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Introduction
f(v)
Theorie
Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Introduction a la physique desplasmas
cours 5: theorie cinetique
S. Mazevet
Laboratoire de Structure ElectroniqueDepartement de Physiqu e Theorique et Appliquee
Commissariat a l’Energie AtomiqueBruyeres-Le-Chatel, France
Orsay, Octobre 2009
Orsay, Octobre 2009 p-1/45
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Introduction
f(v)
Theorie
Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Table of contents
1 Introduction
2 Fonctions de distribution
3 Equations de la theorie cinetiqueEquation fondamentaleInterpretationCollisions
4 Derivation des equations fluidesPremier momentDeuxieme moment
5 Oscillations plasma et amortissement de LandauDerivationAmortissement Landau: interpretation physique
6 Amortissement Landau ioniqueFonction de dispersion plasmaRelation de dispersionOndes plasmaOnde acoustique ionique
Orsay, Octobre 2009 p-2/45
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Introduction
f(v)
Theorie
Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Introduction
La theorie fluide que nous avons utilisee jusqu’a present est ladescription la plus simple d’un plasma
Elle permet de decrire la majorite des phenomenes observes
L’approximation fluide repose sur l’hypothese suivant laquelle lesparticules presentes dans le plasma sont a l’equilibre
Les vitesses moyennes sont alors representees par une distributionde Maxwell-Boltzman
On peut donc parler de temperature T definie a partir de cettedistribution
Les elements du fluide possedent une vitesse moyenne u
Dans la theorie fluide, les quantites dependent de quatre variables,x, y, x, t
Il faut que les conditions dans le plasma permettent un nombresuffisant de collisions pour que la distribution de Maxwell-Boltzmansoit representative: equilibre thermodynamique local
Orsay, Octobre 2009 p-3/45
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Introduction
f(v)
Theorie
Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Introduction II
Lorsque les conditions de densite et de temperature dans le plasmasont telles qu’il n’y a pas assez de collisions, on ne peut plusutiliser une distribution de Maxwell-Boltzman
Ceci se produit lorsque la temperature est elevee ou la densite tresfaible
Il faut alors considerer directement la fonction de distribution desvitesses f(v)La description fluide ne distingue pas deux distributionsnon-Maxwellienne dont les integrales sont egales
La theorie cinetique consiste a appliquer directement les conceptsde la physique statistique sur l’ensemble des particules representeespar une fonction de distribution
La theorie cinetique est plus elaboree que la theorie fluide
On doit retrouver cette derniere dans la limite ou la distributiondes vitesses peut etre representee par une distribution deMaxwell-Boltzmann
Orsay, Octobre 2009 p-4/45
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Introduction
f(v)
Theorie
Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Fonctions de distribution
La densite est une fonction de quatre variables n(r, t)Lorsque l’on considere la distribution des vitesses, nous avons 7variables independentes: f = f(r,v, t)f = f(r,v, t) represente le nombre de particules par m3 a laposition r au temps t avec des composantes de la vitessecomprisent entre vx et vx + dvx, vy et vy + dvy, vz et vz + dvz
