Fundamentele algebrice ale informaticii

5/20/2018 Fundamentele algebrice ale informaticii

1/220

Universitatea Alexandru Ioan Cuza

Facultatea de Informatica

Departamentul de Invatamant la Distanta

Ferucio Laurentiu Tiplea

FUNDAMENTELE ALGEBRICE

ALE

INFORMATICII

20052006


2/220

Adresa autorului: Universitatea Al. I. Cuza

Facultatea de Informatica

Str. Berthelot 16

700483 - Iasi, Romania

E-mail:[email protected]

Adresa Web: http://www.infoiasi.ro/fltiplea


3/220

Prefata

Materialul de fata constituie parte integranta a cursurilor predate de autor studentilor

Facultatii de Informatica a Universitatii Al.I.Cuza din Iasi, ncepand cu 1996, fiind

conceput ca suport de curs.

Accentul cade n principal pe asimilarea conceptelor de baza necesare ntelegerii

elementelor de informatica ce implica notiuni cu caracter matematic, cum ar fi cele de

functie, relatie, inductie matematica si structurala, recursie, multime partial ordonata,

latice etc. Ultimele doua capitole contin aplicatii consistente n informatica (crip-

tografie si semantica limbajelor de programare). Fiecare capitol contine propozitii sileme ale caror demonstratii sunt simple exercitii lasate n seama cititorului.

O extensie completa a acestui material poate fi gasita n [187].

Iasi, 4 Octombrie, 2005

Ferucio Laurentiu Tiplea


4/220

iv


5/220

Cuprins

Prefata iii

1 Multimi, relatii, functii 1

1.1 Multimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Ce este o multime? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Operatii cu multimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.3 Numere naturale si inductie . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.4 Recursie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Relatii si functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2.1 Relatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2.2 Relatii de echivalenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.2.3 Functii si operatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.2.4 Familii indexate de multimi . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.2.5 Relatii de ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2 Inchideri 55

2.1 Inchideri. Inductie structurala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2 Inchideri ale unei relatii binare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3 Definitii inductive/recursive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3 Sisteme relationale si algebre universale 65

3.1 Sisteme relationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2 Multimi partial ordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.1 Concepte de baza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.2 Dualitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2.3 Proprietati de baza ale supremum si infimum . . . . . . . . 72

3.2.4 Constructii de mpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3 Latici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3.1 Laticea ca multime partial ordonata . . . . . . . . . . . . . 81

3.3.2 Laticea ca structura algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.4 Algebre universale dintr-un punct de vedere elementar . . . . . . . 88

3.4.1 Algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.4.2 Subalgebre. Ordin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.4.3 Homomorfisme si congruente . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.5 Algebre booleene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

v


6/220

vi CUPRINS

4 Elemente de teoria numerelor cu aplicatiin criptografie 103

4.1 Divizibilitate. Numere prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.2 Cel mai mare divizor comun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.3 Congruente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.4 Functia lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.5 Radacini primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.6 Problema logaritmului discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.7 Ecuatii congruentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.8 Teorema chineza a resturilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.9 Complexitatea operatiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.9.1 Ordine de marime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.9.2 Timpul de executie al unui algoritm . . . . . . . . . . . . . 136

4.10 Aplicatii: partajarea secretelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.11 Aplicatii: criptografie cu chei publice . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.11.1 Introducere n criptografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.11.2 Criptosistemul RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.11.2.1 Descrierea criptosistemului . . . . . . . . . . . . 1464.11.2.2 Criptanaliza RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.11.3 Semnaturi digitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.11.3.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.11.3.2 Semnatura ElGamal . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.11.3.3 Semnatura DSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5 Completitudinen teoria multimilor partial ordonate 163

5.1 Completitudine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.2 Teoria de punct fix a multimilor partial ordonate . . . . . . . . . . . 170

5.2.1 Functii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.2.2 Puncte fixe si inductie de punct fix . . . . . . . . . . . . . . 1785.3 Aplicatii: semantica denotationala a programelor . . . . . . . . . . 183

5.3.1 -notatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.3.2 Programe recursive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.3.3 Semantica denotationala a programelor recursive . . . . . . 192

5.3.4 Programe while . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

5.3.5 Semantica denotationala a programelor while . . . . . . . . 197

Bibliografie 203


7/220

Capitolul 1

Multimi, relatii, functii

1.1 Multimi

In aceasta sectiune vom prezenta cateva concepte de baza de teoria multimilor, con-

cepte ce vor fi utilizate pe parcursul acestei lucrari. Pentru detalii cititorul estendrumat catre [82, 89, 182].

1.1.1 Ce este o multime?

Conceptul Cantorian de multime. Conceptul de multime sta la temelia matema-

ticii moderne, fiind un concept larg utilizat n orice domeniu. Teoria multimilor

(studiul abstract al multimilor) asa cum o utilizam astazi a fost initiata de George

Cantor n ultimul sfert al secolului 19 [23]. Abordarea lui a condus nsa la contradic-

tii(numite si paradoxuri), remediul aparent al acestora fiind abordarea axiomatica.

Conform definitiei date de Cantor, prinmultimentelegem

orice colectie de obiecte distincte si bine definite ale intuitiei si g andirii

noastre, considerate ca un tot(ntreg, ca o unitate).

Notiunea de multime trebuie considerata ca un concept primitiv, suficient de bine

nteles intuitiv, care nu este precis definit dar care poate fi utilizat n definirea altor

concepte particulare. Asadar, motivati de definitia lui Cantor, sa consideram ca o

multime este o colectie de obiecte numite elementelemultimii si, sa presupunem

ca exista macar o multime.

Daca A este o multime si a este un obiect (arbitrar) atunci a poate fi sau nu nmultimeaA. In primul caz vom folosi exprimarea a este element al multimiiA sauaapartine multimiiA sau a este continutnA sau A continea si vom notaa A;vom scriea Adacaa nu este element al multimiiA 1.

Mentionam explicit ca nu consideram notiunea de obiect ca o notiune primara a

teoriei multimilor. Asadar, avem libertatea n a gandi ceea ce este un obiect. De e-

xemplu, putem gandi anumite multimi ca fiind obiecte componente ale altei multimi.

1Simbolul a fost folosit pentru prima data de matematicianul Giuseppe Peano [143], el fiindde fapt o variatie grafica a primei litere a cuvantului grecesc ce nseamna este.

1


8/220

2 Multimi

FieR multimea

R= {x|xeste multime six / x}.Conform definitiei lui Cantor, R este multime. Multimea numerelor naturale esteelement al multimiiR. Este mai dificil de gasit un exemplu de multime ce nu esteelement al multimii R, dar aceasta nu are nici o importanta relativ la statutul de

multime a luiR. Insa, constatam ca are loc

R R daca si numai daca R R,

ceea ce constituie un paradox. Acesta este asa-numitulparadox al lui Russell[194].

Este natural sa ne ntrebam atunci care este cauza ce conduce la acest para-

dox. Analizand modul de definire a multimii R constatam ca aceasta este bazatape urmatorul principiu numit si Axioma abstractiei sau aconstructiei de multimi,

introdusa de G. Frege n 1893 [58]:

Axioma abstractiei Data o proprietate ce poate fi sau nu ndeplinita de

obiecte, exista o multime ce consta exact din obiectele ce satisfac aceasta

proprietate.

In cazul multimiiR, proprietatea este

P(x) : xeste multime six x.

Ca urmare, R= {x|P(x)}. La o prima analiza nu ar trebuie sa fie nimic rau n a con-strui multimi printr-o astfel de axioma. Multe multimi n matematica se construiesc

n acest mod. De exemplu, considerand proprietatea

P(x) : xeste numar natural impar mai mic decit 10,

obtinem multimea A = {1, 3, 5, 7, 9}. Diferenta dintre constructiile celor douamultimi consta n aceea ca multimeaAeste obtinuta prin selectarea obiectelor dintr-o multime data (cea a numerelor naturale) prin intermediul unei proprietati, ceea ce

nu se ntampla n cazul multimiiR.Descoperirea de paradoxuri n teoria Cantoriana a multimilor a avut efecte din

cele mai neplacute pentru multi matematicieni care si-au bazat studiile si cercetarile

pe o astfel de teorie. De exemplu, Richard Dedekind care ncepuse n 1888 sa publice

din studiile sale asupra teoriei numerelor studii ce utilizau din plin teoria lui Cantor

, a fost nevoit sa opreasca pentru o perioada publicarea acestora 2. Mai tragic a fostnsa cu lucrarea n doua volume a lui Gottlob Frege, despre bazele aritmeticii, care

tocmai fusese terminata [58] si care utiliza Axioma abstractiei. In cel de-al doilea

volum, cand Frege luase deja cunostinta de paradoxul lui Russell, acesta a inserat

o anexa din care prezentam mai jos un fragment (traducerea din original este dupa

[61], pag. 234):

2In prefata la a 3-a editie a lucrarii [38], sau n [40], pag. 449.


9/220

Ce este o multime? 3

Hardly anything more unfortunate can befall a scientific writer than to

have one of the foundations of his edifice shaken after the work is fin-

ished. This was the position I was placed in by a letter of Mr. Bertrand

Russell, just when the printing of this volume was nearing its comple-

tion. It is a matter of my Axiom (V). I have never disguised from myself

its lack of the self-evidence that belongs to the other axioms and that

must be properly be demanded of a logical law ... I should gladly havedispensed with this foundation if I had known of any substitute for it.

And even now I do not see how arithmetic can be scientifically estab-

lished; how numbers can be apprehended as logical objects, and brought

under review; unless we are permitted at least conditionally to pass

from a concept to its extension. May I always speak of the extension

of a concept speak of a class? And if not, how are the exceptional

cases recognized? ... These are the questions raised by Mr. Russells

communication.

Sistemul axiomatic Zermelo-Fraenkel. Intr-o perioada s-a crezut ca aparitia deparadoxuri n teoria creata de Cantor o pot distruge dar, asa cum a remarcat David

Hilbert, aceste paradoxuri nu au condus la altceva decat la refondarea acestei teorii

pastrand paradisul creat de Cantor 3. Refondarea teoriei a nsemnat asezarea ei

pe baze axiomatice, logistice sau intuitioniste. Dintre sistemele axiomatice propuse,

sistemul Zermelo-Fraenkel cu Axioma alegerii, abreviat ZFC, este astazi unul din

cele mai utilizate sisteme. Restul acestei sectiuni va fi dedicat unei prezentari extrem

de succinte a acestui sistem. Pentru detalii cititorul este ndrumat catre [182] sau

[187] (atragem atentia asupra faptului ca sistemul ZFC asa cum este prezentat n

[182] porneste de la premisa ca universul de discurs al variabilelor poate contine

obiecte ce nu sunt multimi, pe cand abordarea pe care o vom prezenta n cele ce

urmeaza pleaca de la premisa ca universul de discurs al variabilelor contine numai

multimi. O discutie detaliata asupra diferentei dintre aceste abordari poate fi gasita

n [182]).

Sistemul ZFC se construieste peste logica cu predicate de ordinul ntai la care se

adauga doua predicate noi, predicatul de egalitatesi predicatul binar deapartenent a.

Mentinam nca de la nceput ca apartenenta este un predicat primitiv, care nu se

defineste. Obiectele au proprietatea de a apartine sau nu multimilor, proprietate ce

este primitiva.

