INSTITUCIÓN EDUCATIVA EMILIANO GARCÍAmaster2000.net/recursos/menu/10/385/mper_arch_1492_matematicas.pdf · PRODUCTO NOTABLE. INSTITUCIÓN EDUCATIVA EMILIANO GARCÍA Girardota –Antioquia

INSTITUCIÓN EDUCATIVA EMILIANO GARCÍA

Girardota –Antioquia e-mail [email protected]

1. Área MATEMÀTICAS Grado: Noveno

Educador: Mauricio Salazar Periodo: 1

Eje temático: Sistemas Numéricos y Algebra

Tiempo estimado: 9 semanas

2.

ESTANDAR NÚCLEO LOGRO INDICADOR Utilizar números reales en sus diferentes representaciones en diversos contextos.

Productos Notables, Factorización y Fracciones algebraicas. Números Reales. Racionalización

Aplica las propiedades de los Números Reales en la solución de problemas

Simplifica expresiones utilizando productos notables. Resuelve fracciones algebraicas. Resuelve ejercicios de racionalización.

Reconocer y contrastar propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales).

Ángulos, propiedades de los ángulos, T. Pitágoras. Areas sombreadas.

Hace demostraciones y resuelve problemas empleando teoremas de geometría plana.

Reconoce los tipos de ángulos que se forman entre rectas paralelas cruzadas por una secante.

Utiliza areas sombreadas para hallar productos notables.



RECORDEMOS QUE… Los productos Notables son polinomios que se obtienen de la multiplicación

entre dos o más polinomios que poseen características especiales. Cumplen ciertas reglas fijas y por lo

tanto su resultado puede se escrito por simple inspección sin necesidad de efectuar la multiplicación.

CONSULTA CUÁLES SON LOS PRODUCTOS NOTABLES…….

3.PRESENTACIÓN

Ahora vamos a iniciar el estudio (repaso) de los productos notables.

4. CONOCIMIENTOS PREVIOS

Para llevar a cabo el estudio de las temáticas deberás saber resolver:

- Operaciones con Números Fraccionarios.

- Leyes de la potenciación de números reales.

- Simplificación de términos semejantes

EJERCICIOS DE ACTIVACIÓN DE CONOCIMIENTOS….

A) Sumar a – b, 2a + 3b – c y – 4a + 5b.

B) Multiplica 32

a 2b por -

43

a 3m

C) Dividir 3x 2 + 2x – 8 entre x + 2



RECORDAR QUE:…

5. PALABRAS CLAVES

Una expresión algebraica es la representación de un símbolo algebraico o de una o más

operaciones algebraicas. EJEMPLO: a, 5x, ( ) ( )21 x

3y-5x ,4

acbaa +

Un término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no

separados entre sí por el signo + ó –. EJEMPLO: x

axyba

3

4 ,23 ,

TÉRMINOS SEMEJANTES

Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir, cuando tienen

iguales letras afectadas de iguales exponentes: 2a y a, - 5a 3b

2 y - 8a 3

b 2, x m + 1 y 3x m + 1.

a) El monomio consta de un solo término; por ejemplo: 3

2

4 ;5 ;3

a

xba

y

−

b) El polinomio consta de más de un término; por ejemplo: 3 2; ; 2 7a b x y x x x+ − + + +

c) Un binomio es un polinomio que consta de dos términos. Ej:

2

42

6

5 ;

3 ;

b

mxn

ayxba −−+

d) Un trinomio es un polinomio que consta de tres términos; por ejemplo:

22 3; 5 6 ; 6

3

aa b c x x c y+ + + + − +

EN LA EN LA EN LA EN LA SUMA Y EN LA RESTA SE RESPETAN LOS SUMA Y EN LA RESTA SE RESPETAN LOS SUMA Y EN LA RESTA SE RESPETAN LOS SUMA Y EN LA RESTA SE RESPETAN LOS

EXPONENTES DE LAS VARIABLESEXPONENTES DE LAS VARIABLESEXPONENTES DE LAS VARIABLESEXPONENTES DE LAS VARIABLES

EN LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN SE EN LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN SE EN LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN SE EN LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN SE

