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INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN LUIS GONZAGA

NIT 809007307-2

DANE 173001002467

APROBADA POR RESOLUCIÓN NÚMERO 002566 DEL 27 DE SEPTIEMBRE 2017

POR MEDIO DEL CUAL SE RECONOCEN LOS ESTUDIOS EN LOS NIVELES DE PREESCOLAR,

BASICA PRIMARIA Y SECUNDARIA, EDUCACIÓN MEDIA Y EDUCACIÓN DE ADULTOS POR CICLOS

INTRODUCCIÓN:

En esta guía se pretende socializar los conocimientos matemáticos relacionados con la potenciación y

la radicación. Es muy útil propiciar en el aula la capacidad de estimar y comparar números utilizando

diversas estrategias: bloques base diez, recta numérica, calculadora, ábaco…, que permiten una

elaboración mental más profunda de los números. Iniciarás con la fase de concienciación y explicación

del tema, luego realizarás el planteamiento de actividades teniendo en cuenta las competencias

interpretativa, argumentativa y propositiva.

FASE DE CONCIENCIACIÓN:

Querido estudiante te invito a que explores tus conocimientos acerca del tema. ¿Habías oído hablar de

las potencias? ¿Sabes qué son las potencias y para qué se utilizan? ¿Cuál es la utilidad de la potenciación

y la radicación en situaciones cotidianas?

¿QUÉ ES LA DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL? Los factores son los números que se están multiplicando, por lo tanto, la descomposición factorial consiste en escribir un número como la multiplicación de otros números . Por ejemplo, vamos a descomponer en factores número 12: 12 = 6 x 2 12 = 3 x 4 12 = 2 x 2 x 3

EJERCICIOS ¿Cuál es la descomposición factorial de 24, 48, 100, 216, 279, 625, 900, 20916, 30625, 240, 360, 3024? SITUACUIONES PROBLEMAS QUE REQUIEREN DE POTENCIACION, RADICACION Y LOGARITMACION

POTENCIACIÓN, RADICACIÓN Y LOGARITMACIÓN

BASE: Es el factor que se repite EXPONENTE: Es el número que indica las veces que se repite la base. Se escribe pequeño en la parte superior derecha de la base. POTENCIA: Es el resultado de la potenciación, es la multiplicación de los factores iguales. FACTORES IGUALES: Es la multiplicación de la cantidad de veces repetida la base. POTENCIACION: Es la operación que hace corresponder a cada par de números otro llamado potencia.

2𝑥2𝑥2𝑥2 = 24 4𝑥4𝑥4𝑥4𝑥4𝑥4 = 46

7𝑥7𝑥7𝑥7𝑥7𝑥7𝑥7 = 77 La radicación es una operación inversa a la potenciación, que permite calcular la base cuando se conoce

el exponente y la potencia. El símbolo de la radicación es: √𝑏𝑛

Los términos de la radicación son:

INDICE: Exponente de la potencia. RADICANDO: Número que se escribe debajo del radical y equivale a la potencia.

RAÍZ: Base

buscada de la potencia, equivale al resultado de la radicación. Cuando el índice de la raíz es 2, la raíz recibe el nombre de raíz cuadrada. Cuando el índice de la raíz es 3, la raíz recibe el nombre de raíz cúbica.

Es una operación matemática inversa a la potenciación. Nos permite averiguar el exponente, conociendo la potencia y la base. Se simboliza con log. La logaritmación y la potenciación se relacionan de la siguiente manera

TEOREMA DE PITAGORAS

VER VIDEO https://www.youtube.com/watch?v=2yfkEAt2ew0

APLICA EL FORMATO REALIZADO EN CLASE PARA LOS VIDEO PLANTEADOS.

El teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es igual a

la raíz cuadrada de la suma del área de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la

proposición más conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática.

El enunciado del teorema establece que, en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los

catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. El teorema de Pitágoras solamente es aplicable a

triángulos rectángulos. Un triángulo rectángulo es aquel que posee un ángulo denominado recto o de

90°.

