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Ingeniería de Reactores II

1740-2

2014-03-27 12a

Es bueno distinguir lo esencial de lo superfluo… ups!

¿Qué se celebraba el 18 de Marzo?

2014-03-27

Reactor catalítico de lecho fluidizado, FBR [1,2,3…].

Introducción

Modelo de Davidson-Harrison

Modelo de Kunii-Levenspiel

[1] J., J., Carberry, Chemical and Catalytic Reaction Engineering, McGraw-Hill, 1976.

[2] O., Levenspiel, Chemical Reaction Engineering, John Wiley and Sons, 1972.

[3] Froment & Bischop…

La densidad de un sólido o líquido disminuyen al aumentar su

temperatura;

En contraste, la densidad del vapor aumenta al aumentar su

temperatura hasta que el vapor alcanza su temperatura crítica, después

de la cual la densidad del vapor disminuye al aumentar su temperatura.

Reactor catalítico de lecho fluidizado, FBR [1] Introducción…

Recordando el sistema: sólido-líquido-vapor

Para aumentar la velocidad con la que fluye el

gas a través del lecho (fijo) es necesario aumentar

la caída de presión ΔP (fuerza motriz);

Esta condición se mantienen en tanto que la

velocidad del gas u sea menor que la velocidad de

fluidización incipiente umf.

Flujo de gas a través de un lecho fijo de partículas pequeñas

Cuando de empiezan a formar burbujas de gas,

la velocidad con la que fluye el gas a través del

lecho (no tan fijo) puede aumentar sin que sea

necesario aumentar la caída de presión ΔP (fuerza

motriz);

Eso ocurre cuando la velocidad del gas u es

mayor que la velocidad a la cual se manifiesta una

fluidización incipiente umf : u>umf ;

Flujo de gas a través de un lecho fijo de partículas pequeñas

u

ΔP

Cuando las burbujas de gas son relativamente

grandes, la velocidad con la que fluye el gas a

través del lecho (no tan fijo) sigue aumentando sin

que sea necesario aumentar la caída de presión ΔP

(fuerza motriz);

En estas condiciones, la velocidad del gas u es

mucho mayor que la velocidad de fluidización

incipiente umf : u>>umf .

Flujo de gas a través de un lecho fijo de partículas pequeñas

u

ΔP

Cuando la velocidad del gas u es mucho mayor

que la velocidad de fluidización incipiente umf

(u>>>umf ), se presenta el transporte de las

partículas de sólido que constituyen el lecho, y

entonces se tiene el lecho fluidizado;

Una vez que se alcanzan las condiciones de

lecho fluidizado, la velocidad del gas aumenta

aunque la caída de presión ΔP (fuerza motriz)

disminuya.

Flujo de gas a través de un lecho fijo de partículas pequeñas

u

ΔP

(1) Densidad de lecho fijo no cambia al aumentar velocidad del gas;

(2) Densidad del lecho denso (parcialmente fijo) disminuye al

aumentar la velocidad de gas;

(3) Densidad de un lecho diluido aumenta al aumentar la velocidad

del gas;

(4) Una vez que se alcanzan ciertas condiciones de velocidad y

densidad del lecho diluido, la densidad de éste disminuye conforme se

incrementa la velocidad del gas

Analogía entre los procesos sólido-líquido-vapor y fluidización

(1)

(2)

(3) (4)

Fluidización, generalidades [1]

1 ... (10-52)s AL e g P A

[1] J., J., Carberry, & 10-4.

La velocidad de fluidización umf puede expresarse de manera sencilla

en términos de la caída de presión ΔP, considerando las fuerzas

gravitacional y la de flotación en condiciones de fluidización incipiente:

ρs y ρ: densidad de las partículas sólidas y gas, respectivamente;

A y L: sección transversal y longitud del lecho, respectivamente;

e: volumen vacío del lecho;

g: fuerza gravitacional;

ΔP: caída de presión en el lecho.

La (10-52) representa un balance de fuerzas entre las que está incluida

la fuerza necesaria para mover el lecho verticalmente.

