-
remove the next line if you don't want a background image
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 1 /
31
LGEBRA LINEAL
Universidad Nacional de San Cristbal de Huamanga
Vladimir Acori Flores
July 13, 2015
-
Outline
1 Captulo 2
Transformaciones Lineales
Ncleo e Imagen de una transformacin lineal
Isomorsmos
Determinacin de una transformacin lineal
Matriz de una aplicacin lineal
Dimensin de la Imagen y el Ncleo
Rango de una transformacin lineal
Composicin de una transformacin lineal
Matriz de cambio de Base
Cambio de Base en una transformacin lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 2 /
31
-
Next Subsection
1 Captulo 2
Transformaciones Lineales
Ncleo e Imagen de una transformacin lineal
Isomorsmos
Determinacin de una transformacin lineal
Matriz de una aplicacin lineal
Dimensin de la Imagen y el Ncleo
Rango de una transformacin lineal
Composicin de una transformacin lineal
Matriz de cambio de Base
Cambio de Base en una transformacin lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 3 /
31
-
Transformaciones Lineales
Denicin (Transformacin Lineal)
Sean V y W espacios vectoriales reales. Una aplicacin T : V Wes
lineal si:
1 T (u+ v) = T (u) + T (v), u, v V .
2 T (u) = T (u), u V , R.
Es decir, T es lineal si conserva combinaciones lineales y
los
coecientes de stas.
Equivalente:
Estas dos condiciones son equivalentes a la nica condicin:
T (u+ v) = T (u) + T (v), u, v V ; , R.
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 4 /
31
-
Transformaciones Lineales
Denicin (Transformacin Lineal)
Sean V y W espacios vectoriales reales. Una aplicacin T : V Wes
lineal si:
1 T (u+ v) = T (u) + T (v), u, v V .2 T (u) = T (u), u V , R.Es
decir, T es lineal si conserva combinaciones lineales y los
coecientes de stas.
Equivalente:
Estas dos condiciones son equivalentes a la nica condicin:
T (u+ v) = T (u) + T (v), u, v V ; , R.
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 4 /
31
-
Ejemplos
La transformacin de reexin
Sea la aplicacin T : R2 R2 dada por T (x , y) = (x , y). T
tomaun vector de R2 y lo reeja sobre el eje y .
El operador de transposicin
Sea la aplicacin T : Mmn
Mnm
dada por T (A) = At . T toma unamatriz de orden mn y le aplica
su transpuesta.
Transformacin que no es lineal
Sea la aplicacin T : R2 R2 dada por T (x , y) = (x + 1, ex), no
eslineal.
Transformacin que no es lineal
La aplicacin T : C [0, 1] R dada por T (f ) = f (0) + 1, no es
lineal.
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 5 /
31
-
Ejemplos
La transformacin de reexin
Sea la aplicacin T : R2 R2 dada por T (x , y) = (x , y). T
tomaun vector de R2 y lo reeja sobre el eje y .
El operador de transposicin
Sea la aplicacin T : Mmn
Mnm
dada por T (A) = At . T toma unamatriz de orden mn y le aplica
su transpuesta.
Transformacin que no es lineal
Sea la aplicacin T : R2 R2 dada por T (x , y) = (x + 1, ex), no
eslineal.
Transformacin que no es lineal
La aplicacin T : C [0, 1] R dada por T (f ) = f (0) + 1, no es
lineal.
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 5 /
31
-
Ejemplos
La transformacin de reexin
Sea la aplicacin T : R2 R2 dada por T (x , y) = (x , y). T
tomaun vector de R2 y lo reeja sobre el eje y .
El operador de transposicin
Sea la aplicacin T : Mmn
Mnm
dada por T (A) = At . T toma unamatriz de orden mn y le aplica
su transpuesta.
Transformacin que no es lineal
Sea la aplicacin T : R2 R2 dada por T (x , y) = (x + 1, ex), no
eslineal.
Transformacin que no es lineal
La aplicacin T : C [0, 1] R dada por T (f ) = f (0) + 1, no es
lineal.
