Contrôle de la qualité de la solution EF par une méthode ...perso.crans.org/legrain/rapport/rapport.pdf · Le Service des Milieux Continus est une entité de recherche (et d’enseignement)

Contrôle de la qualité de la solution EF par une méthodeMultiniveaux sans maillage.

Grégory LEGRAIN ULB SMC Ens-Cachan

26 juillet 2001

Table des matières

1 Introduction 3

2 Présentation du service des milieux continus 42.1 Mécanique non linéaire des structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Optimisation des structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Vibro-acoustique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Recherches génériques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Equations de l’acoustique 73.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Lois de la mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Relation de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.5 Détermination de l’équation de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.5.1 Equation de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.5.2 Conditions Limites en Acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.6 Formulation faible en Acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Présentation de la méthode EFGM (Element-Free Galerkin Method) 114.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Aspects Théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2.1 Cas d’un espace à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2.2 Détermination du vecteur a(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2.3 Expression des fonctions de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2.4 Passage en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2.5 Condition nécessaire d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.6 Application au problème d’acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.7 Approximation d’onde localement plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Calcul de l’erreur d’une solution EF via une méthode EFGM Multiniveaux 215.1 Présentation de l’étude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.2 Discrétisation et position du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.3 Calcul d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.4 Exemple de la cavité carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.5 Amélioration de l’indicateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.5.1 Identi£cation des sources d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.5.2 Utilisation des cosinus et des sinus à la place de la phase . . . . . . . . . . . . . 435.5.3 Mise en oeuvre de cette évolution de l’indicateur . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 Conclusions 516.1 Conclusions scienti£ques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2 Conclusions humaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1

Etude de la qualité d’une solution EF via une méthode Meshless Multiniveaux

A Calcul des coordonnées des points de Gauss 52

B Calcul de la base EFGM 54

C Evolution de la carte d’erreur à 420Hz 59

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Remerciements

Je tiens à remercier les membres du SMC pour leur gentillesse, leur bonne humeur, la découverte de ladiversité brassicole belge, et bien entendu la fameuse mitraillette hamburger sauce andalouse !Donc, dans le désordre, merci à Rajan, Katy, Eric, David, Freud, Valery, Mathieu, Guy, Philippe, Thierry,Nathalie...Merci en particulier à Valery pour avoir supporté mes 10000 questions journalières, ainsi qu’au profes-seur Philippe Bouillard pour m’avoir accueilli au sein de son équipe, malgré ma candidature tardive.Merci aussi au professeur Alain Combescure pour son aide.Merci à Maxime pour ses divx, rollcage, et pour m’avoir supporté 15 heures par jour !Merci à la boulangerie Stubbe pour ses "maison sans carottes", merci à LATEX pour les crises de nerf lorsde la rédaction de ces pages...Et en£n merci à Claire pour ses conseils lors de l’élaboration de ce rapport, ainsi que sa relecture...

3

Chapitre 1

Introduction

L’acoustique devient une des préoccupations actuelles en recherche , et cela pour plusieurs raisons : toutd’abord parce que, dans le domaine des transports (qu’il soit automobile, aéronautique ou maritime)plus aucun modèle n’arrive sur le marché sans avoir au préalable été soumis à une étude acoustiquepoussée ou non. En effet, les utilisateurs exigent maintenant un certain confort acoustique lors de leursdéplacements. Ces études ne sont pas seulement béné£ques à ces derniers, mais contribuent aussi à uneamélioration de l’environnement acoustique (passants, riverains d’aéroports, mais aussi militaires !) .

De plus, ces problèmes sont encore ouverts : l’équation de Helmholtz qui régit l’acoustique devient vitedif£cile à résoudre numériquement lorsque la fréquence augmente, à cause de phénomènes comme lapollution et la dispersion. Les nouvelles méthodes sans maillage apparues il y a quelques années ontpermis la mise en oeuvre de nouvelles approches a£n de résoudre proprement l’équation de Helmholtz.Malheureusement, ces méthodes sont encore du domaine de la recherche, et les méthodes éléments £nisrestent fortement implantés dans l’industrie.

Il est donc nécessaire de quanti£er la qualité des solutions numériques obtenues. On utilise pour celades indicateurs d’erreurs qui ont pour objectif de permettre à l’utilisateur d’estimer la précision de sasolution numérique, ainsi que son ordre de convergence (utile pour le raf£nage) .Malheureusement, il n’existe, a l’heure actuelle aucun indicateur £able en acoustique (malgré des tenta-tives... On notera en particulier l’indicateur de Zienkiewicz [?] basé sur le lissage SPR, celui développépar Babuska [?] (basé sur les résidus), ou même celui basé sur l’erreur en loi de comportement de P.Ladevèze [?] (étendu en acoustique par Ph. Bouillard. [?])) .

Le but de mon stage était de développer, mettre en oeuvre, puis d’évaluer un nouvel indicateur d’er-reur EF basé sur une solution EFGM (sans maillage). Sa problématique se situe en effet au carrefour decelles énoncées précédemment, il m’aura donc été nécessaire de comprendre ou manier des thèmes telsque :* L’acoustique* Les méthodes de calcul sans maillage (Element Free Galerkin Method ici).* Les éléments £nis* Le calcul d’erreur.Le présent rapport résumera mes travaux réalisés au Service des Milieux Continus (SMC) de l’UniversitéLibre de Bruxelles.Dans un premier temps, je ferai une brève présentation des thèmes de recherche développés au SMCsuivie de la mise en équation des phénomènes acoustiques. Ensuite, je présenterai la méthode EFGMainsi que son évolution multiniveaux, pour en£n expliquer mon travail et ses résultats.

4

Chapitre 2

Présentation du service des milieuxcontinus

Le Service des Milieux Continus est une entité de recherche (et d’enseignement) qui fait partie de l’Uni-versité Libre de Bruxelles, et plus précisément de la faculté des sciences appliquées.Les activités de recherche au SMC :Les activités de recherche s’articulent autour de la mécanique des structures (linéaire ou non linéaire) etde la vibro-acoustique.

2.1 Mécanique non linéaire des structures

Il existe de nombreuses situations pour lesquelles les effets non linéaires doivent être incorporés a£nd’obtenir une situation réaliste de la réponse structurelle. Les problèmes de £ssuration rencontrés en ap-pareillage de matériaux pierreux en constituent une application concrète, et représentent l’origine de lamajorité des désordres dans les structures en appareillage de maçonnerie. C’est notamment le cas dansun grand nombre d’édi£ces publics.Les problèmes de £ssuration sont en réalité liés à la localisation des déformations dans des zones ré-duites, phénomène qui ne peut être simulé que par l’utilisation de lois de comportement non linéaires.Un calcul non linéaire constitue donc une des clef permettant de comprendre le fonctionnement de telsouvrages.Les applications principales de l’introduction d’un calcul non linéaire résident dans la nécessité de dé£-nir les équations décrivant le comportement du matériau et dans la nécessité d’adopter une stratégie decalcul adaptée.Le Service des Milieux Continus développe pour l’instant deux axes : la connaissance et la simulationdu comportement de matériaux de type maçonnerie et, en collaboration avec le Service Génie Civil, ledéveloppement d’un élément £ni approprié pour la prise en compte de phénomènes non linéaires locaux(¤ambement).

2.2 Optimisation des structures

La simulation numérique est devenue un outil utilisé systématiquement en phase de conception de com-posants industriels. Elle permet notamment aux concepteurs d’évaluer les performances de plusieursvariantes d’un même produit avant d’en fabriquer le premier prototype. Les ingénieurs de conceptionsont amenés à étudier des structures de plus en plus complexes a£n de satisfaire à des prescriptionsde plus en plus sévères (provenant soit de l’imposition de normes nationales ou internationales, soit

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d’exigences d’utilisateurs, soit d’impératifs de réduction de coût). De plus, les industriels requièrent dé-sormais l’optimisation de la conception mécanique au niveau du dimensionnement (choix des matériaux,épaisseur, ...) et de la forme (géométrie).

FIG. 2.1 – Détail du maillage d’une aube.

2.3 Vibro-acoustique :

De nombreuses sociétés sont confrontées à des problèmes de réduction de bruit, soit pour augmen-ter le confort des usagers (bruits dans les habitacles, ...), soit pour réduire les nuisances environne-mentales (pollution sonore). Les ingénieurs sont confrontés à la nécessité de résoudre des problèmesacoustiques à des fréquences de plus en plus élevées , donc au phénomène bien connu de la croissancequasi-exponentielle du temps de calcul avec la fréquence et à la détérioration de la qualité de la solutionnumérique lorsque la fréquence augmente. De nombreuses recherches, auxquelles nous avons contri-bué, ont en effet montré que les solutions numériques de problèmes de propagation d’ondes présententun phénomène spéci£que appelé pollution : La longueur de l’onde numérique est plus grande que lalongueur de l’onde exacte.Des résultats de nos recherches actuelles, nous pensons que les méthodes basées sur des approximationsnodales sans maillage constituent des méthodes de l’avenir. Sans entrer dans les détails, on peut releverque ces méthodes procèdent de la même formulation que la méthode des éléments £nis, nécessitentuniquement un nuage de noeuds, sans connectivité par des éléments, et que les fonctions d’interpolationqui en découlent sont non rationnelles, permettant donc de mieux modéliser les réponses oscillatoiresque l’on rencontre en vibro-acoustique.

