−∞,−1] ∪ [1,∞).I u(x) = x (R \ Ω):lla; v(x) = maxx ,−1 (R \ Ω):lla.I (−∆)2/3u = 0 joukossa Ω; (−∆)2/3v = 0 joukossa Ω.
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
u
u:n kuvaaja
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
v
v :n kuvaaja
Lectio Praecursoria18.11.2016
21/34
Vertailuperiaate
I Jos u ja v Laplacen yhtälön ratkaisuja joukossa Ω ja u ≤ vreunalla ∂Ω, niin u ≤ v myös joukossa Ω.
I Pätee paljon yleisemmillekin lokaaleille yhtälöille.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
u
u:n kuvaaja
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
v
v :n kuvaaja
Lectio Praecursoria18.11.2016
22/34
VertailuperiaateI Jos u ja v Laplacen yhtälön ratkaisuja joukossa Ω ja u ≤ v
reunalla ∂Ω, niin u ≤ v myös joukossa Ω.I Pätee paljon yleisemmillekin lokaaleille yhtälöille.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
u
u:n kuvaaja
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
v
v :n kuvaaja
Lectio Praecursoria18.11.2016
23/34
Epälokaali vertailuperiaateI Jos u ja v fraktionaalisen Laplacen yhtälön ratkaisuja
joukossa Ω ja u ≤ v joukon Ω ulkopuolella, niin u ≤ v myösjoukossa Ω.
I Pätee paljon yleisemmillekin epälokaaleille yhtälöille.
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
u
u:n kuvaaja
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
v
v :n kuvaaja
Lectio Praecursoria18.11.2016
24/34
Yleisempi epälokaali yhtälö
∫Rn
u(x)− u(y)
|x − y |n+2s dy = 0 →∫Rn
(u(x)− u(y)
)K (x , y) dy = 0,
mikä vastaa epälokaalin satunnaiskävelyn siirtymä-todennäköisyysjakauman muuttamista.
→∫Rn|u(x)− u(y)|p−2(u(x)−u(y)
)K (x , y) dy = 0, 1 < p <∞,
mikä muuttaa yhtälön epälineaariseksi; FraktionaalinenLaplacen yhtälö on lineaarinen:(−∆)s(u + v) = (−∆)su + (−∆)sv , mutta yllä olevalle vastaavaei päde, kun p 6= 2.
Lectio Praecursoria18.11.2016
25/34
Yleisempi epälokaali yhtälö
∫Rn
u(x)− u(y)
|x − y |n+2s dy = 0 →∫Rn
(u(x)− u(y)
)K (x , y) dy = 0,
mikä vastaa epälokaalin satunnaiskävelyn siirtymä-todennäköisyysjakauman muuttamista.
→∫Rn|u(x)− u(y)|p−2(u(x)−u(y)
)K (x , y) dy = 0, 1 < p <∞,
mikä muuttaa yhtälön epälineaariseksi; FraktionaalinenLaplacen yhtälö on lineaarinen:(−∆)s(u + v) = (−∆)su + (−∆)sv , mutta yllä olevalle vastaavaei päde, kun p 6= 2.
Lectio Praecursoria18.11.2016
26/34
Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria
I Väitöskirjassa kehitetään potentiaaliteoriaa yhtälöille
Lu(x) =
∫Rn|u(x)− u(y)|p−2(u(x)− u(y)
)K (x , y) dy = 0.
I Yksi keskeisistä kysymyksistä: miten u:n "reuna-arvot" Ω:nulkopuolella sekä joukon Ω ⊂ Rn muoto vaikuttavatjärkevän ratkaisun olemassaoloon.
I Haasteita aiheuttavat sekä yhtälön epälokaalikäyttäytyminen että sen epälineaarisuus.
Lectio Praecursoria18.11.2016
27/34
Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria
I Väitöskirjassa kehitetään potentiaaliteoriaa yhtälöille
Lu(x) =
∫Rn|u(x)− u(y)|p−2(u(x)− u(y)
)K (x , y) dy = 0.
I Yksi keskeisistä kysymyksistä: miten u:n "reuna-arvot" Ω:nulkopuolella sekä joukon Ω ⊂ Rn muoto vaikuttavatjärkevän ratkaisun olemassaoloon.
