Grupos de Reflexiones Afines - Instituto de Matemática UV · 2016. 11. 15. · Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas Grupos de Reflexiones Afines Tesis presentada

Facultad de Ciencias

Departamento de Matemáticas

Grupos de Reflexiones Afines

Tesis presentada por Felipe Concha Eyzaguirre.

Para optar al grado de Licenciado en Matemáticas.

Profesor Guía Dr. Daniel Jiménez Briones.

Valparaíso, Agosto de 2010.

Índice general

Introducción 2

Símbolos 4

Capítulo 1. Conceptos Básicos 5

1. Grupos 5

2. Espacio Vectorial 7

Capítulo 2. Grupos de Reflexiones Finitos 10

1. Sistemas de Raíces Cristalográficos 10

2. Sistemas Positivos y Simples 11

3. Grupos de Coxeter Finitos 14

4. Reticulados de Raíces y Coraíces 14

5. Grafos de Coxeter 19

Capítulo 3. Grupo de Reflexiones Afines 24

1. Hiperplanos Afines 25

2. Reflexiones Afines 26

3. Grupos de Weyl Afines 30

4. Cámaras 35

5. La Función Largo 40

6. Transitividad Fiel 48

7. Sistema de Representantes 52

8. Condición de Cambio 53

9. Diagramas de Dynkin 54

Capítulo 4. El orden de un Grupo de Weyl 64

Bibliografía 79

1

Introducción

Esta tesis tiene como objetivo estudiar los Grupos de Reflexiones Afines, para lo

cual nos introducimos a la teoría de grupos de Coxeter finitos y grafos de Coxeter; y

terminamos entregando el orden de los grupos de Weyl según su tipo. Este trabajo

esta dividido en cuatro capítulos. A continuación, haremos una descripción de cada

uno de los capítulos.

En un primer capítulo, recordaremos propiedades de grupos y espacios vectoria-

les, básicos para el desarrollo de esta tesis.

El siguiente capítulo establece las definiciones y propiedades de los Grupos de

Reflexiones Finitos que son fundamentales para los capítulos posteriores.

Iniciamos este capítulo definiendo las reflexiones y traslaciones por elementos de

un espacio vectorial; explicamos los sistemas de raíces cristalográficos, donde cons-

truimos un ejemplo que se seguirá desarrollando durante toda la tesis. Introducimos

un orden lexicográfico sobre un espacio vectorial V , el cual permite determinar los

sistemas positivos, sistemas negativos, sistemas simples y raíz suprema, que cumple

un rol esencial en el desarrollo de esta tesis; posteriormente vemos que estos grupos

finitos están generados por reflexiones simples y entregamos una presentación de

ellos, lo que nos permite definir el concepto de grupos de Coxeter y la función

largo, que es fundamental para demostrar la cancelación de Matsumoto. Luego,

definimos los reticulados de raíces y coraíces con sus respectivos pesos. Concluimos

este capítulo, mostrando que dado un sistema de Coxeter irreducible, entonces su

grafo de Coxeter es uno de los dados en el teorema 17.

En el tercer capítulo se describen las reflexiones afines, y con ello los grupos de

Weyl afines y grupos de Weyl afín extendido.

Introducimos este capítulo definiendo los hiperplanos y reflexiones afines, con

ello estudiaremos los grupos de Weyl afines y la extensión de estos, para luego

entregar el concepto de cámaras y demostrar como estos grupos actúan sobre ellas.

Proseguimos con definir la función largo para los grupos de Weyl y analizamos la

geometría de esta función. Continuamos dando la lista de hiperplanos que separa la

2

INTRODUCCIÓN 3

cámara fundamental de una cámara cualquiera, probando como el grupo de Weyl

actúa fielmente sobre las cámaras. Establecemos un sistema de representantes para

la acción del grupo de Weyl sobre V . También obtenemos la condición de cambio y

con ello la noción de sistemas de Coxeter. Verificamos las relaciones de los grupos

de Weyl para los tipos An y Bn , mostrando los respectivos diagramas de Dynkin,

además construimos un isomorfismo de estos grupos con un subgrupo del grupo de

permutaciones de Z. Terminamos este capitulo con el teorema 45, el cual nos da una

lista de diagramas de Dynkin para los distintos tipos de grupos de Weyl.

Este último capítulo tiene como objetivo principal demostrar el teorema 52, el

cual nos da el orden para un grupo de Weyl. Concluimos esta tesis entregando una

lista que nos indica el orden de un grupo de Weyl según su tipo.

Símbolos

V : R-espacio vectorial.

〈 , 〉 : Producto interno en V .

≪ ,≫ : Subespacio Generado o Subgrupo Generado.

≤ : Subgrupo o Subespacio Vectorial.

O(V ) : Grupo Ortogonal.

GL(V ) : Grupo General Lineal.

T (V ) : Conjunto de las traslaciones de V en si mismo.

Aff(V ) : Grupo Afín.

W : Grupo de Weyl.

Wa : Grupo de Weyl afín.

Wa : Grupo de Weyl Afín Extendido.

Φ : Sistemas de Raíces Cristalográfico.

Φ+ : Sistema Positivo.

Φ− : Sistema Negativo.

∆ : Sistema Simple.

Φ : Sistemas de Coraíces.

R : Reticulado de Raíz.

P : Peso del Reticulado.

R : Reticulado de Coraíces.

P : Copeso del Reticulado.

Hu,k : Hiperplano ortogonal al espacio generado por u trasladado.

H : Conjunto de los Hiperplanos Afines.

V ◦ : Colección de componentes conexas.

v : Raíz Suprema.

4

Capítulo 1

Conceptos Básicos

En este capítulo enunciaremos algunas definiciones de grupos y espacios vecto-

riales las cuales son esenciales para comprender de buena manera el contenido de

esta tesis.

1. Grupos

Definición 1. Sea G un conjunto no vacío, se dice que el par (G, ∗) es un

grupo, si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

1. Clausura: ∗ : G×G −→ G una aplicación.

2. Asociatividad: (∀a, b, c ∈ G)(a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c)

3. Neutro: (∃!e ∈ G)(∀a ∈ G)(a ∗ e = a = e ∗ a)

4. Inverso: (∀a ∈ G)(∃!a−1 ∈ G)(a ∗ a−1 = e = a−1 ∗ a)

Si, además se satisface la siguiente condición:

5. Conmutatividad: (∀a, b ∈ G)(a ∗ b = b ∗ a),

decimos que el par (G, ∗) es un grupo abeliano.

Proposición 1. Sea (G, ∗) un grupo y a, b ∈ G, entonces:

1. (a−1)−1 = a

2. (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1

Definición 2. Sean (G, ∗) un grupo y ∅ 6= H ⊂ G.

Se dice que H es un subgrupo de G, lo cual se denota por H ≤ G, si y sólo si

(H, ∗|H) es un grupo.

Definición 3. Sean G un grupo y S ⊂ G.

Se dice que el conjunto S genera a G, lo cual denotaremos por G =≪ S ≫,

si, y sólo si, todo elemento de G puede ser expresado como producto de un número

finito de elementos de S ∪ S−1, con S−1 = {x | x−1 ∈ S}.

Definición 4. Sean G un grupo y H,K ≤ G. El conjunto HK se define por:

HK = {hk | h ∈ H, k ∈ K}

5

1. GRUPOS 6

Definición 5. Sean (G, ∗) un grupo y H ≤ G.

El normalizador de H en G es el conjunto:

NG(H) = {g ∈ G | g ∗H ∗ g−1 = H}

Definición 6. Sean G un grupo y H ≤ G.

H es un subgrupo normal de G, lo cual denotamos por H E G si, y sólo si,

se cumple la siguiente condición:

(∀g ∈ G)(gHg−1 ⊂ H)

Proposición 2. Sean G un grupo, K ≤ G y H E G, entonces HK ≤ G.

Definición 7. Sean (H, ∗) y (K, ·) dos grupos. Consideremos el producto carte-

siano H × K = {(h, k) | h ∈ H, k ∈ K} y definamos en el conjunto H × K la

siguiente operación binaria,

⋆ : (H ×K)× (H ×K) −→ (H ×K)

((h1, k1)× (h2, k2)) 7−→ (h1 ∗ h2, k1 · k2)

Así, (H ×K, ⋆) es un grupo, llamado producto directo de H y K.

Definición 8. Sea G un grupo.

G es producto semidirecto de H y K, lo cual denotamos por G = H ⋊K, si

y sólo si

1. K es un subgrupo de G

2. H es un subgrupo normal de G

3. H ∩K = {e}

4. G = HK

Definición 9. Sea (G, ∗) un grupo y A un conjunto (A 6= ∅). Se dice que G

actúa sobre A, si y sólo si existe una función

· : G×A −→ A, que cumple con

(g, a) 7−→ ga

1. (∀a ∈ A)( ea = a ), donde e ∈ G es el neutro.

2. (∀g1, g2 ∈ G)(∀a ∈ G)( g1(g2a) = (g1 ∗ g2)a ).

En este caso se dice también que A es un G− conjunto.

Definición 10. Sea G un grupo que actúa sobre un conjunto A, y a ∈ A.

Entonces:

2. ESPACIO VECTORIAL 7

1. La órbita de a, se denota por Oa, y está definida de la siguiente manera:

Oa = {ga | g ∈ G} ⊆ A

2. El estabilizador de a el cual se denota por Ga es:

Ga = {g ∈ G | ga = a} ≤ G

Definición 11. Sea G un grupo que actúa sobre un conjunto A.

Se dice que G actúa sobre A:

1. Trivialmente, si y sólo si (∀g ∈ G)(∀a ∈ A)(ga = a). O sea, Oa = a y

Ga = G.

2. Transitivamente, si y sólo si (∀a ∈ A)(Oa = A)

3. Fielmente Transitivo o Fiel, si y sólo si (∀a, b ∈ A)(∃!g ∈ G)(ga = b)

2. Espacio Vectorial

Definición 12. Se dice que (V,+, ·) es un R-espacio vectorial, si y sólo si

1. (V,+) es un grupo abeliano,

además con el producto por escalar posee las siguientes propiedades:

2. Clausura: · : R× V −→ V es función.

3. (∀x ∈ V )(∀α, β ∈ R)(α(βx) = (αβ)x)

4. (∀x, y ∈ V )(∀α ∈ R)(α(x+ y) = αx+ αy)

5. (∀x ∈ V )(∀α, β ∈ R)((α + β)x = αx+ βx)

6. (∀x ∈ V )(1x = x), donde 1 es el elemento neutro multiplicativo del cuerpo

R.

Observación 1. En esta tesis consideraremos sólo espacios vectoriales sobre R.

Por ende, el lector debe asumir que todo espacio vectorial es sobre el cuerpo R.

Definición 13. Sean V un espacio vectorial y U ⊂ V (U 6= ∅).

Se dice que U es un subespacio vectorial de V , si y sólo si U es un espacio

vectorial con las restricciones a U de la suma y el producto en V , que denotamos

por U ≤ V .

Definición 14. Sean V un espacio vectorial y S = {s1, · · · , sn} ⊂ V .

a) Un conjunto S genera a V , lo cual denotaremos por V =≪ S ≫, si y sólo

si,

(∀y ∈ V )(∃αi ∈ R)(y = α1s1 + · · ·+ αnsn), con .


b) S es un conjunto linealmente independiente, si y sólo si,

(∀αi ∈ R)(α1s1 + · · ·+ αnsn = 0), entonces αi = 0, para todo i = 1, . . . , n.

c) El conjunto S = {s1, . . . , sn} es una base del espacio vectorial V si se

cumplen las dos condiciones anteriores, y en este caso V es un espacio de

dimensión n, lo cual denotamos por dimV = n.

Definición 15. Sean V un espacio vectorial y W1,W2 ≤ V . La suma de los

subespacios W1 y W2 es el conjunto:

W1 +W2 = {w1 + w2 ∈ V | w1 ∈ W1, w2 ∈ W2}

Definición 16. Sean V un espacio vectorial y W1, W2 subespacios de V .

Se dice que V es suma directa de W1 y W2, y se denota V = W1 ⊕W2, si y

sólo si

1. V = W1 +W2

2. W1 ∩W2 = {0}

2.1. Transformación Lineal.

Definición 17. Sean U, V dos espacios vectoriales.

Una aplicación f : U −→ V es una transformación lineal de U en V , si y

sólo si

1. (∀x, y ∈ U)(f(x+ y) = f(x) + f(y))

2. (∀x ∈ U)(∀α ∈ R)(f(αx) = αf(x))

Definición 18. Sea V un espacio vectorial. Se define GL(V ) como el conjunto

de todas las transformaciones lineales biyectivas de V en si mismo.

2.2. Producto Interno.

Definición 19. Sea V un espacio vectorial, un producto interno sobre V es

una forma bilineal, simétrica, definida positiva. Es decir, es una función

〈 , 〉 : V × V −→ R,

(x, y) 7−→ 〈x, y〉

tal que,

1. (∀x, y, z ∈ V )(∀α ∈ R)( 〈x+ αz, y〉 = 〈x, y〉+ α〈z, y〉 )

2. (∀x, y ∈ V )( 〈x, y〉 = 〈y, x〉 )


3. (∀x ∈ V − {0})( 〈x, x〉 ∈ R+ )

Definición 20. Sean V un espacio vectorial con producto interno y x, y ∈ V .

Decimos que x e y son ortogonales si, y sólo si, el producto interno entre ellos

es cero. Lo denotamos x ⊥ y.

Definición 21. Sea S ⊂ V , el conjunto ortogonal a S está dado por:

S⊥ = {y ∈ V | (∀x ∈ S)(〈x, y〉 = 0)}

Notación 1. Sea u ∈ V − {0}

≪ u≫⊥= {y ∈ V | 〈y, u〉 = 0} = Hu

Definición 22. Sea V un espacio vectorial con producto interno. El grupo

ortogonal, denotado por O(V ) es el conjunto de las transformaciones lineales de V

en si mismo que preservan este producto interno. Es decir,

O(V ) = {τ ∈ GL(V ) | 〈τx, τy〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ V }.

Notación 2.

1. El símbolo ≤ denotará subgrupo o subespacio vectorial dependiendo si esta-

mos trabajando en grupos o espacios vectoriales respectivamente.

2. El símbolo ≪ ≫ representa al subespacio generado o subgrupo generado si

estamos trabajando en espacios vectoriales o grupos respectivamente.

Capítulo 2

Grupos de Reflexiones Finitos

En este capítulo veremos conceptos esenciales sobre sistemas de raíces, y sistemas

de raíces cristalográficos que nos permiten comprender de mejor forma los grupos de

Coxeter y grupos de Weyl respectivamente. Además, estudiaremos los reticulados y

algunas de sus propiedades, para luego finalizar explicitando los grafos de Coxeter

para cada tipo de grupo.

Definición 23. Una reflexión es una transformación lineal de un espacio vec-

torial V en si mismo, que fija todos los elementos del hiperplano ortogonal al vector

u no nulo, y envía todo vector de la recta ≪ u ≫ en su inverso aditivo.

La reflexión anterior la denotamos por su y se define del siguiente modo:

su(v) = v − 2〈v, u〉

〈u, u〉u.

Definición 24. Sea u ∈ V , se define la traslación en u, denotada por tu de la

siguiente manera:

tu : V −→ V

v 7−→ tu(v) = v + u

Denotemos por T (V ), el conjunto de las traslaciones de V en si mismo.

