Introduccion a la Logica Difusa-modelo mandani lazo de control.pdf

8/20/2019 Introduccion a la Logica Difusa-modelo mandani lazo de control.pdf

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Introducción a la Lógica Difusa

Tomás Arredondo Vidal

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Introducción a la lógica difusa

Contenidos

• Conceptos y definiciones básicos de la lógica difusa

• Sets difusos y funciones de membresía• peraciones sobre sets difusos• !nferencia usando lógica difusa


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Introducción

• "or e#emplo se considera a una persona como alta simide mas de 1$%&mts' pero de igual forma se consideraa una persona como alta si mide 1$()))mts

• *sta consideración no e+iste en la logica tradicional ,ue

utili-a demarcaciones estrictas para determinarpertenencia en sets.• *#emplo. A es el set clásico de personas altas

A 0 + + 2 1$%3na persona ,ue mide 1$()))))mts es ba#a5


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Introducción (cont)

• 6a logica difusa es una e+tension de la logica tradicional78ooleana9 ,ue utili-a conceptos de pertenencia de setsmas parecidos a la manera de pensar :umana• *l concepto de un subset difuso fue introducido por 6$A$;ade: en 1)alorese+actos como por e#emplo la lógica binaria ,ue usa>alores de 1 o & para sus operaciones$


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Introducción (cont)

• 6a lógica difusa no usa >alores e+actos como 1 o & perousa >alores entre 1 y & 7inclusi>e9 ,ue pueden indican>alores intermedios 7*#$ &' &$1' &$?' @'&$)'1$&' 1$1' @et• 6a lógica difusa tambi n incluye los >alores & y 1entonces se puede considerar como un superset oe+tensión de la lógica e+acta$


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Contenidos




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Set difuso

• Asumiendo ,ue B es un set' un set difuso A en B es

asociado con una función característica. A7+9 A7+9. B D2 E&'1F

• 6a función característica es tipicamente denominadafunción de pertenencia 7members:ip function9$


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Set difuso (cont)

• Si B es una colección de ob#etos en el cual +∈ B' un set

difuso es un mapa G7+9 . B D2 E&'α F' en el cual a cada>alor + la función G7+9 le asigna un numero entre los>alores & aα $

• *l set difuso es el set de pares ordenados. A 07+' A7+99 +∈ B3


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Set difuso (cont)

*#emplos discretos y continuos. A 07&' &$19' 71' &$=9' 7?' 19' 7H' &$19' 74'&$%938 0&$1/&' &$=/1' 1/?' &$1/H' &$%/43C 07+' C7+9 +∈ B3' C7+9 1 / 71 I 7+/1& D =949

B 0&' 1' ?' H' 4' ='


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Función de pertenencia (cont)

• *#. G7+9 corresponde al ni>el de frío medido en la

>ariable +

D4& D?& & 1& ?& H&

1

&

G7+9

+ 7Co9

fríomas o menos frío

No tan frío

Jefiniti>amente no frío


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Un set exacto (crisp set) :

s7+9

+

S . B D2 0&'13

S7+9 1 si + es un miembro de S

S7+9 & si + no es un miembro de S

N

funcióncaracterística

par binario

1

}0:{ N S X S ≤≤⊂


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Un set difuso (fu ! set):

s7+9

+

S . B D2 E&'1F' & O S7+9 O 1

S7+9 & si + es &P miembro de S'$$$' S7+9 &$1& si + es 1&P miembro de S'$$$'S7+9 &$?& si + es ?&P miembro de S'$$$'S7+9 1 si + es 1&&P miembro de S

N

función depertenencia

inter>alo de >alores entre cero y uno 7inclusi>e9

1

}0:{ N S X S ≤≤⊂

subset


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"tros sets difusos (cont):

s7+9

+

s7+9

+

1

1

Qay muc:as posibilidades de como representar un set difuso$


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#ariables Ling$ísticas

Se usan >ariables lingMísticas para anali-ar y modelar unsistemas.

*#. Supongamos ,ue B KedadL' se pueden definirset difusos. K#o>enL' KadultoL' KancianoL

1$&

&$=

&

%

& ?= =& (= 1&&

&(x)

#o>en adulto anciano


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Funciones de pertenencia

≤

≤≤−−

≤≤≤≤−

−≤

=

xd

d xccd xd

c xb

b xaaba x

a x

d cba xl trapesoida

,0

,

,1

,

,0

),,,;( µ

• Gunción de pertenencia trape-oidal.

*#. trapesoid 7+R 1&' ?&'


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Funciones de pertenencia (cont):

• Gunción de pertenencia triangular.

*#. triangle 7+R ?&'


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• Gunción de pertenencia llamada un singleton' tiene un >alornico cuando + a 7es como una función delta de Jirac9.

