Irrigationz Pw

7/26/2019 Irrigationz Pw

1/11

Suatu Metode Numerik Untuk Komputasi

Perembesan Air Ke Dalam Tanah Pada Sistim Irigasi

Moh. Ivan Azis

Abstrak

Suatu metode numerik ditemukan untuk menghitung kandungan air dalamtanah pada suatu sistim irigasi dimana volume air yang ditumpahkan diketahui.Teorinya didasarkan pada suatu asumsi bahwa kofisien konduksivitas hydrolikmerupakan suatu fungsi eksponensial dari besaran kandungan air dalam tanahitu sendiri. Untuk kasus kasus tertentu hasil komputasi yang diperoleh dapatdibandingkan dengan hasil yang telah ditemukan sebelumnya oleh Batu [2], danWarrick dan Loman [13].

1 Pendahuluan

Sejumlah ilmuwan (Philip [7],[8],[9], Wooding [14], Raats [10],[11], Zachmann danThomas [15], dan Batu [3]) telah berhasil menemukan solusi tunak (steady) untukmasalah perembesan air ke dalam tanah dari suatu sumber air berupa titik, garis danareal pada permukaan tanah. Juga Warrick [12], Lomen dan Warrick [6] telah mene-mukan solusi untuk untuk masalah yang sama, dari sumber berupa titik, garis, bidangdan lingkaran. Untuk perembesan tunak dari suatu saluran berupa selokan/parit Batu[3] telah memperlihatkan hasil analitik dan eksperimental.

Kajian di tulisan ini menggunakan metode persamaan integral untuk mencari so-lusi tunak masalah perembesan air ke dalam tanah dari suatu sumber berbentukselokan/parit (ditch). Seperti hal dalam Batu [2] analisis didasarkan pada linearisasi,seperti yang diajukan oleh Gardner [5], dari persamaan aliran yang dituliskan dalamvariabel kandungan air. Hasil kajian dapat diterapkan untuk penaksiran volume kan-

dungan air dalam tanah untuk sistim irigasi selokan/parit (furrow) yang masih cukuppopuler di Indonesia.

2 Definisi masalah

Merujuk pada kerangka Cartesian O X Y Z perhatikan penampang tanah isotropikdalam daerah Z > 0 dimana OZ mengarah ke bawah secara vertikal, dengan sum-ber air periodik masing-masing berbentuk saluran. Permukaan tanah terletak pada

Jurusan Matematika Universitas Hasanuddin, Indonesia. mailto:[email protected]

1


2/11

Z

Y

X permukaan tanah

2D

2L

Gambar 1: Sumber air periodik

bidang Z= 0 dan penampang tanah tersebut dianggap simetris pada bidang X = 0(lihat Gambar 1). Setiap saluran memiliki luas permukaan 2L per satuan panjangdalam arah OY. Sedangkan jarak antara titik-titik ujung suatu saluran adalah 2D.Diasumsikan bahwa water table berlokasi pada kedalaman tak-terhingga dan setiapsaluran terisi air.

Dikehendaki untuk mengetahui potensial flux matrik (X, Z) dalam tanah dalamdaerah Z >0.

3 Persamaan pembangun

Hubungan antara konduksivitas hydrolik K(h) (berdimensi panjang per waktu) daritanah tak-jenuh (unsaturated soil) dan konduksivitas hydrolik Ks dari tanah jenuh(saturated soil) dapat dituliskan sebagai (lihat Gardner [5])

K(h) =Ksexp(h), (1)

dimana h (berdimensi panjang) adalah potensial air tanah dan (berdimensipanjang1) adalah suatu konstanta empiris. Potensial flux matrik (berdimensi

panjang2 per waktu) dihubungkan dengan konduksivitas hydrolik oleh persamaan

=

h

K(q)dq=1K(h). (2)

Bentuk linear dari persamaan perembesan tunak adalah

2

X2+

2

Z2 =

Z. (3)

Komponen flux matrik ke arah horizontal dan vertikal adalah

U=

X

, (4)

2


3/11

V =

Z. (5)

Flux matrik normal pada permukaan tanah dengan vektor normal mengarah ke luarn= (n1, n2) diberikan oleh

F =

Xn1+ (

Z)n2. (6)

Definisikan peubah-peubah tanpa dimensi sebagai berikut

= 1

v0L, x=

2X, z=

2Z,

u= 2

v0LU, v=

2

v0LV, f=

2

v0LF,

dimana v0 adalah suatu flux rujukan.

