UNIVERSIDAD DISTRITAL, TELECOMUNICACIONES I, LABORATORIO N 1, GRUPO 7

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Obtencin parmetros primarios y secundarios a partir de mediciones de Zinsc y ZinocSergio Fernndez Rojas 20081005099, Jonathan Espinosa Lpez 20082005018, Freddy D. Garca Cala 20082005034 AbstractA Transmission line, can be modeled completely, if known, its input short-circuit impedance and its input opencircuit impedance. Based on these parameters, is possible calculating the primary and secondary parameters of the line.

Index TermsTransmission line, coaxial cable, impedance, primary and secondary parameters.

I. INTRODUCCION

E

N un sistema de comunicaciones, adems de tener en cuenta todos los aparatos a usarse, para codificar, decodificar, entre otros, es muy importante tener en cuenta el medio de transmisin de la informacin, se debe garantizar que la transmisin sea lo mejor posible, es por esto que las lneas de transmisin son estudiadas a fondo, en esta ocasin, observaremos la lnea de dos conductores coaxiales, ms conocida como cable coaxial, el cual es usado en las bandas de MF, HF, VHF y UHF. El estudio del comportamiento de este tipo de lnea de transmisin, indica que puede ser descrita si conocemos, algunos parmetros fsicos (proporcionados por el fabricante), de la misma, y a su vez medimos sus impedancias de entrada tanto en corto circuito, como en circuito abierto. En esta prctica de laboratorio, se tomaran las medidas de longitud de la lnea, su impedancia de entrada en corto circuito, su impedancia de entrada en circuito abierto, se harn los clculos pertinentes, y se comparar, con los clculos tericos realizados previamente.

B. Objetivos especficos Determinar los parmetros primarios de una lnea de transmisin a partir de las mediciones en corto circuito y circuito abierto. Calcular los parmetros secundarios Zo y , a partir de los valores de Zinoc y Zinsc medidos. Calcular los valores de los parmetros R, L, C y G de la lnea de transmisin a partir de los valores de Zinoc y Zinsc medidos. Validar el comportamiento reactivo de la lnea de transmisin corta (longitudes inferiores a /4) terminada en corto o circuito abierto. Emplear software de anlisis electromagntico para las simulaciones.

III. MATERIALES Analizador vectorial de redes (VNA) Kit calibracin BNC (Macho) Ponchadora para cable coaxial Cinta mtrica Bistur Kit de soldadura Cable coaxial RG58/U (Marca Belden) 1 Terminal BNC (M) para ponchar

IV. MARCO TERICO A. Lneas de transmisin Una lnea de transmisin es una estructura material utilizada para dirigir la transmisin de energa en forma de ondas electromagnticas, comprendiendo el todo o una parte de la distancia entre dos lugares que se comunican. La lnea de transmisin se estudia con el supuesto de modo TEM1, en la que el campo elctrico y el campo magntico, son perpendiculares entre s, y ellos a su vez con la direccin de propagacin, de la seal.1

II. OBJETIVOS A. Objetivo General Caracterizar una lnea de transmisin de parmetros distribuidos a partir de las mediciones de impedancias en Zinsc y Zinoc para un coaxial.

Transversal ElectroMagnetica

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Con este supuesto, se puede analizar la lnea en funcin de sus voltajes, corrientes y potencias en lugar de campos elctricos y magnticos y vectores de Poynting lo que hace mucho ms sencillo el anlisis, y el trabajo matemtico, pues se trabaja con escalares en lugar de vectores. En general una lnea de transmisin, sea como sea su geometra, si est compuesta por dos conductores, puede modelada como una red de parmetros distribuidos. B. Ecuacin general de una lnea de transmisin.

Reescribiendo: ( ( ) (3) ) (4) Si aplicamos derivada espacial a la ecuacin (3), y derivada temporal a la ecuacin (4). ( ) (5) ( ) (6)

Figura 1. Modelo de una lnea de transmisin de longitud infinitesimal. Una lnea de transmisin en modo TEM, y con dos conductores, se puede modelar como se ve en la figura 1. Donde cada uno de sus parmetros (R, L, G y C), dependern de la geometra y la construccin fsica de la lnea. La resistencia R, debida a la resistencia propia del conductor y el efecto pelicular, la inductancia L causada por la variacin de corriente en la lnea, la conductancia G producida por la imperfeccin del aislante, al permitir corrientes de fuga, y la capacitancia existente entre ambos conductores, son los parmetros que describen este modelo, llamados parmetros primarios. Estos parmetros estn dados en por unidad de distancia, es decir: R L C G [/m] [H/m] [F/m] [S/m]

Reemplazando las ecuaciones (6) y (4), en la (5) ( )

(7) La cual se conoce como la ecuacin del telegrafista, y es exactamente igual para la corriente. Representado el voltaje en forma fasorial: ( ) ( ) (8) La forma fasorial de las ecuaciones (3) y (4) es: ( ) (9) ( ) (10) Aplicando derivada espacial a la ecuacin (9) ( ) (11) Reemplazando la ecuacin (10) en la (11)