*#. singleton 7+R


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• ausiana2

21

),;(

−−= σ σ µ

c x

ec xGausiana

*#. ausiana 7+R H' 19


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• ausiana2

21

),;(

−−= σ σ µ

c x

ec xGausiana*#. ausiana 7+R H' y9


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• 8ell b Bell a

c xcba x

2||1

1),,;( −+= µ

*#. 8ell 7+R ?' 1' H9


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• 8ell b Bell a

c xcba x

2||1

1),,;( −+= µ

*#. 8ell 7+R 1' y' H9


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• 8ell b Bell a

c xcba x

2||1

1),,;( −+= µ

*#. 8ell 7+R y' 1' H9


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• Sigmoide.)(1

1),,;( c xae

cba x s i g m f −−

+=

d i s p ' s i g m


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• 6U.≥

−

<

−

=c x

c x F

c x xc

F

c x L R

R

L

,

,),,;(

β

α β α

c * +

a * ,b - ,

c . +

a - ,b / ,

d i f f l r m

F x x L ( ) m a x ( , )= −0 1 2 F x x R ( ) e x p ( )= − 3


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"ara ,ue un sistema difuso sea adaptati>o es util el podercalcular los deri>ados de las funciones de pertenencia$

6os deri>ados toman un rol central en la adaptación de unsistema difuso 7>er Wang ?$4$H9


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Funciones de pertenencia en . o mas dimensiones:

• 6as funciones de pertenencia tambi n pueden ser de>arias dimensiones C 07+' y' C7+' y9 +∈ B' y ∈ X3

• *sto es muc:as >eces necesario ya ,ue puede ,uenuestra función de pertenencia tenga >arios inputs


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con0exmf(m

• 4n set difuso A es con0exo si para cual,uier +1'+? ϵ By λ en E&' 1F'

µ λ λ µ µ A A A x x x x ( ( ) ) min( ( ), ( ))1 2 1 21+ − ≥


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1lgunas definiciones de los sets difusos (cont):

Jefinición. 6a medula 7o core9 de un set A son todoslos elementos con >alor de pertenencia 1$

medula7A9 0+ A7+9 1 and +∈ B3

Jefinición. Si A y 8 son dos fu--y sets en B$ A es un

subset de 8 si 87+9≥ A7+9 para todos los >alores +

∈

B$Jefinición. Si A y 8 son dos fu--y subsets de B$ A 8 si

A es un subset de 8 y 8 es un subset de A$


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Definiciones de los sets difusos (cont):

Jefinición. *l 2le0el set de A es el crisp set en B

consistente de los elementos en B para el cual A7+9≥ α Aα 0+ A7+9≥ α ' + ∈ B3

*+ponentes. Jado ,ue B 0a' b' c' @3$

Si A 0+1/a' +?/b' $$$' 3 entonces An 0+1n/a' +?n/b' $$$' 3


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Definiciones de los sets difusos (cont):

3 F

%

+

-

, C o r e

C r o s s o 0 e r p o i n t s

S u p p o r t

2 c u t


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Contenidos




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"peraciones en sets difusos:

Jefinición. Asumiendo ,ue A y 8 son dos sets difusosde B' la union de A y 8 es un set difuso C A ∪ 8'en el cual C7+9 Ya+EA7+9' 87+9F

Jefinición. Asumiendo ,ue A y 8 son dos sets difusos deB' la intersección de A y 8 es un set difuso C A ∩ 8'

en el cual C7+9 YinEA7+9' 87+9FJefinición. *l complemento relati0o de 8 con respecto a Aes * A 8 en el cual *7+9 Ya+E&' A7+9 87+9F


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" p e r a c i o n e s e n s e t s d i f u s o s ( c o n t ) :

s u b s e t m

f u s e t o p m


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N aa

s a s ( ) =

−

+

1

1

Complemento•Ue,uerimientos.

8orde. N7&9 1 and N719 &

Yonotonicidad. N7a9 2 N7b9 if a Z b !n>olución. N7N7a99 a•Jos tipos.

Sugeno[s complement.

Xager[s complement. N a aw w w( ) ( ) /= −1 1


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Complemento

N aa

s a s ( ) =

−

+

11

N a aww w( ) ( ) /= −1 1


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4 x t e n s i o n e s c i l í n d r i c a s :

5 a s e s e t 1 C ! l i n d r i c a l 4 x t o f 1

c ! l ' e x t m


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6 r o ! e c c i o n e s :7 8 o 2 d i m e n s i o n a l3 F

6 r o 9 e c t i o no n t o %

6 r o 9 e c t i o no n t o

µ R x( , ) µ µ

A

R

x

x

( )

m a x ( , )

= µ

µ

B

x R

x

( )

m a x ( , )

=

p r o 9 e c t m


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"peraciones en sets difusos (cont):

Conmutati>idad. A ∪ 8 8 ∪ A

A ∩ 8 8 ∩ A\dempotencia.

