RECTAS Y PLANOS

1. Hallar la ecuacin vectorial de la recta L que pasa por los puntos . RPTA.

2. Hallar un punto Q de la recta que est ms prximo al punto .

3. Determinar el ngulo entre la recta y la recta . RPTA.

4. Hallar la ecuacin de la recta L que pasa por el punto , y que intersecta a la recta en ngulo recto.

5. Hallar la recta L que pasa por el punto , es ortogonal a la recta y que se corta con la recta , . RPTA.

6. Hallar las ecuaciones vectoriales de las rectas

a) Que pasa por el origen y sus ngulos directores

b) Que pasa por , con ngulos directores

7. Hallar las ecuaciones paramtricas de la recta L que pasa por el punto y que corta a las rectas y . RPTA.

8. Se dan las recta , y . Hallar

a) (punto de interseccin)

b) (distancia de punto a recta)

9. Dados los puntos , hallar el punto C de la recta tal que . RPTA.

10. Hallar las ecuaciones del movimiento del punto , cuya posicin inicial es , si el movimiento es rectilneo y uniforme y va en direccin del vector , con la velocidad .

11. Calcular la distancia del punto a la recta .

RPTA.

12. Hallar la ecuacin vectorial de la recta L, que intercepta en ngulo recto a las rectas .

13. Determinar la ecuacin del plano que pasa por los puntos . . RPTA.

14. Un plano es paralelo al plano , si el punto es equidistante de ambos planos. Hallar la ecuacin del plano .

15. Un plano pasa por el punto y es ortogonal a los planos y . Hallar la ecuacin del plano . RPTA. 3x-14y-19z+67=016. Un plano pasa por el punto y su traza con el plano XY es la recta , Hallar su ecuacin.

17. Hallar la ecuacin del plano que pasa por la recta de interseccin de los planos y es paralelo a la recta cuyo vector director es . RPTA.

18. Calcular la distancia el punto al plano .19. Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto , es ortogonal al plano XZ, y hace un ngulo con el plano de ecuacin .

RPTA.

20. El volumen de un tetraedro formado por un cierto plano y los planos coordenados es . Hallar la ecuacin del plano si es paralelo al plano .21. Dados los puntos , hallar el punto R del plano tal que con P y Q sean los vrtices de un tringulo equiltero. (Dos soluciones). RPTA.

22. Sean P1: 3x + y z =1 y P2: x y + 3z = 1 dos planos. Hallar las ecuaciones paramtricas de la recta L que pasa por las proyecciones del punto Q= ( 1,1,1) sobre cada plano. 23. Hallar la ecuacin vectorial de la recta, cuya proyeccin ortogonal sobre el plano XZ es la recta y cuya proyeccin ortogonal sobre el plano XY es la recta .

RPTA.

24. Una partcula comienza a moverse en el punto y se mueve con una velocidad constante . Cunto tarda la partcula en alcanzar al plano ? 25. En que direccin debera moverse la partcula del problema anterior para alcanzar al plano en tiempo mnimo? Si el mdulo de la velocidad es el mismo que en el problema anterior. Cul es el tiempo mnimo?

RPTA. La partcula para alcanzar al plano , en un tiempo mnimo, debe seguir la direccin de la normal del plano: . En ste caso el tiempo que utiliza para alcanzar el plano es

26. Hallar la ecuacin vectorial de la recta, cuya proyeccin ortogonal sobre el plano XZ es la recta y cuya proyeccin ortogonal sobre el plano XY es la recta .

27. Un proyectil A lleva la direccin que va en busca de un cohete B que lleva la direccin . a) Colisiona el proyectil A con el cohete B? b) Si no colisionan, halle la ecuacin vectorial de la recta que contiene la distancia mnima y halle esta distancia. RPTA.

a) El proyectil A, no colisiona con el proyectil B.

b) La distancia mnima entre las trayectorias es d=5 u.

