Introducción a la modelización con Bond Graphskofman/files/charla_unlam_4b.pdf · Implicancias de la Analogía elegida Analogía Introducción a la modelización con Bond Graphs

Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA

1

Introducción a la Introducción a la modelización con modelización con

BondBond GraphsGraphs

Cátedra de Dinámica de los Sistemas Físicos

Depto. de Electrónica, FCEIA, UNR


2

• Los Bond Graphs (BG) son un lenguaje– gráfico– acausal– con simbología

• cuantificadora del flujo instantáneo de potencia• unificada• independiente de alinealidades

para la modelización de Sistemas Físicos

Características GeneralesCaracterísticas Generales


3

•Los BG proveen una metodología– sistemática– estructurada, orientada a objetos– unificada

de modelado, análisis y simulación de Sistemas Físicos Dinámicos (ΣΣΣΣΦ∆Φ∆Φ∆Φ∆)

| DB / EE-ES / PO / SD

ΣΣΣΣΦΦΦΦR →→→→ ΣΣΣΣΦΦΦΦI →→→→ DE →→→→ DECO →→→→| ANALISIS: Estabilidad| Propiedades Estructurales

Características GeneralesCaracterísticas Generales


4

• ΣΣΣΣΦΦΦΦR (Sistema Físico Real)→→→→ ΣΣΣΣΦΦΦΦI (Idealizado):– Análisis de {Sistema + Problema} – Identificación de fenómenos dominantes– Hipótesis simplificatorias

etapas

• ΣΣΣΣΦΦΦΦI →→→→ DE →→→→ DECO →→→→ ••••: completamente

algoritmizables

Modelado con BGModelado con BG


5

• Sistema: disposición delimitada de

entidades interactuantes• Sistema: {estructura + componentes}

• Sistema Físico: interacción consiste en transformación y/o transporte de materia y/o energía.

• Sistema Físico Dinámico: almacenamiento de materia y/o energía.



6

DOS EJEMPLOS SIMPLES



7

Circuito Electrico Serie

Estructura:Serie Conserva Potencia

→ VínculoEstructural 1Componentes:

Fuente: GeneraEnergía S (Source) Fuente

Resistor: Disipa Energía R (Resistor) Disipador

Bobina: ConservaEnergía (magnética) I (Inertia) Almacenador

Capacitor: Conserva Energía (eléctrica) C (Capacitor) Almacenador



8


Una extraña pero ilustrativa topología

Enlace de Potencia

+−

+−


9

Elementos estructurales y componentesModelado con BGModelado con BG


10

Conexión SerieVínculo Estructural Tipo 1

Bond Graph del Circuito Serie



11

Conexión ParaleloVínculo Estructural Tipo 0

Circuito Electrico Paralelo



12

Bond Graph del Circuito Paralelo



13

EXTENSIÓN A SISTEMAS MECÁNICOS

ANALOGÍAANALOGÍA


14

• Energía Cinética ∼ Energía Campo Magnético ↔ I

• Energía Potencial ∼ Energía Campo Eléctrico↔ C

• ⇒ Energía Cinética → I

• ⇒ Energía Potencial→ C

AnalogíaAnalogía

Analogía Electricidad - Mecánica


15

ANALOGIA ANALOGIA EN

ENERGETICA SEÑAL

Tensión∼ Fuerza (Esfuerzo generalizado)

Corriente ∼ Velocidad (Flujo generalizado)

Flujo Magn. ∼ Impulso (Impulso generalizado)

Carga ∼ Desplaz./Def. (Desplaz. Generalizado)

⇒⇒⇒⇒

Implicancias de la Analogía elegida

AnalogíaAnalogía


16

Analogía Analogía -- Generalización de VariablesGeneralización de VariablesVariables de Potencia Variables de EnergíaDominio físico

Esfuerzoe

S.I. Flujof

S.I. Momentop

S.I. Desplaz.q

S.I.

