Research Collection

Doctoral Thesis

Volle Systeme von Grundinvariantentypen

Author(s): Wanner, Ernst

Publication Date: 1926

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000104584

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ETH Library

Volle Systemevon Grundinvariantentypen

VON DER

EIDGENOSSISCHEN TECHNISCHEN

HOCHSCHULE IN ZÜRICH

ZUR ERLANQUNO DER

WÜRDE EINES DOKTORS DER MATHEMATIK

GENEHMIGTE

PROMOTIONSARBEIT

VORGELEGT VON

Ernst Wanner, dipl. Fachlehrer

aus Zürich.

Referent: Herr Prof. Dr. H. Weyl.Korreferent: Herr Prof. Dr. A. Hirsch.

441

ZÜRICH d 1926.

Diss.-Druckerei Gebr. Leemann & Co., A.-G.

Stockerstr. 64.

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Einleitung.

Es sei vorgegeben eine Gruppe (5 linearer homogener Trans¬

formationen in n Variabeln und eine beliebige Anzahl von Vektoren

x, y,..., z mit je n Komponenten. Eine ganze rationale Funktion

/ dieser Vektoren, homogen in den Komponenten jedes einzelnen,

nennt man eine Vektorinvariante der Gruppe 03, wenn bei ko-

gredienter Anwendung einer beliebigen Operation von 03 auf die

Komponenten jedes der Vektoren x, y,..., z, f nur mit einem

Faktor multipliziert wird, der allein von den Ttansformations-

koeffizienten abhängt. Ist dieser Faktor für alle Operationen von (5

gleich 1, so ist / eine absolute Invariante dieser Gruppe. In der

Invariantentheorie stellt man sich die Aufgabe, ein System von

Grundinvariantentypen zu konstruieren, durch die sich alle Vektor¬

invarianten der Gruppe ganz rational ausdrücken lassen. Diese

Invariantentypen sollen unabhängig von der gegebenen Anzahl der

Vektoren und allein durch die vorgelegte Gruppe ö3 bestimmt sein.

Das ist so gemeint: Alle Invarianten einer beliebig gegebenen An¬

zahl von Vektoren x, y,..., z drücken sich ganz rational aus durch

diejenigen Grundinvarianten, welche die endlich vielen Grundtypen

liefern, wenn man für ihre Argumente in allen möglichen Kom¬

binationen die Vektoren x, y,..., z einsetzt. So ist für die absoluten

Invarianten der orthogonalen Gruppe das skalare Produkt

(xy) = Xlyl -\- -\-xny„

der einzige Grundtypus. Bei h Vektoren x, y,..., z bekommt man

daraus = Grundinvarianten: die skalaren Produkte je

zweier (gleicher oder verschiedener) dieser Vektoren:

(xx), (xy), , (xz),

(zz).

_ 4 —

Die Lösung dieser Aufgabe nennt man bekanntlich den ersten

Fundamentalsatz der Invariantentheorie für die betreffende Gruppe.

Die Formel von Capelli, von der ein Beweis von H. Weyl in der

mathematischen Zeitschrift Bd. 20, S. 131, 1924, zu finden ist,

reduziert dieses Problem auf den Fall von n bezw. n—1 vor¬

gelegten Vektoren. An der gleichen Stelle sind die Grund¬

invariantentypen für einige spezielle Gruppen mit Hilfe der infini¬

tesimalen Operationen aufgestellt worden, so zum ersten Mal das

vollständige System für die Komplexgruppe, das sind diejenigen

linearen homogenen Transformationen, die eine nicht ausgeartete

schief-symmetrische bilineare Einheitsform ungeändert lassen. Will

man ein System von Grundinvariantentypen für die Bewegungs¬

gruppe im euklidischen Raum bestimmen, so benutzt man mit

Vorteil den Erweiterungssatz; wegen seiner Wichtigkeit für das

folgende entnehme ich ihn wörtlich aus jener Arbeit:

Einer Gruppe ö3 von projektiven Transformationen in n

Variabein xlt xif..., x„ entspricht die Gruppe ö3M in n + f.i Varia¬

bein x = (fi, f2, ..., l/ii xi, -, xn), welche definiert ist durch fol¬

gende Gleichungen:

.£T = (yn & + + rut £«) + («n xx -\-. ... -f- c1H x„)

& = (jvi & + + yw^) + (^i% + + c,,„ x„)

zusammen mit der Festsetzung, daß xu..., x„ unter sich eine¬

beliebige Transformation aus (5 erleiden können; die y und c sind

beliebig mit der einen Einschränkung, daß die Determinante der y

gleich 1 (bezw. =1= 0) ist. Ein System von Grundinvariantentypen von

03^ wird alsdann gebildet aus den Grundinvarianten von <5 zu¬

sammen mit der (ji-)-w)-gliedrigen Determinante (xyz...).Wir nennen 03^, die mit einem Rand von der Breite ,w ver¬

sehene Gruppe ö3 oder kurz eine geränderte Gruppe zu <S. Der Er¬

weiterungssatz liefert uns also die Mittel, aus den Grundinvarianten-

typen einer Gruppe ö3 sofort die Tabelle der Grundinvarianten für

eine geränderte Gruppe <5ß ergänzen zu können.

Das allgemeinste zu einer gegebenen Gruppe 03 gehörige Inva¬

riantenproblem wäre, alle zu (5 homomorphen Gruppen linearer

Transformationen und deren Vektorinvarianten aufzustellen. Darin

— 5 —

wäre die Invariantentheorie der algebraischen Formen, die bis jetzt

hauptsächlich behandelt worden ist, enthalten. Hier werden wir

für (S geränderte zu gewissen speziellen Gruppen betrachten und

die oben erwähnte allgemeine Aufgabe nur für den Fall

lösen, wo neben kogredienten auch kontragrediente Vektoren auf¬

treten. Die Tabelle der Grundtypen wird dadurch wesentlich

mannigfaltiger. Für die Bewegungsgruppe der euklidischen Geo¬

metrie wurde das vollständige System für beiderlei Variable zum

erstenmal von R. Weitzenböck *) mit seiner Methode der Komplex¬

symbole aufgestellt. Dieses Verfahren führt auch hier zum Ziel.

§ 1. Die Komplexrechnung.

Im folgenden soll die Komplexrechnung kurz entwickelt

werden.2) Gegeben sind beliebig viele Vektoren mit je n Kompo¬

nenten x — (xt, x2,..., x„). In Zukunft werden wir kogrediente

Vektoren und ihre Komponenten in lateinischen, kontragrediente

hingegen immer in griechischen Buchstaben schreiben. In den An¬

wendungen treten die erstem immer als homogene Ebenen —, die

letztern als homogene Punktkoordinaten auf. Ferner bedeutet

(x£) die Linearform:

(*£)t = l

Sie tritt immer unter den Grundinvariantentypen auf und man

nennt sie auch Faktor erster Art. Unter Faktoren zweiter Art

oder Klammerfaktoren versteht man die w-gliedrigen Determi¬

nanten :

(rs z) = S ±rih(rs..z)

• &n

rtrs

Sl *2

ZlZ<L

1923.

1) Vgl. R. Weitzenböck : Invariantentheorie, S. 268. P. Noordhoff, Groningen,

2) Vgl. R. Weitzenböck : Invariantentheorie, Abschnitt III, § 3, S. 72.

oder

(ça Ç) = S ±Qi°2 £« =te", ç)

01?!! • Qn

. 0„

Ci Ça .... Cm

2 i bedeutet stets, daß die Summe über alle Permutationen von

e, <? •.. ? alternierend zu erstrecken ist. Ferner schreiben wir ab¬

gekürzt für fc-zeilige Determinanten:

xh ' OC% X\

Zh ZiH

F(a y ,

= (x .. .yz)h...lk:

&• .&&

Mi

Ç. h

= (£• • >?0*

z) sei eine Linearform in den Komponenten der

Je Vektorer. x, y,..., z. Jetzt unterwirft man x, y,..., s in F

allen möglichen Permutationen, versieht die so aus F entstehenden

Linearformen mit dem Vorzeichen -f~ oder —, je nachdem die

zugehörige Permutation gerade oder ungerade ist, und addiert alles.

Durch diesen Prozeß, den wir durch einen horizontalen Pfeil

andeuten, entsteht aus jeder Linearform F(x y... z) eine schief¬

symmetrische Form, die symbolisch F(p p... p) geschrieben wird;also:

(1) F(xy. ..#)--> S ± F(xy.(xy .z)

*) = F(pp. ..p)

dual dazu:

(1) F^tj. • -Ç) ->2 ±F(£t]. ..£) = F(w/e ...7C)

Beispiele:

1 2 * • • "^A

1. Xi y2 ... zk —> S ±xlyt... zk(xy. z)

==

yiVz-'-yi= PfPi- Pk

8\Z% • Zk

2. x2 y1 .. . zk — S ± ^2 2/i • • • zu -= i>2-Pi---n ~-

- —Pl -P2- Pk

Die pt nennt man nach R. Weitzenböck Wältige Komplexsymbole,fc-fältige darum, weil erst einem Produkt von Je solchen p ein

— 7 —

Sinn zukommt. Für diese Symbole gilt, wie man oben sieht, das

kommutative Gesetz der Multiplikation nicht. Ist F schon schief¬

symmetrisch, so:

F -v k\F;

insbesondere entsteht aus dem Klammerfaktor :

(rs...txy..z) — [r s . . tpp p) = (rs . . tpk) = k\{rs..txy..z)

In Klammerfaktoren können also auch mehrere Zeilen p stehen,

ohne daß dieselben verschwinden. Wir schreiben dann immer nur

ein p und fügen die Anzahl der Zeilen als Exponenten hinzu.

