-
Algè
bre
comm
utat
ive
Méth
odes
cons
truc
tive
s–
comp
léme
nts
LOMB
ARDI
Henr
i,QU
ITTÉ
Clau
de24
mai
2021
[11:
12]
Fich
ier:
Ac-B
ibli
och
apit
re:A
Algè
bre
comm
utat
ive
Méth
odes
cons
truc
tive
s–
comp
léme
nts
LOMB
ARDI
Henr
i,QU
ITTÉ
Clau
de24
mai
2021
[11:
12]
Fich
ier:
Comp
leme
ntsP
TF-C
Mch
apit
re:0
Com
plém
ents
duliv
re
Algèb
recommutative
métho
desconstructives
Mod
ules
projectifs
detype
fini
Hen
riLo
mba
rdi,
Cla
ude
Qui
tté.
Cal
vage
&M
oune
t.20
11
Errata
Com
plém
ents
decours,
exercices,
prob
lèmes
etsolution
ssupp
lémentaires
(parus
dans
lade
uxièmeéd
ition)
Com
mentaires
Dernièremise
àjour,2
4mai
2021
Nou
srem
ercio
nstous
leslec
teursq
uivoud
ront
bien
nous
signa
lerdese
rreu
rsde
toutes
sortes,d
esdé
mon
stratio
nsélégan
tes,
oude
ssolutio
nsd’exercices
ouprob
lèmes,c
equ
inou
saide
raàenric
hircescomplém
ents.
Cetextecommen
cepa
rleserrata
queno
usavon
srepé
rés.
Nou
ssig
nalons
leserrata
d’ordremathé
matique
,maispa
slesfautes
d’orthograph
es,q
uiseront
corrigéess’ily
aun
ede
uxièmeédition
.
Ilse
poursuit
page
27avec
descomplém
ents
prop
rementdits,c
hapitrepa
rchap
itre,
parusda
nsla
2eéd
ition
,puisavec
descommentaire
spa
ge183
(non
publiésda
nsla
2eéd
ition
).
Nou
savon
sen
géné
ralr
emplacél’e
xpression〈〈relatio
nde
dépe
ndan
celin
é-aire〉〉pa
rle
term
eplus
courtet
plus
usue
laujou
rd’hui〈〈syzygie〉〉 .
Latabledesmatièresse
trou
veàla
fin.
-
Algèbrecommutative
Méthodesconstructives
–compléments
LOMBARDIHenri,
QUITTÉClaude
24mai
2021[11:12]
Fichier:Ac-Bibliochapitre:A
Tabledes
matières
221
Chapitre
XV.Le
principelocal-global
Com
mentaires
...........................
211
Chapitre
XVI.M
odulesprojectifs
étendusCom
mentaires
...........................
213
Bibliographie
215
Tabledes
matières
Algèbrecommutative
Méthodesconstructives
–compléments
LOMBARDIHenri,
QUITTÉClaude
24mai
2021[11:12]
Fichier:ComplementsPTF-CMchapitre:0
-
Algè
bre
comm
utat
ive
Méth
odes
cons
truc
tive
s–
comp
léme
nts
LOMB
ARDI
Henr
i,QU
ITTÉ
Clau
de24
mai
2021
[11:
12]
Fich
ier:
Ac-B
ibli
och
apit
re:A
220
Tablede
smatières
Cha
pitreXVI.Mod
ules
projectifs
éten
dus
Com
plém
ents
ducours
......................
179
Exercices..............................
179
Solutio
ns..............................
180
Ann
exe.
Logiqu
econstruc
tive
Com
plém
ents
ducours
......................
181
Com
mentaires
183
Cha
pitreIII.La
métho
dede
scoeffi
cients
indé
term
inés
Com
mentaire
s...........................
185
Exercices..............................
185
Cha
pitreV.M
odules
projectifs
detype
fini(1)
Com
mentaire
s...........................
187
Cha
pitreVIII.Mod
ules
plats
Com
mentaire
s...........................
189
Exercices..............................
189
Cha
pitreIX
.Ann
eaux
locaux
,oupresqu
eCom
mentaire
s...........................
191
Cha
pitreX.M
odules
projectifs
detype
fini(2)
Exercices..............................
193
Solutio
ns..............................
196
Cha
pitreXI.Tr
eillisdistribu
tifs,g
roup
esréticu
lés
Com
mentaire
s...........................
203
Exercices..............................
203
Cha
pitreXII.A
nneaux
dePrüferet
deDed
ekind
Com
mentaire
s...........................
205
Cha
pitreXIII.Dim
ension
deKrull
Com
mentaire
s...........................
207
Cha
pitreXIV
.Nom
brede
géné
rateursd’un
mod
ule
Com
mentaire
s...........................
209
Exercices..............................
209
Solutio
ns..............................
209
Algè
bre
comm
utat
ive
Méth
odes
cons
truc
tive
s–
comp
léme
nts
LOMB
ARDI
Henr
i,QU
ITTÉ
Clau
de24
mai
2021
[11:
12]
Fich
ier:
Ac-E
rrat
ach
apit
re:0
ERRATA
Avant-P
ropo
s
Une
précision
Lacitatio
nde
Marxen
basde
lapa
gexv
estmal
référenc
ée.
Enfait
ils’a
gitd’un
extraitdu
texte,
Rem
arqu
esàprop
osde
larécente
instructionprussie
nnesurla
censure,
paru
dans
larevu
eAne
kdotaen
1843.
Nou
savon
sindiqu
éla
trad
uctio
npa
rJ.
Molito
rpa
rueen
1927
etcitéepa
rG.P
erec
:Le
moyen
fait
partie
dela
recherchede
lavérit
é,au
ssib
ienqu
ele
résulta
t.Ilfaut
quela
recherchede
lavérit
ésoit
elle-m
êmevraie;
larecherchevraie,
c’est
lavérit
édéployée,d
ontles
mem
bres
éparss
eréun
issentd
anslerésulta
t.La
trad
uctio
nda
nsla
Pléiad
epa
rMax
imilien
Rube
l,estla
suivan
te(nou
savon
srajoutéun
eph
rase
avan
tet
uneph
rase
après)
:...le
caractèrede
l’objet
nedo
it-ilexercernu
lleinflu
ence,v
raim
entpa
sla
moind
re,s
urla
recherche?
Lavérit
éenglob
eno
nseulem
entle
résulta
t,maisau
ssilechem
in.L
arecherchede
lavérit
édo
itelle-m
êmeêtre
vraie,
lavraierechercheestla
vérit
éép
anou
iedo
ntlesmem
bres
éparsse
réun
issent
dans
lerésulta
t.Et
l’onvoud
raitqu
ele
mod
ede
recherchene
chan
gepa
sselonsonob
jet!
-
Algèbrecommutative
Méthodesconstructives
–compléments
LOMBARDIHenri,
QUITTÉClaude
24mai
2021[11:12]
Fichier:Ac-Bibliochapitre:A
Tabledes
matières
219
Chapitre
X.M
odulesprojectifs
detype
fini(2)Exercices
..............................
127Problèm
es.............................
127Solutions
..............................
128
Chapitre
XI.Treillis
distributifs,groupesréticulés
Com
pléments
ducours
......................
1336Constructions
detreillis
distributifs...............
135Treillis
distributifsquotients
................
135Algèbre
deBoole
engendréepar
untreillis
distributif..
136Som
medirecte
dedeux
treillisdistributifs
........
137Exercices
..............................
138Solutions
..............................
138Com
mentaires
bibliographiques.................
140
Chapitre
XII.A
nneauxde
Prüfer
etde
Dedekind
Com
pléments
ducours
......................
1438Anneau
intègreversus
anneausans
diviseurde
zéro......
144Motivation
..........................
144Unprem
ierexem
ple.....................
145Une
versiongénéralisée
dulem
meIII-8.11
.........
146Dém
onstrationdu
théorèmeXII-8.1
............
148Exercices
..............................
150Solutions
..............................
151
Chapitre
XIII.D
imension
deKrull
Com
pléments
ducours
......................
155Relèvem
entdes
idéauxprem
iers(lying
over).......
158Montée
(goingup)
......................
159Descente
(goingdow
n)....................
161Exercices
..............................
161Solutions
..............................
162
Chapitre
XV.Le
principelocal-global
Com
pléments
ducours
......................
165Localisation
auvoisinage
detout
idéalpremier
......
1658Principes
local-globalsen
profondeur1
.............
166Unthéorèm
ede
McC
oy...................
1689Principes
local-globalsen
profondeur2
.............
169Recollem
entsen
profondeur2................
172Exercices
..............................
175Solutions
..............................
176
Algèbrecommutative
Méthodesconstructives
–compléments
LOMBARDIHenri,
QUITTÉClaude
24mai
2021[11:12]
Fichier:Ac-Erratachapitre:II
2Chapitre
IExem
ples
page2,ligne
8:
remplacer
〈〈cesont
desespaces
vectorielsde
typefini
〉〉par〈〈ce
sontdes
espacesvectoriels
dedim
ensionfinie
〉〉
——————————
———
page8,
ligne−
8,remplacer
〈〈Ilsemble
qu’unetelle
preuvene
soitpas
encoredisponible
surle
marché.
〉〉parCecia
étéréalisé
parRichard
Swandans
\cite{Swan93}.Lesoutils
qu’ilutilisesont
unpeu
tropavancés
pourque
nouspuissions
rendrecom
ptede
sadém
onstrationdans
l’ouvrageprésent.—————————————
page14,ligne
−2:
remplacer
〈〈doncδ1 W
′=0〉〉par
doncδ 21 W
′=0.
