1

Introducción a la Dinámica

“There are only two

ways to live your life;

One is as though nothing is a miracle.

The other is as if

everything is. I

believe in the latter”

A. Einstein

Temas a discutir en esta claseClase 1

Temario:

1. Revisión –a) Método científico – Radio de la Tierrab) Descripción del movimiento c) Aristóteles – Galileo y Newton

2. Dinámica- 3 Leyes de Newton3. Diagrama de cuarpo libre. Aplicaciones

Forma de la TierraEclipse

2

Erastóstenes (300 ac)� Medición del radio de la tierra

R s

θ

θ=⇒=θ

sR

R

s

R≅≅≅≅ 6,000 6,000 6,000 6,000 km

Circunferencia ≅ 40,000 km (40 horas)

1490 C. Colón supuso que R ≅ 2,000 Km

Supuso que de España – India ≅ 7,000 km (por el oeste)

En realidad:

España – India ≅ 20,000 km (por el oeste)

España – India ≅ 10,000 km (por el este)

Aristóteles

� 350 BC� Padre de la Física, logicay buena parte de la filosiofía y la ciencias clásicas

Galileo 1564-1642

� Método experimental� Padre de la Ciencia moderna� Tuvo que abjurar durante el Papado de Urbano VIII en 1633 por defender la teoría copernicana del sistema solar. http://online.wsj.com/article/SB121987272998177553.html?mod=googlenews_wsj

3

Isaac Newton� Nace 4 de enero de 1642� Publica Principia en 1687, Uno de los libro más influyentes del la historia.

� 3 leyes de la Mecánica � Ley de la Gravitación Universal (Kepler)

� Inventa el calculo (análisis matemático)

Albert Einstein

� Nace: 14 Marzo 1879 en Alemania

� Muestra la limitación de las leyes de Newton a altas velocidades 300,000 km/sec.

� E = mc2

Descripción del Movimiento

� Física aristotélica – Aristóteles (384-322 a.C.)

� Movimientos: Naturales y Violentos� Cuatro elementos

1. Tierra Pesado- Reposo - Descendente - recta2. Agua3. Aire4. Fuego Liviano - Ascendente – recta5. Éter - Movimiento perpetuo – Circular Incorruptible

� Método: “Sentido Común”, Especulación

4

Paradojas y contradicciones

� Como se mueven los proyectiles (flechas)

Paradojas de Zenón de Elea (siglo V a.c.)

�Aquiles y la tortuga – La tortuga siempre gana

�Liebre y la lechuga – nunca llega, pues tarda infinitos tiempos

�Noción de infinitésimas – Newton y Leibnitz - siglo XVII

Derivada y Razón de Cambioy

=== Pendientedx

dyxf )('

=Derivada

Velocidad= Razón de variación de la posición en el tiempo

x0

∆∆∆∆y

∆∆∆∆x

x

�Crecimiento=derivada de la altura

�Crecimiento= derivada del Capital

�Engorde= derivada del peso

=Razón de cambio o Variación

Nueva FísicaGalileo – Newton

Posición – Velocidad - Aceleración

� Movimiento en una dimensión� X=X(t) � si se conoce esta función se conoce el movimiento. Posición

� Rapidez (speed)� Velocidad: (Definición precisa de conceptos )

� Instantánea:

Método Científico moderno- Descripción Cuantitativa basadas en mediciones.

dt

dx

t

xtV

t=

∆

∆=

→∆ 0lim)(

5

Aceleración aaaa

2

2

0lim)(

dt

xd

dt

dv

t

vta

t==

∆

∆=

→∆

Movimiento Uniforme: V=V0= constante

V=V0 � 0Vdt

dx=

Luego: a=0 y 00)( xtVtx +⋅=

Resumen - Gráficos

� Movimiento Uniforme: Velocidad=Cte

Tiempo

v

Tiempo

x

v0=Pendiente

0Vdt

dx=

00)( xtvtx +⋅=

v0

x=v0 . t

�La velocidad es la

pendiente de x(t)

�x es el area de la

curva v(t)