2.4 Recherches génériques :

Un premier thème de recherche générique dans le domaine des résolutions numériques couvre les mé-thodes permettant d’évaluer la précision des solutions obtenues, grâce à des estimateurs d’erreur a pos-teriori (sur base de la solution elle-même). Une activité importante a été développée dans ce domainepermettant d’obtenir une évaluation de la qualité globale de la solution ainsi que des adaptations auto-matiques du maillage pour obtenir la précision souhaitée par l’utilisateur.

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FIG. 2.2 – Calcul acoustique à erreur contrôlée dans une section 2D d’un habitacle de voiture.

Des recherches sont également menées vers l’utilisation d’architectures parallèles (des ordinateurs mul-tiprocesseurs ou des ordinateurs connectés en réseau) de manière à utiliser simultanément plusieursprocesseurs et diminuer ainsi le temps de calcul.

Renseignements : Philippe Bouillard [email protected] Web : http ://www.ulb.ac.be/smc/

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Chapitre 3

Equations de l’acoustique

3.1 Hypothèses

On s’intéressera à la propagation et à la ré¤exion d’ondes de pression dans un ¤uide parfait non pesant.On supposera le mouvement harmonique autour d’un état moyen (ambiance) au repos.A partir de ces hypothèses, on pourra, grâce aux équations locales des milieux continus, obtenir laformulation générale d’un problème acoustique linéaire (Equation de Helmholtz).Tout d’abord, nous chercherons à obtenir la formulation forte des problèmes d’acoustique, pour ensuiteobtenir la formulation faible qui se prête mieux à une résolution approchée de type Galerkin.

3.2 Lois de la mécanique

Les équations fondamentales de la mécanique sont :– L’équation de conservation de la masse.– L’équation de conservation de la quantité de mouvement.– L’équation de conservation de l’énergie (que nous n’utiliserons pas ici).

Conservation de la masse :

∂ρ∂t

+div(ρV ) = 0 (3.1)

Avec ρ la masse volumique du milieu et V la vitesse de celui-ci.Conservation de la quantité de mouvement :

div(

σ)

= ρ ¢V (3.2)

Avec σ, le tenseur des contraintes.

3.3 Relation de comportement

Le ¤uide est parfait : Sa relation de comportement est donc :

σ =−p′I (3.3)

p’, pression dans le ¤uide.

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3.4 Equation des ondes

A partir des différentes équations de la mécanique (3.1),(3.2) et (3.3) on obtient l’équation des ondes :

∆p′−

1c2 p′

= 0 (3.4)

Avec c, la célérité de l’onde acoustique dans le milieu (vitesse du son).

3.5 Détermination de l’équation de Helmholtz

3.5.1 Equation de Helmholtz

Pour cela, on cherche la solution harmonique de l’équation des ondes (3.4). On postule donc que :

p′(x,y,z, t) = p(x,y,z)e jωt (3.5)

En remplaçant cette forme de solution dans l’équation des ondes (3.4), on obtient :

∆p+(w

c

)2p = 0 (3.6)

On fait apparaitre le nombre d’onde k :

k =ωc

=2πλ

(3.7)

Avec λ la longueur d’onde.

On trouve donc l’équation locale régissant l’acoustique (sous les hypothèses dé£nies en 3.1) (Equationde Helmholtz) :

∆p+ k2 p = 0 (3.8)

On remarquera que la démonstration [?] de cette équation permet de déterminer une relation entre lavitesse acoustique et le gradient de pression :

jρckV +∇p = 0 (3.9)

3.5.2 Conditions Limites en Acoustique

Soit le domaine suivant :

ΩΓN

ΓD

ΓR

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On note Γ la frontière de Ω. Les parties ΓD,ΓN et ΓR forment une partition de Γ, i.e. :

ΓD∪ΓN ∪ΓR = ΓΓD∩ΓN =®ΓN ∩ΓR =®ΓD∩ΓR =®

Avec sur ces différentes frontières, les conditions limites :Condition limite de Dirichlet :

p = p sur ΓD (3.10)

On note p la valeur imposée de la pression.

Condition limite de Neumann :

∂n p =− j ρ ωV n sur ΓN (3.11)

On note V n la valeur imposée de la composante normale de la vitesse. Cette condition limite modélisela vibration d’un panneau, ce qui en fait la condition la plus souvent utilisée lorsque l’on a un couplagefaible entre la structure et le ¤uide. On effectue alors une étude vibratoire de la structure, puis grâce àcelle-ci une étude acoustique du ¤uide sans se préoccuper des interactions ¤uide-structure.

Condition limite de Robin :

∂n p =− j ρ ω An p sur ΓR (3.12)

An est appelé coef£cient d’admittance. Il est relié à l’impédance par la relation suivante :

An ·Zn = 1 (3.13)

Physiquement, ce coef£cient représente l’absorption de l’onde par les matériaux environnants.

3.6 Formulation faible en Acoustique

On introduit l’espace des pressions p admissibles :

H1D(Ω) = p ∈ H1(Ω)|p = p sur ΓD (3.14)

Ainsi que l’espace des fonctions test :

H0D(Ω) = w ∈ H1(Ω)|w = 0 sur ΓD (3.15)

On remarquera que ces deux espaces sont des sous-ensemble de l’espace de Sobolev H 1(Ω).Déterminons la formulation variationnelle d’un problème d’acoustique. Pour cela, utilisons les notationsindicielles. On peut écrire :

∫

Ω[(∂ii p+ k2 p)w]dΩ = 0 ∀w ∈ H0

D(Ω) (3.16)

Avec . le conjugué de .ce qui équivaut à :

∮

Γ(∂n p w)dΓ−

∫

Ω(∂xi p ∂xiw)dΩ+

∫

Ω(k2 p w)dΩ = 0 ∀w ∈ H0

D(Ω) (3.17)

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Puis :

−∫

ΓR

( jρ c k An w)dΓ−∫

ΓN

( jρ c kVn w)dΓ−∫

Ω(∂xi p ∂xiw)dΩ+

∫

Ω(k2 p w)dΩ = 0 (3.18)

∀w ∈ H0D(Ω)

En£n, on peut écrire :

a(p, w) = `(w) ∀w ∈ H0D(Ω) (3.19)

Avec : a(p,q) forme sesquilinéaire.a(p, q) : H1

D X H1D →C (3.20)

a(p,q) =∫

Ω(∂xi p ∂xi q− k2 p q)dΩ+

∫

Γr

( jρ c k An q)dΓ (3.21)

Et :`(q) : H1

D →C (3.22)

`(q) =−∫

Γn

( jρ c kVn q)dΓ (3.23)

A partir de cette solution faible, on peut donc appliquer une méthode de type Galerkin. En effet, dansla solution faible, on suppose que les fonctions d’essai p mises en oeuvre ont pour seule condition devéri£er les conditions limites.La méthode Galerkin n’envisage qu’un sous ensemble de dimension £nie obtenu par une interpolationpar sous domaine (Eléments Finis, par exemple), connectés ensemble par des noeuds.On peut ensuite introduire l’énergie potentielle totale du domaine :

W Tot =12

a(p, p)− `(p) (3.24)

Et la résolution du problème s’écrit :

Trouver p ∈ H1D(Ω) tel que W Tot soit minimale.

mTrouver p ∈ H1

D(Ω) tel que δW Tot = 0∀δp ∈ H10 .

Pour effectuer une résolution EFGM (voir chap 4.2.3), il peut être intéressant, a£n de véri£er les condi-tions limites du problème d’introduire les multiplicateurs de Lagrange, et d’écrire l’énergie potentielletotale augmentée :

W Tot∗ =12

a(p, p)− `(p)−∫

ΓD

λ (p− p)dΓ (3.25)

Le problème s’écrit alors :

Trouver p ∈ H1D(Ω) tel que W Tot∗ soit minimale.

mTrouver p ∈ H1

D(Ω) tel que δW Tot∗ = 0 ∀ δp ∈ H10 ,δλ ∈ H0.

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Chapitre 4

Présentation de la méthode EFGM(Element-Free Galerkin Method)

4.1 Historique

Les méthodes meshless ont tout d’abord été développées pour palier les dif£cultés des méthodes Ele-ments Finis, Volumes Finis et Différences Finies à traiter les problèmes contenant des discontinuités (sicelles-ci ne sont pas situées sur les lignes du maillage).Ces méthodes nécessitent des remaillages périodiques si les lignes de discontinuité sont mobiles (£ssu-ration), d’où une certaine lourdeur, ainsi que des dif£cultés de gestion de programme.L’objectif des méthodes meshless est d’éliminer le maillage lors de ces calculs.Les méthodes sans maillage sont pourtant apparues il y a 25 ans, mais les recherches poussées à leursujet n’ont démarré il y a très peu de temps (années 90). C’est en 1977 que Lucy [?] introduit la méthodeSPH (Smooth Particle Hydrodynamics) a£n de modéliser les phénomènes astrophysiques. Cependant,cette méthode posait des problèmes d’instabilités. Ce n’est qu’en 1995 que Swegle, Hicks et Attawayproposèrent une méthode de stabilisation.Parallèlement, en 1994, Belytschko, Lu et Gu [?] adaptèrent la méthode d’approximation des moindrescarrés pondérés de Nayroles [?] au meshless. Ils la nommèrent EFG (Element-Free Galerkin). Cetteméthode est plus stable que la SPH, mais aussi plus couteuse.Récemment, une avancée a été accomplie dans la compréhension de ces méthodes. En effet, Babuska etMelenk (1995) [?], puis Duarte et Oden (1996) [?] reconnurent que ces méthodes étaient en fait des casparticuliers de la partition de l’unité (Partition Unity ou PU), permettant de formidables extensions deces méthodes.Le développement de la generalized £nite difference method [?] , ainsi que les particle-in-cell methods(Sulsky et Schreyer) ont aussi ouvert d’autres directions de recherche.La méthode utilisée dans ce travail est dérivée de la méthode EFG de Belytschko [?].

