INSS Racioc Log Aula00 Guilherme Neves

8/3/2019 INSS Racioc Log Aula00 Guilherme Neves

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CURSO ON-LINE RACIOCNIO LGICO P/ INSSPROFESSOR: GUILHERME NEVES

3www.pontodosconcursos.com.br

2. Anlise Combinatria

Chamamos de Anlise Combinatria ou simplesmente Combinatria a parte daMatemtica que estuda as estruturas e relaes discretas. Falando na lngua doconcurss, a Anlise Combinatria a parte da Matemtica que se preocupa emrealizar contagens dos subconjuntos de um conjunto finito que satisfazem certascondies dadas.

A grande maioria dos alunos pensa que a Anlise Combinatria o estudo dosarranjos, combinaes e permutaes. Isto na verdade apenas um assunto deAnlise Combinatria, que, a bem da verdade, 99,9% do necessrio para uma provade concurso pblico.

A Anlise Combinatria trata de vrios outros problemas que esto alm dos nossosobjetivos e no sero vistos neste curso. Calma, no sero vistos porque nuncaapareceram nem aparecero em prova alguma de concurso (assuntos comopermutaes caticas, funes geradoras, etc.)

Diga-se de passagem, este um dos assuntos mais importantes (se no for o maisimportante) de toda a Matemtica concurseira. um assunto adorado por todas asbancas organizadoras.

Vocs percebero um aspecto um pouco diferente nesta aula: no apresentaremos afrmula dosarranjos . Optei em seguir esta linha, pois no acho que seja didticoutilizar frmulas e casos particulares em demasia. Quem troca o princpio fundamentalda contagem por frmulas de arranjos ter dificuldades imensas em resolver inmerosproblemas de anlise combinatria. Combinatria no difcil; impossvel aprender alguma coisa apenas com truques em vez de mtodos .

3. Fatorial

Antes de iniciarmos nossos estudos em Combinatria, vamos aprender umaimportante ferramenta matemtica que muito vai nos ajudar em assuntos posteriores.

Sendo um nmero natural, define-se fatorial de e indica-se ! expresso:! 1 2 2 1, 21! 10! 1

Exemplos

3! 3 2 1 64! 4 3 2 1 24

5! 5 4 3 2 1 120


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Observao: a leitura correta da expresso ! fatorial de n. Muitas pessoas,erradamente, falam n fatorial. Esta leitura incorreta pode gerar ambigidades. Porexemplo:

2 3! 2 3

As pessoas que falam n fatorial vo falar assim (erradamente):

2 3 ! 2 3

2 3! 2 3 2 3 ! 2 3

Esperamos ter convencido que a leitura correta de! fatorial de n.

Exemplo: Calcular !!.

Resoluo

Poderamos simplesmente expandir os dois fatoriais e cortar os fatores comuns.

8!6!

8 7 6 5 4 3 2 16 5 4 3 2 18 7 56

Entretanto, podemos simplificar os clculos notando que:

8!6!

8 7 6!6! 8 7 56

Em suma, podemos expandir o fatorial at o fator desejado e, em seguida, colocar osmbolo do fatorial no final. Vamos ver mais um exemplo.

Exemplo: Calcule o valor de!

! !. Aqui podemos expandir o fatorial de 8 e travar no nmero 5. Lembre-se de expandiro fatorial de 3.

8!5! 3!

8 7 6 5 !5! 3 2 1

Neste ponto, podemos cancelar 5!. Observe ainda que3 2 1 6.

8!5! 3!

8 7 6 5 !5! 3 2 1

8 7 66 8 7 56

8! 8 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6!6!


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4. Exemplos Introdutrios

Exemplo 1: Quantos so os resultados possveis que se obtm ao jogarmos umamoeda no-viciada duas vezes consecutivas para cima?

Como podemos ver no diagrama de rvore, so 4 possibilidades. No primeirolanamento h duas possibilidades (cara ou coroa) e no segundo lanamento h duaspossibilidades (cara ou coroa) gerando os seguintes resultados: (CARA,CARA),(CARA,COROA), (COROA,CARA), (COROA,COROA).

Lanamentodas moedas

Cara

Cara Cara,Cara

Coroa Cara,Coroa

Coroa

Cara Coroa,Cara

Coroa Coroa,Coroa


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Exemplo 2: Em uma urna, h existem bolas vermelhas (V), pretas (P) e azuis (A). Umabola retirada, observada e devolvida para a urna. Qual o nmero de resultadospossveis em 3 extraes sucessivas?

`

Extraodas bolas

V

V

V

P

A

P

V

P

A

A

V

P

A

P

V

V

P

A

P

V

P

A

A

V

P

A

A

V

V

P

A

P

V

P

A

A

V

P

A


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Temos 3 possibilidades para a primeira extrao (V, P ou A), 3 possibilidades para asegunda extrao (V,P ou A) e 3 possibilidades para a terceira extrao (V,P ou A).Temos um total de 27 possibilidades.

Exemplo 3: Numa sala h 3 homens e 2 mulheres. De quantos modos possvel

selecionar um casal (homem-mulher)?Vamos chamar os homens de H1,H2,H3 e as mulheres de M1,M2. Para escolher ohomem temos 3 possibilidades e para escolher a mulher temos 2 possibilidades.

Existem 3 possibilidades para a primeira etapa (a primeira etapa escolher o homem),2 possibilidades para a segunda etapa (a segunda etapa escolher a mulher). Onmero de diferentes casais que podem ser formados igual a3 2 6. Este oprincpio fundamental da contagem que pode ser assim enunciado.

5. Princpio Fundamental da Contagem

Se um experimento pode ocorrer em vrias etapas sucessivas e independentes de talmodo que:

- o nmero de possibilidades da 1 etapa.

- o nmero de possibilidades da 2 etapa.

.

.

.

- o nmero de possibilidades da n-sima etapa.O nmero total de possibilidades de o acontecimento ocorrer igual a

Casais

H1M1 H1 M1

M2 H1 M2

H2M1 H2 M1

M2 H2 M2

H3M1 H3 M1

M2 H3 M2


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Vamos resolver novamente os exemplos introdutrios com o auxlio do princpiofundamental da contagem.

Exemplo 1: Quantos so os resultados possveis que se obtm ao jogarmos umamoeda no-viciada duas vezes consecutivas para cima?

Resoluo

So duas etapas: lanar a primeira moeda e lanar a segunda moeda. H 2possibilidades no lanamento da primeira moeda e 2 possibilidades no lanamento dasegunda moeda. Portanto, so 2 2 4resultados possveis.Exemplo 2: Em uma urna, h existem bolas vermelhas (V), pretas (P) e azuis (A).Uma bola retirada, observada e devolvida para a urna. Qual o nmero deresultados possveis em 3 extraes sucessivas?

Resoluo

So trs etapas: observar a cor da primeira bola, observar a cor da segunda bola eobservar a cor da terceira bola. H 3 possibilidades para a primeira etapa, 3possibilidades para a segunda etapa e 3 possibilidades para a terceira etapa. So,portanto,3 3 3 27resultados possveis.Exemplo 3: Numa sala h 3 homens e 2 mulheres. De quantos modos possvelselecionar um casal (homem-mulher)?

ResoluoSo duas etapas: escolher o homem do casal e escolher a mulher do casal. Existem 3possibilidades para a escolha do homem e 2 possibilidades para a escolha da mulher.Podemos selecionar o casal de3 2 6modos diferentes.

Os passos bsicos para resolver os problemas com o Princpio Fundamental daContagem so os seguintes:

i) Identificar as etapas do problema.ii) Calcular a quantidade de possibilidades em cada etapa.

iii) Multiplicar.Exemplo: Para fazer uma viagem Recife-Petrolina-Recife, posso escolher comotransporte nibus, carro, moto ou avio. De quantos modos posso escolher ostransportes se no desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na ida?

Resoluo

Vejamos novamente os passos:

i) Identificar as etapas do problema.

Escolher o transporte da ida e escolher o transporte da volta.


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ii) Calcular a quantidade de possibilidades em cada etapa.

Temos 4 possibilidades para a ida e 3 possibilidades para a volta (pois no desejoutilizar o mesmo meio de transporte).

iii) Multiplicar.

4 3 12modos.Quais seriam os 12 modos?

(nibus , carro);(nibus , moto);(nibus , avio);(carro, nibus); (carro, moto); (carro, avio);(moto, nibus); (moto, carro); (moto,avio);(avio, nibus); (avio, carro); (avio, moto).

Obviamente no precisamos descrever quais so os 12 modos. Mas para um exemplo

inicial, fica interessante mostr-los.01. (ANEEL 2006/ESAF)Em um campeonato de tnis participam 30 duplas, com amesma probabilidade de vencer. O nmero de diferentes maneiras para aclassificao dos 3 primeiros lugares igual a:

a) 24.360b) 25.240c) 24.460d) 4.060e) 4.650

Resoluo


Escolher o primeiro, o segundo e o terceiro colocado.


Temos 30 possibilidades para o primeiro colocado, 29 possibilidades para o segundocolocado e 28 possibilidades para o terceiro colocado.

iii) Multiplicar.