28. Una partcula se dirige por la recta , al chocar con el espejo plano se refleja. Hallar la ecuacin de la recta en la cual se refleja la partcula.29. Dado el plano y la recta L .

a) Hallar los valores de para que la recta L est contenida en .

b) Existe valores de para que la recta L sea perpendicular al plano?

30. Un punto M se mueve en el espacio tridimensional de manera que en un instante de tiempo t se encuentra con el punto .

a) Es la trayectoria de M una recta? Si es as, escribir la ecuacin en dos formas distintas.

b) Determinar el instante de tiempo en el que el punto est en el plano dado por la ecuacin x 2y + z 7 = 0

c) Hallar la ecuacin de la recta que corta perpendicularmente la trayectoria de M y pasa por el punto Q(1, 1, 0).31. Dados los vectores a) Determinar los valores de para que los vectores sean linealmente independientes.

b) Es posible expresar el vector (2 , 2 , 2) como combinacin lineal de los vectores dados? Justifique su respuesta.32. La recta pasa por los puntos . Halle la recta que cumpla las condiciones:

a)

b)

33. Halle la ecuacin cartesiana del plano que pasa por los puntos,

.

Nota: las preguntas 33, 34 es parte del examen parcial 2011-IIESPACIOS VECTORIALES SUBESPACIOS

SISTEMA DE GENERADORES BASE Y DIMENSIN1. Determinar si los siguientes conjuntos son o no, R-espacios vectoriales: a) ; siendo RPTA. A, es un R- espacio vectorialb) ; siendo .

RPTA. V, es un R- espacio vectorial. c) ; siendo sobre .RPTA. Pn, no es un K - espacio vectorial. 2. Sea el conjunto de las funciones definidas en los reales con valores reales tal que para f, g en F y a en estn definidas en F, verificar que F es un espacio vectorial.

3. Determinar si los siguientes conjuntos son , o no ; subespacios vectoriales de de :

a) RPTA. T,no es subespacio de R3 .

b) RPTA. S, s es subespacio de R3 .

c) RPTA. A, s es subespacio de R3

d) RPTA. B, s es subespacio de R3 e) RPTA. W, no es subespacio de R3

f) RPTA. T, no es subespacio de R3 g) Dado una matriz , verificar si es un subespacio vectorial de . RPTA. A, s es subespacio de Knx1.4. En , probar que los vectores son linealmente independientes5. Si son vectores linealmente independientes en V con n impar. Probar que son tambin linealmente independientes. Dar un ejemplo en la que esta afirmacin es falsa cuando n es par. RPTA.

a) Se demuestra, mediante la definicin de independencia lineal, que los vectores suma son L.I..

b) Cuando n par por ejemplo, sean: , entonces mediante operaciones elementales se obtiene que:

(, lo que demuestra que cuando n par, entonces los vectores: son L.D.6. Demostrar que si a, b, y c son tres nmeros reales distintos, no nulos, entonces los vectores son linealmente independientes.7. Halla los valores de x, para los cuales los vectores son linealmente independientes.RPTA. , es un conjunto de vectores L.I. si

8. Determinar si el conjunto A dado, es un conjunto de vectores linealmente dependientes o un conjunto de vectores linealmente independientes en el - espacio vectorial respectivo.

9. Sea V el espacio vectorial, donde . Determinar si el conjunto A, es un conjunto de vectores linealmente independientes o linealmente dependiente. siendo RPTA. A, es un conjunto de vectores L.D..10. En los siguientes ejercicios, determinar si S es un subespacio vectorial . Si lo es, hallar una base y su dimensina)

b)

d)

e)

f)

g)

11. a) Sea V un espacio vectorial y determinar si es subespacios vectoriales de V.

RPTA. W, no es subespacio de R2.b) Verificar si el conjunto es subespacio vectorial de

RPTA. S es subespacio de R3

12. Determine la ecuacin del subespacio vectorial de que tiene por base .13. Dada la matriz , encontrar todas las matrices que conmutan con ella. Probar que dichas matrices constituyen un subespacio vectorial de y determinar una base del mismo. i) RPTA.

ii)RPTA.

