Fundamentos de Matematica

5/27/2018 Fundamentos de Matematica

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Universidade Federal de SergipeCentro de Ciencias Exatas e Tecnologia

Departamento de Matemtica

Material Didtico para a disciplina

Fundamentos de Matemtica

Paulo de Souza Rabelo

Aracaju - SE2013


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Sumrio

1 Introduo 1

2 Noes de Lgica 42.1 Clculo Proposicional 4

2.1.1 Conjuno 52.1.2 Disjuno 62.1.3 Negao 72.1.4 Implicaes 72.1.5 Se, e somente se 9

2.2 Tautologias e Contradies 92.3 Quantificadores 102.4 Validade de Argumentos 12

2.4.1 Tabela-Verdade 132.4.2 Regras de Inferncia 14

2.4.3 rvore de Refutao 162.4.4 Argumentos envolvendo quantificadores 18

3 Tcnicas de Provas 283.1 O Mtodo Direto 30Prova por Contradio (Reduo ao Absurdo) 32Provas tipo P se, e somente se, Q 34Prova por Casos 35Provas de Existncia 36Provas de Unicidade 38Uso de Contra-Exemplos 40

3.2 Induo Matemtica 41

4 Conjuntos 464.1 Uma pausa para o rigor 51

5 Relaes 555.1 Relaes de Equivalncia 565.2 Relao de Ordem 60

6 Funes 63

7 Cardinalidade 68

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CAPTULO 1

Introduo

O que Lgica? Lgica a cincia que estuda pricpios e mtodos de inferncia, tendo o obje-tivo principal de determinar em que condies certas coisas se seguem (so consequncias), ouno, de outras. Obviamente, como definio, isso deixa bastante a desejar: precisamos explici-tar o que "inferncia", por exemplo, e o que se quer dizer com "se seguem"ou "consequncia".

Vamos comear com o problema apresentado no seguinte mini-conto de fadas:H no muito tempo atrs, num pas distante, havia um velho rei que tinhatrs filhas, inteligentssimas e de indescritvel beleza, chamadas Guilhermina,Genoveva e Griselda. Sentindo-se perto de partir desta para melhor, e semsaber qual das filhas designar como sua sucessora, o velho rei resolveusubmet-las a um teste. A vencedora no apenas seria a nova soberana, comoainda receberia a senha da conta secreta do rei (num banco suo), alm deum fim de semana, com despesas pagas, na Disneylndia. Chamando asfilhas sua presena, o rei mostrou-lhes cinco pares de brincos, idnticos emtudo com exceo das pedras neles engastadas: trs eram de esmeralda, edois de rubi. O rei vendou ento os olhos das moas e, escolhendo ao acaso,colocou em cada uma delas um par de brincos. O teste consistia no seguinte:aquela que pudesse dizer, sem sombra de dvida, qual o tipo de pedra quehavia em seus brincos herdaria o reino (e a conta na Sua, etc.).

A primeira que desejou tentar foi Guilhermina, de quem foi removida avenda dos olhos. Guilhermina examinou os brincos de suas irms, mas nofoi capaz de dizer que tipo de pedra estava nos seus (e retirou-se, furiosa). Asegunda que desejou tentar foi Genoveva. Contudo, aps examinar os brincosde Griselda, Genoveva se deu conta de que tambm no sabia determinar se

seus brincos eram de esmeralda ou rubi e, da mesma forma que sua irm,saiu batendo a porta. Quanto a Griselda, antes mesmo que o rei lhe tirassea venda dos olhos, anunciou corretamente, alto e bom som, o tipo de pedrade seus brincos, dizendo ainda o porqu de sua afirmao. Assim, ela herdouo reino, a conta na Sua e, na viagem Disneylndia, conheceu um jovemcirurgio plstico, com quem se casou e foi feliz para sempre.

Agora, um probleminha para voc resolver: que brincos tinha Griselda, de esmeralda ou derubi? Pense e responda! J de volta? Bem, espero que voce tenha feito o esforo e descobertoque os brincos de Griselda eram de esmeralda. Contudo, responder ao exerccio dizendo apenas

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CAPTULO 1 INTRODUO 2

que os brincos eram de esmeralda no suficiente: voce poderia ter tido um palpite feliz,acertando simplesmente por sorte. Para me convencer de que voc sabe mesmo a resposta,

voce tem de expor as razesque o/a levaram a concluir que os brincos eram de esmeralda;voce tem dejustificaressa sua afirmao. Note que as princesas tambm estavam obrigadas afazer isto: o velho rei no estava interessado em que uma delas acertasse a resposta por acaso.

Ora, enquanto tentava resolver o problema, voc deve ter tomado vrios pontos de partidae pode ter seguido por vrios caminhos busca de soluo. A esse processo de busca vamoscham-lo deraciocnio, ou de processo de inferncia. Basicamente, raciocinar, ou fazer in-ferncias, consite em "manipular"a informao disponvel - aquilo que sabemos ou supomosser verdadeiro - e extrair consequncias disso, obtendo informao nova. O resultado de umprocesso (bem sucedido) de inferncia que voc fica sabendo algo que no sabia antes: queos brincos de Griselda so de esmeralda; que o assassino foi o mordomo; que o melhor time do

pas o Vasco. claro que este processo tambm pode terminar num fracasso!Porm, a Lgica no procura dizer como as pessoas raciocinam, mas se interessa primei-ramente pela questo de se aquelas coisas que sabemos (o ponto de partida do processo), defato constituem uma boa razo para aceitar a concluso alcanada, isto , se a concluso umaconsequncia daquilo que sabemos (nossas hipteses). A importncia de uma boa justificativavem do fato de que muitas vezes cometemos erros de raciocnio, chegando a uma conclusoque simplesmente no decorre da informao disponvel. E, claro, h contextos nos quais umaafirmao s pode ser aceita como verdadeira se muito bem justificada: na cincia de um modogeral, por exemplo, ou em um tribunal (onde algum s pode ser condenado se no houverdvida quanto a sua culpa).

Com relao ao problema dos brincos das princesas, uma justificao de que os brincos deGriselda so de esmeralda pode ser algo como o que se segue:

Existem apenas dois pares de brincos de rubi; logo, se tanto Genoveva quantoGriselda estivessem com brincos de rubi, Guilhermina, a primeira, saberiaque os seus so de esmeralda. Guilhermina, contudo, no soube dizer qual otipo de pedra em seus brincos. Logo, ou Genoveva e Griselda tinham ambasbrincos de esmeralda, ou uma tinha brincos de rubi e a outra, de esmeralda.Mas disso se segue agora que, se Griselda tivesse brincos de rubi, Genoveva,a segunda, teria visto isso, e saberia que os seus so de esmeralda. Genoveva,contudo, tambm no soube dizer qual o tipo de pedra em seus brincos. Logo,

Griselda no tinha brincos de rubi, ou seja, seus brincos eram de esmeralda.

Essa listagem de razes mostrando como deduzir, ou como demonstrar, a partir dos dadosdo problema, a concluso a respeito de qual pedra estava nos brincos de Griselda, o quechamamos deargumento.

O objetivo nessa disciplina mostrar que existem argumentos, considerados vlidos, deuso frequente em matemtica, seja para resolvermos problemas ou provarmos determinadasafirmaes (teoremas). A veracidade desses argumentos estar baseada em princpios lgicos(primeira parte do curso) e ser verificada atravs de tabelas-verdade, regras de inferencia ervores de refutao. Veremos as vantagens e desvantagens da cada um desses mtodos. Na


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CAPTULO 1 INTRODUO 3

sequncia, estudaremos alguns argumentos de prova/resoluo, exemplificando-os com ma-temtica elementar: noes de divisibilidade, do que ser um nmero par, mpar, racional,

irracional, primo, etc.Por fim, estudaremos tpicos que permearo a vida acadmica do aluno e so fundamentaisem matemtica: conjuntos, relaes, funes e cardinalidade.

Quase nada do escrito nessas notas de minha autoria: ela uma colagem de diversas partesdos livros citados nas referncias. Muito contedo veio do livro do Bloch [1]. O interesse proporcionar aos alunos uma fonte de leitura em portugus, j que h poucos livros nesseidioma que contemple satisfatoriamente a ementa da disciplina - em geral, livros de matemticadiscreta. Por outro lado, h uma extensa literatura em ingls.


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CAPTULO 2

Noes de Lgica

Lgica Matemtica encontra aplicaes em muitas reas de computao. As leis da lgica soempregadas no design de circuitos digitais, inteligncia artificial, programao de computado-res e de linguagens, banco de dados relacionais, etc.

Para entender matemtica, devemos entender o que faz um argumento correto, isto , uma

prova. Uma vez provado que uma afirmao matemtica verdadeira, chamamos ela um teo-rema. Uma coleo de teoremas sobre um tpico organiza o que sabemos sobre esse tpico.Provas jogam um papel essencial quando verificamos que programas computacionais produ-zem uma sada correta para todos os valores de entrada, quando estabelecemos a segurana deum sistema e quando criamos inteligncia artificial. Sistemas autmatos tm sido construdospermitindo que computadores produzam suas prprias provas.

Nesta primeira parte estudaremos o que faz um argumento correto e introduzimos ferra-mentas para construir esses argumentos. Desenvolveremos um arsenal de mtodos de provasdiferentes que nos capacitaro a provar diversos resultados ou resolver problemas. Ser sufici-ente para nossos propsitos apresentar os conceitos de modo informal.

2.1 Clculo Proposicional

Uma caracterstica especial que distingue matemtica de outras cincias o tipo de raciocnioutilizado. Cientistas fazem observaes de casos particulares ou fenmenos e buscam umateoria geral que descreve ou explica as observaes. Esta viso chamadaraciocnio indutivo,e testada por fazer outras observaes. Se os resultados so incompatveis com as expectativastericas, o cientista usualmente rejeita ou modifica a teoria.

Matemticos tambm usam, com frequncia, o raciocnio indutivo para descrever modelose relaes entre quantidades e estruturas. Mas o que caracteriza o pensamento do matemtico

oraciocnio dedutivo, no qual usamos lgica para retirar concluses baseadas em afirmaesaceitas como verdadeiras. Se os resultados de alguma teoria matemtica so incompatveis coma realidade, a falha no est na teoria, mas nas hipteses tomadas. Assim, o matemtico noest restrito ao campo do fenmeno observvel.

Os objetos fundamentais em lgica so as proposies.

Definio 2.1.1. Uma proposio uma afirmao que verdadeira ou falsa, mas no ambas.

Exemplo 2.1.2. (1)

2 um nmero irracional;

(2) Todo tringulo issceles;

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2.1 CLCULO PROPOSICIONAL 5

(3) Que horas so?

(4) x + 1=2;(5) Existem infinitos nmeros primos;

(6) Vixe Maria!

(7) Esta afirmao falsa.

Questes imperativas e exclamativas no so proposies. A afirmao (4)pode ser ver-dadeira ou falsa, dependendo do valor de xassociado. Ela umpredicado(uma afirmaocontendo uma ou mais variveis). A afirmao (7)faz uma referncia a si mesma, tornandoimpossvel atribuir-lhe um valor: se assumirmos sua veracidade, ento a sentena afirma que

falsa, e da mesma forma, ao assumirmos ela como falsa, encontramos que ela verdadeira.Isto um exemplo de umparadoxo. O estudo de paradoxos exerce um papel chave no desen-volvimento da lgica moderna. As demais afirmaes so proposies.

No estudo de lgica, usamos letras para representar proposies simples (ou atmicas), taiscomoP,Q,Re S; e atribumos o valorVouFa uma proposio se ela for verdadeira ou falsa,respectivamente. O que faz a lgica interessante que existem vrios modos teis de formarnovas proposies a partir das antigas. Para isso usamos os chamadosconectivos lgicos. Com

CONECTIVO SMBOLO

e (conjuno) ou (disjuno) no (negao) ou

se, ento (condicional ou implicaco) ou se, e somente se (bicondicional) ou

Tabela 2.1 Conectivos lgicos

exceo do "no"(), os smbolos para esses conectivos so escritos entre duas proposies. Averacidade de uma proposio composta depende da verdade de suas componentes. Estudemoscada um desses conectivos.

