Géométrie des réseaux d’interactions :

rôle en écologie et épidémiologie

Alain Franc(1) & Nathalie Peyrard(2)

(1) INRA, UMR BioGEco, Bordeaux(2) INRA, Biométrie Avignon, France

Avignon, 22-23 mai 2006

Plan

I. Contexte Epidémiologie sur un grapheMétapopulationsEspèces invasives

II. « Interacting particle models » sur un graphe :vers des modèles simples, et accessibles

III. Quelques explorations durant le régime transitoire

Contexte :Epidémiologie sur un

graphe,Métapopulations,Espèces invasives

Principaux types de modèles spatio-temporels

Principaux types de modèles spatio-temporels

Graphe : un outil mathématique

Graphes

Exemple

Metalife !

Trois exemples

Métapopulations: PatchesFlux de graînes entre patch

Epidémiologie: HôtesFlux de parasites entre hôtes

Espèces invasives Patches de végétation résidenteInvasion par des espèces exotiques

Cadre géométrique commun

Patches : Dynamique résidente Croissance des plantesDynamique de la végétationCycle de vie de l’hôte

Flux : Flux d’information Perturbation de laentre patch dynamique résidente

Processus de contact

1. Processus de contact 2. Modèles «  interacting particle models »

plus généraux

Géometrie et processus locaux

Processus de contact sur un graphe

Approximation « champ moyen »

Métapopulations, Epidémiologie, Modèles

« champ moyen »

Ecarts au champ moyen

Rupture Champ Moyen

PC sur un graphe

Distribution des degrés

Coefficient d’agrégation

Diamètre

Quelques caractéristiques d’un graphe

Géométrie du graphe

Processus

Modèles « Interacting particles »

vers des modèles moins simples mais tjs accessibles

S

Modèles « SIR » 

I R

Interactions entre une plante et un parasite fongique

Connaissances biologiques de ces interactions

Une diversité d’interactions et de filtres- gène pour gène : réaction hypersensible - résistance partielle : protège de l’infection

en limite les effets- tolérance : réduit ou élimine

les effets de l’infection

voir Jokela, Schmid-Hempel & Rigby, Oïkos, 2000Roy & Kirchiner, Evolution, 2000Segarra, Phytopath., 2005

Modèle pour l’hyperparasitisme

S I R

H

Communautés de parasites

0

a

c

d b

Towards closed forms?

Elimination du paramètre à l’équilibre

Forme « fermée » à l’équilibre

Champ moyen Approximation par paires

Ajustement de la « forme fermée » (k. avec

Ajustement de la « forme fermée » (k. avec

Ajustement

Champ moyen

Paires

Est-ce que la forme ferméefonctionne aussi en régime transitoire ?

Question à 1 000 €

Question plus générale

Comment fermer le systèmes durant le régime transitoire ?

Différentes fermetures type MF, PA, Bethe, etc ….

Extrapoler la fermeture empirique à l’équilibre

Trajectoire rectiligne dans le plan (ρ,ξ)

Fermeture par trajectoire rectiligne

On connaît l’état de départle paramètre

On calcule (ρ0, ξ0)

On calcule l’état d’équilibre (ρ*, ξ*) par la fermeture empirique

On « ferme » le régime transitoire par l’hypothèse que la trajectoire dans le plan (ρ,ξ) est une droite

En équation …

Ligne droite

Equilibre

Questions à étudier

1. Mieux comprendre la transition ligne droite → forme fermée

2. Quelle équation de la forme fermée ?ici, polynôme empirique 4ème degréloi allométrique de puissance ?

3. Quel comportement sur un réseau 2D ?sur un graphe non régulier ?

Pourquoi ça marche à peu près ?

Remerciements

Mercedes Pascual

Marie-Laure Desprez-Loustau

Cécile Robin