Introducción a la Integración de Procesos Tier II€¦ · Esta presentación contiene links internos a otras diapositivas y links ... varianza, normalidad, ... eigen valores y eigen

Módulo 8 – Introducción a la Integración de Procesos 11

PIECENAMPProgram for North American Mobility in Higher EducationProgram for North American Mobility in Higher Education

NAMPNAMP

Introducing Process integration for Environmental Control in EngIntroducing Process integration for Environmental Control in Engineering Curriculaineering Curricula

IntroducciIntroduccióón a la n a la IntegraciIntegracióón de Procesosn de Procesos

TierTier IIII

MMóódulodulo 88

PIECEPIECE


PIECENAMP

CCóómo usar esta presentacimo usar esta presentacióónn

Esta presentaciEsta presentacióón contiene links internos a otras diapositivas y links n contiene links internos a otras diapositivas y links externos a sitios web:externos a sitios web:

Ejemplo de un linkEjemplo de un link (texto subrayado en gris): link a una diapositiva en la (texto subrayado en gris): link a una diapositiva en la presentacipresentacióón a un sitio webn a un sitio web

: link a la tabla de contenido del tier: link a la tabla de contenido del tier

: link a la : link a la úúltima diapositiva revisadaltima diapositiva revisada

: cuando el usuario ha pasado por toda la presentaci: cuando el usuario ha pasado por toda la presentacióón, algunas n, algunas preguntas de opcipreguntas de opcióón mn múúltiple son efectuadas al final del tier. Este icono ltiple son efectuadas al final del tier. Este icono lleva al usuario nuevamente al enunciado de pregunta si la respulleva al usuario nuevamente al enunciado de pregunta si la respuesta esta elegida es errelegida es erróóneanea


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Tabla de contenidoTabla de contenidoResumen del ProyectoResumen del Proyecto

Instituciones participantesInstituciones participantesCreadores del mCreadores del móódulodulo

Estructura y PropEstructura y Propóósito del Msito del MóóduloduloTier Tier IIII

Enunciado de propEnunciado de propóósitositoSeccionesSecciones2.1 Ejemplo trabajado usando Modelamiento impulsado por 2.1 Ejemplo trabajado usando Modelamiento impulsado por datos (Datadatos (Data--drivendriven modelingmodeling), m), máás especs especííficamente Anficamente Anáálisis lisis MultivariableMultivariable2.2 Ejemplo trabajado usando An2.2 Ejemplo trabajado usando Anáálisis Pinch Tlisis Pinch Téérmicormico2.3 Ejemplo trabajado usando Dise2.3 Ejemplo trabajado usando Diseñño y Control Integrado de o y Control Integrado de Procesos, mProcesos, máás especs especííficamente Anficamente Anáálisis de Controlabilidadlisis de ControlabilidadQuizQuiz


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ObjetivosObjetivosCrear mCrear móódulos web para ayudar a las universidades a dulos web para ayudar a las universidades a realizar la introduccirealizar la introduccióón de la Integracin de la Integracióón de Procesos a la n de Procesos a la currcurríícula de Ingeniercula de IngenierííaaHacer de estos mHacer de estos móódulos ampliamente disponibles en cada dulos ampliamente disponibles en cada uno de los pauno de los paííses participantesses participantes

Instituciones ParticipantesInstituciones ParticipantesDos universidades de tres paDos universidades de tres paííses (Canadses (Canadáá, M, Mééxico y Estados xico y Estados Unidos de AmUnidos de Améérica)rica)Dos institutos de investigaciDos institutos de investigacióón en diferentes sectores n en diferentes sectores industriales: petrindustriales: petróóleo (Mleo (Mééxico) y pulpa y papel (Canadxico) y pulpa y papel (Canadáá))Cada una de las seis universidades ha patrocinado a 7 Cada una de las seis universidades ha patrocinado a 7 estudiantes de intercambio durante el periodo de la beca, estudiantes de intercambio durante el periodo de la beca, subvencionados en parte por cada uno de los gobiernos de subvencionados en parte por cada uno de los gobiernos de los tres palos tres paííses ses

Resumen del ProyectoResumen del Proyecto


PIECENAMP

Program for North American Mobility in Higher EducationProgram for North American Mobility in Higher Education NAMPNAMP

Process integration for Environmental Control in Engineering CurProcess integration for Environmental Control in Engineering Curricularicula PIECEPIECE

University of University of OttawaOttawa

ÉÉcole cole PolytechniquePolytechnique dede

MontrMontrééalal

InstitutoInstitutoMexicanoMexicano del del

PetrPetróóleoleo

PapricanPaprican

Universidad Universidad AutAutóónomanoma de San de San

Luis Luis PotosPotosíí

University of University of Texas A&MTexas A&M

UniversidadUniversidad dedeGuanajuatoGuanajuato North Carolina North Carolina

State UniversityState University


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MMóódulodulo 88EsteEste mmóódulodulo fuefue creadocreado porpor::

Carlos Alberto Miranda AlvarezCarlos Alberto Miranda Alvarez

JeanJean--MartinMartin BraultBrault

InstituciInstitucióón n AnfitrionaAnfitriona

DeDe Profesor Profesor anfitrianfitrióónn

Paul StuartPaul Stuart

Martin Martin PiconPicon--NuNuññezez


PIECENAMP

Estructura del MEstructura del Móódulo 8dulo 8¿¿CuCuáál es la estructura de este ml es la estructura de este móódulo?dulo?

Todos los mTodos los móódulos estdulos estáán divididos en 3 n divididos en 3 tierstiers, cada uno con , cada uno con una meta especuna meta especíífica:fica:

Tier I: AntecedentesTier I: AntecedentesTier Tier IIII: Aplicaciones a Caso de Estudio: Aplicaciones a Caso de EstudioTier Tier IIIIII: Problema de Dise: Problema de Diseñño Propuestoo Propuesto--Resuelto Resuelto

Se pretende completar estos Se pretende completar estos tierstiers en ese orden particular. en ese orden particular. Los estudiantes son evaluados en varios puntos para medir Los estudiantes son evaluados en varios puntos para medir su grado de comprensisu grado de comprensióón, antes de proseguir al siguiente n, antes de proseguir al siguiente nivel. Cada tier contiene un enunciado de propnivel. Cada tier contiene un enunciado de propóósito u sito u objetivo al inicio y un quiz al final. objetivo al inicio y un quiz al final.


PIECENAMP

¿CuCuáál es el propl es el propóósito de este msito de este móódulo?dulo?

Es el objetivo de este mEs el objetivo de este móódulo cubrir los aspectos dulo cubrir los aspectos bbáásicos de los sicos de los MMéétodos todos yy herramientas de herramientas de IntegraciIntegracióón de Procesos n de Procesos , y colocar a la , y colocar a la IntegraciIntegracióón de Procesos n de Procesos en una perspectiva men una perspectiva máás s amplia. Estamplia. Estáá identificado como un prerrequisito para identificado como un prerrequisito para otros motros móódulos relacionadas con el aprendizaje de dulos relacionadas con el aprendizaje de IntegraciIntegracióón de Procesosn de Procesos. .

PropPropóósito del Msito del Móódulo 8dulo 8


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Tier IIEjemplos Resueltos


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TierTier IIII Enunciado de PropEnunciado de Propóósitosito

La meta de este tier es demostrar varios conceptos y La meta de este tier es demostrar varios conceptos y herramientas de Integraciherramientas de Integracióón de Procesos usando n de Procesos usando ejemplos reales. Tres ejemplos serejemplos reales. Tres ejemplos seráán dados, n dados, centrcentráándose principalmente en tres herramientas de ndose principalmente en tres herramientas de IntegraciIntegracióón de Procesos. Al final del Tiern de Procesos. Al final del Tier IIII, el , el estudiante debe tener una idea general de lo que es: estudiante debe tener una idea general de lo que es:

Modelamiento impulsado por datos (DataModelamiento impulsado por datos (Data--Driven Driven ModelingModeling) ) -- AnAnáálisis Multivariablelisis MultivariableAnAnáálisis Pinch Tlisis Pinch Téérmico rmico DiseDiseñño y Control Integrado de Procesos o y Control Integrado de Procesos –– AnAnáálisis lisis de Controlabilidadde Controlabilidad


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TierTier IIII ContenidoContenido

El Tier El Tier IIII estestáá dividido en tres seccionesdividido en tres secciones

2.1 Ejemplo trabajado usando Modelamiento 2.1 Ejemplo trabajado usando Modelamiento impulsado por datos, mimpulsado por datos, máás especs especííficamente ficamente AnAnáálisis Multivariablelisis Multivariable2.2 Ejemplo trabajado usando An2.2 Ejemplo trabajado usando Anáálisis Pinch lisis Pinch TTéérmicormico2.3 Ejemplo trabajado usando Dise2.3 Ejemplo trabajado usando Diseñño y Control o y Control Integrado de Procesos, mIntegrado de Procesos, máás especs especííficamente ficamente AnAnáálisis de Controlabilidadlisis de Controlabilidad

Un pequeUn pequeñño quiz de opcio quiz de opcióón mn múúltiple se encontrarltiple se encontraráá al al final de este tier. final de este tier.