2.1.1 Conjuno

Se um aluno chegasse para o professor e dissesse: "No tenho tempo para lazer, pois trabalhoe estudo". Em que situao o professor diria: "Voce est mentindo!"? E em qual situao oaluno estaria dizendo a verdade?

Numa conjuno, sePeQso proposies, entoP Q uma afirmaoverdadeira quando ambos,PeQ, so verdadeiros, e falsa caso contrrio.

Esta afirmao usualmente apresentada na forma de uma tabela-verdade, na qual so

exibidas todas as possibilidades para os valores de PeQ(ver Tabela 2.2).


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P Q P QV V VV F FF V FF F F

Tabela 2.2 Tabela-verdade para a conjuno

Exemplo 2.1.3. (1) Trabalho como professor de matemtica no Estado e no municpio.

(2) O nmero 2 um nmero primo e um nmero par.

(3) Trs maior que 1 e menor que 5.

Observao 2.1.4. Notemos que o nmero de possibilidades para uma proposio compostapornproposies 2n.

2.1.2 Disjuno

Consideremos as seguintes afirmaes:

(1) Atltico ou Fluminense vencer a libertadores.

(2) Eu vou comer um hambrguer ou uma pizza.

Em que sentido elas so vlidas? A afirmao (1) dita est na formaexclusiva, significandoque "ou um ou outro, mas no ambos". Em matemtica, usamos a disjuno na forma inclusiva,como em(2), significando que ambas as possibilidades tambm pode ocorrer.

Assim, numa disjuno, se P e Q so proposies, ento P Q umaafirmao verdadeira quando pelo menos uma das componentes forverdadeira, e falso quando ambas,PeQ, forem falsas.

P Q P

Q

V V VV F VF V VF F F

Tabela 2.3 Tabela-verdade para a disjuno

Exemplo 2.1.5. (1) 7>3ou1 + 1=5.

(2) O Vasco ser o campeo brasileiro deste ano ou o Flamengo ser rebaixado para a se-gunda diviso.


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2.1.3 Negao

SejaP uma proposio. A negao de P, denotada por

P(ou

P, ou aindano(P)), verda-deira quando a proposioP falsa, e falsa quandoP verdade.

P PV FF V

Tabela 2.4 Tabela-verdade para a negao

Exemplo 2.1.6. (1) SePrepresenta a afirmao "este um curso fcil", P signifia que"este curso difcil". A quem atribuirmos o valor verdadeiro? APou a P?

(2) SePsignifica "quatro um nmero par", ento Pafirma que "quatro mpar".Observao 2.1.7. Verifique que ( P) = P. Na linguagem comum, uma dupla negao usada para enfatizar uma afirmao e no para tornar ela positiva. Por exemplo, ao dizer "noquero cola nenhuma na prova", a inteno do aluno mostrar que ele no vai aceitar qualquertipo de cola na prova.

2.1.4 Implicaes

Matemtica feita de afirmaes da forma "Pimplica Q". Isto , "se a afirmaoP ver-dadeira, ento a afirmao Q tambm verdadeira". Muitas vezes essa estrutura omitida,principalmente para tornar a matemtica mais compreensvel. Seria difcil se escrevssemossempre desse modo.

Exemplo 2.1.8. (1) Sex um nmero par, entox2 um nmero par.

(2) Sex =0, entox2 >0.(3) Todos os nmeros primos maiores que 2 so mpares.

Em uma implicao P Q existem duas partes: a afirmao P dita hiptese (ou premissa)e a afirmao Q chamadaconcluso(ou tese). Nem sempre fcil demarcar a hiptese e aconcluso; por exemplo, "Sejax um nmero inteiro positivo. Se x mpar, entox2 mpar",quer dizer que "Sex um inteiro positivo e x mpar, entox2 mpar".

Direi a voces o seguinte: "Se vocs estudarem, ento vocs passaro na disciplina Funda-mentos de Matemtica". Em que situao estarei mentindo? Somente no caso de vocs teremestudado e tiverem sido reprovados. Observe que vocs podem no estudar e mesmo assimconseguir aprovao! Assim, uma implicao P Q falsa somente quando a hiptese Pverdadeira e a concluso Q falsa. Um modo de entender o valor verdade de uma afirmaocondicional pensar nela como uma obrigao ou um contrato.

Observao 2.1.9. claro que podemos partir de falsidades e chegar em verdades. Por exem-plo, "se1 = 1, ento1 = 1"(basta elevar ao quadrado a hiptese). Logo a veracidadde de uma

implicao no nos permite concluir nada sobre os valores lgicos da hiptese e da concluso.


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P Q P QV V VV F FF V VF F V

Tabela 2.5 Tabela-verdade para a implicao

Na literatura, existem algumas formas equivalentes de escrever uma implicaoP Q:(1) "QseP- por exemplo, "Rubinho Barrichello seria campeo mundial de Frmula 1 se no

fosse Michael Schumacher."

(2) "Q uma condio necessria paraP"(3) "Psomente seQ- por exemplo, "xy mpar somente sexeyso mpares".

(4) "P suficiente paraQ"

Definio 2.1.10. Duas afirmaes sologicamente equivalentesse possuem a mesma tabela-verdade, ou seja, se possuem os mesmos valores lgicos. Denotamos este fato pelo smbolo.Assim, verificamos que (P Q) P Qe (P Q) P Q. Ou seja, dizer que"no verdade que Vasco ou So Paulo ser campeo brasileiro este ano" equivalente a dizer

que "nem Vasco, nem So Paulo ser campeo brasilero este ano". Observe a semelhana dasequivalncias acima com as leis de De Morgan para conjuntos:

(A B)c =Ac Bc e(A B)c =Ac Bc,ondeAc significa o complementar do conjunto A.

Podemos formar novas afirmaes condicionais a partir de uma implicao, a saber:

A Inversa de uma implicaoP Q P Q.O erro inicial mais comum que pessoas cometem em lgica se origina no uso da linguagem

comum. Por exemplo, ao dizer que "se chover no irei praia", em geral interpretamos issocomo "se no chover, vou praia". Mas o fato que foi dito apenas o que acontece caso chova!Construindo as tabelas-verdade de P Q e P Q verificaremos que essas implicaes noso equivalentes. Em geral, a veracidade de P Qnada diz sobre a veracidade de P Q.Exemplo 2.1.11. (1) "Se eu sou sergipano, ento eu sou brasileiro" uma implicao vlida,

porm sua inversa falsa: "Se eu no sou sergipano, ento eu no sou brasileiro".

(2) "Sex par, entox2 par" uma implicao verdadeira que possui um inversa tambmverdadeira: "Sex mpar, entox2 mpar".

A Contrapositiva de uma implicaoP Q Q P.


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2.2 TAUTOLOGIAS E CONTRADIES 9

Surpreendentemente estas afirmaes so logicamente equivalentes (verifique!). Assim porexemplo, a contrapositiva da afirmao "Se x um nmero primo, ento x =2 ou x mpar"

"Sex =2 e x par, ento o nmeroxno primo".A Recproca de uma implicaoP QQ P.A veracidade de PQ nem sempre conduz veracidade de QP (construa as tabelas-verdade e verifique que essas proposies no so logicamente equivalentes). Por exemplo,"Se uma funo derivvel num ponto, ento ela contnua nesse ponto" uma implicaoverdadeira, porm sua recproca falsa. Por exemplo, a funo modular f(x) = |x| na origem.

2.1.5 Se, e somente se

Relacionado sentena condicional (implicao) est a sentena bicondicionalP Q. A duplaseta significa que tanto a implicao P Qcomo sua recprocaQ Pso verdadeiras. Assim,P Q verdade quando Pe Q possuem extamente os mesmos valores. Em outras palavras,temos a equivalncia lgica

[P Q] [(P Q) (Q P)],

de forma que para verificarmos a validade de uma bicondicional equivalente a verificar avalidade de duas condicionais.

P Q P QV V VV F FF V FF F V

Tabela 2.6 Tabela-verdade para a bicondicional

Exemplo 2.1.12. As afirmaes "um retangulo um quadrado se, e somente se, suas diagonaisso perpendiculares"e "1 + 7=6 2 +3= 5"so verdadeiras.

Existem algumas variaes em como escrever a afirmao P Q. comum escrever P necessrio e suficiente paraQ.

2.2 Tautologias e Contradies

Agora que definimos modos bsicos de combinar afirmaes, podemos formar proposiesmais complicadas por usar combinaes das operaes bsicas. Por exemplo, P (Q R)das afirmaesP,QeR. Necessitamos usar parnteses, colchetes e chaves para evitar ambigui-dades.

A tabela-verdade para a proposio P

(P

Q) dada abaixo. Note que independente-


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2.3 QUANTIFICADORES 10

P Q P Q P (P Q)V V V VV F V VF V V VF F F V

Tabela 2.7 Tabela-verdade representando uma tautologia

mente dos valores deP e Q, a proposioP (P Q) sempre verdadeira. Uma proposiocom esta propriedade chamada umatautologia. Existem tambm proposies cuja estrutura tal que elas so sempre falsas, seja qual for os valores de suas componentes. Tais proposiesso chamadascontradies. Um exemplo a expresso( P Q) (P Q), como mostra

a tabela abaixo.P Q P Q P Q P Q ( P Q) (P Q)V V F F F V FV F F V F V FF V V F V F FF F V V F V F

Tabela 2.8 Tabela-verdade para uma contradio

Observao 2.2.1. Existe uma diferena sutil, mas importante entre o conectivo bicondicionale o conceito de equivalncia lgica. Quando escrevemos PQ expressamos uma simplesfrmula. Equivalncia lgica, por outro lado, uma relao entre duas expresses lgicas(frmulas). Os dois conceitos esto relacionados da seguinte forma: duas expresses lgicas eso logicamente equivalentes se, e somente se, uma tautologia.Exemplo 2.2.2. Verifique que[P (Q R)] [(P Q) (P R)] uma tautologia.

possvel ter tautologias e contradies mais complicadas (e no intuitivos). Por exemplo,a tabela-verdade da afirmao

[(P

Q)

R]

[P

(Q

R)]

expressa uma tautologia. Como mais um exemplo de contradio, verifique com uma tabela-verdade que a afirmao[Q (P Q)] Q sempre falsa.

2.3 Quantificadores

A menos que algum valor de x tenha sido associado, a sentena "x>3"no uma proposioporque ela no verdadeira nem falsa. Quando a varivelx trocada por certos valores, porexemplo 7, a proposio resultante verdadeira, enquanto para outros valores de x, digamos 2,

ela falsa. Este um exemplo de uma sentena abertaoupredicado. Isto , uma sentena


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2.3 QUANTIFICADORES 11

contendo uma ou mais variveis que torna-se uma proposio somente quando as variveisso trocadas por objetos particulares. Por notao, se uma sentena aberta chamada Pe as

variveis sox1,x2, ,xk, escrevemosP(x1,x2, ,xk). A sentena "x1=x2 +x3" aberta comtrs variveisP(x,x2,x3). Assim,P(2,1,1) verdadeira, enquantoP(1,2,3) falsa. O conjuntono qual as variveis pertencem dito ouniverso de discurso.

Outro modo para construir proposies a partir de uma sentena aberta modificar ela comum quantificador.

Definio 2.3.1. Para uma sentena abertaP(x)com varivelx, a sentenax U,P(x)(lidapara todoxem U,P(x)) verdadeira precisamente quandoP(x) verdadeiro qualquer que sejaxno universo de discursoU. O smbolo chamado oquantificador universal. A sentenax U,P(x)(lida existexemU tal queP(x)) verdadeira quando existe pelo menos um xno universo de discurso tal queP(x) verdadeiro. O smbolo

chamado oquantificador

existencial.