14. Dado el espacio , verificar que los conjuntos generan el mismo subespacio.

15. Es una base de P2(x)? Justifique.RPTA. El conjunto dado es base de P2(x), pues los vectores dados son L.I. y cualquier vector de P2(x), se expresa como C.L. de .16. Hallar una base y su dimensin del subespacio vectorial

17. Considerando subespacio de vectorial de.a) Hallar un conjunto de vectores generadores de W.RPTA.

b) Determinar una base del subespacio.RPTA.

c) Expresar el vector en dicha base.RPTA.

18. , son subespacios de , hallar

19. Sean S y T dos subespacios de tales que: y donde . Demostrar que

RPTA.

a)

b)

c)

20. Hallar , bases y dimensiones si:

Existe ? Justifique su respuesta.21. Si y . Hallar una base y la dimensin para Existe

RPTA.

a)

b) , entonces dim()=1, por lo tanto no existe:

22. Sea F el espacio vectorial de las funciones de tales que

EMBED Equation.DSMT4 . Probar que el conjunto de las funciones pares y el conjunto de las funciones impares son subespacios vectoriales de F, y que F es suma directa de A y B

23. Sea

a) Hallar el valor de a para que sea subespacio de

RPTA. a=0

b) Hallar una base de y

RPTA.

24. Consideremos el subespacio de formado por los vectores tales que

a) Hallar unas ecuaciones paramtricas del subespacio

b) Determinar una base del subespacio

c) Expresar el vector en dicha base.25. Sea 2 el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual a dos. Analizar si el conjunto de vectores

a) Genera el espacio 2

b) Es una base del espacio vectorial.

26. Dados los subespacios y

Hallar:

a) Las bases de

b) Las bases de c) La base de 27.

Consideremos el conjunto de matrices de la forma

con coeficientes reales y con las operaciones usuales entre matrices.

a) Verificar que es un espacio vectorial.

b) Hallar de modo que, 28. Sea el subespacio vectorial de ,

a) Verificar que es un subespacio de .

b) Hallar de modo que, .

TRANSFORMACIONES LINEALES

1. En los siguientes ejercicios es una funcin. Analizar si F es una transformacin lineal, en caso afirmativo hallar y sus dimensiones

a)

RPTA. T, s es una T.L.b) RPTA. T, no es una T.L.c) RPTA. T, s es una T.L.d) RPTA. T, no es una T.L.e)

RPTA. F, no es una T.L.f)

RPTA. F, s es una T.L.g)

RPTA. F, no es una T.L.2. Sea V el de los nmeros complejos y T una funcin . Determinar si T es una transformacin lineal.

Sugerencia:

3. Hallar el e de las siguientes transformaciones lineales

a)

RPTA.

b)

c) /

4. Hallar una transformacin lineal T/ tal que:

a)

b)

5. Dada la transformacin lineal/

a) Hallar una base y la dimensin de la

RPTA.

b) Hallar una base y la dimensin del

RPTA.

6. Seauna transformacin lineal: a) Hallar una base y dimensin del ncleo de T

b) Hallar una base y dimensin de la imagen de T

7. Sea V un K espacio vectorial, si es una transformacin lineal definida por donde es una aplicacin para cada Analizar si las son transformaciones lineales.RPTA. Las fi s constituyen T.L. 8. Si es una transformacin lineal tal que , y , hallar

9. Si es una transformacin lineal tal que , Hallar

RPTA.

10. Sea sobre el campo R, definimos () tal que verifica que T es una transformacin lineal11. Si . Hallar:

a) La transformacin lineal T. b)

RPTA. a) b)

12. Hallar una transformacin lineal cuya imagen sea generado por los vectores (1, 2, 3) y (4, 5, 6).

13. Si y son transformaciones lineales definidas por

y

Determinar

RPTA.

