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INSTITUCIÓN EDUCATIVA EMILIANO GARCÍA

Girardota –Antioquia e-mail [email protected]

1. Área MATEMÀTICAS Grado: Noveno

Educador: Mauricio Salazar Periodo: 2

Eje temático: Sistemas Numéricos y Algebra

Tiempo estimado: 9 semanas

2.

ESTANDAR NÚCLEO LOGRO INDICADOR Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas

Radicación y propiedades. Racionalización. Números complejos

Realiza operaciones donde intervienen radicales. Realiza operaciones con Números Complejos.

Aplica las propiedades de la radicación para hacer simplificaciones. Realiza operaciones con radicales. Resuelve ejercicios de racionalización. Hace cálculos con los números complejos.

Aplico y justifico criterios de congruencias y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas.

Teorema de Pitágoras. Teorema 30,60,90.

Semejanza de triángulos. Áreas Sombreadas.

Utiliza el teorema de Pitágoras, criterios de semejanza y otras propiedades de triángulos rectángulos para resolver problemas.

Halla la hipotenusa o uno de los catetos a partir de otros datos conocidos.

Utiliza propiedades de las figuras geométricas para calcular áreas sombreadas.



Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.

Ecuaciones lineales en una variable.

Problemas con ecuaciones lineales.

Resuelve ecuaciones lineales donde aparece una sola variable.

Despeja la incognita en una ecuación lineal.

Plantea y resuelve problemas con ecuaciones lineales.

3.PRESENTACIÓN

Ahora abordaremos el cálculo de raíces. Algunas raíces son fácilmente

reconocibles, por ejemplo 39 ±= ; 283 −=−

¿Sin embargo, cómo Sin embargo, cómo Sin embargo, cómo Sin embargo, cómo

calcularcalcularcalcularcalcular ????5645 10 =yx ?

4. CONOCIMIENTOS PREVIOS

Para llevar a cabo el estudio de las temáticas deberás saber resolver:

- Operaciones con Números Fraccionarios.

- Leyes de la potenciación de números reales.

- Propiedades de la Radicación



EJERCICIOS DE ACTIVACIÓN DE CONOCIMIENTOS….

Simplificar

a) ( )[ ]332−

b)

43

5

2−−

c) ( )[ ]332− ( )[ ]22−

d) 333-5222-3

e) 83

3226

486 −

RECORDAR QUE:…

FORMULAS DE POTENCIACION Y RADICACION

( )[ ] rtrt

tpt

p

nmnm

xx

xx

x

xxx

xx

=

=

=±=

−

+

2



5. PALABRAS CLAVES

6. DESARROLLO DEL NUCLEO TEMATICO

RADICACIÓN…

OPERACIONES INVERSAS

POTENCIACIÓN RADICACIÓN

; n es el exponente; a es la base, b es la potencia

; n es el índice, es el símbolo radical; a es el radicando; b es la raíz

Definición

la base se repite n veces en el producto el índice es un indicador no participa del cálculo

Condiciones

¡OJO!

Cero

Uno

Cero

Uno

Análisis de signos

RAIZ DE RAIZ

RADICACIÓN RACIONALIZACION NUMEROS

COMPLEJOS CONJUGADO OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS

ECUACIONES LINEALES.



Base Exponente Potencia Ejemplo Radicando Índice Raíz Ejemplo

+ -

PAR + Siempre

+ -

PAR + no tiene solución

+ -

IMPAR + -

+ -

IMPAR + -

¡OJO!

OPERACIONES INVERSAS

POTENCIACIÓN RADICACIÓN

Propiedades

Propiedad

Ejemplo

Propiedad

Raiz de raiz

Ejemplo

Ley distributiva



RACIONALIZACIÓN

Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por la expresión adecuada, de forma que al operar desaparezca la raíz del denominador.

Ejemplo: Racionalizar n ea

1

Solución: La idea es hacer que desaparezca la raíz del denominador. Para ello hay que multiplicar numerador y denominador por la misma expresión, y luego simplificar.



Números complejos

¿POR QUE SURGEN LOS DISTINTOS CONJUNTOS NUMÉRICOS?

Podemos pensar en las progresivas ampliaciones de los conjuntos numéricos como el método

necesario para resolver ecuaciones algebraicas progresivamente complicadas. Así, el paso de N a Z

se justificaría por la necesidad de dar solución a una ecuación como x + 5 = 0, pues no hay ningún

número natural que al sumarlo con 5 genere como resultado el 0. (Recordar que los Números

Naturales=N = 1,2,3,4,5….)