SUMAN Y SE RESTAN, RESPECTIVAMENTE, LOS SUMAN Y SE RESTAN, RESPECTIVAMENTE, LOS SUMAN Y SE RESTAN, RESPECTIVAMENTE, LOS SUMAN Y SE RESTAN, RESPECTIVAMENTE, LOS

EXPONENTES DE LAS VARIABLES QUE TENGAN EXPONENTES DE LAS VARIABLES QUE TENGAN EXPONENTES DE LAS VARIABLES QUE TENGAN EXPONENTES DE LAS VARIABLES QUE TENGAN

LAS MISMAS LETRAS.LAS MISMAS LETRAS.LAS MISMAS LETRAS.LAS MISMAS LETRAS.



6. DESARROLLO DEL NUCLEO TEMATICO

PRODUCTOS NOTABLES.

Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre dos o más polinomios que poseen

características especiales. Cumplen ciertas reglas fijas y por lo tanto su resultado puede se escrito

por simple inspección sin necesidad de efectuar la multiplicación.

1. Cuadrado de una suma de dos términos.

( ) 222 2 bababa ++=+

Ej: (2x + y)2 = (4x

2 + 4xy + y

2 )

2. Cuadrado de una diferencia de dos términos.

( ) 222 2 bababa +−=−

Ej: (x + 2y)2 = (x2

- 4xy + 4y2)

3. Producto de una suma de dos términos por su diferencia.

( )( ) 22 bababa −=−+

Ej: (x + 3) (x - 3) = (x2 - 32)

Actividades: REALIZAR DEL TEXTO DE BALDOR 2 EJERCICIOS DE CADA

PRODUCTO NOTABLE.



PRODUCTOS NOTABLES CON GEOMETRIA

El cuadrado de la suma…

Se obtienen las áreas de cada una de las figuras in ternas y se forma la siguiente figura

( ) 222 2 bababa ++=+

Esta fórmula quiere decir que el cuadrado de una

suma de dos números es ig ua l a l c ua dra do d e l

primero, mas dos veces el producto del primero

por el segundo, más el cuadrado del segundo

( ) ???2 =+ba



a

a - b

b

a + b

a - b

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

Suma por diferencia

.

Realiza 4 ejercicios del Texto de Baldor sobre productos Notables, utilizando las ideas

geométricas



TRIÁNGULO DE PASCAL .

Útil para hallar los coeficientes de los términos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

Ejemplo. Desarrollar (x 2 - 3y 5 )6 por el Triángulo de Pascal.

SOLUCIÓN…

Se forma el triángulo hasta la fila horizontal donde después del 1 viene el 6, o sea:



1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Al tomar los coeficientes de esta última fila tenemos:

( x 2 - 3y

5 )6 = ( x 2 )6 - 6( x

2 )5( 3y 5 ) + 15( x

2 )4( 3y 5 )2 - 20( x

2 )3( 3y 5 )3 + 15( x

2 )2( 3y 5 )4 –

6(x 2 )(3y

5 )5 + (3y 5 )6 = x

12 - 18x 10

y 5 + 135x

8y

10 - 540x 6y

15 + 1215x 4y

20 - 1458x 2y

25 + 729y



FACTORIZACIÓN

POLINOMIO

Contiene un Binomios Trinomios Mas de tres términos

Se clasifica en

Factor común

Factor común

… De la forma

)73(73 2 zyxxzxyxx −+=−+

=++ cbxax2

Cuadrado perfecto

222 )(2 yxyxyx ±=+±

Factor común

… De la forma

x2 + ax + b = (x + n).(x + m)

)3(32 yxxxyx −=−

Diferencia de cuadrados

)))((22 yxyxyx +−=−

Suma o diferencia de cubos

))(( 2233 yxyxyxyx +±=± m



1. Factorizar todos los factores comunes.

2. Observar el número de términos entre paréntesis (o

en la expresión original). Si hay:

I. Cuatro términos: factorizar por agrupación.

II. Tres términos: probar si es tcp y factorizar

así; si no es tcp, emplear el caso general.

III. Dos términos y cuadrados: buscar la

diferencia de cuadrados y factorizarla.

IV. Dos términos y cubos: buscar la suma o

diferencia de cubos y factorizar.

