Rep ublicaBolivarianadeVenezuelaUniversidadNacionalExperimentalPolitecnicaAntonioJosedeSucreVice-RectoradoBarquisimetoDepartamentodeEstudiosGeneralesyBasicosSecciondeMatematicaApuntesdeAlgebraLinealAutores:MSc.JorgeF.CamposS.MSc.DorkaM.ChavesE.Barquisimeto,2008IndicegeneralIndicegeneral I1. MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 11.1. OperacionesconMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. SumadeMatricesyMultiplicacionporEscalar . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2. ProductodeMatrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.3. TransposicionoTrasposiciondeMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2. OperacionesElementalesporFilas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3. SistemasdeEcuacionesLineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4. InversadeunaMatrizCuadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.5. Determinantes.PropiedadesdelosDeterminantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.6. MatrizAdjunta.RegladeCramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.7. DeterminantesdeMatricesTriangularesporBloques . . . . . . . . . . . . . . . . 702. EspaciosVectoriales 762.1. EspaciosVectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.2. SubespaciosVectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.3. CombinacionLinealyEspacioGenerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.4. IndependenciayDependenciaLineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.5. BasesyDimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.6. Rango,Nulidad,EspacioFilayEspacioColumnadeunaMatriz . . . . . . . . . . 1073. MatrizdeCambiodeBase.EspaciosconProductoInterno 1173.1. CambiodeBase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.2. EspaciosconproductoInterno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.3. BasesOrtonormalesyProcesodeOrtonormalizaciondeGram-Schmidt . . . . . . 1323.4. ComplementoOrtogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424. TransformacionesLineales. AutovaloresyAutovectoresdeunaMatriz 1494.1. TransformacionesLineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.2. RepresentacionMatricialdeunaTransformacionLineal . . . . . . . . . . . . . . . 1614.3. N ucleoeImagendeunaTransformacionLineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.4. AutovaloresyAutovectoresdeunaMatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.5. Diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185iIndicegeneral ii4.6. AutovectoresyAutoespaciosGeneralizados.FormaCanonicadeJordan. . . . . . 191Apendices 207A. CamposyN umerosComplejos 208A.1. Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208A.2. ElCampodelosN umerosComplejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218B.AlgomassobreEspaciosVectoriales 226B.1. K-EspaciosVectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226B.2. EspaciosVectorialesdeDimensionInnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228B.3. EspaciosconProductoInterno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228B.4. EspaciosNormados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228C.AlgomassobreTransformacionesLineales 229C.1. TransformacionesLinealesInvertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229C.2. AutovaloresyAutovectoresdeTransformacionesLineales . . . . . . . . . . . . . . 234D. DemostracionesdeAlgunosTeoremas 238Captulo1MatricesySistemasdeEcuacionesLineales1.1. OperacionesconMatricesDenici on1.1. Seanm, n Z+. Una matrizreal Adeordenmporn(mn)esunarreglobidimensionalden umerosrealesdispuestosenmlasyncolumnascomosigueA = (aij)mn=__a11a12 a1na21a22 a2n.........am1am2 amn__=_______a11a12 a1na21a22 a2n.........am1am2 amn_______dondeaij Rparacadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , n,el cual esllamadocomponenteij-esimadeA.Paracadai 1, . . . , mlai-esimaladeAladenotaremosporA(i)yestadadaporA(i)=_ai1ai2 ain_Paracadaj 1, . . . , nlaj-esimacolumnadeAladenotaremosporA(j)yestadadaporA(j)=__a1ja2j...amj__Cuandom=n, diremos que Aes una matriz cuadradade ordenn, eneste caso, lascomponentesa11, a22, . . . , annformanloquellamaremosdiagonal principaldeA.Cuandom=1, diremosqueAesunamatrizlaycuandon=1, diremosqueAesunamatrizcolumna.LanotacionA = (aij)mn,signicaqueAeslamatrizdeordenmncuyaij-esimacompo-nenteesaijparacadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , n.El conjunto formado por todas las matrices reales de orden mn lo denotaremos por Mmn(R).1MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 2Observaci on1.1. Podemosconsiderar matricessobreuncampoK(verapendiceB),porejemploK=C, enlugardematricesreales, encuyocasolascomponentesdelasmatricessonelementosdeK.Observaci on 1.2. Sedebetener cuidadocuandoseusalanotacion(aij)mn, el cambiodendicesnosignicaquesetratadeotramatriz,los ndicessonmudos,estoes(aij)mn= (akr)mn= (apq)mn= (aji)mnEjemplo1.1.1. A =_ 2 05234 1_ es una matriz real de orden 23, la componente 2, 1 de A es a2,1=23,lala2deAesA(2)=_234 1_,lacolumna3deAesA(3)=_ 51_2. B=__1 4 05 12 30 2 8__es unamatriz cuadradareal de orden3, las componentes de ladiagonalprincipalsona1,1= 1,a2,2= 12,a3,3= 8.3. La matriz In= (ij)nn, donde ij=_1 sii = j0 sii ,= j, para cada i, j 1, . . . , n, es llamadamatrizidentidaddeordenn,estoes,In=__1 000 1............... 000 1__nn4. Lamatriz0/mn= (ij)mn,dondeij=0paracadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , n,esllamadamatriznuladeordenmn,esdecir0/mn=__00......00__mnMatricesySistemasdeEcuacionesLineales 3Cuandom = n,soloescribiremos0/nenlugarde0/nn,esdecir,0/n=__00.........00__nn

Denici on1.2. SeaA Mnn(R).DiremosqueA = (aij)nnes1. Triangularsuperiorsiaij= 0parai, j 1, . . . , nconi > j.2. Triangularinferiorsiaij= 0parai, j 1, . . . , nconi < j.3. Diagonal si aij=0parai, j 1, . . . , nconi ,=j, esdecir,Aestriangularsuperioreinferiorsimultaneamente.4. Escalarsiesdiagonalyexiste Rtal queaii= parai 1, . . . , n.Observaci on1.3. Unamatrizcuadradaestriangularsuperior(respectivamenteinferior)si ysolosi todassuscomponentesbajo(respectivamentesobre)ladiagonal principal sonigualesacero.Observaci on1.4.Cuando A Mnn(R) es diagonal y las componentes en la diagonal principalson1, 2, . . . , n R,entoncesescribiremosA = diag(1, 2, . . . , n)Ejemplo1.2.1. Paracadan Z+,Iny0/nsonmatricesescalares, yporlotantodiagonalesyconsecuente-mentetriangularessuperioreinferior.2. A =__5 4 0 70 3 12 50 0 2 10 0 0 0__estriangularsuperior.3. A =__5 0 0 00 4 0 00 1 0 09 13 3 8__estriangularinferior.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 44. A =__6 0 0 00 3 0 00 0 5 00 0 0 0__es diagonal, en cuyo caso podemos escribir A = diag(6, 3, 5, 0).5. A =__8 0 0 00 8 0 00 0 8 00 0 0 8__esescalar,encuyocasopodemosescribirA = diag(8, 8, 8, 8).

Denici on1.3. SeanA, B Mmn(R). DiremosqueAyBsonmatricesiguales, locualdenotaremosporA=B, silacomponenteij-esimadeAesigual alacomponenteij-esimadeBparacadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , n, esdecir, si A=(aij)mnyB=(bij)mn,diremosqueAyBsonigualessiaij= bijparacada i 1, . . . , m ycada j 1, . . . , nObservaci on1.5. Notesequeparaquedosmatricesseaniguales, enprimerlugardebenserdelmismoorden.Ejemplo1.3. Si A=_5 1 06 8 3_;B=__5 70 y2 4__yC=__x 70 32 4__, entoncesA ,=Bpuesnisiquierasondelmismoorden;B= Csiysolosix = 5ey= 3. El siguienteteoremaesunaconsecuenciadirectadeladeniciondeigualdaddematrices, sudemostracionladejamoscomoejercicio.Teorema1.1. SeanA, B Mmn(R).Entonceslassiguientesproposicionessonequivalentes1. A = B.2. A(i)= B(i)paracadai 1, . . . , m.3. A(j)= B(j)paracadaj 1, . . . , n.Demostraci on. Ejercicio!MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 51.1.1. SumadeMatricesyMultiplicacionporEscalarEnestasecciondeniremosdosoperacionesconmatricesquedotaranal conjuntoMmn(R)deunaestructuraalgebraicaconocidacomoespaciovectorial , dichaestructuraseratratadaenelcaptulo2delpresentetrabajo.Denici on 1.4. SeanA, B Mmn(R) conA=(aij)mnyB=(bij)mn. Deniremos lamatrizsumadeAconB,comolamatrizA+ B Mmn(R)cuyaij-esimacomponentevienedadaporaij+ bijparacadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , n,estoes,siA + B= (cij)mn,entoncescij= aij + bijparacadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , n.Observaci on1.6. Parapodersumardosmatricesestasdebenserdel mismoorden.Ejemplo1.4. SiA =__4 9 0 87 3 5 121 0 6 2__yB=__3 9 5 41 13 3 910 4 7 11__,entoncesA + B =__4 9 0 87 3 5 121 0 6 2__+__3 9 5 41 13 3 910 4 7 11__=__4 + (3) 9 + 9 0 + 5 8 + (4)7 + 1 3 + (13) 5 + 3 12 + 91 + 10 0 + 4 6 + 7 2 + 11__=__1 0 5 46 10 8 311 4 1 13__

