Introduccion a La a Aplicada Profesor Jacobo

8/14/2019 Introduccion a La a Aplicada Profesor Jacobo

1/52

ESTADISTICA BASICA

I. INTRODUCCION A LA ESTADISTICA.

DEF: ESTADISTICA.Se refiere a un conjunto de mtodos para manejar la organizacinobtencin y descripcin de observaciones numricas.

OBJETIVO:Describir al conjunto de datos obtenidos y tomar decisiones o realizargeneralizaciones a cerca de las caractersticas de todas las posiblesobservaciones bajo consideracin:

La estadstica se divide en

Descriptiva: Organiza, presenta, obtiene y describeInformacin numrica.

ESTADISTICA Inferencial: Hace generalizaciones o prediccionesen base, base a informacin parcial o incompleta

obtenida mediante tcnicas descriptivas.

DEFINICION:ESTADISTICA INFERENCIAL.- Es un mtodo mediante el cual se obtienegeneralizaciones o se toman decisiones en base a una informacin parcial incompleta obtenida mediante mtodos descriptivos, (Tcnicas descriptivas).

ESTADISTICA DESCRIPTIVA.- Se refiere aquella parte del estudio que incluyela obtencin, organizacin, presentacin y descripcin de informacinnumrica.

Dos conceptos importantes dentro de la estadstica poblacin:

DEF: Se define como la totalidad de todas las posibles mediciones y

observaciones bajo consideraciones en una situacin dada de un problema.Variables:DEF: Denotadas por X, Y, ZSe llaman as pues durante todo un proceso pueden tomar valores diferentes.

CONSTANTE:DEF: Se llama as pues durante todo un proceso, no cambia.

VARIABLES DISCRETAS:Son aquellas variables que solo toma valores enteros positivos (las

enumeraciones o conteos dan origen a datos discretos ejemplo).


2/52

1.- El nacimiento de un nio2.- En una familia el nmero de hijos3.- Numero de acciones vendidas cada da en un mercado de valores4.- Censos anuales del colegio de profesores5.- Nmeros de libros en un estante de librera

6.- Suma S de puntos obtenidos en lanzamientos de un par de dados7.- Numero de billetes n de veinte dlares circulando ala vez en estadosunidos8.- Valor total de acciones vendidas cada da en el mercado de valores.9.-Estudiantes matriculados en una universidad en un nmero de aos10.- Numero n de individuos de una familia11.- Numero P de ptalos de una flor12.- Numero de de accidentes durante una semana13.- Numero de terremotos14.- Numero de juegos perdidos por inasistencia15.- Cantidad de cosechas perdidas

VARIABLES CONTINUA:DEF:Es aquella que puede tomar cualquier valor entre dos valores dados.

Ms aun:DEF: Es aquella que puede tomar valores reales (medidas dan origen a datoscontinuos).

Ejemplos:

1.- La altura H de los alumnos de la Lic. en comercio y FIN, INT2.- El peso H de los alumnos3.- Temperatura registrada cada media hora en un observatorio4.- Periodo de duracin de los tubos de televisin producidos por unacompaa.5.- Longitud de 1000 cerrojos productos en una fabrica6.- Pulgadas de precipitacin en una ciudad durante varios meses del ao7.- Velocidad de un automvil en millas por hora8.- Tiempo T de vuelo de un proyectil9.- Numero G de litros de agua en una maquina de lavar.

10.-Dimetro D de una esfera o circunstancia11.- Duracin de unas bateras12.- Alturas H de los pinos13.- Pesos de las cajas de naranjas14.- Duracin de una conversacin telefnica15.- Tiempo para resolver un examen

FinitasPoblaciones

Infinitas


3/52

Poblaciones finitas.- Es aquella que incluye un numero limitado de medidas yobservaciones.

EJEMPLOS:

1.- La poblacin consistente en todos los cerrojos producidos por una fabricaen un da determinado.Poblaciones infinitas.- Es cuando incluye un gran conjunto de medidas uobservaciones que no pueden alcanzarse por conteo.

EJEMPLO:1.- La poblacin formada por los nacimientos de seres humanos en el pasadoy en el futuro.

2.- La poblacin formada por todos los posibles sucesos en tiradas sucesivas

de una moneda.

PARAMETROS.- Son las caractersticas medibles de una poblacin sonvalores representativos obtenidos de la poblacin.Ejemplo: Promedio

Las calificaciones promedio de los alumnos de ing. Civil. Es una caractersticamedible.

Valores verdaderos: Son los valores de los parmetros de la poblacin.

MUESTRA: una muestra es un objeto de medidas u observaciones tomadas apartir de una poblacin dada.Es decir:Una muestra es un subobjeto de una poblacin.Observacin. Las muestras se toman debido a que no es factible desde elpunto de vista econmico recolectar todas las observaciones posibles de lapoblacin (aunque en algunos casos sea posible).

PROPORCION EN LA POBLACION: Es un parmetro y se desconoce es laproporcin de todas las partes producidas en el proceso que sean defectuosas.

Se estima mediante una proporcin en la muestra. Lo cual es la proporcin departes defectuosas contenidas en la muestra.

La proporcin de una poblacin se calcula dividiendo el numero de medicionesdefectuosas en la muestra entre el tamao de la muestra.

ESTADISTICO.- Es una caracterstica medible de una muestra es decir unestadstico es para una muestra lo que parmetro para una poblacin.

Ejemplo:


4/52

Si un lote de 200 partes producidas en cierto proceso, la persona encargadadel control de calidad encontr 30 partes defectuosas.Luego:

La proporcin de la muestra es 15.030

30=

Observacin: Con la estadstica inferencial.

Hace generalizaciones, predicciones e inferencias a partida de procedimientosobtenidos. Proporciona una serie de procedimientos para la seleccinadecuada de una muestra. Recopila los datos y formula prediccionesdebidamente fundamentadas, en las que partiendo de los datos obtenidos enuna muestra, hacemos estimaciones validas para la poblacin a la quepertenece la muestra.

RESUMEN DE ESTADISTICA -Obtencin-Organizacin

Descriptiva Datos mustrales - -Presentacin-Inscripcin

ESTADISTICA -Promedios

-Proporciones, etc.ESTADISTICOSMUESTRALES

Parmetros de la

PoblacinEstimacin de (promediosInferencia proporcin)A cerca de

Inferencial


5/52

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA

DEF: Mtodo estadstico para estudiar el comportamiento de un conjunto de

datos consiste en arreglar los datos ordenndolos en intervalos de clase eindicando el nmero de datos comprendidos en cada clase:RANGODEF: Dado un ejemplo de datos definimos el rango como la diferencia entre elmayor de los daos y el menor de todos los datos ejemplo:6, 8, 7, 6,5Rango= 8-5= 3

INTERVALO DE CLASE:DEF: Es el espacio comprendido entre 2 limites ( superior e inferior) estamagnitud es obtenida como.

Magnitud del intervalo=ervaloden

rango

int.

Los intervalos tienen por lo general el mismo ancho el ancho debe ser numeroimpar.

N. de intervalo de clase5 15

Estos varan de 5 a 20, segn autores se pueden calcular esa n. aproximadocomo:K= N donde N= N, de observaciones

N< 100

Aunque la mayora de veces el calculo es emprico n. de intervalo = 1+ 3.322 Lign

n. # total de datos.

Los intervalos de ancho numero impar

Los intervalos de clase se eligen tambin de forma que las marcas de clasecoincidan con datos realmente obsrvalo, esto tiende a aminorar el llamadoERROR DE AGRUPAMIENTO.

