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La Transformation de Laplace
LA TRANSFORMATION DE LAPLACE : un exemple d’utilisation.................2Fonctions causales................................................................................................. 3Définition de la Transformée de Laplace d’une fonction causale.........................4Transformée de Laplace de l’échelon unité (calcul effectif).................................5Original d’une fonction......................................................................................... 6 Exercices rapides.................................................................................................. 7Réponses des exercices rapides............................................................................. 8Propriété 1 de la transformation de Laplace..........................................................9Propriété 2 de la Transformation de Laplace...................................................... 10Propriété 3 de la Transformation de Laplace...................................................... 11Propriété 4 de la Transformation de Laplace...................................................... 12 Fonction retardée (explications rapides)............................................................ 13Equations différentielles. Sujets.......................................................................... 15Equations différentielles. Sujets traités............................................................... 16TRAVAIL A FAIRE........................................................................................... 26Réponses en vrac................................................................................................. 27
1
Lecture facultativeLA TRANSFORMATION DE LAPLACE : un exemple d’utilisation
UN EXEMPLE :On veut résoudre l’équation )t(ux'x =+ x’+ x =u (t).Où u est l’échelon unité défini par :
≥=<=
0tsi1)t(u0tsi0)t(u
On veut connaître la solution .0)0(xet0tsi0)t(xquetelle)t(xt:x =<=→ Voilà comment cela se passe :
La Transformée de Laplace de l’équation s’écrit :
p1)p(X)1p( =+
.1p
1p1)p(X;
)1p(p1)p(X
+−=
+=
La fonction x (t) est l’original de X (p) qui est )t(ute1 ×
−− .
C’est la solution de l’équation.
Pour comprendre cela il faut connaître la définition et les propriétés de laTransformation de Laplace.
Début
2
0
1
t
u(t)
1
0
Fonctions causalesUne fonction causale est une fonction s : t→s (t) telle que si t< 0 alors s (t)=0.Exemple 1 L’échelon unité u défini par :
≥=<=
0tsi1)t(u0tsi0)t(u
Exemple 2 Si f : t→f (t) est une fonction quelconque, on définit une fonction causale :
)t(u)t(f)t(st:s ×=→
Fonctions causales souvent utilisées
t)t)sin((utt)t)cos((ut
positif)entier un est (n )t(untt
unité)(échelon )t(ut
ω→ω→
→
→
Début
3
t
u(t)
1
0
Définition de la Transformée de Laplace d’une fonction causale
Soit s : t→s (t) une fonction causale.La transformée de Laplace de s est la nouvelle fonction S de la nouvelle variable p définie par :
∫∫ −∞
∞→=−=→b
0dtpte)t(s
0blimdtpte)t(s)p(Sp:S
Attention S est définie sur l’ensemble des valeurs de p pour lesquelles cette limite existe.Autre notationLa Transformée de Laplace de la fonction causale s s’écrit d’une manière plus précise : L[s (t)].
La Transformée de Laplace de la fonction causale s : t→s (t) est la fonction :
L[s (t)] : p→ L[s (t)] (p).
[ ] [ ] ∫∫ −∞
∞→=−=→b
0dtpte)t(s
0blimdtpte)t(s)p()t(sLp:)t(sL
On utilise cette notation lorsque cela est vraiment nécessaire.Début
4
Transformée de Laplace de l’échelon unité (calcul effectif)
L’échelon unité u est défini par :
≥=<=
0tsi1)t(u0tsi0)t(u
La Transformée de Laplace de l’échelon unité est définie pour p> 0 par
p1)p)](t(u[L =
Démonstration
.0ppour p1)p)](t(u[L:Donc
0.b puisque0pbeblim:0psi
.1tsi1)t(upuisque)pbep1
p1(blim
b
0
ptep1
blim
)1tsi1)t(upuisque(
b
0
b
0dtpteblimdtpte)t(u
0blimdtpte)t(u)p)](t(u[L
>=
>=−∞→>
≥=−−∞→=
−−∞→=
≥=
−∞→=−
∞∞→=−= ∫ ∫∫
Exercice rapide 1
Donner sans calcul la valeur numérique de ∫∞
−
0
t2 .dte
Résultat : 0.5.