El paso de Z a Q por la necesidad de dar solución a ecuaciones de la forma 5x = 1.No hay ningún

número entero que al multiplicarlo con 5 de como resultado 1. Por lo tanto, se ve la necesidad de

ampliar el conjunto de los números Enteros y considerar otro conjunto como sería el de las

fracciones.

El paso de Q a R permite además dar solución a ecuaciones como x2 − 2 = 0; es decir x2 = 2. ¿Existirá

un número que al elevarlo al cuadrado de cómo resultado el 2?

El paso de R a C viene motivado históricamente por la necesidad de trabajar con las soluciones de

ecuaciones como x2 + 1 = 0, es decir, con raíces cuadradas de números negativos. Inicialmente, se

trabajaba con dichas raíces, llamadas números imaginarios por Descartes, como paso intermedio

hasta llegar a un número real (típicamente elevando el número imaginario al cuadrado en algún

momento de los razonamientos). Posteriormente, en los siglos XVIII y XIX, se formaliza la noción de

número complejo, lo que convierte a estas entidades algebraicas en “miembros de pleno derecho”

de las familias numéricas.1 Todos sabemos que al elevar cualquier número real al cuadrado, sea

positivo o negativo, el resultado se espera que sea positivo.

Sin embargo, la solución de la ecuación x2 = -1; existe dentro de los llamados números complejos.



CONCEPTOS

En el conjunto de los números reales, una ecuación tan sencilla como x2 + 1 = 0 no se puede resolver ya que es equivalente a x2 = -1 y no existe ningún número real cuyo cuadrado sea negativo. Así, para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario construir un conjunto de números que contenga a los reales y en el que se puedan calcular las raíces cuadradas y, en general, de índice par de números negativos.

Un número complejo es un número de la forma a+bi, donde a y b son números reales,

llamados parte real y parte imaginaria respectivamente, e i es la unidad imaginaria que se define como i = √-1

El conjunto de números complejos es C = {a+bi / a, b ϵ R}.

Los números complejos con parte imaginaria no nula, es decir de la forma a+bi, a=0 se llaman

números imaginarios y si además la parte real es nula, es decir son de la forma bi, se

llaman números imaginarios puros. Si la parte imaginaria del número complejo a+bi es nula, entonces se tiene el número real a+0i = a.

Se dice que dos números complejos son iguales si lo son sus partes reales y sus partes imaginarias. Es decir, a+bi = c+di si se verifica a = c y b = d.

Ejemplo:

a) 2- 4i es un número complejo con parte real 2 y parte imaginaria -4.

b) El número real -2 se puede considerar como un número complejo con parte real -2 y parte imaginaria O, ya que se puede escribir -2 = -2+0i.

c) 7i es un número complejo con parte real 0 y parte imaginaria 7, por tanto, es un número imaginario puro.

Dado un número complejo, a+bi, su conjugado es otro número complejo que tiene la misma

parte real y la parte imaginaria de signo contrario. Se representa a+bi = a-bi.

Se verifica que el conjugado del conjugado de un número complejo es el mismo número, es decir,

a+bi = a+bi.



Algunas ecuaciones que no se pueden resolver en el conjunto de los números reales, tienen solución en el conjunto C. En general, se verifica que toda ecuación polinómica con coeficientes reales de grado n tiene n soluciones en el conjunto de los números complejos, pudiendo ser éstas números reales o imaginarios. Además, si tiene como solución un número imaginario, también es solución el conjugado de éste.

Ejemplo:

a) La ecuación x2 + 9 = 0 es equivalente a x2 = -9, por tanto, no tiene solución en R. Sin embargo, sí la tiene en C ya que en este conjunto se pueden realizar las siguientes operaciones:

x = ±.√-9= ± √9 √-1 = ± 3i

Por tanto, en el conjunto de los números complejos la ecuación tiene dos soluciones que son x

= -3i y x = 3i y se observa que son números complejos conjugados entre sí.

OPERACIONES

Suma de números complejos

Dados dos números complejos se define su suma como otro número complejo cuya parte real es la suma de las partes reales y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias.

(a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i

Ejemplo:

a) (3-2i) + (4+5i) = (3+4)+(-2+5)i = 7+3i b) En la práctica es habitual no poner cada sumando entre paréntesis. Así, para sumar 4+1/3i y 3/2 + 2/3i se procede como sigue: (4 + 3/2) + (1/3 + 2/3)i = 11/2 + 2i/3

Propiedades

1. Asociativa: [(a+bi) + (c+di)] + (e+fi) = (a+bi) + [ (c+di) + (e+fi)]

2. Elemento neutro: es el número 0 = 0+0i, ya que se cumple (a+bi) + 0 = 0 + (a+bi) = a+bi

3. Elemento simétrico: Dado a+bi su elemento simétrico, llamado opuesto, es -(a+bi) = -a-bi, ya que se cumple (a+bi) + (-a-bi) = (-a-bi) + (a+bi) = 0



4. Conmutativa: (a+bi) + (c+di) = (c+di) + (a+bi)

Con estas propiedades se puede decir que el conjunto de los números complejos con la operación suma es un grupo conmutativo.

