Klp 2 Program Linear

8/16/2019 Klp 2 Program Linear

http://slidepdf.com/reader/full/klp-2-program-linear 1/22

Teori Pengambilan Keputusan

Pemrograman Linier

Oleh:

Amri Hermawan

Tiffany Angelia

Muh. Fiqri Ramadhan R.

Fadlel Andillah M.

FAKULTAS EKONOM !AN "SNS

UN#ERSTAS HASANU!!N

MAKASSAR

$%&'



(enger)ian

Pemrograman Linear atau biasa disingkat dengan PL ialah merupakan metode

matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu

tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya.

Pemrograman Linear banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer,

sosial dan lain-lain. Pemrograman Linear berkaitan dengan penjelasan suatu kasus

dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi

tujuan linear dengan beberapa kendala linear (Siringoringo, 200!.

Program linear adalah suatu cara matematis yang digunakan untuk

menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pengalokasian sumberdaya yang

terbatas untuk mencapai optimasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan

fungsi tujuan yang bergabung pada sejumlah "ariabel input. Penerapan program

linear banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, sosial dan lain-lainnya,

misalnya periklanan, industri manufaktur (penggunaan tenagakerja kapasitas

produksi dan mesin!, distribusi dan pengangkutan, dan perbankan (portofolio

in"estasi!. Program linear berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia

nyata sebagai model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linear dengan

beberapa kendala linear. Pemrograman linear merupakan metode matematik dalam

mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti

memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Pemrograman linear

banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain.

Pemrograman linear berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata

sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linear dengan

beberapa kendala linear. Pemrograman linear meliputi perencanaan akti"itas untuk

mendapatkan hasil optimal, yaitu sebuah hasil yang mencapai tujuan terbaik

(menurut model matematika! diantara semua kemungkinan alternatif yang ada.



(er*yara)an (er*+alan (emr+graman Linier

Semua persoalan Pemrograman Linier mempunyai empat sifat umum yaitu #

$. Persoalan PL bertujuan memaksimalkan atau meminimalkan kuantitas

(pada umumnya berupa keuntungan atau biaya!. Sifat umum ini disebutfungsi tujuan (objective function! dari suatu persoalan PL. Pada umumnya,

tujuan utama suatu perusahaan adalah memaksimalkan keuntungan pada

jangka panjang. %alam kasus sistem distribusi suatu perusahaan angkutan

atau penerbangan, tujuan pada umumnya berupa meminimalkan biaya.

2. &danya batasan (constraints! atau kendala yang membatasi tingkat

sampai di mana sasaran dapat dicapai. Sebagai contoh, keputusan untuk

memproduksi banyaknya unit dari setiap produk pada suatu lini produkperusahaan dibatasi oleh tenaga kerja dan permesinan yang tersedia. 'leh

karena itu, untuk memaksimalkan atau meminimalkan suatu kuantitas (fungsi

tujuan! bergantung pada sumber daya yang jumlahnya terbatas (batasan!.

. )arus ada beberapa alternatif tindakan yang dapat diambil. Sebagai

contoh, jika suatu perusahaan menghasilkan tiga produk yang berbeda,

manajemen dapat menggunakan PL untuk memutuskan bagaimana caramengalokasikan sumber dayanya yang terbatas (tenaga kerja, permesinan,

dan seterusnya!. *ika tidak ada alternatif yang dapat diambil, maka PL tidak

diperlukan.

+. ujuan dan batasan dalam permasalahan pemrograman linier harus

dinyatakan dalam pertidaksamaan atau persamaan linier.

Merumu*,an (er*+alan (emr+graman Linier

Salah satu penerapan pemrograman linier yang paling umum adalah masalah

bauran produk. %ua produk atau lebih umumnya diproduksi dengan menggunakan

sumber daya yang terbatas. Perusahaan ingin menentukan banyaknya unit dari

setiap produk tersebut yang perlu dihasilkan untuk memaksimalkan keuntungan

keseluruhan dengan sumber dayanya yang terbatas. erikut akan diberikan satu

contoh.



-+n)+h Shader Ele)r+ni*

Shader lectronics /ompany menghasilkan dua produk yaitu #

$. Shader -pod, sebuahpemutar musik portabel dan2. Shader lueerry, sebuah ponsel ber1arna dengan sambungan nternet.

