LAPLACE DON US˘ UM Ukisi.deu.edu.tr/ali.sevimlican/laplace.pdf · BAS˘LANGIC˘ DEGER PROBLEMLER _IN _IN C˘ OZ ULMES _I Bu b olumde lineer diferansiyel denklemler i˘cin ba˘slang

LAPLACE DONUSUMU

Bu bolumde bir integral donusumu olan Laplace donusumunu elealacagız. Daha sonra baslangıc deger problemlerinin ( BDP)cozumlerini Laplace donusumu yontemi ile elde edecegiz.TANIM. f(t), [0,∞) aralıgında tanımlı bir fonksiyon olsun. f ninLaplace donusumu

F (s) =

∫ ∞0

e−stf(t)dt (1)

integrali ile tanımlanan F fonksiyonu olup; L{f(t)} = F (S) ilegosterilir. Integralin mevcut oldugu butun s degerleri F nin tanımkumesini olusturur.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 1/ 37

ORNEK 1. f(t) = 1, t ≥ 0 fonksiyonun Laplace donusumunubulunuz.


ORNEK 2. a bir reel sabit olmak uzere, f(t) = eat, t ≥ 0fonksiyonun Laplace donusumunu bulunuz.


ORNEK 3. a bir reel sabit olmak uzere, f(t) = sin(at), t ≥ 0fonksiyonun Laplace donusumunu bulunuz.


ORNEK 4. f(t) =

1 , 0 ≤ t < 2,3 , x = 2,1 , t > 2


ODEVLER.

1. L{t} = 1

s2, s > 0 oldugunu gosteriniz.

2. a bir reel sabit olmak uzere, L{cos(at)} = s

s2 + a2, s > 0

oldugunu gosteriniz.


LAPLACE DONUSUMUN VARLIGI

f(t) = et2

ve f(t) = 1t fonksiyonlarının Laplace donusumleri

mevcut degildir. Bir fonksiyonun Laplace donusumu var olması icinhangi kosullar olmalıdır? sorusunu cevaplayan varlık teoremini ifadeedecegiz. Varlık teoreminin ifadesinde yer alacak olan parcalısureklilik ve ustel mertebeden fonksiyon kavramlarını hatırlatalım.


TANIM. f(t), fonksiyonu [a, b] kapalı aralıgındaki sonlu sayıdakisıcrama sureksizligi oldugu noktalar haric her noktada surekli ise,f(t) fonksiyonu [a, b] aralıgında parcalı sureklidir denir.

ORNEK f(t) =

t , 0 ≤ t < 1,2 , 1 < t < 2,(t− 2)2 , 2 < t ≤ 3

fonksiyonu [0,3]

aralıgında parcalı sureklidir.


TANIM. f(t), fonksiyonu [a,∞) aralıgında tanımlı olsun, ∀t > Ticin |f(t)| ≤Meαt olacak sekilde T,M ve α pozitif sabitlerimevcut ise f(t) fonksiyonuna α ustel mertebedendir denir.ORNEK.f(t) = t, f(t) = e−t ve f(t) = et cos(2t) fonksiyonları∀t > 0, α = 1− ustel mertebedendirler.ORNEK.f(t) = et

2fonksiyonu ustel mertebeden degildir.


TEOREM. f(t), fonksiyonu [0,∞) aralıgında parcalı surekli ve∀t > T icin ustel mertebeden bir fonksiyon ise, s > α icin f(t)fonksiyonunun Laplace donusumu vardır.UYARI.


Varlık teoreminden su sonucu elde edebiliriz.OZELLIK. f(t), fonksiyonu [0,∞) aralıgında parcalı surekli ve αustel mertebeden bir fonksiyon ve Laplace donusumu F (s) ise,

lims→∞

F (s) = 0.


LAPLACE DONUSUMUN OZELLIKLERI

LINEERLIK OZELLIGI. Laplace donusumu lineer bir donusumdur.c bir sabit olmak uzere f ve g fonksiyonlarının Laplace donusumumevcut olsun.

L{f(t) + g(t)} = L{f(t)}+ L{g(t)}

L{cf(t)} = cL{f(t)}


ORNEK. L{3− e2t+ 3 sin 2t}=?ORNEK. L{cos2 t}=?



OTELEME OZELLIGI. f(t) fonksiyonun Laplace donusumu F (s)olsun. a bir sabit olmak uzere

L{eatf(t)} = F (s− a).


ORNEK. L{et sin 2t} =?



OZELLIK. f(t) fonksiyonun Laplace donusumu F (s) olsun.

L{tnf(t)} = (−1)ndnF (s)

dsn


ORNEK. L{t2} =?L{tn} = n!

sn+1

ORNEK. L{t2 sin 2t} =?


