Ingenieria Sismica Co

7/29/2019 Ingenieria Sismica Co

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FACTORES DE PARTICIPACION DE MASA

J hon Francisco Romaa GarcaIngeniero Civil

Candidato a Magster en Ingeniera GeotcnicaUniversidad Nac ional de C olombia Sede Medelln

INGENIERIA SISMICA


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FACTORES DE PARTICIPACION DE MASA

Los sistemas lineales de un grado de libertad [Figura 1] han sido

tradicionalmente utilizados en los estudios de la fsica clsica. Estossistemas solo requieren una coordenada natural para determinar su

posicin en funcin del tiempo y se rigen por la siguiente ecuacin

[Chopra, Dynamics of structures]

0=++ kxcm &&& (1)

x&& : Aceleracin absoluta

x& : Velocidad relativa

: Desplazamiento relativo

m: Masa del sistema

c: constante del amortiguador

k: Rigidez el resorte

Figura 1. Sistema lineal amortiguado de un grado de libertad

Extendiendo ahora a sistemas de varios grados de libertad para el caso

en vibracin libre no amortiguada [Chopra, Dynamics of structures]

{ } { } { }0][][ =+ UKUM &&& (2)


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Figura 2. Sistema lineal no amortiguado de dos grados de libertad

Donde:

[M]: Matriz de Masa

[K]: Matriz de Rigidez

{ }U&& : Vector de aceleracin absoluta

{ }U : Vector de desplazamiento relativo

La solucin del sistema anterior de ecuac iones diferenciales simultneas

es del tipo:

{ } { } )()( )( tftUi

i

i= (3)

Luego de realizar un procedimiento de separacin de variables se

obtienen las siguientes expresiones:

( ) 0

0

1

2

2

=

=+

=

)i(

j

n

j

ijiij

i

mk

)t(fi)t(if

&&

(4)

Donde la primera de estas ecuaciones se resuelve igual que para elcaso de sistemas de un grado de libertad, mientras que los valores de la

frecuencia natural de vibracin2

i se hallan por medio de la segunda

ecuac in, la cual expresada en forma matricial es:


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[ ] [ ]{ } { }0)(2 = iiMK (5)

Este sistema solo tiene solucin no trivial si el determinante de la matriz

de coeficientes es cero

[ ] [ ] { }02 == MK i (6)

Donde:

: Determinante caracterstico del sistema de ecuaciones diferenciales

simultaneas

Luego de expandir el determinante y solucionar el polinomio e orden 2n,

se obtienen las n races, las cuales son las frecuencias naturales del

sistema llamadas valores propios (eigenvalues)

Para obtener los valores de las amplitudes { })(i , se reemplaza los

valores de2

i en la ecuacin (5), donde para cada valor de

2

i existe

un vector { })(i llamado vector caracterstico o modo de vibracin

(eigenvector)

[ ] [ ]{ } { }02 = )r(r MK r=1,2..n (7)

Se realiza el proceso de normalizacin de los vectores caractersticosasignando el valor de la unidad a uno de los elementos del vector, los

vectores resultantes se denominan modos normales[Garca Reyes, 1996,

Pg. 379]


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De otro lado cuando el sistema de varios grados de libertad se ve

sometido a una excitacin en su base la ecuac in (2) cambia a :

{ } { } [ ][ ]{ }oXRMUKUM &&&&& =+ ][][ (8)

Donde:

[M]: Matriz de Masa

[K]: Matriz de Rigidez

{ }U&& : Vector de aceleracin relativa

{ }U : Vector de desplazamiento relativo

{ }oX&& : Vector de aceleracin del terreno

El vector [R] depende de las componentes del acelerograma, es dec ir

sus trminos son iguales a 1 si la aceleracin del terreno es colineal con

la aceleracin de los grados de libertad, en caso contrario se coloca 0

a la componente correspondiente.

Despus de realizar un procedimiento matemtico [Garca Reyes, 1996,

Pg. 431], se obtienen la siguiente expresin para hallar los factores de

participacin de masa:

[ ][ ]

[ ][ ]

i

T

i

T

i

T

ii

T

M

RM

RMR

MRFPM

=

= (9)

Donde:

FPM: Factor de Participacin de masai: Vector Modal correspondiente a la frecuencia de vibracin i.