Frequentemente, tambm lemos: para todos os valores de x em U, a afirmao P(x) verdadeira, ou ainda, todos os valores de xem UsatisfazemP(x).

Definio 2.3.2. A sentenax U,P(x)(lida existexem Utal queP(x)) verdadeira quandoexiste pelo menos um xno universo de discursoUtal queP(x) verdadeiro. O smbolochamado oquantificador existencial.

Exemplo 2.3.3. (1)x R,x2 0;

(2)x,y Q,(o produtoxye a somax +yso racionais);(3)x R, (x 3 x2 9);(4)x Z,x2 =4;(5) Existem dois nmeros primos tal que sua soma um nmero primo;

(6) Para cada nmero primoxmenor que 10, x2 + 4 primo.

Podemos formar afirmaes com mais de um quantificador, bem como com quantificadoresenvolvendo variveis diferentes. Suponha que P(x,y) =x +y2 =3, ondex e y so nmeros

reais. A afirmaoy R,x R; P(x,y)pode ser lida como: para todo nmero real y existealgum nmero realxtal quex +y2 =3. Esta afirmao verdadeira porque para qualquer realy, podemos resolver xem termos de y, fornecendo x=3 y2. Notemos que se mudarmos aordem dos quantificadores a afirmao passa a ser falsa, poisx R,y R; P(x,y)diz queexiste ao menos um nmero real xtal que qualquer que seja y R, temos x +y2 =3 e issoacontece somente para no mximo dois valores de y, dados por y=3x. Um exemplousual da combinao de quantificadores dado pela definio de continuidade de uma funofnum pontox=a, a saber:>0,>0 tal que |x a|


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2.4 VALIDADE DE ARGUMENTOS 12

Consideremos agora a seguinte afirmao: "Todos sero reprovados em Fundamentos deMatemtica."Qual seria uma negao para esta afirmao? Temos uma afirmao do tipo x U,P(x). A negao disso queP(x) falso para pelo menos um x no universo de discursoU,ou seja, x U, P(x). Logo,

(x U,P(x)) x U, P(x).Analogamente, verificamos que

(x U,P(x)) x U, P(x).Diferente do que foi discutido antes, no podemos usar tabela verdade para verificar a veraci-dade dessas equivalncias.

Exemplo 2.3.4. (1) Existe um vascano que no feliz. Claro que no! Todos os vascanosso felizes.

(2) [x,(P(x) Q(x))] x, (P(x) Q(x)) x, ( P(x) Q(x)) x,(P(x) Q(x)). Assim, seP(x) significa "x uma loira"eQ(x) significa "x burra", entox,P(x) Q(x)significa que "toda loira burra"e a negao seria "existe pelo menos uma loira queno burra".

(3) Fazemos a negao de uma combinao de quantificadores, negando um de cada vez.Por exemplo, tomando a funo f : R Rdada por f(x) = x2 e a afirmao que paratodoy R existex R tal f(x) =y, em smbolos, y R,x R; P(x,y) =f(x) =y(isto define a sobrejetividade da funo f), sua negao, conforme uso da equivalncialgica acima, sery R,x R; P(x,y). Ou seja, existe pelo menos umyreal tal quequalquer que seja ox R nunca teremos f(x) =y.

2.4 Validade de Argumentos

Uma prova uma justificao de uma afirmao chamada um teorema. A importncia dalgica que ela fornece um meio de estabelecer quando uma linha de raciocnio, chamadaumargumento, correta ou no. Um argumento nesse sentido, consiste de um conjunto deproposies (simples ou compostas) chamadas hipteses (ou premissas) e outra proposio

ditaconcluso(ou tese), a qual uma consequncia inevitvel das hipteses. Cada passo doargumento segue as leis da lgica. Em matemtica, uma afirmao no aceita como vlidasem que seja acompanhada de uma prova. Esta insistncia por provas uma das coisas quetorna a matemtica distinta de outras cincias.

Escrever provas uma tarefa difcil; no existem procedimentos que assegurem sucessosempre. Por isto, iniciaremos discutindo provas lgicas. Elas sero escritas no formato coluna,com cada passo sendo justificado por uma regra de inferncia.

Definio 2.4.1. Um argumento com hiptesesP1,P2, ,Pne conclusoQ dito ser vlido,se sempre queP1,P2, ,Pnforem verdadeiros, entoQtambm o for. Ou seja,

P1 P2 Pn Q


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uma tautologia. Caso contrrio, dizemos que o argumento invlido.

importante ressaltar que no o contedo de um argumento que determina quando ouno ele vlido. O que importante sua estrutura.

2.4.1 Tabela-Verdade

A verificao da veracidade ou falsidade de um argumento via tabela-verdade estabelecidapor considerar todos os modos possveis nas quais as proposies componentes podem serverdadeiras ou falsas.

Exemplo 2.4.2. Se Dilma no ganhar a eleio, ento Serra ser eleito. Marina desistiu dacandidatura. Serra no foi eleito ou Marina continuou candidata. Portanto, Dilma ganhou a

eleio.Simbolicamente, temos [( BM) ( L) ( ML)]B. Para decidirmos se o

argumento vlido, devemos examinar os possveis valores verdade de Bpara os casos emque as hipteses so verdadeiras. Assim, numa tabela-verdade temos que o nosso argumento vlido pois

B M L Q M L MLV V V V F VV V F V V FV F V V F V

V F F V V VF V V V F VF V F V V FF F V F F VF F F F V V

Tabela 2.9 Validade de argumento

Exemplo 2.4.3. Se eu ganhar na megasena darei um carro a cada um de vocs. Eu no ganhei.Logo, voces perderam os carros prometidos. Em smbolos temos as seguintes afirmaes: P1:Paulo ganhou na megasena;P2: Vocs ganharo um carro; e a seguinte concluso: Q= P2.Portanto, nosso argumento [(P1 P2) P1] P2, cuja tabela-verdade dada por

P1 P2 P1 P2 P1 P2V V V F FV F F F VF V V V FF F V V V

Tabela 2.10 Tabela-verdade para o Exemplo


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Assim, a veracidade das hipteses no argumento no implicam logicamente a concluso eo argumento invlido.

Observao 2.4.4. Considere o seguinte argumento: "Sea | b, entomdc{a,b} =a. Ou a |b ou mmc{a,b}= ab. Se mmc{a,b} =ab e mdc{a,b} = a, entoa b."O argumento tempremissas P Q,P Re R Q, tais que a tabela verdade da conjuno(P Q) (P R) (R Q)fornece uma contradio. Em outras palavras, impossvel para as premissasserem verdadeiras simultaneamente. Um conjunto de premissas com essa propriedade ditoinconsistente. Neste caso o argumento vlido, embora no tenha utilidade, pois suportaqualquer concluso.

2.4.2 Regras de Inferncia

O mtodo de tabela-verdade para assegurar a validade de um argumento pode tornar-se in-vivel se as hipteses so complicadas ou so numerosas. Existe um mtodo alternativo queno necessita construir uma tabela-verdade. O mtodo consiste em derivar uma sequncia deproposies a partir das hipteses at atingir a concluso:

P1 P2 Pn Pn+1 Pn+2 Q.Considere a seguinte coleo de afirmaes: "Se o governo manter a inflao baixa ou

diminuir a taxa de desemprego, ento no haver crise financeira. Se as bolsas de valorescairem, ento teremos uma crise financeira. O governo conteve a taxa de inflao. Assim asbolsas no caram". Esta coleo de afirmaes um exemplo de um argumento lgico, a

ltima sendo a concluso e as demais as premissas do argumento. Um argumento vlido se aconcluso necessariamente segue das premissas.

Como podemos mostrar que o argumento fornecido acima vlido? Iniciamos por conver-ter o argumento para smbolos. SejaI= o governo manteve a inflao baixa, D=o governodiminuiu a taxa de desemprego, F=haver crise financeira, e B= as bolsas de valores ca-ram. O argumento ento torna-se onde a linha horizontal separa as premissas da concluso.

(ID) FB F

D

BAlternativamente, poderamos escrever

{[(ID) F] (B F)D} B.Se quisessemos usar tabela-verdade aqui, esta teria 16 linhas, o que seria um trabalho tedi-

oso. Alm disso, a tabela-verdade no nos d intuio do porque a veracidade do argumento e,mais ainda, quando provamos afirmaes matemticas, frequentemente usamos quantificado-res, o que torna o uso de tabela-verdade invivel. Assim, um modo mais frutfero de mostraruma implicao lgica mais complicada, quebr-la em uma coleo de implicaes mais

simples, tomando uma de cada vez.


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Na construo de provas formais ser de grande ajuda termos um estoque de argumentosvlidos, ditosregras de inferncia:

NOME PREMISSAS CONCLUSOSimplificao P Q P

Adio P P QConjuno P,Q P Q

Silogismo Disjuntivo P Q, P QModus Ponens P Q,P QModus Tollens P Q, Q P

Silogismo Hipottico P Q,Q R P RAbsoro P Q P (P Q)

Dilema Construtivo (P Q) (R S),P R Q STabela 2.11 Regras de Inferncia

Usando as regras de inferncia listadas acima, podemos construir uma justificao para oargumento: Para um dado argumento existe mais que uma forma possvel de combinar as regras

(1) (ID) F Premissa(2) B F Premissa(3) D Premissa(4) I

D (3)Adio

(5) F (1,4)Modus Ponens(6) B (2,5)Modus Tollens

de inferencia para mostrar a validade do argumento. No exemplo acima tambm poderamoster: Este fato nos leva ao problema de que para provar a invalidade precisamos mostrar que

(1) (ID) F Premissa(2) B F Premissa(3) D Premissa(4) ID (3)Adio(5) FB (2)Contrapositiva(6) (ID) B (1,5)Silogismo Hipottico(7) B (4,6)Modus Ponens

nenhuma combinao de regras de inferncia possvel.

Exemplo 2.4.5. Voltando ao nosso primeiro exemplo, temos:

Exemplo 2.4.6. Se Pai Andr estiver certo, o Vasco ser...


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(1) B M Premissa(2) L Premissa(3)

M

L Premissa

(4) M (2,3)Silogismo Disjuntivo(5) (B) (1,4)Modus Tollens(6) B (5)Dupla Negao

Tabela 2.12 Regras de Inferncia

(1) (MB) (P A) Premissa(2) P Premissa(3) P A (1)Simplificao(4) A (2,3)Modus Ponens(5) A

B (4)Adio


2.4.3 rvore de Refutao

Nesse mtodo analisamos argumentos do tipo P1 P2 Pn Qassumindo a negao daconcluso Qcomo uma hiptese adicional. Imaginamos uma rvore ao contrrio. A raiz serconstituda pelas hipteses (incluindo a hiptese adicional). Ento construmos seus galhosutilizando regras de inferncia. Uma conjuno gera somente um galho (ramo), enquanto umadisjuno gera dois ramos. A rvore termina quando utilizamos todas as hipteses e proposi-

es compostas, de forma que restam apenas proposies simples. Se encontrarmos em todosos ramos uma contradio (marcamos por Fcada ramo nesta condio), ento a tentativa derefutao falhou e o argumento vlido. Caso contrrio, se em algum ramo no foi possvelencontrar contradio, ento o argumento invlido (refutamos).

Exemplo 2.4.7. Verificar por meio de rvore de refutao a validade do argumento[(PQ) P] Q.

(P Q), P, Q

Q

PP

F

Q

F

Exemplo 2.4.8. Construir uma rvore de refutao para verificar se a frmula(P Q)(P Q) uma tautologia.


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[(P Q) (P Q)]

(P Q) (P Q) (P Q)

( P Q)

P Q

P

Q

(P Q)

P Q P

F

Q

F

]

Desde que em todos os galhos obtemos contradies, segue que no conseguimos refutar oargumento. Logo, o argumento vlido.