Aplicando leyes de Kirchhoff se tiene que:

(1)

(

)(

) (12)

La solucin a la ecuacin diferencial es: (2) ( ) (13)

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Dnde: (23) ( )( ) (14) Se denomina constante de propagacin, es una cantidad compleja que puede ser escrita como: C. Impedancia de entrada de una lnea con carga arbitraria

(15) se llama constante de atenuacin sus unidades son [Np/m] 2 y es la constante de fase con unidades [rad/m]. Si denominamos a la impedancia de la rama serie: ( Y a la admitancia de la rama paralelo: ( Entonces: (18) De la ecuacin (9) se tiene que: En la carga tenemos que: (19) Entonces: ( ) Utilizando la ecuacin (18) ( ) ( ) (27) Despejando B/A ( ) Dividiendo entre A, arriba y debajo de la expresin: ( ) (26) ) (17) Reemplazando por las ecuaciones (13) y (20) ( ) (25) ( ) ) (16) Figura 2. Para calcular la impedancia en un punto cualquiera se tiene que: ( ) ( ) (24)

(20) Se denomina impedancia caracterstica a la raz de la razn entre la impedancia de la rama serie, y la admitancia de la rama paralelo

(28) Lo que se denomina como coeficiente de reflexin en la carga. Volviendo a la ecuacin (25), se puede reescribir como:

(21) Por lo que se pueden calcular los parmetros primarios si se conocen, el valor de la constante de propagacin y el de la impedancia caracterstica. ( ) ( ( ) ) (29) Usando la ecuacin (28) se obtiene que: ( ) (30)2

(22)

Neperes/metro, 1 Neper = 8.686 dB

UNIVERSIDAD DISTRITAL, TELECOMUNICACIONES I, LABORATORIO N 1, GRUPO 7 Por lo que es posible conocer la impedancia en cualquier punto de la lnea si se conocen la impedancia de carga, su impedancia caracterstica, y su constante de propagacin. Ahora de otra manera la ecuacin (30) puede ser escrita usando la (28) como:

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Si se multiplican las ecuaciones (37) y (38), se obtiene que: (39) Mientras que si se dividen obtenemos:

( )

( )

(40)

(31) Agrupando trminos, y multiplicando por la exponencial negativa. ( ) Factorizando: ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) (33) Conociendo las ecuaciones del seno y coseno hiperblico: ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) (34) Dividiendo entre coseno hiperblico: ( ) ( ( ) ) (35) D. Impedancia de entrada en corto circuito y en circuito abierto La impedancia de entrada estar cuando z=-l ( ) ( ) (36) Es fcil ver que en corto circuito cuando ZL=0 es ( ) (37) Dividiendo la ecuacin (36) entre ZL ( ( En circuito abierto es: ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) (32)

Conociendo la identidad de exponenciales de tanh

(41) Despejando la exponencial: (42) Si sabemos que el resultado ser un nmero complejo en forma polar entonces: (43) De donde se puede despejar que:

(

)

(44) ( ) (45) El valor de n es el entero positivo ms cercano, a la cantidad de longitudes de onda que caben en la lnea.

tiende a infinito, por lo que la expresin ( ) (38)

UNIVERSIDAD DISTRITAL, TELECOMUNICACIONES I, LABORATORIO N 1, GRUPO 7 E. Cable Coaxial

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Figura 4. Corte transversal de un cable coaxial. Donde l es la profundidad pelicular: Figura 3. Cable coaxial El cable coaxial, posee dos conductores separados por un dielctrico, y todo a su vez empaquetado en un aislante, sus cuatro elementos como su nombre lo indica son coaxiales. Para el cable coaxial, realizando todos los clculos, es posible llegar a las expresiones para hallar los parmetros primarios de la lnea: Baja frecuencia: Donde (52) Y la conductividad del dielctrico est dada por:

(53) es la tangente de perdidas propia del material.

V. DEFINICIN DEL PROBLEMA Se desean realizar los clculos de los parmetros primarios, y secundarios de la lnea de cable coaxial, para una longitud de /8. Primero se definen las variables geomtricas del cable para usar las ecuaciones (48)-(51) (47) Alta frecuencia: Segn el fabricante que es Belden, en su hoja de datos dice que:

(46)

(48)

Entonces:

(49) Para ambos casos se tiene que: El fabricante asegura que el dielctrico es el polietileno por lo tanto:

(50)

La frecuencia a la que trabajamos es: ( )

(51)

UNIVERSIDAD DISTRITAL, TELECOMUNICACIONES I, LABORATORIO N 1, GRUPO 7 Siendo el grupo 7

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Despus de cortar un tramo de cable de 21.5cm, que es la octava parte de la longitud de onda que le corresponde a nuestro grupo, se procedi, a soldar la punta del terminal con uno de los extremos del conductor interno del coaxial. Se baj parte de la malla y se coloc en su lugar el terminal de tal forma que hiciera presin con el dielctrico.

