Kwakernaak93robust

8/6/2019 Kwakernaak93robust

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Automatica, Vol . 29, No. 2, pp. 255-273, 1993 0005-1098/93 $6.00 + 0.00P r i n t ed i n G r ea t B r i t a i n . 1993 P e r gam on P r e s s L t d

Tutorial Paper

Ro bu st Co ntrol and -Optimizat ion Tu torialP ap e r *H U I B E R T K W A K E R N A A K t

Robus t con tro l s y s tems may success fu l ly be des igned by ~ '=-op t imiza t ion ,in par t icu la r , by re fo rm u la t ing the des ign p ro b le m as a m ixed sens i t i v i t yp r o b l e m .K e y W o r d s - - ~ = - o p t i m a l co n t r o l ; r o b u s t co n tr o l .

A b s t r a c t - - T h e p a p e r p r e s e n t s a t u t o r i a l e x p o s i t i o n o f~=-opt imal regu la t ion theory , emphas iz ing the re levance ofthe mixed sens i t iv i ty p rob lem for robus t con t ro l sys temdesign.1 . I N T R O D U C T I O N

T H E I N V E S T I G A T I O N O F ~ - o p t i m i z a t i o n o f c o n t r o ls y s te m s b e g a n i n 1 97 9 w i t h a c o n f e r e n c e p a p e r b yZ a m e s ( 1 9 7 9 ), w h o c o n s i d e r e d t h e m i n i m i z a t i o n o ft h e o o - n o rm o f t h e s e n s i t i v i t y f u n c t i o n o f as i n g l e - i n p u t - s i n g l e - o u t p u t li n e a r f e e d b a c k s y s t e m .T h e w o r k d e a l t w i t h s o m e o f t h e b a s i c q u e s t i o n s o f" c l a s s i c a l " c o n t r o l t h e o r y , a n d i m m e d i a t e l y c a u g h t ag r e a t d e a l o f a t t e n t i o n . I t w a s s o o n e x t e n d e d t o m o r eg e n e r a l p r o b l e m s , i n p a r t i c u l a r w h e n i t w a s r e c o g n i z e dt h a t t h e a p p r o a c h a l l o w s d e a l i n g w i th r o b u s t n e s s f a rm o r e d i r e c t ly t h a n o t h e r o p t i m i z a t i o n m e t h o d s .T h e n a m e " ~ K ~ - o p t i m i z a ti o n " i s s o m e w h a t u n -f o r t u n a t e . ~ i s o n e m e m b e r o f th e f a m i l y o f s p a c e si n t r o d u c e d b y t h e m a t h e m a t i c i a n H a r d y . I t is t h es p a c e o f f u n c t io n s o n t h e c o m p l e x p l a n e t h a t a r ea n a l y t ic a n d b o u n d e d i n t h e r i g h t - h a l f p l a n e . T h es p a c e p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n t h e d e e p e rm a t h e m a t i c s n e e d e d t o s o l v e K - o p t i m a l c o n t r o lp r o b l e m s .

T h i s p a p e r p r e s e n t s a t u t o r i a l e x p o s i t io n o f t h es u b j e c t . T h e e m p h a s i s i s o n e x p l a i n i n g t h e r e l e v a n c eo f K - o p t i m i z a t i o n f o r c o n t ro l e n g i n e er i n g . T h e p a p e rp r e s e n t s f e w n e w r e s u l t s , a n d d o e s n o t a t a l l d o j u s t i c et o t h e e x t e n s i v e t h e o r e t i c a l a n d m a t h e m a t i c a ll i t e r a t u r e o n t h e s u b j e c t . T h e p r e s e n t a t i o n i s l i m i t e dt o s i n g l e - i n p u t - s i n g l e - o u t p u t ( S I S O ) c o n t r o l s y s te m s .M a n y o f th e a r g u m e n t s c a r r y o v e r t o t h e m u l t i - i n p u t -

* Rece ived 6 Februa ry 1992; rev ised 6 Ju ly 1992; rece ivedin f ina l fo rm 23 Augus t 1992 . The or ig ina l vers ion of th i sp a p er was presen ted a t the IFAC Sympos ium on Des ignMethods of Cont ro l Sys tems which was he ld in Z i i r ich ,Swi tzer land du r ing Se ptem ber 1991 . The Pub l i shed Proceed-i ng s o f th is IF A C M e e t i n g m a y b e o r d e r e d f ro m : P e r g a m o nPress L td , Heading ton Hi l l Hal l , Oxford , OX3 0BW, U.K.Th is paper was recom men ded for pub l ica t ion in rev ised formby Edi tor K. J . As t r6m.t S y st em s a n d C o n t r o l G r o u p , D e p a r t m e n t o f A p p l i e dMathematics, Univers i ty of Twente , P .O. Box 217 , 7500 A EEnschede , The Nether lands .

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m u l t i - o u t p u t c a s e b u t t h e i r i m p l e m e n t a t i o n i sn e c e s s a r i l y m o r e c o m p l e x .W e p r e v i e w s o m e o f t h e c o n t e n t s . I n S e c t i o n 2 w eu s e Z a m e s ' o r i g i n a l m i n i m u m - s e n s i t i v i t y p r o b l e m t oi n t r o d u c e ~ - o p t i m i z a t i o n . S e c ti o n 3 is d e v o t e d t o ad i s c u ss i o n o f s t a b i li t y r o b u s t n e s s . A w e l l - k n o w ns t a b i li t y r o b u s t n e s s c r i t e r i o n f i rs t p r o p o s e d b y D o y l e( 1 97 9 ) d e m o n s t r a t e s t h e r e l e v a n c e o f t h e o o - n or m f o rr o b u s t n e s s. D o y l e ' s c r i te r i o n i n i t s o r i g i n a l fo r m h a ss e v e r e s h o r t c o m i n g s , o w i n g t o t h e o v e r s i m p l i f i e dr e p r e s e n t a t i o n o f p l a n t p e r t u r b a t i o n s . I n S e c t i o n 4 i t i se x p l a i n e d h o w t h e c r i t e r i o n q u i t e e a s i l y c a n b ee x t e n d e d t o a m u c h m o r e p o w e r f u l r e s u l t t h a t a p p l i e st o a v e r y g e n e r a l p e r t u r b a t i o n m o d e l . I n S e c t i o n 5 th i sr e s u l t i s u s e d f o r a p e r t u r b a t i o n m o d e l t h a t f o r l a c k o fa be t t e r n a m e w e r e f e r t o as n u m e r a t o r - d e n o m i n a t o rp e r t u r b a t i o n s . I t l e a d s t o t h e " m i x e d s e n s i t i v it y " ~ s t a b i l i t y r o b u s t n e s s t e s t . I t i s o n l y s l i g h t l y m o r ec o m p l i c a t e d t h a n D o y l e ' s o r i g i n a l t e s t , a n d f a r l e ssc o n s e r v a t i ve f o r l o w - f r e q u e n c y p e r t u r b a t i o n s .

M i n i m i z a t i o n o f t h e m i x e d s e n s i ti v i ty c r it e r i o nr e s u lt s i n " o p t i m a l " r o b u s t n e s s . I n S e c t i o n 6 t h er e s u l t i n g m i x e d s e n s i t i v i t y p r o b l e m i s d i s c u s s e d i ns o m e d e t a i l . I t i s s h o w n t h a t i t c a n b e u s e d n o t o n l yf o r r o b u s t n e s s o p t i m i z a t i o n o r r o b u s t n e s s i m p r o v e -m e n t , b u t a ls o fo r d e s i g n f o r p e r f o r m a n c e . T h e d e s i g nm e t h o d b a s e d o n t h e m i x e d s e n s i t i v i ty c r i t e r i o nf e a t u r e s f r e q u e n c y r e s p o n s e s h a p i n g , t y p e k c o n t r o la n d s p e c i f i e d h i g h - f r e q u e n c y r o l l - o f f , a n d d i r e c tc o n t r o l o v e r t h e c l o s e d - l o o p b a n d w i d t h a n d t i m er e s p o n se b y m e a n s o f d o m i n a n t p o l e p l a c e m e n t .

T o i l l us t r a te t h e s e f e a t u r e s t w o d e s i g n e x a m p l e s a r ei n c l u d e d . I n S e c t i o n 7 a t e x t b o o k e x a m p l e i s d i s c u s s e dt h a t is s i m p l e e n o u g h t o b e c o m p l e t e l y tr a n s p a r e n t . I nS e c t i o n 8 t h e a p p l i c a t i o n o f t h e m i x e d s e n s i t i v it ym e t h o d t o a b e n c h m a r k e x a m p l e i n v o lv i n g s h i p c o u r s ec o n t r o l i s d e s c r i b e d .

S e c t i o n s 9 - 1 1 b r i e fl y r e v i e w t h e t h e o r y n e e d e d t os o lv e ~ - o p t i m a l r e g u l at i o n p ro b l e m s . I n S e c t i o n 9 i ti s s h o w n t h a t t h e m i x e d s e n s i t i v i t y p r o b l e m i s a s p e c i a lc a s e o f t h e s o - c a l le d " s t a n d a r d " ~ - o p t i m a l re g u l a t i o np r o b l e m . I n S e c t i o n 1 0 t h e f r e q u e n c y d o m a i n s o l u t i o no f th e s t a n d a r d p r o b l e m i s o u t l i n e d , w h i l e S e c t i o n 1 1d e s c r i b e s th e m a i n f e a t u r e s o f t h e s t a t e s p a c e s o l u t i o n .


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2 5 6 H . K W A K E RN A A KW e d o n o t g o i n t o m u c h d e t a i l , b e c a u s e t h e t h e o r y i sn o t e a s y , a n d t h e d e v e l o p m e n t o f a l g o r i t h m s t h a t c a nb e u s e d u n t h i n k i n g l y f o r a p p l i c a t i o n s i s b e s t l e f t t os p e c i a l i s t s .

V-S-q" t/

m i

FIG. 3 . Equ iva len t represen ta t ion of the sys tem of F ig . 1 .2 . S E N S IT IV IT Y

~ - o p t i m i z a t i o n o f c o n t ro l s y s te m s d e a l s w it h t h em i n i m i z a t i o n o f t h e p e a k v a l u e o f c e r t a i n c l o s e d - l o o pf r e q u e n c y r e s p o n s e f u n c t io n s . T o c l a r if y th i s , c o n s i d e rb y w a y o f e x a m p l e t h e b a s i c S I S O f e e d b a c k s y s t e m o fF i g . 1 . T h e p l a n t h a s t r a n s f e r f u n c t i o n P a n d t h ec o m p e n s a t o r h a s t r a n s f e r f u n c t i o n C . T h e s i g n a l vr e p r e s e n t s a d i s t u r b a n c e a c t i n g o n t h e s y s t e m a n d z i st h e c o n t r o l s y s t e m o u t p u t . T h e n f r o m t h e s i g n a lb a l a n c e e q u a t i o n :~ = ~ - PC~ , w i t h t h e c i r c u m f l e xd e n o t i n g t h e L a p l a c e t r a n s f o r m , i t f o l l o w s t h a t= S 0 , w h e r e

1S = 1 + P- -~ ' (1 )i s t h e s e n s i t i v i t y f u n c t i o n o f t h e f e e d b a c k s y s t e m . A st h e n a m e i m p l i e s , t h e s e n s i t iv i t y f u n c t io n c h a r a c t e r i z e st h e s e n s i t iv i t y o f t h e c o n t r o l s y s t e m o u t p u t t od i s t u r b a n c e s . I d e a l l y , S = 0 .

T h e p r o b l e m o r i g i n a ll y c o n s i d e r e d b y Z a m e s ( 1 97 9 ,1 9 81 ) i s t h a t o f f i n d i n g a c o m p e n s a t o r C t h a t m a k e st h e c l o s e d - l o o p sy s t e m s t a b l e a n d m i n i m i z e s t he p e a kv a l u e o f t h e s e n s i t i v i t y f u n c t i o n . T h i s p e a k v a l u e ( s e eF i g . 2 ) i s d e f i n e d a s

IIS ll~ = m ax IS(j to)l , (2 )~ o ~ Rw h e r e ~ d e n o t e s t h e s e t o f re a l n u m b e r s . B e c a u s e f o rs o m e f u n c t i o n s t h e p e a k v a l u e m a y n o t b e a s s u m e df o r a n y f in i te f re q u e n c y , w e r e p l a c e t h e m a x i m u m

" 0

FIG. 1. SISO feedback loop .s e n s i t i v i t y I S J

I l s l l

I I I( d

FIG. 2 . I lS l l~ s peak va lue .

h e r e a n d i n t h e f o ll o w i n g b y t h e s u p r e m u m o r l e a s tu p p e r b o u n d , s o t h a tI ISIl~ = sup LS(j to ) l . (3 )

( o ~ R

T h e j u s t i f ic a t i o n o f t h i s p r o b l e m i s t h a t i f t h e p e a kv a l u e mmsml f t h e s e n s i t i v i t y fu n c t i o n S i s s m a l l , t h e nt h e m a g n i t u d e o f S n e c e s s a r i l y i s s m a l l f o r a l lf r e q u e n c i e s , s o t h a t d i s t u r b a n c e s a r e u n i f o r m l ya t t e n u a t e d o v e r a l l f r e q u e n c ie s . M i n i m i z a t i o n o f I I S l l ~i s w o r s t - c as e o p t i m i z a t i o n , b e c a u s e i t a m o u n t s t om i n i m i z i n g t h e e f f ec t o n t h e o u t p u t o f t h e w o r s td i s t u r b a n c e ( n a m e l y , a h a r m o n i c d i s t u r b a n c e a t t h ef r e q u e n c y w h e r e IS J h a s i t s p e a k v a l u e ) .