f(x, y, z, vx, vy, vz, t)dvxdvydvz (1)
L’integrale de la fonction de distribution peut s’ecrire de plusieursfacons
n(r, t) =∫ ∞−∞
dvx
∫ ∞−∞
dvy
∫ ∞−∞
dvzf(r,v, t) (2)
=∫ ∞−∞
f(r,v,t)d3v (3)
=∫ ∞−∞
f(r,v,t)dv (4)
Orsay, Octobre 2009 p-5/45
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Introduction
f(v)
Theorie
Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Fonctions de distribution II
ou dv n’est pas un vecteur mais un element de volume dansl’espace des vitesses
Si f est normalisee de facons a definir∫ ∞−∞
f(r,v,t)dv = 1 (5)
f est une probabilite et
f(r,v,t) = n(r, t)f(r,v,t) (6)
f(r,v,t) est toujours une fonction a sept variables car la formeainsi que la densite peuvent changer dans l’espace et le temps
f(r,v,t) s’exprime en (m/s)−3
f(r,v,t) s’exprime en s3/m6
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Introduction
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Theorie
Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Maxwell-Boltzmann
Une fonction de distribution importante est la distribution deMaxwell-Boltzmann
fm =(
m
2πkBT
)3/2
exp(−v2/v2th) (7)
avec v = (v2x + v2
y + v2z)1/2 et vth = (2kBT/m)1/2
En utilisant ∫ ∞−∞
exp(−x2)dx =√π (8)
on peut verifier que ∫ ∞−∞
fmdv = 1 (9)
La distribution est normalisee
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Theorie
Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Maxwell-Boltzmann: moyennes
Deux moyennes importantes, souvent calculees pour la distributionde M.B., la vitesse moyenne et l’ecart quadratique moyenpermettant d’obtenir l’energie cinetique (voir cours 1)La deuxieme quantite (v2)1/2, l’ecart quadratique moyen desvitesses s’obtient pour une dimension
(v2) =∫ ∞−∞
(m
2πkBT
)1/2
v2exp
(− v2
v2th
)dv (10)
=∫ ∞−∞
(m
2πkBT
)1/2
v3thy
2exp(−y2)dy (11)
=(
m
2πkBT
)1/2
v3th
∫ ∞−∞
y2exp(−y2)dy (12)
En integrant par partie∫ ∞−∞
y2exp(−y2)dy = [−12yexp(−y2)]∞−∞ −
∫ ∞−∞−1
2exp(−y2)dy
=12√π (13)
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Theorie
Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Maxwell-Boltzmann: moyennes II
L’ecart quadratique moyen est alors
(v2) =(
m
2πkBT
)1/2
v3th
12√π (14)
(v2)1/2 =
√kBT
m(15)
Ce resultat se generalise a trois dimensions en notant que lafonction de distribution des vitesses est symmetrique suivantvx, vy, vz.
(v2)1/2 =
√3kBTm
(16)
Orsay, Octobre 2009 p-9/45
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Theorie
Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Maxwell-Boltzmann: moyennes III
La vitesse moyenne v est definie comme
v =∫ ∞−∞
vf(v)d3v (17)
Comme fm est symmetrique suivant vx, vy, vz l’integrale s’obtienten passant en coordonnees spheriques
v = (m/2πkBT )3/2∫ ∞
0
vexp(−v2/v2th)4πv2dv (18)
= (πv2th)−3/24πv4
th
∫ ∞0
[exp(−y2)]y3dy (19)
avec∫∞0
[exp(−y2)]y3dy = 12 , la vitesse moyenne est
v = 2vth/√π = 2
√2kBTπm
(20)
Orsay, Octobre 2009 p-10/45
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Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Maxwell-Boltzmann: moyennes IV
La norme de la vitesse moyenne dans une direction a une moyennedifferente que la composante dans une direction vx = 0
¯|vx| =∫|vx|fm(v)d3v (21)
= (m
2πkBT)3/2
∫ ∞−∞
dvyexp(−v2
y
v2th
)∫ ∞−∞
dvzexp(−v2
z
v2th
)
×∫ ∞
0
2vxexp(−v2
x
v2th
)dvx (22)
Les deux premieres integrales sont chacunes egales a√πvth.