On a exprimé L [u (t)] (2).Début
5
t
u(t)
1
0
Original d’une fonction
DéfinitionSoit F : p→F (p) une fonction.Lorsque [ ] )p()t(fL)p(F = pour une fonction causale f, on dit que f est l’original de F .
Exemple L’échelon unité u : t→u (t) est l’original de la fonction
0ppour définie p1)p(Fp:F >=→
On trouve à l’aide du calcul intégral les éléments du tableau suivant appelé souvent « Tableau des originaux » :On se réfère alors au tableau sans plus effectuer de calculs d’intégrales. Expression de la fonction causale f
Original de la fonction F
Transformée de Laplace de la fonction f :
F (p)=L [f (t)] (p) p>0)t(u
p1)p(F =
)t(ut ×2p
1)p(F =
)t(unt ×1np
!n)p(F +=
)tsin()t(u ω× 22p)p(F
ω+
ω=
)tcos()t(u ω× 22p
p)p(Fω+
=
Début
6
Exercices rapidesExercice rapide 1Donner sans calcul la valeur numérique de
∫∞
−
0
t2 .dte
Exercice rapide 2 Donner sans calcul les valeurs numériques des intégrales suivantes :
∫∫∫∞
−∞
−∞
−
0tdt3coste
0)3tdt2sint2e
0)2dtt2e3t)1
DébutExercice rapide 3Trouver les originaux des fonctions définies pour p>0 par :
92p
p)312p
1)25p
24)1++
Exercice rapide 4 Remplir le tableau suivant : Expression de la fonction causale f
Original de la fonction FTransformée de Laplace de la fonction f :
F (p) pour p>0
p1
2p
1
4p
6
1np
!n+
)t5sin()t(u u (t) sin5t
)t2cos()t(u u (t) cos2πt
22p
2
+
92p
p
+
7
Réponses des exercices rapidesExercice rapide 1 Donner sans calcul la valeur numérique de
∫∞
−
0
t2 .dte Résultat : déjà vu.
Exercice rapide 2 Donner sans calcul les valeurs numériques de
[ ]
[ ] 1.031
1)1()t3cos()t(uL)3
25.0422
2)2()t2sin()t(uL)2166
42
!3)2()t(u3t1)L Réponses
0tdt3coste
0)3tdt2sint2e
0)2dtt2e3t)1
22 =+
=
=+
===
∞−
∞−
∞− ∫∫∫
Exercice rapide 3 Trouver les originaux des fonctions définies pour p>0 par :
.t3cos)t(u,tsin)t(u,)t(u4t Réponses
92p
p)312p
1)25p
24)1++
Exercice rapide 4 Remplir le tableau suivant :Fonction f. Original de la fonction F Transformée de f : 0ppour)p(F >
)t(up1
)t(ut ×2p
1
)t(u3t ×4p
6
)t(unt ×1np
!n+
)t5sin()t(u
252p
5
+)t2cos()t(u
42p
p
+)t2sin()t(u
22p
2
+Début
8
Propriété 1 de la transformation de LaplacePropriété 1
La transformation de Laplace est « linéaire » :[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] )p()t(saL)p()t(asL
)p()t(kL)p()t(sL)p()t(k)t(sL
=
+=+
Pour toutes fonctions causales s et k et tout réel a.
Cette formule se résume en:
[ ] [ ] [ ] )p()t(kbL)p()t(saL)p()t(bk)t(asL +=+Pour toutes fonctions causales s et k et tous réels a et b.
