Département STPI1ere année - 2nd semestreUV5 - Mé anique du pointExamen du 22 mars 2010 - CORRECTIONVous disposez de 30 minutes pour résoudre l'exer i e proposé. Au un do ument n'est admis. Le barème est donné à titreindi atif uniquement. Vous devez ins rire vos al uls prin ipaux et réponses dire tement sur le sujet.Nom : Prénom : Groupe :Un objet massique, représenté par un point matériel M, évolue le long d'une traje toire parabolique selon la �gure i-dessous. A l'instant t = 0, l'objet est en O. L'équation horaire de l'objet est donné par les relations suivantes :

x = a.t , y =b

2.t2où a = 2 m.s−1 et b = 5 m.s−2 sont des onstantes. x et y représentent les oordonnées du repère artésien {O,~ex, ~ey}.Dans e problème, le référentiel d'étude est lié aux axes [Ox), [Oy).

Question 1 [1 pt℄ : Donnez l'expression du ve teur position ~OM dans le repère artésien {O,~ex, ~ey} en fon tion dea, b et du temps.

~OM = x.~ex + y.~ey = a.t.~ex + b2 t2.~eyQuestion 2 [1 pt℄ : Donnez l'équation de la traje toire du point matériel en fon tion de a et b.

y = b2 .t2 et t = x

a soit y = b2 .x2

a . On a : y = b.a2 .x2Question 3 [2 pts℄ : Donnez l'expression du ve teur vitesse ~v dans le repère artésien {O,~ex, ~ey} en fon tion de a, bet du temps.

~v = d ~OMdt = a.~ex + bt.~ey 1

Question 4 [2 pts℄ : Donnez l'expression de la norme du ve teur vitesse ||~v|| en fon tion de a, b et du temps. Endéduire la norme du ve teur "dépla ement élémentaire" ||~dℓ|| = ds en fon tion de a, b, t et dt

||~v|| =

√

a2 + (bt)2

||~dℓ|| = ||~v||.dt soit ||~dℓ|| =

√

a2 + (bt)2.dtQuestion 5 [2 pts℄ : Donnez l'expression du ve teur a élération ~a dans le repère artésien {O,~ex, ~ey} en fon tion de

a, b et du temps.~a = d~v

dt = b.~eyQuestion 6 [4 pts℄ : Dessinez sur la �gure, aux points indiqués, les ve teurs ~v et ~a en tenant ompte des é hellessuivantes : 1cm → 5 m.s−1 pour la vitesse, 1cm → 2.5 m.s−2 pour l'a élération.à t=1s, on a : ||~v|| =√

22 + 52 =√

29 ≈ 5.38m.s−1 et ||~a|| =√

52 = 5m.s−2à t=5s, on a : ||~v|| =√

22 + 252 =√

629 ≈ 25m.s−1 et ||~a|| =√

52 = 5m.s−2le ve teur vitesse est toujours tengeant à la traje toire, le ve teur a élération est toujours dirigé selon ~eyCONSIGNE SUPPLEMENTAIRE AJOUTEE PENDANT LE DEVOIR :Attention, les points M(t=1s) et M(t=5s) ont été pla és aléatoirement sur la ourbe. Ainsi, il ne faut pas utiliser les om-posantes des ve teurs pour les représenter, mais passer par leurs normes.Question 7 [4 pts℄ : Donnez l'expression des ve teurs de la base de Frenet ~eT et ~eN en fon tion de a, b, t exprimésselon les ve teurs ~ex et ~ey

~eT = ~v||~v|| = a√

a2+(bt)2.~ex + bt√

a2+(bt)2.~ey et ~eN = −bt√

a2+(bt)2.~ex + a√

a2+(bt)2.~ey ar ~eN est perpendi ulaire à ~eTQuestion 8 [4 pts℄ : Donnez l'expression du rayon de ourbure de la traje toire en fon tion de a, b et du temps (parla méthode de votre hoix). ( 1)Méthode 1 :(1) On sait que aN = ||~v||2

R soit R = ||~v||2

aN(2) On sait aussi que : aN =√

||~a||2 − a2T(3) On a : ||~a|| = b(4) On sait que : aT = d||~v||

dt = − 122.b2.t.

(

a2 + (bt)2)−1/2En utilisant les expressions (3) et (4) dans (2), on trouve : an = ab√

a2+(bt)2En utilisant (5) dans (1) ave ||~v|| =

√

a2 + (bt)2, on obtient : R =

[a2+(bt)2]3/2

abMéthode 2 :(1) On a d~eT

ds = ~eN

R soit d~eT

dt . dtds = ~eN

R(2) On al ule d~eT

dt = aba2+(bt)2 .

[

−b.t√a2+(bt)2

.~ex + a√a2+(bt)2

.~ey

]

= aba2+(bt)2 .~eN(3) On al ule dt

ds =(

dsdt

)−1= ||~v||−1 =

(

a2 + (bt)2)−1/2En remplaçant (2) et (3) dans (1), on obtient : R =

[a2+(bt)2]3/2

ab

1. On donne (au besoin) : ddt

[

(

α + β.t2)

−1/2]

= −β.t(

α + β.t2)

−3/2 et ddt

[

t.(

α + β.t2)

−1/2]

= α.(

α + β.t2)

−3/22