Chapitre
IIPrincipe
local-globaldebase
etsystèm
eslinéaires
Untypo
dansladém
onstrationdu
fait2.5lire
(1−det(A
) )[ab]=
[00]
aulieu
de(1−
det(A) )[a
b]=0
—————————————
Dansl’explicationde
lapropriété
universellequidéfinitla
puissanceextérieure
k-èmed’un
module
ilfautrem
placertoute
applicationlinéaire
alternéeψ
:M
k→R
partoute
applicationk-linéaire
alternéeψ
:M
k→R
————————————
—Fait
6.3,point2.
Danslepoint2
dufait6.3,ilm
anqueune
hypothèse:l’application
canoniquedeP
dansP??doitêtreinjective.Voiciun
énoncécorrectavecladémonstration
simplifiée.
6.3.Fait.
Soitβ
:N→P
uneapplication
linéaireetγ
:P→
Coker
βla
projectioncanonique.
1.L’application
canoniquetγ
:(C
okerβ)?→
P?induit
unisom
or-phism
ede
(Coker
β)?sur
Ker
tβ.2.
Silesapplications
linéairescanoniques
N→N??etP→P??sont
desisomorphism
es,alorslasurjection
canoniquedeN?dansC
okertβ
fournitpar
dualitéun
isomorphism
ede
(Coker
tβ)?sur
Kerβ.
-
Algè
bre
comm
utat
ive
Méth
odes
cons
truc
tive
s–
comp
léme
nts
LOMB
ARDI
Henr
i,QU
ITTÉ
Clau
de24
mai
2021
[11:
12]
Fich
ier:
Ac-B
ibli
och
apit
re:A
218
Tablede
smatières
Cha
pitreIII.La
métho
dede
scoeffi
cients
indé
term
inés
Com
plém
ents
ducours
......................
47Ex
ercices..............................
50Pr
oblèmes
.............................
51So
lutio
ns..............................
54
Cha
pitreIV
.Mod
ules
deprésen
tation
finie
Com
plém
ents
ducours
......................
63Te
nseurs
nuls
.........................
63Ex
ercices..............................
67So
lutio
ns..............................
72
Cha
pitreVI.Algèb
resde
type
fini
Com
plém
ents
ducours
......................
77Thé
orèm
ede
laba
seno
rmale
................
77Structurede
salgèbres
nettes
surun
corpsdiscret.....
84
Cha
pitreVII.L
amétho
dedy
namique
Com
plém
ents
ducours
......................
89Se
ramen
erau
casd’un
polynô
mesépa
rable
.......
917Clôture
sépa
rabledy
namique
d’un
corpsdiscret
........
93Ex
ercices..............................
94So
lutio
ns..............................
94
Cha
pitreVIII.Mod
ules
plats
Com
plém
ents
ducours
......................
97Quo
tientsplats........................
987Po
lynô
mes
nonramifiab
les....................
100
Cas
d’un
corpsdiscretno
ntrivial.
.............
100
Cas
d’un
anne
auarbitraire
.................
102
Exercices..............................
104
Solutio
ns..............................
106
Cha
pitreIX
.Ann
eaux
locaux
,oupresqu
eCom
plém
ents
ducours
......................
113
7Ann
eaulocals
éparab
lementclos
.................
114
Polynô
mes
nonramifiab
les,
casd’un
anne
aulocal.
....
114
Cas
d’un
anne
aulocalr
ésidue
llementdiscret
.......
115
Con
structiondy
namique
dela
clôturesépa
rabled’un
an-
neau
local
.........................
115
Exercices..............................
116
Solutio
ns..............................
121
Algè
bre
comm
utat
ive
Méth
odes
cons
truc
tive
s–
comp
léme
nts
LOMB
ARDI
Henr
i,QU
ITTÉ
Clau
de24
mai
2021
[11:
12]
Fich
ier:
Ac-E
rrat
ach
apit
re:I
II
Errata
duchap
itreIII
3
J1.
Onap
plique
lefait6.2avecF
=A.
2.Onap
plique
lepo
int1
àl’a
pplic
ationlin
éaire
t βen
identifi
antN
etN??,
ainsiq
ueP
etP??,e
tdo
ncau
ssiβ
ett (
t β).
�
Rem
arqu
e.Ilestpo
ssible
d’aff
aiblirlégèrementl’h
ypothè
seen
deman
dant
pour
l’app
licationlin
éaire
P→P??qu
’elle
soitinjective.
————————
Sil’o
ndemandaitsim
plem
entl’in
jectiv
ité,ladémon
stration
devrait
être
précisé
ecommesuit.
J1.
Onap
plique
lefait6.2avecF
=A.
2.La
surjectio
ncano
niqu
eN?→
Cok
ert β
fournitpa
rdu
alité
uneinjec-
tionλ
:(C
oker
t β)?→N??
=N.
Onmon
trequ
eIm
λ⊆
Kerβ.D
’abo
rd,u
nsché
made
lasit
uatio
npo
urvisualise
rλ
=ı−
1N◦
t πet
t (t β
)=ı P◦β◦ı−
1N
:
P?
t β// N
? π ��C
oker
t β
dualité
−−−−→
(Cok
ert β
)?t π
//λ))
N??
t (t β
)��
Nı N'
oo
β ��P??
Pı P
oo
Pardé
finition
,onaπ◦
t β=
0do
nct (
t β)◦
t π=
0ou
encore
:ı P◦β◦ı−
1N◦
t π=
0Maisı P
estinjectiv
edo
ncβ◦ı−
1N◦
t π=
0i.e
.β◦λ
=0,
cequ
el’o
nvoulait.
Soit
mainten
antx∈
Kerβetx̃l’é
lémentcorrespo
ndan
tde
N??.O
nvo
itqu
ex̃
estnu
lsur
Imt β,do
ncfournitpa
rpa
ssageau
quotient
unélé-
menty∈
(Cok
ert β
)?telq
ueλ
(y)=
x̃.
�
—————
———
Voici
uncontre-exemple,
lorsqueı P
n’estp
asinjec
tive,
pour
lequel(
Cok
ert β
)?et
Kerβne
sont
mêm
espasisomorph
es.
Onva
faire
ensortequ
eP?
=0do
ncC
oker
t β=N?pu
is(C
oker
t β)?'N
quel’o
ndo
itcompa
rerà
Kerβ.
Onpren
dA
=Z[X
],N
=A,P
=A
/〈2,X〉e
tβla
projectio
ncano
niqu
ede
NsurP.O
naP?
=0car
2P=
0et
Kerβ
=〈2,X〉.
Etles
Z[X
]-mod
ulesN
etK
erβne
sont
pasisomorph
espu
isque〈2,X〉n
’est
pasun
idéalp
rincipa
ldeZ[X
].
Cha
pitreIII
Lamétho
dede
scoeffi
cients
indé
term
inés
-
Algèbrecommutative
Méthodesconstructives
–compléments
LOMBARDIHenri,
QUITTÉClaude
24mai
2021[11:12]
Fichier:Ac-Bibliochapitre:A
Tabledes
matières
Errata
1
Avant-Propos...........................
1Chapitre
I.Exemples
.......................
2Chapitre
II.Principelocal-globalde
baseet
systèmes
linéaires2
Chapitre
III.Laméthode
descoeffi
cientsindéterm
inés....
3Chapitre
IV.M
odulesde
présentationfinie
...........
4Chapitre
V.M
odulesprojectifs
detype
fini(1).........
5Chapitre
VI.A
lgèbresde
typefini.
...............
5Chapitre
VII.La
méthode
dynamique
..............
7Chapitre
VIII.M
odulesplats
..................
7Chapitre
IX.A
nneauxlocaux,ou
presque...........
9Chapitre
XI.Treillis
distributifs,groupesréticulés
.......
9Chapitre
XII.A
nneauxde
Prüferet
deDedekind
.......
10Chapitre
XIII.D
imension
deKrull
...............
17Chapitre
XV.Le
principelocal-global.
.............
18Chapitre
XVI.M
odulesprojectifs
étendus...........
23
Com
pléments,exercices,problèm
es27
Préface
dela
deuxièmeédition
Chapitre
II.Principe
local-globaldebase
etsystèm
eslinéaires
Com
pléments
ducours
......................
33Caractère
localdela
cohérence...............
33Exercices
..............................
35Solutions
..............................
38
–217
–
Algèbrecommutative
Méthodesconstructives
–compléments
LOMBARDIHenri,
QUITTÉClaude
24mai
2021[11:12]
Fichier:Ac-Erratachapitre:IV
4L’énoncécorrectdu
corollaire1.6
estlesuivant
1.6.Corolaire.Sur
unanneau
Aon
considèrele
polynômegénérique
f=Tn
+f1 T
n−1+
f2 Tn−
2+···+
fn,
oùles
fi sont
desindéterm
inées.Onaun
homom
orphismeinjectif
j:A
[f1 ,...,fn ]→
A[X
1 ,...,Xn ]telque
les(−
1)kj(f
k )sont
lespolynôm
essym
étriquesélém
entairesen
lesXi .
———————————
Théorèm
e6.7.
Ligne8de
ladém
onstration.Ilfautmettre
Làla
placede
M.
———————————
Page
118ligne
−9,ilfautlire
:...pourchaque
j∈J1..nK,
gXNj∈a...
Chapitre
IVModules
deprésentation
finie
Page
215ligne
10Dansla
formule
centréec’est
K[z1 ,...,z
n ]etnon
pasA
[z1 ,...,zn ]
———————————
Ausujet
del’exercice
8.Àlafin
del’exercice,onnotequesurun
anneaudeSm
ithA,la
réduitedeSmith
d’unematrice
Aestunique
ausenssuivant:les
éléments
bi sur
ladiagonale
principalede
laréduite
engendrentdesidéaux
〈bi 〉
quinedépendentque
dela
matrice
A(à
équivalenceprès).
