Introduction `a la Mécanique des Milieux Continus Déformables

Introduction a la Mecanique des MilieuxContinus Deformables

Samuel Forest

Centre des Materiaux/UMR 7633Mines ParisTech /CNRS

BP 87, 91003 Evry, [email protected]

L’equipe enseignante

• Gilles Damamme Departement Materiaux–CEACouplages multiphysiques, materiaux heterogenes

• Samuel Forest CNRS / Ecole des Mines de ParisMilieux continus generalises, materiaux cristallins

• Serge Kruch ONERALois de Comportement et Mecanique de l’Endommagement

• Vincent Maurel Ecole des Mines de ParisComportement a haute temperature et fatiguethermomecanique des materiaux et structures

• Matthieu Maziere Ecole des Mines de ParisStabilite des materiaux et des structures

2/90

Plan

1 Les objets de la mecanique des milieux continusStructures, microstructures, nanostructuresMatiere, materiauxModelisations discretes

2 Le modele continuDu discret au continu : notion de point materielTransformation du milieu continuDiscontinuites, singularites

3 Comportement des materiauxCas des solides rigidesLe probleme de fermeture : lois de comportementExemples de modelisations continues

4 Plan du coursChamps de tenseurs–NotationsDemarche adoptee / supports pedagogiquesLiens avec les autres cours de l’Ecole

Plan





Plan





Structures du genie civil

Les objets de la mecanique des milieux continus 6/90


La commission administrative a conclu que deux evenements etaient a l’origine del’effondrement, qui a cause la mort de 4 personnes et blesse 3 autres, le 23 mai 2004 :”d’une part, le pliage et la perforation de la coque en beton arme par les etaismetalliques qui devaient la soutenir. Dautre part, la rupture et la chute de la poutrequi supportait la coque”.



La commission a ”fait des propositions pour ameliorer les regles et pratiques pour desconstructions non courantes, notamment pour accepter les modalites etude et decontrole liees a leur complexite, instaurer, dans certains cas, un suivi de la vie desouvrages”.L’enquete administrative avait pointe la faible resistance initiale de la structure(insuffisance du ferraillage, faible epaisseur du beton...), conduisant le gestionnaire dela plate-forme a decider en mars de detruire la voute de la jetee pour la reconstruiretotalement. “La structure en beton doit etre remplacee tout ou partie par unestructure en acier”.Le cout de l’operation est estime a 150 millions d’euros et sera ”tres largementcouvert par les assurances”.


Rigueur et responsabilite

Bad Reichenhall, 2-01-2006

• un probleme de statiqueDie Statik der Halle war deutlich schlechter

als fur derartige Hallen vorgeschrieben. Eine

genaue Berechnung der Tragfahigkeit der

Halle und der Dach-Statik hat uberhaupt nie

stattgefunden. Allein deshalb hatte die Halle

laut Staatsanwalt gar nicht gebaut werden

durfen.

• un probleme de materiauUngeeigneter Klebstoff beim Dach. Ein

weiterer Fehler laut Gutachten ist, dass das

Dach mit Klebstoffen zusammengehalten

worden ist, die fur Eishallen gar nicht

geeignet sind. Die verwendeten

Harnstoff-Formaldehyd-Kleber sind nur fur

absolut trockene Raume zugelassen.


Structures industrielles

moteur d’avion


La pale de MMC de janvier 2006

Dimensionnement des disques deturbine de moteur d’helicoptere

Les disques de turbine des moteurs d’avions et d’helicopteres sont des piecestournantes dont le dimensionnement est d’une importance capitale pour l’integrite dumoteur en service. Ils sont soumis a des forces centrifuges considerables et ne doiventpas eclater. Un assemblage complet de turbines de moteur d’helicoptere est presentesur la figure 1 (a) comprenant la partie froide (compresseur) et la partie chaude dumoteur (turbines haute pression en sortie de chambre de combustion). Les specificitesdu moteur d’helicoptere par rapport au moteur d’avion de ligne sont sa taille limitee etdes vitesses de rotation des turbines sensiblement plus elevees. Dans ce moteur, ondistingue deux familles de disques :

• les disques aleses possedent un alesage (trou) concentrique permettant lepassage de l’arbre. Deux exemples sont donnes sur les figures 1 (b) et (c).