La derniere integrale est egale a v2th
La norme de la vitesse moyenne dans une direction est donc
¯|vx| = (πv2th)−3/2πv4
th (23)
= (π)−1/2vth =(
2kBTπm
)1/2
(24)
Orsay, Octobre 2009 p-11/45
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Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Maxwell-Boltzmann: moyennes V
En resume, une fonction de type Maxwell-Boltzmann (Gaussienne)possede les proprietes suivantes
(v2)1/2 =(
3kBTm
)1/2
(25)
¯|v| = 2(
2kBTπm
)1/2
(26)
¯|vx| =(
2kBTπm
)1/2
(27)
vx = 0 (28)
Pour une distribution symmetrique suivant les differentescomposantes de v, on introduit souvent la fonction g(v) qui estfonction de la norme de v∫ ∞
0
g(v)dv =∫ ∞−∞
f(v)d3v (29)
Orsay, Octobre 2009 p-12/45
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Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Maxwell-Boltzmann: moyennes VI
Il est impossible de representer la fonction f(r,v) a un tempsdonne t sauf si l’on reduit le nombre de dimensions
A une dimension, l’intersection de la surface avec les plansx = cste represente les fonctions de distribution des vitesses f(vx)Les intersections avec les plans vx = cste represente le profile dedensite des particules possedant une vitesse vx
Si toutes les courbes f(vx) ont la meme forme, la variation dumaximum represente la variation de densite
La projection des courbes f = cste dans le plan x− vx donne latopographie de la fonction de distribution
Orsay, Octobre 2009 p-13/45
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Theorie
Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Equation fondamentale
L’equation fondamentale devant etre satisfaite par la fonction dedistribution est l’equation de Boltzmann
∂f
∂t+ v.∇f +
Fm.∂f
∂v=(∂f
∂t
)c
(30)
F est la force agissant sur les particules
(∂f/∂t)c est la variation temporelle de f due aux collisions
∇ represente le gradient dans l’espace (x, y, z)∂/∂v represente le gradient dans l’espace des vitesses
∂
∂v= x
∂
∂vx+ y
∂
∂vy+ z
∂
∂vz(31)
Orsay, Octobre 2009 p-14/45
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Theorie
Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Equation Boltzman: interpretation
Pour interpreter l’equation de Boltzmann, on pose la dependenceexplicite de la fonction de distribution sur les sept variables detemps, d’espace et de vitesse
df
dt=∂f
∂t+∂f
∂x
∂x
∂t+∂f
∂y
∂y
∂t+∂f
∂z
∂z
∂t+∂f
∂vx
∂vx∂t
+∂f
∂vy
∂vy∂t
+∂f
∂vz
∂vz∂t
(32)
Le premier terme represente la dependence temporelle explicite def
Les trois termes suivants representent v.∇fEn utilisant la troisieme loi de Newton
mdvdt
= F (33)
on remarque que les trois termes suivants sont simplement(F/m).(∂f/∂v)
Orsay, Octobre 2009 p-15/45
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Theorie
Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Equation Boltzman: interpretation II
La derivee totale df/dt peut etre interpretee comme la vitesse dechangement de la fonction de distribution dans un repere sedeplacant avec les particules (voir cours 3)
La difference avec la theorie fluide se situe sur le fait que l’on doitmaintenant considerer des deplacement dans l’espace a 6dimensions (r,v)L’equation de Boltzmann montre que df/dt est nulle en l’absencede collisions
Comme les forces s’exercant sur les particules ne dependent que der et v, la densite de particules dans un element de l’espace desphases est conservee (elles sont soumises aux memes forces)
Lorsqu’il y a des collisions, les particules diffusent et la densitedans l’espace des phases change au cours du temps
Orsay, Octobre 2009 p-16/45
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Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Equation de Vlasov
Lorsque les collisions sont negligeables et que les forces sont E.M.,l’equation de Boltzmann prend la forme suivante
∂f
∂t+ v.∇f +
q
m(E + v ×B).
∂f
∂v= 0 (34)
C’est ce que l’on appelle l’equation de Vlasov.
A cause de sa simplicite c’est l’equation la plus utilisee dans latheorie cinetique
Lorsque les collisions sont importantes il faut ajouter a l’equationde Vlasov la contribution de (∂f/∂t)coll representant lechangement local de la fonction de distribution
Orsay, Octobre 2009 p-17/45
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Theorie
Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Equation de Vlasov: effet des collisions
Lorsqu’il y a des collisions avec des atomes neutres on peut ecrire(∂f
∂t
)c
=fn − fτ
(35)
avec fn la fonction de distribution des atomes neutres et τ lafrequence de collisions
Lorsque l’on considere des collisions Coulombiennes, une formeapproximative du terme collisionnel est donnee par(
∂f
∂t
)c
= − ∂
∂v.