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 5 /
31
-
Ejemplos
La transformacin de reexin
Sea la aplicacin T : R2 R2 dada por T (x , y) = (x , y). T
tomaun vector de R2 y lo reeja sobre el eje y .
El operador de transposicin
Sea la aplicacin T : Mmn
Mnm
dada por T (A) = At . T toma unamatriz de orden mn y le aplica
su transpuesta.
Transformacin que no es lineal
Sea la aplicacin T : R2 R2 dada por T (x , y) = (x + 1, ex), no
eslineal.
Transformacin que no es lineal
La aplicacin T : C [0, 1] R dada por T (f ) = f (0) + 1, no es
lineal.
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 5 /
31
-
Propiedades
Propiedades:
Sean V y W espacios vectoriales reales y T : V W aplicacin
linealentonces:
T (0) = 0.
T (u) = T (u).
S es un subespacio vectorial de V = T (S) es un
subespaciovectorial de W .
R es un subespacio vectorial de W = T1(R) es un
subespaciovectorial de V .
Si L es un subconjunto de vectores LD en V , entonces T (L) esun
subconjunto de LD en W .
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 6 /
31
-
Propiedades
Propiedades:
Sean V y W espacios vectoriales reales y T : V W aplicacin
linealentonces:
T (0) = 0.
T (u) = T (u).
S es un subespacio vectorial de V = T (S) es un
subespaciovectorial de W .
R es un subespacio vectorial de W = T1(R) es un
subespaciovectorial de V .
Si L es un subconjunto de vectores LD en V , entonces T (L) esun
subconjunto de LD en W .
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 6 /
31
-
Propiedades
Propiedades:
Sean V y W espacios vectoriales reales y T : V W aplicacin
linealentonces:
T (0) = 0.
T (u) = T (u).
S es un subespacio vectorial de V = T (S) es un
subespaciovectorial de W .
R es un subespacio vectorial de W = T1(R) es un
subespaciovectorial de V .
Si L es un subconjunto de vectores LD en V , entonces T (L) esun
subconjunto de LD en W .
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 6 /
31
-
Propiedades
Propiedades:
Sean V y W espacios vectoriales reales y T : V W aplicacin
linealentonces:
T (0) = 0.
T (u) = T (u).
S es un subespacio vectorial de V = T (S) es un
subespaciovectorial de W .
R es un subespacio vectorial de W = T1(R) es un
subespaciovectorial de V .
Si L es un subconjunto de vectores LD en V , entonces T (L) esun
subconjunto de LD en W .
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 6 /
31
-
Propiedades
Propiedades:
Sean V y W espacios vectoriales reales y T : V W aplicacin
linealentonces:
T (0) = 0.
T (u) = T (u).
S es un subespacio vectorial de V = T (S) es un
subespaciovectorial de W .
R es un subespacio vectorial de W = T1(R) es un
subespaciovectorial de V .
Si L es un subconjunto de vectores LD en V , entonces T (L) esun
subconjunto de LD en W .
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 6 /
31
-
Ejemplo
La aplicacin lineal no conserva vectores LI ni sistema de
generadores
Sea la transformacin lineal T : R2 R2 dada por
T (x , y) = (x 3y , 2x 6y)
La transformacin T lleva la base cannica {e = (1, 0), e = (0,
1)} deR2 en los vectores {u = (1, 2), v = (3,6)} que son
linealmenteindependientes, pues v = 3u, luego una transformacin
lineal notiene porqu conservar la independencia lineal ni tampoco
conserva
sistema de generadores.
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 7 /
31
-
Ejemplo
La aplicacin lineal no conserva vectores LI ni sistema de
generadores
Sea la transformacin lineal T : R2 R2 dada por
T (x , y) = (x 3y , 2x 6y)
La transformacin T lleva la base cannica {e = (1, 0), e = (0,
1)} deR2 en los vectores {u = (1, 2), v = (3,6)} que son
linealmenteindependientes, pues v = 3u, luego una transformacin
lineal notiene porqu conservar la independencia lineal ni tampoco
conserva
sistema de generadores.