Proposición 3. Sea V un espacio vectorial. Entonces,

(∀v ∈ V )((tv)−1 = t−v)

Además, T (V ) es un subgrupo de las biyecciones de V .

1. Sistemas de Raíces Cristalográficos

Definición 25. Sea Φ ⊂ V .

Se dice que Φ es un sistema de raíces si, y sólo si, satisface las siguientes

condiciones:

R1 : Φ ∩ ≪ u ≫ = {u,−u}, ∀u ∈ Φ.

R2 : su(Φ) = Φ, ∀u ∈ Φ.

10

2. SISTEMAS POSITIVOS Y SIMPLES 11

Se dice que Φ es un sistema de raíces cristalográfico si satisface la condición

adicional:

R3 : 2〈u, v〉

〈v, v〉∈ Z, ∀u, v ∈ Φ.

Ejemplo 1. El conjunto de vectores que se muestran en la siguiente grafica,

el cual denotaremos por Φ, representa un sistema de raíces en R2, pues satisface

claramente las condiciones R1 y R2

(−1, 1) (1, 1)

(−1,−1) (1,−1)

(0, 1)

(1, 0)

(0,−1)

(−1, 0)x

y

Es decir, el sistema de raíces esta dado por:

Φ = {(0, 1), (1, 1), (1, 0), (1,−1), (0,−1), (−1,−1), (−1, 0), (−1, 1)}

Además, este sistema cumple la condición R3, por lo cual es un sistema de raíces

cristalográfico.

2. Sistemas Positivos y Simples

Definición 26. Sea {z1, z2, ..., zn} una base ordenada de V .

La relación de orden lexicográfico en V se define por:

x ≺ y ⇐⇒ [(x = y) ∨ (∃k ∈ {1, ..., n})(ak < bk ∧ ((∀i < k)(ai = bi)))],

donde x = Σaizi, y = Σbizi. Esta es una relación de orden total.

Proposición 4. Dado un orden lexicográfico, entonces tenemos que:

(∀α ∈ R+)(∀x ∈ V )(x ≺ 0 =⇒ αx ≺ 0)

(∀α ∈ R−)(∀x ∈ V )(x ≺ 0 =⇒ 0 ≺ αx)


Definición 27. Dados un orden ≺ en V y un sistema de raíces Φ:

1. Se dice que Φ+ es un sistema positivo de Φ, si y sólo si, Φ+ es el conjunto

de todas las raíces positivas de Φ. Es decir,

Φ+ = {u ∈ Φ | 0 ≺ u}

2. Decimos que Φ− es un sistema negativo de Φ, si y sólo si Φ− es el conjunto

de todas las raíces negativas de Φ. En otras palabras,

Φ− = {u ∈ Φ | u ≺ 0}

Observación 2. Como las raíces vienen en pares {u,−u}, una positiva y la

otra negativa, según el orden lexicográfico. Entonces, el sistema de raíces Φ es unión

disjunta del sistema positivo Φ+ y el sistema negativo Φ−, es decir,

Φ = Φ+◦∪ Φ−

Ejemplo 2. Sea Φ el sistema del ejemplo 1 y consideremos el orden lexicográfico

asociado a la base canónica. Los sistemas positivos y negativos están dados por:

Φ+ = {(0, 1), (1, 1), (1, 0), (1,−1)}

Φ− = {(0,−1), (−1,−1), (−1, 0), (−1, 1)}

Definición 28. Sean Φ un sistema de raíces y ∆ ⊂ Φ.

Se dice que ∆ es un sistema simple si, y sólo si, satisface las siguientes condi-

ciones:

1. ∆ es linealmente independiente.

2. Todo elemento de Φ+ se escribe como una combinación lineal de elementos

de ∆, con los escalares no negativos.

Los elementos en el sistema simple se llaman raíces simples.


asociado a la base canónica, entonces el sistema simple asociado de Φ es:

∆ = {(0, 1), (1,−1)}

Proposición 5. Dados un orden lexicográfico sobre V y un sistema de raíces

Φ, esto implica que existe un único v ∈ Φ+ tal que, para todo u ∈ Φ+, se tiene que

u ≺ v. Este elemento se llama raíz suprema.


Además, para toda raíz positiva u, se tiene que v − u es suma de raíces simples.

Esto es,

(∀u ∈ Φ+

)(v − u =

∑

v∈∆

λvv

)

Definición 29. Sean W ≤ O(V ) finito y Φ un sistema de raíces.

Se dice que W es un grupo de reflexiones, si y sólo si

W = ≪ su | u ∈ Φ ≫

Además, si Φ es un sistema de raíces cristalográfico entonces el grupo de reflex-

iones es llamado grupo de Weyl.

Estos son los grupos que nos interesan en el desarrollo de esta tesis.

Teorema 6. Sea W un grupo de reflexiones asociado a Φ y ∆ un sistema simple

en Φ, entonces W está generado por reflexiones simples. De otro modo,

W = ≪ sv | v ∈ ∆ ≫

Corolario 7. Sea ∆ un sistema simple, entonces para todo u ∈ Φ existe w ∈ W

tal que wu ∈ ∆. Es decir,

(∀u ∈ Φ)(∃w ∈ W )(wu ∈ ∆)

Teorema 8. Dado W un grupo de reflexiones finito, entonces

W = 〈S | R〉,

donde S es el conjunto de generadores dado por:

S = {sv | v ∈ ∆}

y sujetas a las siguientes relaciones,

R = {(svsv′)mv,v′ = e | v, v′ ∈ ∆, mv,v′ ∈ N}

con mv,v = 1 y si v 6= v′ se tiene que mv,v′ 6= 1.

4. RETICULADOS DE RAÍCES Y CORAÍCES 14

3. Grupos de Coxeter Finitos

Definición 30. Sea W un grupo finito.

Se dice que W es un grupo de Coxeter finito, si y sólo si, existe S ⊂ W tal

que:

W = ≪ S ≫

donde los elementos de S cumplen solamente las siguientes relaciones

(ss′)ms,s′ = e, ∀s, s′ ∈ S

ms,s = 1 y ms,s′ ∈ N− {1}. El par (W,S) se llama sistema de Coxeter.

Proposición 9. Todos los grupos de reflexiones finitos son grupos de Coxeter.

Demostración. Ver Teorema 26 en tesis de Roberto Medina de Grupos de

Reflexiones finitos. �

Definición 31. Sea (W,S) un sistema de Coxeter.

Se define la función largo de la siguiente manera:

l : W −→ N

w 7−→ l(w) = r,

donde r es la menor cantidad de reflexiones simples, tal que w = s1s2 · · ·sr. Además,

l(e) = 0.

Proposición 10 (Cancelación de Matsumoto).

Sean (W,S) un sistema de Coxeter y w ∈ W .

Si w = s1 · · · sr y l(w) < r, entonces existen 1 ≤ i < j ≤ r tal que:

w = s1 · · · si · · · sj · · · sr

donde las reflexiones si y sj han sido removidas de la expresión.

Demostración. Ver Teorema 22 en tesis de Roberto Medina de Grupos de

Reflexiones finitos. �

4. Reticulados de Raíces y Coraíces

4.1. Coraíces.


Definición 32. Dado Φ un sistema de raíces. Para cada u ∈ Φ, se define la

coraíz de u como,

u =2

〈u, u〉u.

Denotaremos por Φ el conjunto de las coraíces.

Proposición 11. Si Φ es un sistema de raíces cristalográfico, entonces Φ tam-

bién es un sistema de raíces cristalográfico.


asociado a la base canónica, tenemos el sistema de raíces cristalográfico dado por:

Φ = {(0, 1), (1, 1), (1, 0), (1,−1), (0,−1), (−1,−1), (−1, 0), (−1, 1)}

Los elementos del sistema de coraíces están dados por:

˘(0, 1) =2

〈(0, 1), (0, 1)〉(0, 1) = (0, 2)

˘(1, 1) =2

〈(1, 1), (1, 1)〉(1, 1) = (1, 1)

˘(1, 0) =2

〈(1, 0), (1, 0)〉(1, 0) = (2, 0)

˘(1,−1) =2

〈(1,−1), (1,−1)〉(1,−1) = (1,−1)

˘(0,−1) =2

〈(0,−1), (0,−1)〉(0,−1) = (0,−2)

˘(−1,−1) =2

〈(−1,−1), (−1,−1)〉(−1,−1) = (−1,−1)

˘(−1, 0) =2

〈(−1, 0), (−1, 0)〉(−1, 0) = (−2, 0)

˘(−1, 1) =2

〈(−1, 1), (−1, 1)〉(−1, 1) = (−1, 1)

Así, el sistema de coraíces esta dado por:

Φ = {(0, 2), (1, 1), (2, 0), (1,−1), (0,−2), (−1,−1), (−2, 0), (−1, 1)}

4.2. Reticulados. Un reticulado L, se define como un Z-módulo libre en un

espacio vectorial V , particularmente nos interesan en el desarrollo de esta tesis, los

reticulados de raíces y coraíces.

Definición 33. Dado un sistema de raíces cristalográfico Φ, el reticulado de

raíz R(Φ) denotado simplemente por R, es el conjunto de todas las combinaciones

lineales enteras de los elementos de Φ. Es decir,


R =∑

u∈Φ

Zu

donde Zu = {nu | n ∈ Z}.

En particular, si consideramos el sistema de raíces Φ, el reticulado de coraíces

R(Φ) el cual lo denotamos por R está dado de la siguiente manera:

R =∑

u∈Φ

Zu

Lema 12. Sea Φ un sistema de raíces cristalográfico y ∆ = {v1, ..., vn} un sistema

simple en Φ, entonces

R =

n⊕

i=1

Zvi

Demostración. Sea L =⊕

vi∈∆Zvi, claramente L ⊆ R.

Para la otra contención (R ⊆ L), observemos que L es W -invariante, pues

svi(vj) = vj − 2〈vj , vi〉

〈vi, vi〉vi ∈ L

Luego,

(∀w ∈ W )(w(L) = L)

Además, por el corolario 7, dado u ∈ Φ existe w ∈ W tal que

w(vi) = u, para algún vi ∈ ∆

De lo cual obtenemos que,

(∀u ∈ Φ)(u = w(vi) ∈ w(L) ⊆ L)

Por lo tanto,

R ⊆ L

�

Definición 34. Se define el reticulado de peso de Φ como el conjunto:

P = P(Φ) :=

{z ∈ V | 2

〈u, z〉

〈u, u〉∈ Z, ∀u ∈ Φ

}

:={z ∈ V | 〈u, z〉 ∈ Z, ∀u ∈ Φ

}


De la misma forma el reticulado de copeso de Φ esta dado por:

P = P(Φ) :=

{z ∈ V | 2

〈u, z〉

〈u, u〉∈ Z, ∀u ∈ Φ

}

:= {z ∈ V | 〈u, z〉 ∈ Z, ∀u ∈ Φ}

Lema 13. Sea {¯v1, ..., ¯vn} base dual del sistema simple ∆ = {v1, ..., vn}, es decir,

〈¯vi, vj〉 = δij, entonces se tiene que,

P = Z¯v1 ⊕ · · · ⊕ Z¯vn

Demostración. Como {¯v1, ..., ¯vn} es una base de V construimos,

Υ = Z¯v1 ⊕ · · · ⊕ Z¯vn

y demostremos que P = Υ.

Dado z ∈ Υ, esto implica que,

〈z, vj〉 ∈ Z, para todo vj ∈ ∆.

De esta manera, z ∈ P .

En el otro sentido: Sea z ∈ P, entonces z se escribe en combinación lineal de

{¯v1, ..., ¯vn}, es decir

z =n∑

i=1

λi ¯vi, donde λi ∈ R.

Por la definición de P se tiene que,

〈z, vj〉 ∈ Z, con vj ∈ ∆.

Con lo cual se obtiene que λj ∈ Z, para todo j.

Luego,

z =

n∑

i=1

λi ¯vi, donde λi ∈ Z.

Por lo tanto, z ∈ Υ. �

Lema 14. El grupo W permuta los elementos del sistema de coraíces Φ.


Demostración. Sean u ∈ Φ y w ∈ W , entonces

w(u) = w

(2u

〈u, u〉

)

=2wu

〈u, u〉

=2wu

〈wu,wu〉

= ˘(wu)

De este modo, W permuta los elementos de Φ. �

Observación 3. Notemos que, por el lema anterior, si z ∈ R, entonces wz ∈ R.

Proposición 15. Sean P el copeso de reticulado y R el reticulado de coraíces,

entonces, R ⊆ P.

Demostración. Sea z ∈ R, esto quiere decir que,

z =∑

i

λiui

Luego,

〈z, u〉 =

⟨∑

i

λiui, u

⟩

=∑

i

λi〈ui, u〉 ∈ Z

y como Φ es un sistema de raíces cristalográfico, tenemos

〈ui, u〉 =2〈ui, u〉

〈ui, ui〉∈ Z

Por lo tanto, z ∈ P. �

Análogamente notemos que,

R ⊆ P

5. GRAFOS DE COXETER 19

5. Grafos de Coxeter

Definición 35. Sean (W,S) un sistema de Coxeter, entonces el grafo de Coxe-

ter etiquetado es el grafo dado por:

1. El conjunto de vértices es S.

2. Si m(s, s′) = 2, entonces no hay arista entre s y s′, donde s, s′ ∈ S.

3. Si m(s, s′) = 3, entonces la arista entre s y s′ no tiene etiqueta.

4. Si m(s, s′) > 3, entonces la arista entre s y s′ es etiquetado con m(s, s′).

Proposición 16. Sea X un grafo de Coxeter, entonces el grafo satisface las

siguientes condiciones:

1. Un vértice pertenece a lo más a tres aristas.

2. Un vértice pertenece a tres aristas sólo si todas las aristas tienen etiqueta

igual a 3.

3. Un vértice pertenece a lo más a una arista de etiqueta mayor ó igual a 4.

4. Existe una arista de etiqueta mayor ó igual a 6 sólo si X tiene dos vértices.

Demostración. Ver Lema 41 en tesis de Roberto Medina de Grupos de Re-

flexiones finitos. �

Definición 36. Se dice que el sistema de Coxeter (W,S) es irreducible si dados

dos puntos en el grafo de Coxeter existe un camino que los une.

Ejemplo 5. Describir el grafo de Coxeter de tipo (An, n ≥ 1).

solución 5. Consideremos el espacio Rn+1 con la base canónica {e1, . . . , en+1}.

Sabemos que su sistema de raíces esta dado por:

Φ = {ei − ej | i 6= j, 0 ≤ i, j ≤ n}

y el sistema simple asociado a Φ es:

∆ = {e1 − e2, . . . , en − en+1}

En este caso, denotemos por si = sei−ei+1las reflexiones simples, que cumplen

con:

1. (si)2 = Id, para 0 < i < n.

2. m(si, si+1) = 3.

3. m(si, sj) = 2, si | i− j |> 2.


Con lo cual su grafo de Coxeter es,

Para la demostración de cada una de estas relaciones x ∈ Rn+1.

1. Sea ei − ei+1 ∈ ∆, donde 0 < i < n. Luego,

si(x) = x− 〈x, ei − ei+1〉(ei − ei+1)

= (x1, . . . , xi−1, xi+1, xi, xi+2, . . . , xn+1)

Claramente (si)2(x) = Id.

