Jurnal Geometri Ok 9

8/18/2019 Jurnal Geometri Ok 9

1/5

KONSISTENSI PADA GEOMETRI EUCLID DAN

GEOMETRI HIPERBOLIK

(Jurnal 9) Memen Permata Azmi

Mahasiswa S2 Pendidikan Matematika

Universitas Pendidikan Indonesia

Setelah beberapa pertemuan mempelajari tentang geometri euclid dan geometri

hiperbolik, pada pertemuan ke - 9 yaitu pada hari rabu 30 Oktober 2013 yang diajarkan oleh

Prof. Jozua, kami diajak untuk mengingat kembali apa yang telah kami pelajari sebelumnya.

Kami diharapkan mampu menelaah dua hal yaitu antara geometri euclid dan geometri

hiperbolik untuk mencari persamaan dan perbedaannya. Tujuannya untuk mencari konsistensi

aturan-aturan apa saja yang konsisten pada geometri euclid dan geometri hiperbolik.

Konsistensi maksudnya jika tidak ada aksioma (aturan) dari sistem itu yang bertentangan satu

dengan yang lainnya.

Terdapat dua aturan yang konsisten pada geometri euclid dan geometri hiperbolik,

yang pertama yaitu: konsistensi pada postulat geometri euclid kecuali postulat ke-5, dan yang

kedua pada geometri euclid dan geometri hiperbolik terdapat titik tengah pada sebuah

segmen. Tetapi dari hasil telaah yang paling mengejutkan bagi saya mengenai geometri

hiperbolik yaitu jumlah sudut dalam segitiga kurang dari 1800, karena sepengetahuan saya

ketika belajar mengenai segitiga sudah terbiasa diajarkan bahwa jumlah sudut dalam segitiga

adalah tepat 1800. Namun ketepatan jumlah sudut dalam segitiga adalah 180

0 hanya bisa

dibuktikan pada geometri euclid, tetapi tidak bisa dibuktikan pada geometri netral atau

hiperbolik karena pada geometri netral tidak mengikutsertakan postulat paralel atau tidak

menggunakan postulat ke-5 euclid.

Berikut saya uraikan penjelasan lebih rincinya mengenai konsistensi pada geometri

euclid dan geometri hiperbolik berdasarkan apa yang telah kami pelajari pada pertemuan ini.

Pertama , konsistensi pada geometri euclid dan geometri hiperbolik, kedua-duanya

konsisten pada postulat geometri euclid yaitu postulat 1, 2, 3 dan 4, kecuali pada postulat ke-

5 euclid. Postulat euclid 1, 2, 3, dan 4 adalah:

1.

Melalui dua titik sebarang dapat dibuat garis lurus.

2. Ruas garis dapat diperpanjang secara kontinu menjadi garis lurus.


2/5

3. Melalui sebarang titik dan sebarang jarak dapat dilukis lingkaran.

4. Semua sudut siku-siku sama.

Sedangkan postulat ke-5 eucllid yang ekuivalen pada postulat John Playfair yang tidak

memiliki konsistensi pada geometri euclid gan geometri hiperbolik, yaitu:melalui titik P diluar garis l2 hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan l2.

P l1

l2

Artinya l1 ∥ l2, melalui, sehingga jumlah sudut dalam segitiga = 1800.

Pembuktian jumlah sudut dalam segitiga euclid adalah 180o.

C

1

A 2 B

bukti :

1. Pandang titik A, di luar garis BC,

2.

Menurut postulat playfair, hanya ada 1 garis l yang melalui A dan sejajar BC

3. Akibat : ∠2 = ∠B dan ∠1 = ∠C

4. Sedangkan ∠1 + ∠A + ∠2 = 180o

Maka terbukti, ∠C + ∠A + ∠B = 180o


3/5

Sedangkan pada geometri hiperbolik, EB ∥ AB dan AF ∥ AB dimana kesejajaran pada

geometri hiperbolik tidak berjarak sama dan jumlah sudut dalam segitiga kurang dari 180 0.

Pembuktian jumlah sudut dalam segitiga hiperbolik < 1800

:

Bukti:

1. Tentukan D dan E sebagai titik tengah AB dan AC.

2.

Buat garis melalui D dan E3. Buat dari A, AF ⊥ DE di F

4. Pada sinar FD, tentukan G sehingga GD = FD

5.

Pada sinar FE, tentukan H sehingga EH = EF

6. ∠BGD = ∠AFD = 900, DG = AF dan ∠GBD = ∠FAD berdasarkan teorema Sd-S-Sd

maka ∆ADF ≅ ∆BDG (Sd-S-Sd).

7. Analog ∠H = 900, maka ∠HCE = ∠FAE dan CH = AF

8.

Maka segiempat HGBC = segiempat saccheri. Alas = GH dan ∠ puncak = B dan C.9. ∠GBC + ∠HCB < 180

0

G

A

D EH

CB

F


4/5

Q

P T

∠GBD + ∠DBC + ∠HCE + ∠ECB < 1800

∠DAF + ∠DBC + ∠EAF + ∠ECB < 1800

(∠DAF + ∠EAF) + ∠DBC + ∠ECB < 1800

Perhatikan segitiga ABC∠A + ∠B + ∠C < 180

0 . Terbukti bahwa sudut dalam segitiga hiperbolik < 1800.

Kedua , Konsistensi pada geometri euclid dan geometri hiperbolik adalah terdapat titik

tengah pada sebuah segmen.

Berikut adalah gambar titik tengah E pada segmen AB pada geometri euclid:

A E B

Kontruksi titik tengah segmen AB pada geometri euclid:

1.

Gunakan titik A sebagai titik pusat lingkaran A dan segmen AB sebagai sebagai jari-jari.

2. Gunakan titik B sebagai titik pusat lingkaran B dan segmen AB sebagai sebagai jari-jari.

3. Tandai titik potong lingkaran A dan B sebagai titik C dan D.

4. Hubungkan titik C ke A, titik C ke B dan titik C ke D.

5. Tandai titik potong segmen AB dengan segmen CD.

6. Berdasarkan teorema Sd-S-Sd, ∆CAE ≅ ∆CBE sehingga AE=BE. Berarti E merupakan

titik tengah AB.

Berikut adalah gambar hasil konstruksi titik tengah E pada segmen AB:

Sedangkan pada geometri hiperbolik gambar titik tengah segmen PQ adaalah T:


5/5

Documents

Jurnal Geometri Ok 9