Dinyatakan dalam peubah-peubah tanpa dimensi ini, persamaan (3) sampai (6)dapat ditulis sebagai

2

x2+

2

z2 = 2

z, (7)

u=

x, (8)

v= 2

z, (9)

f=

xn1+ (2

z)n2. (10)

Transformasi= exp (z) (11)

merubah persamaan (7) ke persamaan

2

x2 +

2

z2 = 0. (12)

Juga persamaan (8) sampai (10) berubah menjadi

u= exp(z)

x, (13)

v= exp (z)(

z), (14)

f = exp(z)

xn1 (

z)n2

= exp(z)

nn2

. (15)

Sehingga

n

= n2 ezf. (16)

3


4/11

Karena kesimetrian dari masalah maka tidak akan ada aliran air menembus bidangX= 0,D,2D , . . .. Sehingga masalahnya hanya perlu diselesaikan di daerah terarsiryang diperlihatkan pada Gambar 1 dengan syarat batas sebagai berikut.

Syarat batas untuk permukaan tanah di luar daerah saluran adalah bahwa tidak

ada aliran air (yaituF= 0) menembus daerah permukaan ini sehingga dari persamaan(15) syarat batas pada bagian dari daerah terarsir ini adalah

z = 0 (17)

Syarat batas sepanjang permukaan saluran adalah bahwa aliran normal yang dike-tahui, yakni

xn1 (

z)n2

= exp(z)f0(x, z) untuk (x, z) 1. (18)

dimana 1 melambangkan batas dari saluran di daerah terarsir pada Gambar 1 danf0(x, z) diketahui.

Juga, syarat batas bahwa tak ada aliran yang menembus garis batas X= 0 danX= D dari daerah terarsir menghasilkan syarat batas

x = 0 untuk 0 z dan x= 0 dan x= D/2.

Terakhir untuk 0 x D/2 dan z= /X= 0 dan /Z= 0.

4 Persamaan integral batas

Persamaan integral batas untuk persamaan (12) diberikan oleh

(a, b) =

n

n

dS, (19)

dimana n= (n1, n2) adalah vektor normal mengarah ke luar dari batas (dimana menandakan daerah terarsir pada Gambar 1), = 1 bila (a, b) dan = 1/2bila (a, b) (batas dari ) dan memiliki kemiringan berubah secara kontinyu.Untuk persamaan (12), dalam persamaan (19) diberikan oleh

(x, z) = 1

2K

(1)0 (r). (20)

dimana r= ((x a)2 + (z b)2)1

2 dan K(1)0 adalah fungsi Bessel termodifikasi.

Substitusi (16) ke dalam (19) menghasilkan

(a, b) =

n2

n

dS+

f ez dS. (21)

4


5/11

2L

Z

Y

soil surface

VoX

Gambar 2: Sumber air berbentuk bidang datar

5 Komputasi

Persamaan integral batas (21) dengan syarat batas seperti diberikan pada akhir Pasal 3di atas, dapat digunakan untuk menentukan nilai potensial flux matrik untuk berbagaimacam bentuk geometri dari saluran. Pada pasal ini hasil numerik potensial flux

matrik akan ditentukan untuk kasus pada saat bentuk geometri saluran berupa suatubidang datar, setengah lingkaran dan setengah persegi panjang (lihat Gambar 2, 3 dan4).

Untuk setiap kasus nilai numerik dari potensial flux matrik sepanjang garis x= kuntuk beberapa nilai k diperlihatkan dalam bentuk grafik pada Gambar 5, 6, 7, 8, 9dan 10.

Untuk memperoleh nilai numerik ini dari persamaan (21) metode element batasdigunakan (lihat misalnya Clements [4]). Batas domain dibagi menjadi beberapa seg-ment sehingga integral dalam persamaan (21) dapat dituliskan dalam suatu jumlahan;dan karenanya integral dalam (21) dapat dituliskan sebagai suatu sistim persamaan

aljabar linear untuk fungsi tak diketahui (a, b). Jumlah segment ditingkatkan sampaikekonvergenan hasil numerik dari nilai fungsi (a, b) tercapai (ke empat tempat desi-mal). Untuk mencapai level kekonvergenan ini daerah terarsir dalam Gambar 1 beradadi antara bidang z= 0 dan z= 4 dan batas atau tepinya dibagi atas 1100 segment.