• les disques non aleses sont situes en tete ou fin d’assemblage et ne possedentpas de trou central (figure 1 (d)).

Les disques sont munis d’aubes formant un monobloc (figure 1 (b)) ou attachees

grace a des encoches comme sur les figures 1 (c) et (d). Les disques non solidaires de

l’arbre sont entraınes en rotation grace a des barres reliant les disques et passant par

les trous visibles sur les disques des figures 1 (c) et (d).


Los Angeles, le 2 juin 2006...














Batam Island, Indonesia, le 4 novembre 2010...

http://www.atsb.gov.au/newsroom/news-items/qantas-airbus-a380-singapore.aspx















An interim ATSB investigation report has confirmed the sequenceof events that led to the 4 November 2010 uncontained enginefailure on board a Qantas A380 aircraft over Batam Island,Indonesia.Released today, the report highlights how the intermediate pressureturbine disc in the aircraft’s No. 2 engine had been weakened by anoil fire. As a result, the disc separated from its shaft, increasedits rotation speed and broke into several parts. Sections of thefractured disc and other engine components penetrated theaircraft’s left wing and a number of other areas on the aircraft,resulting in significant structural and systems damage.The oil fire that weakened the disc was due to a manufacturingdefect in an oil feed pipe. That defect resulted in fatiguecracking in the pipe, so that oil sprayed into an engine cavitywhere it ignited because of the high air temperature.



Eclatement de disque de turbine

Essai de survitesse realise sur banc jusqu’a eclatement

source : Turbomeca


Turbine de moteur d’helicoptere

source : Turbomeca


Turbine de moteur d’helicoptere

source : Turbomeca


Prevision de l’eclatement d’un disque de turbine

calcul de structure par elements finis, carte des deformations[Maziere, 2006]Les objets de la mecanique des milieux continus 28/90


compresseur / chambre de combustion / turbine haute pression



disque de turbine / aubes de turbine


Thermomecanique des structures

champ de temperature dans une aube de turbinecouplage thermomecanique


Micro–mecanique des composants electroniques

wafer de silicium avec ses microprocesseurs


Micro–mecanique des composants electroniques

processeur multicouches / circuits de connections


Nano–mecanique

nanomachine / deformation de nanotubes de carbone


Plan





La nature n’est pas continue...

Les materiaux ont une structure multiechelles : echelle atomique(materiau ceramique)



Les materiaux ont une structure multiechelles : echellemicroscopique

microstructure granulaire : grain d’un polycristal de zinc(revetement de tole d’acier galvanisee)




microstructure granulaire : cristaux d’hornblende et quartz dansune roche metamorphique (taille de grain ∼ 50µm)




microstructure granulaire : spherolites dans un polymeresemi–cristallin




microstructure cellulaire : mousse de polyurethanne a porositeouverte (pavage de l’espace par des polyedres)


Materiaux composites


structure periodique : nid d’abeilles en aluminium


Materiaux composites


composites carbone–epoxy / composite a matrice metallique


Plan





Dynamique moleculaire

partir des equations de Newton...limites : 109 atomes, potentiels atomiques, informations inutiles...

demarche de Navier, Cauchy : l’hypothese moleculaire


Mecanique des milieux granulaires

simulation numerique d’un milieu granulaire : mecanique dessolides indeformables + contact (non lineaire)

limites : quelques milliers de grainsinterets : lignes materielles

[Nouguier, ECL, 2004]


Plan





Plan





L’element de volume dV de la mecanique desmilieux continus

• Notion de point materiel ouparticule : un volumeinfinitesimal dV centre en Xdans l’espace affine euclidien

• dV ∼ Volume ElementaireRepresentatif

d LVER L

d taille des heterogeneitesLVER taille physique du VERL taille de la structure

• on va suivre le point materielsans s’occuper des constituantscontenus dans le VER...