Proses produksi untuk setiap produk serupa, yaitu keduanya memerlukan 1aktu

tertentu untuk pengerjaan elektroniknya dan 1aktu tertentu untuk pengerjaan

perakitannya. Setiap -pod membutuhkan 1aktu selama + jam untuk pengerjaan

elektronik dan 2 jam untuk perakitan sedangkan Setiap lueerry memerlukan

1aktu selama jam untuk pengerjaan elektronik dan $ jam untuk perakitan.

Sepanjang

periode produksi sekarang, tersedia 1aktu selama 2+0 jam 1aktu pengerjaan

elektronik dan $00 jam 1aktu perakitan.

Setiap -pod menghasilkan keuntungan 345 dan setiap lueerry yang

diproduksi menghasilkan keuntungan 3. Permasalahan yang dihadapi Shader

adalah menentukan kombinasi terbaik antara jumlah -pod dan lueerry yang

dibuat untuk mencapai keuntungan maksimal. Situasi bauran produk ini dapat

dirumuskan sebagai masalah pemrograman linier.

Pemecahan masalah dimulai dengan merangkum informasi yang diperlukan

untuk merumuskan dan memecahkan masalah ini (lihat abel .$!. Lebih lanjut,

diperkenalkan beberapa notasi sederhana yang akan digunakan dalam batasan

dan fungsi tujuan. 6ita misalkan #

X $ 7 jumlah -pod yang akan diproduksi



X 2 7 jumlah lueerry yang akan diproduksi

6ita memberi nama keputusannya dengan "ariabel X $ dan X 2 di sini, tetapi

perhatikan bah1a notasi apa pun (misalnya, -p dan ! juga dapat digunakan.

Sekarang, fungsi tujuan PL dapat dibuat dalam kaitannya dengan X $ dan X 2 #

8emaksimalkan keuntungan 7 34 X $ 9 3 X 2

Langkah selanjutnya adalah membuat hubungan matematis untuk menentukan

kedua batasan dalam masalah ini. Satu hubungan yang umum adalah jumlah suatu

sumber daya yang digunakan harus lebih kecil daripada atau sama dengan (:!

jumlah sumber daya yang tersedia.

Batasan pertama# ;aktu elektronik yang diperlukan : ;aktu elektronik yang

tersedia.

+ X $ 9 X 2 : 2+0 (1aktu pengerjaan elektronik!

Batasan kedua# ;aktu perakitan yang diperlukan : ;aktu perakitan yang tersedia.

2 X $ 9 $ X 2 : $00 (1aktu pengerjaan perakitan!

6edua batasan ini me1akili adanya keterbatasan dalam hal kapasitas produksi

yang tentu saja memengaruhi keuntungan total. Sebagai contoh, Shader lectronics

tidak dapat menghasilkan 40 -pod sepanjang periode produksi. Sebab jika X $ 7 40,

maka kedua batasan tadi akan dilanggar. Perusahaan juga tidak dapat membuat -

pod X $ 7 0 dan lueerry X 2 7 $0. atasan ini memunculkan aspek penting lain

dari

pemrograman linier, yaitu interaksi tertentu yang akan muncul di antara "ariabel.

Semakin banyak unit suatu produk yang dihasilkan perusahaan, maka unit lain yang

dapat diproduksinya menjadi lebih sedikit.



S+lu*i /rafi* "agi (erma*alahan

(emr+graman Linier

/ara paling mudah untuk memecahkan suatu permasalahan PL yang kecil

seperti

pada persoalan Shader lectronics /ompany adalah menggunakan 0ende,a)an

*+lu*i *eara grafi * (graphical solution approach!. Prosedur grafis ini hanya dapat

digunakan jika terdapat dua buah 1aria2el ,e0u)u*an (decision variables! (seperti

jumlah -pod yang dihasilkan, <$, dan jumlah lueerry yang dihasilkan, <2!. 6etika

terdapat lebih dari dua "ariabel, tidak mungkin memetakan solusinya pada grafi k

dua dimensi. 6ita harus menggunakan pendekatan lebih rumit yang akan diuraikan

pada modul ini.