Ceciesttoutàfaitcorrect,m
aisensuiteily
aécritun
non-sens:〈〈Ces
idéauxprincipaux
sontappelés
lesfacteurs
invariantsdu
module
A.〉〉
Eneffet,
A∈Mm,n (A
)n’estpasunmodule,m
aisunematrice.
Voiciunereform
ulationcorrecte
descommentairessituéesà
lafin
del’exercice.
Cecidonne
unjolithéorèm
ede
structurepour
lesmodules
deprésentation
finie,entenant
compte
pourl’unicité
duthéorèm
e5.1.N
otezaussique
cethéorèm
eim
pliquel’unicité
dela
réduitede
Smith
d’unematrice
A(en
considérantle
module
conoyau)au
senssuivant
:en
notantbiles
coef-ficients
diagonauxde
laréduite,les
idéauxprincipaux
〈b1 〉⊇···⊇
〈bq 〉
avecq
=inf(m
,n)sont
desinvariants
dela
matrice
Aàéquivalence
près.En
termes
demodules,ces
idéauxprincipaux
caractérisent,àun
automor-
phismeprès
deAm,le
morphism
ed’inclusion
P=
Im(A
)→Am.
Une
base(e1 ,...,e
m)de
Am
telleque
P=b1 A
e1+···+
bm
Aem
est
-
Algè
bre
comm
utat
ive
Méth
odes
cons
truc
tive
s–
comp
léme
nts
LOMB
ARDI
Henr
i,QU
ITTÉ
Clau
de24
mai
2021
[11:
12]
Fich
ier:
Ac-B
ibli
och
apit
re:A
Algè
bre
comm
utat
ive
Méth
odes
cons
truc
tive
s–
comp
léme
nts
LOMB
ARDI
Henr
i,QU
ITTÉ
Clau
de24
mai
2021
[11:
12]
Fich
ier:
Ac-E
rrat
ach
apit
re:V
I
Errata
duchap
itreV
5
appe
léeun
eba
sede
Am
adap
téeau
sous-m
oduleP.
Posons
b r=
0sim>r>n,on
a〈b
1〉⊇···⊇〈br〉.
Lesidéaux
prin-
cipau
x6=〈1〉d
ecette
liste
sont
lesfacteu
rsinvaria
ntsd
umod
uled
eprésenta-
tionfin
ieM
=C
oker
(A).Le
théorème5
.1no
usditq
uecettelist
ecaractéris
ela
structuredu
mod
uleM
.Noton
sen
finqu
elesan
neau
xde
Smith
sont
stab
lespa
rprod
uitfin
i,locali-
satio
n,pa
ssageau
quotient.
Cha
pitreV
Mod
ules
projectifs
detype
fini(1)
Ilestp
luss
impled’énon
cerlelem
medeslocalisatio
nssuccessiv
es7.2comme
suit.
7.2.
Fait.(
Lemmede
slocalisations
successiv
es,1
)Sis 1,.
..,s
nsont
desélém
ents
comax
imau
xde
Aet
sipo
urchaq
uei,on
ade
sélém
entss i,1,...,s i,ki,comax
imau
xda
nsA
[1/s i
],alorsless is i,jsont
comax
imau
xda
nsA.
—————————————
Lepo
int
1dans
lelem
me7.7estlaiss
éau
lecteur,m
aisilvaut
bien
mieu
xdo
nner
l’argum
ents
uivant.
1.Ilsuffitde
mon
trer
quepo
urun
a∈barbitraire
onaun
idéald
etype
finic
telq
uebc
=〈a〉.
Cecie
stdo
nnépa
rle
point1e
dela
prop
osition
7.4
lorsqu
eM
=b.
—————————————
Danslepo
int3
duthéorème8.1,
l’end
omorph
ismeψ̃
estd
écrit
commesila
〈〈matric
e〉〉était
diagon
ale,a
lorsq
u’aprior
ielle
ests
eulem
entt
riang
ulair
e:le
point3
doitêtre
réécrit
endisant
qu’ondo
nneles
deux
blocsd
iagon
aux.
—————————————
Laprem
ièreph
rase
del’exercice
18do
itêtre
écritecommesuit:
Onconsidèrele
mod
ulequ
asilibreM
=⊕
k∈J
1..n
K(r k
A)k,o
ùlesr k
sont
desidem
potentsorthogon
aux.
Cha
pitreVI
Algèb
resde
type
fini
Section1.
lemme1.10
.
-
Algèbrecommutative
Méthodesconstructives
–compléments
LOMBARDIHenri,
QUITTÉClaude
24mai
2021[11:12]
Fichier:Ac-Bibliochapitre:A
Bibliographie
[Díaz,Lom
bardi&Quitté]
Díaz-T
ocaG
.,L
ombardi
H.,
Quitté
C.
Modules
surles
anneauxcom
mutatifs.C
alvage&Mounet,(2014).
75,185
[MRR]
Mines
R.,R
ichman
F.,R
uitenburgW
.ACourse
inConstruc-
tiveAlgebra.U
niversitext.Springer-Verlag,(1988).[G
rätzer]G
rätzerG
.LatticeTheory
:foundation.Birkhäuser/Springer
BaselAG,Basel,(2011).
140[1]
Cederquist
J.,Coquand
T.Entailm
entrelationsand
Distributive
Lattices.LogicColloquium
’98(Prague),127–139,Lect.N
otesLog.,
13.Assoc.Sym
bol.Logic,Urbana,(2000).
141[2]
Ducos
L.Polynôm
esàvaleurs
entières:un
anneaude
Prüferde
dimension
2.Com
munications
inAlgebra.43
(2015),1146–1155.144
[3]Lom
bardiH.U
nanneau
dePrüfer.T
hirdInternationalM
eetingon
Integer-ValuedPolynom
ials.Actesdes
rencontresdu
CIRM,2
(2010).http://acirm.cedram.org/cgi-bin/browse
144[4]
Nicholson
W.,Lifting
idempotentsand
exchangerings.Trans.A
mer.
Math.Soc.229
(1977),269–278.116
–215
–
Algèbrecommutative
Méthodesconstructives
–compléments
LOMBARDIHenri,
QUITTÉClaude
24mai
2021[11:12]
Fichier:Ac-Erratachapitre:VI
6Ladém
onstrationdu
lemme1.10
estunpeu
elliptique.Voiciunedémonstration
plusdétaillée
1.10.Lemme.U
ncorps
Kest
séparablement
factorielsi,etseulem
entsi,
onaun
testpourl’existence
d’unzéro
dansKpour
unpolynôm
eséparable
arbitrairede
K[T
].J
Ladeuxièm
econdition
estapriori
plusfaible
puisqu’ellerevient
àdéterm
inerles
facteursde
degré1pour
unpolynôm
eséparable
deK
[X].
Supposonscette
conditionvérifiée.La
preuveest
àpeu
prèsla
mêm
eque
pourlelem
meIII-8.14,m
aisdemande
quelquesdétailssupplémentaires.O
nnote
f(T)=
Tn+∑n−
1j=
0aj Y
j,onfixeun
entierk∈
J2..n−
2Ketl’oncherche
lespolynôm
esg
=Tk
+∑k−
1j=
0bj T
jquidivisent
f.Onva
montrer
qu’iln’y
aqu’un
nombre
finidepossibilités,explicites,pour
chacundes
bj .La
démonstration
duthéorèm
ede
Kronecker
utilisedes
polynômes
universelsQn,k,r (a
0 ,...,an−
1 ,X)∈
Z[a,X
],unitairesenX,telsque
Qn,k,r (a
,br )=
0.Ces
polynômes
peuventêtre
calculésdans
l’algèbrede
décomposition
uni-verselle
A=
Adu
K,f
commesuit.O
npose
G(T
)=∏ki=
1 (T−xi )=
Tk
+∑k−
1j=
0gj T
j.
Onconsidère
l’orbite(gr,1 ,...,g
r,` )degrsousl’action
deSn ,etl’on
obtient
Qn,k,r (a
,X)=
∏`i=
1 (X−gr,i ).
Onen
déduitque
∏σ∈
Sn (W
−σ(g
r ) )=Qn!/
`n,k,r .
Donc,d’aprèslelem
meIII-5.12,C
A/k (z)(X
)=Qn!/
`n,k,r (X
).Enfin,commeA
estétalesurK
(corollaire1.8),le
polynômecaractéristique
degrannule
unproduit
depolynôm
esséparables
deK
[T]d’après
lethéorèm
e1.4
4.Ainsi,
brdoit
êtrecherché
parmiles
zérosd’un
nombre
finidepolynôm
esséparables
:ilyaun
nombre
finidepossibilités,toutes
explicites.�
—————————————
Section6.
Point
4du
lemme6.16.
Remplacer
〈〈deuxàdeux
orthogonaux〉〉par
〈〈égauxou
orthogonaux〉〉
—————————————
Section7.page
353.Danslepoint1
deladém
onstrationdu
théorème7.13,à
laligne5,m
ettreA′G
aulieu
deA′H
(d’ailleursH
n’intervientquedansle
point2).—————————————
Problèm
e4point
7page
367,Ilfautrajouterquekestsupposé
nontrivial.
Dansle
corrigédu
point7bilfautexpliquerque
Bn’estpaslibre
surA,car
sinon,E
seraitstablementlibre
derang
1donc
libre.
-
Algè
bre
comm
utat
ive
Méth
odes
cons
truc
tive
s–
comp
léme
nts
LOMB
ARDI
Henr
i,QU
ITTÉ
Clau
de24
mai
2021
[11:
12]
Fich
ier:
Ac-c
omm1
6ch
apit
re:A
214
Com
mmentaire
sdu
chap
itreXVI
C’est
seulem
entau
mom
entdu
recolle
mentàla
Vaserstein
quel’o
nutilisera
lesélém
ents
dans
Amaisho
rsde
Lqu
iont
servià
prod
uire
les
localisations
comax
imales.