ObservacionesRecomendaciones para el nmero de intervalos a usar:La ecuacin auxiliar es:


6/52

N= Z donde : es nmero de intervalo recomendado numero total dedatos.Por ejemplo:Si n= 50

K= 6 6426

=

:. 64= 12827 =

Luego con 7 intervalos es recomendado

La tabla muestra el numero de intervalos para un # especifico deobservaciones.

# Total de observaciones II.- recomendado de clase

10

9

8

7

6

5

4

Observacin:

Dado que ancho intervalo: ideclases

rango=

#

Condicin:1.- si i no es entero conviene redondear al entero superior luego se tendra:Nueve rango= (# clases) (intervalo).

Observacin: si i es exactamente un entero no utilizar i-1 para la formacin delos intervalos.

FORMACION DE LOS INTERVALOS1.- Forme los intervalos de clase agregado li al lmite inferior de cada claseiniciando por el lmite inferior del rango.

El lmite inferior de la siguiente clase ser el valor con secativo al mximo de laclase anterior y as sucesivamente.

1024513

512257

256124

12865

6433

3217

169


7/52

LIMITE REALES.

Los intervalos de clase son mutuamente excluyentes se obtiene como el puntoentre el limite. Superior de una clase y el limite inferior de la clase siguiente.

FRECUENCIA DE CLASE:

Se define como el nmero de datos que caen dentro de casa intervalo clase.

MARCA DE CLASE

Marca de clase=2

supliminflim erioriteeriorite +

Reglas general para formar distribuciones de frecuencia

1.- Halle el rangoRango= min mas

2.- Seleccione el nmero de intervalos de modo que.

Ancho intervalo =declases

rango

#

Si no es entero conviene redondear al entero superior Obliga a un ajuste del rango

Nuevo rango= (ancho Inter.) ( # de intervalos)

Luego se tendra una nueva reasignacin para min,mas3.- Forme los intervalos de clase.4.- fije los lmites reales de clases.5.- Determine la frecuencia de clase.

Nota: Si i es exactamente un entero no se usara i-1 para la formacin de losintervalos.1.- es decir el primer intervalo ser i+ minmin

2.- 2do intervalo ser.( ) ( ) ii +++++ 1min11min

Ejemplo.

Considere una muestra aleatoria de los ingresos ganados, en cierto sbado porlos estudiantes de los UPCH. Que trabajan si la muestra es de 20 alumnos seobtienen salarios en pesos, que ganan el sbado anterior, tenemos.

30 11 42 8 30 18 25 35 17 3029 21 23 25 15 35 26 13 21 36


8/52

1. ordenados8 13 17 21 23 25 26 30 30 36

11 15 18 21 25 25 29 30 35 42

Hallar la distribucin de frecuenciaSolucin:

1.- 42=mas 8min =

2.- 34842 ==rango

3.- 857.47

34==i redondeado 5=i

clases

rangoi

#=

4.- luegoNuevo rango= ( ) 3575 =

8min = 43max = 4151 ==i

5.- Formacin de intervalo

Intervalo declase Frecuencia declase Intervalo declase conlimites reales

Frecuencia Marca declase

8 - 12 2 7.5 - 12.5 2 1013 -17 3 12.5 - 17.5 3 1518 -22 3 17.5 -22.5 3 2023 -27 5 22.5 -27.5 5 2528 -32 4 27.5 -32.5 4 3033 -37 2 32.5 -37.5 2 3538 -42 1 37.5 -42.5 1 40

DISTRIBUICIONES DISCRETAS

DISTRIBUCION BINOMINALOBSERVACIONES:

Frecuentemente un experto consiste en ensayos repetidos, cada uno condos posibles resultados que pueden llamarse xito y fracaso.La prueba de artculos a medida que salen de una lnea de produccindonde cada prueba o experimento puede indicar si uno de ellos esta o nodefectuoso.


9/52

Si los intentos o ensayos repetidos son independientes y la probabilidad dexito permanece contaste para cada uno de ellos. Este proceso se conocecomo proceso de Bernoulli. Cada intento se conoce como experimento deBernoulli.

DEFINICION BINOMINAL

Es una distribucin discreta de probabilidad aplicable como modelo adiversas soluciones de toma de decisiones. Siempre y cuando puedasuponerse que el proceso de muestreo se ajusta a un proceso de Bernoulli.Un proceso de Bernoulli (es un proceso de muestreo) debe tener lassiguientes propiedades.1.- El experimento consiste en n intentos repetidos

2.- Solo son posibles dos resultados mutuamente excluyentes en cadaensayo u observacin. Estos resultados se les denominan xito y fracaso

3.-Los resultados del conjunto del conjunto de ensayos u observacionesconstituyen eventos independientes.

4.- La probabilidad de xito, que se denota por (mediante) P, permanececonstante de un ensayo a otro.

Puede utilizarse la distribucin binominal para determinar la probabilidad deobtener un nmero determinado de xito en un proceso de Bernoulli.

DEFINICION:

Si P es la probabilidad de ocurrencia en un solo espacio muestral (llamadaprobabilidad de xito).

pq = 1 Es la probabilidad de que el suceso no ocurra en un solo espaciomuestral (llamado o probabilidad de fracaso) (fallo)

La probabilidad de que el suceso se presenta exactamente X veces en

n espacio muestral (ensayo).

Es decirX xitos y n-x fallos viene dada por la

Formula:

( ) CXnxp = px

qxn=

( )!!

!

xnx

n

p

x

qxn


10/52

( ) ( ) ( )pnxbxxpxf qpCnX

Xn

,;2====

Donde la va X de nota el numero de xito en n pruebas yX= 0,1,2.. n

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION BINOMINAL

MEDIA npM =varianza npq=

2

Desviacin tpica npq=

EJEMPLO:La puntuacin final en matemticas de 89 estudiantes en esta universidad seregistra en la tabla adjunta:

68 84 75 82 68 90 62 88 76 9373 79 88 73 60 93 71 59 85 7581 65 75 87 74 62 95 78 63 7266 78 82 75 94 77 69 74 68 6096 78 89 61 75 95 60 79 83 7179 62 67 97 78 85 76 65 71 75

65 80 73 57 88 78 62 76 53 7486 67 73 81 72 63 76 75 85 77

ORDENANDO EN FORMA ASCENDENTE

53 62 65 71 73 75 77 79 85 9057 62 66 71 74 75 78 80 85 9359 62 67 71 74 75 78 81 86 9360 62 67 72 74 76 78 82 87 9460 63 68 72 75 76 78 82 88 9560 63 68 73 75 76 78 83 88 95

61 65 68 73 75 76 79 84 88 9661 65 69 73 75 77 79 85 84 97

Hallar la distribucin de frecuencia usando 9 intervalos de clasesSolucin:Recuerde que:

980 ==k Numero de intervalos apropiados que se deben usar

Construyendo la distribucin de frecuencia.1.- 97=xmas

53min =x

445397 ==rango


11/52

2.- Longitud del intervalo (ancho)

ervalode

rangoanchoi

int#==

5884.49

44

===i

Luego # nuevo rango = 45Se excede en una unidad con respecto al anterior rango

Modificando los x max y x min 53min =x 98max =x

3.- Formando los intervalos con sus respectivas clasesObs. 41 =i

Luego

INTERVALOS FRECUENCIA53 -57 258 -62 1063 -67 868 -72 973 -77 2078 -82 12

83 -87 785 -92 593 -97 7

4.- Formando los intervalos de clase con sus lmites reales y marca de clase

INTERVALOS FRECUENCIA MARCA DE CLASE52.5 -57.5 2 5557.5 -62.5 10 6062.5 -67.5 8 6567.5 -72.5 9 70

72.5 -77.5 20 7577.5 -82.5 12 8082.5 -87.5 7 8587.5 -92.5 5 9092.5 -97.5 7 95


12/52

FRECUENCIA RELATIVA

Intervalos declases

Marca de clase Frecuencia FR

52.5 -57.5 55 2 ( ) %5.2%100802 =xi

57.5 -62.5 60 10 ( ) %5.12%10080/10 =x62.5 -67.5 65 8 ( ) %10%10080/8 =x67.5 -72.5 70 9 ( ) %25.11%10080/9 =x72.5 -77.5 75 20 ( ) %25%10080/20 =x77.5 -82.5 80 12 ( ) %15%10080/12 =x82.5 -87.5 85 7 ( ) %75.8%10080/7 =x87.5 -92.5 90 5 ( ) %75.8%10080/7 =x92.5 -92.5 95 7 ( ) %75.8%10080/7 =x

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

52.5 62.5 67.5 72.5 77.5 82.5 87.5 92.5 97.5 102.5


13/52

RELACIN ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODA.