14. Dadas las transformaciones lineales y hallar a) Una expresin para

b) Determinar y sus respectivas dimensiones.15. Si es una transformacin lineal tal que . Analizar si T es un monomorfismo, en caso afirmativo hallar su inversa T*. a) T, es un Isomorfismo, entonces T, admite inversa.b)

16. Verificar si las siguientes transformaciones lineales son isomorfismos. Hallar sus inversas si es que existen

17. Sea la aplicacin lineal definida mediante donde

.

a) Es f monomorfismo? RPTA.: Puesto que T no es un monomorfismob) Es f epimorfismo?RPTA.: Puesto que dimIm(T)=3, entonces T es un epimorfismo.18. Sea la aplicacin lineal definida por

a) Hallar la matriz asociada a f respecto a las bases cannicas de

b) Analizar si f es inyectiva o suryectiva.

19. Dada la transformacin lineal .

a) Analizar si T es un monomorfismo RPTA. Puesto que , entonces T es un monomorfismo.b) Determinar si es que existe. RPTA.

c) Si existe, hallar

RPTA. 20. Si es la matriz asociada a la transformacin lineal respecto a las bases de respectivamente. Hallar .

21. Si es una matriz asociada la transformacin lineal respecto a las bases . Hallar .RPTA.

22. Hallar la matriz asociada a la T.L

23. La matriz determina una Transformacin lineal T: R3 R3 respecto a la base usual B = . Hallar una base y la dimensin de la imagen de T. matriz de T. RPTA. T es inyectiva y T es sobre, entonces T es un Isomorfismo. 24. Sea una transformacin lineal tal que

.

a) Describa su rango y halle una de sus bases

b) Halle su inversa si es que existe. Justifique su respuesta.

25. Sea la transformacin lineal definida por

F. Hallar la matriz asociada a en la base 26. Sean los subespacios de .

Construir, de modo que satisfaga las condiciones:

a)

lineal

b)

27. En consideremos

Construir una transformacin lineal de modo que satisfaga simultneamente las condiciones:

a)

b) sea epimorfismo

28. Sean, , .Hallar,

VALORES Y VECTORES PROPIOSDIAGONALIZACIN DE MATRICES

1. Determinar el polinomio caracterstico de las siguientes matrices

a) b) RPTA. a) b)

2. Hallar los valores y vectores propios de las siguientes matrices y base de cada espacio propio:

Si es posible, hallar una matriz invertible P para cada caso tal que sea matriz diagonal.3. Sea base de tal que , use

para hallar los valores y vectores propios de T. RPTA.

4. Se considera la matriz

a) Calcular los valores y vectores propios de A

b) Probar que A es diagonalizable y encontrar una matriz no singular P, tal que sea diagonal.

c) Demostrar que A es no singular, calcular

d) Probar que es la matriz nula. Interpretar este resultado en trminos del polinomio caracterstico de A. 5. Sea la TL definida . a) Hallar la matriz para las siguientes bases

b) Verificar que la accin de T se preserva por su representacin matricial, RPTA.

b) Para verificar que la accin de T se preserva, expresamos los vectores f1, f2, f3 como C.L. de sta base :

Luego hallamos las imgenes de stos vectores mediante la matriz A.

As

Por otro lado si aplicamos directamente la transformacin T, se tiene:

, igual podemos hacer con los vectores x2 , x3 o cualquier otro vector de R3. Lo que nos demuestra que la accin de la T.L. se preserva por su representacin matricial.6. Para cada uno de los siguientes operadores hallar todos los valores propios y una base para cada espacio propio.

7. Verificar que es un producto interno en

RPTA. S se verifica que la funcin dada para las componentes de los vectores u y v, constituye un producto interno en R28. Por el proceso de ortogonalizacin de Gram.-Schmidt, transformar las bases

a)

b)

en bases ortonormales.

9. Sea un subespacio generado por Hallar una base .RPTA.

10. Sea W = un conjunto ortogonal de Expresar el vector (2, 1, 3) como una combinacin lineal de los vectores de W.11. Sea S un subespacio vectorial de R4 generado por el conjunto de vectores . Aplicando el proceso de Gram Schmidt ortonormalizar la base B. RPTA.