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 7 /
31
-
Next Subsection
1 Captulo 2
Transformaciones Lineales
Ncleo e Imagen de una transformacin lineal
Isomorsmos
Determinacin de una transformacin lineal
Matriz de una aplicacin lineal
Dimensin de la Imagen y el Ncleo
Rango de una transformacin lineal
Composicin de una transformacin lineal
Matriz de cambio de Base
Cambio de Base en una transformacin lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 8 /
31
-
Ncleo e Imagen de una transformacin lineal
Denicin (Subespacios asociados a una transformacin lineal)
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T : V W
unatransformacin lineal, se denen:
El ncleo de T , denotado por Ker(T), como
Ker(T) = {u V : Tu = 0}
La imagen de T , denotado por Im(T), como
Im(T) = {w W : w = Tu para algn u V }
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 9 /
31
-
Ncleo e Imagen de una transformacin lineal
Denicin (Subespacios asociados a una transformacin lineal)
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T : V W
unatransformacin lineal, se denen:
El ncleo de T , denotado por Ker(T), como
Ker(T) = {u V : Tu = 0}
La imagen de T , denotado por Im(T), como
Im(T) = {w W : w = Tu para algn u V }
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 9 /
31
-
Ncleo e Imagen de una transformacin lineal
Denicin (Subespacios asociados a una transformacin lineal)
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T : V W
unatransformacin lineal, se denen:
El ncleo de T , denotado por Ker(T), como
Ker(T) = {u V : Tu = 0}
La imagen de T , denotado por Im(T), como
Im(T) = {w W : w = Tu para algn u V }
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 9 /
31
-
Ejemplos
Ncleo e imagen de la transformacin cero
La aplicacin lineal cero T : V W dada por T (v) = 0.
Ker(T) = Vy Im(T) = {0}.
Ncleo e imagen de la transformacin identidad
La aplicacin lineal identidad T : V V dada porT (v) = v.Ker(T) =
{0} y Im(T) = V .
Ncleo e imagen de una transformacin proyeccin
La aplicacin lineal proyeccin T : R3 R3 dada porT (x , y , z) =
(x , 0, z).Es el operador proyeccin de R3 en al plano xz .
T (x , y , z) = 0 = (x , 0, z) = (0, 0, 0) = x = z = 0
Ker(T) = {(x , y , z) : x = z = 0, x R}: Eje xIm(T) = {(x , y ,
z) : x = 0}: Plano yz
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 10 /
31
-
Ejemplos
Ncleo e imagen de la transformacin cero
La aplicacin lineal cero T : V W dada por T (v) = 0.Ker(T) = Vy
Im(T) = {0}.
Ncleo e imagen de la transformacin identidad
La aplicacin lineal identidad T : V V dada porT (v) = v.Ker(T) =
{0} y Im(T) = V .
Ncleo e imagen de una transformacin proyeccin
La aplicacin lineal proyeccin T : R3 R3 dada porT (x , y , z) =
(x , 0, z).Es el operador proyeccin de R3 en al plano xz .
T (x , y , z) = 0 = (x , 0, z) = (0, 0, 0) = x = z = 0
Ker(T) = {(x , y , z) : x = z = 0, x R}: Eje xIm(T) = {(x , y ,
z) : x = 0}: Plano yz
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 10 /
31
-
Ejemplos
Ncleo e imagen de la transformacin cero
La aplicacin lineal cero T : V W dada por T (v) = 0.Ker(T) = Vy
Im(T) = {0}.
Ncleo e imagen de la transformacin identidad
La aplicacin lineal identidad T : V V dada porT (v) = v.
Ker(T) = {0} y Im(T) = V .
Ncleo e imagen de una transformacin proyeccin
La aplicacin lineal proyeccin T : R3 R3 dada porT (x , y , z) =
(x , 0, z).Es el operador proyeccin de R3 en al plano xz .
