INFORME PRCTICA No 1.Medicin de incertidumbre en la medida de la densidad del AguaGrupo 3 Andrs Felipe Contreras Hurtado, Ivn Ral Fisgativa Villarraga, Santiago Martnez TorresFebrero 26 2015

Abstract

In the laboratory experiments is common to find some mistakes at the measurements of some properties as weight or volume. Besides, all measurements are susceptible to uncertainties and when other property, function of the measures is calculated, these errors are passed on the dependent property, so there is the need to know how to reduce these by, for example, using different ways to measure. In this practice these uncertainties were measured for a calculated density of a water sample. This measure was done by three different methods: Using a pycnometer of 5 mL and weighing it empty and full of water ; using a linear regression of several measurements of some volumes of water and their weights and finally, doing a direct measurement of density by taking individually the weight values of some water volumes. Concluding that the best way to measure water density its by the method of the pycnometer as it has the lowest standard deviation and errors percentage.

Objetivos Determinar la densidad utilizando diferentes Formas de medicin de sta y la incertidumbre asociada a estas medidas. Comparar los mtodos y las incertidumbres de las determinaciones.

Fundamento terico

Propagacin de errores En muchas ocasiones se nos podra plantear el problema de obtener la medicin de una magnitud mediante mtodos indirectos o mediante alguna expresin matemtica, debido a que la medicin de las magnitudes directas conllevan una expresin de incertidumbre, la magnitud indirecta obtendr una propagacin de error desde las mediciones directas hasta ella, esta propagacin de error o incertidumbre adopta una forma especfica segn la forma en que se determine la magnitud indirecta, es decir, mediante sumas, productos, cocientes e incluso regresiones lineales, a continuacin se presentan las diferentes ecuaciones.

Suma y resta: y=a+b+c

Productos y cocientes: y=abc y=a/bc

para la incertidumbre en regresiones lineales se evalua a partir de las desviaciones entre los puntos experimentales y las predicciones de la recta caracterizada por los parmetros de la ecuacin de la pendiente en la regresin lineal y la ecuacin del trmino independiente

Incertidumbre en la pendiente de la regresin.

Incertidumbre en el valor independiente.

Procedimiento experimental

Para la determinacin de la densidad se usaron 3 mtodos diferentes y que cada experimentador realiz:

Determinacin con picnmetro: 1. Se pes el picnmetro de 5 mL vaco y seco en la balanza analtica. 2. Se llen con agua destilada.3. Se pes el picnmetro lleno en la balanza.

Determinacin de densidad a travs de una regresin lineal:1. Se tar la balanza analtica un vaso de 100 mL 2. Se adicionaron 2 mL de agua destilada medidos con una probeta de 10 mL 3. Se pes el vaso en la balanza y se anotaron la masa y el volumen de agua.4. Se repiti el procedimiento hasta tener 8 puntos.

Determinacin de la densidad mediante la medicin directa de la masa de cierto volumen: Utilizando las medidas de peso y volumen realizadas anteriormente, se hizo la determinacin de la densidad.

Diagrama de los equipos Los equipos usados fueron: Picnmetro de 5 mL

Probeta de 10 mL

Balanza analtica

Tabla de datos Ver anexo 1.

Muestra de clculos

Para calcular las densidades utilizando el picnmetro se utiliz la relacin:

Utilizando los datos medidos:

Para el clculo de las incertidumbres se utiliz la relacin de las derivadas parciales de las variables utilizadas en el clculo de la densidad (masa y volumen) y de sus incertidumbres de la ecuacin :

Utilizando las variables para la densidad y despejando para sta:

Utilizando la ecuacin anterior con los datos de masa y volumen medidos en la prctica se pueden calcular las incertidumbres de las densidades calculadas, por ejemplo, con los datos para el experimentador 1:

Igualmente para la incertidumbre de la densidad calculada con picnmetro; en el caso del experimentador 8:

Para la incertidumbre de la regresin para la densidad, se utilizaron las relaciones:

Donde Sm es la incertidumbre de la pendiente de la regresin, en este caso, de la densidad del agua y N el nmero de pares experimentales (xi,yi), en el caso de ste experimento: 8, cabe resaltar que el intercepto con el eje y, de la regresin debe ser cero, ya que a una masa de 0g el volumen es 0mL. Utilizando los datos de las regresiones y los datos medidos por ejemplo para el experimentador nmero 7:

Tablas y grficas de resultados

Tabla N 1 Densidades de los mejores intentos de los experimentadores, halladas por medio de la regresin lineal.Experim.Densidad (g/mL)Incertidumbre (g/mL)% de Error

10,8900,00510,8%

20,8710,00312,7%

30,7910,00520,7%

40,9900,0030,8%

50,9520,0044,6%

60,9920,0040,6%

70,9530,0054,5%

80,9740,0052,4%

90,9670,0063,1%

100,9770,0032,1%

110,9740,0062,4%

120,9940,0020,4%

Tabla N 2 Densidades halladas por el grupo 3, por medio de la regresin lineal.

Experim.Densidad (g/mL)Incertidumbre (g/mL)% de Error

70,9330,0056,5%

0,9510,0064,7%

0,9530,0054,5%

80,9500,0084,8%

0,9740,0052,4%

0,9670,0063,1%

90,9800,0071,8%

0,9670,0063,1%

1,0110,0141,3%

Tabla N 3 Porcentaje de error en las medidas de densidad utilizando el picnmetro

Densidad (g/mL)Porcentaje de error

1,03003,1%

1,02973,1%

1,04714,8%

0,98731,1%

0,98651,2%

0,98761,1%

1,03493,6%

1,03533,7%

1,03733,9%

1,06416,5%

1,06486,6%

1,06446,6%

Tabla N 4 Incertidumbre en la densidad de los valores calculados por el grupo 3, por medio del picnmetro.ExperimentadorDensidad (g/mL)Incertidumbre (g/mL)

71,030280,083

81,029720,082

91,047020,084

Tabla N 5 Densidad calculada para los 3 intentos de los experimentadores para el volumen de 2mLExperim.Densidad (g/mL)Incertidumbre (g/mL)% de Error

10,9070,0119,1%

0,9780,0122,0%

0,8220,01017,7%

20,8740,01112,5%

0,8270,01017,1%

0,8400,01015,9%

30,8190,01017,9%

0,8470,01115,1%

0,7780,01022,0%

41,0060,0130,8%

1,0080,0131,1%

0,9890,0120,9%

50,9920,0120,6%

0,9770,0122,1%

0,8860,01111,3%

61,0150,0131,7%

1,0250,0132,7%

0,9940,0130,4%

70,9630,0123,5%

0,9520,0124,6%

0,9270,0127,1%

80,9680,0123,0%

0,9720,0122,6%

0,9700,0122,8%

90,9830,0121,5%

0,9730,0122,5%

0,9950,0120,3%

100,9800,0121,8%

0,9930,0120,5%

1,0130,0131,5%

110,9450,0125,3%

1,0180,0132,0%

0,9600,0123,8%

121,0260,0132,8%

0,9760,0122,2%

0,9760,0122,2%

Tabla N6 Precisin de los mtodos utilizados, visin general de todos los grupos.MtodoDesviacin Estndar

Picnometra0,029

Regresin lineal0,062

Densidades individuales0,068

Tabla N7 Datos obtenidos para la regresin de la densidad del agua con el promedio de la masa medida para cada 2mLVolumen (mL)Masa g)Desviacin Estndar

21,8970,136

43,7770,247

65,6620,394

87,5530,480

109,4680,629

1211,3960,689

1413,2140,891

1615,1941,080

Densidad (g/mL)0,947

Incertidumbre 0,005

% de error5,1%

Grfica N 1 Grfica N 2 Grfica N3 Grfica N 4 Grfica N5 Grfica N 6 Grfica N 7 Grfica N 8 Grfica N 9