12. Hallar una base del subespacio ortogonal a .13. Sea . Hallar una base ortogonal para V. RPTA.

14. Sea Hallar la matriz asociada a F en las bases de . 15. Dada la matriz

a) Hallar el polinomio caracterstico de A.

RPTA.

b) Calcular los valores y vectores propios de A.RPTA.

d) Es A diagonalizable? En caso afirmativo, hallar las matrices P y D tales que

RPTA. Puesto, que ,tiene , 3 vectores caractersticos L.I. , entonces A es diagonalizable.

16. Dada la matriz A =

a) Obtener los valores y vectores propios y una base del espacio propio.

b) Es diagonalizable la matriz A? Justifique

17. Dados los vectores linealmente independientes , mediante el proceso de Gram-Schmidt, construir una familia de vectores ortonormal. RPTA.

18. Considere , con el producto interior Euclidiano, utilice el proceso de GRAM SCHMIDT para transformar la base en una base ortonormal.19. Determinar condiciones sobre , de modo que la matriz sea diagonalizable20. Obtener los valores y vectores propios de la matriz 21. Obtener una base ortogonal para el subespacio W de dado por

como un producto interno.22.Sea la matriz,

a) Hallar los autovalores de .

b) Hallar los generadores de los autoespacios asociados a cada autovalor.

c) Verificar que los generadores de los autoespacios son linealmente

independientes.

d) Verificar que, es diagonal, donde es la base de los

autovectores y la funcin lineal dada por Prcticas y exmenes de 2014-II

Practica 1

Pregunta 1.( 2 puntos c/u) UNIDAD I

i) Determine la ecuacin de la recta que pasa por los puntos y

en su forma vectorial, paramtrica y simtrica.

ii) Dado la recta , escribir en su forma vectorial y paramtrica. Pregunta2. (4 puntos) UNIDAD I

Dado las rectas y , determine el punto de

interseccin y el ngulo entre las rectas.Pregunta3. (4 puntos) UNIDAD I

Determine la interseccin de la recta con el plano

Pregunta 4. (4punto) UNIDAD I Halle la ecuacin de todos los planos que se encuentran a dos unidades del origen de

coordenadas y tiene una normal que forma un ngulo de con los ejes e .Pregunta 5. (4 puntos) UNIDAD I

Determine la ecuacin del plano que pasa por el punto es perpendicular

al plano y su interseccin con el eje es .Prctica 2Pregunta 1.( 1 puntos c/u) UNIDAD II

Determinar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

i) es un subespacio vectorial sobre

ii) es un subepacio de

iii) es subepacio vectorial en

iv) es un subespacio vectorial sobre Pregunta 2. (4 puntos) UNIDAD II

Verificar que W

es un subespacio de R Pregunta 3. (4 puntos) UNIDAD II R . Hallar

el sub-espacio generado por los vectores de S y .

Pregunta 4. (4punto) UNIDAD II

Analice si el conjunto de vectores

, forman una base de .

Pregunta 5. (4 puntos) UNIDAD II Si el subespacio est generado por los polinomios

, , esto es,

, halle una base y su .Examen ParcialPregunta 1.( 2 puntos c/u) UNIDAD I

Dados la recta y el plano , determine:

i) El punto de interseccin de la recta con el plano.

ii) La ecuacin de la recta sobre el plano que pase por y que sea ortogonal a Pregunta2. (4 puntos) UNIDAD I

Halle la ecuacin del plano que pasa por el punto y que contiene a la

recta .Pregunta3. (4 puntos) UNIDAD I

Dado los planos , ,

y las rectas ,

, determine la ecuacin del plano que pasa por el punto de interseccin de los tres planos y que es paralelo a las dos rectas. Pregunta 4. (1 punto c/u) UNIDAD II

Justificando cada caso ,determine sii las siguientes proposiciones son vlidas:

i) es subespacio de

ii) es subespacio de

iii) es subespacio de

iv) es subespacio de

Pregunta 5. ( 2,2 puntos c/u) UNIDAD II

i) En , verifique que los conjuntos de vectores

generan el mismo subespacio.

ii) Halle la dimensin de los subespacios generados

Prctica 3Pregunta 1. ( 1 puntos c/u) UNIDAD II Sea RR / .