Denici on 1.5. SeanA Mmn(R) y R(es llamado escalar), conA=(aij)mn.Deniremos la multiplicacionde por A( multiplicacionpor escalar) comolamatrizAosimplementeAcuyaij-esimacomponentees aijparacadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , n, estoes, si A=(bij)mn, entoncesbij=aijparacadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , n.Observaci on1.7. LanotaciondemultiplicacionporescalaresAoAynoAni A,sedebecolocarprimeroelescalarluegolamatriz.Observaci on1.8. Todamatrizescalardeordennesunm ultiploescalardeIn, msan, A Mnn(R)esunamatrizescalarsiysolosiexiste Rtal queA = In.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 6Ejemplo1.5. SeaAlamatrizdel ejemplo1.4,entonces2A = 2 __4 9 0 87 3 5 121 0 6 2__=__24 2(9) 20 282(7) 23 25 2(12)21 20 2(6) 22__=__8 18 0 1614 6 10 242 0 12 4__

Teorema1.2. SeanA, B, C Mmn(R)y, Rcualesquiera.Entonces1. A + B= B + A(conmutatividaddelasuma).2. (A + B) + C= A+ (B + C)(asociatividaddelasuma).3. A + 0/mn= A = 0/mn +A(neutroaditivo).4. ExisteunamatrizD Mmn(R)tal queA+ D = 0/mn= D + A(opuestoaditivo).5. (A + B)=A + B(distributividaddelamultiplicacionporescalarrespectoalasumamatricial).6. ( + )A=A + A(distributividaddelamultiplicacionporescalarrespectoalasumaescalar).7. (A) = ()A = (A)(asociatividaddelamultiplicacionporescalar).8. 1A = A(neutrodelamultiplicacionporescalar).Demostraci on. SeanA = (aij)mn,B= (bij)mnyC= (cij)mn.1. HagamosA + B=E=(eij)mnyB+ A=F=(fij)mn. Pordeniciondesumadematrices,tenemosqueparacadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , neij= aij + bij= bij + aij= fijLuegoA+ B= E= F= B + A(deniciondeigualdaddematrices).MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 72. HagamosA + B=E=(eij)mn, (A + B) + C=E + C=F=(fij)mn, B + C=G=(gij)mnyA + (B+ C) =A + G=H=(hij)mn. As quepordeniciondesumadematricesfij= eij + cij= (aij + bij) + cij= aij + (bij + cij) = aij + gij= hijDedonde(A+ B) + C= F= H= A + (B + C)(deniciondeigualdaddematrices).3. Recordemos que 0/mn=(ij)mndonde ij=0paracadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , n. As que si A+0/mn=E=(eij)mn, entonces, por denicionde sumadematrices,paracadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , neij= aij + ij= aij + 0 = aijPorlotantoA+ 0/mn= E= AyporconmutatividadA+ 0/mn= A = 0/mn +A4. DenamosD=(dij)mncondij= aijparacadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , n.HagamosA+D = E= (eij)mn.Entonces,pordeniciondesumadematrices,paracadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , neij= aij + dij= aij + (aij) = 0PorlotantoA+ D = E= 0/mnyporconmutatividadA+ D = 0/mn= D + A5. HagamosA + B=E=(eij)mn, (A + B)=E=F=(fij)mn, A = G = (gij)mn,B =H=(hij)mny A+B=G+H=P =(pij)mn. Entonces, para cadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , ntenemosquefij= eij(deniciondemultiplicacionporescalar)= (aij + bij) (deniciondesumadematrices)= aij + bij= gij + hij(deniciondemultiplicacionporescalar)= pij(deniciondesumadematrices)Luego(A+ B) = F= P= A+ BMatricesySistemasdeEcuacionesLineales 86. Hagamos (+)A = E= (eij)mn, A = F= (fij)mn, A = G = (gij)mny A+A =F+ G=H=(hij)mn.Enconsecuencia, paracadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , nsetienequeeij= ( + )aij(deniciondemultiplicacionporescalar)= aij + aij= fij + gij(deniciondemultiplicacionporescalar)= hij(deniciondesumadematrices)Dedonde( + )A = E= H= A+ A7. HagamosA=E=(eij)mn, (A) =E=F =(fij)mny()A = G = (gij)mn.As que, pordeniciondemultiplicaciondeporescalar, paracadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , nobtenemosfij= eij= (aij) = ()aij= gijLuego(A) = F= G = ()A yenconsecuencia(A) = ()A = ()APorlotanto(A) = ()A = (A)8. Hagamos1A = E= (eij)mn.Asquealusarladeniciondemultiplicacionporescalar,setienequeparacadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , neij= 1aij= aijEnconsecuencia1A = E= ATeorema1.3.1. La matriz nula 0/mnes la unica matriz real de orden mn tal que para cada A Mmn(R)secumplequeA+ 0/mn= A = 0/mn +A.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 92. ParacadamatrizA Mmn(R),existeuna unicamatrizD Mmn(R)tal queA + D=0/mn= D + A,tal matrizDesllamadamatrizopuestadeAysedenotapor A.Demostraci on. La parte 3 del teorema 1.2 garantiza que la matriz nula 0/mn satisface que paracada A Mmn(R) se cumple que A+0/mn= A = 0/mn +A. Ademas, la existenciade la matrizDesgarantizadaenlaparte4del mismoteorema. Solofaltaraprobarlaunicidaddeambasmatrices.1. SupongamosqueP Mmn(R)estalqueA + P= A = P+ AparacadaA Mmn(R),luegoP = P+ 0/mn(porlaparte3delteorema1.2)= 0/mn(hipotesis)2. SeaA Mmn(R)cualquiera.SupongamosqueexistenD, E Mmn(R)talesqueA + D = 0/mn= D + A (1.1)A+ E = 0/mn= E + A (1.2)EnconsecuenciaD = D + 0/mn(teorema1.2parte3)= D + (A+ E) (porlaecuacion1.2)= (D + A) + E (teorema1.2parte2)= 0/mn +E (porlaecuacion1.1)= E (teorema1.2parte3)Teorema1.4. SeanA, B, C Mmn(R)talesqueA+ B= A+ C.EntoncesB= C.Demostraci on. Ejercicio!Teorema1.5. SeanA Mmn(R)y Rcualesquiera.Entonces1. 0A = 0/mn.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 102. 0/mn= 0/mn.3. (1)A = A.4. SiA = 0/mn,entonces = 0oA = 0/mn.Demostraci on.1. Sabemosque0A+ 0/mn= 0A (porque?)ademas0A = (0 + 0)A = 0A+ 0Aasque0A+ 0A = 0A+ 0/mnyporelteorema1.4,setieneque0A = 0/mn2. Porunlado0/mn= 0/mn +0/mn(porque?)porotrolado0/mn= (0/mn +0/mn) = 0/mn +0/mnluego0/mn +0/mn= 0/mn +0/mnynuevamente,usandoelteorema1.4,tenemosque0/mn= 0/mn3. BastaprobarqueA+ (1)A = 0/mn,yporunicidad,obtendramoselresultado.VeamosA+ (1)A = 1A+ (1)A (teorema1.2parte8)= (1 + (1))A (teorema1.2parte6)= 0A= 0/mn(porlaparte1)Luego,porunicidaddelamatrizopuesta,(1)A = AMatricesySistemasdeEcuacionesLineales 114. Supongamos que A = 0/mn. Si = 0, no hay nadaque probar, supongamos entoncesque ,= 0,asqueA = 1A (teorema1.2parte8)= (1)AA = 1(A) (teorema1.2parte7)= 10/mn(porhipotesis)= 0/mn(porlaparte2)Conlocual,seconcluyelaprueba.Denici on1.6. SeanA, B Mmn(R).Deniremos AB= A+ (B).Ejemplo1.6. SiA =__4 12 06 5 36 1 27 0 1__yB=__5 10 66 1 114 0 52 6 1__,entoncesAB = A+ (B) =__4 12 06 5 36 1 27 0 1__+_________5 10 66 1 114 0 52 6 1_________=__4 12 06 5 36 1 27 0 1__+__5 10 66 1 114 0 52 6 1__=__1 2 612 6 142 1 39 6 2__

1.1.2. ProductodeMatricesA diferencia de las dos operaciones denidas en la seccion anterior, la multiplicacion de matricesno sedenedemaneranatural, comoveremosluego, nopor ellodejade serimportante dichaoperacion.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 12Denici on1.7. SeanA=(aij)mn Mmn(R)yB=(bjk)np Mnp(R). DeniremoselproductodeAporBcomolamatrizC= (cik)mp Mmp(R),denotadaporABoAB,talqueparacadai 1, . . . , mycadak 1, . . . , psetienequecik=n

j=1aijbjk= ai1b1k + ai2b2k + + ainbnkObservaci on1.9. Notesequeparapoderdenirel productoAB, lacantidaddecolumnasdeAdebecoincidirconlacantidaddelasdeB,ademas,lamatrizresultante,esunamatrizcuyacantidaddelascoincideconlacantidaddelasdeAysucantidaddecolumnasesigual alacantidaddecolumnasdeB.Ejemplo1.7. SeanA =_2 1 00 3 1_yB=__3 1 02 1 24 2 3__.EntoncesAB = A B=_23 + (1)2 + 0(4) 21 + (1)(1) + 0(2) 20 + (1)(2) + 0303 + 32 + 1(4) 01 + 3(1) + 1(2) 00 + 3(2) + 13_=_6 2 + 0 2 + 1 + 0 0 + 2 + 00 + 6 4 0 3 2 0 6 + 3_=_4 3 22 5 3_