Movimiento Uniformemente Acelerado

a =Constante

0adt

dv=

002

02

1)( xtVtatx +⋅+⋅=

00)( Vtatv +⋅=Luego:

v0

v(t)=v0+a.t

t0

v0+a.t02

02

1)( attvtx +=

6

Movimiento Uniformemente acelerado - Gráficos

� a =Constante

0adt

dv=

002

02

1)( xtVtatx +⋅+⋅=

00)( Vtatv +⋅=

t

x

t

v

t

a

MUA - Gráficos� Movimiento Uniformemente acelerado: Aceleración=Cte

Tiempo

a0

Tiempo

v

a0=Pendiente

Tiempo

x

002

02

1)( xtVtatx +⋅+⋅=

00)( Vtatv +⋅=

x0

V0

Aceleración a – Gráficos 2

2

2

)(dt

xd

dt

dvta ==

dt

dxtv =)(

x

v

0

t

t t

a

x

v

∆v

7

Caída Libre� Ley de isocronismo del péndulo (1581)� Caída libre: La distancia aumenta con el cuadrado de tiempo

ty

ty

∝∆

∆ a alproporcion

tgvt

yty ⋅==

∆

∆⇒∝∆

Fotos tomadas a intervalos iguales

.ctegdt

dv==

2ty ∝

Caída de los cuerposGalileo

�En ausencia de resistencia del aire y en un dado lugar de la Tierra

Todos los cuerpos caen con igual aceleración

2 8.9 m/sga ≈=

�Método experimental

�Razonamiento lógico

�Idealización - Inducción

Galileo (1564-1642) Newton (1642-1727)

Acelera desacelera

v =Constante (aceleración =0)

Inducción – Razonamiento lógico

�En ausencia de fuerzas los cuerpos se mueven con

V=constante. O bien permenecen en reposo (V=0).

8

Diálogos de dos Ciencias Nuevas Galileo

Liviano

VL

VP> Vc >VL

Combinación de ambos

Vc Vc

Vc >VP> VPContradictorio

Solución Lógica

Todos los cuerpos caen desde una dada altura con igual velocidad (si el roce es despreciable)

Pesado

VPVP> VL

Fuerza: Acción ejercida por un cuerpo a otro que cambia su

estado de movimiento – Empujón, jalón, etc. Magnitud vectorial

Fuerza y masa

F1F2

Fneta= F1+F2 (ojo)

Inercia: resistencia de un cuerpo a cambiar su estado de

movimiento.

Masa: medida de la inercia de un cuerpo- (“Cantidad de

materia”)`-Magnitud escalar , o sea, no vectorial

F1

F2

Fneta

F1

F2

Vector

Masa y Peso

�Masa: medida de la inercia o Cantidad de materia – se mide con

una balanza y sus unidad es el kg

�Peso: fuerza de atracción que la Tierra o planeta ejerce sobre el

cuerpo.

�El peso una fuerza - Se mide en Newton (N)- varia de donde

estemos, en la luna pesamos 6 veces menos en Júpiter

�En un dado lugar el peso es proporcional a la masa

�En la Tierra P= m.g con g=9.8 m/s2

9

Principio de Inercia –Primera ley de Newton

Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas, o la suma

vectorial de todas la aplicadas es nula (Fneta=0), el

cuerpo continua en reposo o en movimiento

rectilíneo y uniforme (V =cte).

Dos paradigmas diferentes

El roce es una fuerza másNo identificaba el roce

Aceleración � FuerzaMovimiento� Fuerza

Estado natural: reposo o movimiento uniforme

Estado natural: reposo

Galileo-NewtonAritóteles

Segunda ley de NewtonTeoría unificada

Válida para todos los cuerpos

aF

m

Fa neta

rr

=

( )dt

vdmamFF

i ineta

rrrr

⋅=⋅== ∑Definimos:

P= m.V = Memento lineal o Cantidad de movimiento

dt

pdFneta

rr

=

Tercera ley de NewtonAcción y Reacción

Siempre que un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro,

el segundo ejerce una fuerza igual y opuesta sobre el

primero.