T h e w o r s t - c a s e m o d e l h a s a n i m p o r t a n t m a t h e m a t i -c a l i n t e r p r e t a t i o n . S u p p o s e t h a t t h e d i s t u r b a n c e v h a su n k n o w n f r e q u e n c y c o n t e n t , b u t f i n it e e n e r g y I I v l l ~ .T h e n u m b e r

t l v t t 2 = X / f l v ( t ) 2 d t , ( 4 )i s k n o w n a s th e 2 - n o r m o f t h e d i s t u r b a n c e v . T h ee n e r g y o f v is t h e s q u a r e o f t h e 2 - n o r m . T h e n t h en o r m I I S l J o f t h e s y s t e m S a s i n F i g . 3 w i t h i n p u t v a n do u t p u t z i n d u c e d b y t h e 2 - n o r m i s d e f in e d a s

I l z l 1 2S UI l S l l = ~ : m t ~m ~ < ~ I v 1 1 2 ( 5 )H e n c e , i n e n g i n e e r in g t e r m s t h e n o r m i s d i r e c t l yr e l a t e d t o t h e e n e r g y g a i n f o r t h e i n p u t w i t h t h e w o r s tp o s s i b l e f r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n . U s i n g P a r s e v a l ' st h e o r e m , i t i s n o t d i f fi c u lt t o r e c o g n i z e t h a t

I l S l l = I l S l l ~ . ( 6 )H e n c e , t h e p e a k v a l u e i s p r e c i s e l y t h e n o r m o f t h es y s t e m i n d u c e d b y t h e 2 - n o r m s o n t h e i n p u t a n do u t p u t s i g n a l s . T h i s n o r m i s k n o w n a s t h e o o - n o r m o ft h e s y s t e m .

I t fo l lo w s t h a t ~ - o p t i m i z a t i o n i s c o n c e r n e d w i t ht h e m i n i m i z a t i o n o f s y s t e m n o r m s . I t i s u s e f u l t o b ea w a r e o f t h i s w h e n s t u d y i n g t h e o r e t i c a l p a p e r s o ng ( ~ - o p t i m i z a t i o n .

W o r s t - c a s e o p t i m i z a t i o n s u g g e s t s a g a m e t h e o r yp a r a d i g m : T h e d e s i g n e r w i sh e s to d e t e r m i n e t h ec o m p e n s a t o r C t h a t o f f e r s t h e b e s t p r o t e c t i o n a g a i n s tt h e w o r s t d i s t u r b a n c e t h a t n a t u r e h a s i n s t o r e . T h i se x p l a i n s w h y in m a n y t h e o r e t i c a l p a p e r s ~ -o p t i m i z a t i o n is t r e a t e d f r o m t h e p o i n t o f v ie w o fd i f f er e n t ia l g a m e t h e o r y .A l i tt l e c o n t e m p l a t i o n r e v e a l s t h a t m i n i m i z a t i o n o fI I S I k a s i t s t a n d s i s n o t a u s e f u l d e s i g n t o o l . T h ef r e q u e n c y r e s p o n s e f u n c t i o n o f e v e r y p h y s i c a l p l a n ta n d c o m p e n s a t o r d e c r e a s e s a t h i g h f r e q u e n c i e s . T h i sm e a n s t h a t o f t e n t h e s e n s i t i v it y S c a n b e m a d e s m a l l a tl o w fr e q u e n c i e s b u t e v e n t u a l l y re a c h e s t h e a s y m p t o t i cv a l u e o n e f o r h i g h f r e q u e n c i e s . J u s t h o w s m a l l S i s a tl o w f r e q u e n c i e s i s n o t r e f l e c t e d i n t h e p e a k v a l u e b u ti s o f p a r a m o u n t i m p o r t a n c e f o r t h e c o n t r o l s y s t e m


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R o b u s t c o n tr o l a n d ~ - o p t i m i z a t i o n 2 57p e r f o r m a n c e . F o r t h i s r e a s o n , i t i s c u s t o m a r y t oi n t r o d u c e a f r e q u e n c y d e p e n d e n t w e i g h t i n g f u n c t i o nW a n d c o n s i d e r t h e m i n i m i z a t i o n o f

IIWSIl~ = sup I W ( j w S ( j w ) ] . (7 )t oE RC ha r a c te r i s t i ca l ly , W i s l a r g e a t lo w f r e qu e n c ie s b u td e c r e a s e s a t h i g h f r e q u e n c i e s .

T h e w e i g h t e d s e n s i t i v i t y m i n i m i z a t i o n p r o b l e m t h u sd e f i n e d h a s i n t e r e s t i n g a s p e c t s . U n f o r t u n a t e l y , i t d o e sn o t a c c o u n t a d e q u a t e l y f o r b a s i c b a n d w i d t h l i m i t a -t i o n s o w i n g t o r e s t r i c t e d p l a n t c a p a c i t y , c a u s e d b y t h ei n a b il i ty o f t h e p l a n t t o a b s o r b i n p u t s t h a t a r e t o ol a r g e . B e f o r e g o i n g i n t o t h i s d e e p e r w e c o n s i d e r t h eq u e s t i o n o f r o b u s t n e ss .

3 . ROBUSTNESSW e i l l u s t r a t e t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n p e a k v a l u em i n i m i z a t i o n a n d d e s i g n f o r r o b u s t n e s s b y c o n s i d e r i n gi n F ig . 4 t h e N y q u i s t p l o t o f t h e l o o p g a i n L = P C o ft h e S I S O f e e d b a c k s y s t e m o f F i g . 1 . I n p a r t i c u l a r , w es t u d y w h e t h e r t h e f e e d b a c k s y s t e m r e m a i n s s t a b l eu n d e r a p e r t u r b a t i o n o f t h e l o o p g a i n f r o m i ts n o m i n a lv a l u e L o t o t h e a c t u a l v a l u e L .F o r s i m p l i c i t y w e t a k e t h e s y s t e m t o b e o p e n - l o o ps ta b le ( tha t i s , L r e p r e s e n t s a s t a b le s ys te m) .N a t u r a l l y , w e a l s o a s s u m e t h a t t h e n o m i n a l c l o s e d -lo o p s ys te m i s w e l l - d e s ig n e d s o tha t i t i s s t a b le . T he nb y t h e N y q u i s t s t a b i l i t y c r i t e r i o n t h e N y q u i s t p l o t o ft h e n o m i n a l l o o p g a i n L o d o e s n o t e n c i r c l e t h e p o i n t- 1 . T h e a c t u a l c l o s e d - l o o p s y s t e m i s s t a b l e i f a l s o t h el o o p g a i n L d o e s n o t e n c i r c l e t h e p o i n t - 1 .I t i s e a s y to s e e by in s p e c t io n o f F ig . 4 tha t theN y q u i s t p l o t L d e f i n i t e l y d o e s n o t e n c i r c l e t h e p o i n t- 1 i f f o r e v e r y f re q u e n c y ~ o t h e d i s ta n c e I L ( # o ) -L o ( jt a )l b e t w e e n a n y p o i n t L ( j t o ) o n t h e p l o t o f L a n dt h e c o r r e s p o n d i n g p o i n t L o ( # o ) o n t h e p l o t o f L 0 i sl es s t h a n t h e d i s t a n c e ] L o ( j w ) + 11 b e t w e e n t h e p o i n tL o ( j w ) a n d t h e p o i n t - 1 , t h a t i s , i f

I L ( j t o ) - Lo(jo)] < [Lo( j to ) + 11 for a ll w c ~ . (8)T h i s i s e qu iva le n t to

IL( jo ) ) - Lo ( jw) l ILo(j~o) < 1, fo r all ~o ~ ~.I L , , ( # o ) l I L 0 ( #o ) + 11(9 )

D e f i n e t h e c o m p l e m e n t a r y s e n s i ti v i ty f u n c t i o n To o ft h e n o m i n a l c l o s e d - l o o p s y s t e m a s1 L oT o = I - S , , = I l + L o I + L , , (1 0 )

I m

FIG. 4. Stability unde r per turbation.

R e

w i t h So t h e n o m i n a l s e n s i t iv i t y f u n c t i o n . T h e n i tf o l lo w s f r o m ( 9 ) tha t i f] L ( j t o ) - L o ( j O ) ) l . ITo(jo))l < 1, fo r all to e R , (11)ILo( jo ) ) l

t h e p e r t u r b e d c l o s e d - l o o p s y s t e m i s s t a b l e .T h e f a c t o r I L ( j o ) ) - L o ( j t o ) l / I L o ( j t o ) l i n th i s e x -p r e s s io n i s the re la t i ve s i ze o f t h e p e r t u r b a t i o n o f t h el o o p g a in L f r o m i t s n o m i n a l v a l u e L o . S u p p o s e t h a tt h is r e l a ti v e p e r t u r b a t i o n a s a f u n c t i o n o f f r e q u e n c y i sk n o w n t o b e b o u n d e d b y

IL( jo ) ) - Lo( jco) l --" I W ( #o ) h f o r a ll t o ~ R , ( 1 2 )I L o ( j w ) lw i th W a g i v en f r e q u e n c y d e p e n d e n t f u n c ti o n . T h e nIL( jo) ) - L0( jo) l ITo( ja0 l

I t ( P o ) l= I t ( # o ) - t o ( j o ) ) l / I Z o ( j o ~ ) l . I W ( j o ) ) T o ( j o ) ) lIW(j~o)l< I W ( j c o ) T o ( j c , )l . (13)H e n c e , i f

t W ( p o ) T o ( j o ) ) l < 1, fo r all ~o ~ R , (14)by ( 1 1 ) the c lo s e d - lo o p s ys te m i s s t a b le f o r a l lp e r t u r b a t i o n s b o u n d e d b y ( 1 2 ). I n d e e d , i t m a y b es ho w n tha t the co n d i t io n ( 1 4) i s n o t o n ly s u f f i c i e n t bu ta l s o n e c e s s a r y f o r t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m t o b e s t a b l ef o r a l l p e r t u r b a t i o n s b o u n d e d b y ( 1 2 ) .W e o b t a i n e d t h e c o n d i t i o n ( 1 4 ) u n d e r t h ea s s u m p t i o n t h a t t h e o p e n - l o o p s y s t e m i s s t a b le . I t m a yb e p r o v e d t h a t i t a l s o h o l d s f o r o p e n - l o o p u n s t a b l es y s t e m s , a s l o n g a s t h e n o m i n a l a n d t h e p e r t u r b e do p e n - l o o p s y s te m h a v e t h e s a m e n u m b e r o f ri g h t -h a l fp l a n e p o l e s . T h e r e s u l t m a y a l s o b e e x t e n d e d t omul t iva r i a b le s ys te ms ( D o y le , 1 9 7 9 ) .U s i n g t h e n o r m n o t a t i o n i n t r o d u c e d i n ( 3 ) t h ec o n d i t i o n ( 1 4 ) f o r r o b u s t s t a b i l i t y m a y b e r e w r i t t e n a s

IIWToll~ < 1. (15 )T h i s e x pl i c it l y d e m o n s t r a t e s t h e r e l e v a n c e o f t h ea - n o r m , t h a t i s , t h e p e a k v a l u e , f o r r o b u s t n e s sc h a r a c t e r i z a t i o n . T h e p e a k v a l u e c r i t e r i o n a r i s e s f r o mt h e N y q u i s t s t a b i l i t y c r i t e r i o n , w h i c h f o r b i d s t h eN y q u i s t p l o t o f t h e l o o p g a i n t o c r o s s th e p o i n t - 1 .F o r s t a b i l i t y r o b u s t n e s s t h e f e e d b a c k s y s t e m n e e dbe d e s ig n e d s uch tha t I IW T o l l~ i s le s s tha n o n e . I t i st e m p t i n g t o c o n s i d e r t h e p r o b l e m o f m i n i m i z in g t h en o r m I IW T ,, Ik w i t h r e s p e c t t o a l l c o m p e n s a t o r s t h a ts t ab i li z e t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m a s a w a y o f o p t i m i z i n gr o bus tn e s s . S ta b i l i ty s e ld o m i s the s o le d e s ig n t a r g e t ,t h o u g h , a n d r o b u s t n e s s o p t i m i z a t i o n m a y e a s i l y l e a dto us e les s r e s u l ts . I f the s ys te m i s o p e n - lo o p s t a b le , f o ri n s t a n c e , a n d a ll p e r t u r b a t i o n s t h a t m a y a r i se l e a v e i ts t a b le , I IW T o ll ~ m a y b e m a d e e q u a l t o z e r o , a n d ,he n ce , min im a l , by s imp ly l e t t in g C = 0 , s o tha t a l s oL 0 = 0 a n d To = 0 . T h i s o p t im ize s s t a b i l i ty r o b us tn e s s ,b u t d o e s n o t h i n g t o i m p r o v e c o n t r o l s y s t e mp e r f o r m a n c e , s u c h a s i t s s e n s i t i v i t y a n d r e s p o n s ep r o p e r t i e s . I n S e c t i o n 5 w e i n t r o d u c e a n a l t e r n a t i v es t a b i l i t y r o b u s t n e s s c r i t e r i o n t h a t a l l o w s c o n s i d e r a t i o no f t h e r e s p o n s e p r o p e r t i e s a s w el l.