T (x , y , z) = 0 = (x , 0, z) = (0, 0, 0) = x = z = 0
Ker(T) = {(x , y , z) : x = z = 0, x R}: Eje xIm(T) = {(x , y ,
z) : x = 0}: Plano yz
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 10 /
31
-
Ejemplos
Ncleo e imagen de la transformacin cero
La aplicacin lineal cero T : V W dada por T (v) = 0.Ker(T) = Vy
Im(T) = {0}.
Ncleo e imagen de la transformacin identidad
La aplicacin lineal identidad T : V V dada porT (v) = v.Ker(T) =
{0} y Im(T) = V .
Ncleo e imagen de una transformacin proyeccin
La aplicacin lineal proyeccin T : R3 R3 dada porT (x , y , z) =
(x , 0, z).Es el operador proyeccin de R3 en al plano xz .
T (x , y , z) = 0 = (x , 0, z) = (0, 0, 0) = x = z = 0
Ker(T) = {(x , y , z) : x = z = 0, x R}: Eje xIm(T) = {(x , y ,
z) : x = 0}: Plano yz
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 10 /
31
-
Ejemplos
Ncleo e imagen de la transformacin cero
La aplicacin lineal cero T : V W dada por T (v) = 0.Ker(T) = Vy
Im(T) = {0}.
Ncleo e imagen de la transformacin identidad
La aplicacin lineal identidad T : V V dada porT (v) = v.Ker(T) =
{0} y Im(T) = V .
Ncleo e imagen de una transformacin proyeccin
La aplicacin lineal proyeccin T : R3 R3 dada porT (x , y , z) =
(x , 0, z).
Es el operador proyeccin de R3 en al plano xz .
T (x , y , z) = 0 = (x , 0, z) = (0, 0, 0) = x = z = 0
Ker(T) = {(x , y , z) : x = z = 0, x R}: Eje xIm(T) = {(x , y ,
z) : x = 0}: Plano yz
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 10 /
31
-
Ejemplos
Ncleo e imagen de la transformacin cero
La aplicacin lineal cero T : V W dada por T (v) = 0.Ker(T) = Vy
Im(T) = {0}.
Ncleo e imagen de la transformacin identidad
La aplicacin lineal identidad T : V V dada porT (v) = v.Ker(T) =
{0} y Im(T) = V .
Ncleo e imagen de una transformacin proyeccin
La aplicacin lineal proyeccin T : R3 R3 dada porT (x , y , z) =
(x , 0, z).Es el operador proyeccin de R3 en al plano xz .
T (x , y , z) = 0 = (x , 0, z) = (0, 0, 0) = x = z = 0
Ker(T) = {(x , y , z) : x = z = 0, x R}: Eje xIm(T) = {(x , y ,
z) : x = 0}: Plano yzVladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal
July 13, 2015 10 / 31
-
Nulidad y Rango de una transformacin lineal
Denicin (Nulidad y Rango )
Sean V y W dos espacios vectoriales y T : V W unatransformacin
lineal, se denen:
Nulidad de T , denotado por Nul(T), como
Nul(T) = dimKer(T)
Rango de T , denotado por Ran(T), como
Ran(T) = dim Im(T)
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 11 /
31
-
Nulidad y Rango de una transformacin lineal
Denicin (Nulidad y Rango )
Sean V y W dos espacios vectoriales y T : V W unatransformacin
lineal, se denen:
Nulidad de T , denotado por Nul(T), como
Nul(T) = dimKer(T)
Rango de T , denotado por Ran(T), como
Ran(T) = dim Im(T)
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 11 /
31
-
Nulidad y Rango de una transformacin lineal
Denicin (Nulidad y Rango )
Sean V y W dos espacios vectoriales y T : V W unatransformacin
lineal, se denen:
Nulidad de T , denotado por Nul(T), como
Nul(T) = dimKer(T)
Rango de T , denotado por Ran(T), como
Ran(T) = dim Im(T)
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 11 /
31
-
Ejemplos
Nulidad y Rango de un operador transpuesto
Sea T : Mmn
Mnm
dada por T (A) = At . Nul(T) = 0 yRan(T) = nm.