(enggam2aran "a)a*an32a)a*an *eara /rafi*

=ntuk mencari solusi yang optimal bagi suatu masalah pemrograman linier,

pertama, harus diidentifi kasi serangkaian, atau daerah, solusi yang layak. Langkah

pertama yang dilakukan adalah memetakan batasan masalah pada suatu grafi k.

>ariabel X $ (pada contoh sebelumnya adalah -pod! umumnya dipetakan pada

sumbu hori?ontal grafi k, dan "ariabel X 2 (lueerry! dipetakan pada sumbu "ertikal.

Permasalahannya secara lengkap dapat dinyatakan ulang sebagai berikut.

8emaksimalkan keuntungan 7 34 X $ 9 3 X 2

%engan batasan#

+ X $ 9 X 2 : 2+0 (batasan waktu pengerjaan elektronik !

2 X $ 9 $ X 2 : $00 (batasan waktu pengerjaan perakitan!

X $ @ 0 ( jumlah x - pod yang diproduksi lebih besar atau sama dengan 0!

X 2 @ 0 ( jumlah BlueBerry yang diproduksi lebih besar atau sama dengan 0!

Langkah pertama yang dilakukan dalam memetakan batasan dari masalah ini

adalah

mengubah pertidaksamaan batasan ini menjadi persamaan.



atasan &# + X $ 9 X 2 7 2+0

atasan # 2 X $ 9 $ X 2 7 $00

Persamaan untuk batasan & dipetakan pada Aigur .$ dan batasan dipetakan

pada

Aigur .2.

=ntuk dapat memetakan garis pada Aigur .$, hal yang harus dilakukan adalah

mencari titik-titik di mana garis + X $ 9 X 7 2+0 akan berpotongan dengan sumbu

X $ dan X 2. 6etika X $ 7 0 (tempat di mana garis menyentuh sumbu X 2!, hal ini

berarti bah1a X 2 7 2+0 dan bah1a X 2 7 B0. %emikian juga halnya, ketika X 2 7 0,

maka + X $ 7 2+0 dan bah1a X $ 7 C0. *adi, batasan & dibatasi oleh suatu garis yang

dimulai dari

titik ( X $ 7 0, X 2 7 B0! hingga ( X 2 7 C0, X 2 7 0!. %aerah yang diarsir me1akili semua

titik yang memenuhi pertidaksamaan a1al.

atasan digambarkan dengan cara yang sama dalam Aigur .2. 6etika X $ 7

0, maka X 2 7 $005 dan ketika X 2 7 0, maka X $ 7 0. atasan dibatasi oleh garis

yang

dimulai dari titik ( X $ 7 0, X 2 7 $00! hingga ( X $ 7 0, X 2 7 0!. %aerah yang diarsir



me1akili semua titik yang memenuhi pertidaksamaan a1al.

Aigur . menggambarkan kedua batasan secara bersamaan. %aerah yang

diarsir merupakan bagian yang memenuhi kedua batasan. %aerah gelap pada Aigur

. disebut daerah solusi yang layak , atau secara singkat daerah yang laya,

(feasible region!. %aerah ini harus memenuhi semua kondisi yang ditetapkan oleh

batasan program sehingga pada daerah tersebut semua batasannya saling tumpang

tindih. Setiap titik dalam daerah tersebut menjadi solusi yang layak bagi persoalan

Shader lectronics /ompany. Setiap titik di luar daerah gelap tersebut me1akili

solusi yang tidak layak . *adi, perusahaan dapat memproduksi 0 x -pod dan 20

lueerry ( X $ 7 0, X 2 7 20!, tetapi akan melanggar batasan jika perusahaan

memproduksi 40 x -pod dan +0 lueerry. )al ini dapat dilihat dengan memetakan

titik-titik tersebut dalam grafi k pada Aigur ..

Me)+de S+lu*i /ari* *+3(r+fi)

Sekarang, setelah daerah yang layak digambarkan, proses pencarian solusi yang

optimal dapat dilanjutkan. Solusi yang optimal adalah satu titik yang terletak pada

daerah yang layak yang menghasilkan keuntungan yang paling tinggi. Saat daerah

yang layak telah didapatkan, beberapa pendekatan dapat diambil untuk

memecahkan solusi optimal tersebut. /ara yang paling cepat adalah me)+de gari*

i*+30r+fi ) (iso-profi t line method !.

