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CONTRIBUIÇÃO AO ENTENDIMENTO DA FLUÊNCIA NÃO-DRENADA
Gilberto Ferreira Alexandre
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS
EM ENGENHARIA CIVIL.
Aprovada por:
________________________________________________
Prof. Ian Schumann Marques Martins, D. Sc.
________________________________________________
Prof. Paulo Eduardo Lima de Santa Maria, Ph. D.
________________________________________________
Prof. Carlos de Sousa Pinto, D. Sc.
________________________________________________
Prof. Luiz Antônio Bressani, Ph. D.
________________________________________________
Prof. Sandro Salvador Sandroni, Ph. D.
________________________________________________
Prof. Willy Alvarenga Lacerda, Ph. D.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
JUNHO DE 2006
ii
ALEXANDRE, GILBERTO FERREIRA
Contribuição ao entendimento da fluência
não-drenada [Rio de Janeiro] 2006
XII, 167 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ,
D.Sc., Engenharia Civil, 2006)
Tese - Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE
1- Fluência 2- Viscosidade
I. COPPE/UFRJ II. Título (série)
iii
AGRADECIMENTOS Aos professores Ian Martins e Paulo Santa Maria por acreditarem neste trabalho,
pela amizade, confiança e pela orientação cuidadosa e segura.
A Petrobras, pelo contínuo incentivo ao desenvolvimento deste trabalho, quer
seja pela bolsa oferecida no início do doutorado pelo engenheiro Álvaro Maia da Costa,
quer seja pelo tempo a mim concedido enquanto funcionário do setor de Infra-Estrutura
Industrial e Suporte Corporativo (IESC) pelos gerentes Emmanuel Danilo Resende
Lemos e Ubirajara Ribeirinho Telles.
À minha esposa, Luciana, pelo incentivo pessoal, pela elaboração de parte das
figuras desta tese e por sua compreensão.
À minha irmã Rosana por sua ajuda na elaboração da grande maioria das figuras
desta tese
À Cláudia Pitombo, pela atenção e gentileza a mim dispensada nos inúmeros
finais de semana em que passei discutindo o assunto com o professor Ian, privando-a do
convívio de seu marido.
Ao professor Vaid pelo artigo gentilmente cedido, pelo interesse na pesquisa e
pela discussão acerca de minha tese, quando de minha estada em Vancouver em outubro
de 2004.
Aos funcionários e professores da COPPE/UFRJ que de uma forma ou de outra
contribuíram para minha formação.
A Deus por tudo.
iv
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)
CONTRIBUIÇÃO AO ENTENDIMENTO DA FLUÊNCIA NÃO-DRENADA
Gilberto Ferreira Alexandre
Junho/2006
Orientadores: Paulo Eduardo Lima de Santa Maria
Ian Schumann Marques Martins
Programa: Engenharia Civil
O principal objetivo desta tese é contribuir para o desenvolvimento do modelo
de comportamento de solos argilosos saturados proposto por Martins (1992).
A contribuição ao modelo seria explicar qualitativa e quantitativamente a
aceleração observada em ensaios de fluência não drenada para a argila sensível Haney,
estudada por Vaid e Campanella (1977). Para tanto foram desenvolvidos tratamentos
matemáticos analíticos e numéricos que possibilitaram a elaboração de previsões para
os ensaios de fluência não-drenada e carga constante constantes realizados por Vaid e
Campanella (1977).
A partir dos resultados apresentados conclui-se que a aceleração na fluência
pode, para este solo, ser considerada como decorrente da queda de resistência friccional
e conseqüente aumento da parcela viscosa.
Tem-se também como contribuições ao modelo de Martins (1992) a extensão
deste modelo aos solos sensíveis e a proposta de modificação onde o círculo de Mohr
das tensões efetivas é visto como a soma de dois outros círculos, cada um representando
o estado de tensões das duas parcelas de resistência, a friccional e a viscosa.
v
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfilment of the requirements
for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)
CONTRIBUTION TO THE COMPREHENSION OF THE UNDRAINED CREEP
Gilberto Ferreira Alexandre
June/2006
Advisors: Paulo Eduardo Lima de Santa Maria
Ian Schumann Marques Martins
Department: Civil Engineering
The main objective of this thesis is to contribute to the development of the
model of behavior of saturated clayey soils as proposed by Martins (1992).
The contribution to the model would be to explain both qualitatively and
quantitatively the acceleration observed in undrained creep tests made in the sensitive
Haney clay, studied by Vaid and Campanella (1977). In order to achieve this goal,
analytical and numerical treatments were developed allowing to predict the undrained
creep and constant load tests performed by Vaid and Campanella (1977).
Taking into account the results of the predictions performed is concluded that
the acceleration during creep, for this soil, can be considered as due to the decrease in
friccional resistance and consequently the raise in viscous resistance.
Must also be pointed-out as contributions to the model proposed by Martins
(1992) the extension of this model to this sensitive clay and the modification in which
the Mohr circle of effective stress can be viewed as the sum of two other circles, each
one stating the state of stresses of each of the two parcels of the resistance, the friccional
and the viscous one.
vi
ÍNDICE
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO Pág
1.1 - Considerações preliminares. 01
1.2 - Objetivo da tese. 02
1.3 - Ordenação dos capítulos. 02
CAPÍTULO 2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1- Discussão do Princípio das Tensões Efetivas. 03
2.2 - Visões de Terzaghi (1941), Taylor (1942), Taylor (1948) e Bjerrum
(1973)
05
2.3 - Abordagem filosófica corrente e a da COPPE. 08
2.4 - O modelo de Martins (1992). 08
2.4.1 - Equações de Equilíbrio. 08
2.4.2 - As elipses de viscosidade e de atrito. 09
2.4.3 - Um ensaio CIU à luz do modelo. 11
2.4.4 - O Princípio das Tensões Efetivas Expandido. 13
2.4.5 - Família de ensaios CIU 13
2.4.5.1- ε& constante. 13
2.4.5.2 - ep′ constante. 17
2.4.5.3 - Curvas básicas. 18
2.4.5.4 - Observações experimentais acerca da poropressão. 19
2.4.5.4.1 - Lacerda (1976) e Thomasi (2000). 19
2.4.5.4.2 - Discussão acerca dos desvios. 21
2.4.6- A fluência não-drenada. 24
2.4.6.1 - Lei de Taylor. 24
vii
2.4.6.2 - Interpretação da fluência à luz do modelo. 24
2.4.6.3 - Critério de Ruptura. 28
2.4.6.4 - Observações experimentais. 28
2.4.6.5 - Discussão à cerca dos desvios e hipóteses levantadas. 29
CAPÍTULO 3 – MATERIAIS E MÉTODOS
3.1 – Justificativa da abordagem adotada. 33
3.2 – Solo estudado. 33
3.3 – Descrição dos ensaios. 34
3.4 – Resultados dos ensaios. 35
3.5 – Desenvolvimentos analíticos e numéricos. 42
3.5.1 - Generalidades 42
3.5.2 – Tratamento Analítico da Fluência Não-Drenada 46
3.5.3 – Tratamento Numérico da Fluência Não-Drenada 53
3.5.4 – Tratamento Numérico Alternativo da Fluência Não-
Drenada
55
3.5.5 – Tratamento Analítico dos Ensaios Não-Drenados de Carga
Constante
57
3.5.6 – Tratamento Numérico dos Ensaios Não-Drenados de Carga
Constante
59
3.5.7 – Tratamento Numérico Alternativo dos Ensaios Não-
Drenados de Carga Constante
59
CAPÍTULO 4 – RESULTADOS OBTIDOS
4.1 – Previsões. 60
4.1.1 – Determinação dos parâmetros do modelo. 60
4.1.1.1 – Verificação dos parâmetros. 64
viii
4.1.1.1.1 – Por análise dimensional. 64
4.1.1.1.2 – Numérica. 67
4.1.2 – Ensaios de fluência. 70
4.1.3 – Ensaios de carga constante. 84
CAPÍTULO 5 – ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
5.1 – Resistências Friccionais 93
5.2 – Resistências Viscosas 93
5.3 – Ensaios de Fluência Não-Drenada 94
5.4 – Ensaios de Carga Constante 102
5.5 – Discussões Adicionais 104
CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA PESQUISAS
FUTURAS
6.1 – Conclusões 129
6.2 – Sugestões para pesquisas futuras 130
BIBLIOGRAFIA 131
APÊNDICE I
AI.1 – Observações sobre a abordagem de Martins (1992) 133
AI.2 – Abordagem Alternativa Desta Tese 135
AI.3 – Discussão de um ensaio CIU convencional numa argila ideal
normalmente adensada
145
AI.4 – Resumo dos Pontos Principais da Nova Abordagem 153
AI.5 – O Ensaio de Fluência dentro da Abordagem Alternativa 159
AI.6 – A Relaxação de Tensões dentro da Abordagem Alternativa 164
ix
AI.7 – Sobre a Sensibilidade e o Modelo de Martins (1992) 165
x
LÍSTA DE SÍMBOLOS
A área
A0 área inicial do corpo de prova
an área de contato do grão
ah sigla para ensaios de adensamento hidrostático
C, C1, C2, ai constantes de ajustes
C0 função de viscosidade normalizada
CIU sigla para ensaio triaxial adensado hidrostaticamente e cisalhando com
drenagem impedida
d espessura da camada de água adsorvida viscosa
e índice de vazios
Ei módulo de deformação
fb(e) curva básica de compressão (“basic compression curve”)
h0 altura inicial do corpo de prova
K, n constantes da função de potência
N força normal
p resistência plástica (“plastic resistance”)
p pressão intergranular (“intergranular pressure”)
Pn força normal no grão
pi pressão intrínseca
cp′ , ep′ , cσ ′ , c3σ ′
tensão de adensamento hidrostático
csp′ tensão de adensamento hidrostático sólido-sólido
′+′
=′2
31 σσp
abscissa do caminho de tensões efetivas
upp −′= ordenada co caminho de tensões totais
′+′=′
231 sfsf
sfpσσ
abscissa do caminho de tensões efetivas sólido-sólido na ruptura
′−′==′
231 σσqq
xi
ordenada co caminho de tensões totais
′−′==′
231 sfsf
sfsf qqσσ
ordenada co caminho de tensões totais sólido-sólido na ruptura
qfmax resistência friccional máxima
R2 quadrado do coeficiente de correlação
s resistência ao cisalhamento
su resistência não-drenada
t tempo
T força tangencial
Tn força tangencial no grão
u poro-pressão
u0 poro-pressão de estabilização decorrente do impedimento do
adensamento hidrostático
uv poro-pressão decorrente do impedimento do adensamento hidrostático
v = (1+e) volume específico
V, vq′ “salto de viscosidade”
V volume
V0 volume inicial do corpo de prova
α1, α2, α3 variáveis do sistema de equações dimensionais
α ângulo
( )[ ]mobmob sen φα 1tan −=
γ peso específico, distorção
δa incremento de área
δh decréscimo de altura
∆σ acréscimo de tensão total
ε1, ε3 deformações específicas principais maior e menor
εt deformação cisalhante
εf deformação cisalhante de ruptura
vε& velocidade de deformação volumétrica
θ inclinação do plano de ruptura com a horizontal
xii
µ coeficiente de viscosidade médio da água adsorvida
η(e), η coeficiente de viscosidade do solo
Π, Π1, Π2 monômios adimensionais
σ′ tensão normal efetiva
1σ′ , 2σ ′ , 3σ′ tensões normais efetivas maior, intermediaria e menor
1σ , 2σ , 3σ tensões normais totais maior, intermediaria e menor
sσ′ parcela sólido-sólido da tensão normal efetiva
s1σ′ , s3σ′ tensões normais efetivas sólido-sólido maior e menor
vσ′ , pσ ′ parcela viscosa da tensão normal efetiva
v1σ′ , v3σ′ tensões normais efetivas viscosas maior e menor
σ’ff tensão efetiva normal no plano de ruptura no momento da ruptura
sf1σ ′ , sf3σ ′ tensões normais efetivas sólido-sólido maior e menor na ruptura
sfσ ′ tensão normal efetiva sólido-sólido no plano de ruptura na ruptura
σd tensão desviadora
dfdf σσ =′ tensão desviadora friccional (sólido-sólido)
dvdv σσ =′ tensão desviadora viscosa
σdfmax tensão desviadora friccional máxima (sólido-sólido)
τ tensão cisalhante
sfτ tensão cisalhante friccional (sólido-sólido) de ruptura no plano de ruptura
sτ , τf parcela de atrito (sólido-sólido) da tensão cisalhante
vτ parcela viscosa da tensão cisalhante
φ ângulo de atrito efetivo
φmob ângulo de atrito mobilizado
φaparente ângulo de atrito efetivo aparente
φb ângulo de atrito efetivo básico
ξ variável de integração
1
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO
1.1 – Considerações preliminares
Desde que Terzaghi (1936) enunciou o Princípio das Tensões Efetivas a
Mecânica dos Solos experimentou seu grande desenvolvimento contemporâneo com
implicações sobre todos seus ramos de aplicações, porém nem todas as questões
importantes podem por ele ser respondidas. Como exemplos podem-se citar:
• Por que há casos de aterros sobre solos moles que rompem algum tempo
após sua construção?
• Por que os valores de cv de laboratório não são iguais aos obtidos em
retro-análises de casos de campo?
• Por que os valores de capacidades de carga última obtidos em provas de
carga estáticas rápidas em estacas são, em geral, superiores aos de
provas de carga lentas?
Do ponto de vista da engenharia são louváveis todos os esforços feitos para
tentar resolver questões como essas, ainda que pontualmente, porém, do ponto de vista
da ciência é questionável se estabelecerem compartimentos estanques onde os princípios
estabelecidos são ignorados. Ainda sob este ponto de vista, as questões não respondidas
constituem contra-exemplos e são indicativos das limitações de um princípio.
Conscientes dessas limitações atuam os pesquisadores na tentativa de construir teorias
mais abrangentes. Assim sendo, é bom que se diga que o princípio estabelecido por
Terzaghi não constitui exceção e deste modo há que se pensar em como este princípio
pode ser modificado.
O modelo proposto por Martins (1992) se apóia justamente sobre este
pensamento, ou seja, modificando o Princípio das Tensões Efetivas. Porém, este
modelo, apesar de aplicado com sucesso a um solo argiloso saturado normalmente
adensado submetido a carregamentos não-drenados e explicar mais do que antes se
sabia com o princípio de Terzaghi, também deixa certas perguntas sem respostas, sendo
uma delas o foco central desta tese:
Por que solos argilosos saturados quando submetidos a carregamentos não-
drenados apresentam, sob determinados estados de tensão, aumento da velocidade de
deformação?
2
1.2 – Objetivo da tese
O objetivo maior desta tese é o de contribuir para a construção do modelo de
comportamento de solos argilosos proposto por Martins (1992).
A contribuição para o modelo seria explicar o aumento da velocidade de
deformação que se observa em ensaios de fluência de solos argilosos saturados
sensíveis.
1.3 – Ordenação dos capítulos
O capítulo 2 trata da revisão bibliográfica do assunto abordado nesta tese.
Inicialmente discute-se o Principio das Tensões Efetivas, suas limitações e contra-
exemplos. Baseado nesta discussão apresenta-se a abordagem da COPPE sobre os
efeitos do tempo e apresenta-se de maneira objetiva o modelo de Martins (1992). Por
fim apresentam-se as hipóteses formuladas em que se baseia este trabalho.
No capítulo 3 apresenta-se o solo, a campanha de ensaios utilizados e os
métodos numéricos e analíticos desenvolvidos.
Já o capítulo 4 apresenta os resultados obtidos à luz do modelo de Martins
(1992) e das hipóteses levantadas, deixando-se para o capítulo 5 a análise e discussão
dos resultados.
No capítulo 6 estão apresentadas as conclusões deste trabalho e as propostas para
pesquisas futuras.
3
CAPÍTULO 2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 - Discussão do Princípio das Tensões Efetivas.
Transcreve-se abaixo o Princípio das Tensões Efetivas tal como enunciado por Terzaghi
(1936) e discutido por Atkinson e Bransby (1978).
1a Parte:
“As tensões em qualquer ponto de uma seção numa massa de solo podem ser
computadas a partir das tensões principais totais σ1, σ2 e σ3 que agem nesse ponto. Se os
vazios do solo estiverem preenchidos com água sob uma pressão u, as tensões principais
totais consistem de duas parcelas. Uma parcela u que atua na água e nos grãos sólidos
em todas as direções e com igual intensidade. Essa parcela é chamada de pressão
neutra (ou poropressão). As diferenças σ’1 = σ1 - u, σ’2 = σ2 - u e σ’3 = σ3 - u, são
suportadas exclusivamente pela fase sólida do solo. Essas parcelas das tensões
principais totais são chamadas de tensões principais efetivas.”
2a Parte:
“Todos os efeitos mensuráveis oriundos da variação do estado de tensões tais como
compressão, distorção e variação da resistência ao cisalhamento são devidos
exclusivamente à variação do estado de tensões efetivas.”.
Tal como escrita, a 1a parte do princípio define o que vem a ser tensão efetiva e a
2a parte define o seu emprego. Porém, da maneira como foi estabelecido, o princípio só
pode ser utilizado para um propósito, que é o da observação, ou seja, toda vez que se
observar compressão, distorção ou variação da resistência ao cisalhamento, se saberá
que houve variação no estado de tensões efetivas.
Na prática da engenharia faz-se uso do princípio no sentido inverso, ou seja, a
partir de tensões impostas ao maciço saturado estimam-se as tensões efetivas e, a partir
delas, as distorções e variações de volume, o que caracteriza um abuso, pois ao pé da
letra não há garantias explícitas para que isso ocorra.
4
Fazendo uso do princípio, porém em seu sentido contrário, Atkinson & Bransby
(1978), enunciam os seguintes corolários:
Corolário 1: O comportamento de dois solos com a mesma estrutura e mineralogia será
o mesmo, desde que estejam submetidos ao mesmo estado de tensões efetivas.
Corolário 2: Se um solo for submetido a um carregamento ou descarregamento sem
qualquer mudança de volume e distorção, não haverá variação das tensões efetivas.
Corolário 3: Um solo se expandirá ou se comprimirá se a poropressão isoladamente for
aumentada ou diminuída, respectivamente.
Como mostrou Martins (1992) é possível citar exemplos contrários a tais
corolários, como os seguintes:
Contra-exemplo do corolário 1: Ensaios CIU realizados em corpos de prova
“idênticos” de um mesmo solo, e mesmo estado inicial de tensão efetiva, porém
cisalhados a velocidades de deformação diferentes, apresentam resistências diferentes e
mesma poropressão.
Contra-exemplo do corolário 2: Ensaios CIU onde, em determinado momento a
prensa é desligada (sem que haja variação de volume ou distorção) mostram queda da
tensão desviadora ao longo do tempo.
Contra-exemplo do corolário 3: Ensaios de adensamento hidrostático com medida de
poro-pressão onde, ao final do chamado adensamento primário, a drenagem é impedida
(assim sendo, sem que haja variação de volume) mostram aumento na poro-pressão com
o tempo.
A esse ponto, resumindo, pode-se dizer que o que se faz na prática da engenharia
é utilizar indevidamente a recíproca do princípio e que o princípio, apesar de perfeito do
ponto de vista da lógica, tem utilidade prática limitada.
Por fim cabe ressaltar que os grifos feitos nos contra-exemplos apresentados têm
como objetivo chamar atenção para um ponto em comum: a manifestação do tempo
sobre a deformação e a resistência de um solo.
5
2.2 – Visões de Terzaghi (1941), Taylor (1942), Taylor (1948) e Bjerrum
(1973).
Segundo Terzaghi (1941), na superfície das partículas de argila há uma camada
de água adsorvida. Na proximidade dos grãos sólidos a água adsorvida se encontra no
estado sólido e fortemente aderida a essa superfície e, à medida que se afasta, a
viscosidade da água adsorvida vai diminuindo. Essa diminuição se dá até uma certa
distância “d” onde, a partir daí, a água é a água livre que pode ser expulsa em um ensaio
de adensamento. Essa distância “d” depende das propriedades químicas dos grãos
sólidos e de outras substâncias que possam existir na região de adsorção (Figura II.1).
Ainda segundo esta visão os contatos grão a grão se fazem através da água
adsorvida sendo que esses contatos podem ser do tipo sólido, realizados pela água
sólida, ou contatos do tipo viscoso, realizados pelo filme viscoso existente entre a água
livre e a água sólida (Figura II.1). Tal como explicado no artigo, esses dois tipos de
contatos poderiam transmitir tensões efetivas.
d
água adsorvida líquida
grão
grão
grão
grão
água adsorvida líquidad
contato tipo “film bond”contato tipo “solid bond”
água livre
Figura II.1 – Tipos de contatos nos solos segundo Terzaghi (1941), Apud Thomasi
(2000).
Se todas as tensões efetivas na massa de solo forem transmitidas através de
contatos do tipo sólido, a argila estará, segundo Terzaghi, no estado “solidificado”.
Porém, para que seja atingido tal estado, é necessário primeiro que o solo esteja
no estado lubrificado, estado esse onde parte das tensões efetivas é suportada pelos
contatos viscosos com movimento relativo intergranular vagaroso.
Se este solo (no estado solidificado) for solicitado além de um certo limite,
quebram-se os contatos sólidos e as partículas passam a ter contatos viscosos. Neste
6
ponto a carga inicialmente suportada apenas pelos contatos sólidos passa a ser suportada
parte por esses mesmos tipos de contatos (com geração de excesso de poropressão) e
parte pela resistência surgida dos contatos do tipo viscoso.
A partir daí, em havendo excesso de poro-pressão e possibilidade de drenagem,
segue-se um período de adensamento, período conhecido como adensamento primário.
Após a dissipação da praticamente todo o excesso de poro-pressão, a argila ainda se
encontra no estado lubrificado sendo que o movimento relativo entre as partículas
continua até que todos os contatos sólidos sejam restabelecidos. A essa variação de
volume sofrida pelo solo durante o período de restabelecimento dos contatos sólidos é
atribuído o termo adensamento secundário (Terzaghi, 1941).
Outro estudioso que levou em conta efeitos do tempo e foi além, estabelecendo
as relações matemáticas entre as grandezas intervenientes do problema, foi Taylor
(1942). Em sua Teoria B, ele considera o efeito da velocidade de deformação no
adensamento das argilas com conseqüente surgimento da resistência estrutural plástica.
Segundo Taylor (1942), a tensão vertical efetiva a qualquer tempo e em qualquer ponto,
durante o adensamento, poderia ser determinada através da seguinte expressão:
p = fb(e) + pp (II.1),
onde:
p é a pressão intergranular (“intergranular pressure”);
fb(e) é a curva básica de compressão (“basic compression curve”), função do índice
de vazios;
p é a resistência plástica (“plastic resistance”), dependente principalmente da
velocidade de deformação.
Taylor, porém, vai além do adensamento e em seu livro de 1948 sugere que a
resistência ao cisalhamento de solos argilosos pode ser escrita por:
( )
∂ε∂
+φ+σ′=t
ftanps siff
(II.2),
Onde:
7
s = resistência ao cisalhamento;
σ’ff = tensão efetiva normal no plano de ruptura no momento da ruptura;
φ = ângulo de atrito efetivo;
f
∂ε∂ts = termo função da velocidade de deformação cisalhante, representa a parcela de
resistência viscosa ao cisalhamento.
pi = pressão intrínseca.
Bjerrum (1973) admitindo o mecanismo proposto por Terzaghi para o
adensamento secundário e critério de ruptura proposto por Hvorslev discorre sobre o a
fluência em solos argilosos.
Neste modelo, a “coesão efetiva” de Hvorslev seria de natureza viscosa e seria
tanto maior quanto a velocidade de deformação e o “ângulo de atrito efetivo” seria
relacionado à deformação.
Segundo Bjerrum (1973), em um ensaio triaxial a coesão efetiva seria
mobilizada integralmente para pequenas deformações enquanto que o atrito seria
plenamente mobilizado para deformações maiores, porém desde o início já haveria a
mobilização de parte do atrito. Neste contexo, a fluência seria então um jogo entre a
coesão efetiva e a resistência por atrito.