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EJERCICIO

Del perfil presentado a continuacin obtener los factores de

participacin modal para los modos de vibrac in correspondientes a los

grados de libertad establec idos:

Figura 3. Perfil de suelo Analizado

CONSIDERACIONES:

Conocidas las propiedades de cada estrato de suelo [Figura 3], se

realiza la idealizacin del sistema en masas concentradas asignando un

nodo grado de libertad a la interfaz de cada estrato, uno adicional a

5m de profundidad, lugar al cual se supone ubicado el nivel fretico y

otro en la parte media del primer estrato debido a que ste es el menos


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rgido de todo el perfil [Figura 3], por lo tanto es necesario realizar un

proceso mas detallado de discretizac in.

Figura 4. Modelo simplificado del Perfil de suelo Analizado

Inicialmente se calcula el modulo de rigidez a cortante para cada

estrato de la siguiente manera:

MODULOS DE DEGRADACIN

Este se calculo para cada estrato de suelo con la siguiente ecuac in,

= 2

2

S*V

GmKn

g

(10)

ESTRATO 1

2

32

m/sg81.9

/20*(600m/sg)G

mKn= 2/96,733944G mKn=


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ESTRATO 2

2

32

m/sg81.9

/16*(250m/sg)G

mKn= 2/80,101936G mKn=

ESTRATO 3

Subestrato 3 - A

2

32

m/sg81.9

/13*(180m/sg)G

mKn= 2/78,42935G mKn=

Subestrato 3 B

2

32

m/sg81.9

/13*(180m/sg)G

mKn= 2/78,42935G mKn=

ESTRATO 4

2

32

m/sg81.9/17*(150m/sg)G mKn= 2/83,38990G mKn=

MATRICES DE MASA LOCALES

Se procedi a armar las matrices locales por medio de la siguiente

ecuacin:

=3

16

1 6

1

3

1h*Mij ii g

(11)

Nudos 1 - 2

=

31

61

61

31

/81,9

3*/20Mij

3

sgm

mmKn

=

42.0387359821.01936799

21.0193679942.03873598Mij

Nudos 2 - 3

=

3161

61

31

/81,9

3*/20Mij

3

sgm

mmKn

=

42.03873598019367992,1

019367992,142.03873598Mij

Nudos 3 - 4

=

31

61

61

31

/81,9

3*/16Mij

3

sgm

mmKn

=

71.6309887830.81549439

30.8154943971.63098878Mij

Nudos 4 - 5


9/19

=

31

61

61

31

/81,9

3*/16Mij

3

sgm

mmKn

=

630988787,1815494393,0

815494393,0630988787,1Mij

Nudos 5 - 6

=

31

61

61

31

/81,95*/13Mij

3

sgmmmKn

=

08630649,2104315324,1104315324,108630649,2Mij

Nudos 6 - 7

=

31

61

61

31

/81,9

3*/12Mij

3

sgm

mmKn

=

22324159,1611620795,0

611620795,022324159,1Mij

Nudos 7 - 8

=

31

61

61

31

/81,9

1*/17

Mij

3

sgm

mmKn

=

577641862,0288820931,0

288820931,0577641862,0

Mij

Nudos 8 - 9

=

31

61

61

31

/81,9

1*/17Mij

3

sgm

mmKn

=

577641862.0288820931,0

288820931,0577641862.0Mij

MATRICES DE RIGIDEZ LOCALES

Se procedi a armar las matrices locales por medio de la siguiente

ecuacin:

=

11

11Kij

gh

G

i

i (12)

Nudos 1 - 2

=

11

11

3

/95,733944Mij

2

m

mKn

=

244648.318244648.318-

244648.318-244648.318Mij

Nudos 2 - 3

=

11

11

3

/95,733944Mij

2

m

mKn

=

244648.318244648.318-

244648.318-244648.318Mij

Nudos 3 - 4

=

11

11

3

/7992,101936Mij

2

m

mKn

=

633978.9330633978.9330-

633978.9330-633978.9330Mij


10/19

Nudos 4 - 5

=

11

11

3

/7992,101936Mij

2

m

mKn

=

633978.9330633978.9330-

633978.9330-633978.9330Mij

Nudos 5 - 6

=11

11

5

/77982,42935Mij

2

m

mKn

=

38587,1559638587,15596-

38587,15596-38587,15596Mij

Nudos 6 - 7

=

11

11

3

/02752,39633Mij

2

m

mKn

=

713211,0091713211,0091-

713211,0091-713211,0091Mij

Nudos 7 - 8

=

11

11

1

/82569,38990Mij

2

m

mKn

=

938990,8256938990,8256-

938990,8256-938990,8256Mij

Nudos 8 - 9

=

11

11

1

/82569,38990Mij

2

m

mKn

=

938990,8256938990,8256-

938990,8256-938990,8256Mij

Para el ensamble de la matriz de rigidez global, se procede a ubicar losgrados de libertad (GDL) locales de cada elemento en loscorrespondientes a los grados de libertad (GDL) de toda la estructura(idealizacin en masas) de acuerdo a la numeracin elegida para

dichos grados de libertad [Ver figura 3]. Observando la grfica se vecomo el GDL No 1 se encuentra en el estrato rocoso, su desplazamientoes muy bajo, por lo cual se cancela las primeras filas y columnas decada matriz