Proses pencarian optimal dapat dimulai dengan menetapkan keuntungan sama

dengan suatu jumlah sembarang, tetapi dalam pecahan uang yang kecil. =ntuk



permasalahan Shader lectronics, suatu keuntungan senilai 32$0 dapat dipilih,

sebagai contoh. ingkat keuntungan ini dapat diperoleh dengan mudah tanpa

melanggar salah satu dari kedua batasan yang ada. Aungsi tujuannya dapat ditulis

sebagai 32$0 7 34 X $ 9 3 X 2.

Persamaan ini hanya merupakan persamaan sebuah garis yang disebut garis

isoprofit. Daris ini me1akili semua kombinasi (dari X $ dan X 2! yang akan

menghasilkan keuntungan total sebesar 32$0. =ntuk memetakan garis keuntungan

ini, lakukan hal yang sama seperti ketika memetakan garis batasan. Pertama, ambil

X $ 7 0 dan pecahkan untuk titik-titik di mana garis berpotongan dengan sumbu X 2.

32$0 7 34(0! 9 3 X 2

X 2 7 +2 lueerry

6emudian, ambil X 2 7 0 dan dapatkan nilai <$#

32$0 7 34 X $ 9 3(0!

X $ 7 0 -pod

Sekarang, dua titik ini dapat dihubungkan menjadi satu garis lurus. Daris

keuntungan digambarkan pada Aigur .+. Semua titik melambangkan solusi yang

layak yang menghasilkan keuntungan senilai 32$0.

;alaupun demikian, garis iso-profi t 32$0 ini tidak menghasilkan keuntungan

tertinggi yang dapat diperoleh perusahaan. Pada Aigur ., dua garis lagi coba

dipetakan, yang masing-masing menghasilkan keuntungan lebih tinggi. Persamaan

tengah, 32B0 7 34 X $ 9 3 X 2 dipetakan dengan cara yang sama seperti pada garis

di ba1ah. 6etika X $ 7 0 #

32B0 7 34(0! 9 3 X 2

X 2 7 C lueerry

6etika <2 7 0,

32B0 7 34 X $ 9 3(0! X $ 7 +0 <-pod



Sekali lagi, semua kombinasi <-pod ( X $! dan lueerry ( X 2! pada garis iso-profi t

ini akan menghasilkan keuntungan total senilai 32B0.

Perhatikan bah1a garis ketiga menghasilkan suatu keuntungan senilai 30, yang

merupakan peningkatan yang lebih tinggi lagi. Semakin jauh garis ini dari titik asal 0,

semakin tinggi keuntungan yang didapatkan. )al penting lain yang harus

diperhatikan adalah garis iso-profit ini sejajar. Sekarang, telah didapatkan dua kuncirahasia untuk mendapatkan solusi optimal. Satu rangkaian garis keuntungan sejajar





setiap titik pojok, kemudian menentukan dan membandingkan keuntungan pada

titik-titik tersebut.

itik $# ( X $ 7 0, X 2 7 0! 6euntungan 34(0! 9 3(0! 7 30

itik 2# ( X $ 7 0, X 2 7 B0! 6euntungan 34(0! 9 3(B0! 7 3+00

itik # ( X $ 7 0, X 2 7 0! 6euntungan 34(0! 9 3(0! 7 30

itik untuk sementara dile1atkan karena untuk mencari koordinatnya secara

tepat, kita harus terlebih dahulu menyelesaikan perpotongan antara kedua garis

batasannya. Seperti pada aljabar, metode persamaan simultan dapat diterapkan

pada kedua persamaan batasan #

+ X $ 9 X 2 7 2+0 (waktu pengerjaan elektronik !