1,22,1 FFrr

−=OJO: acción y reacción están aplicadas a cuerpos

distintos, No al mismo cuerpo.

FseñorFperro

Fseñor= Aplicada al perro

por el señor

Fperro= Aplicada al señor

por el perro

10

Ejemplo de aplicación de Acción y Reacción

� Por qué es difícil caminar en el hielo - Roce

� Como se mueve un automóvil

� Por qué “patea” un rifle

� Cómo se mueve un barco o un helicóptero

� Cómo se mueve un cohete espacial

� Cómo se mueve un carro con caballo

v

FF’

Cañón - Bala

Issac Newton (1642－1727）Galileo Galilei

(1564－1642）Mecánica clásica Galileo y Newton

La Fuerza Normal� Cuando se mantiene la

bolsa arriba de la mesa

se debe realizar una fuerza F, para mantener

la mesa quieta sobre la

mesa.

� Cuando se apoya la

bola en la mesa, es la

mesa la que genera la fuerza F que mantiene

la bolsa en su lugar.

� La Fuerza F,

perpendicular a la mesa

se llama fuerza Normal.

11

FFA ,B = - FFB ,A. Vale para todas las fuerzas

FFw,m FFm,w

FFf,m

FFm,f

Cuando un cuerpo realiza una fuerza sobre otro, este realiza sobre

el primero una fuerza igual y de sentido contrario.

Tercera Ley

Ejemplo

Newton’s 3rd lawThe net external force acting on the

system of interest is Fwall on feet

Cinemática vs. dinámica: Qué causa las aceleraciones? Respuesta: fuerzas.

Fuerza: Empujar o tirar (push or pull)

La Fuerza es un vector –tiene magnitud y dirección

Fuerzas

12

La masa es una medida de la resistencia que presenta un cuerpo para cambiar su estado de movimiento o velocidad.

La masa es una medida de la inercia que tiene un cuerpo.

Masa

Si uno empuja un cuerpo, este se mueve. Si dejamos de empujar se detiene?

Solo si hay roce! En ausencia de fuerzas exteriores (roce) el objeto sigue moviéndose con velocidad constante o permanece en reposo.

Esta es la primera ley de Newton también conocida como Ley de Inercia.

Ley de Inercia

Un sistema inercial es un sistema donde vale la primera ley.

Para cambiar la magnitud o dirección de la velocidad – se requiere de una fuerza neta exterior.

Sistemas inerciales

13

1ra Ley de Newton:En ausencia de fuerzas exteriores, un objeto en reposo, continua en reposo. Un objeto en movimiento, continua en movimiento rectilíneo.

Primera ley de Newton

Dos pesos iguales, ejercen una fuerza igual al doble que el primero. Dos cuerpos iguales, tienen un peso igual al doble de cada uno de ellos.

Medición de fuerzas

Con resortes o balanzas calibradas, podemos hacer experimentos.

La aceleración es proporcional a la fuerza :1 1

F a→

1 12 2F a→

Aceleraciones y Fuerzas

Fa ∝

14

La aceleración es inversamente proporcional a la masa

1M a→

1

122M a→

Masa y Aceleración

Ma

1∝

Combinando estas dos últimas observaciones

O también ,

2da Ley de movimiento de Newton

Unidades: Masa en el SI se mide en kg, la aceleración en SI m/s2. La unidad de fuerza en SI en el newton1 newton = 1 N = 1kg m/s2.

Segunda ley de Newton

m

Fa =amF

rr⋅=

Ejemplos: masa aceleradaEjemplos: masa aceleradaEjemplos: masa aceleradaEjemplos: masa acelerada

un fuerza de 3.0 N produce una aceleración de 2.0 m/s2 sobre un objeto de masa desconocida. ¿Cuál es su masa?

1 2

1

(3.0 N)= 1.5 kg(2.0 m/s )

Fm

a= =

m1

15

Combinando varias FuerzasCombinando varias FuerzasCombinando varias FuerzasCombinando varias Fuerzas

1 2

1

n

net i

i

F F F F=

= + + =∑r r r r

L

Las fuerzas se suman vectorialmente.

