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Interpolacion
INTERPOLACION
Escuela Politecnica de MieresGrado en Ingeniera
Universidad de Oviedo. Departamento de Matematicas
Ma Reyes de los Ros Fernandez
Curso 2014-2015 Segundo semestre
Metodos Numericos 2014-15
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InterpolacionForma de Lagrange del polinomio de
interpolacionForma de Newton del polinomio de
interpolacionInterpolacion a trozos
Introduccion
Dados n + 1 puntos {(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn)} con xi
6= xj si i 6= j ,buscamos una funcion g , funcion de interpolacion,
que verifique:
g(x0) = y0 , g(x1) = y1 , . . . , g(xn) = yn
a los puntos x0, x1, . . . , xn se les llama nodos de
interpolacion.
Entre las funciones de interpolacion, las polinomicas, resultan
mas utiles porsu sencillez: interpolacion polinomial.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102
1
0
1
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3
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5
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InterpolacionForma de Lagrange del polinomio de
interpolacionForma de Newton del polinomio de
interpolacionInterpolacion a trozos
Polinomio de interpolacion
Dados n + 1 puntos {(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn)} con xi
6= xj si i 6= j ,existe un unico polinomio Pn(x) = a0 + a1x +
a2x
2 + anxn de gradomenor o igual que n tal que:
Pn(x0) = y0 , Pn(x1) = y1 , . . . , Pn(xn) = yn
Al resolver este problema se genera el sistema:a0 + x0a1 + x
20a2 + + xn0 an = y0
a0 + x1a1 + x21a2 + + xn1 an = y1
......
...a0 + xna1 + x
2na2 + + xnn an = yn
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InterpolacionForma de Lagrange del polinomio de
interpolacionForma de Newton del polinomio de
interpolacionInterpolacion a trozos
Polinomio de interpolacion
1 x0 x
20 xn0
1 x1 x21 xn1
......
... ...1 xn x
2n xnn
a0a1...an
=
y0y1...yn
La matriz A del sistema es la matriz de Vandermonde, por lo que
el sistema escompatible determinado.La matriz de Vandermonde esta
mal condicionada, luego la resolucion del sistemapuede ser poco
fiable. Por ello, la resolucion directa del sistema puede
darresultados alejados de la solucion real.Buscamos entonces formas
distintas de encontrar el polinomio de interpolacion.
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InterpolacionForma de Lagrange del polinomio de
interpolacionForma de Newton del polinomio de
interpolacionInterpolacion a trozos
Polinomio de Lagrange
Dados n + 1 nodos x0, x1, . . . , xn distintos, se llaman
polinomios de Lagrangerelativos a estos nodos a:
li (x) =(x x0)(x x1) (x xi1)(x xi+1) (x xn)
(xi x0)(xi x1) (xi xi1)(xi xi+1) (x xn)
se verifica:
{li (xi ) = 1
li (xj) = 0 si j 6= ii = 0, 1, . . . , n.
Se denomina forma de Lagrange del polinomio de interpolacion de
lospuntos {(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn)} a:
Pn(x) = y0 l0(x) + y1 l1(x) + + yn ln(x)
Esta construccion sigue siendo util si se cambian los valores yi
.
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InterpolacionForma de Lagrange del polinomio de
interpolacionForma de Newton del polinomio de
interpolacionInterpolacion a trozos
Polinomio de Newton
Buscamos un polinomio de interpolacion de la forma:
Pn(x) = a0 + a1(x x0) + a2(x x0)(x x1) + . . . + an(x x0)(x x1)
. . . (x xn1)
Pn(x0) = y0 = a0Pn(x1) = y1 = a0 + a1(x1 x0)Pn(x2) = y2 = a0 +
a1(x2 x0) + a2(x2 x0)(x2 x1)
.
.
.
.
.
.Pn(xn) = yn = a0 + a1(xn x0) + a2(xn x0)(xn x1) + + an(xn
x0)(xn x1) (xn xn1)
1 0 0 0 01 (x1 x0) 0 0 01 (x1 x0) (x2 x0)(x2 x1) 0 0...
.
.
.
.
.
.
.
.
. ...
1 (xn x0) (xn x0)(xn x1) (xn x0) . . . (xn xn1)
a0a1a2...an
=
y0y1y2...yn
Este sistema lineal es triangular inferior. Newton ideo una
tecnica, que evita construir
explcitamente la matriz, llamada diferencias divididas.
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InterpolacionForma de Lagrange del polinomio de
interpolacionForma de Newton del polinomio de
interpolacionInterpolacion a trozos
Polinomio de Newton: diferencias divididas
Llamaremos diferencias divididas a los siguiente cocientes:
Dif. div. de orden 0 f [xi ] = yi
Dif. div. de orden 1 f [xi , xi+1] =f [xi+1] f [xi ]
xi+1 xiDif. div. de orden 2 f [xi , xi+1, xi+2] =
f [xi+1, xi+2] f [xi , xi+1]xi+2 xi
Dif. div. de orden k f [xi , xi+1, . . . , xi+k ] =
f [xi+1, . . . , xi+k ] f [xi , xi+1, . . . , xi+k1]xi+k xi
Para facilitar los calculos, conviene disponer las diferencias
divididas comosigue:
x0 y0 = f [x0]
x1 y1 = f [x1]f [x1] f [x0]
x1 x0= f [x0, x1]
x2 y2 = f [x2]f [x2] f [x1]
x2 x1= f [x1, x2]
f [x1, x2] f [x0, x1]x2 x0
= f [x0, x1, x2]
x3 y3 = f [x3]f [x3] f [x2]
x3 x2= f [x2, x3]
f [x2, x3] f [x1, x2]x3 x1
= f [x1, x2, x3]
.