Las curvas de frecuencia presentan determinadas caractersticas que ladistinguen una de otras, las ms usuales son:

a) LAS CURVAS DE FRECUENCIA SIMETRICAS O BIEN FORMADASSe caracterizan por el hecho de que las observaciones tienen un equilibrio ensus frecuencias que van subiendo al respecto a sus frecuencias hasta llegar auna mxima y despus descienden las frecuencias.

Observaciones: la media, la mediana y la moda coinciden

medianoa,mod,b) Las curvas asimtricas sesgadas.

Se caracterizan de dos formas:

i) Si la cola es mayor se presenta a la derecha, de la curva se dice queesa sesgado a la derecha a que tiene sesgo positivo y su relacin

es:

Moda Mediana


14/52

anediantemod Observaciones: Para cuervas de frecuencia unimodales que senamoderadamente sesgadas (asimtricas) se refiere la relacin emprica

Media- moda = 3 (media- mediana)

Relaciones empricas entre las medidas de dispersin

DEF:Para distribucin moderadamente asimtricas se tiene las formulas empricas.

a) Desviacin media=5

4( desviaciones tpica)

b) Rango semiintercuartilico= 3

2

(Desviacin tpica)Estas son consecuencias del hecho de que para distribuciones normales se

tiene que las desviaciones media y el rango semiintercuartilico son,respectivamente, iguales a 0.7979 y 0.6745 veces la desviacin tpica.

COEFICIENTE DE ASIMETRIA DE PEARSONDEF: Mide la desviacin de la simetra, expresada la diferencia entre lamedia y la mediana con respecto a la desviacin estndar del grupo demediciones la formula es:Ejemplo:

Asimetra= (smedianaxasimetria = 3

Ejemplo:

a) Asimetra=( )

13.028.242

89.29385.29493=

Sesgada a la derecha:De los ejemplos anteriores

8, 11, 13, 15, 17,18,21,21,23,25,25,26, 29, 30, 30, 30, 35, 36, 42

Mediana= 25


15/52

24=

54.8=s

Luego

Asimetra= ( ) 35.054.8

25243 =

Sesgada ala izquierda

Obs. Si = Mediana entonces los datos son simtricos.

USO DE LA DESVIACION TIPICA

La desviacin tpica e un conjunto de observaciones se emplean para medirlas variaciones con respecto a la media de los valores de las observaciones.

Mientras mas pequea sea la desviacin tpica es ms probable. Obtenerun valor cercano a la media, mientras mayor sea la desviacin tpica, esmas probable encontrar u obtener un valor a cercano a la media, mientrasmayor sea la desviacin, es mas probable encontrar u obtener un valoralejado de la media.

Todo esto se resume de la sig. Forma:

TEOREMA DE TCHEBYCHEFT O CHEBYSHEV

La proporcin de cualquier conjunto de observaciones que caen dentro de desviaciones tpicas, medidas a partir medidas a partir de la media es almenos.

2

11

, esto es que estn en s y sx.

Donde es cualquier numero mayor 1Ejemplo

25x xx 5 255 ++ xx 25x 25+

Del ejemplo:


16/52

Al menos que porcentaje de observaciones caer dentro de 3 desviacionestpicas a partir de la medio Soluciones:

Sol.

88.0

9

8

9

19

9

11

3

11

2

==

== 88%

75.04

3

4

11

2

11

2=== 75%

9375.016

15

16

11

4

11

2=== 93%

El teorema indica que:

Para 2=

4

3

2

11

2

=

Al menos4

3de las observaciones caen dentro de dos observaciones estndar

de la media.

Es decir 43 cuartos o ms de las observaciones cae en el intervalo 25+

Similarmente.

Al menos

9

8de las observaciones de cualquier distribucin caen en el intervalo

35+

Ejemplo:A lo mas Que porcentaje de un digito de observaciones caer? a) mas all dedos observaciones tpicas medidas a partir de la media.

b) Mas all de 3 desviaciones tpicas

a)

3/4

35

35

+

25 25+


17/52

Luego 1- proporcin dentro del intervalo

1-

22

11 = %25

4

1

4

31 =

c) 1- proporcin dentro del intervalo

1191

981

3111

2==

%

REGLA DE LA NORMAL

Def. Para uno distribucin de frecuencia simtrica, en forma de campana.

a) aproximadamente el 68% 68.27% de los datos caern en el intervalo

formando a una desviacin tpica a partir de la media (i, e. el valor de la

desviacin tpica a ambos lados de la media) comprendidos entre s y

5+

65%

5 5+c) Aproximadamente el 95% o 95.45% estn comprendido entre 25 y

25+ (z` doble del valor de las desviaciones tpica ambos lados de lamedia) en el intervalo medida a dos desviaciones tpicas a partir de lamedia

95%

25 25+


18/52

d) El 99.73% casi el valor% de los datos caer dentro 35 y 35+ (esdecir el triple del valor de la desviacin tpica a ambos lados de la media)

99.73%

35 35+

COEFICIENTE DE VARIACIONIndica la magnitud relativa de la desviacin estndar con respecto a la mediade la distribucin.

El coeficiente de variacin es til cuando se desea:

Comparar la variabilidad de 2 conjuntos de datos con respecto al nivelgeneral, de los valores de cada conjunto.

Se empleo para comparar la variabilidad entre dos grupos de datosreferidos o distintos sistemas de unidades de medida. Por ejemplokilogramos y centmetros.

Comparar la variabilidad entre dos grupos obtenidos por dos o mspersonas.

Comparar dos grupos de datos que tienen distinta media. Determinar si cierta es consistente con cierta varianza.

La formula a usar es:

c.v=

s

si c.v 0 % implica que la media es buena como valor centralc.v 100% implica que la media es mala como valor central

Ejemplo:Un fabricante de tubos de televisin tiene dos tipos de tubos A Y B lostubos tienen unas duraciones medias respectivas de.

=A 1,495hrs SA= 290 hrs.=B 1,875 hrs. SB= 310 hrs.

Qu tubo tiene mayor a)Dispersin absolutab) Variacin o dispersin relativa?

SOL. a) Dupersion absoluta deA: SA= 280h B: SB= 310h


19/52

El tipo B tienen la dispersin absoluta mayor

B) Coeficiente de variacin.

A: CV=X

S= 187.0

1495

280= 18.7%

B: CV= 165.01875

310==

S 16.5%

Luego:Es el tipo A que tiene mayor variacin o dispersin relativa.

