CS221: Digital Designg g

Data Path Components

Adder

Dr. A. Sahu

Dept of Comp. Sc. & Engg.Dept of Comp. Sc. & Engg.

Indian Institute of Technology Guwahati

OutlineOut e• Adder: Basic Model

• Carry Propagation and Generation • Machester Adder• Machester Adder 

• Carry Skip Addery p

• Carry Select Adder• Carry Look Ahead Adder• Carry Save Adder: Multiple Operand• Carry Save Adder: Multiple Operand

Computer Arithmetic: C  Assembly  Machine 

• C : short int long float doubleC :   short, int, long, float, double

• 16 bit, 32 bit, 32 bit, 32 bit, 64 bit

Si d/ i d• Signed/Unsigned 

• Have a FU in your processor– Processor is capable to do it in hardware

– 8086: No support of FP, 8087 FP Co processor

• If you don’t have FPU : Write FP in software– $gcc –mfloat‐soft –S test c$gcc mfloat soft  S test.c

– undefined reference to `__mulsf3'3

ALU: Arithmetic and Logic UnitALU: Arithmetic and Logic Unit

• Binary arithmetic and ALU design• Signed operations, overflow• Compare/Shift A

R l• Multiplier design• Divider design ALUB

Result

• Speeding up addition/subtraction• Floating point representation 

and operations• Floating point unit design

Operation

4

Adder Universal UseAdder Universal Use• Adder : A = B + C

• Substractor: A = B + (‐C), 2’s complement

• Compare :  C = A> B ? 1 : 0 ,    (A‐B  > 0) ? 1 : 0p , ( )– Special case of compare with 0

• MultiplyMultiply

• Divide

d• Mod

• Floating point: Add/sub/mul…

5

Adding Two One‐bit Operands• One‐bit Half Adder:

A B Sum CoutA B 0 0 0 0

0 1 1 0

HACout

0 1 1 01 0 1 0

Sum1 1 0 1

Sum = A ⊕ B

6

Cout = A.B

Adding Two One‐bit Operands• One‐bit Full adder

A B Cin A B Sum Cout

FAA B

C

Cin A B Sum Cout

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0FA CinCout

S

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

S A⊕ B ⊕ Ci

Sum 0 1 1 0 1

1 0 0 1 0Sum = A ⊕ B ⊕ CinCout = A.B + B.Cin

1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

7

+ A.Cin 1 1 1 1 1

Addition of Two N‐Bit numbersAddition of Two N Bit numbers

x + y + cin = 2n cout + sx   y   cin  2 cout  sThe solution:

s = (x + y + cin) mod 2n

cout = 1 if (x + y + cin) ≥ 2n else 0 

8

ExampleExample• 011110  + 101101   =   1 (x 2x 266 )+ 001011

• X=30, Y=45

• 30 + 45 = 75= 26 x 1 + 11

• SolutionSolution – S= (30+45+0) % 26=11

Cout= 1 if (30+45+0 >= 26) else 0 = 1– Cout= 1 if (30+45+0 >= 26) else 0 = 1

Primitive module FAPrimitive module FA

xi + yi + ci = 2  ci+1 + sii yi i i+1 i

with solution Xi Yi

• si = (xi + yi + ci) mod 2

fl [ ( )/ ] FA Ci• ci+1 =floor [ (xi + yi + ci)/2] FA i

C SCi+1 S

10

N‐Bit Ripple‐Carry Adder: Series of FA C llFA Cells• To add two n‐bit numbers

A0 B0A1 B1A2 B2A 1B 1

C0FA

A0 B0

FA

A1 B1

FA

A2 B2

FA

An-1Bn-1

Cn. . .

0FA

S0

FA

S1

FA

S2

FA

Sn-1

n

• Adder delay = Tc * n• Tc = (C to C delay) of a FA

A B• Tc = (Cin to Cout delay) of a FA

FA CinCout

11Sum

Adder/SubstractorAdder/Substractor• C= A‐B=A+(‐B)=A+ (Bb+1), Bb is complement of B

• D is control bit: D=0/1 operation is add/sub 

A

Result

ALUB

Operation

12

Operation

Adder Schemes• Step1: Obtain carries• Step1: Obtain carries 

– (Carry at i depends on j < i), Non‐trivial to do fast

S 2 C bi (l l f i )• Step2: Compute sum bits (local function)

X Y

Step1:

C0=Cin

C =C Step1: Obtain Carries

Cout=Cn

yix

y1x1

y0x0

yn‐1xn‐1

Step2: Computer Sum

xi x1 x0

13

sn‐1 si s1 s0

Mathematically: Ci & SiMathematically: Ci & Si• C =FuncC ( x x y y c )• Ci =FuncC ( xi‐1, ..,x0,   yi‐1, ..,y0,  cin)

• Si =FuncS (xi, yi, ci) i i i i

= ( xi + yi + ci) mod 2

14

Thanks