Fundamentals of Computational Fluid Dynamics - Lomax, Pulliam

7/28/2019 Fundamentals of Computational Fluid Dynamics - Lomax, Pulliam

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F u n d a m e n t a l s o f C o m p u t a t i o n a l F l u i d

D y n a m i c s

H a r v a r d L o m a x a n d T h o m a s H . P u l l i a m

N A S A A m e s R e s e a r c h C e n t e r

D a v i d W . Z i n g g

U n i v e r s i t y o f T o r o n t o I n s t i t u t e f o r A e r o s p a c e S t u d i e s

A u g u s t 2 6 , 1 9 9 9





C o n t e n t s

1 I N T R O D U C T I O N 1

1 . 1 M o t i v a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 . 2 B a c k g r o u n d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 . 2 . 1 P r o b l e m S p e c i c a t i o n a n d G e o m e t r y P r e p a r a t i o n . . . . . . . 2

1 . 2 . 2 S e l e c t i o n o f G o v e r n i n g E q u a t i o n s a n d B o u n d a r y C o n d i t i o n s . 3

1 . 2 . 3 S e l e c t i o n o f G r i d d i n g S t r a t e g y a n d N u m e r i c a l M e t h o d . . . . 3

1 . 2 . 4 A s s e s s m e n t a n d I n t e r p r e t a t i o n o f R e s u l t s . . . . . . . . . . . . 4

1 . 3 O v e r v i e w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 . 4 N o t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 C O N S E R V A T I O N L A W S A N D T H E M O D E L E Q U A T I O N S 7

2 . 1 C o n s e r v a t i o n L a w s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 . 2 T h e N a v i e r - S t o k e s a n d E u l e r E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 . 3 T h e L i n e a r C o n v e c t i o n E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

2 . 3 . 1 D i e r e n t i a l F o r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

2 . 3 . 2 S o l u t i o n i n W a v e S p a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

2 . 4 T h e D i u s i o n E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

2 . 4 . 1 D i e r e n t i a l F o r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

2 . 4 . 2 S o l u t i o n i n W a v e S p a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

2 . 5 L i n e a r H y p e r b o l i c S y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

2 . 6 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

3 F I N I T E - D I F F E R E N C E A P P R O X I M A T I O N S 2 1

3 . 1 M e s h e s a n d F i n i t e - D i e r e n c e N o t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

3 . 2 S p a c e D e r i v a t i v e A p p r o x i m a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

3 . 3 F i n i t e - D i e r e n c e O p e r a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

3 . 3 . 1 P o i n t D i e r e n c e O p e r a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

3 . 3 . 2 M a t r i x D i e r e n c e O p e r a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

3 . 3 . 3 P e r i o d i c M a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

3 . 3 . 4 C i r c u l a n t M a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

i i i



3 . 4 C o n s t r u c t i n g D i e r e n c i n g S c h e m e s o f A n y O r d e r . . . . . . . . . . . . 3 1

3 . 4 . 1 T a y l o r T a b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

3 . 4 . 2 G e n e r a l i z a t i o n o f D i e r e n c e F o r m u l a s . . . . . . . . . . . . . . 3 4

3 . 4 . 3 L a g r a n g e a n d H e r m i t e I n t e r p o l a t i o n P o l y n o m i a l s . . . . . . . 3 5

3 . 4 . 4 P r a c t i c a l A p p l i c a t i o n o f P a d e F o r m u l a s . . . . . . . . . . . . . 3 7

3 . 4 . 5 O t h e r H i g h e r - O r d e r S c h e m e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8

3 . 5 F o u r i e r E r r o r A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9

3 . 5 . 1 A p p l i c a t i o n t o a S p a t i a l O p e r a t o r . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9

3 . 6 D i e r e n c e O p e r a t o r s a t B o u n d a r i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3

3 . 6 . 1 T h e L i n e a r C o n v e c t i o n E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4

3 . 6 . 2 T h e D i u s i o n E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6

3 . 7 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7

4 T H E S E M I - D I S C R E T E A P P R O A C H 5 1

4 . 1 R e d u c t i o n o f P D E ' s t o O D E ' s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2

4 . 1 . 1 T h e M o d e l O D E ' s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2

4 . 1 . 2 T h e G e n e r i c M a t r i x F o r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3

4 . 2 E x a c t S o l u t i o n s o f L i n e a r O D E ' s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4

4 . 2 . 1 E i g e n s y s t e m s o f S e m i - D i s c r e t e L i n e a r F o r m s . . . . . . . . . . 5 4

4 . 2 . 2 S i n g l e O D E ' s o f F i r s t - a n d S e c o n d - O r d e r . . . . . . . . . . . . 5 5

4 . 2 . 3 C o u p l e d F i r s t - O r d e r O D E ' s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7

4 . 2 . 4 G e n e r a l S o l u t i o n o f C o u p l e d O D E ' s w i t h C o m p l e t e E i g e n s y s t e m s 5 9

4 . 3 R e a l S p a c e a n d E i g e n s p a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1

4 . 3 . 1 D e n i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1

4 . 3 . 2 E i g e n v a l u e S p e c t r u m s f o r M o d e l O D E ' s . . . . . . . . . . . . . 6 2

4 . 3 . 3 E i g e n v e c t o r s o f t h e M o d e l E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . 6 3

4 . 3 . 4 S o l u t i o n s o f t h e M o d e l O D E ' s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5

4 . 4 T h e R e p r e s e n t a t i v e E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7

4 . 5 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8

5 F I N I T E - V O L U M E M E T H O D S 7 1

5 . 1 B a s i c C o n c e p t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2

5 . 2 M o d e l E q u a t i o n s i n I n t e g r a l F o r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3

5 . 2 . 1 T h e L i n e a r C o n v e c t i o n E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3

5 . 2 . 2 T h e D i u s i o n E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4

5 . 3 O n e - D i m e n s i o n a l E x a m p l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4

5 . 3 . 1 A S e c o n d - O r d e r A p p r o x i m a t i o n t o t h e C o n v e c t i o n E q u a t i o n . 7 5

5 . 3 . 2 A F o u r t h - O r d e r A p p r o x i m a t i o n t o t h e C o n v e c t i o n E q u a t i o n . 7 7

5 . 3 . 3 A S e c o n d - O r d e r A p p r o x i m a t i o n t o t h e D i u s i o n E q u a t i o n . . 7 8

5 . 4 A T w o - D i m e n s i o n a l E x a m p l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0



5 . 5 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3

6 T I M E - M A R C H I N G M E T H O D S F O R O D E ' S 8 5

6 . 1 N o t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6

6 . 2 C o n v e r t i n g T i m e - M a r c h i n g M e t h o d s t o O E ' s . . . . . . . . . . . . . 8 7

6 . 3 S o l u t i o n o f L i n e a r O E ' s W i t h C o n s t a n t C o e c i e n t s . . . . . . . . . 8 8

6 . 3 . 1 F i r s t - a n d S e c o n d - O r d e r D i e r e n c e E q u a t i o n s . . . . . . . . . 8 9

6 . 3 . 2 S p e c i a l C a s e s o f C o u p l e d F i r s t - O r d e r E q u a t i o n s . . . . . . . . 9 0

6 . 4 S o l u t i o n o f t h e R e p r e s e n t a t i v e O E ' s . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1

6 . 4 . 1 T h e O p e r a t i o n a l F o r m a n d i t s S o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . 9 1

6 . 4 . 2 E x a m p l e s o f S o l u t i o n s t o T i m e - M a r c h i n g O E ' s . . . . . . . . 9 2

6 . 5 T h e ; R e l a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3

6 . 5 . 1 E s t a b l i s h i n g t h e R e l a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3

6 . 5 . 2 T h e P r i n c i p a l - R o o t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5

6 . 5 . 3 S p u r i o u s - R o o t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5

6 . 5 . 4 O n e - R o o t T i m e - M a r c h i n g M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . 9 6

6 . 6 A c c u r a c y M e a s u r e s o f T i m e - M a r c h i n g M e t h o d s . . . . . . . . . . . . 9 7

6 . 6 . 1 L o c a l a n d G l o b a l E r r o r M e a s u r e s . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7

6 . 6 . 2 L o c a l A c c u r a c y o f t h e T r a n s i e n t S o l u t i o n ( e r

j j e r

!

) . . . . 9 8

6 . 6 . 3 L o c a l A c c u r a c y o f t h e P a r t i c u l a r S o l u t i o n ( e r

) . . . . . . . . 9 9

6 . 6 . 4 T i m e A c c u r a c y F o r N o n l i n e a r A p p l i c a t i o n s . . . . . . . . . . . 1 0 0

6 . 6 . 5 G l o b a l A c c u r a c y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 1

6 . 7 L i n e a r M u l t i s t e p M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2

6 . 7 . 1 T h e G e n e r a l F o r m u l a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2

6 . 7 . 2 E x a m p l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 3

6 . 7 . 3 T w o - S t e p L i n e a r M u l t i s t e p M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . 1 0 5

6 . 8 P r e d i c t o r - C o r r e c t o r M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 6

6 . 9 R u n g e - K u t t a M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 7

6 . 1 0 I m p l e m e n t a t i o n o f I m p l i c i t M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 0

6 . 1 0 . 1 A p p l i c a t i o n t o S y s t e m s o f E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . 1 1 0

6 . 1 0 . 2 A p p l i c a t i o n t o N o n l i n e a r E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1

6 . 1 0 . 3 L o c a l L i n e a r i z a t i o n f o r S c a l a r E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . 1 1 2

6 . 1 0 . 4 L o c a l L i n e a r i z a t i o n f o r C o u p l e d S e t s o f N o n l i n e a r E q u a t i o n s . 1 1 5

6 . 1 1 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7

7 S T A B I L I T Y O F L I N E A R S Y S T E M S 1 2 1

7 . 1 D e p e n d e n c e o n t h e E i g e n s y s t e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2

7 . 2 I n h e r e n t S t a b i l i t y o f O D E ' s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3

7 . 2 . 1 T h e C r i t e r i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3

7 . 2 . 2 C o m p l e t e E i g e n s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3



7 . 2 . 3 D e f e c t i v e E i g e n s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3

7 . 3 N u m e r i c a l S t a b i l i t y o f O E ' s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4

7 . 3 . 1 T h e C r i t e r i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4

7 . 3 . 2 C o m p l e t e E i g e n s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 5

7 . 3 . 3 D e f e c t i v e E i g e n s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 5

7 . 4 T i m e - S p a c e S t a b i l i t y a n d C o n v e r g e n c e o f O E ' s . . . . . . . . . . . . 1 2 5

7 . 5 N u m e r i c a l S t a b i l i t y C o n c e p t s i n t h e C o m p l e x - P l a n e . . . . . . . . . 1 2 8

7 . 5 . 1 - R o o t T r a c e s R e l a t i v e t o t h e U n i t C i r c l e . . . . . . . . . . . 1 2 8

7 . 5 . 2 S t a b i l i t y f o r S m a l l t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 2

7 . 6 N u m e r i c a l S t a b i l i t y C o n c e p t s i n t h e C o m p l e x h P l a n e . . . . . . . . 1 3 5

7 . 6 . 1 S t a b i l i t y f o r L a r g e h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 5

7 . 6 . 2 U n c o n d i t i o n a l S t a b i l i t y , A - S t a b l e M e t h o d s . . . . . . . . . . . 1 3 6

7 . 6 . 3 S t a b i l i t y C o n t o u r s i n t h e C o m p l e x h P l a n e . . . . . . . . . . . 1 3 7

7 . 7 F o u r i e r S t a b i l i t y A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 1

7 . 7 . 1 T h e B a s i c P r o c e d u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 1

7 . 7 . 2 S o m e E x a m p l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 2

7 . 7 . 3 R e l a t i o n t o C i r c u l a n t M a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 3

7 . 8 C o n s i s t e n c y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 3

7 . 9 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 6

8 C H O I C E O F T I M E - M A R C H I N G M E T H O D S 1 4 9

8 . 1 S t i n e s s D e n i t i o n f o r O D E ' s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 9

8 . 1 . 1 R e l a t i o n t o - E i g e n v a l u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 9

8 . 1 . 2 D r i v i n g a n d P a r a s i t i c E i g e n v a l u e s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 1

8 . 1 . 3 S t i n e s s C l a s s i c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 1

8 . 2 R e l a t i o n o f S t i n e s s t o S p a c e M e s h S i z e . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 2

8 . 3 P r a c t i c a l C o n s i d e r a t i o n s f o r C o m p a r i n g M e t h o d s . . . . . . . . . . . 1 5 3

8 . 4 C o m p a r i n g t h e E c i e n c y o f E x p l i c i t M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . 1 5 4

8 . 4 . 1 I m p o s e d C o n s t r a i n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 4

8 . 4 . 2 A n E x a m p l e I n v o l v i n g D i u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 4

8 . 4 . 3 A n E x a m p l e I n v o l v i n g P e r i o d i c C o n v e c t i o n . . . . . . . . . . . 1 5 5

8 . 5 C o p i n g W i t h S t i n e s s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 8

8 . 5 . 1 E x p l i c i t M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 8

8 . 5 . 2 I m p l i c i t M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 9

8 . 5 . 3 A P e r s p e c t i v e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 0

8 . 6 S t e a d y P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 0

8 . 7 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 1



9 R E L A X A T I O N M E T H O D S 1 6 3

9 . 1 F o r m u l a t i o n o f t h e M o d e l P r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 4

9 . 1 . 1 P r e c o n d i t i o n i n g t h e B a s i c M a t r i x . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 4

9 . 1 . 2 T h e M o d e l E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 6

9 . 2 C l a s s i c a l R e l a x a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 8

9 . 2 . 1 T h e D e l t a F o r m o f a n I t e r a t i v e S c h e m e . . . . . . . . . . . . . 1 6 8

9 . 2 . 2 T h e C o n v e r g e d S o l u t i o n , t h e R e s i d u a l , a n d t h e E r r o r . . . . . 1 6 8

9 . 2 . 3 T h e C l a s s i c a l M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 9

9 . 3 T h e O D E A p p r o a c h t o C l a s s i c a l R e l a x a t i o n . . . . . . . . . . . . . . 1 7 0

9 . 3 . 1 T h e O r d i n a r y D i e r e n t i a l E q u a t i o n F o r m u l a t i o n . . . . . . . . 1 7 0

9 . 3 . 2 O D E F o r m o f t h e C l a s s i c a l M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . 1 7 2

9 . 4 E i g e n s y s t e m s o f t h e C l a s s i c a l M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 3

9 . 4 . 1 T h e P o i n t - J a c o b i S y s t e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 4

9 . 4 . 2 T h e G a u s s - S e i d e l S y s t e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 6

9 . 4 . 3 T h e S O R S y s t e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 0

9 . 5 N o n s t a t i o n a r y P r o c e s s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 2

9 . 6 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 7

1 0 M U L T I G R I D 1 9 1

1 0 . 1 M o t i v a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 1

1 0 . 1 . 1 E i g e n v e c t o r a n d E i g e n v a l u e I d e n t i c a t i o n w i t h S p a c e F r e q u e n c i e s 1 9 1

1 0 . 1 . 2 P r o p e r t i e s o f t h e I t e r a t i v e M e t h o d . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 2

1 0 . 2 T h e B a s i c P r o c e s s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 2

1 0 . 3 A T w o - G r i d P r o c e s s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 0

1 0 . 4 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 2

1 1 N U M E R I C A L D I S S I P A T I O N 2 0 3

1 1 . 1 O n e - S i d e d F i r s t - D e r i v a t i v e S p a c e D i e r e n c i n g . . . . . . . . . . . . . 2 0 4

1 1 . 2 T h e M o d i e d P a r t i a l D i e r e n t i a l E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 5

1 1 . 3 T h e L a x - W e n d r o M e t h o d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 7

1 1 . 4 U p w i n d S c h e m e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 9

1 1 . 4 . 1 F l u x - V e c t o r S p l i t t i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 0

1 1 . 4 . 2 F l u x - D i e r e n c e S p l i t t i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 2

1 1 . 5 A r t i c i a l D i s s i p a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 3

1 1 . 6 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 4

1 2 S P L I T A N D F A C T O R E D F O R M S 2 1 7

1 2 . 1 T h e C o n c e p t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 7

1 2 . 2 F a c t o r i n g P h y s i c a l R e p r e s e n t a t i o n s | T i m e S p l i t t i n g . . . . . . . . . 2 1 8

1 2 . 3 F a c t o r i n g S p a c e M a t r i x O p e r a t o r s i n 2 { D . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 0



1 2 . 3 . 1 M e s h I n d e x i n g C o n v e n t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 0

1 2 . 3 . 2 D a t a B a s e s a n d S p a c e V e c t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1

1 2 . 3 . 3 D a t a B a s e P e r m u t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1

1 2 . 3 . 4 S p a c e S p l i t t i n g a n d F a c t o r i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3

1 2 . 4 S e c o n d - O r d e r F a c t o r e d I m p l i c i t M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 6

1 2 . 5 I m p o r t a n c e o f F a c t o r e d F o r m s i n 2 a n d 3 D i m e n s i o n s . . . . . . . . . 2 2 6

1 2 . 6 T h e D e l t a F o r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 8

1 2 . 7 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 9

1 3 L I N E A R A N A L Y S I S O F S P L I T A N D F A C T O R E D F O R M S 2 3 3

1 3 . 1 T h e R e p r e s e n t a t i v e E q u a t i o n f o r C i r c u l a n t O p e r a t o r s . . . . . . . . . 2 3 3

1 3 . 2 E x a m p l e A n a l y s i s o f C i r c u l a n t S y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 4

1 3 . 2 . 1 S t a b i l i t y C o m p a r i s o n s o f T i m e - S p l i t M e t h o d s . . . . . . . . . 2 3 4

1 3 . 2 . 2 A n a l y s i s o f a S e c o n d - O r d e r T i m e - S p l i t M e t h o d . . . . . . . . 2 3 7

1 3 . 3 T h e R e p r e s e n t a t i v e E q u a t i o n f o r S p a c e - S p l i t O p e r a t o r s . . . . . . . . 2 3 8

1 3 . 4 E x a m p l e A n a l y s i s o f 2 - D M o d e l E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 2

1 3 . 4 . 1 T h e U n f a c t o r e d I m p l i c i t E u l e r M e t h o d . . . . . . . . . . . . . 2 4 2

1 3 . 4 . 2 T h e F a c t o r e d N o n d e l t a F o r m o f t h e I m p l i c i t E u l e r M e t h o d . . 2 4 3

1 3 . 4 . 3 T h e F a c t o r e d D e l t a F o r m o f t h e I m p l i c i t E u l e r M e t h o d . . . . 2 4 3

1 3 . 4 . 4 T h e F a c t o r e d D e l t a F o r m o f t h e T r a p e z o i d a l M e t h o d . . . . . 2 4 4

1 3 . 5 E x a m p l e A n a l y s i s o f t h e 3 - D M o d e l E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . 2 4 5

1 3 . 6 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 7

A U S E F U L R E L A T I O N S A N D D E F I N I T I O N S F R O M L I N E A R A L -

G E B R A 2 4 9

A . 1 N o t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 9

A . 2 D e n i t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 0

A . 3 A l g e b r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 1

A . 4 E i g e n s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 1

A . 5 V e c t o r a n d M a t r i x N o r m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 4

B S O M E P R O P E R T I E S O F T R I D I A G O N A L M A T R I C E S 2 5 7

B . 1 S t a n d a r d E i g e n s y s t e m f o r S i m p l e T r i d i a g o n a l s . . . . . . . . . . . . . 2 5 7

B . 2 G e n e r a l i z e d E i g e n s y s t e m f o r S i m p l e T r i d i a g o n a l s . . . . . . . . . . . . 2 5 8

B . 3 T h e I n v e r s e o f a S i m p l e T r i d i a g o n a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 9

B . 4 E i g e n s y s t e m s o f C i r c u l a n t M a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 0

B . 4 . 1 S t a n d a r d T r i d i a g o n a l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 0

B . 4 . 2 G e n e r a l C i r c u l a n t S y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 1

B . 5 S p e c i a l C a s e s F o u n d F r o m S y m m e t r i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 2

B . 6 S p e c i a l C a s e s I n v o l v i n g B o u n d a r y C o n d i t i o n s . . . . . . . . . . . . . 2 6 3



C T H E H O M O G E N E O U S P R O P E R T Y O F T H E E U L E R E Q U A T I O N S 2 6 5



C h a p t e r 1

I N T R O D U C T I O N

1 . 1 M o t i v a t i o n

T h e m a t e r i a l i n t h i s b o o k o r i g i n a t e d f r o m a t t e m p t s t o u n d e r s t a n d a n d s y s t e m i z e n u -

m e r i c a l s o l u t i o n t e c h n i q u e s f o r t h e p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s g o v e r n i n g t h e p h y s i c s

o f u i d o w . A s t i m e w e n t o n a n d t h e s e a t t e m p t s b e g a n t o c r y s t a l l i z e , u n d e r l y i n g

c o n s t r a i n t s o n t h e n a t u r e o f t h e m a t e r i a l b e g a n t o f o r m . T h e p r i n c i p a l s u c h c o n s t r a i n t

w a s t h e d e m a n d f o r u n i c a t i o n . W a s t h e r e o n e m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e w h i c h c o u l d

b e u s e d t o d e s c r i b e t h e b e h a v i o r a n d r e s u l t s o f m o s t n u m e r i c a l m e t h o d s i n c o m m o n

u s e i n t h e e l d o f u i d d y n a m i c s ? P e r h a p s t h e a n s w e r i s a r g u a b l e , b u t t h e a u t h o r s

b e l i e v e t h e a n s w e r i s a r m a t i v e a n d p r e s e n t t h i s b o o k a s j u s t i c a t i o n f o r t h a t b e -

l i e f . T h e m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e i s t h e t h e o r y o f l i n e a r a l g e b r a a n d t h e a t t e n d a n t

e i g e n a n a l y s i s o f l i n e a r s y s t e m s .

T h e u l t i m a t e g o a l o f t h e e l d o f c o m p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s ( C F D ) i s t o u n d e r -

s t a n d t h e p h y s i c a l e v e n t s t h a t o c c u r i n t h e o w o f u i d s a r o u n d a n d w i t h i n d e s i g n a t e d

o b j e c t s . T h e s e e v e n t s a r e r e l a t e d t o t h e a c t i o n a n d i n t e r a c t i o n o f p h e n o m e n a s u c h

a s d i s s i p a t i o n , d i u s i o n , c o n v e c t i o n , s h o c k w a v e s , s l i p s u r f a c e s , b o u n d a r y l a y e r s , a n d

t u r b u l e n c e . I n t h e e l d o f a e r o d y n a m i c s , a l l o f t h e s e p h e n o m e n a a r e g o v e r n e d b y

t h e c o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . M a n y o f t h e m o s t i m p o r t a n t a s p e c t s o f

t h e s e r e l a t i o n s a r e n o n l i n e a r a n d , a s a c o n s e q u e n c e , o f t e n h a v e n o a n a l y t i c s o l u t i o n .

T h i s , o f c o u r s e , m o t i v a t e s t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e a s s o c i a t e d p a r t i a l d i e r e n t i a l

e q u a t i o n s . A t t h e s a m e t i m e i t w o u l d s e e m t o i n v a l i d a t e t h e u s e o f l i n e a r a l g e b r a f o r

t h e c l a s s i c a t i o n o f t h e n u m e r i c a l m e t h o d s . E x p e r i e n c e h a s s h o w n t h a t s u c h i s n o t

t h e c a s e .

A s w e s h a l l s e e i n a l a t e r c h a p t e r , t h e u s e o f n u m e r i c a l m e t h o d s t o s o l v e p a r t i a l

d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i n t r o d u c e s a n a p p r o x i m a t i o n t h a t , i n e e c t , c a n c h a n g e t h e

f o r m o f t h e b a s i c p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s t h e m s e l v e s . T h e n e w e q u a t i o n s , w h i c h

1



2 C H A P T E R 1 . I N T R O D U C T I O N

a r e t h e o n e s a c t u a l l y b e i n g s o l v e d b y t h e n u m e r i c a l p r o c e s s , a r e o f t e n r e f e r r e d t o a s

t h e m o d i e d p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s . S i n c e t h e y a r e n o t p r e c i s e l y t h e s a m e a s

t h e o r i g i n a l e q u a t i o n s , t h e y c a n , a n d p r o b a b l y w i l l , s i m u l a t e t h e p h y s i c a l p h e n o m e n a

l i s t e d a b o v e i n w a y s t h a t a r e n o t e x a c t l y t h e s a m e a s a n e x a c t s o l u t i o n t o t h e b a s i c

p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n . M a t h e m a t i c a l l y , t h e s e d i e r e n c e s a r e u s u a l l y r e f e r r e d t o

a s t r u n c a t i o n e r r o r s . H o w e v e r , t h e t h e o r y a s s o c i a t e d w i t h t h e n u m e r i c a l a n a l y s i s o f

u i d m e c h a n i c s w a s d e v e l o p e d p r e d o m i n a n t l y b y s c i e n t i s t s d e e p l y i n t e r e s t e d i n t h e

p h y s i c s o f u i d o w a n d , a s a c o n s e q u e n c e , t h e s e e r r o r s a r e o f t e n i d e n t i e d w i t h a

p a r t i c u l a r p h y s i c a l p h e n o m e n o n o n w h i c h t h e y h a v e a s t r o n g e e c t . T h u s m e t h o d s a r e

s a i d t o h a v e a l o t o f \ a r t i c i a l v i s c o s i t y " o r s a i d t o b e h i g h l y d i s p e r s i v e . T h i s m e a n s

t h a t t h e e r r o r s c a u s e d b y t h e n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n r e s u l t i n a m o d i e d p a r t i a l

d i e r e n t i a l e q u a t i o n h a v i n g a d d i t i o n a l t e r m s t h a t c a n b e i d e n t i e d w i t h t h e p h y s i c s

o f d i s s i p a t i o n i n t h e r s t c a s e a n d d i s p e r s i o n i n t h e s e c o n d . T h e r e i s n o t h i n g w r o n g ,

o f c o u r s e , w i t h i d e n t i f y i n g a n e r r o r w i t h a p h y s i c a l p r o c e s s , n o r w i t h d e l i b e r a t e l y

d i r e c t i n g a n e r r o r t o a s p e c i c p h y s i c a l p r o c e s s , a s l o n g a s t h e e r r o r r e m a i n s i n s o m e

e n g i n e e r i n g s e n s e \ s m a l l " . I t i s s a f e t o s a y , f o r e x a m p l e , t h a t m o s t n u m e r i c a l m e t h o d s

i n p r a c t i c a l u s e f o r s o l v i n g t h e n o n d i s s i p a t i v e E u l e r e q u a t i o n s c r e a t e a m o d i e d p a r t i a l

d i e r e n t i a l e q u a t i o n t h a t p r o d u c e s s o m e f o r m o f d i s s i p a t i o n . H o w e v e r , i f u s e d a n d

i n t e r p r e t e d p r o p e r l y , t h e s e m e t h o d s g i v e v e r y u s e f u l i n f o r m a t i o n .

R e g a r d l e s s o f w h a t t h e n u m e r i c a l e r r o r s a r e c a l l e d , i f t h e i r e e c t s a r e n o t t h o r -

o u g h l y u n d e r s t o o d a n d c o n t r o l l e d , t h e y c a n l e a d t o s e r i o u s d i c u l t i e s , p r o d u c i n g

a n s w e r s t h a t r e p r e s e n t l i t t l e , i f a n y , p h y s i c a l r e a l i t y . T h i s m o t i v a t e s s t u d y i n g t h e

c o n c e p t s o f s t a b i l i t y , c o n v e r g e n c e , a n d c o n s i s t e n c y . O n t h e o t h e r h a n d , e v e n i f t h e

e r r o r s a r e k e p t s m a l l e n o u g h t h a t t h e y c a n b e n e g l e c t e d ( f o r e n g i n e e r i n g p u r p o s e s ) ,

t h e r e s u l t i n g s i m u l a t i o n c a n s t i l l b e o f l i t t l e p r a c t i c a l u s e i f i n e c i e n t o r i n a p p r o p r i a t e

a l g o r i t h m s a r e u s e d . T h i s m o t i v a t e s s t u d y i n g t h e c o n c e p t s o f s t i n e s s , f a c t o r i z a t i o n ,

a n d a l g o r i t h m d e v e l o p m e n t i n g e n e r a l . A l l o f t h e s e c o n c e p t s w e h o p e t o c l a r i f y i n

t h i s b o o k .

1 . 2 B a c k g r o u n d

T h e e l d o f c o m p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s h a s a b r o a d r a n g e o f a p p l i c a b i l i t y . I n d e p e n -

d e n t o f t h e s p e c i c a p p l i c a t i o n u n d e r s t u d y , t h e f o l l o w i n g s e q u e n c e o f s t e p s g e n e r a l l y

m u s t b e f o l l o w e d i n o r d e r t o o b t a i n a s a t i s f a c t o r y s o l u t i o n .

1 . 2 . 1 P r o b l e m S p e c i c a t i o n a n d G e o m e t r y P r e p a r a t i o n

T h e r s t s t e p i n v o l v e s t h e s p e c i c a t i o n o f t h e p r o b l e m , i n c l u d i n g t h e g e o m e t r y , o w

c o n d i t i o n s , a n d t h e r e q u i r e m e n t s o f t h e s i m u l a t i o n . T h e g e o m e t r y m a y r e s u l t f r o m



1 . 2 . B A C K G R O U N D 3

m e a s u r e m e n t s o f a n e x i s t i n g c o n g u r a t i o n o r m a y b e a s s o c i a t e d w i t h a d e s i g n s t u d y .

A l t e r n a t i v e l y , i n a d e s i g n c o n t e x t , n o g e o m e t r y n e e d b e s u p p l i e d . I n s t e a d , a s e t

o f o b j e c t i v e s a n d c o n s t r a i n t s m u s t b e s p e c i e d . F l o w c o n d i t i o n s m i g h t i n c l u d e , f o r

e x a m p l e , t h e R e y n o l d s n u m b e r a n d M a c h n u m b e r f o r t h e o w o v e r a n a i r f o i l . T h e

r e q u i r e m e n t s o f t h e s i m u l a t i o n i n c l u d e i s s u e s s u c h a s t h e l e v e l o f a c c u r a c y n e e d e d , t h e

t u r n a r o u n d t i m e r e q u i r e d , a n d t h e s o l u t i o n p a r a m e t e r s o f i n t e r e s t . T h e r s t t w o o f

t h e s e r e q u i r e m e n t s a r e o f t e n i n c o n i c t a n d c o m p r o m i s e i s n e c e s s a r y . A s a n e x a m p l e

o f s o l u t i o n p a r a m e t e r s o f i n t e r e s t i n c o m p u t i n g t h e o w e l d a b o u t a n a i r f o i l , o n e m a y

b e i n t e r e s t e d i n i ) t h e l i f t a n d p i t c h i n g m o m e n t o n l y , i i ) t h e d r a g a s w e l l a s t h e l i f t

a n d p i t c h i n g m o m e n t , o r i i i ) t h e d e t a i l s o f t h e o w a t s o m e s p e c i c l o c a t i o n .

1 . 2 . 2 S e l e c t i o n o f G o v e r n i n g E q u a t i o n s a n d B o u n d a r y C o n -

d i t i o n s

O n c e t h e p r o b l e m h a s b e e n s p e c i e d , a n a p p r o p r i a t e s e t o f g o v e r n i n g e q u a t i o n s a n d

b o u n d a r y c o n d i t i o n s m u s t b e s e l e c t e d . I t i s g e n e r a l l y a c c e p t e d t h a t t h e p h e n o m e n a o f

i m p o r t a n c e t o t h e e l d o f c o n t i n u u m u i d d y n a m i c s a r e g o v e r n e d b y t h e c o n s e r v a t i o n

o f m a s s , m o m e n t u m , a n d e n e r g y . T h e p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s r e s u l t i n g f r o m

t h e s e c o n s e r v a t i o n l a w s a r e r e f e r r e d t o a s t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . H o w e v e r , i n

t h e i n t e r e s t o f e c i e n c y , i t i s a l w a y s p r u d e n t t o c o n s i d e r s o l v i n g s i m p l i e d f o r m s

o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s w h e n t h e s i m p l i c a t i o n s r e t a i n t h e p h y s i c s w h i c h a r e

e s s e n t i a l t o t h e g o a l s o f t h e s i m u l a t i o n . P o s s i b l e s i m p l i e d g o v e r n i n g e q u a t i o n s i n c l u d e

t h e p o t e n t i a l - o w e q u a t i o n s , t h e E u l e r e q u a t i o n s , a n d t h e t h i n - l a y e r N a v i e r - S t o k e s

e q u a t i o n s . T h e s e m a y b e s t e a d y o r u n s t e a d y a n d c o m p r e s s i b l e o r i n c o m p r e s s i b l e .

B o u n d a r y t y p e s w h i c h m a y b e e n c o u n t e r e d i n c l u d e s o l i d w a l l s , i n o w a n d o u t o w

b o u n d a r i e s , p e r i o d i c b o u n d a r i e s , s y m m e t r y b o u n d a r i e s , e t c . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s

w h i c h m u s t b e s p e c i e d d e p e n d u p o n t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s . F o r e x a m p l e , a t a s o l i d

w a l l , t h e E u l e r e q u a t i o n s r e q u i r e o w t a n g e n c y t o b e e n f o r c e d , w h i l e t h e N a v i e r - S t o k e s

e q u a t i o n s r e q u i r e t h e n o - s l i p c o n d i t i o n . I f n e c e s s a r y , p h y s i c a l m o d e l s m u s t b e c h o s e n

f o r p r o c e s s e s w h i c h c a n n o t b e s i m u l a t e d w i t h i n t h e s p e c i e d c o n s t r a i n t s . T u r b u l e n c e

i s a n e x a m p l e o f a p h y s i c a l p r o c e s s w h i c h i s r a r e l y s i m u l a t e d i n a p r a c t i c a l c o n t e x t ( a t

t h e t i m e o f w r i t i n g ) a n d t h u s i s o f t e n m o d e l l e d . T h e s u c c e s s o f a s i m u l a t i o n d e p e n d s

g r e a t l y o n t h e e n g i n e e r i n g i n s i g h t i n v o l v e d i n s e l e c t i n g t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s a n d

p h y s i c a l m o d e l s b a s e d o n t h e p r o b l e m s p e c i c a t i o n .

1 . 2 . 3 S e l e c t i o n o f G r i d d i n g S t r a t e g y a n d N u m e r i c a l M e t h o d

N e x t a n u m e r i c a l m e t h o d a n d a s t r a t e g y f o r d i v i d i n g t h e o w d o m a i n i n t o c e l l s , o r

e l e m e n t s , m u s t b e s e l e c t e d . W e c o n c e r n o u r s e l v e s h e r e o n l y w i t h n u m e r i c a l m e t h -

o d s r e q u i r i n g s u c h a t e s s e l l a t i o n o f t h e d o m a i n , w h i c h i s k n o w n a s a g r i d , o r m e s h .



4 C H A P T E R 1 . I N T R O D U C T I O N

M a n y d i e r e n t g r i d d i n g s t r a t e g i e s e x i s t , i n c l u d i n g s t r u c t u r e d , u n s t r u c t u r e d , h y b r i d ,

c o m p o s i t e , a n d o v e r l a p p i n g g r i d s . F u r t h e r m o r e , t h e g r i d c a n b e a l t e r e d b a s e d o n

t h e s o l u t i o n i n a n a p p r o a c h k n o w n a s s o l u t i o n - a d a p t i v e g r i d d i n g . T h e n u m e r i c a l

m e t h o d s g e n e r a l l y u s e d i n C F D c a n b e c l a s s i e d a s n i t e - d i e r e n c e , n i t e - v o l u m e ,

n i t e - e l e m e n t , o r s p e c t r a l m e t h o d s . T h e c h o i c e s o f a n u m e r i c a l m e t h o d a n d a g r i d -

d i n g s t r a t e g y a r e s t r o n g l y i n t e r d e p e n d e n t . F o r e x a m p l e , t h e u s e o f n i t e - d i e r e n c e

m e t h o d s i s t y p i c a l l y r e s t r i c t e d t o s t r u c t u r e d g r i d s . H e r e a g a i n , t h e s u c c e s s o f a s i m -

u l a t i o n c a n d e p e n d o n a p p r o p r i a t e c h o i c e s f o r t h e p r o b l e m o r c l a s s o f p r o b l e m s o f

i n t e r e s t .

1 . 2 . 4 A s s e s s m e n t a n d I n t e r p r e t a t i o n o f R e s u l t s

F i n a l l y , t h e r e s u l t s o f t h e s i m u l a t i o n m u s t b e a s s e s s e d a n d i n t e r p r e t e d . T h i s s t e p c a n

r e q u i r e p o s t - p r o c e s s i n g o f t h e d a t a , f o r e x a m p l e c a l c u l a t i o n o f f o r c e s a n d m o m e n t s ,

a n d c a n b e a i d e d b y s o p h i s t i c a t e d o w v i s u a l i z a t i o n t o o l s a n d e r r o r e s t i m a t i o n t e c h -

n i q u e s . I t i s c r i t i c a l t h a t t h e m a g n i t u d e o f b o t h n u m e r i c a l a n d p h y s i c a l - m o d e l e r r o r s

b e w e l l u n d e r s t o o d .

1 . 3 O v e r v i e w

I t s h o u l d b e c l e a r t h a t s u c c e s s f u l s i m u l a t i o n o f u i d o w s c a n i n v o l v e a w i d e r a n g e o f

i s s u e s f r o m g r i d g e n e r a t i o n t o t u r b u l e n c e m o d e l l i n g t o t h e a p p l i c a b i l i t y o f v a r i o u s s i m -

p l i e d f o r m s o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . M a n y o f t h e s e i s s u e s a r e n o t a d d r e s s e d

i n t h i s b o o k . S o m e o f t h e m a r e p r e s e n t e d i n t h e b o o k s b y A n d e r s o n , T a n n e h i l l , a n d

P l e t c h e r 1 ] a n d H i r s c h 2 ] . I n s t e a d w e f o c u s o n n u m e r i c a l m e t h o d s , w i t h e m p h a s i s

o n n i t e - d i e r e n c e a n d n i t e - v o l u m e m e t h o d s f o r t h e E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s e q u a -

t i o n s . R a t h e r t h a n p r e s e n t i n g t h e d e t a i l s o f t h e m o s t a d v a n c e d m e t h o d s , w h i c h a r e

s t i l l e v o l v i n g , w e p r e s e n t a f o u n d a t i o n f o r d e v e l o p i n g , a n a l y z i n g , a n d u n d e r s t a n d i n g

s u c h m e t h o d s .

F o r t u n a t e l y , t o d e v e l o p , a n a l y z e , a n d u n d e r s t a n d m o s t n u m e r i c a l m e t h o d s u s e d t o

n d s o l u t i o n s f o r t h e c o m p l e t e c o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s , w e c a n m a k e u s e

o f m u c h s i m p l e r e x p r e s s i o n s , t h e s o - c a l l e d \ m o d e l " e q u a t i o n s . T h e s e m o d e l e q u a t i o n s

i s o l a t e c e r t a i n a s p e c t s o f t h e p h y s i c s c o n t a i n e d i n t h e c o m p l e t e s e t o f e q u a t i o n s . H e n c e

t h e i r n u m e r i c a l s o l u t i o n c a n i l l u s t r a t e t h e p r o p e r t i e s o f a g i v e n n u m e r i c a l m e t h o d

w h e n a p p l i e d t o a m o r e c o m p l i c a t e d s y s t e m o f e q u a t i o n s w h i c h g o v e r n s s i m i l a r p h y s -

i c a l p h e n o m e n a . A l t h o u g h t h e m o d e l e q u a t i o n s a r e e x t r e m e l y s i m p l e a n d e a s y t o

s o l v e , t h e y h a v e b e e n c a r e f u l l y s e l e c t e d t o b e r e p r e s e n t a t i v e , w h e n u s e d i n t e l l i g e n t l y ,

o f d i c u l t i e s a n d c o m p l e x i t i e s t h a t a r i s e i n r e a l i s t i c t w o - a n d t h r e e - d i m e n s i o n a l u i d

o w s i m u l a t i o n s . W e b e l i e v e t h a t a t h o r o u g h u n d e r s t a n d i n g o f w h a t h a p p e n s w h e n



1 . 4 . N O T A T I O N 5

n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n s a r e a p p l i e d t o t h e m o d e l e q u a t i o n s i s a m a j o r r s t s t e p i n

m a k i n g c o n d e n t a n d c o m p e t e n t u s e o f n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n s t o t h e E u l e r a n d

N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . A s a w o r d o f c a u t i o n , h o w e v e r , i t s h o u l d b e n o t e d t h a t ,

a l t h o u g h w e c a n l e a r n a g r e a t d e a l b y s t u d y i n g n u m e r i c a l m e t h o d s a s a p p l i e d t o t h e

m o d e l e q u a t i o n s a n d c a n u s e t h a t i n f o r m a t i o n i n t h e d e s i g n a n d a p p l i c a t i o n o f n u -

m e r i c a l m e t h o d s t o p r a c t i c a l p r o b l e m s , t h e r e a r e m a n y a s p e c t s o f p r a c t i c a l p r o b l e m s

w h i c h c a n o n l y b e u n d e r s t o o d i n t h e c o n t e x t o f t h e c o m p l e t e p h y s i c a l s y s t e m s .

1 . 4 N o t a t i o n

T h e n o t a t i o n i s g e n e r a l l y e x p l a i n e d a s i t i s i n t r o d u c e d . B o l d t y p e i s r e s e r v e d f o r r e a l

p h y s i c a l v e c t o r s , s u c h a s v e l o c i t y . T h e v e c t o r s y m b o l ~ i s u s e d f o r t h e v e c t o r s ( o r

c o l u m n m a t r i c e s ) w h i c h c o n t a i n t h e v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t t h e n o d e s

o f a g r i d . O t h e r w i s e , t h e u s e o f a v e c t o r c o n s i s t i n g o f a c o l l e c t i o n o f s c a l a r s s h o u l d

b e a p p a r e n t f r o m t h e c o n t e x t a n d i s n o t i d e n t i e d b y a n y s p e c i a l n o t a t i o n . F o r

e x a m p l e , t h e v a r i a b l e u c a n d e n o t e a s c a l a r C a r t e s i a n v e l o c i t y c o m p o n e n t i n t h e E u l e r

a n d N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s , a s c a l a r q u a n t i t y i n t h e l i n e a r c o n v e c t i o n a n d d i u s i o n

e q u a t i o n s , a n d a v e c t o r c o n s i s t i n g o f a c o l l e c t i o n o f s c a l a r s i n o u r p r e s e n t a t i o n o f

h y p e r b o l i c s y s t e m s . S o m e o f t h e a b b r e v i a t i o n s u s e d t h r o u g h o u t t h e t e x t a r e l i s t e d

a n d d e n e d b e l o w .

P D E P a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n

O D E O r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n

O E O r d i n a r y d i e r e n c e e q u a t i o n

R H S R i g h t - h a n d s i d e

P . S . P a r t i c u l a r s o l u t i o n o f a n O D E o r s y s t e m o f O D E ' s

S . S . F i x e d ( t i m e - i n v a r i a n t ) s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n

k - D k - d i m e n s i o n a l s p a c e

~

b c

B o u n d a r y c o n d i t i o n s , u s u a l l y a v e c t o r

O ( ) A t e r m o f o r d e r ( i . e . , p r o p o r t i o n a l t o )





C h a p t e r 2

C O N S E R V A T I O N L A W S A N D

T H E M O D E L E Q U A T I O N S

W e s t a r t o u t b y c a s t i n g o u r e q u a t i o n s i n t h e m o s t g e n e r a l f o r m , t h e i n t e g r a l c o n s e r v a -

t i o n - l a w f o r m , w h i c h i s u s e f u l i n u n d e r s t a n d i n g t h e c o n c e p t s i n v o l v e d i n n i t e - v o l u m e

s c h e m e s . T h e e q u a t i o n s a r e t h e n r e c a s t i n t o d i v e r g e n c e f o r m , w h i c h i s n a t u r a l f o r

n i t e - d i e r e n c e s c h e m e s . T h e E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a r e b r i e y d i s c u s s e d

i n t h i s C h a p t e r . T h e m a i n f o c u s , t h o u g h , w i l l b e o n r e p r e s e n t a t i v e m o d e l e q u a t i o n s ,

i n p a r t i c u l a r , t h e c o n v e c t i o n a n d d i u s i o n e q u a t i o n s . T h e s e e q u a t i o n s c o n t a i n m a n y

o f t h e s a l i e n t m a t h e m a t i c a l a n d p h y s i c a l f e a t u r e s o f t h e f u l l N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s .

T h e c o n c e p t s o f c o n v e c t i o n a n d d i u s i o n a r e p r e v a l e n t i n o u r d e v e l o p m e n t o f n u -

m e r i c a l m e t h o d s f o r c o m p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s , a n d t h e r e c u r r i n g u s e o f t h e s e

m o d e l e q u a t i o n s a l l o w s u s t o d e v e l o p a c o n s i s t e n t f r a m e w o r k o f a n a l y s i s f o r c o n s i s -

t e n c y , a c c u r a c y , s t a b i l i t y , a n d c o n v e r g e n c e . T h e m o d e l e q u a t i o n s w e s t u d y h a v e t w o

p r o p e r t i e s i n c o m m o n . T h e y a r e l i n e a r p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s ( P D E ' s ) w i t h

c o e c i e n t s t h a t a r e c o n s t a n t i n b o t h s p a c e a n d t i m e , a n d t h e y r e p r e s e n t p h e n o m e n a

o f i m p o r t a n c e t o t h e a n a l y s i s o f c e r t a i n a s p e c t s o f u i d d y n a m i c p r o b l e m s .

2 . 1 C o n s e r v a t i o n L a w s

C o n s e r v a t i o n l a w s , s u c h a s t h e E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a n d o u r m o d e l

e q u a t i o n s , c a n b e w r i t t e n i n t h e f o l l o w i n g i n t e g r a l f o r m :

Z

V ( t

2

)

Q d V ;

Z

V ( t

1

)

Q d V +

Z

t

2

t

1

I

S ( t )

n : F d S d t =

Z

t

2

t

1

Z

V ( t )

P d V d t ( 2 . 1 )

I n t h i s e q u a t i o n , Q i s a v e c t o r c o n t a i n i n g t h e s e t o f v a r i a b l e s w h i c h a r e c o n s e r v e d ,

e . g . , m a s s , m o m e n t u m , a n d e n e r g y , p e r u n i t v o l u m e . T h e e q u a t i o n i s a s t a t e m e n t o f

7



8 C H A P T E R 2 . C O N S E R V A T I O N L A W S A N D T H E M O D E L E Q U A T I O N S

t h e c o n s e r v a t i o n o f t h e s e q u a n t i t i e s i n a n i t e r e g i o n o f s p a c e w i t h v o l u m e V ( t ) a n d

s u r f a c e a r e a S ( t ) o v e r a n i t e i n t e r v a l o f t i m e t

2

; t

1

. I n t w o d i m e n s i o n s , t h e r e g i o n

o f s p a c e , o r c e l l , i s a n a r e a A ( t ) b o u n d e d b y a c l o s e d c o n t o u r C ( t ) . T h e v e c t o r n i s

a u n i t v e c t o r n o r m a l t o t h e s u r f a c e p o i n t i n g o u t w a r d , F i s a s e t o f v e c t o r s , o r t e n s o r ,

c o n t a i n i n g t h e u x o f Q p e r u n i t a r e a p e r u n i t t i m e , a n d P i s t h e r a t e o f p r o d u c t i o n

o f Q p e r u n i t v o l u m e p e r u n i t t i m e . I f a l l v a r i a b l e s a r e c o n t i n u o u s i n t i m e , t h e n E q .

2 . 1 c a n b e r e w r i t t e n a s

d

d t

Z

V ( t )

Q d V +

I

S ( t )

n : F d S =

Z

V ( t )

P d V ( 2 . 2 )

T h o s e m e t h o d s w h i c h m a k e v a r i o u s n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n s o f t h e i n t e g r a l s i n E q s .

2 . 1 a n d 2 . 2 a n d n d a s o l u t i o n f o r Q o n t h a t b a s i s a r e r e f e r r e d t o a s n i t e - v o l u m e

m e t h o d s . M a n y o f t h e a d v a n c e d c o d e s w r i t t e n f o r C F D a p p l i c a t i o n s a r e b a s e d o n t h e

n i t e - v o l u m e c o n c e p t .

O n t h e o t h e r h a n d , a p a r t i a l d e r i v a t i v e f o r m o f a c o n s e r v a t i o n l a w c a n a l s o b e

d e r i v e d . T h e d i v e r g e n c e f o r m o f E q . 2 . 2 i s o b t a i n e d b y a p p l y i n g G a u s s ' s t h e o r e m t o

t h e u x i n t e g r a l , l e a d i n g t o

@ Q

@ t

+ r : F = P ( 2 . 3 )

w h e r e r : i s t h e w e l l - k n o w n d i v e r g e n c e o p e r a t o r g i v e n , i n C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s , b y

r :

i

@

@ x

+ j

@

@ y

+ k

@

@ z

!

: ( 2 . 4 )

a n d i j , a n d k a r e u n i t v e c t o r s i n t h e x y , a n d z c o o r d i n a t e d i r e c t i o n s , r e s p e c t i v e l y .

T h o s e m e t h o d s w h i c h m a k e v a r i o u s a p p r o x i m a t i o n s o f t h e d e r i v a t i v e s i n E q . 2 . 3 a n d

n d a s o l u t i o n f o r Q o n t h a t b a s i s a r e r e f e r r e d t o a s n i t e - d i e r e n c e m e t h o d s .

2 . 2 T h e N a v i e r - S t o k e s a n d E u l e r E q u a t i o n s

T h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s f o r m a c o u p l e d s y s t e m o f n o n l i n e a r P D E ' s d e s c r i b i n g

t h e c o n s e r v a t i o n o f m a s s , m o m e n t u m a n d e n e r g y f o r a u i d . F o r a N e w t o n i a n u i d

i n o n e d i m e n s i o n , t h e y c a n b e w r i t t e n a s

@ Q

@ t

+

@ E

@ x

= 0 ( 2 . 5 )

w i t h

Q =

2

6

6

6

6

6

4

u

e

3

7

7

7

7

7

5

E =

2

6

6

6

6

6

4

u

u

2

+ p

u ( e + p )

3

7

7

7

7

7

5

;

2

6

6

6

6

6

4

0

4

3

@ u

@ x

4

3

u

@ u

@ x

+

@ T

@ x

3

7

7

7

7

7

5

( 2 . 6 )



2 . 2 . T H E N A V I E R - S T O K E S A N D E U L E R E Q U A T I O N S 9

w h e r e i s t h e u i d d e n s i t y , u i s t h e v e l o c i t y , e i s t h e t o t a l e n e r g y p e r u n i t v o l u m e , p i s

t h e p r e s s u r e , T i s t h e t e m p e r a t u r e , i s t h e c o e c i e n t o f v i s c o s i t y , a n d i s t h e t h e r m a l

c o n d u c t i v i t y . T h e t o t a l e n e r g y e i n c l u d e s i n t e r n a l e n e r g y p e r u n i t v o l u m e ( w h e r e

i s t h e i n t e r n a l e n e r g y p e r u n i t m a s s ) a n d k i n e t i c e n e r g y p e r u n i t v o l u m e u

2

= 2 .

T h e s e e q u a t i o n s m u s t b e s u p p l e m e n t e d b y r e l a t i o n s b e t w e e n a n d a n d t h e u i d

s t a t e a s w e l l a s a n e q u a t i o n o f s t a t e , s u c h a s t h e i d e a l g a s l a w . D e t a i l s c a n b e f o u n d

i n A n d e r s o n , T a n n e h i l l , a n d P l e t c h e r 1 ] a n d H i r s c h 2 ] . N o t e t h a t t h e c o n v e c t i v e

u x e s l e a d t o r s t d e r i v a t i v e s i n s p a c e , w h i l e t h e v i s c o u s a n d h e a t c o n d u c t i o n t e r m s

i n v o l v e s e c o n d d e r i v a t i v e s . T h i s f o r m o f t h e e q u a t i o n s i s c a l l e d c o n s e r v a t i o n - l a w o r

c o n s e r v a t i v e f o r m . N o n - c o n s e r v a t i v e f o r m s c a n b e o b t a i n e d b y e x p a n d i n g d e r i v a t i v e s

o f p r o d u c t s u s i n g t h e p r o d u c t r u l e o r b y i n t r o d u c i n g d i e r e n t d e p e n d e n t v a r i a b l e s ,

s u c h a s u a n d p . A l t h o u g h n o n - c o n s e r v a t i v e f o r m s o f t h e e q u a t i o n s a r e a n a l y t i c a l l y

t h e s a m e a s t h e a b o v e f o r m , t h e y c a n l e a d t o q u i t e d i e r e n t n u m e r i c a l s o l u t i o n s i n

t e r m s o f s h o c k s t r e n g t h a n d s h o c k s p e e d , f o r e x a m p l e . T h u s t h e c o n s e r v a t i v e f o r m i s

a p p r o p r i a t e f o r s o l v i n g o w s w i t h f e a t u r e s s u c h a s s h o c k w a v e s .

M a n y o w s o f e n g i n e e r i n g i n t e r e s t a r e s t e a d y ( t i m e - i n v a r i a n t ) , o r a t l e a s t m a y b e

t r e a t e d a s s u c h . F o r s u c h o w s , w e a r e o f t e n i n t e r e s t e d i n t h e s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n o f

t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s , w i t h n o i n t e r e s t i n t h e t r a n s i e n t p o r t i o n o f t h e s o l u t i o n .

T h e s t e a d y s o l u t i o n t o t h e o n e - d i m e n s i o n a l N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s m u s t s a t i s f y

@ E

@ x

= 0 ( 2 . 7 )

I f w e n e g l e c t v i s c o s i t y a n d h e a t c o n d u c t i o n , t h e E u l e r e q u a t i o n s a r e o b t a i n e d . I n

t w o - d i m e n s i o n a l C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s , t h e s e c a n b e w r i t t e n a s

@ Q

@ t

+

@ E

@ x

+

@ F

@ y

= 0 ( 2 . 8 )

w i t h

Q =

2

6

6

6

4

q

1

q

2

q

3

q

4

3

7

7

7

5

=

2

6

6

6

4

u

v

e

3

7

7

7

5

E =

2

6

6

6

4

u

u

2

+ p

u v

u ( e + p )

3

7

7

7

5

F =

2

6

6

6

4

v

u v

v

2

+ p

v ( e + p )

3

7

7

7

5

( 2 . 9 )

w h e r e u a n d v a r e t h e C a r t e s i a n v e l o c i t y c o m p o n e n t s . L a t e r o n w e w i l l m a k e u s e o f

t h e f o l l o w i n g f o r m o f t h e E u l e r e q u a t i o n s a s w e l l :

@ Q

@ t

+ A

@ Q

@ x

+ B

@ Q

@ y

= 0 ( 2 . 1 0 )

T h e m a t r i c e s A =

@ E

@ Q

a n d B =

@ F

@ Q

a r e k n o w n a s t h e u x J a c o b i a n s . T h e u x v e c t o r s

g i v e n a b o v e a r e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e p r i m i t i v e v a r i a b l e s , , u , v , a n d p . I n o r d e r



1 0 C H A P T E R 2 . C O N S E R V A T I O N L A W S A N D T H E M O D E L E Q U A T I O N S

t o d e r i v e t h e u x J a c o b i a n m a t r i c e s , w e m u s t r s t w r i t e t h e u x v e c t o r s E a n d F i n

t e r m s o f t h e c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s , q

1

, q

2

, q

3

, a n d q

4

, a s f o l l o w s :

E =

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

E

1

E

2

E

3

E

4

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

q

2

( ; 1 ) q

4

+

3 ;

2

q

2

2

q

1

;

; 1

2

q

2

3

q

1

q

3

q

2

q

1

q

4

q

2

q

1

;

; 1

2

q

3

2

q

2

1

+

q

2

3

q

2

q

2

1

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

( 2 . 1 1 )

F =

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

F

1

F

2

F

3

F

4

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

q

3

q

3

q

2

q

1

( ; 1 ) q

4

+

3 ;

2

q

2

3

q

1

;

; 1

2

q

2

2

q

1

q

4

q

3

q

1

;

; 1

2

q

2

2

q

3

q

2

1

+

q

3

3

q

2

1

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

( 2 . 1 2 )

W e h a v e a s s u m e d t h a t t h e p r e s s u r e s a t i s e s p = ( ; 1 ) e ; ( u

2

+ v

2

) = 2 ] f r o m t h e

i d e a l g a s l a w , w h e r e i s t h e r a t i o o f s p e c i c h e a t s , c

p

= c

v

. F r o m t h i s i t f o l l o w s t h a t

t h e u x J a c o b i a n o f E c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s a s

A =

@ E

i

@ q

j

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

0 1 0 0

a

2 1

( 3 ; )

q

2

q

1

( 1 ; )

q

3

q

1

; 1

;

q

2

q

1

q

3

q

1

q

3

q

1

q

2

q

1

0

a

4 1

a

4 2

a

4 3

q

2

q

1

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

( 2 . 1 3 )

w h e r e

a

2 1

=

; 1

2

q

3

q

1

!

2

;

3 ;

2

q

2

q

1

!

2



2 . 2 . T H E N A V I E R - S T O K E S A N D E U L E R E Q U A T I O N S 1 1

a

4 1

= ( ; 1 )

2

4

q

2

q

1

!

3

+

q

3

q

1

!

2

q

2

q

1

!

3

5

;

q

4

q

1

!

q

2

q

1

!

a

4 2

=

q

4

q

1

!

;

; 1

2

2

4

3

q

2

q

1

!

2

+

q

3

q

1

!

2

3

5

a

4 3

= ; ( ; 1 )

q

2

q

1

!

q

3

q

1

!

( 2 . 1 4 )

a n d i n t e r m s o f t h e p r i m i t i v e v a r i a b l e s a s

A =

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

0 1 0 0

a

2 1

( 3 ; ) u ( 1 ; ) v ( ; 1 )

; u v v u 0

a

4 1

a

4 2

a

4 3

u

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

( 2 . 1 5 )

w h e r e

a

2 1

=

; 1

2

v

2

;

3 ;

2

u

2

a

4 1

= ( ; 1 ) u ( u

2

+ v

2

) ;

u e

a

4 2

=

e

;

; 1

2

( 3 u

2

+ v

2

)

a

4 3

= ( 1 ; ) u v ( 2 . 1 6 )

D e r i v a t i o n o f t h e t w o f o r m s o f B = @ F = @ Q i s s i m i l a r . T h e e i g e n v a l u e s o f t h e u x

J a c o b i a n m a t r i c e s a r e p u r e l y r e a l . T h i s i s t h e d e n i n g f e a t u r e o f h y p e r b o l i c s y s t e m s

o f P D E ' s , w h i c h a r e f u r t h e r d i s c u s s e d i n S e c t i o n 2 . 5 . T h e h o m o g e n e o u s p r o p e r t y o f

t h e E u l e r e q u a t i o n s i s d i s c u s s e d i n A p p e n d i x C .

T h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s i n c l u d e b o t h c o n v e c t i v e a n d d i u s i v e u x e s . T h i s

m o t i v a t e s t h e c h o i c e o f o u r t w o s c a l a r m o d e l e q u a t i o n s a s s o c i a t e d w i t h t h e p h y s i c s

o f c o n v e c t i o n a n d d i u s i o n . F u r t h e r m o r e , a s p e c t s o f c o n v e c t i v e p h e n o m e n a a s s o c i -

a t e d w i t h c o u p l e d s y s t e m s o f e q u a t i o n s s u c h a s t h e E u l e r e q u a t i o n s a r e i m p o r t a n t i n

d e v e l o p i n g n u m e r i c a l m e t h o d s a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h u s w e a l s o s t u d y l i n e a r

h y p e r b o l i c s y s t e m s o f P D E ' s .




2 . 3 T h e L i n e a r C o n v e c t i o n E q u a t i o n

2 . 3 . 1 D i e r e n t i a l F o r m

T h e s i m p l e s t l i n e a r m o d e l f o r c o n v e c t i o n a n d w a v e p r o p a g a t i o n i s t h e l i n e a r c o n v e c t i o n

e q u a t i o n g i v e n b y t h e f o l l o w i n g P D E :

@ u

@ t

+ a

@ u

@ x

= 0 ( 2 . 1 7 )

H e r e u ( x t ) i s a s c a l a r q u a n t i t y p r o p a g a t i n g w i t h s p e e d a , a r e a l c o n s t a n t w h i c h m a y

b e p o s i t i v e o r n e g a t i v e . T h e m a n n e r i n w h i c h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e s p e c i e d

s e p a r a t e s t h e f o l l o w i n g t w o p h e n o m e n a f o r w h i c h t h i s e q u a t i o n i s a m o d e l :

( 1 ) I n o n e t y p e , t h e s c a l a r q u a n t i t y u i s g i v e n o n o n e b o u n d a r y , c o r r e s p o n d i n g

t o a w a v e e n t e r i n g t h e d o m a i n t h r o u g h t h i s \ i n o w " b o u n d a r y . N o b o u n d -

a r y c o n d i t i o n i s s p e c i e d a t t h e o p p o s i t e s i d e , t h e \ o u t o w " b o u n d a r y . T h i s

i s c o n s i s t e n t i n t e r m s o f t h e w e l l - p o s e d n e s s o f a 1

s t

- o r d e r P D E . H e n c e t h e

w a v e l e a v e s t h e d o m a i n t h r o u g h t h e o u t o w b o u n d a r y w i t h o u t d i s t o r t i o n o r

r e e c t i o n . T h i s t y p e o f p h e n o m e n o n i s r e f e r r e d t o , s i m p l y , a s t h e c o n v e c t i o n

p r o b l e m . I t r e p r e s e n t s m o s t o f t h e \ u s u a l " s i t u a t i o n s e n c o u n t e r e d i n c o n v e c t -

i n g s y s t e m s . N o t e t h a t t h e l e f t - h a n d b o u n d a r y i s t h e i n o w b o u n d a r y w h e n

a i s p o s i t i v e , w h i l e t h e r i g h t - h a n d b o u n d a r y i s t h e i n o w b o u n d a r y w h e n a i s

n e g a t i v e .