3. Asegurarse de que la expresión está factorizada completamente.



FRACCIONES ALGEBRAICAS 1

Fracción algebraicas: es toda expresión de la forma )x(q

)x(p, donde p(x), q(x) ∈P(x); q(x) ≠ 0.

El polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica

Ejemplos:

)2x,4x(8x2x

4x3)d(

7

y3x2)c(

2

3x

3x2

8)b()3x(

3x

5x)a(

2

−≠≠−−

+−

−≠+

≠−+

Simplificación de expresiones algebraicas

Una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su denominador se pueden dividir por un mismo factor.

Ejemplos

Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

(a) 2

2

32

32

5

33

b7

a8

ab3b7

ab3a8

ab21

ba24 =⋅⋅=

(b) y4x2

y10x5

−−

Observa que al factorizar el numerador y denominador de esta fracción, descubrimos que tienen un factor común que es (x – 2y), entonces:

2

5

)y2x(2

)y2x(5

y4x2

y10x5 =−−=

−−

1 Tomado y acondicionado de

www.sanignacio.cl/academica/Sectoresdeformacion/Matematica/materiales/documentos/.../FRACCIONES%20ALGEBRAICAS .doc (ver bibliografia)



(c) 16x

12x7x2

2

−+−

Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que:

)4x)(4x(16x

)3x)(4x(12x7x2

2

−+=−−−=+−

Luego:

4x

3x

)4x)(4x(

)3x)(4x(

16x

12x7x2

2

+−=

−+−−=

−+−

(d) 1xx

1x2

3

++−

Podemos además factorizar el numerador de la fracción, dado que: x3 – 1 =(x – 1)(x2 + x +1)

Entonces:

1x)1xx(

)1xx)(1x(

1xx

1x2

2

2

3

−=++

++−=++

−



Ejercicios

Simplifica cada una de las siguientes fracciones algebraicas

(1) 4

23

ab20

ba15 (2)

73

54

npm21

pmn7

(3) 85

754

dac11

dca121 (4)

24

b16a8 −

(5) b24a18

42

+ (6)

y75x50

y21x14

++

(7) n48m36

n36m27

−−

(8)xxy

xx 2

−−

(9) b3a3

bab2a 22

+++

(10) 22

22

nmn2m

nm

++−

(11) x2x

6x5x2

2

−+−

(12) 22

33

ba

ba

−−

(13) 140x15x5

42x27x32

2

−−+−

(14) 22 q2pq8p8

q2p4

+++

(15) 223

324

nmnm

nmnm

+−

(16) x4x4x

x10x3x23

23

+−−+

(17) ( )( )322

423

qp16

qp8 (18)

( )( )42

33

nm18

mn12

(19) 22

22

b3ab5a2

b32ab56a16

−+−+

(20) bd3d2bc3c2

bdbcadac

−−+−+−

(21) xan5amnx10xam5

xan5xam522

22

+−−

(22) 3x3

1x2

4

−−

(23) 22

33

n5mn5m5

nm

++−

(24) y10xy3yx4

y25yx162

2

−−−



(25) yb6ya3

xb4xa2

−−

(26) 232

2

)1x()5x(x

)1x()3x(x

−−−−

(27) 232

43

)1x()5x(x

)5x()1x(

−−−−

(28) 224

2

baa

aba

−−



RADICACIÓN…

OPERACIONES INVERSAS

POTENCIACIÓN RADICACIÓN

; n es el exponente; a es la base, b es la potencia

; n es el índice, es el símbolo radical; a es el radicando; b es la raíz

Definición

la base se repite n veces en el producto el índice es un indicador no participa del cálculo

Condiciones

¡OJO!

Cero

Uno

Cero

Uno

Análisis de signos

Base Exponente

Potencia

Ejemplo Radicando

Índice Raíz Ejemplo

+ -

PAR + Siempre

+ -

PAR + no tiene solución

+ -

IMPAR + -

+ -

IMPAR + -

¡OJO!



OPERACIONES INVERSAS

POTENCIACIÓN RADICACIÓN

Propiedades

Propiedad

Ejemplo Propiedad

Raiz de raiz

Ejemplo

Ley distributiva



1. Asignatura: Estadística Grado: Noveno

Educador: Mauricio Salazar Periodo: 1

Eje temático: Estadística Descriptiva

Tiempo estimado: 5 semanas

2.