Obs. Si CV < 0.5 entonces es confiable

Es adecuado su representacin como medida de tendenciacentral. Si CV > 0.5 Entonces no es confiable.

REGLAS O TECNICAS DE CONTEOObs. Nos sirve para determinar sin enumerar directa el nmero de resultados

posibles de un experimento particular o el nmero de elementos de un conjuntoparticular.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEODEF. Si un experimento puede resultar de 1n maneras distintas ycorrespondientes a cada una de estas, un segundo experimento puede resultar,de 2n maneras distintas y si despus efectuados. El tercer experimento puede

realizarse de 3n maneras distintas, y as sucesivamente.El experimento combinado puede resultar de:

..... 43.1 nnnn FORMAS

Ejemplo

1.- Cuntos puntos mustrales hay un punto o muestral cuando se lanzan unpar de dados uno ala vez?

SOL. El 1er dado puede caer en cualquiera de 61 =n formasEl 2do dado puede caer en cualquiera de 62 =n formas

El par de dados puede caer en366.6. 21 ==nn Formas


20/52

Si se lanza una moneda 4 veces entonces el numero de puntos mustrales es:2

1=n 23 =n

22 =n 24 =n

formasnnnn 162.2.2.2...4321 ==

3.- Una persona de sexo femenino tiene 10 blusas, 5 faldas y 12 pares dezapatos.

Cuantas maneras distintas se puede vestir?SOL. 101 =n 52 =n 123 =n

Luego:

( ) ( )( ) 60012510.. 321 ==nnn Formas de vestir

4.- pendienteSupngase que una placa de un automvil consta de dos letras distintasseguida de 3 dgitos de los cuales de los cuales el primero no cero.

Cunto placas diferentes pueden grabarse?

5.- cuantos menos que consisten de sopa, emparedado, postre y un refrescoexisten, si se pueden seleccionar entre 4 sopas diferentes, 3 clases deemparedados, 5 postre y 4 refrescos.

Luego:4

1=n 32 =n 53 =n 44 =n

( ) ( ) ( )( ) == 4534... 4321 nnnn 240 tipos de menos

6.- En un estudio medico, los pacientes se clasifican en 8 formas diferentes deacuerdo con su tipo de sangre ;,. 1 TT AABAB ++ OuOBBA ,,,,, y su presinsangunea (baja, normal o alta).Encuentre el nmero de formas posible para clasificar a un paciente.

81 =n Tipos de sangre32 =n Presin

24)3)(8(, 21 ==nn Formas de clasificacin.

Los estudiantes de un colegio privado de humanidades se clasifican comoestudiantes de primer ao, de segundo de penltimo o de ltimo, tambin deacuerdo con su sexo: hombre o mujeres. Entre en nmero total declasificaciones posibles para los estudiantes de este colegio.

Sol.

41 =n22 =n


21/52

Luego

21nn = 4*2= 8 clasificaciones posibles

2.- Un determinado zapato se fabrica en 5 estilos diferentes y en 4 coloresdistintos para cada uno. Si la zapatera desea mostrar a su clientela pares de

zapatos en todos los estilos y colores Cuntos pares diferentes deberncolocar e el aparador?Sol.

51=n Estilos

42 =n ColoresLuego

=21nn 5*4= 20

3.- Un contrato de construccin ofrece casas con cinco distintos tipos dedistribucin, tres tipos de techo y dos tipos de alfombrado De cuantas formas

diferentes puede un comprador elegir una casa? Muestre el nmero total deselecciones empleando un diagrama de rbol.

51=n 32 =n 23 =n

30,, 321 =nnn Formas diferentes de elegir una casa sea D: distribucinT: Techos

A1 A: AlfombradosA2

T1 A1D1 T2 A2

T3 A1A2

A1

A2T1 A1

D2 T2 A2T3

A1A2

A1

A2T1 A1

D3 T2 A2T3

A1A2


22/52

A1

A2

T1 A1D4 T2 A2T3

A1A2

A1

A2T1 A1

D5 T2 A2T3

A1A2

4.- Puede comprarse un medicamento para la cura del asma ya sea liquido entabletas o en capsulas, a 5 diferentes fabricantes y todas la presentaciones enconcentracin regular o alta en cuantas formas diferentes puede un medicorecetar la medicina a un paciente que sufre de este padecimiento.

Sol.31 =n52 =n23 =n

Luego por el principio fundamental de conteo30)2)(5)(3(,, 321 ==nnn Formas diferentes de recetar la medicina

5.- En un estudio de economa de combustibles, se prueban 3 carros decarreras con 5 diferentes marcas de gasolina, en 7 sitios de pruebas endistintas regiones del pas si se utiliza 2 pilotos en el estudio y las pruebas serealizaron una vez bajo cada conjunto de condiciones Cuntas senecesitaran?

Sol.31 =n

52 =n


23/52

73 =n24 =n

Luego( ) ( ) ( )( ) 2102753,,,

4321 ==nnnn

Se necesitan

6.- En cuantas formas diferentes puede contestarse 9 preguntas de cierto ofalso?Sol. 512Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9

21 =n 22 =n 23 =n 24 =n 25 =n 26 =n 27 =n 28 =n 29 =n

Por el principio fundamental del conteo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5122222222222,,,,,,,, 9987654321 ===nnnnnnnnn Formas diferentesde contestar 9 preguntas

7.- Si una prueba de seleccin mltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4posibles respuestas de los cuales sola (una es la respuestas) y es correcta.

a) En cuantas formas diferentes puede un estudiante escoger unarespuesta para cada pregunta?

b) En cuantas formas puede un estudiante escoger una alternativa paracada pregunta y tener todas las respuestas incorrectas?

Sol.a) 1024b) 243

a) 41 =n 42 =n 43 =n 44 =n 45 =n Por el principio fundamental de conteo

( ) ( )44,,,, 54321 =nnnnn ( ) ( ) ( ) 1024444 = Formas diferentes de escoger una

respuesta.

b) 31 =n 32 =n 33 =n 34 =n 35 =n

Suponiendo que para cada pregunta estas tres son las incorrectas luego por elprincipio fundamental de conteo.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 24333333,,,, 54321 ==nnnnn Formas de escoger una pregunta y tenertodas las respuestas incorrectas.

Un estudiante de primer ao debe tomar un curso de ciencia uno dehumanidades y otro de matemticas. Si se puede escoger entre cualquiera 4cursos de ciencia, 4 de humanidades y 4 de matemticas, en cuantas formas,

puede acomodar su horario?Sol.

VF VFVF VF VF VF VF VF VF


24/52

61=n 42 =n 43 =n

964,, 321 =nnn Formas de acomodar su horario

DIAGRAMA DE ARBOL

Es un dibujo que se usa para enumerar todos los resultados posibles de unaserie de experimento. Donde cada experimento puede suceder en un nmerofinito de manera:Ejemplo:Dado A= }{ 2,1 B= }{ cba ,, C= }{ 4,3

Hallar los puntos mustrales usando el diagrama del rbol

3 1 a 3A 4 3 1 a 4

B 1 b 34 1 b 4

1 c 3 1 c 3 4 1 c 4

3 2 a3A 4 3 2 a 4

B 2 b 34 2 b 4

2 c 3 2 c 3 4 2 c 4

Por la regla del conteo ser2

1=n 32 =n 23 =n

( ) ( ) ( ) 12222,, 321 ==nnn Puntos mustrales.