4.2 Aspects Théoriques

4.2.1 Cas d’un espace à une dimension

On introduit la fonction g(x) dé£nie sur le domaine Ω, dans l’espace de coordonnées X. Dans le cas d’unespace à une dimension, X signi£e x ; (x,y) dans un espace à 2 Dimensions et (x,y,z) en 3D.Dans un premier temps, il faut choisir une base de fonctions qui servira à construire l’interpolation.Cette base est constituée de monômes dé£nis dans l’espace X. on note cette base P(X). On note m la

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dimension de cette base.Voici, dans des espaces à 1 ou 2 dimensions des exemples de bases :– Base linéaire 1D, m=2 : P(X)T=1,x– Base trigonométrique 1D, m=2 : P(X)T=1,cos(x)– Base quadratique 1D, m=3 : P(X)T =1,x,x2– Base linéaire 2D, m=3 : P(X)T =1,x,y– Base trigonométrique 2D, m=3 : P(X)T=1,cos(x),cos(y)– Base quadratique 2D, m=6 : P(X)T =1,x,y,x2,xy,y2Construisons alors l’interpolation d’une fonction g(x) en dimension 1 :

Supposons connues les valeurs nodales gI=g(xI)

g

x

Xi

gi

FIG. 4.1 – Les N valeurs nodales de la fonction

On dé£nit ensuite pour chacun de ces noeuds un domaine d’in¤uence caractérisé par son diamètre d’in-¤uence d in f l,I . On introduit aussi à chaque noeud une fonction de poids, wI(X)=wI(X − XI) qui estpositive sur le domaine d’in¤uence du noeud, vaut 1 en X = XI , et est nulle en dehors du domaine.

Xid infl

Déterminons l’approximation de la fonction g en un point X ∗. Pour cela, on calcule en ce point les va-leurs des fonctions de poids des n points qui in¤uencent X ∗. (Ce sont tous les noeuds contenant X ∗ dansleur domaine d’in¤uence.) (n≤ N).

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g

x

X*

Noeuds n'influençant pas X*

Noeuds influençant X*

FIG. 4.2 – Noeuds in¤uents

L’approximation des moindres carrés pondérés au voisinage de X ∗ peut s’écrire :

(LX∗)(X) = p(X)T · a∗ (4.1)

On détermine les coef£cients a* en minimisant l’expression suivante par rapport aux composantes a i dea* :

mina∗

n

∑i=1

wi(X∗) · (p(Xi)

T · a∗−gi)2 (4.2)

On remarque que la spéci£cité de l’interpolation par moindres carrés pondérés est que le poids (doncl’in¤uence d’un noeud) augmente si celui-ci est proche de X*. On obtient donc une courbe (dont l’ordredépend de la base) qui ajuste au mieux les n noeuds in¤uençant X*.Le cas suivant est obtenu avec une base linéaire :

g

x

X*

Noeuds n'influençant pas X*

Noeuds influençant X*(L g)(x)x*

On peut ensuite réitérer cette approximation en un point X** quelconque :

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g

x

X*

(L g)(x)x*

(L g)(x)x**

X**

(L g)(x*)x*

(L g)(x**)x**

Si on appelle gh(X∗) = (LX∗)(X∗), on peut écrire cette fonction de X* comme une fonction de X, et

donc :

gh(X) = p(X)T · a(X) (4.3)

a(X) est évalué pour tout X en minimisant la norme L2 pondérée discrète suivante :

J =12

n(X)

∑i=1

wi(X∗) · (p(Xi)

T · a(X)−gi)2 (4.4)

avec n(X) ∈ N, le nombre de noeuds in¤uençant le point de coordonnées X.Il faut remarquer que les coef£cients de a(X) sont variables. L’interpolation gh(X) est donc une fonc-tion non rationnelle et non polynomiale même si sa base l’est. Dans le cas présenté, la fonction interpoléeest l’enveloppe de la famille de droites dé£nies en tout point X.

g

x

Résultat d’une interpolation par moindres carrés pondérés à coef£cients variables.

4.2.2 Détermination du vecteur a(X)

Pour déterminer les coef£cients ak de a(X) (coef£cients d’interpolation), il faut minimiser la norme Jdé£nie plus tôt (4.4). Cette minimisation s’écrit :

∂J∂ak

= 0 ∀k = 1...m (4.5)

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En dévéloppant cette expression sous forme matricielle, on trouve :

a(X)= [A(X)]−1 · [C(X)] · g (4.6)

Avec : [A(X)], matrice de (m x m)

[A(X)] =n

∑i=1

[wi(X) · p(Xi) · p(Xi)T ] (4.7)

et [C(X)], matrice de (m x m) :

[C(X)] = [wi(X) · p(Xi), · · · ,wn(X) · p(Xn)] (4.8)

4.2.3 Expression des fonctions de forme

Connaissant a(X), on peut maintenant obtenir gh(X) en fonction des valeurs à interpoler g :

gh(X) = p(X)T · [A(X)] · [C(X)] · g (4.9)

On peut donc dé£nir les fonctions de forme par le vecteur :

N1(X), · · · ,Nn(X)= p(X)T · [A(X)] · [C(X)] (4.10)

Donc :

Ni(X) = p(X)T · [A(X)]−1 · [C(X)]i (4.11)

La fonction interpolée en X peut donc s’écrire classiquement sous la forme :

gh(X) =n

∑i=1

Ni(X).gi (4.12)

On peut montrer que cette interpolation est consistante. La consistance quanti£e la capacité d’une inter-polation à représenter exactement toute fonction engendrée par l’espace p(X).De plus, il faut noter que Ni(x j) 6= δi j. On ne peut donc pas simplement forcer un déplacement, commeen éléments £nis. C’est pourquoi on a introduit les multiplicateurs de Lagrange dans la formulation duproblème (Chapitre 3.6).

4.2.4 Passage en 2D

On peut ensuite facilement passer de l’exemple 1D à l’exemple 2D, en procédant de la même façonqu’en EF pour passer d’une modélisation poutre à une modélisation 2D.Cette fois-ci, le domaine d’in¤uence est un cercle (ce n’est pas obligatoire. En effet, tout polygoneconvexe comme les carrés, les rectangles peut être utilisé pour délimiter les domaines d’in¤uence).

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(x,y)

Ui

Vi

FIG. 4.3 – Domaines d’in¤uence à 2 Dimensions

FIG. 4.4 – Fonction de Poids en 2D (domaine d’in¤uence circulaire)

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Le vecteur des pressions nodales est noté pT :

pT = p1, p2, · · · , pn−1, pn (4.13)

On a, de plus : ph = ∑ piNi. Ce qui donne, comme en EF la relation matricielle suivante :

ph(x,y) = N1(x,y),N2(x,y), · · · ,Nn(x,y) ·

p1

p2...pn

(4.14)

On peut aussi écrire (4.14) sous cette forme :

ph(x,y) = [N(x,y)] · pd (4.15)

Avec :

Ni(x,y) = p(x,y)T · [A(x,y)]−1 · [C(x,y)]i i = 1 · · ·n (4.16)

4.2.5 Condition nécessaire d’existence

On a vu précédemment (4.16) que le calcul des fonctions de formes imposait l’inversion de la matrice mx m [A(x,y)], mais cette matrice n’est pas toujours inversible. On remarque cependant (4.7) qu’elle estla somme de n matrices de rang 1. Pour qu’elle soit inversible, il faut que son rang soit égal à m. Unecondition nécessaire à cela est que chaque point soit in¤uencé par au moins m noeuds. En effet, le rangd’une somme de matrices est inférieur ou égal à la somme des rangs de ces matrices, le rang de A estdonc inférieur ou égal à n.Il faudra donc avoir une taille de domaines telle que n≥ m

Ce qui est équivalent à :Pour que l’interpolation par moindres carrés pondérés à coef£cients variables soit dé£nie sur tout ledomaine considéré, il faut que le nombre de noeuds in¤uençant tout point X soit au moins égal à ladimension de la base choisie pour l’interpolation.

4.2.6 Application au problème d’acoustique.

On approximera la pression et sa variation par :

ph(x,y) = [N(x,y)] · p δph(x,y) = [N(x,y)] · δp (4.17)

On approximera aussi les multiplicateurs de Lagrange par :

λh = [N ] · λ δλh = [N ] · δλ (4.18)

avec N l’interpolant des multiplicateurs de Lagrange, qui ne doit pas obligatoirement être le même quepour N.

En introduisant (4.17) et (4.18) dans la formulation variationnelle, on obtient le système suivant :[

[K]+ j ρ c k [C]− c2 k2 [M] [K]pλ[K]Tpλ 0

]·

pΛ

=

− j ρ c k f

b

(4.19)

Avec :

page 18


– La matrice de "raideur" [K] :

[K] =∫

Ω∇NT ∇N dΩ (4.20)

– La matrice "d’amortissement" [C] (Conditions limites de Robin) :

[C] =∫

ΓR

NT N An dΓ (4.21)

– La matrice de "masse" [M] :

[M] =1c2

∫

ΩNT N dΓ (4.22)

– La matrice [K]pλ de couplage des deux inconnues :

[K]pλ =∫

ΓD

NT N dΩ (4.23)

– le vecteur des vitesses normales £xées f (Conditions limites de Neumann) :

f =∫

ΓN

NT vn dΓ (4.24)

– le vecteur des pressions £xées b (Conditions limites de Dirichlet) :

b =∫

ΓD

N T p dΓ (4.25)

– Le vecteur p des pressions nodales– Le vecteur Λ des multiplicateurs de Lagrange

La résolution d’un problème d’acoustique en EFGM peut donc s’écrire sous forme de la résolution d’unsystème linéaire (4.19) (Comme en EF).La présence de multiplicateurs de Lagrange augmente sensiblement la taille du système, donc son tempsde résolution. Cependant, il est très rare qu’un cas où la pression est £xée se présente dans la réalité.L’utilisation de ces multiplicateurs, ne sera donc, dans la plupart des cas pas nécessaire.