MATRIZ GLOBAL DE MASA

Ensamblando las matrices locales de masa obtenemos la siguiente es la

siguiente matriz de rigidez global:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2.039 1.019 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0002 1.019 4.077 1.019 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0003 0.000 1.019 3.670 0.815 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0004 0.000 0.000 0.815 3.262 0.815 0.000 0.000 0.000 0.0005 0.000 0.000 0.000 0.815 3.840 1.104 0.000 0.000 0.0006 0.000 0.000 0.000 0.000 1.104 3.432 0.612 0.000 0.0007 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.612 1.801 0.289 0.0008 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.289 1.155 0.2899 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.289 0.578


11/19

Eliminando el nudo 1 por su restriccin de movimiento finalmente

obtenemos la siguiente matriz global de rigidez:

2 3 4 5 6 7 8 9

2 4.077 1.019 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0003 1.019 3.670 0.815 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0004 0.000 0.815 3.262 0.815 0.000 0.000 0.000 0.0005 0.000 0.000 0.815 3.840 1.104 0.000 0.000 0.0006 0.000 0.000 0.000 1.104 3.432 0.612 0.000 0.0007 0.000 0.000 0.000 0.000 0.612 1.801 0.289 0.0008 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.289 1.155 0.2899 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.289 0.578

MATRIZ GLOBAL DE RIGIDEZ

Ensamblando las matrices locales de rigidez obtenemos la siguiente es

la siguiente matriz de rigidez global:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 244648.32 -244648.32 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

2 -244648.32 489296.64 -244648.32 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

3 0.00 -244648.32 278627.25 -33978.93 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

4 0.00 0.00 -33978.93 67957.87 -33978.93 0.00 0.00 0.00 0.00

5 0.00 0.00 0.00 -33978.93 42566.09 -8587.16 0.00 0.00 0.00

6 0.00 0.00 0.00 0.00 -8587.16 21798.17 -13211.01 0.00 0.00

7 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -13211.01 52201.83 -38990.83 0.00

8 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -38990.83 77981.65 -38990.83

9 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -38990.83 38990.83

Si se observa la figura No 2, el nudo tiene la particularidad de tener

restringido el movimiento, por esta razn en la matriz anterior se eliminan

la fila y columna correspondientes a este nudo, quedando la matriz de

rigidez de la siguiente forma:

2 3 4 5 6 7 8 9

2 489296.64 -244648.32 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

3 -244648.32 278627.25 -33978.93 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

4 0.00 -33978.93 67957.87 -33978.93 0.00 0.00 0.00 0.00

5 0.00 0.00 -33978.93 42566.09 -8587.16 0.00 0.00 0.00

6 0.00 0.00 0.00 -8587.16 21798.17 -13211.01 0.00 0.00

7 0.00 0.00 0.00 0.00 -13211.01 52201.83 -38990.83 0.00


12/19

8 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -38990.83 77981.65 -38990.83

9 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -38990.83 38990.83

Para obtener las frecuencias de vibracin y los correspondientes modos

de vibracin se utiliza el programa MATLAB.

Despus de construidas las matrices globales de rigidez y masa se crean

archivos independientes para cada una de estas en Excel y por medio

del formato csv, el cual permite el intercambio de datos entre distintos

programas MATLAB puede leer dichos archivos con tal extensin de la

siguiente manera:

csvread( M Masa.csv)

csvread( M Rigidez.csv)

Luego por medio de la instruccin eig se hallan los valores propios

(eigenvalues) y por ende los periodos de vibracin correspondientes a

cada frecuencia para as comparar con los valores obtenidos

tericamente mediante la expresin:

( )VsH

nTn

12

4

=

(13)

PERIODOS DE VIBRACIN TEORICOS

Los periodos de vibracin tericos dados por la ecuacin (13) son los

siguientes:Para este el velocidad de onda de corte (Vs) del estrato se trabajo

como una veloc idad ponderada regida por a siguiente ecuacin:

H

VsihiVsa

= (14)