30 29 28 24.360diferentes maneiras.Letra A

02. (INSS 2009/FUNRIO) Quantos nmeros inteiros, cujos algarismos so todosmpares e distintos, existem entre 300 e 900?a) 24.b) 27.c) 48.d) 36.e) 64.


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Resoluo

O problema exige que utilizemos apenas algarismos mpares: 1, 3, 5, 7 ou 9. Almdisso, devemos utilizar algarismos distintos na formao do nmero.

Como os nmeros devem estar entre 300 e 900, ento os nmeros devem possuir 3algarismos distintos.

Vamos seguir o passo a passo.


Escolher o algarismo das centenas, o algarismo das dezenas e o algarismo dasunidades.


S podemos utilizar algarismos mpares. Como os nmeros esto compreendidosentre 300 e 900, ento o algarismo das centenas s pode ser 3, 5 ou 7. Desta forma,h 3 possibilidades para o algarismo das centenas . J utilizamos 1 dos 5algarismos que podemos utilizar (1,3,5,7,9). Assim,h 4 possibilidades para oalgarismo das dezenas e 3 possibilidades para o algarismo das unidades.

iii) Multiplicar.

3 4 3 36nmeros cujos algarismos so todos mpares e distintos, compreendidosentre 300 e 900.

Letra D

03. (Assistente Administrativo FURP 2010/FUNRIO) Um hacker descobriu os seisalgarismos de uma senha, mas no a posio desses algarismos na senha. Ele entodesenvolveu um programa de computador para testar combinaes distintas dessesalgarismos at obter o acesso ao sistema pretendido. Com este procedimento, ohacker conseguiu descobrir a senha aps testar 10% de todas as possibilidades.Sabendo-se que a senha formada por algarismos distintos, a quantidade detentativas mal sucedidas realizadas pelo hacker foia) 50.b) 58.c) 65.

d) 77.e) 71.

Resoluo

O hacker sabe quais so os 6 algarismos da senha, mas no sabe qual a ordem delesna formao da senha. Sabe tambm que a senha formada por algarismos distintos.

Desta forma, h 6 possibilidades para o primeiro algarismo, 5 possibilidades para osegundo algarismo, 4 possibilidades para o terceiro algarismo, 3 possibilidades para oquarto algarismo, 2 possibilidades para o quinto algarismo e 1 possibilidade para osexto algarismo.

O total de possibilidades igual a6 5 4 3 2 1 720.


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O hacker conseguiu descobrir a senha aps testar 10% de todas as possibilidades.

10% 720 10100 720 72 Portanto, o hacker acertou na 72 tentativa. Conclumos que o hacker fez 71tentativas mal sucedidas.

Letra E

(BB 2009/CESPE-UnB) Considerando que as equipes A, B, C, D e E disputem umtorneio que premie as trs primeiras colocadas, julgue os itens a seguir.

04. O total de possibilidades distintas para as trs primeiras colocaes 58.

Resoluo

Para o primeiro colocado temos 5 possibilidades, 4 possibilidades para o segundocolocado e 3 possibilidades para o terceiro colocado. Logo, pelo princpio fundamentalda contagem o total de possibilidades distintas para as trs primeiras colocaes 5 x4 x 3 = 60. O item esterrado.

05. O total de possibilidades distintas para as trs primeiras colocaes com a equipeA em primeiro lugar 15.

Resoluo

Se a equipe A est em primeiro lugar, temos 4 possibilidades para o segundo lugar e 3possibilidades para o terceiro lugar. Logo, pelo princpio fundamental da contagem, ototal de possibilidades distintas para as trs primeiras colocaes com a equipe A emprimeiro lugar 4 x 3 = 12. O item esterrado.

06. Se a equipe A for desclassificada, ento o total de possibilidades distintas para astrs primeiras colocaes ser 24.

Resoluo

Se a equipe A for desclassificada, sobram 4 equipes. O total de possibilidadesdistintas para as trs primeiras colocaes ser 4 x 3 x 2 = 24, pelo princpiofundamental da contagem. O item estcerto.

Exemplo: Quantas palavras contendo 4 letras diferentes podem ser formadas com umalfabeto de 26 letras?

Resoluo

Atente para o fato de que as letras devem ser diferentes! H 26 possibilidades para aprimeira letra, 25 possibilidades para a segunda letra, 24 possibilidades para a terceiraletra e 23 possibilidades para a quarta letra. O nmero de palavras igual a:

26 25 24 23 358.800Exemplo: Quantas palavras contendo 4 letras podem ser formadas com um alfabetode 26 letras?


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Resoluo

Neste caso, podemos repetir as letras. H 26 possibilidades para a primeira letra, 26possibilidades para a segunda letra, 26 possibilidades para a terceira letra e 26possibilidades para a quarta letra. O nmero de palavras igual a:

26 26 26 26 456.976

6. Permutaes Simples

De quantas maneiras possvel ordenar objetos distintos?

Vamos comear o problema com 4 objetos. O problema pode ser separado em 4etapas: escolher o primeiro objeto, escolher o segundo objeto, escolher o terceiro

objeto e escolher o quarto objeto.Temos 4 objetos possveis para o primeiro lugar, 3 objetos possveis para o segundolugar, 2 objetos possveis para o terceiro lugar e 1 objeto possvel para o ltimo lugar.

O total de maneiras igual a4 3 2 1 4! 24.No caso geral, temos modos de escolher o objeto que ocupar o primeiro lugar,

1 modos de escolher o objeto que ocupar o segundo lugar,..., 1 modo de escolhero objeto que ocupar o ltimo lugar. Portanto, o nmero de modos de ordenarobjetos distintos :

1 1 !Cada uma destas ordenaes chamada permutao simples de objetos e onmero de permutaes simples de objetos distintos representado por . Destamaneira, .!Exemplo: Quantos so os anagramas da palavra BOLA?

Resoluo

Cada anagrama de BOLA uma ordenao das letras B,O,L,A. Desta maneira, o

nmero de anagramas de BOLA 4! 4 3 2 1 24.

7. Permutaes de elementos nem todos distintos

Quantos anagramas possui a palavra ARARAQUARA?

O problema surge quando h letras repetidas como na palavra ARARAQUARA.

Nesta palavra a letra A aparece 5 vezes e a letra R aparece 3 vezes. Aparentemente a

quantidade de anagramas seria 10! (pois h 10 letras na palavra). Devemos fazer umacorreo por conta das letras repetidas. Devemos dividir o 10! por 5! e por 3! que so


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as quantidades de letras repetidas. Assim, o nmero de anagramas da palavraARARAQUARA igual a

, 10!5! 3!

10 9 8 7 6 5!5! 3 2 1

Observe que ao expandirmos o 10!, podemos trav-lo onde quisermos para efetuaros cancelamentos. Dessa forma,

, 10!5! 3!

10 9 8 7 63 2 1 5.040

07. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) O nmero de anagramas da palavraCHUMBOquecomeam pela letraC A)120B)140C) 160D)180E) 200

Resoluo

Fixando a letra C na primeira posio, devemos permutar as 5 letras restantes.Observe que no h letras repetidas. Desta forma, o nmero de anagramas igual a:

5! 5 4 3 2 1 120Letra A

08. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Quatro casais compram ingressos paraoito lugares contguos em uma mesma fila no teatro. O nmero de diferentes maneirasem que podem sentar-se de modo que a) homens e mulheres sentem-se em lugaresalternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheressentem-se juntas, so, respectivamente,

a) 1112 e 1152.b) 1152 e 1100.c) 1152 e 1152.d) 384 e 1112.

e) 112 e 384.Resoluo

a) H 1 M1 H2 M2 H3 M3 H4 M4

Vamos permutar os 4 homens nos lugares indicados e as 4 mulheres nos lugaresindicados. Devemos multiplicar o resultado por 2, pois no necessariamente devemoscomear por homem: poderamos ter comeado a fila com uma mulher.


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2 4! 4! 2 4 3 2 1 4 3 2 1 2 1.152

b)

Em todos os problemas de permutao onde houver pessoas ou objetos queobrigatoriamente fiquem juntos, deveremos coloc-los dentro de caixas. Assim, os 4homens sero permutados dentro da caixa, pois devem estar juntos. As 4 mulheressero permutadas dentro da caixa, pois devem estar juntas. Em seguida devemospermutar as duas caixas, pois as caixas no obrigatoriamente estaro na ordemdescrita acima.