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] )p()t(u)t(gbL)p()t(u)t(faL)p()t(u))t(bg)t(af(L
)p()t(u)t(faL)p()t(u)t(afL
)p()t(u)t(gL)p()t(u)t(fL)p()t(u))t(g)t(f(L
+=+
=
+=+
Exercice rapide 41) Ecrire la transformée de Laplace de la fonction causale
t3sint3cos2)(t(ut:s +→ .2) Ecrire la transformée de Laplace du signal
)t(u)4t32t2()t(st:s ++=→ . 3) Trouver l’original de la fonction F définie pour p>0 par
3p
12p
1p1)p(F ++= .
Réponses ).t(u1t2t21,3p
8p32p4,92p
3p2
++++
+
+
Début
9
Propriété 2 de la Transformation de Laplace
Propriété 2Transformation de Laplace et dérivation
« La Transformée de Laplace de la dérivée d’une fonction n’est pas la dérivée de la Transformée de Laplace de cette fonction »
[ ] [ ] )0(f)p()t(u)t(fpL)p()t(u)t('fL +−=
[ ] [ ] )0('f)0(pf)p()t(u)t(fL2p)p()t(u)t(''fL +−+−=
)t('f0t,0tlim)0('f);t(f0t,0tlim)0(f >→=+>→=+
Souvent la fonction f est telle que f (0+)=f (0) (si elle est continue en 0) Exercice rapide 8
)t2cos()t(u)t(g),t2sin()t(u)t(f == .Exprimer les Transformées de Laplace [ ] [ ] ).p()t('gLet)p()t('fLSolution
)p](t2sin)t(u2[L)p](t2sin)t(u[L242p
4142p
pp1)p)](t(g[pL)p)](t('g[L42p
p)p)](t(g[L
)p](t2cos)t(u2[L)p](t2cos)t(u[L242p
p242p
2p)p)](t(f[pL)p)](t('f[L42p
2)p)](t(f[L
.1)0(g,0)0(ft2cos)t(u)t(g;t2sin)t(u)t(f
−=−+
−=−
+=−=
+=
==
+=
+==
+=
=+=+==
10
f(t+)
0
f(t)
)t(f0t,0tlim)0(f >→=+
Propriété 3 de la Transformation de LaplacePropriété 3 de la transformation de Laplace
Transformation de Laplace d’une fonction « amortie »[ ] )ap()t(sL)p()t(sateL +=
−
(Ici s est une fonction causale).Ou bien :
[ ] )ap()t(u)t(fL)p()t(u)t(fateL +=
−
Exercice rapide 61) Trouver les Transformées de Laplace des signaux suivants :
)t2cost2)(sint(ute)b)t(ute)a +π−− .2) Trouver les originaux des fonctions :
.12)2p(
1)p(G
0ppour ]1p
1p1
)1p(p1:égalitél' vérifier[
)1p(p1)p(F
++=
>+
−=++
=
Réponses
.tsin)t(ut2e:est G(p) de originalL'
);t(u)te1(:est F(p) de originall' )1p(p
1)1p(pp1p
1p1
p1)2
;42)p(
2p)b1p
1)a)1
×−
−−+
=+−+=
+−
+π+
+π++
Début
11
Propriété 4 de la Transformation de Laplace
Propriété 4 de la transformation de Laplace
Le Théorème Du Retard.Pour tour réel τ (appelé retard)
[ ] [ ] pe)p()t(u)t(fL)p()t(u)t(fL τ−×=τ−τ−
Remarque)t(u)t(u)t(u τ−×τ−=τ−
En effet :
)t(u0 si 00 si1
)t(u)t(u donc0 si 00 si1
)t(u τττ
ττττ
τ −=
≤≥
=−×−
≤≥
=−
Cas particulier[ ] [ ] pe)p()t(uL)p()t(uL τ−=τ−
pep1)p)](t(u[L ττ −=−
Exercice rapide 7Trouver dans chaque cas l'original de la fonction F définie pour p>0 par :
1p
p3e)p(F)41p
1)p(F)3p
p3e)2p1)1
+
−=
+=
−
Réponses
)3t(u)3t(e)4)t(ute)3)3t(u)2)t(u)1 −−−−−Début
12
Fonction retardée (explications rapides)
Le retard est τ (supposé positif)
On a : h (t)=f (t−τ) u (t−τ)
≤≥−
=τττ
tsi 0 tsi)t(f
)t(h
En particulier : h (τ )=f (0), h (t+τ)=f (t) si t≥0.