2. Sean ei − ei+1, ei+1 − ei+2 ∈ ∆, para 0 < i < n− 1. Entonces,

(sisi+1)(x) = si(si+1(x))

= si(x1, . . . , xi, xi+2, xi+1, xi+3, . . . , xn+1)

= (x1, . . . , xi−1, xi+2, xi, xi+1, xi+3, . . . , xn+1)

De esta manera,

(sisi+1)2(x) = (x1, . . . , xi−1, xi+1, xi+2, xi, xi+3, . . . , xn+1)

Concluyendo obtenemos que,

(sisi+1)3(x) = x

3. Supongamos que | i − j |> 2, entonces si y sj actúan sobre diferentes coor-

denadas sin relacionarse entre ellas.

En otras palabras, (sisj)2 = Id.

Así hemos demostrado las relaciones anteriormente dadas.

Ejemplo 6. Realizar el grafo de Coxeter de tipo (Bn, n ≥ 2).

solución 6. Para comenzar consideremos la base canónica {e1, . . . , en} de Rn.

El sistema de raíces está determinado por:

Φ = {±ei ± ej} ∪ {±ei}

y su sistema simple es:

∆ = {e1 − e2, . . . , en−1 − en, en}


Donde las reflexiones simples denotadas por si = sei−ei+1; sn = sen satisfacen las

siguientes condiciones:

1. (si)2 = Id, para 0 < i ≤ n.

2. m(si, si+1) = 3.

3. m(si, sj) = 2, si | i− j |> 2.

4. m(sn−1, sn) = 4.

De esta manera el grafo de Coxeter está descrito por:

4

Para la demostración de estas relaciones x ∈ Rn.

1. Sea ei − ei+1 ∈ ∆, donde 0 < i < n. Luego,

si(x) = x− 〈x, ei − ei+1〉(ei − ei+1)

= (x1, . . . , xn)− (xi − xi+1)(ei − ei+1)

= (x1, . . . , xi, xi+1, . . . , xn)− (0, . . . , xi − xi+1, xi+1 − xi, . . . , 0)

= (x1, . . . , xi−1, xi+1, xi, xi+2, . . . , xn)

Claramente (si)2(x) = Id. Además,

sn(x) = x− 〈x, en〉2en

= (x1, . . . , xn)− (0, . . . , 2xn)

= (x1, . . . , xn−1,−xn)

De esta forma se observa que (sn)2(x) = Id.

2. Sean ei − ei+1, ei+1 − ei+2 ∈ ∆, para 0 ≤ i < n− 1. Entonces,

(sisi+1)(x) = si(si+1(x))

= si(x1, . . . , xi, xi+2, xi+1, xi+3, . . . , xn)

= (x1, . . . , xi−1, xi+2, xi, xi+1, xi+3, . . . , xn)

Luego,

(sisi+1)2(x) = (x1, . . . , xi−1, xi+1, xi+2, xi, xi+3, . . . , xn)

(sisi+1)3(x) = x


3. Si | i− j |> 2, entonces se tiene que si y sj actúan sobre diferentes coorde-

nadas haciendo que estas reflexiones conmuten.

Es decir, (sisj)2 = Id.

4. Sean en−1 − en, en ∈ ∆. Calculando tenemos que,

(sn−1sn)(x) = sn−1(sn(x))

= sn−1(x− 〈x, en〉2en)

= sn−1(x− (xn)2en)

= sn−1((x1, . . . , xn)− (0, . . . , 2xn))

= sn−1(x1, . . . ,−xn)

= (x1, . . . , xn−2,−xn, xn−1)

Por lo cual se obtienen los siguientes resultados,

(sn−1sn)2(x) = (x1, . . . ,−xn−1,−xn)

(sn−1sn)3(x) = (x1, . . . , xn,−xn−1)

(sn−1sn)4(x) = x

De esta forma concluimos la demostración de estas condiciones.


Teorema 17. Si (W,S) es un sistema de Coxeter finito irreducible, entonces su

grafo de Coxeter es uno de los siguientes:

(An, n ≥ 1)

(Bn ó Cn, n ≥ 2)4

(Dn, n ≥ 4)

(E6)

(E7)

(E8)

(F4)4

(G2(m))m

(H3)5

(H4)5

Capítulo 3

Grupo de Reflexiones Afines

Para el desarrollo de este capítulo denotaremos por W un grupo de Weyl y

comenzaremos estudiando la estructura del grupo afín, definiendo los conceptos de

hiperplanos y reflexiones afines, determinando la interrelación entre ellos y la impor-

tancia que tienen para demostrar que el grupo de Weyl afín actúa transitivamente

sobre las cámaras.

Proposición 18. El conjugado de una traslación por transformaciones lineales

es una traslación. Es decir,

(∀g ∈ GL(V ))(∀x ∈ V )(gtxg−1 = tgx)

Demostración. Para todo y ∈ V tenemos que,

(gtxg−1)(y) = (gtx)(g

−1(y))

= g(tx(g−1(y)))

= g(g−1(y) + x)

= y + g(x)

= tgx(y)

�

Lo cual demuestra que GL(V ) esta contenido en el normalizador de las trasla-

ciones.

Definición 37. El grupo afín que es denotado por Aff(V ) es el producto

semidirecto del grupo general lineal y el grupo de traslaciones de V . De otra for-

ma,

Aff(V ) = T (V )⋊GL(V ) ≤ Biy(V )

24

1. HIPERPLANOS AFINES 25

1. Hiperplanos Afines

Definición 38. Para cada z ∈ V − {0} y k ∈ Z un hiperplano afín se define

por:

Hz,k := {y ∈ V | 〈y, z〉 = k}

Nos interesa solamente el caso z ∈ Φ.

Proposición 19. Sean u ∈ Φ y k ∈ Z. Entonces para los hiperplanos afines se

tiene lo siguiente:

1. Hu,k = H−u,−k

2. Hu,0 = Hu

3. Hu,k puede ser obtenido trasladando Hu por k2u

donde Hu es el hiperplano ortogonal al espacio generado por u.

Demostración. Sean u ∈ Φ y k ∈ Z.

La demostración de estas igualdades las haremos por contenciones.

1. Consideremos z ∈ Hu,k lo cual implica que 〈z, u〉 = k. Ahora veamos si z

se encuentra en el hiperplano H−u,−k. Para ello observemos que,

〈z,−u〉 = −〈z, u〉 = −k

Con lo cual z ∈ H−u,−k.

Dado z ∈ H−u,−k, entonces 〈z,−u〉 = −k. Para demostrar que z pertenece

al hiperplano Hu,k, notemos lo siguiente,

〈z, u〉 = −〈z,−u〉 = −(−k) = k

Así, z ∈ Hu,k

2. Su demostración es inmediata, pues,

Hu,0 = {z ∈ V | 〈z, u〉 = 0} = Hu

2. REFLEXIONES AFINES 26

3. Dado z ∈ Hu, luego 〈z, u〉 = 0. Debemos verificar que z trasladado por k2u

se encuentra en el hiperplano Hu,k. Para ello calculemos,⟨k

2u+ z, u

⟩=

k

2〈u, u〉+ 〈z, u〉, pero 〈z, u〉 = 0

=k

2

⟨2

〈u, u〉u, u

⟩

=k

〈u, u〉〈u, u〉

= k

Por lo tanto z ∈ Hu,k.

Ahora consideremos z ∈ Hu,k, es decir 〈z, u〉 = k, y por lo anterior

tenemos que,k

2〈u, u〉 = k

Reemplazando,

〈z, u〉 =k

2〈u, u〉

〈z, u〉 −k

2〈u, u〉 = 0

⟨z −

k

2u, u

⟩= 0

〈t− k2u(z), u〉 = 0

De esta manera t− k2u(z) ∈ Hu, luego tenemos que z ∈ tk

2u(Hu).

�

2. Reflexiones Afines

Definición 39. Para u ∈ Φ y k ∈ Z una reflexión afín se define:

su,k(z) := z − (〈z, u〉 − k)u, con z ∈ V.

Proposición 20. Sean u ∈ Φ y k ∈ Z. Las reflexiones afines cumplen con las

siguientes propiedades:

1. su,0 = su.

2. su,k(~0) = ku.

3. tku ◦ su = su,k.

4. La reflexión su,k fija el hiperplano Hu,k punto por punto.


Demostración. Sean u ∈ Φ y k ∈ Z.

1. Sea z ∈ V entonces,

su,0(z) = z − (〈z, u〉 − 0)u

= z − 〈z, u〉u

= z − 2〈z, u〉

〈u, u〉u

= su(z)

2. Denotemos por 0 = ~0,

su,k(0) = 0− (〈0, u〉 − k)u

= −(−k)u

= ku

3. Dado z ∈ V . Sabemos que,

su(z) = z − 2〈z, u〉

〈u, u〉u = z − 〈z, u〉u

Luego, trasladando esta reflexión por tku obtenemos:

tku(su(z)) = tku(z − 〈z, u〉u)

= z − 〈z, u〉u+ ku

= z − (〈z, u〉 − k)u

= su,k(z)

4. Debemos demostrar que,

(∀z ∈ Hu,k)(su,k(z) = z)

Sea z ∈ Hu,k entonces 〈z, u〉 = k. Calculando se tiene,

su,k(z) = z − (〈z, u〉 − k)u

= z − (k − k)u

= z

De esta manera, todos los puntos del hiperplano Hu,k son fijos por su,k.

�


Notación 3. Sea Hu,k el hiperplano fijo por la reflexión afín su,k. Denotemos

Hu,k por Hs, en caso que no induzca error omitiendo la raíz u y el entero k.

Además se define H como la colección de hiperplanos afines asociado a las re-

flexiones afines, es decir

H = {Hu,k | u ∈ Φ, k ∈ Z}

Proposición 21. Sean u ∈ Φ y k ∈ Z, entonces para w ∈ W tenemos que:

1. wsu,kw−1 = swu,k

2. susu,1su,−k = su,−(k+1)

3. su,1susu,n+1 = su,n+2

Demostración. 1. Sea z ∈ V . Luego,

(wsu,kw−1)(z) = (wsu,k)(w

−1z)

= w(su,k(w−1z))

= w(w−1z − (〈w−1z, u〉 − k)u)

= z − (〈w−1z, u〉 − k)wu

= z − 〈w−1z, u〉 − k)2

〈u, u〉wu

= z − (〈z, wu〉 − k)2

〈wu,wu〉wu

= z − (〈z, wu〉 − k)(wu)

= swu,k(z)

2. Sea z ∈ V . Entonces,

(susu,1su,−k)(z) = (susu,1)(su,−k(z))

= (susu,1)(z − (〈z, u〉+ k)u)

= (su)(su,1(z − (〈z, u〉+ k)u))

= su(z − (〈z, u〉+ k)u− (〈z − (〈z, u〉+ k)u, u〉 − 1)u)

= su(z − 〈z, u〉u− ku − 〈z, u〉u+ 2〈z, u〉u+ 2ku+ u)

= su(z + (k + 1)u)

= z + (k + 1)u− (〈z + (k + 1)u, u〉)u

= z + (k + 1)u − 〈z, u〉u− 2(k + 1)u

= z − 〈z, u〉u− (k + 1)u


(susu,1su,−k)(z) = z − (〈z, u〉+ (k + 1))u

= su,−(k+1)(z)

3. Sea z ∈ V . Calculando se tiene que,

(su,1susu,k+1)(z)

= (su,1su(su,k+1(z))

= (su,1su)(z − (〈z, u〉 − (k + 1))u)

= (su,1)(su(z − (〈z, u〉 − (k + 1))u))

= su,1(z − (〈z, u〉 − (k + 1))u− (〈z − (〈z, u〉 − (k + 1))u, u〉)u)

= su,1(z − 〈z, u〉u+ (k + 1)u − 〈z, u〉u+ 2〈z, u〉u− 2(k + 1)u)

= su,1(z − (k + 1)u)

= z − (k + 1)u− (〈z − (k + 1)u, u〉 − 1)u

= z − (k + 1)u − 〈z, u〉u+ 2(k + 1)u+ u

= z − 〈z, u〉u+ (k + 2)u

= z − (〈z, u〉 − (k + 2))u

= su,k+2(z)

�

La siguiente proposición demuestra, en los dos primeros items, como los ele-

mentos de W y las traslaciones actúan sobre H, y luego de que manera actúan las

traslaciones sobre las reflexiones afines.

Proposición 22. Con las condiciones de la proposición anterior. Si x ∈ V es

tal que 〈x, u〉 ∈ Z, entonces

1. wHu,k = Hwu,k

2. txHu,k = Hu,k+〈x,u〉

3. txsu,kt−x = su,k+〈x,u〉

Demostración.

1. Sea z ∈ Hu,k, entonces 〈z, u〉 = k. Veamos si wz se encuentra en el hiperplano

Hwu,k. Para esto notemos que,

〈wz, wu〉 = 〈z, u〉 = k

3. GRUPOS DE WEYL AFINES 30

Por lo tanto, wHu,k ⊆ Hwu,k.

En el otro sentido. Consideremos z ∈ Hwu,k esto es 〈z, wu〉 = k. Observemos

que,

〈w−1z, u〉 = 〈z, wu〉 = k

Así, w−1z ∈ Hu,k lo cual implica que z ∈ wHu,k.

2. Sea z ∈ Hu,k, esto nos dice que 〈z, u〉 = k

Veamos si z trasladado por x se encuentra en Hu,k+〈x,u〉. Para ello re-

alizaremos el siguiente cálculo,

〈tx(z), u〉 = 〈z + x, u〉

= 〈z, u〉+ 〈x, u〉

= k + 〈x, u〉

Por lo tanto, txHu,k ⊆ Hu,k+〈x,u〉

En la otra contención. Sea z ∈ Hu,k+〈x,u〉 entonces 〈z, u〉 = k + 〈x, u〉.

Luego,

〈z, u〉 − 〈x, u〉 = k

〈z − x, u〉 = k

De esta manera t−x(z) ∈ Hu,k lo cual demuestra que z ∈ txHu,k.

3. Sea z ∈ V , entonces

(txsu,kt−x)(z) = (txsu,k)(t−x(z))

= tx(su,k(z − x))

= tx[(z − x)− (〈z − x, u〉 − k)u]

= x+ (z − x)− (〈z, u〉 − 〈x, u〉 − k)u

= z − (〈z, u〉 − (k + 〈x, u〉))u

= su,k+〈x,u〉(z)

�

3. Grupos de Weyl Afines

En esta sección definiremos los grupos de Weyl afines y los grupos de Weyl afines

extendidos. Además, determinaremos el grupo de Weyl afín de tipo A1.


Definición 40. Sea Φ un sistema de raíces cristalográfico.

Se define el grupo de Weyl Afín Wa al subgrupo de Aff(V ) generado por todas

las reflexiones afines su,k, con u ∈ Φ y k ∈ Z. Es decir,

Wa = ≪ su,k | u ∈ Φ, k ∈ Z ≫

3.1. Grupo de Weyl Afín de Tipo A1. Sea W el grupo de Coxeter del tipo

A1 dado en el teorema 17 y Φ su sistema de raíces. El grupo de Weyl afín del tipo

A1 es

Wa =≪ su,k | u ∈ Φ, k ∈ Z ≫

Entonces el grupo Afín Wa es generado por su y su,1 con u ∈ Φ, sujeto a las

relaciones obvias. De otra forma,

Wa = ≪ su, su,1 | (su)2 = (su,1)

2 = 1, u ∈ Φ ≫

Lema 23. Sean A = susu,1 y B = su,1su. Entonces,

1. (∀n ∈ N)(Ansu = su,−n)

2. (∀n ∈ N)(Bnsu,1 = su,n+1)

Demostración. Sea u ∈ Φ.