EjemplosSe va a formar un comit de 3 miembros compuestos por un representante delos trabajadores uno de la administracin y uno del gobierno.Si hay 3 candidatos de los trabajadoresSi hay 2 de la administracin y 4 del gobiernoDeterminar cuantos comits diferentes puedan conformarse empleando

a) El principio fundamental de conteob) Un diagrama de rbol


25/52

Sol.a) 31 =n Candidatos de los trabajadores. 22 =n Candidatos de los admn. 4

3

=n Candidatos del gobierno ( ) ( ) ( ) 24423,, 321 ==nnn Comits.

b) sea 3,2,1 TTT Trabajadores2,1 AA Admn.

4,3,2,1 GGGG Gobierno

Luego

G1G2G3

A1 G4T1

A2 G1G2G3

G4

G1 24 puntosG2 muestralesG3

A1 G4T2

A2 G1G2G3

G4

G1G2G3

A1 G4T3

A2 G1G2G3

G4

T1 A1 G1T1 A 1 G2T1 A1 G3

T1 A1 G4T1 A2 G1T1 A2 G2T1 A2 G3T1 A2 G4

T2 A1 G1T2 A1 G2T2 A1 G3T2 A1 G4T2 A2 G1T2 A2 G2T2 A2 G3T2 A2 G4

T3 A1 G1T3 A1 G2T3 A1 G3T3 A1 G4T3 A2 G1T3 A2 G2

T3 A2 G3T3 A2 G4


26/52

NOTACION FACTORALDEF: Dado un numero N entero positivo definimos el factorial de n denotadopor n! comon! = ( )1nn ( )2n ( )3n 3. 2. 1

Ejemplo:61.2.3!3 =

141.2.3.4!4 ==1201.2.3.4.5!5 ==

CONVIENE DEFINIR: 0!=1

PERMUTACIONESDEF.Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetivos.

DEF. Una permutacin de n objetos distintos tomados de en r es una eleccinordenada I de entre n

El nmero de permutaciones de n objetos tomados de r en r vienen dado por:

( )!

!Pr

rn

nn

=

Observacin1: Se toma en cuenta el orden, sin reemplazo.

DEF: Supongamos que tenemos M objetos que se van a seleccionar de nobjetivos con orden y sin reemplazo

1er elto lo podemos seleccionar M objetos2do elto lo podemos seleccionar M-1 objetos3er elto lo podemos seleccionar M.2 objetosAMO elto lo podemos seleccionar M-(n-1) objetos.

Por el principio fundamental de conteo o los n objetos se pueden seleccionar

de:( )( )21 MMM . . . . . . ( )( )1 nM . Maneras.1.- El nmero de permutaciones de las letras tomadas de dos a la vez es

!1

!3

23=p = 6 Ests son:

2.- De un grupo de 40 alumnos se van a seleccionar 5 para ocupar

Obs. El numero de permutaciones de objetos tomado de nala vez. !nnPn =

Ab ba ac ca bc cb


27/52

1.- La presidencia2.- Otro para ocupar la tesorera de una planilla3.- Otro la secretaria de la planilla4.- Otro para ocupar E cargo de difusin de la planilla

5.- Otro para ocupar el cargo de relaciones publicas.

Sol.

( )( )( )( )( ) 789609603637383940!5

!40540 ===p

1er 2do 3er 4to 5to

3.- Se sacan dos boletos de la lotera, entre 20 posibles, para el segundo y 1erpremio encuentre el numero de puntos mustrales en el espacio.Sol.

( )( ) 3301120!18

!20210 ===P

1ro 2do

Un testigo de un accidente de transito en el que el causante huy, le indica alpolica que el numero de matricula del automvil tenia las letras RLH seguidaspor tres dgitos, el primero de los cuales era un cinco. Si el testigo no puederecordar los otros dgitos pero esta seguro de que los tres eran diferentes,encuentre el nmero mximo de registro de automvil que debe verificar elpolica.Sol.

El nmero de registro es 9x8= 72

Como los tres nmeros son diferentes se trata de permutacionesY

( )7289

!7

!9

!29

!924 ==== xp

En cuantas formas pueden llenar las 5 posiciones iniciales de un equipo debaloncesto (con 8 jugadores que pueden ocupar cualquiera de ellas?

Sol.

Como importa el orden se trata de permutaciones.

40 39 38 37 36

20 19


28/52

( )672045678

!3

!8

!38

!8

58===

= xxxxp

Encuentre el nmero de formas en las cuales pueden asignarse 6 profesores alas 4 secciones de un curso introducciones de sicologa, si ninguno cubre msde una seccin.Sol.Como importa el orden se trata de una permutacinEntonces.

( )360

!2

!6

!46

!6

46==

=p

4.- Supngase que una placa de un automvil consta de 2 letras seguidas de 3dgitos de los cuales el 1ro no es cero.Luego:

6.- De cuentas maneras pueden 10 personas sentarse en una banca si solohay 4 puestos disponibles.Sol.

( )( )( )( )( ) 504078910

!6!10

!4!10

10

410 ====p

PERMUTACIONES = CON REPETICIONES

Def:

El numero de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son iguales n2 soniguales .. nr son iguales es:

!!...2!1!nrnn

n Donde n= n1+n2+..+nr

Ejemplo.

1.- El nmero de permutaciones de las letras en la palabra estadstica es:

!1!2!1!2!2!2!1

!1Puesto que hay

26 25 10 10

10 9 8 7

1 e2 s2 t2 a

1 d2 i1 c


29/52

2.- El nmero de permutaciones diferentes de las 11 letras de la palabraMississipi que consiste de 1M, 4I, 4s 2p es:

34650!2!4!4!1

!1 =

COMBINACIONESDef.Una combinacin de n objetos diferentes tomados de r en r es una seleccin der los n objetos. Sin importar el orden y sin reemplazote los r escogidos.Es denotado por

rcCo

r

n

Ejemplo:1.- El numero de combinaciones de las letras A,B,C tomados de dos en dos es.

3!1!2

!3

23==C 3 Estas combinaciones son

ab ac bc

Observe que ab es la misma combinacin que ba.2.- De cuantas formas pueden elegirse una comisin de 5 personas de entre 9personas?

Luego: 126!4!5

!959 ==C

3.- De cuantas formas pueden 10 objetos dividirse en dos grupos de 4 y 6objetos respectivamente.Sol.Esto es lo mismo que el numero de ordenaciones de 10 objetos de los cuales 4

objetos son iguales y los otros 6 tambin son iguales.Esto es:

210!6!4

!10=

Ejemplo:De cuantas formas se pueden seleccionar 6 preguntas de un total de 10

Sol: Como no hay orden se trata de combinacionesLuego:n=10r=6


30/52

2107.5.101.2.3.4

7.8.9.10

!4!6

!10610 ====C

2.- Cuantos comits diferentes de 3 hombres y 4 mujeres pueden formarse con8 hombres y 6 mujeres.

Sol. La forma en que se pueden elegir 4 mujeres de un total de 6 n2 =

152

5.6

!2!4

!646 ===C

POR EL PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEOEL NUMERO DE COMIT ES:

( ) ( ) 84015562,1 ==nn3.- De cuantas formas puede un grupo de 10 personas dividirse en a) dosgrupos de 7 y 3 personas b) tres grupos de 4, 3 y 2 personas.

a) 120!3!7

!10= b) 600,12

!7!3!4

!10=

Ejercicio

1.- Cuatro matrimonios compraron 8 lugares por concierto en cuantas formasdiferentes pueden sentarse.a) sin restriccionesb) si se sienta por parejac) si todos los hombres se sientan juntas a la derecha de todas las mujeres.

a)8!= 40320b) 4! 2! 2! 2! 2! = 384c) 4! 4!= 576

2.- a) De cuantas maneras pueden formarse 6 personas para subir a unautobs?b) si 3 de ellas insisten en seguirse una una ala otra en cuantas formas esesto posible?c) 2 personas se rehsan a seguirse una ala otra en cuantas formas es esto

posible?Sol.a) 6! =720b) 3! 4!=144c) 6!5! 2!=480


31/52

SUGERENCIA PARA DIAGNOSTICAR DE APLICACIN DE REGLA DECONTEO

1.- Una de las tres reglas: de conteo de esta seccin puede ser aplicable a unproblema de probabilidad si los puntos mustrales son identificables por unnmero fijo de caractersticas.