PIECENAMP

2.1 Ejemplo resuelto 1: Modelamiento impulsado por 2.1 Ejemplo resuelto 1: Modelamiento impulsado por datos datos –– AnAnáálisis Multivariablelisis Multivariable

2.2 Ejemplo resuelto 2: An2.2 Ejemplo resuelto 2: Anáálisis Pinch Tlisis Pinch Téérmicormico

2.3 Ejemplo resuelto 3: Dise2.3 Ejemplo resuelto 3: Diseñño y Control Integrado de o y Control Integrado de Procesos Procesos –– AnAnáálisis de Controlabilidadlisis de Controlabilidad




TierTier IIII ResumenResumen


PIECENAMP

2.1 Ejemplo Resuelto 1: Modelamiento Impulsado por

Datos (Data Driven Modelingven Modeling) ) ––AnAnáálisis Multivariablelisis Multivariable


PIECENAMP

2.1 Ejemplo resuelto 1: Modelamiento Impulsado por DatosAnálisis Multivariable (MVA) – Recordatorio

2.922.273-1106

2.972.222-1106

3.12.441-1106

3.262.5230005

3.322.5620005

3.162.8910005

2.632.9731-104

2.572.721-104

3.223.0211-104

2.982.53301-13

2.452.6201-13

2.672.45101-13

2.312.65310-12

2.472.55210-12

3.232.63110-12

2.562.453-1-1-11

3.222.362-1-1-11

2.742.511-1-1-11

Y sans

Y avecRepX5X4X1Tmt

RepresentaciRepresentacióón grn grááfica delfica del MVAMVA

Datos "crudos" Datos "crudos" (sin procesar): (sin procesar): imposibles de imposibles de

interpretarinterpretar

Modelo EstadModelo Estadíísticostico(parte del (parte del software)software)

Salidas visuales en 2Salidas visuales en 2--DD

tendencia

tendenciatendencia

Y

XX

X

X

Miles de corridas

Cientos de columnas

..

. .. .

. . .

.

. .


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Se asume que el estudiante estSe asume que el estudiante estáá familiarizado con los siguientes familiarizado con los siguientes conceptos estadconceptos estadíísticos bsticos báásicos: media, mediana, moda; desviacisicos: media, mediana, moda; desviacióón n estestáándar, varianza, normalidad, simetrndar, varianza, normalidad, simetríía; grado de asociacia; grado de asociacióón, coeficientes n, coeficientes de correlacide correlacióón; Rn; R22, Q, Q22, F, F--testtest; significado de las diferencias, t; significado de las diferencias, t--testtest, Chi, Chi--cuadrado; eigen valores y vectorescuadrado; eigen valores y vectores

Las pruebas estadLas pruebas estadíísticas ayudan a caracterizar un grupo de datos sticas ayudan a caracterizar un grupo de datos existente. NO permiten hacer predicciones de datos futuros. Paraexistente. NO permiten hacer predicciones de datos futuros. Para esto esto tenemos que volver a las tenemos que volver a las ttéécnicas de regresicnicas de regresióónn……

EstadEstadíísticas Bsticas Báásicassicas

RegresiRegresióónnToma un grupo de datos, cada uno descrito por un vector de valorToma un grupo de datos, cada uno descrito por un vector de valores (y, es (y, xx11, x, x22, , …… xxnn))Encuentra la ecuaciEncuentra la ecuacióón algebraica que "mejor exprese" la relacin algebraica que "mejor exprese" la relacióón entre n entre y y y y xxii’’ss::

Y =Y = bb11xx11 + + bb22xx22 + + …… + + bbnnxxnn + e+ e

Requerimientos de Datos:Requerimientos de Datos: datos normalizados, errores normalmente datos normalizados, errores normalmente distribuidos con media cero y variables independientes no distribuidos con media cero y variables independientes no correlacionadas correlacionadas

2.1 Ejemplo resuelto 1: Modelamiento Impulsado por DatosAnálisis Multivariable


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160180200220240

150 160 170 180 190 200 210 220 230 240

Y O

bser

vada

Y Predicha

MODELO IDEAMODELO IDEAL

Figura 1

Tipos de Tipos de MVAMVA1.1. AnAnáálisis de Componente Principal (Principal lisis de Componente Principal (Principal

Component AnalysisComponent Analysis, PCA), PCA)Solamente XSolamente X’’ssEn PCA, estamos maximizando la En PCA, estamos maximizando la varianzavarianza que es explicada que es explicada por el modelo por el modelo

2.2. ProyecciProyeccióón a Estructuras Latentes (n a Estructuras Latentes (Projection to Projection to Latent StructuresLatent Structures, , PLSPLS))

TambiTambiéén conocido como n conocido como ““MMíínimos Cuadrados Parcialesnimos Cuadrados Parciales””XX’’s y Ys y Y’’ssEn En PLSPLS, estamos maximizando la , estamos maximizando la covarianzacovarianza

X Y

X

Tipos de salidas de Tipos de salidas de MVAMVA

Q1Q1 Q2Q2


Los software de Los software de MVA MVA generan dos tipos de salidas: resultados, y generan dos tipos de salidas: resultados, y diagndiagnóósticos.sticos.

Resultados: GrResultados: Grááficas de resultados, Grficas de resultados, Grááficas ficas de Entradasde EntradasDiagnDiagnóósticos: Grsticos: Grááfica de Residuos, Observadofica de Residuos, Observadovsvs Predicho, y muchas mas Predicho, y muchas mas


PIECENAMP

Considere estos peces. Considere estos peces. Podemos medir, para cada Podemos medir, para cada uno, su longitud y ancho.uno, su longitud y ancho.

Suponga que 50 peces fueron medidos, Suponga que 50 peces fueron medidos, una gruna grááfica como la mostrada en la figura fica como la mostrada en la figura 2 puede ser obtenida. Existe una relaci2 puede ser obtenida. Existe una relacióón n obvia entre la longitud y el ancho pues obvia entre la longitud y el ancho pues peces mpeces máás largos tienden a ser ms largos tienden a ser máás s anchos. anchos.

Referencia: Manchester Metropolitan University

AnAnáálisis de Componente Principal (PCA)lisis de Componente Principal (PCA)

Figura 2

2.1 Ejemplo resuelto 1: Modelamiento Impulsado por DatosAnálisis Multivariable - PCA


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Mueva los ejes de manera que sus orMueva los ejes de manera que sus oríígenes estgenes estéén ahora centrados en la nube de n ahora centrados en la nube de puntos: este es un cambio en la escala de medicipuntos: este es un cambio en la escala de medicióón. En este caso las medias relevantes n. En este caso las medias relevantes fueron restadas de cada valor. fueron restadas de cada valor.

En efecto, el eje principal es una nueva variable, el tamaEn efecto, el eje principal es una nueva variable, el tamañño. De forma simple, o. De forma simple, tamatamañño = longitud + anchoo = longitud + ancho

combinacicombinacióón lineal de dos variables existentes de igual importancia n lineal de dos variables existentes de igual importancia Suponga que consideramos que la longitud es mSuponga que consideramos que la longitud es máás importante que el ancho en la s importante que el ancho en la

determinacideterminacióón del taman del tamañño. En este caso podemos usar pesos o coeficientes para introducio. En este caso podemos usar pesos o coeficientes para introducir r contribuciones diferenciales: contribuciones diferenciales: tamatamañño = 0.75 x longitud + 0.25 x anchoo = 0.75 x longitud + 0.25 x ancho

Por conveniencia, normalmente realizarPor conveniencia, normalmente realizarííamos la gramos la grááfica con el eje X horizontal, esto darfica con el eje X horizontal, esto daríía la a la apariencia de rotar los puntos mapariencia de rotar los puntos máás que los ejes. s que los ejes.

Figura 3

Figura 5

Figura 4

Reference: Manchester Metropolitan University



PIECENAMP

Un criterio para el segundo eje es que debe explicar tanto de lUn criterio para el segundo eje es que debe explicar tanto de la variacia variacióón n restante como sea posible. Sin embargo, restante como sea posible. Sin embargo, ééste no debe estar correlacionado ste no debe estar correlacionado (ortogonal) con el primero. (ortogonal) con el primero.

En este ejemplo las longitudes y orientaciones de los ejes estEn este ejemplo las longitudes y orientaciones de los ejes estáán dadas por n dadas por eigen valores y eigen vectores de la matriz de correlacieigen valores y eigen vectores de la matriz de correlacióón. Si retenemos solo la n. Si retenemos solo la variable de "tamavariable de "tamañño" mantendro" mantendrííamos 1.75/2.00 x 100 (87.5%) de la variaciamos 1.75/2.00 x 100 (87.5%) de la variacióón n original. Entonces, si descartamos el segundo eje solo perdemos original. Entonces, si descartamos el segundo eje solo perdemos 12.5% de la 12.5% de la informaciinformacióón original. n original.