1. Definamos p(n) : Ansu = su,−n y procedamos por inducción sobre n. Se

obtiene fácilmente que p(0) : su = su es verdadera.

En la segunda parte de la inducción, supongamos que p(n) es verdadera

y demostremos p(n+ 1) : An+1su = su,−(n+1). Para esto se tiene lo siguiente,

An+1su = A(Ansu)

= Asu,−n

= susu,1su,−n

= su,−(n+1)

Para justificar la última igualdad consideremos la segunda parte proposi-

ción 21.

Entonces por inducción se cumple que:

(∀n ∈ N)(Ansu = su,−n)

2. Sea p(n) : Bnsu,1 = su,n+1 y procedamos por inducción sobre n. Claramente

p(0) : su,1 = su,1 es verdadera.


Supongamos que p(n) es verdadera y demostremos

p(n+ 1) : Bn+1su,1 = su,n+2

Luego,

Bn+1su,1 = B(Bnsu,1)

= Bsu,n+1

= su,1susu,n+1

= su,n+2

Para la justificación de la última igualdad observemos la tercera parte de

la proposición 21.

De esta forma:

(∀n ∈ N)(Bnsu,1 = su,n+1)

�

Observemos que por la primera parte del lema anterior tenemos que,

{su,k | u ∈ Φ, k ∈ Z−◦ } ⊆ ≪ su, su,1 | (su)

2 = (su,1)2 = 1, u ∈ Φ ≫

Por otro lado, la segunda parte del mismo lema nos muestra que,

{su,k | u ∈ Φ, k ∈ Z+} ⊆ ≪ su, su,1 | (su)

2 = (su,1)2 = 1, u ∈ Φ ≫

Así,

≪ su,k | u ∈ Φ, k ∈ Z ≫ = ≪ su, su,1 | (su)2 = (su,1)

2 = 1, u ∈ Φ ≫

Además el grupo Wa es llamado grupo diedral infinito, denotado por D∞.

3.2. Estructura de Grupos de Weyl Afines.

Proposición 24. Sean Φ un sistema de raíces cristalográfico, R su correspon-

diente reticulado de coraices y P el reticulado del copeso, entonces todo reticulado

L tal que R ⊂ L ⊂ P es W -invariante.

Demostración. Basta con demostrar que todo elemento de W actúa trivial-

mente sobre el cociente de reticulados P/R. Pero el grupo W es generado por re-

flexiones, por ello nos concentramos en mirar como actúan las reflexiones de W .


Sea z ∈ P y sv una reflexión en W , entonces:

sv(z) = z − 2〈z, v〉

〈v, v〉v = z − 〈z, v〉v

Como z ∈ P , entonces 〈z, v〉 ∈ Z. Así, 〈z, v〉v ∈ R

Entonces sv(z) ≡ z(mod R)

Luego, cada elemento de W actúa como la identidad en el grupo P/R.

Concluimos la demostración notando que L ⊂ P por lo cual todo reticulado

R ⊂ L ⊂ P es W -invariante. �

Lema 25. La traslación por todo elemento del reticulado de coraíces se encuentra

en el grupo Wa. Es decir,

(∀z ∈ R)(tz ∈ Wa)

Demostración. Es inmediata por la tercera parte de la proposición 20. �

Proposición 26. El grupo Wa es el producto semidirecto de W y el grupo de

traslaciones correspondiente al reticulado de coraíces R.

Demostración. Debemos demostrar que Wa = T(R)⋊W

Donde T(R) = {tz | z ∈ R}

1. Claramente, T(R) ∩W = {e}.

2. T(R) es normal en W

Sea z ∈ R y w ∈ W . Luego, por la proposición 18, tenemos que:

wtzw−1 = twz, donde por observación 3, wz ∈ R.

3. Wa = T(R)W

Para los generadores de Wa tenemos, por la proposición 20.3, que:

su,k = tkusu ∈ Wa

y como Wa =≪ su,k ≫, entonces se tiene que todo los elementos se

pueden escribir de la forma:

su,k = tkusu

Por lo tanto, Wa = T(R)⋊W �


3.3. Grupos de Weyl Afínes Extendidos. Sabemos por la proposición 24

que P es W-invariante, luego el subgrupo de las traslaciones por elementos de P ,

representado por T(P), es normalizado por W. De este modo T(P) ⋊ W es un

subgrupo del grupo afín llamado grupo de Weyl Afín Extendido denotado por Wa,

es decir,

Wa = T(P)⋊W

Lema 27. El grupo de Weyl afín Wa es subgrupo normal del grupo de Weyl afín

extendido Wa. Es decir,

Wa E Wa; Wa/Wa∼= P/R

Demostración. Es suficiente demostrar la contención, para ello, por la proposi-

ción 24, tenemos que T(R) ⊆ T(P), entonces Wa ⊆ Wa.

Además, T(P) es un grupo abeliano, por lo cual T(R) es normal en T(P). Así,

Wa E Wa

Además tenemos que,

Wa/Wa∼= T(P)⋊W/T(R)⋊W ∼= T(P)/T(R) ∼= P/R (1)

�

Corolario 28. Sean w ∈ Wa y Hu,k ∈ H, luego existen x ∈ Φ y ℓ ∈ Z tal que:

1. wHu,k = Hx,ℓ

2. wsu,kw−1 = sx,ℓ

Demostración. Sea w ∈ Wa, entonces:

w = tzw1, z ∈ P, w1 ∈ W.

w−1 = w−11 t−z.

1. Por las proposiciones anteriores ya tenemos que:

wHu,k = tzw1Hu,k

= tzHw1u,k, por la primera parte de la proposición 22

= Hw1u,k+〈z,w1u〉, por la segunda parte de la proposición 22

4. CÁMARAS 35

2. Sabemos que,

wsu,kw−1 = tzw1su,kw

−11 t−z

= tz(w1su,kw−11 )t−z

= tzsw1u,kt−z, por la primera parte de la proposición 21

= sw1u,k+〈z,w1u〉, por la tercera parte de la proposición 22

De esta forma obtenemos que x = w1u y ℓ = k + 〈z, w1u〉.

�

4. Cámaras

En esta sección veremos como los grupos Wa y Wa actúan sobre la colección de

componentes conexos en V ◦ = V −⋃

H∈H

H .

Definición 41. Sea A el conjunto de las componentes conexas de V ◦, los ele-

mentos de A se llaman cámaras.

Notemos que Wa permuta A, pues los elementos de Aff(V ), actúan como homeo-

morfismo.

Proposición 29. Sea A una cámara, entonces para todo u ∈ Φ+, existe ku ∈ Z

tal que:

A = {z ∈ V | (∀u ∈ Φ+)(ku < 〈u, z〉 < ku + 1)}

Proposición 30. La colección V ◦ es abierta en V .

Demostración. Sabemos que los hiperplanos son cerrados, por ende la unión

arbitraria de estos es cerrado, y como V ◦ es el complemento de esta unión, concluimos

que es V ◦ abierto. �

Definición 42. Sean Φ irreducible y ∆ un sistema simple en Φ. La cámara

fundamental es el conjunto:

A◦ = {z ∈ V | (∀u ∈ Φ+)(0 < 〈z, u〉 < 1)}

Proposición 31. La cámara A◦ es una componente conexa de V ◦.

Demostración. Comencemos notando que A◦ ⊆ V ◦, pues dado x ∈ A◦, se

tiene,

〈x, u〉 /∈ Z, ∀u ∈ Φ+

4. CÁMARAS 36

Por lo tanto, x ∈ V ◦.

Ahora veremos que A◦ es un conjunto convexo.

Sean x, y ∈ A◦ y t ∈ [0, 1]. Probaremos que tx + (1 − t)y ∈ A◦. Para ello sea

u ∈ Φ+,

〈tx+ (1− t)y, u〉 = t〈x, u〉+ (1− t)〈y, u〉

como x, y ∈ A◦ se tiene,

0 < t〈x, u〉+ (1− t)〈y, u〉

Por otra parte, supongamos que el max{〈x, u〉, 〈y, u〉} = x0 < 1. Entonces,

t〈x, u〉+ (1− t)〈y, u〉 ≤ tx0 + (1− t)x0 = x0 < 1

Así, A◦ es un conjunto convexo y por lo tanto conexo.

Ahora demostremos que A◦ es una componente conexa. Como A◦ es conexo existe

A ∈ A tal que A0 ⊆ A.

Sabemos que dada una cámara, existen ku tal que:

A = {z ∈ V | (∀u ∈ Φ+)(ku < 〈z, u〉 < ku + 1)}

por lo tanto, ku = 0 para todo u ∈ Φ+, lo que demuestra la otra contención.

Así, A◦ es una componente conexa de V ◦ �

Ejercicio 7. Las cámaras que forman los grupos de Weyl de tipo A2 son trián-

gulos equiláteros.

solución 7. El grupo A2 = ≪ sv1 , sv2 ≫, definido en el ejemplo 5, con n = 2,

para este grupo tenemos que ∆ = {e1 − e2, e2 − e3} y la raíz suprema es e1 − e3.

Además, denotemos por vi = ei − ei+1 y v3 = e1 − e3.

Notemos que

∣∣∣∣< vi, vj >

||vi|| · ||vj||

∣∣∣∣ =1

2con i 6= j

luego los ángulos interiores de la cámara fundamental son π3.

La cámara fundamental en el plano < v1, v2 >, se representa de siguiente modo:

4. CÁMARAS 37

βαγ

Ejercicio 8. Las cámaras asociadas con los grupos de Weyl de tipo B2 son

triángulos con ángulos π/2, π/4, π/4.

solución 8. Con las mismas notaciones del ejemplo 1 obtenemos que las cá-

maras son de la siguiente forma:

(1, 1)

(1,−1)

(0, 1)

(1, 0)α

β

γx

y

Entonces,

α =π

4; β =

π

2; γ =

π

4

Proposición 32. Sea v la raíz suprema en términos de ∆, entonces

A◦ = {z ∈ V | (∀v ∈ ∆)(〈z, v〉 > 0) y 〈z, v〉 < 1}

4. CÁMARAS 38

Demostración. Denotemos B◦ de la siguiente manera,

B◦ = {z ∈ V | (∀v ∈ ∆)(〈z, v〉 > 0) y 〈z, v〉 < 1}

Consideremos z ∈ A◦, claramente z ∈ B◦.

Para la otra contención. Sea z ∈ B◦ y como todo elemento de Φ+ se escribe en

combinación lineal no negativa de elementos de ∆,

〈z, u〉 > 0, ∀u ∈ Φ+

Por otra parte, para todo u ∈ Φ+, se tiene que v − u es suma de raíces simples

se tiene que,

〈z, v − u〉 ≥ 0

〈z, v〉 − 〈z, u〉 ≥ 0

〈z, u〉 ≤ 〈z, v〉

y sabemos que 〈z, v〉 < 1, entonces z ∈ A◦.

Por lo tanto, A◦ = B◦. �

Observación 4. Esto nos muestra que A◦ es una intersección de semiespacios

abiertos.

Definición 43. Las paredes de A◦ son los hiperplanos Hv, con v ∈ ∆ y Hv,1.

Además definimos el conjunto de reflexiones asociados:

Sa = {sv | v ∈ ∆} ∪ {sv,1}

También podemos definir paredes de wA◦, como las imágenes de estos hiperplanos

bajo la acción de w, ∀w ∈ Wa.

Proposición 33. El grupo Wa actúa sobre la colección A de todas las cámaras

transitivamente y es generado por el conjunto Sa de reflexiones asociado a las paredes

de la cámara A◦.

Demostración. Sea W ′ un subgrupo de Wa generado por Sa.

Como primera parte de la demostración probaremos que W ′ actúa sobre A tran-

sitivamente. Para esto demostraremos que:

(∀A ∈ A)(∃w ∈ W ′)(wA = A◦)

Fijemos dos elementos x ∈ A y y ∈ A◦.

4. CÁMARAS 39

Como la órbita de x bajo el grupo de traslaciones de R es un subconjunto discreto

de V y Wa es una extensión del grupo finito W a través del producto semidirecto,

la Wa-órbita y por supuesto la W ′-órbita de x la cual denotaremos por:

Ox = {wx | w ∈ W ′}

es un conjunto discreto en V , luego existe z ∈ Ox tal que:

d(z, y) = min{d(δ, y) | δ ∈ Ox} (2)

Supongamos que z /∈ A◦. Entonces z e y se encuentran en diferentes semiespacios

relativos a alguna pared H de A◦, y sea s la correspondiente reflexión que fija

al hiperplano H (s ∈ Sa ⊂ W ′). Consideremos el trapezoide en V con vértices

y, sy, z, sz que es dividido en dos partes por H . Usando la ley del coseno probaremos

que el largo de una diagonal es mayor que el largo común de los dos lados no paralelos

del trapezoide. Luego,

H

z

syy

szα

βα

Sabemos que α + β = 180◦, es decir, α = 180◦ − β. Entonces,

cos(α) = cos(π − β)

= cos(π) cos(β) + sin(π) sin(β)

= − cos(β)

Por el teorema del coseno tenemos que,

‖y − z‖2 = ‖sz − z‖2 + ‖sz − y‖2 − 2‖sz − z‖‖sz − y‖ cos(α)

= ‖sz − z‖2 + ‖sz − y‖2 + 2‖sz − z‖‖sz − y‖ cos(β)

5. LA FUNCIÓN LARGO 40

Observemos que 0 < cos(β) < 1, pues β ∈ ]0, 1[. De esta forma, obtenemos las

siguientes desigualdades:

‖y − z‖2 > ‖sz − z‖2 + ‖sz − y‖2

‖y − z‖2 > ‖sz − y‖2

‖y − z‖ > ‖sz − y‖

Como sz esta en la W ′-órbita de x, esto es una contradicción, pues z es la menor

distancia a y. Luego, z ∈ A◦, entonces wA ∩A◦ 6= ∅ por lo tanto wA = A◦. De esta

manera, W ′ actúa sobre A transitivamente.

En la segunda parte nos falta demostrar que Wa ⊆W ′.

Sea su,k una reflexión afín y veremos que esta reflexión se encuentra en W ′. Para

ello consideremos A una cámara que tiene a Hu,k como una pared. Por lo demostrado

anteriormente W ′ actúa transitivamente, luego existe w ∈ W ′ tal que wA = A◦.

Así, wHu,k coincide con H una de las paredes de A◦, denotemos por s la reflexión

que deja fija esta pared, luego s ∈ Sa ⊆ W ′. Entonces por corolario 28.2 obtenemos

lo siguiente:

wsu,kw−1 = s

Lo cual implica que su,k ∈ W ′

Por lo tanto, W ′ = Wa. �

5. La Función Largo

Sea w ∈ Wa, w se puede escribir como producto de r reflexiones, es decir, w =

s1s2 · · · sr, donde si ∈ Sa.

Definición 44. Sea la la función largo de w dada por:

la : Wa −→ N

w 7−→ la(w) = r

donde r es la menor cantidad de reflexiones si ∈ Sa tal que w = s1s2 · · · sr. Además,

la(e) = 0.

5.1. Geometría de la función largo. En esta sección estudiaremos cuan-

tos hiperplanos separan a dos cámaras en A. Además, construiremos el conjunto y

veremos como se relaciona con la función largo la.