Letra C

4! 4! 2! 4 3 2 1 4 3 2 1 2 1 1.152

Percebendo que os dois resultados so claramente os mesmos j que 2 iguala s poderamos marcar a letra C.09. (ANEEL Analista 2006/ESAF)Um grupo de amigos formado por trs meninos -entre eles Caio e Beto - e seis meninas - entre elas Ana e Beatriz -, compramingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema.Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmopacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porquequerem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Alm disso, todas as meninasquerem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essasinformaes, o nmero de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se igual a:

a) 1920b) 1152c) 960d) 540e) 860

Resoluo

Como falei na questo anterior, quando houver pessoas ou objetos queobrigatoriamente devam ficar juntos, devemos coloc-los em caixas. Chegamos aodesenho base feito acima. Vejamos as permutaes que devemos fazer.

i) Permutar as duas caixas maiores, pois podemos ter meninos esquerda e meninas direita ou o contrrio. Essa permutao corresponde a P2.

ii) Permutar Beto e Caio: P2

H1 H2 H3 H4 M1 M2 M3 M4

H 1Beto Caio M 1 M 2 M 3 M 4Ana Beatriz


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iii) Permutar o grupo (caixa) formado por Beto e Caio com o terceiro menino H1.Estamos permutando dois objetos (a caixa e o terceiro menino) e assim escrevemosP2.

iv) Permutar Ana e Beatriz: P2

v) Permutar a caixa formada por Ana e Beatriz e as 4 meninas. Teremos a permutaode 5 objetos (4 meninas e 1 caixa): P5.

O nmero de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se igual a 2! 2! 2! 2! 5! 2 2 2 2 120 1.920

Letra A

10. (Oficial de Chancelaria 2002/ESAF) Chico, Caio e Caco vo ao teatro com suasamigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. Onmero de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que

Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, igual a:a) 16b) 24c) 32d) 46e) 48

Resoluo

Caio Caco Biba

Devemos permutar Chico e Beti dentro da caixa: P2

Devemos permutar Caio, Caco, Biba e a Caixa: P4

4! 2! 4 3 2 1 2 1 48Letra E

8. Combinaes Simples

Imagine que dispomos das seguintes frutas: mas, bananas, mames e abacates.Desejamos fazer uma salada de fruta com 3 destas frutas, ento picamosseparadamente cada fruta e, em seguida misturamos tudo na seguinte ordem: ma,banana,mamo no primeiro prato e banana, ma e mamo no segundo prato. bvioque obtemos o mesmo resultado. Agrupamentos como este, que tm a caractersticade no mudar quando alteramos a ordem de seus elementos, so chamados decombinaes.

Chico Beti


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A pergunta aqui a seguinte: Dispomos de um conjunto com elementos. Queremosformar um subconjunto deste conjunto com elementos. De quantos modos podemosescolher estes elementos?

Estamos utilizando a linguagem dos conjuntos porque no existe ordem entre os

elementos de um conjunto. Por exemplo, os conjuntos, , so iguais.Vamos ilustrar: temos o conjunto {1,2,3,4,5} e queremos formar um subconjunto com 2elementos deste conjunto.

Temos as seguintes possibilidades:

{1,2},{1,3},{1,4},{1,5}fixando o nmero 1

{2,3},{2,4},{2,5}fixando o nmero 2

{3,4},{3,5} fixando o nmero 3

{4,5} fixando o nmero 4

Temos um total de 4+3+2+1=10 subconjuntos com 2 elementos.

Repare que corremos o risco de esquecer algum subconjunto, sobretudo se houverum nmero grande de elementos. para isto que serve a anlise combinatria. Contaragrupamentos sem precisar descrev-los.

Pois bem, tendo um conjunto com elementos, o nmero de subconjuntos comelementos igual ao nmero de combinaes de elementos tomados a e

calculado da seguinte maneira:

,!

! !Esta a frmula que aparece nos livros. Em breve iremos simplific-la.

No nosso caso, temos 5 elementos no conjunto ( 5) e queremos escolher 2 destes5 elementos ( 2 ).

5!2! 5 2 !

5!2! 3!

5 4 3!2 1 3!

5 42 1 10

Que exatamente o nmero de subconjuntos que havamos encontrado.

A maneira mais fcil de utilizar esta frmula a seguinte:

O nmero de combinaes sempre ser uma frao.

No denominador, devemos colocar o fatorial expandido do menor nmero.

2 1


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8 7 63 2 156 .

Letra A

12. (Prefeitura da Estncia Turstica de Embu 2006/CETRO) Com seis tipos de doce ecinco tipos de fruta, quantos pratos podem ser formados, tendo, cada um, dois tipos dedoce e dois tipos de fruta?(A) 300(B) 150(C) 75(D) 50(E) 25

Resoluo

Obviamente, em um prato de doces e frutas a ordem dos objetos no relevante.

Assim, temos 6 tipos de doces disponveis dos quais desejamos escolher apenas 2 etemos 5 tipos de frutas das quais desejamos escolher 2.

O total de possibilidades

6 52 15 42 1 150 .

Letra B

13. (EBDA 2006/CETRO) Um hospital tem trs mdicos e cinco enfermeiras. Quantasequipes de plantes com cinco profissionais podem ser formadas contendo no mnimoum mdico?(A) 15(B) 20(C) 40(D) 45(E) 55

Resoluo

A equipe ter no mnimo um mdico. Temos trs possibilidades:

i) Um mdico (dentre 3 disponveis) e 4 enfermeiras (dentre 5 disponveis).

315 4 3 24 3 2 115

ii) Dois mdicos (dentre 3 disponveis) e 3 enfermeiras (dentre 5 disponveis).

3 22 15 4 33 2 130

iii) Trs mdicos (dentre 3 disponveis) e 2 enfermeiras (dentre 5 disponveis).

3 2 13 2 15 42 1 10


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Total de possibilidades: 15 + 30 + 10 = 55.

Letra E

14. (TFC-CGU 2008/ESAF) Ana precisa fazer uma prova de matemtica composta de15 questes. Contudo, para ser aprovada, Ana s precisa resolver 10 questes das 15propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questes?a) 3003b) 2980c) 2800d) 3006e) 3005

Resoluo

Quando algum realiza uma prova, no relevante a ordem que resolvemosas questes. Assim, Ana tem 15 questes e deve escolher 10 para resolver. Aresposta

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1Trabalhoso?

Quando a quantidade de objetos que queremos escolher for muito grande, podemosutilizar um artifcio.

Veja bem, a deciso de escolher as 10 questes para responder a mesma decisode escolher as 5 questes que no vai responder!

Assim,

Grosso modo, para trocar o nmero de cima basta subtrair (15 10 = 5).

15 14 13 12 11 5 4 3 2 1

3.003Letra A

Ao descobrir que a resposta poderamos marcar a resposta sem fazer a contatoda. Veja:

15 14 13 12 115 4 3 2 1

J que 4 x 3 = 12, ento podemos cancelar estes nmeros na diviso. 14 dividido por2 igual a 7 e 15 dividido por 5 igual a 3.

3 7 13 11 21 13 11Percebe-se aqui que o algarismo das unidades igual a 3 e j podemos marcar a

alternativa A.


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a) 2.180b) 1.180c) 2.350d) 2.250e) 3.280

Resoluo

Inicialmente, vamos supor que no h pontos colineares, ou seja, no h pontos emlinha reta. Desta maneira, temos 25 pontos disponveis e precisamos escolher 3pontos para determinar um tringulo.Temos no total:

25 24 233 2 1 2.300

O problema que entre estes 2.300 tringulos, h alguns que na realidade no sotringulos e sim segmentos. Se por acaso os 3 pontos escolhidos estiverem na mesmareta no teremos tringulos. Quantos falsos tringulos existem? Para contar os falsostringulos devemos escolher 3 pontos dentre os 10 que esto na mesma reta. Temosno total:

10 9 83 2 1 120

Assim, o nmero de tringulos verdadeiros igual a2.300 120 2.180.

Letra A19. (AFRFB 2009/ESAF) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G so coplanares,ou seja, esto localizados no mesmo plano. Sabe-se, tambm, que destes setepontos, quatro so colineares, ou seja, esto numa mesma reta. Assim, o nmero deretas que ficam determinadas por estes sete pontos igual a:a) 16b) 28c) 15d) 24e) 32

Resoluo

Temos 1 reta que determinada pelos 4 pontos colineares.

Lembre-se que uma reta determinada por dois pontos distintos.

Olhe para os trs pontos que esto fora da reta.


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Precisamos escolher 2 pontos dentre estes 3 para determinar retas. Temos no total:

3 22 1 3

Temos ainda outra possibilidade. Escolher um ponto dentre os 4 colineares e escolherum ponto dentre os 3 no-colineares.

4131 12

O total de retas determinadas igual a1 3 12 16.Observe que utilizamos combinaes na resoluo desta questo porque a retaque passa pelos pontos A e B a mesma reta que passa pelos pontos B e A, ouseja, a ordem dos elementos no agrupamento no relevante.

Letra A

20. (AFT-MTE 2010/ESAF) O departamento de vendas de uma empresa possui 10funcionrios, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opes possveis existem parase formar uma equipe de vendas de 3 funcionrios, havendo na equipe pelo menosum homem e pelo menos uma mulher?a) 192.b) 36.c) 96.d) 48.e) 60.

Resoluo

Vamos imaginar inicialmente que no h restries no problema. Temos um total de10 funcionrios para escolher 3 para uma equipe de vendas. Obviamente em uma


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equipe de vendas no h ordem entre os elementos. Por exemplo, a equipe formadapor Vitor, Guilherme e Moraes a mesma equipe formada por Moraes, Vitor eGuilherme.