Observaci on1.10. Notesequeenel ejemploanterior, el productoBAnoestadenido,estonos dice que el producto de matrices no es conmutativo, mas a un, a pesar de que ambos productosestan denidos, ABy BA, no necesariamente son ambos del mismo orden, ademas, siendo ambosproductos del mismo orden, en cuyo caso necesariamente A y Bdeben ser cuadradas y del mismoorden, las matrices AByBA notienen por queser iguales, cuandoestoocurre, es decir, cuandoAB= BA,sedicequeAyBsonmatricesqueconmutan.A continuacionenunciaremosun teorema que expone las principalespropiedadesdel productodematricesTeorema1.6. SeanA Mmn(R);B, C Mnp(R);C Mpq(R)y R.Entonces1. (AB)D = A(BD)(asociatividaddel productodematrices).2. A(B + C) = AB + AC(distributividadaizquierdadel productodematrices).MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 133. (B + C)D = BD + CD(distributividadaderechadelproductodematrices).4. (AB) =(A)B=A(B)(asociatividaddel productodematricesylamultiplicaci onporescalar).5. ImA = A = AIn(neutrosdelproductodematrices).6. B0/pq= 0/nqy0/mnB= 0/mp.Demostraci on. SeanA = (aij)mn;B= (bjk)np;C= (cjk)npyD = (dkl)pq.1. Hagamos AB=E=(eik)mp; (AB)D=ED=F =(fil)mq; BD = G = (gjl)nqyA(BD) = AG = H= (hil)mq.Entonces,usandoladeniciondeproductomatricial,paracadai 1, . . . , mycadak 1, . . . , peik=n

j=1aijbjkparacadaj 1, . . . , nycadal 1, . . . , qgjl =p

k=1bjkdklyparacadai 1, . . . , mycadal 1, . . . , qfil=p

k=1eikdkl; hil=n

j=1aijgjlLuegofil=p

k=1eikdkl=p

k=1_n

j=1aijbjk_dkl=p

k=1n

j=1aijbjkdkl=n

j=1p

k=1aijbjkdkl=n

j=1aij_p

k=1bjkdkl_=n

j=1aijgjl= hilPorlotanto,usandoladeniciondeigualdaddematrices(AB)D = F= H= A(BD)MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 142. HagamosB + C=E=(ejk)np; A(B + C)=AE=F=(fik)mp; AB= G = (gik)mp;AC=H=(hik)mpyAB+ AC=G + H=R=(rik)mp. Entonces, paracadai 1, . . . , mycadak 1, . . . , pfik=n

j=1aijejk(deniciondeproductodematrices)=n

j=1aij(bjk + cjk) (deniciondesumadematrices)=n

j=1(aijbjk + aijcjk) =n

j=1aijbjk +n

j=1aijcjk= gik + hik(deniciondeproductodematrices)= rik(deniciondesumadematrices)EnconsecuenciaA(B + C) = F= R = AB + AC3. Analogoalademostraciondelaparte2.4. SeanAB=E=(eik)mp;(AB)=E=F=(fik)mp;A =G=(gij)mny(A)B=GB= H= (hik)mp.Entonces,paracadai 1, . . . , mycadak 1, . . . , pfik= eik(deniciondemultiplicacionporescalar)= n

j=1aijbjk(deniciondeproductodematrices)=n

j=1(aijbjk) =n

j=1(aij)bjk=n

j=1gijbjk(deniciondemultiplicacionporescalar)= hik(deniciondeproductodematrices)Dedonde(AB) = F= H= (A)B.De maneraanalogasepruebaque(AB) = A(B),asque(AB) = (A)B= A(B)5. RecordemosqueIn= (jk)nn,dondejk=_1 si j= k0 si j ,= k(1.3)MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 15paracadaj, k 1, . . . , n.HagamosAIn= E= (eik)mn.Entonces,paracadai 1, . . . , mycadak 1, . . . , neik=n

j=1aijjk(deniciondeproductodematrices)= ai11k + + ai(k1)(k1)k + aikkk + ai(k+1)(k+1)k + + ainnk= ai1 0 + + ai(k1) 0 + aik 1 + ai(k+1) 0 + + ain 0 (por1.3)= aikPorlotantoAIn= E= A,analogamentepuedeprobarsequeImA = A,enconsecuenciaAIn= A = ImA6. Ejercicio!Ejercicio1.1. PruebequesiA Mmn(R)yB Mnp(R),entonces1. AB=_AB(1)AB(2) AB(p)_(desarrolloporcolumnas del productoAB),esdecir,lak-esimacolumnadeAB, quees(AB)(k), esigual aAporlak-esimacolumnadeB,AB(k),paracadak 1, . . . , p.2. AB=__A(1)BA(2)B...A(m)B__(desarrolloporlasdel productoAB),esdecir,lai-esimaladeAB,quees(AB)(i),esigual alai-esimaladeAporB,A(i)B,paracadai 1, . . . , m.Ejercicio1.2. DadaunamatrizA Mnn(R),parak NdenamosAk=___0/nsiA = 0/nyk 1InsiA ,= 0/nyk= 0Ak1A siA ,= 0/nyk 1PruebequeAkAr= Ak+rparacualesquierak, r N.Denici on 1.8. Unamatriz NMnn(R) es llamada nilpotentesi existep Ntal queNp= 0/n,ademas,sipestal queNp1,= 0/n,diremosqueNesnilpotentedeordenp.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 16Observaci on1.11. Lamatriznuladeordennesnilpotenteyconveninosenqueesnilpotentedeorden0.Ejemplo1.8. LassiguientesmatricessonnilpotentesN1=__1 1 0 01 0 1 01 0 1 01 0 1 0__; N2=__0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0__N1esdeorden3yN2esdeorden4(verifquelo!).1.1.3. TransposicionoTrasposiciondeMatricesDenici on1.9. SeaA = (aij)mn Mmn(R).Deniremos latranspuestaotraspuestadeAcomolamatrizAT= (bji)nm Mnm(R)tal quebji= aijparacada i 1, . . . , m ycada j 1, . . . , nEjemplo1.9. SeaA =__2 5 0 73 0 1 65 12 2 9__EntoncesAT=__2 3 55 0 120 1 27 6 9__

Observaci on1.12. Notesequelas las deApasan aser las columnas de ATylas columnasdeApasanaserlaslasdeAT,maspropiamente_A(i)_T=_AT_(i)paracada i 1, . . . , m_A(j)_T=_AT_(j)paracada j 1, . . . , nTeorema1.7. SeanA, B Mmn(R),C Mnp(R)y R.EntoncesMatricesySistemasdeEcuacionesLineales 171._AT_T= A(propiedaddeinvoluciondelatransposiciondematrices)2. (A + B)T= AT+ BT(transpuestadelasuma)3. (A)T= AT(transpuestadelamultiplicacionporescalar)4. (AC)T= CTAT(transpuestadel productomatricial)5. (In)T= Iny (0/mn)T= 0/nmDemostraci on. SeanA = (aij)mn;B= (bij)mnyC= (cjk)np.1. Hagamos AT=D=(dji)nmy_AT_T=DT=E=(eij)mn. Entonces, paracadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , n,pordeniciondetranspuestaeij= dji = aijLuego_AT_T= E= A2. SeanA+B=D=(dij)mn; (A+B)T=DT=E=(eji)nm; AT= F= (fji)nm;BT= G = (gji)nm y AT+BT= F+G = H= (hji)nm. Entonces, para cada i 1, . . . , mycadaj 1, . . . , neji= dij(deniciondetranspuesta)= aij + bij(deniciondesumadematrices)= fji + gji(deniciondetranspuesta)= hji(deniciondesumadematrices)Porlotanto(A+ B)T= E= H= AT+ BT3. Hagamos A=D=(dij)mn; (A)T=DT=E=(eji)nm; AT= F= (fji)nm; yAT= F= G = (gji)nm.Entonces,paracadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , neji= dij(deniciondetranspuesta)= aij(deniciondemultiplicacionporescalar)= fji(deniciondetranspuesta)= gji(deniciondemultiplicacionporescalar)MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 18Asque(A)T= E= G = AT4. SeanAC=D=(dik)mp; (AC)T=DT=E=(eki)pm; CT=F =(fkj)pn; AT=G =(gji)nmyCTAT= FG =H=(hki)pm.Entonces, paracadai 1, . . . , mycadak 1, . . . , peki= dik(deniciondetranspuesta)=n

j=1aijcjk(deniciondeproducto)=n

j=1gjifkj(deniciondetranspuesta)=n

j=1fkjgji= hki(deniciondeproducto)Dedonde(AC)T= E= H= CTAT5. Ejercicio!Denici on1.10. SeaA Mnn(R).Diremosque1. AessimetricasiAT= A.2. AesantisimetricasiAT= A.Ejemplo1.10.1. Inessimetricaparatodon N.2. 0/nes simetrica y antisimetrica para todo n N existe alguna otra matriz que sea simetricayantisimetricasimultaneamente?3. LamatrizA =__0 5 7 65 0 4 87 4 0 126 8 12 0__MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 19esantisimetricapuesAT=__0 5 7 65 0 4 87 4 0 126 8 12 0__= A4. LamatrizA =__5 9 3 09 2 1 133 1 0 70 13 7 3__essimetricayaqueAT=__5 9 3 09 2 1 133 1 0 70 13 7 3__= A