Ya que el material conductor es cobre entonces:

De la ecuacin (52) tenemos que: Posteriormente se volvi a subir la malla y el aislante negro para recubrir la base del terminal, se coloc el anillo para ponchar, y se ponch revisando que no hubiera continuidad entre el conductor externo (malla), y el interno (cobre). 3. Usando las ecuaciones (48)-(51), obtenemos que: Medir en el Analizador Vectorial de Redes la impedancia de entrada de del coaxial a la frecuencia de asignada, para las condiciones de corto circuito y circuito abierto en la carga.

Y de la ecuacin (53)

Se midieron los valores configurando la frecuencia a 115MHz, se anotaron como se muestra en la tabla 1.

La longitud que se empleo fue de /8: Entonces la longitud del cable es de 21.5 cm De la ecuacin (16) y (17) se tiene que

VII. SIMULACIONES Para la realizacin de simulaciones se us el software libre ANSOFT DESIGNER versin estudiantil, para la prueba de circuito abierto se puso una resistencia muy alta, y para la prueba de corto circuito se conect directamente a tierra, como se ve en las figuras 5 y 8 respectivamente.

Y de las ecuaciones (21) y (23)

Figura 5. Simulacin en circuito abierto. Para esta simulacin, se realiz un barrido en frecuencia desde 105MHz hasta 125MHz, para lo cual se obtuvieron los siguientes reportes:

VI. DESARROLLO DE LA PRCTICA 1. Calibrar el Analizador de Redes con el kit de calibracin BNC (50)

Para esto se deben utilizar la carga en circuito abierto, la carga en corto circuito, y la carga de 50, garantizando que el analizador de redes quede calibrado, en realidad esta labor fue realizada por el monitor y el profesor, as que no hubo mucho de nuestra parte. 2. Realizar la adaptacin (ponchar) de un Terminal BNC (M) a uno de los extremos del coaxial escogido para la prctica

Figura 6. Parte real de la impedancia de entrada en circuito abierto

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Finalmente se comprueba que: ( )( )

VIII. MEDICIONES Y ANLISIS DE RESULTADOS Medicin Valor 21.5 cm longitud 1.6 + j65.7 Zinsc 0.42 - j41 Zinoc Tabla 1. Mediciones realizadas. Usando estos datos y las ecuaciones anteriores, se obtuvo que:

Figura 7. Parte imaginaria de la impedancia de entrada en circuito abierto Por lo que se obtuvo que:

Entonces:

Figura 8. Simulacin en corto circuito. Luego:

(

)

Conociendo los valores de la constante de propagacin, y la impedancia caracterstica, hallamos los valores de los parmetros primarios mediante las ecuaciones (22) y (23).

Figura 9. Parte real de la impedancia de entrada en corto circuito

FINALMENTE LOS VALORES PARA LOS PARMETROS PRIMARIOS SERN:

Figura 10. Parte imaginaria de la impedancia de entrada en corto circuito. Por lo que se obtiene que la impedancia de entrada en corto circuito es:

UNIVERSIDAD DISTRITAL, TELECOMUNICACIONES I, LABORATORIO N 1, GRUPO 7 Medicin V. Terico V practico % de error 50.130 51.910 3.55 Re{Zo}() -0.183 -0.360 96.7 Im{Zo}() 0.014 0.067 378 (Np/m) 3.623 4.186 15.5 (Rad/m) 1.362 4.100 201 R() 251.4 290.3 15.5 L(nH/m) 100 115.0 15 C(pF/m) 14.45 1000 682 G(S/m) Tabla 2. Comparacin entre valores tericos y prcticos.

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Sin embargo y aun con estas consideraciones, se acerc bastante en la impedancia caracterstica calculada, ya que de la lnea ser ms larga o ms corta, lo era de manera proporcional tanto para la capacitancia como para la inductancia, por lo que se cancelaban estos errores, causando un error bastante bajo en la impedancia caracterstica. En definitiva si lo que se desea es calcular la impedancia caracterstica de la lnea, este es un mtodo bastante efectivo.

IX. CONCLUSIONES

X. BIBLIOGRAFA [1] NERI VELA, Rodolfo, Lneas de Transmisin. McGraw-Hill/INTERAMERICANA EDITORES. 1999 [2]http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_de_transmisi %C3%B3n [3] Figura 3: http://www.afsoncable.com/products-RG58-U-50-Ohm-Coaxial-Cable-99.html

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Se observan fallas en el modelo terico en cuanto al clculo de la resistencia y la conductividad, es evidente que el alto error entre la realidad y el modelo, deja al descubierto que se debe replantear la forma en que se calculan estos dos parmetros. Por otra parte el error entre las mediciones y los clculos de los valores de inductancia y capacitancia, aunque es un error considerable, se puede deber a error por parte del instrumento, variaciones en la permitividad relativa, que causaran un error en el clculo de la longitud de onda, y a su vez en la longitud que deba tener el cable.