TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Fundamentele Informatica Fundamentele Informatica

IN3120 IN3120

Cees Witteveen

Parallelle en Gedistribueerde Systemen

Faculteit EWI

College 1College 1

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Relatie in3110 en in3120Relatie in3110 en in3120Relatie in3110 en in3120Relatie in3110 en in3120Alle problemenAlle problemen

Berekenbare problemenBerekenbare problemen

Doenlijke problemen

in3110in3110

in3120in3120

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Literatuur en studiemateriaalLiteratuur en studiemateriaal• Literatuur

M. Sipser, Introduction to the Theory of Computation Part III: Hfst 7 + 8 + 9 + 10

• aanvullende informatiezie blackboard course IN3100 voor

college overzichten; tentamens en uitwerkingen voorbeelden

• practicumtwee opgaven:• correctheidsbewijs van een gegeven reductie• ontwerpen van een reductie + correctheidsbewijs

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Practicum en tentamenPracticum en tentamen• practicum

twee opgaven:• correctheidsbewijs van een gegeven reductie• ontwerpen van een reductie + correctheidsbewijs

• opgaven• groepsindeling zoals voor deel 1• afronden voor einde kwartaal 3• opgave 2 wordt verstrekt na voltooiing opgave 1• correctie: assistenten Michel (dinsdagochtend) en

Leon (woensdagmiddag)

• tentamenmeerkeuzevragen (±10 ) + open vragen (1 tot 2)

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

OverzichtOverzicht

• wat kosten algoritmen- tijdcomplexiteit

- asymptotische complexiteit: grote O en kleine o

• complexiteit van algoritmen en machinemodellen- twee algoritmen voor herkennen van talen- machinemodellen en complexiteit- tijdcomplexiteitsklassen

• complexiteit van problemen- doenlijke en ondoenlijke problemen

- de klasse van polynomiale problemen P

- P versus NP

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

wat kost een algoritme?wat kost een algoritme?

Neem de volgende TM die de taal L = { am bn : 0 ≤ m ≤ n } accepteert:

algoritme voor M1

voor input x in {a, b}*:

1. scan input tape en verwerp als er een a rechts van een b wordt gevonden;

2. zolang als er zowel a’s als b’s op de tape staan

• scan de tape en verwijder een a en een b

3. accepteer als alle a’s verwijderd zijn; anders verwerp.

Vraag: hoeveel tijd kost dit algoritme ?

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Tijd complexiteit van algoritmeTijd complexiteit van algoritme

Exacte bepaling is vaak lastig, onnodig en (te) machine-afhankelijk. Daarom gebruiken we een asymptotische analyse: grote O-notatie en kleine o-notatie

tijdcomplexiteit van een algoritme A is een functie f : N N waarbij f(n) het grootste aantal stappen (instructies) is dat A nodig heeft voor een input ter grootte van n.

worst case tijdcomplexiteit

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Tijd complexiteit van algoritmeTijd complexiteit van algoritme

Grote O-notatie

Voorbeelden

f(n) = 2n2+9n+100 ===> f(n) = O(n2)

f(n) = a logk n ===> f(n) = O(log2 n)

f(n) = 2an+k ===> f(n) = 2O(n)

Laat f : N R+ en g : N R+ . Dan geldt

f(n) = O(g(n)) als er integers c en n0 bestaan

waarvoor geldt n ≥ n0 [ f(n) ≤ c x g(n) ]

kies c = 9, n0 = 5

c = a/log2k, n0 = 1

c = a+1, n0 = k

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Tijdcomplexiteit van algoritmenTijdcomplexiteit van algoritmen

Polynomiale algoritmen

Een algoritme A met tijdcomplexiteit f(n) heet polynomiaal (begrensd) als geldt f(n) = O(nc) voor een constante c > 0.

Exponentiële algoritmen

Een algoritme A met tijdcomplexiteit f(n) heet exponentieel begrensd als geldt f(n) = O(2n^c) voor een constante c > 0.