Formulele atomicesunt de forma

x y si x= y,

pe baza carora se construiesc noi formule prin intermediul operatorilor logici clasici

si a cuantificatorilor,

, , , , , (x) si (x).3a paradise created by Cantor which nobody shall ever expel us (conform cu [54], p.240).


10/220

4 Multimi

Vom adopta notatia (x1, . . . , xn)pentru a specifica ca variabilele libere ale formulei sunt printre variabilelex1, . . . , xn (lasand posibilitatea ca anumite variabilexi sanu fie libere nsau chiar sa nu apara n ea).

Un aspect fundamental l constituie stabilirea domeniului obiectelor de studiu,

domeniu din care vor lua valori variabilele, numit si universul de discurs. Din punct

de vedere a teoriei multimilor, proprietatea fundamentala prin care se poate face

distinctie ntre obiectele universului de discurs este proprietatea de apartenenta: unobiect poatecontinealte obiecte, sau nici unul. Daca un obiect contine obiecte atunci

el va fi referit ca multime; altfel, ca obiect individual. Terminologia de element

va nsemna pentru noi obiect al unei multimi. Este natural de a presupune ca

fiecare obiect al universului de discurs este element al unei multimi (macar a multimii

formate doar din obiectul n cauza). Intrebarea fundamentala ce se pune acum este

urmatoarea: cate obiecte individuale, si similar multimi, consideram n univers?

Trebuie sa admitem ca existenta a cel putin unui obiect este ceruta atat de ratiuni

filozofice cat si practice; ea este necesara fond arii universului. Pe de alta parte,

gandind n avans la intersectie de multimi, constatam ca am avea nevoie de un obiect

care sa reprezinte rezultatul intersectiei a doua multimi fara elemente comune. Estenatural ca acest obiect sa fie ales fara elemente, deci obiect individual, si el sa nu

depinda de multimile sursa. Din considerente tehnice este important ca si acest obiect

sa fie referit ca multime; ca urmare, prin multime vom ntelege acele obiecte ce contin

obiecte, sau acest obiect particular bine precizat (uzual, un astfel de obiect individual

este numit multimea vid a). Vrem nsa sa accentuam ca n timp ce existenta a cel

putin unui obiect individual este ceruta de ratiuni filozofice si practice, referirea la

un obiect individual ca fiind multimea vida este numai din ratiuni de convenienta si

simplitate. Acum, avem de analizat urmatoarele doua variante:

(1) universul de discurs contine numai multimi si, n plus, multimea vida ca singur

obiect individual [54, 89, 107, 190];

(2) universul de discurs contine si alte obiecte individuale pe langa cel desemnat a

fi multimea vida [134, 15, 175, 97, 182].

Majoritatea sistemelor ZFC n varianta (1) asigura fondarea universului de discurs si

existenta multimii vide

ori prin intermediul unei axiome, uzual numitaAxioma existentei sau amultimii

vide, care postuleaza existenta unei multimi ce nu contine nici un obiect (de e-

xemplu, [82]),

ori presupunand tacit ca universul de discurs contine cel putin o multime (uni-

versul de discurs al variabilelor logicii de ordinul ntai trebuie sa contina celputin un obiect), de la care se deduce, pe baza Axiomei separarii, existenta

unei multimi ce nu contine nici un obiect (de exemplu, [107, 56]).

Ceea ce a iesit n evidenta este ca, pentru scopuri matematice, postularea existentei

doar a unui singur obiect individual (multimea vida) este suficienta 4. Aceasta este

4Discutii asupra acestui aspect pot fi gasite n [53, 136, 17]. Pe de alta parte, daca sistemul ZFC n

varianta (1) este consistent, atunci si sistemul ZFC n varianta (2) este consistent [134, 106, 150].


11/220


varianta pe care o vom adopta si noi (adica, (1)). Atragem atentia asupra faptului ca

ne vom referi adesea la [182] unde este adoptata varianta (2) si, ca urmare, trebuie

acordata atentie diferentei care exista n formularea unora dintre axiome.

Axiomele sistemului ZFC sunt urmatoarele:

1. Axioma extensionalitatii Doua multimiAsiB sunt egale, si notamA= B ,

daca pentru orice obiectxare loc:

x A daca si numai daca x B.

2. Axioma de existenta a multimii vide Exista multimi fara nici un element.

3. Axioma separarii Pentru orice formula(x)si multimeUexista o multimece contine toate elementele dinUce satisfacP, si numai pe acestea.

4. Axiomamperecherii Pentru orice doua obiecteasi b(nu neaparat distincte)exista o multime ce contine obiecteleasib, si numai pe acestea.

5. Axioma reuniunii Pentru orice familie de multimi 5 Aexista o multime cecontine elementele componente ale multimilor continute deA, si numai peacestea.

6. Axioma partilor Pentru orice multime A, exista o multime ce contine caelemente toate submultimile multimiiA, si numai pe acestea.

7. Axioma regularitatii Pentru orice multime nevida A exista x A astfel ncatx A= .

Exista nca 3 axiome n sistemul ZFC, Axioma infinitului, a alegerii si a nlocuirii.

In Sectiunea 1.1.3 vom prezenta Axioma infinitului; celelalte doua depasesc cadrul

lucrarii si vor fi omise (pentru detalii indicam [182, 187]).

Vom trece acum la prezentarea catorva proprietati fundamentale ce decurg de la

aceste axiome.

In primul rand, egalitatea multimilor satisface proprietatile:

A= A; (reflexivitate) dacaA= B atunciB = A; (simetrie)

dacaA= B siB = CatunciA= C. (tranzitivitate)

Definitia 1.1.1.1. FieAsi B doua multimi.

(1) Spunem ca A este submultime a multimii B, si notam A B, daca oriceelement al multimiiAeste element al multimiiB.

5O familie de multimi este o multime ale carei elemente sunt multimi. Cum n abordarea conside-

rata consideram numai astfel de multimi, termenul de familie de mult imi va fi utilizat pentru a atrage

atentia asupra acestui fapt, si anume, ca elementele familiei (multimii) considerate sunt multimi.


12/220

6 Multimi

(2) Spunem ca A este submultime propriea multimiiB , si notamA B, dacaA B si A =B .

DacaAnu este submultime (submultime proprie) a multimiiB, atunci vom notaA B (A B). Este clar ca dacaA BatunciA B.

Teorema 1.1.1.1. FieA,B siCmultimi. Atunci, au loc urmatoarele proprietati:

(1) A A;(2) dacaA B si B C, atunciA C;(3) A= B daca si numai dacaA B siB A;(4) A B daca si numai dacaA B sauA= B;(5) A A;

(6) dacaA B, atunciB A;(7) dacaA B si B C, sauA B si B C, atunciA C.

Demonstratie (1) si (2) urmeaza direct de la Definitia 1.1.1.1(1). (3) este o alta

exprimare, utilizand incluziunea, a Axiomei extensionalitatii.

(4) Sa presupunem caA B. Daca pentru oriceb B are locb A, atunciB A si, deci, A = B (folosind (3)). Altfel, existabB astfel ncatb A, ceeace conduce laA B (conform definitiei).

Reciproc, dacaA B atunci A B (de la definitie), iar daca A = B atunciA B (de la (3)).

(5) Daca am presupune prin contradictie caA A, atunci conform definitiei arexistaa Aastfel ncata A; contradictie.(6) A Bconduce la existenta unui element b n Bcare nu este n A; ca urmare,

B A.(7) Sa presupunem ca are loc A Bsi B C. De la (4) si (2) obtinem A C.

Daca presupunem caA = C, atunci ipoteza se rescrie la AB si B A, ceea ceconstituie o contradictie. In mod similar se discuta si celalalt caz.

Conform Teoremei 1.1.1.1(3), pentru a stabili egalitatea a doua multimiA si Bavem de aratat ca oricare din cele doua multimi este inclusa n cealalta. Aceasta

metoda de demonstratie este numita adeseademonstratia prin dubl a incluziune.

In baza Axiomei extensionalitatii, orice doua multimi fara nici un element suntegale si, deci, exista o unica multime fara nici un element. Aceasta este numita

multimea vid asi este notata prin . Este clar ca este submultime proprie a oricareimultimi diferite de ea nsasi si, nici o multime nu este submultime proprie a ei.

Axioma separarii exclude paradoxul lui Russell formulat corespunzator acesteia.

Adica, daca consideram o multime arbitraraUsi definim

RU= {x U|x x},


13/220


atunci contradictia

RU RU daca si numai daca RU RUnu mai poate fi generata. In adevar,

dacaRU RU, atunci urmeazaRU U siRU RU; contradictie; dacaRU RU, atunciRU UsauRU RU. Rezulta deciRU U.

Am obtinut astfel ca RU U, adica, indiferent de ce multime Us-ar alege, multimeaRUnu este element al ei. Mai mult, are loc:

Teorema 1.1.1.2. Nu exista nici o multimeUcare sa contina ca element orice mul-time.

Demonstratie Pentru orice multimeU, multimeaRU definita ca mai sus nu esteelement al multimii U. Ca urmare, nu poate exista o multimeUcare sa contina orice

multime deoarece, atunci, ea ar trebui sa contina siRU.

Teorema 1.1.1.2 conduce la faptul ca nu exista o multime a tuturor multimilor

sau, altfel spus, clasa 6 tuturor multimilor este o clasa proprie.

Intersectiaunei familii nevide de multimi A este definita prinA = {a A|(B A)(a B)},

unde A este o multime arbitrara dinA. Este clar ca A exista ntotdeauna (cucerinta ca A sa fie nevida). Atunci cand A este de forma A= {A, B}, se noteaza nmod frecventA B n loc de A.Doua multimi A si Bsunt numite disjuncte daca AB= . O familie de multimieste numitafamilie disjunct a de multimidaca multimele componente sunt disjuncte

doua cate doua.

Diferenta a dou a multimi A si B, notata AB, se obtine cu usurinta de la Axiomasepararii prin

A B= {a A|a B}.Uneori, diferentaA B mai poarta denumirea si de complementara luiB relativ la(n raport cu)A.

Fieasi bobiecte. Axioma extensionalitatii asigura unicitatea multimii ce contine

obiectelea si b si numai pe acestea; ea va fi notata{a, b} (sau{b, a}), iar n cazula= b vom scrie {a} n loc de {a, a}.Teorema 1.1.1.3. Pentru oricex,y,z,usi v au loc urmatoarele proprietati:

(1) z {x, y} daca si numai dacaz= x sauz= y;6Vom folosi terminologia de clas apentru colectii de obiecte care pot sa nu fie multimi. Oclasa

proprienu este multime.


14/220

8 Multimi

(2){x, y} = {u, v} daca si numai dacax= u siy = v, saux= v si y = u;(3){x} = {y} daca si numai dacax= y;(4){x} = {u, v} daca si numai dacax= u = v .

Demonstratie (1), (2) si (3) sunt imediate de la definitii si axiomele considerate

pana acum.

(4) Sa presupunem ntai ca{x} ={u, v}. De la Teorema 1.1.1.1(3) urmeazacax trebuie sa apartina multimii {u, v}. Daca presupunem cax = u, atunci, n bazaaceleiasi teoreme deducem cav {x}, adicax = v. Deci,x= u = v.

Reciproc, dacax= u = v atunci {u, v} = {u} = {x}.