4.2.7 Approximation d’onde localement plane.

On a vu précédemment que l’un des avantages de la méthode meshless était de pouvoir intégrer danssa base une forme de la solution exacte du problème. C’est, pour un grand nombre de méthodes decalculs numériques en dynamique un des axes de recherche actuels. Des articles ([?]) ont déjà présentédes moyens d’annuler l’erreur de pollution en acoustique 1D. Cette méthode se proposait d’utiliser unebase :– P(x)T = 1,cos(kx),sin(kx) en 1D.– P(x)T = 1,cos(kx ·cos(α)+ky ·sin(α)),sin(kx ·cos(α)+ky ·sin(α)),cos(−kx ·sin(α)+ky ·cos(α)),sin(−kx ·

sin(α)+ ky · cos(α)) en 2D, pour éliminer l’erreur dans 2 directions (α et α+π/2).

Cependant, ces méthodes n’annulent l’erreur que pour un nombre £ni d’angles de propagation (voir [?]). A£n d’éliminer l’erreur quelque soit la direction de propagation, il faudrait que l’onde soit plane, etque l’on connaisse en chaque point α.

page 19


Or, une hypothèse physique commune consiste à considérer la propagation d’une onde quelconquecomme plane localement. On peut donc écrire en chaque point M(x,y) :

P(x,y) = P · e jk·X (4.26)

Avec :

k =

∣∣∣∣k · cos(α)k · sin(α)

(4.27)

d’où :

P(x,y) = P · cos(k (x · cos(α)+ y · sin(α)))+ j sin(k (x · cos(α)+ y · sin(α))) (4.28)

En posant :

θ(x,y) = x · k cos(α)+ y · k sin(α) (4.29)

On obtient £nalement :

P(x,y) = P · e j θ(x,y) (4.30)

P(x,y) = PRe(x,y)+ j PIm(x,y) (4.31)

On peut donc determiner θ(x,y) en tout point, une fois que l’on connaît le champ de pression :

cos(θ(x,y)) =PRe(x,y)Module

et sin(θ(x,y)) =PIm(x,y)Module

(4.32)

La démonstration de l’existence de cet angle θ est donnée dans [VLacr]On construira donc une base 1,cos(θ(x,y)),sin(θ(x,y)), ce qui permet une erreur minimale dans lasolution approchée du problème.

page 20


Une approche multiniveaux procédera donc ainsi :

Calculer une premiereapproximation de la

pression en chaque pointavec un calcul EFGM

linéaire : P1(x,y)

Calcul des Theta nodauxdu premier calcul qui

deviennent les Theta dela base EFGM (i)

Calculer le nouveauchamp de Pression avec

la base Theta.(i)

Critère

Critère

STOP

Calcul desnouveauxTheta nodaux qui deviennent les Thetade la base EFGM (i+1)

Calculer le nouveauchamp de Pression avec

la base Theta. (i+1)

Oui

Non

Oui

Non

FIG. 4.5 – Organigramme de l’approche Multiniveaux

Le critère utilisé dans cet algorithme peut être de deux types :– Critère d’erreur globale en norme L2 :

√∫Ω(pi+1− pi)( pi+1− pi)dΩ

∫Ω(pi pi)

dΩ≤ ε (4.33)

– Critère de convergence de θ :

√∫Ω(θi+1−θi)2 dΩ∫

Ω(θi)2 dΩ≤ ε (4.34)

En conclusion, on peut dire que cette méthode est prometteuse ([?]). En effet, elle permet d’annuler touteerreur de pollution sur le domaine considéré, mais cela, au prix d’un temps de calcul plus long qu’enmeshless linéaire.

page 21

Chapitre 5

Calcul de l’erreur d’une solution EF viaune méthode EFGM Multiniveaux

5.1 Présentation de l’étude.

Le but de mon travail était de réaliser un calcul d’erreur sur des solutions EF acoustiques, et de comparercelui-ci avec un autre calcul d’erreur découlant cette fois-ci d’une solution EFGM Multiniveaux (niveau2 ici). On peut ainsi étudier si cette dernière donne une indication £able de l’erreur exacte.Pour cela, il faut procéder en plusieurs étapes :– Discrétisation et position du problème.– Calcul des coordonnées des points de Gauss par élément (EF) a£n de préparer le calcul d’erreur.– Calcul EF acoustique (SYSNOISE, LMS).– Calcul de l’angle de la base EFGM 1,cos(θ(x,y)),sin(θ(x,y)) a partir du calcul EF précédent.– Calcul EFGM de niveau 2 du problème à partir de θ EF.– Calcul des erreurs (en norme L2 et sur θ(x,y) ) par élément (EF).– Post-Traitement des résultats.

5.2 Discrétisation et position du problème.

A£n de réaliser une résolution EF du problème, il faut tout d’abord discrétiser celui-ci. La méthode deséléments £nis propose de discrétiser la géométrie en carrés ou triangles (En 2D).Il faut préciser que la première source d’erreur dans le problème se situe à ce niveau : C’est en effetici qu’apparaît l’erreur dite "de grille". C’est l’erreur géométrique commise lors de la discrétisation dudomaine :

22


Element

GéométrieRéelle

GéométrieDiscrétisée

FIG. 5.1 – Erreur de grille

Voici les exemples de deux problèmes 2D : l’un représente un simple carré discrétisé en 441 noeuds (Ilfaut remarquer que pour cet exemple, l’erreur de grille est inexistante) , l’autre une coupe longitudinalede la caisse d’une voiture discrétisée en 777 noeuds.

SYSNOISE - COMPUTATIONAL VIBRO-ACOUSTICS SYSNOISE Default Model

X

Y

Z

FIG. 5.2 – Carre discrétise en 400 éléments

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

FIG. 5.3 – Nuage de noeuds EFGM associé au maillage précédent

page 23



X

Y

Z

FIG. 5.4 – Coupe d’une auto discrétisée en 777 noeuds.

A partir des résultats EF donnés par SYSNOISE (LMS Int.), un logiciel de calcul acoustique par mé-thodes numériques, on peut calculer les valeurs des champs de pression et de phase aux points de GaussEFGM, ainsi que les dérivées spatiales du champ θ (en appliquant divers algorithmes présentés en an-nexe page 52)

On peut donc déterminer en tous ces points la base EFGM.Connaissant la base EFGM, on peut lancer un calcul EFGM de second niveau, et à partir de celui-cicalculer l’erreur élémentaire commise par le calcul EF.

5.3 Calcul d’erreur

Le calcul de l’erreur élémentaire revient à calculer, sur chaque élément l’intégrale suivante (erreur élé-mentaire relative en norme L2) :

εelementaire =

∫Element(P

EF −PExact) · (PEF − PExact)dxdy∫

Element(PExact PExact)dxdy

(5.1)

Rem : .=Complexe ConjuguéPour Calculer ces intégrales, on doit se ramener à l’élément parent, pour cela, on sait que :

∫

Elementf (x,y)dxdy =

∫ 1

ξ=−1

∫ 1

η=−1f (ξ,η) |Det(J)|dξdη (5.2)

Avec :

J =

[∂x∂ξ

∂y∂ξ

∂x∂η

∂y∂η

]=

[∑∂Ni

∂ξ xi∑∂Ni

∂ξ yi∑∂Ni

∂η xi∑∂Ni

∂η yi

](5.3)

Dans le cas du carré dé£ni précédemment, on connaît PEX , mais dans la plupart des cas (dont celui de lavoiture), PEX est inconnu. En élasticité, (par exemple, l’indicateur de Zienkiewicz [?]) on construit unchamp lissé qui fait of£ce de champ exact.Le but de ce stage est de montrer que ce champ lissé peut-être remplacé par la solution EFGM calculéeà partir du champ de pression EF.

page 24


Remarque : On introduit aussi l’erreur élémentaire relative sur la phase qui a l’expression suivante :

εelementaire =

∫Element(θEF −θExact)dxdy∫Element(θExact ·θexact)dxdy

(5.4)

Pour caractériser la qualité de l’indicateur d’erreur, on introduit le coef£cient d’ef£cacité de celui-ci :

β =

∣∣∣∣PEF −PEFGM∣∣∣∣

||PEF −PEX ||(5.5)

On considèrera l’indicateur comme satisfaisant si son coef£cient d’ef£cacité est contenu dans l’intervalle[0.8,1.2].

5.4 Exemple de la cavité carrée

A£n de réaliser un premier test de l’indicateur, on considère le problème purement £ctif suivant :

cos( )nA

c

αρ

= −cos( )

nAc

αρ

=

sin( )nA

c

αρ

=

sin( )nA

c

αρ

= −

P=1

FIG. 5.5 – Cavité carrée

Ce problème a pour particularité d’avoir une solution exacte connue. C’est pour cela qu’il nous sera utilea£n de caractériser l’indicateur d’erreur.Solution exacte du problème (pour ρ c = 1) :

p(x,y) = cos(k · (x · cos(α)+ y · sin(α))+ j · sin(k · (x · cos(α)+ y · sin(α)) (5.6)

Avec α, l’angle de propagation de l’onde, et k = ω/c le nombre d’onde.Les valeurs numériques des paramètres précédents sont :– ρ = 0,004 kg.m−3

– c = 250 m.s−1

– P=1

page 25


On a ensuite réalisé une étude fréquentielle des erreurs relatives (sur p et θ ), par rapport à la solutionexacte et EFGM de niveau 2.Cette étude est représentée dans la £gure suivante :

Evolution de l'erreur globale relative en norme L²

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

50 150 250 350 450 550 650Fréquence (Hz)

Err

eur

L2 EF/EX

L2 EF/EFGM

FIG. 5.6 – Evolution des erreurs exactes et estimées en fonction de la fréquence.