)t(f )t(u)t(f
)t(u)t(f τ−τ−
τ
13
Propriété 5 de la Transformation de LaplacePropriété 2
pour tout réel a>0 :
)ap)](t(s[L
a1)p)](at(s[L =
(Ici s est une fonction causale) ou bien :
=
ap)]t(u)t(f[L
a1)p)](t(u)at(f[L
La fonction u étant l’échelon unité.
Exercice rapide 51) Exprimer les transformées de Laplace des signaux suivants
)t2cost2)(sint(u)t(g),t2cost2)(sint(u)t(f π+π=+=2Vérifier la propriété 2 à partir des fonctions f et g.3) Vérifier que pour l’échelon unité en appliquant la propriété 2 on trouve :
)p)](t(u[L)p)](at(u[L = .Réponses
)p(G242p
2p
2
242p
2p2
1
2
242p
2p1
42
2p
2p1pF1
pF1p)]t(u)t(f[L1)p)](t(u)t(f[L)p(G:vérifions)t(f)t(g)2
.242p
2p)p(G;42p
2p)p(F)1
=π+
π+=
π
π+
π+
π=
π
π+π
π+
π=
+π
+π
π=
ππ
ππ=
ππ=π=π=
π+
π+=+
+=
Ce qu’il fallait vérifier.
p1
ap1
a1
ap)]t(u[L
a1)p)](at(u[L)3 =
=
=
Pour a>0Début
14
Il reste 5 autres propriétés qui seront présentée ultérieurement.Nous pouvons maintenant apprendre à utiliser la Transformation de Laplace pour résoudre des équations différentielles.
Equations différentielles. Sujets.
Exemple 1 (traité en détails)
obtenue; x(t)fonction t laEtudier 0. tsi 0x(t):que ellefonction t uneest x(t)t:où x
t2 si 0e(t) , 2t1 si 1e(t) 1, tsi 0e(t) avec e(t)x' x Résoudre
→≤=→
≤=<≤=<==+
Exemple 2(rédigé comme à l’examen)
8. Page 0. tsi 0v(t):que ellefonction t uneest x(t)t:.vt 0 si Ee(t)et 0 tsi 0e(t) avec e(t)v' RCv Résoudre
≤=→≤=<==+
Exemple 3 (rédigé comme à l’examen)
9. .Page0)(0' x,1)x(00, tsi 0x(t):que est telle x(t)t: x t.0 si 1u(t) 0, tsi 0u(t) avec )u(t)cos(3tx4'' x desolution latrouver
=+=+<=→≤=<==+
Exemple 4 (rédigé comme à l’examen)Résoudre le système différentiel suivant en utilisant la Transformation de Laplace :
+−=−=
y6x4'yyx3'x
Avec les conditions initiales : x (0+)=1, y (0+)=2 ; x (t)=0 et y (t)=0 si t<0.Page 10.
15
Equations différentielles. Sujets traités.
Exemple 1 (traité en détails)
obtenue. x(t)fonction t laEtudier 0. tsi 0x(t):que ellefonction t uneest x(t)t:où x
t2 si 0e(t) , 2t1 si 1e(t) 1, tsi 0e(t) avec e(t)x' x Résoudre
→≤=→
≤=<≤=<==+
SolutionLa fonction inconnue que l’on cherche est notée )t(xt:x → .