Grfica N 10 Grfica N 11

Grfica N 12

Grfica N 13

Anlisis de Resultados

Para el anlisis de las densidades halladas, se us una base de comparacin para todos los mtodos, la cul fue la densidad real del agua a 22C, temperatura promedio del laboratorio, de 0,99786

1. PicnometraUtilizando los datos calculados para la densidad con el picnmetro observados en las tablas 3 y 6 , se observa que globalmente hubo una gran dispersin de los datos evidenciada en la desviacin estndar de todos los datos de 0,029 as como en los porcentajes de error de cada dato los cules llegan a variar de 1,1% hasta 6,5% de error frente al valor real. Esta diferencia en los resultados puede ser debida a la diferencia entre los 12 experimentadores, es decir a los errores experimentales que cada uno pueda darle a su medida, as como a el material usado por cada grupo , ya que se puede observar una tendencia del valor de las densidades en base a su separacin por grupos de trabajo: El grupo 1 tiene porcentajes de error entre 3 y 4 % , el grupo 2 del 1% , el grupo 3 del 3% y el grupo 4 del 6%. Tambin, en base a los porcentajes de error, se puede ver que en general se tuvo una exactitud baja, debida en parte a los equipos usados, mayormente a la balanza analtica ya que no estaba en las mejores condiciones y no estaba calibrada.

Para los resultados del grupo 3, debido a que se tenan los valores de las masas medidas, se pudo calcular una incertidumbre en las medidas de la densidad hallada, mostradas en la tabla 4. Esta incertidumbre para los 3 experimentadores fue similares con valores cercanos a , mostrando la precisin del grupo sealada en el uso del mismo material. Sin embargo, esta incertidumbre es alta, debida principalmente a la incertidumbre del picnmetro de que influencia bastante la incertidumbre de la densidad.

2. RegresinEn el caso general de la toma de medidas de todos los experimentadores, se pudo observar, mediante las regresiones, ms precisamente con la determinacin del R2 que todos los experimentadores fueron muy cuidadosos y precisos a la hora de tomar datos, esto se observa en los valores del R2 ya que todos fueron del orden de 0,9998 y algunos hasta de 0,9999. Sin embargo las grficas presentadas fueron realizadas a partir de las mejores mediciones realizadas por cada experimentador y teniendo en cuenta la precisin que tuvo con el manejo de tantos datos se puede esperar que la precisin en la toma de datos con las otras dos medidas fuera muy similar a la presente.

Por otro lado la pendiente de las grficas determina la exactitud a la hora de determinar las densidades con los datos tomados ya que como se observa en la linealizacin la pendiente multiplica al volumen, por lo tanto la pendiente debe ser del valor real de la densidad a esas condiciones, y por lo que se observa en las grficas de los experimentadores la mayora se acerc bastante hablando en trminos de exactitud con la densidad real y hubo unos pocos que estuvieron un poco alejados, en trminos generales se puede decir que tanto la precisin y la exactitud en la toma de datos fue muy buena.

Siguiendo el mismo razonamiento anterior y observando el valor de los R2 se puede deducir que la toma de datos realizada por nuestro grupo fue, en su mayora, muy precisa debido a que los datos de R2 fueron muy cercanos al valor de 1, el dato ms lejano fue de 0,9987 sin embargo sigue siendo un dato relativamente cercano a 1. Con esto se deduce que el equipo de trabajo, y como ya se dijo anteriormente, se realiz una toma de datos muy precisa, es decir no hubo muchos errores humanos a la hora de tomar datos.

Por otro lado observando las pendientes determinadas por regresin, la pendiente vendra siendo la densidad misma que para el caso real sera 0,99786 y segn lo observado en las 9 grficas la pendiente obtenida fue cercana al valor real, todas las pendientes obtenidas estn en el rango de 0.93 y 1.01 g/ml con lo que se puede concluir que el trabajo realizado en el laboratorio fue bueno a pesar de los distintos errores que se pudieran presentar a la hora de trabajo de laboratorio, como por ejemplo que la balanza no estuviera calibrada o el hecho de que el picnmetro no tuviera una incertidumbre reportada, a pesar de esto el dato obtenido fue bueno.