[2] Ergun…

dp : diámetro de la partícula;

μ: viscosidad del fluido;

2

2 3 3

150 11.75 ... (10-53)

mf

mf

p p

uePu

L d e d e

De acuerdo con Ergun [2], se puede expresar la fuerza necesaria para

mover el lecho verticalmente ΔP en función de umf :

2

2 3 3

150 11 1.75 ... (10-54)

mf

s mf

p p

uee g u

d e d e

Combinando (10-52) y (10-53) se obtiene una exprsión implícita de la

velocidad de fluidización mínima umf:

Como: 1 ... (10-52)s AL e g P A

[1] Wilhelm…

Nivel de fluidización

Wilhelm [1] identificó dos niveles de fluidización de un lecho

fluidizado, diferenciándolos mediante el número de Froude Fr

Fr= u2/gdp

1) Homogéneo o libre de burbujas (Fr<1);

2) No-homogéneo o con burbujas o emulsión (Fr>1).

La fluidización homogénea se hace evidente cuando la densidad del

lecho fluidizado es similar a la densidad de las partículas sólidas.

En sistemas gas/sólido, la fluidización no-homogénea o de emulsión

puede presentarse a niveles de presión relativamente bajos.

En sistemas gas/líquido, la fluidización homogénea es la más común.

u > umf

Fr = u2/gdp <1

u >> umf

Fr = u2/gdp >1

Suspensión (soporte) del lecho fluido

Corresponde a la condición en la cual los sólidos están suspendidos en

el gas e incluso arrastrados fuera del tubo:

u

ΔP

La ley de Stokes se ha utilizado para estimar la

velocidad del gas a la cual se inicia la suspensión de

partículas sólidas ut

Para partículas esféricas, de diámetro dp, volumen

Vp y densidad ρs, se tiene:

3 ... (10-55)s p p tgV d u

3

4Como:

3 2

p

p

dV

2 ... (10-56)18

s

t p

gu d

Suspensión (soporte) del lecho fluido

En sistemas gas/sólido, la diferencia que haya entre la densidad de las

partículas y la del lecho fluidizado determina que el sistema sea:

A) Homogéneo, libre de burbujas;

B) Heterogéneo o multifase, este último que puede tener:

B1) Burbujas de gas casi-libres de partículas sólidas;

B2) Emulsión rica en partículas sólidas;

B3) Mezcla de burbujas de gas (fase-burbuja), emulsión (fase-emulsión)

y una nube de gas enriquecida con partículas; la nube está localizada

entre las fases burbuja y emulsión.

Las características B1 y B2 fueron consideradas por Wilhelm [1], mientras

que B3 ha sido observada experimentalmente.

[1] Wilhelm…

Suspensión (soporte) del lecho fluido

El estudio del movimiento de sólidos en fase-emulsión ha permitido

establecer que: el tamaño de burbuja y la velocidad del gas) para

fluidizar el lecho (levitación) están relacionados con el tamaño y

dirección de las partículas sólidas que cosntituyen el lecho.

http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=EB0r6A5

VxFU

Suspensión del lecho (fluidización del lecho)

Cuando la velocidad del gas es relativamente pequeña (u0<2umf), se

tienen burbujas pequeñas, que suben lentamente. Esto se traduce en que:

1) el gas percola la fase-emulsión, con una rapidez que es mayor que la

velocidad con la que suben las burbujas; y 2) el movimiento de los

sólidos es pequeño.

El rango de velocidad de interés práctico es cuando u0>2umf, y en esas

condiciones se observa que las burbujas de gas suben acarreando en su

cauda partículas sólidas; una vez que las burbujas llegan a la parte

superior del lecho salen del lecho y sueltan a las partículas, éstas últimas

caen, propiciándose así la recirculación del sólido.

[1] Wilhelm…

Suspensión del lecho (fluidización del lecho)

Cuando el tamaño de las burbujas y la velocidad del gas aumentan, la

rapidez de recirculación del sólido es lo suficientemente grande para

producir un flujo inverso a la fase gas de la emulsión.

Las burbujas actúan como un sistema de bombeo de la fase-emulsión.

Las observaciones anteriores indican que un lecho fluidizado es un

sistema multifase complejo, que implica la transferencia de masa, de

energía y de cantidad de movimiento entre las fases que lo

constituyen, de ahí la complejidad de su modelado y análisis

matemático.