Nulidad y Rango de una transformacin P
4
(R) en P2
(R)Sea T : P4
P2
dada por
T (p) = T (a0
+ a1
x + a2
x
2 + a3
x
3 + a4
x
4) = a0
+ a1
x + a2
x
2
Ker(T) ={p P4
: p(x) = a3
x
3 + a4
x
4,}y Im(T) = P2
. Luego,
Nul(T) = 2 y Ran(T) = 3.
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 12 /
31
-
Ejemplos
Nulidad y Rango de un operador transpuesto
Sea T : Mmn
Mnm
dada por T (A) = At . Nul(T) = 0 yRan(T) = nm.
Nulidad y Rango de una transformacin P
4
(R) en P2
(R)Sea T : P4
P2
dada por
T (p) = T (a0
+ a1
x + a2
x
2 + a3
x
3 + a4
x
4) = a0
+ a1
x + a2
x
2
Ker(T) ={p P4
: p(x) = a3
x
3 + a4
x
4,}y Im(T) = P2
. Luego,
Nul(T) = 2 y Ran(T) = 3.
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 12 /
31
-
Ejemplos
Nulidad y Rango de un operador transpuesto
Sea T : Mmn
Mnm
dada por T (A) = At . Nul(T) = 0 yRan(T) = nm.
Nulidad y Rango de una transformacin P
4
(R) en P2
(R)Sea T : P4
P2
dada por
T (p) = T (a0
+ a1
x + a2
x
2 + a3
x
3 + a4
x
4) = a0
+ a1
x + a2
x
2
Ker(T) ={p P4
: p(x) = a3
x
3 + a4
x
4,}y Im(T) = P2
.
Luego,
Nul(T) = 2 y Ran(T) = 3.
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 12 /
31
-
Ejemplos
Nulidad y Rango de un operador transpuesto
Sea T : Mmn
Mnm
dada por T (A) = At . Nul(T) = 0 yRan(T) = nm.
Nulidad y Rango de una transformacin P
4
(R) en P2
(R)Sea T : P4
P2
dada por
T (p) = T (a0
+ a1
x + a2
x
2 + a3
x
3 + a4
x
4) = a0
+ a1
x + a2
x
2
Ker(T) ={p P4
: p(x) = a3
x
3 + a4
x
4,}y Im(T) = P2
. Luego,
Nul(T) = 2 y Ran(T) = 3.
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 12 /
31
-
Next Subsection
1 Captulo 2
Transformaciones Lineales
Ncleo e Imagen de una transformacin lineal
Isomorsmos
Determinacin de una transformacin lineal
Matriz de una aplicacin lineal
Dimensin de la Imagen y el Ncleo
Rango de una transformacin lineal
Composicin de una transformacin lineal
Matriz de cambio de Base
Cambio de Base en una transformacin lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 13 /
31
-
Isomorsmos
Denicin (Monomorsmo-Epimorsmo-Isomorsmo)
Sea T : V W una transformacin lineal, se denen:
T es un monomorsmo si T es inyectiva (uno a uno), es decir
T (u) = T (v) = u = v
T es un epimorsmo si T es sobreyectiva (sobre), es decir
w W ,v V : T (v) = w
Im(T) =W
T es un isomorsmo si T es biyectiva (inyectiva y
sobreyectiva).
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 14 /
31
-
Isomorsmos
Denicin (Monomorsmo-Epimorsmo-Isomorsmo)
Sea T : V W una transformacin lineal, se denen:T es un
monomorsmo si T es inyectiva (uno a uno), es decir
T (u) = T (v) = u = v
T es un epimorsmo si T es sobreyectiva (sobre), es decir
w W ,v V : T (v) = w
Im(T) =W
T es un isomorsmo si T es biyectiva (inyectiva y
sobreyectiva).
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 14 /
31
-
Isomorsmos
Denicin (Monomorsmo-Epimorsmo-Isomorsmo)
Sea T : V W una transformacin lineal, se denen:T es un
monomorsmo si T es inyectiva (uno a uno), es decir
T (u) = T (v) = u = v
T es un epimorsmo si T es sobreyectiva (sobre), es decir
w W , v V : T (v) = w
Im(T) =W
T es un isomorsmo si T es biyectiva (inyectiva y
sobreyectiva).