Verificar que T es una transformacin lineal.

Pregunta 2. (4 puntos) UNIDAD II Dada

la transformacin lineal,determine :

i) Si es inyectiva ii) El

iii) , Pregunta 3. (4 puntos) UNIDAD II Si R

R es una transformacin lineal tal que ,

, .Hallar la transformacin

lineal .

Pregunta 4. (4punto) UNIDAD II

Dada la transformacin lineal tal que i) Halle

ii) Determine , iii) Se puede afirmar que ?

Pregunta 5. (4 puntos) UNIDAD II

Dada la transformacin lineal T: R R tal que , analice:

i) Si es inyectiva

ii) Calcule

Prctica 4Pregunta 1. (3 puntos) UNIDAD II Dado la matriz , halle el polinomio caracterstico y sus races.

Pregunta 2. (2, 2,3 puntos c/u) UNIDAD II Dada la transformacin lineal

i) Determine la matriz asociada a respecto de la base cannica de cada espacio

ii) Halle la matriz de cambio de base de la base cannica

a la base

iii) Usando los resultados anteriores calcule la matriz de respecto de la base

en cada espacio.

Pregunta 3. (4, 2, 4 puntos c/u) UNIDAD II Dada la matriz

i) Halle los valores y vectores propios

ii) Determine la matriz de autovectores

iii) Halle aplicando el teorema de Cayley-Hamilton. Examen FinalPregunta 1. (4 puntos) UNIDAD 2 Dado el subespacio de .

Determine: i) Una base para ii) La . Pregunta2. (4 puntos) UNIDAD 3

Sea una transformacin lineal definida de tal forma que a los

elementos de la base de le hace corresponder

los vectores respectivamente. Determine la imagen del

vector mediante .Pregunta3. (4 puntos) UNIDAD 3 Halle una transformacin lineal tal que su imagen es

generado por los vectores

Pregunta 4. (4 punto c/u) UNIDAD 3

Sea donde , si

,

son las bases cannicas de y respectivamente .

i) Encuentre la matriz de cambio de base de a asociada a la transformacin lineal

ii) Usando , halle .Pregunta5. (4 puntos UNIDAD 4 Dada la matriz

i) Halle el polinomio caracterstico

ii) Determine los valores y vectores propios

iii) Calcule la matriz de vectores propios

iv) Halle aplicando el teorema de Cayley-Hamilton.

v) Determine la matriz diagonal

Examen SustitutorioPregunta 1. (4 puntos) UNIDAD 1 Determine la ecuacin del plano que pasa por los puntos

y que es perpendicular al plano . Pregunta2. (4 puntos) UNIDAD 2 Sea un subespacio de tal que

, halle una base y su

dimensin de .Pregunta3. (4 puntos) UNIDAD 3 Halle una transformacin lineal cuyo ncleo est generado por

los vectores

Pregunta 4. (4 punto c/u) UNIDAD 3

Dada la matriz

i) Determine una transformacin lineal .

ii) Halle e Im(T)

iii) Encuentre una base para e

iv) Calcule ,

Pregunta5. (4 puntos UNIDAD 4 Dada la matriz

i) Halle el polinomio caracterstico

ii) Determine los valores y vectores propios

iii) Calcule la matriz de vectores propios

iv) Halle aplicando el teorema de Cayley-Hamilton.

v) Determine la matriz diagonal

PROFESOR

P. CARDENAS TORRES

AREA DE MATEMATICA

2015 I

PAGE P. Crdenas TorresPgina 1

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