(a) (b) (c) (d)

dos fuerzas se aplican sobre un cuerpo. Cual fuerza debe aplicar para anular la acción de estas dos fuerzas y por qué?

Pregunta 11

Newton 2nd Ley:Un objeto esta sometido a dos fuerzas F1 y F2, … por lo tanto tendrá una aceleración:

a = Fnet/m

Donde

Fnet = F1 + F2

La masa m es positiva y la aceleración y la fuerza tiene la misma dirección..

Segunda LeySegunda LeySegunda LeySegunda Ley

16

Tensión

¿Cual es la tensión de la cuerda?A) T<W1

B) T=W1

C) W<T<2W1

D) T=2W1

W2

W1

Pull with

force = W2W1La misma repuesta

Un diagrama de cuerpo libre, muestra cada cuerpo del sistema por si solo con toda la fuerzas que actúan sobre él.

oAísle cada uno de los cuerpos

oElija un sistema de referencia adecuado

oResuelva las fuerzas en sus componentes

oAplique la segunda ley en dad dirección (x e y)

oEscriba las ecuaciones de movimiento (segunda ley)

Diagramas de cuerpo libre

Diagrama de cuerpo libre:

Ejemplo

17

EjemploEjemploEjemploEjemplo: : : : TresTresTresTres fuerzasfuerzasfuerzasfuerzas

Mario, Luis y Carlos empujan un bote de 752 kg , cada uno hace una fuerza de 80.5 N paralelo al muelle y en el mismo sentido.

(a) Cual es la aceleración del bote si todos empujan en el mismos sentido?(b) Cual es la aceleración del bote si Luis cambia de sentido de empuje?

1 3(80.5 N) 241.5 NM L CF F F F= + + = =

280.5 N

M L CF F F F= − − = −

2

1 1/ (241.5 N) / (752 kg) 0.321 N/kg 0.321 m/sa F m= = = =

2

2 2 / ( 80.5 N) / (752 kg) 0.107 m/sa F m= = − = −

Las fuerzas siempre se producen en pares pero actuando en distintos objetos

Si el objeto 1 ejerce una fuerza F sobre eñobjeto 2. Entonces el objeto 2 ejerce una fuerza igual y opuesta sobre el objeto 1.

Estos pares de fuerzas se denominan Acción y Reacción

Tercera ley de Newton

Pares de acción y reacción:

Tercera ley de Newton

18

Fuerzas de contacto:La fuerza ejercida por una caja sobre la otra es distinta según como se aplica la fuerza F, o de que lado se la aplica

Tercera ley de Newton

21 mm

Fa

+=

� Dos masas cualquiera se atraen con una fuerza cuya magnitud es proporcional al producto de las masa e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia entre ellas.

Ley de Newton de la Gravitación

Gr

MmF

2=

M

m

r

FF

Peso y Masa� Peso: depende de donde está el cuerpo

donde: y sobre la superficie de la Tierra:

g= 9.807m/s2 (SI)

Masa:

mgGr

MmFW ===

2

Gr

Mg

2=

g

Wm =

19

(1) Un objeto tiene una masa m=50Kg cual es su peso en la Tierra, en la Luna y el Sol?G = 66.73x10-12 (m3/Kg/s2)

const. gravitacionalDato:

� Masa de la Tiera= 5.976x1024 Kg� Masa de la Luna= 7.35x1022 Kg� Masa del Sol=1.99x1030 Kg� Radio de la Tierra=6.371x106 m� Radio de la Luna: 1.738x10^6 m� Radio de la Sol : 6.96x10^8 m

Peso

Fuerza de Roce� Roce

� Se opone al movimiento� Paralela a las superficies en contacto� Dependen de la fuerza normal

� Fuerza Normal (N)

� Fricción Estática� Fuerza necesaria para iniciar el movimiento

� fs es menor o iguala µs N

� Fricción dinámica

� Fuerza necesaria para continuar el movimiento� Menor o igual a

� fk = µk N

preguntaSuponga en empuja una caja por el piso a una velocidad constante.