4/19

2 5 8 H . K W A K E RN A A KI t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t a l t h o u g h i t l o o k s v e r yp l a u s i b l e t o c h a r a c t e r i z e t h e p l a n t p e r t u r b a t i o n s b yt h e b o u n d ( 1 2 ) , t h e b o u n d m a y i n f a c t a l l o w f a r m o r ep e r t u r b a t i o n s t h a n m a y a c t u a l l y o c c u r . B y w a y o fe x a m p l e , s u p p o s e t h a t t h e p e r t u r b a t i o n s a r e c a u s e d b y

v a r i a t i o n o f a s i ng l e p a r a m e t e r . T h e n i f t h e s ev a r i a t i o n s h a v e a n i m p o r t a n t e f f e c t o n t h e l o o p g a i n i tm a y b e n e c e s s a r y t o c h o o s e W q u i t e l a r g e t o s a t i s f yt h e b o u n d . T h i s l a r g e b o u n d a l s o a l l o w s m a n y o t h e rp e r t u r b a t i o n s , h o w e v e r , i n c l u d i n g s u c h t h a t c h a n g et h e o r d e r o f t h e p l a n t . B e c a u s e o f t h is t h e r o b u s t n e s ss t a b i l i ty t e s t ( 1 4) ma y e a s i ly f a i l e ve n i f the a c tua lp a r a m e t e r p e r t u r b a t i o n s d o n o t d e s t a b i l i z e t h ef e e d b a c k s y s t e m .T h i s p h e n o m e n o n , u s u a l l y r e f e r r e d t o a s c o n s e r v a -t ive n e s s , s e r io us ly ha n d ica p s the a p p l i ca b i l i ty o f ther o bus tn e s s s t a b i l i ty a n a lys i s d e s c r ibe d in th i s s e c t io n .T h e m o d e l i s m a i n l y s u i t e d t o d e a l w i t h h i g h -f r e q u e n c y u n c e r t a i n t y c a u s e d b y p a r a s i t i c e f f e c t s a n du n m o d e l l e d d y n a m i c s t h a t c a u s e t h e e n v e l o p e d e f i n e dby ( 1 2 ) to be d e n s e ly f i l l e d .

4 . A G E N E R A L P E R T U R B A T I O N M O D E LI n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n w e c o n s i d e r e d p e r t u r b a -t i o n s o f t h e f o r m L o - - * L , w h e r e [ L ( f l o ) - L o ( f l o ) [ /ILo( jco) l-< IW(jo~) l fo r a l l o~ ~ R. Eq uiv a len t ly , wem a y w r i te

Lo---~Lo(1 + 6 L W ) , (16)w h e r e 6 L i s a n y f r e q u e n c y d e p e n d e n t f u n c t i o n s u c htha t 1 6 L ( p o ) l - 1 f o r a ll ~o e , tha t i s , s uch tha t

116LII~ < 1. (1 7)T h i s p e r t u r b a t i o n m a y b e r e p r e s e n t e d a s i n t h e b l o c kd i a g r a m o f F ig . 5 . B e c a u s e a t t h is p o i n t w e a r e o n l yi n t e r e s t e d i n s t a b i l i t y t h e d i s t u r b a n c e h a s b e e no m i t t e d . T h e f u n c t i o n s W a n d 6 L a r e r e p r e s e n t e d a sf r e q u e n c y r e s p o n s e f u n c t i o n s o f s t a b l e s y s t e m s .F ig ur e 5 i s a s p e c ia l ca s e o f the co n f ig ur a t io n o f F ig .6 , w h e r e H r e p r e s e n t s t h e d a s h e d b l o c k i n F i g . 5 . I nt h e b l o c k d i a g r a m o f F ig . 6 th e p e r t u r b a t i o n 6 isi s o l a te d f r o m t h e r e s t o f t h e s y s t e m H .

B y t h e s m a l l g a i n t h e o r e m ( s e e f o r i n s t a n c e D e s o e ra n d V i d y a s a g a r , 1 9 7 5 ) a s u ff ic i e nt c o n d i t i o n f o r t h ec l o s e d - l o o p s y s t e m o f F i g . k t o b e s t a b l e i s t h a t t h en o r m I ln O l l o f t h e l o o p m a p 1-1"6 be l e s s tha n 1 . B y

HFIG. 5. Feeback loop w ith perturbation.

FIG. 6. General per turbation model.the ineq ua l i t y I IHr l l ~ I IHll" 11611 this is guar an tee d i fI I H I l " 1 1 6 1 1 < 1 . T a k in g in p a r t i cu la r the o o - n o r m i tf o l l o w s t h a t t h e p e r t u r b e d s y s t e m i s s t a b l e f o r a l lp e r tu r ba t io n s 6 w ho s e o o - no r m is , a t m o s t 1 i f

I tn l l= < 1 . (18)T h e p e r t u r b a t i o n m o d e l o f F i g . 6 w i th t h ec o r r e s p o n d i n g c o n d i t i o n ( 1 8 ) f o r s ta b i l it y w i t h r e s p e c tto a l l p e r tu r ba t io n s s uch tha t I lO l l= - < l i s s imp le ye tve r y g e n e r a l . T he co n d i t io n ( 1 8 ) i s n o t o n ly s u f f i c i e n tbu t a l s o n e ce s s a r y .T o i l lu s t r a t e i t s a p p l i ca t io n w e s p e c ia l i ze the r e s u l tto the co n f ig ur a t io n o f F ig . 5 . H i s the t r a n s f e rf u n c t i o n f r o m p t o q a f t e r o p e n i n g t h e l o o p b yr e m o v i n g t h e b l o c k " 6 " . I n s p e c t i o n o f F i g . 5 s h o w st h a t = / ~ - L o L s o t h a t

1= ~ / ~ . ( 19 )B y f u r t h e r i n s p e c t i o n w e h a v e

L07t = - W L o 2 = - W 1 + L o ~ = - W T o : , (20)s o t h a t t h e t r a n s f e r f u n c t i o n H i s g i v e n b y

H e n c e , b yg u a r a n t e e d i fH = -W T o . (21)

( 1 8 ) s t a b i l i t y u n d e r p e r t u r b a t i o n i s

IIWT,,II~< 1. (22)T h i s i s p r e c i s e ly the s t a b i l i ty r o bus tn e s s c r i t e r io n o fS e c t io n 3 .T h e g e n e r a l m o d e l o f F i g . 6 w i t h t h e n e c e s s a r y a n ds uf fi c i e n t co n d i t io n I IH I [= < 1 f o r r o bu s t s t a b i l i ty w i thr e s p e c t to a l l p e r tu r ba t io n s s uch tha t I 1 6 1 k- < 1 a p p l i e st o S I S O a s w e l l a s M I M O s y s t e m s . I t w a s c o n c e i v e db y D o y l e ( 19 8 4 ). T o u s e t h e c o n d i t i o n f o r M I M Os ys te ms w e n e e d d i s cus s ho w the o ~ - n o r m i s d e f in e d f o rs u c h s y s t e m s . C o n s i d e r a s t a b l e M I M O s y s t e m w i t hi n p u t u , o u t p u t y a n d t r a n s f e r m a t r i x F a s i n F i g . 7 .T h e o o - n o r m o f t h e s y s t e m i s t h e n o r m i n d u c e d b y t h elIO~ls

I l u l l 2 = ~ / f ~ u H ( t ) u ( t ) d t ,Ilyll2 ~- ~ / f ~ _ y " ( t ) y ( t ) d t , (23)

FIG. 7. MIM O system.


5/19

R o b u s t c o n t r ol a n d ~ - o p t i m i z a t i o n 2 5 9o f th e i n p u t a n d o u t p u t , r e s p e c t i v e l y . T h e s u p e r s c r i p tn d e n o t e s th e c o m p l e x c o n j u g a t e t r a n s p o s e . A g a i nu s i n g P a r s e v a l ' s t h e o r e m , i t m a y b e s h o w n t h a t t h en o r m o f th e s y s t e m i n d u c e d b y t h e s e s i g n a l n o r m s i s

I IFI I~ = s up IIF(jw)ll2, ( 2 4 )t o c z Rw h e r e f o r a c o n s t a n t c o m p l e x - v a l u e d m a t r i x A t h en o t a t i o n I IA ll 2 i n d i c a t e s t h e s p e c t r a l n o r m

IIAII2= m a x o i ( A ) , (2 5 )i

w i t h a i t h e i t h s i n g u l a r v a l u e r . I t f o l l o w s f r o m( 2 4 ) - ( 2 5 ) t h a t t h e 0 o - n o rm I I F Il ~ o f t h e s t a b l e s y s t e mw i t h t r a n s f e r m a t r i x F i s f o u n d b y f ir s t c o m p u t i n g f o re a c h f r e q u e n c y t h e l a r g e s t s in g u l a r v a l u e o f t h ef r e q u e n c y r e s p o n s e m a t r i x F ( j t o ) , a n d t h e n t a k i n g t h em a x i m u m o f a l l t h e s e l a r g e s t s i n g u l a r v a l u e s o v e rf r e q u e n c y .

I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n w e d i s c u s s a f u r t h e ra p p l i c a t i o n o f t h e b a s i c s t a b i li t y ro b u s t n e s s r e s u l t.5 . N U M E R A T O R - D E N O M I N A T O RP E R T U R B A T I O N SI n t h i s s e c t i o n w e d i s c u s s t h e a p p l i c a t i o n o f t h e

g e n e r a l s t a b i l i ty r o b u s t n e s s r e s u l t t o w h a t w e c a l ln u m e r a t o r - d e n o m i n a t o r p e r t u r b a ti o n s , o r c o p r i m ef a c t o r u n c e r t a i n t y , a s t h e y a r e a l s o k n o w n . T h e m o d e lm a y b e t r a c e d to V i d y a s a g a r (V i d y a s a g a r e t a l . , 1 9 8 2 ;V i d y a s a g a r , 1 98 5 ) a n d K w a k e r n a a k ( 1 9 8 3 , 1 9 86 ) . I tr e l ie s o n t h e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p l a n t t r a n s f e rf u n c t io n P i n t h e b l o c k d i a g r a m o f F i g . 1 in f r a c t i o n a lf o r m a s

NP D (2 6 )I n p a r t i c u l a r , i f P i s r a t i o n a l , N o b v i o u s l y c a n b e t a k e na s t h e n u m e r a t o r p o l y n o m i a l a n d D a s t h ed e n o m i n a t o r p o l y n o m i a l . I t is n o t n e c e s s a r y t o d ot h i s , h o w e v e r , a n d i n d e e d i t s o m e t i m e s i s u s e f u l t oa r r a n g e N a n d D d i ff e re n t ly . T h e n u m e r a t o r -d e n o m i n a t o r p e r t u r b a t i o n m o d e l r e p r e s e n t s p e r t u r b a -t i o n s i n t h e f o r m

P o = - ~ ~ P = N o + M 6 N W 2 (2 7 )D o + M 6 o W t 'w h e r e t h e s u b s c r ip t s o n N a n d D d e n o t e t h e n o m i n a ls y s t e m . T h e t e r m s M 6 o V ~ a n d M 6 N W 2 m o d e l t h eu n c e r t ai n t y i n th e d e n o m i n a t o r a n d t h e n u m e r a t o r ,r e s p e c t iv e l y . T h e f r e q u e n c y d e p e n d e n t f u n c t i o n s M W ,a n d M W 2 r e p r e s e n t t h e l a r g e s t p o s s i b l e p e r t u r b a t i o n so f th e d e n o m i n a t o r a n d n u m e r a t o r , r e s p e c ti v e ly , a n d6 0 a n d 6 N a r e f r e q u e n c y d e p e n d e n t f u n c t i o n s o fm a g n i t u d e n o t g r e a t e r t h a n o n e . T h e f a c t o r M isi n c l u d e d f o r a d d e d f l e x i b il i ty . I t s u s e ( f o r p a r t i a l p o l ep l a c e m e n t ) b e c o m e s c l e a r i n S e c t i o n 6 .

f I f A i s an n x m mat r ix , the s ingu la r va lues of A a re them i n (n , m ) l a r g es t o f t he m n o n n e g a t i v e n u m b e r s g / ( ~ ) ,i = 1 , 2 , . . . , m . H e r e ) .i d e n o t e s t h e i t h e i g e n v a lu e . T h esingular values are also the min (n, m ) largest of the nnumbers ~ / ~ i ( A A H ) , i = 1 , 2 . . . . n .

~ L

F 1G . 8 . N u m e r a t o r - d e n o m i n a t o r p e r t u r b a t io n m o d e l .