A ∪ A A8 ∩ 8 8

Asociati>idad A ∪ 78 ∪ C9 7A∪ 89 ∪ C A∪ 8 ∪ C A ∩ 78 ∩ C9 7A∩ 89 ∩ C A∩ 8 ∩ C


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"peraciones en sets difusos (cont):

Jistribución A ∪ 78 ∩ C9 7A∪ 89 ∩ 7A∪ C9 A ∩ 78∪ C9 7A∩ 89∪ 7A∩ C9Nulo

A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅ Unión e Intersección de X (A es un subset de X)

A ∪ B = X A ∩ B = A


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49emplos (cont):

A 0$1/a'$1/b' $?/c' &/d' 1/e3

8 0$1/a' &/b' $?/c' &/d' $)/e3

C A∪ 8 Ya+EA7+9' 87+9F 0$1/a' $1/b' $?/c' &/d' 1/e3

C A∩ 8 YinEA7+9' 87+9F 0$1/a' &/b' $?/c' &/d' $)/e3

1 A 0$)/a' $)/b' $%/c' 1/d' &/e3A


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49emplos (cont):

] C 7+9 ] A 7+9∩ ] 8 7+9 min7 ] A 7+9' ]8 7+9 9

&

1

&

1

+

+

c7+9

a7+9 b7+9


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49emplos (cont):

] C 7+9 ] A 7+9∪ ] 8 7+9 ma+7 ] A 7+9' ]8 7+9 9

&

1

+

c7+9

a7+9 b7+9

&

1

+


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Intersección de sets difusos (1 ∩ 5) :

6a intersección de dos sets difusos A y 8 se engeneral se especifica por una función T.E&'1F× Τ:[0,1] ^ [0,1] .

*stas operaciones se efect an a tra> s de un operador ,ueopera sobre los grados de pertenencia de los con#untos .

A∩Β 7+9 T7 A7+9' 87+99 A7+9 EopF 87+9

*n el cual EopF es un operador binario$


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Intersección de set difusos (1 ∩ 5) (cont) :

!ntersección o 72;orma enerali-ado• Ue,uerimientos.

8orde. T7&' &9 &' T7a' 19 T71' a9 a

Yonotonicidad. T7a' b9 Z T7c' d9 if a Z c and b Z d Conmutati>idad. T7a' b9 T7b' a9 Asociati>idad. T7a' T7b' c99 T7T7a' b9' c9

• *#emplos. Yinimum. Tm7a' b9 Algebraic product. Ta7a' b9 8ounded product. Tb7a' b9

Jrastic product. Td7a' b9


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Intersección de sets difusos (1 ∩ 5) (cont) :

Cuatro operadores TDnorm. Tmin7a'b9 min7a' b9 A∩ 8 7minino9

Tap7a'b9 ab 7producto algebraico9 Tbp7a'b9 &∪ ( aI bD19 7producto limitado9

Tdp7a'b9 a if b 1' 7producto drastico9

b if a 1' & if a'b Z 1

f


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3 i n i m u m :7 m ( a < b )

1 l g e b r a i c

p r o d u c t :7 a( a < b )

5 o u n d e d

p r o d u c t :7 b( a < b )

D r a s t i c

p r o d u c t :7 d( a < b )

t n o r m m

d ó l ló d f


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Unión de sets difusos (1 ∪ 5) :

nion o 72conorm 7SDnorm9 satisface S7$ ' $9. 8orde. S71'19 1' S7&'a9 S7a'&9 a

Yonotonicidad. S7a'b9 O S7c'd9 if a O c and b O d Conmutati>idad. S7a'b9 S7b'a9 Asociati>idad. S7a'S7b'c99 S7S7a'b9'c99

I d ió l ló i dif


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Unión de sets difusos (1 ∪ 5) (cont) :

Cuatro operadores TDconorm. S7a'b9 ma+7a' b9 A∪ 8 7má+imo9 S7a'b9 aIbDab 7suma algebraico9 S7a'b9 1∩ (a I b9 7suma limitada9 S7a'b9 a if b &' 7suma drastica9 b if a &'

1 if a'b 2 &

I d ió l ló i dif


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3 a x i m u m :S m ( a < b )

1 l g e b r a i cs u m :S a( a < b )

5 o u n d e ds u m :S b( a < b )

D r a s t i cs u m :S d( a < b )

t c o n o r m m


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I t d ió l ló i dif


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72norma ! 72conorma 6arametri adas

• Varios in>estigadores :an propuesto >ersionesparametri-adas de TDnorma y TDconorma Xager Sc:_ei-er and S`lar Jubois and "rade Qamac:er Gran`

Sugeno Jombi

I t d ió l ló i dif


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6rincipio de 4xtensión

• *l principio de e+tensión nos da un mecanismo básico parae+tender las e+presiones matemáticas de sets e+actos aldominio difuso$

• *ste principio generali-a la idea de un mapeo punto a puntode una función en sets tradicionales y f7+9 a un mapeo entrecon#untos difusos$

I d ió l ló i dif


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Introducción a la lógica difusa6rincipio de 4xtensión (cont)

• Si f es una función X f7B9 y A es un set difuso sobre Bdefinido como. A 0 A7+19/+1' A7+?9/+?' $$$ ' A7+n9/+n3

• *ntonces el principio de e+tensión indica ,ue la imagen delset A ba#o la función f7 9 es el set difuso 8.