Definición 45. Cada Hu,k ∈ H divide a V en semiespacios positivos y negativos.

Es decir,

H+u,k = {z ∈ V | 〈u, z〉 > k}

H−u,k = {z ∈ V | 〈u, z〉 < k}

Definición 46. Sean H ∈ H y A,B ∈ A.

Se dice que H separa las cámaras A y B, si y sólo si estas cámaras se encuentran

en diferentes semiespacios relativos a H.

Observación 5. Notemos que no existe un hiperplano Hu,k que separa las cá-

maras A,B,C simultáneamente. Para ello, supongamos que Hu,k separa las cámaras

A,B,C. Esto es,

1) Hu,k separa A y B

2) Hu,k separa B y C

3) Hu,k separa A y C

Luego, por 1) y 2) tenemos que A y C se encuentran en el mismo semiespacio

relativo a Hu,k. Por parte 3) esto es una contradicción.

Por lo tanto, Hu,k no separa las cámaras A,B,C.

Proposición 34. Si fijamos dos cámaras, entonces el número de hiperplanos

que separa estas cámaras es finito.

Demostración. Sean A y B dos cámaras distintas y u ∈ Φ, recordemos que Φ

es finito.

Consideremos el siguiente conjunto:

SAB = {H ∈ H | H separa A y B}

Como estas cámaras son distintas, existe al menos un hiperplano Hu,m que separa

A y B donde m ∈ Z. Luego, existen finitos hiperplanos paralelos Hu,m con ku <

m < k′u, donde ku, k′u ∈ Z que separan A y B.

Entonces,k′u⋃

l=ku

{Hu,l} ⊆ SAB

Por lo tanto,

⋃

u∈Φ+

k′u⋃

l=ku

{Hu,l}

= SAB

Así, existen finitos hiperplanos que separan dos cámaras distintas. �


Definición 47. Sea w ∈ Wa.

a) El conjunto de hiperplanos que separan A◦ de wA◦ se denota de la siguiente

manera:

L(w) = {H separa A◦ de wA◦}

b) Se define la función,

n : Wa −→ N

w 7−→ n(w) = #(L(w))

Ahora nos enfocaremos en demostrar que la restricción de n a Wa, es la función

largo la.

Lema 35. Sea s ∈ Sa, entonces,

1. n(e) = 0.

2. n(s) = 1; L(s) = Hs.

Demostración. Sea s ∈ Sa = {sv | v ∈ ∆} ∪ {sv,1}.

1. Es inmediato, pues si w = e, entonces no existen hiperplanos que separe la

cámara A◦ de si misma.

2. Debemos demostrar que el único hiperplano en L(s) es Hs.

Como A◦ es una cámara, entonces es una componente conexa de V ◦, lo

cual implica que se encuentra en uno de los semiespacios relativos a Hs. Al

ser s la reflexión que fija el hiperplano Hs, envía un semiespacio en el otro.

De esta forma, las cámaras A◦ y sA◦ se encuentran en distintos lados del

hiperplano Hs. Por lo tanto, Hs ∈ L(s).

Para demostrar que es el único hiperplano.

i) Supongamos que s ∈ {sv | v ∈ ∆} y sabemos que,

A◦ = {z ∈ V | (∀u ∈ Φ+)(0 < 〈z, u〉 < 1)}

Entonces,

sA◦ = {sz ∈ V | (∀u ∈ Φ+)(0 < 〈sz, su〉 < 1)}

= {y ∈ V | (∀u ∈ Φ+)(0 < 〈y, su〉 < 1)}

En el caso u 6= v, se tiene que,

0 < 〈y, u〉 < 1, ∀u ∈ Φ+\{v}.

pues, recordemos que sv(Φ+\{v}) = Φ+\{v}, para v ∈ ∆.


Ahora, si u = v, entonces sv = −v. Con lo cual se obtienen las siguientes

desigualdades,

0 < 〈y,−v〉 < 1

0 < −〈y, v〉 < 1

0 > 〈y, v〉 > −1

sA◦ = {y ∈ V | (∀u ∈ Φ+\{v})(0 < 〈y, u〉 < 1) ∧ (−1 < 〈y, v〉 < 0)}

ii) Consideremos s = sv,1 y por proposición 32 tenemos que,

A◦ = {z ∈ V | (∀v ∈ ∆)(〈z, v〉 > 0) y (〈z, v〉 < 1)}

Debemos demostrar que,

sA◦ = {sz ∈ V | (∀v ∈ ∆)(〈sz, v〉 > 0) y (1 < 〈sz, v〉 < 2)}

Primero probemos que 〈sz, v〉 > 0, para todo v ∈ ∆. Para esto, sean

z ∈ A◦ y v ∈ ∆. Calculando obtenemos,

〈sv,1(z), v〉 = 〈z − (〈z, v〉 − 1)˘v, v〉

= 〈z, v〉 − (〈z, v〉 − 1)〈˘v, v〉

= 〈z, v〉 −2(〈z, v〉 − 1)〈v, v〉

〈v, v〉

En esta última igualdad, sabemos que 〈v, v〉 > 0 y 〈v, v〉 ≥ 0. Además,

como z ∈ A◦ entonces 〈z, v〉 > 0 y 〈z, v〉 − 1 < 0. Esto implica que,

〈sv,1(z), v〉 > 0

Luego, 〈sz, v〉 > 0 para todo v ∈ ∆.

Demostremos que 1 < 〈sz, v〉 < 2. Para ello, notemos que el punto medio

del segmento que une z y sz se encuentra en el hiperplano Hv,1. Es decir,

1

2(sz + z) ∈ Hv,1


Desarrollando,⟨1

2(sz + z), v

⟩= 1

1

2〈sz + z, v〉 = 1

〈sz + z, v〉 = 2

〈sz, v〉 = 2− 〈z, v〉

Pero como z ∈ A◦ tenemos las siguientes restricciones:

〈z, v〉 < 1 ⇐⇒ 0 < 1− 〈z, v〉 ⇐⇒ 1 < 2− 〈z, v〉

〈z, v〉 > 0 ⇐⇒ −〈z, v〉 < 0 ⇐⇒ 2− 〈z, v〉 < 2

Así, obtenemos que 1 < 〈sz, v〉 < 2

Por lo tanto, si s ∈ Sa, entonces Hs es el único hiperplano que separa las

cámaras A◦ y sA◦.

�

Lema 36. Sean w ∈ Wa y s ∈ Sa.

1. n(w) = n(w−1); w−1L(w) = L(w−1)

2. n(ws) = n(sw−1); sw−1L(ws) = L(sw−1)

Demostración.

1. Esto equivale a demostrar que:

H separa A◦ y wA◦ si y sólo si w−1H separa w−1A◦ y A◦. Es decir,

w−1L(w) = L(w−1)

Consideremos H ∈ L(w), por lo cual H separa A◦ y wA◦, entonces

w−1H separa w−1A◦ y A◦. Por lo tanto,

w−1L(w) ⊆ L(w−1), ∀w ∈ Wa

Haciendo un cambio de variable tenemos que:

wL(w−1) ⊆ L(w), ∀w ∈ Wa

Para concluir, sea H ∈ L(w−1) esto implica que wH ∈ wL(w−1) y en

consecuencia wH ∈ L(w). Luego,

w−1wH = H ∈ w−1L(w)


Entonces,

L(w−1) ⊆ w−1L(w)

Así,

w−1L(w) = L(w−1), ∀w ∈ Wa.

Como w es una función biyectiva, se tiene que,

n(w) = n(w−1)

2. Es inmediato por la primera parte, pues si hacemos el cambio de variable

w = xy, entonces

yx−1L(xy) = L(yx−1)

�

Observación 6. Si L(w) 6= ∅, entonces este conjunto contiene al menos uno

de los hiperplanos Hs, donde s ∈ Sa. De lo contrario wA◦, A◦ se encontrarían en el

mismo semiespacio relativo a Hs, para todo s ∈ Sa. Pero A◦ es la intersección de

estos semiespacios, luego se obtendría que wA◦ = A◦, lo cual es una contradicción.

Proposición 37. Sea w ∈ Wa y fijemos s ∈ Sa.

1. Hs se encuentra en exactamente uno de los conjuntos L(w−1), L(sw−1).

2. s(L(w−1)\{Hs}) = L(sw−1)\{Hs}.

3. Si Hs ∈ L(w−1), entonces n(ws) = n(w)− 1.

4. Si Hs ∈ L(sw−1), entonces n(ws) = n(w) + 1.

Demostración. Sea w ∈ Wa y fijemos s ∈ Sa.

1. Supongamos que Hs se encuentra en ambos conjuntos. Luego,

Si Hs ∈ L(w−1), por lema 36 se tiene que wHs separa A◦ de wA◦.

Por otro lado, si Hs ∈ L(sw−1), entonces wHs separa A◦ y wsA◦.

Considerando la observación 5, el hiperplano wHs no separa wA◦ de

wsA◦, y esto es una contradicción, pues Hs separa A◦ y sA◦.

Por lo tanto, Hs no se encuentra simultáneamente en ambos conjuntos.

Suponemos ahora que Hs no se encuentra en ninguno de estos conjuntos.

Por argumentos análogos,

Si Hs /∈ L(w−1) y Hs /∈ L(sw−1) tenemos que wHs no separa A◦ de wA◦,

tampoco separa A◦ de wsA◦. De esto concluimos que wHs no separa wA◦ de

wsA◦, por ende Hs no separa A◦ de sA◦, lo que es una contradicción.

Por lo tanto, Hs se encuentra en uno de los conjuntos L(w−1), L(sw−1).


2. Sea H ∈ L(w−1)\{Hs}. Demostremos que sH ∈ L(sw−1).

Para esto, suponemos que sH /∈ L(sw−1), entonces, por observación 5

wH no separa wsA◦ de A◦.

Por hipótesis,H ∈ L(w−1), luego wH ∈ L(w). De esta manera obtenemos

que wH separa las cámaras wA◦ y wsA◦, es decir, H separa A◦ de sA◦. Por

lo tanto,

H ∈ L(s) = {Hs}

Lo cual es una contradicción, pues H 6= Hs. Así,

sH ∈ L(sw−1).

Además, como s fija Hs, lo cual implica sH 6= Hs. Entonces,

sH ∈ L(sw−1)\{Hs}.

En el otro sentido la demostración la haremos también por el absurdo,

s(L(w−1)\{Hs}) ⊇ L(sw−1)\{Hs}

Sea H ∈ L(sw−1)\{Hs} y suponemos que sH /∈ L(w−1).

Luego wsH ∈ L(ws), además, sH no separa A◦ y w−1A◦, entonces de

forma similar al anterior argumento, tenemos que H separa A◦ de sA◦.

Es decir,

H ∈ L(s) = {Hs}

Esto es claramente una contradicción. De esta manera,

sH ∈ L(w−1)\{Hs}.

Así,

s(L(w−1)\{Hs}) = L(sw−1)\{Hs}

3. Sea Hs ∈ L(w−1), por lo anterior tenemos que Hs /∈ L(sw−1),

s(L(w−1)\{Hs}) = L(sw−1)\{Hs}, entonces

#(L(w−1)\{Hs}) = #(L(sw−1)\{Hs}), pues s es biyectiva

Luego,

#(L(w−1)) = #(L(sw−1)\{Hs}) + 1

#(L(w−1)) = #(L(sw−1)) + 1


De esta manera, se tienen las siguientes igualdades,

n(w−1) = n(sw−1) + 1

n(w) = n(ws) + 1

n(ws) = n(w)− 1

4. Sea Hs ∈ L(sw−1), por argumentos análogos, se tiene que,

#(L(w−1)\{Hs}) = #(L(sw−1)\{Hs})

Entonces,

#(L(sw−1)) = #(L(w−1)) + 1

Por lo tanto,

n(sw−1) = n(w−1) + 1

n(ws) = n(w) + 1

�

Corolario 38. Para todo w ∈ Wa, tenemos que n(w) ≤ la(w).

Demostración. Sea w = s1s2 · · · sr una expresión reducida de largo r, de-

mostremos por inducción que n(w) ≤ la(w) = r.

i) Si w = e, entonces n(e) = 0 = la(e).

ii) Ahora probemos que para w = s1s2 · · · sr+1, se tiene que n(w) ≤ la(w), donde

la(w) = r + 1. Sea,

w′ = wsr+1

= (s1 · · · srsr+1)sr+1

= s1 · · · sr, entonces la(w′) = r

Por hipótesis de inducción, n(w′) ≤ la(w′). Así, por proposición 37 tenemos que,

n(w′sr+1) = n(w′)± 1 ≤ n(w′) + 1

Luego,

n(w) = n(w′sr+1) ≤ n(w′) + 1 = la(w′) + 1 = la(w)

Por todo lo anterior tenemos,

n(w) ≤ la(w) = r.

�

6. TRANSITIVIDAD FIEL 48

6. Transitividad Fiel

En esta sección explicitaremos la lista de hiperplanos que separan la cámara A0

de wA0. Además, veremos como el grupo Wa actúa fielmente transitivo sobre A.

Lema 39. Sea w ∈ Wa no trivial tal que w = s1 · · · sr es una expresión reducida,

donde si ∈ Sa y denotemos por Hi = Hsi los hiperplanos fijos por si, entonces

H1, s1H2, s1s2H3, . . . , s1 · · · sr−1Hr

son todos distintos.

Demostración. Supongamos que no todos estos hiperplanos son distintos.

Luego, existen índice p < q, tales que,

s1 · · · sp−1Hp = s1 · · · sq−1Hq

Despejando se obtiene,

Hp = (sp−1 · · · s1)(s1 · · · sq−1)Hq

= (sp · · · sq−1)Hq

Por el corolario 28

sp = (sp · · · sq−1)sq(sq−1 · · · sp)

Entonces,

sp+1 · · · sq−1 = sp · · · sq

Lo cual se contradice con la afirmación que s1 · · · sr era reducida.

Por lo tanto, todos los hiperplanos son distintos. �

Teorema 40.

1. Sea w ∈ Wa no trivial, tal que w = s1 · · · sr es una expresión reducida, y

denotemos por Hi = Hsi. Entonces tenemos que,

L(w) = {H1, s1H2, s1s2H3, . . . , s1 · · · sr−1Hr}

2. La función n sobre Wa coincide con la función largo l.

3. El grupo Wa actúa fielmente transitivo sobre A.


Demostración. 1. Procederemos por inducción sobre la(w) = r.

i) Claramente si r = 1, entonces L(s) = {Hs}, para todo s ∈ Sa.

ii) Cuando r > 1, sea w′ = s2 · · · sr. Por hipótesis de inducción tenemos

que,

L(s2 · · · sr) = {H2, s2H3, . . . , s2 · · · sr−1Hr}

Por el lema anterior, obtenemos que estos r − 1 hiperplanos son todos

distintos.

Supongamos que H1 ∈ L(s2 · · · sr), por lo tanto,

H1 = s1H1 ∈ s1L(s2 · · · sr) = {s1H2, s1s2H3, . . . , s1 · · · sr−1Hr}

Lo que contradice el lema anterior. Así, H1 /∈ L(w′).

Por la primera parte de la proposición 37, con s = s1 y w−1 = s2 · · · sr

se tiene que,

H1 ∈ L(s1w′) = L(w)

Luego, la segunda parte de la proposición 37, implica lo siguiente,:

s1(L(w′))\{H1}) = L(s1w

′)\{H1}

s1L(w′) = L(s1w

′)\{H1}

s1L(w′) ∪ {H1} = L(s1w

′)

donde L(w) es el conjunto de r hiperplanos que son todos distintos por el

lema anterior.