Un teorema es un enunciado que puede ser demostrado como verdadero mediante operaciones

matemáticas y argumentos lógicos. En matemática, un teorema es una proposición teórica, enunciado

o fórmula que incorpora una verdad, axioma o postulado que es comprobada por otros conjuntos de

teorías o fórmulas

Dibuja los dos lados (catetos) con una longitud a y b, y la hipotenusa con una longitud c. El teorema

de Pitágoras establece que la suma de los cuadrados de los dos lados de un triángulo rectángulo es

igual al cuadrado de la hipotenusa, por lo tanto, hay que demostrar que a2 + b2 = c2.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1. Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3cm y 4cm. 2. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2cm y uno de sus lados mide 1cm, ¿cuánto mide el otro

lado?

3. Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre la pared

si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta. 4. Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. Si la distancia desde la

parte más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?

NOTA: Realizar los graficos

TEOREMA DE THALES

VER EL VIDEO https://www.youtube.com/watch?v=staL7w-eT58

APLICA EL FORMATO REALIZADO EN CLASE PARA LOS VIDEO PLANTEADOS.

Definición de teorema. ... Uno de los teoremas más conocidos es el denominado Teorema de Tales,

el cual señala que, al marcar en un triángulo una línea que sea paralela a alguno de sus lados, se da

origen a un par de triángulos semejantes (es decir, dos figuras con ángulos idénticos y lados

proporcionales).

Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales,

ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C

APLICACIONES CONCRETAS

El planteamiento geométrico del teorema de Tales tiene evidentes implicaciones prácticas. Veámoslo con un ejemplo concreto: un edificio de 15 m de altura proyecta una sombra de 32 metros y, en el mismo instante, un individuo proyecta una sombra de 2.10 metros. Con estos datos es posible conocer la altura de dicho individuo, ya que hay que tener en cuenta que los ángulos que proyectan sus sombras son congruentes. Así, con los datos del problema y el principio del teorema de Tales sobre los ángulos correspondientes, es posible saber la altura del individuo con una sencilla regla de tres (el resultado sería de 0.98 m).

El ejemplo más arriba indicado ilustra con claridad que el teorema de Tales tiene aplicaciones muy diversas: en el estudio de las escalas geométricas y las relaciones métricas de las figuras geométricas. Estas dos cuestiones de la matemática pura se proyectan sobre otras esferas teóricas y prácticas: en la elaboración de planos y mapas, en la arquitectura, la agricultura o la ingeniería. A modo de conclusión podríamos recordar una curiosa paradoja: que a pesar de que Tales de Mileto vivió hace 2600 años, su teorema sigue estudiándose porque es un principio básico de la geometría TEOREMA DE THALES

EJEMPLO Sirve para calcular alturas de edificios teniendo referencias de otros elementos que si que nos es fácil medir, como por ejemplo un árbol y ayudándonos en los rayos del sol, las proyecciones de sombra.

Escribimos la proporción

6𝑚

5𝑚=

270𝑚

𝐻 siendo la altura del edificio

6𝑚𝐻 = 5𝑚 × 270𝑚

𝐻 =5𝑚 × 270𝑚

6𝑚=

1350𝑚

6= 225 𝑚

El siguiente esquema nos permite ver el problema en cuestión y cómo calculó Tales la altura de la

pirámide clavando su bastón en la arena.

La sombra es la región donde no dan los rayos del sol. Se supone que los rayos que inciden en la pirámide y en el bastón son paralelos (consecuencia de la gran distancia que separa al Sol de la Tierra) y el bastón está clavado perpendicularmente al suelo. De esta forma, los ángulos de los dos triángulos que observamos en la figura son iguales entre sí y, por tanto, dichos triángulos son semejantes. En dos triángulos semejantes, se cumple que sus lados

homólogos son proporcionales. En nuestro caso, se cumple que:

Supongamos ahora que a una hora determinada del día, la sombra de la pirámide medía 280 metros, la sombra del bastón medía 2,87 metros y dicho bastón era de 1,5 metros. Según lo que hemos visto antes, tendríamos que:

De donde obtenemos

Que es el valor aproximado que tenía la pirámide de Keops en la antigüedad (actualmente 136,86 m). El método de Tales tiene una enorme utilidad, puesto que lo podemos emplear para averiguar la altura de cualquier objeto que sea muy grande.