Sin embargo, debido a las ventajas que ofrece este tipo de reactores,

este tipo de siatemas han sido motivo de considerables esfuerzos de

investigación y desarrollo tecnológico[refs] . En la mayoría de los casos se

considera comportamiento isotérmico, porque se asume que el grado de

mezclado propicia un buen intercambio de calor.

en este curso se revisarán brevemente algunos modelos relativamente

sencillos, pero que fueron construidos a partir de principios básicos.

Ventajas que exhiben los sistemas de lecho fluidizado

Se utilizan partículas pequeñas (rango de valores) lo cual permite

suponer que se pueden tener factores de efectividad altos;

Es relativamente sencillo alimentar catalizador fresco al sistema;

Es posible mantener un sistema continuo de reacción y regeneración;

Se puede utilizar en sistemas en donde el catalizador sea susceptible

de sufrir procesos de desactivación y de regeneración rápidos (cracking

catalítico de hidrocarburos [ref];

En muchas ocasiones se puede asumir condiciones isotérmicas, porque

la agitación que inducen las burbujas de gas propicia que la fase-

emulsión, que es rica en catalizador, experimente un buen mezclado

tanto axial como radialmente;

La velocidad de flujo es independiente se la caída de presión (fuerza

motriz).

[1] Ref…

Desventajas que exhiben los sistemas de lecho fluidizado:

La pérdida de catalizador, debida a procesos de arrastre y/o a la

erosión, puede ser considerable ;

El retromezclado que manifiesta la fase-emulsión (catalizador) puede

ser perjudicial para algunos sistemas de reacciones (vg. consecutivas);

Una cantidad considerable de gas no participa en la reacción, debido a

que hace cortocircuito (by-pass) y, consecuentemente, no interacciona

con el catalizador;

En relación con los sistemas de lecho fijo, los procesos de transporte

(masa, energía, cantidad de movimiento y/o carga) que determinan el

comportamiento de los sistemas de lecho fluidizado son mucho más

complejos, y por lo tanto mas difíciles de modelar.

[1] Ref…

Modelo de Davidson-Harrison[1]

Figura (elemento de control)

Restricciones:

1. El sistema consta de dos fases:

emulsión y burbujas;

2. El gas entra a una velocidad u0, que es

mayor que la velocidad mínima de

fluidización umf;

3. El gas se reparte entre ambas fases: la

fase-emulsión se mueve con la

velocidad umf; y la fase-burbuja tiene

una velocidad u0 – umf;

4. Cuando la columna está estática, su altura es H0; cuando la columna

está en movimiento su altura es H; por lo tanto, H-H0 representa el

aumento de la columna de lecho debida al flujo de gas;

Modelo de Davidson-Harrison[1] (continua)

Restricciones

5. La fase-burbuja no tiene partículas, por

lo tanto ahí no hay reacción, y fluye como

flujo tapón;

6. La fase-emulsión contiene todas las

partículas de catalizador, y ahí ocurre la

reacción;

7. La fase-emulsión puede modelarse

como CSTR, PFR, o combinaciones…

8. Al subir las burbujas, hay intercambio de masa entre las fases

burbuja-emulsión a través de la interfase S, que las separa; el

transporte puede ser por convección y difusión, y se modela

mediante un coeficiente de transporte Q definido como:

... (10-57)gQ q k S

Modelo de Davidson-Harrison[1] (continua)

Restricciones

9. En condiciones de fluidización, la altura

del lecho H se relaciona con la altura del

lecho en condiciones estáticas H0 a través

del número de burbujas por unidad de

volumen del lecho fluidizado N y el

volumen promedio de las burbujas V:

0 ... (10-57)1

HH

NV

En un elemento diferencial de altura del lecho dy , se tiene el siguiente

balance de masa en la fase-burbuja, en la cual no hay reacción química:

0 ... (10-59)bg e b b

dCq k S C C u V

dy

Modelo de Davidson-Harrison[1] (continua)

Suponiendo que en el elemento diferencial dy ocurre de una reacción

irreversible y primer orden; y la que fase-emulsión se comporta como

PFR, se tiene el siguiente balance global para ambas fases:

0 1 0 ... (10-60)e bmf mf e

dC dCu u u kC NV

dy dy

En cambio, en el mismo elemento diferencial dy; con la misma reacción

irreversible y primer orden; pero con un comportamiento de CSTR de la

fase-emulsión, balance global para ambas fases sería… luego, alguien

lo revisará:

0 0 01 1 0 (10-61)b

QH

u V bb e e e

dCNVu C C e u C C kHC NV

dy

Modelo de Davidson-Harrison[1] (continua)

El desarrollo de Davidson-Harrison considera los siguientes grupos:

00

0 0

1 ' además: mf

b mf

b

u kH QHk X u u u

u u u V

Entonces, cuando la fase-emulsión se comporta como PFR, el modelo

(balances de las fases burbuja y emulsión, ecuaciones 10-59 y 10-60,

respectivamente) queda:

Con las siguientes condiciones límite:

0 ... (10-62)be b

dCXC C

H dy

'

1 0 ... (10-63)e be

dC dC kC

dy dy H

0 @ 0 ... 0 @ 0 ... (10-64)bb

dCC C y y

dy

El modelo, Davidson-Harrison se resolvió en términos de operadores

0 ... (10-62a)b e

X XD C C

H H

'

0 ... (10-63a)1 1

e b

kD C DC

H

Multiplicando la (10-62a) por X/H, y la (10-63a) por [D+k´/H(1-β)], y

sumando las ecuaciones resultantes se obtiene una ecuación diferencial

de segundo orden en términos de Cb:

2

2

21 ' ' 0 ... (10-65)b b

b

d C dCH H X k k XC

dy dy

Además, se debe resolver para Ce:

... (10-66)be b

dCHC C

X dy

En y=H, se tiene que cumplir que:

; ; concentración componente de interés @ b bH e eH HC C C C C y H

0 0H mf bH mf eHu C u u C u C

1 ... (10-67)H bH eHC C C

La solución del modelo para el caso de la fase-emulsión con un

comportamiento de PFR es:

' ' '

1 2 2' '

0, 1 2 0

' ' '

2 1 1' '

1 2 0

1 1 exp

11 exp ... (10-68)

mfA

PFR

mf

uC Hm m m H

C m m u X

u Hm m m H

m m u X

2

'

1,2

' ' 4 1 'donde: ... (10-69)

2 1

x k x k k Xm

H

El modelo de Davidson-Harrison requiere valores de parámetros

relativamente difícil de obtener, tales como el coeficiente de

transferencia de masa Q, el volumen de las burbujas V, y la velocidad

de flujo umf.

En la Figura siguiente se presentan los resultados del modelo de

Davidson-Harrison aplicado para describir la descomposición de ozono,

considerando el comportamiento de la fase-emulsión como PFR y

CSTR.

Modelo de Kunii-Levenspiel[1]

Figura (elemento de control) Generalidades:

El lecho fluidizado tiene las siguientes

características:

Compuesto de dos fases: emulsión y

burbujas;

La emulsión es rica en sólidos:

las burbujas son grandes; contienen

muy poco sólido; están rodeadas de una

nube y tienen una cauda (ambas son de

emulsión); y atraviesan la emulsión

rápido (u0 > 2umf).

Dependiendo de la velocidad de las burbujas, puede o nó haber un

flujo descendente de los sólidos que constituyen la fase-emulsión

(velocidad finita o cero, respectivamente); región de interés: u0 >> 2umf

Fase

Burbuja Nube

Cauda

Emulsión

Evento Reacción → Transf. → Reacción → Transf. → Reacción

↓ ↓ ↓

Consumo Consumo Consumo

V-Sold

V-burb

γb γc γe

Coef.

Transf.

… Kbc Kce

Rapid.

Reacc.

γbKrCb γcKrCc γeKrCe

Eventos que ocurren en:

1. Burbuja;

2. Nube y Cauda;

3. Emulsión

Modelo de Kunii-Levenspiel[1]

Eventos que ocurren en cada región… :

1. Elemento de control una burbuja, acompañada de la nube, la cauda y

la emulsión

2. El reactivo entra en el lecho fluidizado con la burbuja (está en fase

gas), y ahí puede reaccionar (γbKrCb) cuando γb es finito y Kr es grande;

3. El reactivo que no reaccionó en las burbuja puede transportarse a

través de la interfase burbuja-nube (Kbc), para llegar al seno de la nube y

la cauda (que son ricas en sólido-catalizador);

4. El reactivo que llega a la nube y la cauda, reacciona en ellas, con una

rapidez γcKrCc;

5. El reactivo que no reaccionó en nube-cauda, puede transportarse hasta

la emulsión (Kce);

6. El reactivo que llega a la emulsión reacciona ahí completamente

γeKrCe.

