Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III

Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona) http://www-lacan.upc.es

Integración numérica

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 3

Índice

§  Motivación y objetivos §  Cuadratura numérica

•  Planteamiento general •  Clasificación •  Orden de una cuadratura

§  Cuadraturas de Newton-Cotes §  Cuadraturas compuestas §  Cuadraturas de Gauss §  Convergencia §  Integrales dobles

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 4

§  Objetivo: calcular/aproximar el valor de la integral

§  Limitaciones de la integración analítica: •  la expresión analítica de f(x) no es conocida: datos

experimentales o función evaluable sólo de forma discreta,

•  f(x) con expresión analítica pero con integral analítica complicada o desconocida.

Motivación

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 5

Objetivos

§  Entender cómo se aproxima una integral mediante una cuadratura numérica

§  Entender qué es el orden de una cuadratura y ser capaz de calcularlo

§  Aprender a utilizar las cuadraturas de Gauss y las de Newton-Cotes, y saber cuando se pueden utilizar unas u otras

§  Ser capaz de utilizar cuadraturas compuestas

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 6

Cuadratura numérica

pesos puntos

error

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 7

Planteamiento general

1.  Aproximar f por un polinomio

2.  Integrar (con interpolación de Lagrange)

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 9

Clasificación

§  Según los puntos de integración: •  Newton-Cotes: puntos arbitrarios (datos

experimentales…) •  generalmente puntos equiespaciados •  sólo hay que determinar los pesos y el

error •  Gauss: puntos “óptimos” (hábilmente elegidos)

•  f se puede evaluar donde se desee •  se eligen los puntos para que la

cuadratura sea “lo mejor posible” y, después, se calculan y

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 10

§  Según los extremos:

•  cuadraturas cerradas

•  cuadraturas abiertas

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 11

Orden de una cuadratura

§  Definición: se dice que una cuadratura es de orden q si integra exactamente polinomios de grado ≤ q

§  Si la cuadratura se obtiene integrando el polinomio interpolador (con n+1 puntos), entonces la cuadratura es de orden n, o superior.

§  Si el error es de la forma

entonces la cuadratura es de orden q

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 12

Cuadraturas de Newton-Cotes

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 13

Fórmulas cerradas de Newton-Cotes

§  Puntos arbitrarios §  Sólo hay que calcular

los pesos

y el error

§  Cuadraturas tabuladas para puntos equiespaciados.

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 14

Cambio de variable

§  Los puntos de integración corresponden a α=0,1,…,n

§  Polinomios y resto de Lagrange

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 15

Cuadraturas cerradas de Newton-Cotes con puntos equiespaciados

§  Pesos de integración

§  Error

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 16

Fórmula del trapecio (n=1)

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 17

teorema del valor medio integral

Fórmula del trapecio (n=1)

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 18

Fórmula de Simpson (n=2)

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 19

Fórmula de Simpson (n=2)

n=2 par à orden 3 (mayor de lo esperado)

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 20

§  Si n es impar (orden n)

§  Si n es par (orden n+1)

Error de las cuadraturas cerradas de Newton-Cotes

Demostración en Ralston & Rabinowitz, “A first course in numerical analysis”, McGraw-Hill, 2ª edición, 1978

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 23

Fórmulas cerradas de Newton-Cotes

(Trapecio)

(Simpson)

(2ª Simpson)

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 24

Fórmulas abiertas de Newton-Cotes

§  La misma idea con x0= a+h y xn = b-h

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 25

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 26

Cuadraturas compuestas

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 27

Idea

§  Se divide el intervalo [a,b] en m subintervalos

y se aplica una cuadratura numérica (de Newton-Cotes, de Gauss, …) con n+1 puntos en cada subintervalo.

I1 Im

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 28

Ejemplo: fórmula compuesta del trapecio

§  En cada uno de los m subintervalos se utiliza la fórmula del trapecio (n=1).