Für den Prozeß — gelten die folgenden Regeln:

1) 0 -+ 0

d. h. wenn F (x y... z) = 0, dann auch F(pp...j)) = 0.

2) Der Prozeß ist linear; also wenn:

F — F*; G — G*,

so : F + G —»• F* + G* ; aF -+ aF* (a eine Zahl)

3) Aus F{pp..p) = 0 folgt: F(pp..p) (D{pp..p) = 0.

Diese Eigenschaft ist entscheidend für die Verwendung der p in

der Rechnung.

Beweis: Es seien F(xy ...z) und <D(rs ...t) zwei Linearformen

von i bezw. k Vektoren. F(pp... p)-<P(pp.,. p) entsteht aus

F(xy... z) <P (r s... t) durch den Prozeß —*-, also:

F(xy ,z)-(D(rs..t)-+'£l ± F(xz ,y)-W(rs..t) = F(pp..p)-(Ü(pp..p)(xy..t)

Man bekommt aber alle Permutationen von i-\-k Vektoren auch, in¬

dem man diese auf alle möglichen Arten aufteilt in zwei 'Gruppen

zu i bezw. k und die Vektoren der einzelnen Gruppen unter sich

permutiert:

F(xy..z)-0)(rs.J)—y-Yl + / S ± F{xy..z) 2 + ®(rs..f)\^ \(xu..z) (rs..()

'

Autteilungen in geordnete Kombinationen

.vy..z •rs.A

Nach Voraussetzung verschwindet auf der rechten Seite jedes

Glied der äußern Summe wegen F(pp... p) = 0, also ist:

F(pp .. p) • d> (pp .. p) = 0

Unter 1), 2) und 3) stehen die wesentlichen Tatsachen der Komplex-

— 8 —

rechnung. Gebraucht werden eigentlich nur w—1-fältige Symbole;

wegen Eigenschaft 3) sind aber die fc-fältigen ein bequemes Hilfs¬

mittel der Rechnung, um für sie Identitäten herzustellen.

Wir wollen jetzt noch kurz skizzieren, wie die Komplexrech¬

nung Verwendung findet. <£> sei eine Gruppe linearer homogenerTransformationen. Durch irgend ein Verfahren soll es gelungen

sein, ein System von Grundinvariantentypen im Gebiete der ko-

gredienten Vektoren für 03 zu bestimmen. Die weitere Aufgabe

ist, ein volles System zu finden, wenn neben kogredienten noch

kontragrediente Vektoren auftreten. Diese Aufgabe läßt sich

durch vollständige Induktion auf die vorige, wo nur kogredienteVektoren vorhanden sind, zurückführen. Enthält J den kontra-

gredienten Vektor f linear:

J = 2j xt fj

so führen wir n— 1 kogrediente Hilfsvektoren x^\ otP\ .. ,x(" *> ein

und ersetzen I, durch:

(2) (-1)'

l-l Xt+1„(1)

(n-l) (n-l) (n-l) (n-l)•x«-l "S+l

,(«-!)

= (—1)» >, .pt iP,+i..Pn

Geometrisch bedeutet das, daß man den Punkt f auffaßt als

Schnittpunkt von n—1 Ebenen xm,.

1(XaWa*2)..«*»-1)) =

,x(n 1}. Es entsteht aus J:

i(Xpp..p) = ~~T-J(Xp"-i)(m— 1)!v *2 "L)

(»—l)!

Das ist eine neue Invariante, die statt des einen griechischen n—1

lateinische Vektoren #(1), ...,ain !> mehr enthält. Allgemein sei

F eine Invariante beliebig vieler ko- und kontragredienter Vek¬

toren. F sei z. B. in £ von der Ordnung h. Mit F ist auch die

den neuen kontragredienten Vektor <?* linear enthaltende Polare

h h ei-'

eine Invariante, aus der man F zurückgewinnt, wenn I* = f

gesetzt wird. Führt man nun in ihr für die ë* nach (2) die aus

— 9 —

den n—1 Hilfsvektoren x(1),..., x(" !) gebildeten n—1-gliedrigen

Determinanten ein, so entsteht die neue Invariante:

£F eF BF

clx ßc*'

c in

•*i ..x{1)n

x(n~l)^2

(n-1). .Xn

Diese ist in f nur noch vom Grade h—1, die Gesamtordnung in den

griechischen Variabein ist also herabgedrückt. Da / {xm... x("~i})schiefsymmetrisch in xm,..., x{n~x) ist, gilt :

f = t^tyt S ± f(^ x^) = j—^j f(P.. .p)

f führt auf F zurück, wenn man für die n—1-gliedrigen aus den

Hilfsvektoren bestehenden Determinanten (2) wieder die zugehörigen

kontragredienten Variabein f, einführt. Das Resultat ist eindeutig;

ist / eine homogene lineare Funktion der n—1-gliedrigen Deter¬

minanten (2) und verschwindet sie identisch inx^\aß\ ..., x1-'1'^, so

ist auch F = 0. Das Ersetzen der Determinanten (2) durch die

griechischen Variabein nennen wir Restitution. Diese Operation

soll in Zukunft immer durch den Doppelpunkt angedeutet werden.

Um nun einzusehen, ob eine vorgelegte Tabelle von In¬

varianten ein vollständiges System von Grundtypen für ko- und

iontragrediente Vektoren umfaßt, muß man zeigen:

1. Sie enthält die sämtlichen als bekannt vorausgesetzten Grund¬

typen, deren Argumente ausschließlich kogrediente Vektoren

sind.

2. Ist TT (x(i)... a?^1') ein beliebiges Produkt von Invarianten

aus der Tabelle und enthält es nebst andern ko- und kontra-

gredienten Vektoren die Hilfsvektoren x{l),..., x(n~l) linear, so

läßt sich auch nach der Restitution der in xm,..., x(n~l) schief¬

symmetrische Ausdruck TT(p... p) als ein Aggregat von Grund¬

typen darstellen. Unter diesen Umständen kann man nämlich,

wenn / durch Invarianten der Tabelle ganz rational, das ist als

Snmme von Produkten TT(x(l).. .x('!_1)) ausgedrückt ist, auch

eine Darstellung für F gewinnen.

— 10 -

Beim Verifizieren der zweiten Forderung wird uns jeweils die

folgende Formel aus der Komplexrechnung gute Dienste leisten.')

Aus:

l

nr2 .

Si s2 ..

• rn (r £)

• sn (s £)

h k • • • tH (t I)

Xi X% . . . . Xfi \X k)^o

Z1 Z2 Sn (ß £)

folgt, nach der letzten Kolonne entwickelt:

(s.. .txy.. .z) (r£)— (r.. .txy.. .z) (s£) + ...

_|_ (_ i)»-fc-i (rs...ty...z)(x%) + ...+ (-\)n(rs...x...)(z£) = 0

Durch den Prozeß — angewendet auf x,y,...,z entsteht daraus:

(s.... tpk)(r £) 4-... + (- 1)"-* (rs.. .pk) (tS)

-\-(-l)nk(rs...tph-{)(p$) — 0

oder:

k(rs...tpl>-l)(p£) = (s.. Jpk) {r £) - (r.. Jpk) (s £) + ...

1 '+(-l)n-h(rs...ph)(t£)

dual dazu:

1c(qg.. .%7iK~l) (7tx) =z= (a... T7fA) (ça;) — (,ß... ciik)(ax)-\-...+ (-1)"-" (çff...7tA)(ra;)

Zum Schluß soll Formel (3) bei einem einfachen Fall an¬

gewendet werden. Ist Ç der restituierende Vektor (auch in Zu¬

kunft soll der restituierende Vektor immer mît C bezeichnet werden,falls nicht ausdrücklich ein anderer dazu bestimmt wird), so ent¬

steht aus:

(x §){xrj)... (x ;')

(5) (xy... zpn~k) (p£)(pr/).. . : (n-Jc)lk-l Faktoren

(*É) (*>,)••• («il

3) Vgl. R, Weitzenbock Invariantentheone, S 79 (13), (U)

— 11 —

Spezialfälle dieser Restitution sind:

1. (zf1"1) : (n-l)!(*t)

2. ipi)(pfj)... : (§*]...Q

(6)

(7)n—\ Paktoren

Wir beweisen (5) durch vollständige Induktion mit Hilfe der

Formel (3). Es gilt zunächst:

(zp*-1) : (n~l)l(zL)

(5) gilt also für k = 1. (5) sei ferner bewiesen für k — 1, wir

zeigen die Richtigkeit für k. Nach der Identität (3) und wegen

Regel 3), S. 7, der Komplexrechnung ist:

(xy... zpn~k) (pÇ)(prt)(...)... = ^—j- [(*/... zpn-^) (x §) + ...

k-\ Faktoren

+ (-1)*"1 (xy.. .p'l~k+1) (z £)1 {prj){...).... =

fr- 2 Faktoren

^Z^î[(*l) (y...zpn-k+1)(pr;) (...)•..-... + ...