2.- La regla m.n puede ser aplicable si las caractersticas referidas en 1 setoman una sola de cada un solo digito si fuesen tomadas de un solo digitoLa regla que puede ser aplicables son las de permutacin y combinacin.

3.- La regla de combinaciones puede ser aplicable si las caractersticas setoman de un solo digito y el reordenamiento de las caractersticas no produce

otro punto muestral.

4.- La regla de permutaciones puede ser aplicable si las caractersticas setoman de un digito y cada reordenamiento de ellas corresponde a un nuevopunto muestral.

Ejemplo:De un total de 5 matemticos y 7 fsicos se forma un comit de 2 matemticosy 3 fsicos, de cuantas formas pueden formarseSi:

a) Puede pertenecer a el cualquier matemtico, fsicob) Un fsico determinado debe pertenecer al comitc) Dos matemticos determinados no pueden estar en el comit

Sol.a) 2 matemticos de un total de 5 pueden elegirse de 25C formas

3 fsicos de un total 7 pueden elegirse de 37C formas

# Total de selecciones posibles= 35035.10. 3725 ==CC

b) 2 matemticos de un total de 5 pueden elegirse de 23C formas2 fsicos de un total de de 6 pueden elegirse de 26C formas

# Total de selecciones posibles= 15015.10. 2625 ==CC


32/52

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Una de las caractersticas ms sobresalientes de la distribucin de datos es su tendenciaa acumularse hacia el centro de la misma. Esta caracterstica se denomina TendenciaCentral.

Las medidas de tendencia central ms usuales son:a) Media aritmtica (X), el valor medio.

b) Mediana, el valor central.

c) Moda, el valor mas frecuente.

MEDIA ARITMTICALa media aritmtica de n valores, es igual a la suma de todos ellos dividida entre n.

Tenemos:Si se cuenta con una distribucin de datos entonces se aplica la frmula:X= f X

N

MEDIANA

La mediana es el punto central de una serie de datos agrupados, la mediana viene dadapor:Mediana: Li + (N/2-fi)

Fm

Ejemplo: hallar la mediana en los siguientes datos: 25, 30, 28, 26, 32

Solucin: se ordenan en forma creciente o decreciente y se toma el valor central.25, 26, 28, 30, 32Mediana= 28

MODA

Es aquel valor de mayor frecuencia, la moda puede ser no nica e inclusive puede noexistir. Para distribuciones de frecuencia la moda viene por:

Moda= Li+ ( 1) c1+2

Ejemplo: hallar la moda de los siguientes datos:16, 18 15, 20, 16

Solucin: Moda= 16

MEDIDAS DE DISPERSIN


33/52

Se llama dispersin de un conjunto de datos al grado en que los diferentes valoresnumricos de los datos tienden a extenderse alrededor del valor medio utilizado.

Este grado de dispersin se mide por medio de los indicadores estadsticos llamadosmedidas de dispersin, entre ellas tenemos el rango, la varianza, y la desviacin tpica.

Es importante conocer si los valores en general estn cerca o alejados de estos valorescentrales, es por lo que surge la necesidad de estudiar medidas de dispersin.

RANGO: es la primera medida, se define como la diferencia existente entre el valormayor y el menor de la distribucin, lo notaremos como R. realmente no es una medidamuy significativa en la mayora de los casos, pero indudablemente es muy fcil decalcular.

Hemos estudiado varias medidas de centralizacin, por lo que podemos hablar dedesviacin con respecto a cualquiera de ellas, la mas utilizada es con respecto a lamedia.

DESVIACION: es la diferencia que se observa entre el valor de la variable y la mediaaritmtica. La denotaremos por d.

No es una medida, son muchas, pues cada valor de la variable lleva asociada sucorrespondiente desviacin, por lo que precisaremos una medida que resuma dichainformacin.

La primera solucin puede ser calcular la media de todas las desviaciones, es decir, siconsideramos como muestra la de todas las desviaciones y calculamos su media. Peroesta solucin es mala pues como veremos siempre va hacer 0.

D= dini = (Xi-X) ni = Xini - ni i=1 N i=1 N i=1 N i=1 N

X= X X = 0

Luego por lo tanto esta primera idea no es vlida, pues las desviaciones positivas secontrarrestan con las negativas.

Para resolver este problema tenemos dos caminos:

Tomar el valor absoluto de las desviaciones, desviacin media, elevar al cuadrado lasdesviaciones. Varianza.

VARIANZA: es la media de los cuadrados de las desviaciones, y la denotaremos porSX o tambin por x.

Sx= x= Xini - X o tambin I=1 NSx= x - dini = (Xi X) ni I=1 N i=1 NEsta estadstica tiene el inconveniente de ser poco significativo, pues se mide en elcuadrado de la variable, por ejemplo, si la variable viene dada en cm, la varianza vendren cm.


34/52

MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

La ecuacin a usar es: X = f x

NDonde X: columnas de las arcas de clasesF: columnas de frecuencias

N: # total de datos (sumando la columna de la frecuencia).

Nota: f x: indica que se debe obtener una columna que tenga la forma Fx luegosumarla.Ejemplo: hallar la media de la siguiente informacin:

Clase (f) (X) (f X)2 4 2 3 23=64 6 3 5 35=156 8 5 7 57=35

8 10 2 9 29=1810 12 1

N=1311 111=11

f x=85

X= f x = 85 = 6.53

N 13

Clase (f) (X) (f X)

11.5 14.5 3 13 3914.5 17.5 11 16 176

17.5 20.5 15 19 28520.5 23.5 6 22 13223.5 26.5 4 55 10026.5 29.5 1

N=4028 28

760

X= 760 = 1940


35/52

MODA PARA DATOS AGRUPADOS

La ecuacin a usar es: Mo= L1 + (d1) Cd1+d2

Donde: L1: es el limite real inferior de la clase donde se ubica la moda y la frecuencia dela clase anterior.

d2: es la diferencia de la frecuencia donde se ubica la moda y la frecuencia de la clasesiguiente.

C: es el ancho de la clase donde se ubica la moda.

Nota: la moda se ubica en la clase que tiene mayor frecuencia. Ejemplo:

Mo=L1+ ( d1 )Cd1+d2

La moda se localiza en la clase #3.L1: 6

d1:4-2=2d2:4-3=1C=2

Mo= 6+ ( 2 )22+1

Mo=6+ ( 2 ) 23

Mo=6+ (0.6)2Mo=6+1.2Mo=7.2

Nota: si hay dos modas se llama bimodal, la moda puede no ser nica.

MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

La moda es el dato que se repite con mayor frecuencia. Ejemplo:

2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 8Entonces:

Moda= 3

2 4 4 14 6 6 26 8 8 48 10 10 310 12 12 1


36/52

2, 5, 5, 4, 3, 8, 1Moda= 5

La moda puede no existir.1, 2, 3, 4, 5 Moda= no existe

MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

La ecuacin a usar es: Mo= L1+(n/2- fa) CFc

Donde: L1: es el limite real inferior de la clase donde se ubica la mediana.