2 X $ 9 $ X 2 7 $00 (waktu perakitan!

=ntuk memecahkan persamaan ini secara simultan, persamaan kedua dikalikan

dengan E2#

E2(2 X $ 9 $ X 2 7 $00! 7 E+ X $ E 2 X 2 7 E200

kemudian ditambahkan pada persamaan yang pertama#

9+ X $ 9 X 2 7 2+0

E+ X$ E 2 X2 7 E200

9$ X 2 7 +0



atau

X 2 7 +0

%engan melakukan ini, satu "ariabel, yaitu X $, dapat dieliminasi untuk

mendapatkan nilai X 2. Sekarang, X 2 dapat diganti menjadi +0 pada persamaan asal

dan mencari nilai X $. 6ita gunakan persamaan yang pertama. 6etika X 2 7 +0, maka#

+ X $ 9 (+0! 7 2+0

+ X $ 9 $20 7 2+0

atau

+ X $ 7 $20

X $ 7 0

*adi, titik memiliki koordinat ( X $ 7 0, X 2 7 +0!. %engan demikian, keuntungan

dapat dihitung untuk melengkapi analisis#

itik # ( X $ 7 0, X 2 7 +0! 6euntungan 7 34(0! 9 3(+0! 7 3+$0.

6arena titik menghasilkan keuntungan yang paling tinggi dari semua titik pojok

yang ada, bauran produk X $ 7 0 -pod dan X 2 7 +0 lueerry menjadi solusi

optimal pada permasalahan di Shader lectronics. Solusi ini akan menghasilkan

keuntungan senilai 3+$0 pada setiap periode produksi5 solusi yang sama juga akan

diperoleh dengan menggunakan metode garis iso-profit.

;alaupun nilai X $ dan X 2 adalah bilangan bulat untuk Shader lectronics, hal

ini tidaklah selalu demikian.

Memeah,an (er*+alan Minimali*a*i

anyak persoalan pemrograman linier mencakup proses meminimalkan suatu

tujuan seperti biaya, dan bukan proses memaksimalkan sebuah fungsi keuntungan.

Sebagai contoh, sebuah rumah makan ingin membuat sebuah jad1al kerja untuk

memenuhi kebutuhan pekerja, selagi meminimalkan jumlah pekerja totalnya. Selain

itu, sebuah perusahaan manufaktur mungkin ingin mendistribusikan produknya dari

beberapa pabrik ke banyak gudangnya di daerah dengan meminimalkan biaya

pengiriman total.



Persoalan minimalisasi dapat dipecahkan menggunakan grafik dengan

menetapkan daerah yang layak terlebih dahulu, kemudian menggunakan salah satu

di antara metode titik pojok ataupun pendekatan garis iso-cost (yang sama dengan

metode iso-profi t pada persoalan maksimalisasi! untuk dapat menemukan nilai-nilai

X $ dan X 2 yang menghasilkan biaya minimal.

/ontoh $ menunjukkan bagaimana memecahkan suatu masalah

minimalisasi.

Ma*alah minimali*a*i dengan dua 1aria2el

/ohen /hemicals, nc., menghasilkan dua jenis cairan kimia untuk mencetak

foto. *enis pertama adalah bahan kimia untuk foto hitam putih yang membebani

/ohen 32.00 per ton. /ara kedua adalah bahan kimia untuk foto ber1arna senilai

3.000 per ton.

erdasarkan suatu analisis tingkat persediaan dan sisa pesanan saat ini, manajer

produksi /ohen telah memutuskan bah1a paling sedikit 0 ton bahan kimia untuk

foto hitam putih dan sedikitnya 20 ton bahan kimia untuk foto ber1arna harus

diproduksi bulan depan. Sebagai tambahannya, manajer mencatat bah1a bahan

mentah yang ada sangat mudah rusak dan harus digunakan dalam jangka 1aktu 0

hari. =ntuk menghindari pemborosan bahan mentah yang berharga mahal, /ohen

harus menghasilkan paling sedikit C0 ton bahan kimia untuk mencetak foto tersebut

pada bulan depan.

Pendekatan: nformasi ini dapat dirumuskan ini sebagai sebuah persoalan

minimalisasi PL.

&mbil#

X $ 7 jumlah bahan kimia untuk foto hitam putih yang akan diproduksi (ton!