O consecinta foarte importanta a Axiomei mperecherii consta n aceea ca prin

intermediul ei se poate introduce conceptul depereche ordonat a a doua obiecte x si y.Printr-o astfel de pereche ordonata se urmareste surprinderea urmatoarelor aspecte:

obiectelexsi y sunt considerate ca un nou obiect, notat(x, y);

n cadrul obiectului(x, y),xse considera primul, iary al doilea.O metoda unanim acceptata de a defini astfel de obiecte n sistemul ZFC este cea

propusa de Kazimierz Kuratowski [95].

Definitia 1.1.1.2. Se numesteperechea ordonat aa obiectelorxsiy multimea notata(x, y)si definita prin(x, y) = {{x}, {x, y}}.

Este clar ca pentru orice doua obiectex si y , perechea ordonata(x, y) exista sieste unica (pe baza Axiomelor mperecherii si extensionalitatii). Faptul ca obiectul xeste considerat primul iary al doilea, n cadrul perechii ordonate(x, y), este sugeratde urmatoarea teorema.

Teorema 1.1.1.4. (x, y) = (u, v)daca si numai dacax= u siy = v 7.

Demonstratie Sa presupunem ntaica(x, y) = (u, v). Daca x= y, atunci {{x}} ={{u}, {u, v}}, de unde urmeazax = u = v (Teorema 1.1.1.3).

Sa presupunem acum cax =y. Deoarece {x} nu poate coincide cu {u, v} (altfelam obtinex= u = v = y ceea ce ar conduce la contradictie) urmeaza ca {x} = {u}si, de aici, se obtine x = u. Vom avea apoi{x, y} ={u, v} care, combinata cuegalitatea precedenta, furnizeazay = v.

Reciproc, dacax = y si u = v atunci

{x

} =

{u

} si

{x, y

} =

{u, v

}, ceea ce

conduce la(x, y) = (u, v).

7O alta varianta de a defini perechea ordonata a doua obiecte x si y este cea propusa de Norbert

Wiener n 1914 [195], prin care(x, y) ={{{x}, 0}, {y}}. Se poate arata ca si o astfel de definitiesatisface Teorema 1.1.1.4 dar, spre deosebire de definitia lui Kuratowski, aceasta implica un nou

obiect,0 (acesta va fi definit mai tarziu).Exista variante n care notiunea de pereche ordonata se considera ca o notiune primitiva si, atunci,

enuntul Teoremei 1.1.1.4 se introduce ca axioma (a se vedea [17, 136]). Justificarea consta n faptul ca

marea majoritate a aplicatiilor matematice ale acestei notiuni utilizeaza Teorema 1.1.1.4 si nu definitia.


15/220


Evident, conceptul de pereche ordonata poate fi extins. Astfel, putem defini

(x, y, z ) ca fiind ((x, y), z). Proprietatea din Teorema 1.1.1.4 se pastreaza si pen-tru astfel de 3-uple, adica(x,y,z) = (x, y, z)daca si numai dacax = x,y = y siz=z.

Ceea ce trebuie sa remarcam este ca prin Axioma mperecherii putem construi

multimi cu cel mult doua elemente. Trecerea la multimi cu mai mult de doua elemen-te se face prin Axioma reuniunii. Axioma extensionalitatii asigura ca, pentru orice

familie de multimi Aexista exact o multime ca cea postulata de Axioma reuniunii;aceasta multime se numeste reuniunea familieiA si se noteaza prin A. Atuncicand A este de forma A = {A, B}, se noteaza n mod frecventA B n loc de A.

Urmatoarea teorema furnizeaza cateva proprietati de baza ale reuniunii unei fa-

milii de multimi.

Teorema 1.1.1.5. FieA, B multimi si A, B doua familii de multimi. Atunci, au locurmatoarele proprietati:

(1) = ;(2)

{A} =A;(3)

A = daca si numai daca A = sau A = {};(4) daca A B, atunci A B;(5) daca A B, atunci A B;(6) dacaX B, pentru oriceX A, atunci A B.

Posibilitatea colectarii tuturor submultimilor unei multimi ntr-o multime esteasigurata de Axioma partilor care, n conjunctie cu Axioma extensionalitatii garan-

teaza unicitatea acestei multimi ce poarta denumirea de multimea p artilormultimii

Asi se noteaza prin P(A).Teorema 1.1.1.6. FieAsi B multimi. Atunci, au loc urmatoarele proprietati:

(1) P(A);(2)P() = {};(3) dacaA

B (A

B), atunci

P(A)

P(B) (

P(A)

P(B)).

Axioma partilor permite introducerea conceptului de produs cartezian a doua

multimi.

Definitia 1.1.1.3. FieAsi B doua multimi. Numimprodusul carteziansau directalmultimilorAsi B, multimea notataA B si definita prin

A B= {(x, y)|x A y B}.


16/220

10 Multimi

Existenta produsului cartezian al multimilorAsi B urmeaza de la Axioma sepa-rarii aplicate multimii P(P(A B)),

A B= {z P(P(A B))|x A,y B : z= {{x}, {x, y}}},

iar unicitatea lui de la Axioma extensionalitatii.

Daca una din multimileA sauB este vida, atunci produsul cartezian al lor estemultimea vida, si reciproc. Notam caA B nu este acelasi cu B A, exceptandcazulA= B sau cazul n care una din aceste doua multimi este multimea vida.

Produsul cartezian poate fi extins, n mod natural, la mai mult de doua multimi.

Considerand de exemplu multimileA,B si C, putem defini

A B C= {(a,b,c)|a A, b B, c C}.

Constructiile(a,b,c)vor fi numite3-uple.Anticipand conceptul de numar natural (ceea ce nu va constitui un viciu de fond),

definimAn prin:

An =A A n ori

, dacan 2;

A1 =AsiA0 = {} 8.In matematica, dar nu numai, suntem interesati n a construi corespondente (aso-

cieri) ntre diverse tipuri de obiecte. Cel mai frecvent sunt ntalnite corespondentele

ntre doua tipuri, nu neaparat distincte, de obiecte. Perechea ordonata (a, b) poatefi o alegere buna pentru a exprima corespondenta (asocierea) dintrea si b, mai alesatunci cand dorim sa surprindem si o anumita relatie de precedenta ntre a si b 9 . Ca

urmare, o multime de perechi ordonate va modela o corespondenta (asociere) ntredoua tipuri de obiecte. Astfel de multimi vor fi numiterelatii binare.

Definitia 1.1.1.4. Se numeste relatie binar a orice multime ale carei elemente sunt

perechi ordonate 10 .

Vom simplifica adesea terminologia de relat ie binara la cea de relatie, iar

daca(a, b)este un element al unei relatiiatunci vom mai scriea b.Data o relatievom nota

Dom() = {a|(b)(a b)}8Anticipand cateva concepte si notatii care vor fi prezentate ulterior, dar cu care cititorul este

probabil familiarizat, justificam definitia A0 ={} astfel. Asa cum vom vedea, numerele naturalevor fi definite ca multimi,0 =, 1 ={0},2 ={0, 1} etc. Atunci, unn-uplu poate fi gandit ca ofunctie de la multimean la multimeaA, iar multimea tuturor acestor functii (n-uple) este notata prin

An (n general, prin AB se va nota multimea tuturor functiilor de la B la A). In cazuln = 0 =,exista o singura functie de la laA, si anume functia vida. Ca urmare,A 0 = {}.

9O alta posibila exprimare a asocierii dintrea sib ar putea fi specificata prin intermediul multimii

{a, b}. In acest caz nsa se pierde ordinea n care sunt considerate obiectelea sib.10In limbaj logic,este relatie binara daca(x)(x (y)(z)(x= (y, z))).


17/220


si

Cod() = {b|(a)(a b)}.Acestea sunt multimi n baza Axiomelor separarii si reuniunii. In adevar,

Dom() = {a

(

)|(b

(

))(a b)}.

In mod similar putem arata caCod()este multime. MultimeaDom()se numestedomeniulrelatiei, iarCod(),codomeniulrelatiei.

Putem spune ca este relatie daca exista doua multimiA si B astfel ncatAB. Reciproc, orice submultime a unui produs cartezian este relatie. Aceasta faceca, adesea, relatiile A B sa mai fie numite si relatii de laA la B , iar atuncicandB =A,relatii(binare)pe A.

Multimea vida este relatie (de laAlaB), numitarelatia vid a.

Functiile sunt cazuri particulare de relatii. Ele vor fi notate, cu precadere, prinf,g,hetc. (eventual indexat).

Definitia 1.1.1.5. O relatie binarafeste numitafunctiedaca are loc

(a1, b1, a2, b2)((a1, b1) f (a2, b2) f a1= a2 b1 = b2).

Relatia vida este functie, numita sifunctia vid a.

Pentru functii se utilizeaza n mod frecvent notatiaf(a) =b n loc de (a, b) f,aceasta fiind justificata prin aceea ca, dat un elementa, daca(a, b)f atuncib esteunicul cu aceasta proprietate.

Functiile fiind relatii, putem vorbi dedomeniul sicodomeniul acestora. Domeniul

unei functii mai poarta denumirea si de domeniul de definitieal functiei. Domeniul

si codomeniul functiei vide sunt multimea vida.

O functiefeste numitafunctie de laAlaB sau functie definit a pe Asi cu valorinB , si notamf : A B, dacaDom(f) = Asi C od(f) B. Functia vida estefunctie de laAlaB numai dacaA= .

Multimea tuturor functiilor de laAlaB se noteaza prin(A B)sau B A.Definitia 1.1.1.6. Fiefo functie de laAlaB.

(1) feste numitafunctie injectiv asau injectiedaca are loc

(

a1, b1, a2, b2)((a1, b1)

f

(a2, b2)

f

b1 = b2

a1 = a2).

(2) feste numitafunctie surjectiv asau surjectiedaca are loc

(b)(b B (a)(a A f(a) = b)).

(3) feste numitafunctie bijectiv asaubijectiedaca este atat functie injectiva cat sifunctie surjectiva.


18/220

12 Multimi

Uneori functiile injective sunt numitefunctii11, iar cele surjective,pe. Functiavida de la laB este injectiva; ea este surjectiva (deci si bijectiva) doar dacaB = .

Atunci cand exista o functie bijectiva de la o multime Ala o multimeB vom mainota A B si vom spune caA si B sunt echipotente 11, iar daca exista o functieinjectiva de laAla B vom scrieAB . DacaAB dar nu are locAB , atuncivom scrieA

B.

Analiza paradoxului lui Russell ridica urmatoarea ntrebare simpla dar funda-

mentala: exista multimi ce sunt elemente ale lor nsasi? Axioma regularitatii este cea

care evita astfel de cazuri.

Teorema 1.1.1.7. Nu exista nici o multimeAastfel ncatA A.Demonstratie Presupunem prin contradictie ca exista o multimeAcu proprietateaAA. Aplicam Axioma regularitatii multimii {A}. Atunci, existax {A} astfelncatx A= . Forma particulara a multimii {A} conduce la faptul caxtrebuie safieAsi, atunci, A {A} = ; contradictie cu faptul caA A. Teorema 1.1.1.8. Nu exista multimiAsi B astfel ncatA B si B A.Demonstratie Sa presupunem ca exista multimi A si B astfel ncat A B siB A. Aplicam Axioma regularitatii multimii {A, B}. Atunci, existax {A, B}astfel ncat x {A, B} =. Elementulx poate fiA sau B . Daca x = A, atunciA {A, B} =; contradictie cu faptul ca B A si B {A, B}. Similar serationeaza pentru cazulx= B .