Teorema1.8. SeaA Mnn(R).Entonces1. Aessimetricasiysolosiaij= ajiparacualesquierai, j 1, . . . , n.2. Aesantisimetricasiysolosiaij= ajiparacualesquierai, j 1, . . . , n.3. SiAesantisimetrica,entoncesaii= 0paracualquierai 1, . . . , n.Demostraci on. Ejercicio!1.2. OperacionesElementalesporFilasLasoperacioneselementalesporlassonherramientasusadasconmuchafrecuenciaenlaresoluciondelossistemasdeecuacioneslinealesal igual queencalculodelainversadeunamatrizcuadrada. Estas operaciones las usaremos alo largo de todo el curso, por ellodeben ser manejadas con la mayor perfeccion posible por parte del estudiante que desee aprenderlamateria.Comencemospordenirdichasoperaciones.DenotemosporFm(R)elconjuntoformadoportodaslasmatricesrealesconmlas.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 20Denici on1.11. Unaoperacionelemental porlas(OEF)esunafuncionf:Fm(R) Fm(R)lacual esdeunodelossiguientestiposOEFTipo1. Sif(A) = B,entoncesexistens 1, . . . , my ,= 0talesqueB(i)= A(i)paracadai 1, . . . , m,coni ,=s,yademasB(s)=A(s),estoes,unadelaslasdeAesmultiplicadaporunescalarnonuloyelrestodelaslaspermaneceniguales.f(A) = f_________________A(1)...A(s1)A(s)A(s+1)...A(m)_________________=__A(1)...A(s1)A(s)A(s+1)...A(m)__= BPorcomodidad,enlugardeescribirB= f(A),escribiremosAFsFsB.OEFTipo2. Si f(A)=B, entoncesexistens, t 1, . . . , m, cons ,=t, y RtalesqueB(i)=A(i)paracadai 1, . . . , m, coni ,=s, yademasB(s)=A(s) + A(t),esdecir, aunaladeAlesumamosunm ultiploescalardealgunaotraladeA,distintadelaprimera,dejandoel restodelaslasintactas.f(A) = f_________________A(1)...A(s1)A(s)A(s+1)...A(m)_________________=__A(1)...A(s1)A(s) + A(t)A(s+1)...A(m)__= BAl igualqueantes,enlugardeescribirB= f(A),escribiremosAFsFs+ FtB.OEFTipo3. Si f(A)=B, entoncesexistens, t 1, . . . , mtalesqueB(i)= A(i)paracadai 1, . . . , m, coni ,=sei ,=tyademasB(s)=A(t)yB(t)=A(s), dichodeotramanera,intercambiamosdoslasdeAydejamoselrestosinalterar.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 21f(A) = f_____________________________A(1)...A(s1)A(s)A(s+1)...A(t1)A(t)A(t+1)...A(m)_____________________________=__A(1)...A(s1)A(t)A(s+1)...A(t1)A(s)A(t+1)...A(m)__= BNuevamente,enlugardeescribirB= f(A),escribiremosAFsFtB.Observaci on1.13. NotesequesiA Mmn(R)yf: Fm(R) Fm(R)esunaOEF,entoncesf(A) Mmn(R).Ejercicio1.3. PruebequetodaOEFf: Fm(R) Fm(R)esunafuncioninvertibleyquesuinversaf1: Fm(R) Fm(R)estambienunaOEFdel mismotipoquef.Ejemplo1.11. SeaA =__2 4 56 3 42 1 86 21 15__EntoncesA =__2 4 56 3 42 1 86 21 15__F1 F3(OEF3)__2 1 86 3 42 4 56 21 15__F4 13F4(OEF1)__2 1 86 3 42 4 52 7 5__F3 F3 + F1(OEF2)__2 1 86 3 40 3 32 7 5__= BMatricesySistemasdeEcuacionesLineales 22

Observaci on1.14.Se pueden aplicar mas de dos operaciones por las en un solo paso, lo unicoquedebemoscuidaresnotransformar,enelmismopaso,unalamasdeunavezynotransformar,enelmismopaso,unalaquevaserusadaparatransformaraotra(s).Observaci on1.15. Demaneraanalogaacomosedenieronlasoperacioneselementalesporlas, puedendenirseoperacioneselementalesporcolumnas(OEC), sinembargo, estas ultimas solose usaranparael calculode determinantes ynoparalaresolucionde sistemasdeecuacioneslinealesni parahallarlainversadeunamatrizcuadrada, enestos ultimosdosproblemassolousaremoslasoperacioneselementalesporlas.Denici on1.12. SeaA = (aij)mn Mmn(R).DiremosqueAesunamatrizEscalonada1. Si todas las las nulas de A, si las hay, estanubicadas enlas ultimas posiciones,estoes,siA(i)esunalanonuladeA,entoncesA(s)tambienesnonulaparacada1 s < i.2. Si A(i)y A(i+1)son dos las no nulas de A, entonces la primera componente no nula deA(i)(contada de izquierda a derecha) esta mas a la izquierda de la primera componentenonuladeA(i+1), esdecir, si j, k 1, . . . , nsontalesqueaij ,=0; a(i+1)k ,=0yais= 0 = a(i+1)tparacada1 s < jycada1 t < k,entoncesj< k.ReducidaporFilas(RF)1. Si A(i)esunalanonuladeA, entonceslaprimeracomponentenonuladeA(i)esigual a1(uno), dichacomponenteesllamadapivote, esdecir, si j 1, . . . , nestal queaij ,= 0yais= 0paracada1 s < j,entoncesaij= 1.2. Si A(j)es unacolumna deAquetieneunpivote, entonces el restodelas componentesdeA(j)sonigualesa0(cero),estoes,si i 1, . . . , mestal queaij=1yais=0paracada1 s < j,entoncesakj= 0paracadak 1, . . . , mconk ,= i.Escalonada Reducida por Filas (ERF) si es escalonada y reducida por las simultanea-mente.Ejemplo1.12.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 231. Paracualesquieram, n Z+,Iny0/mnsonmatricesescalonadasreducidasporlas.2. E=__2 1 3 8 30 5 1 6 40 0 0 8 70 0 0 0 0__esescalonadaperonoesreducidaporlas.3. R =__1 0 0 70 0 0 00 0 1 90 0 0 60 1 0 1__esreducidaporlasperonoesescalonada.4. F=__1 0 5 0 80 1 3 0 10 0 0 1 20 0 0 0 00 0 0 0 0__esescalonadareducidaporlas.

Ejercicio1.4. SeaA Mmn(R).Pruebeque:1. SiAesunamatrizescalonada,entonceslacantidaddelasnonulasdeAes,alosumo,el mnimoentremyn.2. Si A es una matriz RF, entonces la cantidad de pivotes de A es, a lo sumo, el mnimo entremyn.Ejercicio1.5. PruebequesiA Mnn(R)esunamatrizescalonada,entoncesAestriangularsuperior.Denici on1.13. SeanA, B Mmn(R). DiremosqueBes equivalentepor lasaAsiexistenOEFf1, f2, . . . , fr: Fm(R) Fm(R)talesqueB= (f1 f2 fr)(A)Ejemplo1.13. ConsideremoslasmatricesAyBdel ejemplo1.11.EntoncesBesequivalenteporlasaA(porque?). Teorema1.9. SeanA, B, C Mmn(R).TenemosqueMatricesySistemasdeEcuacionesLineales 241. AesequivalenteporlasaA.2. SiBesequivalenteporlasaA,entoncesAesequivalenteporlasaB.3. Si Ces equivalente por las a By Bes equivalente por las a A, entonces Ces equivalenteporlasaA.Demostraci on. Ejercicio!Observaci on1.16. Laparte2del teorema1.9,nospermitedecirAyBsonequivalentesporlasenlugardeBesequivalenteporlasaAoAesequivalenteporlasaB.Teorema1.10. TodamatrizA Mmn(R)esequivalenteporlasa1. Unamatrizescalonada.2. Unamatrizreducidaporlas.3. Una unicamatrizescalonadareducidaporlas,lacualllamaremoslaformaescalonadareducidaporlas(FERF)deA.Demostraci on. VerapendiceDObservaci on1.17. A Mnn(R)esequivalenteporlasaInsiysolosiIneslaFERFdeA.ElsiguienteejemploilustraelprocedimientoaseguirparahallarlaFERFdeunamatriz.Ejemplo1.14. HallarlaFERFdeA =__6 1 15 2 131 0 2 1 30 3 9 0 97 1 11 3 10__Soluci on.A =__6 1 15 2 131 0 2 1 30 3 9 0 97 1 11 3 10__F1 F2__1 0 2 1 36 1 15 2 130 3 9 0 97 1 11 3 10__MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 25F1 F1__1 0 2 1 36 1 15 2 130 3 9 0 97 1 11 3 10__F2 F26F1F4 F47F1__1 0 2 1 30 1 3 4 50 3 9 0 90 1 3 4 11__F2 F2__1 0 2 1 30 1 3 4 50 3 9 0 90 1 3 4 11__F3 F3 + 3F2F4 F4F2__1 0 2 1 30 1 3 4 50 0 0 12 240 0 0 8 16__F3 112F3__1 0 2 1 30 1 3 4 50 0 0 1 20 0 0 8 16__F1 F1F3F2 F24F3F4 F4 + 8F3__1 0 2 0 10 1 3 0 30 0 0 1 20 0 0 0 0__AsquelaFERFdeAesC=__1 0 2 0 10 1 3 0 30 0 0 1 20 0 0 0 0__Denici on1.14. UnamatrizE Mnn(R)esllamadamatrizelementalsiexisteunaOEFf: Fn(R) Fn(R) talqueE= f(In), es decir, Eseobtiene deInpor medio deuna unicaOEF.Ejemplo1.15.1. E1=__1 0 0 00 1 0 05 0 1 00 0 0 1__eselemental,puesI4=__1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1__F3 F35F1__1 0 0 00 1 0 05 0 1 00 0 0 1__= E1MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 262. E2=__1 0 00 4 00 0 1__eselemental,yaqueI3=__1 0 00 1 00 0 1__F2 4F2__1 0 00 4 00 0 1__= E23. E3=__1 0 0 0 00 0 0 0 10 0 1 0 00 0 0 1 00 1 0 0 0__eselemental,dadoqueI5=__1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1__F2 F5__1 0 0 0 00 0 0 0 10 0 1 0 00 0 0 1 00 1 0 0 0__= E3