Modelo de Kunii-Levenspiel[1]

De acuerdo con la características (restricciones… suposiciones) de este

modelo, la rapidez de consumo del reactivo depende de dos coeficientes

de transporte (Kbc y Kce), y tres coeficientes de reacción efectivos

(γbKrCb ; γcKrCc ; γeKrCe. Consecuentemente, en la parte macroscópica

de burbuja, nube, cauda y emulsión los coeficientes son efectivos, no

necesariamente intrínsecos, porque ahí puede haber problemas de

transporte; esto no necesariamente ocurre en el seno de las partículas

sólidas (catalíticas), ya que por ser muy pequeñas pueden no ofrecer

resistencia al transporte de mas y/o energía.

El siguiente es un modelo compacto que describe como cambia la

concentración de un reactivo de interés cuando burbuja pasa a través del

lecho fluidizado, en condiciones isotérmicas, estado estacionario, y la

burbuja se transporta principalmente por convección a través del lecho:

... (10-70)bb f b

dCu C

dy

Donde Қf es un coeficiente de rapidez de reacción-multifase efectivo

Donde θb es el tiempo de residencia (contacto) de la burbuja cuando

viaja a través del lecho.

Como: bb f b

dCu C

dy

/

b b b b bb b f b

b

dC dC dC dC dCu Au Q C

dy Ady dV d V Q d

exp ... (10-71 )́b f bC

Anatomía del coeficiente global de transporte

El modelo de Kunii-Levespiel describe la transformación química en un

lecho fluidizado con burbujas que contienen el reactivo, y considera:

Rapidez global de desaparición: bb f b

dCu

dyC

Reacción en burbuja + Transferencia hacia nube y cauda:

... (10-72)b r b b cf b c bK CC K C C

Reacción en nube y cauda + Transferencia hacia =

... (10

emul

-73)

sión

c r c ce c ebc b c K C K C CK C C

Reacción en la emulsión=

... (10-74)ee r ece cK C K CC

1 ... (10-75)

1

1

1

f r br

bcc

r ce

KK

K

K K e

El coeficiente de rapidez de reacción-multifase efectivo Қf puede

obtenerse combinando las ecuaciones (10-72 a 74)

Como: y ... (10-76)r rc e

bc ce

K KDa Da

K K

La 10-75 se puede escribir en forma compacta considerando:

Factor de efectividad del tipo: ... (10-77)1 Da

El factor de efectividad del tipo: ... (10-77)1 Da

tiene las siguientes propiedades:

Cuando es pequeño: el catalyzador de esa fase se usa totalmenteDa

Cuando es grande: 0 no hay reacción en esa faseDa

Considerando del factor de efectividad en cada fase:

Fase-burbuja: ... (10-78)b b

Fases-nube-cauda: ... (10-78)

1

cc

c cDa

Fase-emulsión: ... (10-78)

1

ee

e eDa

Definiendo un factor de eficiencia global del lecho fluidizado ζf :

0

vol. burbuja

vol. sólido

f f b bf

r r s s

V V

K K V V

Considerando los diferentes factores de efectividad :

vol. burbuja 1

... (10-79)vol. sólido 1

f f b bf b

r r s c c e s

V V

K K V Da V

Límites del factor de eficiencia global del lecho fluidizado ζf :

Para grandes, además: 0 1 ... (a)be f b c

s

VDa

V

Para grandes, además: 0 y 0 1 ... (b)be c f b

s

VDa

V

Para pequeño: 1 ... (c)bf b c e

s

VDa

V

Recordar que: e c b

Condiciones límite:

Cuando la reacción catalítica es muy lenta, se tiene Dac y Dae →0, y el

reactor se comporta como un lecho fijo [condición (c)].

Cuando la reacción catalítica es rápida, se tiene la condición (b), porque

la concentración de reactivo en la burbuja es pequeña, y la eficiencia del

lecho fluidizado es muy pobre, semejante a la que se tendría con un

CSTR.

La condición (a) es la que se busca mantener con un reactor de lecho

fluidizado.

Ingeniería de Reactores II

1740-2

Fin de 2014-03-27 12a