Axioma regularitatii este consistenta cu celelalte axiome ale sistemului ZFC si in-

dependenta de acestea [64, 150]. Este posibil a construi sisteme ale teoriei multimilor

care sa contrazica aceasta axioma. Doua exemple n acest sens sunt sistemul lui

Lesniewski [104] si cel al lui Quine [147].

Axioma regularitatii are consecinte foarte naturale, asa cum este cea din teorema

urmatoare (care nu poate fi demonstrata pe baza celorlalte axiome).

Teorema 1.1.1.9. FieAo multime. DacaA A A, atunciA= .Demonstratie Presupunem, prin contradictie, ca exista o multime nevidaA astfelncatAA A. Atunci, elementele multimiiA Asunt multimi nevide. Ipotezasi definitia produsului cartezian conduc la faptul ca elementele multimilorA si

A

sunt, de asemenea, multimi nevide. FieB =A A. Axioma regularitatii asiguraexistenta unei multimix

B astfel ncatx

B =

. Avem de analizat urmatoarele

doua cazuri:

x A. Atunci, xA si, deoarece x este multime nevida, urmeaza cax A = ; contradictie cux B= ;

11Terminologia de multimi echipotente, care nseamna multimi cu acelasi numar de elemente,

este justificata prin aceea ca o functie bijectiva pune n corespondenta unu-la-unu elementele a doua

multimi. Echipotenta joaca un rol important n definirea numerelor naturale, a numerelor ordinale si

cardinale.


19/220

Operatii cu multimi 13

xA. Conform ipotezei si definitiei produsului cartezian, x este ori deforma{a} ori de forma{a, b}, undea, b A. Deci,x A=; contradictiecux B = .

Teorema este demonstrata.

1.1.2 Operatii cu multimi

Implicit, n sectiunea anterioara au fost introduse un numar de operatii cu multimi:

intersectie, diferenta, reuniune si produs cartezian. Vom adauga la acestea nca cateva

operatii si vom prezenta unele proprietati de baza ale lor.

Teorema 1.1.2.1. FieA,B, siCmultimi. Atunci:

(1) A (B C) = (A B) C= {A,B,C}; (asociativitate)(2) A B=B A; (comutativitate)

(3) A A= A; (idempotenta)(4) A =A;(5)P(A) P(B) P(A B).

Demonstratie (1) Vom folosi metoda dublei incluziuni. Fiea A (B C).Conform definitiei reuniunii avem a A sau a BC. Daca a A, atuncia A B si, deci, a (A B) C. Dacaa B C, atuncia B saua C. Incazul a Bobtinem a ABsi, deci, a (AB)C, iar n cazul a Cobtinema (AB)C. Deci, a (AB)Cceea ce arata ca A(BC) (AB)C.Incluziunea n sens invers se demonstreaza similar.

(2) Se utilizeaza definitia reuniunii si faptul ca {A, B} = {B, A}.(3) Observand ca{A, A} ={A}, ceea ce ne ramane de demonstrat este ca{A} =A, care urmeaza direct de la definitia reuniunii.(4) Un element aeste nA daca si numai dacaa A; ca urmareA = A.(5) FieX P(A) P(B). DacaX P(A)atunciX A si este clar atunci

caX A B; deciX P(A B). Similar n cazul X P(B).

Demonstratiile urmatoarelor doua teoreme sunt lasate n seama cititorului.

Teorema 1.1.2.2. FieA,B, siCmultimi. Atunci:

(1) A (B C) = (A B) C= {A,B,C}; (asociativitate)(2) A B=B A; (comutativitate)(3) A A= A; (idempotenta)(4) A = ;(5) A B A A B;


20/220

14 Multimi

(6)P(A) P(B) = P(A B).Ca urmare a proprietatii de asociativitate a reuniunii si intersectiei, putem scrie

A B C (A B C) n loc deA (B C) (A (B C)) sau(A B) C((A B) C). Evident, aceasta scriere poate fi extinsa la o reuniune (intersectie)finita de multimi.

Teorema 1.1.2.3. FieA o multime siC o familie de multimi. Atunci, au loc urma-toarele reguli de distributivitate:

(1) A C = {A C|C C} = C A;(2) A C = {A C|C C} = C A, cu conditia ca C sa fie nevida.

Interpretam proprietatile din Teorema 1.1.2.3 prin aceea ca intersectia este dis-

tributiva fata de reuniune at at la st anga cat si la dreapta. In mod similar,reuniunea

este distributiv a fat a de intersectie la st anga si la dreapta.

Urmatoarea teorema prezinta cateva proprietati de baza ale diferentei de multimi.

Teorema 1.1.2.4. FieAsi B multimi, iar C o familie de multimi. Atunci:(1) A A= ;(2) A= ;(3) A =A;(4) A B A;(5) dacaA B= atunciA B = A;(6) A (B C) = (A B) (A C);(7) (A B) C= (A C) (B C);(8) (A B) C= (A C) B= A (C B);(9) A C = {A C|C C};

(10) A C = {A C|C C}, cu conditia ca C sa fie nevida.Fie U o multime. Complementara unei submultimiA U n raport cu U se

mai numeste sicomplementara absolut a a luiA

relativ la (n raport cu)U

sau, mai

simplu,complementara luiA (dar, n acest caz, Utrebuie subanteleasa din context).Ea se noteaza prinA.

Teorema 1.1.2.5. FieU,AsiB multimi astfel ncatA B U. Atunci:

(1) A= A;

(2) =U;


21/220

Operatii cu multimi 15

(3) U= ;(4) A A= U;(5) A A= ;(6) A

B=A

B;

(7) A Bdaca si numai dacaB A(complementara este n raport cu U).

Corolarul 1.1.2.1. (Legile lui De Morgan)

FieU,AsiB multimi astfel ncatA B U. Atunci, au loc relatiile:(1) A B=A B;(2) A B=A B

(complementara este n raport cu U).

Definitia 1.1.2.1. FieAsiB doua multimi. Numimdiferenta simetric aa multimilorAsiB multimeaAB= (A B) (B A).

Conform Axiomei reuniunii, exista o unica multimeAB. Ca urmare, Definitia1.1.2.1 este consistenta.

Operatiile,,si au fost studiate n mod sistematic pentru prima data decatre George Boole [14]. Din acest motiv, ele sunt numite astazioperatii Booleene.

Ele pot fi reprezentate grafic prin asa numitelediagrame Venn, ca n Figura 1.1.

BA

A B

BA

A B

BA

A

B

BA

AB

U

A

A

Figura 1.1: Reprezentarea operatilor Booleene cu multimi prin diagrame Venn

Urmatoarea teorema ne spune ca produsul cartezian estedistributiv la st anga si la

dreapta fata de reuniune si intersectie(demonstratia este lasata n seama cititorului).


22/220

16 Multimi

Teorema 1.1.2.6. FieA,B ,C,D multimi si A o familie de multimi. Atunci, au locurmatoarele proprietati:

(1) A A = {A X|X A} si A A= {X A|X A};(2) AA = {AX|X A} si A A= {XA|X A}, cu conditia

ca

Asa fie nevida;

(3) A (B C) = (A B) (A C);(4) (A B) (C D) = (A C) (B D).

1.1.3 Numere naturale si inductie

Multimea numerelor naturale este, fara doar si poate, primul exemplu de multime

infinita la care ne-am gandi daca am fi ntrebati sa dam un exemplu de o astfel de

multime. Introducerea ei este, nsa, un proces destul de complex care a stat n atentia

cercetatorilor multe zeci de ani (pentru detalii indicam [182, 187]). Problema fun-

damentala consta n aceea ca numerele nu pot fi definite facand apel la conceptulde numar. De exemplu, nu putem spune ca 2 este proprietatea comuna pe care oau toate multimile cu doua elemente deoarece definitia aceasta este circulara. Dar,

daca punem n evidenta o multime care, intuitiv, are doua elemente, atunci o putem

folosi pe aceasta pentru a defini2. Foarte pe scurt, numerele naturale se introduc prinintermediul multimilor astfel:

0 = , 1 = {} = {0}, 2 = {, {}} = {0, 1} etc.Daca pentru o multimexnotam prinS(x)multimeaS(x) =x {x}, numitasucce-soarea multimiix, atunci multimea numerelor naturale, notata prin N, este cea mai

mica multime cu proprietatile:

contine ; daca continexatunci contine siS(x).

O multime cu aceste doua proprietati poarta denumirea demultime inductiv a. Ca ur-

mare,N este definita ca fiind cea mai mica multime inductiva. Singura problema este

ca nu putem demonstra existenta unei astfel de multimi pe baza axiomelor prezentate.

Solutia consta n adoptarea unei noi axiome, numita Axioma infinitului

Axioma infinitului Exista multimi inductive

In baza acestei axiome obtinem cu usurinta ca exista o cea mai mica multime

inductiva, deci exista multimea numerelor naturale (orice multime inductiva trebuie

sa contine si orice numar natural).

Ordinea pe numere naturale se obtine prin intermediul apartenentei. Fie


23/220

Numere naturale si inductie 17

pentru oricen, m N. Vom arata ca< este o ordine totala stricta pe N, dar pentruaceasta vom avea nevoie mai ntai de o tehnica de demonstratie, numita principiul

inductiei matematice.

Teorema 1.1.3.1. (Principiul inductiei matematice)

FieP(x)o proprietate astfel ncat:

(i) P(0);

(ii) pentru oricekN,P(k)implicaP(S(k)).Atunci,Peste satisfacuta de toate numerele naturale.

Demonstratie (i) si (ii) arata ca multimea A= {kN|P(k)} este inductiva. CumN este cea mai mica multime inductiva, N A, ceea ce demonstreaza teorema.

Aplicarea Principiului inductiei n situatii concrete consta n parcurgerea urma-

toarelor etape:

se alege (fixeaza) proprietateaP despre care se doreste a se arata ca este satis-facuta de toate numerele naturale;

se verifica faptul ca P este satisfacuta de 0 (aceasta etapa se numeste bazainductiei);

se considera un numar arbitrark0, se presupune caPeste satisfacuta dek(aceasta presupunere este numitaipoteza inductiv a), dupa care se verifica daca

Peste satisfacuta deS(k)(aceasta etapa se numeste pasul inductiv).

Daca atat baza inductiei cat si pasul inductiv au fost parcurse cu succes, atunci, n

baza Principiului inductiei deducem ca proprietatea P este satisfacuta de toate nu-merele naturale.

Demonstratiile ce utilizeaza exclusiv Principiul inductiei sau variante ale aces-

tuia, asa cum vom prezenta n continuare, sunt numite demonstratii prin inductie

(matematica).

Teorema 1.1.3.2.

(1) Relatia


24/220

18 Multimi

P(0): vom arata, utilizand iarasi inductia matematica, ca0este comparabil cuoricem N:

evident,0este comparabil cu0 (0 = 0);

presupunem ca0este comparabil cu m. Ca urmare, ori0 m, ori0 =m.In ambele cazuri avem0

S(m) =m

{m

}si, deci,0este comparabil

cuS(m).

Principiul inductiei matematice asigura atunci ca 0 este comparabil cu oricenumar naturalm;

presupunem can este comparabil cu oricem N. Vom arata prin inductie caS(n)este comparabil cu oricem N:

evident,S(n)este comparabil cu0(0 S(n)); presupunem caS(n) este comparabil cu m. Ca urmare, oriS(n) m,

ori S(n) = m, orim

S(n). Daca S(n)

m sauS(n) = m, atunci

S(n) m{m} =S(m). Daca m S(n), atunci ori m n ori m= n.In primul caz are locS(m) S(n), iar n cel de-al doileaS(m) = S(n),ceea ce arata caS(m)siS(n)sunt comparabile.