.
.
.
.
.
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InterpolacionForma de Lagrange del polinomio de
interpolacionForma de Newton del polinomio de
interpolacionInterpolacion a trozos
Polinomio de Newton: diferencias divididas
Volvemos a la resolucion del sistema triangular del polinomio de
interpolacion dela forma de Newton:Nota: Las diferencias divididas
son conmutativas respecto cualquier permutacionde sus nodos.
a0 = y0 = f [x0]
a1 =y1 y0x1 x0
= f [x0, x1]
a2 =y2 y0 f [x0, x1](x2 x0)
(x2 x0)(x2 x1)=
f [x2] f [x0](x2 x0)(x2 x1)
f [x0, x1]x2 x1
=
=f [x0, x2] f [x0, x1]
x2 x1=
f [x0, x2] f [x1, x0]x2 x1
= f [x1, x0, x2] = f [x0, x1, x2]
Por lo tanto:
Pn(x) = f [x0] + f [x0, x1](x x0) + f [x0, x1, x2](x x0)(x x1) +
+ f [x0, . . . , xn ](x x0)(x x1) . . . (x xn1)
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InterpolacionForma de Lagrange del polinomio de
interpolacionForma de Newton del polinomio de
interpolacionInterpolacion a trozos
Error de interpolacion
Se denomina error de interpolacion en un punto x a:
E (x) = | f (x) Pn(x) |
Si f Cn+1[a, b], se verifica:
E(x) = | f (x) Pn(x) | M(n + 1)!
|(x x0)(x x1) (x xn)|
con M = supx[a,b]
{|f (n+1)(x)|}
Como se consigue disminuir el error de interpolacion?No es
seguro que al aumentar el numero de nodos mejore la
aproximacion.Por eso se opta por distintos metodos:
Elegir nodos que minimicen el error: nodos de Chebyshev.Elegir
una funcion de aproximacion no polinomica.Interpolar a trozos.
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InterpolacionForma de Lagrange del polinomio de
interpolacionForma de Newton del polinomio de
interpolacionInterpolacion a trozos
Interpolacion lineal a trozos
La interpolacion a trozos mas sencilla se obtiene uniendo los
nodos consecutivosmediante polinomios de grado uno (rectas).
s(x) =
a0 + b0(x x0) x [x0, x1]a1 + b1(x x1) x [x1, x2]
......
an1 + bn1(x xn1) x [xn1, xn]
ai = yi
bi =yi+1 yixi+1 xi
i = 0, . . . , n 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
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InterpolacionForma de Lagrange del polinomio de
interpolacionForma de Newton del polinomio de
interpolacionInterpolacion a trozos
Interpolacion a trozos de grado tres: spline cubico
Se denomina spline cubico a la funcion s(x) definida por:
s(x) =
s0(x) x [x0, x1]s1(x) x [x1, x2]
......
sn1(x) x [xn1, xn]
tal que
(1) si R3[x ](2) s(xi ) = yi
(3) s C2([x0, xn])
1 2 3 4 5 6 7 8 9 102
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P5(x)puntosPol. TrozosSpline
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InterpolacionForma de Lagrange del polinomio de
interpolacionForma de Newton del polinomio de
interpolacionInterpolacion a trozos
Construccion del spline cubico
4 n incognitas
s(x) =
a0 + b0(x x0) + c0(x x0)2 + d0(x x0)3 x [x0, x1]a1 + b1(x x1) +
c1(x x1)2 + d1(x x1)3 x [x0, x1]
......
...an1 + bn1(x xn1) + cn1(x xn1)2 + dn1(x xn1)3 x [xn1, xn]
4 n 2 condiciones{
s(xi ) = yii = 0, . . . , n
si (xi+1) = si+1(xi+1)
s i (xi+1) = si+1(xi+1)
s i (xi+1) = si+1(xi+1)
i = 0, . . . , n 2Anadimos dos condiciones mas
Spline natural: s (x0) = 0 , s (xn) = 0.Spline sujeto: s (x0) =
, s (xn) = .Spline no nodo: s(x) tenga derivada tercera continua en
los nodosx1 , xn1.
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InterpolacionForma de Lagrange del polinomio de
interpolacionForma de Newton del polinomio de
interpolacionInterpolacion a trozos
Construccion del spline cubico natural
ai = yi , i = 0, . . . , n 1
c0 = 0 = cn
ci hi + ci+12(hi + hi+1) + ci+2 hi+1 = 3
(yi+2 yi+1
hi+1 yi+1 yi
hi
)i = 0, 1, . . . , n 2
con:hi = (xi+1 xi ) , i = 0, . . . , n 1
di =ci+1 ci
3hi, i = 0, 1, . . . , n 1
bi =yi+1 yi
hi ci+1 + 2ci
3hi , i = 0, 1, . . . , n 1
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InterpolacinForma de Lagrange del polinomio de interpolacinForma
de Newton del polinomio de interpolacinInterpolacin a trozos