C: es el ancho de la clase donde se ubica la mediana.Fc: es la frecuencia de la clase donde se ubica la mediana.a: es la suma de todas las frecuencias que estn por arriba de la clase que contiene lamediana.

Nota: para ver en que clase se ubica la mediana se hara la siguiente operacin: n2

Ejemplo: hallar la mediana de la siguiente informacin:

1-n=10=32 2

-indica que la mediana se ubica en la clase #3.

L1: 5Fc: 4C: 2fa: 3

Me= L1 + (n/2-fa) CFc

Me: 5+ (5-3)2=5(2)2=5+ (0.05)=54 4

Me= 6

MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

DEF: si X , X , X . . .Xn son datos ordenados:

a) Si el numero de datos n es impar, la mediana se ubica en el lugarn+12

b) Si el numero de datos es enteros la mediana se obtiene sumando ydividiendo entre 2, los valores que se ubican en las posiciones n , n+2

2 2Ejemplo: si 3, 4, 5, 6, 7 entonces la Me=5

NUMEROS PARES: 3, 4, 5, 6, 7, 8Me= 5+6

2Me= 5.5

Clase F1 3 13 5 25 7 47 9 2

9 11 1N=10


37/52

MEDIDAS DE DISPERSIN

DEF: indica la separacin de un dato a otro, que tan dispersos estn. Mayor dispersin

Menor dispersin

- Rango

- Desviacin estndarMedidas deDispersin - Desviacin media

- Varianza

- Coeficiente de variacin

DESVIACIN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

DEF: si X , X , . . . Xn son datos no agrupados la ecuacin que se usar para obtener la desviacin media ser: DM= /Xi-X/

NDonde: X: es la mediana para datos no agrupados.

N: # total de datos.Ejemplo: si 3, 4, 5, 6, 8 hallar Dm.

X=3+4+5+6+8 = 5.2SN= 5(5 datos)DM= /Xi-X/

NDM= 7.2

5DM= 1.4

DESVIACIN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

DEF: la ecuacin a usar es: DM= f/X-X/

Xi X /Xi-X/3 5.2 /3-5.2/=2.24 /4-5.2/=1.25 /5-5.2/=0.26 /6-5.2/=0.88 /8-5.2/=2.8

/Xi-X/=7.2


38/52

NDonde: F: columna de las frecuenciasX: columna de las marcas de clase.X: la media para datos agrupados.

N: # total de datos obtenidas sumando las columnas de las frecuencias.

Sugerencia: elaborar la tabla.

Ejemplo: hallar la desviacin media de los siguientes datos:

Clases F X FX X /Xi-X/ F/X-X/2-4 2 3 6 7.5 3-7.5=4.5 24.5=94-6 1 5 5 5-7.5=2.5 12.5=2.56-8 4 7 28 7-7.5=0.5 40.5=2

8-10 3 9 27 9-7.5=1.5 31.5=4.510-12 2 11 22 11-

7.5=3.523.5=7

12-14 1N=13

13 13FX=101

13-7.5=5.5

15.5=5.5F/X-

X/=30.5

EC: X= FXN

X= 10113X= 7.5

DM= 30.513

Dm=2.3

DESVIACIN ESTANDAR PARA DATOS AGRUPADOS

La ecuacin a usar es: S= F(X-X)

NF X FX X (X-X) F(X-X)3 4 12 9.5 (4-9.5)=30.2 330.2=90.64 7 28 (7-9.5)=6.2 46.2=24.88 10 80 (10-9.5)=0.2 80.2=1.63 13 39 (13-9.5)=12.2 312.2=36.62 16 36

FX=191(10-9.5)=42.2 242.2=84.4

FX(X-X)=238

X= FXN

X= 19120


39/52

X= 9.5

S= 23820

S= 11.9

S= 3.4D.E= 3.4

VARIANZA

S= F(X-X)N

S= F(X- X)

N

Desviacin estndar.Ejemplo.S= 9.0=3 desviacin estndar.S=9 varianza.

DESVIACION ESTANDAR

S= (i)

Ejemplo.3, 4, 5, 6

Sustitucin. S=4.8=1.2=1.04

S=1.0

X X (Xi-X )3 4.5 2.24 0.25 0.26 2.2

(Xi-X)=4.8


40/52

VarianzaS2 = S2 = 362

5S =126.4 varianza.

COEFICIENTE DE VARIACION

La ecuacin a usar es la siguiente: C.V= S X100%X

Donde:S: desviacin estandar.X: media.

Ejemplo.

Si X=59 S=11.2Entonces.C.V= S X 100 %

XC.V= 11.2 X 100 %

59C.V= 18.9 %

NOTA:a) si C.V < 50 % la media es aceptable.

b) Si C.V > 50 % la media no es aceptable.(tendrn que optar por otro medio de tendencia central)

MEDIDAS DE LOCALIZACION: CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES.

Las medidas de localizacion dividen la distancia en partes iguales,sirven para clasificar a un individuo o elemento dentro de unadeterminada poblacin o muestra.

Cuartiles.

Medida de localizacion que divide la poblacin o muestra en cuatropartes iguales.

Q = valor de la variable que deja ala izquierda Q = valor de la variable a la izquierda que deja el 50 % de la

distribucin Q = valor de la variable a la izquierda que deja el 75% de

Deciles


41/52

Medidas de localizacion que divide la poblacin muestra en 10 partesiguales.

Percentiles.

Medida de localizacion que divide la poblacin o muestra en 100partes iguales.

Cuarteles (datos agrupados)

Definicin: los cuarteles dividen en 4 partes la coleccin de datos.

25% 25% 25% 25%Q1 Q2 Q3

La ecuacin a usar para los cuarteles seran las siguientes:

Q1= L1+(n/4fa) Cf

Q2= L1+(2n/4fa) Cf

Q3= L1+ (3n/4fa) Cf

Observacin: la mediana debe ser igual a Q2.Ejemplo.

CLASE F2 4 24 6 16 8 58 10 310 12 2

13

a) n/2 = 13/2 = 6.5 Me=6+(6.5 - 3) 2L1 = 6 5

fa= 3 Me=6+(3.5) 2 = 6 + 75 5

fc= 5 Me= 7.4C=2

b) Q1= L1+(n/4 - fa)cfc

n/4 = 13/4 = 3.2Q1 = 6+(3.2 - 3) 2

L1 = 6 5fa= 3 Q1=6+(0.5) 2 = 6 + 0.4


42/52

5 5fc= 5 Q1= 6.08C=2

c) Q2= L1+(2n/4 - fa)cfc

2n/4 =2( 13/4) = 6.5L1 = 6fa= 3fc= 5C=2

Me = Q2Q2 = 7.4

d) Q3= L1+(2n/4 - fa)cfc

Q3 se ubica en la clase # 4L1 = 8fa= 8fc= 3C=2

Q3 = 8 + (9.7 - 8) 2

3Q3 = 8 + ( 1.7 ) 23

Q3 = 8 + 3.43

Q3 = 8 + (9.7 - 8) 23

Q3 = 9.1


43/52

Deciles (datos agrupados)

Los deciles dividen en 10 partes a la coleccin de datos.

10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%10% 10%

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8D9

D1 = L1+(n/10 - fa)cf

D2 = L1+(2n/10 - fa)cf

D3 = L1+(3n/10 - fa)cf

D4 = L1+(4n/10 - fa)cf

D9 = L1+(9n/10 - fa)cf

Percentiles.Dividen a toda la agrupacin entre 100 partes.