(d < ∆v >
dtf
)+
12
∂2
∂v∂v
(d < ∆v∆v >
dtf
)(36)
Equation (36) est l’equation de Fokker-Planck∂<∆v>∂v represente le changement moyen de la vitesse moyenne
d’une particule du plasma due aux collisions Coulombiennesd<δvδv>
dt est le coefficient de diffusion des vitesses
Orsay, Octobre 2009 p-18/45
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Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Equation de Vlasov: effet des collisionsII
En considerant les collisions Coulombiennes entre les electrons etles ions, on peut exprimer l’equation de Fokker-Planck en fonctiondu logarithme Coulombien (considerant seulement les collisions aangles faibles)
d < ∆vdt
= −niZ2e4lnΛ
4πε20m2v3v (37)
< ∆v∆v >
dt= −niZ
2e4lnΛ4πε20m2v3
(Iv2 − v.v) (38)
avec I le tenseur uniteL’equation de Fokker-Planck devient alors(
∂fe∂t
)c
=niZ
2e4lnΛ4πε20m2
∂
∂v.
(Iv2 − vv
v3.∂fe∂v
)(39)
Cette forme ne prend en compte que les collisions entre electronset ionsUne forme plus generale, prenant en compte les collisions e− e ete− i peut etre derivee
Orsay, Octobre 2009 p-19/45
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Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Equations fluides: premier moment
Les equations fluides derivees dans le cours 3 sont des moments del’equation de Boltzman
∂f
∂t+ v.∇f +
Fm.∂f
∂v=(∂f
∂t
)c
(40)
En integrant∫dv et en considerant la force de Lorentz, l’equation
de Boltzmann devient∫∂f
∂tdv+
∫v.∇fdv+
q
m
∫(E + v ×B).
∂f
∂vdv =
∫ (∂f
∂t
)c
dv
(41)
Le premier terme devient∫∂f
∂tdv =
∂
∂t
∫fdv =
∂n
∂t(42)
Orsay, Octobre 2009 p-20/45
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f(v)
Theorie
Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Equations fluides: premier moment
Comme v est une variable independante, elle n’est pas affectee parl’operateur ∇∫
v.∇fdv = ∇.∫
vfdv = ∇.(nv) ≡ ∇.(nu) (43)
ou nous definissons la vitesse moyenne u comme la vitesse du fluide
Le troisieme et quatrieme termes sont nuls
Pour le troisieme terme∫E.∂f
∂vdv =
∫∂
∂v.(fE)dv =
∫S∞
fE.dS = 0 (44)
L’integrale est nulle si f → 0 plus vite que v−2 lorsque v →∞Il est necessaire que la fonction de distribution f soit de carreintegrable pour que l’energie soit finie donc ce terme est nul
Orsay, Octobre 2009 p-21/45
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Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Equations fluides: premier moment
Pour le terme dependant du champ magnetique on a∫(v ×B).
∂f
∂vdv =
∫∂
∂v.(fv ×B)dv−
∫f∂
∂v×(v ×B)dv = 0
(45)
La premiere integrale peut etre convertie en une integrale desurface donc l’integrale est nulle
Le deuxieme terme disparait car (v ×B) est perpendiculaire a∂/∂v
En l’absence de collision permettant la recombinaison oul’ionisation le nombre de particules reste constant
Le premier moment de l’equation de Boltzmann permet donc deretrouver l’equation de continuite
∂n
∂t+∇.(nu) = 0 (46)
Orsay, Octobre 2009 p-22/45
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Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Equations fluides: deuxieme moment
Le deuxieme moment de l’equation de Boltzmann
∂f
∂t+ v.∇f +
Fm.∂f
∂v=(∂f
∂t
)c
(47)
s’obtient en multipliant par mv et en integrant suivant∫dv
m
∫v∂f
∂tdv +m
∫v(v.∇)fdv + q
∫v(E + v ×B).
∂f
∂vdv
= m
∫v(∂f
∂t
)c
dv (48)
Le terme du membre de droite represente le changement demoment du aux collisions: Pij
Pour les collisions electron-ion, ce terme s’exprime en fonction dela frequence de collision νei
Pei = mn(vi − ve)νei (49)
Effet des collisions introduit dans l’equation fluide (cours 3)
Orsay, Octobre 2009 p-23/45
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Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Equations fluides : deuxieme moment II
Le premier terme s’ecrit
m
∫v∂f
∂tdv = m
∂
∂t
∫vfdv = m
∂
∂t(nu) (50)
avec u la vitesse moyenne du fluide
La troisieme integrale devient∫v(E + v ×B).