8 f7A9 087y19/y1' 87y?9/y?' $$$ ' 87yn9/yi3

en el cual yi f7+i9 y 87y9 ma+ A7+9



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6rincipio de 4xtensión (cont)

*#emplo.

Si A 0&$1/D?' &$4/D1' &$%/&' &$)/1' &$H/?3y f7+9 +? D H

*ntonces aplicando el principio de e+tensión tenemos ,ue.8 0&$1/1' &$4/D?' &$%/DH' &$)/D?' &$H/13

0&$%/DH' 7&$4∪ &$)9 /D?' 7&$1∪ &$H9/13 0&$%/DH' &$)/D?' &$H/13



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=elaciones Difusas

• Uelaciones difusas binarias son mapas difusos en B × X,ue mapean cada elemento en B × X a una sola funciónde pertenencia 7entre & y 1 inclusi>e9$

• 6as relaciones difusas no solo pueden ser binarias si no,ue pueden ser generali-adas a n >ariables

Jefinición. *l producto Cartesiano de dos sets e+actos7B× X9 es un set consistente de todos los pares 7+' y9 donde +∈ B' y ∈ X$



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=elaciones Difusas 5inarias (cont)

Jefinición. na relación difusa sobre un par B' X se definecomo el set difuso del producto Cartesiano B × X.

U 0 77+ ' y9' U7+' y99 7+ ' y9∈B × X 3

*#emplo. Uelación difusa discretaSi B 0a' b' c3' X 01' ?3' entonces

A 0&$1/7a' 19' &$


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Jefinición. Si e+isten un par de sets difusos A y 8 suproducto cruce 7cross product9 Cartesiano A× 8 es unarelación difusa T sobre el set A × 8' T A × 8 donde

T7+' y9 YinEA7+9' 87y9F

*#emplo.Si A 01/a' &$


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=elaciones Difusas 5inarias (cont):

*#. B. >ariable ,ue indica el tama o de una casa' X. >ariable ,ueindica el precio de una casaTama o7+9. tama o atracti>o para familia de cuatro personas 7mts9

Tama o7+9 ausiana 7+R 1&&R ?9



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*#. B. >ariable ,ue indica el tama o de una casa' X. >ariable ,ueindica el precio de una casa'"recio7y9. precio atracti>o de una casa para una familia de cuatro

personas 7millones9

"recio7y9 ausiana 7yR H&R 19



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*#. J 07+' y' J 7+' y9 +∈ B' y ∈ X3 indica casas de Ktama oatracti>o para familia de cuatro personasL ANJ Kprecio atracti>de una casa para una familia de cuatro personasL

J al ser el producto de dos funciones de pertenencia sedenomina KcompuestaL .

J7+' y9

T7+9

"7y9



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• *s posible e+presar la relación difusa en un matri+ U de

U7+' y9$

*#emplo.Si B 0+1' +?' +H3' X 0y1' y?3' entonces U .

R=[ x! " ! x! " #

x# " ! x# " # x$ " ! x$ " #]



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Composición de =elaciones Difusas

• 6as relaciones difusas se usan en sistemas de inferenciadifusa 7e$g$ if B A and X 8 t:en ; C9

• "ara combinar las relaciones difusas se usan operacionesde composición ma+Dmin propuesta por ;ade: ma+Dproduct


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Composición de =elaciones Difusas (cont)

*n general se tiene ma+D en la cual es un operador deTDnorma.

U1 U?7+' -9 ma+y E U17+' y9 U?7y' -9F



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=eglas IF27>4; difusas:

na regla !GDTQ*N difusa es de la forma

!G + is A TQ*N y is 8

*n la cual A y 8 son >ariables lingMísticas definidas por setsdifusos en los uni>ersos B e X$ 6a parteIF + is 1 es llamadael antecedente o premisa' mientras la parte 7>4; y is 5 esla consecuencia o conclusión*#emplos.• !f presión es alta' t:en >olumen es pe,ue o$• !f carretera esta mo#ada' t:en mane#ar es peligroso$



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Ueglas !GDTQ*N pueden usar >ariables difusas linguisticas

*#emplos.

c o m p l 0 m



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=eglas IF27>4; difusas (cont):

Si se ,uiere utili-ar la regla !G + is A TQ*N y is 8 7A ^89entonces se puede definir la regla como una relación binariadifusa U en el espacio B × X$

U puede ser >isto como un set difuso con una función depertenencia.

U7+' y9 f7 A7+9'87y99

6a función de implicación difusa f con>ierte los grados depertenencia indi>iduales a grados de pertenencia de 7+' y9$


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=eglas IF27>4; difusas (cont):

8asado en la interpretación de 7A ^89 KA implies 8L oKA implica 8L 7N T A U 89se pueden utili-ar otras funciones.

8ounded sum Ya+Dmin composition 8oolean fu--y implicación

ougen s fu--y implication 7Wang$ p


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g

3aneras de Interpretar =eglas IF27>4; difusas:

1 c o u p l e d 8 i t ? 5

A

B

x

!1 c o u p l e d 8 i t ? 5

A

B

x

!