2. Es inmediata, pues con las notaciones anteriores tenemos que,

l = #L(w) = r = n(w)

3. Ya sabemos, por la proposición 33 que Wa actúa transitivamente sobre A,

por ende Wa también. Para demostrar que la acción es fiel sea w 6= e tal

que fija una cámara, sin pérdida de la generalidad podemos suponer que la

cámara fijada por w es A◦, es decir, wA◦ = A◦, lo cual implica que L(w) = ∅,

por lo tanto w = e, lo que es una contradicción.

�

la : Wa −→ N

w 7−→ la(w) = r


Proposición 41. La función largo la : Wa −→ N, restringida al subgrupo W ,

coincide con la función largo l : W −→ N, es decir

la|W = l

Demostración. Sea w ∈ W , tal que w = sv1 · · · svr una expresión reducida en

W , donde svi ∈ S ⊆ Sa. Supongamos que la(w) = m, entonces se tiene que,

la(w) = m ≤ r

Ahora consideremos w = s1 · · · sm una expresión reducida en Wa, donde si ∈ Sa.

Además, cada reflexión de Sa la podemos escribir de la siguiente manera,

si = sui,ki = tzisui

Como T (R) es normal en W , tenemos que:

tz1su1tz2su2

= tz1+z′2su1su2

que al usarlo reiteradamente se deduce,

w = tz1su1· · · tzmsum

= tzsu1· · · sum

donde tz = tz1+z′2+...+z′m

. Es decir,

w = sv1 · · · svr = tzsu1· · · sum

Por lo tanto, tz ∈ T (R) ∩W , entonces, tz = e.

Luego,

w = su1· · · sum

, con sui∈ S ⊆ Sa.

De esta forma obtenemos que,

r ≤ m = la(w)

Así se tiene que para todo w ∈ W ,

l(w) = la(w)

�

Ejercicio 9. Sean A,B dos cámaras, se define d(A,B) como el entero que se

obtiene al sumar por cada hiperplano H que separa A con B un +1 si B ⊆ H+ y

−1 en caso contrario.

d(A,B) =∑

H∈SAB

B⊆H+

(+1) +∑

H∈SAB

B⊆H−

(−1)


Probar que para todo A,B,C ∈ A, se tiene que,

d(A,B) + d(B,C) + d(C,A) = 0

solución 9. Sabemos, por la observación 5, que no existe un hiperplano que

separe tres cámaras simultáneamente.

Observemos además que dados A,B ∈ A se tiene que,

d(A,B) = −d(B,A)

Supongamos que A = B, lo cual implica que d(A,B) = 0. Por lo anterior ten-

emos,

d(A,B) + d(B,C) + d(C,A) = 0

De esta manera, si dos cámaras son iguales la relación se cumple.

Ahora, para cada u ∈ Φ+, definamos du igual a la restricción de d referida a los

hiperplanos afines ortogonales a u, donde para cada u ∈ Φ+ se tiene que,

du(A,B) = −du(B,A)

Para la tercera etapa. Sean A,B,C ∈ A y m,n ∈ Z. Luego, para cada u ∈ Φ+

supongamos lo siguiente:

Existen m hiperplanos que separan A y B. De otra forma,

(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)(〈u, x〉 < au + 1 ≤ bu < 〈u, y〉)

donde todos estos hiperplanos son ortogonales a u. Los cuales, por la segunda etapa,

están denotados por:

du(A,B) = m

Análogamente, supongamos que existen n hiperplanos que separan B y C. En otras

palabras,

(∀y ∈ B)(∀z ∈ C)(〈u, y〉 < bu + 1 ≤ cu < 〈u, z〉)

Así,

du(B,C) = n

De esta manera tenemos que existen m+n hiperplanos ortogonales a u que separan

A y C. Es decir,

du(A,C) = m+ n

Por la primera etapa se tiene que:

du(C,A) = −(m+ n)

7. SISTEMA DE REPRESENTANTES 52

Entonces,

du(A,B) + du(B,C) + du(C,A) = 0

Para otras configuraciones el argumento es similar. Por lo tanto, si consideramos

todos los u ∈ Φ+ obtenemos que,

d(A,B) + d(B,C) + d(C,A) = 0

7. Sistema de Representantes

En esta sección describiremos un sistema de representantes para la acción de Wa

sobre V , este conjunto corresponde a la clausura topológica de A0.

Observación 7. La clausura topológica de A0, se denota por A0 y está dada

por:

A0 = {z ∈ V | (∀v ∈ ∆)(〈z, v〉 ≥ 0 y 〈z, v〉 ≤ 1)}

Teorema 42. La clausura de A0 es un sistema de representantes de la acción

de Wa sobre V , es decir, que para cada y ∈ V existe un único x ∈ A0 tal que y

pertenece a la órbita de x.

Demostración. Por la proposición 33 sabemos que Wa actúa transitivamente

sobre las cámaras y todo elemento de V se encuentra en la clausura de alguna

cámara.

Ahora demostremos que dos elementos distintos x, y ∈ A0 no se encuentran en

la misma órbita de Wa. Supongamos lo contrario, es decir,

wy = x, para algún w ∈ Wa,

Consideremos w ∈ Wa el elemento de menor largo que cumple esta condición,

como x 6= y, entonces w 6= e, por lo tanto existe s ∈ Sa tal que l(ws) < l(w) = n(w)

y por la tercera parte de la proposición 37 se tiene que Hs ∈ L(w−1), de esta manera

Hs separa A0 de w−1A0.

Pero y = w−1x ∈ w−1A0, entonces,

y ∈ A0 ∩ w−1A0

Analicemos los distintos casos para s ∈ Sa.

En el caso s = sv, para v ∈ ∆, tenemos que 〈y, v〉 ≤ 0, pero y ∈ A0 entonces

〈y, v〉 ≥ 0, es decir, 〈y, v〉 = 0, de lo cual se obtiene que y ∈ Hv, por lo tanto sy = y.

8. CONDICIÓN DE CAMBIO 53

Ahora, si s = sv,1, se tiene que 〈y, v〉 ≥ 1, pero y ∈ A0 con lo cual 〈y, v〉 ≤ 1

concluyendo que 〈y, v〉 = 1, de otra forma, y ∈ Hv,1 y sy = y.

En ambos casos sy = y, de esta manera wsy = x. Esto contradice la elección w,

es decir, que l(w) es el más pequeño posible tal que wy = x.

Así, para cada y ∈ V , existe un único x ∈ A0 tal que y ∈ Ox. �

8. Condición de Cambio

Proposición 43. Sea w ∈ Wa, y w = s1 · · · sr una expresión reducida, con

si ∈ Sa. Si l(ws) < l(w), entonces existe un índice 1 ≤ i ≤ r para el cual

ws = s1 · · · si · · · sr = s1 · · · si−1si+1 · · · sr.

Demostración. Por la primera parte del teorema 40 tenemos que,

L(w) = {H1, s1H2, s1s2H3, . . . , s1 · · · sr−1Hr}

Por lo tanto,

L(w−1) = w−1L(w) = {sr · · · s1H1, sr · · · s2H2, . . . , srHr}

donde siHi = Hi en cada caso. Como l(ws) < l(w), por la tercera parte de la

proposición 37, concluimos que Hs debe encontrarse en L(w−1), entonces tenemos

que,

Hs = sr · · · si+1Hi, para 1 ≤ i ≤ r.

Por corolario 28 obtenemos que:

(sr · · · si+1)si(si+1 · · · sr) = s

Lo que se puede reescribir como:

sisi+1 · · · sr = si+1 · · · srs

De esta última igualdad obtenemos que:

ws = s1 · · · srs

= s1 · · · si(si+1 · · · sr)s

= s1 · · · sisi · · · sr

= s1 · · · si · · · sr

�

Teorema 44. El par (Wa, Sa) es un sistema de Coxeter.

9. DIAGRAMAS DE DYNKIN 54

Demostración. Sabemos que Sa es un conjunto generador de Wa. Además, la

condición de cambio nos entrega que Sa es un conjunto generador minimal de Wa.

De esta forma, existe Sa ⊂Wa tal que:

Wa =≪ s ∈ Sa | (ss,)m(s,s,) = 1 ≫ .

Donde m(s, s) = 1 y m(s, s,) ∈ {2, 3, . . . .}.

Por lo tanto, (Wa, Sa) es un sistema de Coxeter. �

9. Diagramas de Dynkin

En esta sección estudiaremos de qué manera se introduce un nuevo vértice sv,1

en los grafos de Coxeter irreducible, estos nuevos grafos son los llamados diagramas

de Dynkin. Para lo anterior necesitamos explicitar las relaciones svsv,1, para todo

v ∈ ∆, en los distintos tipos de grupos de Coxeter, en especial calcularemos los de

tipos (An, n ≥ 2) y (Bn, n ≥ 3).

En los diagramas de Dynkin denotaremos las relaciones de la siguiente manera:

i) Un círculo sombreado (•) representa la ubicación del vértice asociado a la

raíz suprema sv,1.

ii) Para un diagrama de Dynkin tenemos que:

reemplazan las aristas etiquetadas con 3, 4 y 6 respectivamente.

Los grupos H3, H4 y G2(5) no cumplen la condición cristalográfica, ya

que

cos2(π5

)/∈ Z

Por lo anterior, no existe diagrama de Dynkin cuya arista tenga etiqueta 5.

iii) Finalmente, para aclarar la relación entre los largos de las raíces, agregamos

una flecha apuntando en dirección a la raíz más corta, lo cual hacemos cuando

se tienen dos o más aristas entre dos raíces. Es decir, si ‖ v ‖>‖ v1 ‖, entonces

v v1

A continuación, veremos en profundidad dos tipos de grupos de Weyl, para luego

describir el diagrama de Dynkin de cada uno de estos tipos.


9.1. Diagrama de Dynkin del grupo de Weyl de tipo (An, n ≥ 2).

Consideremos el grupo Sn+1 actuando en Rn+1 del siguiente modo, la transposición

(i i+1) actúa por la reflexión sei−ei+1, para esta presentación del grupo de Coxeter

tenemos que el sistema de raíces esta dado por:

Φ = {ei − ej | i 6= j, 0 ≤ i, j ≤ n}

Y su sistema de raíces simple es:

∆ = {e1 − e2, . . . , en − en+1}

además, la raíz suprema v = e1 − en+1.

Denotemos por si = sei−ei+1; s0 = sv,1, con estas notaciones demostraremos que:

1) (si)2 = Id, para 0 ≤ i < n.

2) m(si, si+1) = 3.

3) m(si, sj) = 2, si | i− j |> 2.

4) m(s0, si) = 2, para 0 < i < n + 1, con i 6= 2.

5) m(s0, s1) = 3.

6) m(s0, sn−1) = 3.

Recordemos que en la sección grafos de Coxeter las tres primeras rela-

ciones están demostradas. Para las otras relaciones consideremos z ∈ Rn+1.

4) Explícitemos s0,

s0(z) = z − (〈z, e1 − en+1〉 − 1)(e1 − en+1)

= (z1, . . . , zn+1)− (z1 − zn+1 − 1)(e1 − en+1)

= (z1, . . . , zn+1)− (z1 − zn+1 − 1, . . . ,−z1 + zn+1 + 1)

= (1 + zn+1, z2, . . . , zn,−1 + z1)

De esta manera, s0 al actuar sobre Rn+1 altera sólo la primera y la última

coordenada, debido a esto se tiene que (s0si)2 = Id, para 0 < i < n.

5) Sean e1 − en+1 ∈ Φ y e1 − e2 ∈ ∆. Luego,

(s0s1)(z) = s0(s1(z))

= s0(z2, z1, z3, . . . , zn, zn+1)

= (1 + zn+1, z1, z3, . . . , zn, z2 − 1)


Por lo tanto,

(s0s1)2(z) = (z2, 1 + zn+1, z3, . . . , zn, z1 − 1)

(s0s1)3(z) = z

6) Sean e1 − en+1 ∈ Φ y en − en+1 ∈ ∆. Calculando,

(s0sn−1)(z) = s0(sn−1(z))

= s0(z1, z2, . . . , zn+1, zn)

= (1 + zn, z2, . . . , zn+1, z1 − 1)

Luego,

(s0sn−1)2(z) = (1 + zn+1, z2, . . . , z1 − 1, zn)

(s0sn−1)3(z) = z

De esta manera, se satisfacen estas condiciones.

El diagrama de Dynkin asociado al grupo de Weyl afín, con los vértices

s0, s1, . . . , sn−1 es del tipo An−1 y está dado por:

s1 sn−2s2 sn−1

s0

9.2. El grupo de Weyl afín de tipo An−1 puede ser realizado como

un subgrupo del grupo de permutaciones de Z. Con las notaciones de la

subsección 9.1 y teniendo presente el diagrama de Dynkin, establecemos la siguiente

correspondencia:

Asociamos a si, para 0 < i < n la siguiente permutación de Z:

si(t) =

t− 1 , si t ≡ i+ 1(mod n)

t+ 1 , si t ≡ i(mod n)

t , otro caso

Y a la permutación s0 asociamos:

s0(t) =

t + (n− 1) , si t ≡ 1(mod n)

t− (n− 1) , si t ≡ 0(mod n)

t , otro caso


Con estas correspondencias verificaremos que s0, s1, . . . , sn−1 tienen el mismo

diagrama de Dynkin, es decir, se deben cumplir las siguientes relaciones:

1) (si)2 = Id, para 0 ≤ i < n.

2) m(si, si+1) = 3, para 0 < i < n.

3) m(s0, si) = 2, para 1 < i < n− 1.

4) m(s0, s1) = 3.

5) m(s0, sn−1) = 3.

Para demostrar estas relaciones sea t ∈ Z.

1) Sea 0 < i < n notemos que

Si t ≡ i+ 1(mod n) entonces t− 1 ≡ i(mod n), luego

si(si(t)) = si(t− 1) = t

Por otro lado, si t ≡ i(mod n) se tiene que t + 1 ≡ i + 1(mod n), por lo

cual

si(si(t)) = si(t + 1) = t

Para i = 0, observemos que

En el caso t ≡ 1(mod n) obtenemos que t+ (n− 1) ≡ 0(mod n), de esta

manera

si(si(t)) = si(t + (n− 1)) = t

Si t ≡ 0(mod n) entonces t− (n− 1) ≡ 1(mod n), o sea

si(si(t)) = si(t− (n− 1)) = t

Así concluimos que (si)2 = Id, para 0 ≤ i < n.

2) Sea 0 < i < n. Definimos la permutación si+1 de la siguiente manera:

si+1(t) =

t− 1 , si t ≡ i+ 2(mod n)

t+ 1 , si t ≡ i+ 1(mod n)

t , otro caso

Para calcular la compuesta lo haremos por casos.

a) Si t ≡ i+ 2(mod n) entonces si+1(t) = t− 1, pero t− 1 ≡ i+ 1(mod n) por

lo tanto,

si(si+1(t)) = si(t− 1) = t− 2


b) En el caso t ≡ i+ 1(mod n) tenemos que si+1(t) = t + 1 y si(t + 1) = t + 1

o sea,

si(si+1(t)) = si(t+ 1) = t + 1

c) Ahora si t ≡ i(mod n) esto implica que si+1(t) = t, luego t ≡ i(mod n), de

esta forma

si(si+1(t)) = si(t) = t+ 1

Luego, la compuesta de estas permutaciones está dada por:

sisi+1(t) =

t− 2 , si t ≡ i+ 2(mod n)

t+ 1 , si t ≡ i+ 1(mod n)


t , otro caso

A partir de lo anterior se obtiene fácilmente que (sisi+1)3(t) = Id.