EXPLICACIÓN DEL TEOREMA DE TALES

Cuando la ciudad de Mileto, situada en la costa griega, iba a ser atacada por los barcos enemigos, los soldados recurrieron a Tales. Necesitaban saber a qué distancia se encontraba una nave para ajustar el tiro de sus catapultas. El genio matemático resolvió el problema sacando una vara por la cornisa del acantilado, de tal forma que su extremo coincidiera con la visual del barco. Conociendo su altura (h), la del acantilado (a) y la longitud de la vara (v), calculó sin dificultad la distancia deseada (x). Parece sencillo, ¿verdad?

Observa que ahora tenemos dos triángulos semejantes, de tal forma que al ser sus lados proporcionales, podemos establecer la siguiente igualdad.

De esta forma consiguió calcular el valor de la distancia x. El resto de datos ya los conocía. RESOLVER LOS PROBLEMAS

1. Nicolás mide 1,50 m. de altura, se encuentra a 1,20 m. de un poste que tiene encendida su luminaria a 3 m. del suelo, ¿cuál es el largo de la sombra que proyecta Nicolás?

2. Calcula la longitud del segmento x de las figuras

3. Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m

4. Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medir los catetos de un triángulo

semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m? 5. Una torre tiene una sombra de 12 metros al mediodía, mientras que una botella de 25 cm proyecta una

sombra de 5 cm a la misma hora ¿Cuánto mide la torre?

6. Una señal de tránsito de 2 metros de altura proyecta una sombra de 10 metros, al mismo tiempo una

pared de un edificio proyecta una sombra de 80 metros. Calcular la altura de la pared.

LA CIRCUNFERENCIA Y ELEMENTOS DEL CIRCULO

PERIMETRO DE CIRCUNFERENCIA

Dada una circunferencia, el perímetro de una circunferencia es la longitud de la curva, es decir, la distancia que caminaría una persona que empezara a caminar en un punto de la circunferencia y diera una vuelta alrededor de la circunferencia hasta llegar al punto de partida. De igual manera que para el área, existe una expresión que nos permite saber la longitud (o perímetro) de la circunferencia sólo conociendo su radio (R).

Recordar que π es un número irracional, así que si queremos expresar el resultado del área sin la constante de π tendremos que hacer el cálculo con la aproximación

𝜋 = 3.1416 Se obtiene de dividir la longitud de la circunferencia entre el diámetro.

𝜋 =𝑃

𝐷

La expresión es la siguiente:

𝑃 = 2𝜋𝑅

Veámoslo más claro con un ejemplo:

Ejemplo

Tomemos la circunferencia del ejemplo anterior, que volvemos a representar a continuación:

De nuevo el parámetro R, es decir, el radio, mide R=10 cm

Aplicando la fórmula de perímetro se tiene

𝑃 = 2𝜋𝑅 = 2(3.1416)(10𝑐𝑚) = 62.832 𝑐𝑚

Por tanto, el perímetro de la circunferencia es 62.832 cm

AREA DE LA CIRCUNFERENCIA

La curva denominada circunferencia encierra en su interior una superficie. Esta superficie se llama área de la circunferencia. Existe una fórmula muy sencilla que nos permite calcular cuál es el área encerrada dentro de la circunferencia sólo sabiendo cuánto mide el radio de la circunferencia. Llamemos r al radio de la circunferencia, entonces el área de la circunferencia será

𝑨 = 𝝅𝑹𝟐

Ahora calculemos el área de la circunferencia anterior con la formula dada:

𝐴 = 𝜋𝑅2 = 3.1416(10 𝑐𝑚)2

𝐴 = 3.1416(100𝑐𝑚2)

𝐴 = 314.16 𝑐𝑚2

EJERCICIOS

La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?

SOLUCION El perímetro es la longitud de la circunferencia y es lo recorre la rueda del camión al dar una vuelta. El radio en metros es 90 cm = 0,9 m Entonces 𝑃 = 2𝜋𝑅 = 2(3,1416)( 0,9 m) P=5.654 cm

Como son 100 vueltas entones cuando da 100 vueltas el camión ha recorrido 100(5.654 cm) =565.4 metros

Calcula la longitud de una circunferencia y su área que tiene como diámetro 30 cm.