13/19

Para el caso estudiado tendremos los siguientes periodos de vibracin

tericos:

Teniendo a H = 22m y Vs = 311m/s, los T tericos son los siguientes:

T (Tericos) Formula

0.283( )Vs

HTn

1

4=

0.094( )Vs

HTn

3

4=

0.057( )Vs

HTn

5

4=

0.040( )Vs

HTn74=

0.031( )Vs

HTn

9

4=

0.026( )Vs

HTn

11

4=

0.022( )Vs

HTn

13

4=

0.018( )Vs

HTn

15

4=

Las frecuencias naturales de vibracin calculadas utilizando el

programa MATLAB son las siguientes:

wi(rad/s) wi(rad/s) F (frecuencia) T (Periodo)

0.0044x1.00E+05 20.9762 3.3385 0.2995

0.0320x1.00E+05 56.5685 9.0032 0.1111

0.0916x1.00E+05 95.7079 15.2324 0.0656

0.2151x1.00E+05 146.6629 23.3421 0.04280.4184x1.00E+05 204.5483 32.5549 0.0307

0.4863x1.00E+05 220.5221 35.0972 0.0285

2.0228x1.00E+05 449.7555 71.5808 0.01402.3446x1.00E+05 484.2107 77.0645 0.0130


14/19

Para obtener los modos de vibracin correspondiente a cada

frecuencia natural, se procede en MATLAB mediante las siguientes

instrucciones:

J 1=K-w(1)*M

W1=null(J 1)

.

.

.J i=K-w(i)*M

Wi=null(J i)

w(1) corresponde al valor de frecuencia de vibracin al cuadradoubicado en la primera casilla del vector w anteriormente obtenido

mediante w=eig(K,M). W1=null(J 1) devuelve una base ortonormal del

subespacio nulo (conjunto de vectores 1W tales que [ ]{ } 011 =WJ . De

igual manera se obtiene para los restantes i valores de w.

Los modos de vibracin correspondiente a cada frecuencia natural, utilizando

el programa MATLAB posteriormente normalizando fueron los siguientes:

Profundidad(m) m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8

0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0003 0.023 -0.117 0.136 -1.386 0.308 -0.235 0.009 -21.3326 0.045 -0.224 0.242 -2.087 0.342 -0.232 -0.007 20.5859 0.201 -0.843 0.597 -0.921 -0.673 0.622 -0.005 -7.36612 0.345 -1.102 0.307 2.127 0.335 -0.534 0.022 2.20917 0.793 -0.208 -1.202 -1.165 0.114 0.500 -0.064 -0.88220 0.961 0.732 0.310 -0.309 -0.832 -0.916 0.278 0.63421 0.990 0.931 0.810 0.588 0.290 0.206 -0.799 -0.90422 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Finalmente realizando el proceso de normalizacin dando el valor de la

unidad al trmino inferior de cada modo se obtiene los siguientes modos de

vibracin:


15/19

MODO 1

MODO 2

MODO 3

MODO 4


16/19

MODO 5

MODO 6


17/19

Se debe tener en cuenta que el modo de vibracin fundamental para este

caso fue el correspondiente al primero, puesto que posee el periodo de

vibracin ms largo.

Es importante observar por medio de la grfica anterior como la

representacin de los modos cortan el eje vertical, es decir el modo de

vibracin n cruza tal eje en n-1 vez. Adems tener en cuenta que el modo de

vibracin fundamental para este caso es el correspondiente al primero debido

a poseer el periodo de vibracin ms largo.

Los factores de participacin de masa fueron calculados con la siguiente

formula:

[ ][ ]

[ ][ ]

i

T

i

T

i

T

ii

T

M

RM

RMR

MRFPM

=

= (15)

wi(rad/s) r FPM FPM (%)

0.00440 1.41210 0.56100 56.10%

0.03200 -0.68350 0.19210 19.21%

0.09160 0.44160 0.05060 5.06%

0.21510 -0.31020 0.15420 15.42%

0.41840 0.43360 0.02470 2.47%

0.48630 -0.29760 0.01110 1.11%

2.02280 0.01310 0.00000 0.00046%

2.34460 -0.009100 0.0064 0.64%

FPM 100%


18/19

Estos resultados indican como en el modo de vibracin No 1

corresponde al correspondiente al fundamental participa el

aproximadamente 56,10% de la masa del sistema, adems la sumatoria

de los factores de participacin modal que supera el 90% impuesto por

la norma NSR - 98(Normas Colombianas de Diseo y Construccin

Sismoresistente )


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BIBLIOGRAFA

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