Producto de números complejos

Dados dos números complejos a+bi y c+di su producto es otro número complejo de la forma

(a+bi).(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

Ejemplo: (3-2i).(4+7i) = (3.4-(-2)7) + (3.7+(-2)4)i = 26+13i

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Los números complejos se representan en el plano. Para ello se consideran los ejes coordenados y se representan en el eje de abscisas la parte real del número complejo y en el eje de ordenadas la parte imaginaria. Así, dado el número complejo a+bi, su representación en el plano se corresponde con el punto dado por el par (a, b). Y recíprocamente, dado un punto en el plano definido por el par (a, b), este punto representa el numero complejo a+bi.

Debido a la correspondencia biunívoca que se establece entre los números complejos y los puntos del plano, éste recibe el nombre de plano complejo, el eje de abscisas se llama eje real, y el eje de ordenadas, eje imaginario.



Propiedades

1. Los números complejos con parte imaginaria nula (números reales) se representan en el eje de abscisas.

2. Los números complejos con parte real nula (números imaginarios puros) se representan en el eje de ordenadas.

3. Un número complejo y su opuesto vienen representados en el plano por puntos simétricos respecto al origen.

4. Un número complejo y su conjugado vienen representados en el plano por puntos simétricos respecto al eje de abscisas.

Ejemplo: A continuación se representan en el plano complejo los números -2+3i, 3 e i.



ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

En este tema resolveremos problemas donde se plantean ecuaciones con una incógnita. Para ello veremos ejemplos de ecuaciones, cómo resolverlas y cómo traducirlas al lenguaje simbólico. Comencemos con la siguiente situación…

Trataremos a lo largo de esta unidad de resolver situaciones problemáticas como la anterior por medio de ecuaciones lineales con una incógnita.

En un espectáculo el mago realiza el siguiente truco…

- Piensa un número…

- Súmale 15 al número pensado…

- Multiplica por 3 el resultado…

- Al resultado réstale 9…

- Divide por 3…

- Resta 8…

- Dime cuál es el resultado obtenido y te diré qué número pensaste. El espectador

dice 32…

Instantáneamente el mago afirma con solvencia

- El número que pensaste fue el 28

¿CÓMO LO HIZO?



Definición

Las soluciones de una ecuación son los valores que al reemplazar o sustituirlos en las incógnitas hacen cierta la igualdad.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES

Para resolver algunas ecuaciones lineales usaremos el concepto de ecuaciones equivalentes. Para esto "transformaremos" la ecuación en otras equivalentes a la original, hasta obtener una ecuación de la forma , donde es una incógnita y es una constante real.

Algunas "transformaciones" que se pueden usar para obtener ecuaciones equivalentes entre sí

1. Permutar miembros de la ecuación

La ecuación es equivalente a la ecuación

2. Sumar el mismo número a ambos miembros de la igualdad

Definición

Sean constantes reales con . Se llama ecuación lineal o de primer

grado con una incógnita a toda ecuación de la forma

Por ejemplo, son ecuaciones lineales con una incógnita:

1)

2)

3)




3. Multiplicar ambos miembros de la igualdad por un mismo número (diferente de cero)


4. Algunas propiedades de la adición y la multiplicación definidas en (conmutativa, asociativa, etc.)

Veamos algunos ejemplos los cuales se resuelven usando las propiedades anteriores:

Ejemplo

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

1)

Solución

=

= =

Por lo que el conjunto solución de es {4}

2) Solución

=

= =

=

=



=

Por lo que el conjunto solución de es

3) Solución

= = =

=

=

=

Por lo que el conjunto solución de es {-1}

4)

Solución

=

=

=

=

=



=

=

Por lo que el conjunto solución de es

Nota

En el proceso de resolución de ecuaciones no es necesario enumerar todas las transformaciones que se realicen, pues a veces se pueden "dejar de escribir" algunos pasos.

Ejemplo


1) Solución

= =

=

=

=

Por lo que el conjunto solución es

2)

Solución

=



=

=

= = =

Por lo que el conjunto solución es {-10}

Ejemplo


1) Solución

= = = = = = =

=

=

Por lo que el conjunto solución es

2)



Solución

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Por lo que el conjunto solución es {0}

Ejercicios


a)

b)



c)

d)

e)

f)

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS UTILIZANDO ECUACIONES LINEALE S.