Traslación fuerza F N velocidad vsm impulso p sN ⋅ desplaz. x m

Rotación torque τ mN ⋅ velocidadangular

ω

s

radmomentoangular

L sNm⋅ ángulo ϕ rad

Fluidodinámica presión P

2m

Ncaudal Q

s

m3impulso

del fluidoΓ

2m

sN ⋅ volumen V3

m

Electromagnetismo tensión U V corriente I A flujomagnético

φ sV ⋅ cargaeléctrica

C

Química potencialquímico

µ

mol

Jflujomolar

υ

s

molnúmerode moles

n mol

Termodinámica tempera-turaabsoluta

TK

oflujo deentropía

S&

Ko

Wentropía S

Ko

J


17

ElementosFenómenoenergético

Clase

Símbolo Nombre Potencia

Energía

RelaciónConstitutiva

Ejemplostécnicos

Fuente deesfuerzo

ftePentregada ⋅= )( e(t)independiente

Gravedad ,Fuente def.e.m.

Generaciónde Energía

Fuentes

Fuente deflujo

)(tefPentregada ⋅= f(t)independiente

Fuente decorrienteBombahidráulica

Disipaciónde energía

Disipa-dores

Resistor )(tefPdisipada ⋅= φ (e,f) = 0Rozamien-to, Electro-resistor

Capacitor

∫+=q

q

almac dqqe0

)(0. εε0),(

0

=

=−

qedt

dqf

φ

ElasticidaddematerialesTanque deagua

Conserva-ción deEnergía

Almace-nadores

Mo

no

pu

ert

as

Inercia

∫+=p

p

almac dppe0

)(0. εε0),(

0

=

=−

pfdt

dpe

φ

Inductan-ciaInerciamecánica

Analogía Analogía -- Generalización de ComponentesGeneralización de Componentes


18

ElementosFenómenoenergético

Clase

Símbolo Nombre PotenciaEnergía

RelaciónConstitutiva

Ejemplostécnicos

Acopladores Enlace feP atransferid ⋅= Cardan(ideal)Líneaeléctrica

Transfor-mador

021

=−= PPPabsorbida

0

0

21

12

=⋅−=⋅−

fmf

emePiñón-cremalleraPistón-cilindro

Acopla-dores

Conver-sores

Girador 021

=−= PPPabsorbida

0

0

21

12

=⋅−=⋅−

emf

emfGiróscopoConvers.electro-mecánica

Vínculo

uno0

1

=±=∑=

jPP

n

jabsorbida

0

...

1

1

=±

===

∑=

n

jj

n

e

fffVelocidadcomúnCircuitoserie

Seriemecánico

Conserva-ción dePotencia

Víncu-los

Mu

ltip

ue

rtas

Vínculo

cero0

1

=±=∑=

jPP

n

jabsorbida

0

...

1

1

=±

===

∑=

n

jj

n

f

eee

Circuitoparalelo

Analogía Analogía -- Generalización de ComponentesGeneralización de Componentes


19

CausalizaciónCausalizacióny y Generación de Modelos Generación de Modelos

Matemáticos y Matemáticos y Computacionales a partir Computacionales a partir

de de BondBond GraphsGraphs..


20

CausalidadCausalidad

0),,( =cbaf Relación NOCausal

),( cbga = →→→→→→→→

→→→→→→→→

Relación Causal


21


Ejemplo:

Resistencia Lineal:

•Opción 1 fRe ⋅=

•Opción 2R

ef =

0=⋅− fRe


22


En General:

•Opción 1

•Opción 2


23


Codificación:

•Opción 1

•Opción 2


24


Fuentes: (causalidad necesaria)

Fuente de Esfuerzo:

Fuente de Flujo:

e(t) independiente

f(t) independiente


25


Componentes estructurales: (causalidad restringida)

Transformador:

Girador:

21

12

fmf

eme

⋅=⋅=

12

21

fmf

eme

⋅=⋅=

12

21

emf

emf

⋅=⋅=

12

21

fme

fme

⋅=⋅=


26


Componentes estructurales: (causalidad restringida)