I t is n o t d i f f i c u lt t o c h e c k t h a t t h e p e r t u r b a t i o n ( 2 7 )m a y b e r e p r e s e n t e d a s i n t h e b l o c k d i a g r a m o f F i g . 8.N o t e t h a t t h e p e r t u r b a t i o n 6 o a p p e a r s i n a f e e d b a c kl o o p . I n c l u d i n g t h e p l a n t i n t h e c o n t r o l s y s t e mc o n f i g u r a ti o n o f F ig . 1 t h e b l o c k d i a g r a m m a y b ea r r a n g e d a s i n F i g . 9 , w h e r e t h e b l o c k " 6 e " isd e s c r i b e d b y

P = - 6 , , 0 , + 6 , , 0 2 = [ ~ - 6 , , 6 ~ ] 0 2 "#

T h e d a s h e d l i n e s i n F i g . 9 i n d i c a t e h o w t h e s i t u a t i o nm a y b e r e d u c e d t o t h e p e r t u r b a t i o n m o d e l o f F i g . 6 .F o r t h e a p p l i c a t i o n o f c o n d i t i o n ( 1 8 ) f o r r o b u s ts t a b il i ty w e n e e d t o a s s u m e t h a t t h e c l o s e d - l o o ps y s te m i s s t a b l e , a n d t h a t m o r e o v e r M , W ~, a n d W 2h a v e a l l t he i r p o l e s i n t h e o p e n l e f t -h a l f p l a n e .T h e b l o c k m a r k e d " H " h a s i n p u t p a n d o u t p u tq = c o l ( q t , q 2 ). T o f i n d t h e t r a n s f e r m a t r i x H , w e f i r s ti n s p e c t F i g . 9 t o e s t a b l i s h t h e s i g n a l b a l a n c e e q u a t i o n

= D o ' ( M f f - N o C ~ ) . I t f o l l o w s t h a tD o l M V ( 2 9 )1 + D o t N o C v 1 + P o C 1 ''

w h e r e w e d e f i n e V = D o ' M . B y f u r t h e r i n s p e c t i o n w es e e t h a tW I p V c f f = W l So V p ,~ , = W I ~ = 1 +

(3 0 )w 2 c v ^~ = - w 2 c e = - 1 + e o C p = - W 2 U o V p ,

qz [ - - 7 - ] q t

Ii

HF IG . 9 . N u m e r a t o r - d e n o m i n a t o r p e r t u r b a t io n m o d e l i nf e e d b a ck l o o p .


6/19


7/19

R o b u s t c o n t r o l a n d ~ - o p t i m i z a t i o n 2 6 1t h i s w a y e n s u r e s d i s t u r b a n c e a t t e n t u a t i o n o v e r t h ew i d e s t p o s s i b l e f r e q u e n c y r a n g e g i v e n t h e p l a n tc a p a c i t y ( t h a t i s, g i v e n t h e l a r g e s t i n p u t s t h e p l a n t c a na b s o r b ) .T h i s m e a n s t h a t l o w - f r e q u e n c y p e r t u r b a t i o n s a r eb e s t m o d e l e d a s d e n o m i n a t o r p e r t u r b a t i o n s . T h e m o s ti m p o r t a n t l o w - f r e q u e n c y p e rt u r b a t i o n s a r e n o r m a l l yc a u s e d b y p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y , o f t e n r e f e r r e d t o a ss t r u c t u r e d u n c e r t a i n t y . O n t h e o t h e r h a n d , h i g h -f r e q u e n c y p e r t u r b a t i o n s a r e b e s t m o d e l e d a s n u m e r a -t o r p e rt u r b a t io n s , b e c a u s e ( c o m p l e m e n t a r i l y - - s e e F i g .1 0 ) th e c o m p l e m e n t a r y s e n s it i v it y f u n c t i o n To i s sm a l la t h i g h f r e q u e n c i e s . H i g h - f r e q u e n c y p e r t u r b a t i o n s a r eu s u a l l y c a u s e d b y p a r a s i t i c e f f e c t s a n d u n m o d e l e dd y n a m i c s , o f t e n k n o w n a s u n s t r u c t u r e d u n c e r t a i n t y .

T h e e x a m p l e s i n S e c t i o n s 7 a n d 8 i l l u s t r a t e t h ea p p l i c a t io n o f t h e s e i d e a s .6 . T H E M I X E D S E N S I T I V I T Y P R O B L E MI n S e c t i o n 5 i t w a s f o u n d t h a t s t a b i l i t y r o b u s t n e s sw i t h r e s p e c t t o n u m e r a t o r - d e n o m i n a t o r p e r t u r b a t i o n s

s u c h t h a t16~,(jo~)12 + I~ (jo 9) 12 --- 1, o g e R , (41)

i s g u a r a n t e e d i f IIHIl

( K w a ke r n a a k , 1 9 8 3, 1 9 8 5 ) i s a ve r s io n o f w h a t i sk n o w n a s t h e m i x e d s e n s i t i v i t y p r o b l e m ( V e r m a a n dJ o n c k h e e r e , 1 9 8 4 ) . T h e n a m e d e r i v e s f r o m t h e f a c tt h a t t h e o p t i m i z a t i o n i n v o l v e s b o t h t h e s e n s i t i v i t y a n dt h e i n p u t s e n s i t i v i t y f u n c t i o n ( o r , i n o t h e r v e r s i o n s ,t h e c o m p l e m e n t a r y s e n s i t i v i t y f u n c t i o n ) .I n w h a t f o l l o w s w e e x p l a i n t h a t t h e m i x e d s e n s i ti v i typ r o b l e m c a n n o t o n l y b e u s e d t o v e r i f y s t a b i l i t yr o b u s t n e s s f o r a c l as s o f p e r t u r b a t i o n s , b u t a l s o t oa c h i e v e a n u m b e r o f i m p o r t a n t d e s i g n t a r g e t s fo r t h eo n e - d e g r e e - o f - f r e e d o m f e e d b a c k c o n f i g u r a t i o n o fFig . 1 .F r e q u e n c y r e s p o n s e s h a p i n gT h e m i x e d s e n s i t i v i t y p r o b l e m m a y b e u s e d f o rp e r f o r m a n c e d e s i g n b y s h a p i n g t h e s e n s i t i v i t y a n din p u t s e n s i t iv i ty f un c t io n s . T he r e a s o n i s tha t the

s o l u t io n o f th e m i x e d s e n s i ti v i ty p r o b l e m h a s t h ep r o p e r t y t h a t t h e f r e q u e n c y d e p e n d e n t f u n c t io nI W l ( j O ) ) S ( j c o ) V ( # o ) l 2 + I W 2 ( j ~ o ) U ( j o ) ) V ( j o ) ) l 2 , ( 4 4 )

w h o s e p e a k v a l u e i s m i n i m i z e d , a c t u a l l y i s a c o n s t a n t( K w a k e r n a a k , 1 9 85 ). T h i s is k n o w n a s t h e e q u a l i z i n gp r o p e r t y . I f w e d e n o t e t h e c o n s t a n t a s ~ ?, w i t h ).n o n n e g a t i v e , i t i m m e d i a t e l y f o l l o w s f r o m

i W t ( j o 2 ) S ( j o g ) V ( j o g ) ] 2 + i W 2 ( j o g ) U ( j o g ) V ( j og )1 2 = ) .2 ,( 45 )

t h a t f o r t h e o p t i m a l s o l u t i o ni W ~ ( j o g ) S ( j o g ) V (j o g ) l , < ). 2, t o ~ R ,

I W 2 ( j o ) ) U ( j o ) ) V ( j o g ) l 2 < - X 2 , o 9 ~ R . ( 46 )H e n c e ,

IS(jo))l - lw,(jog)V(jog)l , to ~ 0~, (47)).IU( jog) t < , to ~ R. (48)IW 2 ( j o ) ) V ( j o g )l

B y c h o o s i n g t h e f u n c t i o n s , W ~ , W 2 , a n d V s u i t a b l y Sa n d U m a y b e m a d e s m a l l i n a p p r o p r i a t e f r e q u e n c yr e g io n s .I f t h e w e i g h t i n g f u n c t i o n s a r e a p p r o p r i a t e l y c h o s e n( in p a r t i cu la r , w i th W~ V la r g e a t lo w f r e qu e n c ie s a n dW 2 V l a r g e a t h i g h f r e q u e n c i e s ) o f t e n t h e s o l u t i o n o ft h e m i x e d s e n s i t i v i t y p r o b l e m h a s t h e p r o p e r t y t h a tt h e f ir s t t e r m o f t h e c r i t e r io n d o m i n a t e s a t l o wf r e q u e n c i e s a n d t h e s e c o n d a t h i g h f r e q u e n c i e s :d W ~ ( j o g ) S ( j o g ) V ( j o g ) l~

d o m i n a t e s a t l o w f r e q u e n c i e s+ ~ W z ( j o g ) U ( j o g ) V ( j o g ) ] ~ = A 2

~rd o m i n a t e s a t h i g h f r e q u e n c i e s .(49)

A s a r e s u l t ,ZIS(jog)l I W , ( j o g ) V ( j o g ) l ' f o r to s ma l l , ( 5 0 )).IU(jog)[ I W 2 ( j o g ) v ( j o g ) l ' for o9 large . (51)

T h i s a l l o w s q u i t e e f f e c t i v e c o n t r o l o v e r t h e s h a p e o fthe s e n s i t iv i ty a n d in p u t s e n s i t iv i ty f un c t io n s , a n d ,h e n c e , o v e r t h e p e r f o r m a n c e o f th e f e e d b a c k s y s te m .T y p e k c o n t ro l a n d h i g h - f r e q u e n c y r o l l - o ffI n ( 5 0 ) - ( 5 1 ) , e q u a l i t y m a y o f t e n b e a c h i e v e da s y m p t o t i c a l l y . S u p p o s e t h a t [ W l ( j t o ) V ( j o g ) l b e h a v e sas 1 /o9 ~ as o9- -*0 . This is the case i f W ~ ( s ) V ( s )i n c lu d e s a f a c t o r s k i n t h e d e n o m i n a t o r . T h e n ] S ( j o g ) rb e h a v e s a s o gk a s t o - * 0 , w h i c h i m p l i e s a t y p e kc o n t r o l s y s t e m , w i t h e x c e l l e n t l o w - f r e q u e n c y d i s t u r -ba n ce a t t e n ua t io n i f k - 1 . I f k = 1 , the s ys te m ha s a ni n t e g r a t in g a c t i o n .L i k e w i s e , s u p p o s e t h a t t W 2 ( j o g ) V ( j o g ) I b e h a v e s a sto " a s w - - *~ . T h i s i s the ca s e i f W 2 V i s n o n p r o p e r ,t h a t i s, i f t h e d e g r e e o f t h e n u m e r a t o r e x c e e d s t h a t o ft h e d e n o m i n a t o r ( b y m ) . T h e n IU(jog)l b e h a v e s a sto " as o9--->~ . F r o m U = - C / ( 1 + P C ) i t f o l lo w s tha t


8/19

2 6 2 H . K W A K E RN A A KC = - U / ( 1 + U P ). H e n c e , i f P i s s t r i c t l y p r o p e r a n dm - > 0 , a l s o C b e ha v e s a s to - m, a n d T = P C ~ ( 1 + P C )be ha ve s a s to -( ,, +e) , w i th e the p o le e xce s s o f P . T h i sm e a n s t h a t b y c h o o s i n g m w e p r e - a s si g n t h eh i g h - f r e q u e n c y r o l l- o f f o f t h e c o m p e n s a t o r t r a n s f e rf u n c ti o n , a n d t h a t o f t h e c o m p l e m e n t a r y a n d i n p u ts e n s i t iv i ty f un c t io n s . T h i s i s imp o r ta n t f o r r o bus tn e s sa g a i n s t h i g h - f r e q u e n c y u n s t r u c t u r e d p l a n t p e r t u r b a -t ions .P a r t i a l p o l e p l a c e m e n tT h e r e i s a fu r t h e r i m p o r t a n t p r o p e r t y o f th es o l u t i o n o f t h e m i x e d s e n si t iv i t y p r o b l e m t h a t n e e d s t ob e d i s c u s s e d b e f o r e c o n s i d e r i n g a n e x a m p l e . T h i sc o n c e r n s a p o l e c a n c e l l a t i o n p h e n o m e n o n t h a t i ss o m e t i m e s m i s u n d e r s t o o d . F i r s t n o t e t h a t t h ee q u a l i z i n g p r o p e r t y i m p l i e s t h a t~(s)W,(-s)S(s)S(-s)V(s)V(-s)+ W 2 ( s ) W 2 ( - s ) U ( s ) U ( - s ) V ( s )V ( - s ) = ) 2 , ( 5 2 )f o r a l l s i n t h e c o m p l e x p l a n e . N e x t w e w r i t e t h et r a n s f e r f u n c t i o n P a n d t h e w e i g h t i n g f u n c t i o n s W ~ ,W E , a n d V in r a t io n a l f o r m a s

P = N A~ W - ' 4 2 V M (5 3)O' W,=-~ , 2-B2 , - - ~ ,w i t h a l l n u m e r a t o r s a n d d e n o m i n a t o r s p o l y n o m i a l s .N o t e t h a t a t t h i s p o i n t w e d o n o t n e c e s s a r i l y t a k e t h ed e n o m i n a t o r o f V e q u a l t o D a s b e f o r e . T h e n i f t h ec o m p e n s a t o r t r a n s f e r f u n c t i o n i s r e p r e s e n t e d i nr a t i o n a l f o r m a s C = Y / X i t e a s i ly f o l lo w s tha t

D X D YS = D X + N Y ' U = D X + N------~" ( 5 4)