( 2 ) I n t h e o t h e r t y p e , t h e o w b e i n g s i m u l a t e d i s p e r i o d i c . A t a n y g i v e n t i m e ,

w h a t e n t e r s o n o n e s i d e o f t h e d o m a i n m u s t b e t h e s a m e a s t h a t w h i c h i s

l e a v i n g o n t h e o t h e r . T h i s i s r e f e r r e d t o a s t h e b i c o n v e c t i o n p r o b l e m . I t i s

t h e s i m p l e s t t o s t u d y a n d s e r v e s t o i l l u s t r a t e m a n y o f t h e b a s i c p r o p e r t i e s o f

n u m e r i c a l m e t h o d s a p p l i e d t o p r o b l e m s i n v o l v i n g c o n v e c t i o n , w i t h o u t s p e c i a l

c o n s i d e r a t i o n o f b o u n d a r i e s . H e n c e , w e p a y a g r e a t d e a l o f a t t e n t i o n t o i t i n

t h e i n i t i a l c h a p t e r s .

N o w l e t u s c o n s i d e r a s i t u a t i o n i n w h i c h t h e i n i t i a l c o n d i t i o n i s g i v e n b y u ( x 0 ) =

u

0

( x ) , a n d t h e d o m a i n i s i n n i t e . I t i s e a s y t o s h o w b y s u b s t i t u t i o n t h a t t h e e x a c t

s o l u t i o n t o t h e l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n i s t h e n

u ( x t ) = u

0

( x ; a t ) ( 2 . 1 8 )

T h e i n i t i a l w a v e f o r m p r o p a g a t e s u n a l t e r e d w i t h s p e e d j a j t o t h e r i g h t i f a i s p o s i t i v e

a n d t o t h e l e f t i f a i s n e g a t i v e . W i t h p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s , t h e w a v e f o r m

t r a v e l s t h r o u g h o n e b o u n d a r y a n d r e a p p e a r s a t t h e o t h e r b o u n d a r y , e v e n t u a l l y r e -

t u r n i n g t o i t s i n i t i a l p o s i t i o n . I n t h i s c a s e , t h e p r o c e s s c o n t i n u e s f o r e v e r w i t h o u t a n y



2 . 3 . T H E L I N E A R C O N V E C T I O N E Q U A T I O N 1 3

c h a n g e i n t h e s h a p e o f t h e s o l u t i o n . P r e s e r v i n g t h e s h a p e o f t h e i n i t i a l c o n d i t i o n

u

0

( x ) c a n b e a d i c u l t c h a l l e n g e f o r a n u m e r i c a l m e t h o d .

2 . 3 . 2 S o l u t i o n i n W a v e S p a c e

W e n o w e x a m i n e t h e b i c o n v e c t i o n p r o b l e m i n m o r e d e t a i l . L e t t h e d o m a i n b e g i v e n

b y 0 x 2 . W e r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n t o i n i t i a l c o n d i t i o n s i n t h e f o r m

u ( x 0 ) = f ( 0 ) e

i x

( 2 . 1 9 )

w h e r e f ( 0 ) i s a c o m p l e x c o n s t a n t , a n d i s t h e w a v e n u m b e r . I n o r d e r t o s a t i s f y t h e

p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s , m u s t b e a n i n t e g e r . I t i s a m e a s u r e o f t h e n u m b e r o f

w a v e l e n g t h s w i t h i n t h e d o m a i n . W i t h s u c h a n i n i t i a l c o n d i t i o n , t h e s o l u t i o n c a n b e

w r i t t e n a s

u ( x t ) = f ( t ) e

i x

( 2 . 2 0 )

w h e r e t h e t i m e d e p e n d e n c e i s c o n t a i n e d i n t h e c o m p l e x f u n c t i o n f ( t ) . S u b s t i t u t i n g

t h i s s o l u t i o n i n t o t h e l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n , E q . 2 . 1 7 , w e n d t h a t f ( t ) s a t i s e s

t h e f o l l o w i n g o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n ( O D E )

d f

d t

= ; i a f ( 2 . 2 1 )

w h i c h h a s t h e s o l u t i o n

f ( t ) = f ( 0 ) e

; i a t

( 2 . 2 2 )

S u b s t i t u t i n g f ( t ) i n t o E q . 2 . 2 0 g i v e s t h e f o l l o w i n g s o l u t i o n

u ( x t ) = f ( 0 ) e

i ( x ; a t )

= f ( 0 ) e

i ( x ; ! t )

( 2 . 2 3 )

w h e r e t h e f r e q u e n c y , ! , t h e w a v e n u m b e r , , a n d t h e p h a s e s p e e d , a , a r e r e l a t e d b y

! = a ( 2 . 2 4 )

T h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e f r e q u e n c y a n d t h e w a v e n u m b e r i s k n o w n a s t h e d i s p e r s i o n

r e l a t i o n . T h e l i n e a r r e l a t i o n g i v e n b y E q . 2 . 2 4 i s c h a r a c t e r i s t i c o f w a v e p r o p a g a t i o n

i n a n o n d i s p e r s i v e m e d i u m . T h i s m e a n s t h a t t h e p h a s e s p e e d i s t h e s a m e f o r a l l

w a v e n u m b e r s . A s w e s h a l l s e e l a t e r , m o s t n u m e r i c a l m e t h o d s i n t r o d u c e s o m e d i s p e r -

s i o n t h a t i s , i n a s i m u l a t i o n , w a v e s w i t h d i e r e n t w a v e n u m b e r s t r a v e l a t d i e r e n t

s p e e d s .

A n a r b i t r a r y i n i t i a l w a v e f o r m c a n b e p r o d u c e d b y s u m m i n g i n i t i a l c o n d i t i o n s o f

t h e f o r m o f E q . 2 . 1 9 . F o r M m o d e s , o n e o b t a i n s

u ( x 0 ) =

M

X

m = 1

f

m

( 0 ) e

i

m

x

( 2 . 2 5 )




w h e r e t h e w a v e n u m b e r s a r e o f t e n o r d e r e d s u c h t h a t

1

2

M

. S i n c e t h e

w a v e e q u a t i o n i s l i n e a r , t h e s o l u t i o n i s o b t a i n e d b y s u m m i n g s o l u t i o n s o f t h e f o r m o f

E q . 2 . 2 3 , g i v i n g

u ( x t ) =

M

X

m = 1

f

m

( 0 ) e

i

m

( x ; a t )

( 2 . 2 6 )

D i s p e r s i o n a n d d i s s i p a t i o n r e s u l t i n g f r o m a n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n w i l l c a u s e t h e

s h a p e o f t h e s o l u t i o n t o c h a n g e f r o m t h a t o f t h e o r i g i n a l w a v e f o r m .

2 . 4 T h e D i u s i o n E q u a t i o n

2 . 4 . 1 D i e r e n t i a l F o r m

D i u s i v e u x e s a r e a s s o c i a t e d w i t h m o l e c u l a r m o t i o n i n a c o n t i n u u m u i d . A s i m p l e

l i n e a r m o d e l e q u a t i o n f o r a d i u s i v e p r o c e s s i s

@ u

@ t

=

@

2

u

@ x

2

( 2 . 2 7 )

w h e r e i s a p o s i t i v e r e a l c o n s t a n t . F o r e x a m p l e , w i t h u r e p r e s e n t i n g t h e t e m p e r a -

t u r e , t h i s p a r a b o l i c P D E g o v e r n s t h e d i u s i o n o f h e a t i n o n e d i m e n s i o n . B o u n d a r y

c o n d i t i o n s c a n b e p e r i o d i c , D i r i c h l e t ( s p e c i e d u ) , N e u m a n n ( s p e c i e d @ u = @ x ) , o r

m i x e d D i r i c h l e t / N e u m a n n .

I n c o n t r a s t t o t h e l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n , t h e d i u s i o n e q u a t i o n h a s a n o n t r i v i a l

s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n , w h i c h i s o n e t h a t s a t i s e s t h e g o v e r n i n g P D E w i t h t h e p a r t i a l

d e r i v a t i v e i n t i m e e q u a l t o z e r o . I n t h e c a s e o f E q . 2 . 2 7 , t h e s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n

m u s t s a t i s f y

@

2

u

@ x

2

= 0 ( 2 . 2 8 )

T h e r e f o r e , u m u s t v a r y l i n e a r l y w i t h x a t s t e a d y s t a t e s u c h t h a t t h e b o u n d a r y c o n -

d i t i o n s a r e s a t i s e d . O t h e r s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n s a r e o b t a i n e d i f a s o u r c e t e r m g ( x )

i s a d d e d t o E q . 2 . 2 7 , a s f o l l o w s :

@ u

@ t

=

"

@

2

u

@ x

2

; g ( x )

#

( 2 . 2 9 )

g i v i n g a s t e a d y s t a t e - s o l u t i o n w h i c h s a t i s e s

@

2

u

@ x

2

; g ( x ) = 0 ( 2 . 3 0 )



2 . 4 . T H E D I F F U S I O N E Q U A T I O N 1 5

I n t w o d i m e n s i o n s , t h e d i u s i o n e q u a t i o n b e c o m e s

@ u

@ t

=

"

@

2

u

@ x

2

+

@

2

u

@ y

2

; g ( x y )

#

( 2 . 3 1 )

w h e r e g ( x y ) i s a g a i n a s o u r c e t e r m . T h e c o r r e s p o n d i n g s t e a d y e q u a t i o n i s

@

2

u

@ x

2

+

@

2

u

@ y

2

; g ( x y ) = 0 ( 2 . 3 2 )

W h i l e E q . 2 . 3 1 i s p a r a b o l i c , E q . 2 . 3 2 i s e l l i p t i c . T h e l a t t e r i s k n o w n a s t h e P o i s s o n

e q u a t i o n f o r n o n z e r o g , a n d a s L a p l a c e ' s e q u a t i o n f o r z e r o g .

2 . 4 . 2 S o l u t i o n i n W a v e S p a c e

W e n o w c o n s i d e r a s e r i e s s o l u t i o n t o E q . 2 . 2 7 . L e t t h e d o m a i n b e g i v e n b y 0 x

w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n s u ( 0 ) = u

a

, u ( ) = u

b

. I t i s c l e a r t h a t t h e s t e a d y - s t a t e

s o l u t i o n i s g i v e n b y a l i n e a r f u n c t i o n w h i c h s a t i s e s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , i . e . ,

h ( x ) = u

a

+ ( u

b

; u

a

) x = . L e t t h e i n i t i a l c o n d i t i o n b e

u ( x 0 ) =

M

X

m = 1

f

m

( 0 ) s i n

m

x + h ( x ) ( 2 . 3 3 )

w h e r e m u s t b e a n i n t e g e r i n o r d e r t o s a t i s f y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . A s o l u t i o n

o f t h e f o r m

u ( x t ) =

M

X

m = 1

f

m

( t ) s i n

m

x + h ( x ) ( 2 . 3 4 )

s a t i s e s t h e i n i t i a l a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . S u b s t i t u t i n g t h i s f o r m i n t o E q . 2 . 2 7

g i v e s t h e f o l l o w i n g O D E f o r f

m

:

d f

m

d t

= ;

2

m

f

m

( 2 . 3 5 )

a n d w e n d

f

m

( t ) = f

m

( 0 ) e

;

2

m

t

( 2 . 3 6 )

S u b s t i t u t i n g f

m

( t ) i n t o e q u a t i o n 2 . 3 4 , w e o b t a i n

u ( x t ) =

M

X

m = 1

f

m

( 0 ) e

;

2

m

t

s i n

m

x + h ( x ) ( 2 . 3 7 )

T h e s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n ( t ! 1 ) i s s i m p l y h ( x ) . E q . 2 . 3 7 s h o w s t h a t h i g h w a v e n u m -

b e r c o m p o n e n t s ( l a r g e

m

) o f t h e s o l u t i o n d e c a y m o r e r a p i d l y t h a n l o w w a v e n u m b e r

c o m p o n e n t s , c o n s i s t e n t w i t h t h e p h y s i c s o f d i u s i o n .




2 . 5 L i n e a r H y p e r b o l i c S y s t e m s

T h e E u l e r e q u a t i o n s , E q . 2 . 8 , f o r m a h y p e r b o l i c s y s t e m o f p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a -

t i o n s . O t h e r s y s t e m s o f e q u a t i o n s g o v e r n i n g c o n v e c t i o n a n d w a v e p r o p a g a t i o n p h e -

n o m e n a , s u c h a s t h e M a x w e l l e q u a t i o n s d e s c r i b i n g t h e p r o p a g a t i o n o f e l e c t r o m a g n e t i c

w a v e s , a r e a l s o o f h y p e r b o l i c t y p e . M a n y a s p e c t s o f n u m e r i c a l m e t h o d s f o r s u c h s y s -

t e m s c a n b e u n d e r s t o o d b y s t u d y i n g a o n e - d i m e n s i o n a l c o n s t a n t - c o e c i e n t l i n e a r

s y s t e m o f t h e f o r m

@ u

@ t

+ A

@ u

@ x

= 0 ( 2 . 3 8 )

w h e r e u = u ( x t ) i s a v e c t o r o f l e n g t h m a n d A i s a r e a l m m m a t r i x . F o r

c o n s e r v a t i o n l a w s , t h i s e q u a t i o n c a n a l s o b e w r i t t e n i n t h e f o r m

@ u

@ t

+

@ f

@ x

= 0 ( 2 . 3 9 )

w h e r e f i s t h e u x v e c t o r a n d A =

@ f

@ u

i s t h e u x J a c o b i a n m a t r i x . T h e e n t r i e s i n t h e

u x J a c o b i a n a r e

a

i j

=

@ f

i

@ u

j

( 2 . 4 0 )

T h e u x J a c o b i a n f o r t h e E u l e r e q u a t i o n s i s d e r i v e d i n S e c t i o n 2 . 2 .

S u c h a s y s t e m i s h y p e r b o l i c i f A i s d i a g o n a l i z a b l e w i t h r e a l e i g e n v a l u e s .

1

T h u s

= X

; 1

A X ( 2 . 4 1 )

w h e r e i s a d i a g o n a l m a t r i x c o n t a i n i n g t h e e i g e n v a l u e s o f A , a n d X i s t h e m a t r i x

o f r i g h t e i g e n v e c t o r s . P r e m u l t i p l y i n g E q . 2 . 3 8 b y X

; 1

, p o s t m u l t i p l y i n g A b y t h e

p r o d u c t X X

; 1

, a n d n o t i n g t h a t X a n d X

; 1

a r e c o n s t a n t s , w e o b t a i n

@ X

; 1

u

@ t

+

@

z } | {

X

; 1

A X X

; 1

u

@ x

= 0 ( 2 . 4 2 )

W i t h w = X

; 1

u , t h i s c a n b e r e w r i t t e n a s

@ w

@ t

+

@ w

@ x

= 0 ( 2 . 4 3 )

W h e n w r i t t e n i n t h i s m a n n e r , t h e e q u a t i o n s h a v e b e e n d e c o u p l e d i n t o m s c a l a r e q u a -

t i o n s o f t h e f o r m

@ w

i

@ t

+

i

@ w

i

@ x

= 0 ( 2 . 4 4 )

1

S e e A p p e n d i x A f o r a b r i e f r e v i e w o f s o m e b a s i c r e l a t i o n s a n d d e n i t i o n s f r o m l i n e a r a l g e b r a .



2 . 6 . P R O B L E M S 1 7

T h e e l e m e n t s o f w a r e k n o w n a s c h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e s . E a c h c h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e

s a t i s e s t h e l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n w i t h t h e s p e e d g i v e n b y t h e c o r r e s p o n d i n g

e i g e n v a l u e o f A .

B a s e d o n t h e a b o v e , w e s e e t h a t a h y p e r b o l i c s y s t e m i n t h e f o r m o f E q . 2 . 3 8 h a s a

s o l u t i o n g i v e n b y t h e s u p e r p o s i t i o n o f w a v e s w h i c h c a n t r a v e l i n e i t h e r t h e p o s i t i v e o r

n e g a t i v e d i r e c t i o n s a n d a t v a r y i n g s p e e d s . W h i l e t h e s c a l a r l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n

i s c l e a r l y a n e x c e l l e n t m o d e l e q u a t i o n f o r h y p e r b o l i c s y s t e m s , w e m u s t e n s u r e t h a t

o u r n u m e r i c a l m e t h o d s a r e a p p r o p r i a t e f o r w a v e s p e e d s o f a r b i t r a r y s i g n a n d p o s s i b l y

w i d e l y v a r y i n g m a g n i t u d e s .

T h e o n e - d i m e n s i o n a l E u l e r e q u a t i o n s c a n a l s o b e d i a g o n a l i z e d , l e a d i n g t o t h r e e

e q u a t i o n s i n t h e f o r m o f t h e l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n , a l t h o u g h t h e y r e m a i n n o n -

l i n e a r , o f c o u r s e . T h e e i g e n v a l u e s o f t h e u x J a c o b i a n m a t r i x , o r w a v e s p e e d s , a r e

u u + c , a n d u ; c , w h e r e u i s t h e l o c a l u i d v e l o c i t y , a n d c =

q

p = i s t h e l o c a l

s p e e d o f s o u n d . T h e s p e e d u i s a s s o c i a t e d w i t h c o n v e c t i o n o f t h e u i d , w h i l e u + c

a n d u ; c a r e a s s o c i a t e d w i t h s o u n d w a v e s . T h e r e f o r e , i n a s u p e r s o n i c o w , w h e r e

j u j > c , a l l o f t h e w a v e s p e e d s h a v e t h e s a m e s i g n . I n a s u b s o n i c o w , w h e r e j u j < c ,

w a v e s p e e d s o f b o t h p o s i t i v e a n d n e g a t i v e s i g n a r e p r e s e n t , c o r r e s p o n d i n g t o t h e f a c t

t h a t s o u n d w a v e s c a n t r a v e l u p s t r e a m i n a s u b s o n i c o w .

T h e s i g n s o f t h e e i g e n v a l u e s o f t h e m a t r i x A a r e a l s o i m p o r t a n t i n d e t e r m i n i n g

s u i t a b l e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e c h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e s e a c h s a t i s f y t h e l i n e a r c o n -

v e c t i o n e q u a t i o n w i t h t h e w a v e s p e e d g i v e n b y t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v a l u e . T h e r e -

f o r e , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s c a n b e s p e c i e d a c c o r d i n g l y . T h a t i s , c h a r a c t e r i s t i c

v a r i a b l e s a s s o c i a t e d w i t h p o s i t i v e e i g e n v a l u e s c a n b e s p e c i e d a t t h e l e f t b o u n d a r y ,

w h i c h c o r r e s p o n d s t o i n o w f o r t h e s e v a r i a b l e s . C h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e s a s s o c i a t e d

w i t h n e g a t i v e e i g e n v a l u e s c a n b e s p e c i e d a t t h e r i g h t b o u n d a r y , w h i c h i s t h e i n -

o w b o u n d a r y f o r t h e s e v a r i a b l e s . W h i l e o t h e r b o u n d a r y c o n d i t i o n t r e a t m e n t s a r e

p o s s i b l e , t h e y m u s t b e c o n s i s t e n t w i t h t h i s a p p r o a c h .

2 . 6 P r o b l e m s

1 . S h o w t h a t t h e 1 - D E u l e r e q u a t i o n s c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e p r i m i t i v e

v a r i a b l e s R = u p ]

T

a s f o l l o w s :

@ R

@ t

+ M

@ R

@ x

= 0

w h e r e

M =

2

6

4

u 0

0 u

; 1

0 p u

3

7

5




A s s u m e a n i d e a l g a s , p = ( ; 1 ) ( e ; u

2

= 2 ) .

2 . F i n d t h e e i g e n v a l u e s a n d e i g e n v e c t o r s o f t h e m a t r i x M d e r i v e d i n q u e s t i o n 1 .

3 . D e r i v e t h e u x J a c o b i a n m a t r i x A = @ E = @ Q f o r t h e 1 - D E u l e r e q u a t i o n s r e s u l t -

i n g f r o m t h e c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e f o r m u l a t i o n ( E q . 2 . 5 ) . F i n d i t s e i g e n v a l u e s

a n d c o m p a r e w i t h t h o s e o b t a i n e d i n q u e s t i o n 2 .

4 . S h o w t h a t t h e t w o m a t r i c e s M a n d A d e r i v e d i n q u e s t i o n s 1 a n d 3 , r e s p e c t i v e l y ,

a r e r e l a t e d b y a s i m i l a r i t y t r a n s f o r m . ( H i n t : m a k e u s e o f t h e m a t r i x S =

@ Q = @ R . )

5 . W r i t e t h e 2 - D d i u s i o n e q u a t i o n , E q . 2 . 3 1 , i n t h e f o r m o f E q . 2 . 2 .

6 . G i v e n t h e i n i t i a l c o n d i t i o n u ( x 0 ) = s i n x d e n e d o n 0 x 2 , w r i t e i t i n t h e

f o r m o f E q . 2 . 2 5 , t h a t i s , n d t h e n e c e s s a r y v a l u e s o f f

m

( 0 ) . ( H i n t : u s e M = 2

w i t h

1

= 1 a n d

2

= ; 1 . ) N e x t c o n s i d e r t h e s a m e i n i t i a l c o n d i t i o n d e n e d

o n l y a t x = 2 j = 4 , j = 0 1 2 3 . F i n d t h e v a l u e s o f f

m

( 0 ) r e q u i r e d t o r e p r o d u c e

t h e i n i t i a l c o n d i t i o n a t t h e s e d i s c r e t e p o i n t s u s i n g M = 4 w i t h

m

= m ; 1 .

7 . P l o t t h e r s t t h r e e b a s i s f u n c t i o n s u s e d i n c o n s t r u c t i n g t h e e x a c t s o l u t i o n t o

t h e d i u s i o n e q u a t i o n i n S e c t i o n 2 . 4 . 2 . N e x t c o n s i d e r a s o l u t i o n w i t h b o u n d a r y

c o n d i t i o n s u

a

= u

b

= 0 , a n d i n i t i a l c o n d i t i o n s f r o m E q . 2 . 3 3 w i t h f

m

( 0 ) = 1

f o r 1 m 3 , f

m

( 0 ) = 0 f o r m > 3 . P l o t t h e i n i t i a l c o n d i t i o n o n t h e d o m a i n

0 x . P l o t t h e s o l u t i o n a t t = 1 w i t h = 1 .

8 . W r i t e t h e c l a s s i c a l w a v e e q u a t i o n @

2

u = @ t

2

= c

2

@

2

u = @ x

2

a s a r s t - o r d e r s y s t e m ,

i . e . , i n t h e f o r m

@ U

@ t

+ A

@ U

@ x

= 0

w h e r e U = @ u = @ x @ u = @ t ]

T

. F i n d t h e e i g e n v a l u e s a n d e i g e n v e c t o r s o f A .

9 . T h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s a r e f o r m e d f r o m t h e c o u p l i n g o f t h e s t e a d y

c o m p r e s s i b l e c o n t i n u i t y ( c o n s e r v a t i o n o f m a s s ) e q u a t i o n

@ u

@ x

+

@ v

@ y

= 0

a n d t h e v o r t i c i t y d e n i t i o n

! = ;

@ v

@ x

+

@ u

@ y

= 0



2 . 6 . P R O B L E M S 1 9

w h e r e ! = 0 f o r i r r o t a t i o n a l o w . F o r i s e n t r o p i c a n d h o m e n t h a l p i c o w , t h e

s y s t e m i s c l o s e d b y t h e r e l a t i o n

=

1 ;

; 1

2

u

2

+ v

2

; 1

1

; 1

N o t e t h a t t h e v a r i a b l e s h a v e b e e n n o n d i m e n s i o n a l i z e d . C o m b i n i n g t h e t w o

P D E ' s , w e h a v e

@ f ( q )

@ x

+

@ g ( q )

@ y

= 0

w h e r e

q =

u

v

f =

; u

v

g =

; v

; u

O n e a p p r o a c h t o s o l v i n g t h e s e e q u a t i o n s i s t o a d d a t i m e - d e p e n d e n t t e r m a n d

n d t h e s t e a d y s o l u t i o n o f t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n :

@ q

@ t

+

@ f

@ x

+

@ g

@ y

= 0

( a ) F i n d t h e u x J a c o b i a n s o f f a n d g w i t h r e s p e c t t o q .

( b ) D e t e r m i n e t h e e i g e n v a l u e s o f t h e u x J a c o b i a n s .

( c ) D e t e r m i n e t h e c o n d i t i o n s ( i n t e r m s o f a n d u ) u n d e r w h i c h t h e s y s t e m i s

h y p e r b o l i c , i . e . , h a s r e a l e i g e n v a l u e s .

( d ) A r e t h e a b o v e u x e s h o m o g e n e o u s ? ( S e e A p p e n d i x C . )






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C h a p t e r 4

T H E S E M I - D I S C R E T E

A P P R O A C H

O n e s t r a t e g y f o r o b t a i n i n g n i t e - d i e r e n c e a p p r o x i m a t i o n s t o a P D E i s t o s t a r t b y

d i e r e n c i n g t h e s p a c e d e r i v a t i v e s o n l y , w i t h o u t a p p r o x i m a t i n g t h e t i m e d e r i v a t i v e .

I n t h e f o l l o w i n g c h a p t e r s , w e p r o c e e d w i t h a n a n a l y s i s m a k i n g c o n s i d e r a b l e u s e o f

t h i s c o n c e p t , w h i c h w e r e f e r t o a s t h e s e m i - d i s c r e t e a p p r o a c h . D i e r e n c i n g t h e s p a c e

d e r i v a t i v e s c o n v e r t s t h e b a s i c P D E i n t o a s e t o f c o u p l e d O D E ' s . I n t h e m o s t g e n e r a l

n o t a t i o n , t h e s e O D E ' s w o u l d b e e x p r e s s e d i n t h e f o r m

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~

F ( ~ u t ) ( 4 . 1 )

w h i c h i n c l u d e s a l l m a n n e r o f n o n l i n e a r a n d t i m e - d e p e n d e n t p o s s i b i l i t i e s . O n o c c a s i o n ,

w e u s e t h i s f o r m , b u t t h e r e s t o f t h i s c h a p t e r i s d e v o t e d t o a m o r e s p e c i a l i z e d m a t r i x

n o t a t i o n d e s c r i b e d b e l o w .

A n o t h e r s t r a t e g y f o r c o n s t r u c t i n g a n i t e - d i e r e n c e a p p r o x i m a t i o n t o a P D E i s

t o a p p r o x i m a t e a l l t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s a t o n c e . T h i s g e n e r a l l y l e a d s t o a p o i n t

d i e r e n c e o p e r a t o r ( s e e S e c t i o n 3 . 3 . 1 ) w h i c h , i n t u r n , c a n b e u s e d f o r t h e t i m e a d v a n c e

o f t h e s o l u t i o n a t a n y g i v e n p o i n t i n t h e m e s h . A s a n e x a m p l e l e t u s c o n s i d e r t h e

m o d e l e q u a t i o n f o r d i u s i o n

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2

U s i n g t h r e e - p o i n t c e n t r a l - d i e r e n c i n g s c h e m e s f o r b o t h t h e t i m e a n d s p a c e d e r i v a t i v e s ,

w e n d

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j ; 1

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( 4 . 2 )

5 1



5 2 C H A P T E R 4 . T H E S E M I - D I S C R E T E A P P R O A C H

C l e a r l y E q . 4 . 2 i s a d i e r e n c e e q u a t i o n w h i c h c a n b e u s e d a t t h e s p a c e p o i n t j t o

a d v a n c e t h e v a l u e o f u f r o m t h e p r e v i o u s t i m e l e v e l s n a n d n ; 1 t o t h e l e v e l n + 1 .

I t i s a f u l l d i s c r e t i z a t i o n o f t h e P D E . N o t e , h o w e v e r , t h a t t h e s p a t i a l a n d t e m p o r a l

d i s c r e t i z a t i o n s a r e s e p a r a b l e . T h u s , t h i s m e t h o d h a s a n i n t e r m e d i a t e s e m i - d i s c r e t e

f o r m a n d c a n b e a n a l y z e d b y t h e m e t h o d s d i s c u s s e d i n t h e n e x t f e w c h a p t e r s .

A n o t h e r p o s s i b i l i t y i s t o r e p l a c e t h e v a l u e o f u

( n )

j

i n t h e r i g h t h a n d s i d e o f E q . 4 . 2

w i t h t h e t i m e a v e r a g e o f u a t t h a t p o i n t , n a m e l y ( u

( n + 1 )

j

+ u

( n ; 1 )

j

) = 2 . T h i s r e s u l t s i n

t h e f o r m u l a

u

( n + 1 )

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j

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2 h

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j

2

1

A

+ u

( n )

j ; 1

3

5

( 4 . 3 )

w h i c h c a n b e s o l v e d f o r u

( n + 1 )

a n d t i m e a d v a n c e d a t t h e p o i n t j . I n t h i s c a s e , t h e

s p a t i a l a n d t e m p o r a l d i s c r e t i z a t i o n s a r e n o t s e p a r a b l e , a n d n o s e m i - d i s c r e t e f o r m

e x i s t s .

E q u a t i o n 4 . 2 i s s o m e t i m e s c a l l e d R i c h a r d s o n ' s m e t h o d o f o v e r l a p p i n g s t e p s a n d

E q . 4 . 3 i s r e f e r r e d t o a s t h e D u F o r t - F r a n k e l m e t h o d . A s w e s h a l l s e e l a t e r o n , t h e r e

a r e s u b t l e p o i n t s t o b e m a d e a b o u t u s i n g t h e s e m e t h o d s t o n d a n u m e r i c a l s o l u t i o n

t o t h e d i u s i o n e q u a t i o n . T h e r e a r e a n u m b e r o f i s s u e s c o n c e r n i n g t h e a c c u r a c y ,

s t a b i l i t y , a n d c o n v e r g e n c e o f E q s . 4 . 2 a n d 4 . 3 w h i c h w e c a n n o t c o m m e n t o n u n t i l w e

d e v e l o p a f r a m e w o r k f o r s u c h i n v e s t i g a t i o n s . W e i n t r o d u c e t h e s e m e t h o d s h e r e o n l y t o

d i s t i n g u i s h b e t w e e n m e t h o d s i n w h i c h t h e t e m p o r a l a n d s p a t i a l t e r m s a r e d i s c r e t i z e d

s e p a r a t e l y a n d t h o s e f o r w h i c h n o s u c h s e p a r a t i o n i s p o s s i b l e . F o r t h e t i m e b e i n g , w e

s h a l l s e p a r a t e t h e s p a c e d i e r e n c e a p p r o x i m a t i o n s f r o m t h e t i m e d i e r e n c i n g . I n t h i s

a p p r o a c h , w e r e d u c e t h e g o v e r n i n g P D E ' s t o O D E ' s b y d i s c r e t i z i n g t h e s p a t i a l t e r m s

a n d u s e t h e w e l l - d e v e l o p e d t h e o r y o f O D E s o l u t i o n s t o a i d u s i n t h e d e v e l o p m e n t o f

a n a n a l y s i s o f a c c u r a c y a n d s t a b i l i t y .

4 . 1 R e d u c t i o n o f P D E ' s t o O D E ' s

4 . 1 . 1 T h e M o d e l O D E ' s

F i r s t l e t u s c o n s i d e r t h e m o d e l P D E ' s f o r d i u s i o n a n d b i c o n v e c t i o n d e s c r i b e d i n

C h a p t e r 2 . I n t h e s e s i m p l e c a s e s , w e c a n a p p r o x i m a t e t h e s p a c e d e r i v a t i v e s w i t h

d i e r e n c e o p e r a t o r s a n d e x p r e s s t h e r e s u l t i n g O D E ' s w i t h a m a t r i x f o r m u l a t i o n . T h i s

i s a s i m p l e a n d n a t u r a l f o r m u l a t i o n w h e n t h e O D E ' s a r e l i n e a r .



4 . 1 . R E D U C T I O N O F P D E ' S T O O D E ' S 5 3

M o d e l O D E f o r D i u s i o n

F o r e x a m p l e , u s i n g t h e 3 - p o i n t c e n t r a l - d i e r e n c i n g s c h e m e t o r e p r e s e n t t h e s e c o n d

d e r i v a t i v e i n t h e s c a l a r P D E g o v e r n i n g d i u s i o n l e a d s t o t h e f o l l o w i n g O D E d i u s i o n

m o d e l

d

~

u

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=

x

2

B ( 1 ; 2 1 )

~

u +

~

( b c ) ( 4 . 4 )

w i t h D i r i c h l e t b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o l d e d i n t o t h e

~

( b c ) v e c t o r .

M o d e l O D E f o r B i c o n v e c t i o n

T h e t e r m b i c o n v e c t i o n w a s i n t r o d u c e d i n S e c t i o n 2 . 3 . I t i s u s e d f o r t h e s c a l a r c o n -

v e c t i o n m o d e l w h e n t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e p e r i o d i c . I n t h i s c a s e , t h e 3 - p o i n t

c e n t r a l - d i e r e n c i n g a p p r o x i m a t i o n p r o d u c e s t h e O D E m o d e l g i v e n b y

d

~

u

d t

= ;

a

2 x

B

p

( ; 1 0 1 )

~

u ( 4 . 5 )

w h e r e t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n v e c t o r i s a b s e n t b e c a u s e t h e o w i s p e r i o d i c .

E q s . 4 . 4 a n d 4 . 5 a r e t h e m o d e l O D E ' s f o r d i u s i o n a n d b i c o n v e c t i o n o f a s c a l a r i n

o n e d i m e n s i o n . T h e y a r e l i n e a r w i t h c o e c i e n t m a t r i c e s w h i c h a r e i n d e p e n d e n t o f x

a n d t .

4 . 1 . 2 T h e G e n e r i c M a t r i x F o r m

T h e g e n e r i c m a t r i x f o r m o f a s e m i - d i s c r e t e a p p r o x i m a t i o n i s e x p r e s s e d b y t h e e q u a t i o n

d

~

u

d t

= A

~

u ;

~

f ( t ) ( 4 . 6 )

N o t e t h a t t h e e l e m e n t s i n t h e m a t r i x A d e p e n d u p o n b o t h t h e P D E a n d t h e t y p e o f

d i e r e n c i n g s c h e m e c h o s e n f o r t h e s p a c e t e r m s . T h e v e c t o r

~

f ( t ) i s u s u a l l y d e t e r m i n e d

b y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d p o s s i b l y s o u r c e t e r m s . I n g e n e r a l , e v e n t h e E u l e r

a n d N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s c a n b e e x p r e s s e d i n t h e f o r m o f E q . 4 . 6 . I n s u c h c a s e s

t h e e q u a t i o n s a r e n o n l i n e a r , t h a t i s , t h e e l e m e n t s o f A d e p e n d o n t h e s o l u t i o n ~u a n d

a r e u s u a l l y d e r i v e d b y n d i n g t h e J a c o b i a n o f a u x v e c t o r . A l t h o u g h t h e e q u a t i o n s

a r e n o n l i n e a r , t h e l i n e a r a n a l y s i s p r e s e n t e d i n t h i s b o o k l e a d s t o d i a g n o s t i c s t h a t a r e

s u r p r i s i n g l y a c c u r a t e w h e n u s e d t o e v a l u a t e m a n y a s p e c t s o f n u m e r i c a l m e t h o d s a s

t h e y a p p l y t o t h e E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s .




4 . 2 E x a c t S o l u t i o n s o f L i n e a r O D E ' s

I n o r d e r t o a d v a n c e E q . 4 . 1 i n t i m e , t h e s y s t e m o f O D E ' s m u s t b e i n t e g r a t e d u s i n g a

t i m e - m a r c h i n g m e t h o d . I n o r d e r t o a n a l y z e t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s , w e w i l l m a k e u s e

o f e x a c t s o l u t i o n s o f c o u p l e d s y s t e m s o f O D E ' s , w h i c h e x i s t u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s .

T h e O D E ' s r e p r e s e n t e d b y E q . 4 . 1 a r e s a i d t o b e l i n e a r i f F i s l i n e a r l y d e p e n d e n t o n

u ( i . e . , i f @ F = @ u = A w h e r e A i s i n d e p e n d e n t o f u ) . A s w e h a v e a l r e a d y p o i n t e d o u t ,

w h e n t h e O D E ' s a r e l i n e a r t h e y c a n b e e x p r e s s e d i n a m a t r i x n o t a t i o n a s E q . 4 . 6 i n

w h i c h t h e c o e c i e n t m a t r i x , A , i s i n d e p e n d e n t o f u . I f A d o e s d e p e n d e x p l i c i t l y o n

t , t h e g e n e r a l s o l u t i o n c a n n o t b e w r i t t e n w h e r e a s , i f A d o e s n o t d e p e n d e x p l i c i t l y o n

t , t h e g e n e r a l s o l u t i o n t o E q . 4 . 6 c a n b e w r i t t e n . T h i s h o l d s r e g a r d l e s s o f w h e t h e r o r

n o t t h e f o r c i n g f u n c t i o n ,

~

f , d e p e n d s e x p l i c i t l y o n t .

A s w e s h a l l s o o n s e e , t h e e x a c t s o l u t i o n o f E q . 4 . 6 c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f

t h e e i g e n v a l u e s a n d e i g e n v e c t o r s o f A . T h i s w i l l l e a d u s t o a r e p r e s e n t a t i v e s c a l a r

e q u a t i o n f o r u s e i n a n a l y z i n g t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s . T h e s e i d e a s a r e d e v e l o p e d i n

t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s .

4 . 2 . 1 E i g e n s y s t e m s o f S e m i - D i s c r e t e L i n e a r F o r m s

C o m p l e t e S y s t e m s

A n M M m a t r i x i s r e p r e s e n t e d b y a c o m p l e t e e i g e n s y s t e m i f i t h a s a c o m p l e t e s e t

o f l i n e a r l y i n d e p e n d e n t e i g e n v e c t o r s ( s e e A p p e n d i x A ) . A n e i g e n v e c t o r ,

~

x

m

, a n d i t s

c o r r e s p o n d i n g e i g e n v a l u e ,

m

, h a v e t h e p r o p e r t y t h a t

A

~

x

m

=

m

~

x

m

o r

A ;

m

I ]

~

x

m

= 0 ( 4 . 7 )

T h e e i g e n v a l u e s a r e t h e r o o t s o f t h e e q u a t i o n

d e t A ; I ] = 0

W e f o r m t h e r i g h t - h a n d e i g e n v e c t o r m a t r i x o f a c o m p l e t e s y s t e m b y l l i n g i t s c o l u m n s

w i t h t h e e i g e n v e c t o r s

~

x

m

:

X =

h

~

x

1

~

x

2

: : :

~

x

M

i

T h e i n v e r s e i s t h e l e f t - h a n d e i g e n v e c t o r m a t r i x , a n d t o g e t h e r t h e y h a v e t h e p r o p e r t y

t h a t

X

; 1

A X = ( 4 . 8 )

w h e r e i s a d i a g o n a l m a t r i x w h o s e e l e m e n t s a r e t h e e i g e n v a l u e s o f A .



4 . 2 . E X A C T S O L U T I O N S O F L I N E A R O D E ' S 5 5

D e f e c t i v e S y s t e m s

I f a n M M m a t r i x d o e s n o t h a v e a c o m p l e t e s e t o f l i n e a r l y i n d e p e n d e n t e i g e n v e c t o r s ,

i t c a n n o t b e t r a n s f o r m e d t o a d i a g o n a l m a t r i x o f s c a l a r s , a n d i t i s s a i d t o b e d e f e c t i v e .

I t c a n , h o w e v e r , b e t r a n s f o r m e d t o a d i a g o n a l s e t o f b l o c k s , s o m e o f w h i c h m a y b e

s c a l a r s ( s e e A p p e n d i x A ) . I n g e n e r a l , t h e r e e x i s t s s o m e S w h i c h t r a n s f o r m s a n y

m a t r i x A s u c h t h a t

S

; 1

A S = J

w h e r e

J =

2

6

6

6

6

6

6

4

J

1

J

2

.

.

.

J

m

.

.

.

3

7

7

7

7

7

7

5

a n d

J

( n )

m

=

2

6

6

6

6

4

m

1

m

.

.

.

.

.

.

1

m

3

7

7

7

7

5

1

.

.

.

.

.

.

n

T h e m a t r i x J i s s a i d t o b e i n J o r d a n c a n o n i c a l f o r m , a n d a n e i g e n v a l u e w i t h m u l t i -

p l i c i t y n w i t h i n a J o r d a n b l o c k i s s a i d t o b e a d e f e c t i v e e i g e n v a l u e . D e f e c t i v e s y s t e m s

p l a y a r o l e i n n u m e r i c a l s t a b i l i t y a n a l y s i s .

4 . 2 . 2 S i n g l e O D E ' s o f F i r s t - a n d S e c o n d - O r d e r

F i r s t - O r d e r E q u a t i o n s

T h e s i m p l e s t n o n h o m o g e n e o u s O D E o f i n t e r e s t i s g i v e n b y t h e s i n g l e , r s t - o r d e r

e q u a t i o n

d u

d t

= u + a e

t

( 4 . 9 )

w h e r e , a , a n d a r e s c a l a r s , a l l o f w h i c h c a n b e c o m p l e x n u m b e r s . T h e e q u a t i o n

i s l i n e a r b e c a u s e d o e s n o t d e p e n d o n u , a n d h a s a g e n e r a l s o l u t i o n b e c a u s e d o e s

n o t d e p e n d o n t . I t h a s a s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n i f t h e r i g h t - h a n d s i d e i s i n d e p e n d e n t

o f t , i . e . , i f = 0 , a n d i s h o m o g e n e o u s i f t h e f o r c i n g f u n c t i o n i s z e r o , i . e . , i f a = 0 .

A l t h o u g h i t i s q u i t e s i m p l e , t h e n u m e r i c a l a n a l y s i s o f E q . 4 . 9 d i s p l a y s m a n y o f t h e

f u n d a m e n t a l p r o p e r t i e s a n d i s s u e s i n v o l v e d i n t h e c o n s t r u c t i o n a n d s t u d y o f m o s t

p o p u l a r t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s . T h i s t h e m e w i l l b e d e v e l o p e d a s w e p r o c e e d .




T h e e x a c t s o l u t i o n o f E q . 4 . 9 i s , f o r 6= ,

u ( t ) = c

1

e

t

+

a e

t

;

w h e r e c

1

i s a c o n s t a n t d e t e r m i n e d b y t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s . I n t e r m s o f t h e i n i t i a l

v a l u e o f u , i t c a n b e w r i t t e n

u ( t ) = u ( 0 ) e

t

+ a

e

t

; e

t

;

T h e i n t e r e s t i n g q u e s t i o n c a n a r i s e : W h a t h a p p e n s t o t h e s o l u t i o n o f E q . 4 . 9 w h e n

= ? T h i s i s e a s i l y f o u n d b y s e t t i n g = + , s o l v i n g , a n d t h e n t a k i n g t h e l i m i t

a s ! 0 . U s i n g t h i s l i m i t i n g d e v i c e , w e n d t h a t t h e s o l u t i o n t o

d u

d t

= u + a e

t

( 4 . 1 0 )

i s g i v e n b y

u ( t ) = u ( 0 ) + a t ] e

t

A s w e s h a l l s o o n s e e , t h i s s o l u t i o n i s r e q u i r e d f o r t h e a n a l y s i s o f d e f e c t i v e s y s t e m s .

S e c o n d - O r d e r E q u a t i o n s

T h e h o m o g e n e o u s f o r m o f a s e c o n d - o r d e r e q u a t i o n i s g i v e n b y

d

2

u

d t

2

+ a

1

d u

d t

+ a

0

u = 0 ( 4 . 1 1 )

w h e r e a

1

a n d a

0

a r e c o m p l e x c o n s t a n t s . N o w w e i n t r o d u c e t h e d i e r e n t i a l o p e r a t o r

D s u c h t h a t

D

d

d t

a n d f a c t o r u ( t ) o u t o f E q . 4 . 1 1 , g i v i n g

( D

2

+ a

1

D + a

0

) u ( t ) = 0

T h e p o l y n o m i a l i n D i s r e f e r r e d t o a s a c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l a n d d e s i g n a t e d

P ( D ) . C h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l s a r e f u n d a m e n t a l t o t h e a n a l y s i s o f b o t h O D E ' s a n d

O E ' s , s i n c e t h e r o o t s o f t h e s e p o l y n o m i a l s d e t e r m i n e t h e s o l u t i o n s o f t h e e q u a t i o n s .

F o r O D E ' s , w e o f t e n l a b e l t h e s e r o o t s i n o r d e r o f i n c r e a s i n g m o d u l u s a s

1

,

2

, ,

m

,




,

M

. T h e y a r e f o u n d b y s o l v i n g t h e e q u a t i o n P ( ) = 0 . I n o u r s i m p l e e x a m p l e ,

t h e r e w o u l d b e t w o r o o t s ,

1

a n d

2

, d e t e r m i n e d f r o m

P ( ) =

2

+ a

1

+ a

0

= 0 ( 4 . 1 2 )

a n d t h e s o l u t i o n t o E q . 4 . 1 1 i s g i v e n b y

u ( t ) = c

1

e

1

t

+ c

2

e

2

t

( 4 . 1 3 )

w h e r e c

1

a n d c

2

a r e c o n s t a n t s d e t e r m i n e d f r o m i n i t i a l c o n d i t i o n s . T h e p r o o f o f t h i s

i s s i m p l e a n d i s f o u n d b y s u b s t i t u t i n g E q . 4 . 1 3 i n t o E q . 4 . 1 1 . O n e n d s t h e r e s u l t

c

1

e

1

t

(

2

1

+ a

1

1

+ a

0

) + c

2

e

2

t

(

2

2

+ a

1

2

+ a

0

)

w h i c h i s i d e n t i c a l l y z e r o f o r a l l c

1

, c

2

, a n d t i f a n d o n l y i f t h e ' s s a t i s f y E q . 4 . 1 2 .

4 . 2 . 3 C o u p l e d F i r s t - O r d e r O D E ' s

A C o m p l e t e S y s t e m

A s e t o f c o u p l e d , r s t - o r d e r , h o m o g e n e o u s e q u a t i o n s i s g i v e n b y

u

0

1

= a

1 1

u

1

+ a

1 2

u

2

u

0

2

= a

2 1

u

1

+ a

2 2

u

2

( 4 . 1 4 )

w h i c h c a n b e w r i t t e n

~

u

0

= A

~

u

~

u = u

1

u

2

]

T

A = ( a

i j

) =

"

a

1 1

a

1 2

a

2 1

a

2 2

#

C o n s i d e r t h e p o s s i b i l i t y t h a t a s o l u t i o n i s r e p r e s e n t e d b y

u

1

= c

1

x

1 1

e

1

t

+ c

2

x

1 2

e

2

t

u

2

= c

1

x

2 1

e

1

t

+ c

2

x

2 2

e

2

t

( 4 . 1 5 )

B y s u b s t i t u t i o n , t h e s e a r e i n d e e d s o l u t i o n s t o E q . 4 . 1 4 i f a n d o n l y i f

"

a

1 1

a

1 2

a

2 1

a

2 2

# "

x

1 1

x

2 1

#

=

1

"

x

1 1

x

2 1

#

"

a

1 1

a

1 2

a

2 1

a

2 2

# "

x

1 2

x

2 2

#

=

2

"

x

1 2

x

2 2

#

( 4 . 1 6 )

N o t i c e t h a t a h i g h e r - o r d e r e q u a t i o n c a n b e r e d u c e d t o a c o u p l e d s e t o f r s t - o r d e r

e q u a t i o n s b y i n t r o d u c i n g a n e w s e t o f d e p e n d e n t v a r i a b l e s . T h u s , b y s e t t i n g

u

1

= u

0

u

2

= u

w e n d E q . 4 . 1 1 c a n b e w r i t t e n

u

0

1

= ; a

1

u

1

; a

0

u

2

u

0

2

= u

1

( 4 . 1 7 )

w h i c h i s a s u b s e t o f E q . 4 . 1 4 .




A D e r o g a t o r y S y s t e m

E q . 4 . 1 5 i s s t i l l a s o l u t i o n t o E q . 4 . 1 4 i f

1

=

2

= , p r o v i d e d t w o l i n e a r l y i n d e p e n d e n t

v e c t o r s e x i s t t o s a t i s f y E q . 4 . 1 6 w i t h A = . I n t h i s c a s e

0

0

1

0

=

1

0

a n d

0

0

0

1

=

0

1

p r o v i d e s u c h a s o l u t i o n . T h i s i s t h e c a s e w h e r e A h a s a c o m p l e t e s e t o f e i g e n v e c t o r s

a n d i s n o t d e f e c t i v e .

A D e f e c t i v e S y s t e m

I f A i s d e f e c t i v e , t h e n i t c a n b e r e p r e s e n t e d b y t h e J o r d a n c a n o n i c a l f o r m

"

u

0

1

u

0

2

#

=

"

0

1

# "

u

1

u

2

#

( 4 . 1 8 )

w h o s e s o l u t i o n i s n o t o b v i o u s . H o w e v e r , i n t h i s c a s e , o n e c a n s o l v e t h e t o p e q u a t i o n

r s t , g i v i n g u

1

( t ) = u

1

( 0 ) e

t

. T h e n , s u b s t i t u t i n g t h i s r e s u l t i n t o t h e s e c o n d e q u a t i o n ,

o n e n d s

d u

2

d t

= u

2

+ u

1

( 0 ) e

t

w h i c h i s i d e n t i c a l i n f o r m t o E q . 4 . 1 0 a n d h a s t h e s o l u t i o n

u

2

( t ) = u

2

( 0 ) + u

1

( 0 ) t ] e

t

F r o m t h i s t h e r e a d e r s h o u l d b e a b l e t o v e r i f y t h a t

u

3

( t ) =

a + b t + c t

2

e

t

i s a s o l u t i o n t o

2

6

4

u

0

1

u

0

2

u

0

3

3

7

5

=

2

6

4

1

1

3

7

5

2

6

4

u

1

u

2

u

3

3

7

5

i f

a = u

3

( 0 ) b = u

2

( 0 ) c =

1

2

u

1

( 0 ) ( 4 . 1 9 )

T h e g e n e r a l s o l u t i o n t o s u c h d e f e c t i v e s y s t e m s i s l e f t a s a n e x e r c i s e .




4 . 2 . 4 G e n e r a l S o l u t i o n o f C o u p l e d O D E ' s w i t h C o m p l e t e E i g e n -

s y s t e m s

L e t u s c o n s i d e r a s e t o f c o u p l e d , n o n h o m o g e n e o u s , l i n e a r , r s t - o r d e r O D E ' s w i t h

c o n s t a n t c o e c i e n t s w h i c h m i g h t h a v e b e e n d e r i v e d b y s p a c e d i e r e n c i n g a s e t o f

P D E ' s . R e p r e s e n t t h e m b y t h e e q u a t i o n

d

~

u

d t

= A

~

u ;

~

f ( t ) ( 4 . 2 0 )

O u r a s s u m p t i o n i s t h a t t h e M M m a t r i x A h a s a c o m p l e t e e i g e n s y s t e m

1

a n d c a n

b e t r a n s f o r m e d b y t h e l e f t a n d r i g h t e i g e n v e c t o r m a t r i c e s , X

; 1

a n d X , t o a d i a g o n a l

m a t r i x h a v i n g d i a g o n a l e l e m e n t s w h i c h a r e t h e e i g e n v a l u e s o f A , s e e S e c t i o n 4 . 2 . 1 .

N o w l e t u s m u l t i p l y E q . 4 . 2 0 f r o m t h e l e f t b y X

; 1

a n d i n s e r t t h e i d e n t i t y c o m b i n a t i o n

X X

; 1

= I b e t w e e n A a n d

~

u . T h e r e r e s u l t s

X

; 1

d

~

u

d t

= X

; 1

A X X

; 1

~

u ; X

; 1

~

f ( t ) ( 4 . 2 1 )

S i n c e A i s i n d e p e n d e n t o f b o t h ~u a n d t , t h e e l e m e n t s i n X

; 1

a n d X a r e a l s o i n d e p e n -

d e n t o f b o t h ~u a n d t , a n d E q . 4 . 2 1 c a n b e m o d i e d t o

d

d t

X

; 1

~

u = X

; 1

~

u ; X

; 1

~

f ( t )

F i n a l l y , b y i n t r o d u c i n g t h e n e w v a r i a b l e s

~

w a n d

~

g s u c h t h a t

~

w = X

; 1

~

u

~

g ( t ) = X

; 1

~

f ( t ) ( 4 . 2 2 )

w e r e d u c e E q . 4 . 2 0 t o a n e w a l g e b r a i c f o r m

d

~

w

d t

=

~

w ;

~

g ( t ) ( 4 . 2 3 )

I t i s i m p o r t a n t a t t h i s p o i n t t o r e v i e w t h e r e s u l t s o f t h e p r e v i o u s p a r a g r a p h . N o t i c e

t h a t E q s . 4 . 2 0 a n d 4 . 2 3 a r e e x p r e s s i n g e x a c t l y t h e s a m e e q u a l i t y . T h e o n l y d i e r e n c e

b e t w e e n t h e m w a s b r o u g h t a b o u t b y a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n s w h i c h r e g r o u p e d t h e

v a r i a b l e s . H o w e v e r , t h i s r e g r o u p i n g i s c r u c i a l f o r t h e s o l u t i o n p r o c e s s b e c a u s e E q s .

1

I n t h e f o l l o w i n g , w e e x c l u d e d e f e c t i v e s y s t e m s , n o t b e c a u s e t h e y c a n n o t b e a n a l y z e d ( t h e e x a m p l e

a t t h e c o n c l u s i o n o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n p r o v e s o t h e r w i s e ) , b u t b e c a u s e t h e y a r e o n l y o f l i m i t e d

i n t e r e s t i n t h e g e n e r a l d e v e l o p m e n t o f o u r t h e o r y .




4 . 2 3 a r e n o l o n g e r c o u p l e d . T h e y c a n b e w r i t t e n l i n e b y l i n e a s a s e t o f i n d e p e n d e n t ,

s i n g l e , r s t - o r d e r e q u a t i o n s , t h u s

w

0

1

=

1

w

1

; g

1

( t )

.

.

.

w

0

m

=

m

w

m

; g

m

( t )

.

.

.

w

0

M

=

M

w

M

; g

M

( t ) ( 4 . 2 4 )

F o r a n y g i v e n s e t o f g

m

( t ) e a c h o f t h e s e e q u a t i o n s c a n b e s o l v e d s e p a r a t e l y a n d t h e n

r e c o u p l e d , u s i n g t h e i n v e r s e o f t h e r e l a t i o n s g i v e n i n E q s . 4 . 2 2 :

~

u ( t ) = X

~

w ( t )

=

M

X

m = 1

w

m

( t )

~

x

m

( 4 . 2 5 )

w h e r e ~x

m

i s t h e m ' t h c o l u m n o f X , i . e . , t h e e i g e n v e c t o r c o r r e s p o n d i n g t o

m

.

W e n e x t f o c u s o n t h e v e r y i m p o r t a n t s u b s e t o f E q . 4 . 2 0 w h e n n e i t h e r A n o r

~

f h a s

a n y e x p l i c i t d e p e n d e n c e o n t . I n s u c h a c a s e , t h e g

m

i n E q s . 4 . 2 3 a n d 4 . 2 4 a r e a l s o

t i m e i n v a r i a n t a n d t h e s o l u t i o n t o a n y l i n e i n E q . 4 . 2 4 i s

w

m

( t ) = c

m

e

m

t

+

1

m

g

m

w h e r e t h e c

m

a r e c o n s t a n t s t h a t d e p e n d o n t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s . T r a n s f o r m i n g b a c k

t o t h e u - s y s t e m g i v e s

~

u ( t ) = X

~

w ( t )

=

M

X

m = 1

w

m

( t )

~

x

m

=

M

X

m = 1

c

m

e

m

t

~

x

m

+

M

X

m = 1

1

m

g

m

~

x

m

=

M

X

m = 1

c

m

e

m

t

~

x

m

+ X

; 1

X

; 1

~

f

=

M

X

m = 1

c

m

e

m

t

~

x

m

+ A

; 1

~

f

| { z }

T r a n s i e n t

| { z }

S t e a d y - s t a t e

( 4 . 2 6 )



4 . 3 . R E A L S P A C E A N D E I G E N S P A C E 6 1

N o t e t h a t t h e s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n i s A

; 1

~

f , a s m i g h t b e e x p e c t e d .

T h e r s t g r o u p o f t e r m s o n t h e r i g h t s i d e o f t h i s e q u a t i o n i s r e f e r r e d t o c l a s s i c a l l y

a s t h e c o m p l e m e n t a r y s o l u t i o n o r t h e s o l u t i o n o f t h e h o m o g e n e o u s e q u a t i o n s . T h e

s e c o n d g r o u p i s r e f e r r e d t o c l a s s i c a l l y a s t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n o r t h e p a r t i c u l a r

i n t e g r a l . I n o u r a p p l i c a t i o n t o u i d d y n a m i c s , i t i s m o r e i n s t r u c t i v e t o r e f e r t o t h e s e

g r o u p s a s t h e t r a n s i e n t a n d s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n s , r e s p e c t i v e l y . A n a l t e r n a t i v e , b u t

e n t i r e l y e q u i v a l e n t , f o r m o f t h e s o l u t i o n i s

~

u ( t ) = c

1

e

1

t

~

x

1

+ + c

m

e

m

t

~

x

m

+ + c

M

e

M

t

~

x

M

+ A

; 1

~

f ( 4 . 2 7 )

4 . 3 R e a l S p a c e a n d E i g e n s p a c e

4 . 3 . 1 D e n i t i o n

F o l l o w i n g t h e s e m i - d i s c r e t e a p p r o a c h d i s c u s s e d i n S e c t i o n 4 . 1 , w e r e d u c e t h e p a r t i a l

d i e r e n t i a l e q u a t i o n s t o a s e t o f o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s r e p r e s e n t e d b y t h e

g e n e r i c f o r m

d

~

u

d t

= A

~

u ;

~

f ( 4 . 2 8 )

T h e d e p e n d e n t v a r i a b l e ~u r e p r e s e n t s s o m e p h y s i c a l q u a n t i t y o r q u a n t i t i e s w h i c h r e l a t e

t o t h e p r o b l e m o f i n t e r e s t . F o r t h e m o d e l p r o b l e m s o n w h i c h w e a r e f o c u s i n g m o s t

o f o u r a t t e n t i o n , t h e e l e m e n t s o f A a r e i n d e p e n d e n t o f b o t h u a n d t . T h i s p e r m i t s

u s t o s a y a g r e a t d e a l a b o u t s u c h p r o b l e m s a n d s e r v e s a s t h e b a s i s f o r t h i s s e c t i o n .

I n p a r t i c u l a r , w e c a n d e v e l o p s o m e v e r y i m p o r t a n t a n d f u n d a m e n t a l c o n c e p t s t h a t

u n d e r l y t h e g l o b a l p r o p e r t i e s o f t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s t o t h e m o d e l p r o b l e m s . H o w

t h e s e r e l a t e t o t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s o f m o r e p r a c t i c a l p r o b l e m s d e p e n d s u p o n t h e

p r o b l e m a n d , t o a m u c h g r e a t e r e x t e n t , o n t h e c l e v e r n e s s o f t h e r e l a t o r .

W e b e g i n b y d e v e l o p i n g t h e c o n c e p t o f \ s p a c e s " . T h a t i s , w e i d e n t i f y d i e r e n t

m a t h e m a t i c a l r e f e r e n c e f r a m e s ( s p a c e s ) a n d v i e w o u r s o l u t i o n s f r o m w i t h i n e a c h .

I n t h i s w a y , w e g e t d i e r e n t p e r s p e c t i v e s o f t h e s a m e s o l u t i o n , a n d t h i s c a n a d d

s i g n i c a n t l y t o o u r u n d e r s t a n d i n g .

T h e m o s t n a t u r a l r e f e r e n c e f r a m e i s t h e p h y s i c a l o n e . W e s a y

I f a s o l u t i o n i s e x p r e s s e d i n t e r m s o f

~

u , i t i s s a i d

t o b e i n r e a l s p a c e .

T h e r e i s , h o w e v e r , a n o t h e r v e r y u s e f u l f r a m e . W e s a w i n S e c t i o n s 4 . 2 . 1 a n d 4 . 2 t h a t

p r e - a n d p o s t - m u l t i p l i c a t i o n o f A b y t h e a p p r o p r i a t e s i m i l a r i t y m a t r i c e s t r a n s f o r m s A

i n t o a d i a g o n a l m a t r i x , c o m p o s e d , i n t h e m o s t g e n e r a l c a s e , o f J o r d a n b l o c k s o r , i n t h e






t r i d i a g o n a l s , B ( M : a b c ) a n d B

p

( M : a b c ) , a r e g i v e n i n A p p e n d i x B . F r o m S e c t i o n

B . 1 , w e n d f o r t h e m o d e l d i u s i o n e q u a t i o n w i t h D i r i c h l e t b o u n d a r y c o n d i t i o n s

m

=

x

2

; 2 + 2 c o s

m

M + 1

=

; 4

x

2

s i n

2

m

2 ( M + 1 )

!

m = 1 2 M ( 4 . 2 9 )

a n d , f r o m S e c t i o n B . 4 , f o r t h e m o d e l b i c o n v e c t i o n e q u a t i o n

m

=

; i a

x

s i n

2 m

M

m = 0 1 M ; 1

= ; i

m

a m = 0 1 M ; 1 ( 4 . 3 0 )

w h e r e

m

=

s i n

m

x

x

m = 0 1 M ; 1 ( 4 . 3 1 )

i s t h e m o d i e d w a v e n u m b e r f r o m S e c t i o n 3 . 5 ,

m

= m , a n d x = 2 = M . N o t i c e

t h a t t h e d i u s i o n e i g e n v a l u e s a r e r e a l a n d n e g a t i v e w h i l e t h o s e r e p r e s e n t i n g p e r i o d i c

c o n v e c t i o n a r e a l l p u r e i m a g i n a r y . T h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h i s r e s u l t p l a y s a v e r y

i m p o r t a n t r o l e l a t e r i n o u r s t a b i l i t y a n a l y s i s .