X 2 7 jumlah bahan kimia untuk foto ber1arna yang akan diproduksi (ton!

ujuan# biaya yang diminimalkan 7 32.00 X $ 9 3.000 X 2

%engan batasan#

X $ @ 0 ton bahan kimia untuk foto hitam putih X 2 @ 20 ton bahan kimia untuk foto ber1arna



X $ 9 X 2 @ C0 ton total

X $, X 2 @ 0 persyaratan nonnegati"itas

Solusi: untuk memecahkan permasalahan bahan kimia /ohen secara grafi s,

daerah yang layak harus ditentukan terlebih dahulu, seperti pada Aigur .F.

Permasalahan minimalisasi sering menjadi tak terhingga (yaitu# pada sisi kanan dan

sisi atas!, tetapi karakteristik ini tidak menyebabkan masalah dalam memecahkan

persoalan ini. &salkan daerah ini dibatasi ke dalam (yaitu# pada sisi kiri dan sisi

ba1ah!, titik pojok dapat ditemukan. Solusi optimal akan terletak pada salah satu di

antara titik-titik pojok tersebut.

Pada kasus ini, hanya terdapat dua titik pojok, yaitu a dan 2, seperti ditunjukkan

pada Aigur .F. Sangat mudah untuk menentukan bah1a titik a ( X $ 7 +0, X 2 7 20!,

dan titik 2 ( X $ 7 0, X 2 7 0!. Solusi optimal diperoleh pada titik yang menghasilkanbiaya total paling rendah.

*adi#

iaya total pada titik a 7 2.00 X $ 9 .000 X 2

7 2.00(+0! 9 .000(20!

7 3$C0.000

iaya total pada titik 2 7 2.00 X $ 9 .000 X 2

7 2.00(0! 9 .000(0! 7 3$C.000



iaya yang paling rendah bagi perusahaan /ohen /hemicals adalah titik a. 'leh

karena itu, manajer operasi seharusnya memproduksi +0 ton bahan kimia untuk foto

hitam putih dan 20 ton bahan kimia untuk foto ber1arna.

Pemahaman: %aerahnya tidak akan dibatasi di kanan atau di atas dalam suatu

masalah minimalisasi (seperti juga dalam masalah maksimalisasi!.

Latihan pembelajaran: atasan kedua /ohen dihitung dan haruslah X 2 @ $.

&pakah ada yang berubah dari ja1abannyaG H*a1aban# Sekarang, X $ 7 +, X 2 7 $

dan biaya total 7 3$4.00.I

(enera0an (emr+graman Linier

/ontoh yang telah diberikan sebelumnya hanya memiliki dua "ariabel ( X $ dan

X 2!. ;alaupun demikian, hampir semua permasalahan di dunia nyata mengandung

"ariabel lebih banyak lagi. Prinsip yang telah dikembangkan dapat digunakan untuk

merumuskan beberapa permasalahan yang lebih rumit. Latihan yang akan

didapatkan

dengan JmengubahK situasi PL berikut dapat membantu mengembangkan keahlianuntuk menerapkan pemrograman linier pada situasi operasi umum lain.

-+n)+h "auran (r+du,

/ontoh 2 memuat keputusan bauran produk yang lain. Sumber daya yang

terbatas harus dapat dialokasikan antarberbagai produk yang dihasilkan

perusahaan. ujuan perusahaan secara keseluruhan adalah memproduksi produk

tertentu dalam jumlah tertentu untuk memaksimalkan keuntungan total.

Ma*alah 2auran 0r+du,

Aailsafe lectronics /orporation memproduksi empat produk utama yang sangat

canggih untuk memasok ke perusahaan penerbangan angkasa luar yang memiliki

kontrak dengan &S&. Setiap produk harus dapat melalui departemen berikut

sebelum dikirimkan# pemasangan ka1at, pengeboran, perakitan, dan pemeriksaan.

6ebutuhan proses produksi pada setiap departemen (dalam jam! dan nilai

keuntungan yang berkesesuaian diringkas pada tabel berikut.



Pendekatan: Perumusan situasi bauran produksi ini sebagai masalah PL. Pertama,

manajer produksi menentukan tingkat produksi setiap produk untuk bulan

mendatang. a menetapkan#

X $ 7 jumlah unit <*20$ yang akan diproduksi,

X 2 7 jumlah unit <8BF4 yang akan diproduksi,

X 7 jumlah unit M2F yang akan diproduksi,

X + 7 jumlah unit M4BB yang akan diproduksi.