Debido a la gran cantidad de datos de las mismas medidas, se realiz la tabla N7 al tomar los promedios de masa para cada 2mL de agua por parte de los 12 experimentadores; para as tener una regresin lineal que incluye todos los datos medidos, la cual se observa en la grfica No 13. En esta grfica podemos observar que el R2fue de 1, lo que nos dice que en general los datos se ajustaron a un comportamiento lineal, que es el esperado para la medida de una densidad a temperatura constante, sin embargo se observa tambin que la densidad calculada por este mtodo es de 0,947 lo que indica que el mtodo tiene una exactitud bastante baja. Al comparar la regresin general con las regresiones individuales se analiza que stas fueron ms precisas que al tomar todos los datos como un todo. Esto se debe a que la dispersin de los datos no permite una gran exactitud al reunirlos todos, dado que, por ejemplo, los resultados del grupo 1 son bastante alejados del valor real as como de los dems grupos.

Al analizar ms a fondo los datos, se aprecia en la tabla 7, que la desviacin estndar para cada volumen, aumenta cuando el volumen lo hace; esto se debe a la acumulacin de errores en la medida de la masa; cabe resaltar que para el ltimo volumen medido(16mL), se obtuvo una desviacin de 1,08, lo que significa que para sta medida hubieron datos bastante alejados del promedio (15,194mL); al analizar los datos reportados por los grupos apreciamos que la desviacin de ste valor se debe a que hay algunos datos reportados para dicho volumen con valores de 12,722mL, como valor ms bajo y 17,7932 mL como el ms alto reportado, por lo que se aprecia que la diferencia es bastante alta; prcticamente 3mL por encima y por debajo de la media, para explicar por qu la desviacin no fue mayor se tiene que los dems datos reportados para este volumen en especfico tienden a 15 mL, es decir, se tienen errores sistemticos presentes en todas las mediciones que evitan un valor ms alto para la desviacin. 3. Densidades individualesUtilizando los datos reportados por todos los grupos se elabor la tabla del anexo 1, en la cual se aprecian las densidades calculadas para cada par ordenado (Volumen, Masa), por medio de la propagacin de errores en la incertidumbre se elabor la tabla del anexo 2, en la que podemos apreciar que el mayor peso de la incertidumbre viene dado por la primera medicin, ya que sta depende ms que todo del error de la balanza, la cual estaba des calibrada , razn por la que se realiz un anlisis de error y precisin a las 3 mediciones de todos los experimentadores para los primeros 2 mL de cada una, que se puede apreciar en la tabla N5.

La tabla No 5 nos muestra que la incertidumbre de todos los experimentadores vara entre 0,010 y 0,013,habiendo grupos con cierta uniformidad en la misma: grupos 3 y 4; Respecto a la exactitud de los experimentadores se puede apreciar que el grupo 1 es el que tiene la menor exactitud y una gran variabilidad en sta medida, ya que el error oscila entre 2% y 22% con una gran mayora de valores por encima del 15%; para el resto de grupos, esta medida tuvo un menor error, variando para el resto entre 0,3% y 11,3%, siendo el grupo con la mayor exactitud el 2. Para el grupo en general, as hubiesen problemas en la calibracin de la balanza y del modo en que se suministr el agua a la probeta, se lleg a una gran exactitud, por ste mtodo, al menos en la estimacin de la densidad de los 2 mL de agua iniciales.

La precisin del mtodo al compararla con los dems, en general se puede ver en la tabla No 6 donde se aprecia que la desviacin de los datos (0,068) es mayor a los dems mtodos, es decir el mtodo menos preciso, en gran parte se puede considerar que se debe al error del grupo 1 en la medicin, que adems del error personal, puede deberse a que ste grupo midi en una balanza diferente a la de los dems.