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 14 /
31
-
Isomorsmos
Denicin (Monomorsmo-Epimorsmo-Isomorsmo)
Sea T : V W una transformacin lineal, se denen:T es un
monomorsmo si T es inyectiva (uno a uno), es decir
T (u) = T (v) = u = v
T es un epimorsmo si T es sobreyectiva (sobre), es decir
w W , v V : T (v) = w
Im(T) =W
T es un isomorsmo si T es biyectiva (inyectiva y
sobreyectiva).
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 14 /
31
-
Isomorsmos
Denicin (Monomorsmo-Epimorsmo-Isomorsmo)
Sea T : V W una transformacin lineal, se denen:T es un
monomorsmo si T es inyectiva (uno a uno), es decir
T (u) = T (v) = u = v
T es un epimorsmo si T es sobreyectiva (sobre), es decir
w W , v V : T (v) = w
Im(T) =W
T es un isomorsmo si T es biyectiva (inyectiva y
sobreyectiva).
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 14 /
31
-
Isomorsmos
Teorema (condicin necesaria y suciente de monomorsmo)
Sea T : V W una transformacin lineal.
T es inyectiva Ker(T) = {0}
Teorema (condicin necesaria y suciente de monomorsmo)
Sea T : V W una transformacin lineal y dimV = dimW =
n.Entonces
T es inyectiva T es sobre
Nota
Cuando el espacio inicial y nal coinciden (V =W ), la
transformacinlineal y el isomorsmo se denominan endomorsmo y
automorsmo
respectivamente.
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 15 /
31
-
Isomorsmos
Teorema (condicin necesaria y suciente de monomorsmo)
Sea T : V W una transformacin lineal.
T es inyectiva Ker(T) = {0}
Teorema (condicin necesaria y suciente de monomorsmo)
Sea T : V W una transformacin lineal y dimV = dimW =
n.Entonces
T es inyectiva T es sobre
Nota
Cuando el espacio inicial y nal coinciden (V =W ), la
transformacinlineal y el isomorsmo se denominan endomorsmo y
automorsmo
respectivamente.
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 15 /
31
-
Isomorsmos
Teorema (condicin necesaria y suciente de monomorsmo)
Sea T : V W una transformacin lineal.
T es inyectiva Ker(T) = {0}
Teorema (condicin necesaria y suciente de monomorsmo)
Sea T : V W una transformacin lineal y dimV = dimW =
n.Entonces
T es inyectiva T es sobre
Nota
Cuando el espacio inicial y nal coinciden (V =W ), la
transformacinlineal y el isomorsmo se denominan endomorsmo y
automorsmo
respectivamente.
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 15 /
31
-
Next Subsection
1 Captulo 2
Transformaciones Lineales
Ncleo e Imagen de una transformacin lineal
Isomorsmos
Determinacin de una transformacin lineal
Matriz de una aplicacin lineal
Dimensin de la Imagen y el Ncleo
Rango de una transformacin lineal
Composicin de una transformacin lineal
Matriz de cambio de Base
Cambio de Base en una transformacin lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 16 /
31
-
Determinacin de una transformacin lineal
Si B = {v1
, v2
, . . . , vn
} es una base de V y {w1
,w2
, . . . ,wn
} son nvectores cualesquiera de W , entonces existe una nica
transformacin
lineal T : V W tal que
T (vi
) = wi
para 1 i n.
Observacin
Si T : Rn Rm viene denida por T (v) = Av, para A Mmn
(R),entonces
1 Ker(T) son las soluciones del sistema homogneo Av = 0.
2 Si B = {e1
, e2
, . . . , en
} es la base cannica de Rn, entonces
Im(T) = {f (e1
), f (e2
), . . . , f (en
)} = L ({c1
, c2
, . . . , cn
}) ,
donde c
i
es la columna i-sima de la matriz A.
