Interpolasi Newton_2.ppt

Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani

1

Chapter 18

Interpolasi


2

Interpolasi Polinomial

Diketahui:n titik data (x1, y1), (x2, y2), … (xn, yn)

Ditanya :a0, a1, …, an sehingga

Dua titik data : Garis

Tiga titik data : Kuadratik

Empat titik data :Polinomial tingkat-3 …

n titik data :Polinomial tingkat-n

nn xaxaxaaxf 2

210

022

1

02222212

01122111

ayaxaxax

ayaxaxax

ayaxaxax

nnnnnn

nn

nn

...

...

...

Adakah cara yang lebih baik untuk menyelesaikan persamaan diatas?


3

Interpolasi Linear

001

0101 xx

xx

xfxfxfxf

Diketahui: Dua titik(x1, y1), (x2, y2)

Ditanya :Garis yang melewati 2 titik tersebut

Contoh: f(x) = ln x

x1 = 1 dan x2 = 6:

f1(2) = 0.3583519

x1 = 1 dan x2 = 4

f1(2) = 0.4620981

ln 2 = 0.6931472

Semakin kecil intervalnya semakin baik hasil interpolasi!


4

Interpolasi Kuadratis

02

01

01

12

12

201

01100 xx

xx

xfxf

xx

xfxf

bxx

xfxfbxfb

1020102 xxxxbxxbbxf

Diketahui: Tiga titik(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3)

Ditanya: kuadratis f2(x) = a0 + a1x + a2x2 yang melewati ke-3 titik diatas

Contoh: f(x) = ln x

Titik data: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759)

b0 = 0

b1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981

b2 = [(1.791759 – 1.386294)/(6-4) – 0.4620981]/(6-1) = -0.0518731

f2(2) = 0.5658444

ln 2 = 0.6931472


5

Interpolasi Polynomial Newton

011

011

00

xxxxfb

xxfb

xfb

nnn ,,,

,

110102010 nnn xxxxxxbxxxxbxxbbxf ...

ji

jiji xx

xfxfxxf

,

Diketahui: n titik (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) (yi = f(xi), i=1,2,…,n)

Ditanya: fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn yang melewati n titik tersebut.

dengan

ki

kjjikji xx

xxfxxfxxxf

,,

,,

0

02111011

,...,,,...,,,,...,,

xx

xxxfxxxfxxxxf

n

nnnnnn

Rekursif!


6

Contoh Interpolasi Polynomial Newton

2103102102010 xxxxxxbxxxxbxxxxbxxbbxf n

182.065

791759.1609438.1,203.0

46

386294.1791759.1,462.0

14

0386294.1, 231201

xxfxxfxxf

020045

203018200520

16

46202030123012 .

..,,.

..,,

xxxfxxxf

Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438) (dari fungsi ln x)

Ditanya: Perkirakan ln 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3

f3(2) = 0.629

008015

)0520(02000123 .

..,,,

xxxxf


7

Contoh Interpolasi Polynomial Newton

x0x1

x3

x2


8

Perkiraan Error Polynomial Newton

1

1

1

1

n

ii

n

n xxn

fR

!

n

n

n xxxxxxxxn

fR

210

1

1 !

110102010 nnn xxxxxxbxxxxbxxbbxf ...

Jika f(x) dinyatakan oleh deret Taylor , error setelah terms ke-n adalah:

Untuk suatui polinomial Newton orde ke-n, Hubungan untuk error scr analogi:

Tapi kita tidak tahu apakah itu f(x)! Sebagai suatu perkiraan untuk error, bisa kita gunakan

nnnnn xxxxxxxxxxxxfR 210011 ,,,,

(Ingat: fn+1(x) = fn(x) + Rn)


9

Perkiraan Error, Orde, dan Titik data

x f(x) = ln x1 04 1.3866 1.7927 1.6098 1.0991.5 0.4052.5 0.9163.5 1.253

Perkiraan Error polynomial Newton fk(x) pada ln 2: k = 1,2,…,7

x f(x) = ln x3.5 1.2532.5 0.9161.5 0.4053 1.0995 1.6096 1.7924 1.3861 0


10

Polinomial Interpolasi Lagrange

n

ij

j ji

ii xx

xxxL

0

101

00

10

11:linear xf

xx

xxxf

xx

xxxf

dengan

i

n

iin xfxLxf

0

Contoh:

2

1202

101

2101

200

010

212 2

:order-2nd xfxxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf


11

Interpretasi Grafis Polynomials Lagrange

2211002 xfLxfLxfLxf

L0f(x0)

L1f(x1)

L2f(x2)


12

Interpolasi Inverse

x

x

y

Interpolated point of (xc, f(xc))

Interpolated curve

true curve

fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn interpolasi yc = fn(xc)

Bagimana inverse-nya:

fn(y) = a0 + a1y + a2y2 + … + anyn interpolasi xc = fn(yc)

Keduanya tidak ekuivalen dalam hal keakuratan interpolasi!


13

Extrapolasi

Hasil interpolasi yang paling akurat bisanya diperoleh ketika yang tidak diketahui berada dekat di tengah-tengah titik basis!

Untuk ekstrapolasi, yang tidak diketahui berada di luar jangkauan titik basis; jadi perlu perhatian lebih!


14

Masalah-2 dalam Interpolasi Polinomial

• Derajat interpolasi polinomial sama dengan jumlah-n titik data. Jadi jikan=1000

titik data, maka kita akan mempunyai polinomial orde-1000

• Polinomial berorde tinggi (saat n > 5) dapat menampakkan ciri erratik dan sangat rentan dengan instabilitas numerik.

• Polinomial berorde tinggi seringkali menginterpolasi titik diluar jangkauan titik data yang tepat karena adanya overshoot.


15

Interpolasi Spline

Ide: Gunakan polinomial orde rendah (k ≤ 3) untuk menginterpolasi sekumpulan data titik dan hubungkan polinomial interolsai ini dengan halus

Papan Drafting: menggunakan tali yang tipis dan fleksibel (disebut spline)untuk menggambarkan kurva yang halus melalui sekumpulan titik.Tiap bagian interpolasi akhir melengkung antar 2 titik yang berdekatan Titik data adalah polinomial derajat 3 Contoh


16

Interpolasi Spline Kuadratis

Diketahui: n+1 Titik data (xi, yi) untuk i=0,1,…,n

Ditanya: polynomials derajat-2 n fi(x) = aix2 + bix + ci sedemikian sehingga

1. fi(x) menginterpolasi dua titik (xi-1, yi-1) dan (xi, yi), dan

2. fi(x) dan fi-1(x) punya turunan yang sama pada xi-1.


17

Turunan Quadratic Spline

1. fi-1(xi-1) = ai-1xi-12 + bi-1xi-1 + ci-1 = yi-1

fi(xi-1) = aixi-12 + bixi-1 + ci = yi-1

2n – 2 persamaan

2. f1(x0) = a1x02 + b1x0 + c1 = y0

fn(xn) = anxn2 + bnxn + cn = yn

2 persamaan

3. (the 1st derivative at the interior knots must be equal)

fi-1’(xi-1) = 2ai-1xi-1 + bi-1 = 2aixi-1 + bi = fi’(xi-1)n– 1 persamaan


18

Contoh of Quadratic Spline

Documents

Interpolasi Newton_2.ppt