VER pour un polycristalmetallique

Le modele continu 48/90

Plan





Corps materiel M

M

M

( , )E R

Le corps materielMest un ensemble depoints materiels


Placement de reference dans l’espace physique

M

Ω0

M

X

( , )E R

p0

• Ω0 est laposition occupeedans l’espacephysique E munid’un referentielR a un instantdonnee t0

• le point materielM ∈M occupela position Xdans cetteconfiguration

• on l’adopteracommeconfigurationde reference


Configuration actuelle dans l’espace physique

M

Ω Ω0 t

M

X x

( , )E R

p p0 t

• Ωt est laposition actuelleoccupee par lecorps materieldans l’espacephysique E al’instant t

• le point materielM ∈M occupela position xdans cetteconfiguration

• on l’appelleconfigurationactuelle


Configuration actuelle dans l’espace physique

M

Ω Ω0 t

M

X x

( , )E R

p p0 t

Φ

• La transformation

x = Φ(X , t)

fait passer de Ω0 aΩt

• La transformationest supposeebijective etbicontinue

X = Φ−1(x , t)

? pas de fission!? pas de fusion!


Configuration intermediaire du corps materiel

M

Ω

Ω

Ω0 t

τ

M

X x

x( )τ

( , )E R

p p

p

0

τ

t

Φ

• La position de Ma 0 ≤ τ ≤ t estnotee Ωτ s’appelleconfigurationintermediaire ducorps materiel

• La transformationΦ(X , τ)0≤τ≤t

contient l’histoirede deformationdu corps materielentre ces instants


Transformation du milieu continu

Ω

Ω

Ω0 t

τ

X x

x( )τ

( , )E R

Φ

• La transformation

x = Φ(X , t)

fait passer de Ω0 aΩt

• Le deplacementdu point materielest defini par

u (X , t) = x − X

u (X , t) = Φ(X , t)−X


Champs de tenseurs sur MDes grandeurs physiques et thermomecaniques peuvent etreattachees a chaque point du corps materiel.On distingue alors deux situations :

• cas des milieux a microstructure sous–jacente : plutot“solides”L’element de volume dV ∈ Ω0 centre en X devient dv ∈ Ωt

centre en x . dV et dv contiennent les memes particulesmaterielles.champs de fonctions tensorielles F (X , t)

c’est l’approche ...

• cas des milieux sans microstructure sous–jacente : plutot“fluides”Les particules materielles sont interchangeables et nonidentifiees. On ne s’interesse qu’aux quantites moyennes(vitesses) relatives aux particules traversant dv centre aupoint geometrique x ∈ Ωt a l’instant tchamps de fonctions tensorielles f (x , t)

c’est l’approche ...Le modele continu 56/90

Points de vue lagrangien et eulerien

• cas des milieux a microstructure sous–jacente : “solides”L’element de volume dV ∈ Ω0 centre en X devient dv ∈ Ωt

centre en x . dV et dv contiennent les memes particulesmaterielles.champs de fonctions tensorielles F (X , t)

c’est l’approche lagrangienne ou materielle

• cas des milieux sans microstructure sous–jacente : “fluides”Les particules materielles sont interchangeables et nonidentifiees. On ne s’interesse qu’aux quantites moyennes(vitesses) relatives aux particules traversant dv centre aupoint geometrique x ∈ Ωt a l’instant tchamps de fonctions tensorielles f (x , t)

c’est l’approche eulerienne ou spatiale

• Les points de vue lagrangien et eulerien sont equivalents :

f (x , t) := F (Φ−1(x , t), t), F (X , t) := f (Φ(X , t), t)