T h e d e n o m i n a t o rD e, = D X + N Y , (55)

i s t h e c l o s e d - l o o p c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l o f t h ef e e d b a c k s y s t e m . S u b s t i t u ti n g S a n d U w e e a s il yo b t a i n f r o m ( 5 2 ) t h a tD - O . M - M . ( A ? A ~ B ~ B 2 X - X + A 2 A 2 B (B ~ Y - Y )

E - E . B -~ B1 B 2 B 2 " D ~ D cI= Z2, (56)

w h e r e i f A i s a n y r a ti o n a l o r p o l y n o m i a l f u n c t i o n , A -i s d e f in e d by A - ( s ) = A ( - s ) .S in ce the r ig h t - ha n d s id e o f ( 5 6 ) i s a co n s ta n t , a l lf a c t o r s i n t h e n u m e r a t o r o f t h e r a t io n a l f u n c t i o n o nt h e l e f t c a n c e l a g a i n s t c o r r e s p o n d i n g f a c t o r s i n t h ed e n o m i n a t o r . I n p a r t i cu l a r , t h e f a c t o r D - D ca n ce l s . I ft h e r e ar e n o c an c e ll a ti o n s b e tw e e n D - D a n dE - E B - ~ B ~ B 2 B 2 , t h e c l o s e d - l o o p c h a r a c t e r i s t i c p o l y -n o m ia l D ~ ( w hich b y s t a b i l i ty ha s l e f t - h a l f p l a n e r o o t so n l y ) n e c e s s a r i l y h a s a m o n g i t s r o o t s t h e r o o t s o f D ,w h e r e a n y r o o t s o f D i n t h e r i g h t - h a l f p l a n e a r em i r r o r e d i n t o t h e l e f t - h a l f p la n e .T h i s m e a n s t h a t t h e o p e n - l o o p p o l e s ( t h e r o o t s o fD ) , p o s s ib l y a f t e r h a v i n g b e e n m i r r o r e d i n t o t h el e f t- h a l f p l a n e , r e a p p e a r a s c l o s e d - l o o p p o l e s . T h i sp h e n o m e n o n , w h i c h i s n o t p r o p i t i o u s f o r a g o o dd e s i g n , m a y b e a v o i d e d , a n d i n d e e d , t u r n e d i n t o a n

a d v a n t a ge , b y c h o o s i n g t h e d e n o m i n a t o r p o l y n o m i a lE o f V e q ua l t o t h e p l a n t d e n o m i n a t o r p o l y n o m i a l D ,s o t h a tMV = ~ . ( 57 )

W i t h t h i s s p e c ia l c h o i c e o f t h e d e n o m i n a t o r o f V , t h ep o l y n o m i a l E c a n c e l s a g a i n s t D i n ( 5 6 ) , s o t h a t t h eo p e n - l o o p p o l e s d o n o t r e a p p e a r a s c l o s e d - l o o p p o l e s .F u r t h e r i n s p e c t io n o f (5 6 ) s h o w s t h a t i f t h e r e a r e n oc a n c e l la t i o n s b e t w e e n M - M a n d E - E B ~ B 1 B E B 2 , a n dw e a s s u m e w i t h o u t l o ss o f g e n e r a l i t y t h a t M h a sl e f t- h a l f p l a n e r o o t s o n l y , t h e p o l y n o m i a l M c a n c e l sa g a i n st a c o r r e s p o n d i n g f a c t o r i n D c ~. I f w e t a k e Vp r o p e r ( w h i c h e n s u r e s V ( j t o ) t o be f in i t e a t h ig hf r e q u e n c i e s ) t h e p o l y n o m i a l M h a s t h e s a m e d e g r e e a sD , a n d , h e n c e , t h e s a m e n u m b e r o f r o o t s a s D . T h i sm e a n s t h a t c h o o s i n g M i s e q u i v a l e n t t o r e a s s i g n i n g t h eo p e n - l o o p p o l e s ( t h e r o o t s o f D ) t o t h e l o c a t i o n s o ft h e r o o t s o f M . B y s u i t a b l y c h o o s i n g t h e r e m a i n i n gw e ig h t in g f u n c t io n s V~ a n d W 2 the s e r o o t s m a y o f t e nb e a r r a n g e d t o b e t h e d o m i n a n t p o l e s .T h i s t e c h n i q u e , k n o w n a s p a r t i a l p o l e p l a c e m e n t( K w a k e r n a a k , 1 9 8 6 ; P o s t l e t h w a i t e et a l . , 1 9 9 0 ) , a l lo w sf u r the r co n t r o l o ve r the d e s ig n . I t i s ve r y us e f u l ind e s i g n i n g f o r a g i v e n b a n d w i d t h a n d g o o d t i m er e s p o n s e p r o p e r t i e s .I n the d e s ig n e xa mp le s in S e c t io n s 7 a n d 8 i t i si l lu s t ra t e d h o w t h e i d e a s o f p a r ti a l p o l e p l a c e m e n t a n df r e q u e n c y s h ap i n g a r e c o m b i n e d .A f u l le r a c c o u n t o f p o l e - z e r o c a n c e ll a ti o n p h e n o m -e n a i n ~ - o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s i s g i v e n b y S e f t o na n d G l o v e r ( 1 9 9 0 ) .D e s i g n f o r r o b u s t n e s s

A s w e h a v e s e e n , t h e m i x e d s e n s i t i v i t y p r o b l e m i s ap r o m i s i n g t o o l f o r f r e q u e n c y r e s p o n s e s h a p i n g . B ya p p r o p r ia t e cho ice s o f the f un c t io n s V , W 1 , a n d W 2 ,t h e s e n s i t i v i t y f u n c t i o n m a y b e m a d e s m a l l a t l o wf r e q u e n c i e s a n d t h e i n p u t s e n s i t i v i t y f u n c t i o n ( o re q u i v a l e n t l y , t h e c o m p l e m e n t a r y s e n s i t i v i t y f u n c t i o n )s m a l l a t h i g h f r e q u e n c i e s . T h e s e a r e n e c e s s a r yr e q u i r e m e n t s f o r t h e s y s t e m t o p e r f o r m a d e q u a t e l y ,tha t i s , t o a t t e n u a te d i s tu r ba n ce s s u f f i c i e n t ly g ive n thep l a n t c a p a c it y a n d p r e s e n c e o f m e a s u r e m e n t n o i s e .O n t h e o t h e r h a n d , a s s e e n a t t h e e n d o f S e c t i o n 5 ,a s ma l l s e n s i t iv i ty f un c t io n S a t lo w f r e que n c ie sp r o v i d e s r o b u s t n e s s a g a i n s t l o w - f r e q u e n c y p e r t u r b a -t i o n s i n t h e p l a n t d e n o m i n a t o r w h i l e a s m a l lc o m p l e m e n t a r y s e n s i t i v i t y f u n c t i o n T a t h i g h f r e -q u e n c i e s p r o t e c t s a g a i n s t h i g h - f r e q u e n c y p e r t u r b a t i o n si n t h e p l a n t n u m e r a t o r . I n v e s t i g a t i o n o f t h el o w - f r e q u e n c y b e h a v i o r o f S a n d t h e h i g h - f r e q u e n c yb e h a v i o r o f T p e r m i t s t o e s t i m a t e t h e m a x i m a l s i z e o ft h e a ll o w a b l e p e r t u r b a t i o n s . C o n v e r s e l y , a n y i n f o r m a -t io n tha t i s a va i l a b le a bo u t the s i ze o f thep e r t u r b a t i o n s m a y b e u s e d t o s e l e c t t h e w e i g h t i n gf un c t io n s V , W~ a n d I 4: 2. T h e cho ice o f the s e f un c t io n sg e n e r a l l y i n v o l v e s c o n s i d e r a t i o n s a b o u t b o t h p e r f o r -m a n c e a n d r o b u s t n e s s . T h e s e d e s i g n t a r g e t s a r e n o tn e c e s sa r i ly i n c o m p a t i b l e o r c o m p e t i t i v e .I t i s c l e a r tha t the c r o s s o ve r r e g io n i s c r i t i c a l f o rr o b u s t n e s s . T h e c r o s s o v e r r e g i o n i s t h e f r e q u e n c y


9/19

R o b u s t c o n t r o l a n d 9 ~ - op t im i z at io n 2 6 3r e g i on w h e r e t h e m a g n i t u d e o f th e l o o p g a i nL = P C - - w h i c h g e n e r a l l y i s l a r g e f o r l o w f r e q u e n c i e sa n d s ma l l f o r h ig h f r e que n c ie s - - - - c r o s s e s o ve r f r o mv a l u e s g r e a t e r t h a n 1 t o v a l u e s l e ss t h a n 1 . In t h i sr e g i o n , n e i t h e r t h e s e n s i t i v i t y f u n c t i o n n o r t h ec o m p l e m e n t a r y s e n s i t i vi t y f u n c t i o n i s sm a l l .O n l y f o r m i n i m u m - p h a s e p l a n t s - - - t h a t i s , p l a n t sw h o s e p o l e s a n d z e r o s a r e a l l i n t h e l e f t - h a l fp l a n e - - - t h e s e n s i t i v i t y a n d c o m p l e m e n t a r y s e n s i t i v i t yf u n c t i o n s c a n b e m o l d e d m o r e o r l e s s a t w i l l . T h ep r e s e n c e o f r i g h t - h a l f p l a n e z e r o s o r p o l e s i m p o s e si m p o r t a n t c o n s t r a i n t s . R i g h t - h a l f p l a n e z e r o s c o n s t r a i nt h e b a n d w i d t h b e l o w w h i c h e f f e c t i v e d i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o n i s p o s s i b l e , t h a t i s , f o r w h i c h S c a n b em a d e s m a l l . I n f a c t , t h e l a r g e s t a c h i e v a b l e b a n d w i d t hi s d e t e r m i n e d b y t h e r i g h t - h a l f p l a n e z e r o c l o s e s t t ot h e o r i g i n . R i g h t - h a l f p l a n e p o l e s l i m i t t h e b a n d w i d t ho f th e c o m p l e m e n t a r y s e n s i t i v it y f u n c t i o n T , t h a t i s ,t h e f r e q u e n c y a b o v e w h i c h T s t a r t s t o r o l l o f f . H e r e ,t h e s m a l l e st p o s s i b le b a n d w i d t h i s d e t e r m i n e d b y t h er i g h t - h a l f p l a n e p o l e f u r t h e s t f r o m t h e o r i g i n . I f t h ep l a n t h a s b o t h f i g h t - h a l f p l a n e p o l e s a n d f i g h t - h a l fp la n e ze r o s the d i f f i cu l t i e s a r e a g g r a va te d . E s p e c ia l lyi f t h e r i g h t - h a l f p l a n e p o l e s a n d z e r o s a r e c l o s ec o n s i d e r a b l e p e a k i n g o f t h e s e n s it i v it y a n d c o m -p l e m e n t a r y s e n s it i v it y f u n c t i o n s o c c u r s .T h e s e r e s u l t s a r e d i s c u s s e d a t l e n g t h b y E n g e l l( 1 9 8 8 ) f o r t h e S I S O c a s e a n d F r e u d e n b e r g a n d L o o z e( 1 9 8 8 ) f o r t h e s c a l a r a n d m u l t i v a r i a b l e c a s e s . T h er e s u lt s s h o w t h a t p l a n t s w i t h r i g h t - h a l f p l a n e p o l e s a n dz e r o s h a v e s e r i o u s r o b u s t n e s s h a n d i c a p s .