Noton
squ
ele
lemmeXIII-5.3(dim
ensio
nde
Krullfin
iepo
urun
anne
aude
type
fini)
peut
être
remplacépa
run
résulta
tplus
fort,le
théorèmeXIII-8.20
parexem
ple(dim
ensio
nde
Krullfin
iepo
urun
surann
eauda
nssoncorpsde
fractiond’un
anne
auintègrede
type
fini),
sicela
nous
rend
leschoses
plus
facilesàcompren
dre.
Dan
sla
démon
stratio
ndu
lemmeXVI-6.7je
pensequ
el’o
npe
utbien
compren
drece
quis
epa
sseet
voir
quele
recoursau
lemmeXIII-5.3est
vraimentsuffisant,a
vecde
sargu
ments
dumêm
etype
queceux
ci-dessus.
Sign
alon
squ
ele
mêm
eprob
lèmese
pose
pour
lepa
ssag
edu
locala
uglob
alda
nsLe
quain-Simis.
————————————–
Am
élio
ratio
nà
laB
rewe
r&
Cost
apo
urLe
quai
nSi
mis
Aprèslethéorème6.9.
Très
incerta
in...
Ilserait
questio
nde
démon
trer
dans
lecasintègrequ
esi
laclôture
intégralede
Aestun
domaine
dePr
üfer,a
lors
lesmod
ules
projectifsde
type
finis
urA
[X1,...,Xr]s
onttous
éten
dusde
puis
Asi,
etseulem
ent
si,A
estseminormal.
Dan
sle
théorèmede
Brew
er&Costa
prop
rementdit,
Ado
iten
plus
vérifi
erun
ehy
pothèsemystérie
usedifficile
àdé
cryp
ter.
————————————–
Lese
xercice
s1et
2semblente
nrapp
orta
vecQuillen-Su
slin.
Cela
mérite
sans
douteun
eexplica
tion
————————————–
Prob
lèmes
deréférences
biblio.
Lesréférenc
esVa
serstein
pour
lepe
titthéorèmede
Horrockslocal
XVI-5.14
oule
glob
alXVI-5.15
sont-elle
sbien
dans
labiblio?en
tout
cas
ilyalesréférenc
es[178]c
iteV
aser
stei
n1et
[180]c
iteV
aser
stei
n3ne
sont
citées
nulle
part
Algè
bre
comm
utat
ive
Méth
odes
cons
truc
tive
s–
comp
léme
nts
LOMB
ARDI
Henr
i,QU
ITTÉ
Clau
de24
mai
2021
[11:
12]
Fich
ier:
Ac-E
rrat
ach
apit
re:V
III
Errata
duchap
itreVII
7
Lafin
dela
démon
stratio
ndu
point8
doitêtre
rédigéecommesuitpo
urêtre
complètem
entc
onstructive
.À
l’end
roitoù
x=uaetu∈
B×,o
nraiso
nnecommesuit.
Puisq
ueuestu
nélém
entinversible
deB,s
avaleur
absolueestminorée
parun
élém
ent>
0,etuestde
signe
stric
tconstant.C
ommexestim
paire
etapa
ire,a
etx
sont
identiq
uementnu
lles:c
ontrad
ictio
n.
Cha
pitreVII
Lamétho
dedy
namique
Leth
éorè
me
1.5
bisde
l’exercice
3do
itêtre
mod
ifié.
–remplacer
lepo
int2
par:
K0∩f
=0et
A0estun
K0-mod
ulequ
asilibre
fidèle.
–àla
ligne−
4,supp
rimer〈〈
A=〉〉devant〈〈⊕
n r=
0Kr[Y
1,...,Yr]〉〉.
Plus
deprécision
àce
sujet
dans
lescomplém
ents.U
nesolutio
nde
l’exercice
estd
onnéedans
lescomplém
ents.
—————————–
Dansles
algorithm
es3.11
et6.5ilfaut
échang
erG/SetG/S
,par
contre
ladémon
stratio
nestinchang
ée.
Cha
pitreVIII
Mod
ules
plats
Untypo
dans
ladémon
stratio
nde
laprop
osition
4.2,
ilfaut
mettre
G
x
1 . . . x n
=[x
1x
2
]au
lieudeG
x
1 . . . x n
=
x
1 . . . x n
—————————————
Ilyaun
troudans
ladémon
stratio
nde
laprop
osition
4.7.
Nous
nesavons
pas
sil’éno
ncéestc
orrect.N
ousr
ajou
tons
l’hyp
othèse
quel’ann
eauarith
métique
considéréestc
ohérente
tnou
sdon
nons
unedémon
stratio
ncorre
cte
4.7.
Propo
sition
.(Idéaux
déterm
inan
tiels
surun
anne
auarith
métique
)So
itA
unan
neau
arith
métique
cohé
rent,M
unematric
e∈
An×m.O
nno
te
-
Algèbrecommutative
Méthodesconstructives
–compléments
LOMBARDIHenri,
QUITTÉClaude
24mai
2021[11:12]
Fichier:Ac-comm16chapitre:A
Chapitre
XVI
Modules
projectifsétendus
Com
mentaires
————————————–
Inductionde
Quillen
concrète,caslibre
théorèmeXVI-5.4.
1)ilsemble
quecela
fonctionneaussiavec
quasilibreàla
placede
libre,caron
doitavoir
B(A〈X〉)=
B(A).
2)Cela
seraitintéressant
devoir
sil’onest
capablede
fairefonctionner
constructivement
cetteinduction
deQuillen
concrètepour
laclasse
descorps
nonnécessairem
entdiscrets.Le
(q0)sem
bleclair,le
(q1)nettem
entmoins.C
’estle
bonmom
entpour
remarquer
queR
estsem
inormal.
————————————–
Aprèslarem
arquequisuitla
démonstration
duthéorèm
e6.9
(Lequain-Simis-Vasconcelos,univarié)
Larem
arque2)
ci-dessusproduit
uncertain
malde
tête.Onse
demande
sic’est
vraiment
possiblede
traiterlocalem
entun
anneaude
Prüfercom
me
unanneau
devaluation
quandilest
questionde
bornerapriorila
dimension
deKrullà
lasim
plevue
desdonnées
duproblèm
e.Dans
lecas
del’anneau
devaluation
onse
restreintàun
sous-anneaude
valuationengendré
parun
nombre
finid’éléments
cequiim
pliqueque
ladim
ensionde
Krullest
contrôléeune
foispour
toutes.Dans
lecas
d’unanneau
arithmétique
leslocalisations
comaxim
alesse
fontau
prixd’utiliser
desnouveaux
éléments
quiproviennentde
matrices
delocalisation
principaleet
doncle
premier
réflexeserait
plutôtde
direque
l’onne
contrôleplus
ladim
ensionde
Krull.
Enfaitlorsque
l’anneauestintègre,on
voitassezbien
cequiva
seproduire.
Onale
corpsL
engendrépar
lescoefficients
descoefficients
d’unematrice
deprésentation
dumodule.C
ecorps
estde
degréde
transcendancefini,
donctous
sesanneaux
devaluation
ontune
dimension
deKrullbornée
unefois
pourtoutes.
Certes,les
localisationscom
aximales
utilisentdes
éléments
endehors
deL.
Maislescalculsquitransform
entunematrice
H(X
)(commedansle
lemme
XVI-1.1)
enla
matrice
H(0)
ontlieu
àchaque
foisdans
L(avec
unsous-anneau
devaluation
génériquede
L).Onpeut
doncbien
suivrepas
àpas
ladém
onstrationdu
cas〈〈anneau
devaluation
dedim
ensionde
Krull
finie〉〉.
Algèbrecommutative
Méthodesconstructives
–compléments
LOMBARDIHenri,
QUITTÉClaude
24mai
2021[11:12]
Fichier:Ac-Erratachapitre:IX
8dk
=D
A,k (M
)ses
idéauxdéterm
inantiels1.O
nnote
bk
=(dk
:dk−
1 )pour
toutk,puis
c1=
b1
=d
1et
ck
=b
1 ∩···∩
bkpour
k>
2.Cesont
tousles
idéauxde
typefinietl’on
ack dk−
1=
dkpourtout
k.Enconséquence
sidesidéaux
detype
finia
1 ,...,apvérifient
ak ck−
1=
ck(on
saitqu’ilen
existe),on
obtientd
1=
a1 ,
d2
=d
1 a1 a
2 ,d
3=
d2 a
1 a2 a
3 ,...
JOnabi =
di =〈1〉pour
i60.La
suitedesidéaux(ck )k>
1 estdécroissantepar
définition.Onaégalem
entl’égalité
bk dk−
1=
dkparce
quel’anneau
estarithm
étiquecohérent.
L’objetde
laproposition
estl’égalité
ck dk−
1=
dk
.Cetteégalité
estclaire
pourk6
1.SiA
estun
anneauarithm
étiquelocalla
matrice
admet
uneform
eréduite
deSm
ith(proposition
IV-7.2).N
otonsp
=inf(m
,n)L’algorithm
equiproduit
laform
eréduite
deSm
ithdans
lecas
localetla
machinerie
locale-globaledes
anneauxarithm
étiquesprécédente
nousfournissent
unsystèm
ed’élém
entscom
aximaux
(s1 ,...,sr )
telque,
surchaque
anneauA
[1/si ],la
matrice
Madm
etune
formeréduite
deSm
ithavec
lasous-m
atricediagonale
Diag(c1 ,c2 ,...,c
p )etc1|c2|...|
cp .En
outre,pourk>
1,dk
=〈c1 ···c
k 〉.Il
suffitde
prouverl’égalité
encadréeaprès
localisationen
cesélém
entscom
aximaux.Le
faitque
bk dk−
1=
dkim
pliqueck dk−
1 ⊆dk .