Solución 𝑃 = 2𝜋𝑅 Si el diámetro de la circunferencia es 30 cm entones el radio es igual R=15 cm 𝑷 = 𝟐(𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟔)(𝟏𝟓𝒄𝒎) 𝑷 = 𝟗𝟒. 𝟐𝟒𝟖 𝒄𝒎 El área seria:

𝑨 = 𝝅𝑹𝟐 𝑨 = (𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟔)(𝟏𝟓𝒄𝒎)𝟐 𝑨 = (𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟔)(𝟐𝟐𝟓𝒄𝒎𝟐) 𝑨 = 𝟕𝟎𝟔. 𝟖𝟔𝑐𝑚2

Calcular el radio de una circunferencia con perímetro igual a 43.98 cm Solución De la fórmula de perímetro despejamos R y reemplazamos los datos. 𝑃 = 2𝜋𝑅

𝑅 =𝑃

2𝜋=

43.98𝑐𝑚

2(3.1416)=

43.98𝑐𝑚

6.2832= 6.99𝑐𝑚

El radio mide R=6.99 cm

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1) Halla la longitud de la circunferencia y el área de un círculo cuyo diámetro es 6 cm. 2) Calcula la medida de la circunferencia si el radio es 5 m. 3) Calcula la medida del diámetro y el radio si la circunferencia mide 12 metros.

4) Determina el área de un círculo con radio de 5 metros. 5) Determina el área de un círculo si su diámetro es de 6 cm. 6) Determina el radio de un círculo si su área es 328 cm2

MEDIDAS DE POSICION

VER EL VIDEO https://www.youtube.com/watch?v=suSz9RXFNTs APLICA EL FORMATO REALIZADO EN CLASE PARA LOS VIDEO PLANTEADOS

Las medidas de posición relativa se llaman en general cuantiles y se pueden clasificar en tres grandes grupos: Cuartiles, quintiles, deciles, percentiles. Las medidas de posición como los cuartiles, quintiles, deciles y percentiles dividen a una distribución ordenada en partes iguales. Las medidas de posición como los cuartiles, quintiles, deciles y percentiles dividen a una

distribución ordenada en partes iguales. Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor. a - Los Cuartiles (Qn): son los tres valores de la variable de una distribución que la dividen en cuatro partes iguales, es decir, al 25%, 50% y 75%. Para calcular el valor de uno de los cuatro Cuartiles, se utiliza la fórmula:

𝑄𝐾 = 𝐾 (𝑛

4)

Donde 𝑄𝐾= Cuartil número 1, 2, 3 ó 4 n = total de datos de la distribución. Se advierte que la posición del segundo cuartil corresponde a la ubicación de la mediana, es decir que el segundo cuartil será siempre igual a la mediana. Para calcular los cuartiles (datos no agrupados) debes seguir los siguientes pasos:

1º Se ordenan los datos de menor a mayor. 2º Se determina la posición que ocupa cada cuartil mediante la fórmula: Qk = k (n/4) Para que te quede más claro: El primer cuartil (Q1) es el valor de la variable que supera a lo más el 25 % de los datos y es superado por a lo más el 75 % de ellos en la distribución ordenada de menor a mayor.

El segundo cuartil (Q2) es un valor que supera a lo más el 50 % de los datos y es superado por a lo más el 50 % de ellos, es decir, Q2 coincide con la mediana.

El tercer cuartil (Q3) es un valor que supera a lo más al 75 % de los datos y es superado por a lo más el 25 % de ellos.

Ejemplos: Se le pregunto a 11 personas las edades y estas fueron las respuestas 15 17 16 16 15 17 15 18 14 16 15 Se pide calcular los cuartiles: 𝑄1, 𝑄2 𝑄3, Primer paso ordenarlos de menor a mayor 14 15 15 15 15 15 16 16 16 17 17 18 Se llaman medidas de posición por la posición de los datos en el listado. ORDENADOS DE MENOR A MAYOR 14 15 15 15 15 16 16 16 17 17 18 LOS DATOS SE LES COLOCA LA POSICION 𝑥1 a 𝑥11 Se llaman medidas de posición

FORMA DE ENCONTRAR LOS CUARTILES PUEDE SER CON FORMULA Y SIN FORMULA

Se llaman medidas de posición porque se basa en la posición en que están los datos