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 17 /
31
-
Determinacin de una transformacin lineal
Si B = {v1
, v2
, . . . , vn
} es una base de V y {w1
,w2
, . . . ,wn
} son nvectores cualesquiera de W , entonces existe una nica
transformacin
lineal T : V W tal que
T (vi
) = wi
para 1 i n.
Observacin
Si T : Rn Rm viene denida por T (v) = Av, para A Mmn
(R),entonces
1 Ker(T) son las soluciones del sistema homogneo Av = 0.
2 Si B = {e1
, e2
, . . . , en
} es la base cannica de Rn, entonces
Im(T) = {f (e1
), f (e2
), . . . , f (en
)} = L ({c1
, c2
, . . . , cn
}) ,
donde c
i
es la columna i-sima de la matriz A.
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 17 /
31
-
Ejemplo
Calcular la imagen y ncleo de T
Si T : R3 R3 es la aplicacin lineal asociada a la matriz
A =
1 0 10 1 0
1 1 1
, entonces Im(T) y Ker(T) son:
Im(T) = L ({(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}) = L ({(1, 0, 1),
(0, 1, 1)}) .
Ker(T) = {v : Av = 0} = L ({(1, 0,1)}) .
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 18 /
31
-
Ejemplo
Calcular la imagen y ncleo de T
Si T : R3 R3 es la aplicacin lineal asociada a la matriz
A =
1 0 10 1 0
1 1 1
, entonces Im(T) y Ker(T) son:
Im(T) = L ({(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}) = L ({(1, 0, 1),
(0, 1, 1)}) .
Ker(T) = {v : Av = 0} = L ({(1, 0,1)}) .
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 18 /
31
-
Ejemplo
Calcular la imagen y ncleo de T
Si T : R3 R3 es la aplicacin lineal asociada a la matriz
A =
1 0 10 1 0
1 1 1
, entonces Im(T) y Ker(T) son:
Im(T) = L ({(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}) = L ({(1, 0, 1),
(0, 1, 1)}) .
Ker(T) = {v : Av = 0} = L ({(1, 0,1)}) .
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 18 /
31
-
Next Subsection
1 Captulo 2
Transformaciones Lineales
Ncleo e Imagen de una transformacin lineal
Isomorsmos
Determinacin de una transformacin lineal
Matriz de una aplicacin lineal
Dimensin de la Imagen y el Ncleo
Rango de una transformacin lineal
Composicin de una transformacin lineal
Matriz de cambio de Base
Cambio de Base en una transformacin lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 19 /
31
-
Matriz de una aplicacin lineal
Teorema
Si V es un espacio vectorial de dimensin n y W un espacio
vectorial
de dimensin m y T : V W una transformacin lineal. SeaB
V
= {v1
, v2
, . . . , vn
} una base de V y sea BW
= {w1
,w2
, . . . ,wm
}una base para W . Entonces existe una nica matriz A
T
de orden
m n tal que(Tx)B
W
= AT
(x)B
V
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 20 /
31
-
Ejemplo
Para la transformacin lineal T : R4 R3 dada porT (x , y , z , t)
= (x + t, x + y + z , x + y + z). Encontrar la expresinmatricial de
la transformacin lineal respecto de las bases cannicas, el
ncleo y la imagen.
La matriz de la yransformacin lineal es
A =
1 0 0 11 1 1 0
1 1 1 0
El ncleo es
Ker(T) = {(1, 0,1,1), (0, 1,1, 0)} .
La imagen es
Im(T) = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0)} = {(1, 1,
1), (0, 1, 1)}
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 21 /
31
-
Ejemplo
Para la transformacin lineal T : R4 R3 dada porT (x , y , z , t)
= (x + t, x + y + z , x + y + z). Encontrar la expresinmatricial de
la transformacin lineal respecto de las bases cannicas, el
ncleo y la imagen.
La matriz de la yransformacin lineal es
A =
1 0 0 11 1 1 0
1 1 1 0
El ncleo es
Ker(T) = {(1, 0,1,1), (0, 1,1, 0)} .