Conform Principiului inductiei,S(n)este comparabil cu oricem N.Am obtinut astfel, n baza Principiului inductiei matematice, ca orice doua numere

naturale sunt comparabile; deci,< este ordine totala stricta.(2) Sa aratam acum ca orice submultime nevida a multimiiN are un cel mai mic

element n raport cu ordinea


25/220

Numere naturale si inductie 19

(b) P(k)implicaP(S(k)), pentru oricek < n.

In adevar, daca consideram proprietateaQ data prinQ(k) =P(k), pentrukn, siQ(k)satisfacuta pentru oricek > n, atunci (a) si (b) conduc la:

(c) Q(0);

(d) Q(k)implicaQ(S(k)), pentru oricekN,care n baza Principiului inductiei asigura faptul ca Q este satisfacuta de toate nu-merele naturale, adica N {kN|Q(k)}. Atunci,

{kN|P(k)} = {kN|Q(k)} {kN|k n} N {kN|k n}= {kN|k n},

ceea ce ne arata ca Peste satisfacuta de toate numerele naturale mai mici sau egale cun. Aceasta varianta a Principiului inductiei poarta denumirea dePrincipiul inductiei

finitare (terminologia de finitar provine de la faptul ca multimea pe care se cereverificarea proprietatiiPeste finita).

Evident, se pot imagina si alte tipuri de submultimi pe care se poate aplica o

tehnica similara. Destul de des sunt ntalnite variante de forma:

(a) P(n0)(n0fiind fixat a priori);

(b) P(k)implicaP(S(k)), pentru oricek n0,care conduc la{k N|k n0} {k N|P(k)} (cititorul este invitat sa argu-menteze aceasta varianta a Principiului inductiei).

Pentru variantele pe care le vom prezenta n continuare vom utiliza din plin Teo-

rema 1.1.3.2(2). DacaA este o multime nevida de numere naturale, atunci cel maimic element al ei va fi notat prin A. Orice elementk Acare nu este maximal areun succesor imediatk A. In adevar, multimea {aA|k < a} este nevida si arecel mai mic element, care este succesorul imediat al luik.

Propozitia 1.1.3.1. FieP(x)o proprietate astfel ncat:

(i) P(0);

(ii) pentru oricekN,((

j

k)(P(j))

P(S(k))).

Atunci,Peste satisfacuta de toate numerele naturalen N.Demonstratie Presupunem prin contradictie ca exista un numar natural n ce nusatisfaceP. Fie A multimea tuturor acestor numere. A este nevida dar nu contine0 (deoarece are loc (i)). Proprietatea P este satisfacuta de toate numerele naturalemai mici decatA si, atunci, (ii) conduce la faptul ca P este satisfacuta deA;contradictie cu A A.


26/220

20 Multimi

Propozitia 1.1.3.2. FieA N si P(x)o proprietate astfel ncat:(i) P(A);

(ii) pentru oricek Ace nu este cel mai mare element al mult imiiA,

P(k)

P(k),

undek este succesorul imediat al luik nA.

Atunci,Peste satisfacuta de toate numerele naturalen A.Demonstratie Consideram proprietateaQ(x)data prin:

(1) pentru oricexA,Q este satisfacuta dex daca si numai dacaPeste satisfa-cuta dex;

(2) Qeste satisfacuta de oricex N A.Utilizand Propozitia 1.1.3.1 aratam ca proprietateaQsatisface ipotezele Principiuluiinductiei:

daca 0 =A, atunci Q este satisfacuta de 0 pe baza lui (1); altfel, Q estesatisfacuta de0pe baza lui (2);

consideramk N ce nu este maximal si presupunem ca are locQ(j), pentruoricej k . DacaS(k) N A, atunciQ este satisfacuta deS(k)(pe bazalui (2)). Altfel, avem de luat n considerare urmatoarele doua cazuri:

(a) k

A. Atunci, S(k) este succesorul imediat al lui k n A, iar (1) si

ipoteza propozitiei conduc la faptul caS(k)satisfaceQ;

(b) k A. DacaS(k) =A, atunciQ este satisfacuta deS(k)ca urmare alui (1). Altfel, exista un elementm Aastfel ncatS(k)este succesoruldirect al lui m n A. Numarul m satisface m k si, atunci, pe bazaipotezei inductive urmeaza ca m satisface Q. Ipoteza propozitiei si (1)conduc la faptul caS(k)satisfaceQ.

Principiul inductiei aplicat proprietatiiQne arata ca N {kN|Q(k)}. Deci,

A= N A {kN|Q(k)} A= {kN|P(k)},

ceea ce demonstreaza propozitia.

Pentru Principiul din Propozitia 1.1.3.2 se poate da o varianta ca n Propozitia

1.1.3.1. Demonstratia acesteia o lasam n seama cititorului.

Propozitia 1.1.3.3. FieA N si P(x)o proprietate astfel ncat:(i) P(A);


27/220

Recursie 21

(ii) pentru oricek Ace nu este cel mai mare element al multimiiA,

(j k)(j A P(j)) P(k),

undek este succesorul imediat al luik nA.

Atunci,Peste satisfacuta de toate numerele naturalen

A.

Definitia 1.1.3.1. O multime A este numita finit a daca exista un numar natural nastfel ncatAsinsunt echipotente. Vom mai spune n acest caz caAarenelementesi vom nota |A| =n. DacaAnu este finita vom spune ca ea esteinfinit a.

Secventele sunt nsiruiri finite sau infinite de elemente; ele apar frecvent n

consideratii matematice. In analiza matematica secventele infinite sunt uzual numite

siruri.

Definitia 1.1.3.2. Se numestesecventade elemente peste A orice functie fcu dome-niul un numar natural sau N si cu valori n A. Daca domeniul este un numar natural

n, atunci secventa este numitafinit asau de lungimen; altfel, ea este numitainfinit a.

Secventele sunt functii si, ca urmare, putem vorbi despredomeniulsicodomeniul

unei secvente. Domeniul va fi ntotdeauna un numar natural sau N. Exista o unica

secventa de lungime0si anume, functia vida; ea va fi numitasecventa vida.Uzual, secventele infinite sunt notate prin

ai|i N sauai|i 0 sauaiiN sauaii0,

iar cele finite de lungimenprin

ai|i < n sau

ai|i= 0, . . . , n 1 sau

a0, . . . , an1 sau

ain1

i=0,undeai =f(i),ffiind secventa n cauza. Uneori, crosetele si sunt nlocuiteprin paranteze rotunde sau acolade, iar n cazul secventelor finite ele sunt eliminate

cu precadere 12 .

1.1.4 Recursie

Definirea operatiilor de baza pe multimea numerelor naturale, cum ar fi adunarea si

nmultirea, constituie un alt obstacol pe care trebuie sa l trecem. Mentionam ntai

ca ooperatie binar ape o multimeA nu este altceva decat o functie de laA Acuvalori nA.

Caracterul inductiv al multimii numerelor naturale face loc ideii definirii induc-

tive de functii al caror domeniu este aceasta multime, dar nu numai. De exemplu,

adunarea poate fi definita prin

12Atunci cand sunt utilizate parantezele rotunde, distinctia dintre secvente si familii indexate de

multimi (ce vor fi introduse n Sectiunea 1.2.4), urmeaza a fi dedusa din context. De fapt, trebuie sa

remarcam ca n cazul n careA este o familie de mult imi, secventele pesteA sunt cazuri particulare

de familii indexate de multimi (multimea de index este un numar natural sau multimeaN).


28/220

22 Multimi

n+ 0 =n, pentru oricen N; n+ S(m) =S(n + m), pentru oricen, m N.

In cazul functiilor, astfel de proceduri (metodologii, scheme de definit ie) sunt numite

definitii recursive/recurentesauscheme de recursie/recurenta. In general, ele constau

n:

se defineste functia pentru0;

daca functia a fost definita pentru n N, atunci se arata cum se definestepentruS(n).

Vom spune ca doua functiif si g suntcompatibiledacaDom(f)Dom(g)sif(x) = g(x), pentru orice x Dom(f). O multime A de functii compatibile areproprietatea ca orice doua functii ale ei sunt compatibile. Daca A este o astfel demultime, atunci

Aeste functie cu domeniul

fA Dom(f).

Teorema 1.1.4.1. (Teorema recursiei)

FieA o multime,aA si h : N AA o functie. Atunci, exista o unica functief : N Aastfel ncat:

(i) f(0) =a;

(ii) f(S(n)) = h(n, f(n)), pentru oricen N.Demonstratie FieF multimea tuturor functiilorg al caror domeniu este un numarnatural diferit de 0, cu valori nA, ce verifica:

(

)

g(0) =a,g(S(x)) = h(x, g(x)), pentru oricexcu S(x)

Dom(g).

Este usor de vazut caFeste multime nevida (F contine functiag :{0} Adatapring(0) =a).

Aratam ca orice doua functiig , g F sunt compatibile. Fieg , g F. Existanumerele naturale k, m N {0} astfel ncat Dom(g) = k si Dom(g) = m.Presupunem cak m. Prin inductie finitara aratam ca pentru orice0xk arelocg(x) =g (x):

g(0) =a= g (0); daca presupunem cag(x) =g (x)pentrux < k, atunci

g(S(x)) =h(x, g(x)) =h(x, g(x)) =g (S(x)).

In baza Principiului inductiei finitare obtinem cag sig sunt compatibile. Ca urmare,F este multime de functii compatibile, ceea ce conduce la faptul ca exista functiaf=

Fcu domeniul

gFDom(g).

Aratam caDom(f) = N. Domeniul functiei f este submultime a multimii N.Daca presupunem ca N Dom(f) este nevida, atunci ea va avea un cel mai mic


29/220

Recursie 23

element, fie acesta x. Este clar ca x > 0 si, deci, existay astfel ncat x = S(y).Numarul yeste n domeniul functiei fsi, deci, exista g F astfel ncat y Dom(g).Mai mult, nu exista z xastfel ncatz Dom(g). Adica,Dom(g) = x. Vom arataca exista o functieg Fal carei domeniu continex.

Fieg =g {(x, h(y, g(y)))}. Este clar cag este functie cu domeniul

Dom(g) =Dom(g) {x} =S(x).Aratam cag satisface():

g(0) =g(0) =a;

fiezastfel ncatS(z) Dom(g). DacaS(z) Dom(g), atunci

g(S(z)) =g(S(z)) = h(z, g(z)) =h(z, g(z)).

DacaS(z) =x, atunciz= y, iar de la definitia functieig urmeaza ca

g(S(y)) = g (x) =h(y, g(y)) = h(y, g(y)).

Ca urmare g satisface()si, deci, g F. Aceasta contrazice presupunerea conformcareiax Dom(f)si, deci,Dom(f) = N.

Aratam ca functiaf satisface (i) si (ii) ale teoremei. Conform definitiei ei,

f(0) =g(0) =a,

pentru oriceg Fsi, deci, fsatisface (i).FiexDom(f). Atunci, existag Fastfel ncatS(x)Dom(g). Deoarece

Feste multime de functii compatibile urmeaza ca

f(S(x)) = g(S(x)) = h(x, g(x)) = h(x, f(x)),

ceea ce ne arata cafsatisface (ii).Unicitatea functieifse obtine astfel. Daca ar exista o alta functieg ce satisface

(i) si (ii), atunci prin inductie dupa n N aratam ca f(n) =g(n), ceea ce va conducelaf=g. In adevar,f(0) =a = g(0)si, daca presupunem caf(n) = g(n), atunci

f(S(n)) = h(n, f(n)) =h(n, g(n)) = g(S(n)).