I1 I2 I3 I4

m=4, n=1

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 29

§  Es decir,

con

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 30

§  Si los puntos son equiespaciados, con distancia , la fórmula se escribe como

donde el error es

o, equivalentemente,

m→∞ 0

(si f2) está acotada)

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 31

§  En cada uno de los m subintervalos se utiliza la fórmula de Simpson (n=2).

Ejemplo: fórmula compuesta de Simpson

I1 I2

m=2, n=2

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 32

§  Es decir,

§  Si los puntos son equiespaciados, con

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 33

§  El error es

o, equivalentemente,

§  Como en cualquier fórmula compuesta, el error tiende a cero cuando se aumenta el número de puntos:

(si f4) está acotada)

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 34

Cuadraturas de Gauss

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 35

§  Newton-Cotes: Ø Predetermined (equally spaced) integration

points {x0,… xn} Ø n+1 d.o.f (wi) à order n (Special case: for even n à order n+1)

§  Gauss quadrature: we must ask

Ø Can we chose the integration points {x0,… xn} to have a higher order?

2n+2 d.o.f (wi, xi )à order 2n+1 ? Ø What order can be reached?

Cuadraturas de Gauss

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 36

§  Points and weights of the quadrature can be calculated by imposing the Gauss quadrature to verify

for (nonlinear system with 2n+2 unknowns and 2n+2 equations)

§  Quadrature has order 2n+1

p(z)dz = wi p(zi )i=0

n

∑a

b

∫

a , b

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 37

Exercises: 1) Requiring exact integration for p0 (x) =1, p1 (x) =x, find the weights and Gauss points of this quadrature:

[n=0, order 1] 2) Requiring exact integration for

p0 (x) =1, p1 (x) =x, p2 (x) =x2, p3 (x) =x3 find the weights and Gauss points of the above quadrature in this case. [n=1, order 3]

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 50

Gauss-Legendre

§  n=0 (orden 1)

§  n=1

(orden 3) §  n=2

(orden 5)

Cuadratura de Gauss-Legendre

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 51

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 52

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 53

Ejemplo de aplicación: Gauss-Legendre

§  Con el cambio de variable de [-1,1] a [a,b]

se escribe la integral como

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 54

§  Aplicando la cuadratura de Gauss-Legendre

o, utilizando la definición de f(z),

§  El error es

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 55

Gauss-Hermite

§  n=0 (orden 1)

§  n=1

(orden 3) §  n=2

(orden 5)

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 56

Gauss-Laguerre

§  n=0 (orden 1)

§  n=1

(orden 3) §  n=2 (orden 5)

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 67

Convergencia

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 68

Newton-Cotes

Compuesta Gauss-Legendre n=1 Compuesta Gauss-Legendre n=2

Compuesta Trapecio Compuesta Simpson

Gauss-Legendre

Ejemplo

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 69

§  Newton-Cotes:

§  Gauss-Legendre:

§  Compuesta del trapecio: §  Compuesta de Simpson:

§  Compuesta de Gauss-Legendre:

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 70

Newton-Cotes

Compuesta Gauss-Legendre n=1 Compuesta Gauss-Legendre n=2

Compuesta Trapecio Compuesta Simpson

Gauss-Legendre

Ejemplo

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 71

Convergencia

§  NO tiene asegurada la convergencia: •  Fórmulas simples de Newton-Cotes para puntos

equiespaciados (aumentando n)

§  SI tiene convergencia asegurada: •  Cuadraturas simples de Gauss (aumentando n) •  Cuadraturas compuestas (aumentando m)

Double integration

INTEGRACIÓN NUMÉRICA· 72

Consider the double integral The integration domain is represented y a set or points (grid) having coordinates (xi,j, yi,j) where 0 ≤ i ≤ n and 0 ≤ j ≤ m. Numerical double integration can be applied by analogy with analytical double integration, i.e. first integrate with respect to x, then integrate with respect to y. Exercise: Compute the double integral using the optimum number of Gauss points in order to obtain the exact result.

Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III

Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona) http://www-lacan.upc.es

FIN