𝑄1 𝑄2 = 𝑀e 𝑄3

𝑄2 = 𝑀𝐸𝐷𝐼𝐴𝑁𝐴 La mediana Está en el centro de los datos: Cuando el número de datos e impar la mediana o el cuartil 2 es el dato que está en la mitad en este caso, 𝑄2 =𝑥6 = 16 Para hallar el cuartil 1 y el cuartil 3 Observamos que a la derecha de 𝑥6 hay cinco datos y a la izquierda hay cinco datos. El cuartil 1 se calcula es la mitad de los cinco datos o sea 𝑥3 = 15 y para cuartil 3 𝑥9 = 17 entonces 𝑄1 = 𝑥3 = 15 y el cuartil 3 𝑄3 = 𝑥9 = 17

La información se da también en porcentaje. el cuartil 1= 25%, cuartil 2 =50%, el cuartil 3= 75%

Lo anterior sirve para sacar conclusiones y dar información del estudio que se está haciendo o encuesta, en este caso se dice: 𝑄1,𝑒𝑙 25% de los encuestados tienen 15 años o menos de 15 años 𝑄2, 𝑒𝑙 50% de los encuestados tienen 16 años o menos 𝑄3, 𝑒𝑙 75% de los encuestados tienen 17 años o menos.

HALLAR CUARTILES CON FORMULAS

𝑄𝐾 =𝐾(𝑛+1)

4 para cualquier cuartil

K= CUARTIL (1, 2,3) n= NUMERO DE DATOS (11) Calculemos los tres cuartiles CUARTIL UNO

𝑄1 =1(11 + 1)

4=

1(12)

4=

12

4= 3

O sea, la posición 3 CUARTIL DOS

𝑄2 =2(11+1)

4=

2(12)

4=

24

4= 6 o sea, la posición 6

CUARTIL TRES

𝑄3 =3(11 + 1)

4=

3(12)

4=

36

4= 9

Cuartil 3 posición 9 EJEMPLO 2

CALCULO DE LOS CUARTILES CUANDO EL NUMERO DE DATOS ES PAR Hagamos un ejercicio con 10 datos. Se realiza una encuesta a 10 personas sobre la edad y se obtuvo la siguiente información.: Ya se han ordenado de menor a mayor. En este caso en el centro no hay un solo dato sino dos, entonces se suman los dos datos del centro y se divide entre dos y así se obtiene la mediana y a su vez el cuartil 2 𝑄2

𝑀𝑒 =𝑥6 + 𝑥5

2=

18 + 17

2= 17.5

𝑀𝑒 = 17.5 𝑎ñ𝑜 Posición Hallar los otros dos cuartiles. Por formula

Posición 𝑄𝑘 =𝐾𝑛

4

𝑄1 =1(10)

4=

10

4= 2.5

𝑄2 =2(10)

4=

20

4= 5

𝑄3 =3(10)

4=

30

4= 7.5

Me=17.5 años 𝑄1 el 25% de las personas encuestadas tienen 16 años o menos. 𝑄2 el 50% de las personas encuestadas tienen 17.5 años o menos. 𝑄3 el 75% de las personas encuestadas tienen 19 años o menos. Ejercicios

EJERCICIOS PRPOPUESTOS

1. Se realizó una encuesta del peso en kilogramos de un grupo de personas y dieron las siguientes respuestas. 55 56 66 62 58 58 57 59 60 62 64 62 60 65 58 59 60 66 62 60 60 Actividad. a. Realice una tabla de frecuencia. b. Calcule las medidas de tendencia central (media, moda y mediana), escribir su significado c. Elabore un diagrama de barras y un diagrama circular. d. Halla las medidas de posición Y SU EXPLICACI0N

2. Numero de respuestas correctas en un examen. 1 3 12 7 10 10 9 15 7 5 9 4 19 4 10 9 9 7 4 1 10 13 10 12 7 9 14 13 7 7 8 9 10 Actividad. e. Realice una tabla de frecuencia. f. Calcule las medidas de tendencia central (media, moda y mediana), escribir su significado g. Elabore un diagrama de barras y un diagrama circular. h. Halla las medidas de posición Y SU EXPLICACI0N