4 . 3 . 3 E i g e n v e c t o r s o f t h e M o d e l E q u a t i o n s

N e x t w e c o n s i d e r t h e e i g e n v e c t o r s o f t h e t w o m o d e l e q u a t i o n s . T h e s e f o l l o w a s s p e c i a l

c a s e s f r o m t h e r e s u l t s g i v e n i n A p p e n d i x B .

T h e D i u s i o n M o d e l

C o n s i d e r E q . 4 . 4 , t h e m o d e l O D E ' s f o r d i u s i o n . F i r s t , t o h e l p v i s u a l i z e t h e m a t r i x

s t r u c t u r e , w e p r e s e n t r e s u l t s f o r a s i m p l e 4 - p o i n t m e s h a n d t h e n w e g i v e t h e g e n e r a l

c a s e . T h e r i g h t - h a n d e i g e n v e c t o r m a t r i x X i s g i v e n b y

2

6

6

6

4

s i n ( x

1

) s i n ( 2 x

1

) s i n ( 3 x

1

) s i n ( 4 x

1

)

s i n ( x

2

) s i n ( 2 x

2

) s i n ( 3 x

2

) s i n ( 4 x

2

)

s i n ( x

3

) s i n ( 2 x

3

) s i n ( 3 x

3

) s i n ( 4 x

3

)

s i n ( x

4

) s i n ( 2 x

4

) s i n ( 3 x

4

) s i n ( 4 x

4

)

3

7

7

7

5

T h e c o l u m n s o f t h e m a t r i x a r e p r o p o r t i o n a l t o t h e e i g e n v e c t o r s . R e c a l l t h a t x

j

=

j x = j = ( M + 1 ) , s o i n g e n e r a l t h e r e l a t i o n ~u = X ~ w c a n b e w r i t t e n a s

u

j

=

M

X

m = 1

w

m

s i n m x

j

j = 1 2 M ( 4 . 3 2 )




F o r t h e i n v e r s e , o r l e f t - h a n d e i g e n v e c t o r m a t r i x X

; 1

, w e n d

2

6

6

6

4

s i n ( x

1

) s i n ( x

2

) s i n ( x

3

) s i n ( x

4

)

s i n ( 2 x

1

) s i n ( 2 x

2

) s i n ( 2 x

3

) s i n ( 2 x

4

)

s i n ( 3 x

1

) s i n ( 3 x

2

) s i n ( 3 x

3

) s i n ( 3 x

4

)

s i n ( 4 x

1

) s i n ( 4 x

2

) s i n ( 4 x

3

) s i n ( 4 x

4

)

3

7

7

7

5

T h e r o w s o f t h e m a t r i x a r e p r o p o r t i o n a l t o t h e e i g e n v e c t o r s . I n g e n e r a l ~ w = X

; 1

~u

g i v e s

w

m

=

M

X

j = 1

u

j

s i n m x

j

m = 1 2 M ( 4 . 3 3 )

I n t h e e l d o f h a r m o n i c a n a l y s i s , E q . 4 . 3 3 r e p r e s e n t s a s i n e t r a n s f o r m o f t h e f u n c -

t i o n u ( x ) f o r a n M - p o i n t s a m p l e b e t w e e n t h e b o u n d a r i e s x = 0 a n d x = w i t h t h e

c o n d i t i o n u ( 0 ) = u ( ) = 0 . S i m i l a r l y , E q . 4 . 3 2 r e p r e s e n t s t h e s i n e s y n t h e s i s t h a t

c o m p a n i o n s t h e s i n e t r a n s f o r m g i v e n b y E q . 4 . 3 3 . I n s u m m a r y ,

F o r t h e m o d e l d i u s i o n e q u a t i o n :

~

w = X

; 1

~

u i s a s i n e t r a n s f o r m f r o m r e a l s p a c e t o ( s i n e ) w a v e

s p a c e .

~

u = X

~

w i s a s i n e s y n t h e s i s f r o m w a v e s p a c e b a c k t o r e a l

s p a c e .

T h e B i c o n v e c t i o n M o d e l

N e x t c o n s i d e r t h e m o d e l O D E ' s f o r p e r i o d i c c o n v e c t i o n , E q . 4 . 5 . T h e c o e c i e n t

m a t r i c e s f o r t h e s e O D E ' s a r e a l w a y s c i r c u l a n t . F o r o u r m o d e l O D E , t h e r i g h t - h a n d

e i g e n v e c t o r s a r e g i v e n b y

~

x

m

= e

i j ( 2 m = M )

j = 0 1 M ; 1

m = 0 1 M ; 1

W i t h x

j

= j x = j 2 = M , w e c a n w r i t e ~u = X ~ w a s

u

j

=

M ; 1

X

m = 0

w

m

e

i m x

j

j = 0 1 M ; 1 ( 4 . 3 4 )




F o r a 4 - p o i n t p e r i o d i c m e s h , w e n d t h e f o l l o w i n g l e f t - h a n d e i g e n v e c t o r m a t r i x

f r o m A p p e n d i x B . 4 :

2

6

6

6

4

w

1

w

2

w

3

w

4

3

7

7

7

5

=

1

4

2

6

6

6

4

1 1 1 1

1 e

; 2 i = 4

e

; 4 i = 4

e

; 6 i = 4

1 e

; 4 i = 4

e

; 8 i = 4

e

; 1 2 i = 4

1 e

; 6 i = 4

e

; 1 2 i = 4

e

; 1 8 i = 4

3

7

7

7

5

2

6

6

6

4

u

1

u

2

u

3

u

4

3

7

7

7

5

= X

; 1

~u

I n g e n e r a l

w

m

=

1

M

M ; 1

X

j = 0

u

j

e

; i m x

j

m = 0 1 M ; 1

T h i s e q u a t i o n i s i d e n t i c a l t o a d i s c r e t e F o u r i e r t r a n s f o r m o f t h e p e r i o d i c d e p e n d e n t

v a r i a b l e

~

u u s i n g a n M - p o i n t s a m p l e b e t w e e n a n d i n c l u d i n g x = 0 a n d x = 2 ; x .

F o r c i r c u l a n t m a t r i c e s , i t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o e s t a b l i s h t h e f a c t t h a t t h e r e l a t i o n

~

u = X

~

w r e p r e s e n t s t h e F o u r i e r s y n t h e s i s o f t h e v a r i a b l e

~

w b a c k t o

~

u . I n s u m m a r y ,

F o r a n y c i r c u l a n t s y s t e m :

~

w = X

; 1

~

u i s a c o m p l e x F o u r i e r t r a n s f o r m f r o m r e a l s p a c e t o

w a v e s p a c e .

~

u = X

~

w i s a c o m p l e x F o u r i e r s y n t h e s i s f r o m w a v e s p a c e

b a c k t o r e a l s p a c e .

4 . 3 . 4 S o l u t i o n s o f t h e M o d e l O D E ' s

W e c a n n o w c o m b i n e t h e r e s u l t s o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n s t o w r i t e t h e s o l u t i o n s o f o u r

m o d e l O D E ' s .

T h e D i u s i o n E q u a t i o n

F o r t h e d i u s i o n e q u a t i o n , E q . 4 . 2 7 b e c o m e s

u

j

( t ) =

M

X

m = 1

c

m

e

m

t

s i n m x

j

+ ( A

; 1

f )

j

j = 1 2 M ( 4 . 3 5 )

w h e r e

m

=

; 4

x

2

s i n

2

m

2 ( M + 1 )

!

( 4 . 3 6 )




W i t h t h e m o d i e d w a v e n u m b e r d e n e d a s

m

=

2

x

s i n

m

x

2

( 4 . 3 7 )

a n d u s i n g

m

= m , w e c a n w r i t e t h e O D E s o l u t i o n a s

u

j

( t ) =

M

X

m = 1

c

m

e

;

m

2

t

s i n

m

x

j

+ ( A

; 1

f )

j

j = 1 2 M ( 4 . 3 8 )

T h i s c a n b e c o m p a r e d w i t h t h e e x a c t s o l u t i o n t o t h e P D E , E q . 2 . 3 7 , e v a l u a t e d a t t h e

n o d e s o f t h e g r i d :

u

j

( t ) =

M

X

m = 1

c

m

e

;

m

2

t

s i n

m

x

j

+ h ( x

j

) j = 1 2 M ( 4 . 3 9 )

W e s e e t h a t t h e s o l u t i o n s a r e i d e n t i c a l e x c e p t f o r t h e s t e a d y s o l u t i o n a n d t h e

m o d i e d w a v e n u m b e r i n t h e t r a n s i e n t t e r m . T h e m o d i e d w a v e n u m b e r i s a n a p p r o x -

i m a t i o n t o t h e a c t u a l w a v e n u m b e r . T h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e m o d i e d w a v e n u m b e r

a n d t h e a c t u a l w a v e n u m b e r d e p e n d s o n t h e d i e r e n c i n g s c h e m e a n d t h e g r i d r e s o l u -

t i o n . T h i s d i e r e n c e c a u s e s t h e v a r i o u s m o d e s ( o r e i g e n v e c t o r c o m p o n e n t s ) t o d e c a y

a t r a t e s w h i c h d i e r f r o m t h e e x a c t s o l u t i o n . W i t h c o n v e n t i o n a l d i e r e n c i n g s c h e m e s ,

l o w w a v e n u m b e r m o d e s a r e a c c u r a t e l y r e p r e s e n t e d , w h i l e h i g h w a v e n u m b e r m o d e s ( i f

t h e y h a v e s i g n i c a n t a m p l i t u d e s ) c a n h a v e l a r g e e r r o r s .

T h e C o n v e c t i o n E q u a t i o n

F o r t h e b i c o n v e c t i o n e q u a t i o n , w e o b t a i n

u

j

( t ) =

M ; 1

X

m = 0

c

m

e

m

t

e

i

m

x

j

j = 0 1 M ; 1 ( 4 . 4 0 )

w h e r e

m

= ; i

m

a ( 4 . 4 1 )

w i t h t h e m o d i e d w a v e n u m b e r d e n e d i n E q . 4 . 3 1 . W e c a n w r i t e t h i s O D E s o l u t i o n

a s

u

j

( t ) =

M ; 1

X

m = 0

c

m

e

; i

m

a t

e

i

m

x

j

j = 0 1 M ; 1 ( 4 . 4 2 )



4 . 4 . T H E R E P R E S E N T A T I V E E Q U A T I O N 6 7

a n d c o m p a r e i t t o t h e e x a c t s o l u t i o n o f t h e P D E , E q . 2 . 2 6 , e v a l u a t e d a t t h e n o d e s o f

t h e g r i d :

u

j

( t ) =

M ; 1

X

m = 0

f

m

( 0 ) e

; i

m

a t

e

i

m

x

j

j = 0 1 M ; 1 ( 4 . 4 3 )

O n c e a g a i n t h e d i e r e n c e a p p e a r s t h r o u g h t h e m o d i e d w a v e n u m b e r c o n t a i n e d i n

m

. A s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 3 . 5 , t h i s l e a d s t o a n e r r o r i n t h e s p e e d w i t h w h i c h v a r i o u s

m o d e s a r e c o n v e c t e d , s i n c e

i s r e a l . S i n c e t h e e r r o r i n t h e p h a s e s p e e d d e p e n d s o n

t h e w a v e n u m b e r , w h i l e t h e a c t u a l p h a s e s p e e d i s i n d e p e n d e n t o f t h e w a v e n u m b e r ,

t h e r e s u l t i s e r r o n e o u s n u m e r i c a l d i s p e r s i o n . I n t h e c a s e o f n o n - c e n t e r e d d i e r e n c i n g ,

d i s c u s s e d i n C h a p t e r 1 1 , t h e m o d i e d w a v e n u m b e r i s c o m p l e x . T h e f o r m o f E q . 4 . 4 2

s h o w s t h a t t h e i m a g i n a r y p o r t i o n o f t h e m o d i e d w a v e n u m b e r p r o d u c e s n o n p h y s i c a l

d e c a y o r g r o w t h i n t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n .

4 . 4 T h e R e p r e s e n t a t i v e E q u a t i o n

I n S e c t i o n 4 . 3 , w e p o i n t e d o u t t h a t E q s . 4 . 2 0 a n d 4 . 2 3 e x p r e s s i d e n t i c a l r e s u l t s b u t i n

t e r m s o f d i e r e n t g r o u p i n g s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e s , w h i c h a r e r e l a t e d b y a l g e b r a i c

m a n i p u l a t i o n . T h i s l e a d s t o t h e f o l l o w i n g i m p o r t a n t c o n c e p t :

T h e n u m e r i c a l s o l u t i o n t o a s e t o f l i n e a r O D E ' s ( i n w h i c h A i s

n o t a f u n c t i o n o f t ) i s e n t i r e l y e q u i v a l e n t t o t h e s o l u t i o n o b t a i n e d

i f t h e e q u a t i o n s a r e t r a n s f o r m e d t o e i g e n s p a c e , s o l v e d t h e r e i n

t h e i r u n c o u p l e d f o r m , a n d t h e n r e t u r n e d a s a c o u p l e d s e t t o r e a l

s p a c e .

T h e i m p o r t a n c e o f t h i s c o n c e p t r e s i d e s i n i t s m e s s a g e t h a t w e c a n a n a l y z e t i m e -

m a r c h i n g m e t h o d s b y a p p l y i n g t h e m t o a s i n g l e , u n c o u p l e d e q u a t i o n a n d o u r c o n -

c l u s i o n s w i l l a p p l y i n g e n e r a l . T h i s i s h e l p f u l b o t h i n a n a l y z i n g t h e a c c u r a c y o f

t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s a n d i n s t u d y i n g t h e i r s t a b i l i t y , t o p i c s w h i c h a r e c o v e r e d i n

C h a p t e r s 6 a n d 7 .

O u r n e x t o b j e c t i v e i s t o n d a \ t y p i c a l " s i n g l e O D E t o a n a l y z e . W e f o u n d t h e

u n c o u p l e d s o l u t i o n t o a s e t o f O D E ' s i n S e c t i o n 4 . 2 . A t y p i c a l m e m b e r o f t h e f a m i l y

i s

d w

m

d t

=

m

w

m

; g

m

( t ) ( 4 . 4 4 )

T h e g o a l i n o u r a n a l y s i s i s t o s t u d y t y p i c a l b e h a v i o r o f g e n e r a l s i t u a t i o n s , n o t p a r t i c -

u l a r p r o b l e m s . F o r s u c h a p u r p o s e E q . 4 . 4 4 i s n o t q u i t e s a t i s f a c t o r y . T h e r o l e o f

m

i s

c l e a r i t s t a n d s f o r s o m e r e p r e s e n t a t i v e e i g e n v a l u e i n t h e o r i g i n a l A m a t r i x . H o w e v e r ,





4 . 5 . P R O B L E M S 6 9

4 . C o n s i d e r a g r i d w i t h 1 0 i n t e r i o r p o i n t s s p a n n i n g t h e d o m a i n 0 x . F o r

i n i t i a l c o n d i t i o n s u ( x 0 ) = s i n ( m x ) a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s u ( 0 t ) = u ( t ) =

0 , p l o t t h e e x a c t s o l u t i o n o f t h e d i u s i o n e q u a t i o n w i t h = 1 a t t = 1 w i t h

m = 1 a n d m = 3 . ( P l o t t h e s o l u t i o n a t t h e g r i d n o d e s o n l y . ) C a l c u l a t e t h e

c o r r e s p o n d i n g m o d i e d w a v e n u m b e r s f o r t h e s e c o n d - o r d e r c e n t e r e d o p e r a t o r

f r o m E q . 4 . 3 7 . C a l c u l a t e a n d p l o t t h e c o r r e s p o n d i n g O D E s o l u t i o n s .

5 . C o n s i d e r t h e m a t r i x

A = ; B

p

( 1 0 ; 1 0 1 ) = ( 2 x )

c o r r e s p o n d i n g t o t h e O D E f o r m o f t h e b i c o n v e c t i o n e q u a t i o n r e s u l t i n g f r o m t h e

a p p l i c a t i o n o f s e c o n d - o r d e r c e n t r a l d i e r e n c i n g o n a 1 0 - p o i n t g r i d . N o t e t h a t

t h e d o m a i n i s 0 x 2 a n d x = 2 = 1 0 . T h e g r i d n o d e s a r e g i v e n b y

x

j

= j x j = 0 1 : : : 9 . T h e e i g e n v a l u e s o f t h e a b o v e m a t r i x A , a s w e l l a s t h e

m a t r i c e s X a n d X

; 1

, c a n b e f o u n d f r o m A p p e n d i x B . 4 . U s i n g t h e s e , c o m p u t e

a n d p l o t t h e O D E s o l u t i o n a t t = 2 f o r t h e i n i t i a l c o n d i t i o n u ( x 0 ) = s i n x .

C o m p a r e w i t h t h e e x a c t s o l u t i o n o f t h e P D E . C a l c u l a t e t h e n u m e r i c a l p h a s e

s p e e d f r o m t h e m o d i e d w a v e n u m b e r c o r r e s p o n d i n g t o t h i s i n i t i a l c o n d i t i o n

a n d s h o w t h a t i t i s c o n s i s t e n t w i t h t h e O D E s o l u t i o n . R e p e a t f o r t h e i n i t i a l

c o n d i t i o n u ( x 0 ) = s i n 2 x .








7 2 C H A P T E R 5 . F I N I T E - V O L U M E M E T H O D S

5 . 1 B a s i c C o n c e p t s

T h e b a s i c i d e a o f a n i t e - v o l u m e m e t h o d i s t o s a t i s f y t h e i n t e g r a l f o r m o f t h e c o n -

s e r v a t i o n l a w t o s o m e d e g r e e o f a p p r o x i m a t i o n f o r e a c h o f m a n y c o n t i g u o u s c o n t r o l

v o l u m e s w h i c h c o v e r t h e d o m a i n o f i n t e r e s t . T h u s t h e v o l u m e V i n E q . 5 . 1 i s t h a t o f a

c o n t r o l v o l u m e w h o s e s h a p e i s d e p e n d e n t o n t h e n a t u r e o f t h e g r i d . I n o u r e x a m p l e s ,

w e w i l l c o n s i d e r o n l y c o n t r o l v o l u m e s w h i c h d o n o t v a r y w i t h t i m e . E x a m i n i n g E q .

5 . 1 , w e s e e t h a t s e v e r a l a p p r o x i m a t i o n s m u s t b e m a d e . T h e u x i s r e q u i r e d a t t h e

b o u n d a r y o f t h e c o n t r o l v o l u m e , w h i c h i s a c l o s e d s u r f a c e i n t h r e e d i m e n s i o n s a n d a

c l o s e d c o n t o u r i n t w o d i m e n s i o n s . T h i s u x m u s t t h e n b e i n t e g r a t e d t o n d t h e n e t

u x t h r o u g h t h e b o u n d a r y . S i m i l a r l y , t h e s o u r c e t e r m P m u s t b e i n t e g r a t e d o v e r t h e

c o n t r o l v o l u m e . N e x t a t i m e - m a r c h i n g m e t h o d

1

c a n b e a p p l i e d t o n d t h e v a l u e o f

Z

V

Q d V ( 5 . 2 )

a t t h e n e x t t i m e s t e p .

L e t u s c o n s i d e r t h e s e a p p r o x i m a t i o n s i n m o r e d e t a i l . F i r s t , w e n o t e t h a t t h e

a v e r a g e v a l u e o f Q i n a c e l l w i t h v o l u m e V i s

Q

1

V

Z

V

Q d V ( 5 . 3 )

a n d E q . 5 . 1 c a n b e w r i t t e n a s

V

d

d t

Q +

I

S

n : F d S =

Z

V

P d V ( 5 . 4 )

f o r a c o n t r o l v o l u m e w h i c h d o e s n o t v a r y w i t h t i m e . T h u s a f t e r a p p l y i n g a t i m e -

m a r c h i n g m e t h o d , w e h a v e u p d a t e d v a l u e s o f t h e c e l l - a v e r a g e d q u a n t i t i e s

Q . I n o r d e r

t o e v a l u a t e t h e u x e s , w h i c h a r e a f u n c t i o n o f Q , a t t h e c o n t r o l - v o l u m e b o u n d a r y , Q

c a n b e r e p r e s e n t e d w i t h i n t h e c e l l b y s o m e p i e c e w i s e a p p r o x i m a t i o n w h i c h p r o d u c e s

t h e c o r r e c t v a l u e o f

Q . T h i s i s a f o r m o f i n t e r p o l a t i o n o f t e n r e f e r r e d t o a s r e c o n -

s t r u c t i o n . A s w e s h a l l s e e i n o u r e x a m p l e s , e a c h c e l l w i l l h a v e a d i e r e n t p i e c e w i s e

a p p r o x i m a t i o n t o Q . W h e n t h e s e a r e u s e d t o c a l c u l a t e F ( Q ) , t h e y w i l l g e n e r a l l y

p r o d u c e d i e r e n t a p p r o x i m a t i o n s t o t h e u x a t t h e b o u n d a r y b e t w e e n t w o c o n t r o l

v o l u m e s , t h a t i s , t h e u x w i l l b e d i s c o n t i n u o u s . A n o n d i s s i p a t i v e s c h e m e a n a l o g o u s

t o c e n t e r e d d i e r e n c i n g i s o b t a i n e d b y t a k i n g t h e a v e r a g e o f t h e s e t w o u x e s . A n o t h e r

a p p r o a c h k n o w n a s u x - d i e r e n c e s p l i t t i n g i s d e s c r i b e d i n C h a p t e r 1 1 .

T h e b a s i c e l e m e n t s o f a n i t e - v o l u m e m e t h o d a r e t h u s t h e f o l l o w i n g :

1

T i m e - m a r c h i n g m e t h o d s w i l l b e d i s c u s s e d i n t h e n e x t c h a p t e r .



5 . 2 . M O D E L E Q U A T I O N S I N I N T E G R A L F O R M 7 3

1 . G i v e n t h e v a l u e o f

Q f o r e a c h c o n t r o l v o l u m e , c o n s t r u c t a n a p p r o x i m a t i o n t o

Q ( x y z ) i n e a c h c o n t r o l v o l u m e . U s i n g t h i s a p p r o x i m a t i o n , n d Q a t t h e

c o n t r o l - v o l u m e b o u n d a r y . E v a l u a t e F ( Q ) a t t h e b o u n d a r y . S i n c e t h e r e i s a

d i s t i n c t a p p r o x i m a t i o n t o Q ( x y z ) i n e a c h c o n t r o l v o l u m e , t w o d i s t i n c t v a l u e s

o f t h e u x w i l l g e n e r a l l y b e o b t a i n e d a t a n y p o i n t o n t h e b o u n d a r y b e t w e e n t w o

c o n t r o l v o l u m e s .

2 . A p p l y s o m e s t r a t e g y f o r r e s o l v i n g t h e d i s c o n t i n u i t y i n t h e u x a t t h e c o n t r o l -

v o l u m e b o u n d a r y t o p r o d u c e a s i n g l e v a l u e o f F ( Q ) a t a n y p o i n t o n t h e b o u n d -

a r y . T h i s i s s u e i s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 1 1 . 4 . 2 .

3 . I n t e g r a t e t h e u x t o n d t h e n e t u x t h r o u g h t h e c o n t r o l - v o l u m e b o u n d a r y

u s i n g s o m e s o r t o f q u a d r a t u r e .

4 . A d v a n c e t h e s o l u t i o n i n t i m e t o o b t a i n n e w v a l u e s o f

Q .

T h e o r d e r o f a c c u r a c y o f t h e m e t h o d i s d e p e n d e n t o n e a c h o f t h e a p p r o x i m a t i o n s .

T h e s e i d e a s s h o u l d b e c l a r i e d b y t h e e x a m p l e s i n t h e r e m a i n d e r o f t h i s c h a p t e r .

I n o r d e r t o i n c l u d e d i u s i v e u x e s , t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n b e t w e e n r Q a n d Q i s

s o m e t i m e s u s e d :

Z

V

r Q d V =

I

S

n Q d S ( 5 . 5 )

o r , i n t w o d i m e n s i o n s ,

Z

A

r Q d A =

I

C

n Q d l ( 5 . 6 )

w h e r e t h e u n i t v e c t o r n p o i n t s o u t w a r d f r o m t h e s u r f a c e o r c o n t o u r .

5 . 2 M o d e l E q u a t i o n s i n I n t e g r a l F o r m

5 . 2 . 1 T h e L i n e a r C o n v e c t i o n E q u a t i o n

A t w o - d i m e n s i o n a l f o r m o f t h e l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n c a n b e w r i t t e n a s

@ u

@ t

+ a c o s

@ u

@ x

+ a s i n

@ u

@ y

= 0 ( 5 . 7 )

T h i s P D E g o v e r n s a s i m p l e p l a n e w a v e c o n v e c t i n g t h e s c a l a r q u a n t i t y , u ( x y t ) w i t h

s p e e d a a l o n g a s t r a i g h t l i n e m a k i n g a n a n g l e w i t h r e s p e c t t o t h e x - a x i s . T h e

o n e - d i m e n s i o n a l f o r m i s r e c o v e r e d w i t h = 0 .




F o r u n i t s p e e d a , t h e t w o - d i m e n s i o n a l l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n i s o b t a i n e d f r o m

t h e g e n e r a l d i v e r g e n c e f o r m , E q . 2 . 3 , w i t h

Q = u ( 5 . 8 )

F = i u c o s + j u s i n ( 5 . 9 )

P = 0 ( 5 . 1 0 )

S i n c e Q i s a s c a l a r , F i s s i m p l y a v e c t o r . S u b s t i t u t i n g t h e s e e x p r e s s i o n s i n t o a t w o -

d i m e n s i o n a l f o r m o f E q . 2 . 2 g i v e s t h e f o l l o w i n g i n t e g r a l f o r m

d

d t

Z

A

u d A +

I

C

n : ( i u c o s + j u s i n ) d s = 0 ( 5 . 1 1 )

w h e r e A i s t h e a r e a o f t h e c e l l w h i c h i s b o u n d e d b y t h e c l o s e d c o n t o u r C .

5 . 2 . 2 T h e D i u s i o n E q u a t i o n

T h e i n t e g r a l f o r m o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l d i u s i o n e q u a t i o n w i t h n o s o u r c e t e r m a n d

u n i t d i u s i o n c o e c i e n t i s o b t a i n e d f r o m t h e g e n e r a l d i v e r g e n c e f o r m , E q . 2 . 3 , w i t h

Q = u ( 5 . 1 2 )

F = ; r u ( 5 . 1 3 )

=

;

i

@ u

@ x

+ j

@ u

@ y

!

( 5 . 1 4 )

P = 0 ( 5 . 1 5 )

U s i n g t h e s e , w e n d

d

d t

Z

A

u d A =

I

C

n :

i

@ u

@ x

+ j

@ u

@ y

!

d s ( 5 . 1 6 )

t o b e t h e i n t e g r a l f o r m o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l d i u s i o n e q u a t i o n .

5 . 3 O n e - D i m e n s i o n a l E x a m p l e s

W e r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n t o a s c a l a r d e p e n d e n t v a r i a b l e u a n d a s c a l a r u x f , a s i n

t h e m o d e l e q u a t i o n s . W e c o n s i d e r a n e q u i s p a c e d g r i d w i t h s p a c i n g x . T h e n o d e s o f

t h e g r i d a r e l o c a t e d a t x

j

= j x a s u s u a l . C o n t r o l v o l u m e j e x t e n d s f r o m x

j

; x = 2

t o x

j

+ x = 2 , a s s h o w n i n F i g . 5 . 1 . W e w i l l u s e t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n :

x

j ; 1 = 2

= x

j

; x = 2 x

j + 1 = 2

= x

j

+ x = 2 ( 5 . 1 7 )



5 . 3 . O N E - D I M E N S I O N A L E X A M P L E S 7 5

j j+1 j-1 j+2 j-2

j-1/2 j+1/2

∆ x

L RL R

F i g u r e 5 . 1 : C o n t r o l v o l u m e i n o n e d i m e n s i o n .

u

j 1 = 2

= u ( x

j 1 = 2

) f

j 1 = 2

= f ( u

j 1 = 2

) ( 5 . 1 8 )

W i t h t h e s e d e n i t i o n s , t h e c e l l - a v e r a g e v a l u e b e c o m e s

u

j

( t )

1

x

Z

x

j + 1 = 2

x

j ; 1 = 2

u ( x t ) d x ( 5 . 1 9 )

a n d t h e i n t e g r a l f o r m b e c o m e s

d

d t

( x u

j

) + f

j + 1 = 2

; f

j ; 1 = 2

=

Z

x

j + 1 = 2

x

j ; 1 = 2

P d x ( 5 . 2 0 )

N o w w i t h = x ; x

j

, w e c a n e x p a n d u ( x ) i n E q . 5 . 1 9 i n a T a y l o r s e r i e s a b o u t x

j

( w i t h t x e d ) t o g e t

u

j

1

x

Z

x = 2

; x = 2

2

4

u

j

+

@ u

@ x

!

j

+

2

2

@

2

u

@ x

2

!

j

+

3

6

@

3

u

@ x

3

!

j

+ : : :

3

5

d

= u

j

+

x

2

2 4

@

2

u

@ x

2

!

j

+

x

4

1 9 2 0

@

4

u

@ x

4

!

j

+ O ( x

6

) ( 5 . 2 1 )

o r

u

j

= u

j

+ O ( x

2

) ( 5 . 2 2 )

w h e r e u

j

i s t h e v a l u e a t t h e c e n t e r o f t h e c e l l . H e n c e t h e c e l l - a v e r a g e v a l u e a n d t h e

v a l u e a t t h e c e n t e r o f t h e c e l l d i e r b y a t e r m o f s e c o n d o r d e r .

5 . 3 . 1 A S e c o n d - O r d e r A p p r o x i m a t i o n t o t h e C o n v e c t i o n E q u a -

t i o n

I n o n e d i m e n s i o n , t h e i n t e g r a l f o r m o f t h e l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n , E q . 5 . 1 1 , b e -

c o m e s

x

d u

j

d t

+ f

j + 1 = 2

; f

j ; 1 = 2

= 0 ( 5 . 2 3 )






T h i s i s i d e n t i c a l t o t h e e x p r e s s i o n o b t a i n e d u s i n g s e c o n d - o r d e r c e n t e r e d d i e r e n c e s ,

e x c e p t i t i s w r i t t e n i n t e r m s o f t h e c e l l a v e r a g e

~

u , r a t h e r t h a n t h e n o d a l v a l u e s , ~u .

H e n c e o u r a n a l y s i s a n d u n d e r s t a n d i n g o f t h e e i g e n s y s t e m o f t h e m a t r i x B

p

( ; 1 0 1 )

i s r e l e v a n t t o n i t e - v o l u m e m e t h o d s a s w e l l a s n i t e - d i e r e n c e m e t h o d s . S i n c e t h e

e i g e n v a l u e s o f B

p

(

; 1 0 1 ) a r e p u r e i m a g i n a r y , w e c a n c o n c l u d e t h a t t h e u s e o f t h e

a v e r a g e o f t h e u x e s o n e i t h e r s i d e o f t h e c e l l b o u n d a r y , a s i n E q s . 5 . 2 9 a n d 5 . 3 0 , c a n

l e a d t o a n o n d i s s i p a t i v e n i t e - v o l u m e m e t h o d .

5 . 3 . 2 A F o u r t h - O r d e r A p p r o x i m a t i o n t o t h e C o n v e c t i o n E q u a -

t i o n

L e t u s r e p l a c e t h e p i e c e w i s e c o n s t a n t a p p r o x i m a t i o n i n S e c t i o n 5 . 3 . 1 w i t h a p i e c e w i s e

q u a d r a t i c a p p r o x i m a t i o n a s f o l l o w s

u ( ) = a

2

+ b + c ( 5 . 3 3 )

w h e r e i s a g a i n e q u a l t o x ; x

j

. T h e t h r e e p a r a m e t e r s a , b , a n d c a r e c h o s e n t o

s a t i s f y t h e f o l l o w i n g c o n s t r a i n t s :

1

x

Z

; x = 2

; 3 x = 2

u ( ) d = u

j ; 1

1

x

Z

x = 2

; x = 2

u ( ) d = u

j

( 5 . 3 4 )

1

x

Z

3 x = 2

x = 2

u ( ) d = u

j + 1

T h e s e c o n s t r a i n t s l e a d t o

a =

u

j + 1

; 2 u

j

+ u

j ; 1

2 x

2

b =

u

j + 1

; u

j ; 1

2 x

( 5 . 3 5 )

c =

; u

j ; 1

+ 2 6 u

j

; u

j + 1

2 4

W i t h t h e s e v a l u e s o f a , b , a n d c , t h e p i e c e w i s e q u a d r a t i c a p p r o x i m a t i o n p r o d u c e s

t h e f o l l o w i n g v a l u e s a t t h e c e l l b o u n d a r i e s :

u

L

j + 1 = 2

=

1

6

( 2 u

j + 1

+ 5 u

j

; u

j ; 1

) ( 5 . 3 6 )




u

R

j ; 1 = 2

=

1

6

( ; u

j + 1

+ 5 u

j

+ 2 u

j ; 1

) ( 5 . 3 7 )

u

R

j + 1 = 2

=

1

6

( ; u

j + 2

+ 5 u

j + 1

+ 2 u

j

) ( 5 . 3 8 )

u

L

j ; 1 = 2

=

1

6

( 2 u

j

+ 5 u

j ; 1

; u

j ; 2

) ( 5 . 3 9 )

u s i n g t h e n o t a t i o n d e n e d i n S e c t i o n 5 . 3 . 1 . R e c a l l i n g t h a t f = u , w e a g a i n u s e t h e

a v e r a g e o f t h e u x e s o n e i t h e r s i d e o f t h e b o u n d a r y t o o b t a i n

f

j + 1 = 2

=

1

2

f ( u

L

j + 1 = 2

) + f ( u

R

j + 1 = 2

) ]

=

1

1 2

( ; u

j + 2

+ 7 u

j + 1

+ 7 u

j

; u

j ; 1

) ( 5 . 4 0 )

a n d

f

j ; 1 = 2

=

1

2

f ( u

L

j ; 1 = 2

) + f ( u

R

j ; 1 = 2

) ]

=

1

1 2

( ; u

j + 1

+ 7 u

j

+ 7 u

j ; 1

; u

j ; 2

) ( 5 . 4 1 )

S u b s t i t u t i n g t h e s e e x p r e s s i o n s i n t o t h e i n t e g r a l f o r m , E q . 5 . 2 3 , g i v e s

x

d u

j

d t

+

1

1 2

( ; u

j + 2

+ 8 u

j + 1

; 8 u

j ; 1

+ u

j ; 2

) = 0 ( 5 . 4 2 )

T h i s i s a f o u r t h - o r d e r a p p r o x i m a t i o n t o t h e i n t e g r a l f o r m o f t h e e q u a t i o n , a s c a n b e

v e r i e d u s i n g T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n s ( s e e q u e s t i o n 1 a t t h e e n d o f t h i s c h a p t e r ) .

W i t h p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s , t h e f o l l o w i n g s e m i - d i s c r e t e f o r m i s o b t a i n e d :

d

~

u

d t

=

;

1

1 2 x

B

p

( 1

; 8 0 8

; 1 )

~

u ( 5 . 4 3 )

T h i s i s a s y s t e m o f O D E ' s g o v e r n i n g t h e e v o l u t i o n o f t h e c e l l - a v e r a g e d a t a .

5 . 3 . 3 A S e c o n d - O r d e r A p p r o x i m a t i o n t o t h e D i u s i o n E q u a -

t i o n

I n t h i s s e c t i o n , w e d e s c r i b e t w o a p p r o a c h e s t o d e r i v i n g a n i t e - v o l u m e a p p r o x i m a t i o n

t o t h e d i u s i o n e q u a t i o n . T h e r s t a p p r o a c h i s s i m p l e r t o e x t e n d t o m u l t i d i m e n s i o n s ,

w h i l e t h e s e c o n d a p p r o a c h i s m o r e s u i t e d t o e x t e n s i o n t o h i g h e r o r d e r a c c u r a c y .




I n o n e d i m e n s i o n , t h e i n t e g r a l f o r m o f t h e d i u s i o n e q u a t i o n , E q . 5 . 1 6 , b e c o m e s

x

d u

j

d t

+ f

j + 1 = 2

; f

j ; 1 = 2

= 0 ( 5 . 4 4 )

w i t h f = ; r u = ; @ u = @ x . A l s o , E q . 5 . 6 b e c o m e s

Z

b

a

@ u

@ x

d x = u ( b ) ; u ( a ) ( 5 . 4 5 )

W e c a n t h u s w r i t e t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n f o r t h e a v e r a g e v a l u e o f t h e g r a d i e n t o f u

o v e r t h e i n t e r v a l x

j

x x

j + 1

:

1

x

Z

x

j + 1

x

j

@ u

@ x

d x =

1

x

( u

j + 1

; u

j

) ( 5 . 4 6 )

F r o m E q . 5 . 2 2 , w e k n o w t h a t t h e v a l u e o f a c o n t i n u o u s f u n c t i o n a t t h e c e n t e r o f a g i v e n

i n t e r v a l i s e q u a l t o t h e a v e r a g e v a l u e o f t h e f u n c t i o n o v e r t h e i n t e r v a l t o s e c o n d - o r d e r

a c c u r a c y . H e n c e , t o s e c o n d - o r d e r , w e c a n w r i t e

f

j + 1 = 2

= ;

@ u

@ x

!

j + 1 = 2

= ;

1

x

( u

j + 1

; u

j

) ( 5 . 4 7 )

S i m i l a r l y ,

f

j ; 1 = 2

= ;

1

x

( u

j

; u

j ; 1

) ( 5 . 4 8 )

S u b s t i t u t i n g t h e s e i n t o t h e i n t e g r a l f o r m , E q . 5 . 4 4 , w e o b t a i n

x

d u

j

d t

=

1

x

( u

j ; 1

; 2 u

j

+ u

j + 1

) ( 5 . 4 9 )

o r , w i t h D i r i c h l e t b o u n d a r y c o n d i t i o n s ,

d

~

u

d t

=

1

x

2

B ( 1

; 2 1 )

~

u +

~

b c

( 5 . 5 0 )

T h i s p r o v i d e s a s e m i - d i s c r e t e n i t e - v o l u m e a p p r o x i m a t i o n t o t h e d i u s i o n e q u a t i o n ,

a n d w e s e e t h a t t h e p r o p e r t i e s o f t h e m a t r i x B ( 1 ; 2 1 ) a r e r e l e v a n t t o t h e s t u d y o f

n i t e - v o l u m e m e t h o d s a s w e l l a s n i t e - d i e r e n c e m e t h o d s .

F o r o u r s e c o n d a p p r o a c h , w e u s e a p i e c e w i s e q u a d r a t i c a p p r o x i m a t i o n a s i n S e c t i o n

5 . 3 . 2 . F r o m E q . 5 . 3 3 w e h a v e

@ u

@ x

=

@ u

@

= 2 a + b ( 5 . 5 1 )








F o r E q . 5 . 1 1 , t h e t w o - d i m e n s i o n a l l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n , w e h a v e f o r s i d e

n

Z

F d l = n

( i c o s + j s i n )

Z

` = 2

; ` = 2

u

( ) d ( 5 . 5 8 )

w h e r e i s a l e n g t h m e a s u r e d f r o m t h e m i d d l e o f a s i d e . M a k i n g t h e c h a n g e o f

v a r i a b l e z = = , o n e h a s t h e e x p r e s s i o n

Z

` = 2

; ` = 2

u ( ) d =

Z

1 = 2

; 1 = 2

u ( z ) d z ( 5 . 5 9 )

T h e n , i n t e r m s o f u a n d t h e h e x a g o n a r e a A , w e h a v e

d

d t

Z

A

u d A +

5

X

= 0

n

( i c o s + j s i n )

"

Z

1 = 2

; 1 = 2

u ( z ) d z

#

= 0 ( 5 . 6 0 )

T h e v a l u e s o f n

( i c o s + j s i n ) a r e g i v e n b y t h e e x p r e s s i o n s i n T a b l e 5 . 2 . T h e r e

a r e n o n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n s i n E q . 5 . 6 0 . T h a t i s , i f t h e i n t e g r a l s i n t h e e q u a t i o n

a r e e v a l u a t e d e x a c t l y , t h e i n t e g r a t e d t i m e r a t e o f c h a n g e o f t h e i n t e g r a l o f u o v e r t h e

a r e a o f t h e h e x a g o n i s k n o w n e x a c t l y .

S i d e n

( i c o s + j s i n )

0 ( c o s ;

p

3 s i n ) = 2

1 c o s

2 ( c o s +

p

3 s i n ) = 2

3 ( ; c o s +

p

3 s i n ) = 2

4 ; c o s

5 ( ; c o s ;

p

3 s i n ) = 2

T a b l e 5 . 2 . W e i g h t s o f u x i n t e g r a l s , s e e E q . 5 . 6 0 .

I n t r o d u c i n g t h e c e l l a v e r a g e ,

Z

A

u d A = A u

p

( 5 . 6 1 )

a n d t h e p i e c e w i s e - c o n s t a n t a p p r o x i m a t i o n u = u

p

o v e r t h e e n t i r e h e x a g o n , t h e a p -

p r o x i m a t i o n t o t h e u x i n t e g r a l b e c o m e s t r i v i a l . T a k i n g t h e a v e r a g e o f t h e u x o n

e i t h e r s i d e o f e a c h e d g e o f t h e h e x a g o n g i v e s f o r e d g e 1 :

Z

1

u ( z ) d z =

u

p

+ u

a

2

Z

1 = 2

; 1 = 2

d z =

u

p

+ u

a

2

( 5 . 6 2 )



5 . 5 . P R O B L E M S 8 3

S i m i l a r l y , w e h a v e f o r t h e o t h e r v e e d g e s :

Z

2

u ( z ) d z =

u

p

+ u

b

2

( 5 . 6 3 )

Z

3

u ( z ) d z =

u

p

+ u

c

2

( 5 . 6 4 )

Z

4

u ( z ) d z =

u

p

+ u

d

2

( 5 . 6 5 )

Z

5

u ( z ) d z =

u

p

+ u

e

2

( 5 . 6 6 )

Z

0

u ( z ) d z =

u

p

+ u

f

2

( 5 . 6 7 )

S u b s t i t u t i n g t h e s e i n t o E q . 5 . 6 0 , a l o n g w i t h t h e e x p r e s s i o n s i n T a b l e 5 . 2 , w e o b t a i n

A

d u

p

d t

+

2

( 2 c o s ) ( u

a

; u

d

) + ( c o s +

p

3 s i n ) ( u

b

; u

e

)

+ ( ; c o s +

p

3 s i n ) ( u

c

; u

f

) ] = 0 ( 5 . 6 8 )

o r

d u

p

d t

+

1

3

( 2 c o s ) ( u

a

; u

d

) + ( c o s +

p

3 s i n ) ( u

b

; u

e

)

+ ( ; c o s +

p

3 s i n ) ( u

c

; u

f

) ] = 0 ( 5 . 6 9 )

T h e r e a d e r c a n v e r i f y , u s i n g T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n s , t h a t t h i s i s a s e c o n d - o r d e r

a p p r o x i m a t i o n t o t h e i n t e g r a l f o r m o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n .

5 . 5 P r o b l e m s

1 . U s e T a y l o r s e r i e s t o v e r i f y t h a t E q . 5 . 4 2 i s a f o u r t h - o r d e r a p p r o x i m a t i o n t o E q .

5 . 2 3 .

2 . F i n d t h e s e m i - d i s c r e t e O D E f o r m g o v e r n i n g t h e c e l l - a v e r a g e d a t a r e s u l t i n g f r o m

t h e u s e o f a l i n e a r a p p r o x i m a t i o n i n d e v e l o p i n g a n i t e - v o l u m e m e t h o d f o r t h e

l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n . U s e t h e f o l l o w i n g l i n e a r a p p r o x i m a t i o n :

u ( ) = a + b




w h e r e b = u

j

a n d

a =

u

j + 1

; u

j ; 1

2 x

a n d u s e t h e a v e r a g e u x a t t h e c e l l i n t e r f a c e .

3 . U s i n g t h e r s t a p p r o a c h g i v e n i n S e c t i o n 5 . 3 . 3 , d e r i v e a n i t e - v o l u m e a p p r o x -

i m a t i o n t o t h e s p a t i a l t e r m s i n t h e t w o - d i m e n s i o n a l d i u s i o n e q u a t i o n o n a

s q u a r e g r i d .

4 . R e p e a t q u e s t i o n 3 f o r a g r i d c o n s i s t i n g o f e q u i l a t e r a l t r i a n g l e s .



C h a p t e r 6

T I M E - M A R C H I N G M E T H O D S

F O R O D E ' S

A f t e r d i s c r e t i z i n g t h e s p a t i a l d e r i v a t i v e s i n t h e g o v e r n i n g P D E ' s ( s u c h a s t h e N a v i e r -

S t o k e s e q u a t i o n s ) , w e o b t a i n a c o u p l e d s y s t e m o f n o n l i n e a r O D E ' s i n t h e f o r m

d ~u

d t

=

~

F ( ~ u t ) ( 6 . 1 )

T h e s e c a n b e i n t e g r a t e d i n t i m e u s i n g a t i m e - m a r c h i n g m e t h o d t o o b t a i n a t i m e -

a c c u r a t e s o l u t i o n t o a n u n s t e a d y o w p r o b l e m . F o r a s t e a d y o w p r o b l e m , s p a t i a l

d i s c r e t i z a t i o n l e a d s t o a c o u p l e d s y s t e m o f n o n l i n e a r a l g e b r a i c e q u a t i o n s i n t h e f o r m

~

F ( ~u ) = 0 ( 6 . 2 )

A s a r e s u l t o f t h e n o n l i n e a r i t y o f t h e s e e q u a t i o n s , s o m e s o r t o f i t e r a t i v e m e t h o d i s

r e q u i r e d t o o b t a i n a s o l u t i o n . F o r e x a m p l e , o n e c a n c o n s i d e r t h e u s e o f N e w t o n ' s

m e t h o d , w h i c h i s w i d e l y u s e d f o r n o n l i n e a r a l g e b r a i c e q u a t i o n s ( S e e S e c t i o n 6 . 1 0 . 3 . ) .

T h i s p r o d u c e s a n i t e r a t i v e m e t h o d i n w h i c h a c o u p l e d s y s t e m o f l i n e a r a l g e b r a i c

e q u a t i o n s m u s t b e s o l v e d a t e a c h i t e r a t i o n . T h e s e c a n b e s o l v e d i t e r a t i v e l y u s i n g

r e l a x a t i o n m e t h o d s , w h i c h w i l l b e d i s c u s s e d i n C h a p t e r 9 , o r d i r e c t l y u s i n g G a u s s i a n

e l i m i n a t i o n o r s o m e v a r i a t i o n t h e r e o f .

A l t e r n a t i v e l y , o n e c a n c o n s i d e r a t i m e - d e p e n d e n t p a t h t o t h e s t e a d y s t a t e a n d u s e

a t i m e - m a r c h i n g m e t h o d t o i n t e g r a t e t h e u n s t e a d y f o r m o f t h e e q u a t i o n s u n t i l t h e

s o l u t i o n i s s u c i e n t l y c l o s e t o t h e s t e a d y s o l u t i o n . T h e s u b j e c t o f t h e p r e s e n t c h a p t e r ,

t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s f o r O D E ' s , i s t h u s r e l e v a n t t o b o t h s t e a d y a n d u n s t e a d y o w

p r o b l e m s . W h e n u s i n g a t i m e - m a r c h i n g m e t h o d t o c o m p u t e s t e a d y o w s , t h e g o a l i s

s i m p l y t o r e m o v e t h e t r a n s i e n t p o r t i o n o f t h e s o l u t i o n a s q u i c k l y a s p o s s i b l e t i m e -

a c c u r a c y i s n o t r e q u i r e d . T h i s m o t i v a t e s t h e s t u d y o f s t a b i l i t y a n d s t i n e s s , t o p i c s

w h i c h a r e c o v e r e d i n t h e n e x t t w o c h a p t e r s .

8 5



8 6 C H A P T E R 6 . T I M E - M A R C H I N G M E T H O D S F O R O D E ' S

A p p l i c a t i o n o f a s p a t i a l d i s c r e t i z a t i o n t o a P D E p r o d u c e s a c o u p l e d s y s t e m o f

O D E ' s . A p p l i c a t i o n o f a t i m e - m a r c h i n g m e t h o d t o a n O D E p r o d u c e s a n o r d i n a r y

d i e r e n c e e q u a t i o n ( O E ) . I n e a r l i e r c h a p t e r s , w e d e v e l o p e d e x a c t s o l u t i o n s t o o u r

m o d e l P D E ' s a n d O D E ' s . I n t h i s c h a p t e r w e w i l l p r e s e n t s o m e b a s i c t h e o r y o f l i n e a r

O E ' s w h i c h c l o s e l y p a r a l l e l s t h a t f o r l i n e a r O D E ' s , a n d , u s i n g t h i s t h e o r y , w e w i l l

d e v e l o p e x a c t s o l u t i o n s f o r t h e m o d e l O E ' s a r i s i n g f r o m t h e a p p l i c a t i o n o f t i m e -

m a r c h i n g m e t h o d s t o t h e m o d e l O D E ' s .

6 . 1 N o t a t i o n

U s i n g t h e s e m i - d i s c r e t e a p p r o a c h , w e r e d u c e o u r P D E t o a s e t o f c o u p l e d O D E ' s

r e p r e s e n t e d i n g e n e r a l b y E q . 4 . 1 . H o w e v e r , f o r t h e p u r p o s e o f t h i s c h a p t e r , w e n e e d

o n l y c o n s i d e r t h e s c a l a r c a s e

d u

d t

= u

0

= F ( u t ) ( 6 . 3 )

A l t h o u g h w e u s e u t o r e p r e s e n t t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e , r a t h e r t h a n w , t h e r e a d e r

s h o u l d r e c a l l t h e a r g u m e n t s m a d e i n C h a p t e r 4 t o j u s t i f y t h e s t u d y o f a s c a l a r O D E .

O u r r s t t a s k i s t o n d n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n s t h a t c a n b e u s e d t o c a r r y o u t t h e

t i m e i n t e g r a t i o n o f E q . 6 . 3 t o s o m e g i v e n a c c u r a c y , w h e r e a c c u r a c y c a n b e m e a s u r e d

e i t h e r i n a l o c a l o r a g l o b a l s e n s e . W e t h e n f a c e a f u r t h e r t a s k c o n c e r n i n g t h e n u m e r i c a l

s t a b i l i t y o f t h e r e s u l t i n g m e t h o d s , b u t w e p o s t p o n e s u c h c o n s i d e r a t i o n s t o t h e n e x t

c h a p t e r .

I n C h a p t e r 2 , w e i n t r o d u c e d t h e c o n v e n t i o n t h a t t h e n s u b s c r i p t , o r t h e ( n ) s u -

p e r s c r i p t , a l w a y s p o i n t s t o a d i s c r e t e t i m e v a l u e , a n d h r e p r e s e n t s t h e t i m e i n t e r v a l

t . C o m b i n i n g t h i s n o t a t i o n w i t h E q . 6 . 3 g i v e s

u

0

n

= F

n

= F ( u

n

t

n

) t

n

= n h

O f t e n w e n e e d a m o r e s o p h i s t i c a t e d n o t a t i o n f o r i n t e r m e d i a t e t i m e s t e p s i n v o l v i n g

t e m p o r a r y c a l c u l a t i o n s d e n o t e d b y ~ u , u , e t c . F o r t h e s e w e u s e t h e n o t a t i o n

~ u

0

n +

=

~

F

n +

= F ( ~ u

n +

t

n

+ h )

T h e c h o i c e o f u

0

o r F t o e x p r e s s t h e d e r i v a t i v e i n a s c h e m e i s a r b i t r a r y . T h e y a r e

b o t h c o m m o n l y u s e d i n t h e l i t e r a t u r e o n O D E ' s .

T h e m e t h o d s w e s t u d y a r e t o b e a p p l i e d t o l i n e a r o r n o n l i n e a r O D E ' s , b u t t h e

m e t h o d s t h e m s e l v e s a r e f o r m e d b y l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d

i t s d e r i v a t i v e a t v a r i o u s t i m e i n t e r v a l s . T h e y a r e r e p r e s e n t e d c o n c e p t u a l l y b y

u

n + 1

= f

1

u

0

n + 1

0

u

0

n

; 1

u

0

n ; 1

0

u

n

; 1

u

n ; 1

( 6 . 4 )






s u c h a l i n e a r O D E i n t o a l i n e a r O E . T h e l a t t e r a r e s u b j e c t t o a w h o l e b o d y o f

a n a l y s i s t h a t i s s i m i l a r i n m a n y r e s p e c t s t o , a n d j u s t a s p o w e r f u l a s , t h e t h e o r y o f

O D E ' s . W e n e x t c o n s i d e r e x a m p l e s o f t h i s c o n v e r s i o n p r o c e s s a n d t h e n g o i n t o t h e

g e n e r a l t h e o r y o n s o l v i n g O E ' s .

A p p l y t h e s i m p l e e x p l i c i t E u l e r s c h e m e , E q . 6 . 5 , t o E q . 6 . 8 . T h e r e r e s u l t s

u

n + 1

= u

n

+ h ( u

n

+ a e

h n

)

o r

u

n + 1

; ( 1 + h ) u

n

= h a e

h n

( 6 . 9 )

E q . 6 . 9 i s a l i n e a r O E , w i t h c o n s t a n t c o e c i e n t s , e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e d e p e n -

d e n t v a r i a b l e u

n

a n d t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e n . A s a n o t h e r e x a m p l e , a p p l y i n g t h e

i m p l i c i t E u l e r m e t h o d , E q . 6 . 6 , t o E q . 6 . 8 , w e n d

u

n + 1

= u

n

+ h

u

n + 1

+ a e

h ( n + 1 )

o r

( 1 ; h ) u

n + 1

; u

n

= h e

h

a e

h n

( 6 . 1 0 )

A s a n a l e x a m p l e , t h e p r e d i c t o r - c o r r e c t o r s e q u e n c e , E q . 6 . 7 , g i v e s

~ u

n + 1

; ( 1 + h ) u

n

= a h e

h n

;

1

2

( 1 + h ) ~ u

n + 1

+ u

n + 1

;

1

2

u

n

=

1

2

a h e

h ( n + 1 )

( 6 . 1 1 )

w h i c h i s a c o u p l e d s e t o f l i n e a r O E ' s w i t h c o n s t a n t c o e c i e n t s . N o t e t h a t t h e r s t

l i n e i n E q . 6 . 1 1 i s i d e n t i c a l t o E q . 6 . 9 , s i n c e t h e p r e d i c t o r s t e p i n E q . 6 . 7 i s s i m p l y

t h e e x p l i c i t E u l e r m e t h o d . T h e s e c o n d l i n e i n E q . 6 . 1 1 i s o b t a i n e d b y n o t i n g t h a t

~ u

0

n + 1

= F ( ~ u

n + 1

t

n

+ h )

= ~ u

n + 1

+ a e

h ( n + 1 )

( 6 . 1 2 )

N o w w e n e e d t o d e v e l o p t e c h n i q u e s f o r a n a l y z i n g t h e s e d i e r e n c e e q u a t i o n s s o t h a t

w e c a n c o m p a r e t h e m e r i t s o f t h e t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s t h a t g e n e r a t e d t h e m .

6 . 3 S o l u t i o n o f L i n e a r O E ' s W i t h C o n s t a n t C o -

e c i e n t s

T h e t e c h n i q u e s f o r s o l v i n g l i n e a r d i e r e n c e e q u a t i o n s w i t h c o n s t a n t c o e c i e n t s i s a s

w e l l d e v e l o p e d a s t h a t f o r O D E ' s a n d t h e t h e o r y f o l l o w s a r e m a r k a b l y p a r a l l e l p a t h .

T h i s i s d e m o n s t r a t e d b y r e p e a t i n g s o m e o f t h e d e v e l o p m e n t s i n S e c t i o n 4 . 2 , b u t f o r

d i e r e n c e r a t h e r t h a n d i e r e n t i a l e q u a t i o n s .



6 . 3 . S O L U T I O N O F L I N E A R O E ' S W I T H C O N S T A N T C O E F F I C I E N T S 8 9

6 . 3 . 1 F i r s t - a n d S e c o n d - O r d e r D i e r e n c e E q u a t i o n s

F i r s t - O r d e r E q u a t i o n s

T h e s i m p l e s t n o n h o m o g e n e o u s O E o f i n t e r e s t i s g i v e n b y t h e s i n g l e r s t - o r d e r e q u a -

t i o n

u

n + 1

= u

n

+ a b

n

( 6 . 1 3 )

w h e r e , a , a n d b a r e , i n g e n e r a l , c o m p l e x p a r a m e t e r s . T h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i s

n o w n r a t h e r t h a n t , a n d s i n c e t h e e q u a t i o n s a r e l i n e a r a n d h a v e c o n s t a n t c o e c i e n t s ,

i s n o t a f u n c t i o n o f e i t h e r n o r u . T h e e x a c t s o l u t i o n o f E q . 6 . 1 3 i s

u

n

= c

1

n

+

a b

n

b ;

w h e r e c

1

i s a c o n s t a n t d e t e r m i n e d b y t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s . I n t e r m s o f t h e i n i t i a l

v a l u e o f u i t c a n b e w r i t t e n

u

n

= u

0

n

+ a

b

n

;

n

b ;

J u s t a s i n t h e d e v e l o p m e n t o f E q . 4 . 1 0 , o n e c a n r e a d i l y s h o w t h a t t h e s o l u t i o n o f t h e

d e f e c t i v e c a s e , ( b = ) ,

u

n + 1

= u

n

+ a

n

i s

u

n

=

h

u

0

+ a n

; 1

i

n

T h i s c a n a l l b e e a s i l y v e r i e d b y s u b s t i t u t i o n .

S e c o n d - O r d e r E q u a t i o n s

T h e h o m o g e n e o u s f o r m o f a s e c o n d - o r d e r d i e r e n c e e q u a t i o n i s g i v e n b y

u

n + 2

+ a

1

u

n + 1

+ a

0

u

n

= 0 ( 6 . 1 4 )

I n s t e a d o f t h e d i e r e n t i a l o p e r a t o r D

d

d t

u s e d f o r O D E ' s , w e u s e f o r O E ' s t h e

d i e r e n c e o p e r a t o r E ( c o m m o n l y r e f e r r e d t o a s t h e d i s p l a c e m e n t o r s h i f t o p e r a t o r )

a n d d e n e d f o r m a l l y b y t h e r e l a t i o n s

u

n + 1

= E u

n

u

n + k

= E

k

u

n

F u r t h e r n o t i c e t h a t t h e d i s p l a c e m e n t o p e r a t o r a l s o a p p l i e s t o e x p o n e n t s , t h u s

b

b

n

= b

n +

= E

b

n




w h e r e c a n b e a n y f r a c t i o n o r i r r a t i o n a l n u m b e r .

T h e r o l e s o f D a n d E a r e t h e s a m e i n s o f a r a s o n c e t h e y h a v e b e e n i n t r o d u c e d t o

t h e b a s i c e q u a t i o n s t h e v a l u e o f u ( t ) o r u

n

c a n b e f a c t o r e d o u t . T h u s E q . 6 . 1 4 c a n

n o w b e r e - e x p r e s s e d i n a n o p e r a t i o n a l n o t i o n a s

( E

2

+ a

1

E + a

0

) u

n

= 0 ( 6 . 1 5 )

w h i c h m u s t b e z e r o f o r a l l u

n

. E q . 6 . 1 5 i s k n o w n a s t h e o p e r a t i o n a l f o r m o f E q . 6 . 1 4 .

T h e o p e r a t i o n a l f o r m c o n t a i n s a c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l P ( E ) w h i c h p l a y s t h e s a m e

r o l e f o r d i e r e n c e e q u a t i o n s t h a t P ( D ) p l a y e d f o r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s t h a t i s , i t s

r o o t s d e t e r m i n e t h e s o l u t i o n t o t h e O E . I n t h e a n a l y s i s o f O E ' s , w e l a b e l t h e s e

r o o t s

1

,

2

, , e t c , a n d r e f e r t o t h e m a s t h e - r o o t s . T h e y a r e f o u n d b y s o l v i n g t h e

e q u a t i o n P ( ) = 0 . I n t h e s i m p l e e x a m p l e g i v e n a b o v e , t h e r e a r e j u s t t w o r o o t s

a n d i n t e r m s o f t h e m t h e s o l u t i o n c a n b e w r i t t e n

u

n

= c

1

(

1

)

n

+ c

2

(

2

)

n

( 6 . 1 6 )

w h e r e c

1

a n d c

2

d e p e n d u p o n t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s . T h e f a c t t h a t E q . 6 . 1 6 i s a

s o l u t i o n t o E q . 6 . 1 4 f o r a l l c

1

c

2

a n d n s h o u l d b e v e r i e d b y s u b s t i t u t i o n .

6 . 3 . 2 S p e c i a l C a s e s o f C o u p l e d F i r s t - O r d e r E q u a t i o n s

A C o m p l e t e S y s t e m

C o u p l e d , r s t - o r d e r , l i n e a r h o m o g e n e o u s d i e r e n c e e q u a t i o n s h a v e t h e f o r m

u

( n + 1 )

1

= c

1 1

u

( n )

1

+ c

1 2

u

( n )

2

u

( n + 1 )

2

= c

2 1

u

( n )

1

+ c

2 2

u

( n )

2

( 6 . 1 7 )

w h i c h c a n a l s o b e w r i t t e n

~

u

n + 1

= C

~

u

n

~

u

n

=

h

u

( n )

1

u

( n )

2

i

T

C =

c

1 1

c

1 2

c

2 1

c

2 2

T h e o p e r a t i o n a l f o r m o f E q . 6 . 1 7 c a n b e w r i t t e n

( c

1 1

; E ) c

1 2

c

2 1

( c

2 2

; E )

u

1

u

2

( n )

= C ; E I ]

~

u

n

= 0

w h i c h m u s t b e z e r o f o r a l l u

1

a n d u

2

. A g a i n w e a r e l e d t o a c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l ,

t h i s t i m e h a v i n g t h e f o r m P ( E ) = d e t C ; E I ] . T h e - r o o t s a r e f o u n d f r o m

P ( ) = d e t

( c

1 1

; ) c

1 2

c

2 1

( c

2 2

; )

= 0



6 . 4 . S O L U T I O N O F T H E R E P R E S E N T A T I V E O E ' S 9 1

O b v i o u s l y t h e

k

a r e t h e e i g e n v a l u e s o f C a n d , f o l l o w i n g t h e l o g i c o f S e c t i o n 4 . 2 ,

i f

~

x a r e i t s e i g e n v e c t o r s , t h e s o l u t i o n o f E q . 6 . 1 7 i s

~

u

n

=

2

X

k = 1

c

k

(

k

)

n

~

x

k

w h e r e c

k

a r e c o n s t a n t s d e t e r m i n e d b y t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s .