Vínculo 1:

Vínculo 0:

∑≠

±=

==

jkkj

jnj

ee

ffff ,...1

∑≠

±=

==

jkkj

jnj

ff

eeee ,...1


27

CausalidadCausalidadAlmacenadores: (causalidad preferencial)

Capacitor:

Inercia:

∫+=

=t

t

dfqtq

qee

0

)()(

)(

0 ττ )(

)(

eqq

tqdt

df

=

=

∫+=

=t

t

deptp

pff

0

)()(

)(

0 ττ )(

)(

fpp

tpdt

de

=

=


28

CausalidadCausalidadCausalidadCausalidad

Disipadores: (causalidad arbitraria)

)( fee = )(eff =


29


Procedimiento de Asignación de Causalidad

(1)


30



(2)


31



(3)


32


Ejemplo 1:


33


Ejemplo 2:


34


Ejemplo 3:


35

Notación

Gráfica

Tipo

Causal

Diagrama deEnlaces

Diagrama de Bloques

Matemática

e(t)independiente

Necesario

f(t)independiente

21

12

fmf

eme

⋅=⋅=

12

21

fρf

eρe

⋅=⋅=

12

21

emf

emf

⋅=⋅=

Restringido

12

21

fρe

fρe

⋅=⋅=

ρ = 1/m

ρ = 1/m

CausalidadCausalidad-- ResumenResumen


36

CausalidadCausalidad-- ResumenResumenN otac ión

G ráficaT ipoC ausal

D iag ram a deE n laces

D iag ram a de B loquesM atem ática

∑≠

±=

==

jkkj

jnj

ee

ffff ,...1R estring ido

∑≠

±=

==

jkkj

jnj

ff

eeee ,...1

∫+=

=t

t

dfqtq

qee

0

)()(

)(

0 ττ

In teg ra l

∫+=

=t

t

deptp

pff

0

)()(

)(

0 ττ

)(

)(

eqq

tqdt

df

=

=Pre

fere

ncia

l

D erivativa

)(

)(

fpp

tpdt

de

=

=


37

Notación

Gráfica

Tipo

Causal

Diagrama deEnlaces

Diagrama de Bloques

Matemática

)( fee=Arbitrario

)(eff =



38




39

Ecuaciones de EstadoEcuaciones de Estado•Paso 1: Causalizar el BG.

•Paso 3: Identificar las Variables de Estado.

Tomamos como Variables de Estado las variables de energía de los Almacenadores que tengan causalidad Integral.

•Paso 4: Leer las ecuaciones siguiendo la causalidad del BG y utilizando las leyes de los componentes.

•Paso 2: Enumerar los Enlaces.


40

Ecuaciones de EstadoEcuaciones de EstadoEjemplo 1:

Paso 1:

Paso 2:


41


Paso 3: Variables de Estado: p2 , p8

Utilizamos los números de los enlaces como subíndices de las correspondientes variables de potencia y energía.


42


Paso 4:

82822

5343122

)()(

)(

pJ

kp

L

RtUfkfRtUp

fkfRtUeeeep

m

a

aamaa

maa

−−=−−=

−−=−−==

&

&

82828

7476588

)()(

)(

pJ

btTp

L

kfbtTfkp

fbtTfkeeeep

ca

mcm

cm

⋅−−=⋅−−=

=⋅−−=−−==

&

&


43

Ecuaciones de EstadoEcuaciones de Estado

Ejemplo 2:

Variables de Estado: p2 , p10

p6 no es variable de estado porque la inercia correspondiente tiene causalidad derivativa.


44


Ejemplo 2:

Debido a la causalidad derivativa, encontramos un primer inconveniente al intentar leer e6.

107651181191010 )( fbeeekfbekeeep ctct −−−=−=−==&


45


Método:

Causalidad derivativa

1 - Continuar leyendo, utilizando como variables auxiliares las derivadas de las variables de energía de los almacenadores con causalidad derivativa.