Figura 6 Figura 7

Reference: Manchester Metropolitan University



PIECENAMP

ProyecciProyeccióón a Estructuras Latentes n a Estructuras Latentes ((Projection to Latent StructuresProjection to Latent Structures,, PLSPLS))

LaLa PLSPLS encuentra un grupo de componentes ortogonales que: encuentra un grupo de componentes ortogonales que: Maximizan el nivel de entendimiento de ambos, X y YMaximizan el nivel de entendimiento de ambos, X y YProveen una ecuaciProveen una ecuacióón predictiva para Y en tn predictiva para Y en téérminos derminos de X'sX's

Esto es llevado a cabo por:Esto es llevado a cabo por:Ajustar un grupo de componentes a X (como en PCA)Ajustar un grupo de componentes a X (como en PCA)De manera similar, ajustar un grupo de componentes a YDe manera similar, ajustar un grupo de componentes a YReconciliar los dos grupos de componentes para maximizar el Reconciliar los dos grupos de componentes para maximizar el entendimiento de X y Yentendimiento de X y Y

La interpretaciLa interpretacióón de los resultados den de los resultados de PLSPLS tiene todas las tiene todas las dificultades de PCA, ademdificultades de PCA, ademáás de una extra: tener sentido de los s de una extra: tener sentido de los componentes individuales en espacio X y Y. En otras palabras, componentes individuales en espacio X y Y. En otras palabras, para que los resultados tengan sentido, el primer componente para que los resultados tengan sentido, el primer componente en X debe estar relacionado de alguna manera al primer en X debe estar relacionado de alguna manera al primer componente en Y componente en Y



PIECENAMP

Veamos una planta tVeamos una planta tíípica de pulpa termomecpica de pulpa termomecáánica integrada (nica integrada (Thermomechanical PulpThermomechanical Pulp, , TMP) de papel periTMP) de papel perióódico en Amdico en Améérica del Norte. La planta. El administrador de esa rica del Norte. La planta. El administrador de esa planta en particular reconoce que hay muchos datos a tratar y quplanta en particular reconoce que hay muchos datos a tratar y que existe una e existe una necesidad de estimar la calidad de su producto final, i.e. papelnecesidad de estimar la calidad de su producto final, i.e. papel. . ÉÉl decide usar el l decide usar el AnAnáálisis Multivariable para derivar tanta informacilisis Multivariable para derivar tanta informacióón como sea posible del grupo de n como sea posible del grupo de datos y tratar de determinar las variables mdatos y tratar de determinar las variables máás importantes que pueden tener un s importantes que pueden tener un impacto en la calidad del papel para poder clasificar la calidadimpacto en la calidad del papel para poder clasificar la calidad del producto final. El del producto final. El administrador de la planta decide examinar primero la porciadministrador de la planta decide examinar primero la porcióón de refinacin de refinacióón del n del proceso de fabricaciproceso de fabricacióón de pulpa. n de pulpa.

Enunciado del ProblemaEnunciado del Problema

Figura 8



PIECENAMP

Variables X y Y Variables X y Y

Variables Y Variables Y Calidad de los datos Calidad de los datos

de la pulpa despude la pulpa despuéés de s de la urna de latencia la urna de latencia (automatizado, an(automatizado, anáálisislisisonon--lineline de muestras): de muestras): parparáámetros estmetros estáándar ndar de industrias de industrias incluyendo distribuciincluyendo distribucióón n de la longitud de la de la longitud de la fibra,fibra, freenessfreeness, , consistencia y consistencia y brillantez brillantez

Variables X Variables X Astillas que se reciben: Astillas que se reciben:

distribucidistribucióón de taman de tamañño, o, densidad deldensidad del bulkbulk, humedad, humedad

Datos de operaciDatos de operacióón del n del refinador: rendimiento; energrefinador: rendimiento; energíía a de separacide separacióón entre el n entre el refinador primario y refinador primario y secundario; velocidades de secundario; velocidades de dilucidilucióón; niveles, presiones y n; niveles, presiones y temperaturas en varias temperaturas en varias unidades inmediatamente unidades inmediatamente conectadas a los refinadores; conectadas a los refinadores; voltaje en el tornillo sin fin de voltaje en el tornillo sin fin de astillas; temperatura del astillas; temperatura del cuerpo del refinadorcuerpo del refinador

EstaciEstacióón, representada por la n, representada por la temperatura promedio medida temperatura promedio medida en la estacien la estacióón meteoroln meteorolóógica gica mmáás cercana s cercana

Y

X’s

Figura 9



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Esta es la gráfica R2 y Q2 para el modelo. Los valores de R2 nos dicen que el primer componente explica 32% de la variabilidad en los datos originales, el segundo otro 7% y el tercero otro 6%.

Los valores de Q2 son menores. Esto significa que el poder predictivo del modelo es cercano al 40% al usar los tres componentes. Esto podría parecer bajo, pero es normal para datos de proceso reales.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

Com

p[1]

Com

p[2]

Com

p[3]

Comp No.

Versión 32-meses 2-M2 (PCA-X), Desviaciones extremasremovidas

R2X(cum)Q2(cum)

Figura 10

2002

ResultadosResultados 34-meses de 1 día rev. 2 (incl. Datos de astillas) no. 2.M4 (PCA-X), Residuos removidost[1]/t[2]/t[3]Coloreados de acuerdo a las clases en M4

No ClaseClase 1Clase 2Clase 3Clase 4

Otoño InviernoPrimaveraVerano


2000

2001Figura 11


PIECENAMP



-5

0

5

-10 0 10 20

t[2]

t[1]

34-months of 1 day rev. 2 (incl. chip data) no. 2.M4 (PCA-X), Untitledt[1]/t[2]Colored according to classes in M4

No ClassClass 1Class 2Class 3Class 4

Figura 12

La variación en esta dirección parece

ocurrir ENTRE estaciones

(≅ Componente 2)

La variaciLa variacióón en esta n en esta direccidireccióón parece n parece

ocurrir ENTRE ocurrir ENTRE estaciones estaciones

((≅≅ Componente 2)Componente 2)

La variación en esta dirección parece

ocurrir DENTRO de una estación dada(≅ Componente 1)

La variaciLa variacióón en esta n en esta direccidireccióón parece n parece

ocurrir DENTRO de ocurrir DENTRO de una estaciuna estacióón dadan dada((≅≅ Componente 1)Componente 1)

InterpretaciInterpretacióón de resultados n de resultados –– GrGrááfica de resultadosfica de resultados



PIECENAMP

InterpretaciInterpretacióón de resultados n de resultados –– GrGrááfica de entradasfica de entradas

-0.20

-0.10

0.00

0.10

0.20

-0.20 -0.10 0.00 0.10

p[2]

p[1]

34-months of 1 day rev. 2 (incl. chip data) no. 2.M4 (PCA-X), Bad residuals removedp[1]/p[2]

X

SEASON

33LI214.AI52FFC117.PV52FFC166.PV

52FIC104.PV52FIC115.PV

52FIC116.PV 52FIC154.PV

52FIC164.PV

52FIC165.PV

52FIC167.PV

52FIC177.PV

52HIC812.PV

52IIC128.PV

52IIC178.PV

52JCC139.PV

52JI189.AI

52JIC139.AI52LIC106.PV

52PCA111.PV52PCA161.PV

52PCB111.PV

52PCB161.PV

52PIC105.PV52PIC159.PV

52PIC705.PV52PIC961.PV

52SIC110.PV

52SQI110.AI

52TI011.AI52TI031.AI

52TI118.AI52TI168.AI

52TIC010.CO52TIC793.PV

52XAI130.AI52XIC130.AI52XIC180.AI52XPI130.AI

52XQI195.AI

52ZIC147.PV

52ZIC148.PV52ZIC197.PV

52ZIC198.PV

53AI034.AI

53AI054.AI

53FFC455.PV

53FI012.AI

53HIC762.PV53LIC011.PV

53LIC301.PV

53NI716.AI53NIC013.PV

53PIC210.PV

53PIC305.PV

53PIC308.PV

53PIC309.PV

53WI012.AI

Pex_L1_Blan

Pex_L1_Cons

Pex_L1_CSF

Pex_L1_LMF

Pex_L1_P200

Pex_L1_PFCPex_L1_PFLPex_L1_PFM

Pex_L1_R100

Pex_L1_R14

Pex_L1_R28Pex_L1_R48

53LIC510.PV

52FR960.AI52FRA703.AI

52KQC139.AI52KQC189.AI

52PI128.AI52PI178.AI

52PI706.AI

52PIA143.AI

52PIA193.AI

52PIB143.AI

52PIB193.AI

52PIP143.AI

52PIP193.AI52SI055.AI52SIA110.AI

52TIC102.PV

52TIC711.PV

52TR964.AI52XIC811.PV

52X_130.AI_split_L1.

52ZI144.AI

52ZI194.AI

53AIC453.PV

53LR405.AI53LV301.AI

53NIC100.PV811FI102.AI

811FI104.AI85FQ101.AI

85LCB320.AI

85LCS320.AI

CopDENS

CopSICC

Cop>9/8

Cop>7/8

Cop>5/8

Cop>3/8Cop>3/16

Cop<3/16

CopECORCopCARCopECLA

Rendimiento de la pulpaEnergía de RefinaciónFlujos de DisoluciónGeneración de vapor

Rendimiento de la pulpaRendimiento de la pulpaEnergEnergíía de Refinacia de RefinacióónnFlujos de DisoluciFlujos de DisolucióónnGeneraciGeneracióón de vaporn de vapor

Brillo de la PulpaEstaciónBrillo de la PulpaBrillo de la PulpaEstaciEstacióónn

Consumo de blanqueadorConsumo de blanqueadorConsumo de blanqueador

Figura 13



PIECENAMP

InterpretaciInterpretacióón de los resultadosn de los resultadosPrimer componentePrimer componente

El primer componente corresponde al rendimiento: muchas variableEl primer componente corresponde al rendimiento: muchas variables de proceso ests de proceso estáán n relacionadas ya sea directa o indirectamente con el rendimiento.relacionadas ya sea directa o indirectamente con el rendimiento. ¿¿Recuerda que dijimos Recuerda que dijimos que el primer componente era algo que variaba dentro de una estaque el primer componente era algo que variaba dentro de una estacicióón individual? n individual?