P1 = L1+(n/100 - fa)cf

P2 = L1+(2n/100 - fa)cf

P98 = L1+(98n/100 - fa)cf

P99 = L1+(99n/100 - fa)cf

Ejemplo:

CLASE f

7.5 12.5 212.5 17.5 317.5 22.5 322.5 27.5 527.5 32.5 432.5 37.5 237.5 42.5 142.5 47.5 0


44/52

20

Q1 , D3 , D1 , P55 ,P67 , P74

- Q1= L1+(n/4 - fa)c =Fc

Q= 12.5+(5 2) 5=17.5 n 20 = 53 4 4

- D3=Li+(3n/10 fa) C=17.5+(6 5) 5=19.1 3(20)=6F 3 10

- D7=L1+(7n/10fa) C=275+(14 13) 5=28.75F 4

7(20)=1410

- P55=L1+(55n/100fa) C=22.5+(11 8) 5=25.5F 5

55(20)=11100

- P67=L1+(67n/100fa) C=27.5+(13.4 13) 5=28F 4

67(20)=13.4100

- P74=L1+(74n/100-fa)C=27.5+(14.8 13) 5=29.7F 4

74(20)=14.8100

RELACION ENTRE LA MEDIA, MODA Y MEDIANA.

Nota:Las curvas pueden ser:

a) Simetricas (forma de campana)

X=Mo=Me

b) Asimetricas ( sesgada a la derecha)


45/52

Mo Me XEs decir

Si a la derecha es la determinacin su comportamiento sera Mo, Me,X

c) Asimetrica (sesgada a la izquierda)

X Me Mo

Relacin X Me Mo

ASIMETRICA DE PEARSON

Ecuacin a usar As= 3(X Me)S

As. Iindica si la curva esta o no sesgada.

a) As 0 esta sesgada a la derecha.c) As =0 tiene forma de campana.

ejemplo:

Si X=7.5Me=7.7S=2.8

As= 3(X-Me)S

As=3(7.5-7.7)2.8

As=3(-0.2)= -0.62.8 2.8

As= -0.2Como As < la curva esta sesgada a la izquierda.


46/52

X Me Mo X Me MoEventos: son una parte de los espacios muestrales.(partes) subconjuntos

subconjuntos muestra

Notacion de eventos

A, B, CSi =1,2,3,4,5,6Eventos

A. 1, 2, 3B. 4C. 2, 4, 6D. 2, 4

Simples-tienen un solo punto muestral.

Eventos

Compuestos- tienen dos o mas puntos muestrales

OPERACIONES CON EVENTOS

1) interseccion: si A y B son eventos entonces la interseccion denotada como A n Besta formada por todos los elementos comunes en A y B.

Grafico (diagrama de Venn)


47/52

Ejemplo:=1,2,3,4,5,6A=1,2,3B=2,4,6AnB=2

2) Union de eventos

Definicin: si A y B son dos eventos entonces la union denotada como A u B se formaco elementos comunes y no comunes A y B

=12346A=123B=246AuB=123456


48/52

AuB=12346

Complemento de un evento.

Definicin: si A es un evento de un espacio muestral el complemento de A denotadocomo Ac se obtiene como los elementos del espacio que no esten en A.

=1,2,3,4,5,6A=3,4Ac=1,2,5,6

Ac= son los elementos del espacio que no estan en el evento.

DIAGRAMA

a) Permutaciones


49/52

Se usara la ecuacin nPr = n!(nr)!

Donde n! se lee n factorialn!=n(n-1)(n-2)...3.2.1ejemplo: 3!=321=6

4!=4321=245!=5431=20Nota:0!=1

r=2 formar todas las muestras con 2

ELEMENTOS DONDE EL ORDEN ES IMPORTANTE

ab ac bc ba ca cb

COMBINACIONESCr=Cr= n!

r!(nr)!

TECNICAS DE CONTEO

Son aquellas que son usadas para enumerar eventos difciles de cuantificar. Son aquellosprincipios que se usan para contar resultados que no se conocen o que son muyextensos.Se les denomina tecnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagramas dearbol.

COMBINACIONES.

Se definen las combinaciones de un conjunto de n elementos tomados de r en relementos como los ordenamientos sin remplazo de de los n elementos del conjuntotomado de r en r, multiplicados por el inverso multiplicativo de las permutaciones de relementos.

Problema 1.- Cuntas combinaciones de 3 elementos podemos formar con las 6 carasde un dado?

PERMUTACION

Es un reacomodo de objetos o smbolos en secciones diferenciales. A cada ordenacinunica se le llama permutacin. Por ejemplo9, con los numeros del uno al tres, cada


50/52

ordenacin posible de estos, sin repetirse es una permutacin. En total existen 6permutaciones para estos elementos las cuales son:

1,2,3 2,3,2 2,3,1 3,1,2 y 3,2,1

PRINCIPIO BASICO O FUNDAMENTAL DE CONTEO.

El principio basico se puede utilizar para determinar los posibles resultados cuando haydos o mas caracteristicas que pueden variar.

Ejemplo: el helado puede venir en un cono o una tasa y los sabores son chocolate, fresay vainilla.

Chocolate tasa de chocolateCono de chocolate

Fresa tasa de freesaCono de fresa

Vainilla tasa de vainillaCono de vainilla

El diagrama anterior se llama diagrama de arbol y muestra todas las posibilidades.

Para determinar la cantidad total de resultados, multiplica la cantidad de posibilidadesde la primera caracteristica por la cantidad de posibilidades de la segunda caracteristica.En el ejemplo anterior, multiplica 3 por 2 para obtener 6 posibles resultados.

ESPACIO MUESTRAL.

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un evento o muesta. Es el conjunto detodos los resultados posibles de un experimento estadistico y se representa con elsmbolo S.

DISTRIBUCION BINOMIAL.

Es una distribucin de probabilidad discreta, m el numero de exitos en una secuencia den en independientes de Bernovill, con una probabilidad fija o de ocurrencia de xitoentre los ensayos.

Su funcion de masa de probabilidad esta compuesta por:


51/52

b(X;n0)=(Xn)x(1-0)nr

La distribucin binomial es una generalizacin de la distribucin de Bernovill, a la quepuede llegarse nuevamente haciendo n=1

DISTRIBUCION NORMAL

Tambien llamada distribucin de Gauss o distribucin gaussiana, es la distribucin deprobabilidad que con mas frecuencia aparece en estadisticas teoria de probabilidad.Esto se debe a dos razones fundamentales:

Su funcion de densidad es simetrica y con forma de campana, lo que favorece suaplicacin como modelo a gran numero de variables estadisticas. Es ademas, limite deotras distribuciones y aparece relacionadas con multitud de resultados ligados a la teoriade las probabilidades gracias a sus propiedades matematicas.

PROBABILIDAD.

Si A es un evento del entonces la probabilidad del evento A denotada por P (A) seobtieneP(A)= # de elemento de A

# total de electos de Ejemplo:= 1, 2, 3, 4, 5,6A= 1, 3, 5P(A)=3

6P(A)= 1 = 0.5=50%

2

DISTRIBUCION BINOMIAL

Ecuacin P(X=X)=CnX PX QnXDondeP= Probabilidad de xitoQ= Probabilidad de fracaso

Nota: para resolver un problema de distribucin binomial se requiere como datos elvalor de:

A: tamao de muestraP: probabilidad de xito

P(X=3)=4C3(0.3)(0.7)=4(0.027) (0.7)=0.0756

P(X=1)=4C1(0.3(0.7)=4(0.3)(0.343)


52/52

=0.4116

P(X=0)=4C0(0.3)(0.7)=1(1)(0.2401)=0.2401

Documents

Introduccion a La a Aplicada Profesor Jacobo