∂f
∂vdv =
∫∂
∂v.[fv(E + v ×B).dv] (51)
−∫fv
∂
∂v.(E + v ×B)dv −
∫f(E + v ×B).
∂
∂vv.dv
Les deux premiers termes s’annullent pour les memes raisons queprecedemment
En remarquant que ∂v/∂v est le tenseur identite
q
∫v(E + v ×B).
∂f
∂vdv = −q
∫(E + v ×B)fdv = −qn(E + u×B)
(52)
Orsay, Octobre 2009 p-24/45
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Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Equations fluides : deuxieme moment III
Pour evaluer le terme restant, il faut considerer que v est unevariable independante∫
v(v.∇)dv =∫∇.(fvv)dv (53)
= ∇.∫fvvdv (54)
= ∇.nvv (55)
En separant v en une partie moyenne u et une partie thermique wv = u + w, on obtient
∇.nvv = ∇.(nuu) +∇.(nww) + 2∇.(n(uw) (56)
Le deuxieme terme correspond au tenseur de stress P
le premier terme donne
∇.(nuu) = u∇.(nu) + n(u.∇)u (57)
Orsay, Octobre 2009 p-25/45
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Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Equations fluides : deuxieme moment III
L’equation de Boltzmann peut donc s’ecrire
m∂
∂t(nu)+mu∇.(nu)+mn(u.∇)u+∇.P−qn(E + u×B) = Pij
(58)
En utilisant l’equation de continuite pour les deux premier termeson obtient l’equation fluide
mn
[∂u∂t
+ (u.∇)u]
= qn(E + u× b)−∇.P + Pij (59)
L’equation fluide decrit le mouvement du flux de moment
Le mouvement du flux d’energie s’obtient en prenant le momentsuivant de l’equation de Boltzmann en multipliant par 1
2mvv et enintegrant sur v
Orsay, Octobre 2009 p-26/45
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Equationsfluide
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Landau i
Oscillations plasmas et amortissement de Landau
L’equation de Vlasov peut etre utilisee pour determiner l’effet de ladistribution des vitesses sur les ondes plasmas decrite dans le cours4
On considere un plasma uniforme avec une distribution f0(v) etsans champs exterieurs E0 = 0 et B0 = 0
On suppose une perturbation de la fonction de distribution
f(r,v, t) = f0(v) + f1(r,v, t) (60)
Comme v est une variable independante on ne peut plus lineariseret l’equation de Vlasov s’ecrit
∂f1∂t
+ v.∇f1 −e
mE1.
∂f0∂v
= 0 (61)
Orsay, Octobre 2009 p-27/45
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Equationsfluide
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Landau i
Oscillations plasmas et amortissement de Landau II
On considere les ions fixes et les ondes comme planes suivant x
f1 ≡ ei(kx−ωt) (62)
L’equation de Vlasov donne alors
−iωf1 + ikvxf1 =e
mEx
∂f0∂vx
(63)
f1 =ieExm
∂f0/∂vxω − kvx
(64)
L’equation de Poisson donne
ε0∇.E1 = ikε0Ex = −en1 (65)
= −e∫ ∫ ∫
f1d3v (66)
Orsay, Octobre 2009 p-28/45
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Landau i
Oscillations plasmas et amortissement de Landau III
En utilisant l’expression de f1 on obtient
1 = − e2
kmε0
∫ ∫ ∫∂f0/∂vxω − kvx
d3v (67)
Le facteur n0 peut etre retire de l’integrale si l’on remplace f0 parune fonction normalisee f0
1 = −ω2
k
∫ ∞−∞
dvz
∫ ∞−∞
dvz
∫ ∞−∞
∂f0(vx, vy, vz)/∂vxω − kvx
dvx (68)
Si f0 est une fonction du type Mazwell-Boltzmann, il ne restequ’une fonction a une dimension f0(vx) et la relation de dispersionest alors
1 =ω2
k2
∫ ∞−∞
∂f0(vx)/∂vxvx − (ω/kv)
dvx (69)
A cause de la singularite, l’integrale doit etre traitee comme uneintegrale de contour dans le plan complex de la variable v
Orsay, Octobre 2009 p-29/45
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Landau i
Oscillations plasmas et amortissement de Landau IV
Landau a ete le premier a traiter cette integrale
Il a trouve que la singularite entraine un effet important sur lesrelations de dispersion qui n’etaient pas traite par la theorie fluide
Une relation de dispersion approximative peut etre obtenue enconsiderant une vitesse de phase elevee et un amortissement faible
La relation de dispersion est alors
1 =ω2p
k2
P ∫ ∞∞
∂f0/∂v
v − (ω/k)dv + iπ
∂f0∂v
∣∣∣∣∣v=w/k
(70)
ou nous avons pose v ≡ vxP est la valeur principale de Cauchy. Elle correspond a uneintegration suivant l’axe reel x en excluant la region autour dupole.