Teorema1.11. SeanA Mmn(R),B Mnp(R)yf: Fm(R) Fm(R)unaOEF.Entonces1. f(AB) = f(A)B.2. (f(A))(j)= f_A(j)_paracadaj 1, . . . , ndedondef(A) =_f_A(1)_f_A(2)_f_A(n)_esdecir,lalaj-esimadef(A)esigualafaplicadaalaj-esimaladeA.Demostraci on. VerapendiceD.Comounaconsecuenciadirectadeesteteorematenemoselsiguienteresultado.Corolario1.12. SiA Mmn(R),B Mnp(R)yf, f1, f2, . . . , fr: Fm(R) Fm(R)sonOEF,entoncesMatricesySistemasdeEcuacionesLineales 271. f(A) = f(Im)A.2. (f1 f2 fr)(AB) = (f1 f2 fr)(A)B.3. ((f1 f2 fr)(A))(j)= (f1 f2 fr)_A(j)_paracadaj 1, . . . , m.Demostraci on. Ejercicio!Otraconsecuenciadelmismoteorema,enconjuncionconelcorolarioanterior,eslasiguiente.Corolario1.13. SeanA, B Mmn(R) dosmatricesequivalentesporlas. EntoncesexistenmatriceselementalesE1, E2, . . . , Er Mmm(R)talesqueB= E1E2 ErADemostraci on. Ejercicio!1.3. SistemasdeEcuacionesLinealesLa presenteseccion estamuy relacionadacon las OEF y las matrices, y es quizas,junto con laseccionanterior,lamasimportantedelpresentecaptulo.Denici on1.15. Unsistemadeecuacioneslinealesconmecuacionesynincognitasesunconjuntodeecuacionesdelaforma___a11x1 + a12x2 + + a1nxn= b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn= b2...............am1x1 + am2x2 + + amnxn= bm(1.4)dondex1, x2, . . . , xnsonlas incognitas del sistema1.4ytomanvalores enR; aijRsonn umerosjosparacadai 1, . . . , mycadaj 1, . . . , nylosllamaremoscoecientesdelsistema1.4yb1, b2, . . . , bm Rsonjosysonlosterminosindependientesdelsistema1.4.Si b1=b2==bm=0, diremosqueel sistema1.4es homogeneo, encasocontrariodiremosqueesnohomogeneo.Cuandom = n,sedicequeel sistema1.4esunsistemacuadrado.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 28SihacemosA = (aij)mn=__a11a12 a1na21a22 a2n.........am1am2 amn__; b =__b1b2...bm__y x =__x1x2...xn__,el sistema1.4puedeescribirsecomo laecuacionmatricialAx = b(verifquelo!), quellamare-mos representacionmatricial del sistema1.4. Lamatriz Aes llamada matriz decoe-cientesomatrizdelsistema1.4,lamatriz[A[b] =__a11a12 a1nb1a21a22 a2nb2............am1am2 amnbm__es llamadamatriz ampliadadel sistema 1.4, x se conoce con el nombre dematriz incognitaomatrizdeincognitasybesconocidacomomatrizdeterminosindependientes.El sistema___a11x1 + a12x2 + + a1nxn= 0a21x1 + a22x2 + + a2nxn= 0...............am1x1 + am2x2 + + amnxn= 0(1.5)esllamadosistemahomogeneoasociadoalsistema1.4.Diremos quec1, c2, . . . , cnes una soluciondel sistema1.4si al sustituir x1=c1, x2=c2, . . . , xn= cnen1.4,lasigualdadessonsatisfechas.Sedicequeelsistema1.4esInconsistentesinotienesolucionalguna.Consistentesitienealmenosunasolucion,cuandotieneuna unicasolucion,sedicequees consistentedeterminado, sitienemasdeunasolucion,sedicequees consistenteindeterminado.Observaci on1.18. Engeneral, noharemosdiferenciaal referirnosal sistemayasurepre-sentacionmatricial.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 29Observaci on1.19. TodosistemahomogeneoAx=0/m1esconsistente, x=0/n1essoluciondeeste,lacual esllamadasoluciontrivial.Observaci on1.20. EsclarosiA Mmn(R)yx =__x1x2...xn__ Mn1(R),entoncesAx = x1A(1)+ x2A(2)+ + xnA(n)Ejemplo1.16.1._3x1+2x26x3= 0x1+5x27x3= 4esunsistemadeecuaciones linealesdedosecuaciones ytresincognitas,esnohomogeneo,surepresentacionmatriciales_3 2 61 5 7___x1x2x3__=_04_Lamatrizesylamatrizampliadadel sistemason,respectivamente_3 2 61 5 7_y_3 2 6 01 5 7 4_lasmatricesincognitasydeterminosindependientesson,respectivamente__x1x2x3__y_04_2.___6x 2y +9z = 15x +12y 3z = 2x 6z = 6esunsistemadeecuacioneslinealescuadradocontresecuacionesytresincognitas,esnohomogeneoysurepresentacionmatricial esMatricesySistemasdeEcuacionesLineales 30__6 2 95 12 31 0 6____xyz__=__126__El sistemahomogeneoasociadoaestesistemaes___6x 2y +9z = 05x +12y 3z = 0x 6z = 0