Segundo ComponenteSegundo ComponenteEl 2o. componente El 2o. componente explica solo el 7% explica solo el 7% de la variabilidad total. Es, por lo tanto, "mde la variabilidad total. Es, por lo tanto, "máás s confuso" que el primer componente, y serconfuso" que el primer componente, y seráá menos fmenos fáácil de interpretar. Tambicil de interpretar. Tambiéén es n es posible notar que los posible notar que los tres atres añños fueron separadosos fueron separados con respecto a este segundo con respecto a este segundo componente componente Una pista importante se encuentra en la prominencia de dos etiquUna pista importante se encuentra en la prominencia de dos etiquetas importantes etas importantes relacionadas: consumo de blanqueador y brillo de la pulpa. Esto relacionadas: consumo de blanqueador y brillo de la pulpa. Esto sugiere que tal vez el sugiere que tal vez el brillo de las astillas de madera entrantes era diferente abrillo de las astillas de madera entrantes era diferente añño con ao con añño, requiriendo mo, requiriendo máás s blanqueador para obtener un mblanqueador para obtener un míínimo de pulpa blanca nimo de pulpa blanca Note tambiNote tambiéén que la "estacin que la "estacióón" es prominente. Esto puede ser visto con la separacin" es prominente. Esto puede ser visto con la separacióón n obvia de las estaciones en la grobvia de las estaciones en la grááfica de resultados. Lo que sugiere que las astillas de fica de resultados. Lo que sugiere que las astillas de invierno son menos brillantes que las astillas de veranoinvierno son menos brillantes que las astillas de verano

Tercer ComponenteTercer ComponenteElEl 33erer Componente explica solo el 6% de la variabilidad totalComponente explica solo el 6% de la variabilidad totalElEl 33erer componente estcomponente estáá relacionado a la relacionado a la éépoca del apoca del añño. Una interpretacio. Una interpretacióón razonable n razonable serseríía que las astillas de verano difieren de las astillas de invierna que las astillas de verano difieren de las astillas de invierno de alguna manera o de alguna manera diferente al brillo, que fue cubierto previamente por el segundodiferente al brillo, que fue cubierto previamente por el segundo componente. Esto componente. Esto podrpodríía ser, por ejemplo, la facilidad con la que las fibras de maderaa ser, por ejemplo, la facilidad con la que las fibras de madera pueden ser pueden ser separadas entre sseparadas entre síí



PIECENAMP

Al usar PCA, hemos determinado que 45% de la variabilidad en lasAl usar PCA, hemos determinado que 45% de la variabilidad en las 130 130 variables originales puede ser representada usando solo 3 variabvariables originales puede ser representada usando solo 3 variables nuevas o les nuevas o "componentes". Estos tres componentes son ortogonales, lo que si"componentes". Estos tres componentes son ortogonales, lo que significa que gnifica que la variacila variacióón dentro de cada uno ocurre independientemente de las otros. En n dentro de cada uno ocurre independientemente de las otros. En otras palabras, los nuevos componentes no estotras palabras, los nuevos componentes no estáán correlacionados entre sn correlacionados entre síí. .

REFINER THROUGHPUTREFINER THROUGHPUTComponente 1Componente 1Explica 32%Explica 32%

Componente 2Componente 2Explica 7%Explica 7%

Componente 3Componente 3Explica 6%Explica 6%

BRILLOBRILLO

VER

AN

O /

INV

IER

NO

VER

AN

O /

INV

IER

NO

Resumen de los resultados de PCAResumen de los resultados de PCA



PIECENAMP

““Mapa de referenciaMapa de referencia”” de Calidadde Calidad

XX

X

Figura 14



PIECENAMP









PIECENAMP

2.2 Ejemplo resuelto 2 : Análisis Pinch Térmico


PIECENAMP

PROCESOPROCESO

ServicioServicioFRFRÍÍOO

Servicio Servicio CALIENTECALIENTE

2.2 Ejemplo resuelto 2: Análisis Pinch Térmico – Recordatorio

Uso de Uso de serviciosservicios

Intercambios Intercambios InternosInternos

El costo de El costo de servicios servicios

disminuyedisminuye

Los costos Los costos relacionados al relacionados al áárea rea

de intercambio de intercambio aumentanaumentan

De 100% de serviciosDe 100% de servicios…… ... a 100% de intercambios internos... a 100% de intercambios internos

$$

TradeTrade--offoffTradeTrade--offoff

¿¿QuQuéé es el Anes el Anáálisis Pinch Tlisis Pinch Téérmico?rmico?


PIECENAMP

Ejemplo: Boiler de Ejemplo: Boiler de RecuperaciRecuperacióónn

SoluciSolucióón obvia: precalentar n obvia: precalentar el agua fresca entrante con el agua fresca entrante con el condensado caliente que el condensado caliente que abandona el boilerabandona el boiler

Figura 15

Al menos 40 corrientes para calentar y enfriar…

¿Que hay de un sitio completo ?2.2 Ejemplo resuelto 2: Análisis Pinch Térmico


PIECENAMP

SimulaciSimulacióónn

ExtracciExtraccióónn

PlantaPlanta

OrientaciOrientacióónn

DiseDiseñño de una Red de o de una Red de Intercambio de CalorIntercambio de Calor

ExtracciExtraccióón de datos n de datos (corrientes fr(corrientes fríías y as y

calientes) con calientes) con objetivos especobjetivos especííficos ficos de ahorro de energde ahorro de energíía a

en menteen menteOrientaciOrientacióón del n del

AnAnáálisis, i.e. lisis, i.e. energenergíía, a,

objetivos de objetivos de disediseñño y o y

econeconóómicosmicosUso de heurUso de heuríísticas sticas para disepara diseññar una Red ar una Red

de Intercambio de de Intercambio de Calor que cumplirCalor que cumpliráácon los objetivos de con los objetivos de

energenergíía a menor costo a a menor costo Transferencia de Transferencia de

los resultados los resultados obtenidos a la obtenidos a la

planta realplanta real

ΔΔTminTmin

2.2 Ejemplo resuelto 2: Análisis Pinch Térmico


PIECENAMP

Curva fr

Curva fr

ííaa

compuesta

compuestaCur

va ca

lient

e

Curva

calie

nte

com

pues

ta

com

pues

taΔΔTminTmin

Requerimientos de Requerimientos de calentamientocalentamiento

Requerimientos de enfriamientoRequerimientos de enfriamiento

PuntoPuntoPinchPinch

Curvas CompuestasCurvas Compuestas

TemperaturaTemperatura

EntalpEntalpííaa

Figura 16



PIECENAMP

IntegraciIntegracióón de Masa n de Masa –– Curvas Compuestas para prevenciCurvas Compuestas para prevencióón de n de la contaminacila contaminacióónn

Figura 17

Figura 18



PIECENAMP

Enunciado del ProblemaEnunciado del ProblemaUn ingeniero de proceso en una firma de consultorUn ingeniero de proceso en una firma de consultoríía es contratado por una a es contratado por una refinerrefineríía de petra de petróóleo para diseleo para diseññar la secciar la seccióón de Unidades Convencionales de n de Unidades Convencionales de Fraccionamiento AtmosfFraccionamiento Atmosféérico de Crudo en las instalaciones de la refinerrico de Crudo en las instalaciones de la refineríía, a, como se muestra en la figura 17. El principal objetivo de este pcomo se muestra en la figura 17. El principal objetivo de este proyecto es royecto es minimizar el consumo de energminimizar el consumo de energíía usando el Ana usando el Anáálisis Pinch Tlisis Pinch Téérmico. La planta rmico. La planta estestáá usando actualmente 75000usando actualmente 75000 kWkW en servicios de calentamiento. En este en servicios de calentamiento. En este ejemplo, el ejemplo, el éénfasis sernfasis seráá puesto en la construccipuesto en la construccióón de las curvas compuestas n de las curvas compuestas con el objetivo de identificar oportunidades de ahorro de energcon el objetivo de identificar oportunidades de ahorro de energíía. a.

Desalter

Torre de crudo

-PA

Keroseno

L-gasoil

H-gasoil

ATB

Crudo E1

E2E3

E4

E5 E6

E71 2

5

6

7 8

92

10

11

13 14

15 16

BPA12

Horno

Nafta -PA

L-gasoil

H-gasoil

ATB

E1

E2E3

E4

E5 E6

E71 2 3 4

5

6

7 8

9 10

11

13 14

15 16

BPA12

Figura 19



PIECENAMP

3-5ºCProcesos a Baja temperatura

10-20ºCQuímico

10-20ºCPetroquímico

30-40ºCRef. de petróleoΔΤminSector Industrial

Table 2

DesalterDesalter

Torre de Torre de crudocrudo

NaftaNafta--PAPA

KerosenoKeroseno

LL--gasoilgasoil

HH--gasoilgasoil

ATBATB

CrudoCrudo

2020ºº

BPABPA

150150ºº 150150ºº 390390ºº

150150ºº

100100ºº

180180ºº 3030ºº

4040ºº

3030ºº

5050ºº

270270ºº

290290ºº

190190ºº

350350ºº

380380ºº

11 22

33

66

44

55

88

77Tren de Tren de precalentamiento de precalentamiento de crudo crudo

ºº ººC CondiciC CondicióónnNo. de corrienteNo. de corriente

Figura 20

Número y Cap. Vel. de Vel. de Temperatura Temperatura Stream Coeficiente* FoulingTipo de calorífica flujo Flujo de cap.de suministro objetivo Heat de transf.