TUREVIN LAPLACE DONUSUMU

Bir fonksiyonun turevinin Laplace donusumu ile kendisi arasındakiiliski:f(t), fonksiyonu [0,∞) aralıgında surekli, f ′(t), [0,∞) aralıgındaparcalı surekli ve her ikiside α ustel mertebeden olsun. Budurumda s > α icin

L{f ′(t)} = sL{f(t)} − f(0)

olur.


TUREVIN LAPLACE DONUSUMU

Bir fonksiyonun n. mertebeden turevinin Laplace donusumu :f(t), f ′(t), . . . , f (n−1)(t), fonksiyonları [0,∞) aralıgında surekli,f (n)(t), [0,∞) aralıgında parcalı surekli ve bu fonksiyonların tumuα ustel mertebeden olsunlar. Bu durumda s > α icin

L{f (n)(t)} = snL{f(t)} − sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− . . .− f (n−1)(0)

olur.ozel olarak n = 2 olması durumunda ise

L{f ′′(t)} = s2L{f(t)} − sf(0)− f ′(0)

bagıntısı kolayca elde edilir.


TERS LAPLACE DONUSUMU

Laplace donusumu f(t) fonksiyonunu F (s) fonksiyonunadonusturen bir integral donusumu olarak tanımlamıstık. Simdi iseF (s) verildiginde bu hangi fonksiyonun Laplace donusumudursorusunu cevaplayacagımız ters problemi ele alacagız.Laplace donusumu bire bir donusum mudur?f(t) = 1, t ≥ 0 fonskiyonunun Laplace donusumu L{f(t)} = 1

s

g(t) =

1 , 0 ≤ t < 2,3 , x = 2,1 , t > 2

fonksiyonun da Laplace donusumu

L{g(t)} = 1s olduklarını gostermistik ( ornek 1 ve ornek 4 bakınız).

Bu verilen ornekten Laplace donusumun bire bir donusum olmadıgıacıkca gorulur. Ters problem verildiginde yani 1

s hangi fonksiyonunLaplace donusumu olmalı sorusununun cevabını netlestirmemizgerekiyor. Bundan sonra ters problemleri cevaplarken” Aynı Laplace donusumune sahip farklı iki fonksiyondan en fazlabirisi surekli olabilir.”ifadesini goz onunde bulunduracagız.Bu ifadeden yola cıkarak ters Laplace donusumun tanımı verelim.Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 20/ 37

TANIM. f(t), [0,∞) aralıgında surekli ve L{f(t)} = F (s) olsun.f(t) fonksiyonuna F (s) nin ters laplace donusumu denirL−1{F (s)} = f(t) ile gosterilir.ORNEK. L−1{1s} = 1

ORNEK. L−1{ 1s2+1} = sin t


TERS LAPLACE DONUSUMUN OZELLIKLERI

LINEERLIK OZELLIGI. Laplace donusumu lineer bir donusumdur.c bir sabit olmak uzere f ve g fonksiyonlarının sırasıyla Laplacedonusumuleri F (s) ve G(s) olsun.

L−1{F (s) +G(s)} = L−1{F (s)}+ L−1{G(s)}

L−1{cF (s)} = cL−1{F (s)}

ORNEK. L−1{1s +−2s+1} = L

−1{1s} − 2L−1{ 1s+1} = 1− 2e−t


Laplace donusumun oteleme ozelligini kullanarakf(t) fonsiyonun Laplace donusumu F (s) olsun. a bir sabit olmakuzere

L{eatf(t)} = F (s− a)

L−1{F (s− a)} = eatL−1{F (s)} = eatf(t)

olacagı acıktır.ORNEK.L−1{ 3

s2−2s+5} =?


ORNEK.L−1{ s−1s2−5s+6

} =?

ORNEK.L−1{ 1s2+9} =?

ORNEK.L−1{ 5(s+2)4

} =?

ORNEK.L−1{ 3s+2s2s+10

} =?


BASLANGIC DEGER PROBLEMLERININ COZULMESI

Bu bolumde lineer diferansiyel denklemler icin baslangıc degerprobleminin cozumunde Laplace donusumu nasıl kullanacagımızıele alacagız. Yontemi uygularken asagıdaki adımları uygularız:1. Verilen diferansiyel denkleme Laplace donusumu uygulanır2. Baslangıc sartları ve Laplace donusumun ozellikleri kullanılarak,BDP cebirsel bir denkleme donusturulur.3. Elde edilen cebirsel denklemi cozup ters Laplace donusumuuygulanarak BDP nin cozumu elde edilir.