La fonction .connuefonctionuneest)t(et:e →
I) Posons[ ] [ ] )p(e(t)LE(p)et )p(x(t)LX(p) ==
II) Transformons l’équation
0.) x(0Puisque).p(E)p(X)p(pX
)p(E)p(X)0(x)p(pX
=+=+
=++−
III) Isolons X (p)
( )
)p(E1p
1)p(X
)p(E)p(X1p
+=
=+
1p1H(p)+
=
La fonction 1p1)p(Hp:H+
=→ est souvent désignée par les physiciens sous le
nom de fonction de transfert )p(E)p(H)p(X ×= .
Début du chapitre
16
IV) Exprimons la transformée de Laplace E (p) du signal e (t)
≤<≤
<=
t2 si 02t1 si 1
1 tsi0)t(e
Le signal e (t) s’exprime à partir de l’échelon unité u :
)t(e)2t(u)1t(u =−−−
Preuve
==−−−=−=−−≤−≤≤
==−−−=−=−<−−≤<≤
==−−−=−=−<−<−<
)t(e0)2u(t)1u(t: 1)2u(t , 1)1u(t donc 2t0et 1t0 alorst 2 Si
)t(e1)2u(t)1u(t: 0)2u(t , 1)1u(t donc 02et t 1t0 alors 2 t1 Si
)t(e0)2u(t)1u(t: 0)2u(t , 0)1u(t donc 02et t 01 talors 1 tSi
On retrouve bien l’expression du signal e (t).
En utilisant la propriété 4 de la Transformation de Laplace (Théorème du retard) on obtient :
[ ] pep1)p()1t(uL −=− , [ ] p2e
p1)p()2t(uL −=−
[ ] [ ] [ ] [ ] )p()2t(uL)p()1t(uL)p()2t(u)1t(uL)p()t(eL)p(E −−−=−−−==
On obtient :p2e
p1pe
p1)p(E −−−= .
Début du chapitre
17
0 1 2
1
t
)t(e (t)
V) Expression de X (p)
)p(E1p
1)p(X+
=
p2ep)1p(
1pep)1p(
1)p(X −+
−−+
=
Il reste maintenant à trouver l’original de X (p) : c’est la solution x (t) de l’équation différentielle VOICI:Nous connaissons les originaux suivants :Original f (t) Fonction F (p)
u (t) p1
te)t(u −1p
1+
)1t(e)1t(u −−− pep1 −
)2t(e)2t(u −−− p2e1p
1 −+
Faisons apparaître ces données en décomposant en éléments simples la fraction
1A,1B,0BAp)1p(
Bp)BA(p)1p(
)1p(BApp)1p(
1:pB
1pA
p)1p(1
que tellesBet A réels des valeursles rouvonst
:p)1p(
1
−===++
++=+
++=+
++
=+
+
p1
1p1
p)1p(1 +
+−=
+
Début du chapitre
18
( ) )t(ue1)t(u)t(uet
:est p1
1p1
p)1p(1p de originalL'
tt −− −=+−→
++
−=+
→
En utilisant le théorème du retard:[ ] [ ] pe)p()t(u)t(fL)p()t(u)t(fL τ−×=τ−τ−
( )( )[ ] [ ]
.2et1 avec
ep)1p(
1e)p()t(u)t(fL)p()t(ue1L
:)t(ue1)t(u)t(f:avec
pp)t(
t
=τ=τ+
=×=τ−−
−=
τ−τ−τ−−
−
( ) ( ) )2t(ue1)1t(ue1x(t)t:x
:est
ep)1p(
1ep)1p(
1)p(Xp :X de originalL'
)2t()1t(
p2p
−−−−−=→
+−
+=→
−−−−
−−
( ) ( ) )2t(ue1)1t(ue1x(t)t: x
:fonction laest 0 tsi 0 x(t)que lelle e(t)x'x équation l' desolution La
)2t()1t( −−−−−=→
≤==+
−−−−
19