+ (- l)*"1 (z£)(xy.. .pn-k+1) (prj)...}

Daraus durch Restitution

(n-Ä + l)!'-k+l

(*D

— (n-k)\

+ + (-i)k-i(zi)

{x rj)... (x l)

(yrj)...{x t)

(x £) (x r;) . . . . (x Ç)

(yi)(yv) — (y D

Nach dem Multiplikationssatz von Determinanten kann man dafür

auch schreiben :

(n-Jc)\ S(ik...l)

%i%k • • • %l

Vitjk -yi

Zi zk . . Zl

61*... I«

r,i rlh . . . tß

'Çl'rk • ?!

(8>

— 12 —

Die Summe ist zu erstrecken über die geordneten Kombinationen

{ik...l) von n Ziffern 1,2,..., n zur fcten Klasse.

§ 2. Die projektive Gruppe.4)

(5 sei die Gruppe der projektiven Transformationen in einem

n—1 dimensionalen linearen Raum:

n

<1) 4 = 2 CikXk

Ä = l

Satz: Jede Vektorinvariante der Transforma¬

tionen (1) ist eine ganze rationale Funktion von

Klammerfaktoren:

(2) D = {rs...z)

Das ist der erste eingeschränkte Fundamentalsata der Invarianten¬

theorie der projektiven Gruppe.5)

Fundamentalsatz: Werden neben kogredienten noch

kontragr ediente Vektoren in Betracht gezogen,

so besteht das vollständige System der Grund¬

invariantentypen für die projektive Gruppe aus

den folgenden drei Invarianten:

(3) D = (r *...*); (z|); J = (<? a ... £)

Beweis: Es ist zu zeigen, daß die beiden Forderungen auf S. 9

für die Tabelle (3) erfüllt sind.

1. Nach dem eingeschränkten Fundamentalsatz enthält unsere

Tabelle den Grundtypus, der nur kogrediente Vektoren ent¬

hält.

2. Es sei JT(a(1).. . a?('!_1)) ein Produkt von Invarianten des

Typus D und (xÇ), in welchem die Hilfsvektoren aP\ ...,aP1"1^

nur linear vorkommen.

Fall 1: Gibt es inJT(p.. .p) einen Klammerfaktor D, so kann

man durch Anwendung der Formel (3), § 1 alle p-Reihen in diesen

4) Vgl. R Weitzenbock. a a. 0,S 92, § 2.

5) Ebenda, S 18, § 19

— 13 —

Faktor hineinbekommen. Ist nämlich {xy...z.ph~x) ein solcher

Faktor und bedeutet (pi) einen der übrigen Faktoren vom Typus

(a;W f) oder auch B (in dieser Form kann ja auch die Determinante

D = (rs...pl) geschrieben werden), so liefert die rechte Seite

von (3), § 1 eine Summe von Termen der gleichen Gestalt Tl.

In jedem Term tritt aber ein Klammerfaktor mit 1c p-Reihen auf.

Sind nun nach fortgesetzter Anwendung von (3), § 1 alle Komplex¬

symbole in einem Klammerfaktor {xpn~l) vereinigt, so gibt die

Restitution den .Typus:

Fall 2: II {p . ..p) = (pj) (ptJ)ji-l Faktoren

Die Restitution liefert uns nach (7), § 1 den Typus:

Damit ist gezeigt, daß die Tabelle (3) auch die zweite Be¬

dingung S. 9 erfüllt; denn 17 kann man auf keine andere Art aus

den Grundtypen aufbauen.

§ 3. Volles Invariantensystem für die Gruppe der

gestuften Transformationen.6)

Wir denken uns die Variabeln-Reihe Xi x2... xH in k Ab¬

schnitte geteilt:

Die gestuften Transformationen haben dann die Gestalt:

xr = ctl xl + cla x2 +... + clkxk

X2 = C22 X2 -(-... -f- C2k Xum

X\ = CiuXk

Die Clk sind beliebige Matrizen, nur sollen die Determinanten

der Matrizen der Hauptdiagonale von null verschieden sein. Der

6) Vgl. H. Weyl Mathematische Zeitschr,Bd. 20, S. 131.

— 14 —

in der Einleitung zitierte Erweiterungssatz gibt uns sofort die

Möglichkeit, die Grundinvariantentypen für die Transformationen

(1) hinzuschreiben, falls nur kogrediente Vektoren in Betracht

kommen. Es sind dies die k Faktoren:

(2) D = {rs...z); Dn^ = (ty.. .z)n+1}n+2 »; D«-b = {x.. .z)b+i,..,n

; Bn_k = (y.--z)k+i,...,n

Gesucht ist ein vollständiges System für beiderlei Variable.

Fundamentalsatz: Wenn neben kogredienten auch

kontragrediente Vektoren auftreten, so bilden die

folgenden 2 fc + 1 Typen ein vollständiges System

von Grundtypen der Transformationen (1):

D = (rs...s); Dn

(3)

J = (q a... 0 ; Ja =

f/74-i *a .in

&n+i %a-\-i • • • 2 ti

rt r2... t,

Dn-k = m Vn

z/*

^fc+i

Vi % Vk

?J ?2 • • Ça <-l ^2 • • ^fc

Beweis: Teilt man die Variabeinreihe £i £>...£„ in 1c Ab¬

schnitte;

—1 — (tl • • • i ?n) ! —2 — (tn+1 > • •

> t-ft) ) • • • —l — (?A+l1

so sind die zu (1) kontragredienten Transformationen:

— i — 'li—i

-2 = ^12-1 + ^22 -Hg

•M?«)

(4)

-I -- -Tis -1 + ^2* -2 + ••• + A a -Ha

Betrachtet man diese Transformationen für sich, nicht in Ver¬

bindung mit (1), so sind die Matrizen A/, beliebig mit der einen

Einschränkung, daß die Determinanten der Matrizen in der Haupt¬

diagonale von Null verschieden sind. Die Gruppe der Trans¬

formationen (4) ist von derselben Bauart wie (1) und es spielenJ\, -Ja

,für die griechischen Variabein dieselbe Rolle wie

— 15 —

B, Dn_a,..., für die lateinischen. Fügt man den Typus ix f) noch

hinzu, so haben wir schon alle Invarianten des Systems (3) und

es ist nur noch der Beweis für die Vollständigkeit zu erbringen.Führt man die Zahlsysteme ein:

h =(1,0,0,. 0,); 12 = (0,1,0,0,..); ; ln = (0,0,. .., 1,)

so schreiben sich die Dn_t auch als Klammerfaktoren, und jetztkann man bei der Restitution wieder die Identität (3), § 1 an¬

wenden. Es gibt für die Zusammensetzung des Produktes TL aus

den Grundtypen der Tabelle (3) die folgenden drei Möglichkeiten:

Fall 1: IT enthält die Invarianten D und D„_t nicht. Die

Hilfsvektoren finden sich nur in den Typen (xÇ). Die Restitution

liefert uns dann:

(pl)(Ph) = (|iy...Ç) = ^

Fall 2: Enthält JTden Klammerfaktor D, so vereinigen wir,wie bei der projektiven Gruppe, nach (3), § 1 alle Hilfsvektoren

in diesem Klammerfaktor (zpH~x) und durch Restitution ergibtsich daraus der Typus:

C* D ;

F a 11 3 : Ist in der Reihenfolge D, Dtl-n, Dn-b •. • z. B. Dn-\> der

höchstvorkommende Faktor in JT, so zieht man wieder nach (3), § 1

alle in den Dn_t (n—i < n—b) überhaupt vorkommenden Hilfs¬

vektoren in Dn-b zusammen; soll dabei Jl nicht identisch ver¬

schwinden, so muß die Anzahl h dieser Hilfsvektoren <n—b sein,denn das Produkt der Dn_t ist eine schiefsymmetrische Funktion

von Hilfsvektoren, welche lediglich die n—b letzten Komponentendieser Vektoren enthält. Wir gelangen also zu Produkten der Form:

(llli..Jhxy.. p") (p |) (p v)

Durch Restitution entsteht daraus nach(5), § 1:

(?i I) (h ri)

(h v)

(h Ç)

(h I) {k »,).... (h £)

(xS) (xr/) (il)

(y'i)(y>i) G/D

Ji (5), § 1:

1* n%

..Cr

Ib 'ib • •

(X |) (X );) .

(y 1) (y '/) •

.(XL)

(*/?)

— 16 —

Entwickelt nach den b ersten Zeilen, ergibt diese Determinante ein

Aggregat von Typen Of) und Jb. Der erste Fundamentalsatz ist

damit bewiesen.

Ist bei den Transformationen (1) die Stufenhöhe überall "U

also a = 1, b = 2,..., so geht das System (3) über in die voll¬

ständige Tabelle -der Semi-Invarianten7). Gibt es nur eine erste

Stufe von der Höhe a = l, so bekommt man die affinen Grund¬

typen 8).

§ 4. Das volle Invariantensystem der geändertenorthogonalen Gruppe.

Gegeben sei eine quadratische Form in n Variabein:

n

ik

Gesucht ist ein volles System von Grundinvarianten für die Gruppe

El derjenigen linearen homogenen Transformationen in n Variabein,

die, auf die Veränderlichen von Q angewendet, diese Form un-

geändert lassen. Dieses Problem ist gelöst für den Fall, daß Q

nicht ausgeartet ist; denn dann existiert eine lineare nicht aus¬

geartete Transformation, die angewendet auf Q diese Form auf

die Gestalt bringt:n

Q' = 2 A

Die orthogonalen Transformationen lassen Q' ungeändert. Für sie

kennt man ein System von Grundinvariantentypen9). Es sind die

Faktoren:n

D = (rs z); (xy) — ^1xlyl; (xi-);

J = (e«....L); (!i,) = 2Sr,1=1

7) Weitzenbock. a. a 0,

S. 218, § 8.

8) Ebenda, S. 223, Abschnitt IV.