Exemplo 2.4.9. Faa o mesmo para{[P (R S)] [(R]S) Q]} (P Q).P (R S),(R S) Q, (P Q)

P (R S)

P

(R S) Q

(R S)

R S

R

( P Q)

P Q

P

S

( P Q)

P Q

P

Q

( P Q)P Q

Q

R S

R

(RS) Q

(R S)

R S

R

S

( P Q)

P QP

Q

( P Q)

P Q

Q

S

(R S) Q

(R S)

R S

R

( P Q)

P QP

S

Q

( P Q)

P Q

Q

Como restaram galhos onde no conseguimos uma contradio, conclumos que o argumento

invlido.


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Observao 2.4.10. A ordem de tomar as premissas no importa. A aparencia diferente darvore no interfere na concluso sobre a validade ou no do argumento.

2.4.4 Argumentos envolvendo quantificadores

Listaremos duas regras que nos capacitaro obter proposies sem quantificadores, cuja ver-dade seguir da verdade das funes proposicionais quantificadas.

Regra 1: Dada qualquer funo proposicional P(x), da verdade dex,P(x), podemos ser in-ferida a verdade deP(a)para qualquerano universo de discurso.

Regra 2: Dada qualquer funo proposicional P(x), da verdade dex,P(x), podemos inferirque existe pelo menos um elemento a no universo de discurso para o qual P(a) verda-

deiro.Procure utilizar primeiro as proposies que envolvem quantificadores existenciais.

Exemplo 2.4.11. Prove a validade do seguinte argumento: "Todos os atletas so fisicamentefortes. Paulo uma atleta. Ento Paulo fisicamente forte."Sejam A(x):x um atleta;F(x):x fisicamente forte. Assim,

(1) x,A(x) F(x) Premissa(2) A(p) Premissa(3) A(p)

F(p) Regra 1

(4) F(p) (2,3)Modus Ponens


Exemplo 2.4.12. "Tudo caro ou ruim para voce. Nem tudo ruim para voc. Assim, existemalgumas coisas que so caras e no so ruins para voce."FazendoC(x):x caro eR(x): x ruim, obtemos:

(1) x, [C(x) R(x)] Premissa(2) x,R(x) Premissa(3) x,R(x) (2)Negao(4) R(a) Regra 2(5) C(a) R(a) Regra 1(6) C(a) (5,4)Silogismo Disjuntivo(7) C(a) R(a) (4,6)Conjuno(8) x, [C(x) R(x)] Regra 2


rvores de refutao tambm podem ser usadas em argumento envolvendo quantificadores.


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Exemplo 2.4.13. Verifique a validade do argumento: "Todos os cientistas so estudiosos. Al-guns cientistas so inventores. Alguns estudiosos so inventores."FaaC(x): x cientista;

E(x): x estudioso; e I(x): x inventor. Tomando a negao da concluso como hipteseadicional, obtemos que o argumento vlido, conforme a rvore de refutao abaixo:

x,(C(x) E(x));x,(C(x)I(x)); x, (E(x) I(x))

C(a) R(a)

C(a)

I(a)

x, (E(x) I(x))E(a) I(a)

E(a)

C(a) E(a)

C(a) E(a) C(a)

E(a)

I(a)

Exemplo 2.4.14. "Nenhum estudante velho. Alguns jovens no so estudantes. Logo, algunsvelhos no so jovens."FaaE(x):x estudante; V(x):x velho; eJ(x):x jovem. Ento


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x, (E(x) V(x));x,(J(x) E(x)); x,(V(x) J(x))

J(a) E(a)J(a)

E(a)

x, (V(x) J(x))

V(a) J(a)

V(a)

E(a) V(a)

E(a) V(a)

E(a)

V(a)

J(a)

E(a) V(a)

E(a) V(a)

E(a)

V(a)

Desde que sobraram ramos em que no encontramos contradies, conclumos que o argumentono vlido.

Primeira Lista de Exerccios

1. Quais das seguintes sentenas so afirmaes? Para as respostas afirmativas indique seuvalor lgico.

(a) O inteiro 123 primo;

(b) 52=10?(c) x2 4=0;(d) Multiplique 5x + 2 por 3;

(e) 5x + 3 um inteiro mpar.2. Para a sentena abertaP(A):A {1,2,3} sob o domnioS= P({1,2,4}), determine:

(a) todoA Spara o qual P(A) verdadeiro;(b) todoA Spara o qual P(A) falso;(c) todoA Spara o qual A {1,2,3} =/0.

3. Estabelea a negao de cada uma das seguintes afirmaes:

(a)

2 um nmero racional;


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(b) Zero no um inteiro negativo;

(c) 111 um nmero primo.

4. Seja S={1,2, ,6}e seja P(A): A {2,4,6}= /0 e Q(A): A= /0 sentenas abertassobre o domnio P(S).

(a) Determine todos osA P(S)para os quais P(A) Q(A) verdadeiro;(b) Determine todos osA P(S)para os quais P(A) ( Q(A)) verdadeiro;(c) Determine todos osA P(S)para os quais( P(A)) ( Q(A)) verdadeiro;

5. Considere as afirmaes P:

2 racional e Q: 227 racional. Escreva cada uma dasseguintes afirmaes em palavras e indique seu valor lgico:

(a) P Q;(b) Q P;(c) ( P) ( Q);(d) ( Q) ( P).

6. Em cada uma das seguintes sentenas abertasP(x,y)eQ(x,y)dadas, onde o domnio deambas as variveis Z, determine o valor lgico deP(x,y) Q(x,y)para os valoresxeydados:

(a) P(x,y):x2

y2

=0 eQ(x,y):x=ycom(x,y) {(1,1),(3,4),(5,5)};(b) P(x,y) :x2 +y2 = 1 e Q(x,y) :x+y = 1com (x,y) {(1,1), (3,4),(0,1),(1,0)}.

7. SejaS= {1,2,3}. Considere as seguintes sentenas abertas sobre o domnio S:

P(n):n(n 1)

2 par,

Q(n):2n2 + 3n2 + 6n2 >(52

)n1.

Determine trs elementos distintos a,b,c em Stais que P(a) Q(a) falso,Q(b) P(b) falso eP(c) Q(c) verdadeiro.

8. Para afirmaesPeQmostre que(P (P Q)) Q uma tautologia.9. Para as afirmaesP,Q e R mostre que((P Q) (Q R)) (P R) uma tauto-

logia.

10. Para as afirmaesP,QeRuse uma tabela verdade para mostrar que as afirmaes P (Q R)e ( Q) (( P) R)so logicamente equivalentes. Idem para as afirmaesP (Q R)e(P Q) (P R).

11. Considere a implicao: se xeyso pares, entoxy par.


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(a) Estabelea a implicao usando "somente se";

(b) Estabelea a recproca, a inversa e a contrapositiva da implicao;

(c) Estabelea a implicao como uma disjuno;

(d) Estabelea a negao da implicao como uma conjuno.

12. SejaSo conjuntos de inteiros mpares e sejaP(x) :x2 + 1 par eQ(x) :x2 par sentenasabertas sobre o domnioS. Estabelea em palavras x S,P(x)e x S,Q(x).

13. Estabelea a negao das seguintes sentenas quantificadas:

(a) Para cada nmero racionalr, o nmero 1/r racional;

(b) Existe um nmero racional rtal quer2 =2.

14. Determine o valor lgico de cada uma das seguintes afirmaes:

(a)x R,x2 x=0;(b)n N,n + 1 2;(c)x R,

x2 =x;

(d)x Q,3x2 27=0.15. A afirmao "Para cada inteiromtal quem 1 oum2 4"pode ser expressa usando um

quantificador como "

m

Z,m

1 oum2

4". Faa o mesmo para as afirmaes(a)e

(b)abaixo.

(a) Existem inteirosaebtais queab0;

(b) Para todos os nmeros reais xey,x =yimplica quex2 +y2 >0;(c) Expresse em palavras a negao das afirmaes (a)e(b);

(d) Usando quantificadores, expresse em smbolos a negao das afirmaes (a)e(b).

16. Explique por que os significados das sentenas a seguir so distintos. Determine quaissentenas so verdadeiras e quais so falsas. Em seguinda, discuta o que ocorre ao semudar a posio dos quantificadores em cada uma delas.

(a)y Z,x N tal quey2 =x;(b)x N, tal que y Z temosy2 =x;(c)x N e y Z, tais quey2 =x;(d)x N e y Z temosy2 =x.

17. Determine a validade ou no dos seguintes argumentos usando regras de inferncia:

(a) E F, G F,HI,EH G I;(b) P

Q,

R

(S

T),R

(P

T),

R

Q

S;


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(c)A (B C),CA,(D A) C, D B.

18. Suponha que os valores possiveis dexeyesto dentro do conjunto universo Uconstitu-dos de todos os carros. Sejam L(x,y) = x to rpido quanto y, M(x,y) = x to caroquantoyeN(x,y) =xto velho quantoy. Traduza as seguintes afirmaes em palavras:

(a)x U,y U;L(x,y);(b)x U,y U;M(x,y);(c)y U,x U; [L(x,y)M(x,y)].

19. Escreva a negao de cada uma das sentenas abaixo.

(a) Todos os garotos so bons;

(b) Existem homens que pesam 200kg ou mais;

(c) A inequaox2 2x>0 vale para todos os nmeros reaisx;(d) Toda casa tem uma porta que branca;

(e) Pelo menos uma pessoa em Aracaju adora Matemtica.

20. Algum afirmou que o argumento

x U; [P(x) Q(x)],x U;M(x) x U; [M(x) Q(x)]

vlido, usando a seguinte justificativa: Encontre as falhas nessa justificativa.(1) x U; [P(x) Q(x)] Premissa(2) x U;M(x) Premissa(3) P(a) Q(a) (1)Regra 2(4) Q(a) (3)Simplificao(5) M(a) (2)Regra 2(6) M(a) Q(a) (5,4)Conjuno(7) x U; [M(x) Q(x)] (6)Regra 2

21. Tres professores, Antnio, Jlio e Marco, ensinam apenas uma disciplina dentre as deLgica, Clculo e Anlise. Certa ocasio, foram abordados por uma aluna caloura que-rendo saber qual deles era seu professor de Lgica. Para a aluna j comear treinando oraciocnio lgico, combinaram que cada um diria uma frase. Apenas uma das frases eraverdadeira, e com isso a aluna deveria deduzir quem era o professor que procurava. Jliodisse "Marco o professor de Clculo"; Antnio respondeu "Jlio no o professor deClculo"; e Marco disse "Antnio no o professor de Anlise". Quem o professor delgica?


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22. Brincando, quatro rapazes esconderam a bolsa do amigo Jugurta. Ao entrar na sala deaula, irritado, Jugurta os pergunta: "Qual dos espertinhos escondeu minha bolsa?Eu no

fui!", respondeu Toms. "Foi o Tche!", garantiu Marcelo. "Foi o Lord!", disse o Tch."O Marcelo est mentindo!", retrucou o Lord. Apenas um dos amigos mentiu, e somenteum deles escondeu a bolsa. Qual?

23. Reescreva cada teorema abaixo na sua forma condicional "Se..., ento".

(a) Uma condio necessria para um nmero ser divisvel por 6 que ele seja simul-taneamente divisvel por 2 e por 3.

(b) Ser um tringulo retangulo condio suficiente para ter a altura correspondente aovrtice do ngulo reto igual a mdia geomtrica das projees dos catetos sobre ahipotenusa.

(c) Uma condio suficiente para que um triangulo seja issceles que ele tenha doisngulos internos congruentes.

(d) No ser primo uma condio necessria para que o nmero seja da forma n4 + 4,paran 2.

24. Suponha que Jos gosta de feijo, no gosta de arroz, no gosta de macarro e adorafarinha. Quais das seguintes setenas so verdadeiras e quais so falsas?

(a) Se Jos gosta de feijo, ento gosta de macarro;

(b) Jos gosta de macarro se, e somente se, ele gosta de arroz;

(c) Jos gosta de arroz e farinha se ele gosta de feijo;

(d) Se Jos gosta de macarro ento ele gosta de farinha, ou Jos gosta de macarro se,e somente se, ele gosta de arroz;

(e) Para Jos gostar de feijo e macarro necessrio e suficiente que ele goste de arrozou farinha.