On voit donc que, sur toute la bande de fréquence étudiée (50-700 Hz), l’indicateur d’erreur basé sur lasolution EFGM de deuxième niveau semble donner satisfaction, puisque, hormis pour une fréquence de420Hz, la courbe d’erreur globale relative à la solution exacte est très proche de celle de l’erreur relativeà la solution EFGM de second niveau.L’étude de l’indice d’ef£cacité de l’indicateur amène au même constat :

Evolution de l'indice d'efficacité de l'estimateur

0,00E+00

5,00E-01

1,00E+00

1,50E+00

2,00E+00

2,50E+00

50 150 250 350 450 550 650

Fréquence (Hz)

Indi

ce d

'effi

caci

té

42O Hz

4OO Hz

FIG. 5.7 – Indice d’ef£cacité de l’indicateur d’erreur.

page 26


En effet, pour qu’un indicateur soit considéré comme £able, son indice d’ef£cacité doit être comprisentre 0,8 et 1,2... Or, ici, on voit que cet indicateur est £able, sauf pour deux fréquences 420 Hz, commeprécédemment, mais aussi 400 Hz.Concernant la différence à 420Hz environ, cette différence peu paraître inexplicable (250%) d’erreur !

Pour cerner la ou les sources de ce problème, étudions les évolutions des erreurs suivantes :– Erreur globale sur la pression EF relative à la pression Exacte– Erreur globale sur la pression EFGM relative à la pression Exacte– Erreur globale sur la pression EF relative à la pression EFGM

Evolution des différentes erreurs globales en norme L² et en fonction de la frequence

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

50 150 250 350 450 550 650Fréquence (Hz)

Err

eur

glob

ale

L2 EF/EX

L2 EF/EFGM

L2 EFGM/EX

FIG. 5.8 – Evolution des 3 types d’erreur en fonction de la fréquence.

On voit, en étudiant la £gure (5.8), que la solution EF commet deux pics d’erreur très marqués. Lors dupremier, à 320Hz, l’erreur globale commise est de 139%. Cependant, le calcul EFGM de second niveaun’est pas trop affecté par ce pic. L’erreur de ce calcul par rapport à la solution exacte reste faible (2.3%),d’où le fait que les courbes d’erreur EF/Exacte et EF/EFGM restent très proches.A 420Hz, par contre, il en est autrement : l’erreur commise par la solution EF/Exacte reste proche des100% (120%), mais cette fois-ci, la solution EFGM de second niveau se dégrade beaucoup (pic d’erreurà 146%), alors qu’à part cette fréquence (sur une bande [0Hz,5OOHz]), l’erreur EFGM/Exacte est infé-rieure à 6% ! Pourquoi ?

Etudions maintenant les différentes erreurs sur la phase :

page 27


Evolution de différentes erreurs en norme L²

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

50 150 250 350 450 550 650Fréquence (Hz)

Err

eur

TH EF/EX

TH EF/EFGM

TH EFGM/EX

FIG. 5.9 – Evolution des erreurs globales relatives sur la phase

– A 400Hz, l’erreur sur θ EF/Exacte est de 47%, le calcul EFGM de second niveau ramène l’erreurEFGM/EX à 23%, d’où une bonne estimation de l’erreur exacte.

– A 420 Hz, l’erreur sur θ EF/Exacte est de 26%, celle de la solution EFGM de second niveau atteint74% : Pourquoi, alors que là encore, en dehors de cette fréquence, l’erreur reste très acceptable ?

Étudions alors les cartes d’erreur sur la pression et la phase à cette fréquence.En fait, il apparaît, si on regarde de plus près la solution EF que celle-ci est complètement incohérente àcette fréquence. On n’a plus, comme le montre la £gure (5.4) de propagation sinusoïdale, mais quelque-chose de totalement faux (pression variant entre -3 et 4, etc...).Nous nous sommes penchés sur ce problème, et après une étude, on a pu établir qu’il était indépendantdu raf£nement du maillage, du type d’élément, de l’angle de propagation, mais qu’il semblait se pro-duire pour toutes les fréquences dont la longueur d’onde est multiple de 0.2m. Par exemple pour uneonde de célérité c = 250ms−1, on a le tableau suivant :

Longueur d’onde λ Fréquence f = c/λ0.8m 312Hz0.6m 416Hz0.4m 625Hz

TAB. 5.1 – Evolution des fréquences incohérentes

On voit que toutes les fréquences où la qualité de la solution EF se détériorait fortement (320 Hz), et oùl’estimation semblait mauvaise (400 & 420 Hz, sont à moins de 2% de 416Hz ) étaient bien liées à ceproblème.On peut donc dire que l’indicateur semble £able, car hormis à ces fréquences, l’estimation est très bonne.Et même à ces fréquence, le calcul de second niveau fait ressortir le caractère aberrant de la solution EF.Voici l’allure de la solution exacte du problème (pression réelle ici.) :

page 28



Model Mesh [0][C]: Pressure at 300.000 Hz (Real Part)

[N] Pressure (BC)

-1.032E+00

-7.754E-01

-5.185E-01

-2.615E-01

-4.495E-03

2.525E-01

5.095E-01

7.664E-01

1.023E+00

Pressure

X

Y

Z

FIG. 5.10 – Allure de la solution exacte de la pression réelle (300Hz)

Les £gures suivantes montrent l’évolution de la pression réelle et de la phase pour des fréquences prochesde 400 et 420Hz.



[N] Pressure (BC)

-1.038E+00

-7.785E-01

-5.196E-01

-2.606E-01

-1.650E-03

2.573E-01

5.163E-01

7.752E-01

1.034E+00

Pressure

X

Y

Z


Model Mesh [0][C]: Pressure at 400.000 Hz (Phase)

[N] Pressure (BC)

-1.722E+02

-1.309E+02

-8.952E+01

-4.817E+01

-6.813E+00

3.454E+01

7.589E+01

1.172E+02

1.586E+02

Pressure

X

Y

Z

FIG. 5.11 – Allure de la solution EF à 400Hz (Pression réelle à gauche et phase à droite)

page 29




[N] Pressure (BC)

-1.027E+00

-7.735E-01

-5.195E-01

-2.655E-01

-1.149E-02

2.425E-01

4.965E-01

7.505E-01

1.004E+00

Pressure

X

Y

Z



[N] Pressure (BC)

-1.800E+02

-1.350E+02

-9.002E+01

-4.505E+01

-8.655E-02

4.488E+01

8.985E+01

1.348E+02

1.798E+02

Pressure

X

Y

Z




[N] Pressure (BC)

-4.677E+00

-3.665E+00

-2.653E+00

-1.642E+00

-6.300E-01

3.817E-01

1.393E+00

2.405E+00

3.417E+00

Pressure

X

Y

Z



[N] Pressure (BC)

-1.781E+02

-1.333E+02

-8.859E+01

-4.382E+01

9.373E-01

4.570E+01

9.046E+01

1.352E+02

1.800E+02

Pressure

X

Y

Z


On voit donc que la solution se dégrade peu à peu. Cette dégradation est plus visible avec un maillageplus raf£né. En effet, pour celui-ci, le fréquence aberrante est confondue avec celle calculée (tableau5.1), alors que dans le cas du maillage précédent (400 éléments), la précision de calcul est plus faible.

page 30


FIG. 5.14 – Allure de la solution EF à 313.1Hz, modèle raf£né (Pression réelle à gauche et phase àdroite)

5.5 Amélioration de l’indicateur.

Connaissant maintenant les avantages et les inconvénients de notre indicateur, il nous est donc mainte-nant possible d’améliorer ses caractéristiques.