Desta forma, o nmero total de equipes (sem restries) igual a:

10 9 83 2 1 120

Vamos agora retirar as equipes que no nos interessa. O problema exige que cadaequipe tenha pelo menos um homem e pelo menos uma mulher. Portanto, no nosinteressa equipes formadas exclusivamente por homens assim como equipesformadas exclusivamente por mulheres.

: 4 3 23 2 1 4

: 6 5 43 2 1 20 O nmero de equipes pedido igual a120 4 20 96.Poderamos seguir a seguinte linha de raciocnio:

Se o problema pede que cada equipe tenha pelo menos um homem e pelo menosuma mulher, ento temos duas possibilidades:

i) Equipes com 1 homem e 2 mulheres

416 52 1 60 ii) Equipes com 2 homens e 1 mulher

4 32 161 36

O total igual a60 36 96equipes.Letra C

21. (AFRE-MG 2005/ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise,vo participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que asmodelos no desfilaro sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamentequatro das modelos. Alm disso, a ltima de cada fila s poder ser ou Ana, ouBeatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise no poder ser a primeira da fila.Assim, o nmero de diferentes filas que podem ser formadas igual a:

a) 420 b) 480c) 360d) 240e) 60


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Resoluo

Sabemos que Ana ou Beatriz ou Carla ou Denise devem, obrigatoriamente, estarna ltima posio da fila.

Sabemos tambm que Denise no pode ocupar a primeira posio das filas.

Vamos separar em 4 casos:

i) Ana est no ltimo lugar da fila. ____ _____ _____ Ana

So 7 pessoas no total e Ana j est posicionada. Sobram 6 pessoas. Denise nopode ocupar a primeira posio, portanto, h5 possibilidades para a primeiraposio .

Aps escolher a pessoa que ocupar a primeira posio (das 7 pessoas jposicionamos duas), sobram 5 possibilidades para a segunda posio e 4possibilidades para a terceira posio .

5 5 4 100 ii) Beatriz est no ltimo lugar da fila.

____ _____ _____ Beatriz

So 7 pessoas no total e Beatriz j est posicionada. Sobram 6 pessoas. Denise nopode ocupar a primeira posio, portanto, h5 possibilidades para a primeiraposio .


5 5 4 100 iii) Carla est no ltimo lugar da fila.

____ _____ _____ Carla

So 7 pessoas no total e Carla j est posicionada. Sobram 6 pessoas. Denise nopode ocupar a primeira posio, portanto, h5 possibilidades para a primeiraposio .


5 5 4 100


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iv) Denise est no ltimo lugar da fila. Agora no h restries para o primeirolugar. H 6 possibilidades para o primeiro lugar, 5 possibilidades para osegundo lugar e 4 possibilidades para o terceiro lugar.

Somando todas as possibilidades temos:6 5 4 120

100 100 100 120 420 Letra A

22. (AFC 2005/ESAF) Um grupo de dana folclrica formado por sete meninos equatro meninas foi convidado a realizar apresentaes de dana no exterior. Contudo,o grupo dispe de recursos para custear as passagens de apenas seis dessascrianas. Sabendo-se que nas apresentaes do programa de danas devemparticipar pelo menos duas meninas, o nmero de diferentes maneiras que as seiscrianas podem ser escolhidas igual a:

a) 286b) 756c) 468d) 371e) 752

Resoluo

Das 11 crianas, apenas 6 crianas tero as passagens custeadas. Lembre-se quedevem participar pelo menos duas meninas. Observe que em um grupo de pessoasno importante a ordem delas.

Para que isso acontea temos 3 possibilidades:

i) Duas meninas (escolhidas dentre 4) e 4 meninos (escolhidos dentre 7).

4 32 17 6 5 44 3 2 1 210

ii) Trs meninas (escolhidas dentre 4) e 3 meninos (escolhidos dentre 7).

4 3 23 2 17 6 53 2 1 140 iii) Quatro meninas (escolhidas dentre 4) e 2 meninos (escolhidos dentre 7).

4 3 2 14 3 2 17 62 1 21

O total de possibilidades igual a210 140 21 371.Letra D


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23. (APO-MPOG 2005/ESAF)Um grupo de estudantes encontra-se reunido em umasala para escolher aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles ir ao Simpsio deMatemtica do prximo ano. O grupo composto de 15 rapazes e de um certo nmerode moas. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma nica vez; asmoas cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma nica vez. H um total de 150cumprimentos. O nmero de moas , portanto, igual a:a) 10b) 14c) 20d) 25e) 45

Resoluo

Vamos considerar que h moas.

Perceba o seguinte fato: se Vitor cumprimenta Guilherme, Guilherme automaticamentecumprimenta Vitor. Isto significa que o cumprimento entre A e B o mesmocumprimento entre B e A. A ordem das pessoas nos cumprimentos no relevante.

Temos 15 rapazes e como os cumprimentos so realizados entre 2 rapazes, h umtotal de:

15 142 1 105

O enunciado informou que h um total de 150 cumprimentos. Os cumprimentos doshomens totalizam 105, portanto houve 45 cumprimentos entre as mulheres.

Temos moas e como os cumprimentos so realizados entre 2 moas, h um totalde cumprimentos entre as moas.

H duas possibilidades para resolver esta equao.

45

i) Testar as alternativas

a) 10 10 92 1 45

Portanto a resposta a letra A (que sorte hein?)

ii) Resolver a equao utilizando a fora braal

45 12 1

45

90


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Temos uma equao do segundo grau em

90 0. No caso temos que 1, 1,

90.

42 1 1 41 902 11 361

21 19

2Como um nmero positivo, devemos utilizar apenas o +.

1 192

202 10

Letra A

24. (APO-MPOG 2005/ESAF)Pedro e Paulo esto em uma sala que possui 10cadeiras dispostas em uma fila. O nmero de diferentes formas pelas quais Pedro ePaulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos umacadeira vazia entre eles, igual a:

a) 80b) 72c) 90d) 18e) 56

Resoluo

Se Pedro se sentar na primeira cadeira da esquerda, h 8 possibilidades de seescolher uma cadeira para Paulo de forma que fique pelo menos uma cadeira vaziaentre eles.

Pedro _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____

Se Pedro se sentar na ltima cadeira da direita, h 8 possibilidades de se escolheruma cadeira para Paulo de forma que fique pelo menos uma cadeira vazia entre eles.

_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ Pedro

Se Pedro se sentar em qualquer outra cadeira que no seja uma das extremidades,

haver 7 possibilidades de se escolher uma cadeira para Paulo.Por exemplo:

8 possveis lugares para Paulo

8 possveis lugares para Paulo


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_____ _____ _____ _____ _____ Pedro _____ _____ _____ _____

Como so 8 lugares que ficam no meio da fila, h um total de8 7 56possibilidades.Ento, somando todas as possibilidades, tem-se:8 8 56 72possibilidades.Podemos seguir o seguinte raciocnio:

Se no houvesse restries no problema, teramos 10 possibilidades para escolher olugar de Pedro e 9 possibilidades para escolher o lugar de Paulo. O total igual a:

Vamos excluir os casos que Pedro e Paulo esto juntos.

10 9 90

_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____

Temos 9 casos para colocar Pedro e Paulo juntos (nesta ordem) e 9 casos paracolocar Paulo e Pedro juntos (nesta ordem). Devemos excluir9 9 18casos.

Resposta: 90 18 72possibilidades.Letra B

25. (APO-MPOG 2009/ESAF) Beatriz fisioterapeuta e iniciou em sua clnica umprograma de reabilitao para 10 pacientes. Para obter melhores resultados nesteprograma, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em trs salas diferentes, demodo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na sala 2 fiquem 3 pacientes e na sala 3fiquem, tambm, 3 pacientes. Assim, o nmero de diferentes maneiras que Beatrizpode distribuir seus pacientes, nas trs diferentes salas, igual a:a) 2.440b) 5.600

c) 4.200d) 24.000e) 42.000

Resoluo

Observe que a ordem dos pacientes nas salas no relevante.

Temos 10 pacientes e devemos escolher 4 para ficar na primeira sala. Podemos fazerisso de

10 9 8 74 3 2 1 210

Possveis lugares para Paulo Possveis lugares para Paulo


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Sobram 6 pacientes e devemos escolher 3 pacientes para ficar na segunda sala.Podemos fazer isso de

6 5 43 2 1 20

3 2 11

Sobram 3 pacientes e os 3 devem ficar na terceira sala. S h 1 possibilidade.

3 2 1

Pelo princpio fundamental da contagem devemos multiplicar estas quantidades.

210 20 1 4.200 Letra C

26. (ANEEL 2004/ESAF) Quer-se formar um grupo de danas com 6 bailarinas, demodo que trs delas tenham menos de 18 anos, que uma delas tenha exatamente 18anos, e que as demais tenham idade superior a 18 anos. Apresentaram-se, para aseleo, doze candidatas, com idades de 11 a 22 anos, sendo a idade, em anos, decada candidata, diferente das demais. O nmero de diferentes grupos de dana quepodem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas igual a

a) 85.b) 220.c) 210.

d) 120.e) 150.