A D e f e c t i v e S y s t e m

T h e s o l u t i o n o f O E ' s w i t h d e f e c t i v e e i g e n s y s t e m s f o l l o w s c l o s e l y t h e l o g i c i n S e c t i o n

4 . 2 . 2 f o r d e f e c t i v e O D E ' s . F o r e x a m p l e , o n e c a n s h o w t h a t t h e s o l u t i o n t o

2

6

4

u

n + 1

u

n + 1

u

n + 1

3

7

5

=

2

6

4

1

1

3

7

5

2

6

4

u

n

u

n

u

n

3

7

5

i s

u

n

= u

0

n

u

n

=

h

u

0

+ u

0

n

; 1

i

n

u

n

=

"

u

0

+ u

0

n

; 1

+ u

0

n ( n ; 1 )

2

; 2

#

n

( 6 . 1 8 )

6 . 4 S o l u t i o n o f t h e R e p r e s e n t a t i v e O E ' s

6 . 4 . 1 T h e O p e r a t i o n a l F o r m a n d i t s S o l u t i o n

E x a m p l e s o f t h e n o n h o m o g e n e o u s , l i n e a r , r s t - o r d e r o r d i n a r y d i e r e n c e e q u a t i o n s ,

p r o d u c e d b y a p p l y i n g a t i m e - m a r c h i n g m e t h o d t o t h e r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n , a r e

g i v e n b y E q s . 6 . 9 t o 6 . 1 1 . U s i n g t h e d i s p l a c e m e n t o p e r a t o r , E , t h e s e e q u a t i o n s c a n

b e w r i t t e n

E ; ( 1 + h ) ] u

n

= h a e

h n

( 6 . 1 9 )

( 1 ; h ) E ; 1 ] u

n

= h E a e

h n

( 6 . 2 0 )

"

E ; ( 1 + h )

;

1

2

( 1 + h ) E E ;

1

2

# "

~ u

u

#

n

= h

"

1

1

2

E

#

a e

h n

( 6 . 2 1 )




A l l t h r e e o f t h e s e e q u a t i o n s a r e s u b s e t s o f t h e o p e r a t i o n a l f o r m o f t h e r e p r e s e n t a t i v e

O E

P ( E ) u

n

= Q ( E ) a e

h n

( 6 . 2 2 )

w h i c h i s p r o d u c e d b y a p p l y i n g t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s t o t h e r e p r e s e n t a t i v e O D E , E q .

4 . 4 5 . W e c a n e x p r e s s i n t e r m s o f E q . 6 . 2 2 a l l m a n n e r o f s t a n d a r d t i m e - m a r c h i n g m e t h -

o d s h a v i n g m u l t i p l e t i m e s t e p s a n d v a r i o u s t y p e s o f i n t e r m e d i a t e p r e d i c t o r - c o r r e c t o r

f a m i l i e s . T h e t e r m s P ( E ) a n d Q ( E ) a r e p o l y n o m i a l s i n E r e f e r r e d t o a s t h e c h a r a c -

t e r i s t i c p o l y n o m i a l a n d t h e p a r t i c u l a r p o l y n o m i a l , r e s p e c t i v e l y .

T h e g e n e r a l s o l u t i o n o f E q . 6 . 2 2 c a n b e e x p r e s s e d a s

u

n

=

K

X

k = 1

c

k

(

k

)

n

+ a e

h n

Q ( e

h

)

P ( e

h

)

( 6 . 2 3 )

w h e r e

k

a r e t h e K r o o t s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l , P ( ) = 0 . W h e n d e t e r m i -

n a n t s a r e i n v o l v e d i n t h e c o n s t r u c t i o n o f P ( E ) a n d Q ( E ) , a s w o u l d b e t h e c a s e f o r

E q . 6 . 2 1 , t h e r a t i o Q ( E ) = P ( E ) c a n b e f o u n d b y K r a m e r ' s r u l e . K e e p i n m i n d t h a t

f o r m e t h o d s s u c h a s i n E q . 6 . 2 1 t h e r e a r e m u l t i p l e ( t w o i n t h i s c a s e ) s o l u t i o n s , o n e

f o r u

n

a n d ~ u

n

a n d w e a r e u s u a l l y o n l y i n t e r e s t e d i n t h e n a l s o l u t i o n u

n

. N o t i c e a l s o ,

t h e i m p o r t a n t s u b s e t o f t h i s s o l u t i o n w h i c h o c c u r s w h e n = 0 , r e p r e s e n t i n g a t i m e

i n v a r i a n t p a r t i c u l a r s o l u t i o n , o r a s t e a d y s t a t e . I n s u c h a c a s e

u

n

=

K

X

k = 1

c

k

(

k

)

n

+ a

Q ( 1 )

P ( 1 )

6 . 4 . 2 E x a m p l e s o f S o l u t i o n s t o T i m e - M a r c h i n g O E ' s

A s e x a m p l e s o f t h e u s e o f E q s . 6 . 2 2 a n d 6 . 2 3 , w e d e r i v e t h e s o l u t i o n s o f E q s . 6 . 1 9 t o

6 . 2 1 . F o r t h e e x p l i c i t E u l e r m e t h o d , E q . 6 . 1 9 , w e h a v e

P ( E ) = E ; 1 ; h

Q ( E ) = h ( 6 . 2 4 )

a n d t h e s o l u t i o n o f i t s r e p r e s e n t a t i v e O E f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m E q . 6 . 2 3 :

u

n

= c

1

( 1 + h )

n

+ a e

h n

h

e

h

; 1 ; h

F o r t h e i m p l i c i t E u l e r m e t h o d , E q . 6 . 2 0 , w e h a v e

P ( E ) = ( 1 ; h ) E ; 1

Q ( E ) = h E ( 6 . 2 5 )







6 . 5 . T H E ; R E L A T I O N 9 5

6 . 5 . 2 T h e P r i n c i p a l - R o o t

B a s e d o n t h e a b o v e w e m a k e t h e f o l l o w i n g o b s e r v a t i o n :

A p p l i c a t i o n o f t h e s a m e t i m e - m a r c h i n g m e t h o d t o a l l o f t h e e q u a t i o n s i n

a c o u p l e d s y s t e m l i n e a r O D E ' s i n t h e f o r m o f E q . 4 . 6 , a l w a y s p r o d u c e s

o n e - r o o t f o r e v e r y - r o o t t h a t s a t i s e s t h e r e l a t i o n

= 1 + h +

1

2

2

h

2

+ +

1

k !

k

h

k

+ O

h

k + 1

w h e r e k i s t h e o r d e r o f t h e t i m e - m a r c h i n g m e t h o d .

( 6 . 3 3 )

W e r e f e r t o t h e r o o t t h a t h a s t h e a b o v e p r o p e r t y a s t h e p r i n c i p a l - r o o t , a n d d e s i g n a t e

i t (

m

)

1

. T h e a b o v e p r o p e r t y c a n b e s t a t e d r e g a r d l e s s o f t h e d e t a i l s o f t h e t i m e -

m a r c h i n g m e t h o d , k n o w i n g o n l y t h a t i t s l e a d i n g e r r o r i s O

h

k + 1

. T h u s t h e p r i n c i p a l

r o o t i s a n a p p r o x i m a t i o n t o e

h

u p t o O

h

k

.

N o t e t h a t a s e c o n d - o r d e r a p p r o x i m a t i o n t o a d e r i v a t i v e w r i t t e n i n t h e f o r m

(

t

u )

n

=

1

2 h

( u

n + 1

; u

n ; 1

) ( 6 . 3 4 )

h a s a l e a d i n g t r u n c a t i o n e r r o r w h i c h i s O ( h

2

) , w h i l e t h e s e c o n d - o r d e r t i m e - m a r c h i n g

m e t h o d w h i c h r e s u l t s f r o m t h i s a p p r o x i m a t i o n , w h i c h i s t h e l e a p f r o g m e t h o d :

u

n + 1

= u

n ; 1

+ 2 h u

0

n

( 6 . 3 5 )

h a s a l e a d i n g t r u n c a t i o n e r r o r O ( h

3

) . T h i s a r i s e s s i m p l y b e c a u s e o f o u r n o t a t i o n

f o r t h e t i m e - m a r c h i n g m e t h o d i n w h i c h w e h a v e m u l t i p l i e d t h r o u g h b y h t o g e t a n

a p p r o x i m a t i o n f o r t h e f u n c t i o n u

n + 1

r a t h e r t h a n t h e d e r i v a t i v e a s i n E q . 6 . 3 4 . T h e

f o l l o w i n g e x a m p l e m a k e s t h i s c l e a r . C o n s i d e r a s o l u t i o n o b t a i n e d a t a g i v e n t i m e T

u s i n g a s e c o n d - o r d e r t i m e - m a r c h i n g m e t h o d w i t h a t i m e s t e p h . N o w c o n s i d e r t h e

s o l u t i o n o b t a i n e d u s i n g t h e s a m e m e t h o d w i t h a t i m e s t e p h = 2 . S i n c e t h e e r r o r p e r

t i m e s t e p i s O ( h

3

) , t h i s i s r e d u c e d b y a f a c t o r o f e i g h t ( c o n s i d e r i n g t h e l e a d i n g t e r m

o n l y ) . H o w e v e r , t w i c e a s m a n y t i m e s t e p s a r e r e q u i r e d t o r e a c h t h e t i m e T . T h e r e f o r e

t h e e r r o r a t t h e e n d o f t h e s i m u l a t i o n i s r e d u c e d b y a f a c t o r o f f o u r , c o n s i s t e n t w i t h

a s e c o n d - o r d e r a p p r o x i m a t i o n .

6 . 5 . 3 S p u r i o u s - R o o t s

W e s a w f r o m E q . 6 . 3 0 t h a t t h e ; r e l a t i o n f o r t h e l e a p f r o g m e t h o d p r o d u c e s t w o

- r o o t s f o r e a c h . O n e o f t h e s e w e i d e n t i e d a s t h e p r i n c i p a l r o o t w h i c h a l w a y s




h a s t h e p r o p e r t y g i v e n i n 6 . 3 3 . T h e o t h e r i s r e f e r r e d t o a s a s p u r i o u s - r o o t a n d

d e s i g n a t e d (

m

)

2

. I n g e n e r a l , t h e ; r e l a t i o n p r o d u c e d b y a t i m e - m a r c h i n g s c h e m e

c a n r e s u l t i n m u l t i p l e - r o o t s a l l o f w h i c h , e x c e p t f o r t h e p r i n c i p a l o n e , a r e s p u r i o u s .

A l l s p u r i o u s r o o t s a r e d e s i g n a t e d (

m

)

k

w h e r e k = 2 3 . N o m a t t e r w h e t h e r a

- r o o t i s p r i n c i p a l o r s p u r i o u s , i t i s a l w a y s s o m e a l g e b r a i c f u n c t i o n o f t h e p r o d u c t h .

T o e x p r e s s t h i s f a c t w e u s e t h e n o t a t i o n = ( h ) .

I f a t i m e - m a r c h i n g m e t h o d p r o d u c e s s p u r i o u s - r o o t s , t h e s o l u t i o n f o r t h e O E i n

t h e f o r m s h o w n i n E q . 6 . 2 8 m u s t b e m o d i e d . F o l l o w i n g a g a i n t h e m e s s a g e o f S e c t i o n

4 . 4 , w e h a v e

u

n

= c

1 1

(

1

)

n

1

~

x

1

+ + c

m 1

(

m

)

n

1

~

x

m

+ + c

M 1

(

M

)

n

1

~

x

M

+ P : S :

+ c

1 2

(

1

)

n

2

~

x

1

+ + c

m 2

(

m

)

n

2

~

x

m

+ + c

M 2

(

M

)

n

2

~

x

M

+ c

1 3

(

1

)

n

3

~

x

1

+ + c

m 3

(

m

)

n

3

~

x

m

+ + c

M 3

(

M

)

n

3

~

x

M

+ e t c . , i f t h e r e a r e m o r e s p u r i o u s r o o t s ( 6 . 3 6 )

S p u r i o u s r o o t s a r i s e i f a m e t h o d u s e s d a t a f r o m t i m e l e v e l n ; 1 o r e a r l i e r t o

a d v a n c e t h e s o l u t i o n f r o m t i m e l e v e l n t o n + 1 . S u c h r o o t s o r i g i n a t e e n t i r e l y f r o m

t h e n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n o f t h e t i m e - m a r c h i n g m e t h o d a n d h a v e n o t h i n g t o d o

w i t h t h e O D E b e i n g s o l v e d . H o w e v e r , g e n e r a t i o n o f s p u r i o u s r o o t s d o e s n o t , i n i t s e l f ,

m a k e a m e t h o d i n f e r i o r . I n f a c t , m a n y v e r y a c c u r a t e m e t h o d s i n p r a c t i c a l u s e f o r

i n t e g r a t i n g s o m e f o r m s o f O D E ' s h a v e s p u r i o u s r o o t s .

I t s h o u l d b e m e n t i o n e d t h a t m e t h o d s w i t h s p u r i o u s r o o t s a r e n o t s e l f s t a r t i n g .

F o r e x a m p l e , i f t h e r e i s o n e s p u r i o u s r o o t t o a m e t h o d , a l l o f t h e c o e c i e n t s ( c

m

)

2

i n E q . 6 . 3 6 m u s t b e i n i t i a l i z e d b y s o m e s t a r t i n g p r o c e d u r e . T h e i n i t i a l v e c t o r ~u

0

d o e s n o t p r o v i d e e n o u g h d a t a t o i n i t i a l i z e a l l o f t h e c o e c i e n t s . T h i s r e s u l t s b e c a u s e

m e t h o d s w h i c h p r o d u c e s p u r i o u s r o o t s r e q u i r e d a t a f r o m t i m e l e v e l n ; 1 o r e a r l i e r .

F o r e x a m p l e , t h e l e a p f r o g m e t h o d r e q u i r e s ~u

n ; 1

a n d t h u s c a n n o t b e s t a r t e d u s i n g

o n l y ~u

n

.

P r e s u m a b l y ( i . e . , i f o n e s t a r t s t h e m e t h o d p r o p e r l y ) t h e s p u r i o u s c o e c i e n t s a r e

a l l i n i t i a l i z e d w i t h v e r y s m a l l m a g n i t u d e s , a n d p r e s u m a b l y t h e m a g n i t u d e s o f t h e

s p u r i o u s r o o t s t h e m s e l v e s a r e a l l l e s s t h a n o n e ( s e e C h a p t e r 7 ) . T h e n t h e p r e s e n c e o f

s p u r i o u s r o o t s d o e s n o t c o n t a m i n a t e t h e a n s w e r . T h a t i s , a f t e r s o m e n i t e t i m e t h e

a m p l i t u d e o f t h e e r r o r a s s o c i a t e d w i t h t h e s p u r i o u s r o o t s i s e v e n s m a l l e r t h e n w h e n

i t w a s i n i t i a l i z e d . T h u s w h i l e s p u r i o u s r o o t s m u s t b e c o n s i d e r e d i n s t a b i l i t y a n a l y s i s ,

t h e y p l a y v i r t u a l l y n o r o l e i n a c c u r a c y a n a l y s i s .

6 . 5 . 4 O n e - R o o t T i m e - M a r c h i n g M e t h o d s

T h e r e a r e a n u m b e r o f t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s t h a t p r o d u c e o n l y o n e - r o o t f o r e a c h

- r o o t . W e r e f e r t o t h e m a s o n e - r o o t m e t h o d s . T h e y a r e a l s o c a l l e d o n e - s t e p m e t h o d s .



6 . 6 . A C C U R A C Y M E A S U R E S O F T I M E - M A R C H I N G M E T H O D S 9 7

T h e y h a v e t h e s i g n i c a n t a d v a n t a g e o f b e i n g s e l f - s t a r t i n g w h i c h c a r r i e s w i t h i t t h e

v e r y u s e f u l p r o p e r t y t h a t t h e t i m e - s t e p i n t e r v a l c a n b e c h a n g e d a t w i l l t h r o u g h o u t

t h e m a r c h i n g p r o c e s s . T h r e e o n e - r o o t m e t h o d s w e r e a n a l y z e d i n S e c t i o n 6 . 4 . 2 . A

p o p u l a r m e t h o d h a v i n g t h i s p r o p e r t y , t h e s o - c a l l e d - m e t h o d , i s g i v e n b y t h e f o r m u l a

u

n + 1

= u

n

+ h

h

( 1 ; ) u

0

n

+ u

0

n + 1

i

T h e - m e t h o d r e p r e s e n t s t h e e x p l i c i t E u l e r ( = 0 ) , t h e t r a p e z o i d a l ( =

1

2

) , a n d t h e

i m p l i c i t E u l e r m e t h o d s ( = 1 ) , r e s p e c t i v e l y . I t s ; r e l a t i o n i s

=

1 + ( 1 ; ) h

1 ; h

I t i s i n s t r u c t i v e t o c o m p a r e t h e e x a c t s o l u t i o n t o a s e t o f O D E ' s ( w i t h a c o m p l e t e

e i g e n s y s t e m ) h a v i n g t i m e - i n v a r i a n t f o r c i n g t e r m s w i t h t h e e x a c t s o l u t i o n t o t h e O E ' s

f o r o n e - r o o t m e t h o d s . T h e s e a r e

~

u ( t ) = c

1

e

1

h

n

~

x

1

+ + c

m

e

m

h

n

~

x

m

+ + c

M

e

M

h

n

~

x

M

+ A

; 1

~

f

~

u

n

= c

1

(

1

)

n

~

x

1

+ + c

m

(

m

)

n

~

x

m

+ + c

M

(

M

)

n

~

x

M

+ A

; 1

~

f ( 6 . 3 7 )

r e s p e c t i v e l y . N o t i c e t h a t w h e n t a n d n = 0 , t h e s e e q u a t i o n s a r e i d e n t i c a l , s o t h a t a l l

t h e c o n s t a n t s , v e c t o r s , a n d m a t r i c e s a r e i d e n t i c a l e x c e p t t h e

~

u a n d t h e t e r m s i n s i d e

t h e p a r e n t h e s e s o n t h e r i g h t h a n d s i d e s . T h e o n l y e r r o r m a d e b y i n t r o d u c i n g t h e t i m e

m a r c h i n g i s t h e e r r o r t h a t m a k e s i n a p p r o x i m a t i n g e

h

.

6 . 6 A c c u r a c y M e a s u r e s o f T i m e - M a r c h i n g M e t h -

o d s

6 . 6 . 1 L o c a l a n d G l o b a l E r r o r M e a s u r e s

T h e r e a r e t w o b r o a d c a t e g o r i e s o f e r r o r s t h a t c a n b e u s e d t o d e r i v e a n d e v a l u a t e t i m e -

m a r c h i n g m e t h o d s . O n e i s t h e e r r o r m a d e i n e a c h t i m e s t e p . T h i s i s a l o c a l e r r o r s u c h

a s t h a t f o u n d f r o m a T a y l o r t a b l e a n a l y s i s , s e e S e c t i o n 3 . 4 . I t i s u s u a l l y u s e d a s t h e

b a s i s f o r e s t a b l i s h i n g t h e o r d e r o f a m e t h o d . T h e o t h e r i s t h e e r r o r d e t e r m i n e d a t t h e

e n d o f a g i v e n e v e n t w h i c h h a s c o v e r e d a s p e c i c i n t e r v a l o f t i m e c o m p o s e d o f m a n y

t i m e s t e p s . T h i s i s a g l o b a l e r r o r . I t i s u s e f u l f o r c o m p a r i n g m e t h o d s , a s w e s h a l l s e e

i n C h a p t e r 8 .

I t i s q u i t e c o m m o n t o j u d g e a t i m e - m a r c h i n g m e t h o d o n t h e b a s i s o f r e s u l t s f o u n d

f r o m a T a y l o r t a b l e . H o w e v e r , a T a y l o r s e r i e s a n a l y s i s i s a v e r y l i m i t e d t o o l f o r n d i n g

t h e m o r e s u b t l e p r o p e r t i e s o f a n u m e r i c a l t i m e - m a r c h i n g m e t h o d . F o r e x a m p l e , i t i s

o f n o u s e i n :




n d i n g s p u r i o u s r o o t s .

e v a l u a t i n g n u m e r i c a l s t a b i l i t y a n d s e p a r a t i n g t h e e r r o r s i n p h a s e a n d a m p l i t u d e .

a n a l y z i n g t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n o f p r e d i c t o r - c o r r e c t o r c o m b i n a t i o n s .

n d i n g t h e g l o b a l e r r o r .

T h e l a t t e r t h r e e o f t h e s e a r e o f c o n c e r n t o u s h e r e , a n d t o s t u d y t h e m w e m a k e u s e o f

t h e m a t e r i a l d e v e l o p e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s o f t h i s c h a p t e r . O u r e r r o r m e a s u r e s

a r e b a s e d o n t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e e x a c t s o l u t i o n t o t h e r e p r e s e n t a t i v e O D E ,

g i v e n b y

u ( t ) = c e

t

+

a e

t

;

( 6 . 3 8 )

a n d t h e s o l u t i o n t o t h e r e p r e s e n t a t i v e O E ' s , i n c l u d i n g o n l y t h e c o n t r i b u t i o n f r o m

t h e p r i n c i p a l r o o t , w h i c h c a n b e w r i t t e n a s

u

n

= c

1

(

1

)

n

+ a e

h n

Q ( e

h

)

P ( e

h

)

( 6 . 3 9 )

6 . 6 . 2 L o c a l A c c u r a c y o f t h e T r a n s i e n t S o l u t i o n ( e r

j j e r

!

)

T r a n s i e n t e r r o r

T h e p a r t i c u l a r c h o i c e o f a n e r r o r m e a s u r e , e i t h e r l o c a l o r g l o b a l , i s t o s o m e e x t e n t

a r b i t r a r y . H o w e v e r , a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r t h e c h o i c e s h o u l d b e t h a t t h e m e a s u r e

c a n b e u s e d c o n s i s t e n t l y f o r a l l m e t h o d s . I n t h e d i s c u s s i o n o f t h e - r e l a t i o n w e

s a w t h a t a l l t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s p r o d u c e a p r i n c i p a l - r o o t f o r e v e r y - r o o t t h a t

e x i s t s i n a s e t o f l i n e a r O D E ' s . T h e r e f o r e , a v e r y n a t u r a l l o c a l e r r o r m e a s u r e f o r t h e

t r a n s i e n t s o l u t i o n i s t h e v a l u e o f t h e d i e r e n c e b e t w e e n s o l u t i o n s b a s e d o n t h e s e t w o

r o o t s . W e d e s i g n a t e t h i s b y e r

a n d m a k e t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n

e r

e

h

;

1

T h e l e a d i n g e r r o r t e r m c a n b e f o u n d b y e x p a n d i n g i n a T a y l o r s e r i e s a n d c h o o s i n g

t h e r s t n o n v a n i s h i n g t e r m . T h i s i s s i m i l a r t o t h e e r r o r f o u n d f r o m a T a y l o r t a b l e .

T h e o r d e r o f t h e m e t h o d i s t h e l a s t p o w e r o f h m a t c h e d e x a c t l y .



6 . 6 . A C C U R A C Y M E A S U R E S O F T I M E - M A R C H I N G M E T H O D S 9 9

A m p l i t u d e a n d P h a s e E r r o r

S u p p o s e a e i g e n v a l u e i s i m a g i n a r y . S u c h c a n i n d e e d b e t h e c a s e w h e n w e s t u d y t h e

e q u a t i o n s g o v e r n i n g p e r i o d i c c o n v e c t i o n w h i c h p r o d u c e s h a r m o n i c m o t i o n . F o r s u c h

c a s e s i t i s m o r e m e a n i n g f u l t o e x p r e s s t h e e r r o r i n t e r m s o f a m p l i t u d e a n d p h a s e .

L e t = i ! w h e r e ! i s a r e a l n u m b e r r e p r e s e n t i n g a f r e q u e n c y . T h e n t h e n u m e r i c a l

m e t h o d m u s t p r o d u c e a p r i n c i p a l - r o o t t h a t i s c o m p l e x a n d e x p r e s s i b l e i n t h e f o r m

1

=

r

+ i

i

e

i ! h

( 6 . 4 0 )

F r o m t h i s i t f o l l o w s t h a t t h e l o c a l e r r o r i n a m p l i t u d e i s m e a s u r e d b y t h e d e v i a t i o n o f

j

1

j f r o m u n i t y , t h a t i s

e r

a

= 1 ; j

1

j = 1 ;

q

(

1

)

2

r

+ (

1

)

2

i

a n d t h e l o c a l e r r o r i n p h a s e c a n b e d e n e d a s

e r

!

! h ; t a n

; 1

(

1

)

i

= (

1

)

r

) ] ( 6 . 4 1 )

A m p l i t u d e a n d p h a s e e r r o r s a r e i m p o r t a n t m e a s u r e s o f t h e s u i t a b i l i t y o f t i m e - m a r c h i n g

m e t h o d s f o r c o n v e c t i o n a n d w a v e p r o p a g a t i o n p h e n o m e n a .

T h e a p p r o a c h t o e r r o r a n a l y s i s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 3 . 5 c a n b e e x t e n d e d t o t h e

c o m b i n a t i o n o f a s p a t i a l d i s c r e t i z a t i o n a n d a t i m e - m a r c h i n g m e t h o d a p p l i e d t o t h e

l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n . T h e p r i n c i p a l r o o t ,

1

( h ) , i s f o u n d u s i n g = ; i a

,

w h e r e

i s t h e m o d i e d w a v e n u m b e r o f t h e s p a t i a l d i s c r e t i z a t i o n . I n t r o d u c i n g t h e

C o u r a n t n u m b e r , C

n

= a h = x , w e h a v e h = ; i C

n

x . T h u s o n e c a n o b t a i n

v a l u e s o f t h e p r i n c i p a l r o o t o v e r t h e r a n g e 0 x f o r a g i v e n v a l u e o f t h e

C o u r a n t n u m b e r . T h e a b o v e e x p r e s s i o n f o r e r

!

c a n b e n o r m a l i z e d t o g i v e t h e e r r o r

i n t h e p h a s e s p e e d , a s f o l l o w s

e r

p

=

e r

!

! h

= 1 +

t a n

; 1

(

1

)

i

= (

1

)

r

) ]

C

n

x

( 6 . 4 2 )

w h e r e ! = ; a . A p o s i t i v e v a l u e o f e r

p

c o r r e s p o n d s t o p h a s e l a g ( t h e n u m e r i c a l p h a s e

s p e e d i s t o o s m a l l ) , w h i l e a n e g a t i v e v a l u e c o r r e s p o n d s t o p h a s e l e a d ( t h e n u m e r i c a l

p h a s e s p e e d i s t o o l a r g e ) .

6 . 6 . 3 L o c a l A c c u r a c y o f t h e P a r t i c u l a r S o l u t i o n ( e r

)

T h e n u m e r i c a l e r r o r i n t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n i s f o u n d b y c o m p a r i n g t h e p a r t i c u l a r

s o l u t i o n o f t h e O D E w i t h t h a t f o r t h e O E . W e h a v e f o u n d t h e s e t o b e g i v e n b y

P : S :

( O D E )

= a e

t

1

( ; )



1 0 0 C H A P T E R 6 . T I M E - M A R C H I N G M E T H O D S F O R O D E ' S

a n d

P : S :

( O E )

= a e

t

Q ( e

h

)

P ( e

h

)

r e s p e c t i v e l y . F o r a m e a s u r e o f t h e l o c a l e r r o r i n t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n w e i n t r o d u c e

t h e d e n i t i o n

e r

h

(

P : S :

( O E )

P : S :

( O D E )

; 1

)

( 6 . 4 3 )

T h e m u l t i p l i c a t i o n b y h c o n v e r t s t h e e r r o r f r o m a g l o b a l m e a s u r e t o a l o c a l o n e , s o

t h a t t h e o r d e r o f e r

a n d e r

a r e c o n s i s t e n t . I n o r d e r t o d e t e r m i n e t h e l e a d i n g e r r o r

t e r m , E q . 6 . 4 3 c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c a n d p a r t i c u l a r p o l y n o m i a l s

a s

e r

=

c

o

;

n

( ; ) Q

e

h

; P

e

h

o

( 6 . 4 4 )

w h e r e

c

o

= l i m

h ! 0

h ( ; )

P

e

h

T h e v a l u e o f c

o

i s a m e t h o d - d e p e n d e n t c o n s t a n t t h a t i s o f t e n e q u a l t o o n e . I f t h e

f o r c i n g f u n c t i o n i s i n d e p e n d e n t o f t i m e , i s e q u a l t o z e r o , a n d f o r t h i s c a s e , m a n y

n u m e r i c a l m e t h o d s g e n e r a t e a n e r

t h a t i s a l s o z e r o .

T h e a l g e b r a i n v o l v e d i n n d i n g t h e o r d e r o f e r

c a n b e q u i t e t e d i o u s . H o w e v e r ,

t h i s o r d e r i s q u i t e i m p o r t a n t i n d e t e r m i n i n g t h e t r u e o r d e r o f a t i m e - m a r c h i n g m e t h o d

b y t h e p r o c e s s t h a t h a s b e e n o u t l i n e d . A n i l l u s t r a t i o n o f t h i s i s g i v e n i n t h e s e c t i o n

o n R u n g e - K u t t a m e t h o d s .

6 . 6 . 4 T i m e A c c u r a c y F o r N o n l i n e a r A p p l i c a t i o n s

I n p r a c t i c e , t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s a r e u s u a l l y a p p l i e d t o n o n l i n e a r O D E ' s , a n d i t

i s n e c e s s a r y t h a t t h e a d v e r t i s e d o r d e r o f a c c u r a c y b e v a l i d f o r t h e n o n l i n e a r c a s e s a s

w e l l a s f o r t h e l i n e a r o n e s . A n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r t h i s t o o c c u r i s t h a t t h e l o c a l

a c c u r a c i e s o f b o t h t h e t r a n s i e n t a n d t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n s b e o f t h e s a m e o r d e r .

M o r e p r e c i s e l y , a t i m e - m a r c h i n g m e t h o d i s s a i d t o b e o f o r d e r k i f

e r

= c

1

( h )

k

1

+ 1

( 6 . 4 5 )

e r

= c

2

( h )

k

2

+ 1

( 6 . 4 6 )

w h e r e k = s m a l l e s t o f ( k

1

k

2

) ( 6 . 4 7 )



6 . 6 . A C C U R A C Y M E A S U R E S O F T I M E - M A R C H I N G M E T H O D S 1 0 1

T h e r e a d e r s h o u l d b e a w a r e t h a t t h i s i s n o t s u c i e n t . F o r e x a m p l e , t o d e r i v e a l l o f

t h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r t h e f o u r t h - o r d e r R u n g e - K u t t a m e t h o d p r e s e n t e d l a t e r

i n t h i s c h a p t e r t h e d e r i v a t i o n m u s t b e p e r f o r m e d f o r a n o n l i n e a r O D E . H o w e v e r , t h e

a n a l y s i s b a s e d o n a l i n e a r n o n h o m o g e n e o u s O D E p r o d u c e s t h e a p p r o p r i a t e c o n d i t i o n s

f o r t h e m a j o r i t y o f t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s u s e d i n C F D .

6 . 6 . 5 G l o b a l A c c u r a c y

I n c o n t r a s t t o t h e l o c a l e r r o r m e a s u r e s w h i c h h a v e j u s t b e e n d i s c u s s e d , w e c a n a l s o

d e n e g l o b a l e r r o r m e a s u r e s . T h e s e a r e u s e f u l w h e n w e c o m e t o t h e e v a l u a t i o n o f

t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s f o r s p e c i c p u r p o s e s . T h i s s u b j e c t i s c o v e r e d i n C h a p t e r 8

a f t e r o u r i n t r o d u c t i o n t o s t a b i l i t y i n C h a p t e r 7 .

S u p p o s e w e w i s h t o c o m p u t e s o m e t i m e - a c c u r a t e p h e n o m e n o n o v e r a x e d i n t e r v a l

o f t i m e u s i n g a c o n s t a n t t i m e s t e p . W e r e f e r t o s u c h a c o m p u t a t i o n a s a n \ e v e n t " .

L e t T b e t h e x e d t i m e o f t h e e v e n t a n d h b e t h e c h o s e n s t e p s i z e . T h e n t h e r e q u i r e d

n u m b e r o f t i m e s t e p s , i s N , g i v e n b y t h e r e l a t i o n

T = N h

G l o b a l e r r o r i n t h e t r a n s i e n t

A n a t u r a l e x t e n s i o n o f e r

t o c o v e r t h e e r r o r i n a n e n t i r e e v e n t i s g i v e n b y

E r

e

T

; (

1

( h ) )

N

( 6 . 4 8 )

G l o b a l e r r o r i n a m p l i t u d e a n d p h a s e

I f t h e e v e n t i s p e r i o d i c , w e a r e m o r e c o n c e r n e d w i t h t h e g l o b a l e r r o r i n a m p l i t u d e a n d

p h a s e . T h e s e a r e g i v e n b y

E r

a

= 1 ;

q

(

1

)

2

r

+ (

1

)

2

i

N

( 6 . 4 9 )

a n d

E r

!

N

"

! h ; t a n

; 1

(

1

)

i

(

1

)

r

! #

= ! T ; N t a n

; 1

(

1

)

i

= (

1

)

r

] ( 6 . 5 0 )




G l o b a l e r r o r i n t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n

F i n a l l y , t h e g l o b a l e r r o r i n t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n f o l l o w s n a t u r a l l y b y c o m p a r i n g t h e

s o l u t i o n s t o t h e O D E a n d t h e O E . I t c a n b e m e a s u r e d b y

E r

( ; )

Q

e

h

P

e

h

; 1

6 . 7 L i n e a r M u l t i s t e p M e t h o d s

I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s , w e h a v e d e v e l o p e d t h e f r a m e w o r k o f e r r o r a n a l y s i s f o r t i m e

a d v a n c e m e t h o d s a n d h a v e r a n d o m l y i n t r o d u c e d a f e w m e t h o d s w i t h o u t a d d r e s s i n g

m o t i v a t i o n a l , d e v e l o p m e n t a l o r d e s i g n i s s u e s . I n t h e s u b s e q u e n t s e c t i o n s , w e i n t r o d u c e

c l a s s e s o f m e t h o d s a l o n g w i t h t h e i r a s s o c i a t e d e r r o r a n a l y s i s . W e s h a l l n o t s p e n d m u c h

t i m e o n d e v e l o p m e n t o r d e s i g n o f t h e s e m e t h o d s , s i n c e m o s t o f t h e m h a v e h i s t o r i c

o r i g i n s f r o m a w i d e v a r i e t y o f d i s c i p l i n e s a n d a p p l i c a t i o n s . T h e L i n e a r M u l t i s t e p

M e t h o d s ( L M M ' s ) a r e p r o b a b l y t h e m o s t n a t u r a l e x t e n s i o n t o t i m e m a r c h i n g o f t h e

s p a c e d i e r e n c i n g s c h e m e s i n t r o d u c e d i n C h a p t e r 3 a n d c a n b e a n a l y z e d f o r a c c u r a c y

o r d e s i g n e d u s i n g t h e T a y l o r t a b l e a p p r o a c h o f S e c t i o n 3 . 4 .

6 . 7 . 1 T h e G e n e r a l F o r m u l a t i o n

W h e n a p p l i e d t o t h e n o n l i n e a r O D E

d u

d t

= u

0

= F ( u t )

a l l l i n e a r m u l t i s t e p m e t h o d s c a n b e e x p r e s s e d i n t h e g e n e r a l f o r m

1

X

k = 1 ; K

k

u

n + k

= h

1

X

k = 1 ; K

k

F

n + k

( 6 . 5 1 )

w h e r e t h e n o t a t i o n f o r F i s d e n e d i n S e c t i o n 6 . 1 . T h e m e t h o d s a r e s a i d t o b e l i n e a r

b e c a u s e t h e ' s a n d ' s a r e i n d e p e n d e n t o f u a n d n , a n d t h e y a r e s a i d t o b e K - s t e p

b e c a u s e K t i m e - l e v e l s o f d a t a a r e r e q u i r e d t o m a r c h i n g t h e s o l u t i o n o n e t i m e - s t e p , h .

T h e y a r e e x p l i c i t i f

1

= 0 a n d i m p l i c i t o t h e r w i s e .

W h e n E q . 6 . 5 1 i s a p p l i e d t o t h e r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n , E q . 6 . 8 , a n d t h e r e s u l t i s

e x p r e s s e d i n o p e r a t i o n a l f o r m , o n e n d s

0

@

1

X

k = 1 ; K

k

E

k

1

A

u

n

= h

0

@

1

X

k = 1 ; K

k

E

k

1

A

( u

n

+ a e

h n

) ( 6 . 5 2 )






T h i s l e a d s t o t h e l i n e a r s y s t e m

2

6

6

6

4

1 1 1 1

2 0 ; 2 ; 4

3 0 3 1 2

4 0 ; 4 ; 3 2

3

7

7

7

5

2

6

6

6

4

1

0

; 1

; 2

3

7

7

7

5

=

2

6

6

6

4

1

1

1

1

3

7

7

7

5

( 6 . 5 5 )

t o s o l v e f o r t h e ' s , r e s u l t i n g i n

1

= 9 = 2 4

0

= 1 9 = 2 4

; 1

= ; 5 = 2 4

; 2

= 1 = 2 4 ( 6 . 5 6 )

w h i c h p r o d u c e s a m e t h o d w h i c h i s f o u r t h - o r d e r a c c u r a t e .

4

W i t h

1

= 0 o n e o b t a i n s

2

6

4

1 1 1

0 ; 2 ; 4

0 3 1 2

3

7

5

2

6

4

0

; 1

; 2

3

7

5

=

2

6

4

1

1

1

3

7

5

( 6 . 5 7 )

g i v i n g

0

= 2 3 = 1 2

; 1

= ; 1 6 = 1 2

; 2

= 5 = 1 2 ( 6 . 5 8 )

T h i s i s t h e t h i r d - o r d e r A d a m s - B a s h f o r t h m e t h o d .

A l i s t o f s i m p l e m e t h o d s , s o m e o f w h i c h a r e v e r y c o m m o n i n C F D a p p l i c a t i o n s ,

i s g i v e n b e l o w t o g e t h e r w i t h i d e n t i f y i n g n a m e s t h a t a r e s o m e t i m e s a s s o c i a t e d w i t h

t h e m . I n t h e f o l l o w i n g m a t e r i a l A B ( n ) a n d A M ( n ) a r e u s e d a s a b b r e v i a t i o n s f o r t h e

( n ) t h o r d e r A d a m s - B a s h f o r t h a n d ( n ) t h o r d e r A d a m s - M o u l t o n m e t h o d s . O n e c a n

v e r i f y t h a t t h e A d a m s t y p e s c h e m e s g i v e n b e l o w s a t i s f y E q s . 6 . 5 5 a n d 6 . 5 7 u p t o t h e

o r d e r o f t h e m e t h o d .

E x p l i c i t M e t h o d s

u

n + 1

= u

n

+ h u

0

n

E u l e r

u

n + 1

= u

n ; 1

+ 2 h u

0

n

L e a p f r o g

u

n + 1

= u

n

+

1

2

h

h

3 u

0

n

; u

0

n ; 1

i

A B 2

u

n + 1

= u

n

+

h

1 2

h

2 3 u

0

n

; 1 6 u

0

n ; 1

+ 5 u

0

n ; 2

i

A B 3

I m p l i c i t M e t h o d s

u

n + 1

= u

n

+ h u

0

n + 1

I m p l i c i t E u l e r

u

n + 1

= u

n

+

1

2

h

h

u

0

n

+ u

0

n + 1

i

T r a p e z o i d a l ( A M 2 )

u

n + 1

=

1

3

h

4 u

n

; u

n ; 1

+ 2 h u

0

n + 1

i

2 n d - o r d e r B a c k w a r d

u

n + 1

= u

n

+

h

1 2

h

5 u

0

n + 1

+ 8 u

0

n

; u

0

n ; 1

i

A M 3

4

R e c a l l f r o m S e c t i o n 6 . 5 . 2 t h a t a k t h - o r d e r t i m e - m a r c h i n g m e t h o d h a s a l e a d i n g t r u n c a t i o n e r r o r

t e r m w h i c h i s O ( h

k + 1

) .



6 . 7 . L I N E A R M U L T I S T E P M E T H O D S 1 0 5

6 . 7 . 3 T w o - S t e p L i n e a r M u l t i s t e p M e t h o d s

H i g h r e s o l u t i o n C F D p r o b l e m s u s u a l l y r e q u i r e v e r y l a r g e d a t a s e t s t o s t o r e t h e s p a t i a l

i n f o r m a t i o n f r o m w h i c h t h e t i m e d e r i v a t i v e i s c a l c u l a t e d . T h i s l i m i t s t h e i n t e r e s t

i n m u l t i s t e p m e t h o d s t o a b o u t t w o t i m e l e v e l s . T h e m o s t g e n e r a l t w o - s t e p l i n e a r

m u l t i s t e p m e t h o d ( i . e . , K = 2 i n E q . 6 . 5 1 ) , t h a t i s a t l e a s t r s t - o r d e r a c c u r a t e , c a n b e

w r i t t e n a s

( 1 + ) u

n + 1

= ( 1 + 2 ) u

n

; u

n ; 1

] + h

h

u

0

n + 1

+ ( 1 ; + ' ) u

0

n

; ' u

0

n ; 1

i

( 6 . 5 9 )

C l e a r l y t h e m e t h o d s a r e e x p l i c i t i f = 0 a n d i m p l i c i t o t h e r w i s e . A l i s t o f m e t h o d s

c o n t a i n e d i n E q . 6 . 5 9 i s g i v e n i n T a b l e 6 . 2 . N o t i c e t h a t t h e A d a m s m e t h o d s h a v e

= 0 , w h i c h c o r r e s p o n d s t o

; 1

= 0 i n E q . 6 . 5 1 . M e t h o d s w i t h = ; 1 = 2 , w h i c h

c o r r e s p o n d s t o

0

= 0 i n E q . 6 . 5 1 , a r e k n o w n a s M i l n e m e t h o d s .

' M e t h o d O r d e r

0 0 0 E u l e r 1

1 0 0 I m p l i c i t E u l e r 1

1 = 2 0 0 T r a p e z o i d a l o r A M 2 2

1 1 = 2 0 2 n d O r d e r B a c k w a r d 2

3 = 4 0 ; 1 = 4 A d a m s t y p e 2

1 = 3 ; 1 = 2 ; 1 = 3 L e e s T y p e 2

1 = 2 ; 1 = 2 ; 1 = 2 T w o { s t e p t r a p e z o i d a l 2

5 = 9 ; 1 = 6 ; 2 = 9 A { c o n t r a c t i v e 2

0 ; 1 = 2 0 L e a p f r o g 2

0 0 1 = 2 A B 2 2

0 ; 5 = 6 ; 1 = 3 M o s t a c c u r a t e e x p l i c i t 3

1 = 3 ; 1 = 6 0 T h i r d { o r d e r i m p l i c i t 3

5 = 1 2 0 1 = 1 2 A M 3 3

1 = 6 ; 1 = 2 ; 1 = 6 M i l n e 4

T a b l e 6 . 2 . S o m e l i n e a r o n e - a n d t w o - s t e p m e t h o d s , s e e E q . 6 . 5 9 .

O n e c a n s h o w a f t e r a l i t t l e a l g e b r a t h a t b o t h e r

a n d e r

a r e r e d u c e d t o 0 ( h

3

)

( i . e . , t h e m e t h o d s a r e 2 n d - o r d e r a c c u r a t e ) i f

' = ; +

1

2

T h e c l a s s o f a l l 3 r d - o r d e r m e t h o d s i s d e t e r m i n e d b y i m p o s i n g t h e a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t

= 2 ;

5

6

F i n a l l y a u n i q u e f o u r t h - o r d e r m e t h o d i s f o u n d b y s e t t i n g = ; ' = ; = 3 =

1

6

.




6 . 8 P r e d i c t o r - C o r r e c t o r M e t h o d s

T h e r e a r e a w i d e v a r i e t y o f p r e d i c t o r - c o r r e c t o r s c h e m e s c r e a t e d a n d u s e d f o r a v a r i e t y

o f p u r p o s e s . T h e i r u s e i n s o l v i n g O D E ' s i s r e l a t i v e l y e a s y t o i l l u s t r a t e a n d u n d e r s t a n d .

T h e i r u s e i n s o l v i n g P D E ' s c a n b e m u c h m o r e s u b t l e a n d d e m a n d s c o n c e p t s

5

w h i c h

h a v e n o c o u n t e r p a r t i n t h e a n a l y s i s o f O D E ' s .

P r e d i c t o r - c o r r e c t o r m e t h o d s c o n s t r u c t e d t o t i m e - m a r c h l i n e a r o r n o n l i n e a r O D E ' s

a r e c o m p o s e d o f s e q u e n c e s o f l i n e a r m u l t i s t e p m e t h o d s , e a c h o f w h i c h i s r e f e r r e d t o

a s a f a m i l y i n t h e s o l u t i o n p r o c e s s . T h e r e m a y b e m a n y f a m i l i e s i n t h e s e q u e n c e , a n d

u s u a l l y t h e n a l f a m i l y h a s a h i g h e r T a y l o r - s e r i e s o r d e r o f a c c u r a c y t h a n t h e i n t e r -

m e d i a t e o n e s . T h e i r u s e i s m o t i v a t e d b y e a s e o f a p p l i c a t i o n a n d i n c r e a s e d e c i e n c y ,

w h e r e m e a s u r e s o f e c i e n c y a r e d i s c u s s e d i n t h e n e x t t w o c h a p t e r s .

A s i m p l e o n e - p r e d i c t o r , o n e - c o r r e c t o r e x a m p l e i s g i v e n b y

~ u

n +

= u

n

+ h u

0

n

u

n + 1

= u

n

+ h

h

~ u

0

n +

+ u

0

n

i

( 6 . 6 0 )

w h e r e t h e p a r a m e t e r s a n d a r e a r b i t r a r y p a r a m e t e r s t o b e d e t e r m i n e d . O n e

c a n a n a l y z e t h i s s e q u e n c e b y a p p l y i n g i t t o t h e r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n a n d u s i n g

t h e o p e r a t i o n a l t e c h n i q u e s o u t l i n e d i n S e c t i o n 6 . 4 . I t i s e a s y t o s h o w , f o l l o w i n g t h e

e x a m p l e l e a d i n g t o E q . 6 . 2 6 , t h a t

P ( E ) = E

h

E ; 1 ; ( + ) h ;

2

h

2

i

( 6 . 6 1 )

Q ( E ) = E

h E

+ + h ] ( 6 . 6 2 )

C o n s i d e r i n g o n l y l o c a l a c c u r a c y , o n e i s l e d , b y f o l l o w i n g t h e d i s c u s s i o n i n S e c t i o n 6 . 6 ,

t o t h e f o l l o w i n g o b s e r v a t i o n s . F o r t h e m e t h o d t o b e s e c o n d - o r d e r a c c u r a t e b o t h e r

a n d e r

m u s t b e O ( h

3

) . F o r t h i s t o h o l d f o r e r

, i t i s o b v i o u s f r o m E q . 6 . 6 1 t h a t

+ = 1 =

1

2

w h i c h p r o v i d e s t w o e q u a t i o n s f o r t h r e e u n k n o w n s . T h e s i t u a t i o n f o r e r

r e q u i r e s s o m e

a l g e b r a , b u t i t i s n o t d i c u l t t o s h o w u s i n g E q . 6 . 4 4 t h a t t h e s a m e c o n d i t i o n s a l s o

m a k e i t O ( h

3

) . O n e c o n c l u d e s , t h e r e f o r e , t h a t t h e p r e d i c t o r - c o r r e c t o r s e q u e n c e

~ u

n +

= u

n

+ h u

0

n

u

n + 1

= u

n

+

1

2

h

1

~ u

0

n +

+

2 ; 1

u

0

n

( 6 . 6 3 )

i s a s e c o n d - o r d e r a c c u r a t e m e t h o d f o r a n y .

5

S u c h a s a l t e r n a t i n g d i r e c t i o n , f r a c t i o n a l - s t e p , a n d h y b r i d m e t h o d s .



6 . 9 . R U N G E - K U T T A M E T H O D S 1 0 7

A c l a s s i c a l p r e d i c t o r - c o r r e c t o r s e q u e n c e i s f o r m e d b y f o l l o w i n g a n A d a m s - B a s h f o r t h

p r e d i c t o r o f a n y o r d e r w i t h a n A d a m s - M o u l t o n c o r r e c t o r h a v i n g a n o r d e r o n e h i g h e r .

T h e o r d e r o f t h e c o m b i n a t i o n i s t h e n e q u a l t o t h e o r d e r o f t h e c o r r e c t o r . I f t h e o r d e r

o f t h e c o r r e c t o r i s ( k ) , w e r e f e r t o t h e s e a s A B M ( k ) m e t h o d s . T h e A d a m s - B a s h f o r t h -

M o u l t o n s e q u e n c e f o r k = 3 i s

~ u

n + 1

= u

n

+

1

2

h

h

3 u

0

n

; u

0

n ; 1

i

u

n + 1

= u

n

+

h

1 2

h

5 ~ u

0

n + 1

+ 8 u

0

n

; u

0

n ; 1

i

( 6 . 6 4 )

S o m e s i m p l e , s p e c i c , s e c o n d - o r d e r a c c u r a t e m e t h o d s a r e g i v e n b e l o w . T h e G a z d a g

m e t h o d , w h i c h w e d i s c u s s i n C h a p t e r 8 , i s

~ u

n + 1

= u

n

+

1

2

h

h

3 ~ u

0

n

; ~ u

0

n ; 1

i

u

n + 1

= u

n

+

1

2

h

h

~ u

0

n

+ ~ u

0

n + 1

i

( 6 . 6 5 )

T h e B u r s t e i n m e t h o d , o b t a i n e d f r o m E q . 6 . 6 3 w i t h = 1 = 2 i s

~ u

n + 1 = 2

= u

n

+

1

2

h u

0

n

u

n + 1

= u

n

+ h ~ u

0

n + 1 = 2

( 6 . 6 6 )

a n d , n a l l y , M a c C o r m a c k ' s m e t h o d , p r e s e n t e d e a r l i e r i n t h i s c h a p t e r , i s

~ u

n + 1

= u

n

+ h u

0

n

u

n + 1

=

1

2

u

n

+ ~ u

n + 1

+ h ~ u

0

n + 1

] ( 6 . 6 7 )

N o t e t h a t M a c C o r m a c k ' s m e t h o d c a n a l s o b e w r i t t e n a s

~ u

n + 1

= u

n

+ h u

0

n

u

n + 1

= u

n

+

1

2

h u

0

n

+ ~ u

0

n + 1

] ( 6 . 6 8 )

f r o m w h i c h i t i s c l e a r t h a t i t i s o b t a i n e d f r o m E q . 6 . 6 3 w i t h = 1 .

6 . 9 R u n g e - K u t t a M e t h o d s

T h e r e i s a s p e c i a l s u b s e t o f p r e d i c t o r - c o r r e c t o r m e t h o d s , r e f e r r e d t o a s R u n g e - K u t t a

m e t h o d s ,

6

t h a t p r o d u c e j u s t o n e - r o o t f o r e a c h - r o o t s u c h t h a t ( h ) c o r r e s p o n d s

6

A l t h o u g h i m p l i c i t a n d m u l t i - s t e p R u n g e - K u t t a m e t h o d s e x i s t , w e w i l l c o n s i d e r o n l y s i n g l e - s t e p ,

e x p l i c i t R u n g e - K u t t a m e t h o d s h e r e .




t o t h e T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n o f e

h

o u t t h r o u g h t h e o r d e r o f t h e m e t h o d a n d t h e n

t r u n c a t e s . T h u s f o r a R u n g e - K u t t a m e t h o d o f o r d e r k ( u p t o 4 t h o r d e r ) , t h e p r i n c i p a l

( a n d o n l y ) - r o o t i s g i v e n b y

= 1 + h +

1

2

2

h

2

+ +

1

k !

k

h

k

( 6 . 6 9 )

I t i s n o t p a r t i c u l a r l y d i c u l t t o b u i l d t h i s p r o p e r t y i n t o a m e t h o d , b u t , a s w e p o i n t e d

o u t i n S e c t i o n 6 . 6 . 4 , i t i s n o t s u c i e n t t o g u a r a n t e e k ' t h o r d e r a c c u r a c y f o r t h e s o l u t i o n

o f u

0

= F ( u t ) o r f o r t h e r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n . T o e n s u r e k ' t h o r d e r a c c u r a c y , t h e

m e t h o d m u s t f u r t h e r s a t i s f y t h e c o n s t r a i n t t h a t

e r

= O ( h

k + 1

) ( 6 . 7 0 )

a n d t h i s i s m u c h m o r e d i c u l t .

T h e m o s t w i d e l y p u b l i c i z e d R u n g e - K u t t a p r o c e s s i s t h e o n e t h a t l e a d s t o t h e

f o u r t h - o r d e r m e t h o d . W e p r e s e n t i t b e l o w i n s o m e d e t a i l . I t i s u s u a l l y i n t r o d u c e d i n

t h e f o r m

k

1

= h F ( u

n

t

n

)

k

2

= h F ( u

n

+ k

1

t

n

+ h )

k

3

= h F ( u

n

+

1

k

1

+

1

k

2

t

n

+

1

h )

k

4

= h F ( u

n

+

2

k

1

+

2

k

2

+

2

k

3

t

n

+

2

h )

f o l l o w e d b y

u ( t

n

+ h ) ; u ( t

n

) =

1

k

1

+

2

k

2

+

3

k

3

+

4

k

4

( 6 . 7 1 )

H o w e v e r , w e p r e f e r t o p r e s e n t i t u s i n g p r e d i c t o r - c o r r e c t o r n o t a t i o n . T h u s , a s c h e m e

e n t i r e l y e q u i v a l e n t t o 6 . 7 1 i s

b

u

n +

= u

n

+ h u

0

n

~ u

n +

1

= u

n

+

1

h u

0

n

+

1

h

b

u

0

n +

u

n +

2

= u

n

+

2

h u

0

n

+

2

h

b

u

0

n +

+

2

h ~ u

0

n +

1

u

n + 1

= u

n

+

1

h u

0

n

+

2

h

b

u

0

n +

+

3

h ~ u

0

n +

1

+

4

h u

0

n +

2

( 6 . 7 2 )

A p p e a r i n g i n E q s . 6 . 7 1 a n d 6 . 7 2 a r e a t o t a l o f 1 3 p a r a m e t e r s w h i c h a r e t o b e

d e t e r m i n e d s u c h t h a t t h e m e t h o d i s f o u r t h - o r d e r a c c o r d i n g t o t h e r e q u i r e m e n t s i n

E q s . 6 . 6 9 a n d 6 . 7 0 . F i r s t o f a l l , t h e c h o i c e s f o r t h e t i m e s a m p l i n g s , ,

1

, a n d

2

, a r e

n o t a r b i t r a r y . T h e y m u s t s a t i s f y t h e r e l a t i o n s

=

1

=

1

+

1

2

=

2

+

2

+

2

( 6 . 7 3 )



6 . 9 . R U N G E - K U T T A M E T H O D S 1 0 9

T h e a l g e b r a i n v o l v e d i n n d i n g a l g e b r a i c e q u a t i o n s f o r t h e r e m a i n i n g 1 0 p a r a m e t e r s

i s n o t t r i v i a l , b u t t h e e q u a t i o n s f o l l o w d i r e c t l y f r o m n d i n g P ( E ) a n d Q ( E ) a n d t h e n

s a t i s f y i n g t h e c o n d i t i o n s i n E q s . 6 . 6 9 a n d 6 . 7 0 . U s i n g E q . 6 . 7 3 t o e l i m i n a t e t h e ' s

w e n d f r o m E q . 6 . 6 9 t h e f o u r c o n d i t i o n s

1

+

2

+

3

+

4

= 1 ( 1 )

2

+

3

1

+

4

2

= 1 = 2 ( 2 )

3

1

+

4

(

2

+

1

2

) = 1 = 6 ( 3 )

4

1

2

= 1 = 2 4 ( 4 )

( 6 . 7 4 )

T h e s e f o u r r e l a t i o n s g u a r a n t e e t h a t t h e v e t e r m s i n e x a c t l y m a t c h t h e r s t 5 t e r m s

i n t h e e x p a n s i o n o f e

h

. T o s a t i s f y t h e c o n d i t i o n t h a t e r

= O ( k

5

) , w e h a v e t o f u l l l

f o u r m o r e c o n d i t i o n s

2

2

+

3

2

1

+

4

2

2

= 1 = 3 ( 3 )

2

3

+

3

3

1

+

4

3

2

= 1 = 4 ( 4 )

3

2

1

+

4

(

2

2

+

2

1

2

) = 1 = 1 2 ( 4 )

3

1

1

+

4

2

(

2

+

1

2

) = 1 = 8 ( 4 )

( 6 . 7 5 )

T h e n u m b e r i n p a r e n t h e s e s a t t h e e n d o f e a c h e q u a t i o n i n d i c a t e s t h e o r d e r t h a t

i s t h e b a s i s f o r t h e e q u a t i o n . T h u s i f t h e r s t 3 e q u a t i o n s i n 6 . 7 4 a n d t h e r s t

e q u a t i o n i n 6 . 7 5 a r e a l l s a t i s e d , t h e r e s u l t i n g m e t h o d w o u l d b e t h i r d - o r d e r a c c u r a t e .

A s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 6 . 6 . 4 , t h e f o u r t h c o n d i t i o n i n E q . 6 . 7 5 c a n n o t b e d e r i v e d

u s i n g t h e m e t h o d o l o g y p r e s e n t e d h e r e , w h i c h i s b a s e d o n a l i n e a r n o n h o m o g e n o u s

r e p r e s e n t a t i v e O D E . A m o r e g e n e r a l d e r i v a t i o n b a s e d o n a n o n l i n e a r O D E c a n b e

f o u n d i n s e v e r a l b o o k s .

7

T h e r e a r e e i g h t e q u a t i o n s i n 6 . 7 4 a n d 6 . 7 5 w h i c h m u s t b e s a t i s e d b y t h e 1 0

u n k n o w n s . S i n c e t h e e q u a t i o n s a r e o v e r d e t e r m i n e d , t w o p a r a m e t e r s c a n b e s e t a r b i -

t r a r i l y . S e v e r a l c h o i c e s f o r t h e p a r a m e t e r s h a v e b e e n p r o p o s e d , b u t t h e m o s t p o p u l a r

o n e i s d u e t o R u n g e . I t r e s u l t s i n t h e \ s t a n d a r d " f o u r t h - o r d e r R u n g e - K u t t a m e t h o d

e x p r e s s e d i n p r e d i c t o r - c o r r e c t o r f o r m a s

b

u

n + 1 = 2

= u

n

+

1

2

h u

0

n

~ u

n + 1 = 2

= u

n

+

1

2

h

b

u

0

n + 1 = 2

u

n + 1

= u

n

+ h ~ u

0

n + 1 = 2

u

n + 1

= u

n

+

1

6

h

h

u

0

n

+ 2

b

u

0

n + 1 = 2

+ ~ u

0

n + 1 = 2

+ u

0

n + 1

i

( 6 . 7 6 )

7

T h e p r e s e n t a p p r o a c h b a s e d o n a l i n e a r i n h o m o g e n e o u s e q u a t i o n p r o v i d e s a l l o f t h e n e c e s s a r y

c o n d i t i o n s f o r R u n g e - K u t t a m e t h o d s o f u p t o t h i r d o r d e r .




N o t i c e t h a t t h i s r e p r e s e n t s t h e s i m p l e s e q u e n c e o f c o n v e n t i o n a l l i n e a r m u l t i s t e p m e t h -

o d s r e f e r r e d t o , r e s p e c t i v e l y , a s

E u l e r P r e d i c t o r

E u l e r C o r r e c t o r

L e a p f r o g P r e d i c t o r

M i l n e C o r r e c t o r

9

>

>

>

=

>

>

>

R K 4

O n e c a n e a s i l y s h o w t h a t b o t h t h e B u r s t e i n a n d t h e M a c C o r m a c k m e t h o d s g i v e n b y

E q s . 6 . 6 6 a n d 6 . 6 7 a r e s e c o n d - o r d e r R u n g e - K u t t a m e t h o d s , a n d t h i r d - o r d e r m e t h o d s

c a n b e d e r i v e d f r o m E q s . 6 . 7 2 b y s e t t i n g

4

= 0 a n d s a t i s f y i n g o n l y E q s . 6 . 7 4 a n d t h e

r s t e q u a t i o n i n 6 . 7 5 . I t i s c l e a r t h a t f o r o r d e r s o n e t h r o u g h f o u r , R K m e t h o d s o f o r d e r

k r e q u i r e k e v a l u a t i o n s o f t h e d e r i v a t i v e f u n c t i o n t o a d v a n c e t h e s o l u t i o n o n e t i m e

s t e p . W e s h a l l d i s c u s s t h e c o n s e q u e n c e s o f t h i s i n C h a p t e r 8 . H i g h e r - o r d e r R u n g e -

K u t t a m e t h o d s c a n b e d e v e l o p e d , b u t t h e y r e q u i r e m o r e d e r i v a t i v e e v a l u a t i o n s t h a n

t h e i r o r d e r . F o r e x a m p l e , a f t h - o r d e r m e t h o d r e q u i r e s s i x e v a l u a t i o n s t o a d v a n c e

t h e s o l u t i o n o n e s t e p . I n a n y e v e n t , s t o r a g e r e q u i r e m e n t s r e d u c e t h e u s e f u l n e s s o f

R u n g e - K u t t a m e t h o d s o f o r d e r h i g h e r t h a n f o u r f o r C F D a p p l i c a t i o n s .