Ilfautmontrer
l’inclusionréciproque.Plus
précisément,m
ontronspour
toutk>
1que
ck∈
ck ,ce
quiimplique
ck dk−
1⊇
dk .O
nack dk−
1=
dk ,
doncck ∈
bk .Par
ailleursckest
multiple
desci ∈
bi pour
i6k−
1,doncck ∈
b1 ∩···∩
bk−
1 .Onadonc
bienck ∈
ck
�
Rem
arque.SiAestun
domaine
dePrüfer(un
anneauarithm
étiqueintègre),
onpeut
voirque
lasuite
desidéaux
bkest
décroissantejusqu’à
ceque
dr
s’annule.Sil’onprend
pourA
unproduit
dedom
ainesde
Prüfer,onpeut
constaterqu’ilestengénéralfaux
quelasuitedesidéaux
bksoitdécroissante.
—————————————
Untypo
dansl’énoncédu
théorème6.8
ilfautlire:
Onnote
D=ρ? (C
)la
C-algèbre
fidèlement
plateobtenue
parextension
desscalaires.
Chapitre
IX1.
Onpeut
selim
iterà
k∈
J0..p
+1K
avecp
=inf(m
,n).
-
Algè
bre
comm
utat
ive
Méth
odes
cons
truc
tive
s–
comp
léme
nts
LOMB
ARDI
Henr
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2021
[11:
12]
Fich
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Ac-c
omm1
6ch
apit
re:A
Algè
bre
comm
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Méth
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cons
truc
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comp
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nts
LOMB
ARDI
Henr
i,QU
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2021
[11:
12]
Fich
ier:
Ac-E
rrat
ach
apit
re:X
I
Errata
duchap
itreIX
9
Ann
eaux
locaux
,oupresqu
e
Ladeuxièm
epartiedu
point1
dulem
medu
nombrede
générateurslocal
2.4
n’estpasbien
form
ulée
:ilfautsupp
oser
icile
mod
uleM
deprésentatio
nfin
ie,ou
alorsd
anslaconclusio
n,mettre
queM
estlequ
otien
td’unmod
ule
deprésentatio
nfin
iequ
iadm
etun
ematric
ede
présentatio
ndo
nttous
lescoefficien
tssont
dans
l’idéal
maxim
alR
adA.
Onauraitpare
xempledû
écrirela
chosesuiva
nte.
2.4.
Lemmedu
nombrede
géné
rateurslocal.
SoitM
unA-m
odulede
type
fini.
1.Su
pposon
sA
local.
a.Le
moduleM
este
ngen
dréparkélé
men
tssi,
etseulem
ents
i,son
idéald
eFittingF k
(M)esté
galà
A.
b.Si
enou
tre
Aestrésidu
ellementdiscretetM
deprésentatio
nfin
ie,lemodulead
met
unematrice
deprésen
tatio
ndo
nttous
les
coefficientssont
dans
l’idéal
maxim
alR
adA.
2.En
généralles
propriétés
suivan
tessont
équivalentes.
a.F k
(M)esté
galà
A.
b.Ilexist
edesélé
men
tscomaxim
auxs j
telsqueap
rèsextensiondes
scalairesàchacun
des
A[1/sj],M
este
ngendréparkélém
ents.
c.Ilexiste
desmon
oïdescomaxim
auxSjtelsquechacun
desMSj
este
ngendréparkélém
ents.
d*.Ap
rèslocalisa
tionen
n’im
portequelidéalp
remier,M
este
ngen
dré
parkélém
ents.
e*.Ap
rèsloc
alisa
tionen
n’im
portequel
idéalm
axim
al,M
este
ngen
-dréparkélém
ents.
Notons
quela
démon
stratio
nresteinchangée.
Cha
pitreXI
Treillisdistribu
tifs,g
roup
esréticulés
Introd
uction
,page602,
ligne
5du
paragraphe
3Intervertir〈〈pg
cd〉〉et〈〈pp
cm〉〉.
—————————————
Section5.
Démon
stratio
ndu
théorème5.3.
-
Algèbrecommutative
Méthodesconstructives
–compléments
LOMBARDIHenri,
QUITTÉClaude
24mai
2021[11:12]
Fichier:Ac-comm15chapitre:A
Chapitre
XV
Leprincipe
local-global
Com
mentaires
————————————–
Principelocal-globalpour
lesalgèbres,localisation
enbas
Lecas
desalgèbres
deFrobenius
semble
mystérieux.
Pourles
algèbresgaloisiennes
onadéjà
énoncéle
principedans
lasection
VI-7,m
aiscela
seraitpeut
êtremieux
detout
regrouperici.U
neidée
dedém
onstrationpourrait
enoutre
êtredonnée
ici.Ilsem
bleaussique
lecas
desalgèbres
formellem
entnettes
estproblém
atique,parmanque
definitude.
Algèbrecommutative
Méthodesconstructives
–compléments
LOMBARDIHenri,
QUITTÉClaude
24mai
2021[11:12]
Fichier:Ac-Erratachapitre:XII
10Remplacer
〈〈(intuitivement
Xreprésente
∨i∈J1
..nK ∧Ai )〉〉
par〈〈(intuitivem
entX
représente∧i∈J1
..nK ∨Ai )〉〉.
Surlaprem
ièreligne
de(25),perm
uter0et1.
—————————————
Danslarem
arque1)page
644.A′i estune
partiedeE
etnonde
B.
—————————————
Modification
dela
question2dansl’exercice
quisuit.
Exercice
6.(L’astucede
Kronecker)
Soitdun
entierfixé>
2.1.Soit
A[X
]<d⊂
A[X
]=A
[X1 ,...,X
n ]lesous-A
-module
constituédes
poly-nôm
esP
telsque
degXiP<dpour
touti∈
J1..nK,et
A[T
]<dn⊂
A[T
]celuiform
épar
lespolynôm
esf∈
A[T
]dedegré
<dn.
Montrer
queϕ
:P
(X1 ,...,X
n )7→P
(T,T
d,...,Tdn−
1)induit
unisom
orphisme
deA-m
odulesentre
lesA-m
odulesA
[X]<det
A[T
]<dn.
2.Onsuppose
A[X
]factoriel.SoitP∈
A[X
]<detf
=ϕ(P
)∈A
[T]dn .M
ontrerque
toutefactorisation
deP
dansA
[X]peut
êtreretrouvée
parune
procédurefinie
àpartir
decelles
deϕ(P
)dans
A[T
].
Solution
Exercice
6.1.Soit
Xα
=Xα
11···X
αn
n∈
A[X
]<d ,alors
:ϕ(X
α)=Ta
aveca
=α
1 +α
2 d+···+
αndn−
1.
Onvoit
ainsiquea<dn.La
numération
enbase
dprouve
queϕ
transforme
laA-basedeA
[X]<dconstituéedes
Xαavec
αi<den
laA-base(1
,T,...,T
dn−
1)de
A[T
]<dn.
2.Rappelons
queA
[X] ×
=A×
=A
[X] ×.Icion
supposeA
[X]factoriel.
SiP
=QR∈
A[X
]<dalors
QetR∈
A[X
]<d ,et
ϕ(Q)etϕ(R
)∈A
[T]<dn.
Com
meϕ(Q
R)=
ϕ(Q)ϕ(R
),etque
f=ϕ(P
)n’a
qu’unnom
brefinide
facteurs(dans
A[X
] ∗/A×),ilsuffi
tde
testerpour
chaquefacteur
g(T)de
f(T)siϕ−
1(g)est
unfacteur
deP.C
eciestpossible
carA
estsupposé
àdivisibilité
explicite.
Chapitre
XII
Anneaux
dePrüfer
etde
Dedekind
Dansladeuxièm
epartie
dulem
me1.9,ilm
anquel’hypothèse
〈〈Aestintégrale-
mentclosdans
FracA〉〉(ce
quiestlecassiA
estnormal).
Onréécriticile
lemmesousune
formepluscom
plète,etl’ondonne
ladém
ons-tration.
Pouraet
bdans
IfrA,on
notea÷
b={x∈
FracA|x
b⊆
a}.
-
Algè
bre
comm
utat
ive
Méth
odes
cons
truc
tive
s–
comp
léme
nts
LOMB
ARDI
Henr
i,QU
ITTÉ
Clau
de24
mai
2021
[11:
12]
Fich
ier:
Ac-c
omm1
5ch
apit
re:A
Algè
bre
comm
utat
ive
Méth
odes
cons
truc
tive
s–
comp
léme
nts
LOMB
ARDI
Henr
i,QU
ITTÉ
Clau
de24
mai
2021
[11:
12]
Fich
ier:
Ac-E
rrat
ach
apit
re:X
II
Errata
duchap
itreXII
11
1.9.
Lemme.
Soit
Aun
anne
aucohé
rent.
1.Ifr
Aestun
treillispo
urla
relatio
nd’inclusion,
lesupestdo
nnépa
rla
sommeet
leinfp
arl’intersection.
2.Ifr
Aestun
treillisdistrib
utifsi,
etseulem
entsi,
l’ann
eauestarith
-métique
.
3.Ausujetde
sélém
ents
inversiblesde
IfrA.
a.Si
aa′
=A
dans
IfrA,o
naa′ c
=c÷
aet
a(c÷
a)
=cpo
urtout
c∈
IfrA.E
npa
rticulier
A÷
aestl’inv
erse
dea.
b.Unidéalfractionn
aire
a a(oùaestun
idéald
etype
finid
eA)est
inversible
dans
IfrA
si,et
seulem
entsi,
aestun
idéalinv
ersib
le.
c.Si
a(A÷
a)=
A,a
estinversible
dans
IfrA.
Soien
ta,b∈
IfrA
avecb∈b∩
Reg
A.O
nsupp
osequ
eA
estintégralem
ent
clos
dans
Frac
A.