ORNEK.

y′′(t)− y′(t)− 2y(t) = 0,

y(0) = 1, y′(0) = 0

baslangıc deger problemini Laplace yontemini kullanarak cozunuz.cevap: y(t) = 2

3e−t + 1

3e2t


ORNEK.

dy

dt− 3y = e2t,

y(0) = 1

baslangıc deger problemini Laplace yontemini kullanarak cozunuz.cevap: y(t) = −e2t + 2e3t


ORNEK.

y′′ − 6y′ + 9y = t2e3t,

y(0) = 2, y′(0) = 6

baslangıc deger problemini Laplace yontemini kullanarak cozunuz.cevap: y(t) = 2e3t + 1

12 t4e3t


KONVOLUSYON CARPIM

TANIM. f(t) ve g(t), [0,∞) aralıgında parcalı surekli olsun, f(t)ve g(t) fonksiyonlarının konvolusyonu f ∗ g ile gosterilir ve

(f ∗ g)(t) =∫ t

0f(t− τ)g(τ)dτ

integrali ile tanımlanır.KONVOLUSYON OZELLIKLERI.1. f ∗ g=g ∗ f2. f ∗ (g + h) = (f ∗ g) + (f ∗ h)3. (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)4. f ∗ 0 = 05. f ∗ 1 6= f


ORNEK. sin t ∗ 1 =?


KONVOLUSYON CARPIM

TANIM. f(t) ve g(t), [0,∞) aralıgında parcalı surekli olsun, f(t)ve g(t) fonksiyonlarının konvolusyonu f ∗ g ile gosterilir ve

(f ∗ g)(t) =∫ t

0f(t− τ)g(τ)dτ

integrali ile tanımlanır.KONVOLUSYON OZELLIKLERI.1. f ∗ g=g ∗ f2. f ∗ (g + h) = (f ∗ g) + (f ∗ h)3. (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)4. f ∗ 0 = 05. f ∗ 1 6= f


KONVOLUSYON TEOREMI

TEOREM. f(t) ve g(t), [0,∞) aralıgında parcalı surekli ve α ustelmertebeden fonksiyonlar olsunlar. f(t) ve g(t) fonksiyonlarınınLaplace donusumleri sırası ileF (s) ve G(s) ise

L{(f ∗ g)} = F (s)G(s)

veya

L−1{F (s)G(s)} = (f ∗ g)(t)

olur.


ORNEK.

y′′(t) + 4y(t) = g(t),

y(0) = 3, y′(0) = −1

baslangıc deger problemini Laplace yontemini kullanarak cozunuz.cevap: y(t) = 3 cos(2t)− 1

2 sin(2t) +12

∫ t0 sin 2(t− τ)g(τ)dτ


PARCALI SUREKLI FONKSIYONLARIN LAPLACEDONUSUMLERI

TANIM. U(t− a) ={

0, 0 ≤ t < a,1, t ≥ a

seklinde tanımlanan fonksiyona BIRIM BASAMAK FONKSIYONUdenir.

ORNEK. f(t) =

{5, 0 ≤ t < 8,0, t ≥ 8

fonksiyonunu f(t) = 5− 5U(t− 8) seklinde ifade edilebilir.


ORNEK. f(t) = U(t− 2)− U(t− 3) fonksiyonunun parcalıfonksiyon olarak ifade ediniz.(grafigini ciziniz)

ORNEK. f(t) =

0 0 ≤ t < 1,t, 1 < t < 5,1, t > 5

fonksiyonunu birim basamak

fonksiyonu seklinde ifade edin.ORNEK. f(t) = sin tU(t− 2π) fonksiyonunun grafigini ciziniz.


LAPLACE DONUSUMUN IKINCI OTELEME OZELLIGI

OTELEME OZELLIGI. f(t) fonksiyonun Laplace donusumu F (s)olsun. a bir sabit olmak uzere

L{f(t− a)U(t− a)} = e−asF (s)

ORNEK1. L{U(t− 2)} =?ORNEK2. L{(t− 5)3U(t− 5)} =?ORNEK3. L{tU(t− 2)} =?ORNEK4. L{cos tU(t− 2π)} =?

ORNEK5. L−1{1−e−2s

s2} =?


ORNEK.

y′(t) + y(t) = f(t),

y(0) = 0

baslangıc deger problemini f(t) =

{0, 0 ≤ t < 1,5, t ≥ 1

icin cozunuz.

cevap: y(t) = [5− 5e−(t−1)]U(t− 1)


Documents

LAPLACE DON US˘ UM Ukisi.deu.edu.tr/ali.sevimlican/laplace.pdf · BAS˘LANGIC˘ DEGER PROBLEMLER _IN _IN C˘ OZ ULMES _I Bu b olumde lineer diferansiyel denklemler i˘cin ba˘slang