6 . 1 0 I m p l e m e n t a t i o n o f I m p l i c i t M e t h o d s

W e h a v e p r e s e n t e d a w i d e v a r i e t y o f t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s a n d s h o w n h o w t o d e r i v e

t h e i r ; r e l a t i o n s . I n t h e n e x t c h a p t e r , w e w i l l s e e t h a t t h e s e m e t h o d s c a n h a v e

w i d e l y d i e r e n t p r o p e r t i e s w i t h r e s p e c t t o s t a b i l i t y . T h i s l e a d s t o v a r i o u s t r a d e -

o s w h i c h m u s t b e c o n s i d e r e d i n s e l e c t i n g a m e t h o d f o r a s p e c i c a p p l i c a t i o n . O u r

p r e s e n t a t i o n o f t h e t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s i n t h e c o n t e x t o f a l i n e a r s c a l a r e q u a t i o n

o b s c u r e s s o m e o f t h e i s s u e s i n v o l v e d i n i m p l e m e n t i n g a n i m p l i c i t m e t h o d f o r s y s t e m s

o f e q u a t i o n s a n d n o n l i n e a r e q u a t i o n s . T h e s e a r e c o v e r e d i n t h i s S e c t i o n .

6 . 1 0 . 1 A p p l i c a t i o n t o S y s t e m s o f E q u a t i o n s

C o n s i d e r r s t t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f o u r r e p r e s e n t a t i v e O D E

u

0

= u + a e

t

( 6 . 7 7 )

u s i n g t h e i m p l i c i t E u l e r m e t h o d . F o l l o w i n g t h e s t e p s o u t l i n e d i n S e c t i o n 6 . 2 , w e

o b t a i n e d

( 1 ; h ) u

n + 1

; u

n

= h e

h

a e

h n

( 6 . 7 8 )



6 . 1 0 . I M P L E M E N T A T I O N O F I M P L I C I T M E T H O D S 1 1 1

S o l v i n g f o r u

n + 1

g i v e s

u

n + 1

=

1

1 ; h

( u

n

+ h e

h

a e

h n

) ( 6 . 7 9 )

T h i s c a l c u l a t i o n d o e s n o t s e e m p a r t i c u l a r l y o n e r o u s i n c o m p a r i s o n w i t h t h e a p p l i c a -

t i o n o f a n e x p l i c i t m e t h o d t o t h i s O D E , r e q u i r i n g o n l y a n a d d i t i o n a l d i v i s i o n .

N o w l e t u s a p p l y t h e i m p l i c i t E u l e r m e t h o d t o o u r g e n e r i c s y s t e m o f e q u a t i o n s

g i v e n b y

~u

0

= A ~u ;

~

f ( t ) ( 6 . 8 0 )

w h e r e ~ u a n d

~

f a r e v e c t o r s a n d w e s t i l l a s s u m e t h a t A i s n o t a f u n c t i o n o f ~u o r t . N o w

t h e e q u i v a l e n t t o E q . 6 . 7 8 i s

( I ; h A ) ~u

n + 1

; ~u

n

= ; h

~

f ( t + h ) ( 6 . 8 1 )

o r

~u

n + 1

= ( I ; h A )

; 1

~u

n

; h

~

f ( t + h ) ] ( 6 . 8 2 )

T h e i n v e r s e i s n o t a c t u a l l y p e r f o r m e d , b u t r a t h e r w e s o l v e E q . 6 . 8 1 a s a l i n e a r s y s t e m

o f e q u a t i o n s . F o r o u r o n e - d i m e n s i o n a l e x a m p l e s , t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s w h i c h m u s t

b e s o l v e d i s t r i d i a g o n a l ( e . g . , f o r b i c o n v e c t i o n , A = ; a B

p

( ; 1 0 1 ) = 2 x ) , a n d h e n c e

i t s s o l u t i o n i s i n e x p e n s i v e , b u t i n m u l t i d i m e n s i o n s t h e b a n d w i d t h c a n b e v e r y l a r g e . I n

g e n e r a l , t h e c o s t p e r t i m e s t e p o f a n i m p l i c i t m e t h o d i s l a r g e r t h a n t h a t o f a n e x p l i c i t

m e t h o d . T h e p r i m a r y a r e a o f a p p l i c a t i o n o f i m p l i c i t m e t h o d s i s i n t h e s o l u t i o n o f

s t i O D E ' s , a s w e s h a l l s e e i n C h a p t e r 8 .

6 . 1 0 . 2 A p p l i c a t i o n t o N o n l i n e a r E q u a t i o n s

N o w c o n s i d e r t h e g e n e r a l n o n l i n e a r s c a l a r O D E g i v e n b y

d u

d t

= F ( u t ) ( 6 . 8 3 )

A p p l i c a t i o n o f t h e i m p l i c i t E u l e r m e t h o d g i v e s

u

n + 1

= u

n

+ h F ( u

n + 1

t

n + 1

) ( 6 . 8 4 )

T h i s i s a n o n l i n e a r d i e r e n c e e q u a t i o n . A s a n e x a m p l e , c o n s i d e r t h e n o n l i n e a r O D E

d u

d t

+

1

2

u

2

= 0 ( 6 . 8 5 )




s o l v e d u s i n g i m p l i c i t E u l e r t i m e m a r c h i n g , w h i c h g i v e s

u

n + 1

+ h

1

2

u

2

n + 1

= u

n

( 6 . 8 6 )

w h i c h r e q u i r e s a n o n t r i v i a l m e t h o d t o s o l v e f o r u

n + 1

. T h e r e a r e s e v e r a l d i e r e n t

a p p r o a c h e s o n e c a n t a k e t o s o l v i n g t h i s n o n l i n e a r d i e r e n c e e q u a t i o n . A n i t e r a t i v e

m e t h o d , s u c h a s N e w t o n ' s m e t h o d ( s e e b e l o w ) , c a n b e u s e d . I n p r a c t i c e , t h e \ i n i t i a l

g u e s s " f o r t h i s n o n l i n e a r p r o b l e m c a n b e q u i t e c l o s e t o t h e s o l u t i o n , s i n c e t h e \ i n i t i a l

g u e s s " i s s i m p l y t h e s o l u t i o n a t t h e p r e v i o u s t i m e s t e p , w h i c h i m p l i e s t h a t a l i n e a r i z a -

t i o n a p p r o a c h m a y b e q u i t e s u c c e s s f u l . S u c h a n a p p r o a c h i s d e s c r i b e d i n t h e n e x t

S e c t i o n .

6 . 1 0 . 3 L o c a l L i n e a r i z a t i o n f o r S c a l a r E q u a t i o n s

G e n e r a l D e v e l o p m e n t

L e t u s s t a r t t h e p r o c e s s o f l o c a l l i n e a r i z a t i o n b y c o n s i d e r i n g E q . 6 . 8 3 . I n o r d e r t o

i m p l e m e n t t h e l i n e a r i z a t i o n , w e e x p a n d F ( u t ) a b o u t s o m e r e f e r e n c e p o i n t i n t i m e .

D e s i g n a t e t h e r e f e r e n c e v a l u e b y t

n

a n d t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e o f t h e d e p e n d e n t

v a r i a b l e b y u

n

. A T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n a b o u t t h e s e r e f e r e n c e q u a n t i t i e s g i v e s

F ( u t ) = F ( u

n

t

n

) +

@ F

@ u

!

n

( u ; u

n

) +

@ F

@ t

!

n

( t ; t

n

)

+

1

2

@

2

F

@ u

2

!

n

( u ; u

n

)

2

+

@

2

F

@ u @ t

!

n

( u ; u

n

) ( t ; t

n

)

+

1

2

@

2

F

@ t

2

!

n

( t ; t

n

)

2

+ ( 6 . 8 7 )

O n t h e o t h e r h a n d , t h e e x p a n s i o n o f u ( t ) i n t e r m s o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t i s

u ( t ) = u

n

+ ( t ; t

n

)

@ u

@ t

!

n

+

1

2

( t ; t

n

)

2

@

2

u

@ t

2

!

n

+ ( 6 . 8 8 )

I f t i s w i t h i n h o f t

n

, b o t h ( t ; t

n

)

k

a n d ( u ; u

n

)

k

a r e O ( h

k

) , a n d E q . 6 . 8 7 c a n b e

w r i t t e n

F ( u t ) = F

n

+

@ F

@ u

!

n

( u ; u

n

) +

@ F

@ t

!

n

( t ; t

n

) + O ( h

2

) ( 6 . 8 9 )




N o t i c e t h a t t h i s i s a n e x p a n s i o n o f t h e d e r i v a t i v e o f t h e f u n c t i o n . T h u s , r e l a t i v e t o t h e

o r d e r o f e x p a n s i o n o f t h e f u n c t i o n , i t r e p r e s e n t s a s e c o n d - o r d e r - a c c u r a t e , l o c a l l y - l i n e a r

a p p r o x i m a t i o n t o F ( u t ) t h a t i s v a l i d i n t h e v i c i n i t y o f t h e r e f e r e n c e s t a t i o n t

n

a n d

t h e c o r r e s p o n d i n g u

n

= u ( t

n

) . W i t h t h i s w e o b t a i n t h e l o c a l l y ( i n t h e n e i g h b o r h o o d

o f t

n

) t i m e - l i n e a r r e p r e s e n t a t i o n o f E q . 6 . 8 3 , n a m e l y

d u

d t

=

@ F

@ u

!

n

u +

F

n

;

@ F

@ u

!

n

u

n

!

+

@ F

@ t

!

n

( t ; t

n

) + O ( h

2

) ( 6 . 9 0 )

I m p l e m e n t a t i o n o f t h e T r a p e z o i d a l M e t h o d

A s a n e x a m p l e o f h o w s u c h a n e x p a n s i o n c a n b e u s e d , c o n s i d e r t h e m e c h a n i c s o f

a p p l y i n g t h e t r a p e z o i d a l m e t h o d f o r t h e t i m e i n t e g r a t i o n o f E q . 6 . 8 3 . T h e t r a p e z o i d a l

m e t h o d i s g i v e n b y

u

n + 1

= u

n

+

1

2

h F

n + 1

+ F

n

] + h O ( h

2

) ( 6 . 9 1 )

w h e r e w e w r i t e h O ( h

2

) t o e m p h a s i z e t h a t t h e m e t h o d i s s e c o n d o r d e r a c c u r a t e . U s i n g

E q . 6 . 8 9 t o e v a l u a t e F

n + 1

= F ( u

n + 1

t

n + 1

) , o n e n d s

u

n + 1

= u

n

+

1

2

h

"

F

n

+

@ F

@ u

!

n

( u

n + 1

; u

n

) + h

@ F

@ t

!

n

+ O ( h

2

) + F

n

#

+ h O ( h

2

) ( 6 . 9 2 )

N o t e t h a t t h e O ( h

2

) t e r m w i t h i n t h e b r a c k e t s ( w h i c h i s d u e t o t h e l o c a l l i n e a r i z a t i o n )

i s m u l t i p l i e d b y h a n d t h e r e f o r e i s t h e s a m e o r d e r a s t h e h O ( h

2

) e r r o r f r o m t h e

T r a p e z o i d a l M e t h o d . T h e u s e o f l o c a l t i m e l i n e a r i z a t i o n u p d a t e d a t t h e e n d o f e a c h

t i m e s t e p , a n d t h e t r a p e z o i d a l t i m e m a r c h , c o m b i n e t o m a k e a s e c o n d - o r d e r - a c c u r a t e

n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n p r o c e s s . T h e r e a r e , o f c o u r s e , o t h e r s e c o n d - o r d e r i m p l i c i t t i m e -

m a r c h i n g m e t h o d s t h a t c a n b e u s e d . T h e i m p o r t a n t p o i n t t o b e m a d e h e r e i s t h a t

l o c a l l i n e a r i z a t i o n u p d a t e d a t e a c h t i m e s t e p h a s n o t r e d u c e d t h e o r d e r o f a c c u r a c y o f

a s e c o n d - o r d e r t i m e - m a r c h i n g p r o c e s s .

A v e r y u s e f u l r e o r d e r i n g o f t h e t e r m s i n E q . 6 . 9 2 r e s u l t s i n t h e e x p r e s s i o n

"

1 ;

1

2

h

@ F

@ u

!

n

#

u

n

= h F

n

+

1

2

h

2

@ F

@ t

!

n

( 6 . 9 3 )

w h i c h i s n o w i n t h e d e l t a f o r m w h i c h w i l l b e f o r m a l l y i n t r o d u c e d i n S e c t i o n 1 2 . 6 . I n

m a n y u i d m e c h a n i c a p p l i c a t i o n s t h e n o n l i n e a r f u n c t i o n F i s n o t a n e x p l i c i t f u n c t i o n




o f t . I n s u c h c a s e s t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e o f F ( u ) w i t h r e s p e c t t o t i s z e r o a n d E q . 6 . 9 3

s i m p l i e s t o t h e s e c o n d - o r d e r a c c u r a t e e x p r e s s i o n

"

1 ;

1

2

h

@ F

@ u

!

n

#

u

n

= h F

n

( 6 . 9 4 )

N o t i c e t h a t t h e R H S i s e x t r e m e l y s i m p l e . I t i s t h e p r o d u c t o f h a n d t h e R H S o f

t h e b a s i c e q u a t i o n e v a l u a t e d a t t h e p r e v i o u s t i m e s t e p . I n t h i s e x a m p l e , t h e b a s i c

e q u a t i o n w a s t h e s i m p l e s c a l a r e q u a t i o n 6 . 8 3 , b u t f o r o u r a p p l i c a t i o n s , i t i s g e n e r a l l y

t h e s p a c e - d i e r e n c e d f o r m o f t h e s t e a d y - s t a t e e q u a t i o n o f s o m e u i d o w p r o b l e m .

A n u m e r i c a l t i m e - m a r c h i n g p r o c e d u r e u s i n g E q . 6 . 9 4 i s u s u a l l y i m p l e m e n t e d a s

f o l l o w s :

1 . S o l v e f o r t h e e l e m e n t s o f h

~

F

n

, s t o r e t h e m i n a n a r r a y s a y

~

R , a n d s a v e ~u

n

.

2 . S o l v e f o r t h e e l e m e n t s o f t h e m a t r i x m u l t i p l y i n g ~u

n

a n d s t o r e i n s o m e a p p r o -

p r i a t e m a n n e r m a k i n g u s e o f s p a r s e n e s s o r b a n d e d n e s s o f t h e m a t r i x i f p o s s i b l e .

L e t t h i s s t o r a g e a r e a b e r e f e r r e d t o a s B .

3 . S o l v e t h e c o u p l e d s e t o f l i n e a r e q u a t i o n s

B ~u

n

=

~

R

f o r ~u

n

. ( V e r y s e l d o m d o e s o n e n d B

; 1

i n c a r r y i n g o u t t h i s s t e p ) .

4 . F i n d ~u

n + 1

b y a d d i n g ~u

n

t o ~u

n

, t h u s

~u

n + 1

= ~u

n

+ ~u

n

T h e s o l u t i o n f o r ~u

n + 1

i s g e n e r a l l y s t o r e d s u c h t h a t i t o v e r w r i t e s t h e v a l u e o f ~u

n

a n d t h e p r o c e s s i s r e p e a t e d .

I m p l e m e n t a t i o n o f t h e I m p l i c i t E u l e r M e t h o d

W e h a v e s e e n t h a t t h e r s t - o r d e r i m p l i c i t E u l e r m e t h o d c a n b e w r i t t e n

u

n + 1

= u

n

+ h F

n + 1

( 6 . 9 5 )

i f w e i n t r o d u c e E q . 6 . 9 0 i n t o t h i s m e t h o d , r e a r r a n g e t e r m s , a n d r e m o v e t h e e x p l i c i t

d e p e n d e n c e o n t i m e , w e a r r i v e a t t h e f o r m

"

1 ; h

@ F

@ u

!

n

#

u

n

= h F

n

( 6 . 9 6 )




W e s e e t h a t t h e o n l y d i e r e n c e b e t w e e n t h e i m p l e m e n t a t i o n o f t h e t r a p e z o i d a l m e t h o d

a n d t h e i m p l i c i t E u l e r m e t h o d i s t h e f a c t o r o f

1

2

i n t h e b r a c k e t s o f t h e l e f t s i d e o f

E q s . 6 . 9 4 a n d 6 . 9 6 . O m i s s i o n o f t h i s f a c t o r d e g r a d e s t h e m e t h o d i n t i m e a c c u r a c y b y

o n e o r d e r o f h . W e s h a l l s e e l a t e r t h a t t h i s m e t h o d i s a n e x c e l l e n t c h o i c e f o r s t e a d y

p r o b l e m s .

N e w t o n ' s M e t h o d

C o n s i d e r t h e l i m i t h ! 1 o f E q . 6 . 9 6 o b t a i n e d b y d i v i d i n g b o t h s i d e s b y h a n d

s e t t i n g 1 = h = 0 . T h e r e r e s u l t s

;

@ F

@ u

!

n

u

n

= F

n

( 6 . 9 7 )

o r

u

n + 1

= u

n

;

"

@ F

@ u

!

n

#

; 1

F

n

( 6 . 9 8 )

T h i s i s t h e w e l l - k n o w n N e w t o n m e t h o d f o r n d i n g t h e r o o t s o f a n o n l i n e a r e q u a t i o n

F ( u ) = 0 . T h e f a c t t h a t i t h a s q u a d r a t i c c o n v e r g e n c e i s v e r i e d b y a g l a n c e a t E q s .

6 . 8 7 a n d 6 . 8 8 ( r e m e m b e r t h e d e p e n d e n c e o n t h a s b e e n e l i m i n a t e d f o r t h i s c a s e ) . B y

q u a d r a t i c c o n v e r g e n c e , w e m e a n t h a t t h e e r r o r a f t e r a g i v e n i t e r a t i o n i s p r o p o r t i o n a l

t o t h e s q u a r e o f t h e e r r o r a t t h e p r e v i o u s i t e r a t i o n , w h e r e t h e e r r o r i s t h e d i e r e n c e

b e t w e e n t h e c u r r e n t s o l u t i o n a n d t h e c o n v e r g e d s o l u t i o n . Q u a d r a t i c c o n v e r g e n c e i s

t h u s a v e r y p o w e r f u l p r o p e r t y . U s e o f a n i t e v a l u e o f h i n E q . 6 . 9 6 l e a d s t o l i n e a r

c o n v e r g e n c e , i . e . , t h e e r r o r a t a g i v e n i t e r a t i o n i s s o m e m u l t i p l e o f t h e e r r o r a t t h e

p r e v i o u s i t e r a t i o n . T h e r e a d e r s h o u l d p o n d e r t h e m e a n i n g o f l e t t i n g h ! 1 f o r t h e

t r a p e z o i d a l m e t h o d , g i v e n b y E q . 6 . 9 4 .

6 . 1 0 . 4 L o c a l L i n e a r i z a t i o n f o r C o u p l e d S e t s o f N o n l i n e a r E q u a -

t i o n s

I n o r d e r t o p r e s e n t t h i s c o n c e p t , l e t u s c o n s i d e r a n e x a m p l e i n v o l v i n g s o m e s i m -

p l e b o u n d a r y - l a y e r e q u a t i o n s . W e c h o o s e t h e F a l k n e r - S k a n e q u a t i o n s f r o m c l a s s i c a l

b o u n d a r y - l a y e r t h e o r y . O u r t a s k i s t o a p p l y t h e i m p l i c i t t r a p e z o i d a l m e t h o d t o t h e

e q u a t i o n s

d

3

f

d t

3

+ f

d

2

f

d t

2

+

0

@

1 ;

d f

d t

!

2

1

A

= 0 ( 6 . 9 9 )

H e r e f r e p r e s e n t s a d i m e n s i o n l e s s s t r e a m f u n c t i o n , a n d i s a s c a l i n g f a c t o r .




F i r s t o f a l l w e r e d u c e E q . 6 . 9 9 t o a s e t o f r s t - o r d e r n o n l i n e a r e q u a t i o n s b y t h e

t r a n s f o r m a t i o n s

u

1

=

d

2

f

d t

2

u

2

=

d f

d t

u

3

= f ( 6 . 1 0 0 )

T h i s g i v e s t h e c o u p l e d s e t o f t h r e e n o n l i n e a r e q u a t i o n s

u

0

1

= F

1

= ; u

1

u

3

;

1 ; u

2

2

u

0

2

= F

2

= u

1

u

0

3

= F

3

= u

2

( 6 . 1 0 1 )

a n d t h e s e c a n b e r e p r e s e n t e d i n v e c t o r n o t a t i o n a s

d

~

u

d t

=

~

F (

~

u ) ( 6 . 1 0 2 )

N o w w e s e e k t o m a k e t h e s a m e l o c a l e x p a n s i o n t h a t d e r i v e d E q . 6 . 9 0 , e x c e p t t h a t

t h i s t i m e w e a r e f a c e d w i t h a n o n l i n e a r v e c t o r f u n c t i o n , r a t h e r t h a n a s i m p l e n o n l i n e a r

s c a l a r f u n c t i o n . T h e r e q u i r e d e x t e n s i o n r e q u i r e s t h e e v a l u a t i o n o f a m a t r i x , c a l l e d

t h e J a c o b i a n m a t r i x .

8

L e t u s r e f e r t o t h i s m a t r i x a s A . I t i s d e r i v e d f r o m E q . 6 . 1 0 2

b y t h e f o l l o w i n g p r o c e s s

A = ( a

i j

) = @ F

i

= @ u

j

( 6 . 1 0 3 )

F o r t h e g e n e r a l c a s e i n v o l v i n g a t h i r d o r d e r m a t r i x t h i s i s

A =

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

@ F

1

@ u

1

@ F

1

@ u

2

@ F

1

@ u

3

@ F

2

@ u

1

@ F

2

@ u

2

@ F

2

@ u

3

@ F

3

@ u

1

@ F

3

@ u

2

@ F

3

@ u

3

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

( 6 . 1 0 4 )

T h e e x p a n s i o n o f

~

F (

~

u ) a b o u t s o m e r e f e r e n c e s t a t e

~

u

n

c a n b e e x p r e s s e d i n a w a y

s i m i l a r t o t h e s c a l a r e x p a n s i o n g i v e n b y e q 6 . 8 7 . O m i t t i n g t h e e x p l i c i t d e p e n d e n c y

o n t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t , a n d d e n i n g

~

F

n

a s

~

F (

~

u

n

) , o n e h a s

9

8

R e c a l l t h a t w e d e r i v e d t h e J a c o b i a n m a t r i c e s f o r t h e t w o - d i m e n s i o n a l E u l e r e q u a t i o n s i n S e c t i o n

2 . 2

9

T h e T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n o f a v e c t o r c o n t a i n s a v e c t o r f o r t h e r s t t e r m , a m a t r i x t i m e s a

v e c t o r f o r t h e s e c o n d t e r m , a n d t e n s o r p r o d u c t s f o r t h e t e r m s o f h i g h e r o r d e r .



6 . 1 1 . P R O B L E M S 1 1 7

~

F (

~

u ) =

~

F

n

+ A

n

~

u ;

~

u

n

+ O ( h

2

) ( 6 . 1 0 5 )

w h e r e t ; t

n

a n d t h e a r g u m e n t f o r O ( h

2

) i s t h e s a m e a s i n t h e d e r i v a t i o n o f E q . 6 . 8 8 .

U s i n g t h i s w e c a n w r i t e t h e l o c a l l i n e a r i z a t i o n o f E q . 6 . 1 0 2 a s

d

~

u

d t

= A

n

~

u +

~

F

n

; A

n

~

u

n

| { z }

\ c o n s t a n t "

+ O ( h

2

) ( 6 . 1 0 6 )

w h i c h i s a l o c a l l y - l i n e a r , s e c o n d - o r d e r - a c c u r a t e a p p r o x i m a t i o n t o a s e t o f c o u p l e d

n o n l i n e a r o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s t h a t i s v a l i d f o r t t

n

+ h . A n y r s t - o r

s e c o n d - o r d e r t i m e - m a r c h i n g m e t h o d , e x p l i c i t o r i m p l i c i t , c o u l d b e u s e d t o i n t e g r a t e

t h e e q u a t i o n s w i t h o u t l o s s i n a c c u r a c y w i t h r e s p e c t t o o r d e r . T h e n u m b e r o f t i m e s ,

a n d t h e m a n n e r i n w h i c h , t h e t e r m s i n t h e J a c o b i a n m a t r i x a r e u p d a t e d a s t h e s o l u t i o n

p r o c e e d s d e p e n d s , o f c o u r s e , o n t h e n a t u r e o f t h e p r o b l e m .

R e t u r n i n g t o o u r s i m p l e b o u n d a r y - l a y e r e x a m p l e , w h i c h i s g i v e n b y E q . 6 . 1 0 1 , w e

n d t h e J a c o b i a n m a t r i x t o b e

A =

2

6

4

; u

3

2 u

2

; u

1

1 0 0

0 1 0

3

7

5

( 6 . 1 0 7 )

T h e s t u d e n t s h o u l d b e a b l e t o d e r i v e r e s u l t s f o r t h i s e x a m p l e t h a t a r e e q u i v a l e n t t o

t h o s e g i v e n f o r t h e s c a l a r c a s e i n E q . 6 . 9 3 . T h u s f o r t h e F a l k n e r - S k a n e q u a t i o n s t h e

t r a p e z o i d a l m e t h o d r e s u l t s i n

2

6

6

6

4

1 +

h

2

( u

3

)

n

; h ( u

2

)

n

h

2

( u

1

)

n

;

h

2

1 0

0 ;

h

2

1

3

7

7

7

5

2

6

4

( u

1

)

n

( u

2

)

n

( u

3

)

n

3

7

5

= h

2

6

4

; ( u

1

u

3

)

n

; ( 1 ; u

2

2

)

n

( u

1

)

n

( u

2

)

n

3

7

5

W e n d

~

u

n + 1

f r o m

~

u

n

+

~

u

n

, a n d t h e s o l u t i o n i s n o w a d v a n c e d o n e s t e p . R e - e v a l u a t e

t h e e l e m e n t s u s i n g

~

u

n + 1

a n d c o n t i n u e . W i t h o u t a n y i t e r a t i n g w i t h i n a s t e p a d v a n c e ,

t h e s o l u t i o n w i l l b e s e c o n d - o r d e r - a c c u r a t e i n t i m e .

6 . 1 1 P r o b l e m s

1 . F i n d a n e x p r e s s i o n f o r t h e n t h t e r m i n t h e F i b o n a c c i s e r i e s , w h i c h i s g i v e n

b y 1 1 2 3 5 8 : : : N o t e t h a t t h e s e r i e s c a n b e e x p r e s s e d a s t h e s o l u t i o n t o a

d i e r e n c e e q u a t i o n o f t h e f o r m u

n + 1

= u

n

+ u

n ; 1

. W h a t i s u

2 5

? ( L e t t h e r s t

t e r m g i v e n a b o v e b e u

0

. )




2 . T h e t r a p e z o i d a l m e t h o d u

n + 1

= u

n

+

1

2

h ( u

0

n + 1

+ u

0

n

) i s u s e d t o s o l v e t h e r e p r e -

s e n t a t i v e O D E .

( a ) W h a t i s t h e r e s u l t i n g O E ?

( b ) W h a t i s i t s e x a c t s o l u t i o n ?

( c ) H o w d o e s t h e e x a c t s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n o f t h e O E c o m p a r e w i t h t h e

e x a c t s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n o f t h e O D E i f = 0 ?

3 . T h e 2 n d - o r d e r b a c k w a r d m e t h o d i s g i v e n b y

u

n + 1

=

1

3

h

4 u

n

; u

n ; 1

+ 2 h u

0

n + 1

i

( a ) W r i t e t h e O E f o r t h e r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n . I d e n t i f y t h e p o l y n o m i a l s

P ( E ) a n d Q ( E ) .

( b ) D e r i v e t h e - r e l a t i o n . S o l v e f o r t h e - r o o t s a n d i d e n t i f y t h e m a s p r i n c i p a l

o r s p u r i o u s .

( c ) F i n d e r

a n d t h e r s t t w o n o n v a n i s h i n g t e r m s i n a T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n

o f t h e s p u r i o u s r o o t .

( d ) P e r f o r m a - r o o t t r a c e r e l a t i v e t o t h e u n i t c i r c l e f o r b o t h d i u s i o n a n d

c o n v e c t i o n .

4 . C o n s i d e r t h e t i m e - m a r c h i n g s c h e m e g i v e n b y

u

n + 1

= u

n ; 1

+

2 h

3

( u

0

n + 1

+ u

0

n

+ u

0

n ; 1

)

( a ) W r i t e t h e O E f o r t h e r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n . I d e n t i f y t h e p o l y n o m i a l s

P ( E ) a n d Q ( E ) .

( b ) D e r i v e t h e ; r e l a t i o n .

( c ) F i n d e r

.

5 . F i n d t h e d i e r e n c e e q u a t i o n w h i c h r e s u l t s f r o m a p p l y i n g t h e G a z d a g p r e d i c t o r -

c o r r e c t o r m e t h o d ( E q . 6 . 6 5 ) t o t h e r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n . F i n d t h e - r e l a -

t i o n .

6 . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g t i m e - m a r c h i n g m e t h o d :

~ u

n + 1 = 3

= u

n

+ h u

0

n

= 3

u

n + 1 = 2

= u

n

+ h ~ u

0

n + 1 = 3

= 2

u

n + 1

= u

n

+ h u

0

n + 1 = 2



6 . 1 1 . P R O B L E M S 1 1 9

F i n d t h e d i e r e n c e e q u a t i o n w h i c h r e s u l t s f r o m a p p l y i n g t h i s m e t h o d t o t h e

r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n . F i n d t h e - r e l a t i o n . F i n d t h e s o l u t i o n t o t h e d i e r -

e n c e e q u a t i o n , i n c l u d i n g t h e h o m o g e n e o u s a n d p a r t i c u l a r s o l u t i o n s . F i n d e r

a n d e r

. W h a t o r d e r i s t h e h o m o g e n e o u s s o l u t i o n ? W h a t o r d e r i s t h e p a r t i c u l a r

s o l u t i o n ? F i n d t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n i f t h e f o r c i n g t e r m i s x e d .

7 . W r i t e a c o m p u t e r p r o g r a m t o s o l v e t h e o n e - d i m e n s i o n a l l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a -

t i o n w i t h p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d a = 1 o n t h e d o m a i n 0 x 1 .

U s e 2 n d - o r d e r c e n t e r e d d i e r e n c e s i n s p a c e a n d a g r i d o f 5 0 p o i n t s . F o r t h e

i n i t i a l c o n d i t i o n , u s e

u ( x 0 ) = e

; 0 5 ( x ; 0 5 ) = ]

2

w i t h = 0 : 0 8 . U s e t h e e x p l i c i t E u l e r , 2 n d - o r d e r A d a m s - B a s h f o r t h ( A B 2 ) , i m -

p l i c i t E u l e r , t r a p e z o i d a l , a n d 4 t h - o r d e r R u n g e - K u t t a m e t h o d s . F o r t h e e x p l i c i t

E u l e r a n d A B 2 m e t h o d s , u s e a C o u r a n t n u m b e r , a h = x , o f 0 . 1 f o r t h e o t h e r

m e t h o d s , u s e a C o u r a n t n u m b e r o f u n i t y . P l o t t h e s o l u t i o n s o b t a i n e d a t t = 1

c o m p a r e d t o t h e e x a c t s o l u t i o n ( w h i c h i s i d e n t i c a l t o t h e i n i t i a l c o n d i t i o n ) .

8 . R e p e a t p r o b l e m 7 u s i n g 4 t h - o r d e r ( n o n c o m p a c t ) d i e r e n c e s i n s p a c e . U s e o n l y

4 t h - o r d e r R u n g e - K u t t a t i m e m a r c h i n g a t a C o u r a n t n u m b e r o f u n i t y . S h o w

s o l u t i o n s a t t = 1 a n d t = 1 0 c o m p a r e d t o t h e e x a c t s o l u t i o n .

9 . U s i n g t h e c o m p u t e r p r o g r a m w r i t t e n f o r p r o b l e m 7 , c o m p u t e t h e s o l u t i o n a t

t = 1 u s i n g 2 n d - o r d e r c e n t e r e d d i e r e n c e s i n s p a c e c o u p l e d w i t h t h e 4 t h - o r d e r

R u n g e - K u t t a m e t h o d f o r g r i d s o f 1 0 0 , 2 0 0 , a n d 4 0 0 n o d e s . O n a l o g - l o g s c a l e ,

p l o t t h e e r r o r g i v e n b y

v

u

u

u

t

M

X

j = 1

( u

j

; u

e x a c t

j

)

2

M

w h e r e M i s t h e n u m b e r o f g r i d n o d e s a n d u

e x a c t

i s t h e e x a c t s o l u t i o n . F i n d t h e

g l o b a l o r d e r o f a c c u r a c y f r o m t h e p l o t .

1 0 . U s i n g t h e c o m p u t e r p r o g r a m w r i t t e n f o r p r o b l e m 8 , r e p e a t p r o b l e m 9 u s i n g

4 t h - o r d e r ( n o n c o m p a c t ) d i e r e n c e s i n s p a c e .

1 1 . W r i t e a c o m p u t e r p r o g r a m t o s o l v e t h e o n e - d i m e n s i o n a l l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a -

t i o n w i t h i n o w - o u t o w b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d a = 1 o n t h e d o m a i n 0

x 1 . L e t u ( 0 t ) = s i n ! t w i t h ! = 1 0 . R u n u n t i l a p e r i o d i c s t e a d y s t a t e

i s r e a c h e d w h i c h i s i n d e p e n d e n t o f t h e i n i t i a l c o n d i t i o n a n d p l o t y o u r s o l u t i o n




c o m p a r e d w i t h t h e e x a c t s o l u t i o n . U s e 2 n d - o r d e r c e n t e r e d d i e r e n c e s i n s p a c e

w i t h a 1 s t - o r d e r b a c k w a r d d i e r e n c e a t t h e o u t o w b o u n d a r y ( a s i n E q . 3 . 6 9 )

t o g e t h e r w i t h 4 t h - o r d e r R u n g e - K u t t a t i m e m a r c h i n g . U s e g r i d s w i t h 1 0 0 , 2 0 0 ,

a n d 4 0 0 n o d e s a n d p l o t t h e e r r o r v s . t h e n u m b e r o f g r i d n o d e s , a s d e s c r i b e d i n

p r o b l e m 9 . F i n d t h e g l o b a l o r d e r o f a c c u r a c y .

1 2 . R e p e a t p r o b l e m 1 1 u s i n g 4 t h - o r d e r ( n o n c o m p a c t ) c e n t e r e d d i e r e n c e s . U s e a

t h i r d - o r d e r f o r w a r d - b i a s e d o p e r a t o r a t t h e i n o w b o u n d a r y ( a s i n E q . 3 . 6 7 ) . A t

t h e l a s t g r i d n o d e , d e r i v e a n d u s e a 3 r d - o r d e r b a c k w a r d o p e r a t o r ( u s i n g n o d e s

j ; 3 , j ; 2 , j ; 1 , a n d j ) a n d a t t h e s e c o n d l a s t n o d e , u s e a 3 r d - o r d e r b a c k w a r d -

b i a s e d o p e r a t o r ( u s i n g n o d e s j ; 2 , j ; 1 , j , a n d j + 1 s e e p r o b l e m 1 i n C h a p t e r

3 ) .

1 3 . U s i n g t h e a p p r o a c h d e s c r i b e d i n S e c t i o n 6 . 6 . 2 , n d t h e p h a s e s p e e d e r r o r , e r

p

,

a n d t h e a m p l i t u d e e r r o r , e r

a

, f o r t h e c o m b i n a t i o n o f s e c o n d - o r d e r c e n t e r e d d i f -

f e r e n c e s a n d 1 s t , 2 n d , 3 r d , a n d 4 t h - o r d e r R u n g e - K u t t a t i m e - m a r c h i n g a t a

C o u r a n t n u m b e r o f u n i t y . A l s o p l o t t h e p h a s e s p e e d e r r o r o b t a i n e d u s i n g e x a c t

i n t e g r a t i o n i n t i m e , i . e . , t h a t o b t a i n e d u s i n g t h e s p a t i a l d i s c r e t i z a t i o n a l o n e .

N o t e t h a t t h e r e q u i r e d - r o o t s f o r t h e v a r i o u s R u n g e - K u t t a m e t h o d s c a n b e

d e d u c e d f r o m E q . 6 . 6 9 , w i t h o u t a c t u a l l y d e r i v i n g t h e m e t h o d s . E x p l a i n y o u r

r e s u l t s .



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λ h=-2

σ1

σ1

σ2

σ2

λ h=-1

σ1

σ2

σ2 σ

1

a) Euler Explicit

b) Leapfrog

c) AB2

h = 1ω

ConvectionDiffusion

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σ1

σ1

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σ1

σ2

σ

3

d) Trapezoidal

e) Gazdag

f) RK2

g) RK4

λ h=- οο h = 2/3ω

λh=-2

λ h=-2.8 h = 2 2ω

Diffusion Convection

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FP 2 4 A I R g 5 I W 9 0 f T G 0 f T R 5 I f 7 w 5 F G F w 7 9 T G p A Y I R G b 0 f I T G 7 w w p 5 7 G 0 0 g 9 F w F G G

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Unstable

b) Trapezoid Implicit

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Unstable

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a) 2nd Order Backward Implicit

Stable Outside

Unstable

b) Adams Type

Stable Outside

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2.0

3.0

λ

a) AM3

I( h)

1.0

2.0

3.0

λ

R( h)λR( h)λ

Stable

only on

Imag Axis

b) Milne 4th Order

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C h a p t e r 8

C H O I C E O F T I M E - M A R C H I N G

M E T H O D S

I n t h i s c h a p t e r w e d i s c u s s c o n s i d e r a t i o n s i n v o l v e d i n s e l e c t i n g a t i m e - m a r c h i n g m e t h o d

f o r a s p e c i c a p p l i c a t i o n . E x a m p l e s a r e g i v e n s h o w i n g h o w t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s

c a n b e c o m p a r e d i n a g i v e n c o n t e x t . A n i m p o r t a n t c o n c e p t u n d e r l y i n g m u c h o f t h i s

d i s c u s s i o n i s s t i n e s s , w h i c h i s d e n e d i n t h e n e x t s e c t i o n .

8 . 1 S t i n e s s D e n i t i o n f o r O D E ' s

8 . 1 . 1 R e l a t i o n t o - E i g e n v a l u e s

T h e i n t r o d u c t i o n o f t h e c o n c e p t r e f e r r e d t o a s \ s t i n e s s " c o m e s a b o u t f r o m t h e n u -

m e r i c a l a n a l y s i s o f m a t h e m a t i c a l m o d e l s c o n s t r u c t e d t o s i m u l a t e d y n a m i c p h e n o m -

e n a c o n t a i n i n g w i d e l y d i e r e n t t i m e s c a l e s . D e n i t i o n s g i v e n i n t h e l i t e r a t u r e a r e

n o t u n i q u e , b u t f o r t u n a t e l y w e n o w h a v e t h e b a c k g r o u n d m a t e r i a l t o c o n s t r u c t a

d e n i t i o n w h i c h i s e n t i r e l y s u c i e n t f o r o u r p u r p o s e s .

W e s t a r t w i t h t h e a s s u m p t i o n t h a t o u r C F D p r o b l e m i s m o d e l e d w i t h s u c i e n t

a c c u r a c y b y a c o u p l e d s e t o f O D E ' s p r o d u c i n g a n A m a t r i x t y p i e d b y E q . 7 . 1 .

A n y d e n i t i o n o f s t i n e s s r e q u i r e s a c o u p l e d s y s t e m w i t h a t l e a s t t w o e i g e n v a l u e s ,

a n d t h e d e c i s i o n t o u s e s o m e n u m e r i c a l t i m e - m a r c h i n g o r i t e r a t i v e m e t h o d t o s o l v e

i t . T h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e d y n a m i c s c a l e s i n p h y s i c a l s p a c e i s r e p r e s e n t e d b y

t h e d i e r e n c e i n t h e m a g n i t u d e o f t h e e i g e n v a l u e s i n e i g e n s p a c e . I n t h e f o l l o w i n g

d i s c u s s i o n w e c o n c e n t r a t e o n t h e t r a n s i e n t p a r t o f t h e s o l u t i o n . T h e f o r c i n g f u n c t i o n

m a y a l s o b e t i m e v a r y i n g i n w h i c h c a s e i t w o u l d a l s o h a v e a t i m e s c a l e . H o w e v e r ,

w e a s s u m e t h a t t h i s s c a l e w o u l d b e a d e q u a t e l y r e s o l v e d b y t h e c h o s e n t i m e - m a r c h i n g

m e t h o d , a n d , s i n c e t h i s p a r t o f t h e O D E h a s n o e e c t o n t h e n u m e r i c a l s t a b i l i t y o f

1 4 9



1 5 0 C H A P T E R 8 . C H O I C E O F T I M E - M A R C H I N G M E T H O D S

Stable

Region

Accurate

Region

1

I( h)

R( h)

λ

λ

λ h

F i g u r e 8 . 1 : S t a b l e a n d a c c u r a t e r e g i o n s f o r t h e e x p l i c i t E u l e r m e t h o d .

t h e h o m o g e n e o u s p a r t , w e e x c l u d e t h e f o r c i n g f u n c t i o n f r o m f u r t h e r d i s c u s s i o n i n t h i s

s e c t i o n .

C o n s i d e r n o w t h e f o r m o f t h e e x a c t s o l u t i o n o f a s y s t e m o f O D E ' s w i t h a c o m -

p l e t e e i g e n s y s t e m . T h i s i s g i v e n b y E q . 6 . 2 7 a n d i t s s o l u t i o n u s i n g a o n e - r o o t , t i m e -

m a r c h i n g m e t h o d i s r e p r e s e n t e d b y E q . 6 . 2 8 . F o r a g i v e n t i m e s t e p , t h e t i m e i n t e g r a -

t i o n i s a n a p p r o x i m a t i o n i n e i g e n s p a c e t h a t i s d i e r e n t f o r e v e r y e i g e n v e c t o r ~x

m

. I n

m a n y n u m e r i c a l a p p l i c a t i o n s t h e e i g e n v e c t o r s a s s o c i a t e d w i t h t h e s m a l l j

m

j a r e w e l l

r e s o l v e d a n d t h o s e a s s o c i a t e d w i t h t h e l a r g e j

m

j a r e r e s o l v e d m u c h l e s s a c c u r a t e l y ,

i f a t a l l . T h e s i t u a t i o n i s r e p r e s e n t e d i n t h e c o m p l e x h p l a n e i n F i g . 8 . 1 . I n t h i s

g u r e t h e t i m e s t e p h a s b e e n c h o s e n s o t h a t t i m e a c c u r a c y i s g i v e n t o t h e e i g e n v e c t o r s

a s s o c i a t e d w i t h t h e e i g e n v a l u e s l y i n g i n t h e s m a l l c i r c l e a n d s t a b i l i t y w i t h o u t t i m e

a c c u r a c y i s g i v e n t o t h o s e a s s o c i a t e d w i t h t h e e i g e n v a l u e s l y i n g o u t s i d e o f t h e s m a l l

c i r c l e b u t s t i l l i n s i d e t h e l a r g e c i r c l e .

T h e w h o l e c o n c e p t o f s t i n e s s i n C F D a r i s e s f r o m t h e f a c t t h a t w e o f t e n d o

n o t n e e d t h e t i m e r e s o l u t i o n o f e i g e n v e c t o r s a s s o c i a t e d w i t h t h e l a r g e j

m

j i n

t h e t r a n s i e n t s o l u t i o n , a l t h o u g h t h e s e e i g e n v e c t o r s m u s t r e m a i n c o u p l e d i n t o

t h e s y s t e m t o m a i n t a i n a h i g h a c c u r a c y o f t h e s p a t i a l r e s o l u t i o n .



8 . 1 . S T I F F N E S S D E F I N I T I O N F O R O D E ' S 1 5 1

8 . 1 . 2 D r i v i n g a n d P a r a s i t i c E i g e n v a l u e s

F o r t h e a b o v e r e a s o n i t i s c o n v e n i e n t t o s u b d i v i d e t h e t r a n s i e n t s o l u t i o n i n t o t w o

p a r t s . F i r s t w e o r d e r t h e e i g e n v a l u e s b y t h e i r m a g n i t u d e s , t h u s

j

1

j j

2

j j

M

j ( 8 . 1 )

T h e n w e w r i t e

T r a n s i e n t

S o l u t i o n

=

p

X

m = 1

c

m

e

m

t

~

x

m

| { z }

D r i v i n g

+

M

X

m = p + 1

c

m

e

m

t

~

x

m

| { z }

P a r a s i t i c

( 8 . 2 )

T h i s c o n c e p t i s c r u c i a l t o o u r d i s c u s s i o n . R e p h r a s e d , i t s t a t e s t h a t w e c a n s e p a r a t e

o u r e i g e n v a l u e s p e c t r u m i n t o t w o g r o u p s o n e

1

!

p

] c a l l e d t h e d r i v i n g e i g e n v a l u e s

( o u r c h o i c e o f a t i m e - s t e p a n d m a r c h i n g m e t h o d m u s t a c c u r a t e l y a p p r o x i m a t e t h e t i m e

v a r i a t i o n o f t h e e i g e n v e c t o r s a s s o c i a t e d w i t h t h e s e ) , a n d t h e o t h e r ,

p + 1

!

M

] , c a l l e d

t h e p a r a s i t i c e i g e n v a l u e s ( n o t i m e a c c u r a c y w h a t s o e v e r i s r e q u i r e d f o r t h e e i g e n v e c t o r s

a s s o c i a t e d w i t h t h e s e , b u t t h e i r p r e s e n c e m u s t n o t c o n t a m i n a t e t h e a c c u r a c y o f t h e

c o m p l e t e s o l u t i o n ) . U n f o r t u n a t e l y , w e n d t h a t , a l t h o u g h t i m e a c c u r a c y r e q u i r e m e n t s

a r e d i c t a t e d b y t h e d r i v i n g e i g e n v a l u e s , n u m e r i c a l s t a b i l i t y r e q u i r e m e n t s a r e d i c t a t e d

b y t h e p a r a s i t i c o n e s .

8 . 1 . 3 S t i n e s s C l a s s i c a t i o n s

T h e f o l l o w i n g d e n i t i o n s a r e s o m e w h a t u s e f u l . A n i n h e r e n t l y s t a b l e s e t o f O D E ' s i s

s t i i f

j

p

j j

M

j

I n p a r t i c u l a r w e d e n e t h e r a t i o

C

r

= j

M

j = j

p

j

a n d f o r m t h e c a t e g o r i e s

M i l d l y - s t i C

r

< 1 0

2

S t r o n g l y - s t i 1 0

3

< C

r

< 1 0

5

E x t r e m e l y - s t i 1 0

6

< C

r

< 1 0

8

P a t h o l o g i c a l l y - s t i 1 0

9

< C

r

I t s h o u l d b e m e n t i o n e d t h a t t h e g a p s i n t h e s t i c a t e g o r y d e n i t i o n s a r e i n t e n t i o n a l

b e c a u s e t h e b o u n d s a r e a r b i t r a r y . I t i s i m p o r t a n t t o n o t i c e t h a t t h e s e d e n i t i o n s

m a k e n o d i s t i n c t i o n b e t w e e n r e a l , c o m p l e x , a n d i m a g i n a r y e i g e n v a l u e s .




8 . 2 R e l a t i o n o f S t i n e s s t o S p a c e M e s h S i z e

M a n y o w e l d s a r e c h a r a c t e r i z e d b y a f e w r e g i o n s h a v i n g h i g h s p a t i a l g r a d i e n t s o f

t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e s a n d o t h e r d o m a i n s h a v i n g r e l a t i v e l y l o w g r a d i e n t p h e n o m e n a .

A s a r e s u l t i t i s q u i t e c o m m o n t o c l u s t e r m e s h p o i n t s i n c e r t a i n r e g i o n s o f s p a c e a n d

s p r e a d t h e m o u t o t h e r w i s e . E x a m p l e s o f w h e r e t h i s c l u s t e r i n g m i g h t o c c u r a r e a t a

s h o c k w a v e , n e a r a n a i r f o i l l e a d i n g o r t r a i l i n g e d g e , a n d i n a b o u n d a r y l a y e r .

O n e q u i c k l y n d s t h a t t h i s g r i d c l u s t e r i n g c a n s t r o n g l y a e c t t h e e i g e n s y s t e m o f

t h e r e s u l t i n g A m a t r i x . I n o r d e r t o d e m o n s t r a t e t h i s , l e t u s e x a m i n e t h e e i g e n s y s t e m s

o f t h e m o d e l p r o b l e m s g i v e n i n S e c t i o n 4 . 3 . 2 . T h e s i m p l e s t e x a m p l e t o d i s c u s s r e l a t e s

t o t h e m o d e l d i u s i o n e q u a t i o n . I n t h i s c a s e t h e e i g e n v a l u e s a r e a l l r e a l , n e g a t i v e

n u m b e r s t h a t a u t o m a t i c a l l y o b e y t h e o r d e r i n g g i v e n i n E q . 8 . 1 . C o n s i d e r t h e c a s e

w h e n a l l o f t h e e i g e n v a l u e s a r e p a r a s i t i c , i . e . , w e a r e i n t e r e s t e d o n l y i n t h e c o n v e r g e d

s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n . U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , t h e s t i n e s s i s d e t e r m i n e d b y t h e r a t i o

M

=

1

. A s i m p l e c a l c u l a t i o n s h o w s t h a t

1

= ;

4

x

2

s i n

2

2 ( M + 1 )

!

;

4

x

2

x

2

2

= ;

M

;

4

x

2

s i n

2

2

= ;

4

x

2

a n d t h e r a t i o i s

M

=

1

4

x

2

= 4

M + 1

2

T h e m o s t i m p o r t a n t i n f o r m a t i o n f o u n d f r o m t h i s e x a m p l e i s t h e f a c t t h a t t h e

s t i n e s s o f t h e t r a n s i e n t s o l u t i o n i s d i r e c t l y r e l a t e d t o t h e g r i d s p a c i n g . F u r t h e r m o r e ,

i n d i u s i o n p r o b l e m s t h i s s t i n e s s i s p r o p o r t i o n a l t o t h e r e c i p r o c a l o f t h e s p a c e m e s h

s i z e s q u a r e d . F o r a m e s h s i z e M = 4 0 , t h i s r a t i o i s a b o u t 6 8 0 . E v e n f o r a m e s h o f

t h i s m o d e r a t e s i z e t h e p r o b l e m i s a l r e a d y a p p r o a c h i n g t h e c a t e g o r y o f s t r o n g l y s t i .

F o r t h e b i c o n v e c t i o n m o d e l a s i m i l a r a n a l y s i s s h o w s t h a t

j

M

j = j

1

j

1

x

H e r e t h e s t i n e s s p a r a m e t e r i s s t i l l s p a c e - m e s h d e p e n d e n t , b u t m u c h l e s s s o t h a n f o r

d i u s i o n - d o m i n a t e d p r o b l e m s .

W e s e e t h a t i n b o t h c a s e s w e a r e f a c e d w i t h t h e r a t h e r a n n o y i n g f a c t t h a t t h e m o r e

w e t r y t o i n c r e a s e t h e r e s o l u t i o n o f o u r s p a t i a l g r a d i e n t s , t h e s t i e r o u r e q u a t i o n s t e n d

t o b e c o m e . T y p i c a l C F D p r o b l e m s w i t h o u t c h e m i s t r y v a r y b e t w e e n t h e m i l d l y a n d

s t r o n g l y s t i c a t e g o r i e s , a n d a r e g r e a t l y a e c t e d b y t h e r e s o l u t i o n o f a b o u n d a r y l a y e r

s i n c e i t i s a d i u s i o n p r o c e s s . O u r b r i e f a n a l y s i s h a s b e e n l i m i t e d t o e q u i s p a c e d



8 . 3 . P R A C T I C A L C O N S I D E R A T I O N S F O R C O M P A R I N G M E T H O D S 1 5 3

p r o b l e m s , b u t i n g e n e r a l t h e s t i n e s s o f C F D p r o b l e m s i s p r o p o r t i o n a l t o t h e m e s h

i n t e r v a l s i n t h e m a n n e r s h o w n a b o v e w h e r e t h e c r i t i c a l i n t e r v a l i s t h e s m a l l e s t o n e i n

t h e p h y s i c a l d o m a i n .

8 . 3 P r a c t i c a l C o n s i d e r a t i o n s f o r C o m p a r i n g M e t h -

o d s

W e h a v e p r e s e n t e d r e l a t i v e l y s i m p l e a n d r e l i a b l e m e a s u r e s o f s t a b i l i t y a n d b o t h t h e

l o c a l a n d g l o b a l a c c u r a c y o f t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s . S i n c e t h e r e a r e a n e n d l e s s

n u m b e r o f t h e s e m e t h o d s t o c h o o s e f r o m , o n e c a n w o n d e r h o w t h i s i n f o r m a t i o n i s

t o b e u s e d t o p i c k a \ b e s t " c h o i c e f o r a p a r t i c u l a r p r o b l e m . T h e r e i s n o u n i q u e

a n s w e r t o s u c h a q u e s t i o n . F o r e x a m p l e , i t i s , a m o n g o t h e r t h i n g s , h i g h l y d e p e n d e n t

u p o n t h e s p e e d , c a p a c i t y , a n d a r c h i t e c t u r e o f t h e a v a i l a b l e c o m p u t e r , a n d t e c h n o l o g y

i n u e n c i n g t h i s i s u n d e r g o i n g r a p i d a n d d r a m a t i c c h a n g e s a s t h i s i s b e i n g w r i t t e n .

N e v e r t h e l e s s , i f c e r t a i n g r o u n d r u l e s a r e a g r e e d u p o n , r e l e v a n t c o n c l u s i o n s c a n b e

r e a c h e d . L e t u s n o w e x a m i n e s o m e g r o u n d r u l e s t h a t m i g h t b e a p p r o p r i a t e . I t s h o u l d

t h e n b e c l e a r h o w t h e a n a l y s i s c a n b e e x t e n d e d t o o t h e r c a s e s .

L e t u s c o n s i d e r t h e p r o b l e m o f m e a s u r i n g t h e e c i e n c y o f a t i m e { m a r c h i n g m e t h o d

f o r c o m p u t i n g , o v e r a x e d i n t e r v a l o f t i m e , a n a c c u r a t e t r a n s i e n t s o l u t i o n o f a c o u p l e d

s e t o f O D E ' s . T h e l e n g t h o f t h e t i m e i n t e r v a l , T , a n d t h e a c c u r a c y r e q u i r e d o f t h e

s o l u t i o n a r e d i c t a t e d b y t h e p h y s i c s o f t h e p a r t i c u l a r p r o b l e m i n v o l v e d . F o r e x a m p l e ,

i n c a l c u l a t i n g t h e a m o u n t o f t u r b u l e n c e i n a h o m o g e n e o u s o w , t h e t i m e i n t e r v a l

w o u l d b e t h a t r e q u i r e d t o e x t r a c t a r e l i a b l e s t a t i s t i c a l s a m p l e , a n d t h e a c c u r a c y

w o u l d b e r e l a t e d t o h o w m u c h t h e e n e r g y o f c e r t a i n h a r m o n i c s w o u l d b e p e r m i t t e d

t o d i s t o r t f r o m a g i v e n l e v e l . S u c h a c o m p u t a t i o n w e r e f e r t o a s a n e v e n t .

T h e a p p r o p r i a t e e r r o r m e a s u r e s t o b e u s e d i n c o m p a r i n g m e t h o d s f o r c a l c u l a t i n g

a n e v e n t a r e t h e g l o b a l o n e s , E r

a

, E r

a n d E r

!

, d i s c u s s e d i n S e c t i o n 6 . 6 . 5 , r a t h e r

t h a n t h e l o c a l o n e s e r

, e r

a

, a n d e r

p

d i s c u s s e d e a r l i e r .

T h e a c t u a l f o r m o f t h e c o u p l e d O D E ' s t h a t a r e p r o d u c e d b y t h e s e m i - d i s c r e t e

a p p r o a c h i s

d

~

u

d t

=

~

F (

~

u t )

A t e v e r y t i m e s t e p w e m u s t e v a l u a t e t h e f u n c t i o n

~

F (

~

u t ) a t l e a s t o n c e . T h i s f u n c t i o n

i s u s u a l l y n o n l i n e a r , a n d i t s c o m p u t a t i o n u s u a l l y c o n s u m e s t h e m a j o r p o r t i o n o f t h e

c o m p u t e r t i m e r e q u i r e d t o m a k e t h e s i m u l a t i o n . W e r e f e r t o a s i n g l e c a l c u l a t i o n o f t h e

v e c t o r

~

F (

~

u t ) a s a f u n c t i o n e v a l u a t i o n a n d d e n o t e t h e t o t a l n u m b e r o f s u c h e v a l u a t i o n s

b y F

e v

.




8 . 4 C o m p a r i n g t h e E c i e n c y o f E x p l i c i t M e t h o d s

8 . 4 . 1 I m p o s e d C o n s t r a i n t s

A s m e n t i o n e d a b o v e , t h e e c i e n c y o f m e t h o d s c a n b e c o m p a r e d o n l y i f o n e a c c e p t s a

s e t o f l i m i t i n g c o n s t r a i n t s w i t h i n w h i c h t h e c o m p a r i s o n s a r e c a r r i e d o u t . T h e f o l l o w

a s s u m p t i o n s b o u n d t h e c o n s i d e r a t i o n s m a d e i n t h i s S e c t i o n :

1 . T h e t i m e - m a r c h m e t h o d i s e x p l i c i t .

2 . I m p l i c a t i o n s o f c o m p u t e r s t o r a g e c a p a c i t y a n d a c c e s s t i m e a r e i g n o r e d . I n s o m e

c o n t e x t s , t h i s c a n b e a n i m p o r t a n t c o n s i d e r a t i o n .

3 . T h e c a l c u l a t i o n i s t o b e t i m e - a c c u r a t e , m u s t s i m u l a t e a n e n t i r e e v e n t w h i c h

t a k e s a t o t a l t i m e T , a n d m u s t u s e a c o n s t a n t t i m e s t e p s i z e , h , s o t h a t

T = N h

w h e r e N i s t h e t o t a l n u m b e r o f t i m e s t e p s .

8 . 4 . 2 A n E x a m p l e I n v o l v i n g D i u s i o n

L e t t h e e v e n t b e t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f

d u

d t

= ; u ( 8 . 3 )

f r o m t = 0 t o T = ; l n ( 0 : 2 5 ) w i t h u ( 0 ) = 1 . E q . 8 . 3 i s o b t a i n e d f r o m o u r r e p r e s e n t a -

t i v e O D E w i t h = ; 1 , a = 0 . S i n c e t h e e x a c t s o l u t i o n i s u ( t ) = u ( 0 ) e

; t

, t h i s m a k e s

t h e e x a c t v a l u e o f u a t t h e e n d o f t h e e v e n t e q u a l t o 0 . 2 5 , i . e . , u ( T ) = 0 : 2 5 . T o t h e

c o n s t r a i n t s i m p o s e d a b o v e , l e t u s s e t t h e a d d i t i o n a l r e q u i r e m e n t

T h e e r r o r i n u a t t h e e n d o f t h e e v e n t , i . e . , t h e g l o b a l e r r o r , m u s t b e < 0 : 5 % .

W e j u d g e t h e m o s t e c i e n t m e t h o d a s t h e o n e t h a t s a t i s e s t h e s e c o n d i t i o n s a n d

h a s t h e f e w e s t n u m b e r o f e v a l u a t i o n s , F

e v

. T h r e e m e t h o d s a r e c o m p a r e d | e x p l i c i t

E u l e r , A B 2 , a n d R K 4 .

F i r s t o f a l l , t h e a l l o w a b l e e r r o r c o n s t r a i n t m e a n s t h a t t h e g l o b a l e r r o r i n t h e a m -

p l i t u d e , s e e E q . 6 . 4 8 , m u s t h a v e t h e p r o p e r t y :

E r

e

T

< 0 : 0 0 5



8 . 4 . C O M P A R I N G T H E E F F I C I E N C Y O F E X P L I C I T M E T H O D S 1 5 5

T h e n , s i n c e h = T = N = ; l n ( 0 : 2 5 ) = N , i t f o l l o w s t h a t

1 ; (

1

( l n ( : 2 5 ) = N ) )

N

= : 2 5

< 0 : 0 0 5

w h e r e

1

i s f o u n d f r o m t h e c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l s g i v e n i n T a b l e 7 . 1 . T h e r e s u l t s

s h o w n i n T a b l e 8 . 1 w e r e c o m p u t e d u s i n g a s i m p l e i t e r a t i v e p r o c e d u r e .

M e t h o d N h

1

F

e v

E r

E u l e r 1 9 3 : 0 0 7 1 8 : 9 9 2 8 2 1 9 3 : 0 0 1 2 4 8 w o r s t

A B 2 1 6 : 0 8 6 6 : 9 1 7 2 1 6 : 0 0 1 1 3 7

R K 4 2 : 6 9 3 1 : 5 0 1 2 8 : 0 0 1 1 9 5 b e s t

T a b l e 8 . 1 : C o m p a r i s o n o f t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s f o r a s i m p l e d i s s i p a t i o n p r o b l e m .

I n t h i s e x a m p l e w e s e e t h a t , f o r a g i v e n g l o b a l a c c u r a c y , t h e m e t h o d w i t h t h e

h i g h e s t l o c a l a c c u r a c y i s t h e m o s t e c i e n t o n t h e b a s i s o f t h e e x p e n s e i n e v a l u a t i n g

F

e v

. T h u s t h e s e c o n d - o r d e r A d a m s - B a s h f o r t h m e t h o d i s m u c h b e t t e r t h a n t h e r s t -

o r d e r E u l e r m e t h o d , a n d t h e f o u r t h - o r d e r R u n g e - K u t t a m e t h o d i s t h e b e s t o f a l l . T h e

m a i n p u r p o s e o f t h i s e x e r c i s e i s t o s h o w t h e ( u s u a l l y ) g r e a t s u p e r i o r i t y o f s e c o n d - o r d e r

o v e r r s t - o r d e r t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s .