4.Onaa÷
b∈
IfrA.
5.Si
enou
trea⊆
b⊆
A,a
lors
onaa÷
b=
a:b
.J
Tout
élém
entde
IfrA
s’écrit
sous
laform
ea apo
urun
idéalde
type
finia
deA
etun
a∈
Reg
A.E
nou
tre
a ab b
=abab.E
nfinl’é
lémentne
utre
dumon
oïde
est
A=〈1〉.Cecim
ontrelespo
ints
1,2et
3b.
3a.O
naaa′ c
=cdo
nca′ c⊆
c÷
aet
c=
aa′ c⊆
a(c÷a)=
c.Six∈c÷
a,i.e.x
a⊆
c,alorsx
A=xaa′⊆
a′ c,d
oncx∈a′ c.
3c.A
veca
=〈a
1,...,ak〉⊆
A,s
uppo
sons
quea(A÷a)=
A.
Ilexist
ex
1,...,xk∈
(A÷a)t
elsqu
e∑ixiai
=1etxiaj∈apo
urtousi,j.
Onpe
utécrir
elesxisous
laform
ebi cavec
unmêm
edé
nominateurc.
On
obtie
nt∑iaibi
=cetaibj∈〈c〉p
ourtousi,j.
Ainsi
enpo
sant
b=〈b
1,...,b k〉o
nob
tient
ab
=〈c〉.
5.L’inclusiona
:b⊆
a÷
bestim
méd
iate.R
éciproqu
ement,
siun
x∈
Kvérifi
exb⊆
a,n
ousde
vons
mon
trer
quex∈
A.
Com
me
Aestintégralem
entclos
dans
Frac
A,o
nap
plique
lepo
int3du
faitIII-8.2,
avecM
=bet
B=
Frac
A,c
arxb⊆
a⊆
b.
4.Résulte
dupo
int5
caro
nse
ramèn
eau
cast
raité
dans
lepo
int5
,etd
ans
unan
neau
cohé
rent,letran
sporteur
a:b
estde
type
finis
iaet
ble
sont.�
—————
——————–
Dans
lefait2.4,
larécip
roqu
enécessite
unehypo
thèsesupp
lémentaire
.
-
Algèbrecommutative
Méthodesconstructives
–compléments
LOMBARDIHenri,
QUITTÉClaude
24mai
2021[11:12]
Fichier:Ac-comm14chapitre:A
Chapitre
XIV
Nom
brede
générateursd’un
module
Com
mentaires
————————————–
Théorèm
eX
IV-3.11
Théorèmede
simplification
deBass,pourla
Gdim.
Onne
pourrasans
doutepas
affaiblirl’hypothèse
aucas
oùM
estisom
orpheàl’im
aged’une
matrice
Fde
rang>k
——————————————————
Exercices
suggérésExercice
9.(Dim
ensionde
Heitm
anndes
anneauxgéom
étriques)SiA
estune
algèbrede
présentationfinie
surun
corpsdiscret,alors
Hdim(A
)=Kdim
(A).Il
enva
demêm
epour
toutelocalisée
S−
1Ade
A.
Exercice
10.(Com
paraisonde
JdimetHdim
)Pour
unanneau
arbitraire,montrer
queHdim
A6
JdimA6
KdimA.
Exercice
11.(Com
paraisonde
jdim,Jdim
etHdim)Pour
unanneau
noethérien,montrer
enmathém
atiquesclassiques
queHdim
A=
JdimA
etjspecA
=JspecA
(doncjdim
A=
JdimA).
————————————–
Incertain.Àmettre
sionala
solution.
Exercice
12.SoitD
:A→
Tun
supportn-stable.
1.Siϕ
:T→
T′estun
homom
orphismede
treillisdistributifs,alors
ϕ◦D
estn-stable.2.Si
bestun
idéaldeB,si
πb
:B→
B/b'
Aestl’hom
omorphism
ecanonique,
alorsD◦πbest
n-stable.
Solutionsrestent
àécrire
Algèbrecommutative
Méthodesconstructives
–compléments
LOMBARDIHenri,
QUITTÉClaude
24mai
2021[11:12]
Fichier:Ac-Erratachapitre:XII
122.4.Fait.Soientxun
élément
etaun
idéaldeA.Pour
lespropriétés
quisuivent
ona2⇒
1,et1⇒
2si
aest
fidèleet
detype
fini.1.
L’élément
xest
entiersur
l’idéala.
2.Ilexiste
unA-m
odulefidèle
Mde
typefinitelque
xM⊆
aM
.J
(Com
pareràla
démonstration
dufait
III-8.2.)2⇒
1.Onconsidère
unematrice
Aàcoefficientsdans
aquireprésente
µM,x
(lamultiplication
parxdans
M)sur
unsystèm
egénérateur
finide
M.
Sifest
lepolynôm
ecaractéristique
deA,on
apar
lethéorèm
ede
Cayley-
Ham
ilton0
=f(µ
M,x )=
µM,f(x) ,et
puisquele
module
estfidèle,
f(x)=0.
1⇒
2.Sil’onaune
relationde
dépendanceintégrale
dedegré
kde
xsur
aon
prendM
=(a
+〈x〉)
k−1.
�
———————————–
Dansleprincipe
local-global2.10le
point2est:
L’idéalaest
intégralement
closdans
Asi,et
seulement
si,...———————————–
Lepoint3
dansl’hypothèsedu
lemme3.4
doitêtrerenforcé
commesuit
3.Dk ([B
|C
])=Dk (B
)etD
k+1 ([B
|C
])=Dk+
1 (B).
———————————–
Lafin
dela
démonstration
duthéorèm
e3.5
aété
rectifiéecom
mesuit.
J...
Ilresteàvoirle
cas,plusdélicat,oùl’on
nesuppose
pasl’anneauB
intègre.Onaalors
fi =
hi−
1 −αhi pour
touti∈
J1..nK
(parconvention,
h−
1=
0ethn
=0).O
npose
βi =−βhi pour
i∈J0..n−
1K,etd’après
leprem
iercas
traité,onsait
calculerdes
matrices
delocalisation
principaleMi pour
lescouples
(fi ,β
i )∈A×
B:
∀i∈
J0..n−
1K{
Tr(Mi )=
1Mi ·t(−
βi ,f
i )=0
Or,(−
βi ,f
i )≡hi (β
,−α)m
odhi−
1 B2,sibien
que∀i∈
J0..n−
1Khi M
i ·t(β
,−α)≡
0m
odhi−
1 B2.
(1)Montrons
parrécurrence
qu’ilexistedes
éléments
ζ0 ,...,ζn−
1 ∈B
etdes
matrices
M̃0 ,...,M̃
n−1 ∈
M2 (B
)tels
que
∀i∈
J0..n−
1K
Tr(M̃i )=
1−ζ0 ···ζ
i
M̃i ·t(β
,−α)=
0ζi hi =
0Lerésultatestvraipour
i=0:on
prendM̃
0=M
0 ,etl’onobtient
ζ0 àpartir
del’équation
(1)carBestlocalem
entsansdiviseurdezéro.Pourpasserdu
rangiau
rangi+
1,onmultiplie
hi+
1 Mi+
1 ·t(β
,−α)≡
0m
odhi B
2par
ζi ,
-
Algè
bre
comm
utat
ive
Méth
odes
cons
truc
tive
s–
comp
léme
nts
LOMB
ARDI
Henr
i,QU
ITTÉ
Clau
de24
mai
2021
[11:
12]
Fich
ier:
Ac-c
omm1
4ch
apit
re:A
Algè
bre
comm
utat
ive
Méth
odes
cons
truc
tive
s–
comp
léme
nts
LOMB
ARDI
Henr
i,QU
ITTÉ
Clau
de24
mai
2021
[11:
12]
Fich
ier:
Ac-E
rrat
ach
apit
re:X
II
Errata
duchap
itreXII
13
cequ
idon
nehi+
1ζiM
i+1.t(β,−α
)=0
etafortiorihi+
1ζ0···ζiM
i+1.t(β,−α
)=0
dans
B.
Ilexist
edo
ncζ i
+1∈
Btelq
ue0
=(1−ζ i
+1)ζ 0···ζiM
i+1·t
(β,−α
)et
0=ζ i
+1hi+
1
Enpo
sant
M̃i+
1=M̃i
+(1−ζ i
+1)ζ 0···ζiM
i+1,
onvérifi
efacilementles
égalité
sTr
(M̃i+
1)=
1−ζ 0···ζi+
1etM̃i+
1·t
(β,−α
)=0.
L’hy
pothèsede
récu
rren
ceestdo
ncvérifi
éeau
rang
i+
1.En
fin,a
urang
n−
1,on
ahn−
1=f n
=1,
donc
ζ n−
1=ζ n−
1hn−
1=
0,si
bien
que
Tr(M̃
n−
1)=
1,et
lamatric
eM̃n−
1estun
ematric
ede
localisation
principa
lepo
urle
coup
le(α,β
).�
—————
——————–
Thé
orèm
e4.5.
Dansla
démon
stratio
n,basde
lapage
682et
haut
dela
page
683,
ilfaut
perm
uter
1et
2dans
lesdeux
alineas
corre
spon
dants.
———————————–
Dans
lepo
int3
duthéorème7.9ilfaut
rajouter〈〈cohé
rent〉〉dans
lespropri-
étés
del’ann
eau.
————————————
L’erratum
suiva
ntestd
ûàClair
eTê
teet
Lion
elDu
cos.
Ladémon
stration
duthéorème7
.12supp
osait
sans
ledire
queles
corpsr
ésiduels
sont
finis.
Pour
obteniru
nénon
céplus
générale
trectifi
erla
démon
stratio
n,no
usajou
tons
tout
d’ab
ordun
lemmeàla
finde
lasection5.