Resoluo

Temos uma bailarina com 11 anos, outra com 12 anos, e assim sucessivamenteat termos uma bailarina com 22 anos. Temos, portanto, 12 candidatas.

Temos 7 bailarinas com menos de 18 anos e devemos escolher 3.Temos 1 bailarina com 18 anos e ela deve ser escolhida.Temos 4 bailarinas com mais de 18 anos e devemos escolher 2.

Assim, o nmero de diferentes grupos de dana que podem ser selecionados

7 6 53 2 111

4 32 1 210Letra C

27. (ANEEL 2004/ESAF) Dez amigos, entre eles Mrio e Jos, devem formar uma filapara comprar as entradas para um jogo de futebol. O nmero de diferentes formas queesta fila de amigos pode ser formada, de modo que Mrio e Jos fiquem sempre juntos igual a


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a) 2! 8!b) 0! 18!c) 2! 9!d) 1! 9!e) 1! 8!

Resoluo

J que Mrio e Jos devem ficar sempre juntos, vamos considerar inicialmente Jos eMrio como uma nica pessoa. Neste caso, teramos 9 pessoas e podemos permut-las de 9!maneiras diferentes.Alm disso, podemos permutar Mrio e Jos entre si o que pode ser feito de 2!maneiras diferentes.

Assim, o nmero de diferentes formas que esta fila de amigos pode ser formada, de

modo que Mrio e Jos fiquem sempre juntos igual a 2!9!

Letra C

28. (AFC-STN 2002/ESAF) Em uma cidade, os nmeros dos telefones tm 7algarismo e no podem comear por 0. Os trs primeiros nmeros constituem oprefixo. Sabendo-se que em todas as farmcias os quatros ltimos dgitos so 0 e oprefixo no tem dgitos repetidos, ento o nmero de telefones que podem serinstalados nas farmcias igual a:

a) 504b) 720c) 684d) 648e) 842

Resoluo

Os nmeros de telefones das farmcias seguem o seguinte modelo: _ _ _ - 0000.

O enunciado fala que o primeiro algarismo no pode ser 0. Portanto, h 9

possibilidades para o primeiro dgito (podemos utilizar os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8,9).Para o segundo dgito podemos utilizar qualquer algarismo com exceo do primeiroalgarismo. Ficamos novamente com 9 possibilidades.

Para o terceiro dgito podemos ter todos os algarismos com exceo do primeiro e dosegundo algarismo. Ficamos com 8 possibilidades.

Desta maneira, pelo princpio fundamental da contagem temos um total de9 9 8 648possibilidades.

Letra D


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29. (AFC-SFC 2000/ESAF) Se o conjunto X tem 45 subconjuntos de 2 elementos,ento o nmero de elementos de X igual a:a) 10b) 20c) 35d) 45e) 90

Resoluo

Vamos supor que o conjunto X tem elementos. Para formar subconjuntos de 2elementos, devemos escolher 2 elementos dentre os elementos do conjunto X.Lembre-se que no h ordem entre os elementos de um conjunto.

O nmero de subconjuntos de 2 elementos dado por .

45H duas possibilidades para resolver esta equao.

i) Testar as alternativas

a) 1010 9

Portanto a resposta a letra A.2 1 45

Resolver a equao utilizando a fora braal45

12 1 45

90 90 0

Temos uma equao do segundo grau em . No caso temos que 1, 1, 90.

42

1 1 41 902 1

1 3612

1 192

Como um nmero positivo, devemos utilizar apenas o +.

1 19

2

20

210

Letra A


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30. (TFC 2000/ESAF) Em uma circunferncia so escolhidos 12 pontos distintos.Ligam-se quatro quaisquer destes pontos, de modo a formar um quadriltero. Onmero total de diferentes quadrilteros que podem ser formados :

a) 128

b) 495c) 545d) 1.485e) 11.880

Resoluo

Observe que a ordem dos vrtices no relevante na determinao do quadriltero.

Temos 12 pontos distintos (estes pontos no so colineares porque esto em umacircunferncia) e devemos escolher 4 para determinar os quadrilteros. Podemos fazer

isso de12 11 10 9

4 3 2 1 495 .Letra B

31. (AFT 1998/ESAF) Trs rapazes e duas moas vo ao cinema e desejam sentar-se,os cinco, lado a lado, na mesma fila. O nmero de maneiras pelas quais eles podemdistribuir-se nos assentos de modo que as duas moas fiquem juntas, uma ao lado daoutra, igual aa) 2

b) 4c) 24d) 48e) 120

Resoluo

Vamos considerar inicialmente que as duas moas se comportam como apenas umapessoa, j que elas devem ficar juntas. Devemos permutar 4 objetos (os trs rapazese o conjunto das moas). Alm disso, podemos permutar as 2 mulheres entre si. Ototal de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que asduas moas fiquem juntas, uma ao lado da outra, igual a

4! 2! 4 3 2 1 2 1 48Letra D

32. (TFC-CGU 2008 ESAF) gata decoradora e precisa atender o pedido de umexcntrico cliente. Ele o cliente exige que uma das paredes do quarto de sualha seja dividida em uma seqncia de 5 listras horizontais pintadas de coresdiferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que gata possui apenas 8 coresdisponveis, ento o nmero de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada igual a:


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Resoluo

Se desconsiderarmos a restrio exigida pelo problema, deveremos apenas permutaros 6 quadros. Isso pode ser feito de

Vamos considerar que 6! 6 5 4 3 2 1 720 a ordem cronolgica dos quadros de Gotuzo.Dessas 720 maneiras, os quadros de Gotuzo podem aparecer nas seguintessequncias (no necessariamente contiguamente, ou seja, um ao lado do outro).

1)2)

3)

4)

5)

6)

As 720 maneiras esto regularmente distribudas nas 6 possibilidades de organizaocronolgica descritas acima. Ou seja, em cada uma das 6 possibilidades, h 720/6 =120 maneiras de arrumar os quadros.

Como queremos os quadros de Gotuzo fiquem na ordem entoapenas a primeira possibilidade nos interessa.

Resposta: 120

Letra D(IPEA 2008/CESPE-UnB) Com relao a contagem e combinatria, julgue os itens quese seguem.

35. (IPEA 2008/CESPE-UnB) Considere que as senhas dos correntistas de um bancosejam formadas por 7 caracteres em que os 3 primeiros so letras, escolhidas entre as26 do alfabeto, e os 4 ltimos, algarismos, escolhidos entre 0 e 9. Nesse caso, aquantidade de senhas distintas que podem ser formadas de modo que todas elastenham a letra A na primeira posio das letras e o algarismo 9 na primeira posiodos algarismos superior a 600.000.

Resoluo

Observe que o problemano falou que as letras devem ser distintas nem que osnmeros devem ser distintos.

A primeira letra e o primeiro algarismo j foram selecionados. Desta forma, temos 26possibilidades para a segunda letra, 26 possibilidades para a terceira letra, 10possibilidades para o segundo algarismo, 10 possibilidades para o terceiro algarismo e10 possibilidades para o ltimo algarismo. O total de senhas igual a:

26 26 10 10 10 676.000O item estcerto.


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39. (BB 2008/CESPE-UnB) As 4 palavras da frase Danam conforme a msicapodem ser rearranjadas de modo a formar novas frases de 4 palavras, com ou semsignificado. Nesse caso, o nmero mximo dessas frases que podem ser formadas,incluindo a frase original, igual a 16.

Resoluo

Devemos simplesmente permutar as 4 palavras.

4 3 2 1 24O item esterrado.

40. (BB 2008/CESPE-UnB) Considerando todas as 26 letras do alfabeto, a quantidadede palavras de 3 letras que podem ser formadas, todas comeando por U ou V,

superior a 2 103.Resoluo

Se a palavra deve comear por U ou V, ento h apenas 2 possibilidades para aprimeira letra. Como as letras no obrigatoriamente devem ser distintas, ento h 26possibilidades para a segunda letra e 26 possibilidades para a terceira letra. H,portanto, 2 26 26 1.352palavras possveis. O item est errado porque1.352 < 2.000.

(BB 2008/CESPE-UnB) O Banco do Brasil S.A. (BB) patrocina as equipes masculina e

feminina de vlei de quadra e de praia. Segundo o portal www.bb.com.br, em 2007, ovoleibol brasileiro mostrou mais uma vez a sua hegemonia no cenrio internacionalcom a conquista de 56 medalhas em 51 competies, tanto na quadra quanto napraia. Nesse ano, o Brasil subiu ao lugar mais alto do pdio por 31 vezes e conquistou,ainda, 13 medalhas de prata e 12 de bronze. Com base nessas informaes, julgue ositens subsequentes.

41. (BB 2008/CESPE-UnB) Considerando-se que o treinador de um time de vleitenha sua disposio 12 jogadores e que eles estejam suficientemente treinadospara jogar em qualquer posio, nesse caso, a quantidade de possibilidades que otreinador ter para formar seu time de 6 atletas ser inferior a 103.