La imagen es
Im(T) = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0)} = {(1, 1,
1), (0, 1, 1)}
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 21 /
31
-
Ejemplo
Para la transformacin lineal T : R4 R3 dada porT (x , y , z , t)
= (x + t, x + y + z , x + y + z). Encontrar la expresinmatricial de
la transformacin lineal respecto de las bases cannicas, el
ncleo y la imagen.
La matriz de la yransformacin lineal es
A =
1 0 0 11 1 1 0
1 1 1 0
El ncleo es
Ker(T) = {(1, 0,1,1), (0, 1,1, 0)} .
La imagen es
Im(T) = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0)} = {(1, 1,
1), (0, 1, 1)}
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 21 /
31
-
Ejemplo
Para la transformacin lineal T : R4 R3 dada porT (x , y , z , t)
= (x + t, x + y + z , x + y + z). Encontrar la expresinmatricial de
la transformacin lineal respecto de las bases cannicas, el
ncleo y la imagen.
La matriz de la yransformacin lineal es
A =
1 0 0 11 1 1 0
1 1 1 0
El ncleo es
Ker(T) = {(1, 0,1,1), (0, 1,1, 0)} .
La imagen es
Im(T) = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0)} = {(1, 1,
1), (0, 1, 1)}
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 21 /
31
-
Next Subsection
1 Captulo 2
Transformaciones Lineales
Ncleo e Imagen de una transformacin lineal
Isomorsmos
Determinacin de una transformacin lineal
Matriz de una aplicacin lineal
Dimensin de la Imagen y el Ncleo
Rango de una transformacin lineal
Composicin de una transformacin lineal
Matriz de cambio de Base
Cambio de Base en una transformacin lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 22 /
31
-
Dimensin de la Imagen y el Ncleo
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 23 /
31
-
Next Subsection
1 Captulo 2
Transformaciones Lineales
Ncleo e Imagen de una transformacin lineal
Isomorsmos
Determinacin de una transformacin lineal
Matriz de una aplicacin lineal
Dimensin de la Imagen y el Ncleo
Rango de una transformacin lineal
Composicin de una transformacin lineal
Matriz de cambio de Base
Cambio de Base en una transformacin lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 24 /
31
-
Rango de una transformacin lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 25 /
31
-
Next Subsection
1 Captulo 2
Transformaciones Lineales
Ncleo e Imagen de una transformacin lineal
Isomorsmos
Determinacin de una transformacin lineal
Matriz de una aplicacin lineal
Dimensin de la Imagen y el Ncleo
Rango de una transformacin lineal
Composicin de una transformacin lineal
Matriz de cambio de Base
Cambio de Base en una transformacin lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 26 /
31
-
Composicin de una transformacin lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 27 /
31
-
Next Subsection
1 Captulo 2
Transformaciones Lineales
Ncleo e Imagen de una transformacin lineal
Isomorsmos
Determinacin de una transformacin lineal
Matriz de una aplicacin lineal
Dimensin de la Imagen y el Ncleo
Rango de una transformacin lineal
Composicin de una transformacin lineal
Matriz de cambio de Base
Cambio de Base en una transformacin lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 28 /
31
-
Matriz de cambio de Base
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 29 /
31
-
Next Subsection
1 Captulo 2
Transformaciones Lineales
Ncleo e Imagen de una transformacin lineal
Isomorsmos
Determinacin de una transformacin lineal
Matriz de una aplicacin lineal
Dimensin de la Imagen y el Ncleo
Rango de una transformacin lineal
Composicin de una transformacin lineal
Matriz de cambio de Base
Cambio de Base en una transformacin lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 30 /
31
-
Cambio de Base en una transformacin lineal
Vladimir Acori Flores (UNSCH) lgebra Lineal July 13, 2015 31 /
31
Captulo 2 Transformaciones Lineales Ncleo e Imagen de una
transformacin lineal Isomorfismos Determinacin de una transformacin
lineal Matriz de una aplicacin lineal Dimensin de la Imagen y el
Ncleo Rango de una transformacin lineal Composicin de una
transformacin lineal Matriz de cambio de Base Cambio de Base en una
transformacin lineal