Decide dar vuelta la caja de modo que la superficie en contacto con

el piso es ahora la mitad de la original. Si en la nueva posición aplica

la misma fuerza, la velocidad de la caja será:

a) cuatro veces mayor

b) el doble

c) igual que antes

d) la mitad

e) un cuarto de la original

La fuerza de fricción NO depende de las áreas en contacto. Depende sólo de

la normal y de las características de las superficies.

fs ≤ µsN

fk = µkN

20

Rueda de autos� La fricción de la goma impide que las ruedas patinen.

� Como conviene que sea el coeficiente de fricción en este caso?

Peso

La fuerza de roce debe

ser lo mayor

posible!!

Fsobre el piso

Fsobre el auto

Tercera ley:

N

BibliografíaBibliografíaBibliografíaBibliografía� Física – Principios y Aplicaciones – D. Giancoli -Prentice Hall- México 1997. (cap 4 y 6 )

� Física – G. Wilson – Prentice Hall- México 1997. (cap 4 ,5 y 6 )

� Física Conceptual - 3ra Ed. – Paul G. Hewitt Addison Wesley – México 1999 –Libro recomendado. (cap 6 al 8 )

� Física en perspectiva – E. Hetch – Addison Wesley Delaware 1987 – Libro recomendado. (cap 4 y 5 )

� Laboratorio: Física re-Creativa – S. Gil y E. Rodríguez – Prentice Hall – Madrid 2001 (abril). Texto de proyectos experimentales usando nuevas tecnologías. – Libro recomendado. (cap 4, 5 )

Impulso y Momento linealImpulso y Momento linealImpulso y Momento linealImpulso y Momento lineal

� El Impulso (F.∆t ) = Variación de momento lineal

(∆p = ∆(m.v) )

�Si Fneta=0 El momento lineal se conserva

dt

pdFneta

rr

= pddtFneta

rr=⋅

)(. vmtF ⋅∆=∆

Constantep =r

Si Fneta_Externa=0

21

Ejemplo de aplicación de Momento Lineal

� Por qué es mejor chocar contra un pajar que contra una pared de cemento.

� Por qué “no” se matan los saltadores “Bungee”

� Por qué “patea” un rifle

� Cómo se mueve un barco o un helicóptero

� Cómo se mueve un cohete espacial

� Choques – Billar

� Conservación de Momento Lineal es equivalente a la tercera Ley de Newton

Trabajo, Potencia y Energía�Impulso J=F.∆t

� Trabajo ∆W=F.∆x.Cosθ = Fuerza x Distancia

F

∆x

θ

Unidades: [W]= [F].[x]=N.m=Joule

� Potencia =P =dW/dt

�Unidades: [P]=[W]/[t]=J/s = Watt

� 1Hp = 750 W – Automóvil de 134 Hp= 100 KW

Potencia�Elevar un mosquito 10-7 W

�Bombeo del Corazón humano 1.5 W

�Hombre fuerte 20 W

�Potencia típica de una casa 300 W

�Caballo de tiro 1000W=1KW

�Automóvil Compacto 100 KW

�Boeing 747 (crucero) 250000KW=250MW

�Atucha I 300 MW

�Total de energía eléctrica producida 1000 GW=1012 W

22

Energía Cinética Ec

� Teorema de trabajo – energía: El trabajo

total realizado por la fuerza neta es igual a la

variación de la energía cinética

dxdt

dvmdxF ⋅=.

)2

1(. 2vmddvmvdv

dt

dxmdxF ⋅=⋅=⋅=

Cneta EmvW ∆=∆=∆ )( 2

2

1

Ejemplo de Trabajo y Energía

� Distancia de frenado: Si el roce (Froce) es constante

Wroce= Froce x Distancia

�Wroce = Ec � Distancia= m v2/Froce

�30 km/h � distancia= 10 m

�60 km/h � distancia= 40 m

�120 km/h � distancia= 160 m

2

1

Energía Potencial� Energía � Capacidad de realizar trabajo

� Energía Potencial

�Subir una piedra o elevar agua

W=Ep= m.g.h

�Comprimir un resorte

�Energía acumulada en una represa

�Energía de los combustibles

�Energía nuclear

�Etc.