7 . E X A M P L E 1 : D O U B L E I N T E G R A T O RI n t h i s s e c ti o n w e i l l u s t r at e t h e a p p l i c a t i o n o f t h em i x e d s e n s i t i v i t y p r o b l e m t o a t e x t b o o k s t y l e d e s i g ne x a m p l e t h a t i s s i m p l e e n o u g h t o b e c o m p l e t e l yt r a n s p a r e n t . C o n s i d e r a S I S O p l a n t w i t h n o m i n a lt r a n s f e r f u n c t i o n1P o ( s ) s Z . (58)

T h e a c t u a l , p e r t u r b e d p l a n t h a s t h e t r a n s f e r f u n c t i o ne ( s ) = s2(1 g s O ) ' (59)

w h e r e g i s n o m i n a l l y o n e a n d t h e p a r a s i t i c t i m ec o n s t a n t 0 i s n o m i n a l l y 0 .W e s t a r t w i t h a p r e l i m i n a r y r o b u s t n e s s a n a l y s i s. T h ev a r i a t i o n s i n t h e p a r a s i t i c t i m e c o n s t a n t 0 m a i n l yc a u s e h i g h - f r e q u e n c y p e r t u r b a t i o n s , w h i l e t h e l o w -f r e q u e n c y p e r t u r b a t i o n s a r e p r i m a r i l y t h e e f f e c t o f t h ev a r i a t i o n s i n t h e g a i n g . A c c o r d i n g l y , w e m o d e l t h ee f fe c t o f t h e t i m e c o n s t a n t a s a n u m e r a t o rp e r t u r b a t i o n , a n d t h e g a i n v a r i a t i o n s a s d e n o m i n a t o rp e r t u r b a t i o n s , a n d w r it e1l + s OP( s)= 52 (6o)

gC o r r e s p o n d i n g l y , t h e r e l a t iv e p e r t u r b a t i o n s o f t h e

d e n o m i n a t o r a n d t h e n u m e r a t o r a r eO ( s ) - - D o ( s ) 1= - - 1 , ( 6 1)Do(s) g

N ( s ) - N o ( s ) = - s O (62)N o ( s ) 1 + s O "T h e r e l a t iv e p e r t u r b a t i o n ( 6 1 ) o f t h e d e n o m i n a t o r isc o n s t a n t o v e r a l l f r e q u e n c i e s , h e n c e a l s o i n t h ec r o s s o v e r r e g i o n . B e c a u s e t h e p l a n t is m i n i m u m -p h a s e , t r o u b l e - f r e e c r o s s o v e r m a y b e a c h i e v e d ( t h a ti s , w i t h o u t u n d u e p e a k i n g o f t h e s e n s i t i v i t y a n dc o m p l e m e n t a r y s e n s i t i v i t y f u n c t i o n s ) a n d , h e n c e , w ee x p e c t t h a t - - i n t h e a b s e n c e o f o t h e r p e r t u r b a t i o n s - - -va r i a t io n s in f l / g - 11 up to a lmo s t 1 w i ll be to le r a te d .T h e s i z e o f t h e r e l a t i v e p e r t u r b a t i o n ( 6 2 ) o f t h en u m e r a t o r i s l e ss th a n 1 f o r f r e q u e n c i e s b e l o w 1 / 0 ,a n d e q u a l t o 1 f o r h i g h fr e q u e n c i e s . T o p r e v e n td e s t a b il i z a ti o n i t is a d v is a b l e t o m a k e th e c o m p l e m e n -t a r y s e n s i t i v i t y s m a l l f o r f r e q u e n c i e s g r e a t e r t h a n 1 / 0 .A s t h e c o m p l e m e n t a r y s e n s i t i v i t y s t a r t s t o d e c r e a s e a tt h e c l o s e d - l o o p b a n d w i d t h , t h e l a r g e s t p o s s i b l e v a l u eo f 0 d i c t a t e s t h e b a n d w i d t h . A s s u m i n g t h a t p e r f o r -m a n c e r e q u i r e m e n t s s p e c i f y t h e s y s t e m t o h a v e ac l o s e d - l o o p b a n d w i d t h o f 1 , w e e x p e c t t h a t - - i n t h ea b s e n c e o f o t h e r p e r t u r b a t i o n s - - - v a l u e s o f t h e p a r a s i t i ct ime co n s ta n t 0 up to 1 w i ll n o t d e s ta b i l i ze the s ys te m .T h u s , b o t h f o r r o b u s t n e ss a n d p e r f o r m a n c e , w e a i ma t a c l o s e d - l o o p b a n d w i d t h o f 1 w i t h s m a l l s e n s i t i v i t ya t lo w f r e que n c ie s a n d a s u f f i c i e n t ly f a s t d e c r e a s e o ft h e c o m p l e m e n t a r y s e n s i t i v i t y a t h i g h f r e q u e n c i e s w i t ha s m o o t h t r a n s i t i o n i n t h e c r o s s o v e r r e g i o n . T oa cco mp l i s h th i s w i th a mixe d s e n s i t iv i ty d e s ig n , w es u c c e s s i v e l y c o n s i d e r t h e c h o i c e o f t h e f u n c t i o n sV = M / D ( t h a t i s, o f th e p o l y n o m i a l M ) , W t a n d W E.

T O o b t a i n a g o o d t i m e r e s p o n s e c o r r e s p o n d i n g t ot h e b a n d w i d t h 1 , w h i c h d o e s n o t s u f f e r f r o ms l u g g i s h n e s s o r e x c e s s i v e o v e r s h o o t , w e a s s i g n t w od o m i n a n t p o l e s t o t h e l o c a t i o n s V ~ ( - 1 + j ) . T h i s isa c h i e v e d b y c h o o s i n g t h e p o l y n o m i a l M a sM ( s ) = [s - V~ ( - 1 + j ) ] [ s - V~ ( - 1 - J ) l

= s 2 + s V ~ + 1 , ( 6 3 )s o tha t

s 2 + s V ~ + 1V ( s ) = s 2 ( 6 4 )W e c h o o s e t h e w e i g h t i n g f u n c t i o n W ~ e q u a l t o 1 . T h e ni f the f i r s t o f the tw o t e r ms o f the mixe d s e n s i t iv i tyc r i t e r i o n d o m i n a t e s a t l o w f r e q u e n c i e s w e h a v eISl--I;q/IVWd, o r

( j t o )Z ( # 0 ) 2 , (65)IS( j to ) l - - 141 + jw V ~ + 1a t l o w f r e q u e n c i e s . F i g u r e 1 1 s h o w s t h e B o d em a g n i t u d e p l o t o f t h e f a c t o r 1 / V , w hich imp l ie s a ve r yg o o d l o w - f r e q u e n c y b e h a v i o r o f t h e s e n s i t i v i t yf u n c t i o n . O w i n g t o t h e p r e s e n c e o f th e d o u b l eo p e n - l o o p p o l e a t t h e o r i g i n t h e f e e d b a c k s y s t e m i s o ft y p e 2 .N e x t c o n t e m p l a t e t h e h i g h - fr e q u e n c y b e h av i o r . F o rh i g h fr e q u e n c i e s V i s c o n s t a n t a n d e q u a l t o 1 .


10/19

2 6 4 H . K W A K E R N A A K

1 / t v l1 0

1

1 0. 0 1

. 0 0 1 -

I I I. 0 1 . 1 1 1 0 1 0 0

FIG. 1 l . Bode m agnitude p lo t o f 1IV.C o n s i d e r c h o o s i n g W 2 a s

W2(s) = c (1 + rs ) , (6 6 )w i t h c a n d r n o n n e g a t i v e c o n s t a n t s s u c h t h a t c 4= 0 .T h e n f o r h i g h f r e q u e n c i e s t h e m a g n i t u d e o f W 2a s y m p t o t i c a l l y b e h a v e s a s c i f r = 0 , a n d a s croo i fr : ~ 0 .

H e n c e , i f r = 0 , t h e h i g h - f r e q u e n c y r o l l - o f f o f t h ei n p u t s e n s it i v it y f u n c t io n U a n d t h e c o m p e n s a t o rt r a n s f e r f u n c t io n C i s 0 a n d t h a t o f t h e c o m p l e m e n t a r ys e n s it i vi t y T is 2 d e c a d e s / d e c a d e ( 40 d B / d e e a d e ) .

I f r 4 : 0 , U a n d C r o l l o ff a t 1 d e c a d e / d e c a d e( 20 d B / d e c a d e ) , a n d T r o il s o f f a t 3 d e c a d e s / d e c a d e( 60 d B / d e c a d e ) .W e f i rs t s tu d y t h e c a s e r = 0 , w h i c h r e s u l t s i n ap r o p e r b u t n o t s tr i c tl y p r o p e r c o m p e n s a t o r t r a n s f e rf u n c t i o n C , a n d a h i g h - f r e q u e n c y r o l l - o f f o f T o f 2d e c a d e s / d e c a d e . F i g u r e 1 2 s h o w s t h e s e n s i t i v i t yf u n c t io n S a n d t h e c o m p l e m e n t a r y s e n s i t i v it y f u n c t io nT f or c = l / 1 0 0 , c = l / 1 0 , c = l , a n d c = 1 0 .I n s p e c t i o n s h o w s t h a t a s c i n c r e a s e s , I T I d e c r e a s e s a n dI S I i n c r e a s e s , w h i c h c o n f o r m s t o e x p e c t a t i o n . T h e

s m a l l e r c i s , t h e c l o s e r t h e s h a p e o f I S I i s t o t h a t o fF i g . 1 1 .W e c h o o s e c = 1/ 1 0. T h i s m a k e s t h e s e n s i ti v i tys m a l l w i t h li t t l e p e a k i n g a t t h e c u t - o f f f r e q u e n c y . T h e

c o r r e s p o n d i n g o p t i m a l c o m p e n s a t o r h a s t h e t r a n s f e rf u n c t i o n

s + 0 .6 1 9 6 7C ( s ) = 1 .2 5 8 6 1 + 0 .1 5 5 6 3 s ' ( 6 7 )a n d r e s u l t s in t h e c l o s e d - l o o p p o l e s V ~ ( - 1 + j ) a n d- 5 . 0 1 1 4 . T h e t w o f o r m e r p o l e s d o m i n a t e t h e l a t te rp o l e , a s p l a n n e d . T h e m i n i m a l o o - n o r m i s I I H I I ~ - - - -1.2861.

R o b u s t n e s s a g a i n s t h i g h - f r e q u e n c y p e r t u r b a t i o n sm a y b e i m p r o v e d b y m a k i n g t h e c o m p l e m e n t a r ys e n s i t i v i ty f u n c t i o n T d e c r e a s e f a s t e r a t h i g hf r e q u e n c i e s . T h i s i s a c c o m p l i s h e d b y t a k i n g t h ec o n s t a n t r n o n z e r o . I n s p e c t i o n o f W 2 a s g i v e n b y (6 6 )s h o w s t h a t b y c h o o s i n g r = 1 t h e r e s u l t i n g e x t r ar o l l - o f f o f U , C , a n d T s e ts i n a t t h e f r e q u e n c y 1 . F o rr = 1 / 1 0 t h e b r e a k p o i n t i s s h i f t e d t o t h e f r e q u e n c y 1 0.F i g u r e 1 3 s h o w s t h e r e s u l t i n g m a g n i t u d e p l o t s . F o rr = l / 1 0 t h e s e n s it i v it y f u n c t io n h a s li t tl e e x t r ap e a k i n g w h i l e s t a r t i n g a t t h e f r e q u e n c y 1 0 t h ec o m p l e m e n t a r y s e n s i t i v i t y f u n c t i o n r o i l s o f f a t a r a t eo f 3 d e c a d e s / d e c a d e . T h e c o r r e s p o n d i n g o p t im a lc o m p e n s a t o r t r a n s f e r f u n c t i o n i s

s + 0 .5 9 8 7C ( s ) = 1 .2 1 0 7 1 + 0 .2 0 3 5 5 s + 0 .0 1 2 6 7 s 2 ' ( 6 8 )

w h i ch r e s u lt s i n t h e c l o s e d - l o o p p o l e s ~ /2 ( - 1 + j )a n d - 7 . 3 2 8 1 ] 1 . 8 7 6 5 . A g a i n th e f o r m e r t w o p o l e sd o m i n a t e t h e l a t t e r . T h e m i n i m a l o o -n o rm i sIlnll --- 1.3833.I n s p e c t i o n o f t h e t w o c o m p e n s a t o r s ( 6 7) a n d ( 6 8 )s h o w s t h a t b o t h b a s i c a l l y a r e P D c o m p e n s a t o r s w i t hh i g h - f r e q u e n c y r o l l - o f f . T h e o p t i m a l c o m p e n s a t o r sw e r e c o m p u t e d u si n g a M A T L A B p a c k a g e f o r t h es o l u t i o n o f ~ - o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s ( K w a k e r n a a k ,1 9 90 b ) b a s e d o n t h e p o l y n o m i a l m e t h o d o f S e c t i o n 1 0.

1 0

1 0

.0 1

. 0 0 1

s e n s i t i v i t y I S J

\ c = l / l O 0

1 :. l d

.0 1

. 0 0 1

complementarys e n s i t i v i t y IT [~ 0 0o:1/lo/A\

. 0 1 i I I I I I. 1 1 1 0 1 0 0 . 0 1 .1 1 1 0 1 0 05 9 t d

FIG. 12 . Bode m agni tude p lo t s o f S and T for r = 0.


11/19

R o b u s t c o n t r o l a n d ~ . ~ - o p t i m i z a t io n

1 0

1 0

.0 1

. 0 1

. 0 0 1

s e n s i t i v i t y I S [

r = l

\ r = 0

I I I. i I I 0

1 0

1.1

. 0 1 -

. O O I -

1 0 0 .01

c o m p l e m e n t a r ys e n s i t i v i t y [ 2 ~

r = l

r = 0 ~ N'r = 0 f ,

. 1 1 1 0 1 0 06 ) 6 )

FIG. 13 . Bod e mag ni tude p lo t s o f S and T for c = 1 /10 .

2 6 5

1 .5

1

. 5

I I0 2 4 69 '

FIG. 14. Sta bil i ty region .

W e c o n c l u d e t h i s e x a m p l e w i t h a b r i e f a n a l y s is t oc h e c k w h e t h e r o u r e x p e c t a t i o n s a b o u t r o b u s t n e s s h a v ec o m e t r ue . G i v e n t h e c o m p e n s a t o r C = Y / X t h ec l o s e d - l o o p c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l o f t h e p e r t u r b e dp l a n t i s D ( s ) X ( s ) + N ( s ) r ( s ) = (1 + sO)s2 X( s ) +g Y ( s ) . B y s t r a i g h t f o r w a r d r o o t l o c u s c o m p u t a t i o n , tw h i c h in v o l v e s f ix in g o n e o f t h e t w o p a r a m e t e r s g a n d0 a n d v a r y i n g t h e o t h e r , t h e s t a b i l i ty r e g i o n o f F i g . 1 4m a y b e e s t a b l i s h e d f o r t h e c o m p e n s a t o r ( 6 7 ). T h a t f o rt h e o t h e r c o m p e n s a t o r i s s i m i l a r . T h e d i a g r a m s h o w st h a t f o r 0 = 0 t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m i s s t a b l e f o r a l lg > 0 , t h a t i s , f o r a l l - 1 < 1 /g - 1 < oo . Th is s tab i l i tyi n t e r v a l is l a r g e r t h a n p r e d i c t e d . F o r g = 1 t h e s y s t e mi s s t a b l e f o r 0 - < 0 < 1 . 1 7 9 , w h i c h a l s o i s a s o m e w h a tl a r g e r in t e r v a l t h a n e x p e c t e d .