ESTANDAR NÚCLEO LOGRO INDICADOR Reconocer que, diferentes maneras de presentar la información, pueden dar origen a distintas interpretaciones.

Estadística Descriptiva: variable continua y discreta. Tablas de frecuencia

Usa conceptos estadísticos para resolver problemas de la vida cotidiana.

Representa los datos a través de las tablas de frecuencia. Reconoce los distintos tipos de frecuencias.

3.PRESENTACIÓN



4. CONOCIMIENTOS PREVIOS

Cálculo de porcentajes, regla de tres, operaciones con fracciones.

5. PALABRAS CLAVE

POBLACIÓN: es el conjunto de elementos sobre el que estamos interesados en

obtener conclusiones (hacer inferencia). Normalmente es demasiado grande

para poder abarcarla.

MUESTRA: es un subconjunto de elementos de la población al que tenemos

acceso y sobre el que realmente hacemos las observaciones (mediciones). Se

representa con la letra n.

UNA VARIABLE es una característica observable que varía entre los diferentes elementos de una

población. La información que disponemos de cada elemento es resumida en variables.

VARIABLES CUALITATIVAS O ATRIBUTOS: no se pueden medir numéricamente (por ejemplo:

nacionalidad, color de la piel, sexo).

VARIABLES CUANTITATIVAS: tienen valor numérico (edad, precio de un producto, ingresos anuales).

Las variables cuantitativas se pueden clasificar en discretas y continuas:

Discretas: sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo: número de hermanos

(puede ser 1, 2, 3....,etc, pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3,45).

Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, la velocidad de un

vehículo puede ser 80,3 km/h, 94,57km/h...etc.

Frecuencia absoluta: fi Indica el número de veces que se repite un valor de la variable.

Frecuencia relativa: hi Indica la proporción con que se repite un valor. Se obtiene dividiendo la

frecuencia absoluta entre el tamaño de la muestra. Para una mejor interpretación es más conveniente

mutiplicarla por 100 para trabajar con una Frecuencia relativa porcentual.

Frecuencia absoluta acumulada: Fi Indica el número de valores que son menores o iguales que el valor

dado.

Frecuencia relativa porcentual acumulada: Hi Indica el porcentaje de datos que son menores o iguales

que el valor dado.



6. DESARROLLO DEL NÚCLEO TEMÁTICO

La distribución de frecuencia es la representación estructurada, en forma de tabla, de toda la información que se ha recogido sobre la variable que se estudia. Veamos un ejemplo: Medimos la altura de los niños de una clase y obtenemos los siguientes resultados (cm):



REALIZA UNA TABLA DE FRECUENCIAS SOBRE

EDAD DE LAS PERSONAS DEL CURSO.

Si presentamos esta información estructurada obtendríamos la siguiente tabla de frecuencia:



7. EVALUACIÓN

Actividad Metodología Valoración Fecha Trabajo en grupo

- Realización de talleres - Participación en juegos

20% Continuamente

Trabajo individual

- Sustentación de ejercicios. - Revisión de cuaderno - Participación en juegos - Participación en clase

40%

Continuamente

Trabajo individual

- Responsabilidad - Material para la clase - Trato a los compañeros - Atención y compromiso en clase - Participación en semilleros, grupos

de estudio. - Autoevaluación formativa - Creatividad

40%

continuamente

8. BIBLIOGRAFIA

Guías de Aprendizaje diseñadas por el docente

• BALDOR,A. ALGEBRA. ED Publicaciones Cultural.

- http://www.matematicastyt.cl/Algebra_Basica/Algebra_Elemental/Fracciones_Algebraicas/pag4.htm

- http://www.pnte.cfnavarra.es/iesmarci/departamentos/matematicas/ejercicios/8.pdf

- www.sanignacio.cl/academica/Sectoresdeformacion/Matematica/materiales/documentos/.../FRACCIONES%20ALGEBRAICAS.doc (1)



OBSERVACIÓN GENERAL----

Se diseño una pagina web de matemáticas para los grados 8D, Noveno, Media Tecnica, allí se colgaran talleres, ejercicios de preparación y demás actividades

que se diseñen: www.matematicacentral.blogspot.com

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