Un exemple de transformation du milieu continu

x (t) = Q∼(t).X + c (t)

xi = QijXj + ci

Q∼

tenseur d’ordre 2 orthogonal : Q∼.Q∼

T = Q∼

T .Q∼

= 1∼ avecdetQ

∼= 1


Un exemple de transformation du milieu continu

x (t) = Q∼(t).X + c (t)

xi = QijXj + ci

Q∼

tenseur d’ordre 2 orthogonal : Q∼.Q∼

T = Q∼

T .Q∼

= 1∼ avecdetQ

∼= 1

Il s’agit d’unmouvement de corps rigide= rotation(t)+translation(t)d’ensembleLa rotation et la translation ne doivent pas dependre de X . La

dependance en t peut etre quelconque (acceleration non nulle).

Dans un repere cartesien orthonorme dont le troisieme axe est l’axede rotation x1

x2

x3

=

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 00 0 1

X1

X2

X3

+

c1

c2

c3


Plan





Milieux continus ou presque...Les discontinuites sont tout a fait envisageables en MMC

• sur des domaines de mesure nulle (surfaces, lignes, points); lesgrandeurs mecaniques sont continues “presque partout”...




• fissure : le deplacement est discontinu




• fissure : le deplacement est discontinuMecanique de la rupture




• fissures

• sillage d’un cylindre dans un fluide, decollement




• mecanique des solides : fissures, interfaces...

• mecanique des fluides : sillages, ondes de chocs, casturbulent non envisage icien realite, couches limites...


Plan





Plan





Mecanique des solides indeformables

• les solides indeformables ne peuvent subir que desmouvements de la forme

x (t) = Q∼(t).X + c (t)

nombres d’inconnues (a l’instant t)?

Comportement des materiaux 68/90



x (t) = Q∼(t).X + c (t)

6 degres de liberte : 3 translations + 3 angles de rotation(angles d’Euler)




x (t) = Q∼(t).X + c (t)


• Relation fondamentale de la dynamiquetorseur des efforts appliques : O,R ,M O




x (t) = Q∼(t).X + c (t)


• Relation fondamentale de la dynamiquetorseur des efforts appliques : O,R ,M Oregle de transformation :O ′,R ′,M O′, avec R ′ = R , M O′ = M O + O′O ∧ R




x (t) = Q∼(t).X + c (t)


• Relation fondamentale de la dynamiquetorseur des efforts appliques : O,R ,M Otorseur dynamique (des quantites d’acceleration) :O,A , d

dt σ O




x (t) = Q∼(t).X + c (t)


• Relation fondamentale de la dynamiquetorseur des efforts appliques : O,R ,M Otorseur dynamique (des quantites d’acceleration) :O,A = ma G , d

dt σ OIl existe au moins un referentiel dit galileen tel que

A = R ,d

dtσ 0 = M O

6 equations : le systeme est “ferme, clos”


Plan





Necessite des lois de comportement

• solide indeformable : le torseur des efforts appliques determinesans ambiguıte le mouvement

• corps deformable : son mouvement depend des effortsappliques et de la nature du materiauun meme chargement applique a une barre d’acier ou decaoutchouc ne conduit pas a la meme transformation...


Necessite des lois de comportement

• solide indeformable : le torseur des efforts appliques determinesans ambiguıte le mouvement

• corps deformable : son mouvement depend des effortsappliques et de la nature du materiauun meme chargement applique a une barre d’acier ou decaoutchouc ne conduit pas a la meme transformation...

• la loi de comportement permet de prendre en compte lesproprietes de la matiere dans la modelisation. On reviendra endetail sur sa forme.

• Variete des comportements? elasticite ←− exemple developpe dans ce cours? viscosite? plasticite? elastoviscoplasticite...