9) R Weitzenbock a. a. 0., S 233

— 17 —

Kehrt man zur Form Q zurück, so findet man als Grundinvarianten¬

typen der Gruppe fj:

D = {rs...t); Q(xy); ß(|>?); J = (qo...l); (z|). (2)

Q (x y) ist die zur quadratischen Form Q gehörige symmetrische

Bilineariorm und ü die zu Q reziproke Form.

Ist Q ausgeartet vom Grade fi = n—v, so ergibt sich eine

Komplikation. Es existiert aber auch dann eine nicht aasgeartete

lineare Transformation, die Q in

Q' = S <

überführt. Man löst nun vorteilhaft die gestellte Aufgabe zuerst

für Q', denn hier gewinnt man rascher eine Übersicht über die

Typen des vollständigen Grundinvariantensystems, daraus findet

man dann auch dasjenige zu Q.Die linearen homogenen Transformationen in n Variabein, die

Q' ungeändert lassen, haben die Gestalt:

X\ = Cii Xi + Cx 2 %i T • • "T Cji, xß -\- CUl+i Xu+i -+ . . . + CinX„

(3)Tfi — C»l ä?i T • • T 4- Ctl/, Xu -f" C„/(+i xfl+l -\- ... -\- cunxn

f/i+i=- 0«+i«+i %fi+i ~r • • • ~r ou+iHxn

Xn ="n«+l J'n+i T • • T '»» %n

Die b,K bilden eine orthogonale Matrix, während die c,?v beliebig

sind; nur soll:

Cn c12 • • . Ci„

C'£l Ci II= + 1

t/ii ^h

sein. In der Variabeinreihe xu x2,..., xn unterscheiden wir jetzt,

wegen der Form der Transformationen (3) Eandvariable xux2,..., xf,

und Kernvariable xu+l,..., x„. Da

Q'{xy) = 0 • !/! 4- ...-(- 0 •«/„ + xu+1 yfl+1 + +xnyn

eine Invariante der kovarianten Vektoren x, y ist, ensteht aus

jedem kovarianten Vektor x = (x1...x„) ein kontravarianter:

— 18 —

(4) S = x\ = (OO...xll+1...xH).

In dieser Bezeichnung ist dann für das skalare Produkt Q' (or y)

einfach (x | y) zu schreiben. Die Transformationen (3) sind ge¬

stufte Transformationen mit nur zwei Stufen. Nach den Resul¬

taten des vorigen Abschnitts finden sich in der gesuchten Tabelle

sicher die Typen:

B =(rs...*); J = (qo...Ç); (y?);B' — (xy . ..z)u+i....n; J' = (qo ... ?)i2..A;

Neue Typen erhalten wir dadurch, daß wir ein £ durch ein x j

ersetzen. Durch diese Operation entstehen aus (x f) und J die

weitern Faktoren:

h Vektoren

(6) Q' = (x\y)- J„ ^|7jT?.<||i(...0; A= 1.2,..., v-1.

B' • J' und d sind als Grenzfälle in den Jh enthalten :

J„ = B' zl' ; J0 = J.

Die bis jetzt aufgezählten Typen enthalten sicher alle Grundtypen

für kogrediente Vektoren ; denn bei Beschränkung auf diese besteht

nach dem Erweiterungssatz eine vollständige Tabelle von Grund-

invariantentypen aus den Faktoren:

B = (rs...z); B' = (xy . . . s)M+1...„ ; Q'= (x\y)

Trotzdem ist die Tabelle nicht vollständig. Es fehlen noch ge¬

wisse Typen, die jedoch nur kontragrediente Vektoren enthalten.

Es ist also nach der zweiten Forderung, S. 9, zu zeigen: ist

/7(a;(1)... a3(n-1)) irgend ein Produkt von Invarianten aus (5) und

(6), und enthält dieses die Hilfsvektoren a?(,),..., a;(M~,) linear, sô

ist IJ{p ...p) nach der Restitution ein Aggregat dieser und gewisser

neuer Invariantentypen; die nur griechische Vektoren enthalten :

der Beweis wird uns die letztern liefern.

Betrachten wir jetzt ein Potenzprodukt IT von Faktoren aus

(5), (6). In (x | y) können nicht zwei Hilfsvektoren sein, denn

IT ist schiefsymmetrisch in diesen und müßte daher identisch ver¬

schwinden.

Fall 1: Enthält ' einen Faktor D oder D', so führt die

Restitution immer auf Typen:

(rf): J'=($t]...-Ç)l2 „

— 19 —

Beweis: Kommen die Hilfsvektoren überhaupt nur in Faktoren

D, D' und (p f) vor, so können wir uns auf den vorigen Paragraphen

berufen; aber auch der Fall, wo es welche in (x [ y) und den Jj,

gibt, erledigt sich einfach. Für (p | y) schreiben wir:

(p\y) = (y\p) = o-Pi + o -Ps +---y^+iPu+iJir-'-+ynP„

Gibt es eine oder mehrere p-Reihen in Typen Jh, so entwickeln wir

Jj, nach einer dieser Zeilen:

du = JV+i qß+i + • • • +Pn qn = (plq) = (q\p)

Die qt sind dabei die algebraischen Komplemente der p, in Jh.

Jetzt zieht man mit Formel (3), § 1 die p-Reihen in Faktoren D

bezw. iy zusammen. Aus (q \ p) entsteht auf der rechten Seite

der Formel (3), § 1 der Typ (q \ x) = (x \ q), oder wenn man die

q% durch ihre wirkliche Bedeutung ersetzt, bekommt man wieder ein

Jh mit einer p-Reihe weniger. Die Restitution führt uns also

immer auf Typen:

(x£); J' = (t-r;... Ç)12...„ .

Es ist allerdings auch möglich, daß 77 identisch verschwindet, das

tritt dann ein, wenn mehr als n—fi = v Hilbsvektoren in den

Faktoren (x \ y) und Jh auftreten (vgl. § 3, S. 15).

Fall 2: 77 besteht nur aus Typen: (pf), (p??),...

Nach (7), § 1 liefert die Restitution für:

(p£) -(pv)n—1 Faktoten

den Klammerfaktor:

J = (Çtj...Ç).

Fall 3: 77 ist ein Produkt der Typen:

(P§), (P»?), (p\x)>(p\y)> >und Jh — (Q...r...s\t\p\k).

Man vereinigt zunächst alle p | der Ji, und der Typen (p \ x) in

einem Faktor Jh. Ersetzt man in der Identität (4), § 1:

k(ç... OT7ih~v) (nx) = (Q... an1) (%x) — (q.. .%nk) (ax)-\- . . .

+ (. . .O T 7Vk) (Q X) .

..., o, % und 7i darch...,

s \ ,t\ und p \ ,so geht diese über in

k(Q...8\t\p*-1)(p\x) = (Q...S,p'lk)(t\x) — (<!...t]p\*)(s\z) + ... ,

+ (....s\t\p\h)(QX).{ '

— 20 —

Entwickelt man die Typen Jh von TL wie in Fall 1, schreibt also

dafür:

Jh = (p\ q)

so können in FL mit Formel (7) alle p | der zth in einem einzigen

4h vereinigt werden. Auf der rechten Seite von (7) gibt es, wenn

man für die qi die ursprüngliche Bedeutung wieder einsetzt, lauter

Faktoren aus dem System (5), (6). Genau das gleiche macht man

für die Typen (p | x). Durch dieses Umformen zerfällt JT in eine

Produktensumme, von der jedes Glied die Gestalt hat:

(8) (Qö...T...s\t\p\k)(p£)(pt])

Wir untersuchen zuerst das Produkt:

(9) {QG...tp\k){pÇ){prù

Wissen wir, was bei der Restitution aus (9) entsteht, so findet man

daraus den restituierten Ausdruck von (8), wenn wir sukzessive

q, a,..., durch r j, s |, ... ersetzen.

(oo... rp k) (p £) (p >/)

(P & (P l) •

Führt man die Zahlsysteme ein:

K =(1,0,...,0); K =(0,1,0,. ..,0); .... l„ = (0,0,. .0,1)

und entwickelt die Determinante nach den ersten »-Kolonnen :

= Ë ± (6°---)i2..ß(hh •••V--TJPifc)]0£)(P'y) —

so darf man im Klammerfaktor (At A2 tp\k) die p | durch

p ersetzen, und wenn man will umgekehrt r durch x \ .Dann ergibt

die Restitution nach (5), § 1:

— 21 —

= *! S ± (çff...)u...

0..

0..

0 ?! rA .

. .0 £g % .

•Ci

0..

• «?£)

H • ^ (çr) .(*£)

Die Anzahl n—k der Vektoren f, i?,..., Ç oder ç, tf,. • •>^ kann einen

der Werte j«, /« +1,... w annehmen, Die Glieder von der Gestalt

(q S) dürfen auch durch (q | £) ersetzt werden. Hier haben wir jetzt

die schon früher angekündigten n—n +1 fehlenden Grundtypen

unserer Tabelle. Sie hängen ab von 2p, 2(,w + 1),..., 2w kon-

tragredienten Vektoren. Die beiden Grenzfälle k = v, fc = 0 liefern

allerdings die Produkte:

J'(qo...).J'{ÇV...); (ça... r). (I»;... Q, (11)

sodaß wir eigentlich n—n—1 neue Typen erhalten. Eine andere

Darstellung dieser Invarianten gibt Formel (8), § 1:

S {CO .. .T)i2. .juik.J •{£*]•• Ol2..„lk..j (12)(ik..j)

Die Klammerfaktoren sind n—fc-zeilige Determinanten. Die Summe

ist nur über alle Kombinationen (* fc...;') der Kernindices zu je

n—k—n zu erstrecken. Für diese neuen Invariantentypen schreiben

wir abgekürzt:

(CO . .. y||£r/. .. 'Qn-k,

wo 2 (n—k) die Anzahl der vorkommenden Vektoren andeuten soll.