Una pregunta que surge de manera inmediata es como garantizar que un sistema de ecuacioneslineales es consistenteoinconsistente?yencasodequeseaconsistentecomoresolver dichosistema?HaremosusodelasmatricesylasOEFpararesponderambaspreguntas, peroantesdaremoslasbasesteoricasquenospermitanusardichasherramientas.Teorema 1.14. SeanAx=byCx=dlasrepresentacionesmatricialesdedossistemasdeecuacioneslinealesconmecuacionesynincognitas.Supongamosquelasmatrices[A[b]y[C[d]sonequivalentesporlas.Entoncesambossistemastienenexactamentelasmismassolucionesoningunotienesoluci on.Demostraci on. Dado que las matrices [A[b] y [C[d] son equivalentespor las, entonces existenOEFf1, f2, . . . , fr: Fm(R) Fm(R)talesque(f1 f2 fr)([A[b]) = [C[d]porlaparte3delcorolario1.12(f1 f2 fr)(A) = C y (f1 f2 fr)(b) = dyporlaparte2delmismocorolario,tenemosque(f1 f2 fr)(Ax) = (f1 f2 fr)(A)xAsque,siAx = b,entoncesCx = (f1 f2 fr)(A)x = (f1 f2 fr)(Ax) = (f1 f2 fr)(b) = dMatricesySistemasdeEcuacionesLineales 31Ademas,envirtuddelejercicio1.3,f1, f2, . . . , frsoninvertiblesyf11, f12, . . . , f1rsontambienOEFsobreFm(R),luego,siCx = d,entoncesAx = (f1 f2 fr)1(C)x = (f1r f12 f11)(C)x=(f1r f12 f11)(Cx)=(f1r f12 f11)(d)=(f1 f2 fr)1(d)=bPorlotantoAx = bsiysolosiCx = d,enconsecuencia, oambossistemassoninconsistentesoambostienenla(s)misma(s)solucion(es).Observaci on 1.21. Cuandolamatriz del sistemaes unamatriz ERF, es facil decidirsi elsistemaesonoconsistente,yencasodeserlo,essencillohallarla(s)solucion(es)deeste.Laideaes hallarlaFERFdelamatriz ampliadadel sistema, yenvirtuddelteorema1.14, resolver,demanerasencilla,elsistemadado.Corolario1.15. SeanA, C Mmn(R)yb, d Mm1(R)talesque[C[d]eslaFERFde[A[b].El sistemaAx=btienesolucionsi ysolosi el n umerodelasnonulasde[C[d] esigual aln umerodelasnonulasdeC.Demostraci on. Ejercicio!Ejemplo1.17. Decidircualdelossiguientessistemassonconsistentesycualesno,encasodeserlo,mostrarsu(s)soluci on(es).1.___2x +y z = 12x y +5z = 5y +3z = 22.___2x +y z = 2x 2y +4z = 35x 4y +8z = 9y +3z = 23.___x +y 2z +w = 14x +2y +2z = 22y 10z +3w = 3MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 324.___x +y 2z +w = 14x +2y +2z = 22y 10z +4w = 3Soluci on.1. Lamatrizampliadadelsistemaes__2 1 1 12 1 5 50 1 3 2__HallemossuFERF__2 1 1 12 1 5 50 1 3 2__F1 12F1__11212122 1 5 50 1 3 2__F2 F22F1__11212120 2 6 40 1 3 2__F1 12F1__11212120 1 3 20 1 3 2__F1 F112F2F3 F3 + F2__1 0 1320 1 3 20 0 0 0__La ultimaladeesta ultimamatrizequivalealaecuacion0x + 0y + 0z= 0,quenoaportanadaalasolucion.Asqueelsistemadadoesequivalentealsistema_x +z =32y 3z = 2queasuvezequivalea_x = z +32y = 3z 2Luego el sistema dado es consistente indeterminado. Haciendo z= , con R, obtenemosx = +32; y= 3 2Enconsecuencialasoluciondelsistemadadovienedadaporx = +32; y= 3 2; z= ; con RMatricesySistemasdeEcuacionesLineales 33obien__xyz__=__ +323 2__= __131__+__3220__; con R2. Enestecasolamatrizdelsistemaes__2 1 1 21 2 4 35 4 8 90 1 3 2__VamosahallarsuFERF__2 1 1 21 2 4 35 4 8 90 1 3 2__F1 F2__1 2 4 32 1 1 25 4 8 90 1 3 2__F2 F22F1F3 F35F1__1 2 4 30 5 9 80 6 12 60 1 3 2__F2 F4__1 2 4 30 1 3 20 6 12 60 5 9 8__F2 F2__1 2 4 30 1 3 20 6 12 60 5 9 8__F1 F1 + 2F2F3 F36F2F4 F45F2__1 0 2 70 1 3 20 0 6 180 0 6 18__F3 16F3__1 0 2 70 1 3 20 0 1 30 0 6 18__F1 F1 + 2F3F2 F2 + 3F3F4 F46F3__1 0 0 10 1 0 70 0 1 30 0 0 0__Luego,elsistemadadoesequivalentealsistema___x = 1y = 7z = 3MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 34Porlotantoelsistemaesconsistentedeterminadoysusolucionesx = 1; y= 7; z= 3obien__xyz__=__173__3. HallemoslaFERFdelamatrizampliadadelsistemaquees__1 1 2 1 14 2 2 0 20 2 10 3 3____1 1 2 1 14 2 2 0 20 2 10 3 3__F2 F24F1__1 1 2 1 10 2 10 4 60 2 10 3 3__F2 12F2__1 1 2 1 10 1 5 2 30 2 10 3 3__F1 F1F2F3 F32F2__1 0 3 1 20 1 5 2 30 0 0 1 3__F3 F3__1 0 3 1 20 1 5 2 30 0 0 1 3__F1 F1 + F3F2 F22F3__1 0 3 0 10 1 5 0 30 0 0 1 3__Enconsecuenciaelsistemadadoesequivalentealsistema___x +3z = 1y 5z = 3w = 3oequivalentemente___x = 3z + 1y = 5z 3w = 3MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 35Porlotantoelsistemaoriginalesconsistenteindeterminado.Haciendoz= ,con R,tenemosquelasoluciondelsistemaes__xyzw__=__3 +15 33__= __3510__+__1303__; con R4. HallemoslaFERFdelamatriz__1 1 2 1 14 2 2 0 20 2 10 4 3__queeslamatrizampliadadelsistema__1 1 2 1 14 2 2 0 20 2 10 4 3__F2 F24F1__1 1 2 1 10 2 10 4 60 2 10 4 3__F3 F3 + F2__1 1 2 1 10 2 10 4 60 0 0 0 3__SinnecesidaddellegaralaFERFdelamatriz, vemosquela ultimaladeesta ultimamatrizequivalealaecuacion0x + 0y + 0z + 0w = 3lacualescontradictoria,enconsecuencia,elsistemaoriginalesinconsistente.Teorema1.16.El sistema homogeneo Ax = 0/m1, con A Mmn(R), tiene innitas solucionessi m jydet(A) = a11a22 ann.Supongamos que det(A) ,= 0. Luego aii ,= 0 para cada i 1, . . . , n. Como aij= 0 para i > j,entoncesparacadai 1, . . . , n,laprimeracomponentenonulaenlai-esimalaesaii,yporserAunamatrizERF,setienequeaii= 1paracadai 1, . . . , n,esdecir,aiiesunpivoteyporlotantoaij= 0parai ,= j(porque?).Enresumenaij=_1 sii = j0 sii ,= jEsdecir,A = In.Recprocamente,siA = In,entoncesdet(A) = 1 ,= 0.Enel siguienteteoremasedaunanuevaequivalenciaqueinvolucralainversadeunamatrizcuadrada.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 63Teorema1.38. SeaA Mnn(R).EntoncesAesinvertiblesiysolosidet(A) ,= 0.Demostraci on. Sea B Mnn(R) la FERF A. Entonces existen matrices elementales E1, E2, . . . , Er Mnn(R)talesqueB=E1E2 ErA. Comodet(Ei) ,=0paracadai 1, . . . , r, entoncesdet(A) ,=0si ysolosi det(B) ,=0;yusandoelteorema1.37setienequeB=In.Porlotantodet(A) ,= 0siysolosilaFERFdeAesIn,locualconcluyelaprueba.Teorema1.39. SeanA, B Mnn(R).Entoncesdet(AB) = det(A) det(B).Demostraci on.Caso1. det(A) = 0. As que, en virtud del teorema1.38, A no es invertible.Luego, usandoel ejercicio1.7, se tieneque ABno es invertible,y nuevamentepor el teorema1.38 setienequedet(AB) = 0.Porlotantodet(AB) = 0 = 0 det(B) = det(A) det(B)Caso2. det(A) ,=0. LuegoAesinvertible, envirtuddel teorema1.38. As que, al usarelteorema1.22,tenemosqueexistenmatriceselementalesE1, E2, . . . , Er Mnn(R)talesqueA = E1E2 Er.Luego,porelcorolario1.36det(A) = det(E1E2 Er) = det(E1) det(E2)det(Er) ydet(AB) = det(E1E2 ErB) = det(E1) det(E2)det(Er) det(B) = det(A) det(B)1.6. MatrizAdjunta.RegladeCramerEnestasecciondeniremoslaadjuntadeunamatrizyenunciaremosla regladeCramer,que a pesar de no ser una herramientamuy usada en la actualidad, es una interesanteaplicaciondelosdeterminantes.Denici on1.22.Sea A Mnn(R). Se dene la matrizadjunta de A como la matriz adj(A) Mnn(R)cuyaij-esimacomponenteesel ji-esimocofactordeAparacadai, j 1, . . . , n,esdecir,siadj(A) = (bij)nn,entoncesbij= CAjiparacualesquierai, j 1, . . . , n.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 64Observaci on1.28. Si C=(CAij)nn, esdecir, si Ceslamatrizreal cuadradacuyaij-esimacomponenteeselij-esimocofactordeAparacadai, j 1, . . . , n,entoncesadj(A) = CT.Ejemplo1.37. HallarlaadjuntadeA =__2 1 31 0 24 1 7__Soluci on. NecesitamoshallarcadaunodeloscofactoresdeA.VeamosCA11= (1)1+10 21 7= 2; CA12= (1)1+21 24 7= 1; CA13= (1)1+31 04 1= 1;CA21= (1)2+11 31 7= 4; CA22= (1)2+22 34 7= 2; CA23= (1)2+32 14 1= 2;CA31= (1)3+11 30 2= 2; CA32= (1)3+22 31 2= 1; CA33= (1)3+32 11 0= 1;Asqueadj(A) =__CA11CA21CA31CA12CA22CA32CA13CA23CA33__=__2 4 21 2 11 2 1__Teorema1.40. SeaA Mnn(R).EntoncesAadj(A) = det(A)In= adj(A)A.Demostraci on. Hagamosadj(A)=(bjk)nn.Asqueparacadaj, k 1, . . . , n,setienequebjk= CAkj.SihacemosAadj(A) = D = (dik)nn,entonces,paracadai, k 1, . . . , n,tenemosquedik=n

j=1aijbjk=n

j=1aijCAkj.Peron

j=1aijCAij= det(A)MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 65yseg unelteorema1.34,sii ,= k,entoncesn

