TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2016.

Теорија електричних кола

Дејан Тошић

∫∞

−

−

=0

de)()( ttusU ts

∫∞+

∞−π

=j

j

de)(2j

1)(

c

c

ts ssUtu

Користите само

материјале које

вам достави и

препоручи

предметни

наставник у

текућој школској

години.


Лапласова трансформација

као алат за одређивање одзива

временски непроменљивих

линеарних електричних кола

∫∞

−

−

=0

de)()( ttusU ts


Циљ, покретач (мотив), замисао (идеја)

• Одредити одзив на почетну енергију ипобуду – одредити потпун одзив

• Решавање диференцијалних једначиназаменити решавањем алгебарских

• Пронаћи једнозначно и линеарнопреобликовање (трансформацију) којеизвод пресликава у множење константом


Примена

• Теорија интегро-диференцијалних једначина• Теорија линеарних оператора• Решавање практичних проблема у физици итехници (инжењерству)

• Решавање обичних диференцијалнихједначина, парцијалних диференцијалнихједначина, интегралних једначина

• Решавање система алгебарско-диференцијалних једначина

Initial value problems


Операторски метод

Проблем:одређивање одзива

електричног кола

Систем једначина

(математички модел) проблема

Решење

једначина

Резултат

(одзив)

Трансформисане

једначине

Решење

трансформисаних

једначина

Трансформација Инверзна трансформација



∫∞

−

−

=0

de)()( ttusU ts

)()()( ttwtu ϑ=

))((LT)(

))(LT()(1 sUtu

tusU−=

=

w(t) је елементарна функцијакао што су полиноми, експоненцијална функција, синусна функција, иликосинусна функције

∫∞+

∞−π

=j

j

de)(2j

1)(

c

c

ts ssUtu

c је најмања вредност за којутрансформација постоји

)R,(,j ∈ωσω+σ=s


Лапласов трансформат, оригинал

• Функција времена u(t) је тренутна вредност(оригинал, напон/струја)

• Комплексна функција U(s) је Лапласовтрансформат (слика, комплексан напон/струја, комплексан представник, трансформат)

• LT(u(t)) је директна Лапласова трансформација• LT-1(U(s)) је инверзна Лапласоватрансформација

• s је Лапласова променљива (компл. фреквенц.)• u(t) и U(s) су Лапласов трансформациони пар

Трансформација коју смо дефинисали је унилатерална Лапласова трансформација.


Кључна cвојства Лапласове транс.

• Једнозначност. Ако су два оригинала једнака, једнаке су и њихове слике, и обрнуто

• Линеарност. Трансформација збира сепресликава у збир трансформација и константасе може изнети пред оператор трансформације

• Претварање извода. Извод у времену сепресликава у множење константом

• Доња граница је нула-минус да би сеобухватили дисконтинуитети оригинала у нули

Диракови делта-импулси су примеридисконтинуитета оригинала u(t)


Кључна својства LT

)()()()( 2121 sUsUtutu =⇔=

)()())()(LT( 2121 sUbsUatubtua +=+

)0()()d

)(dLT( −−= usUs

t

tu

))(LT()(

))(LT()(

))(LT()(

22

11

tusU

tusU

tusU

==

=

const, =ba


Постојање (егзистенција) LTНесвојствени интеграл постоји ако је реална функција реалног аргумента, u(t), део по део глатка функција у области интеграције и ако је ctKtu e)( ≤Лапласов интеграл конвергира у комплексној полуравни Re(s) > cкоја се назива област конвергенције (ROC, region of convergence).