5.5.1 Identi£cation des sources d’erreur

A£n de calculer la base EFGM du calcul de niveau 2, il est nécessaire de calculer la phase locale ainsique ses dérivées spatiales.Regardons donc où se situent les erreurs lors du calcul EF : On trace pour cela les cartes d’erreur sur ledomaine considéré (erreur relative en norme L2, erreur relative sur θ ) pour plusieurs fréquences, et onles compare aux erreurs estimées.

page 31


SAMCEF-BACON: ...RE441/postt2/err_ef_50 19 JUN 2001 17:10:17

Tenseur 2D de contraintes lineaires : Contraintes selon le premier axe

Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100

Echelle numerique 6.149359

0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

1.8

2.1

2.4

2.7

3

VALEUR * 1.E -3

X

Y

Z

SAMCEF-BACON: ...441/postt2/err_efgm_50 19 JUN 2001 17:12:32


Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

1.8

2.1

2.4

2.7

3

VALEUR * 1.E -3

X

Y

Z

FIG. 5.15 – Erreur relative à la solution exacte(haut) et estimée (bas) en norme L2 (50Hz)

page 32


SAMCEF-BACON: ...RE441/postt2/err_ef_50 19 JUN 2001 17:02:18

Tenseur 2D de contraintes lineaires : Contraintes selon le deuxieme axe

Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

VALEUR * 1.E -3

X

Y

Z



Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

VALEUR * 1.E -3

X

Y

Z

FIG. 5.16 – Erreur relative à la solution exacte (haut) et estimée (bas) sur la phase (50Hz)

page 33


SAMCEF-BACON: ...E441/postt2/err_ef_400 19 JUN 2001 17:14:44


Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0

90

180

270

360

450

540

630

720

810

900

VALEUR * 1.E -3

X

Y

Z



Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0

90

180

270

360

450

540

630

720

810

900

VALEUR * 1.E -3

X

Y

Z


page 34




Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0

0.6

1.2

1.8

2.4

3

3.6

4.2

4.8

5.4

6

X

Y

Z



Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0

0.6

1.2

1.8

2.4

3

3.6

4.2

4.8

5.4

6

X

Y

Z


page 35




Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

X

Y

Z



Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

X

Y

Z


page 36




Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

1.8

2.1

2.4

2.7

3

X

Y

Z



Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

1.8

2.1

2.4

2.7

3

X

Y

Z


Tous ces graphiques sont bien symétriques par rapport à la diagonale du carré, et c’est cohérent, l’angle

page 37


de propagation ayant été choisi égal à 45.Si on étudie en détail les graphes d’erreur sur la pression, on devine que celle-ci augmente par "vaguessuccessives". En réalité, ces "vagues" correspondent aux pics d’erreur visibles sur la carte d’erreur surla phase.On peut cependant facilement expliquer ces pics d’erreur : L’angle à introduire dans la base EFGM aété choisi compris dans [0,2π[ (alors qu’en réalité, il varie de −∞ + ∞ : voir £g 5.21 ). Au point (0,0)(source), la pression ayant pour valeur 1 (1 + 0 · I), sa phase est égale à 0 radians. L’onde se déplaçant,cette phase va augmenter jusqu’à 2π− ε, puis passer à 0, et ainsi de suite.La qualité de la détermination de cet angle par éléments £nis (linéaires) sera très in¤uencée par la tailledu maillage et la disposition de ses noeuds, comme le montre la £gure (5.22) :

FIG. 5.21 – Evolution de la phase Analytique

θ

Diagonale

θθ

EF

EX

2π

FIG. 5.22 – Evolution des phases Analytiques (ramenée à [0,2π[) et EF sur la diagonale

C’est pour cela que l’on observe des pics d’erreur là où la phase passe de 2π à 0. Cela devient très visiblesi on trace la phase sur le domaine (Fig.5.23 et Fig.5.24). On voit alors clairement que la phase n’est pas

page 38


correctement représentée par le calcul EF.

FIG. 5.23 – Phases EF et EFGM sur le domaine

FIG. 5.24 – Phases EF et EFGM sur le domaine

La dérivée de la phase, quant à elle sera encore moins bien représentée. En effet, on a :

θ(x,y) = ∑θi ·Ni

d’où :

∂θ(x,y)∂x

= ∑θi ·∂Ni

∂x(5.7)

∂Ni∂x se calculant à partir de la matrice jacobienne (voir equation (5.3)).

N étant une fonction linéaire, ses dérivées spatiales seront des constantes, tout comme les dérivéesspatiales de la phase réelle. Cependant, aux passages de 0 à 2π, alors que la phase réelle restera constante,la phase EF variera de façon insatisfaisante :

page 39


θ

Diagonale

θθ

EF

EX

θEXddx

θEFddx

FIG. 5.25 – Evolution des dérivées de la phase EF et EX.

Si on trace la dérivée selon x de la phase EF sur le domaine, on voit (Fig.5.26) qu’au lieu de resterconstante (égale à k · cos(α)) , la dérivée devient fausse périodiquement à chaque passage de la phase à2π :

FIG. 5.26 – (θ(x,y)),x

Cela est con£rmé si on étudie la carte d’erreur à 300Hz : l’erreur élémentaire est basse sur tout ledomaine à part aux discontinuités de phase où on a des pics d’erreur (5OO%).

page 40


SAMCEF-BACON: err_dtdx_400 24 JUI 2001 08:50:12


Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0.001

0.52

1.039

1.558

2.077

2.596

3.115

3.634

4.153

4.672

5.19

X

Y

Z

FIG. 5.27 – carte d’erreur de (θ(x,y)),x à 400Hz

Les £gures (5.15), (5.16), (5.17), (5.18), (5.19) et (5.20) sont donc cohérentes. A 50 Hz, par exemple,l’erreur est quasi-nulle sur tout le domaine, hormis lorsque la phase passe de 0 à 2π au coin supérieurdroit du carré.De plus, à part à 400Hz, les distributions d’erreur élémentaires sont comparables sur les deux cartes(exacte et estimée), elles ne sont bien sûr pas identiques, mais sont suf£samment proches pour que leserreurs globales soient comparables.A 400 Hz, on a vu que la solution EF commençait à se détériorer fortement, et donc de ce fait, la solutionmeshless donne des résultats aberrants.

Étudions maintenant les indices d’ef£cacité élémentaires à ces différentes fréquences, pour voir là oùl’ef£cacité globale se détériore :

page 41


SAMCEF-BACON: eff_50 19 JUN 2001 21:51:04


Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


1.014

1.033

1.051

1.069

1.088

1.106

1.124

1.143

1.161

1.179

1.198

X

Y

Z

FIG. 5.28 – Ef£cacité élémentaire à 50Hz

On voit que globalement, à cette fréquence, la carte de l’indice d’ef£cacité élémentaire est bonne. Eneffet, pour tous les éléments, cet indice est comprise entre 0 et 1.2.



Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0.732

0.817

0.901

0.986

1.071

1.155

1.24

1.325

1.41

1.494

1.579

X

Y

Z


Cette fois-ci, l’indice d’ef£cacité se détériore entre la première et la deuxième longueur d’onde (indiced’ef£cacité supérieur à 1.49), ainsi que sur les passages de phase de 2π à 0, comme on pouvait s’endouter à la vue de la carte d’erreur sur la phase à cette fréquence (5.18).

page 42




Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0.675

0.712

0.749

0.785

0.822

0.858

0.895

0.932

0.968

1.005

1.042

X

Y

Z


A 700Hz, l’indice d’ef£cacité est surtout mauvais dans la zone proche de la source. Cependant, à cettefréquence les résultats ne sont plus très £ables.En effet, le pas du maillage n’est plus capable de restituer correctement le caractère ondulatoire de lasolution : Le phénomène de dispersion devient trop grand. Les £gures suivantes représentent, sur ladiagonale du carré les pressions réelles et imaginaires à 700Hz, ainsi que leur approximation EF.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−1

−0.5

0

0.5

1

X

AnalytiqueEF

FIG. 5.31 – Pression réelle exacte et EF sur la diagonale à 700Hz

page 43


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−1

−0.5

0

0.5

1

X

EFAnalytique

Pression imaginaire suivant la diagonale (700Hz)

FIG. 5.32 – Pression imaginaire exacte et EF sur la diagonale à 700Hz

C’est pour les différentes raisons invoquées plus haut(Sec 5.5.1)qu’il a été décidé, non plus de travailleravec la phase, mais directement avec ses cosinus et ses sinus.

5.5.2 Utilisation des cosinus et des sinus à la place de la phase

En effet, la base EFGM P = 1,cos(θ(x,y)),sin(θ(x,y)) peut se déterminer soit par la donnée de θ (etθ,i) , soit par la donnée de cos(θ),sin(θ) et (cos(θ)),i,(sin(θ)),i.

Or, on a vu que la source d’erreur la plus probable était l’erreur sur les dérivées de la phase et sur lesdiscontinuités. A£n d’améliorer la précision de l’indicateur, on essaie de s’affranchir des discontinuitésde phase qui détériorent la solution. Les cosinus et sinus de la phase sont, eux, continus sur tout le do-maine : On peut donc éviter ce problème.

Pour le calcul des dérivées spatiales des cosinus et sinus, on utilise, comme précédemment la relation(5.7), page 38, en remplaçant θ,i par (cos(θ)),i et (sin(θ)),i.Si on trace l’évolution du cosinus (resp. sinus), on doit obtenir la pression réelle (resp. imaginaire) dansnotre cas. Cela se véri£e aisément :

page 44


FIG. 5.33 – cos(θ) à 300Hz

On voit (comme dans les graphes précédents) que l’allure de la pression réelle est bonne. Cependant,quand on passe aux dérivées, les résultats se dégradent (voir £g 5.25).En effet, toute dérivation entraîne inévitablement des problèmes, car les dérivées des fonctions de formesont constantes par élément. Si on dérive cos(θ), on n’obtient pas−sin(θ), mais une fonction d’escaliersproche de −sin(θ). (voir Fig.5.25 et 5.26) :

page 45


FIG. 5.34 – (cos(θ)),x EF à 300Hz

page 46


Voici maintenant, en comparaison, la dérivée EFGM de ce problème :

FIG. 5.35 – (cos(θ)),x EFGM à 300Hz

page 47


Cette dérivée est de très bonne qualité, car, comme on l’a expliqué au chapitre 4, le degré de continuitéde la solution EFGM est bien supérieur à celui de la solution EF.C’est à ce stade que l’on entrevoit la problématique de cette amélioration de l’indicateur :– Vaut-il mieux utiliser la phase, dont la £délité de restitution dépend fortement du maillage (Fig. 5.22)

, et dont les erreurs sur les dérivées sont fortes, mais très localisées (Fig. 5.26),– Ou alors utiliser les cosinus et sinus dont la qualité de restitution dépend moins du maillage, mais

dont les erreurs sur les dérivées sont omniprésentes, mais faibles ?C’est ce que nous allons étudier dans la suite.