Jawaban: Perumusan PL-nya adalah#

ujuan# memaksimalkan keuntungan 7 F X $ 9 $2 X 2 9 $ X 9 $$ X +

dengan batasan

0, X $ 9 l, X 2 9 l, X 9 $ X + : $.00 1aktu pemasangan ka1at yang tersedia

X $ 9 l X 2 9 2 X 9 X + : 2.0 1aktu pengeboran yang tersedia

2 X $ 9 + X 2 9 $ X 9 2 X + : 2.C00 1aktu perakitan yang tersedia

0, X $ 9 l X 2 9 0,< 9 0,<+ : $.200 1aktu pemeriksaan yang tersedia

X $ @ $0 unit <*20$

X 2 @ $00 unit <8BF4

X @ 00 unit M2F

X + @ +00 unit M4BB



X $, X 2, X , X + @ 0

Pemahaman: erdapat banyak batasan dalam sebuah masalah PL. atasan M)S

boleh memiliki satuan yang berbeda, tetapi fungsi tujuannya menggunakan satu

satuan yang umumNkeuntunganNdalam kasus ini. 6arena terdapat lebih dari dua

"ariabel keputusan, masalah ini tidak dipecahkan secara grafis.

Latihan pembelajaran: Pecahkan masalah PL ini seperti yang telah dirumuskan.

&pakah solusinyaG H*a1aban# X $ 7 $0, X 2 7 00, X 7 200, X + 7 +00.I

-+n)+h (en4adwalan Tenaga Ker4a

Permasalahan penjadwalan tenaga kerja mengatasi susunan kepega1aian yang

dibutuhkan pada suatu periode 1aktu tertentu. Penjad1alan terutama bermanfaat

bila para manajer memiliki fl eksibilitas untuk menugaskan para pekerja pada

pekerjaan yang membutuhkan keterampilan yang dapat saling dipertukarkan atau

bertumpang tindih. Mumah sakit dan bank yang besar sering menggunakan PL untuk

mengatasi penjad1alan tenaga kerja mereka. /ontoh + akan menguraikan

bagaimana sebuah bank menggunakan PL untuk menjad1alkan petugas teller -nya.

Men4adwal,an )eller 2an,

&rlington ank of /ommerce and ndustry adalah bank yang sangat sibuk dan

memiliki kebutuhan teller yang berjumlah antara $0 hingga $B orang yang

bergantung pada jam kerja dalam sehari. ;aktu istirahat makan siang, mulai tengah

hari ($2.00! hingga pukul $+.00, umumnya merupakan 1aktu yang paling sibuk.

abel di ba1ah mengindikasikan jumlah teller yang diperlukan pada berbagai jam

kerja bank.



Saat ini, bank tersebut mempekerjakan $2 teller yang bekerja penuh 1aktu, tetapi

sebagian besar orangnya terdapat pada daft ar pekerja paruh 1aktu. Seorang

pekerja paruh 1aktu harus menghabiskan tepat + jam per hari, tetapi ia dapat mulai

bekerja kapan saja, di antara pukul 0F.00 hingga $.00. Para pekerja paruh 1aktu

merupakan tenaga kerja yang tidak mahal karena mereka tidak disediakan uang

pensiun dan insentif makan siang. Pada sisi lain, pekerja penuh 1aktu, mulai bekerja

pukul 0F.00 hingga $4.00 dengan i?in makan siang selama $ jam. (Separuh pekerja

penuh 1aktu makan pada pukul $$.00 dan lainnya makan pada pukul $2.00.!

Pekerja penuh 1aktu memiliki 1aktu kerja produktif selama jam pada setiap

minggu.

Sesuai dengan kebijakan perusahaan, bank tersebut membatasi jam kerja

pekerja paruh 1aktu, yaitu maksimal 0O dari kebutuhan total per hari.

Pekerja paruh 1aktu menerima upah 3C per jam (atau 32+ per hari! secara rata-

rata, sedangkan pekerja penuh 1aktu mendapatkan upah rata-rata 34 per hari

berupa gaji dan insentif.