Caso a resistência por atrito fosse maior que a tensão cisalhante imposta em um
ensaio de fluência, a coesão efeitva seria desmobilizada ao longo do tempo (com queda
da velocidade de deformação) enquanto que a resistência friccional seria mobilizada até
que a resistência friccional mobilizada equiparasse a tensão imposta, quando isso
ocorresse, a fluência chegaria ao fim (e a velocidade de deformação chegaria a zero).
No caso contrário, quando a resistência por atrito fosse menor que a tensão cisalhante
imposta em um ensaio de fluência, a resistência friccional mesmo quando toda
mobilizada não seria capaz de equiparar o carregamento imposto e a coesão efetiva
continuaria a existir. A partir desse ponto a velocidade de deformação seria mínima e se
manteria constante daí em diante.
Como será visto mais adiante o mecanismo proposto por Bjerrum (1973) e o
modelo de Martins (1992) são parecidos, porém há um ponto discordante quanto à
mobilização da viscosidade. Enquanto para Bjerrum (1973) antes de ser mobilizada a
8
viscosidade há a mobilização de parte do atrito, no modelo de Martins (1992) a
viscosidade é instantaneamente mobilizada sendo o atrito mobilizado apenas após a
mobilização da viscosidade.
2.3 – Abordagem filosófica corrente e a da COPPE.
Na Mecânica dos Solos clássica há vários casos que não podem ser explicados a
partir do Princípio das Tensões Efetivas tal como exemplificado no Capítulo 1. Nesses
casos são criadas então diversas “Mecânicas dos Solos” particulares, cada uma com
suas hipóteses ou parâmetros de ajuste. Porém, nenhuma dessas hipóteses é geral,
podendo ser aplicadas aos outros casos.
É assim no adensamento secundário, onde há o coeficiente de adensamento
secundário, na fluência, com a “Rate Process Theory”, nas provas de carga dinâmicas,
onde há um parâmetro de ajuste função da velocidade de cravação, etc.
É preciso reconhecer que esses casos estão além do que é estabelecido no
princípio de Terzaghi. E, assim sendo, há que se estabelecer outro princípio, modificá-lo
ou complementá-lo para que se possa contemplar o que atualmente não é possível. Essa
é a filosofia do grupo de reologia da COPPE.
Especificamente no caso da filosofia adotada na COPPE, entende-se que o
princípio de Terzaghi não é completo, ou seja, falta algo ao enunciado sobre os efeitos
do tempo, sendo esse “algo” a viscosidade citada por Terzaghi (1941) e Taylor (1942) e
(1948).
2.4 – O modelo de Martins (1992).
2.4.1 – Equações de Equilíbrio.
Na mecânica dos solos clássica a equação de equilíbrio de forças é feita apenas
para a componente normal das tensões, considerando a tensão normal total e a
poropressão, uma vez que na direção tangencial não há mais do que o atrito
desenvolvido entre os grãos sólidos. Porém, se for considerado que o solo resiste às
solicitações impostas também por viscosidade, como sugerem Terzaghi e Taylor, pode-
se chegar a uma expressão de equilíbrio para a componente tangencial. Foi o que fez
Martins (1992).
9
grão
água livre
água adsorvidamuito viscosa
a
P
Tn
n
N
T
1
P
T1
1
an
Figura II.2 – Elemento de solo.
Considerando um elemento de solo como o acima ilustrado, Martins (1992)
chegou às seguintes expressões:
u+σ′=σ (II.3)
e
4342143421
EVISCOSIDAD
S
ATRITO
mob dtd
(e)tan
τ
εη+
τ
φσ′=τ (II.4)
onde:
σ = tensão normal total;
σ’= tensão normal efetiva;
u = poropressão;
τ = tensão cisalhante;
φmob = ângulo de atrito mobilizado;
η(e) = termo função do coeficiente de viscosidade médio da água adsorvida (µ ) e do
índice de vazios e;
ε
dtd s = velocidade de deformação cisalhante.
2.4.2 – As elipses de viscosidade e de atrito.
Considerando-se que a tensão cisalhante total τ é composta de uma parcela de
atrito τf e outra viscosa τv, escreve-se:
10
τ = τf + τv (II.5)
Assim, o círculo de Mohr das tensões efetivas será composto por duas figuras
geométricas, cujas equações são as seguintes:
ασ′−σ′
+σ′+σ′
=σ′ cos222
3131
( )α
ε−εη=τ sen2
dtd
(e)21 31
v
(II.6)
(II.7)
e
ασ′−σ′
+σ′+σ′
=σ′ cos222
3131
α
−
σ′−σ′=τ−τ=τ sen2V
231
vf
(II.8)
(II.9)
Sendo V a parcela viscosa da tensão cisalhante num plano que faz 45o com as
tensões principais.
Como mostradas em Martins (1992), as equações acima apresentadas são as
equações de duas elipses, que somadas compõem o círculo de Mohr das tensões
efetivas. A figura seguinte ilustra o exposto.
Figura II.3 – Apud Thomasi (2000).
σ´ σ´3 σ´1
τ, τv
2α
τ
τf
V
−
σ′−σ′V
231
11
A elipse representada pelas equações II.6 e II.7 foi batizada por Martins de
elipse de Taylor, pelas contribuições feitas por este autor aos efeitos do tempo. Já para a
elipse descrita pelas equações II.8 e II.9 Martins a nomeou de elipse de Coulomb.
2.4.3 – Um ensaio CIU à luz do modelo.
Um ensaio CIU realizado num solo saturado caracteriza-se por uma fase de
adensamento hidrostático seguida de uma fase de cisalhamento não-drenado sob
velocidade constante cujo gráfico é o seguinte:
Figura II.4 – Ensaio CIU
Sendo εt a deformação cisalhante em um plano inclinado de 45o em relação a
tensão principal σ1.
Fato importante a ser destacado é que no ponto t = 0, apesar de não haver
deformação, já há uma velocidade de deformação cisalhante. Em havendo desde o início
uma velocidade haverá uma resistência de origem viscosa (τv), que se manterá constante
até o final do ensaio já que é função da velocidade de deformação cisalhante e do índice
de vazios e ambos permanecem constantes durante todo o cisalhamento. Se esta parcela
de resistência é mobilizada desde o início e se mantém constante até o final, toda a
resistência que é mobilizada a partir daí é forçosamente de origem friccional. Duas são
as conseqüências deste raciocínio:
A mobilização do atrito (que dá origem a resistência friccional) está ligada às
deformações cisalhantes.
εt
t
12
A resistência viscosa sendo constante ao longo de todo o ensaio faz com que a
ruptura se dê quando a resistência friccional for esgotada.
Há ainda um fato digno de nota que advém de evidência experimental, qual seja, a
poro-pressão é função da deformação sendo, portanto independente da velocidade de
deformação.
De certa forma a resistência viscosa pode ser vista como um efeito “parasita” que
faz com que a resistência total medida seja tanto maior quanto maior for a velocidade do
ensaio. Porém como a resistência friccional está ligada à deformação cisalhante e não à
sua velocidade, esta será única e a ruptura do solo se dará por esgotamento desta
capacidade, ou seja, o critério de ruptura é comandado pela elipse de atrito, sendo a
envoltória tangente a esta figura, como mostrado a seguir.
2a
A
F
t,tf
f b
f aparente
`s
Figura II.5 – Critério de ruptura.
Sendo φb o ângulo de atrito básico do solo que, por ser independente da
velocidade do ensaio, vem a ser uma propriedade do solo.
Isto posto pode-se enunciar o Princípio das Tensões Efetivas Expandido, tal
como fez Martins (1992).
13
2.4.4 - O Princípio das Tensões Efetivas Expandido.
1a Parte:
“Em qualquer plano de um elemento de solo saturado no qual estejam atuando a
tensão normal σ e a tensão cisalhante τ estarão atuando internamente: como reação a σ
a soma (σ´+ u) sendo σ´ a tensão normal efetiva e u a poro-pressão; e como reação a τ a
soma das resistências por atrito e por viscosidade.”
2a Parte:
“Toda vez que houver variação da parcela de atrito mobilizado haverá
deformações cisalhantes e reciprocamente toda vez que houver deformações cisalhantes
haverá variação da parcela de atrito mobilizado (casos não-drenados).”
Da maneira como colocado, Martins (1992) soma ao atrito a viscosidade e impõe
uma relação única entre deformação cisalhante e mobilização de resistência friccional.
2.4.5 - Família de ensaios CIU
2.4.5.1 - ε& constante.
Como no início do ensaio ocorre a mobilização instantânea da resistência
viscosa antes mesmo do desenvolvimento das deformações cisalhantes, o que se teria
em termos de tensão desviadora versus deformação seria o seguinte (para uma
deterrminada tensão de adensamento hidrostático p’e):
14
Figura II.6 – Tensão desviadora x deformação cisalhante (εt) e poro-pressão x
deformação cisalhante.
Sendo V a resistência viscosa mobilizada no início do ensaio no plano inclinado
de 45o com o plano onde atua σ’1. A partir deste instante até a deformação de ruptura
haveria a mobilização do atrito com o desenvolvimento das deformações cisalhantes,
sendo a mobilização máxima do atrito para ε = εf. Da deformação de ruptura em diante
a resistência friccional não mais cresceria, se mantendo constante.
Já a poropressão se desenvolveria de zero, para ε = 0, até o máximo na ruptura,
sendo que a partir dessa deformação em diante permaneceria constante, como na figura
apresentada acima.
Da deformação de ruptura em diante, com a mobilização máxima do atrito e da
poropressão, ter-se-ia alcançado o estado crítico para uma determinada velocidade de
deformação cisalhante.
No plano p’ x q’, sendo
′+′
=′2
31 σσp e
′−′==′
231 σσqq , a mobilização
instantânea da resistência viscosa sem geração de poropressão seria vista como um
segmento de reta inclinado de 45o, partindo do ponto no eixo das abscissas
15
correspondente ao adensamento hidrostático p’e. Ou seja, o caminho das tensões
efetivas coincidiria com o caminho de tensões totais para este segmento.
A partir desse ponto em diante, com o desenvolvimento de deformações
cisalhantes, haveria mobilização de resistência friccional com conseqüente geração de
excesso de poropressão. Assim sendo, o caminho de tensões efetivas se desenvolveria à
esquerda do caminho de tensões totais. A figura II.7 ilustra este ponto.
u
(a)
q’
v
C
C
C
1
2
3
3
2 2
11
A
A
A
J
J
J 3
p’
(b)
p’p’ = 3e ap’ =e a
A
1
1
1
2
1
2
3
2
2
3
3
3
e ap’ =2
y
Figura II.7 – Caminho de tensões totais e efetivas no espaço q’ x p’ x v.
Sendo v = 1 + e, o volume específico. Como mostrado na figura II.7, um corpo-
de-prova adensado a uma tensão hidrostática p’e = 2a, cisalhado à mesma velocidade do
ensaio anterior (adensado à tensão hidrostática p’e) seria homotético em relação a este,
de forma que ambos poderiam ser normalizados em relação à tensão de adensamento
hidrostático correspondente (ver figura II.8):
16
p’p’e/
q’p’e/
45ºV p’
e/ = Co
+ Co
Ay
Figura II.8 – Normalização dos caminhos de tensão efetiva.
Sendo V/p’e = C0 segundo Martins (1992), que vem a ser a função de
viscosidade normalizada em relação à tensão de adensamento hidrostático.
Já o comportamento tensão desviadora x deformação e poropressão x
deformação correspondente aos ensaios mostrados seria o seguinte:
Figura II.9 – Tensão desviadora x deformação cisalhante e poro-pressão x deformação
cisalhante.
Normalizando a tensão desviadora e a poropressão quanto à tensão confinante
tem-se o seguinte:
p'e = a
p'e = 2a
p'e = 3a
εf
u
ε εf
q
ε
p'e = 3a
p'e = 2a
p'e = a
17
Figura II.10 – Tensão desviadora normalizada x deformação cisalhante normalizado e
poro-pressão normalizada x deformação cisalhante.
2.4.5.2 – ep′ constante.
Se ao invés de variar a tensão de adensamento hidrostático, p’e, se fizer variar a
velocidade de ensaio, ter-se-á o seguinte:
Figura II.11 – Caminhos de tensão efetiva para várias velocidades de
deformação e mesmo p’e.
Destaca-se que quanto maior a velocidade do ensaio maior o “salto” de
viscosidade e conseqüentemente a tensão desviadora na ruptura. Além disso, como não
há mobilização de atrito em qualquer dos ensaios no momento do “salto” de viscosidade
e, como a poropressão é independente da velocidade de ensaio, pode-se mostrar que
1tε& 1t2t ε>ε &&ψA1
45o
u
u
ψA2
2tε&
p'
q'
εf
u/p’e
ε εf
q/p’e
ε
C0
18
linhas inclinadas de 45o devem ter mesma deformação cisalhante (εt) e atrito
mobilizado (φmob).
2.4.5.3 - Curvas básicas
Segundo Martins (1992) qualquer ensaio CIU apresentará um comportamento
como mostrado anteriormente, pois o efeito da velocidade de deformação, por menor
que seja, se fará presente. Porém se fosse possível realizar um ensaio com velocidade
“zero”, aí sim se teria um comportamento independente da viscosidade, restando apenas
o atrito, que é a parcela da resistência que sempre estará atuando.
Por ser esta realmente uma propriedade do solo, Martins (1992) denominou as
curvas de tensão desviadora x deformação, poropressão x deformação e o caminho de
tensões efetivas de curvas básicas, que são apresentadas a seguir:
Figura II.12 – Curvas básicas de tensão desviadora normalizada x deformação
cisalhante e poro-pressão normalizada x deformação cisalhante.
Notar que por não haver mobilização instantânea da viscosidade a curva parte da
origem dos eixos coordenados e que a curva da poropressão é a mesma, uma vez que
segundo o modelo não há influência da velocidade de deformação sobre a geração do
excesso de poropressão (o que é uma evidência experimental ilustrada por Lacerda,
1976).
εf
u/p’e
ε εf
q'/p’e
ε
19
Figura II.13 – Caminho das tensões efetivas básico.
Finalizando, o caminho das tensões efetivas básico parte da tensão de
adensamento hidrostático normalizada (p/p’e = 1) e fica à esquerda do caminho das
tensões totais desde o inicio.
2.4.5.4 - Observações experimentais acerca da poropressão.
2.4.5.4.1 - Lacerda (1976) e Thomasi (2000).
Lacerda (1976) realizou uma campanha de ensaios triaxiais CIU com diversas
velocidades de deformação, de fluência e relaxação de tensões na San Francisco Bay
Mud, obtendo os seguintes resultados (fig. II.14).
Como se pode observar, apesar da variação de velocidade no ensaio, a geração
de excesso de poropressão é única, sendo esta função da deformação cisalhante, o que
foi uma hipótese admitida por Martins (1992) baseada em evidências experimentais
mostradas por Lacerda (1976) e por Lo (1969b). Em Lo (1969a) se encontra todo o
desenvolvimento teórico que suporta essas evidências.
1 p/p’e
ε = εf
q/p’e
Caminho de tensões efetivas básico
0=ε&
20
0 1 2 3 4 50
100
200
0
100
200
(Kpa)
u
2q
(KPa)
1250 min
1750 min
1280 min
120 min
e = 1.36 x 10% /min
e = 3.4% /min
1.64 x 10-2
e %
Figura II.14 – Tensão desviadora x deformação cisalhante e poropressão x
deformação cisalhante, Lacerda (1976).
Apesar da existência de evidências que corroboram o modelo concebido por
Martins (1992), há ensaios que mostram que a poropressão gerada na fase de
cisalhamento está ligada também a velocidade de deformação volumétrica quando do
fechamento da drenagem na fase do adensamento hidrostático. É o que mostra Thomasi
(2000). Quanto maior a velocidade de deformação volumétrica quando do fechamento
da drenagem, maior é a poropressão gerada, sendo que esta se desenvolve ao longo do
tempo. A figura a seguir mostra os resultados obtidos.
21
Figura II.15 – Ensaios Hidrostáticos com medida de poropressão após
fechamento da drenagem ao fim do adensamento primário realizados por Thomasi
(2000).
Assim, no caso de um ensaio CIU a poropressão medida na fase de cisalhamento
teria duas componentes: Uma função da deformação cisalhante e outra função da
velocidade de deformação volumétrica no momento do fechamento da drenagem (ao
fim da fase de adensamento) e do tempo decorrido após esse fechamento.
2.4.5.4.2 - Discussão acerca dos desvios.
Os ensaios realizados por Thomasi (2000) mostram que, mesmo sem
deformação cisalhante, há geração de excesso de poropressão, o que contraria o modelo
de Martins (1992), e que a mesma está ligada à velocidade de deformação volumétrica
quando do fechamento da drenagem ao final da fase de adensamento hidrostático de um
ensaio CIU.
Como mostra Thomasi (2000), a poropressão gerada pode ser atribuída à parcela
de resistência viscosa que Martins (1992) não considerou no equilíbrio de forcas na
direção normal. Assim sendo, a resistência viscosa no caso geral afeta também as
tensões efetivas normais, ou seja, como propôs Taylor (1942):
Tempo (dias)
u (kPa)
0
5
10
15
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ensaio ah-4
ensaio ah-5
ensaio ah-6
; 18v s100,7 −−×=ε& ; σ´= 86
kPa ; 18
v s105,1 −−×=ε& ; σ´= 90 kPa
22
σ´ = σ´s + σ´p
(II.1) bis,
onde:
σ´s= parcela da tensão normal efetiva função exclusiva do índice de vazios,
σ´p= parcela da tensão normal efetiva dependente principalmente da velocidade de
deformação volumétrica (resistência plástica, ou como definido por Taylor (1942),
“plastic resistance”).
O mecanismo proposto pode ser melhor entendido a partir da figura II.16
abaixo.
Figura II.16 – Mecanismo proposto (adensamento hidrostático).
Sendo vε& a velocidade de deformação volumétrica. Em um ensaio de
adensamento hidrostático do ponto A ao C, o corpo de prova cruzaria curvas de
velocidade de deformação volumétrica vε& = cte. Durante este processo, no ponto B,
onde o excesso de poropressão é praticamente nulo (final do adensamento “primário”),
ainda haverá uma velocidade de deformação, que será a velocidade de deformação 2vε& .
3vε& e
σ' (escala log)
0v =ε&
4vε& 2vε& 1vε&
σ∆
B
A
C sσ′
pσ′
1vε& > 2vε& > 4vε&3vε& >
23
Se neste momento for fechada a drenagem, a parcela da tensão normal efetiva de origem
viscosa será pσ′ , enquanto que a tensão normal efetiva nos contatos sólidos será sσ′ .
Em se fechando a drenagem, a velocidade de deformação volumétrica cairá a
zero, de sorte que não mais haverá a parcela viscosa da tensão normal efetiva. Porém,
como a parcela sólido-sólido da tensão normal efetiva é função apenas do índice de
vazios, seu valor permanecerá inalterado e igual a sσ′ deste momento em diante.
Como a tensão total σ é constante durante todo o processo, conclui-se que só
poderá haver um ajuste entre a parcela viscosa da tensão normal efetiva e a poropressão,
e como a parcela viscosa cairá a zero, a poropressão deverá se elevar.
Ao final do processo quando a poropressão estabilizar, sua magnitude revelará a
parcela viscosa da tensão normal efetiva que agia no momento do fechamento da
drenagem. É o que acontece, como mostram os resultados de Thomasi (2000),
apresentados anteriormente.
Desta maneira, no caso geral, dada uma tensão de adensamento, a poropressão
em um ensaio CIU será função da deformação cisalhante, da velocidade de deformação
volumétrica quando do fechamento da drenagem, e do tempo de duração da fase de
cisalhamento, não mais havendo uma relação única entre poropressão e deformação
cisalhante.
Imagina-se que, admitindo como corretos os resultados de Thomasi (2000), só
deve ter havido concordância para os valores de poropressão dos ensaios de Lacerda
pelo fato do crescimento da poropressão se dar muito lentamente, levando dias para se
manifestar com apreciável monta.
Cabe ressaltar que, pelo raciocínio aqui estabelecido, se em um ensaio CIU onde
após o adensamento hidrostático fosse esperada a estabilização da poropressão
dependente da velocidade de deformação volumétrica, na fase de cisalhamento ter-se-ia
tudo como estabelecido no modelo de Martins (1992), sendo a poropressão gerada
função apenas da deformação cisalhante.
Frente a esses resultados o modelo concebido por Martins (1992) deve ser
modificado de forma a contemplar o caso geral onde parte da tensão normal efetiva é de
origem viscosa.
24
2.4.6 - A fluência não-drenada.
Apesar de no item anterior ter-se mostrado haver desvios experimentais em
relação ao que o modelo de Martins (1992) prevê, o que implicaria em uma revisão do
modelo, se apresentará nesta seção a visão da fluência não-drenada, tal como
estabelecido por Martins (1992). Ao final será feita uma discussão dos desvios
verificados, incluindo também a questão da poropressão.
2.4.6.1 - Lei de Taylor.
Segundo Martins (1992), a Lei de Taylor Generalizada é a seguinte:
“Um solo, submetido a um estado de tensões onde as tensões cisalhantes sejam
resistidas por viscosidade e por atrito, procurará ao longo do tempo resistir internamente
ao esforço cisalhante apenas por atrito”.
Tal como colocado, a viscosidade (que depende da velocidade de deformação
para continuar a existir) pode ser vista como um efeito transitório enquanto que o atrito
pode ser encarado como perene, bastando que haja deformação cisalhante para que este
seja mobilizado e assim permaneça resistindo às tensões cisalhantes impostas. A partir
da lei de Taylor pode-se interpretar o ensaio de fluência, o que será exposto em detalhes
a seguir.
2.4.6.2 - Interpretação da fluência à luz do modelo.
Em um ensaio de fluência não-drenada tem-se o desenvolvimento de
deformações e de suas velocidades, de sorte que as resistências friccional e viscosa, que
dessas grandezas dependem, são mobilizadas para resistir ao carregamento imposto.
Porém em um ensaio de fluência, para que haja deformação cisalhante deve
haver antes uma velocidade de deformação, de modo que antes de mobilizar o atrito a
resistência viscosa terá se instalado. Uma curva de fluência típica em sua fase inicial é a
que se segue:
25
Figura II.17 – Curva típica de um ensaio de fluência não-drenada em seu estágio
inicial.
No ponto t = 0, apesar de não haver deformação já há uma velocidade de
deformação, sendo sua magnitude dada pela tangente à curva no ponto. Assim sendo, no
ponto t = 0, a resistência é toda viscosa com o solo atingindo sua velocidade de
deformação máxima e igual ητ . Com o passar do tempo haverá desenvolvimento de
deformações cisalhantes, o que levará à mobilização do atrito. Como a tensão
desviadora imposta é constante, parte da resistência viscosa deverá ser transferida para o
atrito, e com essa desmobilização deverá haver uma queda da velocidade de
deformação.
A partir desse ponto três são os casos possíveis:
(a) A resistência friccional máxima é maior que a tensão cisalhante imposta
(q<qfmáx).
(b) A resistência friccional máxima é igual à tensão cisalhante imposta(q=qfmáx).
(c) A resistência friccional máxima é menor que a tensão cisalhante
imposta(q>qfmáx).
Esses três casos podem ser representados pelos seguintes gráficos:
ε
tempo
26
Figura II.18 – Caminhos de tensão possíveis na fluência não-drenada segundo
o modelo de Martins (1992).
Figura II.19 – Curvas deformação tempo possíveis na fluência não-drenada segundo o
modelo de Martins (1992).
No caso (A), como a resistência friccional máxima do solo é maior que a
solicitação imposta, a transferência que ocorre entre a viscosidade e o atrito se dará até
que toda resistência oferecida pelo solo seja de origem friccional, quando isso ocorrer a
velocidade de deformação será zero e a deformação estabilizará em um valor menor que
a deformação de ruptura, εf.
ε
tempo
εf
C
B
A
C
B
A
q´
p, p’
0=ε&
linhas onde ε , u e φmob são constantes
qfmáx
ε = εf
ε < εf ε = 0
27
No caso (C), onde a solicitação imposta é maior que resistência friccional
máxima, a transferência se dará até a deformação de ruptura, εf, com a resistência
friccional atingindo seu máximo. A partir desse ponto, como não há mais atrito a ser
mobilizado, a velocidade de deformação deverá permanecer constante e corresponder à
diferença entre a tensão imposta e a friccional máxima. Neste caso, a partir deste
momento, as deformações continuarão a se desenvolver de maneira ilimitada sob
velocidade constante.