5.5.3 Mise en oeuvre de cette évolution de l’indicateur

Il nous est donc possible de calculer en tout point de la structure la valeur de cos(θ), sin(θ) ainsi queleurs dérivées spatiales. On peut donc calculer en tout point la base EFGM de niveau 2.Ensuite,on procède comme précédemment, en effectuant une étude fréquentielle.On peut donc tracer les erreurs de la solution EF/ solution Exacte, ainsi que l’erreur estimée aprèsmodi£cation de l’indicateur :

Evolution de l'erreur globale relative en norme L², base EFGM Cos/Sin

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

50 150 250 350 450 550 650

Fréquence (Hz)

Err

eur

L2 EF/EFGMCS

L2 EF/EX

FIG. 5.36 – Evolution de l’erreur globale relative en norme L2, indicateur modi£é

On voit clairement que la qualité de l’indicateur s’est améliorée. En effet, la chute de la qualité de l’in-dicateur à 420Hz à disparu.

Pour voir comment a changé la carte d’erreur du problème grâce à l’évolution de l’indicateur, se reporteren annexe C, page 59.En plus, l’erreur estimée approche l’erreur réelle d’encore plus près. Cela est con£rmé si on observel’indice d’ef£cacité de l’indicateur d’erreur :

page 48


Evolution de l'indice d'efficacité de l'estimateur (Estimateur Cos/Sin)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

50 150 250 350 450 550 650

Fréquence (Hz)

Indi

ce d

'effi

caci

té

400 Hz

FIG. 5.37 – Indice d’ef£cacité de l’indicateur modi£é

Malheureusement, outre les améliorations citées plus haut, on voit que le pic d’erreur à 400Hz n’a pasdisparu. Il ne nous a pas été possible d’identi£er sa cause, même si on sait qu’il est dû à une brusquedétérioration de la solution EFGM de niveau 2 (voir graphes suivant).

Evolution de l'erreur globale relative en norme L², base EFGM Cos/Sin

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

50 150 250 350 450 550 650

Fréquence (Hz)

Err

eur

L2 EF/EFGMCS

L2 EF/EX

L2 EFGMCS/EX

Pic d'erreur, f=400Hz

FIG. 5.38 – Evolution de l’erreur globale relative en norme L2, indicateur modi£é

page 49


Evolution des erreurs globales sur Theta

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

50 150 250 350 450 550 650

Fréquence (Hz)

Err

eur

TH EFGMCS/EX

TH EF/EFGMCS

TH EF/EX

Pic d'erreur, f=400Hz

FIG. 5.39 – Evolution de l’erreur globale relative sur θ, indicateur modi£é

Cependant, cette "fausse note" n’est pas si grave, car à 400Hz, l’indicateur a tendance à surestimerl’erreur, ce qui est moins grave que de la sous-estimer. On peut donc direque l’indicateur a progressé(voir Fig. 5.40), et semble maintenant être £able.

Comparaison de l'efficacité des deux évolutions de l'estimateur

0,00E+00

5,00E-01

1,00E+00

1,50E+00

2,00E+00

2,50E+00

50 150 250 350 450 550 650

Fréquence (Hz)

Effi

caci

té

Efficacité estimateur Theta

Efficacite estimateur cos/sin

FIG. 5.40 – Amélioration de l’indice d’ef£cacité de l’indicateur lors de son évolution

En effet, son indice d’ef£cacité est très bon, quelquesoit la fréquence, hormis 400Hz (Il est compris entre0.96 et 1.053).Regardons plus en détail la carte d’indice d’ef£cacité à 420Hz. Cette fréquence est remarquable : en effet,elle est telle que hmaillage = λ/6, ce qui correspond au critère de bonne pratique £xé par les concepteursdu logiciel Sysnoise. Selon eux, si le maillage EF est tel que hmaillage ≤ λ/6 (une longueur d’ondereprésentée par 6 éléments), alors les résultats EF seront de bonne qualité.

page 50


SAMCEF-BACON: effic_420 24 JUI 2001 10:00:20


Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0.961

0.968

0.975

0.983

0.99

0.997

1.004

1.012

1.019

1.026

1.033

X

Y

Z

FIG. 5.41 – Carte d’indice d’ef£cacité à 420Hz

On voit sur cette carte d’erreur que l’indice d’ef£cacité est très bon car quelquesoit l’élément du domaineβ ∈ [0.96,1.033].La carte d’indice d’ef£cacité est en outre très équilibrée, ce qui est une qualité pour un indicateur.On arrive au même constat si on trace la distribution de l’indice d’ef£cacité sur les éléments (Fig. 5.42).

0

50

100

150

200

250

1,21,171,141,111,081,051,020,990,960,930,90,870,840,81

FIG. 5.42 – Distribution de l’ef£cacité sur les éléments à 420Hz

page 51

Chapitre 6

Conclusions

6.1 Conclusions scienti£ques

Le but de cette étude était de caractériser, puis éventuellement de valider, un indicateur d’erreur enacoustique basé sur une solution meshless EFGM de second niveau.On a vu, dans un premier temps, cet indicateur donnait de bon résultats, mais semblait manquer detolérance vis à vis de la solution EF à estimer. En effet, lorsque celle-ci se dégradait (beaucoup : 120%d’erreur globale) trop, l’estimation se dégradait.On a donc cherché d’où pouvaient provenir les sources "d’intolérance" de la part de l’indicateur, etproposé une modi£cation.Cette modi£cation, testée à la section 5.5.3, s’est avérée satisfaisante, l’indicateur devenant plus tolérant,mais aussi plus précis.Il resterait maintenant à réaliser des tests sur des exemples plus réels, mais il nous est alors impossiblede connaître la solution exacte pour la validation de l’indicateur. On pourrait utiliser à la place de celle-ciune solution EF (ou EFGM) très raf£née.Cependant, cet indicateur semble prometteur, et gageons qu’il pourra être intégré à un logiciel acoustiquecommercial, et ce malgré son coût plus élevé (le temps de calcul en EFGM est supérieur au temps decalcul EF, puisque les connectivités entre les noeuds ne sont pas explicites comme dans le cas deséléments £nis).

6.2 Conclusions humaines

Ce stage de maîtrise m’a en£n permis de découvrir de plus près le monde de la recherche universitaire.En effet, à part un stage de recherche en licence surtout destiné à nous sensibiliser à la recherche et aufonctionnement des laboratoires, je n’avais jamais véritablement réalisé ce qu’était la vie dans un labo-ratoire.De plus, l’intégration a été facilité grâce à la moyenne d’âge du laboratoire, qui est relativement basse(27 ans environ).En outre, partir à l’étranger a été pro£table, (même si la Belgique n’est pas éloignée, et la barrièrelinguistique inexistante). J’ai quand même eu à m’adapter à des mentalités différentes et à un nouvelenvironnement.La vie à la cité universitaire de l’ULB a été riche en rencontres. En effet, de nombreux étudiants partici-pant au programme Erasmus y résident. Cela a permis un certain mélange de cultures (Italie, Espagne,Allemagne, Canada...).

En résumé, ce stage m’a été béné£que tant sur la plan scienti£que que relationnel.

52

Annexe A

Calcul des coordonnées des points deGauss

A£n de calculer l’erreur par élément, il sera nécessaire de calculer des intégrales numériques. Il estcependant impossible de calculer celles-ci formellement, car le programme de calcul d’erreur est réaliséen langage Fortran. S’il avait été réalisé dans un langage tel que le language de programmation de Mat-lab ou Maple, il aurait peut-être été possible de les calculer exactement. On a donc choisi d’utiliser uneméthode d’intégration numérique de Gauss (le nombre de points par élément sera dé£ni plus loin) pourles carrés, et une méthode de Hammer pour les éléments triangulaires.

La méthode de calcul des coordonnées de ces points tient compte de l’isoparamétrie : En effet, on connaîtles coordonnées des points de Gauss dans l’élément de référence ; l’isoparamétrie permet ensuite decalculer les coordonnées réelles de ces points.

1

23

4 x

y

1

23

4 x

yξ

η

Φ

XGauss = ∑Nnoeuds

i=1 (Ni(ξGauss,ηGauss) ·Xi)

YGauss = ∑Nnoeudsi=1 (Ni(ξGauss,ηGauss) ·Yi)

(A.1)

Il suf£t alors de répéter cette opération pour tous les éléments.Cependant, il existe plusieurs ordres de calcul, avec pour certains de forts inconvénients :Cela revient à poser la question : Vaut-il mieux boucler sur les points de Gauss, ou les éléments ?En effet, on peut :

53


– Soit calculer les coordonnées réelles de chaque point de Gauss vis à vis de tous les éléments, puischanger de point de Gauss,

– Soit calculer des coordonnées réelles de tout les points de Gauss d’un élément, puis changer d’élément

En réalité, la deuxième méthode est préférable, pour préserver une certaine organisation du £chier depoints ainsi obtenu. Si, par la suite, on veut sommer les valeurs de ces n points de Gauss, il suf£ra, pourl’élément n de lire les points 9(n-1)+1 à 9n (Cas d’une intégration à 3x3 points de Gauss).Avec la première solution, il aurait été nécessaire de se déplacer constamment dans le £chier, et celad’une valeur dépendante du maillage : Le point de Gauss i+1 d’un élément est en effet situé N pointsplus loin que le point de Gauss i de ce même élément. N étant le nombre d’éléments de la structure.Il apparaît donc bien plus astucieux d’opérer selon la deuxième méthode.L’algorithme de calcul des coordonnées des points de Gauss sera donc le suivant :

Lire le nombre d'élémentsNe du maillage.

Lire les numéros desnoeuds de l'élémént I,

puis leurs coordonnées.