Orsay, Octobre 2009 p-30/45
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Oscillations plasmas et amortissement de Landau V
L’integrale s’evalue en utilisant une integration par partie∫ ∞−∞
∂f0∂v
dv
v − (ω/k)=
[f0
v − vφ
]∞−∞
−∫ ∞−∞
−f0dv(v − vφ)2
(71)
=∫ ∞−∞
f0dv
(v − vφ)2(72)
Nous avons donc une moyenne de (v − vφ)−2 sur la fonction dedistributionLa partie reelle de la dispersion de relation est donc
1 =ω2p
k2(v − vφ)−2 (73)
Comme nous avons obtenu la relation de dispersion en posantvφ >> v, on peut effectuer un developpement limite
(v−vφ)−2 = v−2φ
(1− v
vφ
)−2
= v−2φ
(1 +
2vvφ
+3v2
v2φ
+4v3
v3φ
+ ...
)Orsay, Octobre 2009 p-31/45
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Landau i
Oscillations plasmas et amortissement de Landau VI
Les termes impaires disparaissent lorsque l’on prend la moyenne surf0Nous obtenons donc
(v − vφ)−2 ≡ v−2φ
(1 +
3v2
v2φ
)(74)
En prenant une distribution de Maxwell-Boltzmann pour f0 etv ≡ vx on a a une dimension
12mv2
x =12kBTe (75)
La relation de dispersion devient alors
1 =ω2p
k2
k2
ω2
(1 + 3
k2
ω2
kBTem
)(76)
ω2 = ω2p +
ω2p
ω2
3kBTem
k2 (77)
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Oscillations plasmas et amortissement de Landau VII
Lorsque la correction est petite on peut remplacer ω2 par ω2p et
nous retrouvons
ω2 = ω2p +
3kBTem
k2 (78)
C’est la relation de dispersion obtenue dans l’approximation fluideavec γ = 3Pour evaluer l’effet de la partie imaginaire dans la relation dedispersion on neglige dans un premier temps la correctionthermique sur la partie reelle
En utilisant un developpement limite, la relation de dispersiondevient alors
1 =ω2p
ω2+ iπ
ω2p
k2
∂f0∂v|v=vφ (79)
ω2p = ω2
1− iπω2p
k2
[∂f0∂v
]v=vφ
(80)
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Theorie
Equationsfluide
Landaue−
Landau i
Oscillations plasmas et amortissement de Landau VIII
En considerant la partie imaginaire comme etant petite, on peutecrire
ω2 = ω2p
1 + iπω2p
k2
[∂f0∂v
]v=vφ
(81)
Si f0 est une distribution de Maxwell-Boltzmann a une dimensionon a
∂f0∂v
= (πv2th)−1/2
(−2vv2th
)exp
(−v2
v2th
)(82)
= − 2v√πv3
th
exp
(−v2
v2th
)(83)
En prenant vφ = ωp/k dans le coefficient mais en gardant lacorrection thermique dans l’exposant on obtient
Im(ω) = −π2ω3p
k2
2ωpk√π
1v3th
exp
(−ω2
k2v2th
)(84)
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Landau i
Oscillations plasmas et amortissement de Landau IX
Im(ω) = −√πωp
(ωpkvth
)3
exp
(−ω2
p
k2v2th
)exp
(−32
)(85)
Im
(ω
ωp
)= −0.22
√π
(ωpkvth
)3
exp
(−1
2k2λ2D
)(86)
Il y a donc un amortissement des ondes plasma qui n’est pas duaux collisions, c’est l’amortissement de LandauCet effet est connecte a f1 qui represente la distortion de lafonction de distribution par l’onde plasmaCet effet a ete demontre de maniere mathematique avant d’avoirete observe en laboratoire (1950)Cet effet s’observe aussi pour la formation des galaxies ou lesetoiles sont considerees comme des atomes interagissant par lebiais de la force gravitationnelle plutot que E.M.Les instabilites du gaz d’etoiles permet la formation de bras enforme de spirales. L’effet Landau limite ce processus
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Landau i