Já no segundo caso (caso B), a transferência se dará até a deformação de ruptura
do solo, com a mobilização máxima do atrito e com a velocidade atingindo o valor zero.
Este vem a ser um caso limite entre o primeiro e o terceiro, pois o corpo de prova
estabilizará na deformação de ruptura, εf.
A partir do exposto acima, pode-se, através do modelo de Martins (1992), prever
para um dado estado de tensão se haverá ou não ruptura e caso não haja, a deformação
com a qual a fluência cessará. Também a partir do modelo pode-se dizer com que
velocidade de deformação (constante) estará um corpo de prova a partir da deformação
de ruptura εf, caso ele tenha sido submetido a uma tensão desviadora de fluência maior
que a resistência friccional máxima.
Pelo modelo de Martins (1992), lançando-se mão de ensaios tipo CIU, mostra-se
que se pode a todo instante saber a deformação e a velocidade de deformação em um
ensaio de fluência, o que será explicado a seguir a partir da figura II.20.
Figura II.20 – Deformações e velocidade de deformação em um ensaio de
fluência não-drenada a partir de ensaios CIU.
ε = 0
q´
p, p’
0=ε& qfmáx
ε = εf ε2
ε1
1ε&
2ε& 3ε&
a b c d
28
Um ensaio de fluência como o mostrado na figura II.20 acima, desde seu inicio
no ponto a até o ponto d, cruza vários ensaios CIU. No ponto de cruzamento entre o
ensaio de fluência não-drenada e o ensaio CIU tem-se por construção a mesma
poropressão e a mesma tensão desviadora.
Associada à poropressão está a deformação cisalhante, uma vez que há uma
relação única entre essas grandezas, e associada à deformação cisalhante está a
resistência friccional. Assim sendo, em havendo a mesma poropressão ter-se-á a mesma
deformação cisalhante e mesmo atrito mobilizado.
Havendo em um ponto de cruzamento, a mesma poropressão, deformação
cisalhante e atrito mobilizado, e também a mesma tensão desviadora é imediato que se
terá a mesma resistência viscosa, e conseqüentemente a mesma velocidade de
deformação.
A partir do que foi exposto pode-se apresentar uma definição de ruptura, tal
como estabelecido por Martins (1992).
2.4.6.3 - Critério de Ruptura.
Transcreve-se de Martins (1992) abaixo a definição de ruptura.
“Definição: Diz-se que um corpo de prova de solo se encontra no estado de
ruptura quando:
(a) Num ensaio com deformação controlada ( cte=ε& ), .0d
'dq≤
ε
(b) Num ensaio com tensão controlada (q’=cte) 0dtd
2
2
≥ε e .0>ε& ”.
2.4.6.4 - Observações experimentais.
Em Martins (1992) encontra-se a verificação experimental das previsões acerca
do comportamento na fluência, a partir dos ensaios realizados por Lacerda (1976).
29
Martins (1992), pelo procedimento descrito acima, comparou ensaios de fluência
e ensaios CIU, obtendo para as deformações e suas velocidades valores muito próximos,
considerando a margem de erro comumente aceita em engenharia.
Martins (1992), também pelo que foi acima descrito pôde explicar porque corpos
de prova submetidos a determinados estados de tensão atingiam a ruptura e porque
outros não. Nos casos onde era prevista a ruptura, Martins (1992) foi capaz de prever a
velocidade de deformação mínima para a deformação de ruptura, e onde era prevista
estabilização, previu a magnitude de sua deformação.
Porém para os casos onde a tensão cisalhante imposta era maior que a resistência
friccional que o solo dispunha, ao atingir a deformação de ruptura, a velocidade de
deformação não ficava constante, voltando a crescer com o tempo, o que contrariava o
previsto pelo modelo.
Este fato é comum em ensaios de fluência, sendo observado para diversos solos
(inclusive normalmente adensados) em condições drenadas e não-drenadas.
Por fim, cabe ressaltar outro desvio importante do modelo, que vem a ser a
função de viscosidade. Como concebido, o modelo admite que a resistência viscosa é
ditada por uma função linear da velocidade de deformação, porém, como pode ser visto
em Martins (1992), Alexandre (2000) e Santa Maria (2002), a função é não linear. Em
Martins (1992), o autor mostra que a função que melhor representa a resistência viscosa
é uma potência da velocidade de deformação, função esta também encontrada por
Alexandre (2000) para um solo fabricado em laboratório. Já Santa Maria (2002)
encontra uma hipérbole como melhor função.
2.4.6.5 - Discussão acerca dos desvios e hipóteses levantadas.
Basicamente são três os desvios do modelo de Martins (1992):
1- Crescimento da velocidade de deformação após a deformação de ruptura.
2- Desenvolvimento da poropressão com o tempo.
3- Função de viscosidade não-linear.
Será discutido inicialmente o segundo desvio, deixando o primeiro (que vem a
ser o ponto de partida desta tese) para depois. Sendo o terceiro desvio um fato, não há o
30
que discutir, restando apenas a pesquisa da função que melhor represente os resultados
experimentais (ver, por exemplo, os resultados de Alexandre, 2000).
No caso da poropressão crescer com o tempo, como já foi explicado, deixa de
valer a relação única entre a geração do excesso de poropressão e a deformação
cisalhante, ou seja, a poropressão passa a ser função do tempo e da deformação
cisalhante.
Desta forma, também não haverá mais uma relação única entre deformação
cisalhante e resistência friccional mobilizada, uma vez que a poropressão crescente com
o tempo fará cair a tensão efetiva.
Assim sendo, em se tendo a mesma poropressão gerada em um ensaio CIU e
outro de fluência (no cruzamento dos caminhos de tensão desses ensaios), não se terá a
mesma deformação, e no caso de se ter a mesma deformação cisalhante não se terá a
mesma poropressão gerada (os caminhos de tensão dos ensaios não se cruzam neste
ponto). Esta diferença será tanto maior quanto maior for o tempo antes do cruzamento
dos caminhos de tensão.
Cabe ressaltar que, se no caso dos ensaios acima descritos, depois do
adensamento e antes da fase de cisalhamento, fosse deixada a poropressão se estabilizar
ter-se-ia tudo como estabelecido no modelo de Martins (1992), sendo a poropressão
gerada função apenas da deformação cisalhante.
No caso do aumento da velocidade de deformação verificado nos ensaios de
fluência, cogita-se que este esteja ligado à queda da resistência friccional, ou seja, que
haja um pico de resistência friccional.
Martins (1992) estudou um caso onde a curva σd x ε não apresentava pico,
porém no caso onde a curva σd x ε apresenta um pico, ao se admitir uma resistência
viscosa constante, a curva friccional x ε também apresentará um pico. Porém, em
havendo queda de resistência friccional haverá aceleração na fluência, uma vez que a
resistência viscosa se soma à friccional para igualar a tensão (constante) imposta na
fluência, ou seja, quando a friccional cai, a viscosa sobe por meio do aumento da
velocidade de deformação (figura II.26).
31
Figura II.26 – Mecanismo de aceleração na fluência.
Basicamente a queda de resistência friccional poder-se-ia dar pelos seguintes
motivos, a saber:
A) Aumento da poropressão com o tempo;
B) Queda do atrito mobilizado;
C) Queda do coeficiente de viscosidade;
D) Uma combinação de dois ou mais dos motivos anteriores.
No primeiro caso (caso A), o mecanismo seria o seguinte:
Um corpo de prova carregado com uma tensão desviadora maior que a
resistência friccional máxima iria se deformar desde t = 0 (momento onde a velocidade
de deformação é máxima) até ε = εf (com a velocidade de deformação atingindo seu
mínimo). Neste ponto ter-se-ia a máxima mobilização de atrito e a maior poropressão
(parcela dependente da deformação cisalhante), e deste ponto em diante deveria se
observar o corpo de prova se deformando à velocidade constante. Porém como a outra
parcela da poropressão continuará a crescer (devido à parcela dependente da velocidade
de deformação volumétrica quando do fechamento da drenagem na fase de adensamento
hidrostático) a tensão normal efetiva irá cair, e com esta a resistência friccional.
ε
σd
Ensaio de fluência
Curva básica
Resistência viscosa
0=ε&
32
O caso B também é fácil de ser compreendido, bastando para tal examinar a
equação II.4, reapresentada abaixo:
4342143421
EVISCOSIDAD
S
ATRITO
mob dtd
(e)tan
τ
εη+
τ
φσ′=τ II.4 (bis)
É imediato que se o ângulo de atrito mobilizado básico, φmob, sofrer uma
redução, esta se refletirá na parcela de resistência friccional τatrito, com conseqüente
aumento da solicitação da resistência viscosa. Este aumento resultaria em um aumento
da velocidade de deformação dtd sε . Tal queda pode se dar por uma alteração na
configuração geométrica do arranjo das partículas, que ao serem cisalhadas, tenderiam a
se alinhar, oferecendo menor resistência ao cisalhamento.
O caso C seria parecido com o B, porém ao invés de se ter uma queda no ângulo
de atrito mobilizado por alteração na configuração geométrica do arranjo das partículas
se teria uma queda do coeficiente de viscosidade η(e). Sendo esta queda devida
exclusivamente à diminuição coeficiente de viscosidade µ da água adsorvida das
partículas, pois sendo o ensaio não-drenado, o índice de vazios e permanece constante
ao longo do mesmo.
É opinião do autor deste trabalho ser mais provável a queda do atrito mobilizado
do que a queda do coeficiente de viscosidade com a alteração do arranjo entre
partículas. A alteração do arranjo, do qual o “interlocking” é função, é muito bem
conhecida e aceita na mecânica dos solos através do conceito de φ residual em solos
argilosos; já quanto ao coeficiente de viscosidade o estado atual das pesquisas não
permite que se faça um prognóstico a respeito de seu comportamento.
Por fim, não se pode descartar a ação combinada das hipóteses A, B e C
descritas anteriormente que agrupadas fariam com que houvesse também uma queda na
resistência friccional.
De resto, vale dizer que em qualquer caso de ocorrência das hipóteses A, B e C
estarem presentes individualmente ou combinadas, seu efeito será sempre o do aumento
da velocidade de deformação.
33
CAPÍTULO 3 – MATERIAIS E MÉTODOS
3.1 – Justificativa da abordagem adotada.
Geralmente, ao se tentar validar um modelo ou verificar hipóteses tem-se duas
alternativas: ou se procede à execução de uma campanha de ensaios, ou então se utiliza
uma campanha previamente executada por outros pesquisadores.
Na primeira alternativa, tem-se como vantagem principal o planejamento
cuidadoso e detalhado dos ensaios que se pretende executar. Ou seja, fazem-se os
ensaios da maneira que se quer, com as técnicas, procedimento e equipamentos que se
julgam mais adequados e com o solo mais apropriado ao estudo. Já no segundo caso,
não há essa vantagem, porém é certamente vantagem a economia de recursos e tempo, o
que vem a ser algo seriamente considerado em se tratando do estudo do comportamento
ao longo do tempo.
No caso deste trabalho, optou-se pela segunda alternativa em vista da limitação
de tempo do autor na execução da campanha de ensaios.
No item 3.3 será descrita a campanha de ensaios com suas vantagens e
limitações, tendo-se como vantagens uma campanha de mais de 30 ensaios realizados
com temperatura controlada e aquisição automática de dados em um solo de
pronunciada dependência dos efeitos do tempo e que apresenta pico de resistência.
Porém o determinante na opção feita pela campanha apresentada por Vaid e Campanella
(1977) foi a fase não-drenada posterior ao adensamento hidrostático e anterior à fase de
cisalhamento, quando a drenagem foi fechada e esperou-se a estabilização da poro-
pressão (que foi medida apesar de não ser mostrada no artigo, Vaid (2004). Esta fase
eliminou a influência da poropressão dependente do tempo na poropressão gerada no
cisalhamento. Desta maneira, foi possível desconsiderar a parcela viscosa na tensão
normal efetiva, fenômeno estudado por Thomasi (2000) e abordado anteriormente, e
aplicar aos resultados o modelo de Martins (1992) tal como ele foi concebido.
3.2 – Solo estudado.
O solo estudado nesta tese é a argila Haney (“Haney Clay”) descrita no artigo de
Vaid e Campanella (1977). Segundo esses autores acredita-se que esta argila tenha
34
sedimentado em ambiente marinho e posteriormente parcialmente lixiviada por
infiltração superficial.
A argila Haney é uma argila siltosa cinza normalmente adensada com limite de
liquidez = 44%, limite de plasticidade = 26%, tensão de sobreadensamento = 340 kPa e
sensibilidade variando de 6 a 10.
Todos os blocos indeformados foram retirados na mesma profundidade de uma
cava aberta, de forma a minimizar a não homogeneidade dos corpos de prova do
conjunto ensaiado.
3.3 – Descrição dos ensaios.
Vaid e Campanella (1977) executaram uma campanha de ensaios bastante
variada, incluindo ensaios tipo CIU com diversas velocidades de deformação (5 ensaios)
, ensaios de fluência (11 ensaios) , de carga constante (9 ensaios), de velocidade de
carregamento constante (6 ensaios) e combinações dos mesmos.
Todos os ensaios foram executados com temperatura controlada (com variação
máxima ambiente de ± 0.25 o C) e com aquisição automática de dados de alta
velocidade (10 canais por segundo). O equipamento utilizado foi o “Vidar Digital Data
Acquisition System” e os dados foram armazenados em uma fita magnética digital.
Todos os corpos de prova foram hidrostaticamente adensados por 36 horas à
tensões de 515 e 615 kPa, e deixados sob drenagem impedida sob a tensão de
adensamento por 12 horas. Nesta fase, segundo os autores, permitiu-se que a maior
parte da poropressão medida, gerada pelo impedimento do adensamento secundário, se
desenvolvesse. Tal medida teve como objetivo não “contaminar” a poropressão gerada
no cisalhamento com a poropressão devida ao impedimento do adensamento
secundário.
Apesar dos cuidados citados acima, os autores não usaram célula de carga
interna, nem adotaram técnicas do tipo “free-ends” para minimização do atrito topo-
base ou de medidas para controle da difusão, Vaid (2004). Além disso, os autores
verificaram a interferência da tixotropia em ensaios cuja duração foi maior do que
20.000 minutos. Como os ensaios estudados nesta tese foram aqueles cuja duração foi
inferior a 20.000 minutos, o efeito da tixotropia, se estiver presente não foi a princípio
digna de nota.
35
Outra ausência notada nos resultados dos ensaios são os dados de poropressão.
Provavelmente as poropressões não foram apresentadas porque muitos ensaios foram
realizados com alta velocidade. Como os ensaios foram realizados sem “free-ends”e
com medida de poropressão na base, certamente não foi atingido um grau de
equalização tal que permitisse uma medida acurada das poropressões.
3.4 – Resultados dos ensaios.
Os ensaios de velocidade de deformação constante foram no total 5, com
velocidade de ensaio variando de 1,1 %/min a 9,4 x 10-4 %/min. O que se observa é uma
tendência de aumento de resistência com o aumento da velocidade de ensaio, sendo que
para uma variação de 3 ordens de grandeza na velocidade, o aumento de resistência foi
aproximadamente 30%.
Já os ensaios de fluência foram 11 com q/σ’c (q = σd) variando de 0.374 a 0.638,
sendo σ’c a tensão efetiva de adensamento hidrostática obtida ao final da fase
hidrostática que se seguia ao adensamento primário e precedia a fase de cisalhamento
não-drenado.
Fato importante a relatar é o de que nem todas as curvas e pontos dos gráficos de
deformação x tempo foram representados nas curvas de velocidade de deformação x
tempo. A curva do ensaio de carga constante q0/σ’c = 0.540 não foi representada, muito
provavelmente porque grande parte desta curva deve se confundir com a curva do
ensaio de carga constante q0/σ’c = 0.542 apresentada.
Os pontos dos gráficos reproduzidos neste trabalho foram obtidos com o auxílio
de um software de cad, após terem sido “escaneados”. Neste trabalho apresentam-se os
dados interpolados por computador, pois esta maneira foi a que possibilitou a obtenção
de mais pontos das curvas de maneira acurada.
Este procedimento foi o possível de ser adotado, pois, em contato feito com o
professor Vaid (2002), o mesmo informou que os dados originais já não existiam mais
(inclusive as poro-pressões), apenas uma reimpressão especial da Universidade da
Colúmbia Britânica do artigo de 1977 com gráficos de página inteira. Esta publicação
foi gentilmente enviada ao autor desta tese e dela obtidos os pontos.
Para os gráficos dos ensaios CIU convencionais (de velocidade de deformação
constante) foram obtidos pontos a cada 0.05 % de deformação, totalizando 20 pontos
36
para cada 1 % de deformação. Desta forma, cada curva tem ao total 240 pontos
interpolados, já que os ensaios foram levados à ε = 12%.
As curvas apresentadas nesta tese, cujas abscissas representam o tempo foram
construídas a partir dos gráficos originais. Tomaram-se os pontos cujas abscissas eram
números inteiros multiplicados por uma potência de 10. Assim foram representados os
tempos em minutos de 1 x 10-1, 2 x 10-1, 3 x 10-1, ....., 9 x 10-1, 1 x 100, 2 x 100, 3 x 100
e assim por diante. Foram também representados os pontos onde a velocidade é mínima
e/ou a última leitura feita.
As curvas que se apresentam a seguir são cópias do original da publicação
enviada, “escaneadas”, traduzidas e realçadas em softwares próprios para tratamento de
imagens. As curvas com os dados interpolados são apresentadas no capítulo IV, onde
são apresentadas as previsões do modelo de Martins (1992) com as modificações
apresentadas nesta tese.
37
Figura III.1 – Ensaios CIU com velocidade de deformação constante, Vaid e
Campanella (1977).
38
Figura III.2 – Ensaios de fluência, Vaid e Campanella (1977).
39
Figura III.3 - – Ensaios de fluência, Vaid e Campanella (1977).
40
Figura III.4 – Ensaios de carga constante, Vaid e Campanella (1977).
41
Figura III.5 – Ensaios de carga constante, Vaid e Campanella (1977)
42
3.5 – Desenvolvimentos analíticos e numéricos
3.5.1 – Generalidades
Neste tópico apresenta-se o tratamento matemático dado ao modelo de Martins
(1992) considerando as hipóteses levantadas neste trabalho, quais sejam a de que a
parcela viscosa da tensão desviadora σdv vale:
n
dv dtdK
ε
⋅=σ III.1
Sendo ε a deformação específica axial, t o tempo, e K e n as constantes da
função de potência, função esta escolhida para representar a resistência viscosa.
Não considerar-se-ão as poropressões durante o cisalhamento eventualmente
oriundas do efeito estudado por Thomasi (2000), efeito esse apresentado no item
2.4.5.4.1 e discutido no item 2.4.5.4.2.
A exemplo do que considerou Martins (1992) a parcela friccional da tensão
desviadora é, para cada tensão de adensamento hidrostático, função exclusiva de ε.
Considerando que o modelo de Martins (1992) estabelece que a tensão
cisalhante (τ) em qualquer plano é a soma das parcelas friccional (τf) e viscosa (τv),
pode-se escrever
vf τ+τ=τ III.2
Em particular, no plano cuja normal faz um ângulo de 45o com a tensão principal
maior
( )dt
d22 31
45f45 00
ε−εη+τ⋅=τ⋅ III.3
Onde 045fτ é a parcela friccional de 045
τ e ( )
dtd 31 ε−ε
⋅η a parcela viscosa, η é o
coeficiente de viscosidade do solo como definido por Martins (1992) sendo ( )eη=η .
43
Nos ensaios não-drenados convencionais, como e = cte, cte=η . Como 0v =ε , então
131 23
ε⋅=ε−ε . Dito isto, a equação III.3 pode ser reescrita como
dtd
23 1
dfdε
⋅⋅η+σ=σ III.4
Sendo dσ a tensão desviadora, dfσ a parcela friccional da tensão desviadora,
1ε a deformação axial, daqui em diante chamada de ε .
Em termos de tensões desviadoras a equação III.4 pode ser reescrita como
dvdfd σ+σ=σ III.5
Sendo dvσ a parcela viscosa da tensão desviadora.
De acordo com a equação III.1, hipótese desta tese, a equação III.5 pode ser
reescrita como
n
dfd dtdK
ε
⋅+σ=σ III.6
E como dfσ é, dada uma tensão de adensamento cσ′ , função exclusiva da
deformação cisalhante, pode-se escrever
( )n
dfd dtdK
ε
⋅+εσ=σ III.7
A equação III.7 é a equação geral para qualquer ensaio não-drenado.
No caso de um ensaio CIU os gráficos dσ x ε , dfσ x ε e dvσ x ε são os
apresentados na Figura III.6.
44
Figura III.6 – Gráficos dσ x ε , dfσ x ε e dvσ x ε num ensaio CIU convencional.
dσ
ε
Salto devido à mobilização da viscosidade
ε
dfσ
dvσ
ε
45
Se se conhecesse a função ( )εσdf poder-se-ia escrever a equação diferencial III.7
de forma explícita. Como não se conhece tal função, pode-se lançar mão de um
expediente e considerar a curva dσ x ε como formada por uma seqüência de segmentos
de reta como mostrado na Figura III.7.
Figura III.7 – Função ( )εσdf representada como uma seqüência de segmentos de reta.
De acordo com a figura III.7, no trecho 1 ( 10 ε<ε≤ ):
ε⋅+=σ 11df Ea III.8
Sendo a1 e E1 constantes com a1 = 0.
No trecho 2 ( 21 ε<ε≤ε ):
ε⋅+=σ 22df Ea III.9
Num trecho n qualquer:
ε⋅+=σ nndf Ea III.10
dfσ
1
1
E2
ε1 ε2 ε
46
Cabe ressaltar que os Ei ( ni1 <≤ )tem a mesma dimensão de um módulo de
elasticidade, porém eles não têm o mesmo sentido físico daquela grandeza já que a
curva da Figura III.7 traduz a mobilização do atrito.
3.5.2 – Tratamento Analítico da Fluência Não-Drenada
No caso dos ensaios de fluência não-drenada, como a tensão desviadora dσ é
mantida constante, a equação III.7 se escreve
( ) ctedtdK
n
dfd =
ε
⋅+εσ=σ III.11
Escrevendo a equação III.7 em trecho como foi mostrado no item 3.5.1 tem-se,
para o trecho de ordem i
ctedtdKEacte
n
iid =
ε
⋅+ε⋅+==σ III.12
Derivando-se a equação III.12 em relação ao tempo tem-se
⋅
⋅⋅+⋅=
−
2
21
0dtd
dtdnK
dtdE
n
iεεε III.13
Para o trecho 1 ( 10 ε<ε≤ ) em particular
( )( )( )
221-n
1 dtddtd
dtdnK
E- ε=
ε
ε⋅
III.14
Ou seja,
+
ε
⋅
−=
ε⋅
ε
=⋅
−−−
Cdtd
dtd
1n1
dtd
dtd
nKE 1n
2
22n1 III.15
Sendo C uma constante arbitrária.
47
Chamando ξ=
ε −1n
dtd , tem-se:
dtd
1n1
nKE1 ξ
⋅
−=
⋅− III.16
Que integrada no tempo fornece:
( ) 1n
11
dtdC
KtE
n1n −
ε
=ξ=+⋅
⋅−
− III.17
Explicitando dtdε chega-se a:
( ) 1n1
11 CK
tEn
1ndtd −
+⋅
⋅−
−=ε III.18
Para t = 0 a velocidade é igual a ( )n1
d Kσ pois não há atrito mobilizado. Assim,
:
n1
d1n
1
1 KC
dtd
σ==
ε− III.19
De maneira que ( ) n1n
d1 KC−
σ= . Substituindo C1 na equação III.18 tem-se:
( )1n
1
1n
1n
d
KtE
n1n
Kdtd
−−
⋅⋅
−−
σ=
ε III.20
Que integrada no tempo vem a ser:
( ) ( )2
1nn
1n
1n
d
1
CK
tEn
1nKE
Kt +
⋅⋅
−−
σ⋅−=ε
−−
III.21
Como para t = 0 tem-se ε = 0 chega-se a 1
d2 EC σ= e a solução se escreve:
( )
−
−
−
−
σ−
σ=ε
1nn
1n
1n
d
11
d
KtE
n1n
KEK
Et III.22
ou explicitando t em função de ε:
48
( ) ( )
ε−
σ+
σ−
−⋅
=ε
−
−
n1n
1dn1n
d
1 KE
KKn1EnKt III.23
Como ilustração da curva deformação-tempo tem-se o seguinte:
Figura III.8 – Curva ε x t de um ensaio de fluência não-drenada para 10 ε<ε≤ .