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Tijdcomplexiteit van algoritmenTijdcomplexiteit van algoritmen

Laat f : N R+ en g : N R+ .

Dan geldt f(n) = o( g(n) ) als limn f(n) / g(n) = 0

Kleine o-notatie

Voorbeelden

f(n) = 2n2+9n+100 ===> f(n) = o(n3)

f(n) = c logk n ===> f(n) = o(n)

f(n) = n n ===> f(n) = o(n2)

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Toepassing: analyse TM MToepassing: analyse TM M11

Neem de volgende TM die de taal L = { am bn : 0 ≤ m ≤ n } accepteert:

algoritme voor M1

voor input x in {a, b}*:

1. scan input tape en reject als er een a rechts van een b wordt gevonden;

2. zolang als er zowel a’s als b’s op de tape staan

• scan de tape en verwijder een a en een b

3. accept als alle a’s verwijderd zijn; anders reject.

Vraag: hoeveel tijd kost dit algoritme ?

Neem |x| = n

O(n)

O(n) x O(n)=O(n2)

O(n)

O(n) + O(n2) + O(n) = O(n2)

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Een beter algoritme voor LEen beter algoritme voor L

Neem de volgende TM die de taal L = { am bn : 0 ≤ m ≤ n } accepteert:

algoritme voor M2

voor input x in {a, b}*:

• scan input tape en verwerp als er een a rechts van een b wordt gevonden;

• bepaal aantal a’s en schrijf binair aan eind van tape;

• sluit binaire rijtje af met #;

• bepaal aantal b’s en schrijf binair aan eind van tape;

1. Vergelijk de verkregen bitrijtjes voor de a’s en de b’s;

2. accepteer als het bitrijtje van de b’s minstens zo groot is als die van de a’s; anders verwerp.

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Een beter algoritme voor LEen beter algoritme voor L

Neem de volgende TM die de taal L = { am bn : 0 ≤ m ≤ n } accepteert:

algoritme voor M2

voor input x in {a, b}*:

• scan input tape en verwerp als er een a rechts van een b wordt gevonden;

• bepaal aantal a’s en schrijf binair aan eind van tape

• sluit binaire rijtje af met #

• bepaal aantal b’s en schrijf binair aan eind van tape

1. Vergelijk de verkregen bitrijtjes voor de a’s en de b’s

2. accepteer als het bitrijtje van de b’s minstens zo groot is als die van de a’s; anders verwerp.

O(n)

O(n log n)

O(n log n)

O(log n)

O(1)

O(1)

Totaal O(n log n)

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Complexiteit en machine modelComplexiteit en machine model

• Single en multi-tape TuringmachinesVoor elke multi-tape Turingmachine die een probleem oplost in t(n)-tijd, bestaat er een single-tape Tm die hetzelfde probleem oplost in O(t2(n))-tijd

• Deterministische en niet-deterministische machines Voor elke niet-deterministische Turingmachine die een probleem oplost in t(n)-tijd, bestaat er een single-tape Tm die hetzelfde probleem oplost in 2O(t (n))-tijd

ConclusieTussen deterministische Tm’s bestaan polynomiale verschillen, tussen deterministische en niet-deterministische modellen bestaan exponentiële verschillen in tijdcomplexiteit.

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Complexiteit en machine modelComplexiteit en machine model

• Equivalentie stelling

Alle redelijke deterministische berekeningsmodellen zijn polynomiaal equivalent (vb: RAM, Registermachines, Turingmachines)

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Tijdcomplexiteits klassenTijdcomplexiteits klassen

Complexiteits klasse TIME(t(n))

als t : N N functie is dan is

TIME( t(n) ) = { L : L wordt beslist door een

deterministische Tm in O(t(n))-tijd }

= de verzameling van alle talen beslist

door O(t(n))-DTm’s

Voorbeeld: we hebben gezien dat de taal L = {am bn : 1 ≤ m ≤ n } tot TIME(n2) behoort. [ maar ook tot TIME(n log n)]