1010

2

6210 ... pJ

bp

J

bkpkp

L

kkp

c

c

c

tt

a

mt −−−== &&


46

2 - Leer del BG las variables de energía de los almacenadorescon causalidad derivativa en función de las restantes variables de energía y entradas.

10109866 pJ

kJfkJfkJfJfJp

c

ttt

⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=




47



3 - Derivar miembro a miembro las expresiones obtenidas en el punto anterior

106 pJ

kJp

c

t&&

⋅=

4 - Reemplazar las derivadas de las variables de energía en las ecuaciones obtenidas en el primer punto

1010

2

10210 pJ

bp

J

bkp

J

kJkp

L

kkp

c

c

c

t

c

tt

a

mt −−⋅

−= &&


48



5 - Despejar la expresión de las derivadas de las variables de estado.

+−

⋅+= 10

2

2210 pJ

bbkp

L

kk

kJJ

Jp

c

ct

a

mt

tc

c&

Ejercicio: Obtener la otra Ecuación de Estado


49


Debido a la presencia de disipadores acoplados, para calcular f4 necesitamos f4 .

631

41

2

16321

13

641

61

565433

11)()(

11)(

1

111

pL

qCR

fR

RtU

Rp

Leee

Rq

pL

eR

pLR

effffq

+−−=+−−=

+=+=+===

&

&


50


Disipadores Acoplados

Método:

1 -Detectar los disipadores acoplados y utilizar las salidas de losmismos como variables auxiliares al leer las ecuaciones.

65654331

pL

fffffq +=+===&


51


Disipadores Acoplados

2 -Leer del BG las variables auxiliares en función de las variables de estado, entradas y de ellas mismas.

31

211

3211

411

55

11)(

1)(

11q

CRe

RtU

Reee

Re

RR

ef −−=−−===

62

5265242222 )( pL

RfRffRfRfRe +=+=⋅=⋅=


52

Ecuaciones de EstadoEcuaciones de EstadoDisipadores Acoplados

3 -Despejar del sistema anterior las variables auxiliares en función de las variables de estado y de entrada.

−−

+= 3

16

1

2

121

15

1)(

1q

CRp

LR

RtU

RRR

Rf

4 -Reemplazar las variables auxiliares en las ecuaciones obtenidas en el primer punto.

631

61

2

121

13

11)(

1p

Lq

CRp

LR

RtU

RRR

Rq +

−−

+=&

Ejercicio: Obtener la otra Ecuación de Estado


53

ComentariosComentarios•Separación de los problemas de modelado y de obtención del modelo computacional.

•El pasaje del modelo BG al modelo “matemático” es completamente algoritmizable.

•Ventajas al trabajar con un paradigma acausal.

•Algunas herramientas de Software para dicho pasaje: Dymola, 20Sim, Power Dynamo.

•Problemas de “Singularidades Estructurales”.


54

Bibliografía RecomendadaBibliografía Recomendada

• Cellier, F.E.1991.Continuous System Modeling. Springer-Verlag, New York.

• Karnopp, D.C., D.L. Margolis, and R.C. Rosenberg. 1990. System Dynamics: A Unified Approach, 2nd ed., John Wiley & Sons, New York.

• Karnopp, D. and R. Rosenberg. 1983. Introduction to Physical System Dynamics. N.Y: McGraw-Hill.

• Cellier, F., H. Elmqvist, and M. Otter. 1995. “Modeling from Physical Principles”, The Control Handbook (W.S. Levine, ed.), CRC Press, Boca Raton, FL, pp.99-108.

• Borutzky, W.1999. “Relations between bond graph based and object-oriented physical systems modeling”. Proceedings ICBGM’99/Simul. Series 31:1

• Junco, S.1986 “Los Diagramas de Enlaces y un Eficaz Método Estructurado de Modelado Analítico de Sistemas Dinámicos”. Anales del 2do. Congreso Latinoamericano de Control Automático.

(Disponible en la cátedra)

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