Resoluo

J que os 12 jogadores esto suficientemente treinados para jogar em qualquerposio, ento a ordem dos jogadores no relevante. Temos 12 atletas disponveispara escolher apenas 6. O total de possibilidades igual a:

12 11 10 9 8 76 5 4 3 2 1 924

O item estcerto porque 924 < 1.000.


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42. (BB 2008/CESPE-UnB) Considerando que o treinador de um time de vleidisponha de 12 jogadores, dos quais apenas 2 sejam levantadores e os demaisestejam suficientemente bem treinados para jogar em qualquer outra posio, nessecaso, para formar seu time de 6 atletas com apenas um ou sem nenhum levantador, otreinador poder faz-lo de 714 maneiras diferentes.

Resoluo

Vamos abrir o problema:

i) Com apenas um levantador

Temos duas possibilidades para escolher o levantador. Temos que escolher os outros5 jogadores dentre os 10 que esto suficientemente treinados para jogar em qualquerposio.

2 2 10 9 8 7 65 4 3 2 1 504

ii) Sem levantador

Temos que escolher os 6 jogadores dentre os 10 que esto suficientemente treinadospara jogar em qualquer posio.

10 9 8 7 6 56 5 4 3 2 1 210

O total de maneiras possveis igual a0020504 210 714.O item estcerto.

(BB 2009/CESPE-UnB) Com relao a lgica sentencial, contagem e combin-

ao, julgue o item a seguir.

43. (BB 2009/CESPE-UnB) Em um torneio em que 5 equipes joguem uma vez entresi em turno nico, o nmero de jogos ser superior a 12.

Resoluo

Para determinar um jogo, devemos escolher 2 equipes dentre as 5 disponveis. Comoas equipes jogam em turno nico o jogo da equipe A contra a equipe B o mesmo jogo da equipe B contra a equipe A (a ordem das equipes no jogo no relevante).

O total de jogos igual a:

5 42 1 10O item esterrado.


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44. (Analista de Sistemas FURNAS 2009/FUNRIO) O Conselho Diretor de umaempresa composto por n diretores, alm do Presidente. Com os membros doConselho Diretor podem ser formadasC comisses de 4 elementos, todas contandocom a participao do Presidente. Se, no entanto, a presena do Presidente no forobrigatria, podendo participar ou no,2C comisses podero ser formadas. Onmero de membros do Conselho Diretor :a) 11b) 10c) 8d) 12e) 9

Resoluo

O Conselho Diretor formado porn+1 pessoas, sendo n diretores e 1 presidente.

Com os membros do Conselho Diretor podem ser formadasC comisses de 4

elementos, todas contando com a participao do Presidente.Como estas comisses possuem 4 elementos, todas contando com a participao dopresidente, ento devero ser escolhidos 3 diretores. Tem-sen diretores dos quaisdevem ser escolhidos 3, obtendoC comisses.

1 23 2 1

Se, no entanto, a presena do Presidente no for obrigatria, podendo participar ouno, 2C comisses podero ser formadas. Neste caso, temos que escolher 4elementos dentre os n+1 elementos do Conselho Diretor.

2 1 1 2

4 3 2 1 2 Vamos substituir a expresso obtida anteriormente nesta equao. Ou seja, vamossubstituir C por .

1 1 24 3 2 1 2

1 23 2 1

Vamos cortar os fatores que se repetem nos dois membros.

14 2

1 1 24 3 2 1 2

1 23 2 1


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1 2 41 8

Como o Conselho Diretor formado porn+1 pessoas, ento so 8 pessoas que oformam.

Letra C

9. Princpio de Dirichlet

Um tpico muito comum em provas de concursos pblicos denominado Princpio daCasa dos Pombos ou Princpio das Gavetas ou ainda Princpio de Dirichlet (emhomenagem ao matemtico alemo Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859). um assunto muito fcil de Anlise Combinatria que no abordadonos livros de ensino mdio.

Vejamos como simples:

Imagine que h 20 pessoas em uma sala. Podemos garantir que pelo menos duaspessoas fazem aniversrio no mesmo ms. Porque h mais pessoas na sala doque meses no ano. Isso o que diz o Princpio da Casa dos Pombos. E por quecasa dos pombos?

Vamos fazer uma analogia:

Temos a nossa disposio 12 casas de pombos (meses) e dispomos de 20 pombos.Com certeza, haver alguma casa com mais de um pombo, isso porque temosmais pombos do que casas. Simples, no?

Formalmente: Se n objetos forem colocados em no mximo n-1 gavetas, ento pelomenos uma delas conter pelo menos dois objetos.

Vamos aprofundar um pouco este assunto resolvendo questes de concursos.

45. (APO-MPOG 2008/ESAF) Marcos est se arrumando para ir ao teatro com suanova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam. Apressado, elecorre at uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes, a saber: 5pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos no saia com sua namoradavestindo meias de cores diferentes, o nmero mnimo de meias que Marcos devertirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma cor igual a:a) 30b) 40c) 246d) 124e) 5 Res-

oluo

Vamos imaginar que Marcos uma pessoa extremamente azarada. Ele quertirar meias da mesma cor, mas o azar mora ao seu lado. Ele comea a retirar as

meias.


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possvel que a primeira meia seja preta? Sim! Ento vamos supor que a primeira meiaretirada por Marcos tenha sido preta. Ele torce que a segunda meia tambm sejapreta, mas lembre-se: o azar est colado com Marcos. Marcos ento retira uma meiabranca. Marcos continua a sua onda de azar e tira uma meia azul e, em seguida,uma meia amarela. Marcos tem em mos 4 meias: uma preta, uma branca, uma azul euma amarela. A partir deste ponto, no tem azar que consiga impedir o objetivo deMarcos. A prxima meia, com certeza, ser de uma das cores que Marcos j possuiem mos. Marcos precisa ento de 5 meias (no pior dos casos teramos 1 preta, 1branca, 1 azul, 1 amarela e mais uma para formar o par) para ter certeza que pelomenos duas vo ser da mesma cor.

Letra E

Gostamos de apelidar este Princpio da Casa dos Pombos de O princpio doazarado. Devemos sempre pensar nos casos extremos, nas piores dashipteses devemos nos colocar na pele de um extremo azarado.

46. (FNDE/2007/FGV) Um saco contm 30 bolinhas brancas, 22 bolinhas vermelhas e16 bolinhas pretas, todas iguais em tamanho e peso. No escuro, voc deve retirar dosaco certo nmero de bolinhas de forma que tenha a certeza de ter, pelo menos, umabolinha branca. O nmero mnimo de bolinhas que voc deve retirar do saco para teressa certeza :

a) 42b) 17c) 23d) 39e) 3

Resoluo

Para termos a certeza de retirar pelo menos uma bolinha branca, devemos raciocinarem casos extremos. Poderia acontecer de retirarmos a bolinha branca na primeiratentativa, mas isso seria muita sorte! No certeza. Poderia acontecer o caso deretirarmos as 22 bolinhas vermelhas e em seguida as 16 bolinhas pretas. Retiramosento 38 bolinhas das quais nenhuma branca. Restam agora no saco apenas as 30bolinhas brancas. Com certeza a prxima bolinha a ser retirada branca. Precisamosento de 38+1=39 bolinhas.

Letra D

47. (FNDE/2007/FGV) Em um ba h 15 lenos brancos, 25 vermelhos e 12 pretos. Onmero mnimo de lenos que devem ser retirados do ba para que se possa garantirque, entre os lenos retirados, haja pelo menos quatro da mesma cor :

a) 44b) 10c) 12


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d) 4e) 45

Resoluo

No devemos pensar baseados na sorte. Queremos certeza. Dessa forma, poderiaacontecer o caso extremos de tirarmos 3 lenos brancos, 3 lenos vermelhos e 3lenos pretos. Dessa forma, j temos 9 lenos e no conseguimos retirar 4 da mesmacor. O prximo leno retirado com certeza ser branco ou vermelho ou preto.Precisamos ento de 3 + 3 + 3 + 1 = 10 lenos.

Letra B

48. (Pref. Municipal de Rio Claro 2006/CETRO) Em um concurso pblico, dentre os 60candidatos de uma sala de provas, 56 so casados. Levando em considerao que asnicas respostas pergunta: "estado civil", so, "casado" ou "solteiro", qual o nmeromnimo de candidatos dessa sala a que deveramos fazer essa pergunta paraobtermos, com certeza, dois representantes do grupo de solteiros ou do grupo decasados?(A) 1.(B) 3.(C) 5.(D) 7.(E) 9.

Resoluo

Vamos pensar na pior das hipteses: imagine que perguntamos primeira pessoa oseu estado civil e ela responde casado. Teramos sorte se a segunda pessoatambm fosse casada. Qual a pior das hipteses? Que a segunda pessoa entrevistadaseja solteira. Bom, ento j entrevistamos duas pessoas e elas no so do mesmogrupo: uma casada e a outra solteira. A partir de agora no tem pra onde fugir: aprxima pessoa a ser entrevistada ou casada ou solteira e formar dupla com umadas duas primeiras pessoas entrevistadas. Assim, com 3 pessoas, teremos certezaque pelo menos duas so do mesmo grupo.