Ca urmare,f(n) =g(n)pentru oricen

N, ceea ce arata caf=g.

Functiile cu domeniul N sunt secvente infinite si reciproc. Ca urmare, Teorema

recursiei poate fi reformulata n termeni de secvente astfel 13 :

data o multimeA,a Asi o functieh: N A A, exista o unica secventainfinita ai|i 0 astfel ncat:

13Si celelalte variante de recursie, ce vor fi prezentate pe parcursul acestui capitol, pot fi reformulate

n termeni de secvente.


30/220

24 Multimi

a0 = a;

an+1= h(n, an), pentru oricen N.

Deci, a defini recursiv o functie cu domeniul N revine la a defini o secventa infinita

n care orice element al ei, exceptand primul, este construit pe baza elementului

anterior:

f(0) =a, f(1) =h(0, f(0)), f(2) =h(1, f(1)), . . .

Uneori, este bine de gandit aceasta definitie si n modul urmator: initial (la pasul

0) functiafeste definita prina, la pasul 1 functiafeste definita prinh(0, f(0)), lapasul 2 functiafeste definita prinh(1, f(1))etc.

Operatiile binare, cum ar fi de exemplu adunarea, nmultirea etc., sunt functii

de doua variabile (definite pe produsul cartezian a doua multimi). Teorema recursiei

poate fi utilizata si pentru a defini astfel de functii, pornind de la urmatoarea remarca.

Fief :A B Co functie. Daca fixam unul din argumente iar celalalt l pastramvariabil, de exemplu al doilea fix si primul variabil, atunci pentru fiecare valoareb B data celui de-al doilea argument obtinem o functie cu un singur argument,fb : A C, cu proprietatea fb(a) = f(a, b), pentru orice a A. Atunci, adefini functiaf revine la a defini functiile fb, pentru orice b B. Daca B estemultimea numerelor naturale, atunci putem utiliza Teorema recursiei pentru a defini

o functieF : N CA astfel ncatF(b) =fb pentru oricebB = N; adica,F vadefini functiilefb pentru oricebB. Aceasta va fi de fapt ideea de demonstratie aurmatoarei teoreme.

Teorema 1.1.4.2. (Varianta parametrica a Teoremei recursiei)

FieA si P multimi, iarg :P

A si h : P

N

A

A functii. Atunci, exista o

unica functief :PN Aastfel ncat:(i) f(p, 0) =g(p), pentru oricep P;

(ii) f(p, S(n)) = h(p, n, f(p, n)), pentru oricep P sin N.

Demonstratie Fie f0 : P A data prin f0(p) = g(p) pentru orice p P, siH : N AP AP data prin H(n, )(p) = h(p, n, (p)) (este usor de vazut caaceste functii exista). Teorema recursiei va conduce la existenta unei unice functii

F : N AP astfel ncat:

F(0) =f0;

F(S(n)) = H(n, F(n)), pentru oricen N.

Definim atunci f : P N A prin f(p, n) = F(n)(p), pentru orice p P sin N.feste functie si aratam ca ea satisface teorema:

f(p, 0) =F(0)(p) = f0(p) =g(p), pentru oricep P;


31/220

Recursie 25

f(p, S(n)) = F(S(n))(p) =H(n, F(n))(p)= h(p, n, F(n)(p))= h(p, n, f(p, n)),

pentru oricep P si n N.Unicitatea functieifse stabileste ca n Teorema 1.1.4.1.

Demonstratia Teoremei 1.1.4.2 ne arata clar ca a defini n maniera recursiva o

functief :PN A nseamna a defini o secventa infinita de functii de laP laA,f0, f1, f2, . . .

Functiafva fi atunci data prinf(p, n) =fn(p), pentru oricep P sin N. Altfelspus, functiafcondenseaza secventa infinita de mai sus. Diferenta dintre Teo-rema 1.1.4.1 si Teorema 1.1.4.2 este data de natura elementelor secventei infinite

definite.

Prezentam o noua demonstratie a Teoremei 1.1.4.2, bazata pe fixarea primuluiargument al functieif.

Pentru oricepP, Teorema recursiei asigura existenta unei unice functiifp :N Aastfel ncat:

(i) fp(0) =g(p);

(ii) fp(S(n)) =hp(n, fp(n)), pentru oricen N,undehp este functiahp(n, x) =h(p, n, x), pentru oricen, x N.Functiaf=

pPfp verifica teorema.

Teorema recursiei si varianta ei parametrica au importanta majora n definirea defunctii si operatii pe numere naturale, n mod recursiv. Vom ilustra aceasta aratand

cum pot fi definite riguros operatiile de baza cu numere naturale.

Teorema 1.1.4.3.

(1) Exista o unica operatie+ : NN N astfel ncat:(a) +(m, 0) =m, pentru oricem N;(b) +(m, S(n)) = S(+(m, n)), pentru oricem, n N.

(2) Exista o unica operatie

: N

N

N astfel ncat:

(a)(m, 0) = 0, pentru oricem N;(b)(m, S(n)) = +((m, n), m), pentru oricem, n N.

(3) Exista o unica operatie : NN N astfel ncat:(a)(m, 0) = 1, pentru oricem N;(b)(m, S(n)) = ((m, n), m), pentru oricem, n N.


32/220

26 Multimi

(4) Exista o unica operatieS : N N astfel ncat:(a) S(0) = 0;

(b) S(S(n)) = n, pentru oricen N.(5) Exista o unica operatie

: N

N

N astfel ncat:

(a) (m, 0) =m, pentru oricem N;(b) (m, S(n)) =S( (m, n)), pentru oricem, n N.

Demonstratie In Teorem 1.1.4.2 consideramA= P = N si:

g(p) = p si h(p, n, x) =S(x), pentru oricep, n, x N(pentru operatia +);

g(p) = 0si h(p, n, x) = +(x, p), pentru oricep, n, x N(pentru operatia );

g(p) = 1si h(p, n, x) = (x, p), pentru oricep, n, x N(pentru operatia);

g(p) = 0si h(p, n, x) = n, pentru oricep, n, x N(pentru operatiaS);

g(p) = p si h(p, n, x) =S(x), pentru oricep, n, x N(pentru operatia ).

Unica functie a carei existenta este asigurata de aceasta teorema este ntocmai +sau,respectiv,

,,S

,

.

Operatia + (,, ) este numita operatia de adunare (nmultire,ridicare la putere,diferenta,sc adere aritmetica) pe N; uzual vom folosi notatia infix pentru ele, adica

vom scriem + n(m n,mn,m n) n loc de+(m, n)((m, n),(m, n), (m, n)).Semnele operatiilor de nmultire si ridicare la putere se omit cu precadere, utilizandu-

se mn si mn pentru m n si, respectiv,mn. De la Teorema 1.1.4.3 rezulta ca areloc

S(m) =S(+(m, 0)) = +(m, S(0)) = +(m, 1) = m + 1,

ceea ce permite utilizarea notatieim + 1pentruS(m), care este mult mai intuitiva siusor de manipulat. (a1), (a2), (i1), (i2), (p1), (p2), (d1) si (d2) din Teorema 1.1.4.3

pot fi reformulate astfel:

(a1) m+ 0 =m;

(a2) m+ (n + 1) = (m + n) + 1;

(i1) m 0 = 0;(i2) m (n + 1) = (m n) + m;


33/220

Relatii si functii 27

(p1) m0 = 1;

(p2) mn+1 =mn m;(d1) m 0 =m;(d2) m

(n+ 1) =S(m

n),

pentru oricem, n N.Introducerea multimii numerelor naturale, mpreuna cu operatiile de baza pe

acestea, constituie un obiectiv major pe care consideram ca l-am dus la bun sfarsit.

Din acest punct mai departe vom presupune ca cititorul este familiarizat cu pro-

prietatile de baza ale numerelor naturale si operatiile cu acestea. De asemenea, pre-

supunem ca este cunoscut modul de introducere a celorlate sisteme de numere,ntregi

(Z),rationale (Q),reale (R) si complexe(C), precum si a operatiilor de baza pe aces-

tea (pentru detalii, indicam [182]). Z denota Z {0}, Z+ denota {xZ|x0},iar Z+ denota

{x

Z

|x > 0

}. Aceste notatii sunt extinse si la Q si R, iar notatia

si la C.

1.2 Relatii si functii

In Sectiunea 1.1 s-a introdus, n maniera axiomatica, conceptul de multime si, bazat

pe acesta, concepetele de pereche ordonata, relatie, functie si numar natural. Toate

acestea sunt fundamentale n matematica, ele constituind baza tuturor celorlalte con-

cepte matematice.

In aceasta sectiune vom aprofunda studiul acestor concepte de baza.

1.2.1 Relatii

Relatiile binare(Sectiunea 1.1.1) sunt multimi de perechi ordonate. Multimea vida

este relatie, numitarelatia vid a. Notatia a b este utilizata frecvent pentru a specificafaptul ca(a, b)este element al relatie.

Deoarece relatiile sunt multimi, putem construi reuniunea, intersectia, diferenta

si complementara lor, care sunt relatii; egalitatea relatiilor este egalitate de multimi.

Dom()siCod()desemneaza domeniul si, respectiv, codomeniul relatie.

Exemplul 1.2.1.1. FieAsi B multimi.

(1) Relatia=A A Adata prin=A= {(a, a)|a A}

este numita relatia de egalitate pe A sau identitatea pe A sau diagonala luiA A(frecvent notata si prinA 14).

14Notatia Aeste de preferat notatiei=Acare poate reducelizibilitatea textului cum ar fi de exemplun scrieri de forma ==A.


34/220

28 Relatii si functii

(2) Relatia A A Adata prinA= {(a, b)|a, b A, a b}

este numitarelatia de apartenentape A.

(3) Relatia

A

A

Adata prin

A= {(a, b)|a, b A, a b}este numitarelatia de incluziunepeA. Inlocuind prin , obtinemrelatia deincluziune strict apeA, notata prin A.

(4) RelatiaA,B A B data prinA,B = {(a, b)|a A, b B} =A B

este numitarelatia completade laA la B . In cazulA = B , notatiaA,B va fisimplificata la A, care este numitarelatia complet apeA.

Atunci cand multimeaA este subnteleasa din context, notatia= A (A,A,A,A,A) va fi simplificata la=(, , , ,).Definitia 1.2.1.1. Fieo relatie binara siAo multime. Restrictia relatieilaAesterelatia binara notata|Asi data prin

|A= (A A).Relatia|A este intersectia a doua relatii,|A = A. Acest fapt permite dez-

voltarea unor proprietati ale relatiei |A uzand de diverse proprietati ale intersectieide relatii.

Evident, restrictia unei relatii binare se poate face restrangand doar domeniul sau

doar codomeniul acesteia, sau restrangandu-le pe ambele dar n mod diferit. In cazul

Definitiei 1.2.1.1, atat domeniul cat si codomeniul sunt restrictionate prin intermediul

aceleiasi multimiA.