Лапласов трансформат је аналитичка функција са својствима:

0)(lim)Re(

=∞→

sUs

потребан услов да U(s) буде трансформат

ksUs

ss

=∞→

→)(lim

)(0

ако оригинал u(t) има коначну границу ktu

tt

=→

∞→)(lim

)0(

R

0

∈>

c

K


t-домен, s-домен

• t-домен је област дефинисаности оригиналаu(t) (тренутне вредности)

• s-домен је област дефинисаности слике U(s)(Лапласовог трансформата)

• Тумачењем Лапласове променљиве, s, каокомплексне фреквенције, каже се даЛапласовом трансформацијом, LT, функцијуu(t) из временског домена пресликавамо удомен комплексне фреквенције, у функц. U(s)


Основни парови LT

Елементарне функције времена у табели треба помножити са Хевисајдовом функцијом υ(t).


Изабрани парови LT (1)



Изабрани парови LT (2)




функција задатих по интервалима

sUsU

Ts−−= e1)(g

Ts

TsUsU

Ts

2g)1(e1

)(+−=

−


Инверзна Л. трансформација

• Радићемо само са функцијама временачији су Лапласови трансформатирационалне функције по s

• Инверзну Лапласову трансформацијућемо тражити растављањем рационалнефункције на делимичне разломке

• Користићемо својства и таблицу пароваЛапласове трансформације


Почетни тренутак у LT

• Почетни тренутак електричног кола, којерешавамо Лапласовом трансформацијом, је нула

• Природне почетне услове (почетненапоне кондензатора и почетне струје

калемова) електричног кола, којерешавамо Лапласовом трансформацијом, задајемо у тренутку нула-минус

00 =t

−0t


Одређивање одзива

• Обележе се чворови, приступи, напони и струјеприступа: усвоје се упоредни смерови и постави сесистем једначина кола

• Почетни тренутак је нула, а природни почетни условисе задају у тренутку нула-минус

• Трансформација (директна унилатерална Лапласоватрансформација) се примени на леву и десну странусваке једначине

• Одреди се комплексан одзив (Лапласов трансформат)• Одреди се одзив (тренутна вредност) из комплексногодзива инверзном унилатералном Лапласовомтрансформацијом


Пример решавања кола LT

L C

��

��

p1 p2

0I 0U

00 =t021 =+ ii

021 =− uu

t

iLu

d

d 11 =

t

uCi

d

d 22 =

001 )( Iti =−

002 )( Utu =−


Примена једнозначности LT

021 =+ ii

021 =− uu

t

iLu

d

d 11 =

t

uCi

d

d 22 =

0)LT( 21 =+ ii

0)LT( 21 =− uu

)d

dLT()LT( 1

1 t

iLu =

)d

dLT()LT( 2

2 t

uCi =

LT


Примена линеарности LT

0)LT( 21 =+ ii

0)LT( 21 =− uu

)d

dLT()LT( 1

1 t

iLu =

)d

dLT()LT( 2

2 t

uCi =

0)LT()LT( 21 =+ ii

0)LT()LT( 21 =− uu

)d

dLT()LT( 1

1 t

iLu =

)d

dLT()LT( 2

2 t

uCi =


Примена својства извода LT

0)()( 21 =+ sIsI

0)()( 21 =− sUsU

))(()( 011 IsIsLsU −=

))(()( 022 UsUsCsI −=

0)LT()LT( 21 =+ ii

0)LT()LT( 21 =− uu

)d

dLT()LT( 1

1 t

iLu =

)d

dLT()LT( 2

2 t

uCi =


Комплексан одзив LT


Одзив: струја калема

))((LT)( 11

1 sIti −=

L C

��

��

p1 p2

0I 0U


Појединости одређивања одзива

)1

)((LT))((LT)(

2001

11

1+

+== −−

sCL

UIsLCsIti

)1

(LT)1

(LT)11

(LT)(2

012

012

02

011

++

+=

++

+= −−−

sCL

CU

sCL

IsCL

sCL

CU

sCL

IsCLti

)1

1

(LT)1

(LT)(2

2

102

2

101

+

+

+

= −−

CLs

CLL

CU

CLs

sIti

)1

sin()1

cos()( 001 tCLL

CUt

CLIti += 0>t


Корист и добит у примени

• Не решава се систем алгебарско-диференцијалних једначина већсистем алгебарских једначина