A

B

1 e n t a i l s 5!

x A

B

1 e n t a i l s 5!

x


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g

1 entails 5 (not 1 or 5):

f u i m p m


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g

=a onamiento difuso:

*l Yodus "onens en reglas de lógica tradicional indica ,uepodemos inferir la >erdad de la proposición 8 basados en la>erdad de A y en la implicación A ^ 8.

premisa 1 7input9. + es Apremisa ? 7regla9. if + es A t:en y is 8'consecuencia. y es 8

*l proceso de ra-onamiento difuso utili-a el Yodus "onensenerali-ado 7 Y"9.premisa 1 7input9. + es Apremisa ? 7regla9. if + es A t:en y is 8'

consecuencia. y es 8



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g

=a onamiento difuso (cont):

Jefinición. =a onamiento aproximado ' si A' A ' y 8 son setsdifusos de B' B e X respecti>amente$ Asumiendo ,ue 7A ^89se e+presa como una relación U en B × X$

*ntonces el set difuso inducido por + es A y la regla difusaif + is A t:en y is 8 se define como.

8 7y9 ma++ minE A7+9' U7+'y9F



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g=a onamiento difuso (cont):Si 8 7y9 ma++minE A7+9'&= (x

1

%

81 @ 5

x i s 1 @

5 @1 @

% ! i s 5 @

7 2 n o r m



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=a onamiento difuso (cont):

*n casos con mas >ariables usando Y".premisa 1 7input9. + is A and y is 8premisa ? 7regla9. if + is A and y is 8 t:en - is C'consecuencia c is C

1 5 72norm

%

8

1@ 5@ C.

A

C@

A%

1@ 5@

x is 1 @ ! is 5 @ is C @



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=a onamiento con dos reglas: *n general se toma como launión de las relaciones difusas correspondiente a las reglas$

"remisas. + is A[ and y is 8[Uegla 1. if + is A1 and y is 81 t:en - is C1Uegla ?. if + is A? and y is 8? t:en - is C?Conclusión. - is C[

1 - 5 -

1 . 5 .

72norm

%

%

:

:

8 -

8 .

1 @

1 @ 5 @

5 @ C -

C .

A

A

C @

A% :

1 @ 5 @

x is 1 @ ! is 5 @ is C @



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Inferencia usando lógica difusa:

• 6a computación usando inferencia basada en lógica difusaes un m todo de computo popular

• Qay muc:as aplicaciones en áreas como control'clasificación' sistemas e+pertos' robótica y reconocimientode patrones

• *l sistema de inferencia difuso se conoce por muc:osnombres como. sistema difuso de reglas' sistema e+pertodifuso' modelo difuso' lógica asociati>a difusa' controladordifuso



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Sistemas de inferencia usando lógica difusa:

• *l sistema de inferencia difuso consiste de trescomponentes conceptuales.

reglas difusas' diccionario 7con funciones de pertenencia9' mecanismo de raciocinio

!nput Ueglas utput


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Sistemas de inferencia usando lógica difusa (cont):

• *sto se denomina fu--ificacion y defu--ificacion$

inpute+acto

fu--ificador controladordifuso defu--ificador

outpute+acto



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49emplo: Controlador 3amdani usando lógica difusa• sando la lógica difusa y la teoría de ra-onamiento

apro+imada introducida por ;ade: es posible crear uncontrolador basado en esta logica

• 6a forma tradicional de las leyes de control conautorregulación 7feedbac`9 es.u7`9 f7e7`9' e7`D19'$$$'e7`D>9' u7`D19' u7`D?9' $$$' u7`

• e es el error entre el punto de control _ y el output y• C es el controlador y S es el sistema siendo controlado

• 6a idea es dise ar C ,ue minimi-a el error 7e _Dy9 en eltiempo_ e

C Su y



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Controlador de lógica difusa (cont):• *l controlador de lógica difuso 7Gu--y 6ogic Controler9

utili-a leyes de control consistentes en reglas lógicas!G$$$TQ*N en con#unto con funciones de pertenenciadifusas para controlar un proceso y minimi-ar el error

• 6os con#untos y los operadores difusos son los su#etos ypredicados de la lógica difusa$

• 6as reglas lógicas !GDTQ*N son usadas para formularlas e+presiones condicionales ,ue usan la lógica difusa



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3amdani FLC (Fu ! Logic Controler) :*l Yamdani G6C fue propuesto por Yamdani y Assilian en1)(4' este G6C utili-a el error e7`9 y el cambio de error∆e7`9 para producir cambios en la función de output delcontrolador (puede ser 7`9 o∆ 7`99

• e7`9 _7`9 y7`9• ∆e7`9 e7`9 e7` 19• u7`9 G7e7`9'∆e7`99 o

• ∆u7`9 G7e7`9'∆e7`99e7`9 se define como el punto de control menos el output. Si e7`9 2 & entonces _7`9 2 y7`9 Si ∆e7`9 2 & entonces e7`9 2 e7`D19



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3amdani FLC (Fu ! Logic Controler) (cont) :

&$ !f e positi>o and ∆e apro+ -ero t:en ∆u positi>o1$ !f e negati>o and ∆e apro+ -ero t:en ∆u negati>e

?$ !f e apro+ -ero and ∆e apro+ -ero t:en ∆u apro+ -ero

H$ !f e apro+ -ero and ∆e positi>o t:en ∆u positi>o4$ !f e apro+ -ero and ∆e negati>o t:en ∆u negati>o

1

D$= & $= 1D1

negati>o -ero positi>o

Gunciónes de pertenencia 7e9' 7∆e9' 7u9.