Amortissement Landau: interpretation physique
Pour interpreter l’amortissement de Landau, on remarque toutd’abord que la partie imaginaire Im(ω) est reliee au pole v ≡ vφL’effet est donc relie aux particules dont la vitesse est proche de lavitesse de phase (particules resonnantes)
Ces particules se deplacent avec l’onde et ne voit pas le champelectrique variant rapidement
Elles peuvent donc echanger de l’energie de maniere tres efficaceavec cette onde
Analogie: un surfeur et une vague, autant d’energie gagnee queperdue
Dans un plasma il y a des electrons plus rapides et des electronsmoins rapides que la vitesse de l’onde
Pour une distribution Maxwellienne il y a plus d’electrons lents qued’electrons rapides, donc l’onde perd de l’energie
Lorsque les particules se deplacent a v ≡ vφ, f(v) se trouveapplatie
C’est la distortion f1(v) que nous venons de calculer
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Fonction de dispersion plasma
Les electrons ne sont pas les seuls particules a pouvoir etreresonnantesSi la vitesse de phase de l’onde vφ est suffisement petite pour etreproche de la vitesse thermique, un amortissement de Landau aegalement lieu pour les ionsLes ondes acoustiques ioniques sont fortement modifiees parl’amortissement LandauPour obtenir l’amortissement Landau ionique on repart del’equation de Vlasov et on considere cette fois les ions et leselectrons
∂f
∂t+ v.∇f +
q
m(E + v ×B).
∂f
∂v= 0 (87)
En l’absence de champs magnetique, en considerant un plasmauniforme avec une distribution f0(v) et une perturbation dupremier ordre f1(r,v,t) on a
fj(r,v, t) = f0j(v) + f1j(r,v,t) (88)
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Fonction de dispersion plasma II
L’equation de Vlasov pour chaque espece j (electron, ions) est
∂f1j∂t
+ vj.∇f1j −qjmj
E1.∂f0j∂vj
= 0 (89)
Comme pour les electrons, il n’y a pas de linearisation en vOn considere comme precedement une perturbation de formesinusoidale suivant x, f1j ≡ ei(kx−ωt)Ceci entraine
−iωf1j + ikωvxjf1j =qjmj
Ex∂f0j∂vxj
(90)
f1j =iqjExmj
∂f0j/∂vxjω − kvxj
(91)
ou nous avons introduit j pour representer l’espece j de charge qjet masse mj .La perturbation en densite de l’espece j est donnee par
n1j =∫ ∞−∞
f1j(vxj)dvxj = − iqjEmj
∫ ∞−∞
∂f0j/∂vxjω − kvxj
dvxj (92)
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Fonction de dispersion plasma III
En prenant pour fonction de distribution a l’equilibre unedistribution de Maxwell a une dimension
f0j =noj
vthjπ1/2e−v
2j/v
2thj vthj =
(2kBTjmj
)1/2
(93)
En introduisant vxj ≡ vj et la variable s = vj/vthj on peut ecrire
n1j =iqjEn0j
kmjv2thj
1√π
∫ ∞−∞
(d/ds)e−s2
s− ζjds (94)
avecζj =
ω
kvthj(95)
ceci nous permet de definir la fonction de dispersion plasma
Z(ζ) =1√π
∫ ∞−∞
e−s2
s− ζds (96)
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Relation de dispersion
Comme nous l’avons vu precedement, Z(ζ) est une integrale decontour
Elle peut etre evaluee a partir de tables ou routines numeriques
Pour exprimer n1j en fonction de Z(ζ) et obtenir la relation dedispersion, il faut prendre la derivee par rapport a ζ
Z ′(ζ) =1√π
∫ ∞−∞
e−s2
(s− ζ)2ds (97)
Une integration par partie done
Z ′(ζ) =1√π
[−e−s2
s− ζ
]∞−∞
+1√π
∫ ∞−∞
(d/ds)(e−s2)
s− ζds (98)