Nilai numerik yang diperlihatkan dalam Gambar 510 untuk potensial flux matrikmengindikasikan secara jelas pengaruh keragaman ketiga bentuk geometri dari sumberair. Perlu dicatat bahwa untuk setiap kasus bentuk geometri sumber air, luas per-mukaan sumber air adalah sama sehingga volume air per satuan waktu yang merembeske dalam tanah pun sama.

Hasil yang diperoleh memperlihatkan potensial flux matrik tidak berubah secarasignifikan dengan penggantian bentuk geometri sumber air dari bidang datar (Gam-

5


6/11

0.06 -0.06

Z

Y

0.5 -0.5X

Gambar 3: Sumber air setengah lingkaran

Z

impermeable layer

-0.10.1 -0.50.5

0.1 0.1

Y

X

Gambar 4: Sumber air setengah persegi panjang

6


7/11

3

3.2

3.4

3.6

3.8

4

4.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

z

flat

semi-circularrectangular

Gambar 5: Nilai sepanjang garis x= 0.15

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3

3.1

3.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

z

flatsemi-circular

rectangular


7


8/11

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3

3.1

3.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

z

flatsemi-circular

rectangular


2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

z

flatsemi-circular

rectangular


8


9/11

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

z

flatsemi-circular

rectangular

Gambar 9: Nilai sepanjang garis tepi x= 0.50

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

x

flatsemi-circular

rectangular

Gambar 10: Nilai sepanjang permukaan tanah z= 0

9


10/11

bar 2) ke setengah lingkaran (Gambar 3). Sebaliknya, penggantian sumber air daribidang datar ke saluran setengah persegi panjang dengan dasar yang diasumsikan takpermeabel (Gambar 4) memperlihatkan peningkatan nilai potensial flux matrik secarasubstansial. Ini khususnya benar dekat permukaanz= 0 dimana biasanya akar tana-

man berada.

6 Konklusi

Suatu metode elemen batas telah diperoleh untuk solusi dari suatu kelas masalah ten-tang perembesan air dari suatu barisan saluran periodik. Metode ini telah digunakanuntuk membandingkan keefektifan beberapa profil saluran tertentu dengan cara pe-nentuan distribusi potensial flux matrik untuk saluran yang dipertimbangkan.

References[1] H. A. Basha. Multidimensional Steady Infiltration With Prescribed Boundary

Conditions At The Soil Surface. Water Resources Research, 30:21052118, 1994.

[2] V. Batu. Steady Infiltration From Single And Periodic Strip Sources. Soil ScienceSociety of America Journal, 42:545549, 1978.

[3] V. Batu. Steady Infiltration From a Ditch : Theory and Experiment.Soil ScienceSociety of America Journal, 41:677682, 1977.

[4] D. L. Clements. Boundary Value Problems Governed By Second Order EllipticSystems. Pitman, New York, 1990.

[5] W. R. Gardner. Some Steady State Solutions of the Unsaturated Moisture FlowEquation With Application to Evaporation From a Water Tabel. Soil Science,85:228232, 1958.

[6] D. O. Lomen and A. W. Warrick. Time Dependent Linearized Infiltration. II. LineSources. Soil Science Society of America Proceedings, 38:568572, 1974.

[7] J. R. Philip. Theory of Infiltration. Adv. Hydrosci., 5:215296, 1971.

[8] J. R. Philip. General Theorem on Steady Infiltration from Surface Sources withApplication to Point and Line Sources. Soil Science Society of America Proceed-ings, 35:867871, 1971.

[9] J. R. Philip. Steady Infiltration From Burried Point Sources and Spherical Cavi-ties. Water Resources Research, 4:10391047, 1968.

[10] P. A. C. Raats. Steady Infiltration from Point Sources, Cavities and Basins. SoilScience Society of America Proceedings, 35:689694, 1971.

[11] P. A. C. Raats. Steady Infiltration from Line Sources and Furrows. Soil ScienceSociety of America Proceedings, 34:709714, 1970.

10


11/11

[12] A. W. Warrick. Time-dependent Linearized Infiltration: I. Point Sources. SoilScience Society of America Proceedings, 38:383386, 1974.

[13] A. W. Warrick and D. O. Lomen. Time-dependent Linearized Infiltration: III

Strip and Disk Sources. Soil Science Society of America Journal

, 40:639643,1976.

[14] R. A. Wooding. Steady Infiltration From Shallow Circular Pond. Water Resour.Res., 4:12591273, 1968.

[15] D. W. Zachman and A. W. Thomas. A Mathematical Investigation of Steady In-filtration from Line Sources. Soil Science Society of America Proceedings, 37:495500, 1973.

11

Documents

Irrigationz Pw