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3amdani FLC (Fu ! Logic Controler) (cont) :• tra manera de definir las reglas del controlador es usando una matri-.

P P Z P

P Z N Z

Z N N N

P Z N

e7`9

∆e7`9

Valores de la función de

pertenencia de input e7`9

Valores de la función depertenencia de input ∆e7`9

Valores de la función depertenencia de output ∆u7`9



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3amdani FLC (Fu ! Logic Controler) (cont) :

Algoritmo del Yamdani G6C.1$ sando el >alor del antecedente de cada una de las reglas 7!G$$$9?$ Jeterminar la consecuencia 7TQ*N $$$9 de cada una de las reglasH$ Agregar todos los outputs de las reglas para obtener el output de

todo el sistema 7este es una o mas funciónes de pertenenciadifusa9' tambi n se llama determinar el grado de disparo de todaslas reglas 7degree of firing9

4$ Jefu-ificar el output para obtener un >alor e+acto' se pueden usar>arios m todos como el C A 7centroide9 o el Y Y



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3amdani FLC (Fu ! Logic Controler) (cont) :Jefu-ificacion usando el centroide.

*n forma discreta.

∫ ∫

= dx x f xdx x f

Centroide )(

)(

∑∑

=

==n

ii

n

iii

x f

x x f Centroide

0

0

)(

)(



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3amdani FLC (Fu ! Logic Controler) (cont) :*#emplo de defu-ificacion usando el centroide.

*n forma discreta con 1& muestras.

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

++

++= 10

1.6

1.6

1.4

1.4

0

10

1.6

1.6

1.4

1.4

0

8.10

5.0

8.10

5.0

dxdx xdx

xdx xdx x

xdx

Cg

8.8.8.)10/6()10/5(5.5.5.5.5.8.98.88.7)10/6(6)10/5(55.45.35.25.15.0

+++++++++×+×+×+×+×+×+×+×+×+×=Cg



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49emplo 3amdani FLC (Fu ! Logic Controler):7*l siguiente e#emplo pro>iene del sitio _eb de la Seattle Uobotics Society9• *ste e#emplo es un sistema de control de temperatura$$$



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49emplo 3amdani FLC (Fu ! Logic Controler) (cont):

*n el e#emplo se ,uiere minimi-ar el error entre el Cmd y Temp• *rror. Cmd D Temp 7I cold' D :ot9• d*/dT. 7I cooling' D :eating9• ut. Qeat' N CQAN * or C 6

Variables linguisticas usadas en el e#emplo. N negati>e error or errorDdot input le>el 7input negati>o9 ; -ero error or errorDdot input le>el 7input -ero9 " positi>e error or errorDdot input le>el 7input positi>o9 Q Qeat output response 7output es calentar o KQeatL9 D No C:ange to current output 7output es ningun cambioo KNo C:angeL9

C Cool output response 7output es enfriar o KCoolL



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49emplo (cont): e(B) 2- ,F (>ot)< e(B) . + F (Cooling)

Gunción de pertenencia del input e 7error9.e7`9 D1$& G7Q T9^ e neg7D19 &$=' e-ero7D19 &$=y epositi>e7D19 &

Gunción de pertenencia de input ∆e.∆e7`9 I?$= G7C 6!N 9 ^ ∆enegati>e7?$=9 &'∆e -ero7?$=9 &$= y ∆epos7?$=9 &$=



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6asos - ! .: 4ncontrar ni0el de disparo ! output en todas las reglas e ! e

6aso : "btener funciones del pertenencia del output:E4rrorE selecciona reglas -


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"aso 4. Jefu-ificar usando algoritmo de Centroidepara obtener un >alor e+acto ,ue es el pró+imo outputpara calentar o enfriar el ambiente controlado$$$

Calcular fuer-a 7strengt:9 de las reglas usando Uoot Sum S,uared 7USS9.Qeat 7U

H

? I U<

? I U%

? I U)

?91/?