Corriente de masa calorífica duty de calorDe proceso (J/kgK) (kg/s) (kW/K) (ºC) (ºC) (kW) (W/m2 K) (m2ºC/W)(1)Fría 2600.00 200.00 520.00 20.00 150.00 67600.00 170.00 0.00147(2)Fría 2600.00 200.00 520.00 150.00 390.00 124800.00 170.00 0.00147(3)Caliente 2600.00 253.00 657.80 150.00 100.00 -32890.00 170.00 0.00147(4)Caliente 2600.00 23.00 59.80 180.00 30.00 -8970.00 170.00 0.00147(5)Caliente 2600.00 44.00 114.40 270.00 40.00 -26312.00 170.00 0.00147(6)Caliente 2600.00 148.00 384.80 290.00 190.00 -38480.00 170.00 0.00147(7)Caliente 2600.00 13.00 33.80 350.00 30.00 -10816.00 170.00 0.00147(8)Caliente 2600.00 56.00 145.60 380.00 50.00 -48048.00 170.00 0.00147* Factor de Fouling incluido

Tabla 1

ExtracciExtraccióón de n de DatosDatos



PIECENAMP

Tabla 3

1. Clasificar en orden ascendente las temperaturas de las corrie1. Clasificar en orden ascendente las temperaturas de las corrientes ntes calientes, omitiendo las temperaturas comunes calientes, omitiendo las temperaturas comunes

Usando los datos de arriba, formamos intervalos de temperatura pUsando los datos de arriba, formamos intervalos de temperatura para ara el proceso el proceso

T1T1

T2T2

T3T3

T4T4

IntervaloIntervalo

11

22

33

Las temperaturas son clasificadas en orden

ascendente, omitiendo temperaturas comunes

TT

HHFigura 21

2.2 Ejemplo resuelto 2: Análisis Pinch Térmico - Curvas compuestas


PIECENAMP

Tabla 4

stream interval, === ∑−

− jiCPCPstreamj

streamji

2. Sumar el CP de cada corriente presente en cada intervalo de 2. Sumar el CP de cada corriente presente en cada intervalo de temperatura temperatura

6.938.338.59741 =+=+= HH CPCPCP

Entonces obtenemos el CP compuesto para cada intervalo de temperEntonces obtenemos el CP compuesto para cada intervalo de temperaturaatura

2.2 Ejemplo resuelto 2: Análisis Pinch Térmico – Curvas Compuestas


PIECENAMP

Tabla 5

)(* 1−−−= iiii TTCPQ3. Calcular la entalp3. Calcular la entalpíía neta para cada intervalo de temperaturaa neta para cada intervalo de temperatura

kWTTCPQ 936)303313(*6.93)(* 0111 =−=−−=

Obtenemos la entalpObtenemos la entalpíía para cada intervalo de temperatura, como a para cada intervalo de temperatura, como se muestra en la columnase muestra en la columna QQintint,h,h



PIECENAMP

Tabla 6

4. Obtener la entalp4. Obtener la entalpíía acumulada para cada intervalo de temperaturaa acumulada para cada intervalo de temperatura

iii QSumQSumQ += −1

9369360101 =+=+= QSumQSumQ



PIECENAMP

303313323

373

423453463

543563

623653

Curva caliente compuesta

300

400

500

600

700

0 50000 100000 150000 200000H (kW)

T (K

)

Figura 22

5. Graficar la temperatura en el eje Y contra la entalp5. Graficar la temperatura en el eje Y contra la entalpíía acumulada en el eje a acumulada en el eje XX



PIECENAMP

Curva Fría Compuesta

250300350400450500550600650700

0 50000 100000 150000 200000 250000H (kW)

T(K

)

Figura 23

293

423

663

La construcciLa construccióón de la Curva Frn de la Curva Fríía Compuesta es similar a la de la Curva a Compuesta es similar a la de la Curva Calienta Compuesta. Calienta Compuesta. Tabla 7



PIECENAMP

Curva fría compuestaCurva caliente compuesta

Esta representaciEsta representacióón reduce el proceso entero en una corriente combinada caliente yn reduce el proceso entero en una corriente combinada caliente y frfrííaaLa recuperaciLa recuperacióón de calor entre las curvas compuestas puede ser incrementada han de calor entre las curvas compuestas puede ser incrementada hasta sta

alcanzaralcanzar DtminDtmin. Las curvas compuestas, como las corrientes individuales, puede. Las curvas compuestas, como las corrientes individuales, pueden ser n ser desplazadas horizontalmente en el diagrama Tdesplazadas horizontalmente en el diagrama T--H sin causar cambios en el proceso porque H H sin causar cambios en el proceso porque H es una funcies una funcióón de estadon de estado

Esto establece los requerimientos mEsto establece los requerimientos míínimos de servicios calientes (nimos de servicios calientes (QHminQHmin) y fr) y frííos (os (QCminQCmin) ) para el proceso entero y la recuperacipara el proceso entero y la recuperacióón mn mááxima posible de calor procesoxima posible de calor proceso--proceso proceso

Recuperación de calor interna QHmin

Requerimiento Requerimiento de de

enfriamiento enfriamiento mmíínimonimo

QCminRequerimiento Requerimiento

de de calentamiento calentamiento

mmíínimonimo

0

Aplicación de Curvas Compuestas

100

200

300

400

500

600

700

0 50000 100000 150000 200000 250000H (kW)

T (K

)

Figura 24

ΔTmin= 40K



PIECENAMP

Como se vio en las diapositivas previas, de la grComo se vio en las diapositivas previas, de la grááfica de temperaturafica de temperatura--entalpentalpíía, podemos determinar tres piezas a, podemos determinar tres piezas úútiles de informacitiles de informacióón: n:

Cantidad de posible recuperaciCantidad de posible recuperacióón de calor proceson de calor proceso--proceso por proceso por áárea rea entre dos curvas compuestasentre dos curvas compuestas

Requerimiento de servicio de calentamiento u objetivo= 57668Requerimiento de servicio de calentamiento u objetivo= 57668 kWkWRequerimiento de servicio de enfriamiento u objetivo= 30784Requerimiento de servicio de enfriamiento u objetivo= 30784 kWkW

Resumen de resultadosResumen de resultados

Las curvas compuestas son excelentes herramientas para el aprendLas curvas compuestas son excelentes herramientas para el aprendizaje izaje de mde méétodos y la comprensitodos y la comprensióón de la situacin de la situacióón energn energéética general, pero el tica general, pero el consumo mconsumo míínimo de energnimo de energíía y la recuperacia y la recuperacióón Pinch de calor son n Pinch de calor son obtenidas mobtenidas máás frecuentemente por s frecuentemente por procedimientos numprocedimientos numééricosricos. Este . Este mméétodo es llamado el todo es llamado el Algoritmo de Problema de Tabla (Algoritmo de Problema de Tabla (Problem Problem Table AlgorithmTable Algorithm)). T. Tíípicamente, estpicamente, estáá basado en nociones de Cascada basado en nociones de Cascada de Calor. de Calor.

Q5Q5 Q6Q6



PIECENAMP









PIECENAMP

2.3 Ejemplo resuelto 3: : Control Integrado de Procesos Control Integrado de Procesos

-- AnAnáálisis de Controlabilidadlisis de Controlabilidad


PIECENAMP

2.3 Ejemplo resuelto 3: Diseño y Control Integrado de Procesos –Análisis de Controlabilidad – Recordatorio

Fundamentos

ProcesoProceso

sensorsensor

Variables Variables De entradaDe entrada

Variables de Variables de salidasalida

(controladas y (controladas y medidas)medidas)

Variables de Variables de entradaentrada(manipuladas)(manipuladas)

PerturbacionesPerturbaciones

IncertidumbresIncertidumbres

Interacciones InternasInteracciones Internas

ELASTICIDAD DEL PROCESOELASTICIDAD DEL PROCESO

FLEXIBILIDAD DEL PROCESOFLEXIBILIDAD DEL PROCESO

Secuencia de ControSecuencia de Contro

Figura 25


PIECENAMP

CCCC FCFC

C, FC, F

Agua: F1,C1Agua: F1,C1

Pulpa: F2,C2Pulpa: F2,C2

SALIDASSALIDAS(selecci(seleccióón por Ann por Anáálisis lisis de Controlabilidad)de Controlabilidad)

ENTRADASENTRADAS(variables o (variables o perturbaciones perturbaciones manipuladas)manipuladas)

EFECTOSEFECTOS

Figura 26

2.3 Ejemplo resuelto 3: Diseño y Control Integrado de Procesos –Análisis de Controlabilidad


PIECENAMP

FF1111

FF2121

FF1212

FF2222

uu11

uu2 2

yy11

yy22

++

++

++++

yy11

yy22

CC11

CC22

yy1sp1sp

yy2sp2sp

++

++ __

__

Figura 27



PIECENAMP

FF1111

FF2121

FF1212

FF2222

uu11

uu2 2

yy11

yy22

++++

++++

ΔΔuu11ssss

)y- gain, (OL , 11111

1 uKuy=

ΔΔ

EfectoEfectoPrincipal:Principal:

Figura 28



PIECENAMP

Experimento 2Experimento 2: Paso de cambio en u1 con todas las secuencias : Paso de cambio en u1 con todas las secuencias cerradascerradas

F11

F21

F12

F22

u1

u2

y1

y2

+

+

++C2

e2y2sp

+ _

Δu1 ss

1r1111 yΔ+= OLCL KKEfecto Total:Efecto Total:Efecto InteractivoEfecto Interactivo

Efecto PrincipalEfecto PrincipalFigura 29



PIECENAMP

=CLK 11OLK 11 1ryΔ+

Efecto Principal (1Efecto Principal (1erer Experimento)Experimento)OLK11=11λ CLK11

Efecto total (2Efecto total (2do do Experimento)Experimento)

Ganancia Relativa y Arreglo de Ganancia Ganancia Relativa y Arreglo de Ganancia Relativa (Relativa (Relative Gain ArrayRelative Gain Array,, RGARGA))

λλ1111 : medida de la : medida de la extensiextensióón de la n de la

interacciinteraccióón en estado n en estado estableestable al usar ual usar u11 para para

controlar ycontrolar y11, , mientrasmientras se se usa uusa u22 para controlar ypara controlar y22

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=Λ

2221

1211

λλλλ

11λGanancia RelativaGanancia Relativayy11 uu11

CL

OL

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=

j

i

j

i

ij

uy

uy

λijλArreglo de GananciaArreglo de Ganancia

RelativaRelativayyii uujj



PIECENAMP

SelecciSeleccióón de secuencias usandon de secuencias usando RGARGA –– Como seleccionar la Como seleccionar la configuraciconfiguracióón con mn con míínima interaccinima interaccióón n

yyii : Variable Controlada: Variable Controladauujj : Variable Manipulada: Variable Manipulada


1=ijλ

0=ijλ

10 << ijλ

1>ijλ

0<ijλ

ImplicaciImplicacióónn RecomendaciRecomendacióónnSecuencia Secuencia ii no sujeta a la accino sujeta a la accióón n interactiva de otras curvasinteractiva de otras curvas ji uy − :Emparejar

uujj no tiene influencia directa en no tiene influencia directa en yyii ji uy − :emparejar No

-- Las secuencias estLas secuencias estáán interactuandon interactuando-- debajo de 0.5, efecto interactivo > efecto debajo de 0.5, efecto interactivo > efecto principalprincipal ji uy − :Evitar

-- Las secuencias estLas secuencias estáán interactuandon interactuando-- el efecto interactivo actel efecto interactivo actúúan en oposician en oposicióón al n al efecto principalefecto principal ji uy − : altos aEvitar ijλ

-- Las secuencias estLas secuencias estáán interactuandon interactuando-- el efecto interactivo no solo actel efecto interactivo no solo actúúa en oposicia en oposicióón n al efecto principal, sino que tambial efecto principal, sino que tambiéén es mn es máás s dominantedominante

Tabla 8

ji uy − :emparejar No


PIECENAMP

NiederlinskiNiederlinski (NI) (NI) : : ííndice de estabilidad del sistemandice de estabilidad del sistemaNNúúmero de Condicimero de Condicióón (n (Condition NumberCondition Number,, CNCN)) y y NNúúmero de Condicimero de Condicióón de Perturbacin de Perturbacióón (n (Disturbance Disturbance Condition NumberCondition Number, DCN) , DCN) : medici: medicióón de la sensibilidadn de la sensibilidadGanancia Relativa de PerturbaciGanancia Relativa de Perturbacióón (n (Relative Relative Disturbance GainDisturbance Gain,, RDGRDG)) : : ííndice que da una idea de ndice que da una idea de la influencia de las interacciones internas en el efecto la influencia de las interacciones internas en el efecto de las perturbaciones de las perturbaciones Otros: Valor singular de DescomposiciOtros: Valor singular de Descomposicióón n (Singular(SingularValue DecompositionValue Decomposition,, SVDSVD))

Otros Otros ÍÍndices de Controlabilidadndices de Controlabilidad



PIECENAMP


S

S

32 31

24

23

22

21

20

1 6

1 5

1 4

1 31 2

1 1

1 0 6

5

C U V P A T EC U V P A T E 1

4

3

2

1

2.94705 %

2264.4 lt /m in

13924 lt /m in1.00382 %

6261

0 lt/

min

1.92

733

%

13287.5 lt /m in2.79214 %

1195

8.7

lt/m

in

2.96551 %

1114

4.5

lt/m

in

3.51

707

%

595.592 lt /m in

3.02375 %

48686 lt /m in2.19041 % 2.03148 %

4749

4 lt/

min

1.81

%

3.78

427

%

5961

.63

lt/m

in 0.4

%15

786

lt/m

in

3157.18 lt /m in

12628.8 lt /m in

814.

218

lt/m

in

249.

355

lt/m

in

11814.6 lt /m in11565.2 lt /m in

495.

588

lt/m

in

1106

9.6

lt/m

in47

69.6

lt/m

in

100 lt /m in

10299.6 lt /m in2.99513 %

6300 lt /m in

4000 lt /m in

Base C ase: TMP Newsprint MillSteady State Sim ulation

401.885 l /min18 %

W et web

Fresh water

F resh Pulp (7 %)

Broke (18 %)

W WTank

Machine Chest

Mix ingChest

BrokeTank

PulpTank

F5F5

F8F8

F7F7

F2F2

F6F6

F3F3

F4F4

F1F1

Figura 30

En este caso de estudio, se le pide a un ingeniero de control deEn este caso de estudio, se le pide a un ingeniero de control de proceso crear proceso crear un modelo del proceso de termomecun modelo del proceso de termomecáánico de fabricacinico de fabricacióón de pulpa para n de pulpa para encontrar la mejor selecciencontrar la mejor seleccióón de control de proceso y emparejamiento de n de control de proceso y emparejamiento de variables para una planta que no ha sido construida avariables para una planta que no ha sido construida aúún. Considere la n. Considere la configuraciconfiguracióón simplificada de una mn simplificada de una mááquina de papel periquina de papel perióódico mostrada en la dico mostrada en la figura 30.figura 30. Las tLas téécnicas de emparejamiento de variables y los cnicas de emparejamiento de variables y los ííndices de ndices de controlabilidad sercontrolabilidad seráán aplicados. n aplicados.



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Tabla 9

controladocontrolado

manipuladomanipulado perturbacionesperturbaciones

INPUTSName ID stream Flow(lt/min) Cons. (%) Temp (°C) Fines (%) TDS (ppm) Flow(TN/d)Fresh Pulp 1 4000.0 7.0 67.0 20.7 6049 5791.3Broke 3 100.0 18.0 54.0 29.0 4063 151.3Fresh water 63 2264.4 0.0 55.0 0.0 0 3214.1

OUTPUTSName ID stream Flow(lt/min) Cons. (%) Temp (°C) Fines (%) TDS (ppm) Flow(TN/d)Wet Web 62 401.9 18.00 61.5 30.06 4063 605.8Dilution 1 32 6300.0 0.40 61.5 98.80 3270 8937.2Dilution 2 6 495.6 0.40 61.5 98.80 3270 703.0Dilution 3 22 249.4 0.40 61.5 98.80 3270 353.7Dilution 4 16 814.2 0.40 61.5 98.80 3270 1155.1Dilution of Rejects Screen 41 4769.6 0.40 61.5 98.80 3270 6766.2Ww drained from forming zone 61 15786.0 0.40 61.5 98.80 3270 22394.1Ww Short Loop 40 3157.2 0.40 61.5 98.80 3270 4478.8Pulp to Headbox 34 13924.0 1.00 62.6 61.06 3826 19786.0Pulp to Screen 25 62610.0 1.93 62.6 10.07 3826 89243.4Diluted Broke entering Mixing Chest 30 595.6 3.52 60.3 35.53 3389 854.4Diluted Pulp entering Mixing Chest 33 10299.6 3.00 63.6 27.03 4317 14728.5Pulp leaving Mixing Chest 12 10895.2 3.02 63.4 27.57 4267 15582.9Pulp leaving Machine Chest 24 12473.3 2.95 63.4 27.85 4237 17835.7Rejects (Screening system) 52 5961.6 3.78 62.5 18.24 3776 8551.0Accepts (Hydrocyclone) 36 47493.9 1.81 62.5 1.61 3776 67672.6Pulp entering Machine Chest 23 11144.5 2.97 63.4 27.78 4244 15936.6Pulp entering Cuvier de pâte 43 13287.5 2.79 63.3 28.47 4176 18990.7Ww Long Loop 15 12628.8 0.40 61.5 98.80 3270 17915.2Ww Short Loop after accepts 46 50651.1 1.72 62.4 3.01 3744 72151.4Broke Ratio, % 5.5Retention, % 54.9

Stock Chest

Pfin = % Fines retained




PIECENAMP

S

S

32 31

24

23

22

21

20

1 6

1 5

1 4

1 31 2

1 1

1 0 6

5


4

3

2

1

2.94705 %

2264.4 lt /m in

13924 lt /m in1.00382 %

6261

0 lt/

min

1.92

733

%

13287.5 lt /m in2.79214 %

1195

8.7

lt/m

in

2.96551 %11

144.

