Introduction aux isolants topologiques – PHY560B

Mark Oliver Goerbig

Le prix Nobel de Physique 2016

”for theoretical discoveries of topological phase transitions

and topological phases of matter”

M. Kosterlitz(U. Brown)

D. Thouless(U. Washington)

D. Haldane(U. Princeton)

Plan du cours

● Introduction à la topologie en physique● Retour sur l'effet Hall quantique● Isolants en 2D et inversion de gap● États quantiques et courbure de Berry● États de bord● Isolants topologiques en 3D

Plan du cours

● Introduction à la topologie en physiqueIntroduction à la topologie en physique● Retour sur l'effet Hall quantique● Isolants en 2D et inversion de gap● États quantiques et courbure de Berry● États de bord● Isolants topologiques en 3D

Topologie

Étude d'aspects globaux d'un système

Plus correctement : Étude des déformations spatiales par des transformations continues

→ robustesse d'un état

→ un état « topologiquement » protégé ne peut pas être perturbé

Invariants topologiques

http://www.nobelprize.org/Classes topologiques définies par un nombre entierIci : nombre de trous

Invariants topologiques

mathématiquement: classification des cartes d'un espace compact vers un autre

Exemple : modèle XY en 2D

→ existance de vortex et antivortex

- +

n=-1 n=+1

Exemple physique : vortex dans des supraconducteurs

Réseau de vortex dans NbSe2,250 nm x 250 nm (image STM, Riken)

Vortex : singularité dans l'ordresupra contenant un nombre entier de quanta de flux

Plan du cours

● Introduction à la topologie en physique● Retour sur l'effet Hall quantiqueRetour sur l'effet Hall quantique● Isolants en 2D et inversion de gap● États quantiques et courbure de Berry● États de bord● Isolants topologiques en 3D

L’effet Hall quantique (1980) K. von Klitzing11

(invariant topologique)

→ quantification précise de la conductance

volume isolant

bordsconducteurs

“invariant topologique” = nombre de canaux de bord

Compréhension de l'effet Hall quantique

Compréhension de l'effet Hall quantique

déformation continue : changement du potentiel du désordre,pas d'effet sur les bords chiraux

Résume intermédiaire (EHQ)

● Facteur de remplissage (partie entière) :

invariant topologique invariant topologique

→ inv. topologique = # d'états de bord chiraux# d'états de bord chiraux● insensibilitéinsensibilité à la réalisation microscopique du

désordre (déformations continuesdéformations continues)● isolant de volume (2D)isolant de volume (2D) + conducteur de bord (1D)conducteur de bord (1D)

→ quantification précise de la conductance

Résume intermédiaire (EHQ)

● Facteur de remplissage (partie entière) :

invariant topologique invariant topologique

→ inv. topologique = # d'états de bord chiraux# d'états de bord chiraux● insensibilitéinsensibilité à la réalisation microscopique du

désordre (déformations continuesdéformations continues)● isolant de volume (2D)isolant de volume (2D) + conducteur de bord (1D)conducteur de bord (1D)

→ quantification précise de la conductance

Caractéristiques générales d'un isolant topologique Caractéristiques générales d'un isolant topologique

Plan du cours

● Introduction à la topologie en physique● Retour sur l'effet Hall quantique● Isolants en 2D et inversion de gapIsolants en 2D et inversion de gap● États quantiques et courbure de Berry● États de bord● Isolants topologiques en 3D

Faire du graphène un isolant 2D

structure de bandedu graphène

E k

k x

y

EF

Hamiltonien (modèle de liaisons fortes) :

d1d2

d3

Faire du graphène un isolant 2D

structure de bandedu graphène isolant

E k

k x

y

EF

Hamiltonien (modèle de liaisons fortes) :

d1d2

d3Gap isolant =

Informations au-delà du spectreFonctions d'onde (→ “spin”):

avec

(zone de Brillouin)

(sphère de Bloch)

Informations au-delà du spectreFonctions d'onde (→ “spin”):

avec

(zone de Brillouin)

(sphère de Bloch)

→ → invariant topologique : invariant topologique : nombre de fois que la sphère de Bloch est couvertenombre de fois que la sphère de Bloch est couverte

→ → gap doit gap doit changer de signe pour avoirchanger de signe pour avoir(“inversion de gap”) !! (“inversion de gap”) !!