Le premier terme est nul et on peut donc ecrire
n1j =iqjEn0j
kmjv2thj
Z ′(ζj) (99)
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Landau i
Relation de dispersion II
En considerant maintenant l’equation de Poisson
ε0∇.E = ikε0E =∑j
qjnj (100)
On obtient l’equation de dispersion
k2 =ω2p
v2the
Z ′(ζe) +∑j
Ω2pj
v2thj
Z ′(ζj) (101)
Ou nous avons introduit la frequence plasma ionique (cours 4)
Ωpj ≡
(n0jZ
2j e
2
ε0Mj
)1/2
(102)
On retrouve la relation de dispersion etablie pour les electrons etun terme ionique supplementaire
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Landau i
Relation de dispersion: ondes plasma
En considerant des ions infiniment lourds Mj →∞ c’est a direΩpj = 0, on a
k2 =ω2p
v2the
Z ′(ζe) (103)
On retrouve l’expression pour les ondes plasmas electroniques
Nous avions precedement obtenu pour les electrons, eq.(69),
1 =ω2
k2
∫ ∞−∞
∂f0(vx)/∂vxvx − (ω/kv)
dvx (104)
Ces deux expresions sont equivalentes lorsque f0e est unedistribution de Maxwell-Boltzmann
La relation de dispersion contient l’effet Landau pour les electrons
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Landau i
Relation de dispersion: onde ionique et amortissement
Pour obtenir les ondes ioniques, on repart de la relation dedispersion
k2 =ω2p
v2the
Z ′(ζe) +∑j
Ω2pj
v2thj
Z ′(ζj) (105)
On considere que la vitesse de phase ionique ω/k est tres inferieurea la vitesse thermique electronique vtheDonc ζe = ω/kvthe est tres petit et l’on peut poser Z(ζe) = −2 ennegligeant l’amortissement de Landau pour les electrons
Ceci reste justifie car la derivee de f0e est faible pres du maximumdes ondes ioniques
La relation de dispersion devient alors
λ2D
∑j
Ω2pj
v2th
Z ′(ζj) = 1 + k2λ2D (106)
avec λ2D = v2
the/(2ωp)
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Landau i
Relation de dispersion: onde ionique et amortissement II
Le terme k2λ2D represente la deviation de la quasineutralite.
L’equation de dispersion pour les ions est donc
λ2D
∑j
Ω2pj
v2th
Z ′(ζj) = 1 (107)
Lorsque l’on ne considere qu’une seule espece ionique on a alors
λ2D
Ω2p
v2thi
=ε0kBTen0ee2
n0iZ2e2
ε0M
M
2kTi=
12ZTeTi
(108)
Dans la limite ou k2λ2D << 1 la relation de dispersion devient alors
Z ′(
ω
kvthi
)=
2TiZTe
(109)
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Landau i
Relation de dispersion: onde ionique et amortissement III
Resoudre cette equation est non-trivial. Un resultat analytiquepeut etre obtenu dans la limite ζ >> 1 correspondant a un rapportdes temperatures eleve.
Dans ce cas on obtient pour la partie reelle
ω2
k2=ZkBTe + 3kBTi
m(110)
Dans la region ou 1 < θ < 10 avec θ = ZTe/Ti, et ζ >> 1l’amortissement ionique est donne par la relation
−Im(ω)Re(ω)
= 1.1θ7/4exp(−θ2) (111)
Un resultat exacte est obtenu en resolvant directement la relationde dispersion en utilisant la fonction Z ′(ζj)
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![LA THÉORIE PHYSIQUE SON OBJET – SA STRUCTURE papers and books... · Pierre Duhem –La théorie physique, son objet, sa structure 4 PRÉFACE DE LA SECONDE ÉDITION [XIII] La première](https://img.pdfslide.us/doc/110x75/5fd5ae6de444116a510f0ab3/la-thorie-physique-son-objet-a-sa-structure-papers-and-books-pierre-duhem.jpg)