25. Quais das seguintes setenas so tautologias, quais so contradies e quais so contin-gncias?

(a) P

(

P

Q);

(b) (XY) (X Y);(c) (A B) (A B);(d) [Z (ZW)] (WU);(e) [L (MN)] [M (L N)].

26. Para cada um dos seguintes argumentos estabelea uma justificativa para sua validade oufalsidade.

(a) Se Carira pequeno, ento difcil de localiz-lo. Se Carira no tem bom comrcio,

ento no difcil de localiz-lo. Carira pequeno. Logo Carira tem bom comrcio.


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(b) Se o novo CD de Roberto Carlos barulhento ou tedioso, ento ele no longo eno custa caro. O novo CD de Roberto Carlos tedioso. Assim, o CD no longo.

(c) Se Susan gosta de peixe, ento ela gosta de cebolas. Se Susan no gosta de alho,ento ela no gosta de cebolas. Se ela gosta de alho, ento ela gosta de goiabas.Assim Susan gosta de coentro.

27. Fornea uma negao para: "Voc pode enganar alguma pessoa todo o tempo e todas aspessoas por algum tempo, mas voc no pode enganar todas as pessoas todo o tempo".

28. Proporcione provas formais para cada um dos argumentos ? utilize tabela-verdade, regrasde inferncia ou rvores de refutao:

(a) Voc vencer o jogo se, e somente se, voc seguir as regras. Se voc seguir as regras

ento voc convencional. Voc no convencional e voc tem sempre sucesso. Sevoc tem sempre sucesso ento voc vencer o jogo. Assim voc vencer o jogo.

(b) Se fantasmas so reais, ento existem espritos errantes na terra e se fantasmas noso reais, ento ns no temos medo do escuro. Ou temos medo do escuro ou notemos imaginao. Ns temos uma imaginao e fantasmas no so reais. Logo,existem espritos errantes na terra.

(c) No existem polinmios que no so funes diferenciveis. Todas as funes di-ferenciveis so contnuas. Assim todos os polinmios so contnuos.

(d) (AFTN 1996 ESAF) Jos quer ir ao cinema assistir ao filme "Fogo contra fogo",

mas no tem certeza se o mesmo est sendo exibido. Seus amigos, Maria, Lus eJlio tm opinies discordantes sobre se o filme est ou no em cartaz. Se Mariaestiver certa, ento Jlio est enganado. Se Jlio estiver enganado, ento Lus estenganado. Se Lus estiver enganado, ento o filme no esta sendo exibido. Ora, ou ofilme "Fogo contra Fogo"est sendo exibido ou Jos no ir ao cinema. Entretanto,sabe-se que Maria est certa. Logo:

(i) o filme "Fogo contra Fogo"est sendo exibido;

(ii) Lus e Jlio no esto enganados;

(iii) Jlio est enganado, mas Lus no;

(iv) Jos No ir ao cinema.

(e) (Assistente de Chancelaria MRE 2004 ESAF) No final de semana, Chiquita no foiao parque. Ora, sabe-se que sempre que Didi estuda, Didi aprovado. Sabe-se,tambm, que, nos finais de semana, ou Dad vai missa ou vai visitar tia Clia.Sempre que Dad vai visitar tia Clia, Chiquita vai ao parque, e sempre que Dadvai missa, Didi estuda. Ento, no final de semana,

(i) Dad foi missa e Didi foi aprovado.

(ii) Didi no foi aprovado e Dad no foi visitar tia Clia.

(iii) Didi no estudou e Didi foi aprovado.

(iv) Didi estudou e Chiquita foi ao parque.


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(v) Dad no foi missa e Didi no foi aprovado.

29. Matilda sempre come pelo menos um dos seguintes alimentos em seu caf da manh:cereal, po ou iogurte. Na segunda-feira ela especialmente seletiva. Se ela come cereale po, ela tambm come iogurte. Se ela come po ou iogurte, ento come cereal. Elanunca come ambos cereal e iogurte. Ela sempre come po ou cereal. Voc pode dizer oque Matilda come na segunda-feira?

30. (FCC/TRT-PE - Analista/2006) Uma turma de alunos de um curso de Direito reuniu-seem um restaurante para um jantar de confraternizao e coube a Francisco receber decada um a quantia a ser paga pela participao. Desconfiado que Augusto Berenice eCarlota no tinham pago as suas respectivas partes, Francisco conversou com os trs eobteve os seguintes depoimentos:

Augusto: No verdade que Berenice pagou ou Carlota no pagou.

Berenice: Se Carlota pagou, ento Augusto tambm pagou.

Carlota: Eu paguei, mas sei que pelo menos um dos dois outros no pagou.

Considerando que os trs falaram a verdade, correto afirmar que:

(a) apenas Berenice no pagou a sua parte;

(b) apenas Carlota no pagou a sua parte;

(c) Augusto e Carlota no pagaram suas partes;

(d) Berenice e Carlota pagaram suas partes;

(e) os trs pagaram suas partes.

31. (Cespe-Unb/Anac/2009) As equipes A, B e C disputaram as finais de um torneio defutebol, jogando cada equipe contra as outras duas uma vez. Sabe-se que a equipe Bganhou da equipe A por 21; a equipe A marcou 3 gols; e cada equipe ficou com saldo degols zero. As regras do torneio para a classificao final so, nessa ordem: maior nmerode vitrias; maior nmero de gols feitos; se as tres equipes ficarem empatadas segundoos critrios anteriores, as trs sero consideradas campes. Se uma equipe for campeou terceira colocada e as outras duas equipes ficarem empatadas segundo os critriosanteriores, ser considerada mais bem colocada a equipe vencedora do confronto diretoentre as duas.

A respeito dessa situao hipottica e considerando que os trs critrios listados foramsuficientes para definir a classificao final das trs equipes, julgue os itens seguintesquanto aos valores lgicos das proposies apresentadas.

Item 1. Se a equipe B fez 3 gols, ento a equipe C foi campe uma proposiofalsa.

Item 2. A equipe B foi campe e a equipe A ficou em ltimo lugar uma proposiofalsa.


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Item 3. O nmero de gols marcados pelas equipes nas finais foi maior que 6 umaproposio verdadeira.

Item 4. Se a equipe A foi campe ento a equipe C foi campe ou segunda colocada uma proposio falsa.

Item 5. A equipe A foi campe ou a equipe C foi campe uma proposio verda-deira.

32. (Esaf/Fiscal - Recife/2003) Um jardineiro deve plantar cinco rvores em um terreno emque no h qualquer rvore. As cinco rvores devem ser escolhidas entre sete diferentestipos, a saber: A, B, C, D, E, F, G, obedecidas as seguintes condies:

1. No pode ser escolhida mais de uma rvore de um mesmo tipo.

2. Deve ser escolhida uma rvore ou do tipo D ou do tipo C, mas no podem serescolhida uma rvore de ambos os tipos.

3. Se uma rvore do tipo B for escolhida, ento no pode ser escolhida uma rvore dotipo D. Ora, o jardineiro no escolheu nenhuma rvore do tipo G.

Logo, ele tambm no escolheu nenhuma rvore do tipo:

(a) D;

(b) A;

(c) C;

(d) B;

(e) E.

33. (Esaf/AFTN/1998) H trs suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mor-domo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles,j que podem ter agido individualmente ou no. Sabe-se, ainda, que: A) se o cozinheiro inocente, ento a governanta culpada; B) ou o mordomo culpado ou a governanta culpada, mas no os dois; C) o mordomo no inocente. Logo:

(a) a governanta e o mordomo so os culpados;

(b) o cozinheiro e o mordomo so os culpados;

(c) somente a governanta culpada;

(d) somente o cozinheiro inocente;

(e) somente o mordomo culpado.


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CAPTULO 3

Tcnicas de Provas

O que uma prova? Heuristicamente, uma prova um dispositivo retrico para convenceralgum que uma afirmao matemtica verdadeira. Assim, uma prova um dispositivo decomunicao. E como podemos fazer isso? Um modo natural provar que algo novo, digamosB, verdade relacionando ele a algo antigo A, que j tenha sido aceito como verdadeiro. Ou

seja, A B. Mas como foi o resultado antigo verificado? Aplicando o pensamento anteriorrepetidamente, encontramos uma cadeia de raciocnios tipoA1 A2 AkB

Poderamos perguntar ento: "Quando a cadeia inicia?"E esta uma questo fundamental. Seno quisermos voltar indefinidamente, usamos objetos que so assumidos sem definio, bemcomo alguns fatos sobre esses objetos que so assumidos sem prova. Euclides foi o primeiroa formalizar o modo que hoje usamos para estabelecer fatos matemticos, iniciando com umconjunto de definies e um conjunto de axiomas.

Que uma definio? Umadefinioexplica o significado matemtico de uma palavra,

permitindo separar uma classe de objetos de outra. A palavra geralmente definida em termosde propriedades. Por exemplo: (i) um inteiro par se ele o produto de 2 e outro inteiro; (ii) umnmero natural primo se ele maior que 1 e divisvel somente por 1 e ele mesmo. Mas entorecamos no mesmo problema de volta infinita! Assim, nossas primeiras definies devemser formuladas em termos de palavras que no requeiram outras explicaes. Por exemplo,Euclides definiu um ponto como sendo aquele que no tem parte.

O que um axioma? Umaxioma (ou postulado) uma afirmao matemtica auto-evidente. Eles so assumidos como verdadeiros sem a necessidade de provas. Um dos maisfamosos axiomas em toda a matemtica o postulado das paralelas de Euclides que afirma que"se um pontoPno pertence a uma reta , ento existe uma nica reta passando porPque

paralela reta.O que que provamos em matemtica? Provamos afirmaes que so usualmente chamadasde teoremas, proposies, lemas, corolrios e exerccios. No existe muita distino entre essestipos de afirmaes: todas necessitam de provas. Em geral, em qualquer rea da matemtica,iniciamos com uma breve lista de definies e axiomas. A partir da deduzimos diversas ou-tras afirmaes. Demonstra-se que um teorema verdadeiro por uma sequncia de afirmaesque formam um argumento, chamado prova. Para construir provas, precisamos de mtodosque nos permitam deduzir novas afirmaes a partir de afirmaes j provadas. As afirmaesusadas numa prova incluem axiomas ou postulados (afirmaes que assumimos como verda-deiras), as hipteses do teorema a provar e teoremas previamente provados. Teoremas so as

mais importantes afirmaes matemticas. Muita (se no todas) afirmaes de teoremas so

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CAPTULO 3 TCNICAS DE PROVAS 29

essencialmente afirmaes condicionais ou combinaes delas, mesmo que as palavras "se, ,ento"no apaream explicitamente.

Proposies so afirmaes consideradas menos importantes. Por exemplo, nos teoremasabaixo encontre as hipteses e as concluses.

(1) Todo nmero natural pode ser escrito como um produto de nmeros primos.

(2) Existem infinitos nmeros primos.

(3) O nmero

2 irracional.

(4) Teorema de Pitgoras: Seja ABCum tringulo retngulo, com lados de comprimentoa,bec, ondec o comprimento da hipotenusa. Entoc2 =a2 + b2.

Observao 3.0.15. Os melhores teoremas tm hipteses fracas e concluses fortes. Umahiptese forte refere-se a um pequeno conjunto de objetos. Uma concluso forte diz respeitoa algo muito definido e preciso sobre esses objetos. Por exemplo, a hiptese de(2) forte,pois refere-se somente ao conjunto de primos, enquanto a hiptese de(1) fraca. Podemosenfraquecer as hipteses do teorema(3)por investigar a raiz quadrada de nmeros primos,digamos "Se p primo, ento

p um nmero irracional."Uma parte importante do desafio

matemtico sabermos o quanto podemos enfraquecer as hipteses. Por exemplo, se fizermos(3)paranum nmero natural, esta afirmao se torna falsa.