H

23

Conservación de la Energía Mecánica

� Si no hay roce:Etotal= Ec+ Ep = ½ . m. v2 + m.g.h =Constante

La Energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma de una forma a otra, pero la cantidad total permanece constante.

Et=Ep Et=Ec

Et=Ep

vhh

Calor y Temperatura

� Energía Térmica: Es la energía asociada con el movimiento de las moléculas y átomos que componen un cuerpo. [Etérmica]= Joule

1 Kwh=3.6 x10^6 J

� Calor: Energía térmica en tránsito de un cuerpo a otro.[Q]= Joule y Caloría

1 cal = 4.19 Joule � 1 Cal=1Kcal = 4190 Joule

� Temperatura: Energía media por átomo o molécula. – Asociada a la sensación de frío o calor. Termómetro

� Calor Específico (c ):

∆Q=c.m. ∆T

Costo de la Energía 2004� 1 kWh = 0.04 $ =0.013 U$S - Electricidad� 1 m3 = 9300 kcal= 0.153 $ = 0.051 U$S

=10.8 Kwh Gas Natural� 1 litro Nafta= 1.5 $ = 0.5 U$S

=11400 kcal =13.2 kWh1 kWh=860 kcal =3.412 BTU1kWh�Electricidad Gas nat. Nafta

0. 04 $ 0.014$ 0.11$

24

Principio de conservación de la

Energía o

Primer Principio de la

Termodinámica

La Energía no se crea ni se destruye, solo se transforma de una forma a

otra pero la cantidad total permanece constante.

� Generalización de Einstein

2cmE ⋅=La masa y la energía son equivalentes. La energía de 1Kg es : E=1016 J = 60 días de energía de una central eléctrica de 2 GW (Niágara)

Energía y PotenciaJ/KgKcal/Kg KWh/Kg Kcal/m3

Alcohol # 6,400 7.4

Carbon # 8,000 9.3

Coque # 6,000 7.0

Gasolina # 11,400 13.3

Gas Natural # 15,500 18.0 9,300

GasOil (Diesel) # 10,500 12.2

Madera (promedio)# 5,000 5.8

Alimentos

Pan Blanco # 2,000 2.3

mantequilla # 8,000 9.3

Helado de Crema # 2,100 2.4

Carne magra # 1,200 1.4

Papas Cocidas # 970 1.1

Azucar # 4,000 4.7

Energía y Potencia

Potencia

[w] J/dia KWh/dia $/dia

Energía de

1 Persona 10 2.9E+05 8.0E-02 0.0029

Energía de

1 Caballo 1000 3.6E+07 1.0E+01 0.360

Energía de

1 Automovil 1.0E+05 3.6E+09 1.0E+03 36.00

Energía de 1

Maq. Vapor [1000 Hp] 7.5E+05 2.7E+10 7.5E+03 270.00

Energía de 1

Central Electr (300MW) 3.0E+08 2.6E+13 7.2E+06 2.6E+05

Energía de 1 de 2GW

(Cent. cat. Niagara) 2.0E+09 1.7E+14 4.8E+07 1.7E+06

25

Motivación – Fuentes de Energía en el

mundo - Porcentajes

Petróleo

Renovables tradicionales

Carbón

Gas

1850

40

60

80

100

0

18501900 1950 2000

Hidro

Nuclear

20

%

Fuentes de energía DOE-USA

Año

Energía en Argentina-

Tendencia

Evolución de la Matriz Energética Argentina

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010Año

Po

rcen

taje

%

Hidráulica Nuclear Gas Natural

Petróleo Carbón Leña+Bagaso

Gas Natural

Petróleo

Proyecciones

TareaTrabajar en responder las preguntas y

ejercicios de los Capitulo 1, 2, 4 y 5 de Física

Conceptual – P. Hewitt – Parcial

Cap. 1, 2, 4 y 5

Introducción de la Ciencia

Análisis gráfico

Tutoriales:

•Ley de crecimiento de un árbol

•Ley de crecimiento de una mancha de aceite

•Caída libre – Aristóteles Galileo Newton

26

Bibliografía� Física Conceptual - 3ra Ed. – Paul G. Hewitt Addison Wesley –

México 1999 – Libro recomendado. (cap 6 al 8 )

� Física en perspectiva – E. Hetch – Addison Wesley Delaware 1987 – Libro recomendado. (cap 4 y 5 )

� Física – Principios y Aplicaciones – D. Giancoli - Prentice Hall-México 1997. (cap 4 y 6 )

� Laboratorio: Física re-Creativa – S. Gil y E. Rodríguez –Prentice Hall – Madrid 2001 (abril). Texto de proyectos experimentales usando nuevas tecnologías. – Libro recomendado. (cap 4, 5 )

� Física – G. Wilson – Prentice Hall- México 1997. (cap 4 ,5 y 6 )

Movimiento de las estrellas y Planetas

Estrellas Movimiento aparente de Marte

Epiciclos

Tierra

Marte

epiciclo

Deferente

Esfera de las estrellas fijas

27

Modelo de Copérnico y Kepler

Marte

Tierra

Movimiento Aparente de

Marte

Conjugación de los Planetas Alineación

Tierra

Conjugación 2003

SolSol Tierra

Marte

Marte

θ x

Connecting rod

Piston

Crank arm

Crank pin

Cylinder

Crankshaft Gudgeon pin

Slider-Crank Mechanism (used in an IC engine)

Pistón

28

Pistón - Cilindro

D. Problem Solving Using Newton’s Laws

We clearly indicate the forces acting on an object by representing

the object as a point particle and drawing arrows from the point in

the direction of the force. On such a free-body diagram, be sure

you only draw arrows for forces! Velocity and acceleration are not

forces!

m

mg

Fn

frictionless surface

Problem Solving Steps (p.97):

1. Draw a neat diagram that includes important features.

2. Draw separate free-body diagrams for each object of interest.

3. Choose a convenient coordinate system for each object.

4. Write down Newton’s second law in component form and

use Newton’s third law if you have more than one object.

5. Solve the resulting equations for desired unknown(s).

6. Check your answers for units, plausibility, and familiar

limiting cases.

29

Example: Two accelerating blocksTwo blocks, with masses m1 and m2, are in contact on a frictionless horizontal

surface. A force F is applied to m1, causing both blocks to accelerate along the

surface. Find the force of contact between the two blocks.

Note carefully the notation for the normal forces and the weights of the blocks.

Also note that force F acts only on m1 and NOT on m2!

m1

Fm2

m2g

Fn2

Fc

m1g

Fn1

FFc

Another example: two blocks connected by a string

Two blocks, with masses m1 and m2, are connected by a string of negligible

mass on a frictionless horizontal surface. A force F is applied to m1 at an angle

θ above the horizontal, causing both blocks to accelerate along the surface. Find

the acceleration of the two blocks and the tension in the string, in terms of the

masses, the angle θ and the force F.

m1

F

m2θ

T

An inclined plane problemTwo blocks with mass m and 2m are connected by a string of negligible mass

over a pulley as shown. The plane is a frictionless surface inclined at an angle θ

from the horizontal. After the block 2m is released, find the acceleration of the

system and the tension in the string, in terms of m and θ.

2m

m

θ

30

E. Frictional Forces

The two basic cases we need to understand are static friction and

sliding friction. Consider a block of mass m on a surface and

subject to a horizontal force F, but still at rest:

mF

mg

Fn

Ffs

The symbol fs represents the force of static friction . We know it

must be present because the net horizontal force must equal zero if

the block is not accelerating.

What does the frictional force depend on?

Experiment shows the same frictional

force in both cases.

Thus, fk does not depend on contact area.

mFfk

mFfk

2mF2fk Experiment also shows that as the block

mass increases, the frictional force

increases proportionally.

Thus, fk depends linearly on normal force

between block and surface.