Letra B


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10. Relao das questes comentadas

01. (ANEEL 2006/ESAF)Em um campeonato de tnis participam 30 duplas, com amesma probabilidade de vencer. O nmero de diferentes maneiras para aclassificao dos 3 primeiros lugares igual a:a) 24.360b) 25.240c) 24.460d) 4.060e) 4.650

02. (INSS 2009/FUNRIO) Quantos nmeros inteiros, cujos algarismos so todosmpares e distintos, existem entre 300 e 900?a) 24.

b) 27.c) 48.d) 36.e) 64.

03. (Assistente Administrativo FURP 2010/FUNRIO) Um hacker descobriu os seisalgarismos de uma senha, mas no a posio desses algarismos na senha. Ele entodesenvolveu um programa de computador para testar combinaes distintas dessesalgarismos at obter o acesso ao sistema pretendido. Com este procedimento, ohacker conseguiu descobrir a senha aps testar 10% de todas as possibilidades.Sabendo-se que a senha formada por algarismos distintos, a quantidade detentativas mal sucedidas realizadas pelo hacker foia) 50.b) 58.c) 65.d) 77.e) 71.

(BB 2009/CESPE-UnB) Considerando que as equipes A, B, C, D e E disputemum torneio que premie as trs primeiras colocadas, julgue os itens a seguir.

04. O total de possibilidades distintas para as trs primeiras colocaes 58.05. O total de possibilidades distintas para as trs primeiras colocaes com a equipe

A em primeiro lugar 15.06. Se a equipe A for desclassificada, ento o total de possibilidades distintas para astrs primeiras colocaes ser 24.

07. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) O nmero de anagramas da palavraCHUMBOquecomeam pela letraC A)120B)140C) 160D)180E) 200


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08. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Quatro casais compram ingressos paraoito lugares contguos em uma mesma fila no teatro. O nmero de diferentes maneirasem que podem sentar-se de modo que a) homens e mulheres sentem-se em lugaresalternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheressentem-se juntas, so, respectivamente,

a) 1112 e 1152.b) 1152 e 1100.c) 1152 e 1152.d) 384 e 1112.e) 112 e 384.

09. (ANEEL Analista 2006/ESAF)Um grupo de amigos formado por trs meninos -entre eles Caio e Beto - e seis meninas - entre elas Ana e Beatriz -, compramingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema.Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmopacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porquequerem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Alm disso, todas as meninasquerem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essasinformaes, o nmero de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se igual a:

a) 1920b) 1152c) 960d) 540

e) 86010. (Oficial de Chancelaria 2002/ESAF) Chico, Caio e Caco vo ao teatro com suasamigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. Onmero de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo queChico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, igual a:

a) 16b) 24c) 32d) 46

e) 4811. (EBDA 2006/CETRO) Sobre uma circunferncia marcam-se oito pontos diferentes.O total de tringulos distintos que podem ser formados com vrtices nesses pontos :(A) 56(B) 24(C) 12(D) 336(E) 28

12. (Prefeitura da Estncia Turstica de Embu 2006/CETRO) Com seis tipos de doce ecinco tipos de fruta, quantos pratos podem ser formados, tendo, cada um, dois tipos de

doce e dois tipos de fruta?(A) 300


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(B) 150(C) 75(D) 50(E) 25

13. (EBDA 2006/CETRO) Um hospital tem trs mdicos e cinco enfermeiras. Quantasequipes de plantes com cinco profissionais podem ser formadas contendo no mnimoum mdico?(A) 15(B) 20(C) 40(D) 45(E) 55

14. (TFC-CGU 2008/ESAF) Ana precisa fazer uma prova de matemtica composta de15 questes. Contudo, para ser aprovada, Ana s precisa resolver 10 questes das 15propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questes?a) 3003b) 2980c) 2800d) 3006e) 3005

15. (AFC 2002/ESAF) Na Mega-Sena so sorteadas seis dezenas de um conjunto de60 possveis (as dezenas sorteveis so 01, 02, ... , 60). Uma aposta simples (ouaposta mnima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou queas seis dezenas que sero sorteadas no prximo concurso da Mega-Sena estaroentre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O nmero mnimo de apostassimples para o prximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter

certeza matemtica que ser um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto :

a) 8b) 28c) 40d) 60e) 84

16. (Gestor Fazendrio MG 2005 ESAF) Marcela e Mrio fazem parte de uma turmade quinze formandos, onde dez so rapazes e cinco so moas. A turma rene-separa formar uma comisso de formatura composta por seis formandos. O nmero dediferentes comisses que podem ser formadas de modo que Marcela participe e queMrio no participe igual a:

a) 504b) 252c) 284d) 90e) 84


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17. (Fiscal do Trabalho 2006 ESAF) Quer-se formar um grupo de dana com 9bailarinas, de modo que 5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenhaexatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 anos.Apresentaram-se, para a seleo, quinze candidatas, com idades de 15 a 29 anos,sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O nmero dediferentes grupos de dana que podem ser selecionados a partir deste conjunto decandidatas igual a:a) 120b) 1220c) 870d) 760e) 1120

18. (ANEEL 2006/ESAF) Em um plano, so marcados 25 pontos, dos quais 10 esomente 10 desses pontos so marcados em linha reta. O nmero de diferentestringulos que podem ser formados com vrtices em quaisquer dos 25 pontos igual

a:a) 2.180b) 1.180c) 2.350d) 2.250e) 3.280

19. (AFRFB 2009/ESAF) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G so coplanares,ou seja, esto localizados no mesmo plano. Sabe-se, tambm, que destes setepontos, quatro so colineares, ou seja, esto numa mesma reta. Assim, o nmero deretas que ficam determinadas por estes sete pontos igual a:a) 16b) 28c) 15d) 24e) 32

20. (AFT-MTE 2010/ESAF) O departamento de vendas de uma empresa possui 10funcionrios, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opes possveis existem parase formar uma equipe de vendas de 3 funcionrios, havendo na equipe pelo menosum homem e pelo menos uma mulher?a) 192.

b) 36.c) 96.d) 48.e) 60.

21. (AFRE-MG 2005/ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise,vo participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que asmodelos no desfilaro sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamentequatro das modelos. Alm disso, a ltima de cada fila s poder ser ou Ana, ouBeatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise no poder ser a primeira da fila.Assim, o nmero de diferentes filas que podem ser formadas igual a:

a) 420 b) 480


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c) 360d) 240e) 60

22. (AFC 2005/ESAF) Um grupo de dana folclrica formado por sete meninos e

quatro meninas foi convidado a realizar apresentaes de dana no exterior. Contudo,o grupo dispe de recursos para custear as passagens de apenas seis dessascrianas. Sabendo-se que nas apresentaes do programa de danas devemparticipar pelo menos duas meninas, o nmero de diferentes maneiras que as seiscrianas podem ser escolhidas igual a:

a) 286b) 756c) 468d) 371e) 752

23. (APO-MPOG 2005/ESAF)Um grupo de estudantes encontra-se reunido em umasala para escolher aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles ir ao Simpsio deMatemtica do prximo ano. O grupo composto de 15 rapazes e de um certo nmerode moas. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma nica vez; asmoas cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma nica vez. H um total de 150cumprimentos. O nmero de moas , portanto, igual a:

a) 10b) 14c) 20d) 25e) 45

24. (APO-MPOG 2005/ESAF)Pedro e Paulo esto em uma sala que possui 10cadeiras dispostas em uma fila. O nmero de diferentes formas pelas quais Pedro ePaulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos umacadeira vazia entre eles, igual a:

a) 80b) 72c) 90d) 18e) 56

25. (APO-MPOG 2009/ESAF) Beatriz fisioterapeuta e iniciou em sua clnica umprograma de reabilitao para 10 pacientes. Para obter melhores resultados nesteprograma, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em trs salas diferentes, demodo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na sala 2 fiquem 3 pacientes e na sala 3fiquem, tambm, 3 pacientes. Assim, o nmero de diferentes maneiras que Beatrizpode distribuir seus pacientes, nas trs diferentes salas, igual a:a) 2.440b) 5.600c) 4.200d) 24.000


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e) 42.000

26. (ANEEL 2004/ESAF) Quer-se formar um grupo de danas com 6 bailarinas, demodo que trs delas tenham menos de 18 anos, que uma delas tenha exatamente 18anos, e que as demais tenham idade superior a 18 anos. Apresentaram-se, para a

seleo, doze candidatas, com idades de 11 a 22 anos, sendo a idade, em anos, decada candidata, diferente das demais. O nmero de diferentes grupos de dana quepodem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas igual a

a) 85.b) 220.c) 210.d) 120.e) 150.

27. (ANEEL 2004/ESAF) Dez amigos, entre eles Mrio e Jos, devem formar uma filapara comprar as entradas para um jogo de futebol. O nmero de diferentes formas queesta fila de amigos pode ser formada, de modo que Mrio e Jos fiquem sempre juntos igual a

a) 2! 8!b) 0! 18!c) 2! 9!d) 1! 9!e) 1! 8!