8 . 4 . 3 A n E x a m p l e I n v o l v i n g P e r i o d i c C o n v e c t i o n

L e t u s u s e a s a b a s i s f o r t h i s e x a m p l e t h e s t u d y o f h o m o g e n e o u s t u r b u l e n c e s i m u l a t e d

b y t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e i n c o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s i n s i d e a c u b e

w i t h p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n a l l s i d e s . I n t h i s n u m e r i c a l e x p e r i m e n t t h e

f u n c t i o n e v a l u a t i o n s c o n t r i b u t e o v e r w h e l m i n g l y t o t h e C P U t i m e , a n d t h e n u m b e r o f

t h e s e e v a l u a t i o n s m u s t b e k e p t t o a n a b s o l u t e m i n i m u m b e c a u s e o f t h e m a g n i t u d e o f

t h e p r o b l e m . O n t h e o t h e r h a n d , a c o m p l e t e e v e n t m u s t b e e s t a b l i s h e d i n o r d e r t o

o b t a i n m e a n i n g f u l s t a t i s t i c a l s a m p l e s w h i c h a r e t h e e s s e n c e o f t h e s o l u t i o n . I n t h i s

c a s e , i n a d d i t i o n t o t h e c o n s t r a i n t s g i v e n i n S e c t i o n 8 . 4 . 1 , w e a d d t h e f o l l o w i n g :

T h e n u m b e r o f e v a l u a t i o n s o f

~

F ( ~ u t ) i s x e d .

U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s a m e t h o d i s j u d g e d a s b e s t w h e n i t h a s t h e h i g h e s t g l o b a l

a c c u r a c y f o r r e s o l v i n g e i g e n v e c t o r s w i t h i m a g i n a r y e i g e n v a l u e s . T h e a b o v e c o n s t r a i n t

h a s l e d t o t h e i n v e n t i o n o f s c h e m e s t h a t o m i t t h e f u n c t i o n e v a l u a t i o n i n t h e c o r -

r e c t o r s t e p o f a p r e d i c t o r - c o r r e c t o r c o m b i n a t i o n , l e a d i n g t o t h e s o - c a l l e d i n c o m p l e t e




p r e d i c t o r - c o r r e c t o r m e t h o d s . T h e p r e s u m p t i o n i s , o f c o u r s e , t h a t m o r e e c i e n t m e t h -

o d s w i l l r e s u l t f r o m t h e o m i s s i o n o f t h e s e c o n d f u n c t i o n e v a l u a t i o n . A n e x a m p l e i s

t h e m e t h o d o f G a z d a g , g i v e n i n S e c t i o n 6 . 8 . B a s i c a l l y t h i s i s c o m p o s e d o f a n A B 2

p r e d i c t o r a n d a t r a p e z o i d a l c o r r e c t o r . H o w e v e r , t h e d e r i v a t i v e o f t h e f u n d a m e n t a l

f a m i l y i s n e v e r f o u n d s o t h e r e i s o n l y o n e e v a l u a t i o n r e q u i r e d t o c o m p l e t e e a c h c y c l e .

T h e - r e l a t i o n f o r t h e m e t h o d i s s h o w n a s e n t r y 1 0 i n T a b l e 7 . 1 .

I n o r d e r t o d i s c u s s o u r c o m p a r i s i o n s w e i n t r o d u c e t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n s :

L e t a k - e v a l u a t i o n m e t h o d b e d e n e d a s o n e t h a t r e q u i r e s k e v a l u a t i o n s o f

~

F ( ~ u t ) t o a d v a n c e o n e s t e p u s i n g t h a t m e t h o d ' s t i m e i n t e r v a l , h .

L e t K r e p r e s e n t t h e t o t a l n u m b e r o f a l l o w a b l e F

e v

.

L e t h

1

b e t h e t i m e i n t e r v a l a d v a n c e d i n o n e s t e p o f a o n e - e v a l u a t i o n m e t h o d .

T h e G a z d a g , l e a p f r o g , a n d A B 2 s c h e m e s a r e a l l 1 - e v a l u a t i o n m e t h o d s . T h e s e c o n d

a n d f o u r t h o r d e r R K m e t h o d s a r e 2 - a n d 4 - e v a l u a t i o n m e t h o d s , r e s p e c t i v e l y . F o r a 1 -

e v a l u a t i o n m e t h o d t h e t o t a l n u m b e r o f t i m e s t e p s , N , a n d t h e n u m b e r o f e v a l u a t i o n s ,

K , a r e t h e s a m e , o n e e v a l u a t i o n b e i n g u s e d f o r e a c h s t e p , s o t h a t f o r t h e s e m e t h o d s

h = h

1

. F o r a 2 - e v a l u a t i o n m e t h o d N = K = 2 s i n c e t w o e v a l u a t i o n s a r e u s e d f o r

e a c h s t e p . H o w e v e r , i n t h i s c a s e , i n o r d e r t o a r r i v e a t t h e s a m e t i m e T a f t e r K

e v a l u a t i o n s , t h e t i m e s t e p m u s t b e t w i c e t h a t o f a o n e { e v a l u a t i o n m e t h o d s o h = 2 h

1

.

F o r a 4 - e v a l u a t i o n m e t h o d t h e t i m e i n t e r v a l m u s t b e h = 4 h

1

, e t c . N o t i c e t h a t

a s k i n c r e a s e s , t h e t i m e s p a n r e q u i r e d f o r o n e a p p l i c a t i o n o f t h e m e t h o d i n c r e a s e s .

H o w e v e r , n o t i c e a l s o t h a t a s k i n c r e a s e s , t h e p o w e r t o w h i c h

1

i s r a i s e d t o a r r i v e

a t t h e n a l d e s t i n a t i o n d e c r e a s e s s e e t h e F i g u r e b e l o w . T h i s i s t h e k e y t o t h e t r u e

c o m p a r i s o n o f t i m e - m a r c h m e t h o d s f o r t h i s t y p e o f p r o b l e m .

0 T u

N

k = 1 j j ( h

1

) ]

8

k = 2 j 2 h

1

j ( 2 h

1

) ]

4

k = 4 j 4 h

1

j ( 4 h

1

) ]

2

S t e p s i z e s a n d p o w e r s o f f o r k - e v a l u a t i o n m e t h o d s u s e d t o g e t t o t h e s a m e v a l u e

o f T i f 8 e v a l u a t i o n s a r e a l l o w e d .

I n g e n e r a l , a f t e r K e v a l u a t i o n s , t h e g l o b a l a m p l i t u d e a n d p h a s e e r r o r f o r k -

e v a l u a t i o n m e t h o d s a p p l i e d t o s y s t e m s w i t h p u r e i m a g i n a r y - r o o t s c a n b e w r i t t e n

1

E r

a

= 1 ; j

1

( i k ! h

1

) j

K = k

( 8 . 4 )

1

S e e E q s . 6 . 3 8 a n d 6 . 3 9 .



8 . 4 . C O M P A R I N G T H E E F F I C I E N C Y O F E X P L I C I T M E T H O D S 1 5 7

E r

!

= ! T ;

K

k

t a n

; 1

"

1

( i k ! h

1

) ]

i m a g i n a r y

1

( i k ! h

1

) ]

r e a l

#

( 8 . 5 )

C o n s i d e r a c o n v e c t i o n - d o m i n a t e d e v e n t f o r w h i c h t h e f u n c t i o n e v a l u a t i o n i s v e r y

t i m e c o n s u m i n g . W e i d e a l i z e t o t h e c a s e w h e r e = i ! a n d s e t ! e q u a l t o o n e . T h e

e v e n t m u s t p r o c e e d t o t h e t i m e t = T = 1 0 . W e c o n s i d e r t w o m a x i m u m e v a l u a t i o n

l i m i t s K = 5 0 a n d K = 1 0 0 a n d c h o o s e f r o m f o u r p o s s i b l e m e t h o d s , l e a p f r o g , A B 2 ,

G a z d a g , a n d R K 4 . T h e r s t t h r e e o f t h e s e a r e o n e - e v a l u a t i o n m e t h o d s a n d t h e l a s t

o n e i s a f o u r - e v a l u a t i o n m e t h o d . I t i s n o t d i c u l t t o s h o w t h a t o n t h e b a s i s o f l o c a l

e r r o r ( m a d e i n a s i n g l e s t e p ) t h e G a z d a g m e t h o d i s s u p e r i o r t o t h e R K 4 m e t h o d i n

b o t h a m p l i t u d e a n d p h a s e . F o r e x a m p l e , f o r ! h = 0 : 2 t h e G a z d a g m e t h o d p r o d u c e s

a j

1

j = 0 : 9 9 9 2 2 7 6 w h e r e a s f o r ! h = 0 : 8 ( w h i c h m u s t b e u s e d t o k e e p t h e n u m b e r o f

e v a l u a t i o n s t h e s a m e ) t h e R K 4 m e t h o d p r o d u c e s a j

1

j = 0 : 9 9 8 3 2 4 . H o w e v e r , w e a r e

m a k i n g o u r c o m p a r i s o n s o n t h e b a s i s o f g l o b a l e r r o r f o r a x e d n u m b e r o f e v a l u a t i o n s .

F i r s t o f a l l w e s e e t h a t f o r a o n e - e v a l u a t i o n m e t h o d h

1

= T = K . U s i n g t h i s , a n d t h e

f a c t t h a t ! = 1 , w e n d , b y s o m e r a t h e r s i m p l e c a l c u l a t i o n s

2

m a d e u s i n g E q s . 8 . 4 a n d

8 . 5 , t h e r e s u l t s s h o w n i n T a b l e 8 . 2 . N o t i c e t h a t t o n d g l o b a l e r r o r t h e G a z d a g r o o t

m u s t b e r a i s e d t o t h e p o w e r o f 5 0 w h i l e t h e R K 4 r o o t i s r a i s e d o n l y t o t h e p o w e r o f

5 0 / 4 . O n t h e b a s i s o f g l o b a l e r r o r t h e G a z d a g m e t h o d i s n o t s u p e r i o r t o R K 4 i n e i t h e r

a m p l i t u d e o r p h a s e , a l t h o u g h , i n t e r m s o f p h a s e e r r o r ( f o r w h i c h i t w a s d e s i g n e d ) i t

i s s u p e r i o r t o t h e o t h e r t w o m e t h o d s s h o w n .

K l e a p f r o g A B 2 G a z d a g R K 4

! h

1

= : 1 1 0 0 1 : 0 1 : 0 0 3 : 9 9 5 : 9 9 9

! h

1

= : 2 5 0 1 : 0 1 : 0 2 2 : 9 6 2 : 9 7 9

a . A m p l i t u d e , e x a c t = 1 . 0 .

K l e a p f r o g A B 2 G a z d a g R K 4

! h

1

= : 1 1 0 0 ; : 9 6 ; 2 : 4 : 4 5 : 1 2

! h

1

= : 2 5 0 ; 3 : 8 ; 9 : 8 1 : 5 1 : 5

b . P h a s e e r r o r i n d e g r e e s .

T a b l e 8 . 2 : C o m p a r i s o n o f g l o b a l a m p l i t u d e a n d p h a s e e r r o r s f o r f o u r m e t h o d s .

2

T h e

1

r o o t f o r t h e G a z d a g m e t h o d c a n b e f o u n d u s i n g a n u m e r i c a l r o o t n d i n g r o u t i n e t o t r a c e

t h e t h r e e r o o t s i n t h e - p l a n e , s e e F i g . 7 . 3 e .




U s i n g a n a l y s i s s u c h a s t h i s ( a n d a l s o c o n s i d e r i n g t h e s t a b i l i t y b o u n d a r i e s ) t h e

R K 4 m e t h o d i s r e c o m m e n d e d a s a b a s i c r s t c h o i c e f o r a n y e x p l i c i t t i m e - a c c u r a t e

c a l c u l a t i o n o f a c o n v e c t i o n - d o m i n a t e d p r o b l e m .

8 . 5 C o p i n g W i t h S t i n e s s

8 . 5 . 1 E x p l i c i t M e t h o d s

T h e a b i l i t y o f a n u m e r i c a l m e t h o d t o c o p e w i t h s t i n e s s c a n b e i l l u s t r a t e d q u i t e n i c e l y

i n t h e c o m p l e x h p l a n e . A g o o d e x a m p l e o f t h e c o n c e p t i s p r o d u c e d b y s t u d y i n g

t h e E u l e r m e t h o d a p p l i e d t o t h e r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n . T h e t r a n s i e n t s o l u t i o n i s

u

n

= ( 1 + h )

n

a n d t h e t r a c e o f t h e c o m p l e x v a l u e o f h w h i c h m a k e s j 1 + h j = 1

g i v e s t h e w h o l e s t o r y . I n t h i s c a s e t h e t r a c e f o r m s a c i r c l e o f u n i t r a d i u s c e n t e r e d a t

( ; 1 0 ) a s s h o w n i n F i g . 8 . 1 . I f h i s c h o s e n s o t h a t a l l h i n t h e O D E e i g e n s y s t e m

f a l l i n s i d e t h i s c i r c l e t h e i n t e g r a t i o n w i l l b e n u m e r i c a l l y s t a b l e . A l s o s h o w n b y t h e

s m a l l c i r c l e c e n t e r e d a t t h e o r i g i n i s t h e r e g i o n o f T a y l o r s e r i e s a c c u r a c y . I f s o m e h

f a l l o u t s i d e t h e s m a l l c i r c l e b u t s t a y w i t h i n t h e s t a b l e r e g i o n , t h e s e h a r e s t i , b u t

s t a b l e . W e h a v e d e n e d t h e s e h a s p a r a s i t i c e i g e n v a l u e s . S t a b i l i t y b o u n d a r i e s f o r

s o m e e x p l i c i t m e t h o d s a r e s h o w n i n F i g s . 7 . 5 a n d 7 . 6 .

F o r a s p e c i c e x a m p l e , c o n s i d e r t h e m i l d l y s t i s y s t e m c o m p o s e d o f a c o u p l e d

t w o - e q u a t i o n s e t h a v i n g t h e t w o e i g e n v a l u e s

1

= ; 1 0 0 a n d

2

= ; 1 . I f u n c o u p l e d

a n d e v a l u a t e d i n w a v e s p a c e , t h e t i m e h i s t o r i e s o f t h e t w o s o l u t i o n s w o u l d a p p e a r a s a

r a p i d l y d e c a y i n g f u n c t i o n i n o n e c a s e , a n d a r e l a t i v e l y s l o w l y d e c a y i n g f u n c t i o n i n t h e

o t h e r . A n a l y t i c a l e v a l u a t i o n o f t h e t i m e h i s t o r i e s p o s e s n o p r o b l e m s i n c e e

; 1 0 0 t

q u i c k l y

b e c o m e s v e r y s m a l l a n d c a n b e n e g l e c t e d i n t h e e x p r e s s i o n s w h e n t i m e b e c o m e s l a r g e .

N u m e r i c a l e v a l u a t i o n i s a l t o g e t h e r d i e r e n t . N u m e r i c a l s o l u t i o n s , o f c o u r s e , d e p e n d

u p o n (

m

h ) ]

n

a n d n o j

m

j c a n e x c e e d o n e f o r a n y

m

i n t h e c o u p l e d s y s t e m o r e l s e

t h e p r o c e s s i s n u m e r i c a l l y u n s t a b l e .

L e t u s c h o o s e t h e s i m p l e e x p l i c i t E u l e r m e t h o d f o r t h e t i m e m a r c h . T h e c o u p l e d

e q u a t i o n s i n r e a l s p a c e a r e r e p r e s e n t e d b y

u

1

( n ) = c

1

( 1 ; 1 0 0 h )

n

x

1 1

+ c

2

( 1 ; h )

n

x

1 2

+ ( P S )

1

u

2

( n ) = c

1

( 1 ; 1 0 0 h )

n

x

2 1

+ c

2

( 1 ; h )

n

x

2 2

+ ( P S )

2

( 8 . 6 )

W e w i l l a s s u m e t h a t o u r a c c u r a c y r e q u i r e m e n t s a r e s u c h t h a t s u c i e n t a c c u r a c y i s

o b t a i n e d a s l o n g a s j h j 0 : 1 . T h i s d e n e s a t i m e s t e p l i m i t b a s e d o n a c c u r a c y

c o n s i d e r a t i o n s o f h = 0 : 0 0 1 f o r

1

a n d h = 0 : 1 f o r

2

. T h e t i m e s t e p l i m i t b a s e d

o n s t a b i l i t y , w h i c h i s d e t e r m i n e d f r o m

1

, i s h = 0 : 0 2 . W e w i l l a l s o a s s u m e t h a t

c

1

= c

2

= 1 a n d t h a t a n a m p l i t u d e l e s s t h a n 0 . 0 0 1 i s n e g l i g i b l e . W e r s t r u n 6 6

t i m e s t e p s w i t h h = 0 : 0 0 1 i n o r d e r t o r e s o l v e t h e

1

t e r m . W i t h t h i s t i m e s t e p t h e






s t e p s i s e v e n l e s s . A c t u a l l y , a l t h o u g h t h i s r o o t i s o n e o f t h e p r i n c i p a l r o o t s i n t h e

s y s t e m , i t s b e h a v i o r f o r t > 0 : 0 7 i s i d e n t i c a l t o t h a t o f a s t a b l e s p u r i o u s r o o t . T h e

t o t a l s i m u l a t i o n r e q u i r e s 1 3 9 t i m e s t e p s .

8 . 5 . 3 A P e r s p e c t i v e

I t i s i m p o r t a n t t o r e t a i n a p r o p e r p e r s p e c t i v e o n a p r o b l e m r e p r e s e n t e d b y t h e a b o v e

e x a m p l e . I t i s c l e a r t h a t a n u n c o n d i t i o n a l l y s t a b l e m e t h o d c a n a l w a y s b e c a l l e d u p o n

t o s o l v e s t i p r o b l e m s w i t h a m i n i m u m n u m b e r o f t i m e s t e p s . I n t h e e x a m p l e , t h e

c o n d i t i o n a l l y s t a b l e E u l e r m e t h o d r e q u i r e d 4 0 5 t i m e s t e p s , a s c o m p a r e d t o a b o u t

1 3 9 f o r t h e t r a p e z o i d a l m e t h o d , a b o u t t h r e e t i m e s a s m a n y . H o w e v e r , t h e E u l e r

m e t h o d i s e x t r e m e l y e a s y t o p r o g r a m a n d r e q u i r e s v e r y l i t t l e a r i t h m e t i c p e r s t e p . F o r

p r e l i m i n a r y i n v e s t i g a t i o n s i t i s o f t e n t h e b e s t m e t h o d t o u s e f o r m i l d l y - s t i d i u s i o n

d o m i n a t e d p r o b l e m s . F o r r e n e d i n v e s t i g a t i o n s o f s u c h p r o b l e m s a n e x p l i c i t m e t h o d

o f s e c o n d o r d e r o r h i g h e r , s u c h a s A d a m s - B a s h f o r t h o r R u n g e - K u t t a m e t h o d s , i s

r e c o m m e n d e d . T h e s e e x p l i c i t m e t h o d s c a n b e c o n s i d e r e d a s e e c t i v e m i l d l y s t i -

s t a b l e m e t h o d s . H o w e v e r , i t s h o u l d b e c l e a r t h a t a s t h e d e g r e e o f s t i n e s s o f t h e

p r o b l e m i n c r e a s e s , t h e a d v a n t a g e b e g i n s t o t i l t t o w a r d s i m p l i c i t m e t h o d s , a s t h e

r e d u c e d n u m b e r o f t i m e s t e p s b e g i n s t o o u t w e i g h t h e i n c r e a s e d c o s t p e r t i m e s t e p .

T h e r e a d e r c a n r e p e a t t h e a b o v e e x a m p l e w i t h

1

= ; 1 0 0 0 0 ,

2

= ; 1 , w h i c h i s i n

t h e s t r o n g l y - s t i c a t e g o r y .

T h e r e i s y e t a n o t h e r t e c h n i q u e f o r c o p i n g w i t h c e r t a i n s t i s y s t e m s i n u i d d y n a m i c

a p p l i c a t i o n s . T h i s i s k n o w n a s t h e m u l t i g r i d m e t h o d . I t h a s e n j o y e d r e m a r k a b l e

s u c c e s s i n m a n y p r a c t i c a l p r o b l e m s h o w e v e r , w e n e e d a n i n t r o d u c t i o n t o t h e t h e o r y

o f r e l a x a t i o n b e f o r e i t c a n b e p r e s e n t e d .

8 . 6 S t e a d y P r o b l e m s

I n C h a p t e r 6 w e w r o t e t h e O E s o l u t i o n i n t e r m s o f t h e p r i n c i p a l a n d s p u r i o u s r o o t s

a s f o l l o w s :

u

n

= c

1 1

(

1

)

n

1

~

x

1

+ + c

m 1

(

m

)

n

1

~

x

m

+ + c

M 1

(

M

)

n

1

~

x

M

+ P : S :

+ c

1 2

(

1

)

n

2

~

x

1

+ + c

m 2

(

m

)

n

2

~

x

m

+ + c

M 2

(

M

)

n

2

~

x

M

+ c

1 3

(

1

)

n

3

~

x

1

+ + c

m 3

(

m

)

n

3

~

x

m

+ + c

M 3

(

M

)

n

3

~

x

M

+ e t c . , i f t h e r e a r e m o r e s p u r i o u s r o o t s ( 8 . 8 )

W h e n s o l v i n g a s t e a d y p r o b l e m , w e h a v e n o i n t e r e s t w h a t s o e v e r i n t h e t r a n s i e n t p o r -

t i o n o f t h e s o l u t i o n . O u r s o l e g o a l i s t o e l i m i n a t e i t a s q u i c k l y a s p o s s i b l e . T h e r e f o r e ,



8 . 7 . P R O B L E M S 1 6 1

t h e c h o i c e o f a t i m e - m a r c h i n g m e t h o d f o r a s t e a d y p r o b l e m i s s i m i l a r t o t h a t f o r a

s t i p r o b l e m , t h e d i e r e n c e b e i n g t h a t t h e o r d e r o f a c c u r a c y i s i r r e l e v a n t . H e n c e t h e

e x p l i c i t E u l e r m e t h o d i s a c a n d i d a t e f o r s t e a d y d i u s i o n d o m i n a t e d p r o b l e m s , a n d

t h e f o u r t h - o r d e r R u n g e - K u t t a m e t h o d i s a c a n d i d a t e f o r s t e a d y c o n v e c t i o n d o m i n a t e d

p r o b l e m s , b e c a u s e o f t h e i r s t a b i l i t y p r o p e r t i e s . A m o n g i m p l i c i t m e t h o d s , t h e i m p l i c i t

E u l e r m e t h o d i s t h e o b v i o u s c h o i c e f o r s t e a d y p r o b l e m s .

W h e n w e s e e k o n l y t h e s t e a d y s o l u t i o n , a l l o f t h e e i g e n v a l u e s c a n b e c o n s i d e r e d t o

b e p a r a s i t i c . R e f e r r i n g t o F i g . 8 . 1 , n o n e o f t h e e i g e n v a l u e s a r e r e q u i r e d t o f a l l i n t h e

a c c u r a t e r e g i o n o f t h e t i m e - m a r c h i n g m e t h o d . T h e r e f o r e t h e t i m e s t e p c a n b e c h o s e n

t o e l i m i n a t e t h e t r a n s i e n t a s q u i c k l y a s p o s s i b l e w i t h n o r e g a r d f o r t i m e a c c u r a c y .

F o r e x a m p l e , w h e n u s i n g t h e i m p l i c i t E u l e r m e t h o d w i t h l o c a l t i m e l i n e a r i z a t i o n , E q .

6 . 9 6 , o n e w o u l d l i k e t o t a k e t h e l i m i t h ! 1 , w h i c h l e a d s t o N e w t o n ' s m e t h o d , E q .

6 . 9 8 . H o w e v e r , a n i t e t i m e s t e p m a y b e r e q u i r e d u n t i l t h e s o l u t i o n i s s o m e w h a t c l o s e

t o t h e s t e a d y s o l u t i o n .

8 . 7 P r o b l e m s

1 . R e p e a t t h e t i m e - m a r c h c o m p a r i s o n s f o r d i u s i o n ( S e c t i o n 8 . 4 . 2 ) a n d p e r i o d i c

c o n v e c t i o n ( S e c t i o n 8 . 4 . 3 ) u s i n g 2 n d - a n d 3 r d - o r d e r R u n g e - K u t t a m e t h o d s .

2 . R e p e a t t h e t i m e - m a r c h c o m p a r i s o n s f o r d i u s i o n ( S e c t i o n 8 . 4 . 2 ) a n d p e r i o d i c

c o n v e c t i o n ( S e c t i o n 8 . 4 . 3 ) u s i n g t h e 3 r d - a n d 4 t h - o r d e r A d a m s - B a s h f o r t h m e t h -

o d s . C o n s i d e r i n g t h e s t a b i l i t y b o u n d s f o r t h e s e m e t h o d s ( s e e p r o b l e m 4 i n

C h a p t e r 7 ) a s w e l l a s t h e i r m e m o r y r e q u i r e m e n t s , c o m p a r e a n d c o n t r a s t t h e m

w i t h t h e 3 r d - a n d 4 t h - o r d e r R u n g e - K u t t a m e t h o d s .

3 . C o n s i d e r t h e d i u s i o n e q u a t i o n ( w i t h = 1 ) d i s c r e t i z e d u s i n g 2 n d - o r d e r c e n t r a l

d i e r e n c e s o n a g r i d w i t h 1 0 ( i n t e r i o r ) p o i n t s . F i n d a n d p l o t t h e e i g e n v a l u e s

a n d t h e c o r r e s p o n d i n g m o d i e d w a v e n u m b e r s . I f w e u s e t h e e x p l i c i t E u l e r t i m e -

m a r c h i n g m e t h o d w h a t i s t h e m a x i m u m a l l o w a b l e t i m e s t e p i f a l l b u t t h e r s t

t w o e i g e n v e c t o r s a r e c o n s i d e r e d p a r a s i t i c ? A s s u m e t h a t s u c i e n t a c c u r a c y i s

o b t a i n e d a s l o n g a s j h j 0 : 1 . W h a t i s t h e m a x i m u m a l l o w a b l e t i m e s t e p i f a l l

b u t t h e r s t e i g e n v e c t o r a r e c o n s i d e r e d p a r a s i t i c ?






C h a p t e r 9

R E L A X A T I O N M E T H O D S

I n t h e p a s t t h r e e c h a p t e r s , w e d e v e l o p e d a m e t h o d o l o g y f o r d e s i g n i n g , a n a l y z i n g ,

a n d c h o o s i n g t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s . T h e s e m e t h o d s c a n b e u s e d t o c o m p u t e t h e

t i m e - a c c u r a t e s o l u t i o n t o l i n e a r a n d n o n l i n e a r s y s t e m s o f O D E ' s i n t h e g e n e r a l f o r m

d ~u

d t

=

~

F ( ~ u t ) ( 9 . 1 )

w h i c h a r i s e a f t e r s p a t i a l d i s c r e t i z a t i o n o f a P D E . A l t e r n a t i v e l y , t h e y c a n b e u s e d t o

s o l v e f o r t h e s t e a d y s o l u t i o n o f E q . 9 . 1 , w h i c h s a t i s e s t h e f o l l o w i n g c o u p l e d s y s t e m

o f n o n l i n e a r a l g e b r a i c e q u a t i o n s :

~

F ( ~u ) = 0 ( 9 . 2 )

I n t h e l a t t e r c a s e , t h e u n s t e a d y e q u a t i o n s a r e i n t e g r a t e d u n t i l t h e s o l u t i o n c o n v e r g e s

t o a s t e a d y s o l u t i o n . T h e s a m e a p p r o a c h p e r m i t s a t i m e - m a r c h i n g m e t h o d t o b e u s e d

t o s o l v e a l i n e a r s y s t e m o f a l g e b r a i c e q u a t i o n s i n t h e f o r m

A ~x =

~

b ( 9 . 3 )

T o s o l v e t h i s s y s t e m u s i n g a t i m e - m a r c h i n g m e t h o d , a t i m e d e r i v a t i v e i s i n t r o d u c e d

a s f o l l o w s

d ~x

d t

= A ~x ;

~

b ( 9 . 4 )

a n d t h e s y s t e m i s i n t e g r a t e d i n t i m e u n t i l t h e t r a n s i e n t h a s d e c a y e d t o a s u c i e n t l y

l o w l e v e l . F o l l o w i n g a t i m e - d e p e n d e n t p a t h t o s t e a d y s t a t e i s p o s s i b l e o n l y i f a l l o f

t h e e i g e n v a l u e s o f t h e m a t r i x A ( o r ; A ) h a v e r e a l p a r t s l y i n g i n t h e l e f t h a l f - p l a n e .

A l t h o u g h t h e s o l u t i o n ~x = A

; 1

~

b e x i s t s a s l o n g a s A i s n o n s i n g u l a r , t h e O D E g i v e n b y

E q . 9 . 4 h a s a s t a b l e s t e a d y s o l u t i o n o n l y i f A m e e t s t h e a b o v e c o n d i t i o n .

1 6 3



1 6 4 C H A P T E R 9 . R E L A X A T I O N M E T H O D S

T h e c o m m o n f e a t u r e o f a l l t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s i s t h a t t h e y a r e a t l e a s t r s t -

o r d e r a c c u r a t e . I n t h i s c h a p t e r , w e c o n s i d e r i t e r a t i v e m e t h o d s w h i c h a r e n o t t i m e

a c c u r a t e a t a l l . S u c h m e t h o d s a r e k n o w n a s r e l a x a t i o n m e t h o d s . W h i l e t h e y a r e

a p p l i c a b l e t o c o u p l e d s y s t e m s o f n o n l i n e a r a l g e b r a i c e q u a t i o n s i n t h e f o r m o f E q . 9 . 2 ,

o u r a n a l y s i s w i l l f o c u s o n t h e i r a p p l i c a t i o n t o l a r g e s p a r s e l i n e a r s y s t e m s o f e q u a t i o n s

i n t h e f o r m

A

b

~

u ;

~

f

b

= 0 ( 9 . 5 )

w h e r e A

b

i s n o n s i n g u l a r , a n d t h e u s e o f t h e s u b s c r i p t b w i l l b e c o m e c l e a r s h o r t l y . S u c h

s y s t e m s o f e q u a t i o n s a r i s e , f o r e x a m p l e , a t e a c h t i m e s t e p o f a n i m p l i c i t t i m e - m a r c h i n g

m e t h o d o r a t e a c h i t e r a t i o n o f N e w t o n ' s m e t h o d . U s i n g a n i t e r a t i v e m e t h o d , w e s e e k

t o o b t a i n r a p i d l y a s o l u t i o n w h i c h i s a r b i t r a r i l y c l o s e t o t h e e x a c t s o l u t i o n o f E q . 9 . 5 ,

w h i c h i s g i v e n b y

~

u

1

= A

; 1

b

~

f

b

( 9 . 6 )

9 . 1 F o r m u l a t i o n o f t h e M o d e l P r o b l e m

9 . 1 . 1 P r e c o n d i t i o n i n g t h e B a s i c M a t r i x

I t i s s t a n d a r d p r a c t i c e i n a p p l y i n g r e l a x a t i o n p r o c e d u r e s t o p r e c o n d i t i o n t h e b a s i c

e q u a t i o n . T h i s p r e c o n d i t i o n i n g h a s t h e e e c t o f m u l t i p l y i n g E q . 9 . 5 f r o m t h e l e f t

b y s o m e n o n s i n g u l a r m a t r i x . I n t h e s i m p l e s t p o s s i b l e c a s e t h e c o n d i t i o n i n g m a t r i x

i s a d i a g o n a l m a t r i x c o m p o s e d o f a c o n s t a n t D ( b ) . I f w e d e s i g n a t e t h e c o n d i t i o n i n g

m a t r i x b y C , t h e p r o b l e m b e c o m e s o n e o f s o l v i n g f o r

~

u i n

C A

b

~

u ; C

~

f

b

= 0 ( 9 . 7 )

N o t i c e t h a t t h e s o l u t i o n o f E q . 9 . 7 i s

~

u = C A

b

]

; 1

C

~

f

b

= A

; 1

b

C

; 1

C

~

f

b

= A

; 1

b

~

f

b

( 9 . 8 )

w h i c h i s i d e n t i c a l t o t h e s o l u t i o n o f E q . 9 . 5 , p r o v i d e d C

; 1

e x i s t s .

I n t h e f o l l o w i n g w e w i l l s e e t h a t o u r a p p r o a c h t o t h e i t e r a t i v e s o l u t i o n o f E q . 9 . 7

d e p e n d s c r u c i a l l y o n t h e e i g e n v a l u e a n d e i g e n v e c t o r s t r u c t u r e o f t h e m a t r i x C A

b

, a n d ,

e q u a l l y i m p o r t a n t , d o e s n o t d e p e n d a t a l l o n t h e e i g e n s y s t e m o f t h e b a s i c m a t r i x A

b

.

F o r e x a m p l e , t h e r e a r e w e l l - k n o w n t e c h n i q u e s f o r a c c e l e r a t i n g r e l a x a t i o n s c h e m e s i f

t h e e i g e n v a l u e s o f C A

b

a r e a l l r e a l a n d o f t h e s a m e s i g n . T o u s e t h e s e s c h e m e s , t h e



9 . 1 . F O R M U L A T I O N O F T H E M O D E L P R O B L E M 1 6 5

c o n d i t i o n i n g m a t r i x C m u s t b e c h o s e n s u c h t h a t t h i s r e q u i r e m e n t i s s a t i s e d . A

c h o i c e o f C w h i c h e n s u r e s t h i s c o n d i t i o n i s t h e n e g a t i v e t r a n s p o s e o f A

b

.

F o r e x a m p l e , c o n s i d e r a s p a t i a l d i s c r e t i z a t i o n o f t h e l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n

u s i n g c e n t e r e d d i e r e n c e s w i t h a D i r i c h l e t c o n d i t i o n o n t h e l e f t s i d e a n d n o c o n s t r a i n t

o n t h e r i g h t s i d e . U s i n g a r s t - o r d e r b a c k w a r d d i e r e n c e o n t h e r i g h t s i d e ( a s i n

S e c t i o n 3 . 6 ) , t h i s l e a d s t o t h e a p p r o x i m a t i o n

x

~

u =

1

2 x

8

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

:

2

6

6

6

6

6

6

4

0 1

; 1 0 1

; 1 0 1

; 1 0 1

; 2 2

3

7

7

7

7

7

7

5

~

u +

2

6

6

6

6

6

6

4

; u

a

0

0

0

0

3

7

7

7

7

7

7

5

9

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

( 9 . 9 )

T h e m a t r i x i n E q . 9 . 9 h a s e i g e n v a l u e s w h o s e i m a g i n a r y p a r t s a r e m u c h l a r g e r t h a n

t h e i r r e a l p a r t s . I t c a n r s t b e c o n d i t i o n e d s o t h a t t h e m o d u l u s o f e a c h e l e m e n t i s 1 .

T h i s i s a c c o m p l i s h e d u s i n g a d i a g o n a l p r e c o n d i t i o n i n g m a t r i x

D = 2 x

2

6

6

6

6

6

6

4

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0

1

2

3

7

7

7

7

7

7

5

( 9 . 1 0 )

w h i c h s c a l e s e a c h r o w . W e t h e n f u r t h e r c o n d i t i o n w i t h m u l t i p l i c a t i o n b y t h e n e g a t i v e

t r a n s p o s e . T h e r e s u l t i s

A

2

= ; A

T

1

A

1

=

2

6

6

6

6

6

6

4

0 1

; 1 0 1

; 1 0 1

; 1 0 1

; 1 ; 1

3

7

7

7

7

7

7

5

2

6

6

6

6

6

6

4

0 1

; 1 0 1

; 1 0 1

; 1 0 1

; 1 1

3

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

6

6

6

6

6

4

; 1 0 1

0

; 2 0 1

1 0

; 2 0 1

1 0 ; 2 1

1 1 ; 2

3

7

7

7

7

7

7

5

( 9 . 1 1 )




I f w e d e n e a p e r m u t a t i o n m a t r i x P

1

a n d c a r r y o u t t h e p r o c e s s P

T

; A

T

1

A

1

] P ( w h i c h

j u s t r e o r d e r s t h e e l e m e n t s o f A

1

a n d d o e s n ' t c h a n g e t h e e i g e n v a l u e s ) w e n d

2

6

6

6

6

6

6

4

0 1 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0

3

7

7

7

7

7

7

5

2

6

6

6

6

6

6

4

; 1 0 1

0 ; 2 0 1

1 0 ; 2 0 1

1 0 ; 2 1

1 1 ; 2

3

7

7

7

7

7

7

5

2

6

6

6

6

6

6

4

0 0 0 0 1

1 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

3

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

6

6

6

6

6

4

; 2 1

1 ; 2 1

1 ; 2 1

1 ; 2 1

1 ; 1

3

7

7

7

7

7

7

5

( 9 . 1 2 )

w h i c h h a s a l l n e g a t i v e r e a l e i g e n v a l u e s , a s g i v e n i n A p p e n d i x B . T h u s e v e n w h e n

t h e b a s i c m a t r i x A

b

h a s n e a r l y i m a g i n a r y e i g e n v a l u e s , t h e c o n d i t i o n e d m a t r i x ; A

T

b

A

b

i s n e v e r t h e l e s s s y m m e t r i c n e g a t i v e d e n i t e ( i . e . , s y m m e t r i c w i t h n e g a t i v e r e a l e i g e n -

v a l u e s ) , a n d t h e c l a s s i c a l r e l a x a t i o n m e t h o d s c a n b e a p p l i e d . W e d o n o t n e c e s s a r i l y

r e c o m m e n d t h e u s e o f ; A

T

b

a s a p r e c o n d i t i o n e r w e s i m p l y w i s h t o s h o w t h a t a b r o a d

r a n g e o f m a t r i c e s c a n b e p r e c o n d i t i o n e d i n t o a f o r m s u i t a b l e f o r o u r a n a l y s i s .

9 . 1 . 2 T h e M o d e l E q u a t i o n s

P r e c o n d i t i o n i n g p r o c e s s e s s u c h a s t h o s e d e s c r i b e d i n t h e l a s t s e c t i o n a l l o w u s t o

p r e p a r e o u r a l g e b r a i c e q u a t i o n s i n a d v a n c e s o t h a t c e r t a i n e i g e n s t r u c t u r e s a r e g u a r -

a n t e e d . I n t h e r e m a i n d e r o f t h i s c h a p t e r , w e w i l l t h o r o u g h l y i n v e s t i g a t e s o m e s i m p l e

e q u a t i o n s w h i c h m o d e l t h e s e s t r u c t u r e s . W e w i l l c o n s i d e r t h e p r e c o n d i t i o n e d s y s t e m

o f e q u a t i o n s h a v i n g t h e f o r m

A

~

;

~

f = 0 ( 9 . 1 3 )

w h e r e A i s s y m m e t r i c n e g a t i v e d e n i t e .

2

T h e s y m b o l f o r t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e h a s

b e e n c h a n g e d t o a s a r e m i n d e r t h a t t h e p h y s i c s b e i n g m o d e l e d i s n o l o n g e r t i m e

1

A p e r m u t a t i o n m a t r i x ( d e n e d a s a m a t r i x w i t h e x a c t l y o n e 1 i n e a c h r o w a n d c o l u m n a n d h a s

t h e p r o p e r t y t h a t P

T

= P

; 1

) j u s t r e a r r a n g e s t h e r o w s a n d c o l u m n s o f a m a t r i x .

2

W e u s e a s y m m e t r i c n e g a t i v e d e n i t e m a t r i x t o s i m p l i f y c e r t a i n a s p e c t s o f o u r a n a l y s i s . R e l a x -

a t i o n m e t h o d s a r e a p p l i c a b l e t o m o r e g e n e r a l m a t r i c e s . T h e c l a s s i c a l m e t h o d s w i l l u s u a l l y c o n v e r g e

i f A

b

i s d i a g o n a l l y d o m i n a n t , a s d e n e d i n A p p e n d i x A .



9 . 1 . F O R M U L A T I O N O F T H E M O D E L P R O B L E M 1 6 7

a c c u r a t e w h e n w e l a t e r d e a l w i t h O D E f o r m u l a t i o n s . N o t e t h a t t h e s o l u t i o n o f E q .

9 . 1 3 ,

~

= A

; 1

~

f , i s g u a r a n t e e d t o e x i s t b e c a u s e A i s n o n s i n g u l a r . I n t h e n o t a t i o n o f

E q s . 9 . 5 a n d 9 . 7 ,

A = C A

b

a n d

~

f = C

~

f

b

( 9 . 1 4 )

T h e a b o v e w a s w r i t t e n t o t r e a t t h e g e n e r a l c a s e . I t i s i n s t r u c t i v e i n f o r m u l a t i n g t h e

c o n c e p t s t o c o n s i d e r t h e s p e c i a l c a s e g i v e n b y t h e d i u s i o n e q u a t i o n i n o n e d i m e n s i o n

w i t h u n i t d i u s i o n c o e c i e n t :

@ u

@ t

=

@

2

u

@ x

2

; g ( x ) ( 9 . 1 5 )

T h i s h a s t h e s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n

@

2

u

@ x

2

= g ( x ) ( 9 . 1 6 )

w h i c h i s t h e o n e - d i m e n s i o n a l f o r m o f t h e P o i s s o n e q u a t i o n . I n t r o d u c i n g t h e t h r e e -

p o i n t c e n t r a l d i e r e n c i n g s c h e m e f o r t h e s e c o n d d e r i v a t i v e w i t h D i r i c h l e t b o u n d a r y

c o n d i t i o n s , w e n d

d

~

u

d t

=

1

x

2

B ( 1 ; 2 1 )

~

u + (

~

b c ) ;

~

g ( 9 . 1 7 )

w h e r e (

~

b c ) c o n t a i n s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d

~

g c o n t a i n s t h e v a l u e s o f t h e s o u r c e

t e r m a t t h e g r i d n o d e s . I n t h i s c a s e

A

b

=

1

x

2

B ( 1

; 2 1 )

~

f

b

=

~

g ; (

~

b c ) ( 9 . 1 8 )

C h o o s i n g C = x

2

I , w e o b t a i n

B ( 1 ; 2 1 )

~

=

~

f ( 9 . 1 9 )

w h e r e

~

f = x

2

~

f

b

. I f w e c o n s i d e r a D i r i c h l e t b o u n d a r y c o n d i t i o n o n t h e l e f t s i d e a n d

e i t h e r a D i r i c h l e t o r a N e u m a n n c o n d i t i o n o n t h e r i g h t s i d e , t h e n A h a s t h e f o r m

A = B

1

~

b 1




~

b = ; 2 ; 2 ; 2 s ]

T

s = ; 2 o r ; 1 ( 9 . 2 0 )

N o t e t h a t s = ; 1 i s e a s i l y o b t a i n e d f r o m t h e m a t r i x r e s u l t i n g f r o m t h e N e u m a n n

b o u n d a r y c o n d i t i o n g i v e n i n E q . 3 . 2 4 u s i n g a d i a g o n a l c o n d i t i o n i n g m a t r i x . A t r e m e n -

d o u s a m o u n t o f i n s i g h t t o t h e b a s i c f e a t u r e s o f r e l a x a t i o n i s g a i n e d b y a n a p p r o p r i a t e

s t u d y o f t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e , a n d m u c h o f t h e r e m a i n i n g m a t e r i a l i s d e v o t e d t o

t h i s c a s e . W e a t t e m p t t o d o t h i s i n s u c h a w a y , h o w e v e r , t h a t i t i s d i r e c t l y a p p l i c a b l e

t o t w o - a n d t h r e e - d i m e n s i o n a l p r o b l e m s .

9 . 2 C l a s s i c a l R e l a x a t i o n

9 . 2 . 1 T h e D e l t a F o r m o f a n I t e r a t i v e S c h e m e

W e w i l l c o n s i d e r r e l a x a t i o n m e t h o d s w h i c h c a n b e e x p r e s s e d i n t h e f o l l o w i n g d e l t a

f o r m :

H

h

~

n + 1

;

~

n

i

= A

~

n

;

~

f ( 9 . 2 1 )

w h e r e H i s s o m e n o n s i n g u l a r m a t r i x w h i c h d e p e n d s u p o n t h e i t e r a t i v e m e t h o d . T h e

m a t r i x H i s i n d e p e n d e n t o f n f o r s t a t i o n a r y m e t h o d s a n d i s a f u n c t i o n o f n f o r

n o n s t a t i o n a r y o n e s . T h e i t e r a t i o n c o u n t i s d e s i g n a t e d b y t h e s u b s c r i p t n o r t h e

s u p e r s c r i p t ( n ) . T h e c o n v e r g e d s o l u t i o n i s d e s i g n a t e d

~

1

s o t h a t

~

1

= A

; 1 ~

f ( 9 . 2 2 )

9 . 2 . 2 T h e C o n v e r g e d S o l u t i o n , t h e R e s i d u a l , a n d t h e E r r o r

S o l v i n g E q . 9 . 2 1 f o r

~

n + 1

g i v e s

~

n + 1

= I + H

; 1

A ]

~

n

; H

; 1 ~

f = G

~

n

; H

; 1 ~

f ( 9 . 2 3 )

w h e r e

G I + H

; 1

A ( 9 . 2 4 )

H e n c e i t i s c l e a r t h a t H s h o u l d l e a d t o a s y s t e m o f e q u a t i o n s w h i c h i s e a s y t o s o l v e ,

o r a t l e a s t e a s i e r t o s o l v e t h a n t h e o r i g i n a l s y s t e m . T h e e r r o r a t t h e n t h i t e r a t i o n i s

d e n e d a s

~

e

n

~

n

;

~

1

=

~

n

; A

; 1

~

f ( 9 . 2 5 )



9 . 2 . C L A S S I C A L R E L A X A T I O N 1 6 9

w h e r e

~

1

w a s d e n e d i n E q . 9 . 2 2 . T h e r e s i d u a l a t t h e n t h i t e r a t i o n i s d e n e d a s

~

r

n

A

~

n

;

~

f ( 9 . 2 6 )

M u l t i p l y E q . 9 . 2 5 b y A f r o m t h e l e f t , a n d u s e t h e d e n i t i o n i n E q . 9 . 2 6 . T h e r e r e s u l t s

t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e e r r o r a n d t h e r e s i d u a l

A

~

e

n

;

~

r

n

= 0 ( 9 . 2 7 )

F i n a l l y , i t i s n o t d i c u l t t o s h o w t h a t

~

e

n + 1

= G

~

e

n

( 9 . 2 8 )

C o n s e q u e n t l y , G i s r e f e r r e d t o a s t h e b a s i c i t e r a t i o n m a t r i x , a n d i t s e i g e n v a l u e s , w h i c h

w e d e s i g n a t e a s

m

, d e t e r m i n e t h e c o n v e r g e n c e r a t e o f a m e t h o d .

I n a l l o f t h e a b o v e , w e h a v e c o n s i d e r e d o n l y w h a t a r e u s u a l l y r e f e r r e d t o a s s t a -

t i o n a r y p r o c e s s e s i n w h i c h H i s c o n s t a n t t h r o u g h o u t t h e i t e r a t i o n s . N o n s t a t i o n a r y

p r o c e s s e s i n w h i c h H ( a n d p o s s i b l y C ) i s v a r i e d a t e a c h i t e r a t i o n a r e d i s c u s s e d i n

S e c t i o n 9 . 5 .

9 . 2 . 3 T h e C l a s s i c a l M e t h o d s

P o i n t O p e r a t o r S c h e m e s i n O n e D i m e n s i o n

L e t u s c o n s i d e r t h r e e c l a s s i c a l r e l a x a t i o n p r o c e d u r e s f o r o u r m o d e l e q u a t i o n

B ( 1 ; 2 1 )

~

=

~

f ( 9 . 2 9 )

a s g i v e n i n S e c t i o n 9 . 1 . 2 . T h e P o i n t - J a c o b i m e t h o d i s e x p r e s s e d i n p o i n t o p e r a t o r

f o r m f o r t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e a s

( n + 1 )

j

=

1

2

h

( n )

j ; 1

+

( n )

j + 1

; f

j

i

( 9 . 3 0 )

T h i s o p e r a t o r c o m e s a b o u t b y c h o o s i n g t h e v a l u e o f

( n + 1 )

j

s u c h t h a t t o g e t h e r w i t h

t h e o l d v a l u e s o f

j ; 1

a n d

j + 1

, t h e j t h r o w o f E q . 9 . 2 9 i s s a t i s e d . T h e G a u s s - S e i d e l

m e t h o d i s

( n + 1 )

j

=

1

2

h

( n + 1 )

j ; 1

+

( n )

j + 1

; f

j

i

( 9 . 3 1 )

T h i s o p e r a t o r i s a s i m p l e e x t e n s i o n o f t h e p o i n t - J a c o b i m e t h o d w h i c h u s e s t h e m o s t

r e c e n t u p d a t e o f

j ; 1

. H e n c e t h e j t h r o w o f E q . 9 . 2 9 i s s a t i s e d u s i n g t h e n e w v a l u e s o f

j

a n d

j ; 1

a n d t h e o l d v a l u e o f

j + 1

. T h e m e t h o d o f s u c c e s s i v e o v e r r e l a x a t i o n ( S O R )




i s b a s e d o n t h e i d e a t h a t i f t h e c o r r e c t i o n p r o d u c e d b y t h e G a u s s - S e i d e l m e t h o d t e n d s

t o m o v e t h e s o l u t i o n t o w a r d

~

1

, t h e n p e r h a p s i t w o u l d b e b e t t e r t o m o v e f u r t h e r i n

t h i s d i r e c t i o n . I t i s u s u a l l y e x p r e s s e d i n t w o s t e p s a s

~

j

=

1

2

h

( n + 1 )

j ; 1

+

( n )

j + 1

; f

j

i

( n + 1 )

j

=

( n )

j

+ !

h

~

j

;

( n )

j

i

( 9 . 3 2 )

w h e r e ! g e n e r a l l y l i e s b e t w e e n 1 a n d 2 , b u t i t c a n a l s o b e w r i t t e n i n t h e s i n g l e l i n e

( n + 1 )

j

=

!

2

( n + 1 )

j ; 1

+ ( 1 ; ! )

( n )

j

+

!

2

( n )

j + 1

;

!

2

f

j

( 9 . 3 3 )

T h e G e n e r a l F o r m

T h e g e n e r a l f o r m o f t h e c l a s s i c a l m e t h o d s i s o b t a i n e d b y s p l i t t i n g t h e m a t r i x A i n

E q . 9 . 1 3 i n t o i t s d i a g o n a l , D , t h e p o r t i o n o f t h e m a t r i x b e l o w t h e d i a g o n a l , L , a n d

t h e p o r t i o n a b o v e t h e d i a g o n a l , U , s u c h t h a t

A = L + D + U ( 9 . 3 4 )

T h e n t h e p o i n t - J a c o b i m e t h o d i s o b t a i n e d w i t h H = ; D , w h i c h c e r t a i n l y m e e t s

t h e c r i t e r i o n t h a t i t i s e a s y t o s o l v e . T h e G a u s s - S e i d e l m e t h o d i s o b t a i n e d w i t h

H = ; ( L + D ) , w h i c h i s a l s o e a s y t o s o l v e , b e i n g l o w e r t r i a n g u l a r .

9 . 3 T h e O D E A p p r o a c h t o C l a s s i c a l R e l a x a t i o n

9 . 3 . 1 T h e O r d i n a r y D i e r e n t i a l E q u a t i o n F o r m u l a t i o n

T h e p a r t i c u l a r t y p e o f d e l t a f o r m g i v e n b y E q . 9 . 2 1 l e a d s t o a n i n t e r p r e t a t i o n o f

r e l a x a t i o n m e t h o d s i n t e r m s o f s o l u t i o n t e c h n i q u e s f o r c o u p l e d r s t - o r d e r O D E ' s ,

a b o u t w h i c h w e h a v e a l r e a d y l e a r n e d a g r e a t d e a l . O n e c a n e a s i l y s e e t h a t E q . 9 . 2 1

r e s u l t s f r o m t h e a p p l i c a t i o n o f t h e e x p l i c i t E u l e r t i m e - m a r c h i n g m e t h o d ( w i t h h = 1 )

t o t h e f o l l o w i n g s y s t e m o f O D E ' s :

H

d

~

d t

= A

~

;

~

f ( 9 . 3 5 )

T h i s i s e q u i v a l e n t t o

d

~

d t

= H

; 1

C

A

b

~

;

~

f

b

= H

; 1

A

~

;

~

f ] ( 9 . 3 6 )



9 . 3 . T H E O D E A P P R O A C H T O C L A S S I C A L R E L A X A T I O N 1 7 1

I n t h e s p e c i a l c a s e w h e r e H

; 1

A d e p e n d s o n n e i t h e r

~

u n o r t , H

; 1 ~

f i s a l s o i n d e p e n d e n t

o f t , a n d t h e e i g e n v e c t o r s o f H

; 1

A a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t , t h e s o l u t i o n c a n b e

w r i t t e n a s

~

= c

1

e

1

t

~

x

1

+ + c

M

e

M

t

~

x

M

| { z }

e r r o r

+

~

1

( 9 . 3 7 )

w h e r e w h a t i s r e f e r r e d t o i n t i m e - a c c u r a t e a n a l y s i s a s t h e t r a n s i e n t s o l u t i o n , i s n o w

r e f e r r e d t o i n r e l a x a t i o n a n a l y s i s a s t h e e r r o r . I t i s c l e a r t h a t , i f a l l o f t h e e i g e n v a l u e s

o f H

; 1

A h a v e n e g a t i v e r e a l p a r t s ( w h i c h i m p l i e s t h a t H

; 1

A i s n o n s i n g u l a r ) , t h e n t h e

s y s t e m o f O D E ' s h a s a s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n w h i c h i s a p p r o a c h e d a s t ! 1 , g i v e n b y

~

1

= A

; 1

~

f ( 9 . 3 8 )

w h i c h i s t h e s o l u t i o n o f E q . 9 . 1 3 . W e s e e t h a t t h e g o a l o f a r e l a x a t i o n m e t h o d i s t o

r e m o v e t h e t r a n s i e n t s o l u t i o n f r o m t h e g e n e r a l s o l u t i o n i n t h e m o s t e c i e n t w a y p o s -

s i b l e . T h e e i g e n v a l u e s a r e x e d b y t h e b a s i c m a t r i x i n E q . 9 . 3 6 , t h e p r e c o n d i t i o n i n g

m a t r i x i n 9 . 7 , a n d t h e s e c o n d a r y c o n d i t i o n i n g m a t r i x i n 9 . 3 5 . T h e e i g e n v a l u e s a r e

x e d f o r a g i v e n h b y t h e c h o i c e o f t i m e - m a r c h i n g m e t h o d . T h r o u g h o u t t h e r e m a i n -

i n g d i s c u s s i o n w e w i l l r e f e r t o t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t a s \ t i m e " , e v e n t h o u g h n o

t r u e t i m e a c c u r a c y i s i n v o l v e d .

I n a s t a t i o n a r y m e t h o d , H a n d C i n E q . 9 . 3 6 a r e i n d e p e n d e n t o f t , t h a t i s , t h e y

a r e n o t c h a n g e d t h r o u g h o u t t h e i t e r a t i o n p r o c e s s . T h e g e n e r a l i z a t i o n o f t h i s i n o u r

a p p r o a c h i s t o m a k e h , t h e \ t i m e " s t e p , a c o n s t a n t f o r t h e e n t i r e i t e r a t i o n .

S u p p o s e t h e e x p l i c i t E u l e r m e t h o d i s u s e d f o r t h e t i m e i n t e g r a t i o n . F o r t h i s m e t h o d

m

= 1 +

m

h . H e n c e t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n a f t e r n s t e p s o f a s t a t i o n a r y r e l a x a t i o n

m e t h o d c a n b e e x p r e s s e d a s ( s e e E q . 6 . 2 8 )

~

n

= c

1

~

x

1

( 1 +

1

h )

n

+ + c

m

~

x

m

( 1 +

m

h )

n

+ + c

M

~

x

M

( 1 +

M

h )

n

| { z }

e r r o r

+

~

1

( 9 . 3 9 )

T h e i n i t i a l a m p l i t u d e s o f t h e e i g e n v e c t o r s a r e g i v e n b y t h e m a g n i t u d e s o f t h e c

m

.

T h e s e a r e x e d b y t h e i n i t i a l g u e s s . I n g e n e r a l i t i s a s s u m e d t h a t a n y o r a l l o f t h e

e i g e n v e c t o r s c o u l d h a v e b e e n g i v e n a n e q u a l l y \ b a d " e x c i t a t i o n b y t h e i n i t i a l g u e s s ,

s o t h a t w e m u s t d e v i s e a w a y t o r e m o v e t h e m a l l f r o m t h e g e n e r a l s o l u t i o n o n a n

e q u a l b a s i s . A s s u m i n g t h a t H

; 1

A h a s b e e n c h o s e n ( t h a t i s , a n i t e r a t i o n p r o c e s s h a s

b e e n d e c i d e d u p o n ) , t h e o n l y f r e e c h o i c e r e m a i n i n g t o a c c e l e r a t e t h e r e m o v a l o f t h e

e r r o r t e r m s i s t h e c h o i c e o f h . A s w e s h a l l s e e , t h e t h r e e c l a s s i c a l m e t h o d s h a v e a l l

b e e n c o n d i t i o n e d b y t h e c h o i c e o f H t o h a v e a n o p t i m u m h e q u a l t o 1 f o r a s t a t i o n a r y

i t e r a t i o n p r o c e s s .




9 . 3 . 2 O D E F o r m o f t h e C l a s s i c a l M e t h o d s

T h e t h r e e i t e r a t i v e p r o c e d u r e s d e n e d b y E q s . 9 . 3 0 , 9 . 3 1 a n d 9 . 3 2 o b e y n o a p p a r e n t

p a t t e r n e x c e p t t h a t t h e y a r e e a s y t o i m p l e m e n t i n a c o m p u t e r c o d e s i n c e a l l o f t h e

d a t a r e q u i r e d t o u p d a t e t h e v a l u e o f o n e p o i n t a r e e x p l i c i t l y a v a i l a b l e a t t h e t i m e

o f t h e u p d a t e . N o w l e t u s s t u d y t h e s e m e t h o d s a s s u b s e t s o f O D E a s f o r m u l a t e d i n

S e c t i o n 9 . 3 . 1 . I n s e r t t h e m o d e l e q u a t i o n 9 . 2 9 i n t o t h e O D E f o r m 9 . 3 5 . T h e n

H

d

~

d t

= B ( 1 ; 2 1 )

~

;

~

f ( 9 . 4 0 )

A s a s t a r t , l e t u s u s e f o r t h e n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n t h e e x p l i c i t E u l e r m e t h o d

n + 1

=

n

+ h

0

n

( 9 . 4 1 )

w i t h a s t e p s i z e , h , e q u a l t o 1 . W e a r r i v e a t

H (

~

n + 1

;

~

n

) = B ( 1 ; 2 1 )

~

n

;

~

f ( 9 . 4 2 )

I t i s c l e a r t h a t t h e b e s t c h o i c e o f H f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f m a t r i x a l g e b r a i s

; B ( 1 ; 2 1 ) s i n c e t h e n m u l t i p l i c a t i o n f r o m t h e l e f t b y ; B

; 1

( 1 ; 2 1 ) g i v e s t h e c o r -

r e c t a n s w e r i n o n e s t e p . H o w e v e r , t h i s i s n o t i n t h e s p i r i t o f o u r s t u d y , s i n c e m u l t i -

p l i c a t i o n b y t h e i n v e r s e a m o u n t s t o s o l v i n g t h e p r o b l e m b y a d i r e c t m e t h o d w i t h o u t

i t e r a t i o n . T h e c o n s t r a i n t o n H t h a t i s i n k e e p i n g w i t h t h e f o r m u l a t i o n o f t h e t h r e e

m e t h o d s d e s c r i b e d i n S e c t i o n 9 . 2 . 3 i s t h a t a l l t h e e l e m e n t s a b o v e t h e d i a g o n a l ( o r

b e l o w t h e d i a g o n a l i f t h e s w e e p s a r e f r o m r i g h t t o l e f t ) a r e z e r o . I f w e i m p o s e t h i s

c o n s t r a i n t a n d f u r t h e r r e s t r i c t o u r s e l v e s t o b a n d e d t r i d i a g o n a l s w i t h a s i n g l e c o n s t a n t

i n e a c h b a n d , w e a r e l e d t o

B (

;

2

!

0 ) (

~

n + 1

;

~

n

) = B ( 1

; 2 1 )

~

n

;

~

f ( 9 . 4 3 )

w h e r e a n d ! a r e a r b i t r a r y . W i t h t h i s c h o i c e o f n o t a t i o n t h e t h r e e m e t h o d s p r e s e n t e d

i n S e c t i o n 9 . 2 . 3 c a n b e i d e n t i e d u s i n g t h e e n t r i e s i n T a b l e 9 . 1 .

T A B L E 9 . 1 : V A L U E S O F a n d ! I N E Q . 9 . 4 3 T H A T

L E A D T O C L A S S I C A L R E L A X A T I O N M E T H O D S

! M e t h o d E q u a t i o n

0 1 P o i n t - J a c o b i 6 : 2 : 3

1 1 G a u s s - S e i d e l 6 : 2 : 4

1 2 =

h

1 + s i n

M + 1

i

O p t i m u m S O R 6 : 2 : 5



9 . 4 . E I G E N S Y S T E M S O F T H E C L A S S I C A L M E T H O D S 1 7 3

T h e f a c t t h a t t h e v a l u e s i n t h e t a b l e s l e a d t o t h e m e t h o d s i n d i c a t e d c a n b e v e r i e d

b y s i m p l e a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n . H o w e v e r , o u r p u r p o s e i s t o e x a m i n e t h e w h o l e

p r o c e d u r e a s a s p e c i a l s u b s e t o f t h e t h e o r y o f o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s . I n t h i s

l i g h t , t h e t h r e e m e t h o d s a r e a l l c o n t a i n e d i n t h e f o l l o w i n g s e t o f O D E ' s

d

~

d t

= B

; 1

( ;

2

!