Ersetzt man jetzt in (10) vorerst nur einen der griechischen

Vektoren q, o, ..., t, z. B. q durch r \ ,so entsteht daraus:

li Vi ti

I2 rl2 Ï2

3^ Vß ~ß

(|t)()7t)...(Ct)

— 22 —

00.. • o&... • ?.

. . . . .. 12... • Ç»

00...0 £„ ... • &.

00.. •0(r||). .(r|Ç)fflffg • • <r„(ff|) • •K)

t\ ^2 • • ^ (* £) • •(*£)

Multipliziert man die erte Zeile mit ru die zweite mit r2, die ;ttemit rß und addiert sie alle zur li -\- lten, so entsteht, nachdem man

nach dieser entwickelt hat, das der Restitution unterzogene Pro¬

dukt (8):

(r\ at. . .p\k) (£p)(r]p).. ..:

(rS)(V...Ü\\a...r)lh.k_1-(rV)(i...t\a..z)....±(ri)^r]...\\a..T),also wieder eine Summe von schon bekannten Typen. Daraus

folgt durch vollständige Induktion, daß auch das allgemeine Pro¬

dukt (8) bei der Restitution auf ein Aggregat der Faktoren:

(x^y); (çff...||£i?...)ft; (#£).

führt; und damit ist unser System vollständig.

Fundamentalsatz: Jede Vektorinvariante der ge¬

ränderten orthogonalen Gruppe baut sich ganz

rational aus 2« — 2^ + 4 Grundinvariantentypenauf:

D = (rs...0); (x§); J = (q a .. . Ç)D'= (zy...e)fl+1...n', J'= (qo...t)12 ..,,

(14) Dh= {x\y\..^\jrL^.t); h = 1, 2, .. . ,v- 1 .

ft ft

Q = (x\y); (qo• ..*•[! £<?. .. L)h h = fj + i, —, w-i.

Die Anzahl der Typen ist also von der Dimensionszahl n und der

Breite [i des Randes abhängig. Für /* = 1 geht das System (14)in das System für die Bewegungsinvarianten der euklidischen

Geometrie über10).

,0) R. Weitzenbock : a. a. O., S. 295.

— 23 —

§ 5. Zusätze.

a) Geometrische Bedeutung und Übergang zu

inhomogenen Variabein11). <

Deuten wir die griechischen Variabein als homogene Punkt-

koordinaten in einem n—l-dimensionalen projektiven Raum, die

lateinischen Variabein somit als Ebenenkoordinaten, so wird durch

einen in Ebenenkoordinaten definierten Kegelschnitt Q' (x) = 0 in

diesen eine Metrik eingeführt. Wenn Q' nicht ausgeartet ist, ge¬

langt man so zur Cayley'schen Maßbestimmung. Bei Beschrän¬

kung aufs Reelle treten die Fallunterscheidungen nach dem Träg¬

heitsindex von Q' auf. Für ein definites Q' haben wir die

Riemann'sche (elliptische), für ein Q' vom Trägheitsindex 1 die

Lobatchefsky'sche (hyperbolische) Geometrie. Ist Q einfach aus¬

geartet (fi = 1), so kommt man auf die parabolische Geometrie,,deren unendlich ferne Punkte durch die Gleichung fi = 0 gegeben

sind. (Die gewöhnliche euklidische Geometrie liegt vor, wenn der

Trägheitsindex von Q' gleich Null ist.) Vom projektiven Stand¬

punkte sind die Fälle höherer Ausartung nicht minder wichtig.

Bei fi-facher Ausartung besteht das Unendlichferne des /'—1-

dimensionalen Raumes aus der n—1—^t-dimensionalen linearen

Mannigfaltigkeit 2f : & = 0, f2 = 0, ..., !> = 0. In dieser definiert

Q'(a y) = 0 die absolute Involution. Sie ordnet jeder n—2 dimen-

sionalen Ebene x des Raumes einen unendlich fernen Punkt

f = x | zu und allen parallelen Ebenen x (das sind diejenigen

Ebenen, die 21 in der gleichen n—2—/.i dimensionalen Ebene

schneiden) den gleichen Punkt.

Die geometrische Bedeutung des Verschwindens der projek¬

tiven Invarianten D, J, (x £) ist bekannt. U = 0 besagt, daß

die Ebenen x,y,...,z einen unendlich fernen Punkt gemeinsam

haben; J' = 0 daß die Punkte g,a,...t mit dem unendlich fernen

Gebilde 21 in der gleichen Ebene liegen. _Aft=0: die Punkte

I, «,. -, Ç liegen in der Ebene, die zu den Ebenen x,y,...,z senk¬

recht ist, d. h. welche die durch die absolute Involution diesen

Ebenen zugeordneten Pole enthält. Zwei Ebenen x, y erfüllen die

n) Ebenda, S 296

— 24 —

Bedingung Q' (x y) = 0, wenn sie zueinander senkrecht stehen.

Endlich besagt die Gleichung (£»;...£ || qo . ..r)h=0, daß es in

der durch q, ff, . •.,t bestimmten linearen Mannigfaltigkeit einen

unendlich fernen Punkt gibt, welcher der Pol einer durch

f, ij,..., l hindurchgehende Ebene ist. Diese Forderung verlangt

nämlich, daß wenn a = («i, a2,..., a„) die betreffende Ebene,

a | = (0,0,..., a„+i,..., a„) also ihr Pol ist, die Beziehungen gelten :

1) a\ = Aq + Bo+..+ Ct.

2) (ai) = 0, (aV) = 0, . . ., («0 = 0.

Aus 1) ergeben sich die Gleichungen:

o) ÄQi + Bo! + .. + Ci1 — 0

Xç„ +JB<r„ + .. + Cr, = 0

6) ÂQi + Bai + .. +.Cïi = a, (i = ju + 1, ^t + 2, .. , n)

Das System b) eingesetzt in 2) liefert die weitern Relationen:

c) aiè1 + at£a + .. + a„£„ + A(<>\g) + B{0\Ç) + .. + C{T\Ç) = O

a1L1 + a2-Ç2 + ..+alli:t<+A((>\î:) + B(<j\L) + .. + C(T\<:) = 0

unter a) und c) haben wir n + h lineare homogene Gleichungen für

die t* + h Zahlen alf..., a„ ; A, B,..., C, die nicht alle Null sein

dürfen. Also ist:

(| y... Ç] e a.. r) = 0

Besonders wichtig sind vom geometrischen Standpunkt aus

diejenigen Invarianten, die nur Punkte oder nur Ebenen enthalten.

Satz: Für eine nur aus Ebenen bestehende Figur

treten in dem mit einer ,u-fach ausgearteten Me¬

trik behafteten (n—l)-dimensionalen projektiven

Raum als Grundinvariantentypen die folgenden

auf:

D = (rs...g); D' = {xy..e)M+u...„; Q'{xy) — (x\y).

für eine nur aus Punkten bestehende Figur hin¬

gegen:

zI=(qo...); J' = {Qff. . t)12..„; (qo ..T\\Ç>]...£)h,h = /.i + 1, . . .,

n— 1.

— 25 —

Verfolgen wir noch den wichtigsten schon von R. Weitzenböck

behandelten Ausartungsfall [i = l etwas weiter. Hier ist es auf¬

fällig, daß eine ganze Serie von Invarianten: Jh = (Qo ...r\\ i rj.. x)h

auftritt, während man als einzige durch die Metrik neu hinzu¬

tretende Invariante nur die quadrierte Entfernung zweier Punkte

d? = {ir) || i rf) erwartet. Wir gehen zu den gewöhnlichen in¬

homogenen kartesischen Koordinaten über, wenn wir für jedenPunkt i die Randvariable & = 1 setzen. Dann bedeutet allgemein,für A = 2,3,...,«—1,

das mit (h—1)! multiplizierte Volumen des durch die Punkte

i, »?,..., £ bestimmten (h—l)-dimensionalen Simplexes (Strecke,

Dreieck, Tetreder, ...). Die Quadrate dieser Volumina kann man

in der Tat ganz rational ausdrücken durch die skalaren Produkte

der Simplexkanten. Setzt man einen Augenblick (çf|| (?>?), das

skalare Produkt der Vektoren ci und Qi], gleich (i »;)0, so findet

man, wenn man die Ecke e des Simplexes zum Nullpunkt macht:

(!Do...(£i7)o,(£Öo(el..»;£|[ç!.. r]Ç) =

(l)

(UC)o--.(^)o,(f9ooder rekursiv: Entwickelt man die Determinante nach der ersten

Kolonne, so ergibt sich eine ganze rationale Darstellung von

Jh durch die Jh_x und skalaren Produkte (ii))o- Auch in in¬

homogenen Koordinaten werden jedoch alle Jh wieder notwendig,wenn man fordert: Bei der Darstellung einer Invariante als

Summe von Aggregaten, die aus den Grundtypen gebildet sind,soll die Gesamtordnung jedes einzelnen Aggregatgliedes hinsicht¬

lich irgend eines der Argumentvektoren, die Ordnung der ge¬

gebenen Invariante in Bezug auf diesen Vektor nicht übersteigen.In der obigen Gleichung äußert sich dies darin, daß wir in homo¬

genen Koordinaten lediglich eine Relation zwischen Invarianten,nämlich (Ax q) , (qi... Ç11 qi ... t)Ä und solchen vom Typus (qH\qtj)erhalten.