Pendekatan: ank bermaksud menetapkan sebuah jad1al yang akan

meminimalkan biaya tenaga kerja total. ank akan memberhentikan $ atau lebih

teller penuh 1aktu jika memang menguntungkan pihak bank. %itetapkan#

F 7 teller penuh 1aktu

P $ 7 teller paruh 1aktu mulai pukul 0F.00 (selesai pukul $.00!

P 2 7 teller paruh 1aktu mulai pukul $0.00 (selesai pukul $+.00!

P 7 teller paruh 1aktu mulai pukul $$.00 (selesai pukul $.00!

P + 7 teller paruh 1aktu mulai pukul $2.00 (selesai pukul $C.00!



P 7 teller paruh 1aktu mulai pukul $.00 (selesai pukul $4.00!

Solusi : Aungsi tujuan#

8eminimalkan biaya tenaga kerja total harian 7 34F 9 32+ (P $ 9 P 2 9 P 9 P + 9

P !

atasan# =ntuk setiap jam, jam kerja yang tersedia harus paling sedikit sama

dengan jam kerja yang dibutuhkan.



+P $ 9 +P 2 9 +P 9 +P + 9 +P : 0,0 ($$2!

F , P $ , P 2 , P , P + , P @ 0

erdapat dua jad1al alternatif optimal yang dapat diikuti oleh &rlington ank.

*ad1al alternatif pertama adalah hanya mempekerjakan $0 orang teller penuh 1aktu

(F 7 $0! dan 4 orang teller paruh 1aktu yang mulai bekerja pada pukul $0.00 (P 2 7

4!, 2 orang teller paruh 1aktu yang mulai bekerja pada pukul $$.00 dan $2.00 (P 7

2 dan P + 7 2!, dan orang teller paruh 1aktu yang mulai bekerja pada pukul $.00

(P 7 !. idak ada pekerja paruh 1aktu yang mulai bekerja pada pukul 0F.00.

*ad1al alternatif kedua adalah mempekerjakan $0 orang teller penuh 1aktu (F 7

$0!, tetapi terdapat C orang teller paruh 1aktu yang mulai bekerja pada pukul F.00

(P $ 7 C!, $ orang teller paruh 1aktu yang mulai bekerja pada pukul $0.00 (P 2 7 $!, 2

orang teller paruh 1aktu yang mulai bekerja pada pukul $$.00 dan $2.00 (P 7 2 dan

P + 7 2!, dan orang teller paruh 1aktu yang mulai bekerja pada pukul $.00 (P 7

!. iaya tenaga kerja untuk kedua kebijakan tersebut sama, yaitu sebesar 3$.0BC

per hari.

Pemahaman: ukanlah tidak la?im jika beberapa solusi optimal muncul dalam

masalah PL yang besar. Pada kasus ini, pihak manajemen memiliki pilihan dengan

biaya yang sama antara kedua jad1al tersebut. =ntuk mencari solusi optimal



alternatifnya, &nda mungkin harus memasukkan batasannya dengan urutan yang

berbeda.

Latihan pembelajaran: ank tersebut setuju memberi kenaikan gaji menjadi 34 per

jam untuk pekerja paruh 1aktunya. &pakah solusinya berubahG H*a1aban# a, biaya

7 3$.$+2, F 7 $0, P $ 7 C, P 2 7 $, P 7 2, P + 7 , P 7 0.I

Me)+de Sim0le,* Un)u, (emr+graman Linier

Sebagian besar persoalan pemrograman linier di dunia nyata memiliki lebih dari

dua "ariabel sehingga menjadi terlalu rumit untuk diselesaikan dengan

menggunakan grafik. Sebuah prosedur yang disebut metode simpleks dapatdigunakan untuk mencari solusi yang optimal bagi persoalan seperti itu. 8etode

simpleks sesungguhnya merupakan suatu algoritma (atau serangkaian perintah!

yang digunakan untuk menguji titik pojok pada suatu cara tertentu sehingga sampai

pada solusi terbaikNkeuntungan yang paling tinggi atau biaya yang paling rendah.

Program komputer (seperti cel '8 dan P'8 for ;indo1s! dan spreadsheet cel

tersedia untuk memecahkan persoalan pemrograman linier dengan metode

simpleks.

Documents

Klp 2 Program Linear