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Mathe 2 / Laplace-Trafo

Blankenbach / SS2013 / 28.04.2013 1

Laplace - Transformation

Kurzfassung zur Lösung von DGLs

Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach

Hochschule Pforzheim

Tiefenbronner Str. 65

75175 Pforzheim

Überblick / Anwendungen:

- Laplace: (Alternatives) Lösen von DGLs, Übertragungsfunktion, Regelungstechnik

Empfohlene Literatur:

- Papula : Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 2, Vieweg

- Weber/Ulrich: Laplace-Transformation, Teubner

- Latussek et al. : Lehr- und Übungsbuch Mathematik V, Fachbuchverlag Leipzig-Köln

- Westermann : Mathematik für Ingenieure mit MAPLE, Band 2, Springer

- Burg et al. : Höhere Mathematik für Ingenieure, Band III, Teubner

Die nachfolgenden Übersichten und Tabellen sind „Hilfsmittel“ der Klausur und werden als

Anhang zu den Aufgaben mitkopiert.

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2.1 Laplace-Transformation und Rechenregeln

f(t) F(p)

Zeitbereich Bildbereich

Transformation

f(t) F(p)

j

j

pto

o

dpe)p(Fj2

1)t(f

(*)

0

pt dte)t(f)p(F

Linearität a1 f1(t) + a2 f2(t) a1 F1(p) + a2 F2(p)

Ähnlichkeitssatz f(at) mit a > 0 1/a F(p/a)

Verschiebungssatz f(t-) mit > 0 e-p F(p)

Dämpfungssatz f(t) LT dann p=p+d

e-dt f(t) F(p+d)

Sprungfunktion 1/p

Deltafunktion (t) 1

Periodische Funktion (T: Periodendauer)

f(t) = f(t + T)

T

0

tp

ätPeriodizit

Tpdte)t(f

e1

1)p(F

1. Differentiation f’(t) pF(p) - f(+0) (**)

2. Differentiation f’’(t) p²F(p) - pf(+0) - f’(+0) (**)

Integrationssatz

t

0

d)(f 1/p F(p)

Faltungssatz

t

0

21 d)t(f)(f F1(p) F2(p)

(*) : Rücktransformation statt mit Integral meist mit Korrespondenztabelle,

Partialbruchzerlegung bzw. Reihenentwicklung von F(p)

(**) : t +0

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Korrespondenz-Tabelle zur Laplace-Transformation (I)

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Korrespondenz-Tabellen zur Laplace-Transformation (II)

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2.4 Laplace-Rücktransformation

- Weg vom Bild- in den Zeitbereich

- „direkte“ Formel

j

j

pto

o

dpe)p(Fj2

1)t(f

wird selten angewandt

- Übliche Methode: Korrespondenztabelle

- Strategie:

- Nenner und ggf. Zähler so umwandeln, dass „Treffer“ in der Korrespondenztabelle

- Ggf. Partialbruchzerlegung (nicht diese Vorlesung)

- Rechenregeln (Linearität, Dämpfungssatz) anwenden

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2.2.5 Anwendung der Laplace-Transformation

Zweck: Leichteres Lösen komplizierter Gleichungen

Anwendungen in- E-Technik, Informationstechnik, Maschinenbau, Regelungstechnik, …:

- Übertragungsfunktion eines Systems (Signalverarbeitung, siehe zugehörige Vorlesung)

- Regelungstechnik (siehe zugehörige Vorlesung)

- Lösen von Differentialgleichungen (hier):

Vorgehensweise:

1. Die DGL yn’ (linear mit konstantem Koeffizienten) wird mit der Laplace-Transformation in eine

algebraische Gleichung übergeführt. ACHTUNG: Auch Störfunktion transformieren!

2. Als Lösung dieser Gleichung erhält man die Bildfunktion F(p) der gesuchten

Originalfunktion y(t)

3. Die gesuchte Lösung y(t) der DGL erhält man durch Rücktransformation der Bildfunktion

F(p). (Korrespondenztabellen, Partialbruchzerlegung, Reihenentwicklung, ...)

Vorteil: Rechenoperationen im Bildbereich meist leichter ausführbar!

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2.2.6 Übungsaufgaben Laplace - Transformation

1. Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von f(t) = t für t0, 0 sonst.

Lsg.: F(p) =1/p²

2. Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von f(t) = sint für t0, 0 sonst.

Lsg.: F(p) =/(p²+²)

3. Lösen Sie mit DGL-Methoden und mit Laplace-Trafo: y’ = e-t mit y(0) = 0

Lsg.: y = 1 - e-t

4. Lösen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y’’ + y = x

mit y(/2) = 0 und y’(/2) = 1.

Lsg.: y = x - (/2)sinx

5. Lösen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y’’ + 2y’ + y = 0 mit

y(0) = 0 ; y’(0) = 1.

Lsg.: y = x e-x

6. Lösen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y’’ + y = cos2x erst

allgemein und dann mit y(0) = 1 und y’(0) = 0

Hinweis: Verwenden Sie erweiterte Korrespondenztabellen !

Lsg.: y = yh + yp = (1/3 + y(0))cosx + y’(0)sinx - 1/3 cos2x

= 4/3 cosx - 1/3 cos2x