5 lt/

min

3.51

707

%

595.592 lt /m in

3.02375 %

48686 lt /m in2.19041 % 2.03148 %

4749

4 lt/

min

1.81

%

3.78

427

%

5961

.63

lt/m

in 0.4

%15

786

lt/m

in

3157.18 lt /m in

12628.8 lt /m in

814.

218

lt/m

in

249.

355

lt/m

in

11814.6 lt /m in11565.2 lt /m in

495.

588

lt/m

in

1106

9.6

lt/m

in47

69.6

lt/m

in

100 lt /m in

10299.6 lt /m in2.99513 %

6300 lt /m in

4000 lt /m in

Base Case: TMP N ewsprint MillSteady State Sim ulat ion

401.885 l /min18 %

W et web

Fresh water

F resh Pulp (7 %)

Broke (18 %)

W WTank

Machine C hest

Mix ingC hest

BrokeTank

PulpTank

BR

Ret

Pfin

CC

FinesFines


ManipuladoManipulado

ControladoControlado

Figura 31



PIECENAMP

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

tCBRCCCC

Re34

43

23

30

33

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−

020.4265.0608.0068.0042.0077.0114.0025.0004.0049.0001.0001.0001.0002.0

000.0000.0340.3000.0000.0775.0065.0030.0004.0036.0016.0010.0018.0027.0029.0004.0036.0001.0011.0020.0029.0038.0005.0024.0001.0001.0404.0002.0028.0004.0018.0001.0001.0001.0031.0

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

finPFFFFFF

40

3

16

22

6

32

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 597.4075.0079.0164.0000.0000.0060.0455.0058.0483.0076.0052.0056.0518.0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

1

1

fC

== ++

GGpp GGdd

Matrices de Ganancia del proceso y Controlabilidad en Estado EstMatrices de Ganancia del proceso y Controlabilidad en Estado Estable able


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

tCBRCCCC

Re34

43

23

30

33

[ ]finPFFFFFF 4031622632

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−

−−−−−−

−−

603.1615.0000.0001.0000.0001.0010.0608.0566.1006.0005.0001.0003.0039.0000.0000.0003.1000.0000.0013.0010.0

001.0058.0000.0941.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0053.0947.0000.0001.0020.0047.0014.0000.0004.0009.1001.0016.0038.0011.0000.0047.0000.0942.0

RGARGA

ControladoControlado ManipuladoManipulado

ΛΛ ==



PIECENAMP

S

S

32 31

24

23

22

21

20

1 6

1 5

1 4

1 31 2

1 1

1 0 6

5


4

3

2

1

2.94705 %

2264.4 lt /m in

13924 lt /m in1.00382 %

6261

0 lt/

min

1.92

733

%

13287.5 lt /m in2.79214 %

1195

8.7

lt/m

in

2.96551 %11

144.

5 lt/

min

3.51

707

%

595.592 lt /m in

3.02375 %

48686 lt /m in2.19041 % 2.03148 %

4749

4 lt/

min

1.81

%

3.78

427

%

5961

.63

lt/m

in 0.4

%15

786

lt/m

in

3157.18 lt /m in

12628.8 lt /m in

814.

218

lt/m

in

249.

355

lt/m

in

11814.6 lt /m in11565.2 lt /m in

495.

588

lt/m

in

1106

9.6

lt/m

in47

69.6

lt/m

in

100 lt /m in

10299.6 lt /m in2.99513 %

6300 lt /m in

4000 lt /m in

Base Case: TMP N ewsprint MillSteady State Sim ulat ion

401.885 l /min18 %

W et web

Fresh water

F resh Pulp (7 %)

Broke (18 %)

W WTank

Machine C hest

Mix ingC hest

BrokeTank

PulpTank

BR

Ret

Pfin

Figura 32



PIECENAMP

ÍÍndicendice NiederlinskiNiederlinski ((Niederlinski IndexNiederlinski Index, NI) , NI) Consideraciones de Consideraciones de estabilidadestabilidad

NI < 0. El sistema serNI < 0. El sistema seráá inestable bajo condiciones de secuencia inestable bajo condiciones de secuencia cerradacerradaNI > 0. El sistema es estabilizable (funciNI > 0. El sistema es estabilizable (funcióón de parn de paráámetros de metros de controlador)controlador)

NNúúmero de Condicimero de Condicióón (n (Condition numberCondition number,, CNCN)) Sensibilidad al Sensibilidad al modelo de incertidumbremodelo de incertidumbre

CNCN ~<~< 2. No es probable que los efectos de2. No es probable que los efectos de multivariablesmultivariables sean sean seriosseriosCNCN ~>~> 10. El proceso es10. El proceso es ILLILL--CONDITIONATEDCONDITIONATED

CNCN=713=713

NI=0.73NI=0.73

ÍÍndices de Controlabilidad (1)ndices de Controlabilidad (1)



PIECENAMP

NNúúmero de Condicimero de Condicióón de Perturbacin de Perturbacióón (n (Disturbance Condition Disturbance Condition NumberNumber, DCN) , DCN) ¿¿la accila accióón tomada por la variable manipulada es n tomada por la variable manipulada es grande o pequegrande o pequeñña?a?

11≤≤ DCN DCN ≤≤ CNCN

Ganancia Relativa de PerturbaciGanancia Relativa de Perturbacióón (n (Relative Disturbance GainRelative Disturbance Gain,, RDGRDG) ) ¿¿La interacciLa interaccióón interna entre secuencias es favorable o n interna entre secuencias es favorable o

desfavorable para rechazar las perturbaciones?desfavorable para rechazar las perturbaciones?RDGRDG ~<2 .~<2 . Las interacciones internas reducen el efecto de la Las interacciones internas reducen el efecto de la perturbaciperturbacióón n

El efecto de ambas perturbaciones, %C y %FINES en PULPA El efecto de ambas perturbaciones, %C y %FINES en PULPA FRESCA, es reducido por interacciones internas. FRESCA, es reducido por interacciones internas. Todos losTodos los

RDGRDG’’ss son ~<2son ~<2

ÍÍndices de Controlabilidad (2)ndices de Controlabilidad (2)

DCN por %CDCN por %Cpulpa frescapulpa fresca = 9.2= 9.2DCN por %finesDCN por %finespulpa frescapulpa fresca = 4.6= 4.6

Es mEs máás difs difíícil rechazar un cambio repentino en la consistencia cil rechazar un cambio repentino en la consistencia de la pulpa fresca de la pulpa fresca



PIECENAMP

ConclusiConclusióónn

ConfiguraciConfiguracióón de la estructura de control: los n de la estructura de control: los resultados deresultados de RGARGA confirmaron la implementaciconfirmaron la implementacióón n actual en plantas de papel periactual en plantas de papel perióódico dico

Las interacciones internas de la configuraciLas interacciones internas de la configuracióón n mencionada anteriormente reducen el efecto de las mencionada anteriormente reducen el efecto de las perturbaciones en variables de salidaperturbaciones en variables de salida

El proceso es "El proceso es "illill--conditionedconditioned". El modelo de ". El modelo de incertidumbre puede ser amplificado en gran medidaincertidumbre puede ser amplificado en gran medida

ÍÍndices de Elasticidad , DCN yndices de Elasticidad , DCN y RDGRDG, pueden ser , pueden ser usados para explicar el rechazo de la perturbaciusados para explicar el rechazo de la perturbacióón en n en procesos de fabricaciprocesos de fabricacióón de papel perin de papel perióódico dico



PIECENAMP

Este es el fin del Tier II. Hasta este punto, asumimos que has realizado toda la lectura. Ahora debes tener una buena idea de lo que es la Integración de Procesos, así como los conocimientos básicos con respecto al Análisis Multivariable, el Análisis Pinch Térmico y el Análisis de Controlabilidad. Para información adicional sobre las herramientas presentadas en el Tier II así como otras herramientas de Integración de Procesos presentadas en el Tier I, por favor consulte las diapositivas de referencias en los Tiers I y II.

Antes de avanzar al Tier Antes de avanzar al Tier IIIIII, haremos un peque, haremos un pequeñño quiz de opcio quiz de opcióón mn múúltiple. ltiple.

Fin del Tier II


PIECENAMP

QUIZ


PIECENAMP

Pregunta 1Pregunta 1¿¿Para que se usa el AnPara que se usa el Anáálisis de Componente Principal? lisis de Componente Principal?

1.1. Entender las relaciones entre las variables de un sistemaEntender las relaciones entre las variables de un sistema

2.2. Identificar los componentes que tienen influencia en una o variaIdentificar los componentes que tienen influencia en una o varias s salidassalidas

3.3. Predecir ciertas salidasPredecir ciertas salidas

4.4. Maximizar laMaximizar la covarianzacovarianza de un grupo de variablesde un grupo de variables

2 y 32 y 3

1,2 y 31,2 y 3

11

1 y 21 y 2

1 y 31 y 3

33

Tier II - Quiz


PIECENAMP

Asocia cada resultado del AnAsocia cada resultado del Anáálisis Multivariable con el tipo de informacilisis Multivariable con el tipo de informacióón n que que ééste provee al usuario.ste provee al usuario.