Observao 3.0.16. A recproca verdadeira? Considerar a recproca nos fora a considerar

as hipteses e concluses e muitas vezes nos diz algo importante. Por exemplo, "Se f umafuno derivvel, ento f uma funo contnua."A recproca verdadeira?

Um lema uma afirmao que serve de base para provar um teorema ou uma proposio.Um corolrio uma afirmao de interesse que deduzida (consequncia) de um teorema ouproposio. Exerccios so afirmaes que so deixadas para o leitor provar.

Uma prova uma explanao do porque uma afirmao verdadeira. Provas so difceisde entender porque o trabalho inicial em geral removido. Outra razo para os estudantes nogostarem de provas que elas so difceis de criar. No existe procedimentos, nem algoritmosou mgica para criar provas. Existem tcnicas que podemos empregar.

Exemplo 3.0.17. Sejammeninteiros. Sememso mpares, entom + n par.

Antes de iniciarmos a prova, precisamos saber o que significa um nmero inteiro ser par ouser mpar.

Definio 3.0.18. Sejanum nmero inteiro. O nmeronparse existe algum inteiroktalquen=2k. O nmeronmparse existe algum interio jtal quen=2j + 1.

Demonstrao. Suponha que ne mso pares. Ento existem inteiro ke jtais que n=2kem=2j. Assim, n + m=2k+ 2j=2(k+ j). Desde que ke jso inteiro, tal k+ j. Logo,m + n par.


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3.1 O MTODO DIRETO 30

Embutido nesta prova est o uso de regras de inferncia. Por exemplo, nossa hiptese daformaP Qe queremos mostrar algo do tipo P Q R. Para tal mostramos que P R1eQ R2. Usamos ento o silgismo hipottico para concluir que P Q R.Ao ler uma prova, faa o seguinte procedimento: primeiro, procure quebrar ela em pedaos(nesse caso, implicao e recproca); segundo, identifique os mtodos usados - clculo, direto,induo, contrapositiva, contradio, casos, contra-exemplo, etc.; terceiro, encontre onde ashipteses foram utilizadas; quarto, verifique (se houver) o texto sem perda de generalidade.

Conjectura uma afirmao que acreditamos ser verdadeira, geralmente com base em al-guma evidncia, um argumento heurstico ou intuio, mas no temos prova. Quando umaprova de uma conjectura encontrada, a conjectura torna-se um teorema. Muitas vezes conjec-turas so mostradas serem falsas. Em matemtica h uma certa confuso: por exemplo, o ltimoteorema de Fermat que era uma conjectura um corolrio da conjectura Taniyama-Shimura,

que na verdade um teorema.O principal propsito de uma definio fazer com que algum saiba o que estamos falando.Dada uma definio, necessitamos perguntar se um tal objeto existe, como eles so, se nico,se existe um nmero finito deles.

Articular um nmero de razes para assegurar que algo verdadeiro. Argumentos convin-centes que mostram que as concluses seguem logicamente das hipteses. Pensar ou escreverprovas uma tarefa rdua, especialemente sob coisas mais abstratas. No espere constru-lasrapidamente.

3.1 O Mtodo Direto

Os mtodos de prova so importantes no apenas porque so usados para provar teoremas ma-temticos, mas tambm por suas aplicaes em cincia da computao, incluindo verificaoda correo de programas de computadores, estabelecer a segurana de sistemas operacionais,fazer inferncia em inteligncia artificial, mostrar que as especificaes do sistema so consis-tentes, etc.. O objetivo ensinar voc a ler e entender uma prova escrita por identificar a tcnicaque tem sido usada.

Quando resolve um problema, voce tenta todo tipo de viso para encontrar algo que funci-one, talvez iniciando com as hipteses e trabalhando para a frente, ou iniciando com a conclusoe trabalhando para trs, ou uma combinao dos dois.

Para provar que PQ diretamente, voc prova que PP1, que P1P2, e assim pordiante, at obterPn Q. Ento a hiptese queP verdade e o uso repetido de modus ponensmostra queQ verdade.

O mtodo direto o mtodo de prova mais amplamente usado. Na prtica, pode ser comple-tamente difcil entender as vrias afirmaes intermedirias que permitem voc proceder dePaQ. Com o objetivo de encontrar elas, a maioria dos matemticos usam um processo chamadotcnica pra frente-pra trs. Voc inicia trabalhando para frente e perguntando a si mesmo: oque eu sei sobre a hiptese? Quais afirmaes seguem desse fato? E assim por diante. Nesseponto temos uma lista de afirmaes implicadas por P cuja conexo com a conclusoQ aindano est clara.

Agora trabalhamos para trs a partir de Q perguntando: Quais fatos garantem que Q


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3.1 O MTODO DIRETO 31

verdadeiro? Quais afirmaes implicam nesses fatos? Temos agora uma lista de afirmaes queimplicam Q. Compare ela com a primeira lista. Se voc for um felizardo, alguma afirmao

estar em ambas as listas, ou mais provavelmente, existir uma afirmao Sda primeira lista euma afirmaoTda segunda lista tal que voc ser capaz de mostrar queS T. Logo, teremosqueP SeS TeT Q, dondeP Q.

Obtendo sucesso na tcnica pra frente-pra trs, devemos reescrever a prova numa formamais polida, contendo somente os fatos que so necessrios na prova.

Exemplo 3.1.1. Sejama,becinteiros. Seadividebe, por sua vez,bdividec, entoadividec.

Antes de tudo necessitamos saber o que significa um nmero dividir outro. Dizemos que ointeiroadivide o inteirobse existir algum nmero inteiroqtal queaq = b. Denotamos este fato

pora | b. Desde que nosso objetivo mostrar que a | c, precisamos determinar algum inteiro ktal queak=c. Ora, considerando as hipteses, temos que existem inteiros qertais queaq=be br= c. Um olhar atento a essas duas equaes percebemos quec= br= (aq)r= a(qr).Logo,k=qr o inteiro que procuramos.

Exemplo 3.1.2. Se a soma de dois nmeros inteiros par, ento a sua diferena tambm par.

Para provarmos este fato, suponhamos m,n Z tais quem + n par. Ou seja, m + n=2kpara algum inteirok. Assim,m=2k ne da a diferena pode ser expressa como

m

n= (2k

n)

n=2(k

n).

Desde de que a diferena entre dois inteiros continua sendo um inteiro, segue que o nmerom n par, como queramos demonstrar.

Um erro comum querer argumentar atravs de exemplos: sem = 14 en = 6, entom +n =20 que par e m n=88 que tambm par. Logo a afirmao est correta. ISSO NO PROVA!

Exemplo 3.1.3. s vezes assumimos o que para ser mostrado com o intuito de descobrirmosuma tcnica de prova. Consideremos o seguinte teorema: Sejam m e n nmeros reais. Sen>m>0, ento m+1

n+1 > m

n.

Assim, assumindo que nossa concluso verdadeira, temos que (m + 1)n>(n + 1)m(noteque isso verdadeiro porque m>0 en>0). Dessa forma, mn + n> mn + me cancelando aparcela em comum, obtemos que n> m. Nossa esperana poder reverter o argumento. Defato, partindo de nossa hiptese temos que

n>m

mn + n=mn + n(m + 1)n>(n + 1)mm + 1

n + 1>

m

n.


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3.1 PROVA POR CONTRADIO (REDUO AO ABSURDO) 32

Muitas vezes um teorema afirma que determinadas proposies P1,P2, ,Pn so equiva-lentes, isto , P1 P2 P3 Pn(o que assegura que as nproposies tm a mesmatabela verdade). Uma maneira de provar o teorema usa a tautologia

[P1 P2 P3 Pn] [(P1 P2) (P2 P3) (Pn P1)]Exemplo:Para cada inteironas seguintes afirmaes so equivalentes:

(i) n mpar;

(ii) n2 mpar;

(iii) n2 2n + 1 par.

Assim, devemos mostrar que(i) (ii),(ii) (iii)e(iii) (i). A prova da primeira implica-o direta, pois sen mpar, enton=2k+ 1 para algum inteirok. Assim,n2 = (2k+ 1)2 =2(2k2 + 2k) + 1=2m + 1 expressa quen2 mpar. Na segunda implicao,(ii) (iii), nossahiptese que n2 impar. Dessa forma, n2 + 1 par, ou seja n2 + 1= 2kpara algum in-teiro k. Logo, n2 2n + 1= 2k 2n= 2(k n)o que nos mostra a validade da afirmao(iii). Finalmente, devemos mostrar a terceira implicao. Acontece que o mtodo diretoaqui j no to bvio. Usaremos uma expresso lgica equivalente implicao PQque a sua contrapositiva QP. Dese modo, devemos mostrar que se n par, en-to n2 2n + 1 mpar. Mas isso fcil, pois se n= 2kpara algum inteiro k, segue quen2 2n + 1= (2k)2 2(2k) + 1= 2(2k2 2k) + 1. Logo, da veracidade da contrapositivasegue a veracidade da implicao em sua forma direta (iii)

(i).

Prova por Contradio (Reduo ao Absurdo)

Suponha que voc assume a verdade de uma afirmao R e que por um argumento vlidoverifica-se que R S. Se a afirmao S de fato falsa, ento existe somente uma conclusopossvel: a afirmao original R deve ser falsa porque se Re R S so verdadeiras, entopor modus ponens, S teria que ser verdadeiro. Nesse sentido, para provarmos um teoremado tipo PQ, assumiremos como habitual que P verdadeiro. Ento supondoQ comosendo verdade, verificamos que P

Q

S, onde S uma afirmao conhecida ser falsa.

Conclumos ento que Qdeve ser falso, dondeQ verdadeiro.Veremos agora um exemplo simples de uma prova por contradio e, na sequncia, a justi-ficativa para dois resultados famosos.

Teorema:Os nicos inteiros no negativos consecutivos a,b e c que satisfazem a2 +b2 = c2

so 3,4 e 5.

A afirmao deste teorema tem a forma PQ, porque ele pode ser reescrito como "sea,be cso inteiros no negativos e consecutivos tais que a2 + b2 =c2, ento a,be cso 3.4e 5". difcil provar o resultado diretamente, pois estamos tentando mostrar que algo no

existe. Assumiremos ento que inteiros consecutivos a,be cdiferentes de 3.4 e 5 satisfazem


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3.1 PROVA POR CONTRADIO (REDUO AO ABSURDO) 33

a2 + b2 =c2, e encontraremos dessa hiptese uma contradio. Observamos tambm que sea,becso inteiros consecutivos, entob=a + 1 ec=a + 2.

Prova: Provamos o resultado por contradio. Suponhamos que a,be cso inteiros nonegativos e consecutivos diferentes de 34 e 5 tais que a2 + b2 =c2. Assim, a=3 e comoeles so consecutivos, temos que b= a + 1 e c= a + 2. De a2 + b2 = c2 deduzimos quea2 + (a + 1)2 = (a + 2)2. Aps expandir e rearrumar os termos, obtemosa2 2a 3=0. Estaequao fatora-se como (a 3)(a + 1) =0. Logo, os nicos valores possiveis para aseriama=3 ou a= 1. Mas isto contradiz o fato que a =3 e a um inteiro no negativo. Portanto,temos uma contradio, e o teorema est provado.

Teorema:A raiz quadrada de 2 um nmero irracional.

Prova: Suponha que2 seja um nmero racional, ou seja, que existam inteiros me n =0 tais que2= mn

. Sem perda de generalidade, podemos assumir que m e n seja tais quemdcm,n=1. Ento temos que

2=

m

n 2= m

2

n2 m2 =2n2.

Isto implica que 2 divide o nmerom2 e assim 2 dividem(verifique!). Logo, podemos escreverm=2k, para algum inteiro k. Substituindomna expresso acima, obtemos que (2k)2 =2n2,donden2 =2k2. Dessa forma, conclumos que 2 tambm divide n, mas isso no possvel poistomamosmentais quemdcm,n=1. Portanto,

2 um nmero irracional.