Este adesea util a reprezenta grafic relatiile binare. Reprezentarea grafica a unei

relatii se face printr-un graf orientat ale carui noduri sunt etichetate cu elementelemultimii Dom()Cod(). Pentru fiecare pereche(a, b) se traseaza un arc de lanodul cu etichetaa la nodul cu eticheta b. In mod frecvent nodurile sunt identificateprin etichetele lor (distinctia nod-eticheta fiind esentiala atunci cand noduri diferite

sunt etichetate cu aceeasi eticheta). In Figura 1.2 este reprezentata grafic relatia

= {(a, a), (a, b), (b, c), (a, c), (a, d)},punand n evidenta atat reprezentarea cu noduri etichetate cat si cea n care nodurile

sunt identificate cu etichetele lor.

Urmatoarea propozitie prezinta cateva proprietati elementare ale domeniului si

codomeniului unei relatii.


35/220

Relatii 29

a

b c

d

a)

a

b c

d

b)

Figura 1.2: Reprezentari grafice ale aceleiasi relatii binare

Propozitia 1.2.1.1. Fiesi doua relatii binare. Atunci, au loc urmatoarele propri-etati:

(1) Dom( ) =Dom() Dom();(2) Cod( ) =Cod() Cod();(3) Dom( ) Dom() Dom();(4) Cod( ) Cod() Cod();(5) Dom() Dom() Dom( );(6) Cod() Cod() =Cod( );(7) daca , atunciDom() Dom()si Cod() Cod().

Atragem atentia asupra incluziunilor din Propozitia 1.2.1.1(1)(2)(3)(4). Ele pot

fi stricte. De exemplu, daca = {(a, b)} si = {(a, c)}, undeb =c, atunciDom( ) = dar Dom() Dom() = {a}.

Produsul si inversa relatiilor binare sunt operatii specifice de mare importanta

n studiul acestora.

Definitia 1.2.1.2. Fie si doua relatii binare. Relatia binara notata si dataprin

= {(a, c)|(b)((a, b) (b, c) )}este numitaprodusulrelatiilor si.

Este clar ca pentru orice doua relatiisi , produsul lor este relatie binara (deci,Definitia 1.2.1.3 este consistenta). Daca este relatie de laA la B , iar de laC laD, atunci este relatie de laAlaD. In plus, dacaCod() Dom() = , atunci = .

Urmatoarea propozitie prezinta cateva proprietatile de baza ale produsului de

relatii.


36/220


Propozitia 1.2.1.2. Fie , si relatii binare, iar A si B multimi. Atunci, au locurmatoarele proprietati:

(1) Dom( ) Dom();(2) Cod( ) Cod();(3) ( ) = ( ) ;(4) ( ) = ( ) ( );(5) ( ) = ( ) ( );(6) ( ) ( ) ( );(7) ( ) ( ) ( );(8) ( );

(9) daca , atunci si ;(10) A si B . In plus,A = daca si numai dacaDom() A

si, B = daca si numai dacaCod() B.Demonstratie Vom demonstra doar (10). Fie(a, b) A . Atunci, exista castfelncat(a, c)A si (c, b). Conform definitiei relatieiA, urmeazaa = c si, deci,(a, b) . Am obtinut astfel incluziuneaA ; incluziunea B sedemonstreaza similar acesteia.

Sa presupunem acum ca A = si sa aratam ca Dom() A. Fie aDom(). Atunci, exista b astfel ncat (a, b)

. Deoarece = A

, obtinem

(a, b) A si, deci, va exista c astfel ncat (a, c) A si (c, b) . Conformdefinitiei relatieiA avemc= a si, deci, a A. Am obtinut astfelDom() A.

Reciproc, sa presupunem caDom()A. Conform cu ceea ce am demonstratanterior (A ), ne ramane de aratat caA . Fie deci(a, b) . CumDom()A urmeaza caaA si, atunci, putem scrie (a, b)A . Am obtinutastfel= A .

Echivalenta B = daca si numai daca Cod() B se demonstreazasimilar celei precedente.

Atragem atentia asupra incluziunilor din Propozitia 1.2.1.2(1)(2). Daca, de e-

xemplu, existaa

Dom()astfel ncat

{b|(a, b) } Dom() = ,

atunciDom( ) Dom(). Similar, daca existac Cod()astfel ncat

Cod() {b|(b, c) } = ,

atunciCod( ) Cod().


37/220

Relatii 31

Asociativitatea produsului de relatii ne permite sa scriem n loc de( ) sau ( ). Astfel, daca(a, d) , atunci existab si c astfelncat(a, b) ,(b, c) si (c, d) .

Atunci cand nu exista pericol de confuzie semnul operatiei de compunere, ,va fi omis. Astfel, n loc de vom scrie.

Definitia 1.2.1.3. Fie o relatie binara. Inversarelatiei este relatia notata1 sidata prin

1 = {(b, a)|(a, b) }.Inversa unei relatii exista ntotdeauna, iar daca este relatie de la A la B, atunci

1 este relatie de laB laA. Pentru anumite relatii inversa are o notatie consacrata.Urmatorul tabel prezinta cateva dintre aceste notatii (Aeste o multime arbitrara):

< A A1 > A A

Propozitia 1.2.1.3. Fie

si

relatii binare. Atunci, au loc urmatoarele proprietati:

(1) Dom(1) =C od();

(2) Cod(1) =Dom();

(3) (1)1 =;

(4) daca , atunci1 1;(5) ( )1 =1 1;(6) (

)1 =1

1;

(7) ( )1 =1 1;(8) ( )1 =1 1.

Demonstratie Vom demonstra doar (8). Fie(a, b) ( )1. Atunci,(b, a) si exista c astfel ncat (b, c) si (c, a) . Ca urmare, (c, b) 1 si(a, c) 1, ceea ce arata ca (a, b) 1 1. Am obtinut astfel incluziunea( )1 1 1; incluziunea n sens invers se arata n mod similar. Definitia 1.2.1.4. Fie o relatie binara, iarAsi B multimi.

(1) Imaginea multimiiAprin, notata(A), este multimea

(A) = {b|(a A)(a b)}.

(2) Imaginea invers a a multimiiB prin, notata1(B), este multimea

1(B) = {a|(b B)(a b)}.


38/220


Este clar ca(A)si1(B)exista (1(B)este de fapt imaginea multimii Bprinrelatia binara 1). Atunci cand Aeste de forma {a} vom nota (a)n loc de({a}).Propozitia 1.2.1.4. Fie si relatii binare, iar A si B multimi. Atunci, au locurmatoarele proprietatile:

(1) (A B) =(A) (B);(2) dacaA B, atunci(A) (B);(3) (A B) (A) (B);(4) (A) (B) (A B);(5) (A) = daca si numai dacaDom() A= ;(6) Dom() A 1((A))siCod() B (1(B));(7)

( )(A) = ((A)).

Demonstratie (1) Afirmatia se obtine pe baza echivalentelor:

b (A) (B) b (A) b (B) (a A: a b) (a B: a b) a A B: a b b (A B),

pentru oriceb.(2) DacaA BatunciB = A B. Utilizand (1) obtinem

(A) (B) =(B),ceea ce arata ca(A) (B).

(3) DeoareceA B Asi A B B, de la (2) urmeaza

(A B) (A) si (A B) (B).

Atunci,(A B) (A) (B).(4) Dacac (A) (B), atunci existaa Aastfel ncata csi, pentru orice

b B,(b, c) . Aceasta ne arata caa A B si, deci, c (A B). Ca urmare,(A)

(B)

(A

B).

(5) urmeaza direct de la faptul ca b (A) daca si numai daca exista a Dom() Aastfel ncat(a, b) .

(6) Pentru oricea Dom() A, {b|a b} (A)si, deci,

Dom() A 1((A)).

Similar se obtine si incluziuneaCod() B (1(B)).(7) Afirmatia se obtine pe baza echivalentelelor:


39/220

Relatii 33

c ( )(A) a A: (a, c) a A,b Cod() Dom() : a b b c b (A) : b c c ((A)),

pentru oricec.

Vom prezenta acum cateva tipuri importante de relatii binare cat si simple carac-

terizari ale acestora.

Definitia 1.2.1.5. Fie o relatie binara siAo multime.

(1) este numitareflexiva peAdaca are loc

(a)(a A (a, a) ).

(2) este numitaireflexiv a peAdaca are loc

(a)(a A (a, a) ).

(3) este numitasimetric a pe Adaca are loc

(a, b)(a, b A (a, b) (b, a) ).

(4) este numitaasimetric a pe Adaca are loc

(a, b)(a, b A (a, b) (b, a) ).

(5) este numitaantisimetric a pe Adaca are loc

(a, b)(a, b A (a, b) (b, a) a= b).

(6) este numitatranzitiv a pe Adaca are loc

(a,b,c)(a,b,c A (a, b) (b, c) (a, c) ).

(7) este numitaconexa peAdaca are loc

(a, b)(a, b A a b a= b b a).

(8) este numitadirijat a pe A 15 daca are loc

(a, b)(a, b A ( c A)(a c b c)).15Conceptul de relatie dirijata apare pentru prima data n lucrarea lui Moore si Smith asupra unei

teorii generale a conceptului de limita [133]. Acest concept de relatie dirijata s-a dovedit ulterior de

importanta foarte mare n informatica, n studiul semanticii limbajelor de programare si al domeniilor

semantice.


40/220


(9) este numitafiltrat a pe Adaca are loc

(a, b)(a, b A ( c A)(c a c b)).

(10) este numita reflexiva (ireflexiva, simetrica, asimetric a, antisimetric a, tran-zitiva, conexa, dirijat a, filtrat a) daca este reflexiva (ireflexiva, simetric a,

asimetrica, antisimetric a, tranzitiv a, conexa, dirijat a, filtrat a) pe multimeaDom() Cod().

Teorema 1.2.1.1. Fie o relatie binara siA= Dom() Cod().(1) este reflexiva daca si numai dacaA .(2) este ireflexiva daca si numai dacaA = .(3) este simetrica daca si numai daca= 1.

(4) este antisimetrica daca si numai daca 1 A.(5) este asimetrica daca si numai daca 1 = .(6) este tranzitiva daca si numai daca .(7) este conexa daca si numai daca 1 A=A A.

Demonstratie Vom demonstra ca exemplu (4), celelalte ramanand n seama citi-

torului. Sa presupunem deci ca este antisimetrica. Pentru orice(a, b) 1are loc(a, b) si (b, a). Relatia fiind antisimetrica, deducema = b si, deci,(a, b) A. Am obtinut astfel 1 A.

Data o relatiepe Adefinim: 0 =A; n+1 =n , pentru oricen 0; + = n1 n; = n0 n.

Corolarul 1.2.1.1. Fieo relatie peA. Atunci,

(1) + este cea mai mica relatie tranzitiva pe Ace include;

(2) este cea mai mica relatie reflexiva si tranzitiva pe Ace include.

Demonstratie (1) Conform definitiei,+ include. In plus,

+ + =

n,m1

n+m +,

ceea ce arata ca+ este tranzitiva (Teorema 1.2.1.1(6)).


41/220

Relatii de echivalenta 35

Daca este o relatie tranzitiva ce include , atunci ea trebuie sa includa si 2.Acum, incluzand si 2, va trebui sa includa si3. Inductiv, trebuie sa includan,pentru oricen 1. Deci, trebuie sa includa+, ceea ce demonstreaza (1).

(2) A si, deci, este reflexiva. Restul se arata ca la (1).