3) Como en s0(t) sólo actúa sobre los elementos congruentes a 0 y 1 módulo n

conmuta inmediatamente con todos los si(t), con 1 < i < n− 1.

4) Como ya conocemos s0, nos falta determinar s1 la cual está definida por:

s1(t) =

t− 1 , si t ≡ 2(mod n)

t+ 1 , si t ≡ 1(mod n)

t , otro caso

Luego, siguiendo el procedimiento descrito en b) obtenemos:

s0s1(t) =

t+ (n− 2) , si t ≡ 2(mod n)

t+ 1 , si t ≡ 1(mod n)

t− (n− 1) , si t ≡ 0(mod n)

t , otro caso

De esta manera es claro que (s0s1)3(t) = Id.

5) Ya hemos descrito la permutación s0, luego la permutación sn−1 está definida

por:

sn−1(t) =

t− 1 , si t ≡ n(mod n)

t+ 1 , si t ≡ n− 1(mod n)

t , otro caso


Continuando el procedimiento descrito en la parte b) se tiene que la

compuesta de estas permutaciones está dada por:

s0sn−1(t) =


t− (n− 2) , si t ≡ n− 1(mod n)

t+ (n− 1) , si t ≡ 1(mod n)

t , otro caso

Además se obtiene que (s0sn−1)3(t) = Id.

Con lo cual se satisfacen las condiciones del diagrama de Dynkin exten-

dido.

9.3. El diagrama de Dynkin del grupo de Weyl de tipo (Bn, n ≥ 3).

Consideremos el grupo {1,−1}n ⋊ Sn actuando en Rn de la siguiente manera,

(t, σ)Σλiei = Σtiλσ(i)ei, luego para esta presentación del grupo de Coxeter tenemos

que el sistema de raíces esta determinado por:

Φ = {±ei ± ej} ∪ {±ei}

El sistema simple es:

∆ = {e1 − e2, . . . , en−1 − en, en}

por otra parte, la raíz suprema es v = e1 + e2.

Denotemos por si = sei−ei+1; s0 = sv,1; sn = sen, con estas notaciones probaremos

que:

1) (si)2 = Id, para 0 ≤ i ≤ n.

2) m(si, si+1) = 3.

3) m(si, sj) = 2, si | i− j |> 2.

4) m(s0, si) = 2, para 0 < i < n, con i 6= 2.

5) m(s0, s2) = 3.

6) m(sn−1, sn) = 4.

En la sección grafos de Coxeter ya demostramos las primeras tres rela-

ciones y la última. Para demostrar las otras dos relaciones consideremos

z ∈ Rn.


4) Notemos que s0 sólo actúa sobre la primera y segunda coordenada como se

muestra a continuación,

s0(z) = z − (〈z, e1 + e2〉 − 1)e1 + e2

= (z1, . . . , zn)− (z1 + z2 − 1)e1 + e2

= (z1, . . . , zn)− (z1 + z2 − 1, z1 + z2 − 1, . . . , 0)

= (1− z2, 1− z1, z3, . . . , zn)

Entonces tenemos que ver que sucede con s1 ya que claramente conmuta con

las otras reflexiones. Para esto, hacemos el siguiente cálculo:

(s0s1)(z) = s0(s1(z))

= s0(z2, z1, z3, . . . , zn)

= (1− z1, 1− z2, z3, . . . , zn)

Con lo cual se observa claramente que (s0s1)2(z) = z.

5) Sean e1 + e2 ∈ Φ y e2 − e3 ∈ ∆. Entonces,

(s0s2)(z) = s0(s2(z))

= s0(z1, z3, z2, z4, . . . , zn)

= (1− z3, 1− z1, z2, z4, . . . , zn)

De esta manera se obtienen los siguientes resultados:

(s0s2)2(z) = (1− z2, z3, 1− z1, z4, . . . , zn)

(s0s2)3(z) = z

Así, hemos demostrado las relaciones anteriormente dadas.

El diagrama de Dynkin extendido asociado al grupo de Weyl afín de tipo Bn, con

los vértices s0, s1, . . . , sn esta determinado por:

s0

s1

s2 s3 sn−1 sn


9.4. El grupo de Weyl afín de tipo (Bn, n ≥ 3) puede ser realizado

como un subgrupo del grupo de permutaciones de Z. Con las notaciones de

la subsección 9.3 y considerando el diagrama de Dynkin, establecemos la siguiente

correspondencia:

Asociamos de la misma manera que en subsección 9.2 la siguiente permutación

de Z:

si(t) =

t− 1 , si t ≡ i+ 1(mod n)


t , otro caso

Y las permutaciones de Z relacionadas a s0 y sn están dadas por:

s0(t) =

−t + 3 , si t ≡ 2(mod n)

−t + 3 , si t ≡ 1(mod n)

t , otro caso

sn(t) =

{−t , si t ≡ n(mod n)

t , otro caso

Debemos comprobar que estas asignaciones cumplen con las siguientes relaciones:

1) (si)2 = Id, para 0 ≤ i ≤ n.

2) m(si, si+1) = 3, para 0 < i < n.

3) m(s0, si) = 2, para 0 < i < n, con i 6= 2.

4) m(s0, s2) = 3.

5) m(sn−1, sn) = 4.

Las primeras dos relaciones son inmediatas, por el ejercicio 4.

3) Como s0 solo actúa sobre los elementos congruentes a 1 y 2 módulo n, en-

tonces solo tenemos que comprobar el hecho que m(s0, s1) = 2. El elemento

s1 está dado por:

s1(t) =

t− 1 , si t ≡ 2(mod n)

t+ 1 , si t ≡ 1(mod n)

t , otro caso

De esta manera la compuesta está dada por:

s0s1(t) =

−t + 4 , si t ≡ 2(mod n)

−t + 2 , si t ≡ 1(mod n)

t , otro caso


Con lo cual observamos que (s0s1)2(t) = Id.

4) La permutación asociada a s2 se denota:

s2(t) =

t− 1 , si t ≡ 3(mod n)

t+ 1 , si t ≡ 2(mod n)

t , otro caso

Entonces la compuesta se encuentra por:

s0s2(t) =

−t + 4 , si t ≡ 3(mod n)

t+ 1 , si t ≡ 2(mod n)

−t + 3 , si t ≡ 1(mod n)

t , otro caso

de donde se obtiene que (s0s2)3(t) = Id.

5) Explicitamos sn−1 de la siguiente manera:

sn−1(t) =


t+ 1 , si t ≡ n− 1(mod n)

t , otro caso

La compuesta está dada por:

sn−1sn(t) =

−t− 1 , si t ≡ n(mod n)

t + 1 , si t ≡ n− 1(mod n)

t , otro caso

Es fácil verificar ahora que (sn−1sn)4(t) = Id.

Teorema 45. Si (Wa, Sa) es un sistema de Coxeter irreducible, entonces su

diagrama de Dynkin es alguno de los siguientes diagramas:

A1∞

(An, n ≥ 2)

B2 = C2


(Bn, n ≥ 3)

(Cn, n ≥ 3)

(Dn, n ≥ 4)

E6

E7

E8

F4

(G2)

Capítulo 4

El orden de un Grupo de Weyl

Sea (Wa, Sa) un sistema de Coxeter irreducible, en este capítulo nos dedicaremos

a calcular el orden de este grupo según su tipo.

Grupo de Weyl Afín: Recordemos que Wa = T(R)⋊W , donde W es un grupo

de Weyl y R ⊂ V es el reticulado de coraíces, T(R) el grupo de traslaciones sobre

V . Todo elemento de Wa tiene como expresión única λ = tzw, donde w ∈ W y tz es

la traslación inducida por z ∈ R. La acción de Wa sobre V está dada por:

λ(x) = wx+ z, con x ∈ V

Grupo de Weyl Afín Extendido: El grupo de Weyl afín Wa puede ser ex-

tendido Wa, reemplazando el reticulado de coraíces R con el copeso del reticulado

P.

Denotemos {¯v1, . . . , ¯vn} la base dual asociada al sistema simple ∆ = {v1, . . . , vn},

es decir, 〈¯vi, vj〉 = δij , entonces por el lema 13 se tiene que,

P = Z¯v1 ⊕ · · · ⊕ Z¯vn

Por la proposición 15 sabemos que R ⊂ P. De esta forma, definimos el grupo de

Weyl afín extendido,

Wa ⊂ Wa = T(P)⋊W

Además, Wa E Wa.

Estos grupos actúan sobre las cámaras: La acción deWa sobre V , también

se puede extender a una acción de Wa sobre el mismo conjunto. Por proposición 33

tenemos que Wa actúa transitivamente sobre las cámaras contenidas en V . De igual

manera la acción se extiende a Wa en las cámaras.

Recordemos que la cámara fundamental esta definida por:

A◦ = {z ∈ V | (∀u ∈ Φ+)(0 < 〈z, u〉 < 1)}

= {z ∈ V | (∀v ∈ ∆)(〈z, v〉 > 0) y 〈z, v〉 < 1}

donde v es la raíz suprema.

64

4. EL ORDEN DE UN GRUPO DE WEYL 65

Sea Γ el estabilizador en Wa de la cámara fundamental, es decir,

Γ = {ψ ∈ Wa | ψA0 = A0} (3)

Proposición 46. La acción de Wa sobre las cámaras verifica la siguiente igual-

dad,

Wa = Wa ⋊ Γ.

Demostración. Observemos que tanto Wa como Γ son subgrupos de Wa y que

Wa∩Γ = {e}, pues como la acción de Wa sobre las cámaras es fiel, sólo la identidad

fija cámaras en Wa.

Sea w ∈ Wa, luego wA0 = B, donde B ∈ A y como Wa actúa transitivamente

sobre las cámaras, entonces existe w1 ∈ Wa tal que w1B = A0. De esta manera

obtenemos que,

w1wA0 = w1B = A0.

Esto implica que w1w ∈ Γ. Luego,

w1w = ψ, con ψ ∈ Γ.

Así,

w = (w1)−1ψ ∈ WaΓ.

Además, Wa E Wa. Entonces,

Wa = Wa ⋊ Γ.

�

Lema 47. Sean R el reticulado de raíces y P el reticulado del peso, entonces,

| Γ |=| P/R | .

Demostración. Esta demostración esta basada por la siguiente secuencia de

identidades demostradas en el punto (1) del lema 27:

| P/R |=| P/R |=| Wa/Wa |=| Γ |

�

Notación 4. Denotemos por ci los escalares que se obtienen al escribir la raíz

suprema en combinación lineal de las raíces simples y | Γ |= f .


Para las demostraciones de los dos siguientes lemas sea {¯v1, . . . , ¯vn} base dual

del sistema simple ∆ = {v1, . . . , vn}, es decir, 〈¯vi, vj〉 = δij y consideremos el cubo

dado de la siguiente manera:

F =

{∑

i

ai ¯vi | 0 ≤ ai ≤ 1, con i = 1, . . . , n

}

= {z ∈ V | 0 ≤ 〈vi, z〉 ≤ 1, con i = 1, . . . , n}

Como F está limitado por los mismos hiperplanos que limitan las cámaras, cada

cámara se encuentra al interior de F o es disjunta con el cubo. Para calcular el orden

de los grupos de Weyl contaremos el número de cámaras al interior de F de dos

diferentes maneras.

Para ello, consideremos un cubo más pequeño el cual denotaremos por F0 y se

obtiene al reemplazar los vértices {¯v1, . . . , ¯vn} por{

1c1¯v1, . . . ,

1cn¯vn

}, es decir,

F0 =

{∑

i

(aici

)¯vi | 0 ≤ ai ≤ 1

}

=

{∑

i

λi ¯vi | 0 ≤ λi ≤1

ci

}

Denotemos por:

F0k1,...,kn =

{∑

i

λi ¯vi |kici

≤ λi ≤ki + 1

ci

}

Lema 48. Sea n el rango de W , entonces, el número de copias disjuntas en F

de F0 es el número de cámaras en F0 por c1 · · · cn.

Demostración. De la definición de F0 se obtiene que F0 ⊂ F.

Entonces, F contiene∏n

i=1 ci copias disjuntas salvo fronteras de F0, estas son

F0k1,...,kn. Además, cada cámara en F se encuentra en una de estas copias de F0, es

decir, F0k1,...,kn y cada una contiene el mismo número de cámaras que F0. De esta

manera, tenemos que el número de cámaras en F es igual al número de cámaras en

F0 por c1 · · · cn. �

Observación 8. Sea I = [0, 1] y Ir el r−cubo.

Un r−simplex se construye a partir de {µ0, . . . , µr} ⊂ Rn tal que

[µ0, . . . , µr] =

{∑

i

xiµi |∑

i

xi = 1

}.


Probemos que el número de r−simplex disjuntos, salvo las paredes, contenidos

en Ir es r!.

Es fácil verificar que en I2, existen dos 2−simplex disjuntos, suponemos que hay

r! simplex contenidos en Ir.

Notemos que,

Ir+1 = Ir × I

=

(⋃

j∈J

Λjr

)× I

=r!⋃

j=1

(Λjr × I)

En cada uno de estos conjuntos Λjr × I, realizamos la siguiente descomposición.

Sea Λr = [µ0, . . . , µr] un simplex en Ir, se definen,

C0 = (µ0, 0); C1 = (µ1, 0); . . . ; Cr = (µr, 0)

D0 = (µ0, 1); D1 = (µ1, 1); . . . ; Dr = (µr, 1)

y los

Λir = [C0, C1, . . . , Ci−1, Ci, Di, Di+1, . . . , Dr] (0 ≤ i ≤ r).

son las (r + 1) copias en las cuales se descompone en (r + 1)−simplex en conjunto

Λr × I.

De esta manera, el número de r−simplex disjuntos contenidos en Ir es r!.

Lema 49. Sea n el rango de W , entonces, el número de cámaras en F0 es n!.

Demostración. Podemos identificar F0 con In y aplicando la descomposición

anterior a F0, tenemos que[0, 1

c1¯v1, . . . ,

1cn¯vn

]lo identificamos con A0.

Por lo tanto, F0 es una unión de n! copias de A0, es decir, la unión de n! clausuras

de cámaras. �

Lema 50. Sea L1 = {ψ ∈ Wa | ψA0 ⊆ F}, entonces se tiene

#W = #L1

Demostración. Consideremos w ∈ W , demostraremos que existe un único

u ∈ P tal que ψ = tuw envía A0 en F.


Para ello observemos que, dado z ∈ A0, w(z) está en una única cámara, luego

por la proposición 29 existen ki tales que,

ki < 〈w(z), vi〉 < ki + 1, donde vi ∈ ∆.

Esto implica que,

0 < 〈w(z), vi〉 − ki < 1

Sabemos que {¯v1, . . . , ¯vn} es la base dual de ∆. Entonces,

0 < 〈w(z), vi〉 − ki〈¯vi, vi〉 < 1

0 < 〈w(z), vi〉 −∑n

j=1 kj〈¯vj , vi〉 < 1

0 < 〈w(z), vi〉+ 〈−∑n

j=1 kj ¯vj , vi〉 < 1

De esta manera definimos u = −∑n

j=1 kj ¯vj y obtenemos que,

0 < 〈w(z) + u, vi〉 < 1

0 < 〈tuw(z), vi〉 < 1

Por lo tanto, tuw(z) ∈ F.