j=1aijCAkj= 0Porlotantodik=_det(A) sii = k0 sii ,= k= det(A)_1 sii = k0 sii ,= k= det(A)ikdondeIn=(ik)nn. EnconsecuenciaAadj(A)=det(A)In. Demaneraanalogasepruebaqueadj(A)A = det(A)In,locualconcluyelaprueba.Teorema1.41.Si A Mnn(R) es invertible, entonces det(A1) =1det(A)y A1=1det(A) adj(A).Demostraci on. ComoAesinvertible, entoncesexisteA1Mnn(R)tal queAA1=In=A1A,yporelteorema1.39det(A) det(A1) = det(AA1) = det(In) = 1.Luegodet(A1) =1det(A).Porotrolado,usandoelteorema1.40,setienequeA_1det(A) adj(A)_=1det(A)Aadj(A) =1det(A) det(A)In= In.DedondeA1=1det(A) adj(A).Ejercicio1.9.Sea A Mnn(R) una matriz invertible. Pruebe que adj(A) tambien es invertibleyademas(adj(A))1= adj(A1).MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 66ConsideremoslaecuacionmatricialAx = b,dondeA Mnn(R).SiAesinvertible,entoncesla unicasoluciondedichaecuacionestadadaporx=A1b, as que, unaformadehallarlasolucionde laecuacionencuestion,escalcularlainversade Ay multiplicarlapor b,peroquizasestoesmuchomascomplicadoycostoso(enterminos decalculos) quehallarlaFERFdelamatriz[A[b].Enel siguienteteoremapresentaremosunaherramientaquepermiteresolverlaecuacionan-teriorusandodeterminantes, sinnecesidaddehallarlainversadeAnilaFERFde[A[b],dichaherramientaseconoceconelnombredelaregladeCramer.Teorema1.42(RegladeCramer). SeaA Mnn(R)unamatrizinvertibleyb Mn1(R).Six =__x1x2...xn__es la soluci on de la ecuacion Ax = b, entonces, para cada j 1, . . . , n, xj=det(Abj)det(A) ,dondeAbjeslamatrizqueseobtienedeAal reemplazarA(j)(lacolumnaj)porb,estoes,Abj=_A(1) A(j1)b A(j+1) A(n)_Demostraci on. Como A = (aij)nnes invertible, entonces la unica solucion del sistema Ax = besx = A1b,peroA1=1det(A) adj(A),asquex =1det(A) adj(A)b,porlotanto,sib =__b1b2...bn__,entoncesxj=1det(A)n

i=1CAijbiparacadaj 1, . . . , n.Porotrolado,paracadaj 1, . . . , n,setienequeAbj=__a11 a1(j1)b1a1(j+1) a1n...............a(i1)1 a(i1)(j1)bi1a(i1)(j+1) a(i1)nai1 ai(j1)biai(j+1) aina(i+1)1 a(i+1)(j1)bi+1a(i+1)(j+1) a(i+1)n...............an1 an(j1)bnan(j+1) ann__Porlotanto,paracadai 1, . . . , n,tenemosqueMAbjij= MAijyasCAbjij= (1)i+jdet_MAbjij_= (1)i+jdet_MAij_= CAijMatricesySistemasdeEcuacionesLineales 67Luego,aldesarrollareldeterminantedeAbjpormediodelaj-esimacolumna,obtenemosdet(Abj) =n

i=1CAbjijbi=n

i=1CAijbiEnconsecuencia,paracadaj 1, . . . , ntenemosquexj=det(Abj)det(A)Ejemplo1.38. Vericarquelamatrizdel sistema___x +2z w = 3x +y +2z +w = 24x +2y +2z 3w = 12y +z +4w = 1esinvertibleyusarlaregladeCramerparahallarlasoluci ondel sistema.Soluci on. LamatrizdelsistemaesA =__1 0 2 11 1 2 14 2 2 30 2 1 4__hallemossudeterminantedet(A) =1 0 2 11 1 2 14 2 2 30 2 1 4=1 0 2 10 1 0 20 2 6 10 2 1 4=1 0 22 6 12 1 4=1 0 02 6 32 1 0=6 31 0= 3 ,= 0.Porlo tantola matrizdel sistemaesinvertible,as que podemosaplicarla reglade Cramerpararesolverlo.Enestecasolamatrizdeterminosindependientesesb =__3211__MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 68Luegodet_Ab1_=3 0 2 12 1 2 11 2 2 31 2 1 4=0 6 1 130 3 0 70 0 1 71 2 1 4= 6 1 133 0 70 1 7= 6 0 203 0 70 1 7=6 203 7= 42 60 = 18.det_Ab2_=1 3 2 11 2 2 14 1 2 30 1 1 4=1 3 2 10 1 0 20 11 6 10 1 1 4=1 0 211 6 11 1 4=1 0 011 6 211 1 6= 6 211 6= (36 + 21) = 15.det_Ab3_=1 0 3 11 1 2 14 2 1 30 2 1 4=1 0 2 10 1 1 20 2 11 10 2 1 4=1 1 22 11 12 1 4=1 1 20 9 30 3 0=9 33 0= 9.det_Ab4_=1 0 2 31 1 2 24 2 2 10 2 1 1=1 0 2 30 1 0 10 2 6 110 2 1 1=1 0 12 6 112 1 1=1 0 02 6 92 1 3=6 91 3= 18 + 9 = 9.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 69Enconsecuenciax=det_Ab1_det(A)= 183= 6; y=det_Ab2_det(A)=153=5; z=det_Ab3_det(A)=93=3;w =det_Ab4_det(A)= 93= 3,esdecir,lasoluciondelsistemadadoes:__xyzw__=__6533__Ejemplo1.39. Unafabricaproducetrestiposdeproductos,mezclandoparaellotresmateriasprimas. Sesabequeparafabricar unaunidaddel producto1, senecesitan, unaunidaddelamateria prima 1, tres unidades de la materia prima 2 y dos unidades de la materia prima 3; parafabricarunaunidaddel producto2,senecesitan,unaunidaddelamateriaprima1ytresdelamateria prima 2; nalmente, para fabricar unaunidad del producto 3, se necesitan, tres unidadesdelamateriaprima1, tresdelamateriaprima2ydosdelamateriaprima3: Si estemeslafabricacuentaconseismillonesdeunidadesdelamateriaprima1,12millonesdeunidadesdelamateriaprima2yseismillonesdelamateriaprima3cuantasunidadesdecadaproductopuedeproducirlafabricausandoeltotal delasmateriasprimas?Soluci on. Paracadai 1, 2, 3, seaxilasunidades(enmillones)del productoiquepuedeproducirlafabrica.Porlotanto,lacantidaddeunidades(enmillones)queseusaranes:x1 + x2 + 3x3delamateria13x1 + 3x2 + 3x3delamateria22x1 + 2x3delamateria3Comosequiereusareltotaldelasmateriasprimas,entonces___x1+x2+3x3= 63x1+3x2+3x3= 122x1+2x3= 6MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 70Enestecaso, lamatrizdel sistema, lamatrizdeincognitasylamatrizdeterminosindepen-dientesson,respectivamente:A =__1 1 33 3 32 0 2__; x =__x1x2x3__y b =__6126__Veamos si podemos aplicar laregladeCramer, paraellocalculemos el determinante delamatrizdelsistema.det(A) =1 1 33 3 32 0 2=1 1 30 0 62 0 2= 0 62 2= 12 ,= 0.Comolamatrizdelsistemaesinvertible,podemosusarlaregladeCramer.det_Ab1_=6 1 312 3 36 0 2=6 1 36 0 66 0 2= 6 66 2= (12 + 36) = 24.det_Ab2_=1 6 33 12 32 6 2=1 6 30 6 60 6 4=6 66 4= 24 36 = 12.det_Ab3_=1 1 63 3 122 0 6=1 1 60 0 62 0 6= 0 62 6= 12.Porlotantox1= 2412=2; x2= 1212=1yx3= 1212=1, esdecir, usandoel total delamateriaprima, sepuedenfabricardosmillonesdeunidadesdel producto1yunmillondeunidadesdecadaunodelosproductos2y3.1.7. Determinantes de Matrices Triangulares por BloquesEnesta ultimaseccionestamosinteresadosenestudiarunpocolasmatrices expresadasporbloques,lascualesnosserviranparaelestudiodelaformacan onicadeJordan(verlaseccion4.6delcaptulo4),noharemosunestudiomuyextenso,sololonecesario.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 71Denici on1.23. Seanm1, m2, . . . , mr, n1, n2, . . . , ns Z+, m=m1+ m2 ++ mryn=n1+n2++ns. Paracadai 1, . . . , ry cadaj 1, . . . , sconsideremos lamatrizAij Mminj(R).LamatrizA Mmn(R)dadaporA =__A11A12 A1sA21A22 A2s.........Ar1Ar2 Ars__sedicequeestaexpresadaporbloquesyparacadai 1, . . . , rycadaj 1, . . . , s, lamatrizAijesllamadasubmatrizomatrizbloquedeA.Ejemplo1.40. SidenimosA11=__2 1 04 2 16 7 2__; A12=__3 55 29 1__; A21=_3 1 37 1 2_; A22=_0 41 3_entoncesA =__A11A12A21A22__=__2 1 0 3 54 2 1 5 26 7 2 9 13 1 3 0 47 1 2 1 3__=__2 1 0 3 54 2 1 5 26 7 2 9 13 1 3 0 47 1 2 1 3__