Etude de la fonction x obtenue( ) ( ) )2t(ue1)1t(ue1x(t)t:x )2t()1t( −−−−−=→ −−−−
Expression de la fonction x sur les intervalles ] [ [ [ [ [.,2,2,1,1, ∞+∞−
] [ ] [
[ [
[ [
−−−−−=∞+∈
−−−=∈
∞−∈=∞−∈
)1t(e)2t(e)t(x:,2tsi
)1t(e1)t(x:2,1tsi
1,tsi0)t(x:1,tsi
Début du chapitre
20
Etude de la continuité pour les valeurs t=1 et t=2 de la variableContinuité en t = 1
1.en continueest fonction la : )1(x)1(x
0)1t(e11t,1tLim)1(x)t(x1t,1tLim
0)1(x)t(x1t,1tLim
+=−
=
−−−→>=+=→>
=−=→<
Continuité en t = 2
2.en continueest fonction la : )2(x)2(x
1e1)1t(e)2t(e2t2tLim)0(x)t(x2t,2tLim
1e1)1t(e12t,1tLim)1(x)t(x2t,2tLim
+=−
−−=
−−−−−→>=+=→>
−−=
−−−→<=−=→<
Etude de la dérivabilité pour les valeurs 1 et 2 de la variable
] [ ] [
] [
] [
−−−−−=−−−−−=∞+∈
−−=−−−=∈
∞−∈==∞−∈
)2t(e)1t(e)t('x donc )1t(e)2t(e)t(x :,2tsi
)1t(e)t('x donc)1t(e1)t(x:2,1tsi
1,tsi0)t('x :donc0)t(x:1,tsi
Etude de la dérivabilité pour la valeur 1 de la variable
:)t('x1t,1tLim)t('x1t,1tLim
1)1t(e1t,1tLim)t('x1t,1tLim
0)t('x1t,1tLim
→>≠→<
=
−−→>=→>
=→<
La fonction n'est pas dérivable en 1.
Début du chapitre
21
Etude de la dérivabilité pour la valeur 1 de la variable
:)t('x2t,1tLim)t('x2t,2tLim
11e)2t(e)1t(e2t,2tLim)t('x2t,2tLim
1e)1t(e2t,2tLim)t('x2t,2tLim
→>≠→<
−−=
−−−−−→>=→>
−=
−−→<=→<
La fonction n'est pas dérivable en 2.
Représentation graphique de la solution] [ ] [
[ [
[ [
−−−−−=∞+∈
−−−=∈
∞−∈=∞−∈
)1t(e)2t(e)t(x:,2tsi
)1t(e1)t(x:2,1tsi
1,tsi0)t(x:1,tsi
Points particulierst 1 2x (t) 0 1e1 −−Coefficient directeur de la tangente à gauche
0 1e−
Coefficient directeur de la tangente à droite 1 11e −− Limite à l'infini
0)1t(e)2t(etlim)t(xtlim =
−−−−−∞→=∞→
22
Début du chapitre
Exemple 2(rédigé comme à l’examen)
. 0. tsi 0v(t):que ellefonction t uneest x(t)t:v.t 0 si Ee(t)et 0 tsi 0e(t) avec e(t)v' RCv Résoudre
≤=→≤=<==+
SolutionPosons :
[ ] [ ] )p(E)p()t(eLet )p(V)p()t(vL == .
Appliquons la transformation de Laplace à l’équation :
t
x(t)
0 1 2
23
.0) v(0puisque)p(E)p(V)p(RCpV
=+=+
Isolons V (p) :
+
×=
×+
==
+=
RC1pp
1RCE)p(V
:écrits' qui pE
RCp11)p(V:donc
pE)p(E
)p(ERCp11)p(V
Décomposons en éléments simples :
RC1P
BPA
RC1pp
1
++=
+ .
En réduisant au même dénominateur on obtient par identification des numérateurs : A=RC, B= −RC, d’où :
+−=
RC1p
1p1E)p(V
L’original de V (p) est v (t):
)t(u).RCt
e1(E)t(v−
−= .