5.7.
Lemme.
(Rad
ical
deJa
cobson
d’un
anne
aude
dimen
sion6
1)So
itA
unan
neau
intègrede
dimen
sion6
1.
1.Po
urtoutano
nnu
ldan
sA
ona
Rad
(A)⊆
A√aA.
2.Po
urbde
type
finic
ontena
ntR
ad(A
),on
aR
ad(A
)=b( R
ad(A
):b) .
3.Si
Rad
(A)estun
idéalinv
ersib
le,A
estun
domaine
deBe
zout
JOnno
tea
=R
ad(A
).1.
Soitx∈a,A
/〈a〉e
stzéro-dim
ensio
nnel,
donc
ilexist
ey,z∈
Aetm∈N
tels
quexm
(1+xz)
=ay.Com
mex∈
Rad
(A),
ona
1+xz∈
A×,
donc
xm∈aA
etx∈
A√aA.
2.Si
a=
0c’e
stcla
ir,sin
onl’a
nneau
A/aestz
éro-dimen
sionn
elrédu
it,do
ncl’idé
alde
type
finib
estégal
àun
idéal〈e〉
mod
uloa,a
veceidem
potent
-
Algèbrecommutative
Méthodesconstructives
–compléments
LOMBARDIHenri,
QUITTÉClaude
24mai
2021[11:12]
Fichier:Ac-comm13chapitre:A
Chapitre
XIII
Dim
ensionde
Krull
Com
mentaires
————————————–
Àproposdesm
orphismeslying
over(fait9.2)Iln’estpasvraique
ϕ:A→
Bsoitlying
oversiBestentière
surAmais
avecϕnon
injectif.Eneffet,prenonsle
casoùB
estunquotientde
A,donc
entièresurA
.Sipestun
idéalpremierde
Astrictem
entcontenudans
Kerϕ
iln’estpasl’image
réciproqued’un
idéalpremierde
B.O
ubien
enterm
esconstructifs,sideux
idéauxde
typefinide
AsontcontenusdansK
erϕiln’y
aaucune
raisonpourque
leursradicauxsoientégaux,saufsiK
erϕ⊆
DA
(0).Ilseraitintéressantd’avoirune
caractérisationexacte
enterm
es“simples”
desmorphism
eslyingoverpourlesanneaux
commutatifs.
Ànilradicalprès,ce
sontdesinclusions,maisdesinclusionsd’un
typeparticulier.
Algèbrecommutative
Méthodesconstructives
–compléments
LOMBARDIHenri,
QUITTÉClaude
24mai
2021[11:12]
Fichier:Ac-Erratachapitre:XII
14moduloa.D
oncb
=b
+a
=a
+〈e〉,puis
(a:b)=
a+〈1−
e〉,etenfin
b(a:b)=
(a+〈e〉)(a
+〈1−
e〉)=a.
3.Soitc1
unidéalde
typefininon
nularbitraire.Ondéfinit
b1
=c1 +
a
etc2
=(c1
:b
1 ).D’après
lepoint
2,puisqueaest
inversible,b
1égalem
ent.Si
b1 b ′=
〈b〉(b
régulier),tousles
éléments
dec1 b ′sont
divisiblespar
b,on
considèrealors
d=
1b c1 b ′,donc
db1
=c1
etdest
detype
fini.Ona
clairement
d⊆
c2 .Réciproquem
entsixb
1⊆
c1alors
bx=xb
1 b ′⊆bd,
doncx∈d.En
brefc2
=det
l’onaétablil’égalité
b1 c2
=c1 ,avec
c2de
typefini.En
itérantle
processuson
obtientune
suitecroissante
d’idéauxde
typefini(c
k )k∈
Navec
ck+
1=
(ck
:bk )
etbk
=ck
+a.
Enfait
c2=(c1
:(c1 +a) )
=(c1
:a),puis
c3=
(c2:a)=
(c1:a
2)et
plusgénéralem
entck+
1=
(c1:ak).
Soita6=
0dans
c1 .Par
lepoint
1,a⊆√aA
.Oraest
detype
fini,donc
l’inclusiona⊆√aA
implique
quepour
uncertain
k,ak⊆aA⊆
c1 ,donc
ck+
1=〈1〉.
Lorsqueck+
1=〈1〉,on
ac1
=∏ki=
1bi ,quiest
inversiblecom
meproduit
d’idéauxinversibles.
Onamontré
quetoutidéalde
typefininon
nulestinversible,doncl’anneau
estun
domaine
dePrüfer,et
d’aprèsla
proposition5.3
c’estun
anneaude
Bezout.�
Voicilethéorèm
e7.12
rectifié.Onaajouté
commehypothèse
queles
corpsrésiduelsdesidéaux
maxim
auxcontenantle
discriminantsontparfaits.
7.12.Théorèm
e.(Uncalculde
clôtureintégrale)
SoitA
unanneau
deDedekind,K
=Frac(A
),L⊇
Kune
K-algèbre
étaleet
Bla
clôtureintégrale
deA
dansL.
Supposonsque
L=
K[X
]/〈f〉avecf∈
A[X
]unitaireet
discX
(f)∈R
egA(ce
quin’estpas
vraiment
restrictif).Si〈discX
(f)〉adm
etune
factorisationtotale,et
sipourchaque
idéalmaxim
alm
decette
factorisation,lecorps
résiduelA/m
estparfait,alors
Best
unA-m
oduleprojectifde
typefini.
JCom
me
Aest
quasiintègre,ilsuffitde
traiterle
casoù
Aest
intègre(m
achinerielocale-globale
élémentaire
desanneaux
quasiintègres),doncK
estun
corpsdiscret.L’hypothèse
L=
K[X
]/〈f〉avec
f∈
A[X
]unitaireet
discX
(f)∈
RegA
n’estpas
vraiment
restrictivecar
d’aprèsle
théo-rèm
eVI-1.9,L
estun
produitde
K-algèbres
étalesmonogènes.O
npeut
mêm
esupposer
queL
estun
corpsétale
surK
(machinerie
locale-globaleélém
entairedes
anneauxzéro-dim
ensionnelsréduits).
On
pose∆
=disc
X(f).
D’après
lepoint
5du
théorème4.10
onales
inclusionsA
[x]⊆B⊆
1∆A
[x].
-
Algè
bre
comm
utat
ive
Méth
odes
cons
truc
tive
s–
comp
léme
nts
LOMB
ARDI
Henr
i,QU
ITTÉ
Clau
de24
mai
2021
[11:
12]
Fich
ier:
Ac-c
omm1
3ch
apit
re:A
Algè
bre
comm
utat
ive
Méth
odes
cons
truc
tive
s–
comp
léme
nts
LOMB
ARDI
Henr
i,QU
ITTÉ
Clau
de24
mai
2021
[11:
12]
Fich
ier:
Ac-E
rrat
ach
apit
re:X
II
Errata
duchap
itreXII
15
Ainsi
Bestun
sous-m
oduledu
A-m
odulede
type
fini
1 ∆A
[x].D’après
lethéorème4.5,
siB
estde
type
fini,ilestprojectif
detype
fini.
Ona
A[x,
1 ∆]=
B[1 ∆
],do
ncB
estde
type
finia
près
localisationen
∆N.Il
resteàmon
trer
que
Bestde
type
finia
près
localisationen
S=
1+
∆A.
L’an
neau
ASestun
anne
aude
Bezou
t(thé
orèm
e6.1).S
ip1,
...,prsont
lesidéaux
max
imau
xqu
iintervienne
ntda
nsla
factorisa
tiontotale
de∆,les
mon
oïde
s1
+pisont
comax
imau
xda
nsAS,e
tilsuffitde
mon
trer
que
Bestde
type
finia
près
localisationen
chacun
des
1+pi.Onestainsir
amen
éau
castraité
dans
lelemme7.13
quis
uit.
�
Notez
qu’undo
maine
deDed
ekindlocalV
estau
ssib
ienun
domaine
devaluationno
ethé
rienfortem
entdiscret,
ouen
core
unan
neau
principa
llocal
avec
V×dé
tachab
le.Le
lemmed
eman
deen
outreq
ueleradicalsoitp
rincip
al,
cequ
iest
automatique
enmathé
matique
sclassiq
ues.
7.13.Le
mme.
Soit
Vun
domaine
deDed
ekindlocala
vec
Rad
V=pV
etde
corpsrésid
uelk
=V
/〈p〉p
arfait.
Soitf∈
V[X
]unitaire
irréd
uctib
le,
donc
∆=
discX
(f)∈
Reg
V.So
itK
=Fr
ac(V
),L
=K
[x]
=K
[X]/〈f〉,
etW
laclôtureintégralede
Vda
nsL.
Alors
Westde
type
finis
urV.
JPu
isque
kestpa
rfait,
d’ap
rèsle
lemmeVI-1.16,p
ourtout
polynô
me
unita
iref i
deV
[X]o
nsait
calculer
la〈〈pa
rtie
sans
carré〉〉de
f i(fivu
mod
ulop),i.e
.unpo
lynô
meg i
sépa
rableda
nsk[X
]qui
divisef i,e
tdo
ntun
epu
issan
ceestmultip
lede
f i.
Lastratégieestde
rajouter
desélém
entsxi∈
Wà
V[x
]jusqu
’aumom
ent
oùl’o
nob
tient
unan
neau
W′do
ntle
radicale
stun
idéalinv
ersib
le.Lo
rsqu
ececi
estréalisé
,nou
ssavo
nsd’ap
rèsle
lemme5.7qu
eW′estun
domaine
dePr
üfer,d
oncqu
’ilestintégralem
entclos,d
oncégal
àW
.Po
ur〈〈construire〉〉
W′(det
ypefi
nisurV
)onva
utiliserd
ansu
nerécu
rren
cele
fait
suivan
t,initialisé
avec
W1
=V
[x](x
1=x,r
1=
1).