• Довољни су природни почетни услови и нема прерачунавањапочетних услова у нула-плус и одређивања изведених почетнихуслова

• Неконзистентност почетних услова (нерегуларна комутација) сеузима у обзир аутоматски

• Подесно за одређивање импулсног одзива, на пимер, кодпримене конволуционог интеграла

• Подесно за одређивање одскочног одзива

• Подесно за одређивање одзива на почетну енергију (одзива напочетне услове, одзива на акумулисану енергију, одзива насакупљену енергију, одзива на нагомилану енергију)

• Добија се потпун одзив (комплетан одзив)


Тешкоће и препреке у примени

• Непостојање трансформата побуде

• Непостојање инверзне трансформације

• Сложеност налажења инверзнетрансформације

• Смањена делотворност и учинковитост услучају побуда ограниченог трајања и побуда

које су дефинисане са више аналитичких

израза по интервалима времена


Важна својства

Лапласове трансформације

)()()d)()(LT(

0

sGsUtgut

=ττ−τ∫

TssUTtu −=− e)())(LT(


Крајње вредности

))((lim)0( sUsus ∞→

+ =

))((lim)(0

sUsus→

=∞

Користити ово својство када је познат трансформат, траже се крајње вредности, а не тражи се одзив или његов график у времену.


Померај аргумента (транслација)

TssUTtu −=− e)())(LT(

attuasU −− =+ e)())((LT 1

Користити ово својство за делотворније и учинковитије налажење

директне или инверзне Лапласове трансформације, на пример, када супобуде оиисане са више аналитичких израза по интервалима времена.


Конволуција

)()()d)()(LT(

0

sGsUtgut

=ττ−τ∫

Лапласова трансформација пресликава

конволуцију функција времена у

производ Лапласових трансформата


Сличност (скалирање)

)(1

))(LT(a

sU

aatu =

)(1

))((LT 1

a

tu

asaU =−

0

R

>∈

a

a


Диференцирање у t-домену

)0()())(LT( −−=′ usUstu

)0()0()())(LT( 2 −− ′−−=′′ ususUstu

)0()0(

)0()0()())(LT()1()2(

21)(

−−−−

−−−−

−−

−′−−=nn

nnnn

usu

sususUstu L


Диференцирање у s-домену

s

sUtut

d

)(d)1())(LT( −=

n

nnn

s

sUtut

d

)(d)1())(LT( −=


Уопштена комплексна

функција

временски непроменљивоглинеарног електричног кола

без почетне енергијеса једним извором


Уопштена компл. функц. ел. кола

• Посматрајмо линеарно временски непроменљиво електрично колобез почетне енергије у коме делује само један извор (једаннезависан генератор)

• Сви природни почетни услови у тренутку нула-минус су једнакинули

• Уопштена комплексна функција електричног кола (функцијаел. мреже у Лапласовој трансформацији, функција система) јеоднос трансформата одзива и трансформата побуде

• Ако су побуда и одзив на истом приступу, комплексна функцијасе назива улазна комплексна функција (улазна имитанса)

• Ако су побуда и одзив на различитим приступима, комплекснафункција се назива преносна комплексна функција (трансферфункција, функција преноса у Лапласовој трансформцији)

• У анализи комплексних функција ел. кола Лапласова променљива(комплексна учестаност, s) се посматра у целој комплексној равни


Импеданса, адмитанса, трансмитанса, појачање, слабљење• Улазна импеданса

• Улазна адмитанса

• Преносна импеданса (трансимпеданса)• Преносна адмитанса (трансадмитанса)• Трансмитанса напона (напонско појачање, voltage gain,

voltage amplification)• Трансмитанса струје (струјно појачање, current gain,

current amplification)• Функција слабљења (attenuation)• У литератури се дефинише и уопштена комплекснафункција електричног кола као количник дватрансформата одзива

Потпуни назив би био са фразом у области Лапласове трансформације,на пример, Улазна импеданса у области Лапласове трансформације.


Примена уопшт. компл. функц.

• Пројектовање електричних филтара• Синтеза електричних мрежа: одређивањеелектричне мреже или кола за задатекомплексне функције

• Анализа осетљивости електричних кола: испитивање промена комплексне функције, фреквенцијских карактеристика и одзива сапроменама параметара електричног кола

• Анализа стабилности електричних кола


Импулсни и одскочни одзив

))((LT)( 1 sHtg −=

))(1

(LT)( 1 sHs

tf −=

Импулсни одзив (Гринова функција) је инверзна Лапласоватрансформација одговарајуће трансфер функције*

Одскочни одзив (индициона функција) је инверзна Лапласоватрансформација одговарајуће трансфер функције* подељене са s

Импулсни

одзив се често

обележава са

h(t)

Unit-impulse response

Unit-step response

*прецизније, уопштене комплексне функције електричног кола у области Лапласове трансформације


Ред електричног кола и LT

• Ред електричног кола је бројдиференцијалних једначина у системуједначина стања

• То је истовремено и ред диференцијалнеједначине одзива

• Ред електричног кола је ред уопштенекомплексне функције електричног кола уобласти Лапласове трансформације

Ред рационалне функције по Лапласовој променљивој s је степен именитеља.


Који је ред ел. кола са слике?Проверити да ли се добија исправан

резултат ако се посматра неки други одзив, осим напона напонског извора када је H = 1.


Одзив на побудуm : 1

ug

C

L u

i

)()1

sin()( mg ttCL

Utu ϑ=


Који је ред овог ел. кола?


Испитајте ред овог ел. кола LT

На пример, одредите Лапласов трансформат струјенапонског извора (комплексну струју извора) ииспитајте његов ред. На колико начина можете да решите овај задатак?


Питања (1)

• Шта је Лапласова трансформација и зашто се онакористи?

• Који је мотив увођења Лапласове трансформације?• Која су кључна својства Лапласове трансформације?• Које основне парове Лапласове трансформације знате?• Како се одређује инверзна Лапласова трансформацијарационалне функције?

• Који почетни тренутак кола подразумева Лапласоватрансформација?

• У ком тренутку времена задајемо природне почетнеуслове када коло решавамо Лапласовомтрансформацијом?


Питања (2)

• Који је поступак одређивања одзива Лапласовомтрансформацијом?

• Како гласи својство крајње вредности?• Шта је својство помераја аргумента?• У шта се пресликава конволуција Лапласовомтрансформацијом?

• Шта је уопштена комплексна функција електричногкола у области Лапласове трансформације?

• Како гласи веза импулсног одзива (Гринове функције) и трансфер функције?

• Како гласи веза одскочног одзива (индиционефункције) и трансфер функције?


Питања (3)


Питања (4)


Питања (5)


Питања (6)


Задаци (1)


Задаци (2)


Задаци (3)


Задаци (4)


Задаци (5)


Задаци (6)


Задаци (7)


Задаци (8)


Задаци (9)


Задаци (10)


Задаци (11)


Pierre-Simon Laplace 1749–1827

Математичар и астроном. Докторирао код Jean d'Alembert. Биоментор за докторат Siméon Denis Poisson. Предавао у ÉcoleMilitaire. Члан Académie des sciences. Титулу маркиза добија

после Рестаурације. Рођен у Beaumont-en-Auge, Француска.

1785 ради наТрансформацији

“Je n'avais pas besoin de cette hypothèse-là.”


Pierre Simon (Marquis de) Laplace 1749–1827http://www.tour-eiffel.fr/

Documents

TeorijaEKola08 Laplacesuetf.org/materijali/TEK/08 Laplace.pdf · Title: TeorijaEKola08 Laplace Author: Dejan Created Date: 12/7/2016 3:22:37 PM