8 . E X A M P L E 2 : S H I P C O U R S E C O N T R O LI n t h i s s e c t i o n w e d i s c u s s a m o r e c o n c r e t e d e s i g np r o b l e m . I t d e a l s w i t h t h e h e a d i n g c o n t r o l o f a s h i pm o v i n g a t c o n s t a n t v e l o c i t y , a n d i s i n c l u d e d i n t h e1 99 0 I F A C B e n c h m a r k P r o b l e m s f o r C o n t r o l S y s t e mD e s i g n ( , ~ s t r 6 m , 1 9 90 ). O u r p r e s e n t a t i o n i s r e l a t e d t ot h e d i s c u s s i o n i n a r e c e n t d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n b y

t At the sugges tion o f one of the rev iewers . T he au thor i sindeb ted to th i s and the o ther rev iewers fo r many pos i t iveand constructive comments.

TABLE 1. P A R A M E T E R V A L U E S F O R T H E S H I P T R A N S F E RF U N C T I O N

O p e r a t i n gcondi t ions bo b t ao a t"No mina l" 0 .98 1 .72 2 .13 -0 .3 251 1 .07 0 .75 1 .96 -0 .7 02 1.05 0.74 1.66 -0 .5 93 0 .93 0 .85 1 .86 -0 .474 0 .71 1 .29 2 .02 -0 . 215 0.89 1.83 2.35 0.05

L u n d h ( 1 9 9 1 ) . T h e s h i p t r a n s f e r f u n c t i o n f r o m t h er u d d e r a n g l e t o t h e y a w a n g l e i s

(bos + 1 ) b ,P(s ) s(s + ao)(s + a , ) ' ( 6 9 )w h e r e t h e v a l u e s o f th e p a r a m e t e r s b 0 , b , , a o , a n d a t ,d e p e n d u p o n t h e o p e r a t i n g c o n d i t i o n s , i n c l u d i n gs p e e d , t r i m , a n d l o a d i n g . I n T a b l e 1 t h e p a r a m e t e rv a l u e s a r e g i v e n f o r f i v e o p e r a t i n g c o n d i t i o n s . T h et a b l e a l s o in c l u d e s a s e t o f v a l u e s t h a t w e r e c h o s e n t or e p r e s e n t t h e " n o m i n a l " p l a n t . T h e t a b l e s h o w s t h a tt h e s ig n o f t h e p o l e a t d e p e n d s o n t h e o p e r a t i n gc o n d i t i o n s , s o t h a t t h e n u m b e r o f u n s t a b l e o p e n - l o o pp o l e s i s n o t c o n s t a n t . L u n d h ( 1 99 1 ) f o r m u l a t e s t h ef o l l o w i n g d e s i g n s p e c i f i c a t i o n s :( 1 ) c o n s t a n t l o a d d i s t u r b a n c e s a t t h e p l a n t i n p u t a r er e j e c t e d a t t h e o u t p u t ;( 2 ) t he c l o s e d - l o o p s y s t e m i s s t a b l e a t a l l o p e r a t i n gc o n d i t i o n s .W e f ir s t d i s c us s r e q u i r e m e n t 1 , t h a t c o n s t a n t i n p u tl o a d d i s t u r b a n c e s b e r e j e c t e d . I n t h e c o n f i g u r a t i o n o fF i g . 1 t h e t r a n s f e r f u n c t io n f r o m a l o a d d i s t u r b a n c et h a t i s a d d i t i v e t o t h e p l a n t i n p u t t o t h e c o n t r o l s y s t e mo u t p u t z i s P N X

R = I + P C D X + N Y ' (7 0 )w h e r e w e w r i t e P = N / D , C = Y ] X . I n s p e c t i o n s h o w st h a t f o r c o n s t a n t i n p u t l o a d r e j e c t i o n t h e d e n o m i n a t o r


12/19

2 6 6 H . K W A K ER N A A Kp o l y n o m i a l X o f th e c o m p e n s a t o r n e e d s t o c o n t a i n af a c t o r s , t h a t i s , t h e c o m p e n s a t o r s h o u l d h a v ei n t e g r a t in g a c t i o n .A n o t h e r w a y o f l o o k i n g a t t h is r e q u i r e m e n t i s t or e c o g n i z e t h a t t h e t r a n s f e r f u n c t i o n R i s r e l a t e d t o t h e

s e n s i t iv i ty f un c t io n S a s R = P S . F o r l o w f r e q u e n c i e st h e s h i p t r a n s f e r f u n c t i o n P i s p r o p o r t i o n a l t o 1 / s .H e n c e , f o r R t o b e h a v e a s s , t h e s e n s i t iv i t y f u n c t i o n Ss h o u l d b e h a v e a s s 2 a t l o w f r e q u e n c i e s . I n v i e w o f t h ea s y m p t o t i c a n a l y s i s o f S e c t i o n 6 t h i s m e a n s t h a t t h ep r o d u c t o f w e i g h t i n g f u n c t i o n s W , V s h o u l d b e h a v e a s1/s ~ . I n S e c t i o n 6 w e c h o s e V = M / D , W t = A , / B 1 .F o r t h e e x a m p l e a t h a n d , D c o n t a i n s a f a c t o r s , s o th a tV a lr e a d y h a s t hi s f a c t o r in t h e d e n o m i n a t o r . T op r o v i d e t h e a d d i t i o n a l f a c t o r s n e e d e d i n th ed e n o m i n a t o r o f W t V w e m o d i f y t h e w e i g h t i n g f u n c t i o nW~ to

Wl(s ) = w, + s l~ l(s ) , (71)3"

w i t h ~ o l t h e f r e q u e n c y u p t o w h i c h t h e e f f e c t o f t h ei n t e g r a t in g a c t i o n e x t e n d s . ~ p r o v i d e s f u r t h e rf r e e d o m i n s e l e ct i n g W t . T h i s t e c h n i q u e o f c h o o s i n gW t t o p r o v i d e i n t e g r a t i n g a c t i o n i n t h e c o m p e n s a t o ra l s o ap p l i e s t o o t h e r e x a m p l e s .Ne x t w e d i s cus s the s t a b i l i ty r o bus tn e s s s p e c i f i ca t io n2 . S in ce w e p la n to us e the mixe d s e n s i t iv i ty d e s ig nm e t h o d , w e c o n s i d e r w h i c h p e r t u r b a t i o n s s h o u l d b ea s s i g n e d t o t h e p l a n t n u m e r a t o r a n d w h i c h t o t h ed e n o m i n a t o r . O b v i o u s l y , t h e p e r t u r b a t i o n t h a t c a u se sp o le s to c r o s s the ima g in a r y a x i s , tha t i s , thep e r t u r b a t i o n s i n t h e p a r a m e t e r a ~ , s h o u l d b e r e l e g a t e dt o t h e d e n o m i n a t o r . T h e p e r t u r b a t i o n s i n t h e g a i np a r a m e t e r b , s t r o n g l y a f f e c t t h e l o w - f r e q u e n c y p l a n tc h a r a c t e r i s t i c s , a n d t h e r e f o r e a r e a l s o i n c l u d e d i n t h ed e n o m i n a t o r p e r t u r b a t i o n s . T h e v a r i a t i o n s i n b op r in c ip a l ly a f f e c t the h ig h- f r e que n cy cha r a c te r i s t i c sa n d t h e r e f o r e a r e i n c l u d e d i n t h e n u m e r a t o rp e r t u r b a t i o n s . T h e v a r i a t i o n s i n th e f a r - a w a y p o l e a 0a r e m a i n l y i m p o r t a n t f o r t h e h i g h - f re q u e n c y b e h a v i o r ,b u t b e c a u s e o f t h e w a y t h e p o l e e n t e r s P i t a l s o a ff e ct st h e g a i n . W e t h e r e f o r e w r i t e t h e t r a n s f e r f u n c t i o n P i nt h e f o r m

bos + 1 bos + 1e ( s ) =

w h e r e

ao / s 1 ) (s +~ S[~oo+ a l )#ls(o~os + 1)(s + a~)

(72)1 a o

O t ' o = - - , ~ 1 ~ ' - (73)ao blI n c l u d i n g t h e v a r i a t i o n o f O:o i n t h e n u m e r a t o rp e r t u r b a t i o n s w e t h u s r e w r i t e t h e p l a n t t r a n s f e rf un c t io n a s

bos + 1- - ( & o S + 1 )p, , N (s ) OCoS + 1

i s ) = O ( s ) = f l l ( s + a l) ( & o S + 1 ) ' (74)

w h e r e t h e o v e r b a r d e n o t e s t h e n o m i n a l v a l u e .I t i s e a s y t o f i n d t h a t t h e r e l a t i v e p e r t u r b a t i o n s o f

1 0

r e l a t i v ed e n o m i n a t o r p e rt u r b a t i on s

10 4 - ~

103 -io I v l

1 0 - U I I1 0 - e 1 0 - l 1 I II 0 i 0 z 1 0 3CO

FIG. 15. Magnitudes of relative denominator per turbationsfor the ship transfer function.t h e d e n o m i n a t o r m a y b e e x p r es s e d a s

D ( s ) - D o ( s ) (fl, /~ ,) s (alfl, a,fll) (75)Do (s) = [3,(s + a , ) '

w i t h t h e o v e r b a r s a g a i n d e n o t i n g n o m i n a l v a l u e s .F i g u r e 1 5 d i s p l a y s m a g n i t u d e p l o t s o f t h e r e l a t i v ep e r t u rb a t i o n s f o r t h e v a r i o u s p a r a m e t e r c o m b i n a t i o n so f T a b l e 1 . W e e s t a b l i s h a b o u n d f o r t h e p e r t u r b a t i o n si n a s u i t a b l e f o r m . A s a p r e a m b l e t o t h i s , w e n o t ef r o m F i g . 1 5 t h a t a b o v e t h e f r e q u e n c y 1 t h e r e l a t i v ed e n o m i n a t o r p e r t u r b a t i o n s a r e l e s s t h a n 1 . F o r t h i sr e a s o n , w e a i m a t a c l o s e d - l o o p b a n d w i d t h o f a b o u t 1 .F r o m ( 3 7 ) w e s e e t h a t a t l o w f r e q u e n c i e s t h er e l a t i v e d e n o m i n a t o r p e r t u r b a t i o n s n e e d t o b eb o u n d e d b yD - D oD o -< IVW , I . (76)

C ho o s in g W~ a s in ( 7 1 ) , w i th f f ' ,( s ) = 1 , w e co n s id e rM ( s ) w , + s= - - , ( 7 7 )V ( s ) W , ( s ) B , s ( s + ~ , ) ( a 0 s + 1 ) s

w i t h M a p o l y n o m i a l o f d e g r e e 3 t o b e c h o s e n , a n d c ota c o n s t a n t t o b e s e l e c t e d . M a n d w l s h o u l d b ed e t e r m i n e d s u c h t h a t , f i r s t , t h e b o u n d ( 7 6 ) h o l d s .S e c o n d , w h i l e d o i n g t h i s w e n e e d t o r e m e m b e r t h a tt h e r o o t s o f M r e a p p e a r a s c l o s e d - l o o p p o l e s . T h i r d ,t h e c o n s t a n t W l d e l i m i t s t h e f r e q u e n c y i n t e r v a l o v e rw h i c h t h e i n t e g r a t i n g a c t i o n e x t e n d s . W e c h o o s et o , = l , i n l i ne w i t h o u r d e ci s i o n t o c h o o s e t h ec l o s e d - l o o p b a n d w i d t h e q u a l t o 1. F u r t h e r m o r e , w ec h o o se o n e o f t h e ro o t s o f M a s - a 0 = - 2 . 1 3 . T h ism e a n s t h a t t h e o p e n - l o o p f a r a w a y n o m i n a l p o l e a t- 2 . 1 3 i s l e f t i n p l a c e . N e x t , w e p l a c e t h e t w or e m a i n i n g p o l e s o f M i n a s e c o n d - o r d e r B u t t e r w o r t hco n f ig ur a t io n w i th r a d ius 1 , tha t i s , w e cho o s e th i sp o l e p a i r a s V 2 ( - 1 + j ) . T h e c h o i c e o f th e r a d i u s i s


13/19

R o b u s t c o n t r o l a n d ~ - o p t i m i z a t i o n 2 67

1 0 zs e n s i t i v i t y I S [

1

1 0 - z

1 0 - 4 -

I 0 - 8 ~ ~ ~1 0 - z 1 0 - 1 1 1 0 1 0 z 1 0 3

dFIG. 16. M agnitudes of the sensitivity and input

1 0 2

1

1 0 - 2

10 -4_

i n p u t s e n s i t i v i t y [ U[

- 810 i i i i1 0 - 2 1 0 - 1 1 1 0 1 0 z 1 0 a5)sensitivity for the ship controller design.