(V)2ft-4 (e£..r||<?S..Ç)ft =

(£Do • • • (££)o I

C£)o ••££)<>'

(2)

— 26 —

In der Darstellung mit Hilfe der skalaren Produkte der

Simplexkanten nimmt in diesem Falle der Vektor q eine aasge¬

zeichnete Stelle ein. Die linke Seite von (1) steigt in den Kom¬

ponenten 02,...,Qn (?i = 1) bis zum zweiten Grade auf, während

q in der Determinante rechts scheinbar im 2(h—l)-ten Grade

auftritt.

Bei ,M-facher Ausartung geht die Beziehung (2) über in eine

solche zwischen den Invarianten:

_/' = (QO..T)u2mifl; Jh = (Q,

(?--t£||ç...t i?Vh :

• £ II (? • • 0» und den Typen :

Qi ^2(h.-p-i)

(ç...Ç\\Q...Çh =

.tS\\q. T 0/.+1(Q...Tli\\Q...T£)/t+1

(<? 0.'/t+1

(q...t';\\q. .%0p+1 ...(Q...%0|Q...tC\/K+l

b) Vorzeichencharakter.

Die Invarianten der Drehungsgruppe teilt man in geradeund ungerade, je nachdem bei negativer Transformationsdeter¬

minante der Transformationsfaktor den Wert -f-1 oder — 1 an¬

nimmt. Es läßt sich für die beiden Inyariantenarten der erste

Fundamentalsatz schärfer fassen12), indem man über den Aufbau

der Invarianten aus den Grundtypen mehr aussagen kann. Ähn¬

liches gilt auch für die geränderte orthogonale Gruppe. Der

Transformationsfaktor e hängt nur vom Vorzeichen der beiden

Determinanten:

d„ =

Cll C12 • • Clfl

Cßl Cfii l-flfl

àv =

-71+1, /i+ 1 • • • ",«+1, n

Jn+2, n

K f+i

ab. Wir kennen ihn für alle Fälle, wenn er uns bekannt ist für

diejenigen Transformationen, bei denen:

(1) <*„ = + !, <*, = -!; (2) d„ = - 1, d„ = + 1.

1S) H. Weyl: Mathematische Zeitschr., Bd. 20, S. 131.

— 27 —

Für die Invarianten der Gruppe gibt es, wenn s der Transfor-

mationsfaktor ist, demnach folgende Vorzeichencharaktere:

Charakter (1) (2)

(+.+): e =

(+-):£ =

(-+):* =

( ):e =

+ 1

+ 1

— 1

— 1

+ 1

— 1

+ 1

— 1

(ça...T\\^tj...Ç)h, (a;£), (x\y)J'= (çff...T)12..AeD = (a; y... ^+1,^+2... »

zl = (Çrj...t)-B = (x...z); Jt = (x\y\...Çr]..)

(1)

(2)

Wie bauen sich die Invarianten der verschiedenen Charaktere aus

den GrundinVariantentypen auf? Um das zu entscheiden, muß man

zunächst den Vorzeichencharakter der Grundtypen bestimmen, was

in der letzten Kolonne der vorigen Tabelle gemacht ist.

Satz: Die Invarianten vom Charakter (+4-) sind

ganze rationale Funktionen der Typen:

Q'=(x\y); (x£); (ça.. .t\\ £>?.. X)h; h = n, fi + 1, ...

D-D = (xy...z)(rs...t).

Beweis: Es ist zunächst leicht zu sehen, daß die aus den Typen

D', J', D, J, Jt gebildeten Produkte:

D-D, B'-B', J-J, J'.J', J-B, J-Jk, B-Jk, Jk-Jt. (3)

alles Invarianten vom Charakter (-\—(-) sind. Aus diesen Paaren

und den Typen (-|—\-) in der ersten Zeile der vorigen Tabelle setzt

sich überhaupt jede Invariante J++ vom Charakter (-|—f-) ganz

rational zusammen. Um das einzusehen, paaren wir in den Gliedern

von J++die Typen B', J', B,J.Jt, die nicht vom Charakter (-|—j)

sind, zu den obigen Produkten (3), dabei setzen wir immer:

B' J' = Jv

Werden in einem Glied bei dieser Operation alle diese Typen auf¬

gebraucht, so hat dieses Glied sicher den Charakter (++)• Für

alle diese Glieder zusammen schreiben wir J<J~+. Es gibt nun noch

die folgenden Möglichkeiten.

1. In einzelnen Gliedern von J++ bleiben bei der Paarung die

Invarianten B', J'-B, J'J, J'-Jk übrig. Diese haben alle

den Charakter (—+) und wir bezeichnen die Summe dieser

Glieder mit J7+.

— 28 —

2. In J++ gibt es Glieder, bei denen die Invarianten J', D'D,D' J ; D' • Jt vom Charakter ( -\—) übrig bleiben. Die Gesamt¬

heit dieser Glieder sei J^~.3. Es bleibt einer der Typen ^, I), Jt, der Inbegriff solcher

Glieder sei J'0 .

Es ist also : J++ = J„+ + +J0+~+J<r+-\-J0—

Jetzt unterwirft man J++ einer Transformation (1):

also: J++ = J+ + + J+- ; Jf + -j- J0- = 0

nachher einer Transformation (2):

J++ = Jo+ +

Es setzt sich also jede Invariante (++) aus den Typen:

D-D', D'-B', JJ, J'.J', J-D, J-Jk, D-Jk, J,-Jk,

(ça...T\\Sr1...'Ç)h, (x^), (x\y)

zusammen. Dieses System läßt sich noch reduzieren. Es ist:

J • J — (Qa...f\^rj...Ç)nzl'.J'^(qo...\\irl..\r

ferner nach dem Multiplikationssatz von Determinanten:

(r | x)... (r | g)D' -D' — (rs.. .t)f,+1,...„ • {xy...z)fl+u...n =

(4)

D- J — (xy...£) • (|ij...Ç)

(t\x)...(t\é)

(xï)...(x 0

(y I) • • • (y t)

(*£)...(* t)

D-Jt = (xy...z).(r\...t\ï...t)(r\x) . .(r\z)

(t\x). • CI*)

(îx). • té«)

(tx). Ate)

— 29 —

Aus S. 22 folgt ferner, daß auch die Typen Jt Jk ganze ratio¬

nale Funktionen der Faktoren:

(ça...T\\§rj...Ç)h, 0|y), (x£).

sind, denn JfJi entsteht aus _/•_/ =(qo. ..% '\ f i\.. . t)„, wenn

man die Q,o ...,£,t)..., durch r | ,...,x \ ...,

ersetzt. Damit ist

aber (4) auf das System (2) reduziert.

Jetzt findet man auch leicht wie die Invarianten der übrigen

Charaktere aus den Grundtypen aufgebaut sind. Die einfachsten

Invarianten (+—) sind:

J', D'-zl, D'-D, D'-Jh (5)

dabei lassen sich aber noch D'J und D'-Ji auf die Form

d' J"h+ bringen, wo J++eine Invariante vom Charakter (++) ist.

Satz: Die Glieder einer Invariante vom Charak¬

ter (+—) haben die Form:

J'-J++; D'-D-J + + (6)

die Glieder einer Invariante (— -j-) haben die Ge¬

stalt:

D'J++, J.J'J+ +, Jk.J'.J++.

und diejenigen einer solchen vom Charakter ( ) :

D-J+ +

,J-J+ +

,>J,J+ +

.

c) Ausdruck der Invarianten bei beliebiger

quadratischer Grundform Q(x).

Zum gesuchten System gehören sicher die projektivea In¬

varianten:

D=(rs...0); (xÇ); J = (qo...Z). (1)

Es gilt jetzt noch die den Faktoren:

D', J', Ji, (qo . ..]\Çrj.. .)/(

entsprechenden Typen herzuleiten. Der Übergang (4), § 4

x — § = x

lautet jetzt einfach:

H

— 30 —

und Jt geht über in:

(2) Ji

2j a\j Xj, 2j c2j xi • • • » Zu anj •

l = i i=i j = i i

n n

S«2j *i- • • ) Zu anj zj

Qi ?2 • • Qn

°x »2 °n

> *

*= l,2,...,v-l.

rx r2 ... Tn

Entwickelt man diese Determinante nach den ersten i-Zeilen, so

treten von der Diskriminante der Form Q alle Minoren vom^Rangei als Koeffizienten auf. Ist also i>v, so verschwindet d\ iden¬

tisch, da ja Q (x) ausgeartete ist vom Grade fi = n — v. Um die

den Invarianten (qo... \\Crj ...)h entsprechenden Typen herzu¬

leiten, knüpft man am besten an die geometrische Bedeutung an.