Aplicando logaritmo em ambos os lados da equação III.20 chega-se a:
⋅
⋅
−
−
σ
−=
ε
−
KtE
n1n
Klog
1n1
dtdlog
n1n
d III.24
Onde se pode observar o gráfico aproximadamente retilíneo entre a velocidade
de deformação e o tempo, ambos em escala log para o trecho 1 ( 10 ε<ε≤ ), ilustrado a
seguir:
ε
tempo
1ε
1t
49
Figura III.9 – Comportamento aproximadamente retilíneo entre a velocidade de
deformação e o tempo (em escala logarítmica).
Obviamente, este caso (com E=cte) só se aplica por trechos, porém a solução
pode ser generalizada, como esquematizado a seguir:
Figura III.10 – Definição de *ε .
1dtd
ε
(escala log)
tempo (escala log)
E1
1
1
E2
1* ε−ε=ε
dfσ
ε1 ε2 ε
50
Figura III.11 – Definição de *t .
Definidos *ε e *t tem-se que
( ) 1n1
11
*
CK
tEn
1ndt
ddtd −
+⋅
⋅−
−=ε
=ε III.25
Quando 0t * = , 1tt = e a tensão desviadora de atrito vale 111df E ε⋅=σ e
portanto a parcela de viscosidade vale
11d1dv E ε⋅−σ=σ III.26
Assim, à direita de t1 ( +1t ) tem-se, para 0t * =
1n1
1
*
Cdt
ddtd −=
ε=
ε III.27
E como n
11d1dv dtdKE
ε
⋅=ε⋅−σ=σ (III.28) tem-se que
1* ttt −=
1* ε−ε=ε
t1
1ε
t
ε
51
n1
11d1n1
1 KE
Cdtd
ε⋅−σ==
ε − III.29
De forma que
n1n
11d1 K
EC
−
ε⋅−σ= III.30
E o valor de dtdε para 21 ttt <≤ será
( ) ( ) 1n1
2n
1n
11d*
KttE
n1n
KE
dtd
dtd
−−
−⋅⋅
−−
ε⋅−σ=
ε=
ε III.31
O valor de *ε será
( ) ( )2
1nn
*2
n1n
11d
2
** CK
tEn
1nKE
EKt +
⋅⋅
−−
ε⋅−σ⋅−=ε
−−
III.32
Para 0t * = , 0* =ε 2
11d11d
22 E
EKE
EKC
ε⋅−σ=
ε⋅−σ⋅=∴ III.33
e
( )
ε⋅−σ+
⋅⋅
−
−
ε⋅−σ−=ε
−−
2
11d
1nn
*2n
1n
11d
2
**
EE
tKE
n1n
KE
EKt III.34
Como 1* ε−ε=ε e 1
* ttt −=
52
( ) ( )
ε⋅−σ+
−⋅⋅
−
−
ε⋅−σ−ε=ε
−−
2
11d
1nn
12
n1n
11d
21 E
Ett
KE
n1n
KE
EKt III.35
Para 2tt =
( ) ( )
ε⋅−σ+
−⋅⋅
−
−
ε⋅−σ−ε=ε
−−
2
11d
1nn
122
n1n
11d
212 E
Ett
KE
n1n
KE
EKt III.36
( ) ( ) ( ) 1n1
122n
1n
11d2 K
ttEn
1nKE
tdtd
−−
−⋅⋅
−−
ε⋅−σ=
ε III.37
Para o trecho i1i ttt <≤− e i1i ε<ε≤ε −
( ) ( )
ε⋅−σ+
−⋅⋅
−
−
ε⋅−σ−ε=ε −−
−
−
−
−−−
i
1i1id
1nn
1ii
n1n
1i1id
i1i E
Ett
KE
n1n
KE
EKt
III.38
( ) ( ) 1n1
1iin
1n
1i1id
KttE
n1n
KE
dtd
−
−
−
−−
−⋅⋅
−−
ε⋅−σ=
ε III.39
e
( ) ( )( )
ε−ε−
σ+
σ−
−⋅
=ε
−
−−
−
−
n1n
1i1idn1n
d
1i KE
KKn1EnKt III.40
53
3.5.3 – Tratamento Numérico dos Ensaios de Fluência Não-Drenada
Nos ensaios de fluência não-drenada, dada uma tensão hidrostática cσ′ sob a
qual o corpo de prova foi adensado, pretende-se obter a priori as seguintes informações:
1) A curva ε x t.
2) A curva dtdε x t ( ε& x t).
3) O corpo de prova submetido àquela tensão dσ rompe ou não?
3a) Se rompe, com que velocidade se dá a ruptura?
3b) Se estabiliza ( ε& = 0), qual o valor de ε para a estabilização?
Para prever as curvas ε x t e ε& x t deve-se reportar às equações III.38 e III.39.
Nestas equações são constantes K e n para todo o ensaio. São também constantes mas
apenas por trechos o parâmetro Ei. Para determinar os valores dos Eis, K e n neste
trabalho partiu-se de ensaios CIU convencionais e aplicou-se o seguinte procedimento:
1) A partir do gráfico dσ x ε ( ou do caminho de tensões efetivas, o que no presente
trabalho não é possível pois não se tem os dados de poro-pressão) determina-se o salto
inicial da viscosidade (Figura III.12)
Figura III.12 – Determinação do salto de viscosidade.
dσ
ε
Salto devido à mobilização da viscosidade = dvσ
54
2) Como no ensaio CIU a velocidade de deformação é constante, a parcela viscosa da
tensão desviadora ( dvσ ) também será. Assim subtraindo-se da curva dσ x ε o valor de
dvσ , obteve-se a curva dfσ x ε .
3) Para o ponto de máximo da curva dfσ x ε determina-se o valor máximo da
resistência friccional e sua respectiva deformação específica.
4) Para um outro ensaio CIU convencional disponível realizado com a mesmo tensão
cσ′ e velocidade diferente, subtrai-se o valor de máxdfσ determinado no item (3) do valor
de dσ (do ensaio em questão) associado à mesma deformação específica determinada
do item (3). Determina-se assim a resistência viscosa dvσ associada a esta nova
velocidade.
5) De posse de dois valores de dvσ correspondentes a 2 velocidades diferentes
determinam-se, via equação III.1 os valores de K e n.
6) No caso de estarem disponíveis mais de 2 ensaios repete-se o procedimento e ajusta-
se ao conjunto de pares de pontos ( dvσ , ε& ) a melhor curva do tipo da equação III.1
determinando-se assim os valores de K e n.
7) De posse dos valores de K e n descontam-se das curvas dσ x ε os valores das
respectivas resistências viscosas dvσ obtendo-se para cada ensaio uma curva dfσ x ε .
8) As curvas dfσ x ε quando normalizadas em relação a cσ′ devem fornecer uma curva
única. Este é um item de fundamental importância pois por hipótese c
df
σ′σ
x ε é uma
curva única, propriedade do material e se este requisito básico não for atendido o
modelo não pode ser aplicado.
9) Se a verificação do item (8) for satisfeita, segue-se adiante discretizando-se a curva
c
df
σ′σ
x ε para o obtenção dos trechos descritos no item 3.5.2.
10) Neste trabalho foram tomados intervalos de %05.0=ε . Como os ensaios CIU
foram levados até %12=ε , foram obtidos 240 intervalos. Com os intervalos assim
obtidos calculam-se os c
iEσ′
por
( ) c1ii
1dfidfi
c
iEσ′⋅ε−ε
σ−σ=
σ′ −
− III.41
55
11) De posse dos c
iEσ′
, K e n, dado um ensaio de fluência não-drenada a ser executado
com determinados cσ′ e dσ , determinam-se os respectivos iE .
12) Cada trecho de cteE i = foi posteriormente dividido em 50 subintervalos de
0.001%. Assim, com %001.0=ε , determina-se via equação III.40 o valor do tempo
para %001.0=ε e através da equação III.39 o valor da velocidade para %001.0=ε .
Este processo é repetido dentro do intervalo 1, 50 vezes obtendo-se 50 pares ( ε , t) e 50
pares ( ε& , t).
13) Daí em diante repete-se o passo (12) tantas vezes quanto necessárias até cobrir todos
os intervalos.
Embora este procedimento de cálculo trabalhe diretamente sobre as expressões
III.38, III.39 e III.40, o esforço computacional é elevado. O procedimento aqui descrito
foi usado para a análise de 2 ensaios de fluência não-drenada e as razões para isso serão
apresentadas posteriormente.
Deve-se ressaltar que as expressões III.38, III.39 e III.40 não são afetadas se os
valores de iE e K forem substituídos por seus valores normalizados em relação a cσ′ . A
rigor, neste trabalho foram usados estes valores normalizados.
Voltando-se ao assunto do esforço computacional, há um procedimento
alternativo para a determinação dos pares ( ε , t) e ( ε& , t) menos trabalhoso, que se passa
a descrever a seguir.
3.5.4 – Tratamento Numérico Alternativo dos Ensaios de Fluência Não-
Drenada
Partindo-se da equação III.11 admitindo-se a aproximação para a curva dfσ x ε
como mostrado na Figura III.7, pode-se calcular a velocidade ε& por
( ) n1
dfd
Kdtd
εσ−σ=
ε III.42
56
Para um conjunto de ensaios CIU com determinado cσ′ e ε& diferentes, pode-se
determinar ( )εσdf , K e n como foi mostrado nos itens (1) a (9) do tópico 3.5.3.
Assim, dado um ensaio de fluência não-drenada com dσ determinado, para cada
ε existirá um e apenas um valor de ε& dado pela expressão III.42 e, portanto, para cada
ε haverá também um e apenas um ε
=
ε −
ddt
dtd 1
. Assim, o tempo associado a uma
determinada deformação ε , pode ser obtido por
( ) ε
ε
=ε
ε=ε
−ε ε
∫ ∫ ddtdd
ddtt
1
0 0
III.43
conforme mostra a Figura III.12.
Figura III.12 Obtenção do tempo t associado a ε .
Então têm-se determinados para cada ε uma determinada velocidade e um
determinado tempo. Resta saber o método para calcular a integral III.43 para o que será
usado o método dos trapézios.
Assim, o tempo kt associado à deformação kε pode ser calculado por
ε
1i−ε iε
1−ε&
11i
−−ε&
1i−ε&
57
( )1ii
k
1i
11i
1i
k 2t −
=
−−
−
ε−ε⋅ε+ε
= ∑&&
III.44
que por sua vez vale
ε−ε⋅
ε⋅εε+ε
= −
= −
−∑ 2t 1ii
k
1i 1ii
1iik &&
&& III.45
Então, nesse tratamento alternativo, repetem-se os passos de (1) a (9) do item
3.5.3 terminando com o cálculo de t e ε& como descrito acima.
3.5.5 – Tratamento Analítico dos Ensaios Não-drenados de Carga
Constante
No caso dos ensaios não-drenados de carga constante a tensão desviadora
dσ varia com a deformação, uma vez que apesar da carga aplicada ser constante, a área
da seção transversal aumenta pelo efeito de Poisson.
Sendo respectivamente V0 o volume inicial, A0 a área inicial da seção transversal
e h0 a altura inicial do corpo de prova no início da fase de cisalhamento, e considerando
δA o incremento de área e δh o decréscimo na altura do corpo durante o cisalhamento,
tem-se que:
( ) ( )h0A0000 hAhAV δ−⋅δ+=⋅= III.46
Assim sendo tem-se que:
ε−=δ−
=δ+
1h
hA
A
0
h0
A0
0 III.47
Sendo 0
0d AF
=σ e A0
d AF
δ+=σ tem-se então que:
( )ε−⋅σ=σ 10dd III.48
58
Assim sendo, a equação III.7 se escreve
( ) ( ) ctedtdK1
n
df0dd =
ε
⋅+εσ=ε−⋅σ=σ III.49
Onde 0dσ é a tensão desviadora inicial do ensaio não-drenado de carga
constante.
Escrevendo a equação III.7 em trecho como foi mostrado no item 3.5.1 tem-se,
para o trecho de ordem i
( ) ctedtdKEa1
n
ii0dd =
ε
⋅+ε⋅+=ε−⋅σ=σ III.50
Derivando-se a equação III.50 em relação ao tempo tem-se
( ) ctedtd
dtdnK
dtdE0 2
21n
0di =
ε⋅
ε
⋅⋅+ε
⋅σ+=−
III.51
A equação III.51 é parecida com a equação III.13 porém com o termo
( )0diE σ+ multiplicando ε& ao invés de somente iE . Desta forma as soluções para ( )tε ,
( )tε& e ( )εt serão semelhantes àquelas dadas pelas equações III.38, III.39 e III.40, porém
com o termo ( )0diE σ+ no lugar de iE . Fazendo-se isso obtém-se
( ) ( )( ) ( ) ( )
1nn
1i0din
1n
1i0d1id
0di1i tt
KE
n1n
KE
EKt
−
−
−
−−−
−⋅σ+
⋅
−
−
ε⋅σ+−σσ+
−ε=ε
( )( )
σ+
ε⋅σ+−σ+ −−
0di
1i0d1id
EE
III.52
( ) ( ) ( ) ( ) 1n1
1i0di
1i0d1id
Ktt
En
1nK
Edtd −
−−−
−
⋅σ+⋅−
−
ε⋅σ+−σ=
ε III.53
e
59
( ) ( )( )( )( )
ε−εσ+−
σ+
σ−
−σ+⋅
=ε
−
−−
−
−
n1n
1i0d1idn1n
d
0d1i KE
KKn1EnKt III.54
3.5.6 – Tratamento Numérico dos Ensaios Não-drenados de Carga Constante
O tratamento numérico a ser dado aos ensaios não-drenados de carga constante é
idêntico ao dado aos ensaios de fluência não-drenada a não ser pelas equações a serem
utilizadas no passo (12) onde passam a ser válidas as equações III.52, III.53 e III.54.
Como neste tratamento o esforço computacional é também considerável, optou-
se por outro procedimento alternativo a exemplo do item 3.5.4. Esse procedimento
alternativo é descrito no item a seguir.
3.5.7 – Tratamento Numérico Alternativo dos Ensaios Não-drenados de Carga
Constante
Também à exemplo do que foi feito para os ensaios de fluência não-drenada
calcula-se para cada valor de ε uma velocidade de deformação, sendo porém sendo
cômputo diferente uma vez que a tensão desviadora cai ao longo do ensaio. Como a
tensão desviadora cai com a evolução das deformações a velocidade de deformação
passa a ser
( ) ( ) n1
df0d
K1
dtd
εσ−ε−⋅σ=
ε III.55
Uma vez calculada a velocidade os demais passos do tratamento são idênticos
àqueles descrito no item 3.5.4.
60
CAPÍTULO 4 – RESULTADOS OBTIDOS
4.1 – Previsões.
Para que se possam fazer previsões quanto ao comportamento da argila Haney é
necessário primeiramente que se determinem os parâmetros do modelo, ou seja, as
curvas de atrito e de viscosidade, o que está feito no tópico seguinte.
4.1.1 – Determinação dos parâmetros do modelo.
Como mostrado no capítulo 2, em um ensaio CIU convencional a resistência
viscosa é instantaneamente mobilizada (“salto de viscosidade”) e permanece constante
ao longo do ensaio. Assim sendo, basta que em um gráfico de tensão desviadora x
deformação se determine e se subtraia o “salto de viscosidade” para que se obtenha a
curva parcela de atrito da tensão desviadora x deformação específica.
De posse da curva parcela de atrito da tensão desviadora x deformação axial
específica ( )εσdf x ε , podem-se determinar as demais parcelas viscosas dos outros
ensaios realizados com diferentes velocidades. Para isto, basta que sejam subtraídos da
curva dσ x ε , abscissa a abscissa, os valores de dfσ . Procedendo desta forma, obter-se-
ão os pares ordenados das velocidades de deformação e das parcelas viscosas das
tensões desviadoras dvσ aos quais se ajusta a função n
dv dtdK
ε
⋅=σ . É necessário
ressaltar que para descontar os valores de dfσ dos valores de dσ de um outro ensaio, é
preciso que este outro ensaio tenha sido realizado com a mesma tensão cσ′ . Entretanto,
para evitar essa limitação, pode-se, como explicado no capítulo 3, generalizar o
processo trabalhando-se com os valores de dσ , dfσ e dvσ normalizados em relação a
cσ′ . O que foi sucintamente descrito acima será mostrado passo a passo a seguir.
1o Passo: Determinação do “salto” de viscosidade.
Para a determinação do “salto” de viscosidade, optou-se pela curva de
velocidade dε/dt = 1.1 %/min. Essa curva foi escolhida por ser a de maior velocidade de
61
deformação e conseqüentemente mostrar o maior “salto”, o que permite determinar a
resistência viscosa com menor erro.
Observando a Figura III.1, pode-se ver que o “salto” de viscosidade normalizado
pode ser estimado em torno de 0.2.
2o Passo: Determinação da curva de atrito (c
df
σ′σ
x ε ).
Estimado o salto de viscosidade normalizado em 0.2, basta que da curva da
tensão desviadora x deformação específica se subtraia a cada ponto o valor do “salto”.
Feito isso obtém-se a curva a seguir.
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12ε (%)
σ' df
/ σ' c
Figura IV.1 – Curva de atrito obtida do ensaio com dε/dt = 1.1 %/min.
3o Passo: Determinação da função de viscosidade.
Estimada a curva de atrito, pode-se determinar as resistências viscosas
associadas às velocidades de deformação dos demais ensaios, bastando subtrair em
algum ponto de cada curva a resistência friccional da resistência total. Fazendo isso para
a deformação de 2.5 %, valor para o qual ocorre o máximo na curva da Figura IV.1,
obtém-se a tabela abaixo.
62
dtdε
(%/min) c
dv
σ′σ′
1,1 0,20 0,15 0,15
0,014 0,09 0,0028 0,07 0,00094 0,06
Tabela IV.1 – Estimativa dos pares ordenados de resistência viscosa x velocidade de
deformação.
Fazendo um gráfico e ajustando os pontos por uma função de potência se obtém
o que se segue.
σ'dv/σ'c = 0,200(dε/dt)0,174
R2 = 0,9988
0.01
0.10
1.000.0001 0.001 0.01 0.1 1 10
dε/dt (%/min)
σ' dv
/ σ' c
Figura IV.2 – Curva de resistência viscosa x velocidade de deformação.
4o Passo: Verificação da curva de atrito.
Estimados os “saltos” de viscosidade normalizados, tais valores podem ser
subtraídos das respectivas curvas c
d
σ′σ
x ε obtendo-se para cada ensaio a curva de atrito
c
df
σ′σ
x ε . Tais curvas c
df
σ′σ
x ε devem ser, por hipótese, na verdade uma só,
independentes da velocidade, como admite o modelo de Martins (1992). Isto feito,
63
torna-se imperativo esclarecer que se as curvas c
df
σ′σ
x ε não formarem na verdade uma
só, a hipótese básica de Martins (1992) não é mais válida e o modelo não pode ser
aplicado ao solo em questão. Dito isto, apresentam-se a seguir as curvas c
df
σ′σ
x ε
obtidas para cada ensaio.
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ε (%)
σ'df
/ σ' c
Vel. def. axial = 1,1 %/min
Vel. def. axial = 0,15 %/min
Vel. def. axial = 0,014 %/min
Vel. def. axial = 0,0028 %/minVel. def. axial = 0,00094 %/min
Curva média
Figura IV.3 – Curvas de atrito por ensaio.
4.1.1.1 – Verificação dos parâmetros.
Antes de se apresentarem as previsões feitas para os ensaios de fluência e de
carga constante, serão feitas duas verificações da consistência dos parâmetros obtidos,
sendo a primeira por análise dimensional, Carneiro (1996), e a segunda usando as
expressões apresentadas no capítulo III para esses ensaios.
4.1.1.1.1 – Por análise dimensional.
Para levar esta tarefa a bom termo, é preciso primeiro listar as variáveis
intervenientes no problema em questão. Como este é um problema de resistência
mecânica do material que compõe um corpo, é necessário que figure a resistência
64
característica do material, neste caso representado como a máxima parcela friccional
maxdfσ . As outras variáveis serão a tensão desviadora aplicada ao corpo, designada por
dσ , as constantes de viscosidade K e n (de um fluido não-Newtoniano, representado por
uma função de potência), e o tempo t. Neste caso em especial, não figurará o peso
específico do material, γ, pois as tensões devidas ao peso próprio do corpo de prova são
muito pequenas em comparação à dσ . Colocando de uma outra forma, o problema seria
o seguinte: Em quanto tempo se dará a ruptura de um corpo de prova cuja resistência
característica é maxdfσ , submetido à uma tensão desviadora dσ , cujo comportamento
viscoso é ditado por uma lei de potência cujas constantes são K e n ?
Neste problema a variável dependente será o tempo t e as demais serão variáveis
independentes. A seguir estão indicadas as fórmulas dimensionais dessas variáveis.
Tempo [t] = T
Constante K [K] = n2 FTL−
Tensão Desviadora [ dσ ] = FL 2−
Resistência característica [ maxdfσ ] = FL 2−
Constante n [n] = L0M0T0
A constante n, por ser adimensional, não precisará figurar na matriz dimensional.
A tensão desviadora também não precisará figurar na matriz uma vez que esta variável
está relacionada com a resistência característica por um fator de forma, formando o
primeiro número Π da solução (maxdf
d1 σ
σ=Π ). Apresenta-se a seguir, tendo maxdfσ e K
como grandezas determinantes e t como grandeza diretriz.
maxdfσ K t L -2 -2 0 F 1 1 0 T 0 n 1 α1 α2 α3
Tabela IV.2 – Matriz dimensional dos parâmetros do modelo.
65
Outra grandeza que não precisará figurar na matriz dimensional é a deformação
específica, uma vez que também essa grandeza é adimensional.
Pelo exposto acima, o posto da matriz é 3, assim o número de números Π deste
problema é 1, uma vez que o número de variáveis é igual a 3. Para este problema o
sistema de equações que exprime a nulidade das dimensões quanto a base LFT é o
abaixo mostrado:
022 21 =α⋅−α⋅− IV.1
021 =α+α IV.2
0n 32 =α+α⋅ IV.3
2o número Π : ( 13 =α )
Para 13 =α obtém-se n1
2 −=α e n1
1 =α de forma que o número 2Π , que vem
a ser 123maxdf2 Kt ααα σ⋅⋅=Π é escrito da seguinte forma
n1
maxdf2 K
t
σ⋅=Π IV.4
Assim a solução do problema via análise dimensional seria ( )21 f Π=Π , ou seja
σ⋅=
σσ n
1
maxdf
maxdf
d
Ktf . Desta maneira, pode-se verificar a coerência das variáveis
envolvidas no fenômeno. Em havendo uma relação funcional única pode-se atestar a
validade das hipóteses levantadas e caso não haja relação as hipóteses não são
satisfatórias.
Determinando as grandezas para os ensaios de fluência, de velocidade constante
e de carga constante, obtém-se a seguinte tabela:
66
Ensaio Tipo dtdε
(%/min) cd σ′σ
c0d σ′σ′ ( )%ε
Tempo (min)
maxdfd σσ
( ) n1maxdf Kt σ⋅
Vel. Constante 1,1 0,661 - 2,5 2,3 1,43 272
Vel. Constante 0,15 0,609 - 2,5 16,7 1,32 1995
Vel. Constante 0,14 0,556 - 2,5 178,6 1,21 21379
Vel. Constante 0,0028 0,534 - 2,5 892,9 1,16 106897
Vel. Constante 0,00094 0,519 - 2,5 2659,6 1,13 318418
Fluência - 0,638 - 2,5 4,3 1,38 517
Fluência - 0,616 - 2,5 10,1 1,34 1211
Fluência - 0,6 - 2,5 18,7 1,30 2235
Fluência - 0,586 - 2,5 29,5 1,27 3529
Fluência - 0,572 - 2,5 42,4 1,24 5075
Fluência - 0,552 - 2,5 154,4 1,20 18483
Fluência - 0,53 - 2,5 479,8 1,15 57441
Fluência - 0,518 - 2,5 703,9 1,12 84272
Fluência - 0,5 - 2,5 1616,2 1,08 193496
Carga Constante - - 0,63 2,5 3,3 1,33 398
Carga Constante - - 0,606 2,5 11,7 1,28 1401
Carga Constante - - 0,592 2,5 16,8 1,25 2007
Carga Constante - - 0,578 2,5 62,5 1,22 7485
Carga Constante - - 0,558 2,5 96,3 1,18 11527
Carga Constante - - 0,542 2,5 140,4 1,15 16806
Carga Constante - - 0,532 2,5 286,4 1,13 34289
Carga Constante - - 0,528 2,5 483,0 1,12 57823
Tabela IV.3 – Valores das grandezas determinadas nos ensaios.
Uma vez determinadas as grandezas para cada ensaio e calculados os números
1Π e 2Π , pode-se obter o gráfico seguinte.
67
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
100 1000 10000 100000 1000000
t(σdfmax/K)1/n
σ d/ σ
dfm
ax
Ensaios de Carga Constante
Ensaios de Fluência
Ensaio de Vel. Def. Constante
Figura IV.4 – Gráfico 1Π x 2Π .
Pelo o que mostra a figura acima pode-se constatar que há uma relação funcional
entre as grandezas adotadas.
Observar que com a relação funcional revelada pelo gráfico da Figura IV.4
poderiam ser obtidas todas as previsões feitas nesta tese com relação aos ensaios de
fluência e carga constante sem a necessidade de nenhum procedimento analítico ou
numérico. Bastaria para isso apenas determinar via ensaios CIU as curvas ( )εσdf x ε e
n
dv dtdK
ε
⋅=σ . A seguir é feita uma segunda verificação dos parâmetros do modelo.
4.1.1.1.2 – Verificação numérica.
Como apresentado no capítulo III as equações para os casos dos ensaios de
fluência e de carga controlada são as seguintes:
Ensaio de Fluência: ( )n
dfd dtdK
ε
⋅+εσ=σ IV.5
Ensaio de Carga Constante: ( ) ( )n
df0d dtdK1
ε
⋅+εσ=ε−⋅σ IV.6
68
Admitindo válidos os parâmetros determinados pode-se, escolhendo pontos
quaisquer dos ensaios de fluência e de carga constante verificar se as expressões acima
são coerentes. Dividindo a primeira expressão por dσ e a segunda por ( )ε−⋅σ 10d tem-
se respectivamente:
( )
d
n
df dtdK
1σ
ε
⋅+εσ= IV.7
( )
( )ε−⋅σ
ε
⋅+εσ=
1dtdK
10d
n
df
IV.8
Ou seja, para qualquer ponto de qualquer ensaio de fluência ou de carga
constante deve-se verificar que as expressões acima devem se igualar à unidade.
cd σ′σ Tempo (min) ( )%ε dtdε (%/min) cdf σ′σ Expressão IV.7 Erro (%) 0,638 1 1,58 3,70E-01 0,449 0,97 -3,19 0,638 5 2,72 2,78E-01 0,462 0,97 -2,54 0,616 1 1,26 2,78E-01 0,436 0,97 -3,23 0,616 20 3,87 2,41E-01 0,456 0,99 -0,62 0,6 5 1,65 8,43E-02 0,451 0,97 -3,22 0,6 60 5,72 2,86E-01 0,441 1,00 0,33
0,586 1 0,96 1,87E-01 0,415 0,96 -3,73 0,586 80 6,3 1,00E+00 0,436 1,09 8,57 0,572 5 1,28 5,99E-02 0,438 0,98 -1,93 0,572 50 2,73 2,86E-02 0,462 1,00 -0,47 0,552 1 0,74 1,22E-01 0,393 0,96 -3,62 0,552 500 7,62 1,00E+00 0,425 1,13 13,33 0,53 500 2,55 2,10E-03 0,461 1,00 -0,05 0,53 1000 3,5 2,30E-03 0,458 1,00 -0,41 0,518 2000 3,4 6,00E-04 0,459 0,99 -0,79 0,518 10000 6,38 4,00E-04 0,435 0,94 -6,11 0,5 400 1,8 1,10E-03 0,454 1,03 3,07 0,5 7000 3,44 1,00E-04 0,459 1,00 -0,23
0,446 1 0,44 5,05E-02 0,339 1,03 2,80 0,446 10000 1,41 2,00E-05 0,443 1,06 6,06 0,374 1 0,31 3,11E-02 0,300 1,09 9,39 0,374 4000 0,86 2,00E-05 0,404 1,16 16,23
Tabela IV.4 – Verificação da Expressão IV.7 para pontos dos ensaios de
fluência.
69
Como se pode ver há uma boa concordância entre os valores teóricos e os
calculados pela expressão IV.7, que a não ser pelos pontos dos ensaios q/σ’c = 0.552
para t = 500 minutos e q/σ’c = 0.374 para t = 4000 minutos, os erros ficaram abaixo de
10 %.
Fazendo o mesmo para pontos dos ensaios de carga constante tem-se o que se
segue.
c0d σ′σ′ Tempo (min) ( )%ε dtdε (%/min) cdf σ′σ Expressão IV.8 Erro (%) 0,63 1 1,78 3,91E-01 0,454 1,01 0,89 0,63 10 4,22 2,75E-01 0,453 1,02 1,53 0,606 2 1,54 1,72E-01 0,448 1,00 -0,24 0,606 20 3,17 7,76E-02 0,460 1,00 0,31 0,592 3 1,57 1,13E-01 0,448 1,00 0,37 0,592 30 3,23 5,06E-02 0,460 1,01 1,05 0,578 10 1,45 3,55E-02 0,445 0,98 -2,31 0,578 100 3,05 1,43E-02 0,461 0,99 -0,73 0,558 50 2 1,24E-02 0,457 1,01 0,64 0,558 800 8,25 1,07E-02 0,420 1,00 -0,21 0,542 1000 5,72 3,80E-03 0,441 1,01 1,13 0,542 2000 10,74 8,90E-03 0,400 1,01 0,81 0,532 1000 3,6 1,00E-03 0,458 1,01 0,97 0,532 10000 8,03 2,00E-04 0,422 0,95 -4,53 0,528 100 2,75 4,20E-03 0,462 1,05 4,91 0,528 10000 6,98 2,00E-04 0,430 0,97 -3,16 0,63 3 2,4 2,62E-01 0,461 1,01 0,73 0,606 40 5,05 1,03E-01 0,446 1,01 0,98 0,592 60 4,83 5,93E-02 0,448 1,01 1,21 0,578 400 10,71 5,77E-02 0,392 1,00 -0,43
Obs: 0dσ é a tensão desviadora inicial dos ensaios não-drenados de carga constante.
Tabela IV.4 – Verificação da Expressão IV.8 para pontos dos ensaios de carga
constante.
Como se pode observar, os resultados para os pontos dos ensaios de carga
constante também se mostram coerentes com erros até menores que os dos ensaios de
fluência.
De uma maneira geral, pode-se afirmar que esses resultados são muito bons,
uma vez observadas as faixas de valores envolvidos, que, dependendo da grandeza,
chega a 4 ordens de grandeza, como é o caso da velocidade de deformação (dtdε ).
70
Verificada a coerência dos parâmetros determinados passa-se às previsões dos
ensaios de fluência e de carga constante.
4.1.2 – Ensaios de fluência.
Estimadas as curvas de atrito e de viscosidade e utilizando o procedimento
numérico apresentado no capítulo III com o uso de uma planilha eletrônica, pode-se
fazer as previsões para os casos dos ensaios de fluência, que são apresentados na
seqüência. Cabe esclarecer que em cada previsão foram adotadas três curvas de atrito,
que nada mais são que as curvas c
df
σ′σ
x ε para os valores médios, máximos e mínimos
de c
df
σ′σ
para cada ε . Assim os resultados obtidos a partir da adoção dos valores
máximos e mínimos de c
df
σ′σ
fornecem um intervalo (barra) onde devem ser esperados os
resultados.
71
0
2
4
6
8
10
12
0.1 1 10 100
Tempo (min)
ε (%
)Dados ExperimentaisPrevisãoBarra de Erro InferiorBarra de Erro Superior
Figura IV.5 – Gráfico ε x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.638
1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E+00 1.E+01 1.E+02
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados ExperimentaisPrevisãoBarra de Erro InferiorBarra de Erro Superior
Figura IV.6 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.638
72
0
2
4
6
8
10
12
0,1 1 10 100
Tempo (min)
ε (%
)Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura IV.7 – Gráfico ε x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.616
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura IV.8 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.616
73
0
2
4
6
8
10
12
0,1 1 10 100
Tempo (min)
ε (%
)Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura IV.9 – Gráfico ε x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.600
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura IV.10 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.600
74
0
2
4
6
8
10
12
0,1 1 10 100
Tempo (min)
ε (%
)Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura IV.11 – Gráfico ε x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.586
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+00 1,E+01 1,E+02
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura IV.12 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.586
75
0
2
4
6
8
10
12
0,1 1 10 100 1000
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura IV.13 – Gráfico ε x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.572
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura IV.14 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.572
76
0
2
4
6
8
10
12
0,1 1 10 100 1000
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura IV.15 – Gráfico ε x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.552
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura IV.16 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.552
77
0
2
4
6
8
10
12
0.1 1 10 100 1000 10000
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura IV.17 – Gráfico ε x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.530
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura IV.18 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.530
78
0
2
4
6
8
10
12
0,1 1 10 100 1000 10000 100000
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura IV.19 – Gráfico ε x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.518
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura IV.20 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.518
79
0
2
4
6
8
10
12
0,1 1 10 100 1000 10000 100000
Tempo (min)
ε (%
)Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura IV.21 – Gráfico ε x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.500
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura IV.22 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.500
80
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
0,1 1 10 100 1000 10000 100000
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura IV.23 – Gráfico ε x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.446
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura IV.24 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.446
81
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
0.1 1 10 100 1000 10000 100000
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura IV.25 – Gráfico ε x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.374
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura IV.26 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.374
82
Para esses dois últimos ensaios fez-se outras previsões utilizando para tal as
expressões analíticas da deformação e da velocidade de deformação com o tempo
obtidas com a solução da equação diferencial simplificada da fluência. O procedimento
numérico utilizado foi o apresentado no capítulo 3 para o caso do módulo de
deformação constante por partes.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
0,1 1 10 100 1000 10000 100000
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Barra de erro inferior
Previsão
Barra de erro superior
Figura IV.27 – Gráfico ε x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.446
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Barra de erro inferior
Previsão
Barra de erro superior
Figura IV.28 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.446
83
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
0,1 1 10 100 1000 10000 100000
Tempo (min)
ε (%
)Dados Experimentais
Barra de erro inferior
Previsão
Barra de erro superior
Figura IV.29 – Gráfico ε x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.374
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Barra de erro inferior
Previsão
Barra de erro superior
Figura IV.30 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio cd σ′σ = 0.374
84
4.1.3 – Ensaios de carga constante.
Nesta seção apresentam-se as previsões feitas para os ensaios de carga constante
a partir dos parâmetros estimados e com o procedimento numérico apresentado no
capítulo 3.
Ressalta-se que não foi feita previsão do comportamento velocidade de
deformação x tempo do ensaio c0d σ′σ = 0.540 pois o mesmo não foi apresentado no
artigo.
0
2
4
6
8
10
12
1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura IV.27 – Gráfico ε x tempo – Ensaio c0d σ′σ = 0.630
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura IV.28 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio c0d σ′σ = 0.630
85
0
2
4
6
8
10
12
1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
Tempo (min)
ε (%
)
Dados ExperimentaisBarra de Erro InferiorPrevisãoBarra de Erro Superior
Figura IV.29 – Gráfico ε x tempo – Ensaio c0d σ′σ = 0.606
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados ExperimentaisBarra de Erro InferiorPrevisãoBarra de Erro Superior
Figura IV.30 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio c0d σ′σ = 0.606
86
0
2
4
6
8
10
12
1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura IV.31 – Gráfico ε x tempo – Ensaio c0d σ′σ = 0.592
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados ExperimentaisBarra de Erro InferiorPrevisãoBarra de Erro Superior
Figura IV.32 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio c0d σ′σ = 0.592
87
0
2
4
6
8
10
12
1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura IV.33 – Gráfico ε x tempo – Ensaio c0d σ′σ = 0.578
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados ExperimentaisBarra de Erro InferiorPrevisãoBarra de Erro Superior
Figura IV.34 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio c0d σ′σ = 0.578
88
0
2
4
6
8
10
12
1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura IV.35 – Gráfico ε x tempo – Ensaio c0d σ′σ = 0.558
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura IV.36 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio c0d σ′σ = 0.558
89
0
2
4
6
8
10
12
1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura IV.37 – Gráfico ε x tempo – Ensaio c0d σ′σ = 0.542
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura IV.38 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio c0d σ′σ = 0.542
90
0
2
4
6
8
10
12
1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05
Tempo (min)
ε (%
)
Dados ExperimentaisBarra de Erro InferiorPrevisãoBarra de Erro Superior
Figura IV.39 – Gráfico ε x tempo – Ensaio c0d σ′σ = 0.532
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados ExperimentaisBarra de Erro InferiorPrevisãoBarra de Erro Superior
Figura IV.40 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio c0d σ′σ = 0.532
91
0
2
4
6
8
10
12
1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura IV.41 – Gráfico ε x tempo – Ensaio c0d σ′σ = 0.528
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura IV.42 – Gráfico dε/dt x tempo – Ensaio c0d σ′σ = 0.528
92
0
2
4
6
8
10
12
1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura IV.43 – Gráfico ε x tempo – Ensaio c0d σ′σ = 0.540
93
CAPÍTULO 5 – ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
5.1 – Resistências Friccionais
Como estabelece o modelo de Martins (1992) através de uma de suas hipóteses
mais importantes, o atrito é função exclusiva da deformação cisalhante. Esta hipótese é
equivalente à de que a parcela friccional da tensão desviadora normalizada em relação a
tensão cσ′ é função exclusiva da deformação específica axial ε , ou seja, que a curva
c
df
σ′σ
x ε é única.
Com os resultados da Figura IV.3 pode-se concluir que esta hipótese se
aproxima bastante da realidade com um desvio de ± 6% em torno da curva friccional
média para a faixa de deformações de %12%3.0 ≤ε≤ . Para valores de %3.0<ε há
erros relativos maiores (de até 40% associados a um erro absoluto na medida de
%1.0≅ε ). Entretanto, é nesta faixa que estão embutidas as deformações do sistema
(pedra-porosas, papel filtro, top-cap). Da Figura IV.3 fica também evidente que após o
pico as curvas c
df
σ′σ
x ε apresentam maior afastamento. Como os ensaios não foram
realizados empregando-se a técnica de “free-ends”, os valores de ε plotados
correspondem a um valor médio ao longo da altura do corpo de prova. Sabe-se, pelo
menos, que não houve até 12% a formação de planos de concentração de deformação
cisalhantes (Vaid, 2004). Isto permite dizer que, caso todos os ensaios tenham
apresentado a mesma distribuição de deformação ao longo da altura do corpo de prova,
que a deformação média guarda uma relação direta com o valor de ε verdadeiro. A
hipótese da existência de uma curva
c
df
σ′σ
x verdadeiroε se manifestaria também na curva c
df
σ′σ
x médioε apresentada na Figura
IV.3.
5.2 – Resistências Viscosas
Quanto à resistência viscosa, observa-se que a função de potência se ajusta bem
aos dados experimentais como mostrado na Figura IV.2. Para valores da velocidade de
94
deformação de 9.4x10-4 %/min a 1.1 %/min obteve-se, usando a função de potência, um
coeficiente de correlação R2 = 0.9988. Santa Maria (2002), trabalhando com ensaios
edométricos, apresentou valores da resistência viscosa que parecem indicar um limite
superior para tal grandeza, que, assim, não poderia ser representada por uma função de
potência. Entretanto, há três aspectos importantes que justificam o uso da função de
potência para quantificar a resistência viscosa:
1. Os dados experimentais são muito bem representados no domínio das
velocidades encontradas neste trabalho.
2. A função é simples permitindo um tratamento matemático igualmente simples.
3. A função em questão traduz duas características físicas fundamentais do
fenômeno, quais sejam, para a velocidade de deformação zero a resistência
viscosa é nula e a resistência viscosa é crescente com a velocidade de
deformação.
Outro fato importante é que se constata experimentalmente que a resistência
viscosa, como admitido nas deduções teóricas do modelo (Martins, 1992), é função do
índice de vazios e da velocidade de deformação ε& .
No que concerne à determinação do “salto de viscosidade”, sua determinação
pode ser feita com maior clareza a partir do caminho de tensões efetivas como relatado
em Martins et al. (2001). Neste trabalho, isto não foi possível por não estarem
disponíveis os valores das poropressões.
A adequação de se tratar o problema da resistência ao cisalhamento como a
soma de resistências por atrito e viscosidade está respaldada pela análise dimensional. A
Figura IV.4 mostra que as grandezas físicas escolhidas para representar o fenômeno são
adequadas à sua descrição.
5.3 – Ensaios de Fluência Não-Drenada
Quanto às previsões dos ensaios de fluência também se verificou uma boa
concordância entre as previsões e os dados experimentais para a maioria dos ensaios.
Porém, sendo este o tema central desta tese será feita a seguir uma análise mais apurada
dessas previsões.
95
Como mostrado no Capítulo 2, o modelo de Martins (1992) permite responder às
principais questões relativas ao comportamento do solo ao longo do tempo, abaixo
sintetizadas.
1) Dado um elemento de solo saturado sob um determinado estado de tensões
(no caso sob condições não drenadas), haverá ou não a ruptura deste
elemento?
2) Caso haja a ruptura em quanto tempo esta se dará?
3) E caso não haja ruptura sob que estado de deformações haverá a
estabilização do processo e em quanto tempo esta se dará?
Em primeiro lugar não é do conhecimento do autor desta tese a existência de
nenhum modelo que conjugando conceitos físicos a equações matemáticas possa
responder às questões acima de forma simples. Por outro lado, deve-se ressaltar que as
previsões feitas neste trabalho são previsões na acepção do termo, já que nenhuma das
previsões usou dados obtidos nos ensaios de fluência para “prevê-los”. Para as previsões
dos resultados dos ensaios de fluência (assim como os de carga constante) foram
utilizados apenas e exclusivamente os conceitos e equações do modelo e os resultados
de ensaios CIU convencionais.
Respondendo à primeira questão pode-se dizer que todos os ensaios de fluência
submetidos a uma tensão desviadora cd σ′σ acima de 0.46 romperão e que todos os
demais não deverão romper, uma vez que é esse o valor máximo da resistência
friccional (ver figura IV.3). Pelos resultados dos ensaios essas previsões se confirmam
em todos os casos a menos de um. Os ensaios cujas tensões desviadoras, cd σ′σ , foram
de 0.638, 0.616, 0.600, 0.586, 0.572, 0.552, 0.530, e 0.518 romperam e os demais, com
cd σ′σ iguais a 0.446 e 0.374 estabilizaram. O ensaio com cd σ′σ = 0.500 será
analisado ao final desta seção.
Quanto a segunda pergunta, esta será respondida no contexto da definição de
ruptura estabelecido por Martins (1992), definição esta re-apresentada abaixo:
Num ensaio com tensão controlada ( cted =σ ) a ruptura se dá quando
0dtd
2
2
≥ε e .0>ε& ”.
96
Ou seja, haverá ruptura caso o elemento de solo venha a se deformar sob
velocidade constante ou que venha a apresentar aumento de velocidade com o tempo.
No caso do solo em questão, como há um pico de resistência na curva dσ x ε dos
ensaios CIU e a resistência viscosa é admitida ser constante neste tipo de ensaio,
conclui-se que a curva friccional dfσ x ε apresente também um pico (ver Figura IV.3).
Assim como no ensaio de fluência cted =σ , é de se esperar que, atingida a deformação
correspondente à mobilização máxima da parcela friccional da tensão desviadora, o
ensaio apresente, para esta deformação, uma velocidade de deformação mínima
(associada a uma mobilização mínima da parcela viscosa de dσ ). Daí em diante, como a
resistência friccional ( dfσ ) diminui dvσ tem que aumentar para manter dσ constante.
Com isso a velocidade de deformação também aumenta.
Observando o gráfico de resistência friccional, pode-se dizer que o pico de
resistência ocorre para deformações específicas compreendidas entre 2.5 e 3 %. Assim
sendo, a velocidade mínima deverá se verificar para deformações compreendidas entre
esses limites, o que pode ser verificado na tabela IV.1 a seguir:
Dados Experimentais Previsões
cd σ′σ
dε/dt mínima
(%/min)
Tempo
(min)
ε (%) dε/dt mínima
(%/min)
Tempo
(min)
ε (%)
0.638 0.24 4 2.45 0.483 – 0.481 2.9 – 3.6 2.5 – 3.0
0.616 0.12 9 2.38 0.224 – 0.227 5.9 – 7.4 2.5 – 3.0
0.600 0.054 20 2.57 0.119 – 0.121 10.6 – 13.5 2.5 – 3.0
0.586 0.04 23 2.25 0.065 – 0.066 18.9 – 24.2 2.5 – 3.0
0.572 2.7x10-2 40 2.49 3.25 a 3.3 x
10-2
35.9 – 46.5 2.5 – 3.0
0.552 6.9x10-3 200 2.84 1.0 a 1.1 x 10-2 105 – 133.7 2.5 – 3.0
0.530 2.0x10-3 700 2.89 2.0 a 2.2 x 10-3 467 - 610 2.5 – 3.0
0.518 3.3x10-4 6000 4.92 6.9 a 7.1 x 10-4 1307 - 1744 2.5 – 3.0
Tabela IV.1 – Comparação entre o previsto e os dados experimentais para os
pontos de velocidade mínima dos ensaios de fluência.
97
Quanto aos ensaios cd σ′σ = 0.446 e 0.374, é de se esperar que nunca venham a
romper, apresentando velocidades sempre decrescentes e tendendo a estabilizar segundo
a deformação correspondente às tensões, cd σ′σ = 0.446 e 0.374 da curva de atrito.
Entrando com esses valores na figura IV.3 e considerando as barras de erro para
( )εσ′σ
c
df , obtém-se respectivamente ε = 1.4 a 1.6 % e ε = 0.5 a 0.7 %. Já os valores
experimentais são respectivamente ε = 1.5 % e ε = 1 %. Seria de se esperar
intuitivamente que para essas deformações os corpos de prova apresentassem
velocidade de deformação zero, porém como mostra a solução da equação diferencial o
comportamento é assintótico com o tempo (a estabilização só se dá a tempo infinito),
não sendo assim possível esta comparação. Porém, podem-se comparar as velocidades
para os últimos pontos dessas curvas, respectivamente nos tempos t = 10000 minutos e t
= 7000 minutos. Fazendo isso, se obtém as velocidades de 1.55 x 10-5 %/min e 1 x 10-5
%/min, sendo as velocidades previstas para tais tempos de 1.14 a 1.55 x 10-5 %/min e
1.3 a 1.6 x 10-5 %/min respectivamente.
Tendo em mente a solução analítica obtida e, que o gráfico dtdε x ε (escala bi-
log) é aproximadamente uma reta, pode-se entender qualitativamente a forma das curvas
referentes a cd σ′σ = 0.446 e cd σ′σ = 0.374. Reapresentando a expressão da velocidade
de deformação como função do tempo, tem-se o seguinte:
⋅
⋅
−
−
σ
−=
ε
−
KtE
n1n
Klog
1n1
dtdlog
n1n
d V.1
Como na verdade a curva de atrito não é linear, o módulo de deformação E varia
conforme a deformação, como pode ser visto esquematicamente na figura V.1
representada a seguir.
98
Figura V.1 – Não-linearidade da curva de atrito.
Para cada intervalo de deformação, em um ensaio real, há um módulo de
deformação E, de sorte que existe uma curva expressa pela equação V.1 (igual a eq.
III.24) para cada módulo de deformação. Como representado na figura V.2 a seguir, a
curva correspondente a E2 fica à direita da curva cujo módulo é E1 e mais à direita fica
a curva correspondente a E3.
Figura V.2 – Curvas de igual módulo E.
σd
ε
1E
2E
3E 6E5E4E
ε2 ε3 ε6 ε5 ε4 ε1
( )ensaiodσ
2E1E 3Edt
d ε
Tempo (log)
(log) 321 EEE >>
99
Assim, para um corpo de prova submetido a uma tensão desviadora de fluência
( )ensaiodσ , a deformação de estabilização deverá ser ε3, e, desta forma, a curva de
velocidade de deformação x tempo deste ensaio deverá ser assintótica a curva cujo
módulo é E3. Mas, antes desta deformação ser alcançada, o corpo de prova deverá
cruzar as demais curvas de igual módulo, apresentando assim uma leve concavidade
para baixo, como representado na Figura V.3.
Outro ponto importante a ser mencionado é que as curvas de módulo constante
correspondentes às deformações específicas = 0 e ε3 da curva de atrito deverão “conter”
ou limitar a curva do ensaio cuja tensão desviadora é ( )ensaiodσ como mostrado na
Figura V.3.
Figura V.3 – Curva de velocidade de deformação x tempo para o ensaios de
tensão desviadora ( )ensaiodσ .
O raciocínio aqui exposto foi aplicado às curvas cd σ′σ = 0.446 e 0.374,
resultando nos gráficos V.4 e V.5.
2E 1E 3Edtdε
Tempo (log)
(log)
100
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)Dados ExperimentaisBarra de erro inferiorPrevisãoBarra de erro superiorLimite SuperiorLimite Inferior
Figura V.4 – Ensaio cd σ′σ = 0.446.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Barra de erro inferior
Previsão
Barra de erro
Figura V.5 – Ensaio cd σ′σ = 0.374.
Pode se ver pelos dados experimentais que as curvas de velocidade de
deformação x tempo destes ensaios realmente apresentam uma concavidade para baixo,
101
tendo como limites as curvas correspondentes aos módulos inicial e final. (Ver também
as 3 curvas inferiores da figura III.3).
O caso do ensaio com cd σ′σ = 0.500 é peculiar pois apresenta ao mesmo tempo
características de ensaios que rompem e que não rompem. A primeira dessas
características é ter ultrapassado a deformação correspondente à mobilização máxima da
resistência friccional, que varia de 2.5 a 3%, No caso, a deformação aos 32000 minutos
era de 4.6% e, curiosamente, a velocidade de deformação diminui continuamente. O
tempo de 32000 minutos remete ao efeito da tixotropia que segundo Vaid e Campanella
(1977) se manifesta de forma notável após os 20000 minutos. Este resultado anômalo
obriga que se volte o olhar para os efeitos da tixotropia.
Em primeiro lugar observa-se que quanto maior a tensão desviadora melhores
são as previsões feitas. Os resultados começam a se afastar das previsões de forma
notável para cd σ′σ =0.518, cerca de 12% acima do valor de 0.46, abaixo do qual não se
espera ruptura. Nestes casos, as curvas ε x t experimentais cortam as curvas de previsão
fugindo do padrão de comportamento esperado. É digno de nota o fato de que as
melhores previsões são aquelas para os ensaios em que as velocidades estão acima de
10-3 %/min.
Isto posto, pode-se voltar às curvas da Figura IV.3 onde se nota claramente nos
resultados dos ensaios CIU uma tendência de, passado o pico, ganho de resistência com
a diminuição de velocidade de ensaio. Se se admitir que diminuindo a velocidade de
ensaio as resistências pós-pico (curvas da Figura IV.3) continuem a crescer (o que seria
uma manifestação da tixotropia) conclui-se que a curva média c
df
σ′σ
x ε (incluindo-se o
intervalo de erros) admitida só é válida para o domínio de velocidade de 1 %/min a 10-3
%/min.
Este efeito aparece também no gráfico da Figura IV.4 onde se nota, para valores
de Π2 maiores que 100000, um maior desvio em relação ao que seria uma curva média.
A comparação entre previsões e resultados experimentais sugere que os desvios
entre umas e outras podem ser creditados à tixotropia. Assim, para melhores previsões
levando-se em conta uma faixa maior de velocidades, seria necessário considerar o
efeito da tixotropia. Tal tarefa foge ao escopo desta tese.
102
No que tange às previsões dos ensaios de fluência não-drenada, pode-se concluir
que, nos ensaios não afetados pela tixotropia, o modelo foi capaz de prever qualitativa e
quantitativamente os resultados.
5.4 – Ensaios de Carga Constante
A exemplo do que foi feito para os ensaios de fluência, pode-se dizer a priori
que ensaios iriam romper e quais iriam estabilizar. Para isso deve-se comparar a tensão
desviadora corrente ( )ε−⋅σ 10d com a resistência friccional ( )εσdf . Se para o intervalo
de ε considerado ( )ε−⋅σ 10d for sempre maior que ( )εσdf então não haverá
estabilização. Entretanto se no intervalo dado de ε , ( )ε−⋅σ 10d for igual a ( )εσdf então
haverá estabilização das deformações para o ε onde esta condição for satisfeita.
Fato que deve ser realçado é o da deformação específica correspondente a
velocidade mínima de cada ensaio, que para o caso dos ensaios de carga constante não é
mais obrigatoriamente na faixa de 2.5 a 3.0 %, e sim na faixa de 2.7 a 4.0 %. Tal se
deve à queda da tensão desviadora do ensaio por aumento da área da seção transversal
do corpo de prova. Acontecendo tal queda, a resistência viscosa mínima não mais se
dará obrigatoriamente no ponto de resistência friccional máxima (como acontecia nos
ensaios de fluência), mas em um ponto onde a diferença entre as curvas da tensão
desviadora do ensaio e da resistência friccional é a mínima. A Figura V.6 a seguir
ilustra este ponto.
σd
ε ε para dε/dt mínimo
Ensaio de carga cte. 0dd d <εσ
Ensaio de fluência. cted =σ
Resistência viscosa
103
Figura V.6 – Pontos de dtdε mínimo e ε correspondentes.
Essa peculiaridade pode fazer com que um corpo de prova submetido a uma
determinada tensão desviadora possa apresentar estabilização da deformação mesmo
após o pico de resistência, bastando para tal que a curva da tensão desviadora do ensaio
intercepte a curva de resistência friccional do solo como explicado anteriormente.
Aplicando-se aos ensaios de carga constante o raciocínio exposto acima, pode-se
concluir que todos os ensaios de carga constante aqui mostrados não devem apresentar
estabilização para a faixa de deformações de %120 ≤ε≤ .
Isso efetivamente ocorre para 7 dos 9 ensaios realizados, sendo que, apesar de
não ter sido apresentado no artigo a curva de velocidade de deformação x tempo do
ensaio com c0d σ′σ = 0.540, Vaid e Campanela (1977) atestam que para ensaios cuja
tensão foi igual ou maior que 0.540 houve aumento da velocidade de deformação com o
tempo. Nas próprias palavras dos autores, “For initial stress levels c0d σ′σ = 0.540 and
larger, the samples progressively strained with time until rupture …. Under initial stress
levels c0d σ′σ = 0.532 and lower, a continuously decreasing deformation rate was
observed until elapsed time up to 2 weeks when the test were terminated.”
Mais uma vez pode-se observar que há concordância de valores entre os dados
experimentais e as previsões (ver tabela V.2) com exceção dos ensaios para os quais
c0d σ′σ = 0.532 e c0d σ′σ 0.528.
Dados Experimentais Previsões
σd0/σ’c dε/dt mínima
(%/min)
Tempo
(min)
ε
(%)
dε/dt mínima
(%/min)
Tempo (min) ε (%)
0.630 0.243 6 3.17 0.161 a 0.2 6.4 a 13.8 2.7 – 4.0
0.606 7.7 x 10-2 17.2 2.80 6.0 a 7.6 x 10-2 15.8 a 34.6 2.9 a 4.0
0.592 5.1 x 10-2 30 3.23 3.1 a 4.0 x 10-2 28.9 a 65.2 2.9 a 4.0
0.578 1.4 x 10-2 100 3.05 1.4 a 1.9 x 10-2 57 a 133.2 2.9 a 4.0
0.558 6.7 x 10-3 300 3.91 3.8 a 5.5 x 10-3 179.2 a 449.5 2.9 a 4.0
0.542 3.6 x 10-3 700 4.77 1.1 a 1.7 x 10-3 556 a 1510 2.9 a 4.0
Tabela V.2 – Comparação entre o previsto e os dados experimentais para os
pontos de velocidade mínima dos ensaios de carga constante.
104
É fácil entender o comportamento dos ensaios com c0d σ′σ = 0.532 e
c0d σ′σ 0.528 a luz da discussão suscitada pelas evidências do surgimento dos efeitos
da tixotropia. A título de ilustração pode-se calcular para os pontos onde é mínimo o
valor previsto de ε& o valor de ( )ε−⋅σ′σ
=σ′σ
1c
0d
c
d .
Para os ensaios com c0d σ′σ = 0.528, a velocidade mínima prevista (extremo do
intervalo de erro) é cerca de 3x10-4 %/min correspondente a um tempo de 6000 minutos
e um ε = 4%. Por esta previsão os dados experimentais deveriam apresentar a partir de
então um aumento de ε& , o que não acontece. Isto pode ser explicado pelos valores
correntes de ( ) 508.0%4c
d ==εσ′σ
e ε& ≅ 10-3 %/min que caem na faixa de c
d
σ′σ
e ε& dos
ensaios de fluência que supostamente estariam afetados pela tixotropia.
Raciocínio análogo pode ser estendido ao ensaio com c0d σ′σ = 0.532. Para este
ensaio a velocidade mínima prevista (extremo do intervalo de erro) é de 4x10-4 %/min
correspondente a um tempo de 4000 minutos e a um ε = 4%. Neste caso
( ) 512.0%4c
d ==εσ′σ
e ε& ≅ 8x10-4 %/min, valores que também caem na faixa de c
d
σ′σ
e
ε& dos ensaios de fluência afetados pela tixotropia.
Quanto aos ensaios de carga constante é importante ressaltar que num caso de
corpo de prova ideal com “free-ends”perfeitos o campo de deformações seria uniforme
ao longo de todo o corpo de prova. Assim sendo, em se admitindo uma resistência
friccional residual dfresσ = cte, ao se realizar um ensaio com carga cte, esse ensaio iria
certamente estabilizar. Isto porque a tensão desviadora corrente, que diminui
continuamente com o tempo e com a deformação iria assumir em seu caminho um valor
para um dado ε igual a dfresσ .
5.5 – Discussões Adicionais
Outro aspecto a ser discutido diz respeito à alta sensibilidade dos resultados
(tanto dos previstos quanto dos experimentais) se comparados às pequenas variações da
tensão desviadora.
105
O ponto central nesta discussão, na opinião do autor deste trabalho, vem a ser a
não-linearidade das resistências friccional e viscosa, ambas bastante acentuadas, que
combinadas podem ao longo do tempo levar a diferenças bastante significativas nos
resultados, partindo-se de valores muito próximos de tensões desviadoras.
Tome-se como exemplo os ensaios de carga constante com c0d σ′σ = 0.542 e
0.540, cuja diferença de tensão desviadora é de apenas 0.37 %. Os valores de tempo
para 12 % de deformação são respectivamente de 2150 minutos e 3200 minutos, ou seja,
uma variação de 49 %. Fazendo a mesma comparação para o tempo de 2100 minutos
nos dois ensaios chega-se a valores de deformação específica de 8.71 % para c0d σ′σ =
0.540 e 12 % para c0d σ′σ = 0.542, resultando em uma variação de 38 %.
Levanta-se então a questão se as diferenças encontradas entre previsão e ensaios
não seriam resultantes destas pequenas diferenças na tensão desviadora. Diferenças
essas que poderiam ser devidas à incerteza natural associada à inferência da área da
seção transversal dos corpos de prova tanto no fim do adensamento quanto durante a
fase de cisalhamento. Esses erros podem variar entre 2.7 % a 8.4 % para diâmetros de
corpos de prova de 3”(7.62 cm) a 1” (2.54 cm) considerando um erro de 1 mm no
diâmetro.
Com isso em mente, fez-se um exercício de ajuste entre as previsões e os dados
experimentais ao procurar as tensões desviadoras de fluência e de carga constante que
fariam com que as curvas experimentais ficassem dentro dos limites de erro associados
à curva de atrito. Feito isso, calculou-se a diferença de tensão desviadora do ajuste e do
ensaio para se saber se esse erro era da ordem de grandeza dos erros acima
mencionados.
A seguir são apresentadas essas curvas nas Figuras V.7 a V.45.
106
0
2
4
6
8
10
12
0,1 1 10 100
Tempo (min)
ε (%
)
Dados ExperimentaisPrevisãoBarra de Erro InferiorBarra de Erro Superior
Figura V.7 – Curva ε x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.638. cd σ′σ (ajuste) = 0.630.
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados ExperimentaisPrevisãoBarra de Erro InferiorBarra de Erro Superior
Figura V.8 –Curva dε/dt x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.638. cd σ′σ (ajuste) = 0.630.
107
0
2
4
6
8
10
12
0,1 1 10 100
Tempo (min)
ε (%
)Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura V.9 –Curva ε x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.616. cd σ′σ (ajuste) = 0.602.
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura V.10 –Curva dε/dt x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.616. cd σ′σ (ajuste) =
0.602.
108
0
2
4
6
8
10
12
0,1 1 10 100
Tempo (min)
ε (%
)Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura V.11 –Curva ε x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.600.
cd σ′σ (ajuste) = 0.585.
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura V.12 –Curva dε/dt x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.600.
cd σ′σ (ajuste) = 0.585.
109
0
2
4
6
8
10
12
0,1 1 10 100 1000
Tempo (min)
ε (%
)Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Seqüência1
Figura V.13 –Curva ε x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.586.
cd σ′σ (ajuste) = 0.576.
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+00 1,E+01 1,E+02
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura V.14 –Curva dε/dt x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.586.
cd σ′σ (ajuste) = 0.576.
110
0
2
4
6
8
10
12
0,1 1 10 100 1000
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura V.15 –Curva ε x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.572.
cd σ′σ (ajuste) = 0.568.
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura V.16 –Curva dε/dt x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.572.
cd σ′σ (ajuste) = 0.568.
111
0
2
4
6
8
10
12
0,1 1 10 100 1000
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura V.17 –Curva ε x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.552.
cd σ′σ (ajuste) = 0.545.
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura V.18 –Curva dε/dt x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.552. cd σ′σ (ajuste) =
0.545.
112
0
2
4
6
8
10
12
0,1 1 10 100 1000 10000
Tempo (min)
ε (%
)Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura V.19 –Curva ε x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.530.
cd σ′σ (ajuste) = 0.528.
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura V.20 –Curva dε/dt x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.530.
cd σ′σ (ajuste) = 0.528.
113
0
2
4
6
8
10
12
0,1 1 10 100 1000 10000 100000
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura V.21 –Curva ε x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.518.
cd σ′σ (ajuste) = 0.520.
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura V.22 –Curva dε/dt x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.518. cd σ′σ (ajuste) =
0.520.
114
0
2
4
6
8
10
12
0,1 1 10 100 1000 10000 100000
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura V.23 –Curva ε x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.500.
cd σ′σ (ajuste) = 0.512.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura V.24 –Curva dε/dt x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.500.
cd σ′σ (ajuste) = 0.512.
115
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
0,1 1 10 100 1000 10000 100000
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura V.25 –Curva ε x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.446.
cd σ′σ (ajuste) = 0.470.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura V.26 –Curva dε/dt x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.446. cd σ′σ (ajuste) =
0.470.
116
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
0,1 1 10 100 1000 10000 100000
Tempo (min)
ε (%
)Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura V.27 –Curva ε x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.374.
cd σ′σ (ajuste) = 0.440.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Previsão
Barra de Erro Inferior
Barra de Erro Superior
Figura V.28 –Curva dε/dt x tempo para o ensaio cd σ′σ = 0.374.
cd σ′σ (ajuste) = 0.440.
117
0
2
4
6
8
10
12
1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura V.29 – Curva ε x tempo para o ensaio c0d σ′σ = 0.630. c0d σ′σ (ajuste) = 0.642.
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura V.30 – Curva dε/dt x tempo para o ensaio c0d σ′σ = 0.630. c0d σ′σ (ajuste) =
0.642.
118
0
2
4
6
8
10
12
1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
Tempo (min)
ε (%
)Dados ExperimentaisBarra de Erro InferiorPrevisãoBarra de Erro Superior
Figura V.31 – Curva ε x tempo para o ensaio c0d σ′σ = 0.606. c0d σ′σ (ajuste) = 0.609.
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados ExperimentaisBarra de Erro InferiorPrevisãoBarra de Erro Superior
Figura V.32 – Curva dε/dt x tempo para o ensaio c0d σ′σ = 0.606. c0d σ′σ (ajuste) =
0.609.
119
0
2
4
6
8
10
12
1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura V.33 – Curva ε x tempo para o ensaio c0d σ′σ = 0.592. c0d σ′σ (ajuste) = 0.598.
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura V.34– Curva dε/dt x tempo para o ensaio c0d σ′σ = 0.592. c0d σ′σ (ajuste) =
0.598.
120
0
2
4
6
8
10
12
1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura V.35 – Curva ε x tempo para o ensaio c0d σ′σ = 0.578. c0d σ′σ (ajuste) = 0.572.
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados ExperimentaisBarra de Erro InferiorPrevisãoBarra de Erro Superior
Figura V.36– Curva dε/dt x tempo para o ensaio c0d σ′σ = 0.578. c0d σ′σ (ajuste) =
0.572.
121
0
2
4
6
8
10
12
1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura V.36 – Curva ε x tempo para o ensaio c0d σ′σ = 0.558. c0d σ′σ (ajuste) = 0.560.
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura V.37– Curva dε/dt x tempo para o ensaio c0d σ′σ = 0.558. c0d σ′σ (ajuste) =
0.560.
122
0
2
4
6
8
10
12
1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura V.38 – Curva ε x tempo para o ensaio c0d σ′σ = 0.542. c0d σ′σ (ajuste) = 0.554.
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura V.39– Curva dε/dt x tempo para o ensaio c0d σ′σ = 0.542. c0d σ′σ (ajuste) =
0.554.
123
0
2
4
6
8
10
12
1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05
Tempo (min)
ε (%
)
Dados ExperimentaisBarra de Erro InferiorPrevisãoBarra de Erro Superior
Figura V.40 – Curva ε x tempo para o ensaio c0d σ′σ = 0.532. c0d σ′σ (ajuste) = 0.532.
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura V.41– Curva dε/dt x tempo para o ensaio c0d σ′σ = 0.532. c0d σ′σ (ajuste) =
0.532.
124
0
2
4
6
8
10
12
1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura V.42 – Curva ε x tempo para o ensaio c0d σ′σ = 0.528. c0d σ′σ (ajuste) = 0.528.
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05Tempo (min)
d ε/d
t (%
/min
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura V.43– Curva dε/dt x tempo para o ensaio c0d σ′σ = 0.528. c0d σ′σ (ajuste) =
0.528.
125
0
2
4
6
8
10
12
1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Tempo (min)
ε (%
)
Dados Experimentais
Barra de Erro Inferior
Previsão
Barra de Erro Superior
Figura V.44 – Curva ε x tempo para o ensaio c0d σ′σ = 0.540. c0d σ′σ (ajuste) = 0.551.
Como pode ser visto nas tabelas a seguir, os ajustes feitos foram bastante bons
sendo os erros associados tanto para os ensaios de fluência como os de carga constante
os apresentados nas tabelas V.3 a V.6.
Ensaio (σd/σ’c) Ajuste (σd/σ’c) Erro (%) 0.638 0.630 1.25 0.616 0.602 2.27 0.600 0.585 2.50 0.586 0.576 1.71 0.572 0.568 0.70 0.552 0.545 1.27 0.530 0.528 0.38 0.518 0.520 -0.39 0.500 0.512 -2.4 0.446 0.470 -5.38 0.374 0.440 -17.7
Tabela V.3– Erros dos Ajustes para os ensaios de fluência.
126
Dados Experimentais Previsões σd/σ’c dε/dt mínima
(%/min)
Tempo
(min)
ε (%) dε/dt mínima
(%/min)
Tempo (min) ε (%)
0.638 0.24 4 2.45 0.368 a 0.372 3.7 a 4.6 2.5 – 3.00.616 0.12 9 2.38 0.130 a 0.131 9.8 a 10.5 2.5 – 3.00.600 0.054 20 2.57 6.2 a 6.3 x 10-2 19.7 a 25.3 2.5 – 3.00.586 0.04 23 2.25 4.0 a 4.1 x 10-2 29.7 a 38.3 2.5 – 3.00.572 2.7x10-2 40 2.49 2.6 a 2.7 x 10-2 43.8 a 56.9 2.5 – 3.00.552 6.9x10-3 200 2.84 6.5 a 6.6 x 10-3 162 a 215 2.5 – 3.00.530 2.0x10-3 700 2.89 1.7 a 1.8 x 10-3 547 a 745 2.5 – 3.00.518 3.3x10-4 6000 4.92 8.4 a 8.7 x 10-4 1086 a 1502 2.5 – 3.0
Tabela IV.4 – Pontos de mínimo dos ajustes dos ensaios de fluência.
Ensaio (σd0/σ’c) Ajuste (σd0/σ’c) Erro (%) 0.630 0.642 -1.91 0.606 0.609 -0.50 0.592 0.598 -1.01 0.578 0.572 1.04 0.558 0.560 -0.36 0.542 0.554 -2.21 0.540 0.551 -2.04 0.532 0.542 -1.88 0.528 0.536 -1.52
Tabela V.5 – Erros dos Ajustes para os ensaios de carga constante.
Dados Experimentais Previsões
σd0/σ’c dε/dt mínima
(%/min)
Tempo
(min)
ε
(%)
dε/dt mínima
(%/min)
Tempo (min) ε (%)
0.630 0.243 6 3.17 0.25 a 0.31 4.3 a 12.7 2.7 – 5.0
0.606 7.7 x 10-2 17.2 2.80 6.8 a 8.7 x 10-2 14 a 30.5 2.9 – 4.0
0.592 5.1 x 10-2 30 3.23 4.1 a 5.3 x 10-2 22.1 a 49.2 2.9 – 4.0
0.578 1.4 x 10-2 100 3.05 1.0 a 1.4 x 10-2 78 a 187 2.9 – 4.0
0.558 6.7 x 10-3 300 3.91 4.6 a 6.5 x 10-3 158 a 393 2.9 – 4.0
0.542 3.6 x 10-3 700 4.77 2.3 a 4.2 x 10-3 233 a 594 2.9 – 4.0
Tabela V.6 – Pontos de mínimo dos ajustes dos ensaios de carga constante.
127
Analisando os gráficos ajustados das Figuras V.7 a V.45 e as tabelas V.3 a V.6,
como era de se esperar, houve um melhor ajuste das previsões aos dados experimentais
fazendo com que houvesse uma maior proximidade numérica entre previsão e
resultados.
Entretanto, esses ajustes não foram capazes de modificar os padrões de
comportamento das previsões feitas para todos os ensaios. Assim é praticamente forçoso
concluir que os resultados experimentais que fugiram ao padrão de comportamento
ditado pelo modelo foram àqueles supostamente afetados pela tixotropia.
Por fim há um outro aspecto importante a ser comentado envolvendo uma
pequena diferença entre a abordagem aqui apresentada e a de Martins (1992). Esta
diferença pode ser esclarecida com o auxílio da figura V.27 a seguir. (ver também
Martins (1992), página 131, figura V.19).
Considerando a fig. V.27, no que concerne a este trabalho, a resistência
friccional foi sempre tomada admitindo-se MA=PB, o que, de acordo com o
desenvolvido por Martins (1992) seria uma aproximação. Entretanto, Martins (1992)
não levou em conta a possibilidade de uma parcela viscosa na tensão normal efetiva,
possibilidade esta confirmada por Thomasi (2000). Dentro do panorama descortinado
por Thomasi (2000) a resistência friccional não pode ser oriunda de σ’ mas de σ’
descontada a parcela normal viscosa. Ao se considerar este fenômeno, invertem-se os
papéis e a abordagem aqui apresentada passa a ser exata ao contrário da abordagem de
Martins (1992) que teria caráter aproximado. Uma discussão mais detalhada deste
aspecto está apresentada no Apêndice I e é tão promissora que também deve ser listada
como sugestão para futuras pesquisas.
128
M
A
P
B σ'
q' φb
Figura V.27 – A elipse e o círculo de Mohr de atrito.
129
CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS.
6.1 – Conclusões
Considerando os pequenos erros envolvidos nas previsões para o solo sensível,
argila Haney, estudada neste trabalho, tem-se como conclusões o que se segue:
1. A divisão da resistência à deformação dos solos em friccional e viscosa mostrou-
se adequada para a abordagem do fenômeno da fluência não-drenada. Isto
mostra o acerto da decisão tomada pelo grupo de reologia da COPPE em tentar
estender o Princípio das Tensões Efetivas considerando os efeitos de velocidade
de deformação e do tempo. Isto permite que se tratem os problemas onde
estejam envolvidos tais tipos de fenômenos como decorrência natural do
Princípio das Tensões Efetivas Expandido, ao invés de trata-los como
fenômenos anômalos onde se procura tentar uma teoria a parte para tentar
explica-los.
2. A hipótese de que a resistência por atrito é uma função exclusiva e portanto
independente da velocidade de deformação, tal como estabelece o modelo de
Martins (1992), a menos dos efeitos de tixotropia pôde ser verificada para o solo
estudado.
3. A função de viscosidade é não linear e pode ser representada por uma função de
potência da velocidade de deformação com boa aproximação para a faixa de
velocidades observada neste estudo.
4. A aceleração na fluência, dita comumente fluência terciária, é conseqüência
natural da queda da resistência friccional e portanto do aumento da resistência
viscosa, via aumento da velocidade de deformação.
5. O comportamento não-drenado sob tensão controlada pode ser descrito como um
processo único e não segmentado resultado do jogo ao longo do tempo entre as
resistências friccional e viscosa.
6. O modelo de Martins (1992), tal como concebido para solos normalmente
adensados, pode ser aplicado ao solo sensível aqui estudado para prever
qualitativamente os padrões de comportamento não-drenado sob tensão
controlada, pode também ser aplicado quantitativamente ao solo estudado desde
que este não esteja afetado pelo efeito da tixotropia.
130
7. Foi proposta uma modificação ao Modelo de Martins (1992), fazendo com que o
círculo de Mohr das tensões efetivas seja tido como a soma de dois outros
círculos, cada um representando o estado de tensões das resistências friccional e
viscosa. Nesta modificação as equações diferenciais da fluência não-drenada e
dos ensaios de carga constante passam a serem consideradas exatas.
6.2 – Sugestões para pesquisas futuras
Como sugestões para pesquisas futuras propõe-se estender o modelo de Martins
(1992) aos seguintes casos:
1. Carregamentos drenados.
2. Aos solos sobre-adensados.
3. Aos solos não-saturados.
Propõe-se também um estudo mais apurado da modificação proposta no Apêndice II
e dos efeitos da tixotropia.
131
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THOMASI, L., (2000), “Sobre a Existência de Uma Parcela Viscosa na Tensão Normal
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VAID, Y. P., e CAMPANELLA, R. G., (1977), “Time-Dependent Behavior of
Undisturbed Clay”, Journal of the Geotechnical Engineering Division, GT7, pp.
693-709.
VAID, Y. P. (2004), Comunicação pessoal.
VAID, Y. P. (2005), Comunicação pessoal.
133
APÊNDICE I
AI.1 – Observações sobre a abordagem de Martins (1992)
Uma das primeiras observações que poderiam ser feitas à abordagem de Martins
(1992) tem origem na equação
( )dt
detan s
mobε
⋅η+φ⋅σ′=τ (AI.1)
Se o fenômeno do atrito se dá pela mobilização da resistência ao cisalhamento e
nos contatos sólidos e parte da tensão normal efetiva σ′ se deve a contatos viscosos, é
mais natural que na expressão (AI.1) se substitua σ′ por sσ′ , a tensão normal efetiva
que se transmite através dos contatos sólidos. Assim a expressão AI.1 seria escrita
( )dtdetan s
mobsε
⋅η+φ⋅σ′=τ (AI.2)
Outra observação da mesma natureza que a primeira estaria em escrever
bmax
s tan φ=
σ′τ
(AI.3)
quando, pela mesma razão acima, btan φ deveria ser escrito como
bmaxs
s tan φ=
σ′τ (AI.4)
Uma terceira observação, diz respeito ao fato da velocidade também afetar a
elipse de atrito. No caso da abordagem de Martins (1992), para o mesmo mobφ , a elipse
de atrito apresenta maiores excentricidades para maiores velocidades de deformação.
Este aspecto é curioso pois a resistência por atrito não deveria ser afetada pela
velocidade. Este aspecto advém também do fato de estarem embutidas nas abscissas da
134
elipse de atrito os valores de vσ′ que, no modelo de Martins (1992), entram para o
compto da resistência por atrito. Martins (1992) usou no critério de ruptura a tensão
normal efetiva σ′ (expressão AI.3) quando na verdade, consoante o que foi discutido
até aqui, deveria ter usado a expressão (AI.4).
De acordo com essas observações, pode-se tentar uma abordagem diferente na
tentativa de separar causas e efeitos. Uma alternativa é subdividir o estado de tensões de
forma a isolar as parcelas viscosa e de atrito das tensões cisalhantes e das tensões
normais efetivas. Num estado de simetria axial, isto pode ser feito como mostrado na
fig. AI.1.
Figura AI.1
Os estados de tensões da figura AI.1 são tais que
( )α⋅⋅
σ′−σ′
+
σ′+σ′
=σ′ 2cos22
s3s1s3s1s (AI.5)
( )α⋅⋅
σ′−σ′
=τ 2sen2
s3s1s (AI.6)
( )α⋅⋅
σ′−σ′
+
σ′+σ′
=σ′ 2cos22
v3v1v3v1v (AI.7)
( )α⋅⋅
σ′−σ′
=τ 2sen2
v3v1v (AI.8)
Somando as equações (AI.5) e (AI.7) membro a membro vem
α⋅
σ′−σ′−σ′+σ′+
σ′+σ′+σ′+σ′=σ′+σ′=σ′ 2cos
22v3s3v1s1v3s3v1s1
vs (AI.9)
σ´1
σ´3 σ´3
σ´1
σ´1s
σ´3s σ´3s
σ´1s
σ´1v
σ´3v σ´3v
σ´1v
= +
135
ou
α⋅σ′−σ′
+σ′+σ′
=σ′ 2cos22
3131 (AI.10)
Somando as equações (AI.6) e (AI.8) membro a membro vem
α⋅
σ′−σ′−σ′+σ′=τ+τ=τ 2sen
2v3s3v1s1
vs (AI.11)
ou
α⋅
σ′−σ′=τ 2sen
231 (AI.12)
O que se demonstrou acima foi a possibilidade de sempre poder subdividir um
estado de tensões em dois outros, um representando o estado de tensões dos contatos
sólidos e outro representando o efeito viscoso.
Talvez haja aqui intuitivamente a tentação de atribuir as deformações, tanto as
volumétricas como as distorcionais, à variação do estado de tensões efetivas que se
estabelece através dos contatos sólidos (como parece ser originalmente a idéia de
Terzaghi (1936)). Entretanto, este parece ser, agora, um passo um tanto o quanto
precoce e tal tarefa deve ser assim ficar como sugestão para futuras pesquisas.
O que se pode fazer aqui de objetivo é analisar os ensaios de Vaid e Campanella
(1977) à luz do que foi até aqui discutido mantendo-se algumas idéias originais de
Martins (1992) mas subdividindo o estado de tensões efetivas como mostrado na AI.1.
AI.2 – Abordagem Alternativa Desta Tese
Em primeiro lugar é preciso enumerar aqui as hipóteses de Martins (1992) que
também permanecem neste trabalho. Estas hipóteses podem ser divididas em 2 grupos:
evidências experimentais e hipóteses de natureza teórica.
(1) Hipóteses Originárias de Evidências Experimentais
136
(a) Dado um determinado solo normalmente adensado hidrostaticamente sob
uma tensão efetiva c3σ′ e submetido a um ensaio CIU convencional com
cte1 =ε& (ou cte=γ& ) os caminhos de tensão efetiva no plano p′ x q′ ( p′
e q′ como definidos por Lambe e Whitman, 1969) são homotéticos com
centro de homotetia na origem.
(b) Os ternos ordenados ( )v,q,p ′′ , e1v += , na ruptura, dada uma
velocidade γ& , definem no espaço p′ x q′ x v uma linha de ruptura
associada à velocidade γ& .
(c) A projeção de uma linha de ruptura sobre o plano p′ x q′ é uma reta
passando pela origem.
(d) Dado um valor de γ& , os gráficos q′ x γ (ou q′ x 1ε ) e u x γ de ensaios
CIU convencionais são semelhantes para qualquer valor da tensão
hidrostática de adensamento c3σ′ .
Há aqui neste item algo a ser investigado e que pode ser esclarecido com o
auxílio da fig. AI.2.
Figura AI.2
Se a fase de adensamento hidrostático for interrompida em meio ao adensamento
secundário, por exemplo no ponto B, haverá, uma parcela viscosa v3σ′ correspondente à
BF. Ao se fechar a drenagem para a realização da fase de cisalhamento de um ensaio
fim do secundário
fim do primário
0v =ε&vBε&vAε&
σ´ (log)
σ´s (e) D
F
E A
B
C
VBVA εε && <
e
137
CIU, espera-se que esse valor de v3σ′ seja transferido para a poro-pressão. Dito isto, é de
se esperar que os gráficos q′ x γ só sejam normalizáveis se os valores de q′ forem
divididos por s3c3 σ′=σ′ . Da mesma forma, os gráficos u x γ só devem normalizar
subtraindo-se de u medido o valor correspondente à transferência da parcela ( )tv3σ′ e só
depois dividindo-se por s3c3 σ′=σ′ . Com isso, diferentemente do que Martins (1992)
escreveu, a poro-pressão medida num ensaio CIU sobre um solo normalmente adensado
é dada por
( ) ( )tufu vs3 +σ′⋅γ= (AI.13)
Sendo uv a poro-pressão decorrente do impedimento do adensamento secundário
como discutido nos itens 2.4.5.4.1 e 2.4.5.4.2.
Nos ensaios aqui analisados, realizados por Vaid e Campanella (1977), a discussão do
item (d) não se aplica pois após o adensamento e antes da fase de cisalhamento a
drenagem foi fechada e se esperou que a poro-pressão estabilizasse. Assim, nos ensaios
de Vaid e Campanella (1977), o valor de c3σ′ no início do cisalhamento vale s3σ′ .
(2) Hipóteses Originárias do Modelo Mecânico (Teóricas)
(e) O estado de tensões efetivas pode ser subdividido em 2. Um
representando o estado de tensões efetivas que se estabelece através dos
contatos sólido (ao qual chamar-se-á estado de tensões efetivas sólido) e
outro chamado de estado de tensões efetivas viscoso. Os dois somados
fornecem o estado de tensões efetivas.
O estado de tensões efetivas sólido é representado por um círculo de Mohr cujas
equações paramétricas são as equações
( )α⋅⋅
σ′−σ′
+
σ′+σ′
=σ′ 2cos22
s3s1s3s1s (AI.14)
( )α⋅⋅
σ′−σ′
=τ 2sen2
s3s1s (AI.15)
138
Define-se também
2p s3s1
sσ′+σ′
=′ (AI.16)
e
2q s3s1
sσ′−σ′
=′ (AI.17)
Entende-se por ângulo de atrito mobilizado ( mobφ ) a relação entre sτ e sσ′ que
fornece a máxima obliqüidade no círculo de Mohr do estado de tensões efetivas sólido
(fig. AI.3).
Figura AI.3
máxs
smobtan
σ′τ
=φ (AI.18)
ou
mobs3s1
s3s1mob tansen α=
σ′+σ′σ′−σ′
=φ (AI.19)
qs τs
σ´s
σ´1s σ´3s
p´s
τs
σ´s
φmob
αmob
139
Admiti-se que o processo de ruptura é comandado pelo fenômeno do atrito e que
o critério de ruptura é traduzido pela condição em que o círculo de Mohr do estado
efetivo sólido tangencia a envoltória de resistência suja inclinação no plano sτ x sσ′ é
bmob φ=φ ou bmob α=α (fig. AI.4)
Figura AI.4
Observa-se que há uma correspondência biunívoca entre bφ e bα (ou mobφ e
mobα ). Assim, no plano de obliqüidade máxima
mobss tan φ⋅σ′=τ (AI.20)
e no plano cuja normal faz um ângulo de 45o com a direção da tensão s1σ′ tem-se
mobss tanpq α⋅′=′ (AI.21)
e como
mobmob sentan φ=α (AI.22)
tem-se
qsf τsf
σ´sf
σ´1sf σ´3sf
p´sf
τs
σ´s
φb
αb
140
mobss senpq φ⋅′=′ (AI.23)
O estado de tensões efetivas viscoso é representado por um círculo de Mohr
cujas equações paramétricas são
( )α⋅⋅
σ′−σ′
+
σ′+σ′
=σ′ 2cos22
v3v1v3v1v (AI.24)
e
( )α⋅⋅
σ′−σ′
=τ 2sen2
v3v1v (AI.25)
No caso de ensaios não-drenados do tipo CIU, quando se fecha a drenagem em
qualquer instante após a dissipação da poro-pressão correspondente ao adensamento
hidrostático, a parcela viscosa s3σ′ que é função de vε& e do índice de vazios (e) deveria
cair imediatamente a zero e seu valor ser transferido também imediatamente para a
poro-pressão. Isso só ocorre ao longo do tempo porque, apesar do estado de tensões ser
hidrostático, em nível microscópico ocorrem tensões cisalhantes nos contatos grão a
grão que não podem ser expressas macroscopicamente por um estado hidrostático. Há
neste ponto um obstáculo de ordem prática para compatibilizar os fenômenos
microscópicos com as expressões macroscópicas das tensões. O obstáculo descrito
acima não existe nos ensaios realizados por Vaid e Campanella (1977) pois, após o
adensamento primário sob condições hidrostáticas e antes do cisalhamento não-drenado,
esperou-se que a poro-pressão se estabilizasse. Isto significa que nos ensaios de Vaid e
Campanella (1977), durante toda a fase de cisalhamento 0v3 =σ′ e que u3 −σ′ será
igual a s3σ′ . Com isso, durante a fase não-drenada de cisalhamento, o estado de tensões
efetivas viscoso é representado por
α⋅σ′
+σ′
=σ′ 2cos22
v1v1v (AI.26)
e
141
α⋅σ′
=τ 2sen2
v1v (AI.27)
que são as equações paramétricas de um círculo de Mohr passando pela origem
(fig. AI.5).
Figura AI.5
O estado de tensões efetivas será dado então por
α⋅σ′−σ′+σ′
+σ′+σ′+σ′
=σ′ 2cos22
s3s3s1s3v1s1 (AI.28)
e
α⋅σ′−σ′+σ′
=τ 2sen2
s3v1s1 (AI.29)
que são as equações paramétricas de um círculo de Mohr soma dos círculos de
Mohr dos estados de tensão sólido e viscoso.
Desta forma, em qualquer instante de um ensaio CIU, a representação completa
do estado de tensões efetivas com suas parcelas sólida e viscosa está apresentada na fig.
AI.6.
σdvσ´v
τv
vq′
v1σ′
142
Figura AI.6
A primeira vista pode parecer curioso o aparecimento de uma parcela viscosa em
1σ′ durante o cisalhamento não-drenado já que ao fim do adensamento toda a tensão
efetiva hidrostática vale s3σ′ . Ocorre que mesmo que todos os contatos sejam do tipo
sólido, como a deformação macroscópica resulta do deslocamento relativo dos grãos,
haverá sempre presente uma parcela viscosa na tensão cisalhante oriunda da distorção
do anel de água adsorvida que circunda os contatos sólidos. Em havendo tensões
cisalhantes viscosas haverá uma tensão desviadora viscosa dvσ′ . Mas se v3v1dv σ′−σ′=σ′
e 0v3 =σ′ , em ensaios não-drenados como os realizados por Vaid e Campanella (1977),
então v1dv σ′=σ′ .
A figura AI.7 ilustra o efeito da velocidade sobre a tensão 1σ′ .
τ
círculo de Mohr do estado de tensões efetivas viscoso
círculo de Mohr do estado de tensões efetivas
círculo de Mohr do estado de tensões efetivas sólido
σ´dv σ´3s σ´1s σ´1 σ´ σ´dv
σ´1v
143
Figura AI.7
(f) Outra hipótese aqui utilizada é a de que a parcela viscosa da tensão
cisalhante vτ é escrita em cada plano como
( )dt
de s
vε
⋅η=τ (AI.30)
De acordo com o que foi visto na hipótese (e), discutida anteriormente, é preciso
verificar se não há nenhuma incompatibilidade.
α⋅ε−ε
+ε+ε
=ε 2cos22
3131l (AI.31)
e
α⋅ε−ε
=ε 2sen2
31s (AI.32)
No ensaio não-drenado, 0v =ε . Como 02 31v =ε⋅+ε=ε então
21
3ε−
=ε (AI.33)
então, na fase de cisalhamento de um ensaio CIU
144
α⋅ε⋅+ε
=ε 2cos43
4 11
l (AI.34)
e
α⋅ε⋅=ε 2sen43
1s (AI.35)
De acordo com o que foi discutido na apresentação da hipótese (e)
α⋅σ′
+σ′
=σ′ 2cos22
v1v1v (AI.36)
e
α⋅σ′
=τ 2sen2
v1v (AI.37)
Assim
( ) ( ) ( ) α⋅ε
⋅η⋅=α⋅
ε−ε⋅η=
ε⋅η=τ 2sen
dtd
e432sen
2dtde
dtd
e 131sv (AI.38)
Igualando-se as equações (AI.37) e (AI.38) vem
( )dt
de
43
21dv
vε
⋅η⋅=σ′
=τ (AI.39)
Para 0=α (direção de 1σ′ )
( ) ( )dt
de
23452 10
vdvv1ε
η⋅=τ⋅=σ′=σ′ (AI.40)
Para 090=α
145
0v3 =σ′ (AI.41)
(g) Outra hipótese que deve ser deixada explícita é aquela também admitida
por Martins (1992), qual seja, a de que a cada mobφ está associado um e
somente um valor de γ (ou 1ε ).
AI.3 – Discussão de um ensaio CIU convencional numa argila ideal
normalmente adensada
Tome-se um corpo de prova normalmente adensado submetido a um
adensamento hidrostático sob uma pressão p. Num instante qualquer após a dissipação
do excesso de poro-pressão tem-se
cpp ′= (AI.42)
Estando este corpo de prova sob adensamento secundário, a tensão hidrostática
efetiva apresenta respectivamente as parcelas ( )epcs′ e viscosa ( )vv ,ep ε′ & . Assim
vcsc pppp ′+′=′= (AI.43)
Num determinado instante durante o adensamento secundário a drenagem é
fechada. A poro-pressão começa a subir como resultado da queda de vp′ . Espera-se a
poro-pressão estabilizar o que ocorre com o valor 0u . Neste momento tem-se
0cs upp +′= (AI.44)
e a representação desse estado de tensões no plano p′ x q′ é o da figura AI.8.
146
Figura AI.8
O corpo de prova está pronto agora a ser submetido à fase de cisalhamento não-
drenado sob a velocidade cte1 =ε& .
Ao ligar a prensa com cte1 =ε& , no instante += 0t o valor da deformação 01 =ε
(e 0=γ ) e portanto, por hipótese, 0mob =φ . Como mobmob tansen α=φ ,
mobss senpq φ⋅′=′ (AI.45)
e
css pp ′=′ (AI.46)
0q s =′ e o círculo de Mohr do estado de tensões efetivas sólido se reduz ao
ponto de coordenadas ( )0,pcs′ .
Num ensaio CIU convencional
( ) ( )tupfu vcs +′⋅γ= (AI.47)
p´cs p p´
u0
q
147
Como ( ) 0v uctetu == e no instante += 0t , 023
1 =ε⋅=γ , não há variação
instantânea da poro-pressão.
Ao ligar a prensa com cte1 =ε& , mobiliza-se instantaneamente a resistência
viscosa com seu valor pleno. No plano cuja normal faz um ângulo de 45o com a direção
de 1σ′ a parcela viscosa da tensão cisalhante vale em += 0t
( ) ( )11
vv ,eVdt
de
43q ε=
ε⋅η⋅=′=τ & (AI.48)
Com isso o círculo de Mohr do estado de tensões efetivas viscoso tem o mesmo
diâmetro que o círculo de Mohr das tensões efetivas e o caminho de tensões efetivas dá
um salto instantâneo do ponto ( )0,pcs′ para o ponto de coordenadas
Vpp cs +′=′ (AI.49)
Vq =′ (AI.50)
como mostrado na fig. AI.9
Figura AI.9
Com a continuidade do ensaio, as deformações vão ocorrendo e com elas
mobilizam-se as resistências por atrito e são geradas as poro-pressões por cisalhamento.
J
q´
Círculo de Mohr efetivo
V
p, p´
Círculo de Mohr do
estado de tensões
efetivas sólido
p'cs u0
σdv=2V
148
Neste processo o circulo de Mohr do estado de tensões efetivas viscoso permanece o
mesmo ao passo que o círculo de Mohr do estado de tensões efetivas sólidos aumenta de
diâmetro e se desloca para a esquerda fazendo com que o círculo de Mohr efetivo
também se desloque para a esquerda e haja uma quebra no caminho de tensões efetivas.
Num instante qualquer entre += 0t e a ruptura, o estado de tensões efetivas pode ser
descrito de forma completa pelo círculo de Mohr efetivo e pelo círculo de Mohr do
estado de tensões efetivas viscoso definindo assim de forma única o círculo de Mohr do
estado de tensões efetivas sólido.
Com o círculo de Mohr do estado de tensões efetivas viscoso mantido constante
e com o aumento das deformações cisalhantes, o valor de mobφ vai aumentando até que
a resistência por atrito se esgote e ocorra a ruptura (fig AI.11).
τ
σ'
Círculo de Mohrefetivo Círculo de Mohr
do estado de tensões efetivas sólido
σ´3s σ´1s σ´1
p´
q´
V
p´s σdv
q´s
Figura AI.10
149
Na ruptura o círculo de Mohr do estado de tensões efetivas sólido tangencia a
envoltória de resistência cuja inclinação é bφ e o círculo de Mohr efetivo tangencia a
envoltória cuja inclinação é φ′ , o ângulo de atrito da Mecânica dos Solos clássica.
Da figura (AI.11) pode-se calcular bφ por
f3dvf1
f3dvf1
sf
sf
sf3sf1
sf3sf1b p
qsen
σ′+σ′−σ′σ′−σ′−σ′
=′′
=σ′+σ′σ′−σ′
=φ (AI.51)
e como mobmob tansen α=φ , o critério de ruptura pode ser escrito também como
VpVq
pq
tanfsf
sfb −′
−′=
′′
=α (AI.52)
o valor de φ′ é dado por
f
f
sf
sf
sf3vf1sf1
sf3vf1sf1
f3f1
f3f1
pq
VpVq
sen′′
=+′+′
=σ′+σ′+σ′σ′−σ′+σ′
=σ′+σ′σ′−σ′
=φ′ (AI.53)
p´sf σdv
V
q´
q´sf
σ´3sf=σ´ σ´1sf σ´ σ´1f
p´f
φ´
α´
α´b
φ´b
τ
Figura AI.11
150
Como a resistência viscosa varia com a velocidade de ensaio, o valor de φ′ varia
com a velocidade e, portanto, φ′ não pode ser considerado uma propriedade do solo, o
que acontece com bφ cujo valor independe da velocidade de ensaio. Assim, quem
comanda a ruptura é o ângulo bφ e não φ′ .
A discussão acima explica o porque do fato de se obter um valor da resistência
não-drenada fu qs ′= tanto maior quanto maior for a velocidade de ensaio, fato do
conhecimento da Mecânica dos Solos de longa data.
A inclinação dos planos de ruptura com a horizontal será dada por
245 b0 φ+=θ (AI.54)
uma conseqüência que também merece comprovação experimental. Outro fato
digno de nota é aquele que diz respeito à poro-pressão devida ao cisalhamento ser
independente da velocidade de ensaio. Para ilustrar a questão à luz do modelo, tome-se
também o momento em que ambos os ensaios apresentem a mesma poro-pressão. A
situação está ilustrada na fig. AI.12.