Ahora trataremos de resolver problemas utilizando ecuaciones lineales. Parra ello podemos tener en cuenta los siguientes pasos:

Veamos como resolver un problema paso a paso

- Lectura comprensiva del enunciado

- Traducción al lenguaje simbólico

- Expresión de la ecuación correspondiente

- Resolución de la ecuación

- Verificación del resultado obtenido



Retomemos el problema inicial del mago.

Piensa un número… Súmale 15 al número pensado… Multiplica por 3 el resultado…Al resultado

réstale 9… Divide por 3… Resta 8… Dime cuál es el resultado obtenido y te diré qué número

pensaste. El espectador dice 32… Instantáneamente el mago afirma con solvencia El número que

pensaste fue el 28





RESOLVER EJERCICIOS DEL ALGEBRA SOBRE PROBLEMAS CON ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE







El Teorema de Pitágoras

El enunciado del Teorema de Pitágoras es el siguiente: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:

Puede enunciarse diciendo que, en un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido con lado igual a la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos con lado igual a cada cateto. Una forma de demostrarlo sería viendo que para todo triángulo rectángulo, el área del cuadrado amarillo es equivalente a la suma de las áreas de los cuadrados verdes.

Hipotenusa = C

Cateto = a

Cateto = b



Calculo del teorema de Pitagoras

Calculo de la hipotenusa

Encontrar el valor de la hipotenusa de un triangulo rectángulo en donde el valor del

cateto a es igual a 5 unidades y el valor del cateto b es igual a 9 unidades

a= 5 unidades

b= 9 unidades c= X

Partiendo de la ecuación para el teorema de Pitágoras el cual se enuncia como.

La suma del cuadrado de los dos catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado

a2 + b2 = c2

Sustituyendo los valores en la ecuación

c2 = (5)2 unidades + (9)2 unidades

c2 = 25 + 81

c2 = 106

Despejando c

c = √106 unidades

c = 10.29 unidades

Calculo de un cateto

Encontrar el valor del cateto a de un triangulo rectángulo en donde el valor del cateto

b es igual a 5 unidades y el valor de la hipotenusa es igual a 7



a= x unidades b= 5 unidades

c= 7 unidades

Partiendo de la ecuación para el teorema de Pitágoras el cual se enuncia como.

La suma del cuadrado de los dos catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado

a2 + b2 = c2

Despejando el valor que deseamos tenemos

c2 - b2 = a2

a2 = c2 - b2

a2 = 72 - 52

Sustituyendo los valores en la ecuación

a2 = (7)2 unidades - (5)2 unidades

a2 = 49 - 25

a2 = 24

a = √24 unidades

a = 4.89 unidades

Un ejercicio practico…. Un conductor tiene dos opciones para llegar a su casa. Primera Opción. Conducir una distancia de 500 mts el línea hasta un semáforo y de ahí girar a la derecha y conducir 400 mts para llegar a su casa. Segunda Opción.

Subir una pendiente desde el punto donde se encuentra hasta su casa. ¿Cuál opción crees que sea la opción mas corta?



Mediante este ejercicio se demuestra que la distancia mas corta entre dos

puntos es la que se da en línea recta

500 mts

400 mts Pendiente



EVALUACIÓN Actividad Metodología Valoración Fecha Trabajo en grupo

- Realización de talleres - Participación en juegos

20% Continuamente

Trabajo individual

- Sustentación de ejercicios. - Revisión de cuaderno - Participación en juegos - Participación en clase

40%

Continuamente

Trabajo individual

- Responsabilidad - Material para la clase - Trato a los compañeros - Atención y compromiso en clase - Participación en semilleros, grupos

de estudio. - Autoevaluación formativa - Creatividad

40%

continuamente

8. BIBLIOGRAFIA Guías de Aprendizaje diseñadas por el docente

• BALDOR,A. ALGEBRA. ED Publicaciones Cultural. - http://www.matematicastyt.cl/Algebra_Basica/Algebra_Elemental/Fracciones

_Algebraicas/pag4.htm - http://www.pnte.cfnavarra.es/iesmarci/departamentos/matematicas/ejercicio

s/8.pdf - www.sanignacio.cl/academica/Sectoresdeformacion/Matematica/materiales/docum

entos/.../FRACCIONES%20ALGEBRAICAS.doc (1)

OBSERVACIÓN GENERAL----

Se diseño una pagina web de matemáticas para los grados 8D, Noveno, Media Tecnica, allí se colgaran talleres, ejercicios de preparación y demás actividades

que se diseñen: www.matematicacentral.blogspot.com

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