L’équation est résolue. Début du chapitre
Exemple 3 (rédigé comme à l’examen)
.0)(0' x,1)x(00, tsi 0x(t):que est telle x(t)t: x t.0 si 1u(t) 0, tsi 0u(t) avec )u(t)cos(3tx4'' x desolution latrouver
=+=+<=→≤=<==+
SolutionPosons :
[ ] )p(X)p()t(xL = .
Appliquons la transformation de Laplace à l’équation :
24
0(0)et x 1) x(0puisque92p
p)p(X4p)p(X2p
==++
=+−
Isolons X (p) :
)42p)(92p(
p
42p
p)p(X++
++
=
Décomposons en éléments simples :
42p
DCp
92p
BAp
)42p)(92p(
p
+
+++
+=++
On obtient après réduction au même dénominateur et identification des numérateurs :
92p
p51
42p
p56)p(X
42p
p51
92p
p51
42p
p
)42p)(92p(
p
42p
p)p(X
42p
p51
92p
p51
)42p)(92p(
p :donc 0D,0B,51C,
51A
+×−
+×=
+×+
+×−
+=
+++
+=
+×+
+×−=
++===−=
L’original de X (p) est x (t):
)t(u)t3cos51t2cos
56()t(x ×−=
L’équation est résolue. Début du chapitre
Exemple 4 (rédigé comme à l’examen)Résoudre le système différentiel suivant en utilisant la Transformation de Laplace :
+−=−=
y6x4'yyx3'x
Avec les conditions initiales : x (0+)=1, y (0+)=2 ; x (t)=0 et y (t)=0 si t<0.
Solution
25
Notons X (p) et Y (p) les transformées de Laplace des fonctions x (t) et y (t).
Appliquons la transformation de Laplace au système d’équation l’équation :
.2)y(0et 1) x(0puisque)p(Y6)p(X42)p(pY
)p(Y)p(X31)p(pX
=+=+
+−=−−=−
Isolons X(p) et Y(p) en résolvant le système :
=−+=+−
2)p(Y)6p()p(X41)p(Y)p(X)3p(
:écrits' systàme Le
La solution de ce système s’écrit :
)7p)2p(10p2)p(Y
)7p)(2p(8p
14p92p
8p)p(X
−−−=
−−−=
+−
−=
Décomposons en éléments simples :
−+
−=
−
−−
=
7p4
2p6
51)p(Y
7p1
2p6
51)p(X
Les originaux de X (p) et Y(p) sont x (t) et y(t):
.t7e4t2e651)t(y , t7et2e6
51)t(x
+=
−=
L’équation est résolue : la solution est le couple de fonctions
+=
−= t7e4t2e6
51)t(y , t7et2e6
51)t(x
Début du chapitre
TRAVAIL A FAIRE
ARésoudre i’’ (t) +i (t)=e (t) avec i (t)=0 si t<0 i (0)=i’ (0)=0.Le signal e est graphiquement par :
26
0 π 2π
e(t)
π
t
Indication
On peut calculer directement ∫∞ −
0dte)t(e pt mais le calcul est long ;
On peut vérifier (cette indication est donnée en général dans le sujet) :e(t)=tu(t)−2 (t−π)u(t−π)+(t−2π)u(t−2π)
BRésoudre
−=−−=yx'y
yx'x
Avec : x (0+)=1, y (0+)=0, x (t)=0 et y (t)=0 si t<0.
C
Résoudre
+=+=
y4x'yy5x'x
On suppose: x (0+)=−1, y (0+)=0, x (t)=0, y (t)=0 si t<0.
Début du chapitre
Réponses en vrac
27
∞<≤π−π<≤π−π+−
π<≤−<
=
t2:tsin42t:tsin32t
t0:tsint0t:0
)t(i
)t(u)tsine()t(y
)t(u)tcose()t(xt
t
−
−
=
=
? ?
Début du chapitre
28