Note que h uma diferena sutil entre uma prova por contradio e uma prova utilizando acontrapositiva. A prova por contradio termina quando encontramos um absurdo, que neces-sariamente no tem ligao direta com a hiptese Pou a hiptese assumida Q, enquanto quena contrapositiva precisamos determinar exatamente P.Exemplo 3.1.4. Consideremos um teorema clssico de Euclides: existem infinitos nmerosprimos.

Recorde que um inteiro pmaior que 1 dito serprimose os nicos divisores de p 1 eele prprio. Caso contrrio, dizemos que p um nmero composto. Mostraremos a afirmaopor contradio supondo que existe um nmero finito de nmeros primos, digamos n. Assim,

podemos list-los na forma p1,p2, ,pn. Chegaremos a uma contradio exibindo um outronmero primo fora desta lista. Consideremos o nmeroq =p1 p2 pn +1. Ora, comoq maior que quaisquer dos nmeros p1,p2, ,pn, segue queq um nmero composto. Logo,ele divisvel por algum nmero primo, digamospk, e podemos escreverq = r pkpara um certointeiror. Dessa forma,

r pk= p1 p2 pn+ 1,e, consequentemente,

pk(rp1 P k1pk+1 pk) =1.

Portanto,pkdivide 1, o que impossvel, pois pk primo.


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3.1 PROVAS TIPO P SE, E SOMENTE SE, Q 34

Provas tipo P se, e somente se, Q

Temos que provar as duas condicionais: P Qe sua recprocaQ P.Exemplo 3.1.5. Sejaa =0,becnmeros reais. Ento

ax2 + bx + c=0 x=b

b2 4ac2a

.

Desde quea =0, podemos dividir a expressoax2 + bx + c=0porapara obtermosx2 + bax +

ca

=0. Sem perda de generalidade, podemos assumir que estamos resolvendox2 +x +=0.Posteriormente podemos substituir por= b

ae= c

a. Assim, por completar os quadrados,

temos que

(x +2

)2 (2

)2 +=0

x +2

=

(

2)2

x= 2

(

2)2

b2a

(b

2a)2 c

a

b

2a b2 4ac4a2

b

b2 4ac2a

.

Faa a prova da recproca.

Exemplo 3.1.6. SejamXeYconjuntos. EntoX= Yse, e somente se,X YeYX.SeX= Y, entoXe Ytm os mesmos elementos. Assim, sex X,entox Yo que implica

X Y. Analogamente, sex Y, ento x Xo que implica Y X. Agora para a recprocasuponhamos queX

YeY

X. Ento cada elemento de Xest emYe cada elemento deY

est emX. Isto significa queXe Ypossuem os mesmos elementos, ou seja, X= Y.

Exemplo 3.1.7. Um inteiro positivon divisvel por 3 se, e somente se, a soma dos dgitos den divisvel por 3.

Uma leve verso de teoremas do tipo "se, e somente se" um teorema que estabelece trsou mais afirmaes que so mutuamente equivalentes. Um exemplo o seguinte teorema:

Teorema:SejaM=

a b

0 d

uma matriz triangular superior 22. Suponha quea,bed

so inteiros. As seguintes afirmaes so equivalentes:


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3.1 PROVA POR CASOS 35

1. det(M) =1;

2. a=d= 1;3. tr(M) = 2 e a=d.O teorema acima nos diz que(a) (b), que(a) (c)e que(b) (c). Assim, a princpio,

teramos que provar seis implicaes mas na prtica, usamos a propriedade da transitividade daimplicao lgica e verificamos apenas que (a) (b),(b) (c)e (c) (a). Vamos ento auma prova do referido teorema.

(a)(b). Suponhamos que det(M) =1. Ento ad=1 e, como a e dso inteiros,devemos tera=1 ed=1, oua= 1 e d= 1.

(b) (c).Suponha quea=d= 1. Primeiro consideremosa=d=1. Entot r(M) =a + d=2. Segundo, suponhamos quea=d= 1. Entotr(M) =a + d= 2. Portanto,tr(M) = 2 e a=d.(c) (a). Suponhamos agora que t r(M) = 2 ea= d. Podemos reescrevert r(M) =2 como a + d= 2. Assim 4= (a + d)2 =a2 + 2ad+ d2. Porque a= d temos quea2 =ad= d2, e da 4=4ad. Segue quead=1 e, consequentemente,det(M) =ad=1.

Prova por Casos

Algumas vezes no podemos provar um teorema usando um nico argumento que valha paratodos os casos possveis. Introduzimos ento um mtodo que pode ser usado para provar umteorema por considerar diferentes casos separadamente. Este mtodo baseado na regra deinferncia

[(P1 P2 Pn) Q] [(P1 Q) (P2 Q) (Pn Q)].Assim, para provarmos uma condicional P Q conveniente, s vezes, fazermos a decompo-sio P (P1 P2 Pn). Temos visto que X=Ypode ser provado por mostrarmos queX Y eY X. Em outras palavras, quebramos o problema em dois casos. No mtodo decasos precisamos exaurir todas as possibilidades, mesmo que tenhamos casos no exclusivos.

Teorema(Desigualdade Triangular): Suponha quexeysejam nmeros reais. Ento

|x +y| |x|+ |y|.Prova: Consideremos os casos em que x e y so ambos positivos, ambos negativos ou

diferentes em sinal.

Caso 1: Suponha x0 e y0. Ento x +y0 e por definio de valor absoluto temos que|x +y| =x +y= |x| + |y|.

Caso 2: Suponha x


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3.1 PROVAS DE EXISTNCIA 36

Caso 3: Suponha que x e ytenha sinais diferentes, digamos x0 e y


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3.1 PROVAS DE EXISTNCIA 37

Demonstrao. Seja A=

a b

c d

. A condio det(A) =4 significa que ad bc= 4; e a

condiot r(A) =7 significa quea + d=7. Temos ento duas equaes com quatro variveis.Uma soluo seriaa=3 ed=4, donde bc= 8 e, consequentemente,b=2 ec=4. Logo,A=

3 24 4

.

Exemplo 3.1.11. Consideremos o seguinte teorema: Para qualquer inteiron, a multiplicao dematrizesnnno comutativa. Dizer que a multiplicao comutativa dizer quex,y; (xy =yx). Assim, o nosso teorema afirma justamente a negao desse fato, ou seja,

x,y; (xy=yx) xy; (xy =yx).Logo, para provarmos o teorema, devemos encontrar duas matrizes, digamos 2

2, A e B,

com a propriedade queAB =BA. Por exemplo, A=

1 23 4

eB=

1 13 2

satisfazem tal

condio.

Tambm possvel d uma prova de existncia no construtiva, isto , no encontramosum elementoa tal queP(a)seja verdade, mas provamos que x,P(x) verdadeiro em algumaforma. H teoremas em matemtica que afirmam a existncia de determinados objetos semproduzir um exemplo do tipo desejado. Por exemplo, todo polinmio de grau mpar tem pelomenos uma raiz real. Note que f(x) =x5 + 2x 5=0 possui uma raiz entre x=1 ex=2.Exemplo 3.1.12. Mostre que existem nmeros irracionais xeytais quexy racional. Conside-

remos o nmero22 . Se ele racional, entox= 2ey= 2so dois nmeros irracionaistais quexy racional. Por outro lado, se

2

2

irracional, ento fazendox =

2

2

ey=

2temos que

xy = (

2

2)

2 = (

2)2 =2

racional. Mostramos ento que a existncia do parxey.

Provas para trs so to comuns em matemtica que infelizmente passam despercebidaspelos alunos, e raramente so criticadas. O cuidado aqui verificar se todos os passos com-putacionais podem ser revertidos. Por exemplo, considere a afirmao que existe x

R tal

que

x + 3=x + 1

x + 3= (x + 1)2x + 3=x2 + 2x + 10=x2 +x 20= (x 1)(x + 2).

Entox=1 oux= 2 so nossas solues. Devemos observar quex= 2 no soluo. Isso

se deve porque nem todas as implicaes so reversveis. Descubra qual.


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3.1 PROVAS DE UNICIDADE 38

Provas de Unicidade

Algumas vezes em Matemtica, desejamos provar no somente que um objeto com certas pro-priedades existe, mas tambm que existe somente um tal objeto, isto , o objeto nico. Pre-cisamos ento provar duas coisas: existencia e unicidade; e bom provarmos cada uma dessascoisas separadamente. No faz diferena qual parte provada primeiro. Para provarmos exis-tncia agimos como antes, e produzimos um exemplo do objeto desejado. Para provarmosunicidade, o mtodo essencialmente o mtodo de prova por contradio. Seja P(x)a funoproposicional exum objeto com as propriedades requeridas. Ento supomos que existem doisobjetos distintos satisfazendo as mesmas propriedades, ou seja,

xy, [P(x) P(y) (x =y)].

A concluso falsa que geralmente obtida da nossa hiptese que x=y.Exemplo 3.1.13. Mostre que sea,b,cedso nmeros reais tais quead bc =0, ento existeuma nica soluo para o sistema de equaes

ax + by=s

cx + dy =t

quaisquer que sejam os reais set.

Para provarmos a existncia construiremos uma soluo. claro que a ou c diferente dezero, pois se ambos fossem zero teramos ad bc=0, contrariando nossa hiptese. Vamos

supora =0. Ento podemos "tirar"o valor de xna primeira equao e substituir na segundaequao. De fato,

x=s by

a c s by

a+ dy = t (ad bc)y=atcs y= at cs

adbc .

Retornando esse valor deyna expresso emx, encontramos que

x= ds btad bc .

Logo exibimos uma soluo. Agora para mostrarmos que esta nica, supomos a existnciade duas solues distintas, digamos(x1,y1)e(x2,y2). Ou seja,

ax1+ by1=s

cx1+ dy1=t

e

ax2+ by2=s

cx2+ dy2=t.

Agindo de forma semelhante ao realizado para encontrar uma soluo, verificamos que

x1= ds bt

ad bc=x2e y1=

at cs

ad bc=y2.


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3.1 PROVAS DE UNICIDADE 39

Exemplo 3.1.14. SejaA uma matriz2 2tal qued et(A) =0. EntoA tem uma nica matrizinversa.

A frase "A tem uma nica matriz inversa"significa que existe uma matriz inversa para Ae que esta nica. Iniciamos provando a unicidade. Para isso, assumiremos que Atem duasmatrizes inversasB e Ce ento usaremos propriedades de matrizes para mostrar queB = C. Ora,por definio de matriz inversa, temos as seguintes identidades: AB=I= BAe AC= I= CA,ondeI a matriz identidade de ordem 2 2. Assim,

B=BI= B(AC) = (BA)C=IC= C.

Agora, para provarmos a existncia, podemos adotar duas estratgias: uma construtivista e

outra exibicionista. Na primeira alternativa, supomos a matrizAcomo sendo A=

a b

c d

e

construiremos uma matrizB=

x yz w

satisfazendoAB=I= BA. Ou seja,

a b

c d

x y

z w

=

1 00 1

,

que fornece quatro equaes

ax + bz=1

ay + bw=0

cx + dz =0

cy + dw =1,

onde x,y,ze wso nossa incgnitas a serem determinadas em funo de a,b,c e d. Ora, asoluo para esse sistema dada por

x= d

ad bc ,

y= bad bc ,

z= cad bc ,

w= a

ad bc.

Vemos aqui a necessidade da hiptese det(A) = ad bc =0 para que a matriz Bencontradafaa sentido.

Por outro lado, poderamos, "de bate pronto", exibir a matriz inversa B, descoberta talvezpor intuio, por sorte, por tentativa e erro, por experiencia,... E a o que nos resta verificar

que esta matriz de fato inversa da matriz A. Ou seja, se A=

a b

c d

, com a condio que

det(A) =0, e supormos queB=

d

adbcb

adbccadbc

aadbc ,

basta mostrarmos queAB=I= BA.