I Haasteita aiheuttavat sekä yhtälön epälokaalikäyttäytyminen että sen epälineaarisuus.
Lectio Praecursoria18.11.2016
28/34
Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria
I Väitöskirjassa kehitetään potentiaaliteoriaa yhtälöille
Lu(x) =
∫Rn|u(x)− u(y)|p−2(u(x)− u(y)
)K (x , y) dy = 0.
I Yksi keskeisistä kysymyksistä: miten u:n "reuna-arvot" Ω:nulkopuolella sekä joukon Ω ⊂ Rn muoto vaikuttavatjärkevän ratkaisun olemassaoloon.
I Haasteita aiheuttavat sekä yhtälön epälokaalikäyttäytyminen että sen epälineaarisuus.
Lectio Praecursoria18.11.2016
29/34
Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria
I Vertailuperiaatteet keskeisessä osassa; voimassa yhtälölleLu = 0.
I Ratkaisujen sijaan tarkastellaan super- ja subratkaisuja:Lu ≥ 0 ja Lu ≤ 0.
I Erilaiset heikommat ratkaisun käsitteet:I Heikot (super/sub)ratkaisut,I (s,p)-(super/sub)harmoniset funktiot,I (s,p)-viskositeetti(super/sub)ratkaisut.
Lectio Praecursoria18.11.2016
30/34
Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria
I Vertailuperiaatteet keskeisessä osassa; voimassa yhtälölleLu = 0.
I Ratkaisujen sijaan tarkastellaan super- ja subratkaisuja:Lu ≥ 0 ja Lu ≤ 0.
I Erilaiset heikommat ratkaisun käsitteet:I Heikot (super/sub)ratkaisut,I (s,p)-(super/sub)harmoniset funktiot,I (s,p)-viskositeetti(super/sub)ratkaisut.
Lectio Praecursoria18.11.2016
31/34
Julkaisu III
I Tutkitaan yhtälöön Lu = 0 liittyvää ns. esteongelmaa.I Esteongelma keskeinen työkalu potentiaaliteoriassa.
I Johdetaan olemassaolo- ja säännöllisyystuloksiaesteongelman ratkaisulle.
-2 -1 0 1 2 3 4
x
-2
-1
0
1
2
3
4
u
u:n reuna-arvot ja este
-2 -1 0 1 2 3 4
x
-2
-1
0
1
2
3
4
u
u:n kuvaaja
Lectio Praecursoria18.11.2016
32/34
Julkaisu IIII Tutkitaan yhtälöön Lu = 0 liittyvää ns. esteongelmaa.
I Esteongelma keskeinen työkalu potentiaaliteoriassa.I Johdetaan olemassaolo- ja säännöllisyystuloksia
esteongelman ratkaisulle.
-2 -1 0 1 2 3 4
x
-2
-1
0
1
2
3
4
u
u:n reuna-arvot ja este
-2 -1 0 1 2 3 4
x
-2
-1
0
1
2
3
4
u
u:n kuvaaja
Lectio Praecursoria18.11.2016
33/34
Julkaisu IV
I Tutkitaan heikkoja superratkaisuja ja johdetaan niillekeskeisiä ominaisuuksia.
I Määritellään (s,p)-superharmonisten funktioiden käsite jajohdetaan niille keskeisiä tuloksia.
I Kehitetään epälokaali versio ns. Perronin menetelmästä.I Saadaan yhtälölle Lu = 0 teoreettinen ratkaisu, ns.
Perronin ratkaisu, hyvin yleisillä oletuksilla reuna-arvoista.I Näytetään Perronin ratkaisun olevan tyypillisen ratkaisun
käsitteen yleistys.
Lectio Praecursoria18.11.2016
34/34
Julkaisu V
I Tutkitaan eri ratkaisun käsitteiden yhtenevyyttä yhtälölleLu = 0.
I Määritellään (s,p)-viskositeettisuperratkaisujen käsite jajohdetaan keskeisiä ominaisuuksia.
I Näytetään, että (s,p)-superharmonisten funktioiden ja(s,p)-viskositeettisuperratkaisujen luokat ovat hyvinyleisillä oletuksilla samat.
I Kun tarkastellaan vain rajoitettuja ratkaisuja, niin myösheikkojen superratkaisujen luokka yhtälölle Lu = 0 onsama kuin kaksi yllä olevaa.