Fait.
Soit
Wk
=V
[x1,...,xrk]⊆
W,a
lors
Rad
(Wk)=
〈 p,g
1(x
1),...,gk(xrk)〉,
oùg i
estlapartie
sans
carrédef i,f
ipolynô
meminim
alsurK
del’e
ntierx
i.Le
théorèmeIX
-1.8
nous
ditqu
eR
ad(W
k)
=D
Wk(p
Wk).
Cet
idéale
stl’imageréciproq
uede
DWk/p
Wk(0
)et
l’ona
Wk/p
Wk
=k[x
1,...,xrk].
Commeles
g i(xi)
sont
nilpotents
mod
uloppa
rcon
struction,
ilssont
dans
lenilra
dicalD
Wk(p
Wk).
Ilno
ussuffitmainten
antde
vérifi
erqu
ela
k-algèbre
k[x
1,...,xrk]/〈 g
1(x
1),...,grk(xrk)〉
estrédu
ite.E
nfait
Wkestun
sous-V
-mod
ulede
type
finid
e1 ∆
V[x
],do
ncestlib
refin
isur
V.E
nconséque
nce
Wk/p
Wkeststric
tementfin
iesur
k,et
elle
estétalepa
rcequ
’elle
esten
gend
réepa
rde
sélém
ents
quia
nnulent
despo
lynô
mes
sépa
rables
sur
k(thé
orèm
eVI-1.7).
�
-
Algèbrecommutative
Méthodesconstructives
–compléments
LOMBARDIHenri,
QUITTÉClaude
24mai
2021[11:12]
Fichier:Ac-comm12chapitre:A
Chapitre
XII
Anneaux
dePrüfer
etde
Dedekind
Com
mentaires
————————————–
Àproposdu
théorème4.10.
Ilsemble
quepourlespoints3
et4,l’hypothèsestrictem
entétalepourraitêtre
affaiblieen
strictementfinie,
1)ilyaquelque
chosede
cestyle
obtenugrâce
àla
théoriedesdiviseurs;
2)onne
saitpasfairesansla
théoriedesdiviseurs.
Algèbrecommutative
Méthodesconstructives
–compléments
LOMBARDIHenri,
QUITTÉClaude
24mai
2021[11:12]
Fichier:Ac-Erratachapitre:XII
16Ceciétantvu,puisque
West
undom
ainede
Prüfer,noussavons
inverserl’idéalde
typefiniR
ad(Wk )
dansW
.Cela
signifiecalculerdesélém
entsxrk +
1 ,...,xrk+
1de
Wetun
idéaldetype
finigkdans
lenouvelanneau
Wk+
1tels
quel’idéalproduit
gk R
ad(Wk )
soitprincipal(non
nul).Ilse
peutcependant
queles
générateursde
Rad(W
k )n’engendrent
pasl’idéalR
ad(Wk+
1 )de
Wk+
1 ,cequioblige
àitérer
leprocessus.
Lasuite
croissantedes
Wkest
unesuite
croissantede
V-m
odulesde
typefinicontenus
dans1∆ V
[x],doncelle
admet
deuxterm
esconsécutifs
égaux.Dans
cecas
onaatteint
lebut
prescrit.�
————————————
Lecom
mentaire
bibliographiquesur
lesanneaux
héréditaires,page722,est
incorrect(ilestindiquéqu’un
anneauhéréditaire
estnoethérien),etdoitêtremodifié
commesuit.
Unanneau
héréditaireest
unanneau
danslequeltout
idéalestprojectif.
Cette
notionest
maldéfinie
enmathém
atiquesconstructives
àcause
dela
quantificationnon
légitime〈〈tout
idéal 〉〉.Onpeut
citerun
exemple
d’untel
anneaunon
noethérien,quiestle
sousanneau
d’unproduit
dénombrable
decorps
F2 ,form
éparlessuitesquisontou
bienpresque
partoutnulles,oubien
presquepartout
égalesà
1.Le
casle
plusintéressant
estceluides
anneauxde
Prüfercohérents
noethé-riens,que
l’ondécrit
enmathém
atiquesclassiques
commeles
anneauxdans
lesquelstoutidéalestprojectifdetype
fini.Ils’agitalorsd’unevariante
nonintègre
dela
notiond’anneau
deDedekind.N
otredéfinition
pourunanneau
deDedekind
(libéréde
lacontrainte
d’intégrité)correspond
exactement
(enmathém
atiquesclassiques)àla
notiond’anneau
héréditairenoethérien.Nous
avonsseulementprécisé
leschoses,endem
andantenoutre
quel’anneau
soitcohérentfortem
entdiscret(cequiestautom
atiquementvérifié
sil’onadm
etle
principedu
tiersexclu),pour
quel’on
puissemener
lescalculs
lesplus
usuelsdans
nosanneaux
deDedekind.M
aisnous
n’avonspas
demandé
lapropriété
defactorisation
complète,quin’est
passuffi
samment
stable.
-
Algè
bre
comm
utat
ive
Méth
odes
cons
truc
tive
s–
comp
léme
nts
LOMB
ARDI
Henr
i,QU
ITTÉ
Clau
de24
mai
2021
[11:
12]
Fich
ier:
Ac-c
omm1
2ch
apit
re:A
Algè
bre
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utat
ive
Méth
odes
cons
truc
tive
s–
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nts
LOMB
ARDI
Henr
i,QU
ITTÉ
Clau
de24
mai
2021
[11:
12]
Fich
ier:
Ac-E
rrat
ach
apit
re:X
III
Errata
duchap
itreXIII
17
Cha
pitreXIII
Dim
ension
deKrull
Unemeilleu
redémon
stratio
npo
urlethéorème5.4
JLa
dimen
sionde
Krullest6rpa
rap
plicationde
laprop
osition
5.2.
On
peut
d’aille
ursdo
nner
unepreu
vedu
fait
quer
+1élém
ents
deA
sont
algébrique
mentdé
pend
ants
sur
Kda
nsle
mêm
estylequ
ecelle
donn
éepa
ge860po
urun
ealgèbrede
polynô
mes.
Enfin
ladimen
sionde
Krullest>rd’ap
rèsla
prop
osition
4.1.
Noton
squ
ele
théorème7.16
nous
donn
eun
eau
tredé
mon
stratio
n,via
l’égalité
Kdim
A=
Kdim
B.
�
—————
———————
Lefait8.2estp
lusc
lairs
ionl’éno
ncecommesuit
8.2.
Fait.S
oientx
1,...,xn
=xda
nsun
treil
lisdistrib
utif.
Sil’o
nax
1=
0,ou
xn
=1,
ouxi+
16xipo
urun
i∈
J1..n−
1K,alorsla
suite
(x)est
singu
lière.
————————————
Exercic
e17
.Lepo
int3
doitêtre
remplacéparc
equ
isuit,suivi
desa
solutio
n.énon
cé3.
Pour
untreillisdistrib
utif
Tlesprop
riétéssuivan
tessont
équivalentes.
a.T
estde
dimen
sionde
Krull6n.
b.To
utechaîne
delong
ueurnad
met
unesuite
complém
entaire
.c.
Toutechaîne
delong
ueurnad
met
unechaîne
quilui
estliée.
solutio
n3.
Lepo
int3a
implique
lepo
int3c
d’ap
rèsle
point2.
Lepo
int3c
implique
lepo
int3b
parcequ
’une
chaîne
liéeestun
caspa
rticulierde
suite
complé-
men
taire
.Pou
rvoir
que3b
implique
3a,soity 0,...,ynun
esuite
arbitraire.
Ondé
finit
alorsx
0=y 0,x
i=y i∨xi−
1(i∈
J1..nK).
Soit
(a0,...,an)un
esuite
complém
entaire
de(x
0,...,xn).
Ondé
finitb 0
=a
0etb i
=ai∨x
i−1po
uri∈
J1..nK.Onaalorsx
i∨a
i=y i∨b
i
pouri∈
J0..nK.Don
c0
=x
0∧a
0=y 0∧b 0
et1
=xn∨an
=y n∨b n.V
oyon
smainten
antlesinégalité
sinterm
édiaire
s.Po
uri∈
J1..nKon
axi∧ai6
xi−
1∨ai−
1,et
donc
y i∧ai6xi∧ai6xi−
1∨ai−
1=y i−
1∨b i−
1,
d’où y
i∧b i
=y i∧
(ai∨xi−
1)=
(yi∧ai)∨
(yi∧xi−
1)6
(yi∧ai)∨xi−
1.
Com
melesde
uxde
rniers
term
esap
rès6
sont
majorés
parxi−
1∨ai−
1=
y i−
1∨b i−
1,on
obtie
ntbien
l’iné
galitéy i∧b i6y i−
1∨b i−
1.
-
Algèbrecommutative
Méthodesconstructives
–compléments
LOMBARDIHenri,
QUITTÉClaude
24mai
2021[11:12]
Fichier:Ac-comm11chapitre:A
Chapitre
XI
Treillisdistributifs,groupes
réticulés
Com
mentaires
————————————–
Enconclusion
dela
section1.
Laproposition
VII-3.2affi
rmeque
toutalgèbrede
Boolediscrète
secom
portedanslescalculscom
mel’algèbre
despartiesfiniesd’unensem
blefini.
Demêm
ele
principede
recouvrementparquotients2.10
pourlesgroupesréticuléspeutêtre
paraphrasécom
mesuit:danslescalculs,un
grouperéticulé
secom
portetoujourscom
meun
produitfinidegroupestotalem
entordonnés.De
lamêm
emanière
touttreillisdistributifsecom
portedanslescalculs
commeun
produitfinid’ensemblestotalem
entordonnés.Maisnousn�
