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GeometraCompendio de Ciencias - VI - A

81SISTEMA HELICOIDAL

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Geometra Compendio de Ciencias - VI - A

82 PASCUAL SACO OLIVEROS

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DE LA GEOMETRA PLANAA LA GEOMETRA DEL ESPACIO

Los temas tratados hasta ahora eran objeto de la geometra plana, sin embargo, en la realidad, la fiplana de dos dimensiones no existe como tal sino formando parte de un cuerpo del espacio. As, cuamanipulamos papel, cartn, madera, etc., lo hacemos con figuras tridimensionales, ya que stas tienecierto grosor; slo mentalmente separamos la figura plana de la del espacio, imaginndola aisladarncomo si no tuviera relacin con los cuerpos slidos.

En esta parte del libro estudiaremos las figuras cuyos elementos bsicos estn situados en el espacque constituye el objetivo de la geometra slida o espacial.

No obstante, los conceptos dados en geometra plana son aplicables de cierto modo a la geomeespacial. Por ello, dando por asumidas las ideas de punto, recta y plano vistas en la primera parte.

Analizaremos sus relaciones desde la ptica espacial, pues si bien en la geometra plana puntos y rse hallan dentro del plano, en la geometra espacial no sucede as, ya que en este caso los puntos y las rpueden ser exteriores a l.

Determinacin de un planoCon un solo punto del espacio no

queda determinado un plano, pues siapoyamos, por ejemplo, un trozo de cartnsobre la punta del dedo, observamos que elplano toma una infinidad de posiciones. Lo mismo sucede si lo intentamos con dos dedos, lo que nosque dos puntos tampoco lo determinan. Sin embargo, es un hecho comprobable que con tres dedos cosoporte, el cartn queda estabilizado, lo que nos confirma el siguiente enunciado:

En el espacio, tres puntos no alineados determinan un plano.

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NOCIONES FUNDAMENTALESESPACIO:

Extensin indefinida y sin lmites conocidos,que es el medio en el cual se hallan cuantas cosasexisten en el universo y tiene naturaleza material.

POSTULADO DEL PLANOEl plano es una superficie ilimitada en todas

sus partes y contiene, exactamente, a toda rectaque pase por dos puntos cualesquiera de dichasuperficie.

La idea de plano, recta y punto es un conceptointuitivo puramente experimental.

REPRESENTACIN DEL PLANOEl plano se representa generalmente mediante

una regin paralelogrmica; esto no implica que nopueda adoptar la forma de una regin poligonal ocircular cualquiera. Ejemplo: figura.

Notacin:

DETERMINACIN DE UN PLANODeterminar un plano significa escoger uno de

los infinitos planos que existen en el espacio.1. Tres puntos no colineales determinan un pla-no.

2. Una recta y un punto exterior a ella determinan

un plano.

3. Dos rectas secantes determinan un plano.

4. Dos rectas paralelas determinan un plano.

POSICIONES RELATIVAS ENTRERECTAS Y PLANOSI. ENTRE RECTAS

1. Rectas Secantes: Si tienen un puntocomn.

2. Rectas Paralelas: No tienen ningn puntoen comn y adems ellos pueden estarcontenidas en un mismo plano.

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3. Rectas Alabeadas o Cruzadas: Notienen ningn punto en comn y ademsellas nunca deben estar contenidas en unmismo plano.

* ngulo formado por dos rectasalabeadas: Para determinar la medidadel ngulo que forman dos rectas alabeadasse trazan 2 rectas paralelas a dichas rectasalabeadas, entonces el ngulo formado porlas rectas trazadas ser el ngulo entre las 2rectas alabeadas.

son rectas alabeadas

Si:es la medida del ngulo formado por

II. ENTRE PLANOS1. Planos Secantes: Si se intersectan deter-

minando una recta.

2. Planos Paralelos: Si los planos no seintersectan.

III. ENTRE RECTA Y PLANO1. Secante: Se intersectan determinando un

punto.

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2. Paralelos: Si no tienen ningn punto encomn.

PERPENDICULARIDAD ENTRERECTA Y PLANO

Para que una recta sea perpendicular a unplano es necesario y suficiente que esta recta seaperpendicular a dos rectas secantes contenidas enel plano.

Si una recta es perpendicular a un plano ser perpendicular a cualquier recta contenida en el plano.

Teorema:Por un punto exterior a una recta se puede

trazar infinitas perpendiculares a la recta.

Teorema de Thales :Si tres o ms planos paralelos son inter-

ceptados por dos rectas secantes los segmen-tos que se determinan entre los planos son

proporcionales.

Teorema de las tr es perpendiculares

Si por el pie de una recta perpendicular a

un plano se traza una segunda perpendicular auna recta contenida en el plano, el pie de la se-

gunda perpendicular con un punto cualquierade la primera perpendicular se determinaruna recta perpendicular a la recta contenidaen el plano.

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PROYECCIN ORTOGONAL DE UNPUNTO Y UNA RECTA SOBRE UN PLANO

La proyeccin ortogonal de un punto sobre unplano es el pie de la perpendicular trazada de dichopunto hacia el plano.

La proyeccin ortogonal de una recta sobre unplano es el conjunto de puntos del plano que son lasproyecciones ortogonales de los puntos de la rectasobre dicho plano.

MNIMA DISTANCIA ENTRE DOS RECTASCRUZADAS O ALABEADAS

La mnima distancia entre dos rectas cruzadases el segmento de recta perpendicular o ambasrectas.

Si: L1 y L2 son rectas cruzadas MN es la mnimadistancia entre L1 y L2

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1. En la figura:

demostrar que:

Resolucin:... (1)... (2)... (3)

De :

2. Problema Si una recta es perpendicular a dos rectas secan-

tes, demostrar que dicha recta es perpendicular

al plano que determinan.Resolucin:

1. Las rectas L1 y L2se cruzan ortogonalmente,es perpendicular comn entre ambas,

y M es punto medio de .Si: PA2 + AB2 + BA2 = 32, calcular AM.

A) 4 B) C) 6D) E) 8

2. En la figura P y Q son 2 planos perpendiculares,es un segmento tal que . Si

MN = , la medida del ngulo entre y P es

igual a 30 y la medida del ngulo antre yQ es igual a 45. Calcular la distancia entrey

3. Un segmento es secante a un plano P

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, se ubican los puntos C y D en P. Si:

yla medida del segmento es, entonces ladistancia entre y es:

A) B) C)

D) E)

4. Se tiene una regin cuadrada ABCD y unaregin triangular equiltera ABE, cuyos planosque los contienen son perpendiculares. Si AB

= a, entonces la distancia entre es:

A) B) C)

D) E)

5. Los cuadrados ABCD y ADEF estn contenidosen dos planos perpendiculares, tal que AB = 2.

Calcular la menor distancia entre

A) B) C)D) E) 1

6. Sobre las caras P y Q de un ngulo diedro rectose ubican los puntos A y B tal que AB = 10. Elsegmento AB forma con las caras P y Q ngulosque miden 37 y 30 respectivamente. Calcularla menor distancia entre la recta AB y la aristadel ngulo diedro.

A) B) C)

D) E)

7. Se tienen los cuadrados ABCD y ABEF ubica-dos en planos perpendiculares y cuyos centrosson los puntos P y Q respectivamente. Calcular

la distancia entre si AB = 4 m.

A) B) C)

D) E)

8. En la figura mostrada la arista del cubo midek.

Calcular la mnima distancia entre

9. La circunferencia de centro O y el cuadrado ABCD estn contenidos en planos perpen-diculares, siendo una cuerda de dichacircunferencia. Se ubica el punto M en, tal que 3DM = 5MC, AB = 40 y OA = 25.Calcular la distancia de M a A) 40 B) 41 C) 42 D) 43 E) 44

10. Se tiene un tringulo rectngulo ABC (recto enB). Por el circuncentro O de dicho tringulo setraza perpendicular al plano del tringulo(OP = 4u). calcular la mnima distancia entre

si BC = 4u.

A) B) C)

D) E)

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1. Hallar el nmero mximo de planos que sepueden determinar con 10 rectas paralelas.

Rpta.: .........................................................

2. Si la figura es un cubo. Calcular la medida delngulo formado por y

Rpta.: ...........................................................

3. La proyeccin sobre un plano de un segmento

de 10 cm es 8 cm.La suma de las distancias de sus extremos alplano es de 26 cm.Hallar el valor de las distancias de sus extremosal plano.

Rpta.: .........................................................

4. Dos puntos A y B son situados a uno y otrolado del plano X, distan de dicho plano 6 cm

y 9 cm respectivamente. Si la longitud de laproyeccin del segmento sobre el planoes 30 cm. Hallar la longitud de la distancia.

Rpta.: .........................................................

Rpta.: .........................................................

6. Si la distancia del centro de una cara del cuboa un vrtice opuesto es 4 m, calcular el reatotal del cubo.

Rpta.: .........................................................

7. Desde el extremo A del dimetro delsemi-crculo, setraza la perpen-dicular

a su plano demodo que:PQ = AB. Cal-

cular , si:

Rpta.: .........................................................

Rpta.: .........................................................

9. Se da una circunferencia de diametro EF = 10,

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por el extremo E se levanta la perpendicularal plano de la circunferencia. Sobre sta

se ubica un punto A de modo que DA = EF.Si AE=6cm., hallar DF.

Rpta.: .........................................................

10. Tres planos paralelos determinan sobre unarecta secante L1, los segmentos y y

sobre otra secante L2 los segmentos y.Si AB =8 u, CD =12 u y FD EB = 1 u.

Hallar la longitud de .

Rpta.: .........................................................

Ancdotas

EL ORIGEN DE LOS CIGARRILLOS Fueron los mendigos sevillanos quienes duranteel siglo XVI comenzaron a aprovechar los desechosde las hojas de tabaco que llegaban de Amrica.Se dedicaron a triturar los desperdicios de las mer-cancas y a liarlos en finas hojas de papel de arroz.

Los primeros cigarrillos manufacturados y empa-quetados datan de 1825. En 1833 aparecen las

primeras cajetillas y es cuando se empieza a utilizar la palabra cigarrillo o cigarrito, que deriva depuro o cigarro, llamado as por su similitud conuna cigarra. La fabricacin y venta fue monopoliode la Compaa Arrendataria de Tabacos, creadaen 1887. La primera cajetilla se llamaba CigarrillosSuperiores y contena 25 unidades.VAYA UD. A LA PORRA

Antiguamente, en el mbito militar, el soldado

que ejecutaba el tambor mayor del regimientollevaba un largo bastn, con el puo de plata, alque se llamaba porra.

Por lo general, este bastn era clavado en unlugar alejado del campamento y sealaba el lugar al que deba acudir el soldado que era castigadocon arresto: Vaya usted a la porra, le gritaba el

oficial y el soldado, efectivamente, se diriga a eselugar y permaneca all durante el tiempo que semantena el castigo.

Posteriormente, fue cambiada la forma de castigo, pero la expresin mandar a la porra qued en eluso del lenguaje del pueblo con un matiz netamentedespectivo.

EL ORIGEN DE LOS PANTALONESTEJANOS (Blue jeans)

En 1846, Oscar Levi Strauss, un joven judode origen alemn y sastre de profesin, se tras-lada a San Francisco para proveer de ropa a lostrabajadores de las minas durante la fiebre del oroen California. Los buscadores del preciado metalnecesitaban ropa muy resistente, as que a Strauss

se le ocurri fabricar unos pantalones de lona. La

tela que utilizaba para elaborar los tejanos, en un principio se obtuvo de las velas de los barcos que yano eran necesarias, puesto que fueron remplazadas

por la propulsin a vapor. Posteriormente, cuandodebido a la gran demanda dicha tela se agot, fue

substituida por otra azul elaborada con la fibra deuna planta llamada sarga. Los patent en 1873.

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NGULO DIEDRO Es la figura geomtrica formada por la uninde dos semiplanos que tienen en comn su rectade origen a la cual se le denomina arista del ngulodiedro.

Notacin:

ngulo diedro ,

ngulo diedro : ngulo plano o rectilneo del ngulo

diedro. : medida del ngulo diedro.

PLANOS PERPENDICULARES

PLANO BISECTOR DE UN NGULO DIE-DRO

Es aquel plano que contiene a la arista delngulo diedro y que determina con las caras otros

dos ngulos diedros de igual medida.Todo punto del plano bisector est a igual dis-

tancia de las caras de dicho ngulo diedro.

: Plano bisector del ngulo diedro.

Se cumple :

REA DE PROYECCIN ORTOGONAL DEUNA FIGURA PLANA SOBRE UN PLANODADO

El rea de la proyeccin ortogonal de una reginplana sobre un plano dado, es igual al productodel rea de dicha regin con el coseno del ngulodiedro determinado por el plano de la regin y elplano dado.

Si: A : rea de la regin plana. Ap : rea de la proyeccin ortogonal de la

regin sobre el plano H. : medida del ngulo diedro determinado

por los planos Q y H.

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Si fijas tu atencin en la habitacin en que teencuentras puedes observar cmo dos paredescontiguas, junto con el techo, se encuentran enun punto. El espacio alrededor de ese punto ycomprendido entre las paredes y el techo recibe elnombre de triedro.

En trminos generales, se llama ngulo poliedroa la regin del espacio limitada por tres o ms planos

que se cortan dos a dos segn rectas concurrentesen un mismo vrtice.Al igual que en diedros, los ngulos poliedros

NGULO POLIEDRO

tienen caras y aristas: Identifcalas t mismo en lfigura adjunta.

Segn el nmero de diedros, el poliedro sellamar: triedro, tetraedro, pentaedro, hexaedro,etc., pudiendo ser cada uno de ellos de dostipos: convexos o cncavos, segn que la seccinproducida al cortarlos por un plano sea un polgonoconvexo o cncavo, respectivamente.DEFINICIN

Es aquella figura geomtrica determinada portres o ms regiones angulares que tienen el mismo vrtice, adems dos regiones consecutivas debenestar en planos diferentes.

El punto comn a todos los planos que limitanal ngulo poliedro recibe el nombre de VRTICE

Las intersecciones de cada dos planosconcurrentes consecutivos se denominan ARISTAS.

Los ngulos formados por cada dos aristasconsecutivas se denominan CARAS y los diedroformadas por cada dos caras consecutivas se llamanDIEDROS del ngulo poliedro.

Elementos:

Vrtice : OAristas : .......

Caras :: a, b, c, d, ...........

Diedros :, , , ...........Notacin: ngulo poliedro O-ABCD

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* Se designa un ngulo poliedro por la letradel vrtice seguida de las letras relativas a lasdiferentes aristas o simplemente por la letra delvrtice cuando no puede haber ambigedadalguna.

CLASIFICACINSegn sea el nmero de caras si tiene 3 caras,

el ngulo poliedro se llama ngulo triedro, si tiene4 caras se llama ngulo tetraedro, si tiene 5 carasse llama ngulo pentaedro, si tiene 6 caras se llamangulo hexaedro, etc.

Cuando el nmero de caras es tres se puedesuprimir la palabra ngulo y llamar simplemente

triedro pero si es ms de tres no se puede suprimir lapalabra ngulo, porque existen cuerpos geomtricosllamados tetraedros, pentaedros, hexaedros,.... loscuales podran confundirse.* De todos los ngulos poliedros el ms importante

es el TRIEDRO.

NGULO TRIEDRO (TRIEDRO)El triedro es un ngulo poliedro de tres caras.

Elementos:

Vrtice : OAristas :Caras :

: a, b, cDiedros :, ,

Los triedros pueden ser:1. Tiedro escaleno: a b c

2. Tiedro issceles: a = b = c = 3. Tiedro equiltero: a = b = c

= = 4. Tiedro uni-rectngulo: a = 905. Tiedro bi-rectngulo: a = b = 906. Tiedro tri-rectngulo: a = b = c = 90

TRIEDRO POLARO TRIEDRO SUPLEMENTARIO

Se llama triedro polar o suplementario de untiedro dado aquel cuyas aristas son perpendicularesa las caras del otro.

si plano OABplano OACplano OBC

luego el triedro O-ABC se llama triedro polar osuplementario del triedro O-ABC

Teorema:

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PROPIEDAD 4En todo triedro la suma de los dos diedros es

menor al tercero aumentando en 180

Teorema:En todo ngulo poliedro la suma de las

caras es menor que 360 y mayor que 0.

Cuando dos triedros son suplementarioso polares se cumple que las caras de uno deellos son los suplementos de los diedros del otro triedro, y recprocamente.

PROPIEDADES DE LOS TRIEDROSPROPIEDAD 1En todo triedro una cara es menor que la suma

de la otras dos y mayor que la diferencia.

PROPIEDAD 2En todo triedro la suma de las caras es menor

que 360 y mayor que 0.

PROPIEDAD 3En todo triedro la suma de los ngulos diedros

es mayor que 180 y menor que 540

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1. Se ubica un punto exterior a un plano rectan-gular ABCD. PA =a, PB = b, PC = c.

Demuestre que:Resolucin:

En la figura:AO = OC = OB = OD = lT. Mediana

... (1)

... (2)(1) = (2)(PD)2 + b2 = a2 + c2

2. Problema

Se tienen dos rectas alabeadas, . En

se ubican los puntos A y D , en se ubi-can los puntos B y C tal que AB es la distancia

entre . Si la medida del ngulo entre

es y AB = AD =a y BC = b, de-muestre que:Resolucin:

1. Un poliedro de 29 vrtices est formado por6 tringulos,18 cuadrilteros yn pentgonos.Calcular su nmero de aristas.

Rpta.: ...........................................................

2. En un triedro OABC si OA=BC; OB=AC yOC=AB calcular la suma de las medidas delas caras del triedro.

Rpta.: ...........................................................

3. Calcular la medida del mayor ngulo diedro deun ngulo diedro en el cual dos de sus carasmiden 53 y la tercera 74.

Rpta.: ...........................................................

4. En un ngulo triedro OABC los ngulos diedrosOB y OC miden 127 y 173. Si la medida deldiedro OA es entero y menor que 122, calculesu medida.

Rpta.: ...........................................................

5. En las aristas OA, OB y OC de un ngulo diedro

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OABC se ubican los puntos M, N y T respectiva-mente. Calcular la medida del diedro OA si lascaras AOB y AOC miden 90,

y .

Rpta.: ...........................................................

6. Se tiene un ngulo triedro equiltero S-ABC,cuyas caras miden 30. Entonces la medida deuno de sus ngulos diedros es:

Rpta.: ...........................................................

7. En el ngulo triedro O-ABC,y los ngulos diedros OB y OC miden:

. Calcule la medida del ngulo queforma OA con la cara BOC.

Rpta.: ...........................................................

8. Se tiene un poliedro convexo que est limitadopor cierto nmero de regiones triangulares y

cuadrangulares y adems por tres regioneshexagonales. Si el nmero de aristas y el nme-ro de vrtices de este poliedro son respectiva-mente 25 y 15, calcular el nmero de regionestriangulares que limitan a este polgono.

Rpta.: ...........................................................

9. El nmero de caras ms el nmero de vrticesms el nmero de aristas de un poliedro es98. Calcular cuntas caras tiene sabiendo quela suma de las medidas de los ngulos de suscaras es 7200.

Rpta.: ...........................................................

10. La diferencia entre la suma de las medidas delos ngulos de todas las caras de dos poliedros Ay B es 2880. Si la diferencia entre el nmero decaras es 18, hallar la diferencia entre el nmerode aristas.

Rpta.: ...........................................................

1. Si en un tringulo rectngulo ABC recto en B,trazamos perpendicular al plano del trin-gulo donde BP=3,6 m, BC=12 my AB=9 m,hallar la medida del diedro PACB.

A) 37 B) C)

D) E) 53

2. En un tringulo rectngulo AOB, OA=OB=7a;

por O se levanta la perpendicular al plano

del tringulo de modo que y seune D con A y B. Hallar la medida del diedro

A) B) 53 C) 37

D) E) 30

3. Una circunferencia de dimetro

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est en un plano P. Por un punto C de dichacircunferencia se levanta perpendicular alplano P, tal que y DB = 4. Calcular

la medida del diedro que forman el plano ADEcon el plano P.A) 45 B) 30 C) 15D) 60 E) 53

4. En un tringulo ABC, recto en B, AB = 6 yBC=8. Por el vrtice B se traza perpendi-cular al plano ABC tal que BF=4,8. Calcular lamedida del ngulo que forman los planos ABCy AFC.A) 30 B) 37 C) 45D) 53 E) 60

5. Dado un tringulo rectngulo issceles ABC(recto en B); desde B se levanta la perpendicular

cuya longitud es 8 cm. Calcular la medidadel ngulo diedro formado por los planos ABCy ARC, sabiendo que la hipotenusa del tringulorectngulo ABC es 12 cm.

A) 50 B) 45 C) 37D) 53 E) 60

6. Sobre el plano se tiene el tringulo equiltero ABC, cuyo lado mide 10 cm, por el punto C selevanta perpendicular al plano . Deter-minar el rea de la regin triangular ADB si elngulo formados por los tringulos DAB y CABmide 30.A) 50 cm2 B) 50 cm2

C) 25 cm2 D) 52,5 cm2

E) 72 cm2

7. Dado un tringulo rectngulo issceles ABCrecto en B. Por B levanta una perpendicular

al plano ABC, hallar la media del diedro

si PM = BC (M punto medio de )A) 30 B) 45 C) 60D) 53 E) 34

8. Se tiene un tringulo rectngulo ABC, recto enB, tal que AB = 8 y BC = 6. Si la distancia deal plano P que pasa por mide 2,4. Calcularla medida del diedro que forma el plano P conel plano del tringulo ABC.A) 15 B) 30 C) 37D) 53 E) 45

9. En la figura ABCDA'B'C'D' es un hexaedro

regular, hallar la medida del ngulo diedroformado por los planos ABCD y ABNM, donde M y N son puntos medios yrespectivamente.

10. Los planos P y Q se cortan formando un diedrode 120 y una secante corta a P y Q en A y Brespectivamente considerando que las distan-cias de A y B a la interseccin de P y Q es x ey. Hallar z2 + y2 + xy, sabiendo que: AB =a

A) B) C)a2

D) 2a2 E) 3a2

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Los cuerpos que observas en la naturaleza adoptan formas muy variadas; algunos de ellos se aproxibastante a las formas geomtricas que observas en el dibujo. Sin embargo, un dado, un cucurucho, caja de cerillas, una pelota o una lata de conservas, productos de nuestra cultura. son modelos bastaaproximados de los cuerpos geomtricos.

LOS POLIEDROS Y LA FRMULA DE EULEREntre los distintos cuerpos geomtricos distinguimos a simple vista los que tienen sus caras lim

por polgonos, como una caja de cerillos y los que no, como un cucurucho, lo que permite dar una primclasificacin en poliedros y no poliedros.

Poliedro es todo slido limitado por caras en forma de polgonos. Segn el nmero de stas, los poliepueden ser tetraedros, pentaedros, hexaedros, etc.

En la figura, que representa un hexaedro regular, puedes observar los elementos bsicos que componen todo poliedro: vrtices,aristas, caras, diagonales, planos diagonales, ngulos diedros y

ngulos poliedros.

Es preciso prestar atencin al concepto de diagonal del poliedroy no confundirlo con el de diagonal de una cara del poliedro.

a. Como puedes observar, las siguientes figuras muestran lospoliedros regulares y sus respectivos desarrollos.

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POLIEDROSSon aquellos slidos limitados por cuatro o ms planos secantes. Los poliedros ms conocidos so

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pirmides y los prismas.

La interseccin de cada uno de estos planoscon todo los dems que con el cierran o limitan alpoliedro determinan un polgono. Los polgonos quelimitan el poliedro se llaman caras. Las interseccio-nes de estas se llaman aristas, los puntos en que secortan las aristas reciben el nombre de vrtices.

DIAGONAL DE UN POLIEDROEs el segmento de recta que une dos vrtices no

pertenecientes a una misma cara.TEOREMAS DE EULER1. En todo poliedro se cumple que el nmero

de caras ms el nmero de vrtices esigual al nmero de aristas ms dos uni-dades.

donde: C = caras / V = vrtices / A = aristasDemostracin:

Aristas recorridas = V1Aristas no recorridas = C1

sumando: A=V+C2C+V = A + 2

2. En todo poliedro la suma de las medidasde los ngulos internos de todas sus carases igual a 360 multiplicado por el nmerode vrtices menos 2.

donde V = vrtices, adems:

donde: A = aristas

POLIEDROS REGULARESSon aquellos poliedros convexos cuyas carasson polgonos regulares iguales entre s. Los ngulos poliedros y los diedros son respec -

tivamente iguales. Todo poliedro regular se puede inscribir o

circunscribir en una esfera donde el centro delas esferas viene a hacer el centro de poliedroregular.

Teorema

Solamente existen 5 poliedros regularestetraedro regular, exaedro regular, octaedroregular, dodecaedro regular, icosaedro regu-lar.

Tetraedro RegularSus caras son tringulos equilteros, que estn

unidos de 3 en 3.

Notacin: Tetraedro OABC

Hexaedro regular (cubo)

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Teorema:En todo tetraedro trirectngulo se cumple

que el cuadrado del rea de una cara catetoes igual al rea de la cara hipotenusa multi-

plicado por el rea de la proyeccin de la caracateto sobre la cara hipotenusa.

Teorema:En todo tetraedro trirectngulo se cumple

que el cuadrado de la cara hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las reas de lascaras catetos.

Teorema:

En todo tetraedro trirectngulo se cumpleque la suma de las inversas de los cuadradosde las aristas que concurren en el triedro tri-rectngulo es igual a la inversa del cuadradode la altura relativa a la cara hipotenusa.

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1. En un tetraedro regular de aristaa demostrar que la longitud de la al tura es

.Resolucin:

En la figura: ABC: equiltero de ladoa.

H: Centro de la regin triangular.

(VB)=(VH)2 + (HB)2

2. Problema En un hexaedro regular su arista midea. De-

muestre que su diagonal mide .Resolucin:

1. En un tetaedro OABC en donde el tringulo ABC es equiltero y OA=OB=OC el radio dela circunferencia inscrita en el tringulo ABC es2u y el radio de la circunferencia inscrita en eltringulo OBC es . Calcular el rea de lasuperficie total del tetraedro.

Rpta.: ...........................................................

2. En un hexaedro regular la arista midea unida-des, se traza un plano pependicular por el puntomedio de una de las diagonales del hexaedro.Calcule el rea de la seccin determinada enel hexaedro.

Rpta.: ...........................................................

3. En un cubo la arista midea unidades, tneiendocomo referencia un vrtice se dibuja un tetrae-dro regular uniendo los vrtices no adyacentesdel cubo. Uniendo los centros de cada cara delcubo se dibuja un octaedro regular. Entonces,la razn entre el rea trotal del tetraedro y elrea total del octaedro es:

Rpta.: ...........................................................

4. En un tetaedro regular la longitud de su diagonales igual al radio de la esfera circunscrita a untetraedro regular. Calcular la razn de volumende dichos poliedros.

Rpta.: ...........................................................

5. En un tetaedro regular la distancia del centro

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a una cara esd unidades. Entonces la longitudde la arista es:

Rpta.: ...........................................................

6. En un dodecaedro regular, calcular el valor de

la siguiente expresin: , donde:T: Nmero de tringulos contenidos en la

superficie del slido y cuyos vrtices sonlos vrtices del dodecaedro regular.

M: Nmero de trapecios contenidos en la su-perficie del slido y cuyos vrtices son los vrtices del dodecaedro regular.

V: Nmero de vrtices del dodecaedro regu-

lar.

Rpta.: ...........................................................

7. Calcular la razn de reas de las superficiesde un octaedro regular y un icosaedro regular,sabiendo que el circunradio de una de las carasdel octaedro tiene igual longitud que la aristadel icosaedro.

Rpta.: ...........................................................

8. En un octaedro regular S-ABCD-R en las aristas

se ubican dos puntos P y Q.

Si , DQ=QC y la arista del octaedromide L unidades,entonces el permetro de laseccin plana determinada por el plano quepasa por los puntos P y Q y el centro del oc-taedro es:

Rpta.: ...........................................................

9. En un octaedro regular calcular la razn de reasde las proyecciones de dicho octaedro sobre unplano perpendicular a una arista y a la diagonaldel octaedro.

Rpta.: ...........................................................

10. En un tetaedro regular la medida de una altura

es . Calcular la medida del menor recorridopara ir de un vrtice al baricentro de la caraopuesta a travs de la superficie.

Rpta.: ...........................................................

11. Dado un octaedro regular se traza su poliedroconjugado inscrito y a este nuevo poliedro tam-bin se le traza su poliedro conjugado inscritocalcular la razn de las longitudes de las aristadel octaedro y segundo poliedro conjugado

trazado.

Rpta.: ...........................................................

12. En un hexaedro regular ABCDFGH se ubicaN punto medio de . Si , calcular

la distancia entre

Rpta.: ...... ............. ............. ............. ..............

13. Se tiene un hexaedro regular ABCD-EFGH, cal-cular la medida del ngulo diedro determinadopor los planos EBH y BGH.

Rpta.: ...........................................................

14. En un tetraedro regular O-ABC la longitud desu arista esa; la altura intersecta al plano

BMC en el punto P, siendo M punto medio de. calcular OP.

Rpta.: ...........................................................

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1. La arista de un octaedro regular mide a.Calcular el volumen del rectoedro que se formaal unir los puntos medios de ocho aristas.

Rpta.: .........................................................

2. Hallar la distancia entre dos aristas opuestasde un tetaedro regular, si el volumen es iguala 9m3.

Rpta.: ............. ............. ............. ............. .....

3. Calcular el rea total del tetaedro regular quese encuentra inscrito en un cubo cuya reatotal es 24 u2.

Rpta.: .........................................................

4. En un octaedro regular del volumen igual a288m3, se unen los centros de todas sus caras,

formandose un cubo cuya arista mide:Rpta.: .........................................................

5. Halle el volumen de un tetaedro regular si laaltura mide 2m.

Rpta.: .........................................................

6. Calcular la distancia entre los centros de dos

caras de un tetraedro regular de arista a.

Rpta.: .........................................................

7. Calcular la longitud de la altura si la arista deltetaedro regular mide 2cm.

Rpta.: .........................................................

8. Hallar el ngulo formado por L1 y L2; si la figuraes un dodecaedro regular.

Rpta.: .........................................................

9. Hallar el nmero de caras de un poliedrosabiendo que la suma de los ngulos internosde todas las caras es 7200 y la suma entre elnmero de caras, vrtices y de aristas es 98.

Rpta.: .........................................................

10. Calcular el nmero de aristas de un poliedrocuyo nmero de caras es igual al nmero de vrtices, adems la suma de los ngulos inter-nos de sus caras es 2520.

Rpta.: .........................................................

11. Si el rea de un tetaedro regular es 60m2,hallar el rea del slido que se forma al unirlos puntos medios de la arista.

Rpta.: .........................................................

12. Se tiene un tetraedro OABC si la distancia deun vrtice al baricentro de la cara opuesta es12m, hallar la distancia de dicho vrtice a lainterseccin de las medianas del tetraedro.

Rpta.: .........................................................

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1. La diferencia entre las proyecciones de un seg-mento de recta sobre el plano P y sobre unarecta perpendicular al plano es igual a 7 cm. Siel segmento mide un centmetro ms que

su proyeccin sobre P, calcular la medida delsegmento .

Rpta.: ..........................................................

2. En la figura, el plano R es paralelo al plano S; AM=MB y G es baricentro del tringulo ABC.

Calcular: .

Rpta.: ..........................................................

3. Uno de los catetos de un tringulo isscelesest contenido en un plano P y el otro formacon dicho plano un ngulo de 45. Calcular elngulo que forma su hipotenusa con el planoP.

Rpta.: ..........................................................

4. Por el extremo A del dimetro de unacircunferencia se levanta una perpendicular alplano del crculo, sobre esta perpendicular setoma un punto M y se une B con un punto C

de la circunferencia. Calcular B con un puntoC de la circunferencia. Calcular MC si MB=26y BC=14.

Rpta.: ..........................................................

5. Los puntos A y B se encuentran a 8 y 4 cmencima de un plano horizontal, adems laproyeccin de sobre el plano mide 9 cm.Calcular lalongitud del menor camino de A a

B pasando por un punto del plano.

Rpta.: ..........................................................

6. Dado un tringulo ABC, equiltero, se traza, perpendicular al plano del tringulo. Si

AE=BC, calcular la medida del ngulo con quese cruzan .

Rpta.: ..........................................................

7. Se tiene un plano P y un punto exterior S, desdeel cual se trazan las oblicuas queforman con P ngulos que miden 30, 45 y 53respectivamente. Ai A, B y C se encuentran enel plano y SB=8, calcular SA+SC.

Rpta.: ..........................................................

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8. Dado un cuadrado ABCD, por M, punto mediode , se levanta perpendicular al planodel cuadrado tal que AB=PM=3. Se une P conD de modo que interseca en E al plano quepasa por y es perpendicular al plano delcuadrado. Calcular el rea de la regin trian-gular CED.

Rpta.: ..........................................................

9. En un tringulo ABC, BC=6 y AC2+AB2=68.Por A pasa un plano tal que la perpendicular

trazada del punto medio de al plano mide3. Calcular la distancia del vrtice A al pie dela perpendicular.

Rpta.: ..........................................................

10. Por el vrtice A de un tirngulo ABC se levantala perpendicular al plano del tringulo.Se trazan . Si MQ=5;PB=6; MP=4 y , calcularSBMC.

1. En un tetraedro OABC, tri-rectngulo en O,las reas de sus caras son:

, ,. Calcular el rea de la cara hipotenusa (cara ABC).A) 11 m2 B) 60 m2 C) m2

D) 100 m2 E) N.A.

2. El lado de un cuadrado ABCD mide 2 cm, selevanta en A, una perpendicular al plano ABCD,sobre la que se toma AE = 6 cm y en C otraperpendicular CF = 9 cm. Hallar el volumendel tetraedro EBDF.A) 3 cm3 B) 4 cm3 C) 5 cm3

D) 6 cm3 E) N.A.

3. Determinar la relacin que existe entre el volu-men de un cubo y el volumen de un octaedroregular, cuyos vrtices estn situados en loscentros de cada una de las caras del cubo.

A) 3 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

4. En un tetraedro regular la menor distanciaentre dos aristas no coplanares es d. Halar el volumen de dicho tetraedro.

A) B) C)

D) d3 E) N.A

5. Se da un tetraedro regular OABC de altura

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OH se toma M punto medio de OM, calcularla suma de las caras del triedro MABC.A) 270 B) 180 C) 135D) 225 E) 240

6. Entre qu valores vara un diedro de un tetrae-dro regular.A) 60 y 150 B) 30 y 120C) 30 y 90 D) 60 y 180E) 30 y 180

7. Calcular la suma de los ngulos internos de lascaras de un dodecaedro regular.A) 6540 B) 6580 C) 3600D) 6480 E) 3680

8. Calcular la relacin entre la suma de las medi-

das de los ngulos de las caras de un octaedroregular y su conjugado.

A) B) C) D) E)

9. Calcular la relacin entre los volumenes deltetraedro regular y un cubo si los vrtices deltetraedro coinciden con los vrtices del cubo.

A) B) C) D) E)

10. En un tetraedro regular de arista 12 m se en-cuentra un slido cuyos vrtices son los centrosde las caras. Calcular la rea del slido.A) B) C)D) E)

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Historia mtica

ANGKOR, CAPITAL DEL IMPERIO KH- MER

(Camboya)Datos: Sitio declarado Patrimonio de la Humani-dad en el ao 1992. Ocupa una extensin de msde 200 kilmetros cuadrados. La ciudad estabarodeada de una muralla cuadrada de 4 kilmetrosde lado y orientada segn los puntos cardinales.Redescubierta en el ao 1900, hoy es el lugar ms

visitado de Camboya.Localizacin: Situada a orillas del Gran Lago TonlSap, en Camboya. La ciudad ms prxima esSiem Reap, desde donde pueden organizarse las visitas. Angkor fue construido entre los ao 1113y 1150 por el rey Suryavarman II, pertenecienteal conocido como Imperio Khmer, en la actualCamboya. Su esplendor no dur ni cuatro siglos,pues en el ao 1431 la ciudad fuesaqueada por sus rivales del reino

Thai de la actual Tailandia. Entoncesla ciudad fue abandonada y olvidada,perdindose su recuerdo entre lasbrumas de la leyenda.

La palabra Angkor significa lite-ralmente capital y a decir verdadno existe un solo Angkor, en realidadexisten varios recintos sagrados queen un momento u otro ejercieroncomo capital de un vasto conjuntoal que hoy en da se le da el mismonombre genrico. As, existe AngkorThom, rodeado de murallas y dedi-cado a Buda, o el ms famoso An-gkor Vat, conocido como el Templo

Montaa, por su simbolismo csmico y las cincotorres escalonadas que rematan el templo.

La mayora de templos conservados estndedicados al culto del Bodhisattva Lokesvara,personaje central del budismo mahayana. Pordesgracia, los palacios que acompaaban a cadauno de los templos no se han conservado debidoal empleo de la madera para su construccin, lacual se ha estropeado debido al clima semitropical

hmedo que caracteriza la zona.El templo-palacio de Angkor fue redescubiertopara el mundo occidental en el ao 1900, cuandoel explorador francs Henri Mouhot accedi hastasus ruinas, casi sepultadas entre la selva. Para surestauracin fue necesario desmontarlo piedra apiedra para posteriormente volver a unir todas laspiezas reforzadas. Gracias a tan ciclpeo esfuerzo

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