7&? I &? I &$=? I &?91/? &$= 7Qeat9NoDC:g 7U=

?91/? 7&$=?91/? &$= 7No C:ange9Cool 7U1

? I U ?? I U4

? I U(?91/? 7&? I &? I &$=? I &$=?91/? &$(&( 7Cool9

sando USSDCentroide."U76U7 ( :eat center :eat strengt: I -ero center -ero strengt: I cool center cool strengt:9 / 7:eat strengt: I -ero strengt: I cool strengt:9

7D1&& &$= I & &$= I 1&& &$(&(9/ 7&$= I &$= I &$(&(9 -- M

∑∑

=

==n

ii

n

iii

x f

x x f Centroide

0

0

)(

)(



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49emplo (cont):

6a coordenada :ori-ontal se toma como el >alor e+acto$ *n este e#emplo el >alor de 11$(P 7*nfriando9 parece lógico ya ,ue el e D1 G de input indica ,ue toda>iaesta Q T a pesar de ,ue ya se estaba enfriando 7 ∆e7`9 I?$= G' C 6!N 9$

1

=& & =& 1&&D1&&

Qeat NoDC:g Cool

11$(



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• *l e#emplo anterior es basado en un modelo de inferenciadifuso llamado el modelo Yamdani

• tro modelo utili-ado es el modelo Sugeno 7tambi nconocido como modelo Ta`agi' Sugeno' ang o TS 9• n tercer modelo es el modelo Tsu`amoto• Cada modelo tiene características especificas ,ue lo

:acen mas ameno a ser usado en una implementacióndependiendo del problema a resol>er



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• 6a principal diferencia entre los modelos es en lasconsecuencias de las reglas y en los m todos de

agregación y defu-ificacion

inpute+acto fu--ificador

controladordifuso.•reglas if t:en•agregación

defu ificador outpute+acto



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4l modelo 3amdani:

• Gue uno de los primeros m todos de control difusoobtenidos basados en la e+periencia de operadores

:umanos• *n el modelo Yamdani se pueden usar diferentesoperadores 7siempre ,ue sean TDnorm o TDconorm9



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#ariantes de 72norm ! 72conorm en modelos 3amdani:

"ara implementar un modelo Yamdani :ay ,ue asignar unoperador basado en las operaciones seleccionadas.• ANJ. 7usualmente TDnorm9 para calcular la fuer-a de disparo de

una regla con antecedentes ,ue usan ANJ• U. 7usualmente TDconorm9 para calcular la fuer-a de disparo de

una regla con antecedentes ,ue usan U• !mplicación. 7usualmente TDnorm9 para calcular consecuentes• Agregación. 7usualmente TDconorm9 para agregar consecuentes y

generar una función de pertenencia del output• Jefu-ificacion. para transformar la función de pertenencia 7outputdifuso9 a un output e+acto



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Union e Intersección de lógica difusa (1 ∪ 5< 1 ∩ 5) (cont) :

Cuatro posibles operadores TDnorm. Tmin7a'b9 min7a' b9 A∩ 8 7minimo9

Tap7a'b9 ab 7producto algebraico9 Tbp7a'b9 &∪ ( aI bD19 7producto limitado9

Tdp7a'b9 a if b 1' 7producto drastico9

b if a 1' & if a'b Z 1



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Union e Intersección de lógica difusa (1 ∪ 5< 1 ∩ 5) (cont) :

Cuatro posibles operadores TDconorm. S7a'b9 ma+7a' b9 A∪ 8 7ma+imo9 S7a'b9 aIbDab 7suma algebraico9

S7a'b9 1∩ (a I b9 7suma limitada9 S7a'b9 a if b &' 7suma drastica9 b if a &'

1 if a'b 2 &

Introducción a la lógica difusa4l d l 3 d i ( i i l)


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4l modelo 3amdani (original):

• !f + is A1 and y is 8 1 t:en - is C 1• !f + is A? and y is 8 ? t:en - is C ?• TDnorm min• TDconorm ma+

Introducción a la lógica difusa4l modelo 3amdani II:


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4l modelo 3amdani II:

•!f + is A

1 and y is 8

1 t:en - is C

1

• !f + is A? and y is 8 ? t:en - is C ?• TDnorm product• TDconorm ma+


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3odelo 3amdani de tres reglas con un input ! un output:

• sando composición ma+Dmin' defu-ificacion centroide• !f B is small t:en X is small• !f B is medium t:en X is medium• !f B is large t:en X is large



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3amdani de cuatro reglas con dos input ! un output:

• sando composición ma+Dmin' defu-ificacion centroide• !f B is small and X is small t:en ; is negati>e large• !f B is small and X is large t:en ; is negati>e small• !f B is large and X is small t:en ; is positi>e small• !f B is large and X is large t:en ; is positi>e large



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4l modelo Sugeno:

• tro modelo desarrollado para la inferencia difusa' utili-auna función como consecuente. !f + is A and y is 8 t:en - f7+' y9

• ; f7+' y9 es una función e+acta en el consecuente• f7+' y9 es un polinomio

Si f7+' y9 es constante el modelo Sugeno es de orden-ero

Si f7+' y9 es de primer orden el modelo Sugeno es deorden uno



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4l modelo Sugeno (cont):

• *n el modelo Sugeno no es necesaria la defu-ificacion'ya ,ue cada regla tiene un output e+acto' alternati>as son.