Plan du cours

● Introduction à la topologie en physique● Retour sur l'effet Hall quantique● Isolants en 2D et inversion de gap● États quantiques et courbure de BerryÉtats quantiques et courbure de Berry● États de bord● Isolants topologiques en 3D

Formulation mathématiquePhase géométrique (de Berry) :

connexion de Berry (~potentiel vecteur) :

: indice de bande

courbure de Berry (~champ magnétique) :

nombre de Chern (invariant topologique) :nombre de Chern (invariant topologique) :

Courbure de Berry pour le graphène isolant

car courbure antisymétrique

Courbure de Berry pour le graphène isolant

car courbure antisymétrique

Courbure de Berry concentrée autour des points de DiracCourbure de Berry concentrée autour des points de Dirac

Phase de Berry autour d'un seul point de Dirac

Hamiltonien :

connexion de Berry :

→ phase de Berry :

indice de vallée (K et K')

→ → nombre de Chern : nombre de Chern : ??? ???

“Demi-nombre de Chern”

● Calcul dans la limite continue

→ espace original non compact (plan 2D)

→ points de Dirac arrivent nécessairement par paires !

● Chaque point de Dirac (massif) contribue au nombre de Chern

→ afin d'avoir un nombre de Chern non nul (par bande), il faut avoir un gap inverséil faut avoir un gap inversé

Plan du cours

● Introduction à la topologie en physique● Retour sur l'effet Hall quantique● Isolants en 2D et inversion de gap● États quantiques et courbure de Berry● États de bordÉtats de bord● Isolants topologiques en 3D

Rajout d'un bord

Rajout d'un bord

Role de la symétrie par renversement du temps :

Rajout d'un bord

Role de la symétrie par renversement du temps : Rôle de la symétrie par renversement du temps :

Rajout d'un bord

Role de la symétrie par renversement du temps : Rôle de la symétrie par renversement du temps :

→ → pas respectée par les bords (ni par la courbure de Berry) !!pas respectée par les bords (ni par la courbure de Berry) !!

Isolants topologiques brisant la symétrie par renversement du temps

● Modes chiraux dans l'effet Hall quantique :

→ symétrie RT brisée par le champ magnétique (OK)

● Modèle de Haldane (1988) – variante du graphène isolant

Modèle de Haldane

symétrie RT brisée :

modifier les points de Dirac indépendamment l'un de l'autremodifier les points de Dirac indépendamment l'un de l'autre

Isolants avec symétrie par renversement du temps

● S'ils existent :

→ deux modes par bord avec chiralité opposée (modes hélicaux)(modes hélicaux)

→ on doit avoir (RT : renversement du spin renversement du spin σσ)

modèles de

Kane & Mele

BHZ (2005/06)

Modèle de Kane & Mele

on profite du spin !on profite du spin !

Effet Hall quantique de spin (2006/07)

Les états de spin + ou – se déplacent dans des directions opposéesEffet Hall quantique

Effet Hall quantique de spin

Science,766, 318 (2007),groupe exp. de Würzburg

Modèle simplifié pour comprendre les états de bord

Espace réel : à gauche isolant topologique, à droite isolant trivial (vide)

→ à gauche : gap inversé (point de Dirac) ;

à droite : gap direct

Changement du signe de gap dans une interface de tailleChangement du signe de gap dans une interface de taille

Modèle simplifié pour comprendre les états de bord

changement “d'axe de quantification” ; trafo unitaire

… cela ressemble à quoi ?

Modèle simplifié pour comprendre les états de bord

changement “d'axe de quantification” ; trafo unitaire

avec longueur caractéristique :

solution via opérateurs d'échelle de l'oscillateur harmonique :

Modèle simplifié pour comprendre les états de bord

→ Hamiltonien de fermions de Dirac massifs dans un champ magnétique

États de surface ~ niveaux de LandauÉtats de surface ~ niveaux de Landau

États de bord

chiralité : signe de

thèse de S. Tchoumakov, LPS (2016-17)thèse de S. Tchoumakov, LPS (2016-17)

États de bord● Comment changer le signe de la

chiralite :

→ changement de vallée (pour les états hélicaux, effet Hall quantique de spin)

→ changement de bord (~renversement de l'orientation du “champ magnétique”)

Plan du cours

● Introduction à la topologie en physique● Retour sur l'effet Hall quantique● Isolants en 2D et inversion de gap● États quantiques et courbure de Berry● États de bord● Isolants topologiques en 3DIsolants topologiques en 3D