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Tijdcomplexiteits klassenTijdcomplexiteits klassen

Complexiteits klasse P

P = ∪k TIME( nk ) = { L : L wordt beslist door

een Tm in polynomiale tijd }

= de verzameling van alle talen beslist in

polynomiale tijd

Nb: P is onafhankelijk van het precieze

deterministische machine model,

dwz P is een robuuste complexiteitsklasse)

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Tijdcomplexiteits klassenTijdcomplexiteits klassen

Complexiteits klasse NP

NP = ∪k NTIME( nk )

= { L : L wordt beslist door een niet-

deterministische Tm in polynomiale

tijd }

= de verzameling van alle talen beslist door

NTM’s in polynomiale tijd

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Complexiteit van probleemComplexiteit van probleem

Nb: complexiteit probleem doet uitspraak over complexiteit van alle algoritmen voor het probleem

Complexiteit beslissings probleem Probl

worst-case complexiteit van het beste algoritme voor

oplossing van Probl :

fProbl(n) = min { fA(n) : A is een algoritme voor Probl }

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

(On)Doenlijke problemen(On)Doenlijke problemen

• Doenlijke problemenEen probleem is doenlijk als het in polynomiale tijd op te lossen is (polynomiaal in de grootte van de invoer).

P = kTime(nk): klasse van polynomiaal oplosbare problemen.

• Ondoenlijke problemenEen probleem is ondoenlijk als er geen polynomiaal algoritme voor het probleem bestaat.

• waarom onderscheid: kijk naar volgende tabel

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Tijdcomplexiteits functiesTijdcomplexiteits functies

tijd

complexiteit

huidig systeem 10x sneller systeem

1000 x sneller

systeem

O(n) n1 10 n1 1000 n1

O(n2) n2 3.16 n2 31.6 n2

O(n3) n3 2.15 n3 10 n3

O(2n) n4 n4 + 3.32 n4 + 9.97

O(n!) n5 < n5+1

(voor n >10)

< n5+1

(voor n >1000)

omvang grootste instantie oplosbaar in t tijdseenheden

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Doenlijk (P) vss ondoenlijkDoenlijk (P) vss ondoenlijk

• voor ondoenlijke problemen is (constante) technologische speed-up van beperkt belang:

Stel probleem heeft tijdcomplexiteit 2n en speed up is c. Als een instantie ter grootte van m in een bepaalde hoeveelheid tijd kan worden opgelost, dan kan na de speed-up in dezelfde tijd een instantie ter grootte van < m + 2log c opgelost worden.

• voor doenlijke problemen is speed-up wel van belang:

Stel probleem heeft tijdcomplexiteit nk en speed up is c. Als een instantie ter grootte van m in een bepaalde hoeveelheid tijd kan worden opgelost, dan kan na de speed up in dezelfde tijd een instantie ter grootte van c1/k.m opgelost worden.

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Centraal probleem: P = NP?Centraal probleem: P = NP?

• P = NP ?

Voor NP problemen zijn tot nu toe alleen exponentiële algoritmen bekend; we weten niet of P = NP of P ≠ NP.

• Belang:

NP bevat groot aantal belangrijke problemen• satisfiability van boolese formules• padproblemen in grafen (TSP, Hamiltoons pad)• cover problemen: set en vertex cover.• rooster en schedulings problemen.• etc.

TU

Delft

Gro

ep P

ara

llelle

en G

edis

trib

ueerd

e S

yst

em

en

Wat doen we hierna?Wat doen we hierna?

• doenlijk vss ondoenlijk: P versus NP- de klasse NP- NP-complete problemen, voorbij NP

• praktische aspecten van NP-problemen- pseudopolynomiale algoritmen- heuristieken

• bijzondere onderwerpen- quantum computing- zero-knowledge proof systems