Das Verschwinden dieser Invarianten besagt nach Zusatz a), daß

es in der Mannigfaltigkeit q, o, ...einen Punkt gibt, der der Pol

einer durch f, r\,..., f hindurchgehenden Ebene ist. Die Ko¬

ordinaten dieser gesuchten Ebene seien au a2,..., a,„ dann existie¬

ren also h Konstanten A,' B,..., C, sodaß die Gleichungen:n

(of) = 0; , (a'Ç) = 0, AQk -+- Bak + .-.. -j- Cn = S«*j«#

k = 1, 2,,... n

erfüllt sind. Wir haben hier n-\-Ji homogene lineare Gleichungen

für die Unbekannten au ...,an, A, B,..., C; die Determinante ist :

00 0 Sih f»

0 0 0 rjtrj2 rjn

(3) (QO...T\\Çr}...Ç)h =00 0 ^ç, tn

Q^ fft ..T1«„a12 ...«!„

Q2 ff2 •• ^2 «21 ß22--- «2»!

I C« ff» • • Tn «m ««2 • • • "iia

(A = ,« + !, jU + 2, ...,w- 1)

- 31 —

Das sind die gesuchten Grundinvariantentypen, die sich, wenn

Q in der Normalform ist, auf die alte Form reduzieren:

0 0 ... 0 fx |s .. . f„ f„+1 . . f„

0 0. . .

0 rjt rj2 . . . r]/À »;„+1 . . . rjn

0 0. . .

0 t, L2 .

. .f!0 0

..00.

T

0

. . T„ 0 0.

VuOO .

.0 0

.0 1

0

0

10

T„ 0 0 0 1

^+1 )Multipliziert man die h-\-/x-\-1-te Kolonne zuerst mit — q

die folgende mit — Qp+z,..., die letzte mit — q„ und addiert alles

zur ersten, wiederholt das Analoge mit den entsprechenden Kom¬

ponenten von a,..., t und addiert alles zur zweiten, dritten Kolonne

u. s. w., so entsteht:

-(elf),-(ff|f)...,-(*,!) ^h-.-Su

-(Q\ri),-(a\rl)---,-(t\v) r/i»/2-

(e|Ç),-(«rÇ).

?2 ff2

Aus (3) folgt für ä:

/"„

Tj 0 0

T2 0 0

r„ 0 0

tu

.0

.0

.o

= (Qo. \Sl-.^h

J'

0 0 0...

0 & &

0 0 0...

o ^ >i2.

f»

o o o... o rx r2... tn

fi >j! ... bianai8- • • am

?2 ',2 • • • ^2Ö21 ß22 • • ö2»

SH 1»! • • ?»i ^Hl ß«2 • .Ctn n

(4)

— 32 —

Ferner gilt:

\Q(xx) Q(xy)... Q{xz)

Qiyx) Q(yy)--- Q(yz)(5) J»'2 =

Q(ex)Q(gy)...Q(ee)

Ganze rationale Funktionen der Koeffizienten der gegebenen Form

sind neben den Jt die Invarianten vom Charakter (-j—(-)• Bei

J',D' treten Quadratwurzeln auf.

§ 6. Die geränderte Komplexgruppe.13)

Vorgegeben ist eine schiefsymmetrische Bilinearform :

S = Zjatu id ijk, aa = — aj, .

ifc

Deutet man die Vektoren x, y als Punkte in einem n—1-dimen-

sionalen linearen Raum, so definiert 8 in diesem Raum ein Null¬

system, das ist eine Reziprozität, bei der entsprechende Elemente

inzMent liegen. Damit 8 nicht ausgeartet ist, muß notwendig n

gerade sein. Es gibt also nur in Räumen mit ungeraden Dimen¬

sionen nicht ausgeartete Nullsysteme. Die Gruppe der linearen

homogenen Transformationen, deren Operationen simultan auf die

Komponenten von x und y angewendet S ungeändert lassen, sei £\.

Wir suchen ein vollständiges System von Grundinvariantentypen zu

£\. Ist S nicht ausgeartet, so wird S in einem geeigneten Ko¬

ordinatensystem die schiefe bilineare Einheitsform:

\xy] — Xi2/2 —xiy1 + «33/4 —#4*/s + ... + x2h^ y2h — xihyih^ .

Die Operationen der Komplexgruppe C2;( lassen [xy] ungeändert,für diese kennt man ein System von Grundinvariantentypen.11) Es

sind die Formen:

\?y]\ [£?]; (*£)

13) Vgl. Mathematische Zeitschr., Bd. 20, S. 131, 1924.

") Ebenda.

— 33 —

Daraus findet man für das zu 8 gehörige System:

S(xy), Qtfij), (xï).

Ü ist die zu S reziproke Form.

S sei jetzt ausgeartet vom Grade (i= n — 2v. Die voll¬

ständige Tabelle der Grundinvarianten wird dann komplizierter.

Die Anzahl der Typen hängt von n und dem Ausartungsgrade /t

ab. Um sie zu bestimmen gehen wir genau gleich vor wie bei der

ausgearteten quadratischen Form. Durch lineare Transformation

sei 8 auf die Normalform gebracht:

Zuerst trachtet man eine Übersicht über das zu 8' gehörige In-

varianfcensysfcem zu erhalten, daraus leitet man nachher schnell

dis gesuchte Tabelle her.

Die Operationen der mit einem Rand von der Breite (i ver¬

sehenen Komplexgruppe /,c£2v lassen 8' ungeändert Wir unter¬

scheiden auch hier wieder Randvariable xx, ..., x,, und Kern¬

variable xß+h ..., xn. Nach (§ 3) gehören zum gesuchten System

sicher:

D = (rs...z); J = (qo...Ç); (x£). ,

D'— (xy...z)u+i,...n; J'= (qo...t)12.wII;

Da aber auch:

\xy\ == xu+1 yu+2 xu+2 yfi-t-i -)-... xa^1 yH xnyn-i

eine Invariante unserer Gruppe ist, entsteht aus jedem ko-

gredienten Vektor x = (x1,..., xH) ein kontragredienter £ :

ç == x0 = (0, 0,..., 0, — xu+21 H- %/i+i ! • •

— xn, -f- a;«_i) {*)

Für das schiefe Produkt kann man also auch schreiben:

Ixy] = (êy) = (x0y)

Jetzt erhält man aus dem Klammerfaktor:

J = (q a . ..i; i ...->])

vermittelst der Operation (2) m — fi — 1 = 2 v — 1 neue Invarianten,

wenn man Q,a,...,r durch rQ, s0, ...,t0 ersetzt:

4h = (ros0 ...t0ir]...O

— 34 -

Wir werden aber bald sehen, daß diese Jh keine Grundtypen sind,

sondern sich ganz rational aus Faktoren (x0y), (ccf) und ge¬

wissen noch zu bestimmenden, nur von griechischen Vektoren ab¬

hängigen Invarianten zusammensetzen. Ebenso ist die Invariante

D' = (x y... z)ß+1 _n eine ganze rationale Funktion von Typen

(x0y) (Pfaffsches Aggregat, vgl. S. 35). Wir kennen also vom

gesuchten System bis jetzt:

,g.D = (rs...z); zl = (qo ... %

.. Ç) ; (xÇ)S' = (x0y); J'= (qo .,.z)12../J

Der Vollständigkeitsbeweis wird uns die fehlenden Typen noch

liefern.

Pfaff'sche Aggregate: Wir werden bei den folgenden

Restitutionen auf sog. Pfaff'sche Aggregate stoßen, es seien da¬

her vorerst einige Eigenschaften dieser Aggregate hier erwähnt.

Mit Ph bezeichnen wir ein Ates Pfaffsches Aggregat. Es

ist eine ganze rationale Funktion in den Komponenten von 2 A

Vektoren und wird gebildet nach dem Gesetz:

(4) S ± 1rs] par] .... [ye] = 2 4. ..

2 A PÄ(rs...z)

Die Summe ist alternierend über alle Permutationen von (r s... z)

zu erstrecken. Direkt erhält man aus der Definitionsgleichung:

2* • hl Ph = 2 S ± 0*] • S + P*] • • &*](tx...yz)

die innere Summe erstreckt über alle Permutationen von

t,x, ...,y,e, die äußere über alle Aufteilungen der Vektoren in

zwei geordnete Kombinationen r, s, 11, x, . .., y, s. Das gibt die

Formel:

(5) hPh = Z±[_rs]Ph^(tx..yz)Aufteilungenrs\ tx...yz

Dieser Ausdruck kann noch vereinfacht werden. In jedem Glied

der Summe (4) muß einer der Faktoren:

[rs], [>*],....[»*],

[sr^\, pr] [zr~\.

auftreten, welches an erster, zweiter... oder A*er Stelle der Fall

sein kann. Die Glieder der zweiten Zeile sind, da [sr] = — [rs],

— 35 —

gleich den darüber stehenden Gliedern der ersten Zeile. Darum gilt:

S ± [rs] \tx]. .. [yz] = 2A [1rs] 2 + [tx] . . . [yi\

- m S ± [**]•. [?•*]+

+ (-l)*h-1[rz]2±[sq...[xy]},oder wegen (4):

Ph = [rs] n_!(tx.. .z)-\rt]Ph„1(s...z) + ..± [rz\ Ph_, (s..y) (6)

Beispiele:

Po= 1

Pi = MP2 = [rs] [tx] — [r(] [sx] -f \rx] [st]

Die Pfaff'schen Aggregate gestatten auch eine Darstellung in

Determinantenform. Setzt man \xy] = '^a,iiXiyk, so wird:

S ± [rs] ... [yz] = S ± S «y n Sj... am yu zi =

(rs..yz) (r.-.yz) (ij...kl)

S(ij...kl)

geordneteKombinationen

nr..'1

S( Sj

n n

• Sfc Sl 2 + «*.