0 )

B ( 1 ; 2 1 )

~

;

~

f

( 9 . 4 4 )

a n d a p p e a r f r o m i t i n t h e s p e c i a l c a s e w h e n t h e e x p l i c i t E u l e r m e t h o d i s u s e d f o r i t s

n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n . T h e p o i n t o p e r a t o r t h a t r e s u l t s f r o m t h e u s e o f t h e e x p l i c i t

E u l e r s c h e m e i s

( n + 1 )

j

=

!

2

( n + 1 )

j ; 1

+

!

2

( h ; )

( n )

j ; 1

!

;

( ! h ; 1 )

( n )

j

+

! h

2

( n )

j + 1

!

;

! h

2

f

j

( 9 . 4 5 )

T h i s r e p r e s e n t s a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e c l a s s i c a l r e l a x a t i o n t e c h n i q u e s .

9 . 4 E i g e n s y s t e m s o f t h e C l a s s i c a l M e t h o d s

T h e O D E a p p r o a c h t o r e l a x a t i o n c a n b e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s . T h e b a s i c e q u a t i o n

t o b e s o l v e d c a m e f r o m s o m e t i m e - a c c u r a t e d e r i v a t i o n

A

b

~

u ;

~

f

b

= 0 ( 9 . 4 6 )

T h i s e q u a t i o n i s p r e c o n d i t i o n e d i n s o m e m a n n e r w h i c h h a s t h e e e c t o f m u l t i p l i c a t i o n

b y a c o n d i t i o n i n g m a t r i x C g i v i n g

A

~

;

~

f = 0 ( 9 . 4 7 )

A n i t e r a t i v e s c h e m e i s d e v e l o p e d t o n d t h e c o n v e r g e d , o r s t e a d y - s t a t e , s o l u t i o n o f

t h e s e t o f O D E ' s

H

d

~

d t

= A

~

;

~

f ( 9 . 4 8 )

T h i s s o l u t i o n h a s t h e a n a l y t i c a l f o r m

~

n

=

~

e

n

+

~

1

( 9 . 4 9 )

w h e r e

~

e

n

i s t h e t r a n s i e n t , o r e r r o r , a n d

~

1

A

; 1 ~

f i s t h e s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n . T h e

t h r e e c l a s s i c a l m e t h o d s , P o i n t - J a c o b i , G a u s s - S e i d e l , a n d S O R , a r e i d e n t i e d f o r t h e

o n e - d i m e n s i o n a l c a s e b y E q . 9 . 4 4 a n d T a b l e 9 . 1 .




G i v e n o u r a s s u m p t i o n t h a t t h e c o m p o n e n t o f t h e e r r o r a s s o c i a t e d w i t h e a c h e i g e n -

v e c t o r i s e q u a l l y l i k e l y t o b e e x c i t e d , t h e a s y m p t o t i c c o n v e r g e n c e r a t e i s d e t e r m i n e d

b y t h e e i g e n v a l u e

m

o f G ( I + H

; 1

A ) h a v i n g m a x i m u m a b s o l u t e v a l u e . T h u s

C o n v e r g e n c e r a t e

j

m

j

m a x

m = 1 2

M ( 9 . 5 0 )

I n t h i s s e c t i o n , w e u s e t h e O D E a n a l y s i s t o n d t h e c o n v e r g e n c e r a t e s o f t h e t h r e e

c l a s s i c a l m e t h o d s r e p r e s e n t e d b y E q s . 9 . 3 0 , 9 . 3 1 , a n d 9 . 3 2 . I t i s a l s o i n s t r u c t i v e t o

i n s p e c t t h e e i g e n v e c t o r s a n d e i g e n v a l u e s i n t h e H

; 1

A m a t r i x f o r t h e t h r e e m e t h o d s .

T h i s a m o u n t s t o s o l v i n g t h e g e n e r a l i z e d e i g e n v a l u e p r o b l e m

A

~

x

m

=

m

H

~

x

m

( 9 . 5 1 )

f o r t h e s p e c i a l c a s e

B ( 1 ; 2 1 )

~

x

m

=

m

B ( ;

2

!

0 )

~

x

m

( 9 . 5 2 )

T h e g e n e r a l i z e d e i g e n s y s t e m f o r s i m p l e t r i d i g o n a l s i s g i v e n i n A p p e n d i x B . 2 . T h e

t h r e e s p e c i a l c a s e s c o n s i d e r e d b e l o w a r e o b t a i n e d w i t h a = 1 , b = ; 2 , c = 1 , d = ; ,

e = 2 = ! , a n d f = 0 . T o i l l u s t r a t e t h e b e h a v i o r , w e t a k e M = 5 f o r t h e m a t r i x o r d e r .

T h i s s p e c i a l c a s e m a k e s t h e g e n e r a l r e s u l t q u i t e c l e a r .

9 . 4 . 1 T h e P o i n t - J a c o b i S y s t e m

I f = 0 a n d ! = 1 i n E q . 9 . 4 4 , t h e O D E m a t r i x H

; 1

A r e d u c e s t o s i m p l y B (

1

2

; 1

1

2

) .

T h e e i g e n s y s t e m c a n b e d e t e r m i n e d f r o m A p p e n d i x B . 1 s i n c e b o t h d a n d f a r e z e r o .

T h e e i g e n v a l u e s a r e g i v e n b y t h e e q u a t i o n

m

= ; 1 + c o s

m

M + 1

m = 1 2 : : : M ( 9 . 5 3 )

T h e - r e l a t i o n f o r t h e e x p l i c i t E u l e r m e t h o d i s

m

= 1 +

m

h . T h i s r e l a t i o n c a n

b e p l o t t e d f o r a n y h . T h e p l o t f o r h = 1 , t h e o p t i m u m s t a t i o n a r y c a s e , i s s h o w n i n

F i g . 9 . 1 . F o r h < 1 , t h e m a x i m u m j

m

j i s o b t a i n e d w i t h m = 1 , F i g . 9 . 2 a n d f o r

h > 1 , t h e m a x i m u m j

m

j i s o b t a i n e d w i t h m = M , F i g . 9 . 3 . N o t e t h a t f o r h > 1 : 0

( d e p e n d i n g o n M ) t h e r e i s t h e p o s s i b i l i t y o f i n s t a b i l i t y , i . e . j

m

j > 1 : 0 . T o o b t a i n t h e

o p t i m a l s c h e m e w e w i s h t o m i n i m i z e t h e m a x i m u m j

m

j w h i c h o c c u r s w h e n h = 1 ,

j

1

j = j

M

j a n d t h e b e s t p o s s i b l e c o n v e r g e n c e r a t e i s a c h i e v e d :

j

m

j

m a x

= c o s

M + 1

( 9 . 5 4 )






σ m

1.0

0.0

-2.0 -1.0 0.0

h = 1.0

Μ = 5

Values are equal

m=1

m=2

m=3

m=4

m=5

F i g u r e 9 . 1 : T h e r e l a t i o n f o r P o i n t - J a c o b i , h = 1 M = 5 .

+ c

3

1 ; ( 1 ) h ]

n

~

x

3

+ c

4

1 ; ( 1 +

1

2

) h ]

n

~

x

4

+ c

5

1 ; ( 1 +

p

3

2

) h ]

n

~

x

5

( 9 . 5 8 )

9 . 4 . 2 T h e G a u s s - S e i d e l S y s t e m

I f a n d ! a r e e q u a l t o 1 i n E q . 9 . 4 4 , t h e m a t r i x e i g e n s y s t e m e v o l v e s f r o m t h e r e l a t i o n

B ( 1 ; 2 1 )

~

x

m

=

m

B ( ; 1 2 0 )

~

x

m

( 9 . 5 9 )

w h i c h c a n b e s t u d i e d u s i n g t h e r e s u l t s i n A p p e n d i x B . 2 . O n e c a n s h o w t h a t t h e H

; 1

A

m a t r i x f o r t h e G a u s s - S e i d e l m e t h o d , A

G S

, i s

A

G S

B

; 1

( ; 1 2 0 ) B ( 1 ; 2 1 ) =




σ m

λ m h

1.0

0.0

-2.0 -1.0 0.0

h < 1.0

D e c r e a s i n g h

Approaches 1.0

D e c

r e a s i n g

h

F i g u r e 9 . 2 : T h e r e l a t i o n f o r P o i n t - J a c o b i , h = 0 : 9 M = 5 .

σ m

Exceeds 1.0 at h 1.072 / Ustable h > 1.072∼∼

1.0

0.0

-2.0 -1.0 0.0

h > 1.0

I n c r e a s i n g h

λ m h

M = 5

I n

c r e a s i n g

h

F i g u r e 9 . 3 : T h e r e l a t i o n f o r P o i n t - J a c o b i , h = 1 : 1 M = 5 .




2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

; 1 1 = 2

0 ; 3 = 4 1 = 2

0 1 = 8 ; 3 = 4 1 = 2

0 1 = 1 6 1 = 8 ; 3 = 4 1 = 2

0 1 = 3 2 1 = 1 6 1 = 8 ; 3 = 4 1 = 2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 1 = 2

M

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

1

2

3

4

5

.

.

.

M

( 9 . 6 0 )

T h e e i g e n v e c t o r s t r u c t u r e o f t h e G a u s s - S e i d e l O D E m a t r i x i s q u i t e i n t e r e s t i n g . I f M

i s o d d t h e r e a r e ( M + 1 ) = 2 d i s t i n c t e i g e n v a l u e s w i t h c o r r e s p o n d i n g l i n e a r l y i n d e p e n -

d e n t e i g e n v e c t o r s , a n d t h e r e a r e ( M ; 1 ) = 2 d e f e c t i v e e i g e n v a l u e s w i t h c o r r e s p o n d i n g

p r i n c i p a l v e c t o r s . T h e e q u a t i o n f o r t h e n o n d e f e c t i v e e i g e n v a l u e s i n t h e O D E m a t r i x

i s ( f o r o d d M )

m

= ; 1 + c o s

2

(

m

M + 1

) m = 1 2 : : :

M + 1

2

( 9 . 6 1 )

a n d t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v e c t o r s a r e g i v e n b y

~

x

m

=

c o s

m

M + 1

j ; 1

s i n

j

m

M + 1

m = 1 2 : : :

M + 1

2

( 9 . 6 2 )

T h e - r e l a t i o n f o r h = 1 , t h e o p t i m u m s t a t i o n a r y c a s e , i s s h o w n i n F i g . 9 . 4 . T h e

m

w i t h t h e l a r g e s t a m p l i t u d e i s o b t a i n e d w i t h m = 1 . H e n c e t h e c o n v e r g e n c e r a t e i s

j

m

j

m a x

=

c o s

M + 1

2

( 9 . 6 3 )

S i n c e t h i s i s t h e s q u a r e o f t h a t o b t a i n e d f o r t h e P o i n t - J a c o b i m e t h o d , t h e e r r o r a s s o c i -

a t e d w i t h t h e \ w o r s t " e i g e n v e c t o r i s r e m o v e d i n h a l f a s m a n y i t e r a t i o n s . F o r M = 4 0 ,

j

m

j

m a x

= 0 : 9 9 4 2 . 2 5 0 i t e r a t i o n s a r e r e q u i r e d t o r e d u c e t h e e r r o r c o m p o n e n t o f t h e

w o r s t e i g e n v e c t o r b y a f a c t o r o f r o u g h l y 0 . 2 3 .

T h e e i g e n v e c t o r s a r e q u i t e u n l i k e t h e P o i n t - J a c o b i s e t . T h e y a r e n o l o n g e r s y m -

m e t r i c a l , p r o d u c i n g w a v e s t h a t a r e h i g h e r i n a m p l i t u d e o n o n e s i d e ( t h e u p d a t e d s i d e )

t h a n t h e y a r e o n t h e o t h e r . F u r t h e r m o r e , t h e y d o n o t r e p r e s e n t a c o m m o n f a m i l y f o r

d i e r e n t v a l u e s o f M .

T h e J o r d a n c a n o n i c a l f o r m f o r M = 5 i s

X

; 1

A

G S

X = J

G S

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

4

h

~

1

i

h

~

2

i

2

6

6

4

~

3

1

~

3

1

~

3

3

7

7

5

3

7

7

7

7

7

7

7

7

5

( 9 . 6 4 )






+

"

c

3

( 1

; h )

n

+ c

4

h

n

1 !

( 1

; h )

n ; 1

+ c

5

h

2

n ( n ; 1 )

2 !

( 1

; h )

n ; 2

#

~

x

3

+

c

4

( 1 ; h )

n

+ c

5

h

n

1 !

( 1 ; h )

n ; 1

~

x

4

+ c

5

( 1 ; h )

n

~

x

5

( 9 . 6 7 )

9 . 4 . 3 T h e S O R S y s t e m

I f = 1 a n d 2 = ! = x i n E q . 9 . 4 4 , t h e O D E m a t r i x i s B

; 1

( ; 1 x 0 ) B ( 1 ; 2 1 ) .

O n e c a n s h o w t h a t t h i s c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m g i v e n b e l o w f o r M = 5 . T h e

g e n e r a l i z a t i o n t o a n y M i s f a i r l y c l e a r . T h e H

; 1

A m a t r i x f o r t h e S O R m e t h o d ,

A

S O R

B

; 1

( ; 1 x 0 ) B ( 1 ; 2 1 ) , i s

1

x

5

2

6

6

6

6

6

6

4

; 2 x

4

x

4

0 0 0

; 2 x

3

+ x

4

x

3

; 2 x

4

x

4

0 0

; 2 x

2

+ x

3

x

2

; 2 x

3

+ x

4

x

3

; 2 x

4

x

4

0

; 2 x + x

2

x

; 2 x

2

+ x

3

x

2

; 2 x

3

+ x

4

x

3

; 2 x

4

x

4

; 2 + x 1 ; 2 x + x

2

x ; 2 x

2

+ x

3

x

2

; 2 x

3

+ x

4

x

3

; 2 x

4

3

7

7

7

7

7

7

5

( 9 . 6 8 )

E i g e n v a l u e s o f t h e s y s t e m a r e g i v e n b y

m

= ; 1 +

! p

m

+ z

m

2

2

m = 1 2 : : : M ( 9 . 6 9 )

w h e r e

z

m

= 4 ( 1

; ! ) + !

2

p

2

m

]

1 = 2

p

m

= c o s m = ( M + 1 ) ]

I f ! = 1 , t h e s y s t e m i s G a u s s - S e i d e l . I f 4 ( 1

; ! ) + !

2

p

m

< 0 z

m

a n d

m

a r e c o m p l e x .

I f ! i s c h o s e n s u c h t h a t 4 ( 1 ; ! ) + !

2

p

2

1

= 0 ! i s o p t i m u m f o r t h e s t a t i o n a r y c a s e ,

a n d t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s h o l d :

1 . T w o e i g e n v a l u e s a r e r e a l , e q u a l a n d d e f e c t i v e .

2 . I f M i s e v e n , t h e r e m a i n i n g e i g e n v a l u e s a r e c o m p l e x a n d o c c u r i n c o n j u g a t e

p a i r s .

3 . I f M i s o d d , o n e o f t h e r e m a i n i n g e i g e n v a l u e s i s r e a l a n d t h e o t h e r s a r e c o m p l e x

o c c u r r i n g i n c o n j u g a t e p a i r s .




O n e c a n e a s i l y s h o w t h a t t h e o p t i m u m ! f o r t h e s t a t i o n a r y c a s e i s

!

o p t

= 2 =

1 + s i n

M + 1

( 9 . 7 0 )

a n d f o r ! = !

o p t

m

=

2

m

; 1

~

x

m

=

j ; 1

m

s i n

j

m

M + 1

( 9 . 7 1 )

w h e r e

m

=

!

o p t

2

p

m

+ i

q

p

2

1

; p

2

m

U s i n g t h e e x p l i c i t E u l e r m e t h o d t o i n t e g r a t e t h e O D E ' s ,

m

= 1 ; h + h

2

m

, a n d i f

h = 1 , t h e o p t i m u m v a l u e f o r t h e s t a t i o n a r y c a s e , t h e - r e l a t i o n r e d u c e s t o t h a t

s h o w n i n F i g . 9 . 5 . T h i s i l l u s t r a t e s t h e f a c t t h a t f o r o p t i m u m s t a t i o n a r y S O R a l l t h e

j

m

j a r e i d e n t i c a l a n d e q u a l t o !

o p t

; 1 . H e n c e t h e c o n v e r g e n c e r a t e i s

j

m

j

m a x

= !

o p t

; 1 ( 9 . 7 2 )

!

o p t

= 2 =

1 + s i n

M + 1

F o r M = 4 0 , j

m

j

m a x

= 0 : 8 5 7 8 . H e n c e t h e w o r s t e r r o r c o m p o n e n t i s r e d u c e d t o l e s s

t h a n 0 . 2 3 t i m e s i t s i n i t i a l v a l u e i n o n l y 1 0 i t e r a t i o n s , m u c h f a s t e r t h a n b o t h G a u s s -

S e i d e l a n d P o i n t - J a c o b i . I n p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s , t h e o p t i m u m v a l u e o f ! m a y h a v e

t o b e d e t e r m i n e d b y t r i a l a n d e r r o r , a n d t h e b e n e t m a y n o t b e a s g r e a t .

F o r o d d M , t h e r e a r e t w o r e a l e i g e n v e c t o r s a n d o n e r e a l p r i n c i p a l v e c t o r . T h e

r e m a i n i n g l i n e a r l y i n d e p e n d e n t e i g e n v e c t o r s a r e a l l c o m p l e x . F o r M = 5 t h e y c a n b e

w r i t t e n

~

x

1

=

2

6

6

6

6

6

6

4

1 = 2

1 = 2

1 = 3

1 = 6

1 = 1 8

3

7

7

7

7

7

7

5

~

x

2

=

2

6

6

6

6

6

6

4

; 6

9

1 6

1 3

6

3

7

7

7

7

7

7

5

~

x

3 4

=

2

6

6

6

6

6

6

4

p

3 ( 1 ) = 2

p

3 ( 1 i

p

2 ) = 6

0

p

3 ( 5 i

p

2 ) = 5 4

p

3 ( 7 4 i

p

2 ) = 1 6 2

3

7

7

7

7

7

7

5

~

x

5

=

2

6

6

6

6

6

6

4

1

0

1 = 3

0

1 = 9

3

7

7

7

7

7

7

5

( 9 . 7 3 )

T h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v a l u e s a r e

1

= ; 2 = 3

( 2 ) D e f e c t i v e l i n k e d t o

1

3

= ; ( 1 0 ; 2

p

2 i ) = 9

4

= ; ( 1 0 + 2

p

2 i ) = 9

5

= ; 4 = 3 ( 9 . 7 4 )




σ m

λ m

λ m

λ m

1.0

0.0

-2.0 -1.0 0.0

h = 1.0

Μ = 5

-1.0-1.0

2 real defective

1 real

2 complex

hλ m

F i g u r e 9 . 5 : T h e r e l a t i o n f o r o p t i m u m s t a t i o n a r y S O R , M = 5 , h = 1 .

T h e n u m e r i c a l s o l u t i o n w r i t t e n i n f u l l i s

~

n

;

~

1

= c

1

( 1 ; 2 h = 3 )

n

+ c

2

n h ( 1 ; 2 h = 3 )

n ; 1

]

~

x

1

+ c

2

( 1 ; 2 h = 3 )

n

~

x

2

+ c

3

1 ; ( 1 0 ; 2

p

2 i ) h = 9 ]

n

~

x

3

+ c

4

1 ; ( 1 0 + 2

p

2 i ) h = 9 ]

n

~

x

4

+ c

5

( 1 ; 4 h = 3 )

n

~

x

5

( 9 . 7 5 )

9 . 5 N o n s t a t i o n a r y P r o c e s s e s

I n c l a s s i c a l t e r m i n o l o g y a m e t h o d i s s a i d t o b e n o n s t a t i o n a r y i f t h e c o n d i t i o n i n g

m a t r i c e s , H a n d C , a r e v a r i e d a t e a c h t i m e s t e p . T h i s d o e s n o t c h a n g e t h e s t e a d y -

s t a t e s o l u t i o n A

; 1

b

~

f

b

, b u t i t c a n g r e a t l y a e c t t h e c o n v e r g e n c e r a t e . I n o u r O D E

a p p r o a c h t h i s c o u l d a l s o b e c o n s i d e r e d a n d w o u l d l e a d t o a s t u d y o f e q u a t i o n s w i t h

n o n c o n s t a n t c o e c i e n t s . I t i s m u c h s i m p l e r , h o w e v e r , t o s t u d y t h e c a s e o f x e d

H a n d C b u t v a r i a b l e s t e p s i z e , h . T h i s p r o c e s s c h a n g e s t h e P o i n t - J a c o b i m e t h o d

t o R i c h a r d s o n ' s m e t h o d i n s t a n d a r d t e r m i n o l o g y . F o r t h e G a u s s - S e i d e l a n d S O R

m e t h o d s i t l e a d s t o p r o c e s s e s t h a t c a n b e s u p e r i o r t o t h e s t a t i o n a r y m e t h o d s .

T h e n o n s t a t i o n a r y f o r m o f E q . 9 . 3 9 i s



9 . 5 . N O N S T A T I O N A R Y P R O C E S S E S 1 8 3

~

N

= c

1

~

x

1

N

Y

n = 1

( 1 +

1

h

n

) + + c

m

~

x

m

N

Y

n = 1

( 1 +

m

h

n

)

+ + c

M

~

x

M

N

Y

n = 1

( 1 +

M

h

n

) +

~

1

( 9 . 7 6 )

w h e r e t h e s y m b o l s t a n d s f o r p r o d u c t . S i n c e h

n

c a n n o w b e c h a n g e d a t e a c h s t e p ,

t h e e r r o r t e r m c a n t h e o r e t i c a l l y b e c o m p l e t e l y e l i m i n a t e d i n M s t e p s b y t a k i n g h

m

=

; 1 =

m

, f o r m = 1 2 M . H o w e v e r , t h e e i g e n v a l u e s

m

a r e g e n e r a l l y u n k n o w n a n d

c o s t l y t o c o m p u t e . I t i s t h e r e f o r e u n n e c e s s a r y a n d i m p r a c t i c a l t o s e t h

m

= ; 1 =

m

f o r m = 1 2 : : : M . W e w i l l s e e t h a t a f e w w e l l c h o s e n h ' s c a n r e d u c e w h o l e c l u s t e r s

o f e i g e n v e c t o r s a s s o c i a t e d w i t h n e a r b y ' s i n t h e

m

s p e c t r u m . T h i s l e a d s t o t h e

c o n c e p t o f s e l e c t i v e l y a n n i h i l a t i n g c l u s t e r s o f e i g e n v e c t o r s f r o m t h e e r r o r t e r m s a s

p a r t o f a t o t a l i t e r a t i o n p r o c e s s . T h i s i s t h e b a s i s f o r t h e m u l t i g r i d m e t h o d s d i s c u s s e d

i n C h a p t e r 1 0 .

L e t u s c o n s i d e r t h e v e r y i m p o r t a n t c a s e w h e n a l l o f t h e

m

a r e r e a l a n d n e g a -

t i v e ( r e m e m b e r t h a t t h e y a r i s e f r o m a c o n d i t i o n e d m a t r i x s o t h i s c o n s t r a i n t i s n o t

u n r e a l i s t i c f o r q u i t e p r a c t i c a l c a s e s ) . C o n s i d e r o n e o f t h e e r r o r t e r m s t a k e n f r o m

~

e

N

~

N

;

~

1

=

M

X

m = 1

c

m

~

x

m

N

Y

n = 1

( 1 +

m

h

n

) ( 9 . 7 7 )

a n d w r i t e i t i n t h e f o r m

c

m

~

x

m

P

e

(

m

) c

m

~

x

m

N

Y

n = 1

( 1 +

m

h

n

) ( 9 . 7 8 )

w h e r e P

e

s i g n i e s a n \ E u l e r " p o l y n o m i a l . N o w f o c u s a t t e n t i o n o n t h e p o l y n o m i a l

( P

e

)

N

( ) = ( 1 + h

1

) ( 1 + h

2

) ( 1 + h

N

) ( 9 . 7 9 )

t r e a t i n g i t a s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . I n t h e a n n i h i l a t i o n

p r o c e s s m e n t i o n e d a f t e r E q . 9 . 7 6 , w e c o n s i d e r e d m a k i n g t h e e r r o r e x a c t l y z e r o b y

t a k i n g a d v a n t a g e o f s o m e k n o w l e d g e a b o u t t h e d i s c r e t e v a l u e s o f

m

f o r a p a r t i c u l a r

c a s e . N o w w e p o s e a l e s s d e m a n d i n g p r o b l e m . L e t u s c h o o s e t h e h

n

s o t h a t t h e

m a x i m u m v a l u e o f ( P

e

)

N

( ) i s a s s m a l l a s p o s s i b l e f o r a l l l y i n g b e t w e e n

a

a n d

b

s u c h t h a t

b

a

0 . M a t h e m a t i c a l l y s t a t e d , w e s e e k

m a x

b

a

j ( P

e

)

N

( ) j = m i n i m u m w i t h ( P

e

)

N

( 0 ) = 1 ( 9 . 8 0 )





9 . 5 . N O N S T A T I O N A R Y P R O C E S S E S 1 8 5

a n d t h e a m p l i t u d e o f t h e e i g e n v e c t o r i s r e d u c e d t o

( P

e

)

3

( ) = T

3

( 2 + 3 ) = T

3

( 3 ) ( 9 . 8 7 )

w h e r e

T

3

( 3 ) =

n

3 +

p

8 ]

3

+ 3 ;

p

8 ]

3

o

= 2 9 9 ( 9 . 8 8 )

A p l o t o f E q . 9 . 8 7 i s g i v e n i n F i g . 9 . 6 a n d w e s e e t h a t t h e a m p l i t u d e s o f a l l t h e

e i g e n v e c t o r s a s s o c i a t e d w i t h t h e e i g e n v a l u e s i n t h e r a n g e ; 2 ; 1 h a v e b e e n

r e d u c e d t o l e s s t h a n a b o u t 1 % o f t h e i r i n i t i a l v a l u e s . T h e v a l u e s o f h u s e d i n F i g . 9 . 6

a r e

h

1

= 4 = ( 6 ;

p

3 )

h

2

= 4 = ( 6 ; 0 )

h

3

= 4 = ( 6 +

p

3 )

R e t u r n n o w t o E q . 9 . 7 6 . T h i s w a s d e r i v e d f r o m E q . 9 . 3 7 o n t h e c o n d i t i o n t h a t t h e

e x p l i c i t E u l e r m e t h o d , E q . 9 . 4 1 , w a s u s e d t o i n t e g r a t e t h e b a s i c O D E ' s . I f i n s t e a d

t h e i m p l i c i t t r a p e z o i d a l r u l e

n + 1

=

n

+

1

2

h (

0

n + 1

+

0

n

) ( 9 . 8 9 )

i s u s e d , t h e n o n s t a t i o n a r y f o r m u l a

~

N

=

M

X

m = 1

c

m

~

x

m

N

Y

n = 1

0

B

B

@

1 +

1

2

h

n

m

1 ;

1

2

h

n

m

1

C

C

A

+

~

1

( 9 . 9 0 )

w o u l d r e s u l t . T h i s c a l l s f o r a s t u d y o f t h e r a t i o n a l \ t r a p e z o i d a l " p o l y n o m i a l , P

t

:

( P

t

)

N

( ) =

N

Y

n = 1

0

B

B

@

1 +

1

2

h

n

1 ;

1

2

h

n

1

C

C

A

( 9 . 9 1 )

u n d e r t h e s a m e c o n s t r a i n t s a s b e f o r e , n a m e l y t h a t

m a x

b

a

j ( P

t

)

N

( ) j = m i n i m u m , ( 9 . 9 2 )

w i t h ( P

t

)

N

( 0 ) = 1




−2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

λ

( P

e

) 3

( λ )

−2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

λ

( P

e

) 3

( λ )

F i g u r e 9 . 6 : R i c h a r d s o n ' s m e t h o d f o r 3 s t e p s , m i n i m i z a t i o n o v e r ; 2 ; 1 .






−2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

λ

( P

t )

3

( λ )

−2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

−3

λ

( P

t )

3

( λ )

F i g u r e 9 . 7 : W a c h s p r e s s m e t h o d f o r 3 s t e p s , m i n i m i z a t i o n o v e r ; 2 ; 1 .



9 . 6 . P R O B L E M S 1 8 9

4 . S o l v e t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n o n t h e d o m a i n 0 x 1 w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n s

u ( 0 ) = 0 , u ( 1 ) = 1 :

@

2

u

@ x

2

; 6 x = 0

F o r t h e i n i t i a l c o n d i t i o n , u s e u ( x ) = 0 . U s e s e c o n d - o r d e r c e n t e r e d d i e r e n c e s

o n a g r i d w i t h 4 0 c e l l s ( M = 3 9 ) . I t e r a t e t o s t e a d y s t a t e u s i n g

( a ) t h e p o i n t - J a c o b i m e t h o d ,

( b ) t h e G a u s s - S e i d e l m e t h o d ,

( c ) t h e S O R m e t h o d w i t h t h e o p t i m u m v a l u e o f ! , a n d

( d ) t h e 3 - s t e p R i c h a r d s o n m e t h o d d e r i v e d i n S e c t i o n 9 . 5 .

P l o t t h e s o l u t i o n a f t e r t h e r e s i d u a l i s r e d u c e d b y 2 , 3 , a n d 4 o r d e r s o f m a g -

n i t u d e . P l o t t h e l o g a r i t h m o f t h e L

2

- n o r m o f t h e r e s i d u a l v s . t h e n u m b e r o f

i t e r a t i o n s . D e t e r m i n e t h e a s y m p t o t i c c o n v e r g e n c e r a t e . C o m p a r e w i t h t h e t h e -

o r e t i c a l a s y m p t o t i c c o n v e r g e n c e r a t e .






C h a p t e r 1 0

M U L T I G R I D

T h e i d e a o f s y s t e m a t i c a l l y u s i n g s e t s o f c o a r s e r g r i d s t o a c c e l e r a t e t h e c o n v e r g e n c e o f

i t e r a t i v e s c h e m e s t h a t a r i s e f r o m t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n t o p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a -

t i o n s w a s m a d e p o p u l a r b y t h e w o r k o f B r a n d t . T h e r e a r e m a n y v a r i a t i o n s o f t h e

p r o c e s s a n d m a n y v i e w p o i n t s o f t h e u n d e r l y i n g t h e o r y . T h e v i e w p o i n t p r e s e n t e d h e r e

i s a n a t u r a l e x t e n s i o n o f t h e c o n c e p t s d i s c u s s e d i n C h a p t e r 9 .

1 0 . 1 M o t i v a t i o n

1 0 . 1 . 1 E i g e n v e c t o r a n d E i g e n v a l u e I d e n t i c a t i o n w i t h S p a c e

F r e q u e n c i e s

C o n s i d e r t h e e i g e n s y s t e m o f t h e m o d e l m a t r i x B ( 1 ; 2 1 ) . T h e e i g e n v a l u e s a n d

e i g e n v e c t o r s a r e g i v e n i n S e c t i o n s 4 . 3 . 2 a n d 4 . 3 . 3 , r e s p e c t i v e l y . N o t i c e t h a t a s t h e

m a g n i t u d e s o f t h e e i g e n v a l u e s i n c r e a s e , t h e s p a c e - f r e q u e n c y ( o r w a v e n u m b e r ) o f t h e

c o r r e s p o n d i n g e i g e n v e c t o r s a l s o i n c r e a s e . T h a t i s , i f t h e e i g e n v a l u e s a r e o r d e r e d s u c h

t h a t

j

1

j j

2

j j

M

j ( 1 0 . 1 )

t h e n t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v e c t o r s a r e o r d e r e d f r o m l o w t o h i g h s p a c e f r e q u e n c i e s .

T h i s h a s a r a t i o n a l e x p l a n a t i o n f r o m t h e o r i g i n o f t h e b a n d e d m a t r i x . N o t e t h a t

@

2

@ x

2

s i n ( m x ) = ; m

2

s i n ( m x ) ( 1 0 . 2 )

a n d r e c a l l t h a t

x x

~

=

1

x

2

B ( 1 ; 2 1 )

~

= X

1

x

2

D (

~

)

X

; 1

~

( 1 0 . 3 )

1 9 1



1 9 2 C H A P T E R 1 0 . M U L T I G R I D

w h e r e D (

~

) i s a d i a g o n a l m a t r i x c o n t a i n i n g t h e e i g e n v a l u e s . W e h a v e s e e n t h a t

X

; 1

~

r e p r e s e n t s a s i n e t r a n s f o r m , a n d X

~

, a s i n e s y n t h e s i s . T h e r e f o r e , t h e o p e r a -

t i o n

1

x

2

D (

~

) r e p r e s e n t s t h e n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n o f t h e m u l t i p l i c a t i o n o f t h e

a p p r o p r i a t e s i n e w a v e b y t h e n e g a t i v e s q u a r e o f i t s w a v e n u m b e r , ; m

2

. O n e n d s

t h a t

1

x

2

m

=

M + 1

2

; 2 + 2 c o s

m

M + 1

; m

2

m < < M ( 1 0 . 4 )

H e n c e , t h e c o r r e l a t i o n o f l a r g e m a g n i t u d e s o f

m

w i t h h i g h s p a c e - f r e q u e n c i e s i s t o b e

e x p e c t e d f o r t h e s e p a r t i c u l a r m a t r i x o p e r a t o r s . T h i s i s c o n s i s t e n t w i t h t h e p h y s i c s o f

d i u s i o n a s w e l l . H o w e v e r , t h i s c o r r e l a t i o n i s n o t n e c e s s a r y i n g e n e r a l . I n f a c t , t h e

c o m p l e t e c o u n t e r e x a m p l e o f t h e a b o v e a s s o c i a t i o n i s c o n t a i n e d i n t h e e i g e n s y s t e m

f o r B (

1

2

1

1

2

) . F o r t h i s m a t r i x o n e n d s , f r o m A p p e n d i x B , e x a c t l y t h e o p p o s i t e

b e h a v i o r .

1 0 . 1 . 2 P r o p e r t i e s o f t h e I t e r a t i v e M e t h o d

T h e s e c o n d k e y m o t i v a t i o n f o r m u l t i g r i d i s t h e f o l l o w i n g :

M a n y i t e r a t i v e m e t h o d s r e d u c e e r r o r c o m p o n e n t s c o r r e s p o n d i n g t o e i g e n v a l u e s

o f l a r g e a m p l i t u d e m o r e e e c t i v e l y t h a n t h o s e c o r r e s p o n d i n g t o e i g e n v a l u e s o f

s m a l l a m p l i t u d e .

T h i s i s t o b e e x p e c t e d o f a n i t e r a t i v e m e t h o d w h i c h i s t i m e a c c u r a t e . I t i s a l s o

t r u e , f o r e x a m p l e , o f t h e G a u s s - S e i d e l m e t h o d a n d , b y d e s i g n , o f t h e R i c h a r d s o n

m e t h o d d e s c r i b e d i n S e c t i o n 9 . 5 . T h e c l a s s i c a l p o i n t - J a c o b i m e t h o d d o e s n o t s h a r e

t h i s p r o p e r t y . A s w e s a w i n S e c t i o n 9 . 4 . 1 , t h i s m e t h o d p r o d u c e s t h e s a m e v a l u e o f j j

f o r

m i n

a n d

m a x

. H o w e v e r , t h e p r o p e r t y c a n b e r e s t o r e d b y u s i n g h < 1 , a s s h o w n

i n F i g . 9 . 2 .

W h e n a n i t e r a t i v e m e t h o d w i t h t h i s p r o p e r t y i s a p p l i e d t o a m a t r i x w i t h t h e

a b o v e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e m o d u l u s o f t h e e i g e n v a l u e s a n d t h e s p a c e f r e q u e n c y o f

t h e e i g e n v e c t o r s , e r r o r c o m p o n e n t s c o r r e s p o n d i n g t o h i g h s p a c e f r e q u e n c i e s w i l l b e

r e d u c e d m o r e q u i c k l y t h a n t h o s e c o r r e s p o n d i n g t o l o w s p a c e f r e q u e n c i e s . T h i s i s t h e

k e y c o n c e p t u n d e r l y i n g t h e m u l t i g r i d p r o c e s s .

1 0 . 2 T h e B a s i c P r o c e s s

F i r s t o f a l l w e a s s u m e t h a t t h e d i e r e n c e e q u a t i o n s r e p r e s e n t i n g t h e b a s i c p a r t i a l

d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a r e i n a f o r m t h a t c a n b e r e l a t e d t o a m a t r i x w h i c h h a s c e r t a i n



1 0 . 2 . T H E B A S I C P R O C E S S 1 9 3

b a s i c p r o p e r t i e s . T h i s f o r m c a n b e a r r i v e d a t \ n a t u r a l l y " b y s i m p l y r e p l a c i n g t h e

d e r i v a t i v e s i n t h e P D E w i t h d i e r e n c e s c h e m e s , a s i n t h e e x a m p l e g i v e n b y E q . 3 . 2 7 ,

o r i t c a n b e \ c o n t r i v e d " b y f u r t h e r c o n d i t i o n i n g , a s i n t h e e x a m p l e s g i v e n b y E q . 9 . 1 1 .

T h e b a s i c a s s u m p t i o n s r e q u i r e d f o r o u r d e s c r i p t i o n o f t h e m u l t i g r i d p r o c e s s a r e :

1 . T h e p r o b l e m i s l i n e a r .

2 . T h e e i g e n v a l u e s ,

m

, o f t h e m a t r i x a r e a l l r e a l a n d n e g a t i v e .

3 . T h e

m

a r e f a i r l y e v e n l y d i s t r i b u t e d b e t w e e n t h e i r m a x i m u m a n d m i n i m u m

v a l u e s .

4 . T h e e i g e n v e c t o r s a s s o c i a t e d w i t h t h e e i g e n v a l u e s h a v i n g l a r g e s t m a g n i t u d e s c a n

b e c o r r e l a t e d w i t h h i g h f r e q u e n c i e s o n t h e d i e r e n c i n g m e s h .

5 . T h e i t e r a t i v e p r o c e d u r e u s e d g r e a t l y r e d u c e s t h e a m p l i t u d e s o f t h e e i g e n v e c t o r s

a s s o c i a t e d w i t h e i g e n v a l u e s i n t h e r a n g e b e t w e e n

1

2

j j

m a x

a n d j j

m a x

.

T h e s e c o n d i t i o n s a r e s u c i e n t t o e n s u r e t h e v a l i d i t y o f t h e p r o c e s s d e s c r i b e d n e x t .

H a v i n g p r e c o n d i t i o n e d ( i f n e c e s s a r y ) t h e b a s i c n i t e d i e r e n c i n g s c h e m e b y a p r o -

c e d u r e e q u i v a l e n t t o t h e m u l t i p l i c a t i o n b y a m a t r i x C , w e a r e l e d t o t h e s t a r t i n g

f o r m u l a t i o n

C A

b

~

1

;

~

f

b

] = 0 ( 1 0 . 5 )

w h e r e t h e m a t r i x f o r m e d b y t h e p r o d u c t C A

b

h a s t h e p r o p e r t i e s g i v e n a b o v e . I n E q .

1 0 . 5 , t h e v e c t o r

~

f

b

r e p r e s e n t s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d t h e f o r c i n g f u n c t i o n , i f

a n y , a n d

~

1

i s a v e c t o r r e p r e s e n t i n g t h e d e s i r e d e x a c t s o l u t i o n . W e s t a r t w i t h s o m e

i n i t i a l g u e s s f o r

~

1

a n d p r o c e e d t h r o u g h n i t e r a t i o n s m a k i n g u s e o f s o m e i t e r a t i v e

p r o c e s s t h a t s a t i s e s p r o p e r t y 5 a b o v e . W e d o n o t a t t e m p t t o d e v e l o p a n o p t i m u m

p r o c e d u r e h e r e , b u t f o r c l a r i t y w e s u p p o s e t h a t t h e t h r e e - s t e p R i c h a r d s o n m e t h o d

i l l u s t r a t e d i n F i g . 9 . 6 i s u s e d . A t t h e e n d o f t h e t h r e e s t e p s w e n d

~

r , t h e r e s i d u a l ,

w h e r e

~

r = C A

b

~

;

~

f

b

] ( 1 0 . 6 )

R e c a l l t h a t t h e

~

u s e d t o c o m p u t e

~

r i s c o m p o s e d o f t h e e x a c t s o l u t i o n

~

1

a n d t h e

e r r o r

~

e i n s u c h a w a y t h a t

A

~

e ;

~

r = 0 ( 1 0 . 7 )

w h e r e

A C A

b

( 1 0 . 8 )




I f o n e c o u l d s o l v e E q . 1 0 . 7 f o r

~

e t h e n

~

1

=

~

;

~

e ( 1 0 . 9 )

T h u s o u r g o a l n o w i s t o s o l v e f o r

~

e . W e c a n w r i t e t h e e x a c t s o l u t i o n f o r

~

e i n t e r m s o f

t h e e i g e n v e c t o r s o f A , a n d t h e e i g e n v a l u e s o f t h e R i c h a r d s o n p r o c e s s i n t h e f o r m :

~

e =

M = 2

X

m = 1

c

m

~

x

m

3

Y

n = 1

(

m

h

n

) ] +

M

X

m = M = 2 + 1

c

m

~

x

m

3

Y

n = 1

(

m

h

n

) ]

| { z }

v e r y l o w a m p l i t u d e

( 1 0 . 1 0 )

C o m b i n i n g o u r b a s i c a s s u m p t i o n s , w e c a n b e s u r e t h a t t h e h i g h f r e q u e n c y c o n t e n t o f

~

e h a s b e e n g r e a t l y r e d u c e d ( a b o u t 1 % o r l e s s o f i t s o r i g i n a l v a l u e i n t h e i n i t i a l g u e s s ) .

I n a d d i t i o n , a s s u m p t i o n 4 e n s u r e s t h a t t h e e r r o r h a s b e e n s m o o t h e d .

N e x t w e c o n s t r u c t a p e r m u t a t i o n m a t r i x w h i c h s e p a r a t e s a v e c t o r i n t o t w o p a r t s ,

o n e c o n t a i n i n g t h e o d d e n t r i e s , a n d t h e o t h e r t h e e v e n e n t r i e s o f t h e o r i g i n a l v e c t o r

( o r a n y o t h e r a p p r o p r i a t e s o r t i n g w h i c h i s c o n s i s t e n t w i t h t h e i n t e r p o l a t i o n a p p r o x i -

m a t i o n t o b e d i s c u s s e d b e l o w ) . F o r a 7 - p o i n t e x a m p l e

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

e

2

e

4

e

6

e

1

e

3

e

5

e

7

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

e

1

e

2

e

3

e

4

e

5

e

6

e

7

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

"

~

e

e

~

e

o

#

= P

~

e ( 1 0 . 1 1 )

M u l t i p l y E q . 1 0 . 7 f r o m t h e l e f t b y P a n d , s i n c e a p e r m u t a t i o n m a t r i x h a s a n i n v e r s e

w h i c h i s i t s t r a n s p o s e , w e c a n w r i t e

P A P

; 1

P ]

~

e = P

~

r ( 1 0 . 1 2 )

T h e o p e r a t i o n P A P

; 1

p a r t i t i o n s t h e A m a t r i x t o f o r m

2

6

4

A

1

A

2

A

3

A

4

3

7

5

"

~

e

e

~

e

o

#

=

"

~

r

e

~

r

o

#

( 1 0 . 1 3 )

N o t i c e t h a t

A

1

~

e

e

+ A

2

~

e

o

=

~

r

e

( 1 0 . 1 4 )




i s a n e x a c t e x p r e s s i o n .

A t t h i s p o i n t w e m a k e o u r o n e c r u c i a l a s s u m p t i o n . I t i s t h a t t h e r e i s s o m e c o n n e c -

t i o n b e t w e e n

~

e

e

a n d

~

e

o

b r o u g h t a b o u t b y t h e s m o o t h i n g p r o p e r t y o f t h e R i c h a r d s o n

r e l a x a t i o n p r o c e d u r e . S i n c e t h e t o p h a l f o f t h e f r e q u e n c y s p e c t r u m h a s b e e n r e m o v e d ,

i t i s r e a s o n a b l e t o s u p p o s e t h a t t h e o d d p o i n t s a r e t h e a v e r a g e o f t h e e v e n p o i n t s .

F o r e x a m p l e

e

1

1

2

( e

a

+ e

2

)

e

3

1

2

( e

2

+ e

4

)

e

5

1

2

( e

4

+ e

6

) o r

~

e

o

= A

0

2

~

e

e

( 1 0 . 1 5 )

e

7

1

2

( e

6

+ e

b

)

I t i s i m p o r t a n t t o n o t i c e t h a t e

a

a n d e

b

r e p r e s e n t e r r o r s o n t h e b o u n d a r i e s w h e r e t h e

e r r o r i s z e r o i f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e g i v e n . I t i s a l s o i m p o r t a n t t o n o t i c e t h a t w e

a r e d e a l i n g w i t h t h e r e l a t i o n b e t w e e n

~

e a n d

~

r s o t h e o r i g i n a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d

f o r c i n g f u n c t i o n ( w h i c h a r e c o n t a i n e d i n

~

f i n t h e b a s i c f o r m u l a t i o n ) n o l o n g e r a p p e a r

i n t h e p r o b l e m . H e n c e , n o a l i a s i n g o f t h e s e f u n c t i o n s c a n o c c u r i n s u b s e q u e n t s t e p s .

F i n a l l y , n o t i c e t h a t , i n t h i s f o r m u l a t i o n , t h e a v e r a g i n g o f

~

e i s o u r o n l y a p p r o x i m a t i o n ,

n o o p e r a t i o n s o n

~

r a r e r e q u i r e d o r j u s t i e d .

I f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e D i r i c h l e t , e

a

a n d e

b

a r e z e r o , a n d o n e c a n w r i t e f o r

t h e e x a m p l e c a s e

A

0

2

=

1

2

2

6

6

6

4

1 0 0

1 1 0

0 1 1

0 0 1

3

7

7

7

5

( 1 0 . 1 6 )

W i t h t h i s a p p r o x i m a t i o n E q . 1 0 . 1 4 r e d u c e s t o

A

1

~

e

e

+ A

2

A

0

2

~

e

e

=

~

r

e

( 1 0 . 1 7 )

o r

A

c

~

e

e

;

~

r

e

= 0 ( 1 0 . 1 8 )

w h e r e

A

c

= A

1

+ A

2

A

0

2

] ( 1 0 . 1 9 )




T h e f o r m o f A

c

, t h e m a t r i x o n t h e c o a r s e m e s h , i s c o m p l e t e l y d e t e r m i n e d b y t h e

c h o i c e o f t h e p e r m u t a t i o n m a t r i x a n d t h e i n t e r p o l a t i o n a p p r o x i m a t i o n . I f t h e o r i g i n a l

A h a d b e e n B ( 7 : 1 ; 2 1 ) , o u r 7 - p o i n t e x a m p l e w o u l d p r o d u c e

P A P

; 1

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

; 2 1 1

; 2 1 1

; 2 1 1

1 ; 2

1 1 ; 2

1 1 ; 2

1 ; 2

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

4

A

1

A

2

A

3

A

4

3

7

5

( 1 0 . 2 0 )

a n d E q . 1 0 . 1 8 g i v e s

A

1

z } | {

2

6

4

; 2

; 2

; 2

3

7

5

+

A

2

z } | {

2

6

4

1 1

1 1

1 1

3

7

5

1

2

A

0

2

z } | {

2

6

6

6

4

1

1 1

1 1

1

3

7

7

7

5

=

A

c

z } | {

2

6

4

; 1 1 = 2

1 = 2 ; 1 1 = 2

1 = 2 ; 1

3

7

5

( 1 0 . 2 1 )

I f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e m i x e d D i r i c h l e t - N e u m a n n , A i n t h e 1 - D m o d e l

e q u a t i o n i s B ( 1

~

b 1 ) w h e r e

~

b = ; 2 ; 2 : : : ; 2 ; 1 ]

T

. T h e e i g e n s y s t e m i s g i v e n b y

E q . B . 1 9 . I t i s e a s y t o s h o w t h a t t h e h i g h s p a c e - f r e q u e n c i e s s t i l l c o r r e s p o n d t o t h e

e i g e n v a l u e s w i t h h i g h m a g n i t u d e s , a n d , i n f a c t , a l l o f t h e p r o p e r t i e s g i v e n i n S e c t i o n

1 0 . 1 a r e m e t . H o w e v e r , t h e e i g e n v e c t o r s t r u c t u r e i s d i e r e n t f r o m t h a t g i v e n i n

E q . 9 . 5 5 f o r D i r i c h l e t c o n d i t i o n s . I n t h e p r e s e n t c a s e t h e y a r e g i v e n b y

x

j m

= s i n

"

j

( 2 m ; 1 )

2 M + 1

! #

m = 1 2 M ( 1 0 . 2 2 )

a n d a r e i l l u s t r a t e d i n F i g . 1 0 . 1 . A l l o f t h e m g o t h r o u g h z e r o o n t h e l e f t ( D i r i c h l e t )

s i d e , a n d a l l o f t h e m r e e c t o n t h e r i g h t ( N e u m a n n ) s i d e .

F o r N e u m a n n c o n d i t i o n s , t h e i n t e r p o l a t i o n f o r m u l a i n E q . 1 0 . 1 5 m u s t b e c h a n g e d .

I n t h e p a r t i c u l a r c a s e i l l u s t r a t e d i n F i g . 1 0 . 1 , e

b

i s e q u a l t o e

M

. I f N e u m a n n c o n d i t i o n s

a r e o n t h e l e f t , e

a

= e

1

. W h e n e

b

= e

M

, t h e e x a m p l e i n E q . 1 0 . 1 6 c h a n g e s t o

A

0

2

=

1

2

2

6

6

6

4

1 0 0

1 1 0

0 1 1

0 0 2

3

7

7

7

5

( 1 0 . 2 3 )




X

F i g u r e 1 0 . 1 : E i g e n v e c t o r s f o r t h e m i x e d D i r i c h l e t { N e u m a n n c a s e .

T h e p e r m u t a t i o n m a t r i x r e m a i n s t h e s a m e a n d b o t h A

1

a n d A

2

i n t h e p a r t i t i o n e d

m a t r i x P A P

; 1

a r e u n c h a n g e d ( o n l y A

4

i s m o d i e d b y p u t t i n g ; 1 i n t h e l o w e r r i g h t

e l e m e n t ) . T h e r e f o r e , w e c a n c o n s t r u c t t h e c o a r s e m a t r i x f r o m

A

1

z } | {

2

6

4

; 2

; 2

; 2

3

7

5

+

A

2

z } | {

2

6

4

1 1

1 1

1 1

3

7

5

1

2

A

0

2

z } | {

2

6

6

6

4

1

1 1

1 1

2

3

7

7

7

5

=

A

c

z } | {

2

6

4

; 1 1 = 2

1 = 2 ; 1 1 = 2

1 = 2 ; 1 = 2

3

7

5

( 1 0 . 2 4 )

w h i c h g i v e s u s w h a t w e m i g h t h a v e \ e x p e c t e d . "

W e w i l l c o n t i n u e w i t h D i r i c h l e t b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t h e r e m a i n d e r o f t h i s

S e c t i o n . A t t h i s s t a g e , w e h a v e r e d u c e d t h e p r o b l e m f r o m B ( 1 ; 2 1 )

~

e =

~

r o n t h e

n e m e s h t o

1

2

B ( 1 ; 2 1 )

~

e

e

=

~

r

e

o n t h e n e x t c o a r s e r m e s h . R e c a l l t h a t o u r g o a l i s

t o s o l v e f o r

~

e , w h i c h w i l l p r o v i d e u s w i t h t h e s o l u t i o n

~

1

u s i n g E q . 1 0 . 9 . G i v e n

~

e

e

c o m p u t e d o n t h e c o a r s e g r i d ( p o s s i b l y u s i n g e v e n c o a r s e r g r i d s ) , w e c a n c o m p u t e

~

e

o

u s i n g E q . 1 0 . 1 5 , a n d t h u s

~

e . I n o r d e r t o c o m p l e t e t h e p r o c e s s , w e m u s t n o w d e t e r m i n e

t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n

~

e

e

a n d

~

e .

I n o r d e r t o e x a m i n e t h i s r e l a t i o n s h i p , w e n e e d t o c o n s i d e r t h e e i g e n s y s t e m s o f A

a n d A

c

:

A = X X

; 1

A

c

= X

c

c

X

; 1

c

( 1 0 . 2 5 )

F o r A = B ( M : 1 ; 2 1 ) t h e e i g e n v a l u e s a n d e i g e n v e c t o r s a r e

m

= ; 2

1 ; c o s

m

M + 1

~

x

m

= s i n

j

m

M + 1

j = 1 2 M

m = 1 2 M

( 1 0 . 2 6 )




B a s e d o n o u r a s s u m p t i o n s , t h e m o s t d i c u l t e r r o r m o d e t o e l i m i n a t e i s t h a t w i t h

m = 1 , c o r r e s p o n d i n g t o

1

= ; 2

1 ; c o s

M + 1

~

x

1

= s i n

j

M + 1

j = 1 2 M ( 1 0 . 2 7 )

F o r e x a m p l e , w i t h M = 5 1 ,

1

= ; 0 : 0 0 3 6 4 9 . I f w e r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n t o o d d M ,

t h e n M

c

= ( M ; 1 ) = 2 i s t h e s i z e o f A

c

. T h e e i g e n v a l u e a n d e i g e n v e c t o r c o r r e s p o n d i n g

t o m = 1 f o r t h e m a t r i x A

c

=

1

2

B ( M

c

1 ; 2 1 ) a r e

(

c

)

1

= ;

1 ; c o s

2

M + 1

(

~

x

c

)

1

= s i n

j

2

M + 1

j = 1 2 M

c

( 1 0 . 2 8 )

F o r M = 5 1 ( M

c

= 2 5 ) , w e o b t a i n (

c

)

1

= ; 0 : 0 0 7 2 9 1 = 1 : 9 9 8

1

. A s M i n c r e a s e s ,

(

c

)

1

a p p r o a c h e s 2

1

. I n a d d i t i o n , o n e c a n e a s i l y s e e t h a t (

~

x

c

)

1

c o i n c i d e s w i t h

~

x

1

a t

e v e r y s e c o n d p o i n t o f t h e l a t t e r v e c t o r , t h a t i s , i t c o n t a i n s t h e e v e n e l e m e n t s o f

~

x

1

.

N o w l e t u s c o n s i d e r t h e c a s e i n w h i c h a l l o f t h e e r r o r c o n s i s t s o f t h e e i g e n v e c t o r

c o m p o n e n t

~

x

1

, i . e . ,

~

e =

~

x

1

. T h e n t h e r e s i d u a l i s

~

r = A

~

x

1

=

1

~

x

1

( 1 0 . 2 9 )

a n d t h e r e s i d u a l o n t h e c o a r s e g r i d i s

~

r

e

=

1

(

~

x

c

)

1

( 1 0 . 3 0 )

s i n c e (

~

x

c

)

1

c o n t a i n s t h e e v e n e l e m e n t s o f

~

x

1

. T h e e x a c t s o l u t i o n o n t h e c o a r s e g r i d

s a t i s e s

~

e

e

= A

; 1

c

~

r

e

= X

c

; 1

c

X

; 1

c

1

(

~

x

c

)

1

( 1 0 . 3 1 )

=

1

X

c

; 1

c

2

6

6

6

6

4

1

0

.

.

.

0

3

7

7

7

7

5

( 1 0 . 3 2 )

=

1

X

c

2

6

6

6

6

4

1 = (

c

)

1

0

.

.

.

0

3

7

7

7

7

5

( 1 0 . 3 3 )




=

1

(

c

)

1

(

~

x

c

)

1

( 1 0 . 3 4 )

1

2

(

~

x

c

)

1

( 1 0 . 3 5 )

S i n c e o u r g o a l i s t o c o m p u t e

~

e =

~

x

1

, i n a d d i t i o n t o i n t e r p o l a t i n g

~

e

e

t o t h e n e g r i d

( u s i n g E q . 1 0 . 1 5 ) , w e m u s t m u l t i p l y t h e r e s u l t b y 2 . T h i s i s e q u i v a l e n t t o s o l v i n g

1

2

A

c

~

e

e

=

~

r

e

( 1 0 . 3 6 )

o r

1

4

B ( M

c

: 1 ; 2 1 )

~

e

e

=

~

r

e

( 1 0 . 3 7 )

I n o u r c a s e , t h e m a t r i x A = B ( M : 1 ; 2 1 ) c o m e s f r o m a d i s c r e t i z a t i o n o f t h e

d i u s i o n e q u a t i o n , w h i c h g i v e s

A

b

=

x

2

B ( M : 1 ; 2 1 ) ( 1 0 . 3 8 )

a n d t h e p r e c o n d i t i o n i n g m a t r i x C i s s i m p l y

C =

x

2

I ( 1 0 . 3 9 )

A p p l y i n g t h e d i s c r e t i z a t i o n o n t h e c o a r s e g r i d w i t h t h e s a m e p r e c o n d i t i o n i n g m a t r i x

a s u s e d o n t h e n e g r i d g i v e s , s i n c e x

c

= 2 x ,

C

x

2

c

B ( M

c

: 1 ; 2 1 ) =

x

2

x

2

c

B ( M

c

: 1 ; 2 1 ) =

1

4

B ( M

c

: 1 ; 2 1 ) ( 1 0 . 4 0 )

w h i c h i s p r e c i s e l y t h e m a t r i x a p p e a r i n g i n E q . 1 0 . 3 7 . T h u s w e s e e t h a t t h e p r o c e s s i s

r e c u r s i v e . T h e p r o b l e m t o b e s o l v e d o n t h e c o a r s e g r i d i s t h e s a m e a s t h a t s o l v e d o n

t h e n e g r i d .

T h e r e m a i n i n g s t e p s r e q u i r e d t o c o m p l e t e a n e n t i r e m u l t i g r i d p r o c e s s a r e r e l a t i v e l y

s t r a i g h t f o r w a r d , b u t t h e y v a r y d e p e n d i n g o n t h e p r o b l e m a n d t h e u s e r . T h e r e d u c t i o n

c a n b e , a n d u s u a l l y i s , c a r r i e d t o e v e n c o a r s e r g r i d s b e f o r e r e t u r n i n g t o t h e n e s t l e v e l .

H o w e v e r , i n e a c h c a s e t h e a p p r o p r i a t e p e r m u t a t i o n m a t r i x a n d t h e i n t e r p o l a t i o n

a p p r o x i m a t i o n d e n e b o t h t h e d o w n - a n d u p - g o i n g p a t h s . T h e d e t a i l s o f n d i n g

o p t i m u m t e c h n i q u e s a r e , o b v i o u s l y , q u i t e i m p o r t a n t b u t t h e y a r e n o t d i s c u s s e d h e r e .




1 0 . 3 A T w o - G r i d P r o c e s s

W e n o w d e s c r i b e a t w o - g r i d p r o c e s s f o r t h e l i n e a r p r o b l e m A

~

=

~

f , w h i c h c a n b e e a s i l y

g e n e r a l i z e d t o a p r o c e s s w i t h a n a r b i t r a r y n u m b e r o f g r i d s d u e t o t h e r e c u r s i v e n a t u r e

o f m u l t i g r i d . E x t e n s i o n t o n o n l i n e a r p r o b l e m s r e q u i r e s t h a t b o t h t h e s o l u t i o n a n d t h e

r e s i d u a l b e t r a n s f e r r e d t o t h e c o a r s e g r i d i n a p r o c e s s k n o w n a s f u l l a p p r o x i m a t i o n

s t o r a g e m u l t i g r i d .

1 . P e r f o r m n

1

i t e r a t i o n s o f t h e s e l e c t e d r e l a x a t i o n m e t h o d o n t h e n e g r i d , s t a r t i n g

w i t h

~

=

~

n

. C a l l t h e r e s u l t

~

( 1 )

. T h i s g i v e s

1

~

( 1 )

= G

n

1

1

~

n

+ ( I ; G

n

1

1

) A

; 1

~

f ( 1 0 . 4 1 )

w h e r e

G

1

= I + H

; 1

1

A

1

( 1 0 . 4 2 )

a n d H

1

i s d e n e d a s i n C h a p t e r 9 ( e . g . , E q . 9 . 2 1 ) . N e x t c o m p u t e t h e r e s i d u a l b a s e d

o n

~

( 1 )

:

~r

( 1 )

= A

~

( 1 )

;

~

f = A G

n

1

1

~

n

+ A ( I ; G

n

1

1

) A

; 1

~

f ;

~

f

= A G

n

1

1

~

n

; A G

n

1

1

A

; 1

~

f ( 1 0 . 4 3 )

2 . T r a n s f e r ( o r r e s t r i c t ) ~r

( 1 )

t o t h e c o a r s e g r i d :

~r

( 2 )

= R

2

1

~r

( 1 )

( 1 0 . 4 4 )

I n o u r e x a m p l e i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n , t h e r e s t r i c t i o n m a t r i x i s

R

2

1

=

2

6

4

0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0

3

7

5

( 1 0 . 4 5 )

t h a t i s , t h e r s t t h r e e r o w s o f t h e p e r m u t a t i o n m a t r i x P i n E q . 1 0 . 1 1 . T h i s t y p e o f

r e s t r i c t i o n i s k n o w n a s \ s i m p l e i n j e c t i o n . " S o m e f o r m o f w e i g h t e d r e s t r i c t i o n c a n a l s o

b e u s e d .

3 . S o l v e t h e p r o b l e m A

2

~e

( 2 )

= ~r

( 2 )

o n t h e c o a r s e g r i d e x a c t l y :

2

~e

( 2 )

= A

; 1

2

~r

( 2 )

( 1 0 . 4 6 )

1

S e e p r o b l e m 1 o f C h a p t e r 9 .

2

N o t e t h a t t h e c o a r s e g r i d m a t r i x d e n o t e d A

2

h e r e w a s d e n o t e d A

c

i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n .