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3.1 USO DE CONTRA-EXEMPLOS 40

Uso de Contra-Exemplos

Um entendimento de quantificadores tambm til quando queremos provar que uma dadaafirmao falsa. Suponha que queremos provar que uma afirmao da forma "x U,P(x)"falsa. Ento isto equivale a encontrar um x0em U tal que P(x0) verdadeiro. O elementox0 chamado umcontra-exemplopara a afirmao original. Em outras palavras, um contra-exemplo um exemplo que desaprova uma afirmao universal. Ou seja, dada uma afirmaotipo x,P(x), queremos encontrar umano universo de discurso tal queP(a)seja falso. De fato,recorde que

x,P(x) x, P(x).Exemplo 3.1.15. Em 1540 Fermat afirmou que para todo inteiro positivo n, o inteiro Fn =22

n+ 1 primo, mas no foi capaz de fornecer uma prova. De fato, observamos queF0= 3,

F1 =5, F2 =17, F3 =257 e F4 =65.537 so primos. Mas isto no constitui uma prova!Somente em 1732 que Euler (iler) estabeleceu queF5=4.294.967.297=641 6.700.417era um nmero composto e, portanto, a conjectura de Fermat era falsa.

Observaes:

(1) Um nico exemplo no pode provar uma afirmao universal, mas um nico contra-exemplo pode desaprov-la.

(2) Para d um contra-exemplo de uma afirmao condicionalP Q, encontre um caso ondeP verdade, masQ falso.

(3) A conjectura de Goldbach - "Todo inteiro par maior que 4 pode ser representado comouma soma de dois primos", cuja soluo vale um milho de dlares, teve sua veracidadeverificada no computador para nmeros at 1017. Mas prova que bom, nada!

Exemplo 3.1.16. Encontre um contra-exemplo para a proposio: para todos os nmeros reaisxey, sex y, ento|x| |y|. Precisamos encontrar nmeros reaisaebtais quea b, porm|a| > |b|. Tente!

A presena de quantificadores, e especialmente quantificadores mltiplos, nas afirmaesde teoremas uma fonte de erros na construo de provas vlidas para os iniciantes. A definio

de limite um exemplo de uma afirmao de existncia. Sejam f:RR ec R. A afirmaolim

xc f(x) =L

significa que para cada>0 dado, existe um>0 tal que, se 0< |x c|


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3.2 INDUO MATEMTICA 41

tomamos um>0 qualquer e exibimos para ele um >0 de forma que a definio de limiteseja satisfeita. Para construirmos um tal>0 usamos o que queremos provar. Ou seja,

|(5x + 4)14| = |5x 10| =5|x 2|e observamos que esta expresso ser menor que se fizermos|x 2| 0, existe 5 tal que se |x 2| 0), onde xe y so nmeros reais.

Outra vez iniciamos com o quantificador externo. Reescrevemos a sentena comox,R(x),onde R(x) =

y, ((3

x)(y2 + 1)>0). Assim, devemos produzir um nmero real x

0tal que

R(x0)seja vlido. Ou seja, precisamos encontrar um realx0tal que, se escolhermos um nmeroreal arbitrrioy0, ento(3x)(y2 + 1)>0 vale. Ora, sabemos que (y0)2 + 1>0 qualquer queseja y0R, de forma que basta tomarmos x0tal que 3 x0>0. Portanto, nossa afirmao vlida se tomarmosx0


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"Todo subconjunto no-vazio dos nmeros naturais contm um menorelemento".

Teorema 3.2.2(O Princpio de Induo Matemtica). Suponha que para cada nmero naturaln, uma afirmaoP(n) dada. Se valem as seguintes condies:

(i) P(1) uma afirmao verdadeira;

(ii) P(k)verdadeiro implicarP(k+ 1)verdadeiro;

conclumos que a afirmaoP(n) verdadeira para todon N.Numa linguagem de conjuntos, temos que se G= {n N :P(n)}contido em N tal que

1 Gek+ 1 Gsempre quek G, entoG= N.Demonstrao. Seja So subconjuntos dos nmeros naturais constitudo pelos nmeros naturaisk1 tais que P(k) falso. Provaremos que S vazio. Para isso usamos uma prova porcontradio. Suponha queS no-vazio. Ento podemos usar o Princpio da Boa-Ordenaopara garantir a existncia de um menor elemento em S, digamos d. Desde que P(d) falso,segue da hiptese(i)qued>1. Consequentemente,d1 1. Comod1


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(c) Seja ABCum tringulo com ladosa,bec. Entoa

sen(A)= b

sen(B)= c

sen(C) .

(d) (Teorema Fundamental do Clculo) Seja fuma funo contnua sobre[a,b]e sejaFqualquer funo para a qualF(x) = f(x). Ento

ba

f(x)dx =F(b) F(a).

2. Escreva uma prova direta para as seguintes afirmaes:

(a) SejamA,Be Cconjuntos. SeA

BeB

C, entoA

C.

(b) Todo inteiro mpar a diferena de dois quadrados.

(c) Sejax Z. Se 22x um inteiro mpar, ento 4x um inteiro mpar.3. Use a contrapositiva para provas as seguintes afirmaes:

(a) Sejan Z. Se 15n par, ento 9n par.(b) Sejan Z. Prove que(n + 1)2 1 par se, e somente se, n par.

4. Prove por casos as seguintes afirmaes:

(a) Sen um nmero natural, ento n2

+ n + 3 mpar.(b) Sejamx,y Z. Prove que sexy mpar, ento xeyso mpares.(c) Sejamx,y Z. Prove quex y par se, e somente se, xeytm a mesma paridade.(d) Sejamx,y Z. Prove que sex +yexytm a mesma paridade, entoxeyso pares.

5. Prove por contradio as seguintes afirmaes:

(a) 3

2 no racional.

(b) Sen um nmero natural, ento nn+1 >

nn+2 .

(c) Sex irracional, ento 1/x irracional.

(d) No existe nmero racional xpara o qualx3 +x + 1=0.

(e) Prove que sexeyso nmeros reais positivos, ento

x +y = x +y.6. Seja a e b inteiros. Dizemos que dois inteiros a e b so relativamente primos se

mdca,b=1. Ou seja, os nicos dividores comuns de ae bso 1 e -1. Mostre queas seguintes afirmaes so equivalentes:

(a) aebso relativamente primos;

(b) ae bso relativamente primos;

(c) a + bebso relativamente primos;


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(d) a bebso relativamente primos.

7. Prove que:(a) no existem inteirosmentais que 2m + 4n=7.

(b) se m um inteiro mpar, ento m2 =8k+ 1, para algum kinteiro. Use o fato quek(k+ 1) par para qualquer inteirok.

(c) para todos os inteirosa,bec, se adividebeadividec, entoadividebc.

(d) se existirem inteirosm entais queam + bn=1 e d>1, entodno divideaoudno divideb.

(e) sexeyso racionais comx1 e y>0, entoyx >x;

(c) para todos os inteirosa,bec, se adividebc, entoadividebouadividec;

(d) para todos os nmeros reais positivos x,x2 x>0.9. Prove quemmc(a,b).mdc(a,b) =ab, para todos os nmeros naturais aeb.

10. Prove ou desaprove que seaebso nmeros racionais, ento ab tambm racional.

11. Sejama,b Z, ondea =0 e b =0. Prove que se a | beb | a, entoa=boua= b.12. Sejamx,y Z. Prove que se 3xe 3 y, ento 3 | (x2 y2).13. Prove que se a e b so nmeros reais positivos, ento

ab a+b2 . Sob quais condies

vale a igualdade?

14. Sejamx,y R. Prove que |xy| = |x| |y|.15. Prove que para quaisquer dois nmeros reaisaeb, no ambos nulos, temos a

b+ b

a 2.

16. Uma prova do seguinte resultado dada.Resultado:Sejan Z. Sen4 par, ento 3n + 1 mpar.Prova:Suponha quen4 = (n2)2 par. Desde quen4 par, n2 par. Alm disso, comon2 par, segue quen par. Porquen par,n=2kpara algum inteirok. Ento

3n + 1=3(2k) + 1=6k+ 1=2(3k) + 1.

Desde que 3k um inteiro, 3n + 1 mpar.Responda as seguintes questes:

(1) Qual tcnica de prova est sendo usada?

(2) Qual a hiptese inicial?


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(3) O que deve ser mostrado para fornecer uma prova completa?

(4) D uma razo para cada um dos seguintes passos na prova.

(a) Desde quen4 par,n2 par.

(b) Alm disso, comon2 par, segue quen par.

(c) Porquen par,n=2kpara algum inteiro k.

(d) Ento 3n + 1=3(2k) + 1=6k+ 1=2(3k) + 1.

(e) Desde que 3k um inteiro, 3n + 1 mpar.

17. Prove que cada uma das seguintes sentenas so vlidas para todo n N.

(a) 12 + 22 + + n2 = n(n+1)(n+2)6 ;

(b) 13 + 23 + + n3 = n2

(n+1)2

4 ;

(c) 112+ 123+ + 1n(n+1) = nn+1 .

18. Encontre uma frmula para 1 + 4 + 7 + + (3n 2), onde n um inteiro positivos eento verifique a validade dessa frmula por induo matemtica.

19. Prove que 1 + 2n 3n para todon N.20. Sejama,b N. Prove quean bn divisvel pora b, para todon N.21. Prove que(1 +1

n)n n3 para todon N tal quen 4.23. Seja r=1 um nmero real. Use induo para provar que a + ar+ ar2 + + arn1 =

a(1rn)1r para cada inteiro positivon.

24. Prove a identidade de Bernoulli: para cada nmero realx> 1 e cada inteiro positivo n,(1 +x)n 1 + nx.

25. Sejar1,r2,r3, uma sequncia definida por r1=1 ern+1=4rn+ 7, para todo n N.Prove quern= 13 (10

4n1

7), para todon

N.

26. Sejab1,b2,b3, a sequncia definida por b1=1, b2=1 e bn= 13

bn1+ 3bn2

para

todon N tal quen 3. Prove que 1 bn 32para todon N.27. Sejad1,d2,d3, a sequncia definida por d1=2, d2=3 e dn= dn1 dn2para todo

n Ntal que n 3. Encontre uma frmula explcita para dne prove que sua frmulafunciona.


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CAPTULO 4

Conjuntos

Todos os conceitos bsicos em matemtica podem ser colocados em termos de conjuntos.Quando contamos, estamos contando o nmero de elementos em um conjunto; quando ana-lisamos a forma de uma figura, estamos analisando um conjunto de pontos; quando olhamospara uma funo, vemos uma relao entre dois conjuntos. Conjuntos proporcionam a estrutura

para o discurso matemtico; eles so os blocos fundamentais para todos os conceitos quantita-tivos e espaciais.Toscamente falando, um conjunto uma coleo de objetos. Os objetos so chamados

os membros ouelementosdo conjunto. Em geral, letras maisculas so usadas para denotarconjuntos, e letras minsculas para denotar elementos. Se o objetox um elemento do conjuntoA, escrevemosx A; se no, isto , se (x A), escrevemosx A.

Conjuntos podem ser descritos em palavras, tais como "o conjunto de todos os inteirospares", ou voc pode definir um conjunto listando seus elementos entre chaves, como em{1,3,5,7,9}. A ordem dos elementos na lista irrelevante; assim,{1,2,3},{1,3,2,2} e{2,3,1}representam o mesmo conjunto. De fato, um conjunto completamente determinado

por seus elementos, de forma que:Definio 4.0.5. Dois conjuntos so iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos.

Mas o modo mais conveniente para expressar um conjunto especificar uma propriedadeque determina os membros do conjunto. A propriedade estabelecida em termos de umasentena aberta a qual todos os elementos do conjunto devem satisfazer. Escrevemos ento{x:P(x)}, ondeP(x)expressa o critrio para ser membro do conjunto. Por exemplo,

A= {n Z :n=2k,k Z}.

Definio 4.0.6. O conjunto sem elementos ser chamado oconjunto vazio, e denotado por/0.

Definio 4.0.7. SejamAeBconjuntos. Dizemos queA um

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