28. (AFC-STN 2002/ESAF) Em uma cidade, os nmeros dos telefones tm 7algarismo e no podem comear por 0. Os trs primeiros nmeros constituem oprefixo. Sabendo-se que em todas as farmcias os quatros ltimos dgitos so 0 e oprefixo no tem dgitos repetidos, ento o nmero de telefones que podem serinstalados nas farmcias igual a:

a) 504b) 720c) 684d) 648e) 842

29. (AFC-SFC 2000/ESAF) Se o conjunto X tem 45 subconjuntos de 2 elemen-tos, ento o nmero de elementos de X igual a:a) 10b) 20c) 35d) 45e) 90

30. (TFC 2000/ESAF) Em uma circunferncia so escolhidos 12 pontos distintos.Ligam-se quatro quaisquer destes pontos, de modo a formar um quadriltero. O

nmero total de diferentes quadrilteros que podem ser formados :


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a) 128b) 495c) 545d) 1.485e) 11.880

31. (AFT 1998/ESAF) Trs rapazes e duas moas vo ao cinema e desejam sentar-se,os cinco, lado a lado, na mesma fila. O nmero de maneiras pelas quais eles podemdistribuir-se nos assentos de modo que as duas moas fiquem juntas, uma ao lado daoutra, igual aa) 2b) 4c) 24d) 48e) 120

32. (TFC-CGU 2008 ESAF) gata decoradora e precisa atender o pedido de umexcntrico cliente. Ele o cliente exige que uma das paredes do quarto de sualha seja dividida em uma seqncia de 5 listras horizontais pintadas de coresdiferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que gata possui apenas 8 coresdisponveis, ento o nmero de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada igual a:

a) 56b) 5760c) 6720d) 3600

e) 432033. (AFC-STN 2008/ESAF) Ana possui em seuclosed 90 pares de sapatos, todosdevidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pedeemprestado Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retirado closed quatro caixas de sapatos. O nmero de retiradas possveis que Ana poderealizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de nmero 20 igual a:a) 681384b) 382426c) 43262d) 7488e) 2120

34. (Tcnico Administrativo MPU 2004-2/ESAF) Paulo possui trs quadros de Gotuzoe trs de Portinari e quer exp-los em uma mesma parede, lado a lado. Todos os seisquadros so assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos emqualquer ordem, desde que os de Gotuzo apaream ordenados entre si em ordemcronolgica, da esquerda para a direita. O nmero de diferentes maneiras que os seisquadros podem ser expostos igual a

a) 20b) 30c) 24d) 120e) 360


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(IPEA 2008/CESPE-UnB) Com relao a contagem e combinatria, julgue os itens quese seguem.

35. (IPEA 2008/CESPE-UnB) Considere que as senhas dos correntistas de um bancosejam formadas por 7 caracteres em que os 3 primeiros so letras, escolhidas entre as

26 do alfabeto, e os 4 ltimos, algarismos, escolhidos entre 0 e 9. Nesse caso, aquantidade de senhas distintas que podem ser formadas de modo que todas elastenham a letra A na primeira posio das letras e o algarismo 9 na primeira posiodos algarismos superior a 600.000.36. (IPEA 2008/CESPE-UnB) Considere que, para a final de determinada maratona,tenham sido classificados 25 atletas que disputaro uma medalha de ouro, para oprimeiro colocado, uma de prata, para o segundo colocado, e uma de bronze, para oterceiro colocado. Dessa forma, no havendo empate em nenhuma dessascolocaes, a quantidade de maneiras diferentes de premiao com essas medalhasser inferior a 10.000.

(Agente Administrativo ME 2008/CESPE-UnB) Considerando que se pretenda formarnmeros de 3 algarismos distintos com os algarismos 2, 3, 5, 7, 8 e 9, julgue o prximoitem.

37. (Agente Administrativo ME 2008/CESPE-UnB) A quantidade de nmerosmpares de 3 algarismos que podem ser formados superior a 90.

(BB 2008/CESPE-UnB) Considerando que uma palavra uma concatenao de letrasentre as 26 letras do alfabeto, que pode ou no ter significado, julgue os itens a seguir.

38. (BB 2008/CESPE-UnB) Com as letras da palavra COMPOSITORES, podem serformadas mais de 500 palavras diferentes, de 3 letras distintas.39. (BB 2008/CESPE-UnB) As 4 palavras da frase Danam conforme a msicapodem ser rearranjadas de modo a formar novas frases de 4 palavras, com ou semsignificado. Nesse caso, o nmero mximo dessas frases que podem ser formadas,incluindo a frase original, igual a 16.40. (BB 2008/CESPE-UnB) Considerando todas as 26 letras do alfabeto, a quantidadede palavras de 3 letras que podem ser formadas, todas comeando por U ou V, superior a 2 103.

(BB 2008/CESPE-UnB) O Banco do Brasil S.A. (BB) patrocina as equipes masculina efeminina de vlei de quadra e de praia. Segundo o portal www.bb.com.br, em 2007, ovoleibol brasileiro mostrou mais uma vez a sua hegemonia no cenrio internacionalcom a conquista de 56 medalhas em 51 competies, tanto na quadra quanto napraia. Nesse ano, o Brasil subiu ao lugar mais alto do pdio por 31 vezes e conquistou,ainda, 13 medalhas de prata e 12 de bronze. Com base nessas informaes, julgue ositens subsequentes.

41. (BB 2008/CESPE-UnB) Considerando-se que o treinador de um time de vleitenha sua disposio 12 jogadores e que eles estejam suficientemente treinadospara jogar em qualquer posio, nesse caso, a quantidade de possibilidades que otreinador ter para formar seu time de 6 atletas ser inferior a 103.


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42. (BB 2008/CESPE-UnB) Considerando que o treinador de um time de vleidisponha de 12 jogadores, dos quais apenas 2 sejam levantadores e os demaisestejam suficientemente bem treinados para jogar em qualquer outra posio, nessecaso, para formar seu time de 6 atletas com apenas um ou sem nenhum levantador, otreinador poder faz-lo de 714 maneiras diferentes.

(BB 2009/CESPE-UnB) Com relao a lgica sentencial, contagem e combin-ao, julgue o item a seguir.

43. (BB 2009/CESPE-UnB) Em um torneio em que 5 equipes joguem uma vez entresi em turno nico, o nmero de jogos ser superior a 12.

44. (Analista de Sistemas FURNAS 2009/FUNRIO) O Conselho Diretor deuma empresa composto por n diretores, alm do Presidente. Com os

membros doConselho Diretor podem ser formadasC comisses de 4 elementos, todas contandocom a participao do Presidente. Se, no entanto, a presena do Presidente no forobrigatria, podendo participar ou no,2C comisses podero ser formadas. Onmero de membros do Conselho Diretor :a) 11b) 10c) 8d) 12e) 9

45. (APO-MPOG 2008/ESAF) Marcos est se arrumando para ir ao teatro com suanova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam. Apressado, elecorre at uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes, a saber: 5

pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos no saia com sua namoradavestindo meias de cores diferentes, o nmero mnimo de meias que Marcos devertirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma cor igual a:a) 30b) 40c) 246d) 124e) 5

46. (FNDE/2007/FGV) Um saco contm 30 bolinhas brancas, 22 bolinhas vermelhas e16 bolinhas pretas, todas iguais em tamanho e peso. No escuro, voc deve retirar dosaco certo nmero de bolinhas de forma que tenha a certeza de ter, pelo menos, umabolinha branca. O nmero mnimo de bolinhas que voc deve retirar do saco para teressa certeza :

a) 42b) 17c) 23d) 39e) 3


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47. (FNDE/2007/FGV) Em um ba h 15 lenos brancos, 25 vermelhos e 12 pretos. Onmero mnimo de lenos que devem ser retirados do ba para que se possa garantirque, entre os lenos retirados, haja pelo menos quatro da mesma cor :

a) 44

b) 10c) 12d) 4e) 45

48. (Pref. Municipal de Rio Claro 2006/CETRO) Em um concurso pblico, dentre os 60candidatos de uma sala de provas, 56 so casados. Levando em considerao que asnicas respostas pergunta: "estado civil", so, "casado" ou "solteiro", qual o nmeromnimo de candidatos dessa sala a que deveramos fazer essa pergunta paraobtermos, com certeza, dois representantes do grupo de solteiros ou do grupo decasados?(A) 1.(B) 3.(C) 5.(D) 7.(E) 9.


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11. Gabaritos

01. A02. D03. E04. Errado05. Errado06. Certo07. A08. C09. A10. E11. A

12. B13. E14. A15. B16. Anulada17. E18. A19. A20. C21. A22. D23. A24. B25. C26. C27. C28. D29. A30. B31. D32. C33. A34. D35. Certo36. Errado37. Errado38. Certo39. Errado40. Errado

41. Certo42. Certo


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43. Errado44. C45. E46. D47. B48. B

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