Plan





Exemple de mise en œuvre de la MMC

simulation numerique de la reponse d’une culasse automobile(calcul parallele)


Exemple de mise en œuvre de la MMC

simulation numerique de la reponse d’une culasse automobile(calcul parallele)


Bio–mecanique

simulation numerique du choc passager automobile[ENSAM Paris, 2003]


Mecanique du vivant

comportement viscoelastique d’une cellule vivante[Suresh, 2003]


Plan





Plan





Notationschamps de tenseurs euclidiens; base orthonormee (e 1, e 2, e 3)

• tenseurs d’ordre 0 : scalaires f (X , t)

• tenseurs d’ordre 1 : vecteurs x (X , t)

x = xie i , [x ] =

x1

x2

x3

• tenseurs d’ordre 2 : applications lineaires / formes bilineaires C∼(X , t)

C∼ = Cij e i ⊗ e j , [C∼ ] =

C11 C12 C13

C21 C22 C23

C31 C32 C33

• operations sur les tenseurs dans une base orthonormee

a .b = aibi = [a ]T [b ], σ∼ .n = σijnj e i , [σ∼ .n ] = [σ∼ ] [n ]

m .σ∼ .n = miσijnj = [m ]T [σ∼ ][n ]

σ∼ : L∼ = σijLij = trace (σ∼ .L∼T ) = trace ([σ∼ ] [L∼]T )

Plan du cours 84/90

Plan





Plan du cours oral

Amphis1. Introduction : du discret au continu

2. Equations de bilan : masse, quantite de mouvement, moment

cinetique

3. Le tenseur des contraintes : une vraie nouveaute

4. Tenseurs : pour la mecanique et la physique

5. Cinematique : deformation du milieu continu

6. Lois de comportement : necessite et principes fondamentaux

7. Hyperelasticite8. Comportement thermoelastique lineaire9. Probleme d’equilibre linearise : formulation et methodes de

resolution

Exercices : problemes d’equilibre linearise des solidesthermoelastiques (traction, flexion, torsion, reservoirs souspression, ondes elastiques, etc.)

Plan du cours 86/90

Supports de cours

• le poly + sa version interactive a telecharger depuis le site

• le site web

? http://mms2.ensmp.fr/? retrouvez les transparents sur le site web!

• les exercices

Plan du cours 87/90

http://mms2.ensmp.fr/

Quelques recommandations

• Le cours de Mecanique des Milieux Continus est un coursdifficile, enseigne en un temps record (attention: coursdissemines d’octobre a decembre et tres concentre en janvier).

• Le pouvoir de fascination de l’une des plus belles disciplines dela Physique moderne naıtra d’un travail assidu!

• Les connaissances necessaires a l’examen sont le contenu ducours oral et des PC.

• On ne peut pas faire des exercices sur toutes les parties ducours...

• Le poly est epais car les explications sont detaillees. Il depasselargement le contenu du cours. On s’y referera pour toutedemonstration ou prolongement des resultats du cours.Telechargeable a distance, il pourra jouer le role de handbookpour vos sejours a l’etranger ou en entreprise.

Plan du cours 88/90

Plan





Liens avec les autres cours de l’EcoleC’est le cours introductif a

• la mecanique des materiaux solides 3122;

• la thermomecanique des fluides 3243;

Il fait appel a des notions qui seront developpees dans le detail en

• Mathematiques 1201 - 1121 - 1132;

• Thermodynamique 2411;

• Materiaux pour l’ingenieur 6134;

• Cristallographie S2333 ⇐= importance des SYMETRIES

Prolongements

• Mecanique des milieux continus 2 S3324;

• Dynamique des constructions S3933;

• Geomecanique et geologie de l’ingenieur S4633; HydrogeologieS4923;

• Calcul scientifique S1923; Elements finis S3733 - S3735;

• Physique des solides S2634; Mise en œuvre des polymeres;

Plan du cours 90/90

Documents

Introduction `a la Mécanique des Milieux Continus Déformables