1. Gr1. Grááfica de residuosfica de residuos A. Muestra todos los puntos de los datos A. Muestra todos los puntos de los datos . originales en uoriginales en un nuevo grupo de n nuevo grupo de ,, coordinados o ccoordinados o componentesomponentes

2. Gr2. Grááfica de resultadosfica de resultados B. Muestra la distancia entre cada B. Muestra la distancia entre cada observaciobservacióón real en el grupo inicial de n real en el grupo inicial de datos y el valor predicho basado en el datos y el valor predicho basado en el

. modelomodelo

3. Observado vs. Predicho3. Observado vs. Predicho C. Muestra la precisiC. Muestra la precisióón de la prediccin de la prediccióónn

4. Gr4. Grááfica de entradasfica de entradas D. Muestra que tan fuertemente se asocia D. Muestra que tan fuertemente se asocia .. cada variable ccada variable con cada nuevo componenteon cada nuevo componente

11BB, 2, 2AA, 3, 3CC, 4, 4DD

11BB, 2, 2DD, 3, 3CC, 4, 4AA

11CC, 2, 2DD, 3, 3AA, 4, 4BB

11AA, 2, 2DD, 3, 3BB, 4, 4CC

11DD, 2, 2BB, 3, 3AA, 4, 4CC

11BB, 2, 2CC, 3, 3DD, 4, 4AA

Tier II - QuizPregunta 2Pregunta 2


PIECENAMP

La longitud y orientaciLa longitud y orientacióón de los ejes obtenida con PCA estn de los ejes obtenida con PCA estáá dada por los dada por los eigen valores y eigen vectores de la matriz de correlacieigen valores y eigen vectores de la matriz de correlacióón. Digamos que las n. Digamos que las variables de longitud y ancho tienen un coeficiente de correlacivariables de longitud y ancho tienen un coeficiente de correlacióón menor al n menor al dado en el ejemplo de la diapositiva 13 y que obtenemos los eigedado en el ejemplo de la diapositiva 13 y que obtenemos los eigen valores n valores mostrados en la figura de abajo. Si descartamos el segundo eje, mostrados en la figura de abajo. Si descartamos el segundo eje, ¿¿que que porcentaje de informaciporcentaje de informacióón original perdern original perderííamos? amos?

12,5%12,5%

0%0%

25%25%

37,5%37,5%

75%75%

62,5%62,5%

Tier II - Quiz

Pregunta 3Pregunta 3


PIECENAMP

En el contexto de AnEn el contexto de Anáálisis Pinch Tlisis Pinch Téérmico, rmico, ¿¿ququéé es una corriente caliente? es una corriente caliente?

1. Una corriente de proceso que necesita ser calentada1. Una corriente de proceso que necesita ser calentada

2. Una corriente de proceso a temperatura muy alta2. Una corriente de proceso a temperatura muy alta

3. Una corriente de proceso que es usada para generar vapor3. Una corriente de proceso que es usada para generar vapor

4. Una corriente de proceso que necesita ser enfriada4. Una corriente de proceso que necesita ser enfriada

11

22

33

44

Tier II - Quiz



PIECENAMP

MMáás altoss altos

MMáás bajoss bajos

PermanecerPermaneceríían igualan igual

Un AnUn Anáálisis Pinch Tlisis Pinch Téérmico ha sido realizado en una planta y elrmico ha sido realizado en una planta y el ΔΔTTminmin se fijse fijóóa 40a 40ººC. Si otra planta fuera construida con unC. Si otra planta fuera construida con un ΔΔTTminmin menor, menor, ¿¿ccóómo sermo seríían an los costos de energlos costos de energíía correspondientes en comparacia correspondientes en comparacióón a la primera n a la primera planta? planta?

Tier II - Quiz



PIECENAMP

¿¿CuCuááles de los siguientes enunciados son verdaderos?les de los siguientes enunciados son verdaderos?

1.1. El consumo mEl consumo míínimo de energnimo de energíía y el Pinch de recuperacia y el Pinch de recuperacióón de calor son n de calor son mmáás frecuentemente obtenidos por Curvas Compuestass frecuentemente obtenidos por Curvas Compuestas

2.2. Las curvas compuestas, asLas curvas compuestas, asíí como las corrientes individuales, pueden como las corrientes individuales, pueden ser desplazadas horizontalmente en el diagrama Tser desplazadas horizontalmente en el diagrama T--H sin causar H sin causar cambios al proceso cambios al proceso

3.3. Algunas veces el calor puede ser transferido a travAlgunas veces el calor puede ser transferido a travéés del Pinchs del Pinch

4.4. Con la ayuda de Con la ayuda de ΔΔTminTmin y los datos ty los datos téérmicos, el Anrmicos, el Anáálisis Pinch provee lisis Pinch provee un objetivo para el consumo mun objetivo para el consumo míínimo de energnimo de energíía a

2 y 32 y 3

TodosTodos

1 y 31 y 3

1 y 21 y 2

2 y 42 y 4

3 y 43 y 4

Tier II - Quiz



PIECENAMP

Asocia cada herramienta de controlabilidad o Asocia cada herramienta de controlabilidad o ííndice con el tipo de ndice con el tipo de informaciinformacióón que n que ééste provee al usuario. ste provee al usuario.

1. 1. ÍÍndicendice NiederlinskiNiederlinski A.A. Muestra la importancia de las Muestra la importancia de las , interacciones einteracciones en un sistema n un sistema

2. Ganancia Relativa de 2. Ganancia Relativa de B.B. EstimEstima la sensibilidad de la respuesta a la sensibilidad de la respuesta . del problema a error en la entdel problema a error en la entrada rada

3. N3. Núúmero de Condicimero de Condicióón n C. Incluye perturbaciones en el anC. Incluye perturbaciones en el anáálisis de lisis de , interaccionesinteracciones

4. Arreglo de Ganancia Relativa4. Arreglo de Ganancia Relativa D. D. Discute la estabilidad de una configuDiscute la estabilidad de una configu--, raciracióón de control de secuencia cerrada n de control de secuencia cerrada

11BB, 2, 2AA, 3, 3CC, 4, 4DD

11DD, 2, 2CC, 3, 3BB, 4, 4AA

11CC, 2, 2DD, 3, 3AA, 4, 4BB

11AA, 2, 2DD, 3, 3BB, 4, 4CC

11DD, 2, 2BB, 3, 3AA, 4, 4CC

11BB, 2, 2CC, 3, 3DD, 4, 4AA

Tier II - Quiz



PIECENAMP

1 y 51 y 5

4 y 64 y 6

3 y 63 y 6

2 y 62 y 6

4 y 54 y 5

2 y 52 y 5

En el Arreglo de Ganancia Relativa mostrado en la diapositiva 54En el Arreglo de Ganancia Relativa mostrado en la diapositiva 54, , ¿¿que te que te dicen los valores 1.566 y 1.603 para el emparejamiento de F40 y dicen los valores 1.566 y 1.603 para el emparejamiento de F40 y C34, yC34, yPfinPfin yy RetRet??

1. No hay interacci1. No hay interaccióón con otras secuencias de controln con otras secuencias de control

2. El efecto interactivo es m2. El efecto interactivo es máás importante que el efecto principals importante que el efecto principal

3. La entrada manipulada no tiene efecto en la salida3. La entrada manipulada no tiene efecto en la salida

4. Las interacciones de otras secuencias son opuestas en direcci4. Las interacciones de otras secuencias son opuestas en direccióón pero n pero mmáás peques pequeññas en magnitud que el efecto de la secuencia principal as en magnitud que el efecto de la secuencia principal

5. Se recomienda el emparejamiento5. Se recomienda el emparejamiento

6. No se recomienda el emparejamiento6. No se recomienda el emparejamiento

Tier II - Quiz



PIECENAMP

¿¿CuCuááles de los siguientes enunciados son falsos?les de los siguientes enunciados son falsos?

1.1. El control El control feedforwardfeedforward compensa las perturbaciones no mediblescompensa las perturbaciones no medibles

2.2. El control de retroalimentaciEl control de retroalimentacióón (n (feedbackfeedback) compensa las ) compensa las perturbaciones medibles perturbaciones medibles

3.3. La elasticidad es el grado al que un sistema de procesamiento puLa elasticidad es el grado al que un sistema de procesamiento puede ede cumplir sus objetivos de disecumplir sus objetivos de diseñño a pesar de las incertidumbres en sus o a pesar de las incertidumbres en sus parparáámetros de disemetros de diseñño o

4.4. La Flexibilidad es el grado al que un sistema de procesamiento pLa Flexibilidad es el grado al que un sistema de procesamiento puede uede cumplir sus objetivos de disecumplir sus objetivos de diseñño a pesar de las perturbaciones externas o a pesar de las perturbaciones externas

2 y 32 y 3

TodosTodos

1 y 31 y 3

1 y 21 y 2

2 y 42 y 4

3 y 43 y 4

Tier II - Quiz



PIECENAMP

RespuestasRespuestasPregunta 1Pregunta 1 1 y 21 y 2

Pregunta 2Pregunta 2 11BB, 2, 2AA, 3, 3CC, 4, 4DD

Pregunta 3Pregunta 3 37,5%37,5%

Pregunta 4Pregunta 4 44

Pregunta 5Pregunta 5 MMáás bajoss bajos

Pregunta 6Pregunta 6 2 y 42 y 4

Pregunta 7Pregunta 7 11DD, 2, 2CC, 3, 3BB, 4, 4AA

Pregunta 8Pregunta 8 4 y 54 y 5

Pregunta 9Pregunta 9 TodosTodos

Tier II - Quiz

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Introducción a la Integración de Procesos Tier II€¦ · Esta presentación contiene links internos a otras diapositivas y links ... varianza, normalidad, ... eigen valores y eigen