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Universidade Federal do Espírito SantoCentro de Ciências Agrárias – CCA UFESDepartamento de Computação

Tópicos Especiais em ProgramaçãoSite: http://jeiks.net E-mail: jacsonrcsilva@gmail.com

Recursividade Exaustiva e Backtracking

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Recursividade Exaustiva e Backtracking

● Nas chamadas recursivas, formamos uma “árvore”/pilha de chamadas que forma uma linha da função inicial até a “base” do problema.– Entenda como “base” o final da recursividade, como por exemplo, o

retorno do fatorial de 1 ou 0.

● O desempenho do algoritmo depende do tamanho que essa pilha de chamadas atinge.– O que é determinado pelo quão rápido conseguimos alcançar o caso

base do problema.

● Exemplos:– Se formos criar um arquivo reverso com recursividade, necessitamos de

uma pilha do tamanho do arquivo.

– Se formos trabalhar com pesquisa binária, já é interessante trabalhar com recursividade somente na metade seguinte de cada nó.

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Recursividade Exaustiva e Backtracking

● Já considerando uma função recursiva com subconjuntos ou com permutações,– Não fazem somente uma chamada recursiva, mas várias.

– Geram uma árvore de chamadas de muitos níveis.

– Devido aos fatores multiplicativos sendo utilizados na árvore, o número de chamadas pode crescer de forma enorme.

– Assim, a recursividade tem um potencial de ser muito custosa.

● A forma de melhorar isso é explorar o diminuir o tempo de pesquisa.

● O backtracking é um método para melhor trabalhar com isso.

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Backtracking

● O backtracking é, de forma genérica, uma técnica algorítmica:– Que pesquisa todas as combinações possíveis buscando resolver

problemas de otimização.

● Também é conhecido como:– busca em profundidade ou

– dividir para conquistar.

● A ideia é inserir conhecimento ao problema para fazer a árvore de pesquisa ser podada,– Isso evita casos que não gerarão resultados satisfatórios.

● Enquanto o backtraking é útil para diversos problemas de nível complexo, ele é a pior solução para problemas comuns que já possuem outras técnicas de solução.

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Backtracking

● Para entender melhor o método de backtracking,– vamos estudar alguns casos com recursividade e

– depois ver como o backtracking resolve isso melhor.

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Caso clássico de permutação● Pseudocódigo:

SE você não tem mais caracteres restantes para reorganizar:

  ENTAO imprima a permutação atual.

SENÃO:PARA (cada escolha possível entre os caracteres restantes para organizar)

{

  Faça uma escolha e adicione este caractere para  a permutação até o momento.

  Utilize a recursividade para reorganizar o      restante das letras.

}

permutacao_rec.cpp

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Caso clássico de subconjuntos

● Pseudocódigo:

SE não há mais elementos restando:

ENTÃO imprima o subconjunto atual

SENÃO:

Considere o próximo elemento dos restantes.

Adicione­o  ao  subconjunto  atual  e  utilize  a recursividade para continuar o processo.

Não adicione­o ao subconjunto atual e utilize a recursividade para continuar o processo.

subconjuntos_rec.cpp

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Backtracking

● Tanto no exemplo de permutação quanto no exemplo de subconjuntos que vimos:– Todas as possibilidades foram exploradas.

– Em cada ponto de decisão:● Uma escolha foi feita;● Logo após foi desfeita e● Tentou-se então as outras opções;

– Isso foi realizado até que todas as opções fossem testadas.

– É custoso, principalmente com vários pontos de decisões a fazer.

● Com backtracking:– Uma escolha será feita e ela somente será desfeita se não trouxer

o resultado desejado.

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Backtracking● Pseudocódigo:

bool Solve(configuration conf) {if (não tem mais escolhar) // Critério de parada

  return (conf é o estado objetivo);

for (todas as escolhas disponíveis) {

  teste uma escolha c;

  // resolver recursivamente após escolher c

  ok = Solve(conf com a escolha c efetuada);

  if (ok)

    return true;

  else

    desfazer escolha c;

  }// tentou todas as escolhas e não encontrou solução

return false;

}

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Backtracking

● Códigos fontes:– backtracking.cpp;

– permutacao_bckt.cpp;

– subconjuntos_bckt.cpp;

● Vamos ver alguns problemas que podem ser resolvidos com o Backtracking...

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Sudoku:

Encontre a lin,col de uma célula não escolhida

Se não houver nenhum número,retorne TRUE

Para os dígitos de 1 à 9:Se não há conflito para o dígito na lin,col:

  Atribua esse dígito nessa lin,col e

  tente preencher o resto recursivamente.

Se a recursividade retornou TRUE:

  retorne TRUE

Caso contrário:

  remova este dígito e tente outro.

Se todos os dígitos foram testados e nenhum funcionou,

retorne FALSE para desencadear o backtracking.

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Problema das 8 rainhas:

Comece da coluna mais a esquerda

Se todas as rainhas já foram colocadas:retorne TRUE

Para (todas escolhas possíveis entre as linhas dessa coluna):

Se a rainha pode ser colocada sem conflitos:

  faça essa escolha e

   tente colocar as outras rainhas de recursivamente.

Se a recursividade retornou TRUE,

  retorne TRUE

Caso contrário,

  remova a rainha e tente outra linha dessa coluna

Se todas as linhas foram testadas e nenhuma funcionou,

retorne FALSE para desencadear o backtracking

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Construção de Soluções

● Para construir boas soluções, temos que pensar em como utilizar corretamente o backtrack.

● A poda é uma boa opção para deixar de efetuar pesquisas desnecessárias na árvore.

● No problema das rainhas, por exemplo:– Não pesquisar em nós que estejam na mesma

linha, coluna ou diagonal;

oito_rainhas.cpp

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Problemas

● Fáceis:– Little Bishops;

– Queue;

– 15-Puzzle Problem;

● Intermediários:– Bigger Square Please...

● Difíceis:– Garden of Eden;

– Color Hash;