SeanA, B Mmn(R).Sim1, m2, . . . , mr, n1, n2, . . . , ns Z+soncomoenladenicin1.23ysiparacadai 1, . . . , rycadaj 1, . . . , sdenimosAij, Bij Mminj(R)detalmaneraqueA =__A11A12 A1sA21A22 A2s.........Ar1Ar2 Ars__y B=__B11B12 B1sB21B22 B2s.........Br1Br2 Brs__entoncesesclaroqueMatricesySistemasdeEcuacionesLineales 721. A =__A11A12 A1sA21A22 A2s.........Ar1Ar2 Ars__2. A + B=__A11 + B11A12 + B12 A1s + B1sA21 + B21A22 + B22 A2s + B2s.........Ar1 + Br1Ar2 + Br2 Ars + Brs__3. AT=__AT11AT21 ATr1AT12AT22 ATr2.........AT1sAT2s ATrs__Otroresultado no tanobvio como los anteriores, pero nopor ello muycomplicado, es elsiguiente.SeanA Mmn(R)yB Mnp(R). Si m1, m2, . . . , mr, n1, n2, . . . , ns Z+soncomoenladenicion 1.23 y p1, p2, . . . , pt Z+son tales que p = p1+p2++pt y si para cada i 1, . . . , r,cadaj 1, . . . , sycadak 1, . . . , tdenimosAij Mminj(R), Bjk Mnjpk(R)detalmaneraqueA =__A11A12 A1sA21A22 A2s.........Ar1Ar2 Ars__y B=__B11B12 B1tB21B22 B2t.........Bs1Bs2 Bst__entoncesAB=__C11C12 C1tC21C22 C2t.........Cr1Cr2 Crt__donde para cada i 1, . . . , r y cada k 1, . . . , t se tiene que Cik Mmipk(R) esta dada porCik= Ai1B1k + Ai2B2k + + AisBsk=s

j=1AijBjk.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 73Teorema1.43. SeanB Mmm(R),C Mmn(R)yD Mnn(R)talesqueA =__B C0/nmD__Entoncesdet(A) = det(B) det(D).Demostraci on. Fijemosnyprocedamosporinduccionsobrem.Veriquemosquesecumpleparam = 1.Enestecaso,B= [b]conb RyA =__b C0/n1D__AldesarrollareldeterminantedeAmediantelaprimeracolumnaseobtienedet(A) = bCA11= b(1)1+1det_MA11_= b det(D) = det(B) det(D)(Hipotesis Inductiva) Supongamos que se cumple para m1, es decir, si B M(m1)(m1)(R),C M(m1)n(R)yD Mnn(R)sontalesqueA =__B C0/n(m1)D__entoncesdet(A) = det(B) det(D).Probemosquesecumpleparam. SeanB Mmm(R), C Mmn(R)yD Mnn(R)talesqueA =__B C0/nmD__Luego,aldesarrolareldeterminantedeA,pormediodelaprimeracolumna,obtenemosdet(A) =m

i=1bi1(1)i+1det_MAi1_dondeB= (bij)mm.Peroparacadai 1, . . . , ntenemosqueMAi1=__MBi1Ci0/n(m1)D__dondelamatrizCi M(m1)n(R)seobtienealeliminarlai-esimaladeC.MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 74Yusandolahipoteisinductiva,tenemosquedet_MAi1_= det_MBi1_det(D)Porlotantodet(A) =m

i=1bi1(1)i+1det_MBi1_det(D)=_m

i=1bi1(1)i+1det_MBi1__det(D)= det(B) det(D)locualconcluyelaprueba.Ejemplo1.41. SiA =__2 1 3 10 11 0 4 2 124 1 2 4 60 0 0 3 50 0 0 1 2__entoncesApuedeexpresarseporbloquescomosigueA =__2 1 3 10 11 0 4 2 124 1 2 4 60 0 0 3 50 0 0 1 2__Asquealusarel teorema1.43tenemosquedet(A) =2 1 31 0 44 1 23 51 2= 31 = 3

MatricesySistemasdeEcuacionesLineales 75Corolario 1.44. Seann1, n2, . . . , ns Z+, A Mnn(R) y Aij Mninj(R) para i, j 1, . . . , sconi jtalesquen1 + n2 + + ns= nyA =__A11A12 A1s0/n2n1A22 A2s............0/nsn1 0/nsns1Ass__Entoncesdet(A) = det(A11) det(A22)det(Ass)Demostraci on. Ejercicio!Observaci on1.29. Lasmatrices dadas enelteorema1.43yel corolario1.44seconocen conelnombredematricestriangularessuperiorporbloques, demaneraanalogasedenenlasmatricestriangularesinferiorporbloques.Esclaroquelatranspuestadeunamatriztriangularsuperiorporbloquesesunamatriztri-angularinferiorporbloques(yviceversa),enconsecuencia,el teorema1.43yel corolario1.44,siguensiendovalidosparamatricestriangularesinferiorporbloques.Unamatrizqueseatriangularsuperioreinferiorporbloques, simultaneamente, esllamadamatrizdiagonal porbloques.Captulo2EspaciosVectorialesEstees, quizas,el captulomas importante de todo el curso,por locual pedimos sealedoconmuchodetenimiento, lamayorpartedelasdenicionesyteoremastratadosacaseusaranconbastantefrecuenciaenelrestodeloscaptulos.2.1. EspaciosVectorialesDenici on2.1. Unespaciovectorial real esunaterna(V, +, )formadaporunconjuntonovacoV, cuyoselementosllamaremos vectores, ydosoperacionesbinarias+: VV V, llamada adicionvectorial, y: RV V, llamada multiplicacionpor escalar,satisfaciendolassiguientescondicionesA0. u + v Vparacualesquierau, v V(cerraduradelaadicionvectorial)A1. u+v = v+u para cualesquiera u, v V (conmutatividadde la adicion vectorial)A2. (u+v)+w= u+(v+w) para cualesquiera u, v, w V (asociatividaddela adicionvectorial)A3. Existe0/V Vtal quev + 0/V=vparacadav V(existenciadeunelementoneutroparalaadicionvectorial)A4. Paracadav VexistevVtal quev+ v=0/V(existenciadeunelementoopuestoparalaadicionvectorial)M0. v Vparacualesquiera Ryv V(cerraduradelamultiplicacionporescalar)M1. ( +)v = v +vparacualesquiera, Ryv V(distributividaddelamultiplicacionporescalarrespectoalaadicionescalar)M2. (u +v) = u +vparacualesquiera Ryu, v V(distributividaddelamultiplicacionporescalarrespectoalaadicionvectorial)76EspaciosVectoriales 77M3. ()v= (v) = (v)paracualesquiera, Ryv V(asociatividaddelamultiplicacionescalarylamultiplicacionporescalar)M4. 1v= vparacadav V(existenciadeunelementoneutroparalamultipli-cacionporescalar)Observaci on2.1. Esdehacer notar quelas expresiones aladerechadelas igualdades enM1.yM2.nosonambiguas pues,apesardenohaberlodicho,laoperaci on+tienemayorjerarquaquelaoperacion , estoes, (u) + v puedeserescritocomou + v peroenlaexpresion(u + v)nopuedensuprimirselosparentesis.Observaci on2.2. Ladenicion2.1sepuedeextenderconsiderandouncampocualquieraK(verapendicesAyB)enlugardeR,encuyocasodiremosqueVesunK-espaciovectorialyloselementosdeKsonllamados escalares. Porejemplo, podemosescogerK=CyenestecasoVesllamadoespaciovectorialcomplejo.Enloquerestadel curso, soloconsideraremosespaciosvectorialesreales, salvoquesedigalocontrario,ynosreferiremosaestoscomoespaciosvectoriales(e.v.)enlugardeespaciosvectorialesreales,amenosquehayaerroraconfusion.Observaci on2.3. Enadelante, siemprequenohayaerroraconfusion, enlugardeescribirvescribiremosv.Observaci on2.4. Nosreferiremosal conjuntoVcomoespaciovectorial, siemprequenosetiendaaconfusion,enlugardelaterna(V, +, ),sobrentendiendolasoperaciones+y Ejemplo2.1.1. El conjuntoRn= (x1, x2, . . . , xn):xi Rparacadai 1, . . . , njuntoconlasopera-ciones+y dadascomosigue(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)(x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xn)donde Ry(x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) Rn,esunespaciovectorial(verifquelo!)

EspaciosVectoriales 782. El conjuntoMmn(R)juntoconlasoperaciones+y ,dadasenlasdeniciones1.4y1.5respectivamente, del captulo1,es unespaciovectorial (verel teorema1.2enelcaptulo1)

3. ConsideremosunamatrizA Mmn(R).Losconjuntoso= x Mn1(R) : Ax = 0/m11 = y Mm1(R) : Ax = y paraalg un x Mn1(R)juntocon las operaciones +y denidas en el captulo1, son espacios vectoriales (pruebe-lo!)oes llamadoespaciosoluciondelsistemahomogeneoAx = 0/m1oespacionulodeA,y 1esllamadoel espacioimagendeA.Estosespaciosserantratadosformalmenteyendetalleenlaseccion2.6delpresentecaptulo. 4. Sean N.DenamosPn[x] = a0 + a1x + + anxn: a0, a1, . . . , an REsdecir,Pn[x] estaformadoportodoslospolinomiosconcoecientesrealesenlavariablexdegradomenoroigual anincluyendoel polinomionulo.SobrePn[x] consideremoslasoperacionesusualesdeadiciondepolinomiosymultiplicaciondeunn umeroreal porunpolinomio.EntoncesPn[x]esunespaciovectorial(pruebelo!)Engeneral,sidenimosel conjuntoP[x] = p(x) : p(x)esunpolinomioenlavariablexentoncesP[x]esunespaciovectorialjuntoconlasoperacionesusualesantesmencionadas(pruebelo!)Esdehacernotar queel polinomionulo O(x) = 0notienegrado!(por que?), ademas,paracadan NsetienequePn[x] ,= (por que?) yPn[x] Pn+1[x] P[x](por que?)5. Seana, b Rcona