"romedio ponderada de cada regla

Suma ponderada de cada regla 7- _1- 1 I _ ?- ?9



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4l modelo Sugeno (cont):

• *l output continuo del modelo Sugeno de orden -erodepende de ,ue las funciones de pertenencia de los

antecedentes est n suficientemente traslapados


d l d d f


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3odelo Sugeno con antecedentes exactos ! difusos:• Consideren un modelo Sugeno de un input.

!f B is small t:en X &$1+ I


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3odelo Sugeno con cuatro reglas< dos inputs ! un output:

• !f B is small and X is small t:en ; D+ I y I 1• !f B is small and X is large t:en ; Dy I H• !f B is large and X is small t:en ; D+ I H• !f B is large and X is large t:en ; + Iy I H


3odelo 7suBamoto:


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3odelo 7suBamoto:• *n este modelo la función consecuente es un set difuso con

una función monotonica. !f + is A and y is 8 t:en - is C

• *l output de cada regla se define como un >alor e+actoinducido por la fuer-a de disparo de cada regla

• Cada regla tiene un output e+acto• *ste metodo no necesita defu-ificacion ya ,ue agrega los

outputs e+actos de cada regla usando el promedioponderado


3odelo 7suBamoto con dos reglas dos inputs ! un output:


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3odelo 7suBamoto con dos reglas dos inputs ! un output:

• !f + is A1 and y is 8 1 t:en - is C 1• !f + is A? and y is 8 ? t:en - is C ?


3odelo 7suBamoto con tres reglas un input ! un output


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3odelo 7suBamoto con tres reglas un input ! un output(cont):

• !f B is small t:en X is C1• !f B is medium t:en X is C?• !f B is large t:en X is CH


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3odelamiento difuso: 3Ntodos de partición del input:


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3odelamiento difuso: 3Ntodos de partición del input:

a9 rid partition. di>idir el espacio del input en celdas de igualtama o e igual distribución Sufre de un problema de dimensionalidad *#. Yodelo con H inputs y ? funciones 7large' small9 de

pertenencia por input. A' 8' C ^ ? H % reglas' Yodelo con 4 inputs y H funciones de pertenencia 7large'

medium' small9 por input. A' 8' C' J ^ H 4 %1 reglas' $$$


3odelamiento difuso: 3Ntodos de partición del input (cont)


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3odelamiento difuso: 3Ntodos de partición del input (cont)b9 Tree partition. di>idir el espacio de b s,ueda en celdas de

diferente tama o y basado en la lógica de un árbol• No tiene el problema e+ponencial de grid partition• Yuc:as >eces el significado de las >ariables no es tan gen rico

lingMísticamente como en rid 7no es tan ortogonal9• sado en el algoritmo CAUT 7Wang$ C:149


3odelamiento difuso: 3Ntodos de partición del input (cont)


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3odelamiento difuso: 3Ntodos de partición del input (cont)c9 Scatter partition. no cubrir el espacio de b s,ueda completo si no

,ue solo un subcon#unto de este• 6a partición es decidida por específicos pares de datos deinputDoutput

• *l significado de las >ariables no es gen rico linguisticamente• No es ortogonal y :ay traslapado posible


3odelamiento difuso: reglas generales


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3odelamiento difuso: reglas generales

• Típicamente un sistema difuso tiene ,ue replicar 7o me#orar9 elaccionamiento de un sistema de control e+istente. n operador a cargo de un proceso en una planta ,uímica n operador a cargo de un tren del metro

n operador a cargo de monitorear una linea del metro n medico especialista en cierto diagnostico etc

• *l sistema difuso se con>ierte en un sistema e+perto en el cual las

reglas ,ue utili-a son dictadas por la lógica ,ue utili-a el e+pertooriginal 7reglas h conocimiento del dominio del problema9• Cuando solo se tienen pares de datos de input ^ output entonces

se pueden usar m todos para identificar el sistema y modelarlo7datos num ricos h conocimiento del dominio del problema9


3odelamiento difuso: pasos


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3odelamiento difuso: pasos

"asos iniciales.• Seleccionar >ariables rele>antes de input y output• *legir un tipo especifico de sistema de inferencia• Jeterminar el numero de t rminos lingMísticos 7basados en

>ariables9• Jise ar una colección de reglas ifDt:en difusasJespu s de estos pasos iniciales típicamente se desea me#orar el

modelo.

• *legir funciones de pertenencia correctamente parametri-adas• Ye#orar las reglas y los parámetros de la funciones de

pertenencia• Uefinar los parámetros de las funciones de pertenencia usando

m todos de optimi-ación 7*#$ radiente' A' "'$$$9



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=eferencias:O-P ager< = < File0< D < 4ssentials of Fu ! 3odeling and Control<

Qile! Interscience< ; < -HH/O.P Rartalopoulos< S < Understanding ;eural ;et8orBs and Fu !

Logic< I444 6=4SS< ; < -HH/

O P ang< < et al< ;euro2Fu ! and Soft Computing< 6rentice>all

Documents

Introduccion a la Logica Difusa-modelo mandani lazo de control.pdf