Relatia + este numita nchiderea tranzitiv a a relatiei, iar , nchiderea re-

flexiva si tranzitiv a a relatiei(asupra acestor relatii vom reveni n Sectiunea 2.2).

Reprezentarea grafica a relatiilor reflexive se simplifica, n mod frecvent, prin

eliminarea arcelor de la nod la el nsusi. O simplificare mult mai consistenta se face

pentru relatii tranzitive. Daca este o relatie tranzitiva, atunci reprezentarea graficaa ei se substituie prin reprezentarea grafica a relatiei

= .

De exemplu, relatia

= {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a, c)}

este atat reflexiva cat si tranzitiva. Reprezentarea grafica a ei este data n Figura

1.3(a), iar cea simplificata n Figura 1.3(b). Atragem atentia asupra faptului ca atunci

a b c

a)

a b c

b)

Figura 1.3: Reprezentare simplificata a unei relatii reflexive si tranzitive

cand se fac astfel de reprezentari simplificate tipul relatiei trebuie sa rezulte clar din

context.

Conceptul de relatie binara poate fi extins la cel de relatie ternar a ca fiind o

multime de 3-uple sau, ca fiind o submult ime a unui produs cartezian A B C.DacaA = B =C, relatia va mai fi numitarelatie ternar a peA.

Evident, extensia de mai sus poate fi realizata pentru orice n 2 arbitrar, obti-nandu-se astfel conceptul derelatien-ar a.

1.2.2 Relatii de echivalenta

Clasa relatiilor de echivalenta este una din cele mai importante clase de relat ii binare.

Definitia 1.2.2.1. Fie o relatie binara si A o multime. Spunem ca este relatiede echivalenta peA daca este reflexiva, simetrica si tranzitiva peA. Atunci candA= Dom() Ran()vom spune caesterelatie de echivalenta.


42/220


Relatia vida este relatie de echivalenta numai pe multimea vida (pe multimi ne-

vide ea este simetrica si tranzitiva dar nu este reflexiva).

Este usor de vazut ca daca este relatie de echivalenta atunci, pentru oricemultimeA,|Aeste de asemenea relatie de echivalenta.Exemplul 1.2.2.1. FieAo multime nevida. Relatia binara=A(definita n Exemplul

1.2.1.1(1)) este relatie de echivalenta peA.

Observatia 1.2.2.1. Echipotenta, introdusa n Sectiunea 1.1.1, verifica urmatoarele

proprietati:

A A, pentru orice multimeA; dacaA BatunciB A, pentru orice multimiAsiB; dacaA B si B CatunciA C, pentru orice multimiA,B siC.

Ca urmare, echipotenta ar avea atributele unei relatii de echivalenta dar nu este

relatie de echivalenta deoarece clasa tuturor multimilor, peste care s-ar considera

echipotenta ca relatie binara, nu este multime. Daca nsa consideram echipotenta

peste o familie de multimiA, sa o notam prinA, atunci ea devine relatie deechivalenta pe A.Definitia 1.2.2.2. Fieo relatie de echivalenta siaun element. Se numeste clasa deechivalenta a luiamodulo/relativ lamultimea

[a]= {b|a b}.Este clar ca, pentru oricea, clasa de echivalenta a luia moduloexista. Reflex-

ivitatea asigura ca aceasta clasa este nevida (contine macar pea).

Lema 1.2.2.1. Fie o relatie de echivalenta si a, b doua elemente. Atunci, au locurmatoarele proprietati:

(1) a bdaca si numai daca[a]= [b];

(2)(a b)daca si numai daca[a] [b] = .Demonstratie (1) Sa presupunem ca a b. Fie x [a]. Urmeaza ca x a (pe bazasimetriei), x b (pe baza tranzitivitatii) si b x (pe baza simetriei); deci, x [b]. Amobtinut astfel[a] [b]; similar se arata si cealalta incluziune.

Reciproc, daca presupunem ca[a] = [b], atuncib

[a] (deoareceb

[b]) si,

deci,a b.(2) Daca(a b) atunci[a]= [b] (de la (1)). Daca multimile[a] si [b] ar

contine elemente comune, fiec un astfel de element, atunci a csi c bar conducelaa b; contradictie.

Reciproc, daca[a] [b] = , atunci[a]= [b], iar (1) conduce la (a b). Daca este o relatie de echivalenta pe o multime nevidaA, atunci Lema 1.2.2.1

ne spune ca mparte multimea A n submult imi disjuncte (clase de echivalenta),


43/220


fiecare submultime fiind alcatuita din exact acele elemente ce sunt echivalentemo-

dulo. Notam multimea tuturor claselor de echivalenta induse de relatia prinA/si o numim multimea c atsau factor indus a deA si (existenta acestei multimi esteasigurata de Axiomele partilor si separarii). Adica,

A/= {[x]|x A}.Exista o stransa legatura ntre multimea partitiilor unei multimiA, Part(A), si

multimea relatiilor de echivalenta peA, notataE(A).

Definitia 1.2.2.3. Fie A o multime nevida iar S1si S2doua partitii ale lui A. SpunemcaS1 rafineazape S2, si notamS1 S2, daca pentru orice bloc X S1 exista unblocY S2astfel ncatX Y.Teorema 1.2.2.1. FieAo multime nevida.

(1) FieSo partitie a multimiiAsi S relatia binara peAdata prin:

a Sb (X S)(a, b X),pentru oricea, b A. Atunci,Seste relatie de echivalenta peA.

(2) Fie o relatie de echivalenta peA si S multimea tuturor claselor de echiva-lenta induse de. Atunci,S este partitie a multimiiA.

(3) (a) Daca S1 si S2 sunt partitii ale multimii A astfel ncat S1 S2, atunciS1 S2 .

(b) Daca1 si 2 sunt relatii de echivalenta peAastfel ncat12, atunciS1 S2.

(4) (a) DacaSeste partitie a multimiiA, atunciS=SS .

(b) Dacaeste relatie de echivalenta peA, atunci= S .

Demonstratie (1) si (2) necesita doar simple verificari si, ca urmare, vom trece la

a demonstra celelalte proprietati.

(3)(a) Fie (a, b) S1. Exista atunci un bloc X S1 astfel ncat a, b X.Deoarece S1 S2, va exista Y S2 astfel ncat X Y. Aceasta conduce laa, b Y, adica(a, b) S2 . Deci,S1 S2 .

Afirmatia de la (3)(b) se obtine similar celei precedente.

(4)(a) Este suficient sa aratam ca pentru oriceX Sexista o clasa de echiva-lenta[x]S astfel ncatX= [x]S , si reciproc.

FieX S. Consideram un element arbitrarxdinX(exista un astfel de elementcaci X este nevida) si aratam ca X = [x]S . Daca y X, atunci x Sy si, deci,y [x]S ; dacay [x]S , atuncix Sy si, deci,xsi y sunt n acelasi bloc al partitieiS. Cumx Xurmeaza cay X. Am demonstrat astfel caX= [x]S .

Reciproc, daca[x]S este o clasa de echivalenta, atunci exista un unic bloc X cecontinex. Printr-un rationament asemanator celui de mai sus se arata caX= [x]S .De la acestea urmeazaS= SS .


44/220


Afirmatia de la (4)(b) se obtine similar celei precedente.

Putem spune deci ca relatiile de echivalenta pe o multime si partit iile acelei

multimi sunt descrieri diferite ale aceleiasi entitati matematice. Atunci cand lu-

cram cu astfel de entitati este convenabil de a avea cate un reprezentant al fiecarei

clase de echivalenta. Suntem astfel condusi la a ne ntreba asupra existentei unei

multimi de reprezentanti pentru o partitie. Aceasta chestiune a fost de altfel abor-data n Sectiunea 1.1.1 si, asa cum am mentionat, o vom trata complet n sectiunea

dedicata Axiomei alegerii.

Functiile injective pastreaza relatiile de echivalenta. Fie A o multime, orelatie peAsi f :A B o functie. Notam prinf()relatia

f() = {(f(a), f(b))|(a, b) }.

Propozitia 1.2.2.1. Fief :A Bo functie sio relatie de echivalenta peA. Dacafeste functie injectiva, atuncif()este relatie de echivalenta pef(A).

Demonstratie Reflexivitatea si simetria relatiei f()se obtin imediat. Sa discutamtranzitivitatea.

Fie(x, y), (y, z) f(). Atunci, exista(a, b), (c, d) astfel ncatf(a) = x,f(b) = y, f(c) = y si f(d) = z. Injectivitatea functiei f conduce la b = c, iartranzitivitatea relatiei conduce la(a, d) si, deci, (x, z) f(). Deci,f()estetranzitiva. Impreuna cu celelalte doua proprietati,f()devide relatie de echivalentapef(A).

Atragem atentia asupra necesitatii proprietatii de injectivitate n a obtine tranzi-

tivitatea relatiei f() (a se vedea demonstratia propozitiei). De asemenea, atragem

atentia asupra faptului caf()este relatie de echivalenta pe f(A)si nu peB, n modnecesar. Aceasta pentru ca este posibil sa se piarda proprietatea de reflexivitate.

Corolarul 1.2.2.1. Fief :A Bo functie sio relatie de echivalenta peA. Dacafeste functie bijectiva, atuncif()este relatie de echivalenta peB.

FieAo multime si, E(A)astfel ncat . Simpla incluziune a relatieinne spune ca orice clasa de echivalenta n raport cueste inclusa n exact o clasade echivalenta n raport cu . Ca urmare, o clasa de echivalenta n raport cu esteformata din una sau mai multe clase de echivalenta n raport cu . Grafic, aceastasituatie arata ca n Figura 1.4. Este justificat atunci a spune ca este maifin adecat

.Considerand acum multimeaA/, putem defini relatia binara/ data prin

[a] / [b] a b ,

pentru oricea, b A.Diferenta ntre si / consta n aceea ca actioneaza pe multimea A, n timp

ce/ actioneaza peA/.


45/220


= - - - si

=

Figura 1.4: este mai fina decat

Propozitia 1.2.2.2. FieAo multime si,,1si2relatii de echivalenta pe Aastfelncat 1 2. Atunci, au loc urmatoarele proprietati:

(1) / E(A/);(2) orice relatie de echivalenta pe A/ este de forma /, unde E(A) si

;

(3) /= A/;

(4) A2/= (A/)2 (A2 este relatia binaraA Acare, evident, include);(5) 1 2daca si numai daca1/ 2/;(6) 1=2 daca si numai daca1/ =2/.

Demonstratie Vom demonstra (2), (3) si (4), restul ramanand n grija cititorului.

(2) Fie o relatie de echivalenta peA/. Definim prin

a b [a] [b],pentru oricea, b A. Este usor de vazut ca este relatie de echivalenta peA.

Fiea b. Atunci,[a] [b] deoarece este reflexiva. Conform definitiei relatiei, urmeaza a b. Ca urmare, . Ne ramane de aratat ca = /. Aceastaurmeaza nsa imediat de la definitiile relatiilor si/.

(3) Au loc relatiile:

[a] / [b] a b [a] A/[b],

pentru oricea, b A, ceea ce demonstreaza egalitatea ceruta.(4) Au loc relatiile:

[a] A2/ [b] a A2 b

[a](A/)2 [b],pentru oricea, b A, ceea ce demonstreaza egalitatea ceruta.

Atragem atentia asupra faptului ca, n Propozitia 1.2.2.2(3),/ est

Documents

Fundamentele algebrice ale informaticii