Hemos demostrado que dado z en A0, existe u ∈ P, tal que tuw(z) = ψ(z) ∈ F,

luego ψ(A0) ⊆ F, es decir, ψ ∈ L1.

Ahora probaremos que u ∈ P esta únicamente determinado por w.

Sean w ∈ W , z ∈ A0, luego tenemos las siguientes relaciones:

0 < 〈v, z〉 < 1, si v ∈ Φ+ y −1 < 〈v, z〉 < 0, si v ∈ Φ−

Estas inecuaciones y la identidad 〈wz, v〉 = 〈z, w−1v〉 implican,

0 < 〈v, wz〉 < 1, si w−1v > 0 y −1 < 〈v, wz〉 < 0, si w−1v < 0 (4)

Además, la condición ψ(z) ∈ F es equivalente a:

0 ≤ 〈v, ψ(z)〉 ≤ 1, con v ∈ ∆.

Reemplazando ψ(z) = wz + u, en la inecuación anterior tenemos

0 ≤ 〈v, wz〉+ 〈v, u〉 ≤ 1, con v ∈ ∆. (5)

Como R y P son reticulados duales, tenemos que 〈v, u〉 ∈ Z. Luego, el valor

exacto de 〈v, u〉 están forzados por las inecuaciones en (4) y (5). De esta manera, si

w−1v > 0, entonces 〈v, u〉 = 0 y cuando w−1v < 0, entonces 〈v, u〉 = 1. Así, u está

únicamente determinado por w.


Por lo tanto,

#W = #{ψ ∈ Wa | ψA0 ⊆ F}

�

Lema 51. El número de cámaras en F es igual a |W | / | Γ |.

Demostración. Con las notaciones dadas anteriormente, se define

L = {B ⊆ F | B es una cámara }

Debemos demostrar que #L = #L1/#Γ.

Para ello, sea B ∈ L y consideremos el conjunto:

L2(B) = {ψ ∈ L1 | ψA0 = B}

Observemos lo siguiente:

i) Si ψ1A0 = ψ2A0, entonces ψ−12 ψ1A0 = A0. De esta manera,

ψ−12 ψ1 ∈ Γ

ii) Si ψ2A0 = B, entonces (ψ2 ◦ γ)A0 = B, ∀γ ∈ Γ.

Por i) y ii) tenemos que

ψ−12 ψ1 ∈ Γ ⇒ ψ1 = ψ2 ◦ γ, para algún γ ∈ Γ.

Con lo cual se obtiene que,

#L2(B) = #Γ

Notemos que,

L1 =

◦⋃

B∈L

L2(B)

Esto implica que,

#L1 =∑

B∈L

#(L2(B))

=∑

B∈L

#Γ

= #L#Γ

Sabemos por el lema anterior que

#W = #L1


Entonces,

#L = #W/#Γ

�

Teorema 52. Si W es un grupo de Weyl irreducible de rango n, entonces,

|W |= n!c1, . . . , cnf.

Demostración. La demostración es inmediata por los lemas anteriores. Pues,

por los lemas 48 y 49 junto con el lema anterior se tiene que:

|W | / | Γ |= n!c1 · · · cn

Esto implica que,

|W |= n!c1 · · · cn | Γ |

Luego, por el lema 47 se obtiene lo deseado:

|W |= n!c1, . . . , cnf

�

Ejemplo 10. Determinemos el orden de los grupos de Weyl de tipo (An, n ≥ 1).

solución 10. Recordemos que el sistema de raíces esta dado por:

Φ = {ei − ej | i 6= j, 0 ≤ i, j ≤ n+ 1}

Un sistema simple para Φ es:

∆ = {e1 − e2, . . . , en − en+1}

donde v = e1 − en+1. Observemos que Φ = Φ y ∆ = ∆.

Primero determinemos los coeficientes c1, . . . , cn, los cuales se obtienen al es-

cribir la raíz suprema en combinación lineal de ∆, es decir,

(1)(e1 − e2) + (1)(e2 − e3) + · · ·+ (1)(en − en+1) =

n∑

i=1

(ei − ei+1)

= e1 − en+1

Por lo tanto, ci = 1, para 1 ≤ i ≤ n.

Ahora calcularemos el valor de f =| P/R |, que inicialmente haremos el caso

particular n = 3 para luego generalizar.

Para ello sea,

∆ = {e1 − e2, e2 − e3, e3 − e4} = ∆


Calculemos los pesos simples {¯v1, ¯v2, ¯v3} del sistema ∆.

Sea ¯v1 = (a, b, c, d) ∈ R4. Luego,

〈¯v1, e1 − e2〉 = 1 ; 〈¯v1, e2 − e3〉 = 0 ; 〈¯v1, e3 − e4〉 = 0

De esto concluimos que,

a− b = 1 ; b− c = 0 ; c− d = 0.

Luego,

¯v1 = (b+ 1, b, b, b)

Análogamente en ¯v2 = (a, b, c, d), tenemos que,

0 = 〈¯v2, e1 − e2〉 = a− b

1 = 〈¯v2, e2 − e3〉 = b− c

0 = 〈¯v2, e3 − e4〉 = c− d

Entonces,

¯v2 = (c+ 1, c+ 1, c, c)

De la misma manera, para ¯v3 = (a, b, c, d) se tiene,

0 = 〈¯v3, e1 − e2〉 = a− b

0 = 〈¯v3, e2 − e3〉 = b− c

1 = 〈¯v3, e3 − e4〉 = c− d

Así obtenemos,

¯v3 = (d+ 1, d+ 1, d+ 1, d)

Por lo tanto, los pesos simples están dados por:

¯v1 = (b+ 1, b, b, b)

¯v2 = (c+ 1, c+ 1, c, c)

¯v3 = (d+ 1, d+ 1, d+ 1, d)

Como las raíces simples se escriben en combinación lineal de los pesos se tiene

que,


Para e1 − e2 = α1 ¯v1 + α2 ¯v2 + α3 ¯v3

〈e1 − e2, e1 − e2〉 = 2 = α1

〈e1 − e2, e2 − e3〉 = −1 = α2

〈e1 − e2, e3 − e4〉 = 0 = α3

Luego,

e1 − e2 = 2¯v1 − ¯v2, desarrollando nos queda, 2b− c = 0

En e2 − e3 =∑3

i=1 αi ¯vi, se tiene que,

e2 − e3 = −¯v1 + 2¯v2 − ¯v3, es decir, 2c− b− d = 0

Por último, para e3 − e4 =∑3

i=1 αi ¯vi, obtenemos,

e3 − e4 = −¯v2 + 2¯v3, entonces, 2d− c = −1

De esta manera se obtiene el sistema,

2b− c = 0

2c− b− d = 0

2d− c = −1

Cuyas soluciones son: b = −14

; c = −12

; d = −34.

Notemos que,

2b = c y 3b = d (6)

Entonces los pesos simples están explícitados por:

¯v1 =

(3

4,−

1

4,−

1

4,−

1

4

)

¯v2 =

(1

2,1

2,−

1

2,−

1

2

)

¯v3 =

(1

4,1

4,1

4,−

3

4

)

Ahora, observemos el cociente P/R, donde

P = Z

(e1 −

1

4(e1 + e2 + e3 + e4)

)⊕ Z

(e1 + e2 −

2

4(e1 + e2 + e3 + e4)

)⊕

Z

(e1 + e2 + e3 −

3

4(e1 + e2 + e3 + e4)

)

R = Z(e1 − e2)⊕ Z(e2 − e3)⊕ Z(e3 − e4)


Además,

4¯v1 = (3,−1,−1,−1) ∈ R

4¯v2 = (2, 2,−2,−2) ∈ R

4¯v3 = (1, 1, 1,−3) ∈ R

Luego,

e1 − e2 = 2¯v1 − ¯v2 ⇐⇒ 2¯v1 = ¯v2(mod R)

e2 − e3 = −¯v1 + 2¯v2 − ¯v3 ⇐⇒ 3¯v1 = ¯v3(mod R),

donde, 4¯v1 = 0(mod R).

En general, sea ¯vj =∑

i xjiei ∈ R

n, luego tenemos que,

〈¯vj , ei − ei+1〉 = xji − xji+1, con j fijo,

donde xji − xji+1 = δij.

La solución de esta ecuación es:

¯vj = αj

n∑

i=1

ei +

j∑

i=1

ei

Además,

ei − ei+1 =n∑

j=1

λj ¯vj

De esta manera, para 1 < j < n− 1 tenemos,

ej − ej+1 = − ¯vj−1 + 2¯vj − ¯vj+1

= (αj−1 + 2αj − αj+1)

n∑

i=1

ei + (ej − ej+1)

Por lo tanto,

−αj−1 + 2αj − αj+1 = 0

Por (6) deducimos que αk = kα1, lo cual demostraremos por inducción.

Supongamos que αk = kα1 y demostremos que αk+1 = (k + 1)α1. Para esto,

sabemos que,

0 = −αk−1 + 2αk − αk+1

= −(k − 1)α1 + 2kα1 − αk+1

= (2k − k + 1)α1 − αk+1


Por lo tanto,

αk = kα1

Además, para la última ecuación, −αn−1 + 2αn = −1. Se tiene que,

−1 = −αn−1 + 2αn

= −(n− 1)α1 + 2nα1

= (n + 1)α1

Por lo tanto,

α1 = −1

n + 1Además,

αk = kα1 = −k

n + 1Así, los pesos simples están dados por,

¯vk =

k∑

j=1

ej −k

n+ 1

n+1∑

j=1

ej

Recordemos que,

P =

n⊕

i=1

Z¯vi y R =

n⊕

i=1

Z(ei − ei+1)

Análogamente a la inducción anterior tenemos que,

¯vk = k¯v1(mod R)

y

(n + 1)¯v1 =n∑

j=1

(n− j)(ej − ej+1)

Por lo tanto,

P/R ∼= Zn+1

Entonces,

|P/R| = n + 1

De lo anterior, obtenemos que,

#W = n!(1 · . . . · 1)(n+ 1)

= (n+ 1)!

Ejemplo 11. Calcular el orden de los grupos de Weyl de tipo (Bn, n ≥ 2).


solución 11. Tenemos que el sistema de raíces esta dada por:

Φ = {±ei ± ej} ∪ {±ei}

Un sistema simple para Φ es:

∆ = {e1 − e2, . . . , en−1 − en, en},

donde v = e1 + e2. Además observemos que,

Φ = {±ei ± ej} ∪ {±2ei}

∆ = {e1 − e2, . . . , en−1 − en, 2en}

Para calcular los coeficientes de v en ∆, notemos que,

(1)(e1 − e2) + (2)(e2 − e3) + · · ·+ (2)en = (1)(e1 − e2) + 2n−1∑

i=2

(ei − ei+1) + 2en

= e1 − e2 + 2(e2 − en) + 2en

= e1 + e2

Por lo cual, c1 = 1 y ci = 2, para 2 ≤ i ≤ n.

Ahora determinemos el valor de f =| P/R | para el caso n = 3.

Calculemos los duales del sistema simple ∆ que denotaremos por {¯v1, ¯v2, ¯v3} y

cumplen con que 〈¯vi, vj〉 = δij, donde vj ∈ ∆, para ello

Sea ¯v1 = (a, b, c) ∈ R3, entonces,

1 = 〈¯v1, e1 − e2〉 = a− b

0 = 〈¯v1, e2 − e3〉 = b− c

0 = 〈¯v1, e3〉 = c

Por lo cual, ¯v1 = (1, 0, 0)

De igual forma, en ¯v2 = (a, b, c) tenemos,

0 = 〈¯v2, e1 − e2〉 = a− b

1 = 〈¯v2, e2 − e3〉 = b− c

0 = 〈¯v2, e3〉 = c

Entonces, ¯v2 = (1, 1, 0)


Para ¯v3 = (a, b, c), se tiene que,

0 = 〈¯v3, e1 − e2〉 = a− b

0 = 〈¯v3, e2 − e3〉 = b− c

1 = 〈¯v3, e3〉 = c

Por lo tanto,

¯v3 = (1, 1, 1)

Así,

¯v1 = (1, 0, 0)

¯v2 = (1, 1, 0)

¯v3 = (1, 1, 1)

Además, los elementos en ∆ se escriben en combinación lineal de los duales del

sistema simple ∆, es decir,

e1 − e2 = 2¯v1 − ¯v2

e2 − e3 = −¯v1 + 2¯v2 − ¯v3

2e3 = −2¯v2 + 2¯v3

Sabemos que,

P =3⊕

i=1

Z¯vi

Describamos P y R para luego estudiar el cociente P/R, entonces,

P = Z(e1)⊕ Z(e1 + e2)⊕ Z(e1 + e2 + e3)

R = Z(e1 − e2)⊕ Z(e2 − e3)⊕ Z(2e3)

Claramente se observa que,

2¯v1 = (2, 0, 0) ∈ R

2¯v2 = (2, 2, 0) ∈ R

2¯v3 = (1, 1, 1) ∈ R

Luego,

e1 − e2 = 2¯v1 − ¯v2 ⇐⇒ 2¯v1 = ¯v2(mod R)

e2 − e3 = −¯v1 + 2¯v2 − ¯v3 ⇐⇒ 3¯v1 = ¯v3(mod R),


donde, 2¯v1 = 0(mod R).

En general, los duales al sistema simple están dados por:

¯vk = e1 + . . .+ ek, para 1 ≤ k ≤ n.

Los cuales análogamente al ejemplo anterior satisfacen que,

¯vk = k¯v1 ∈ P/R

y

2¯v1 = 2(e1 − e2) + . . .+ 2(en−1 − en) + 2en

= 2e1

Por lo tanto,

P/R ∼= Z2

Entonces, ∣∣∣P/R∣∣∣ = 2

De esta manera,

#W = n!(1 · 2 · . . . · 2)2

= n!2n


Teorema 53. Sea W un grupo de Weyl irreducible, entonces la siguiente tabla

resume las caracteristicas y el cardinal de W , en efecto, la primera columna nos

muestra el tipo de grupo, a continuación los coeficientes de la raíz suprema, en la

tercera el orden del índice de conexión, y finalmente, la cuarta columna muestra el

cardinal de W .

Tipo Coeficientes de v f #W

An 1, 1, . . . , 1 n+ 1 (n+ 1)!

Bn 1, 2, 2, . . . , 2 2 n! 2n

Cn 2, 2, . . . , 2, 1 2 n! 2n

Dn 1, 2, . . . , 2, 1, 1 4 n! 2n−1

E6 1, 2, 2, 3, 2, 1 3 n! 23 32

E7 2, 2, 3, 4, 3, 2, 1 2 n! 26 32

E8 2, 3, 4, 6, 5, 4, 3, 2 1 n! 26 32 30

F4 2, 3, 4, 2 1 n! 24 3

G2 3, 2 1 n! 6

Bibliografía

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[2] Richard Kane, Reflection Groups and Invariant Theory, Springer, Canadian Mathematical

Society.

[3] Roberto Medina, Grupos de Reflexiones Finitos, Tesis de Licenciatura, Universidad de Val-

paraíso 2006.

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Grupos de Reflexiones Afines - Instituto de Matemática UV · 2016. 11. 15. · Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas Grupos de Reflexiones Afines Tesis presentada