Figura AI.12
círculo de Mohr efetivo para o ensaio realizado com velocidade Aε&
círculo de Mohr efetivo para o ensaio realizado com velocidade Bε&
B
A
J
VA
VB
círculo de Mohr efetivo para o
ensaio realizado com velocidade
ε& =0
σdvB
σ´3s= σ´3 σ´1B σ´1s σ´1A σ´
τ
151
Chamando os ensaios de A e B, o ensaio A é realizado com velocidade Aε& e o
ensaio B com velocidade Bε& . Sendo Bε& > Aε& então a resistência viscosa AB VV > .
Como as evidências experimentais dão conta de que a poro-pressão em ensaios CIU
com a mesmo tensão confinante não dependem da velocidade mas apenas da
deformação, (Lacerda, 1976) conclui-se que os pontos A, B e J, tendo a mesma poro-
pressão, terão também a mesma deformação e também o mesmo atrito mobilizado mobφ .
Assim conclui-se que toda linha que partindo de 3σ′ tenha inclinação de 45o seja o lugar
geométrico dos pontos de mesma poro-pressão, mesma deformação específica e mesma
distorção. Em outras palavras, para a mesma deformação, o círculo de Mohr do estado
de tensões efetivas sólido é único.
Quando são unidos os pontos do topo dos diversos círculos de Mohr efetivos no
decorrer de um ensaio obtêm-se os caminhos de tensão efetivas e é fácil concluir que
para cada velocidade ε& utilizada no ensaio CIU haverá um caminho de tensões efetivas
(fig AI.13).
Figura AI.13
Da figura AI.13 e do que foi discutido anteriormente, pode-se concluir que o
caminho de tensões que representa os estados de tensão efetivas sólido é único. Como
os estados de tensões efetivas sólido estão livres do efeito de velocidade, conclui-se que
o caminho dos estados de tensões efetivas sólidos corresponderia (se fosse possível
realizar tal ensaio) a um ensaio com velocidade 0=ε& . A este caminho de tensões
efetivas dá-se o nome de caminho de tensões efetivas básico.
p´
q´
VAVB
ε& =0
Aε&Bε&
152
Outra conclusão que se pode tirar é a de que todos os caminhos de tensões
efetivas são deslocados de 2V ⋅ do caminho de tensões efetivas básico segundo a
direção de 45o em relação ao eixo p′ .
Uma observação final deve ser feita neste item relativamente a um conjunto de
ensaios em solos normalmente adensados com diferentes tensões hidrostáticas csp′ mas
iguais velocidades de ensaios na fase de cisalhamento. Na figura (AI.14) apresentam-se
os caminhos de tensões de três ensaios CIU com tais características.
Figura AI.14
Como os caminhos de tensões efetivas da figura AI.14 são homotéticos
(geometricamente semelhantes) com centro de homotetia na origem, o salto de
viscosidade V para cada ensaio é proporcional à tensão hidrostática. Assim
( ) cs01
v pCdt
de
43qV ′⋅=
ε⋅η⋅=′= (AI.55)
Logo
α′
p´cs=a p´cs=2a p´cs=3a p´
q´
153
( ) ( )cs
1
10 pC
43e ′⋅
εε
⋅=η&
& (AI.56)
Este resultado está de acordo com a hipótese de que η é função da velocidade
de deformação e do índice de vazios ( )e pois csp′ é função exclusiva do índice de
vazios.
AI.4 – Resumo dos Pontos Principais da Nova Abordagem
(1) Em qualquer plano de um elemento de solo saturado no qual estejam atuando a
tensão normal σ e a tensão cisalhante τ , estarão atuando internamente: como
conseqüência da ação de σ , a soma u+σ′ , sendo σ′ a tensão normal efetiva e
u a poro-pressão. E como conseqüência da ação de τ a soma das tensões
cisalhantes de atrito ( sτ ) e de viscosidade ( vτ ). A tensão normal efetiva pode
ainda ser decomposta em duas parcelas: A parcela que se estabelece nos
contatos sólidos ( sσ′ ) e a parcela que se estabelece nos contatos viscosos ( vσ′ ).
Assim
uvs +σ′+σ′=σ
e
vs τ+τ=τ
(2) Num estado de tensões com simetria axial, o círculo de Mohr das tensões
efetivas pode ser subdividido em dois outros: O círculo de Mohr do estado
sólido das tensões efetivas e o círculo de Mohr do estado viscoso das tensões
efetivas. Assim
ασ′−σ′
+σ′+σ′
=σ′ 2cos22
3121
α⋅σ′−σ′
=τ 2sen2
31
Como vs σ′+σ′=σ′ e vs τ+τ=τ , vem
154
( )α⋅⋅
σ′−σ′
+
σ′+σ′
=σ′ 2cos22
s3s1s3s1s
( )α⋅⋅
σ′−σ′
=τ 2sen2
s3s1s
( )α⋅⋅
σ′−σ′
+
σ′+σ′
=σ′ 2cos22
v3v1v3v1v
( )α⋅⋅
σ′−σ′
=τ 2sen2
v3v1v
onde
σ′ é a tensão normal efetiva num plano cuja normal faz um ângulo α com a
direção de 1σ′ .
1σ′ é a tensão efetiva maior.
3σ′ é a tensão efetiva menor.
τ a tensão cisalhante num plano cuja normal faz um ângulo α com a direção de
1σ′ .
sσ′ é a parcela da tensão normal efetiva oriunda dos contatos sólidos num plano cuja
normal faz um ângulo α com a direção de 1σ′ .
s1σ′ é a parcela da tensão efetiva principal maior oriunda dos contatos sólidos e que
atua na mesma direção de 1σ′ .
s3σ′ é a parcela da tensão efetiva principal menor oriunda dos contatos sólidos e que
atua na mesma direção de 3σ′ .
sτ é a parcela de atrito da tensão cisalhante oriunda dos contatos sólidos num plano
cuja normal faz um ângulo α com a direção de 1σ′ .
vσ′ é a parcela da tensão normal efetiva oriunda dos contatos viscosos num plano
cuja normal faz um ângulo α com a direção de 1σ′ .
v1σ′ é a parcela da tensão efetiva principal maior oriunda dos contatos viscosos e que
atua na mesma direção de 1σ′ e s1σ′ .
155
v3σ′ é a parcela da tensão efetiva principal menor oriunda dos contatos viscosos e que
atua na mesma direção de 3σ′ e s3σ′ .
vτ é a parcela viscosa da tensão cisalhante oriunda dos contatos viscosos num plano
cuja normal faz um ângulo α com a direção de 1σ′ .
(3) A tensão cisalhante num plano cuja normal faz um ângulo α com a direção de
1σ′ é dada também por
( ) ( ) ( ) ( )dt
detan s
mobsvsαε
⋅η+φ⋅σ′=ατ+ατ=τα
onde ( )αφmobtan é a relação entre sτ e sσ′ no plano cuja normal faz um ângulo
α com a direção de 1σ′ . ( )eη é o coeficiente de viscosidade do solo associado ao
cisalhamento e ( )αεdt
d s a velocidade de deformação cisalhante no plano cuja normal faz
um ângulo α com a direção de 1σ′ .
Em particular no plano em que 045=α
( ) ( )dt
d2etan
231
mobs3s1 ε−ε
⋅η
+φ⋅σ′+σ′
=τ
ou
( ) ( )dt
d2esenpq 31
mobsε−ε
⋅η
+φ⋅′=′
Em particular nos ensaios não-drenados convencionais CIU realizados em solos
normalmente adensados onde ao fim da fase de adensamento fecha-se a drenagem e
espera-se a poro-pressão aumentar e estabilizar tem-se css3c3 p′=σ′=σ′ . Nesse caso tem-
se:
156
(4) Os caminhos de tensão efetivas de ensaios realizados com cte=ε& mas com
diferentes csp′ são normalizáveis e têm o aspecto mostrado na fig. V.73.
(5) Como o ensaio é não-drenado, 31v 2 ε⋅+ε=ε e então 21
3ε
−=ε . Assim no
plano cuja normal faz um ângulo de 45o com a direção de 1σ′
( )dt
d43
dtd
21
dtd
21
dtd 131s ε
⋅=γ
⋅=ε−ε
⋅=ε
Então, num ensaio não-drenado CIU realizado com cte=ε& a parcela viscosa da
tensão cisalhante em qualquer plano é cte ao longo de todo o ensaio. Em particular,
no plano em que a normal faz 45o com a direção de 1σ′
( )dt
de
43q 1
vvε
⋅η⋅==τ
(6) Como os caminhos de tensão efetivas são normalizáveis (geometricamente
semelhantes) para uma mesma velocidade ε& dividindo-se por css3c3 p′=σ′=σ′
obtém-se um caminho de tensões efetivas normalizado único.
(7) Como a parcela viscosa da tensão cisalhante depende do índice de vazios e da
velocidade de deformação, nos ensaios CIU convencionais ela é mobilizada de
imediato com seu valor pleno assim que a prensa é ligada permanecendo
constante até o fim do ensaio. Com isso os caminhos de tensões efetivas
apresentam inicialmente um salto de viscosidade da direção de 45o com o eixo
de p′ , salto esse que vale
( ) cs01
v pCdt
de
43qV ′⋅=
ε⋅η⋅=′=
(8) O item (7) leva à conclusão de que, iniciado o ensaio, para += 0t ( 0=ε ) o
círculo de Mohr das tensões efetivas se confunde com o estado viscoso das
tensões efetivas e, portanto, inicialmente o círculo de Mohr do estado sólido das
tensões efetivas se reduz a um ponto.
157
(9) A parcela viscosa da resistência ao cisalhamento é mobilizada com seu valor
pleno para 0=ε e daí em diante se mantém constante se ε& for mantida
constante. Como a resistência ao cisalhamento continua a crescer depois da
mobilização instantânea da parcela viscosa, conclui-se que o que está sendo
mobilizado é a parcela de atrito da tensão cisalhante. Ocorre que as deformação
(distorções) só passam a ocorrer após a mobilização da parcela viscosa, o que
concluir que as distorções estão intimamente ligadas à mobilização do estado
sólido (ou de atrito) das tensões efetivas. É este aspecto que permite enunciar:
“Num ensaio não-drenado, todas as vezes em que houver distorção haverá
variação do estado sólido (ou de atrito) das tensões efetivas e reciprocamente
toda vez em que houver variação do estado sólido das tensões efetivas haverá
distorção”.
(10) Se a parcela viscosa da tensão cisalhante é mobilizada de imediato e só então é
que a parcela de atrito passa a ser mobilizada, a ruptura só ocorrerá quando a
parcela de atrito da tensão cisalhante se esgotar. Assim, quem comanda a ruptura
é o atrito mobilizado.
(11) Como quem representa o atrito mobilizado é o círculo de Mohr do estado sólido
(ou de atrito) das tensões efetivas, usando o critério de Mohr-Coulomb, a ruptura
ocorrerá sempre que o círculo de Mohr do estado sólido das tensões efetivas
tangenciar a envoltória de resistência de atrito, uma reta passando pela origem
cuja inclinação é bφ . Com isso, conclui-se também que o ângulo de atrito efetivo
da Mecânica dos Solos clássica φ′ é afetado pela velocidade e portanto não é um
parâmetro do solo.
(12) A condição de ruptura se traduz por:
sf
sfbtan
σ′τ
=φ
ou
158
sf3sf1
sf3sf1bsen
σ′+σ′σ′−σ′
=φ
ou
sf3sf1
sf3sf1btan
σ′+σ′σ′−σ′
=α
onde os índices s e f significam respectivamente tensões nos contatos sólidos e
condição de ruptura.
(13) Com base nos resultados experimentais de Lacerda (1976), admite-se que as
poro-pressões desenvolvidas no cisalhamento não dependem da velocidade de
deformação. Num ensaio CIU convencional essas poro-pressões dependem
apenas da tensão hidrostática de adensamento cspcs3 ′=σ′ e da deformação 1ε (ou
da distorção γ ). Assim, os topos dos círculos de Mohr das tensões eetivas de
ensaios CIU realizados com diferentes ε& , apresentam-se alinhados sobre uma
linha inclinada de 45o com o eixo p′ . Essa linha inclinada de 45o é, em cada
instante, o lugar geométrico dos pontos de mesma poro-pressão, mesma
deformação e mesmo atrito mobilizados de ensaios CIU realizados com mesma
cs3σ′ e diferentes velocidades.
(14) Como decorrência do item (13), para uma dada deformação o círculo de Mohr
do estado sólido de tensões efetivas é único. Assim o caminho de tensões gerado
pelos círculos de Mohr do estado sólido (ou de atrito) das tensões efetivas
corresponderia a um ensaio com velocidade igual a zero, esse é o caminho de
tensões efetivas básico.
(15) As características apresentadas nos itens (13) e (14) são as responsáveis pelo
aumento de φ′ e da resistência não-drenada com o aumento da velocidade de
ensaio como relatado por Bishop e Henkel (1957, paginas 30-31).
(16) As características apresentadas nos itens (13) e (14) também levam à conclusão
de que os caminhos de tensão efetivas são deslocados de 2V ⋅ em relação ao
caminho de tensões efetivas básico segundo a direção de 45o em relação ao eixo
de p′ .
(17) Uma outra característica geral a ser observada pode ser ilustrada por dois
conjuntos de ensaio CIU realizados com a mesma série de tensões confinantes
159
com velocidades de deformação 0A =ε& e 0B >ε& . Tais conjuntos estão ilustrados
pelos caminhos de tensões da figura AI.15.
Figura AI.15
AI.5 – O Ensaio de Fluência dentro da Abordagem Alternativa
Dentro desta nova alternativa, o ensaio de fluência não-drenada seria visto
praticamente da mesma forma que no modelo de Martins (1992), sendo a única
diferença a representação do caminho de tensões, que teria no lugar das elipses os
círculos de Mohr dos estados viscosos e friccionais. Após as fases de
adensamento hidrostático e a fase não-drenada anterior ao cisalhamento, ao carregar o
corpo de prova, no instante t = 0, toda resistência oferecida pelo solo seria do tipo
viscoso, e assim sendo, o círculo de Mohr efetivo se confundiria com o círculo de Mohr
do estado viscoso.
ensaio comε& = 0
ensaio com Bε& A1
B1
A2
B2
ensaio com Bε& ensaio comε& = 0
α′
bα
p´cs(1) p´cs(2) p´
q´
0
160
Figura AI.16
Com o passar do tempo, se teria o desenvolvimento das deformações cisalhantes
e a geração do excesso de poro-pressão. Desta maneira, ao lado do círculo de Mohr do
estado viscoso surgiria o círculo de Mohr do estado friccional, sendo que esses dois
círculos somados teriam o mesmo diâmetro do círculo de Mohr viscoso do tempo t = 0.
Como no presente caso estamos lidando com um solo normalmente adensado, o excesso
de poro-pressão seria positivo e o caminho de tensões seria uma reta horizontal se
desenvolvendo para a esquerda em direção a envoltória de ruptura. Durante seu
caminho em direção a envoltória de ruptura, o círculo de Mohr de atrito aumentaria
continuamente de tamanho, caracterizando a mobilização do atrito, o círculo de Mohr
viscoso diminuiria de tamanho, caracterizando a desmobilização da viscosidade, de
acordo com a Lei de Taylor de Martins (1992).
Considerando a Figura AI.16 acima pode-se escrever:
dvdfd σ+σ=σ AI.57
τ
círculo de Mohr do estado de tensões efetivas viscoso
círculo de Mohr do estado de tensões efetivas
círculo de Mohr do estado de tensões efetivas sólido
σ´dv σ´3s σ´1s σ´1 σ´ σ´dv
σ´1v
161
Que vem a ser a equação III.5 do Capítulo 3 onde todo o desenvolvimento analítico foi
feito. Desta maneira todas as equações e procedimentos podem ser considerados
“exatos” para o caso onde o círculo de Mohr é visto como a soma de dois outros
círculos. Já se visto segundo o Modelo de Martins (1992) tudo o que foi desenvolvido
nesta tese é aproximado.
Como exposto no trabalho de Martins (1992), a depender da tensão desviadora de
fluência e resistência friccional disponível para mobilização três seriam as situações
possíveis, a saber:
(I) A resistência friccional máxima é maior que a tensão cisalhante imposta (q<qfmáx).
(II) A resistência friccional máxima é igual à tensão cisalhante imposta(q=qfmáx).
(III) A resistência friccional máxima é menor que a tensão cisalhante imposta(q>qfmáx).
No caso (III), como a resistência friccional máxima do solo é maior que a
solicitação imposta, a transferência que ocorre entre a viscosidade e o atrito se dará até
que toda resistência oferecida pelo solo seja de origem friccional, quando isso ocorrer a
velocidade de deformação será zero e a deformação estabilizará em um valor menor que
a deformação de ruptura, εf. Neste caso o círculo de Mohr do atrito se desenvolve até
“tomar”o círculo de mohr efetivo do círculo de Mohr da viscosidade. Ao final do
processo o círculo de Mohr efetivo se confundiria com o círculo de Mohr de atrito e
círculo de Mohr da viscosidade desapareceria, o que segundo definição de Martins
(1992) viria a caracterizar a estabilização na fluência. Este mecanismo pode ser visto
considerando a seqüência (A), (B), (C) e (D), Figuras AI.17 a AI.20 a seguir.
No caso (I), onde a solicitação imposta é maior que resistência friccional
máxima, a transferência se dará até a deformação de ruptura, εf, com a resistência
friccional atingindo seu máximo. A partir desse ponto, como não há mais atrito a ser
mobilizado, a velocidade de deformação deverá permanecer constante e corresponder a
diferença entre a tensão imposta e a friccional máxima. Neste caso, a partir deste
momento, as deformações continuarão a se desenvolver de maneira ilimitada sob
velocidade constante. Neste caso o círculo de Mohr do atrito não se desenvolveria o
suficiente para “tomar” o círculo de Mohr efetivo do círculo de Mohr da viscosidade,
sendo que este último continuaria a existir. Ou seja, em existindo uma viscosidade, e
conseqüentemente uma velocidade de deformação, estaria caracterizada a ruptura por
fluência, como definido por Martins (1992). A seqüência correspondente seria (A), (B)
162
e (C), sendo (C) a máxima mobilização do atrito. Caso o solo em questão apresente
queda de resistência por algum motivo qualquer a seqüência seria (A), (B), (C) e (B) de
novo.
Já no segundo caso (caso II), a transferência se dará até a deformação de ruptura
do solo, com a mobilização máxima do atrito e com a velocidade atingindo o valor zero.
Este vem a ser um caso limite entre o primeiro e o terceiro, pois o corpo de prova
estabilizará na deformação de ruptura, εf. Neste último caso, o círculo de Mohr do atrito
“tomaria” por completo o círculo de Mohr efetivo do círculo de Mohr da viscosidade,
como no caso (III) porém só a tempo infinito. A seqüência neste caso também seria
igual ao caso (III).Figura AI.17
Figura AI.17
Figura AI.18
σ’3s σ’
τ
σ’1
Círculo de Mohr Efetivo
Círculo de Mohr de
(A)
σ’1s σ’3s σ’
τ
σ’1
Círculo de Mohr Efetivo
Círculo de Mohr de
(B)
163
Figura AI.19
Figura AI.20
σ’3s σ’
τ
(D)
Círculo de Mohr Efetivo
Círculo de Mohr de Atrito
σ’1 σ’3 (D)
σ’1s
τ
σ’1 (C)
σ’3s σ’
Círculo de Mohr Efetivo
Círculo de Mohr de Atrito
164
AI.6 – A Relaxação de Tensões dentro da Abordagem Alternativa
Como no modelo original de Martins (1992), em um ensaio CIU convencional,
ao se atingir uma determinada deformação, se parada a prensa e mantida constante a
deformação atingida, a queda da tensão desviadora se daria pelo desaparecimento da
parcela viscosa da tensão efetiva, porém sem geração de excesso de poro-pressão.
Assim sendo o caminho de tensões na relaxação de tensões seria uma reta inclinada de
45o, partindo do topo do círculo de Mohr correspondente a deformação em que a prensa
foi parada (que vem a ser a soma dos círculos de Mohr da viscosidade e de atrito) em
direção ao topo do círculo de Mohr do atrito. O caminho de tensões acima descrito pode
ser visualizado na figura abaixo.
Figura AI.21
σ’1s σ’3s σ’
τ
σ’1
165
AI.7 – Sobre a Sensibilidade e o Modelo de Martins (1992)
Como discutido por várias vezes o Modelo de Martins (1992) foi desenvolvido
para solos normalmente adensados, e assim sendo a poro-pressão máxima, mobilização
do atrito máxima e da resistência friccional máxima se dão para um mesmo valor finito
de deformação específica, e a partir deste ponto se mantém constantes, ou seja, é
alcançado o estado crítico. Porém a argila Haney é uma argila sensível, o que significa
dizer que ainda há geração de poro-pressão e mobilização do atrito após ter sido
atingido o pico de resistência do solo.
Porém este fato não invalida o Modelo de Martins (1992) uma vez que em sua
concepção original o solo utilizado era normalmente adensado e não sensível. Neste
modelo são aliadas as idéias de Taylor e Terzaghi com a concepção de estado crítico. O
fato da teoria dos estados críticos não se aplicar aos solos sensíveis não significa dizer
que as idéias de Taylor e Terzaghi são incorretas e desta forma as hipóteses principais
sobre as resistências viscosa e friccional devem ser manter.
Dito isto, deve permanecer válido a hipótese da resistência friccional única
(função exclusiva da deformação cisalhante), da mobilização única do atrito (idem), da
poro-pressão única (idem) e do caminho de tensão friccional único (idem).
Quanto à resistência friccional única o gráfico da Figura IV.3 (re-apresentado
abaixo como figura V.78) atesta sua validade. Já para os demais itens, com os dados
disponíveis do artigo Vaid e Campanella (1977), não se teria como fazer essas análises,
uma vez que os dados de poro-pressão não foram apresentados. Porém uma análise
qualitativa é possível lançando-se mão dos dados do artigo Campanella e Vaid (1974).
A análise que se segue é puramente qualitativa, uma vez que conforme comunicação
pessoal, Vaid (2005), as duas capmanhas não foram feitas com amostras retiradas do
mesmo local.
Neste artigo os autores investigam o comportamento de fluência da argila Haney
submetida na fase de adensamento a estados K0, hidrostático e plano. Cabe registrar que
todos os cuidados tomados no artigo de 1977 (fase não-drenada anterior ao
cisalhamento, aquisição automática de dados, temperatura controlada) foram adotados
nesta campanha também. Fato digno de nota deste artigo (1974) é a apresentação de
uma gráfico de poro-pressão vs. Deformação axial onde se comparam as poro-pressões
de um ensaio triaxial convencional com a poro-pressão de um ensaio de fluência.
166
Como sustenta o Modelo de Martins (1992), a poro-pressão deve ser a mesma,
uma vez que esta não é influenciada pela velocidade de deformação, sendo dependente,
outrossim, de sua deformação cisalhante, e isso é exatamente o que se observa no
gráfico abaixo.
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ε (%)
σ'df
/ σ' c
Vel. def. axial = 1,1 %/min
Vel. def. axial = 0,15 %/min
Vel. def. axial = 0,014 %/min
Vel. def. axial = 0,0028 %/min
Vel. def. axial = 0,00094 %/min
Curva média
Figura AI.22
Figura AI.23
167
De posse desses dados pode-se através das equações apresentadas neste trabalho
avaliar a mobilização do atrito e o caminho de tensões friccional básico. Abaixo
encontram-se os gráficos correspondentes.
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0 2 4 6 8 10 12 14
ε (%)
tg α
mob
Vel. Def. = 1.1 %/minVel. Def. = 0.15 %/minVel. Def. = 0.014 %/minVel. Def. =0.0028 %/minVel. Def. = 0.00094 %/min
Figura AI.24
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1p'/p'c
q/p'
c
Caminho basico para Vel. Def. = 1.1 %/minCaminho basico para Vel. Def. = 0.15 %/min"Caminho basico para Vel. Def. = 0.028 %/minCaminho basico para Vel. Def. = 0.0028 %/minCaminho basico para Vel. Def. = 0.00094 %/min
Figura AI.25
Como foi possível ver, as duas hipóteses se verificam para a argila Haney.