J=Nb depoints deGauss ?

Oui

Non

STOP

Calcul des coordonnéesdu point de Gauss J

Et ecriture dans le fichierde sortie.

I = Nbd'éléments ?

Oui

Non

J=J+1

I=I+1

FIG. A.1 – Organigramme de calcul des points de Gauss

page 54

Annexe B

Calcul de la base EFGM

Après avoir réalisé un calcul EF du problème, on utilise celui-ci pour calculer l’angle de propagationlocal de la base EFGM. Pour cela, il faut calculer la valeur de l’angle de propagation EF, ainsi que sadérivée spatiale aux points de Gauss EFGM (calcul des matrices [K],[C] et [M] (voir (4.19), page 17).Cependant, cette opération n’est pas triviale.En effet, pour déterminer cet angle, on utilise la relation :

θ(ξ,η) =N pointselement

∑i=1

(Ni(ξ,η) ·θi) (B.1)

Cependant, il faut tout d’abord savoir dans quel élément est situé le point considéré.

M

Ω

M

FIG. B.1 – Détermination de l’élément contenant le point M(x,y)

55


Pour les éléments carrés linéaires, il suf£t d’inverser la relation (A.1). On détermine ainsi l’applicationΦ−1 qui permet de passer de l’élément réel à l’élément parent. On peut ainsi, connaissant les coordon-nées d’un point dans le repère global déterminer ses coordonnées dans les éléments parents. Un pointsera contenu dans un élément si ses coordonnées dans l’élément parent sont telles que (voir £g B.2) :

ξ ∈ [−1,1]et

η ∈ [−1,1](B.2)

1

23

4 x

y

1

23

4 x

yξ

η

Φ−1

M(x,y)

m( , )ξ η

FIG. B.2 – Retour dans l’élément parent

Remarque : On ne peut calculer l’application φ−1 que pour des éléments a fonctions de formes linéaires,en effet, l’inversion de (A.1) n’est "triviale" que dans le cas de fonctions de forme linéaires.

Une autre méthode, qui elle fonctionne avec tous les types d’éléments carrés consiste à véri£er si lepoint considéré est à l’intérieur de la région du plan formé de l’intersection de 4 demi-plans :On considère la droite dé£nissant un côté de l’élément, et on véri£e si le point M est situé dans la mêmerégion du plan que l’un des deux autres noeuds de l’élément (voir £g B.3). Si oui, on véri£e cette condi-tion par rapport aux trois autres côtés de l’élément, si non, on essaie avec un autre élément. Le point Mappartiendra à l’élément considéré s’il appartient aux 4 régions dé£nies par ces 4 côtés de l’élément.

AB

C

M

D

FIG. B.3 – Région du plan par rapport à la droite (AB) et au point D

page 56


Exemple :Soit l’élément :

FIG. B.4 – Elément considére

On véri£e si le point M appartient à la région du plan dé£nie par (AD) et B.

–3

–2

–1

1

2

3

–3 –2 –1 1 2 3

FIG. B.5 – Région du plan par rapport à la droite (AD) et au point B

Si oui, on fait pareil avec (AB) et C, si non, on passe à l’élément suivant.

–3

–2

–1

1

2

3

–3 –2 –1 1 2 3

FIG. B.6 – Région du plan par rapport à la droite (AB) et au point C

page 57


–3

–2

–1

1

2

3

–3 –2 –1 1 2 3

FIG. B.7 – Région du plan par rapport à la droite (BC) et au point D

–3

–2

–1

1

2

3

–3 –2 –1 1 2 3

FIG. B.8 – Région du plan par rapport à la droite (CD) et au point A

Dans le cas des éléments triangulaires, plusieurs méthodes ont été utilisées :La première, est directement inspirée de ce qui précède. Elle consiste, là encore à calculer les coordon-nées du point courant dans l’élément parent, mais cette fois-ci par le biais des coordonnées aréolaires.On calcule L1 et L2, et on véri£e que :

(L1,L2) ∈ [0,1]2

Et1−L1−L2 ∈ [0,1]

(B.3)

Une autre méthode consiste à véri£er si le point courant appartient oui ou non à l’élément considéré, etseulement dans l’af£rmative calculer ses coordonnées aréolaires.On utilise pour cela la méthode de la "demi-droite" :Pour cela, on regarde le nombre d’intersections entre une demi-droite provenant du point à tester etl’élément courant (son barycentre, en réalité). Si le nombre d’intersections est pair, alors le point est endehors de l’élément, sinon (1 intersection) celui-ci est contenu dans l’élément (voir £g (B) ).

page 58


M

M

FIG. B.9 – Fig(B)a et Fig(B)b : Méthode de la demi-droite

Connaissant quel élément contient le point, on calcule ensuite ses coordonnées aréolaires.

On peut aussi appliquer la méthode des régions explicitée précédemment, ou tout autre type de méthodes.

Malheureusement, toutes ces méthodes sont très lentes dans le cas de maillages conséquents (18000noeuds et 36000 éléments). La rapidité de cette opération est directement liée au type d’algorithme uti-lisé pour déterminer l’élément contenant le point à évaluer. Mais le temps de lecture dans la table deconnectivité des noeuds, ainsi que dans le £chier de coordonnées de ceux-ci peut devenir très importantdans le cas de "gros" maillages.En effet, lors de la programmation de mes routines, j’avais pris le parti de limiter le plus possible l’uti-lisation de mémoire de celles-ci. L’inconvénient majeur de cette façon de procéder est le temps passéà lire les différentes informations utiles. J’ai donc, dans un second temps mis en mémoire les donnéesimportantes. Il en résulte donc une réduction drastique du temps de calcul.Malheureusement, on est vite limité par la taille maximale de vecteurs adressable, ce qui impose de frac-tionner ces informations vitales, et rend cette méthode moins systématique. La dernière solution seraitde paralléliser ces calculs.

page 59

Annexe C

Evolution de la carte d’erreur à 420Hz

SAMCEF-BACON: ...OISE/postt2/errex_420g 22 JUI 2001 12:10:52


Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0

2.58

5.16

7.73

10.31

12.89

15.47

18.05

20.62

23.2

25.78

X

Y

Z

SAMCEF-BACON: ...NOISE/postt2/errefgmcs 22 JUI 2001 12:08:47


Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0

2.58

5.16

7.73

10.31

12.89

15.47

18.05

20.62

23.2

25.78

X

Y

Z

FIG. C.1 – Carte d’erreur en norme L2, erreur exacte (haut) et estimée (indicateur évolué) (bas) sur lapression (420Hz)

60


SAMCEF-BACON: errefgm_42 22 JUI 2001 12:05:47


Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0

2.58

5.16

7.73

10.31

12.89

15.47

18.05

20.62

23.2

25.78

X

Y

Z

FIG. C.2 – Carte d’erreur en norme L2, erreur estimée (avant évolution) sur la pression (420Hz)

Nota : les £gures C.1 et C.2 sont à la même échelle.On voit que la carte d’erreur donnée par l’indicateur est proche de la carte d’erreur exacte, et a bienévoluée par rapport à la £gure C.2.Cependant, l’échelle (0 à 250% d’erreur) qu’impose cette dernière £gure empêche de voir plus précisé-ment les nuances d’erreurs sur les cartes Fig.C.1.La £gure suivante représente les mêmes cartes d’erreur que la Fig.C.1, mais avec une échelle plus ap-propriée.

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Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0

0.338

0.677

1.015

1.353

1.692

2.03

2.368

2.706

3.045

3.383

X

Y

Z



Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0.102

0.43

0.759

1.087

1.415

1.743

2.071

2.399

2.727

3.055

3.383

X

Y

Z

FIG. C.3 – Carte d’erreur en norme L2, erreur exacte (haut) et estimée (indicateur évolué) (bas) sur lapression (420Hz)

On a bien des différences, mais globalement celles-ci sont minimes (en valeur) , et sont dues au fait quela solution EF à cette fréquence est très mauvaise, et rend donc la solution EFGM moins précise.

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Faisons de même avec l’erreur sur la phase :



Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0

0.441

0.882

1.323

1.764

2.205

2.646

3.087

3.528

3.969

4.41

X

Y

Z



Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0

0.441

0.882

1.323

1.764

2.205

2.646

3.087

3.528

3.969

4.41

X

Y

Z

FIG. C.4 – Carte d’erreur sur la phase, erreur exacte (haut) et estimée (indicateur évolué) (bas) (420Hz)

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SAMCEF-BACON: errefgm_42 22 JUI 2001 12:07:27


Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0

0.441

0.882

1.323

1.764

2.205

2.646

3.087

3.528

3.969

4.41

X

Y

Z

FIG. C.5 – Carte d’erreur sur la phase, erreur estimée (avant évolution) (420Hz)

Les bienfaits de l’évolution de l’indicateur se voient surtout en étudiant les erreurs sur la phase. On voitque l’erreur sur la phase estimée est de bien meilleure qualité après évolution.Même constat, si on utilise une échelle plus adaptée à la £gure C.4.

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Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0

0.221

0.442

0.663

0.884

1.106

1.327

1.548

1.769

1.99

2.211

X

Y

Z



Cas de charges 1

Echelle geometrique

0.100


0.003

0.224

0.445

0.666

0.887

1.108

1.328

1.549

1.77

1.991

2.211

X

Y

Z

FIG. C.6 – Carte d’erreur sur la phase, erreur exacte (haut) et estimée (indicateur évolué) (bas) (420Hz)

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Documents

Contrôle de la qualité de la solution EF par une méthode ...perso.crans.org/legrain/rapport/rapport.pdf · Le Service des Milieux Continus est une entité de recherche (et d’enseignement)