Adems del anlisis general de todas las densidades individualmente calculadas, se puede hacer nfasis en las calculadas por el grupo 3 mostradas en la tabla No 5. Se puede observar primero, que la variacin de los valores tomados para cada medida, de cada experimentador, varan de manera errtica a travs de las medidas hechas; es decir, entre los 3 valores medidos para un mismo volumen se tiene una alta dispersin de los datos para los 3 realizadores del experimento. Los valores de las desviaciones estndar estn entre valores desde 0,008 hasta 0,046 entre los 3 experimentadores. Adems, no se tiene tendencia de esta desviacin para algn volumen, por ejemplo para el experimentador nmero 8 la desviacin mxima se dio en el volumen de 10 mL, mientras que para el experimentador nmero 7 en este volumen se da la menor desviacin (0,009). Este hecho implica una disminucin en la precisin de las densidades calculadas y as mismo, una disminucin en la exactitud global ya que algunos experimentadores simplemente no tienen el mismo cuidado en la toma de las muestras. Sin embargo, dado que se tienen pocos datos para estas mediciones, la desviacin estndar no indica claramente la naturaleza de las medidas. Otro hecho a considerar en la alta dispersin, es el uso de la probeta graduada de vidrio, ya que en cada medida siempre se queda cierta cantidad de agua dentro de la probeta, y en todas las medidas esta cantidad difiere, por lo que aporta gran dispersin a los datos as sea para un mismo experimentador. Tambin se tiene en cuenta que, para apresurar las mediciones, los tres integrantes del grupo participaron en las mediciones de la masa de agua, y en cada medicin , un integrante meda el volumen de agua y otro la adicionaba al vaso; por lo que las medidas son afectadas tanto el error en la medicin ( el cual es el del mayor peso ) as como el error en la prdida de agua en la probeta. Sin embargo, incluso teniendo en cuenta estas consideraciones, se puede observar que para un mismo experimentador, siempre se va a tener una dispersin en la repeticin de las medidas que realice, esto debido a la propia variabilidad del error de cada experimentador en sus medidas el cual es ciertamente difcil de controlar y que afecta tanto la exactitud como la precisin de sus datos.

Conclusiones

De acuerdo a los resultados obtenidos, el mejor mtodo de determinacin de la densidad del agua en trminos de la exactitud, en general para todo el grupo de laboratorio es la picnometra, que si bien da un gran rango de incertidumbre (valor nicamente verificado para las medidas del grupo 3), es muy exacta, variando el error entre el 1,1% al 6,6%. As mismo, el mtodo del picnmetro es tambin el ms preciso, con la menor desviacin estndar (0,029) entre sus medidas.

La mejor densidad medida y calculada fue la del experimentador 6 en la 3 medicin de 2,000mL 0,025mL de agua, fue de 0,994g/mL0,013g/mL.

SugerenciasRectificar el estado de los implementos antes de utilizarlos: la balanza calibrada y el estado del picnmetro y de la probeta. Tambin, que cada medida sea realizada por un solo experimentador para evitar mayores dispersiones.

Bibliografahttp://www.slideshare.net/boli_eli/lab-fisico-1 (Consulta 21 de febrero de 2015) http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/qui/denh2o.pdf (Consulta 21 de febrero de 2015)http://www.scheitler.com.ar/Productos/picnometros/PIC5.aspx (Consulta 21 de febrero de 2015)http://co.mt.com/lac/es/home/products/Laboratory_Weighing_Solutions/Analytical.html (Consulta 21 de febrero de 2015) http://insertidumbre-reg-lin.blogspot.com/2008/04/incertidumbre-de-la-regresin-lineal-1_16.html?m=1 (Consulta 22 de febrero de 2015)SHOEMAKER D. P., GARLAND C.W, NIBLER J.W., Experiments in Physical Chemistry, 8th edition, Mc Graw-Hill, New York (2009).