(ij-.-kl)Permutationen

H) Ctkl

Zj . . . Sit zi

Die innere Summe liefert nur einen Beitrag, wenn ij ...kl von

einander verschieden sind, daher ist die äußere nur über die ge¬

ordneten Kombinationen (i,j, ...,Jc,l) von 1,2,..., 2hzu erstrecken.

Die innere Summe ist über alle Permutationen von i,j,...,l zu

nehmen, ist aber wegen der Beschaffenheit der ay nur dann von

Null verschieden, wenn (ij),.. .,(kl) aus Paaren (1,2), (3,4),...

(2h — 1, 2h) besteht; dann hat sie den Wert 2h-h\ Es ist daher:

Pn= 2dj)..(kl)

nrj

Si Sj .

rk n

Sk Sl

'*} ZkZi

(7)

— 36 —

Summiert wird nur über die geordneten Kombinationen (ij),..., (Ici),die aus Paaren (1,2), (3,4),... bestehen.

Wir gehen jetzt aus von den Typen des Systems (3).

Fall 1: Wenn ein Klammerfaktor D in einem Potenzproduktn der Typen (3) auftritt, erledigt sich alles wie früher, wir be¬

kommen immer die Invarianten:

Fall 2:

(8) n = (püp)h (p0x) (p0y) ...(pq)...{pv)

Wir betrachten zunächst den einfacheren Fall:

(9) TI=(p0p)h(pQ). ..{prj) C<>fgPdPe---PfPgQfVk2i Odeie...ik

Alle Indices durchlaufen unabhängig voneinander die sämtlichen

Werte 1, 2,..., w. Durch Restitution entsteht:

(10)

(11)

Zj ± ade(de...kl)

S ± (2 + ade(de..fg)

dfg P» • • • Vk ^l >

Qi Qi . Qk Ql

VxVi- VkVl

Die innere Summe erstreckt sich über die Permutationen von

d,e,..., f, g, die äußere über alle Aufteilungen in geordnete Kom¬

binationen in zwei Gruppen de...fg \ ij...l. Die innere Summe

liefert wegen der Beschaffenheit der aih nur einen Beitrag, wenn

(de),..., (fg) aus Kernindicespaaren (ß- + 1, n + 2),... (n—1, n) be¬

steht; der Rest i,j...M setzt sich dann aus den Randindices

l,2...,/u und den jeweils übrig bleibenden Paaren von Kern-

indioes zusammen. Aus (11) entsteht dann, da das Vorzeichen der

ersten Summe immer gleich bleibt:

(12) = 2-4 .2h S(ij)..(kl)

Q1Q2 • Q» Qi Qi • . QkQl

ViV*- • Vß Vi Vi • • Vk Vi

(ij),.. .,(JcT) sind Kernindicespaaren (f-i + I, ft + 2), ...,(n — 1, n).Es ist über die geordneten Kombinationen dieser Paare zu

— 37 —

summieren. Wir finden so für h = 1,2,..., v—2, v—1 neue Grund¬

typen:

Qn-2h — Zjtj...kl

Qi Qi • • &. QiQ}---Qk Qi

(13)

& £» • &. i & 5 • • • 5t &

die abhängen von ,«-4- 2,^ + 4, ...,w— 2 Vektoren. Für ä = 0,

bezw. r erhält man die zwei bekannten Typen:

J = {QO...Ç)i J' = (Qa...T\,2..ß (14)

Die rechte Seite von (13), nach den ersten p Kolonnen entwickelt

und Formel (7) berücksichtigt, gibt die neue Darstellung:

G»-iä= Ei^'fe".-*) Pv-*(f «?...£) ä = 0, 1 », (15)alle geordneten Aufteilungen

ß<s..r\gri...C

Mit Hilfe der Entwicklung (5) findet man ferner die Rekursions¬

formel:

(v-h) Qn_2h = S ± (Po ff) Qn-sh-2 (£y — 0Aufteilungen

(16)

Wir gehen jetzt noch an die Restitution des Produktes (8).

Dazu muß man in (13) einige der Vektoren q,o,., •»durch r0, s0)...,

ersetzen. Wir wollen zeigen, daß dabei nur wieder ein Aggregat

von Typen:

(r0S) (rf) , Qn-ih-2 * Qn-2h-4,

herauskommt. Zugleich sieht man auch, daß die früher erwähnten

Invarianten J, sich ganz rational durch diese Faktoren berechnen

lassen. Setzt man in (13) zuerst für q einen Vektor der Form

e = r0 mit lauter Randvariabein Null, so entsteht:

00..

0 ;

Oi Ot • • ff» :Qn-2h — 2j OiGj

Qk Ql

•Oü Ol(17)

?i • • • • £d.' & £) • • & Qi

Wir entwickeln die rechte Seite wie in (15) nach den ersten (*

Kolonnen. Es verschwinden alle Glieder, in denen g in der Deter-

— 38 —

minante J' vorkommt. Bei den Termen, die g in einem Pfaffschen

Aggregat enthalten, entwickeln wir die letztern nach (6). Es ist

z. B., wenn:

[q<j] = j>0 ff] — —{r |ff) = —(0 a1 + ..0-afl + rß+l oß+1 +..ruan)

gesetzt wird (der „Abstrich" | wird gleich wie in § 4 und 5 ver¬

wendet) :

P„_ft(y0 a.. t .. t) = — (r j a) Pv-h-! (t...l)

+ (r\r) Vv_h_x (ff... 0 - + .. ± (r | Ç) Pv_k^{oT..)

Nachdem alle Pfaffschen Aggregate so entwickelt sind, ordnet

man (17) nach: (r | a)\ (r j t);. .., (r \ f).

= (r\a) Qn-2h-2 (f • • • i? D — {r\x) Qn~2h-i(o... tjl) + ....

+ (-l)»-«->(r| £)&-«»-«("*•• S)-

oder nach der Determinantendarstellung der Qn_2ft_2 :

(r ) ff) ffi . . ff^ ! ff» ff,-. .. fffc ff(

(r [ %) Tt . . TM''

Tj T;- . . . 77fe r(

(r|0 &..Ç» !&&... Çfc Ci

Multipliziert man die zweite Kolonne mit ru die dritte mit r2,...,

die n -f- 1-te mit r^ und addiert sie alle zur ersten, dann erhält man

nach dieser entwickelt die Formel:

Qn-sh(r0 OT...Ç) = (r ff) Qn-ih-2, (t ...£) —(rr) Qn-ih-i ip • • 0 1

+ ...(-l)»-»-1(rÇ)6«.1M(«-)

Ersetzt man auch a durch ein s0, so wird im ersten Glied rechts

(r a) zu — (r0 s), auf die in den folgenden Gliedern stehenden

Typen Qn_2h_2 aber können wir die Formel selber von neuem

anwenden.

Satz: Jede Vektorinvariante der geränderten

Komplexgruppe ''^v baut sich ganz rational aus

den folgenden v-\-4 Grundinvariantentypen aus:

(xo y) — S aik xi yk ; D = (rs. . .z): (xS),l

'

= 2(tj)-.(kl)

— 39 —

Qh

Ql ?2 •Qm\Q*Q3- • Qk Ql'

-- s(«J)... (ft J)

alaa . Op'

a,a}. Ok Ol

&?.. • ±fi hi '-; • • Ça Çz

A (A = |W, f.i+2, •») (19)

Diese Tabelle enthält also viel weniger Grundtypen als die ent¬

sprechende bei der geränderten orthogonalen Gruppe. Die den

D, äquivalenten Invarianten fehlen. Es ist daher auch wahrschein¬

lich, daß die Relationen des zweiten Fundamentalsatzes hier

weniger zahlreich sind, als bei der geränderten orthogonalen

Gruppe. Am besten vergleicht man (19) mit dem Grundtypen¬

system für die Invarianten vom Charakter (-|—|-).Aus (19) ergibt sich jetzt rasch die zur gegebenen Form

Sixy) gehörige Tabelle.

Satz: Die vollständige Tabelle der Grundin¬

variantentypen der Gruppe derjenigen linearen

homogenen Transformationen, die angewendetauf die Variabein der /«-fach ausgearteten B i-

linearform S (xy) diese ungeändert lassen, be¬

steht aus r-j-4 Typen:

S = S aaXiVki,t=i

Qh = S ± ade •

(de...kl)Permutationen

D = (rs...yz)\ (x f),

afq Q> Vkhl

(20)

Bezüglich der Qh vergleiche man das Produkt (10).

Lebenslauf.

Ich, Ernst Wanner, von Zürich, wurde am 22. Juli 1900

geboren, als Sohn des Landwirts Ernst Wanner von Zürich, und

seiner Ehefrau Anna Witschi von Hindelbank (Bern). Ich be¬

suchte die Schulen von Küsnacht und die Kantonale Industrieschule

von Zürich. Nach der Maturität 1919 studierte ich an der Eid¬

genössischen Technischen Hochschule Mathematik und Physik und

erhielt im Sommer 1923 das Fachlehrerdiplom. Nachher war

ich öfters als Vikar tätig und seit März 1925 bin ich Assistent

von Herrn Prof. Dr. Wolfer, Direktor der Eidgenössischen Stern¬

warte. Ich möchte an dieser Stelle allen meinen Lehrern herz¬

lich danken.

In der vorliegenden Arbeit folgte ich Ideen des Herrn Prof.

Dr. Weyl. Seine wertvollen Winke und sein allzeitiges Wohl¬

wollen verpflichten mich zu dauerndem Dank.

Zürich, Oktober 1925.