a g a i n g o v e r n e d b y t h e s e l e c t i o n o f a c l o s e d - l o o pb a n d w i d t h 1 . F i n a l l y , f o r n o r m a l i z a t i o n w e p r o v i d e Mw i th a l e a d in g co e f f i c i e n t s uch tha t V( oo )W ~ (o o )= 1.T h u s , w e l e t

M ( s ) = [ 3 1 ( s2 + ~ s + 1)(s - r io). (78)F i g u r e 1 5 i n c l u d e s a p l o t o f t h e m a g n i t u d e o f V W 1 . I ft h i s m a g n i t u d e i s a b o u n d f o r t h e r e l a t i v e d e n o m i n a t o rp e r t u r b a t i o n s t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m i s r o b u s t l ys t a b il i z ed i f t h e m i n i m a l v a l u e o f t h e m i x e d s e n s i t i v it yc r i t e r io n i s l e s s tha n 1 . I f the m in im a l v a lue ~. i sg r e a t e r t h a n 1 , t h e b o u n d n e e d s t o b e r e s c a l e d t oV W J , L F o r t h e p l a n t a t h a n d , w h i c h h a s n o r i g h t - h a l fp l a n e z e r o s , a n d g i v e n t h e n o r m a l i z a t i o nV(o o)W ~ (a o) = 1 , f r o m e xp e r i e n ce i t m a y be e xp e c te dt h a t t h e m i n i m a l v a l u e ~ . i s s o m e w h a t l a r g e r t h a n 1 ,s a y , b e t w e e n 1 a n d 2 . F i g u r e 1 5 s h o w s t h a t a m a r g i no f t h is o r d e r o f m a g n i t u d e i s av a i l a b le .T h e n e x t l o g i c a l s t e p i s t o a n a l y s e t h e n u m e r a t o rp e r t u r b a t i o n s . A c u r s o r y e x p l o r a t i o n t h a t i s n o tr e p r o d u c e d h e r e i n d i c a t e s t h a t t h e n u m e r a t o rp e r t u r b a t i o n s p r e s e n t n o g r e a t d a n g e r t o s t a b i l i t yr o b u s t n e s s .T h e f in al s t e p i n th e p r e p a r a t i o n o f t h e m i x e ds e n s i t i v i t y p r o c e d u r e i s t o c h o o s e t h e w e i g h t i n gf un c t io n W E. C h o o s in g W 2 co n s ta n t i s e xp e c te d tom a k e t h e c o m p e n s a t o r t r a n s f e r f u n c t i o n p r o p e r b u tn o t s t r i c t l y p r o p e r . I n v i e w o f t h e n o r m a l i z a t i o nV(oO)Wl(OO) = 1, w e t en tat iv ely let W 2(s) = 0.0 1.S o l u t i o n o f t h e m i x e d s e n s it i v it y p r o b l e m r e s u l ts i na m i n i m a l m - n o r m o f ~ . = 1 .0 6 0 7 . T h e o p t i m a lc o m p e n s a t o r t r a n s f e r f u n c t i o n i s g i v e n b y

0 .5468 (s + 2 .12 77)( (s + 0 .4 331) 2 + 0 .40982)C( s ) = s ( s + 47 . 9 40 1 ) ( s + 1 . 0 2 0 4) ( 7 9 )

C h a s a p o l e a t 0 , a s e x p e c t e d , a n d t h e t r a n s f e rf u n c t i o n is p r o p e r b u t n o t s t r ic t l y p r o p e r , a s p r e d i c t e d .T h e n o m i n a l c l o s e d - l o o p p o l e s a re - 4 5 . 2 0 1 0 ,- 2 . 1 2 7 7 , - 0 . 7 0 7 1 + j 0 . 7 0 7 1 , - 1 . 01 7 3 , a n d - 1. 0 03 0 .T h e y i n c l u d e t h e p r e - a s s ig n e d p o l e s - 2 . 1 2 7 7 a n d- 0 . 7 0 7 1 + j 0 . 7 0 7 1 . I t m a y b e c h e c k e d b y d i r e c tc o m p u t a t i o n o f t h e c l o s e d - l o o p p o l e s t h a t t h ef e e d b a c k s y s t e m r e m a i n s s t a b l e , w i t h g o o d s t a b i l i t ym a r g i n s , a t a l l o p e r a t i n g p o i n t s . F i g u r e 1 6 s h o w s p l o t so f t h e m a g n i t u d e s o f t h e s e n s i t i v i t y f u n c t i o n S a n d t h ei n p u t s e n s i t i v i t y f u n c t i o n U f o r t h e v a r i o u s o p e r a t i n gp o in t s .

F o r i m p r o v e d r o b u s t n e s s a g a i n s t h i g h - f r e q u e n c yu n s t r u c t u r e d u n c e r t a i n t y i t i s n e c e s s a r y t o m a k e t h ec o m p e n s a t o r s t r ic t l y p r o p e r t o p r o v i d e r o l l - o f f o f t h ec o m p l e m e n t a r y s e n s i t i v i t y T a n d t h e i n p u t s e n s i t i v i t yU . T o a c c o m p l i s h t h i s w e m o d i f y t h e w e i g h t i n gfun ct io n V2 to

W 2 ( s) = 0 . 0 1 ( 1 + ~ 0 ) . ( 8 0 )T h e m i n i m u m o o - no r m n o w i s 1 . 1 2 03 , w h i le t h ec o m p e n s a t o r t r a n s f e r f u n c t i o n t a k e s t h e f o r m

0.5177 (s + 2 .127 7)( (s + 0 .4262) z + 0 .40652)C( s ) = s ( ( s + 28.4134 ) 2 + (24.57362)(s + 1 .0204) (81)C i s s t r i c t l y p r o p e r . T h e c l o s e d - l o o p p o l e a t - 4 5 . 2 0 1 0i s r e p l a c e d w i t h a p o l e p a i r a t - 2 7 . 0 4 3 8 + j 2 2 . 9 8 6 0 ,w h i l e t h e r e m a i n i n g c l o s e d - l o o p p o l e s a l t e r n o t a t a l lo r v e r y l i tt le . F i g u r e 1 7 s h o w s p l o t s o f t h e m a g n i t u d e so f th e s y s t e m f u n c t io n s . C o m p a r e d w i t h F i g . 1 6 t h e r ei s l i t t l e cha n g e in S bu t U ha s the d e s i r e d r o l l - o f f .T h e r e s u l t s s h o w t h a t t h e c o n t r o l s y s t e m s p e c i f i c a -t io n s m a y b e m e t w i t h c o m f o r t a b l e m a r g i n s. T h e y m a yb e t i g h t e n e d b y i n c l u d i n g e x t r a s p e c i f i c a t i o n s , s u c h a s


14/19

2 6 8 H . K W A K ER N A A Ks e n s i t i v i t y [ S ' I i n p u t s e n s i t i v i t y [U I

1 0 2 1 0 2

1 -

1 0 - 2 _

1 0 - 4 _

1 0 - 8 I I I I1 0 - 2 1 0 - t 1 1 0 1 0 2 1 0

1

1 0 - z

i 0 - 4_

- 61 0 1 I t I1 0 - z 1 0 - 1 1 1 0 1 0 2 1 0 a

FIG. 17. Magn i tudes of the sens i tiv ity and inpu t sens i t iv i ty for the second sh ip co nt ro l le r design .m i n i m a l b a n d w i d t h . L u n d h ( 1 99 1 ) c o n s i d e r s a d d i -t i o n a l s p e c i f i c a ti o n s o n t h e p e a k v a l u e s o f S a n d U , o nt h e r e s p o n s e t o i n p u t l o a d d i s t u r b a n c e s , a n d o nm e a s u r e m e n t n o i s e s e n s i t i v i t y .

T h e o p t i m a l c o m p e n s a t o r s i n t h is s e c t io n w e r e a g a i nc o m p u t e d u s in g t h e p a c k a g e b a s e d o n t h e p o l y n o m i a lm e t h o d ( K w a k e r n a a k , 1 9 9 0 b) , w i th a s m a l l m o d i f i c a -t i o n n e e d e d f o r t h e p o l e a t 0 o f t h e w e i g h t i n g f u n c t io nw~ .

9. T H E ST A N D A R D ~ - O P T I M A L R E G U L A T O RP R O B L E MT h e m i x e d s e n s i t i vi t y p r o b l e m i s a s p e c i a l c a s e o ft h e s o - c a l l e d s t a n d a r d ~ g ~ -o p ti m a i r e g u l a t o r p r o b l e m .W e i n t r o d u c e t h e s t a n d a r d p r o b l e m b y c o n s i d e r i n g t h em i x e d s e n s i t i v i ty f u n c t i o n i n t h e c o n f i g u r a t i o n o f F i g .1 8 . T h e d i a g r a m s h o w s V a s a s h a p i n g f i l t e r f o r t h ed i s t u r b a n c e , a n d V~ a n d W 2 a s f r e q u e n c y d e p e n d e n tw e i g h t in g f u n c ti o n s f o r t h e c o n t r o l s y s t e m o u t p u t a n dt h e p l a n t i n p u t , r e s p e c t i v e l y . T h e s i g n a l w i s a ne x t e r n a l i n p u t t h a t d r i v e s t h e d i s t u r b a n c e s h a p i n gf i l t e r V .

FIG. 18. The mixed sensit ivity problem.

Z 1

I t i s e a s y t o c h e c k t h a t t h e L a p l a c e t r a n s f o r m s o ft h e w e i g h t e d c o n t r o l s y s t e m o u t p u t z ~ a n d t h ew e i g h t e d p l a n t i n p u t z 2 a r e g i v e n b y

~ .1 = V ~ S V ~ , (8 2 )e2 = - w : u v , ,s o t h a t 2 = co l (2 1 , ~ : ) = H ~ , , w i t h

[ w , s v | ( 8 3 )H = L - W 2 U V J "

H e n c e , t h e m i x e d s e n s i ti v i ty p r o b l e m a m o u n t s t o t h em i n i m i z a t i o n o f t h e ~ o -n or m o f t h e t r a n s f e r m a t r i xf r o m t h e e x t e r n a l i n p u t w t o t h e c o m p o s i t e o u t p u t z .T h e f r e e d o m a v a i l a b l e i n t he m i n i m i z a t i o n p r o b l e mc o n s is t s o f t h e c h o i c e o f th e c o m p e n s a t o r C .B y i s o l at i n g t h e c o m p e n s a t o r t h e b l o c k d i a g r a m o fF i g . 1 8 m a y b e r e p r e s e n t e d a s i n F i g . 1 9 , w h i c h i s t h ec o n f i g u r a ti o n o f t h e " s t a n d a r d " ~ ( ~ -o p t im a l r e g u l a t o rp r o b l e m . T h e s i g n a l w i s a n e x t e r n a l i n p u t ,r e p r e s e n t i n g d r i v i n g s i g n a l s f o r s h a p i n g f i l t e r s f o rd i s t u r b a n c e s , m e a s u r e m e n t n o i s e , a n d r e f e r e n c ei n p u ts . T h e s i g n al z r e p r e s e n t s a c o n t r o l e r r o r .I d e a l l y , z is i d e n t i c a l t o z e r o . T h e s i g n a l y r e p r e s e n t st h e m e a s u r e d o u t p u t s t h a t a r e a v a i l a b l e f o r f e e d b a c k .T h e s i g n al u, f i n al l y, r e p r e s e n t t h e i n p u t s t h a t m a y b ec o n t r o l l e d .T h e d y n a m i c s o f t h e b l o c k G d e p e n d s o n t h ep a r t i c u l a r p r o b l e m a t h a n d . I n s p e c t i o n o f F i g . 1 8s h o w s t h a t f o r t h e m i x e d s e n s i t i v i ty p r o b l e m

~ = V~ V ff + W~ Pt~,22 = W2a, (84 )y = - v~ - P a.


15/19

R o b u s t c o n t r o l a n d ~ - o p t i m i z a t i o n 2 69W e r e w r i t e t hi s a s [ w , v

Gw h i c h d e f i n e s t h e t r a n s f e r m a t r i x G a sI . ' , . 1O = J = L - v I _ w J .

( 8 5 )

(8 6 )

T h e r e a r e m a n y o t h e r c o n t r o l p r o b l e m s t h a t c a n b ec a s t as s p e c ia l c a s e s o f th e s t a n d a r d p r o b l e m ,i n c l u d in g p r o b l e m s in v o l v i n g m e a s u r e m e n t n o i s e a n dt w o - d e g r e e - o f - f r e e d o m c o n f i g u r a t i o n s . O f a l l t h e s ep o t e n t i a l ~ a p p l i c a t i o n s s o f a r o n l y t h e m i x e ds e n s i ti v i ty p r o b l e m h a s b e e n i n v e s t i g a t e d in a n yd e p t h .T h e s t a n d a r d p r o b l e m w a s f i r s t d i s c u s s e d b y F r a n c i sa n d D o y l e ( 1 9 8 7 ) a n d i s t r e a t e d a t l e n g th b y F r a n c i s(1 9 8 7 ) .

10 . F R E Q U E N C Y D O M A I N S O L U T I O N O F T H ES T A N D A R D P R O B L E MT h e b u l k o f t h e r e s e a rc h o n ~ - o p t i m i z a t i o n i n t h e1 98 0s w a s d e v o t e d t o t h e t h e o r e t i c a l a n d m a t h e m a t i c a la s p e c t s o f t h e s o l u ti o n

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