1 0 . 3 . A T W O - G R I D P R O C E S S 2 0 1

H e r e A

2

c a n b e f o r m e d b y a p p l y i n g t h e d i s c r e t i z a t i o n o n t h e c o a r s e g r i d . I n t h e

p r e c e d i n g e x a m p l e ( e q . 1 0 . 4 0 ) , A

2

=

1

4

B ( M

c

: 1 ; 2 1 ) . I t i s a t t h i s s t a g e t h a t t h e

g e n e r a l i z a t i o n t o a m u l t i g r i d p r o c e d u r e w i t h m o r e t h a n t w o g r i d s o c c u r s . I f t h i s i s t h e

c o a r s e s t g r i d i n t h e s e q u e n c e , s o l v e e x a c t l y . O t h e r w i s e , a p p l y t h e t w o - g r i d p r o c e s s

r e c u r s i v e l y .

4 . T r a n s f e r ( o r p r o l o n g ) t h e e r r o r b a c k t o t h e n e g r i d a n d u p d a t e t h e s o l u t i o n :

~

n + 1

=

~

( 1 )

; I

1

2

~e

( 2 )

( 1 0 . 4 7 )

I n o u r e x a m p l e , t h e p r o l o n g a t i o n m a t r i x i s

I

1

2

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

1 = 2 0 0

1 0 0

1 = 2 1 = 2 0

0 1 0

0 1 = 2 1 = 2

0 0 1

0 0 1 = 2

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

( 1 0 . 4 8 )

w h i c h f o l l o w s f r o m E q . 1 0 . 1 5 .

C o m b i n i n g t h e s e s t e p s , o n e o b t a i n s

~

n + 1

= I ; I

1

2

A

; 1

2

R

2

1

A ] G

n

1

1

~

n

; I ; I

1

2

A

; 1

2

R

2

1

A ] G

n

1

1

A

; 1

~

f + A

; 1

~

f ( 1 0 . 4 9 )

T h u s t h e b a s i c i t e r a t i o n m a t r i x i s

I ; I

1

2

A

; 1

2

R

2

1

A ] G

n

1

1

( 1 0 . 5 0 )

T h e e i g e n v a l u e s o f t h i s m a t r i x d e t e r m i n e t h e c o n v e r g e n c e r a t e o f t h e t w o - g r i d p r o c e s s .

T h e b a s i c i t e r a t i o n m a t r i x f o r a t h r e e - g r i d p r o c e s s i s f o u n d f r o m E q . 1 0 . 5 0 b y

r e p l a c i n g A

; 1

2

w i t h ( I ; G

2

3

) A

; 1

2

, w h e r e

G

2

3

= I ; I

2

3

A

; 1

3

R

3

2

A

2

] G

n

2

2

( 1 0 . 5 1 )

I n t h i s e x p r e s s i o n n

2

i s t h e n u m b e r o f r e l a x a t i o n s t e p s o n g r i d 2 , I

2

3

a n d R

3

2

a r e t h e

t r a n s f e r o p e r a t o r s b e t w e e n g r i d s 2 a n d 3 , a n d A

3

i s o b t a i n e d b y d i s c r e t i z i n g o n g r i d

3 . E x t e n s i o n t o f o u r o r m o r e g r i d s p r o c e e d s i n s i m i l a r f a s h i o n .




1 0 . 4 P r o b l e m s

1 . D e r i v e E q . 1 0 . 5 1 .

2 . R e p e a t p r o b l e m 4 o f C h a p t e r 9 u s i n g a f o u r - g r i d m u l t i g r i d m e t h o d t o g e t h e r

w i t h

( a ) t h e G a u s s - S e i d e l m e t h o d ,

( b ) t h e 3 - s t e p R i c h a r d s o n m e t h o d d e r i v e d i n S e c t i o n 9 . 5 .

S o l v e e x a c t l y o n t h e c o a r s e s t g r i d . P l o t t h e s o l u t i o n a f t e r t h e r e s i d u a l i s r e d u c e d

b y 2 , 3 , a n d 4 o r d e r s o f m a g n i t u d e . P l o t t h e l o g a r i t h m o f t h e L

2

- n o r m o f t h e

r e s i d u a l v s . t h e n u m b e r o f i t e r a t i o n s . D e t e r m i n e t h e a s y m p t o t i c c o n v e r g e n c e

r a t e . C a l c u l a t e t h e t h e o r e t i c a l a s y m p t o t i c c o n v e r g e n c e r a t e a n d c o m p a r e .



C h a p t e r 1 1

N U M E R I C A L D I S S I P A T I O N

U p t o t h i s p o i n t , w e h a v e e m p h a s i z e d t h e s e c o n d - o r d e r c e n t e r e d - d i e r e n c e a p p r o x i m a -

t i o n s t o t h e s p a t i a l d e r i v a t i v e s i n o u r m o d e l e q u a t i o n s . W e h a v e s e e n t h a t a c e n t e r e d

a p p r o x i m a t i o n t o a r s t d e r i v a t i v e i s n o n d i s s i p a t i v e , i . e . , t h e e i g e n v a l u e s o f t h e a s -

s o c i a t e d c i r c u l a n t m a t r i x ( w i t h p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s ) a r e p u r e i m a g i n a r y .

I n p r o c e s s e s g o v e r n e d b y n o n l i n e a r e q u a t i o n s , s u c h a s t h e E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s

e q u a t i o n s , t h e r e c a n b e a c o n t i n u a l p r o d u c t i o n o f h i g h - f r e q u e n c y c o m p o n e n t s o f t h e

s o l u t i o n , l e a d i n g , f o r e x a m p l e , t o t h e p r o d u c t i o n o f s h o c k w a v e s . I n a r e a l p h y s -

i c a l p r o b l e m , t h e p r o d u c t i o n o f h i g h f r e q u e n c i e s i s e v e n t u a l l y l i m i t e d b y v i s c o s i t y .

H o w e v e r , w h e n w e s o l v e t h e E u l e r e q u a t i o n s n u m e r i c a l l y , w e h a v e n e g l e c t e d v i s c o u s

e e c t s . T h u s t h e n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n m u s t c o n t a i n s o m e i n h e r e n t d i s s i p a t i o n t o

l i m i t t h e p r o d u c t i o n o f h i g h - f r e q u e n c y m o d e s . A l t h o u g h n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n s

t o t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s c o n t a i n d i s s i p a t i o n t h r o u g h t h e v i s c o u s t e r m s , t h i s

c a n b e i n s u c i e n t , e s p e c i a l l y a t h i g h R e y n o l d s n u m b e r s , d u e t o t h e l i m i t e d g r i d r e s -

o l u t i o n w h i c h i s p r a c t i c a l . T h e r e f o r e , u n l e s s t h e r e l e v a n t l e n g t h s c a l e s a r e r e s o l v e d ,

s o m e f o r m o f a d d e d n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n i s r e q u i r e d i n t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f

t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a s w e l l . S i n c e t h e a d d i t i o n o f n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n i s

t a n t a m o u n t t o i n t e n t i o n a l l y i n t r o d u c i n g n o n p h y s i c a l b e h a v i o r , i t m u s t b e c a r e f u l l y

c o n t r o l l e d s u c h t h a t t h e e r r o r i n t r o d u c e d i s n o t e x c e s s i v e . I n t h i s C h a p t e r , w e d i s c u s s

s o m e d i e r e n t w a y s o f a d d i n g n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n t o t h e s p a t i a l d e r i v a t i v e s i n t h e

l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n a n d h y p e r b o l i c s y s t e m s o f P D E ' s .

2 0 3



2 0 4 C H A P T E R 1 1 . N U M E R I C A L D I S S I P A T I O N

1 1 . 1 O n e - S i d e d F i r s t - D e r i v a t i v e S p a c e D i e r e n c -

i n g

W e i n v e s t i g a t e t h e p r o p e r t i e s o f o n e - s i d e d s p a t i a l d i e r e n c e o p e r a t o r s i n t h e c o n t e x t

o f t h e b i c o n v e c t i o n m o d e l e q u a t i o n g i v e n b y

@ u

@ t

= ; a

@ u

@ x

( 1 1 . 1 )

w i t h p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g p o i n t o p e r a t o r f o r t h e

s p a t i a l d e r i v a t i v e t e r m

; a (

x

u )

j

=

; a

2 x

; ( 1 + ) u

j ; 1

+ 2 u

j

+ ( 1 ; ) u

j + 1

]

=

; a

2 x

( ; u

j ; 1

+ u

j + 1

) + ( ; u

j ; 1

+ 2 u

j

; u

j + 1

) ] ( 1 1 . 2 )

T h e s e c o n d f o r m s h o w n d i v i d e s t h e o p e r a t o r i n t o a n a n t i s y m m e t r i c c o m p o n e n t ( ; u

j ; 1

+

u

j + 1

) = 2 x a n d a s y m m e t r i c c o m p o n e n t ( ; u

j ; 1

+ 2 u

j

; u

j + 1

) = 2 x . T h e a n t i s y m -

m e t r i c c o m p o n e n t i s t h e s e c o n d - o r d e r c e n t e r e d d i e r e n c e o p e r a t o r . W i t h 6= 0 , t h e

o p e r a t o r i s o n l y r s t - o r d e r a c c u r a t e . A b a c k w a r d d i e r e n c e o p e r a t o r i s g i v e n b y = 1

a n d a f o r w a r d d i e r e n c e o p e r a t o r i s g i v e n b y = ; 1 .

F o r p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h e c o r r e s p o n d i n g m a t r i x o p e r a t o r i s

; a

x

=

; a

2 x

B

p

( ; 1 ; 2 1 ; )

T h e e i g e n v a l u e s o f t h i s m a t r i x a r e

m

=

; a

x

1 ; c o s

2 m

M

+ i s i n

2 m

M

f o r m = 0 1 : : : M ; 1

I f a i s p o s i t i v e , t h e f o r w a r d d i e r e n c e o p e r a t o r ( = ; 1 ) p r o d u c e s R e (

m

) > 0 ,

t h e c e n t e r e d d i e r e n c e o p e r a t o r ( = 0 ) p r o d u c e s R e (

m

) = 0 , a n d t h e b a c k w a r d

d i e r e n c e o p e r a t o r p r o d u c e s R e (

m

) < 0 . H e n c e t h e f o r w a r d d i e r e n c e o p e r a t o r i s

i n h e r e n t l y u n s t a b l e w h i l e t h e c e n t e r e d a n d b a c k w a r d o p e r a t o r s a r e i n h e r e n t l y s t a b l e .

I f a i s n e g a t i v e , t h e r o l e s a r e r e v e r s e d . W h e n R e (

m

) = 0 , t h e s o l u t i o n w i l l e i t h e r

g r o w o r d e c a y w i t h t i m e . I n e i t h e r c a s e , o u r c h o i c e o f d i e r e n c i n g s c h e m e p r o d u c e s

n o n p h y s i c a l b e h a v i o r . W e p r o c e e d n e x t t o s h o w w h y t h i s o c c u r s .



1 1 . 2 . T H E M O D I F I E D P A R T I A L D I F F E R E N T I A L E Q U A T I O N 2 0 5

1 1 . 2 T h e M o d i e d P a r t i a l D i e r e n t i a l E q u a t i o n

F i r s t c a r r y o u t a T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n o f t h e t e r m s i n E q . 1 1 . 2 . W e a r e l e a d t o t h e

e x p r e s s i o n

(

x

u )

j

=

1

2 x

2

4

2 x

@ u

@ x

!

j

; x

2

@

2

u

@ x

2

!

j

+

x

3

3

@

3

u

@ x

3

!

j

;

x

4

1 2

@

4

u

@ x

4

!

j

+ : : :

3

5

W e s e e t h a t t h e a n t i s y m m e t r i c p o r t i o n o f t h e o p e r a t o r i n t r o d u c e s o d d d e r i v a t i v e

t e r m s i n t h e t r u n c a t i o n e r r o r w h i l e t h e s y m m e t r i c p o r t i o n i n t r o d u c e s e v e n d e r i v a t i v e s .

S u b s t i t u t i n g t h i s i n t o E q . 1 1 . 1 g i v e s

@ u

@ t

= ; a

@ u

@ x

+

a x

2

@

2

u

@ x

2

;

a x

2

6

@

3

u

@ x

3

+

a x

3

2 4

@

4

u

@ x

4

+ : : : ( 1 1 . 3 )

T h i s i s t h e p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n w e a r e r e a l l y s o l v i n g w h e n w e a p p l y t h e

a p p r o x i m a t i o n g i v e n b y E q . 1 1 . 2 t o E q . 1 1 . 1 . N o t i c e t h a t E q . 1 1 . 3 i s c o n s i s t e n t w i t h

E q . 1 1 . 1 , s i n c e t h e t w o e q u a t i o n s a r e i d e n t i c a l w h e n x ! 0 . H o w e v e r , w h e n w e u s e

a c o m p u t e r t o n d a n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m , x c a n b e s m a l l b u t i t i s

n o t z e r o . T h i s m e a n s t h a t e a c h t e r m i n t h e e x p a n s i o n g i v e n b y E q . 1 1 . 3 i s e x c i t e d t o

s o m e d e g r e e . W e r e f e r t o E q . 1 1 . 3 a s t h e m o d i e d p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n . W e

p r o c e e d n e x t t o i n v e s t i g a t e t h e i m p l i c a t i o n s o f t h i s c o n c e p t .

C o n s i d e r t h e s i m p l e l i n e a r p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n

@ u

@ t

=

; a

@ u

@ x

+

@

2

u

@ x

2

+

@

3

u

@ x

3

+

@

4

u

@ x

4

( 1 1 . 4 )

C h o o s e p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d i m p o s e a n i n i t i a l c o n d i t i o n u = e

i x

. U n d e r

t h e s e c o n d i t i o n s t h e r e i s a w a v e - l i k e s o l u t i o n t o E q . 1 1 . 4 o f t h e f o r m

u ( x t ) = e

i x

e

( r + i s ) t

p r o v i d e d r a n d s s a t i s f y t h e c o n d i t i o n

r + i s = ; i a ;

2

; i

3

+

4

o r

r = ;

2

( ;

2

) s = ; ( a +

2

)

T h e s o l u t i o n i s c o m p o s e d o f b o t h a m p l i t u d e a n d p h a s e t e r m s . T h u s

u = e

;

2

( ;

2

)

| { z }

a m p l i t u d e

e

i x ; ( a +

2

) t ]

| { z }

p h a s e

( 1 1 . 5 )




I t i s i m p o r t a n t t o n o t i c e t h a t t h e a m p l i t u d e o f t h e s o l u t i o n d e p e n d s o n l y u p o n a n d

, t h e c o e c i e n t s o f t h e e v e n d e r i v a t i v e s i n E q . 1 1 . 4 , a n d t h e p h a s e d e p e n d s o n l y o n

a a n d , t h e c o e c i e n t s o f t h e o d d d e r i v a t i v e s .

I f t h e w a v e s p e e d a i s p o s i t i v e , t h e c h o i c e o f a b a c k w a r d d i e r e n c e s c h e m e ( = 1 )

p r o d u c e s a m o d i e d P D E w i t h

;

2

> 0 a n d h e n c e t h e a m p l i t u d e o f t h e s o l u t i o n

d e c a y s . T h i s i s t a n t a m o u n t t o d e l i b e r a t e l y a d d i n g d i s s i p a t i o n t o t h e P D E . U n d e r t h e

s a m e c o n d i t i o n , t h e c h o i c e o f a f o r w a r d d i e r e n c e s c h e m e ( = ; 1 ) i s e q u i v a l e n t t o

d e l i b e r a t e l y a d d i n g a d e s t a b i l i z i n g t e r m t o t h e P D E .

B y e x a m i n i n g t h e t e r m g o v e r n i n g t h e p h a s e o f t h e s o l u t i o n i n E q . 1 1 . 5 , w e s e e

t h a t t h e s p e e d o f p r o p a g a t i o n i s a +

2

. R e f e r r i n g t o t h e m o d i e d P D E , E q . 1 1 . 3

w e h a v e = ; a x

2

= 6 . T h e r e f o r e , t h e p h a s e s p e e d o f t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n i s l e s s

t h a n t h e a c t u a l p h a s e s p e e d . F u r t h e r m o r e , t h e n u m e r i c a l p h a s e s p e e d i s d e p e n d e n t

u p o n t h e w a v e n u m b e r . T h i s w e r e f e r t o a s d i s p e r s i o n .

O u r p u r p o s e h e r e i s t o i n v e s t i g a t e t h e p r o p e r t i e s o f o n e - s i d e d s p a t i a l d i e r e n c i n g

o p e r a t o r s r e l a t i v e t o c e n t e r e d d i e r e n c e o p e r a t o r s . W e h a v e s e e n t h a t t h e t h r e e -

p o i n t c e n t e r e d d i e r e n c e a p p r o x i m a t i o n o f t h e s p a t i a l d e r i v a t i v e p r o d u c e s a m o d i e d

P D E t h a t h a s n o d i s s i p a t i o n ( o r a m p l i c a t i o n ) . O n e c a n e a s i l y s h o w , b y u s i n g t h e

a n t i s y m m e t r y o f t h e m a t r i x d i e r e n c e o p e r a t o r s , t h a t t h e s a m e i s t r u e f o r a n y c e n -

t e r e d d i e r e n c e a p p r o x i m a t i o n o f a r s t d e r i v a t i v e . A s a c o r o l l a r y , a n y d e p a r t u r e

f r o m a n t i s y m m e t r y i n t h e m a t r i x d i e r e n c e o p e r a t o r m u s t i n t r o d u c e d i s s i p a t i o n ( o r

a m p l i c a t i o n ) i n t o t h e m o d i e d P D E .

N o t e t h a t t h e u s e o f o n e - s i d e d d i e r e n c i n g s c h e m e s i s n o t t h e o n l y w a y t o i n -

t r o d u c e d i s s i p a t i o n . A n y s y m m e t r i c c o m p o n e n t i n t h e s p a t i a l o p e r a t o r i n t r o d u c e s

d i s s i p a t i o n ( o r a m p l i c a t i o n ) . T h e r e f o r e , o n e c o u l d c h o o s e = 1 = 2 i n E q . 1 1 . 2 . T h e

r e s u l t i n g s p a t i a l o p e r a t o r i s n o t o n e - s i d e d b u t i t i s d i s s i p a t i v e . B i a s e d s c h e m e s u s e

m o r e i n f o r m a t i o n o n o n e s i d e o f t h e n o d e t h a n t h e o t h e r . F o r e x a m p l e , a t h i r d - o r d e r

b a c k w a r d - b i a s e d s c h e m e i s g i v e n b y

(

x

u )

j

=

1

6 x

( u

j ; 2

; 6 u

j ; 1

+ 3 u

j

+ 2 u

j + 1

)

=

1

1 2 x

( u

j ; 2

; 8 u

j ; 1

+ 8 u

j + 1

; u

j + 2

)

+ ( u

j ; 2

; 4 u

j ; 1

+ 6 u

j

; 4 u

j + 1

+ u

j + 2

) ] ( 1 1 . 6 )

T h e a n t i s y m m e t r i c c o m p o n e n t o f t h i s o p e r a t o r i s t h e f o u r t h - o r d e r c e n t e r e d d i e r e n c e

o p e r a t o r . T h e s y m m e t r i c c o m p o n e n t a p p r o x i m a t e s x

3

u

x x x x

= 1 2 . T h e r e f o r e , t h i s

o p e r a t o r p r o d u c e s f o u r t h - o r d e r a c c u r a c y i n p h a s e w i t h a t h i r d - o r d e r d i s s i p a t i v e t e r m .



1 1 . 3 . T H E L A X - W E N D R O F F M E T H O D 2 0 7

1 1 . 3 T h e L a x - W e n d r o M e t h o d

I n o r d e r t o i n t r o d u c e n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n u s i n g o n e - s i d e d d i e r e n c i n g , b a c k w a r d

d i e r e n c i n g m u s t b e u s e d i f t h e w a v e s p e e d i s p o s i t i v e , a n d f o r w a r d d i e r e n c i n g m u s t

b e u s e d i f t h e w a v e s p e e d i s n e g a t i v e . N e x t w e c o n s i d e r a m e t h o d w h i c h i n t r o d u c e s

d i s s i p a t i o n i n d e p e n d e n t o f t h e s i g n o f t h e w a v e s p e e d , k n o w n a s t h e L a x - W e n d r o

m e t h o d . T h i s e x p l i c i t m e t h o d d i e r s c o n c e p t u a l l y f r o m t h e m e t h o d s c o n s i d e r e d p r e -

v i o u s l y i n w h i c h s p a t i a l d i e r e n c i n g a n d t i m e - m a r c h i n g a r e t r e a t e d s e p a r a t e l y .

C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g T a y l o r - s e r i e s e x p a n s i o n i n t i m e :

u ( x t + h ) = u + h

@ u

@ t

+

1

2

h

2

@

2

u

@ t

2

+ O ( h

3

) ( 1 1 . 7 )

F i r s t r e p l a c e t h e t i m e d e r i v a t i v e s w i t h s p a c e d e r i v a t i v e s a c c o r d i n g t o t h e P D E ( i n

t h i s c a s e , t h e l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n

@ u

@ t

+ a

@ u

@ x

= 0 ) . T h u s

@ u

@ t

= ; a

@ u

@ x

@

2

u

@ t

2

= a

2

@

2

u

@ x

2

( 1 1 . 8 )

N o w r e p l a c e t h e s p a c e d e r i v a t i v e s w i t h t h r e e - p o i n t c e n t e r e d d i e r e n c e o p e r a t o r s , g i v -

i n g

u

( n + 1 )

j

= u

( n )

j

;

1

2

a h

x

( u

( n )

j + 1

; u

( n )

j ; 1

) +

1

2

a h

x

!

2

( u

( n )

j + 1

; 2 u

( n )

j

+ u

( n )

j ; 1

) ( 1 1 . 9 )

T h i s i s t h e L a x - W e n d r o m e t h o d a p p l i e d t o t h e l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n . I t i s a

f u l l y - d i s c r e t e n i t e - d i e r e n c e s c h e m e . T h e r e i s n o i n t e r m e d i a t e s e m i - d i s c r e t e s t a g e .

F o r p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s , t h e c o r r e s p o n d i n g f u l l y - d i s c r e t e m a t r i x o p e r a t o r

i s

~u

n + 1

= B

p

0

@

1

2

2

4

a h

x

+

a h

x

!

2

3

5

1 ;

a h

x

!

2

1

2

2

4

;

a h

x

+

a h

x

!

2

3

5

1

A

~u

n

T h e e i g e n v a l u e s o f t h i s m a t r i x a r e

m

= 1 ;

a h

x

!

2

1 ; c o s

2 m

M

; i

a h

x

s i n

2 m

M

f o r m = 0 1 : : : M ; 1

F o r j

a h

x

j 1 a l l o f t h e e i g e n v a l u e s h a v e m o d u l u s l e s s t h a n o r e q u a l t o u n i t y a n d h e n c e

t h e m e t h o d i s s t a b l e i n d e p e n d e n t o f t h e s i g n o f a . T h e q u a n t i t y j

a h

x

j i s k n o w n a s t h e

C o u r a n t ( o r C F L ) n u m b e r . I t i s e q u a l t o t h e r a t i o o f t h e d i s t a n c e t r a v e l l e d b y a w a v e

i n o n e t i m e s t e p t o t h e m e s h s p a c i n g .




T h e n a t u r e o f t h e d i s s i p a t i v e p r o p e r t i e s o f t h e L a x - W e n d r o s c h e m e c a n b e s e e n

b y e x a m i n i n g t h e m o d i e d p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n , w h i c h i s g i v e n b y

@ u

@ t

+ a

@ u

@ x

= ;

a

6

( x

2

; a

2

h

2

)

@

3

u

@ x

3

;

a

2

h

8

( x

2

; a

2

h

2

)

@

4

u

@ x

4

+ : : :

T h i s i s d e r i v e d b y s u b s t i t u t i n g T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n s f o r a l l t e r m s i n E q . 1 1 . 9 a n d

c o n v e r t i n g t h e t i m e d e r i v a t i v e s t o s p a c e d e r i v a t i v e s u s i n g E q . 1 1 . 8 . T h e t w o l e a d i n g

e r r o r t e r m s a p p e a r o n t h e r i g h t s i d e o f t h e e q u a t i o n . R e c a l l t h a t t h e o d d d e r i v a t i v e s o n

t h e r i g h t s i d e l e a d t o u n w a n t e d d i s p e r s i o n a n d t h e e v e n d e r i v a t i v e s l e a d t o d i s s i p a t i o n

( o r a m p l i c a t i o n , d e p e n d i n g o n t h e s i g n ) . T h e r e f o r e , t h e l e a d i n g e r r o r t e r m i n t h e

L a x - W e n d r o m e t h o d i s d i s p e r s i v e a n d p r o p o r t i o n a l t o

;

a

6

( x

2

; a

2

h

2

)

@

3

u

@ x

3

= ;

a x

2

6

( 1 ; C

2

n

)

@

3

u

@ x

3

T h e d i s s i p a t i v e t e r m i s p r o p o r t i o n a l t o

;

a

2

h

8

( x

2

; a

2

h

2

)

@

4

u

@ x

4

= ;

a

2

h x

2

8

( 1 ; C

2

n

)

@

4

u

@ x

4

T h i s t e r m h a s t h e a p p r o p r i a t e s i g n a n d h e n c e t h e s c h e m e i s t r u l y d i s s i p a t i v e a s l o n g

a s C

n

1 .

A c l o s e l y r e l a t e d m e t h o d i s t h a t o f M a c C o r m a c k . R e c a l l M a c C o r m a c k ' s t i m e -

m a r c h i n g m e t h o d , p r e s e n t e d i n C h a p t e r 6 :

~ u

n + 1

= u

n

+ h u

0

n

u

n + 1

=

1

2

u

n

+ ~ u

n + 1

+ h ~ u

0

n + 1

] ( 1 1 . 1 0 )

I f w e u s e r s t - o r d e r b a c k w a r d d i e r e n c i n g i n t h e r s t s t a g e a n d r s t - o r d e r f o r w a r d

d i e r e n c i n g i n t h e s e c o n d s t a g e ,

1

a d i s s i p a t i v e s e c o n d - o r d e r m e t h o d i s o b t a i n e d . F o r

t h e l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n , t h i s a p p r o a c h l e a d s t o

~ u

( n + 1 )

j

= u

( n )

j

;

a h

x

( u

( n )

j

; u

( n )

j ; 1

)

u

( n + 1 )

j

=

1

2

u

( n )

j

+ ~ u

( n + 1 )

j

;

a h

x

( ~ u

( n + 1 )

j + 1

; ~ u

( n + 1 )

j

) ] ( 1 1 . 1 1 )

w h i c h c a n b e s h o w n t o b e i d e n t i c a l t o t h e L a x - W e n d r o m e t h o d . H e n c e M a c C o r -

m a c k ' s m e t h o d h a s t h e s a m e d i s s i p a t i v e a n d d i s p e r s i v e p r o p e r t i e s a s t h e L a x - W e n d r o

m e t h o d . T h e t w o m e t h o d s d i e r w h e n a p p l i e d t o n o n l i n e a r h y p e r b o l i c s y s t e m s , h o w -

e v e r .

1

O r v i c e - v e r s a f o r n o n l i n e a r p r o b l e m s , t h e s e s h o u l d b e a p p l i e d a l t e r n a t e l y .



1 1 . 4 . U P W I N D S C H E M E S 2 0 9

1 1 . 4 U p w i n d S c h e m e s

I n S e c t i o n 1 1 . 1 , w e s a w t h a t n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n c a n b e i n t r o d u c e d i n t h e s p a t i a l

d i e r e n c e o p e r a t o r u s i n g o n e - s i d e d d i e r e n c e s c h e m e s o r , m o r e g e n e r a l l y , b y a d d i n g

a s y m m e t r i c c o m p o n e n t t o t h e s p a t i a l o p e r a t o r . W i t h t h i s a p p r o a c h , t h e d i r e c t i o n

o f t h e o n e - s i d e d o p e r a t o r ( i . e . , w h e t h e r i t i s a f o r w a r d o r a b a c k w a r d d i e r e n c e )

o r t h e s i g n o f t h e s y m m e t r i c c o m p o n e n t d e p e n d s o n t h e s i g n o f t h e w a v e s p e e d .

W h e n a h y p e r b o l i c s y s t e m o f e q u a t i o n s i s b e i n g s o l v e d , t h e w a v e s p e e d s c a n b e b o t h

p o s i t i v e a n d n e g a t i v e . F o r e x a m p l e , t h e e i g e n v a l u e s o f t h e u x J a c o b i a n f o r t h e o n e -

d i m e n s i o n a l E u l e r e q u a t i o n s a r e u u + a u ; a . W h e n t h e o w i s s u b s o n i c , t h e s e a r e

o f m i x e d s i g n . I n o r d e r t o a p p l y o n e - s i d e d d i e r e n c i n g s c h e m e s t o s u c h s y s t e m s , s o m e

f o r m o f s p l i t t i n g i s r e q u i r e d . T h i s i s a v o i d e d i n t h e L a x - W e n d r o s c h e m e . H o w e v e r ,

a s a r e s u l t o f t h e i r s u p e r i o r e x i b i l i t y , s c h e m e s i n w h i c h t h e n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n

i s i n t r o d u c e d i n t h e s p a t i a l o p e r a t o r a r e g e n e r a l l y p r e f e r r e d o v e r t h e L a x - W e n d r o

a p p r o a c h .

C o n s i d e r a g a i n t h e l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n :

@ u

@ t

+ a

@ u

@ x

= 0 ( 1 1 . 1 2 )

w h e r e w e d o n o t m a k e a n y a s s u m p t i o n s a s t o t h e s i g n o f a . W e c a n r e w r i t e E q . 1 1 . 1 2

a s

@ u

@ t

+ ( a

+

+ a

;

)

@ u

@ x

= 0 a

=

a j a j

2

I f a 0 , t h e n a

+

= a 0 a n d a

;

= 0 . A l t e r n a t i v e l y , i f a 0 , t h e n a

+

= 0 a n d

a

;

= a 0 . N o w f o r t h e a

+

( 0 ) t e r m w e c a n s a f e l y b a c k w a r d d i e r e n c e a n d f o r t h e

a

;

( 0 ) t e r m f o r w a r d d i e r e n c e . T h i s i s t h e b a s i c c o n c e p t b e h i n d u p w i n d m e t h o d s ,

t h a t i s , s o m e d e c o m p o s i t i o n o r s p l i t t i n g o f t h e u x e s i n t o t e r m s w h i c h h a v e p o s i t i v e

a n d n e g a t i v e c h a r a c t e r i s t i c s p e e d s s o t h a t a p p r o p r i a t e d i e r e n c i n g s c h e m e s c a n b e

c h o s e n . I n t h e n e x t t w o s e c t i o n s , w e p r e s e n t t w o s p l i t t i n g t e c h n i q u e s c o m m o n l y u s e d

w i t h u p w i n d m e t h o d s . T h e s e a r e b y n o m e a n s u n i q u e .

T h e a b o v e a p p r o a c h t o o b t a i n i n g a s t a b l e d i s c r e t i z a t i o n i n d e p e n d e n t o f t h e s i g n

o f a c a n b e w r i t t e n i n a d i e r e n t , b u t e n t i r e l y e q u i v a l e n t , m a n n e r . F r o m E q . 1 1 . 2 , w e

s e e t h a t a s t a b l e d i s c r e t i z a t i o n i s o b t a i n e d w i t h = 1 i f a

0 a n d w i t h =

; 1 i f

a 0 . T h i s i s a c h i e v e d b y t h e f o l l o w i n g p o i n t o p e r a t o r :

; a (

x

u )

j

=

; 1

2 x

a ( ; u

j ; 1

+ u

j + 1

) + j a j ( ; u

j ; 1

+ 2 u

j

; u

j + 1

) ] ( 1 1 . 1 3 )

T h i s a p p r o a c h i s e x t e n d e d t o s y s t e m s o f e q u a t i o n s i n S e c t i o n 1 1 . 5 .

I n t h i s s e c t i o n , w e p r e s e n t t h e b a s i c i d e a s o f u x - v e c t o r a n d u x - d i e r e n c e s p l i t t i n g .

F o r m o r e s u b t l e a s p e c t s o f i m p l e m e n t a t i o n a n d a p p l i c a t i o n o f s u c h t e c h n i q u e s t o




n o n l i n e a r h y p e r b o l i c s y s t e m s s u c h a s t h e E u l e r e q u a t i o n s , t h e r e a d e r i s r e f e r r e d t o

t h e l i t e r a t u r e o n t h i s s u b j e c t .

1 1 . 4 . 1 F l u x - V e c t o r S p l i t t i n g

R e c a l l f r o m S e c t i o n 2 . 5 t h a t a l i n e a r , c o n s t a n t - c o e c i e n t , h y p e r b o l i c s y s t e m o f p a r t i a l

d i e r e n t i a l e q u a t i o n s g i v e n b y

@ u

@ t

+

@ f

@ x

=

@ u

@ t

+ A

@ u

@ x

= 0 ( 1 1 . 1 4 )

c a n b e d e c o u p l e d i n t o c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s o f t h e f o r m

@ w

i

@ t

+

i

@ w

i

@ x

= 0 ( 1 1 . 1 5 )

w h e r e t h e w a v e s p e e d s ,

i

, a r e t h e e i g e n v a l u e s o f t h e J a c o b i a n m a t r i x , A , a n d t h e

w

i

' s a r e t h e c h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e s . I n o r d e r t o a p p l y a o n e - s i d e d ( o r b i a s e d ) s p a t i a l

d i e r e n c i n g s c h e m e , w e n e e d t o a p p l y a b a c k w a r d d i e r e n c e i f t h e w a v e s p e e d ,

i

, i s

p o s i t i v e , a n d a f o r w a r d d i e r e n c e i f t h e w a v e s p e e d i s n e g a t i v e . T o a c c o m p l i s h t h i s ,

l e t u s s p l i t t h e m a t r i x o f e i g e n v a l u e s , , i n t o t w o c o m p o n e n t s s u c h t h a t

=

+

+

;

( 1 1 . 1 6 )

w h e r e

+

=

+ j j

2

;

=

; j j

2

( 1 1 . 1 7 )

W i t h t h e s e d e n i t i o n s ,

+

c o n t a i n s t h e p o s i t i v e e i g e n v a l u e s a n d

;

c o n t a i n s t h e n e g -

a t i v e e i g e n v a l u e s . W e c a n n o w r e w r i t e t h e s y s t e m i n t e r m s o f c h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e s

a s

@ w

@ t

+

@ w

@ x

=

@ w

@ t

+

+

@ w

@ x

+

;

@ w

@ x

= 0 ( 1 1 . 1 8 )

T h e s p a t i a l t e r m s h a v e b e e n s p l i t i n t o t w o c o m p o n e n t s a c c o r d i n g t o t h e s i g n o f t h e

w a v e s p e e d s . W e c a n u s e b a c k w a r d d i e r e n c i n g f o r t h e

+

@ w

@ x

t e r m a n d f o r w a r d

d i e r e n c i n g f o r t h e

;

@ w

@ x

t e r m . P r e m u l t i p l y i n g b y X a n d i n s e r t i n g t h e p r o d u c t

X

; 1

X i n t h e s p a t i a l t e r m s g i v e s

@ X w

@ t

+

@ X

+

X

; 1

X w

@ x

+

@ X

;

X

; 1

X w

@ x

= 0 ( 1 1 . 1 9 )



1 1 . 4 . U P W I N D S C H E M E S 2 1 1

W i t h t h e d e n i t i o n s

2

A

+

= X

+

X

; 1

A

;

= X

;

X

; 1

( 1 1 . 2 0 )

a n d r e c a l l i n g t h a t u = X w , w e o b t a i n

@ u

@ t

+

@ A

+

u

@ x

+

@ A

;

u

@ x

= 0 ( 1 1 . 2 1 )

F i n a l l y t h e s p l i t u x v e c t o r s a r e d e n e d a s

f

+

= A

+

u f

;

= A

;

u ( 1 1 . 2 2 )

a n d w e c a n w r i t e

@ u

@ t

+

@ f

+

@ x

+

@ f

;

@ x

= 0 ( 1 1 . 2 3 )

I n t h e l i n e a r c a s e , t h e d e n i t i o n o f t h e s p l i t u x e s f o l l o w s d i r e c t l y f r o m t h e d e n i -

t i o n o f t h e u x , f = A u . F o r t h e E u l e r e q u a t i o n s , f i s a l s o e q u a l t o A u a s a r e s u l t o f

t h e i r h o m o g e n e o u s p r o p e r t y , a s d i s c u s s e d i n A p p e n d i x C . N o t e t h a t

f = f

+

+ f

;

( 1 1 . 2 4 )

T h u s b y a p p l y i n g b a c k w a r d d i e r e n c e s t o t h e f

+

t e r m a n d f o r w a r d d i e r e n c e s t o t h e

f

;

t e r m , w e a r e i n e e c t s o l v i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s i n t h e d e s i r e d m a n n e r .

T h i s a p p r o a c h i s k n o w n a s u x - v e c t o r s p l i t t i n g .

W h e n a n i m p l i c i t t i m e - m a r c h i n g m e t h o d i s u s e d , t h e J a c o b i a n s o f t h e s p l i t u x

v e c t o r s a r e r e q u i r e d . I n t h e n o n l i n e a r c a s e ,

@ f

+

@ u

6= A

+

@ f

;

@ u

6= A

;

( 1 1 . 2 5 )

T h e r e f o r e , o n e m u s t n d a n d u s e t h e n e w J a c o b i a n s g i v e n b y

A

+ +

=

@ f

+

@ u

A

; ;

=

@ f

;

@ u

( 1 1 . 2 6 )

F o r t h e E u l e r e q u a t i o n s , A

+ +

h a s e i g e n v a l u e s w h i c h a r e a l l p o s i t i v e , a n d A

; ;

h a s a l l

n e g a t i v e e i g e n v a l u e s .

2

W i t h t h e s e d e n i t i o n s A

+

h a s a l l p o s i t i v e e i g e n v a l u e s , a n d A

;

h a s a l l n e g a t i v e e i g e n v a l u e s .




1 1 . 4 . 2 F l u x - D i e r e n c e S p l i t t i n g

A n o t h e r a p p r o a c h , m o r e s u i t e d t o n i t e - v o l u m e m e t h o d s , i s k n o w n a s u x - d i e r e n c e

s p l i t t i n g . I n a n i t e - v o l u m e m e t h o d , t h e u x e s m u s t b e e v a l u a t e d a t c e l l b o u n d -

a r i e s . W e a g a i n b e g i n w i t h t h e d i a g o n a l i z e d f o r m o f t h e l i n e a r , c o n s t a n t - c o e c i e n t ,

h y p e r b o l i c s y s t e m o f e q u a t i o n s

@ w

@ t

+

@ w

@ x

= 0 ( 1 1 . 2 7 )

T h e u x v e c t o r a s s o c i a t e d w i t h t h i s f o r m i s g = w . N o w , a s i n C h a p t e r 5 , w e

c o n s i d e r t h e n u m e r i c a l u x a t t h e i n t e r f a c e b e t w e e n n o d e s j a n d j + 1 , ^ g

j + 1 = 2

, a s a

f u n c t i o n o f t h e s t a t e s t o t h e l e f t a n d r i g h t o f t h e i n t e r f a c e , w

L

a n d w

R

, r e s p e c t i v e l y .

T h e c e n t e r e d a p p r o x i m a t i o n t o g

j + 1 = 2

, w h i c h i s n o n d i s s i p a t i v e , i s g i v e n b y

g

j + 1 = 2

=

1

2

( g ( w

L

) + g ( w

R

) ) ( 1 1 . 2 8 )

I n o r d e r t o o b t a i n a o n e - s i d e d u p w i n d a p p r o x i m a t i o n , w e r e q u i r e

( g

i

)

j + 1 = 2

=

(

i

( w

i

)

L

i f

i

> 0

i

( w

i

)

R

i f

i

< 0

( 1 1 . 2 9 )

w h e r e t h e s u b s c r i p t i i n d i c a t e s i n d i v i d u a l c o m p o n e n t s o f w a n d g . T h i s i s a c h i e v e d

w i t h

( g

i

)

j + 1 = 2

=

1

2

i

( w

i

)

L

+ ( w

i

)

R

] +

1

2

j

i

j ( w

i

)

L

; ( w

i

)

R

] ( 1 1 . 3 0 )

o r

g

j + 1 = 2

=

1

2

( w

L

+ w

R

) +

1

2

j j ( w

L

; w

R

) ( 1 1 . 3 1 )

N o w , a s i n E q . 1 1 . 1 9 , w e p r e m u l t i p l y b y X t o r e t u r n t o t h e o r i g i n a l v a r i a b l e s a n d

i n s e r t t h e p r o d u c t X

; 1

X a f t e r a n d j j t o o b t a i n

X g

j + 1 = 2

=

1

2

X X

; 1

X ( w

L

+ w

R

) +

1

2

X

j

j X

; 1

X ( w

L

; w

R

) ( 1 1 . 3 2 )

a n d t h u s

f

j + 1 = 2

=

1

2

( f

L

+ f

R

) +

1

2

j A j ( u

L

; u

R

) ( 1 1 . 3 3 )

w h e r e

j A j = X j j X

; 1

( 1 1 . 3 4 )



1 1 . 5 . A R T I F I C I A L D I S S I P A T I O N 2 1 3

a n d w e h a v e a l s o u s e d t h e r e l a t i o n s f = X g , u = X w , a n d A = X X

; 1

.

I n t h e l i n e a r , c o n s t a n t - c o e c i e n t c a s e , t h i s l e a d s t o a n u p w i n d o p e r a t o r w h i c h i s

i d e n t i c a l t o t h a t o b t a i n e d u s i n g u x - v e c t o r s p l i t t i n g . H o w e v e r , i n t h e n o n l i n e a r c a s e ,

t h e r e i s s o m e a m b i g u i t y r e g a r d i n g t h e d e n i t i o n o f j A j a t t h e c e l l i n t e r f a c e j + 1 = 2 .

I n o r d e r t o r e s o l v e t h i s , c o n s i d e r a s i t u a t i o n i n w h i c h t h e e i g e n v a l u e s o f A a r e a l l o f

t h e s a m e s i g n . I n t h i s c a s e , w e w o u l d l i k e o u r d e n i t i o n o f

f

j + 1 = 2

t o s a t i s f y

f

j + 1 = 2

=

(

f

L

i f a l l

i

0

s > 0

f

R

i f a l l

i

0

s < 0

( 1 1 . 3 5 )

g i v i n g p u r e u p w i n d i n g . I f t h e e i g e n v a l u e s o f A a r e a l l p o s i t i v e , j A j = A i f t h e y a r e

a l l n e g a t i v e , j A j = ; A . H e n c e s a t i s f a c t i o n o f E q . 1 1 . 3 5 i s o b t a i n e d b y t h e d e n i t i o n

f

j + 1 = 2

=

1

2

( f

L

+ f

R

) +

1

2

j A

j + 1 = 2

j ( u

L

; u

R

) ( 1 1 . 3 6 )

i f A

j + 1 = 2

s a t i s e s

f

L

; f

R

= A

j + 1 = 2

( u

L

; u

R

) ( 1 1 . 3 7 )

F o r t h e E u l e r e q u a t i o n s f o r a p e r f e c t g a s , E q . 1 1 . 3 7 i s s a t i s e d b y t h e u x J a c o b i a n

e v a l u a t e d a t t h e R o e - a v e r a g e s t a t e g i v e n b y

u

j + 1 = 2

=

p

L

u

L

+

p

R

u

R

p

L

+

p

R

( 1 1 . 3 8 )

H

j + 1 = 2

=

p

L

H

L

+

p

R

H

R

p

L

+

p

R

( 1 1 . 3 9 )

w h e r e u a n d H = ( e + p ) = a r e t h e v e l o c i t y a n d t h e t o t a l e n t h a l p y p e r u n i t m a s s ,

r e s p e c t i v e l y .

3

1 1 . 5 A r t i c i a l D i s s i p a t i o n

W e h a v e s e e n t h a t n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n c a n b e i n t r o d u c e d b y u s i n g o n e - s i d e d d i f -

f e r e n c i n g s c h e m e s t o g e t h e r w i t h s o m e f o r m o f u x s p l i t t i n g . W e h a v e a l s o s e e n t h a t

s u c h d i s s i p a t i o n c a n b e i n t r o d u c e d b y a d d i n g a s y m m e t r i c c o m p o n e n t t o a n a n t i s y m -

m e t r i c ( d i s s i p a t i o n - f r e e ) o p e r a t o r . T h u s w e c a n g e n e r a l i z e t h e c o n c e p t o f u p w i n d i n g

t o i n c l u d e a n y s c h e m e i n w h i c h t h e s y m m e t r i c p o r t i o n o f t h e o p e r a t o r i s t r e a t e d i n

s u c h a m a n n e r a s t o b e t r u l y d i s s i p a t i v e .

3

N o t e t h a t t h e u x J a c o b i a n c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f u a n d H o n l y s e e p r o b l e m 6 a t t h e e n d

o f t h i s c h a p t e r .




F o r e x a m p l e , l e t

(

a

x

u )

j

=

u

j + 1

; u

j ; 1

2 x

(

s

x

u )

j

=

; u

j + 1

+ 2 u

j

; u

j ; 1

2 x

( 1 1 . 4 0 )

A p p l y i n g

x

=

a

x

+

s

x

t o t h e s p a t i a l d e r i v a t i v e i n E q . 1 1 . 1 5 i s s t a b l e i f

i

0 a n d

u n s t a b l e i f

i

< 0 . S i m i l a r l y , a p p l y i n g

x

=

a

x

;

s

x

i s s t a b l e i f

i

0 a n d u n s t a b l e i f

i

> 0 . T h e a p p r o p r i a t e i m p l e m e n t a t i o n i s t h u s

i

x

=

i

a

x

+ j

i

j

s

x

( 1 1 . 4 1 )

E x t e n s i o n t o a h y p e r b o l i c s y s t e m b y a p p l y i n g t h e a b o v e a p p r o a c h t o t h e c h a r a c t e r i s t i c

v a r i a b l e s , a s i n t h e p r e v i o u s t w o s e c t i o n s , g i v e s

x

( A u ) =

a

x

( A u ) +

s

x

( j A j u ) ( 1 1 . 4 2 )

o r

x

f =

a

x

f +

s

x

( j A j u ) ( 1 1 . 4 3 )

w h e r e j A j i s d e n e d i n E q . 1 1 . 3 4 . T h e s e c o n d s p a t i a l t e r m i s k n o w n a s a r t i c i a l

d i s s i p a t i o n . I t i s a l s o s o m e t i m e s r e f e r r e d t o a s a r t i c i a l d i u s i o n o r a r t i c i a l v i s c o s i t y .

W i t h a p p r o p r i a t e c h o i c e s o f

a

x

a n d

s

x

, t h i s a p p r o a c h c a n b e r e l a t e d t o t h e u p w i n d

a p p r o a c h . T h i s i s p a r t i c u l a r l y e v i d e n t f r o m a c o m p a r i s o n o f E q s . 1 1 . 3 6 a n d 1 1 . 4 3 .

I t i s c o m m o n t o u s e t h e f o l l o w i n g o p e r a t o r f o r

s

x

(

s

x

u )

j

=

x

( u

j ; 2

; 4 u

j ; 1

+ 6 u

j

; 4 u

j + 1

+ u

j + 2

) ( 1 1 . 4 4 )

w h e r e i s a p r o b l e m - d e p e n d e n t c o e c i e n t . T h i s s y m m e t r i c o p e r a t o r a p p r o x i m a t e s

x

3

u

x x x x

a n d t h u s i n t r o d u c e s a t h i r d - o r d e r d i s s i p a t i v e t e r m . W i t h a n a p p r o p r i a t e

v a l u e o f , t h i s o f t e n p r o v i d e s s u c i e n t d a m p i n g o f h i g h f r e q u e n c y m o d e s w i t h o u t

g r e a t l y a e c t i n g t h e l o w f r e q u e n c y m o d e s . F o r d e t a i l s o f h o w t h i s c a n b e i m p l e m e n t e d

f o r n o n l i n e a r h y p e r b o l i c s y s t e m s , t h e r e a d e r s h o u l d c o n s u l t t h e l i t e r a t u r e . A m o r e

c o m p l i c a t e d t r e a t m e n t o f t h e n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n i s a l s o r e q u i r e d n e a r s h o c k w a v e s

a n d o t h e r d i s c o n t i n u i t i e s , b u t i s b e y o n d t h e s c o p e o f t h i s b o o k .

1 1 . 6 P r o b l e m s

1 . A s e c o n d - o r d e r b a c k w a r d d i e r e n c e a p p r o x i m a t i o n t o a 1 s t d e r i v a t i v e i s g i v e n

a s a p o i n t o p e r a t o r b y

(

x

u )

j

=

1

2 x

( u

j ; 2

; 4 u

j ; 1

+ 3 u

j

)



1 1 . 6 . P R O B L E M S 2 1 5

( a ) E x p r e s s t h i s o p e r a t o r i n b a n d e d m a t r i x f o r m ( f o r p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i -

t i o n s ) , t h e n d e r i v e t h e s y m m e t r i c a n d s k e w - s y m m e t r i c m a t r i c e s t h a t h a v e

t h e m a t r i x o p e r a t o r a s t h e i r s u m . ( S e e A p p e n d i x A . 3 t o s e e h o w t o c o n -

s t r u c t t h e s y m m e t r i c a n d s k e w - s y m m e t r i c c o m p o n e n t s o f a m a t r i x . )

( b ) U s i n g a T a y l o r t a b l e , n d t h e d e r i v a t i v e w h i c h i s a p p r o x i m a t e d b y t h e

c o r r e s p o n d i n g s y m m e t r i c a n d s k e w - s y m m e t r i c o p e r a t o r s a n d t h e l e a d i n g

e r r o r t e r m f o r e a c h .

2 . F i n d t h e m o d i e d w a v e n u m b e r f o r t h e r s t - o r d e r b a c k w a r d d i e r e n c e o p e r a t o r .

P l o t t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f

x v s . x f o r 0 x . U s i n g

F o u r i e r a n a l y s i s a s i n S e c t i o n 6 . 6 . 2 , n d j j f o r t h e c o m b i n a t i o n o f t h i s s p a t i a l

o p e r a t o r w i t h 4 t h - o r d e r R u n g e - K u t t a t i m e m a r c h i n g a t a C o u r a n t n u m b e r o f

u n i t y a n d p l o t v s . x f o r 0 x .

3 . F i n d t h e m o d i e d w a v e n u m b e r f o r t h e o p e r a t o r g i v e n i n E q . 1 1 . 6 . P l o t t h e r e a l

a n d i m a g i n a r y p a r t s o f

x v s . x f o r 0

x

. U s i n g F o u r i e r a n a l y s i s

a s i n S e c t i o n 6 . 6 . 2 , n d j j f o r t h e c o m b i n a t i o n o f t h i s s p a t i a l o p e r a t o r w i t h

4 t h - o r d e r R u n g e - K u t t a t i m e m a r c h i n g a t a C o u r a n t n u m b e r o f u n i t y a n d p l o t

v s . x f o r 0 x .

4 . C o n s i d e r t h e s p a t i a l o p e r a t o r o b t a i n e d b y c o m b i n i n g s e c o n d - o r d e r c e n t e r e d d i f -

f e r e n c e s w i t h t h e s y m m e t r i c o p e r a t o r g i v e n i n E q . 1 1 . 4 4 . F i n d t h e m o d i e d

w a v e n u m b e r f o r t h i s o p e r a t o r w i t h = 0 1 = 1 2 1 = 2 4 , a n d 1 = 4 8 . P l o t t h e r e a l

a n d i m a g i n a r y p a r t s o f

x v s . x f o r 0 x . U s i n g F o u r i e r a n a l y s i s

a s i n S e c t i o n 6 . 6 . 2 , n d j j f o r t h e c o m b i n a t i o n o f t h i s s p a t i a l o p e r a t o r w i t h

4 t h - o r d e r R u n g e - K u t t a t i m e m a r c h i n g a t a C o u r a n t n u m b e r o f u n i t y a n d p l o t

v s . x f o r 0 x .

5 . C o n s i d e r t h e h y p e r b o l i c s y s t e m d e r i v e d i n p r o b l e m 8 o f C h a p t e r 2 . F i n d t h e

m a t r i x j A j . F o r m t h e p l u s - m i n u s s p l i t u x v e c t o r s a s i n S e c t i o n 1 1 . 4 . 1 .

6 . S h o w t h a t t h e u x J a c o b i a n f o r t h e 1 - D E u l e r e q u a t i o n s c a n b e w r i t t e n i n t e r m s

o f u a n d H . S h o w t h a t t h e u s e o f t h e R o e a v e r a g e s t a t e g i v e n i n E q s . 1 1 . 3 8 a n d

1 1 . 3 9 l e a d s t o s a t i s f a c t i o n o f E q . 1 1 . 3 7 .






C h a p t e r 1 2

S P L I T A N D F A C T O R E D F O R M S

I n t h e n e x t t w o c h a p t e r s , w e p r e s e n t a n d a n a l y z e s p l i t a n d f a c t o r e d a l g o r i t h m s . T h i s

g i v e s t h e r e a d e r a f e e l f o r s o m e o f t h e m o d i c a t i o n s w h i c h c a n b e m a d e t o t h e b a s i c

a l g o r i t h m s i n o r d e r t o o b t a i n e c i e n t s o l v e r s f o r p r a c t i c a l m u l t i d i m e n s i o n a l a p p l i c a -

t i o n s , a n d a m e a n s f o r a n a l y z i n g s u c h m o d i e d f o r m s .

1 2 . 1 T h e C o n c e p t

F a c t o r e d f o r m s o f n u m e r i c a l o p e r a t o r s a r e u s e d e x t e n s i v e l y i n c o n s t r u c t i n g a n d a p -

p l y i n g n u m e r i c a l m e t h o d s t o p r o b l e m s i n u i d m e c h a n i c s . T h e y a r e t h e b a s i s f o r a

w i d e v a r i e t y o f m e t h o d s v a r i o u s l y k n o w n b y t h e l a b e l s \ h y b r i d " , \ t i m e s p l i t " , a n d

\ f r a c t i o n a l s t e p " . F a c t o r e d f o r m s a r e e s p e c i a l l y u s e f u l f o r t h e d e r i v a t i o n o f p r a c t i c a l

a l g o r i t h m s t h a t u s e i m p l i c i t m e t h o d s . W h e n w e a p p r o a c h n u m e r i c a l a n a l y s i s i n t h e

l i g h t o f m a t r i x d e r i v a t i v e o p e r a t o r s , t h e c o n c e p t o f f a c t o r i n g i s q u i t e s i m p l e t o p r e s e n t

a n d g r a s p . L e t u s s t a r t w i t h t h e f o l l o w i n g o b s e r v a t i o n s :

1 . M a t r i c e s c a n b e s p l i t i n q u i t e a r b i t r a r y w a y s .

2 . A d v a n c i n g t o t h e n e x t t i m e l e v e l a l w a y s r e q u i r e s s o m e r e f e r e n c e t o a p r e v i o u s

o n e .

3 . T i m e m a r c h i n g m e t h o d s a r e v a l i d o n l y t o s o m e o r d e r o f a c c u r a c y i n t h e s t e p

s i z e , h .

N o w r e c a l l t h e g e n e r i c O D E ' s p r o d u c e d b y t h e s e m i - d i s c r e t e a p p r o a c h

d

~

u

d t

= A

~

u ;

~

f ( 1 2 . 1 )

2 1 7



2 1 8 C H A P T E R 1 2 . S P L I T A N D F A C T O R E D F O R M S

a n d c o n s i d e r t h e a b o v e o b s e r v a t i o n s . F r o m o b s e r v a t i o n 1 ( a r b i t r a r y s p l i t t i n g o f A ) :

d

~

u

d t

= A

1

+ A

2

]

~

u ;

~

f ( 1 2 . 2 )

w h e r e A = A

1

+ A

2

] b u t A

1

a n d A

2

a r e n o t u n i q u e . F o r t h e t i m e m a r c h l e t u s c h o o s e

t h e s i m p l e , r s t - o r d e r ,

1

e x p l i c i t E u l e r m e t h o d . T h e n , f r o m o b s e r v a t i o n 2 ( n e w d a t a

~

u

n + 1

i n t e r m s o f o l d

~

u

n

) :

~

u

n + 1

= I + h A

1

+ h A

2

]

~

u

n

; h

~

f + O ( h

2

) ( 1 2 . 3 )

o r i t s e q u i v a l e n t

~

u

n + 1

=

h

I + h A

1

] I + h A

2

] ; h

2

A

1

A

2

i

~

u

n

; h

~

f + O ( h

2

)

F i n a l l y , f r o m o b s e r v a t i o n 3 ( a l l o w i n g u s t o d r o p h i g h e r o r d e r t e r m s ; h

2

A

1

A

2

~

u

n

) :

~

u

n + 1

= I + h A

1

] I + h A

2

]

~

u

n

; h

~

f + O ( h

2

) ( 1 2 . 4 )

N o t i c e t h a t E q s . 1 2 . 3 a n d 1 2 . 4 h a v e t h e s a m e f o r m a l o r d e r o f a c c u r a c y a n d , i n

t h i s s e n s e , n e i t h e r o n e i s t o b e p r e f e r r e d o v e r t h e o t h e r . H o w e v e r , t h e i r n u m e r i c a l

s t a b i l i t y c a n b e q u i t e d i e r e n t , a n d t e c h n i q u e s t o c a r r y o u t t h e i r n u m e r i c a l e v a l u a t i o n

c a n h a v e a r i t h m e t i c o p e r a t i o n c o u n t s t h a t v a r y b y o r d e r s o f m a g n i t u d e . B o t h o f t h e s e

c o n s i d e r a t i o n s a r e i n v e s t i g a t e d l a t e r . H e r e w e s e e k o n l y t o a p p l y t o s o m e s i m p l e c a s e s

t h e c o n c e p t o f f a c t o r i n g .

1 2 . 2 F a c t o r i n g P h y s i c a l R e p r e s e n t a t i o n s | T i m e

S p l i t t i n g

S u p p o s e w e h a v e a P D E t h a t r e p r e s e n t s b o t h t h e p r o c e s s e s o f c o n v e c t i o n a n d d i s s i -

p a t i o n . T h e s e m i - d i s c r e t e a p p r o a c h t o i t s s o l u t i o n m i g h t b e p u t i n t h e f o r m

d

~

u

d t

= A

c

~

u + A

d

~

u +

~

( b c ) ( 1 2 . 5 )

w h e r e A

c

a n d A

d

a r e m a t r i c e s r e p r e s e n t i n g t h e c o n v e c t i o n a n d d i s s i p a t i o n t e r m s ,

r e s p e c t i v e l y a n d t h e i r s u m f o r m s t h e A m a t r i x w e h a v e c o n s i d e r e d i n t h e p r e v i o u s

s e c t i o n s . C h o o s e a g a i n t h e e x p l i c i t E u l e r t i m e m a r c h s o t h a t

~

u

n + 1

= I + h A

d

+ h A

c

]

~

u

n

+ h

~

( b c ) + O ( h

2

) ( 1 2 . 6 )

1

S e c o n d - o r d e r t i m e - m a r c h i n g m e t h o d s a r e c o n s i d e r e d l a t e r .



1 2 . 2 . F A C T O R I N G P H Y S I C A L R E P R E S E N T A T I O N S | T I M E S P L I T T I N G 2 1 9

N o w c o n s i d e r t h e f a c t o r e d f o r m

~

u

n + 1

= I + h A

d

]

I + h A

c

]

~

u

n

+ h

~

( b c )

= I + h A

d

+ h A

c

]

~

u

n

+ h

~

( b c )

| { z }

O r i g i n a l U n f a c t o r e d T e r m s

+ h

2

A

d

A

c

~

u

n

+

~

( b c )

| { z }

H i g h e r O r d e r T e r m s

+ O ( h

2

) ( 1 2 . 7 )

a n d w e s e e t h a t E q . 1 2 . 7 a n d t h e o r i g i n a l u n f a c t o r e d f o r m E q . 1 2 . 6 h a v e i d e n t i c a l

o r d e r s o f a c c u r a c y i n t h e t i m e a p p r o x i m a t i o n . T h e r e f o r e , o n t h i s b a s i s , t h e i r s e l e c t i o n

i s a r b i t r a r y . I n p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s

2

e q u a t i o n s s u c h a s 1 2 . 7 a r e o f t e n a p p l i e d i n a

p r e d i c t o r - c o r r e c t o r s e q u e n c e . I n t h i s c a s e o n e c o u l d w r i t e

~ u

n + 1

= I + h A

c

]

~

u

n

+ h

~

( b c )

~

u

n + 1

= I + h A

d

] ~ u

n + 1

( 1 2 . 8 )

F a c t o r i n g c a n a l s o b e u s e f u l t o f o r m s p l i t c o m b i n a t i o n s o f i m p l i c i t a n d e x p l i c i t

t e c h n i q u e s . F o r e x a m p l e , a n o t h e r w a y t o a p p r o x i m a t e E q . 1 2 . 6 w i t h t h e s a m e o r d e r

o f a c c u r a c y i s g i v e n b y t h e e x p r e s s i o n

~

u

n + 1

= I ; h A

d

]

; 1

I + h A

c

]

~

u

n

+ h

~

( b c )

= I + h A

d

+ h A

c

]

~

u

n

+ h

~

( b c )

| { z }

O r i g i n a l U n f a c t o r e d T e r m s

+ O ( h

2

) ( 1 2 . 9 )

w h e r e i n t h i s a p p r o x i m a t i o n w e h a v e u s e d t h e f a c t t h a t

I ; h A

d

]

; 1

= I + h A

d

+ h

2

A

2

d

+

i f h j j A

d

j j < 1 , w h e r e j j A

d

j j i s s o m e n o r m o f A

d

] . T h i s t i m e a p r e d i c t o r - c o r r e c t o r

i n t e r p r e t a t i o n l e a d s t o t h e s e q u e n c e

~ u

n + 1

= I + h A

c

]

~

u

n

+ h

~

( b c )

I ; h A

d

]

~

u

n + 1

= ~ u

n + 1

( 1 2 . 1 0 )

T h e c o n v e c t i o n o p e r a t o r i s a p p l i e d e x p l i c i t l y , a s b e f o r e , b u t t h e d i u s i o n o p e r a t o r i s

n o w i m p l i c i t , r e q u i r i n g a t r i d i a g o n a l s o l v e r i f t h e d i u s i o n t e r m i s c e n t r a l d i e r e n c e d .

S i n c e n u m e r i c a l s t i n e s s i s g e n e r a l l y m u c h m o r e s e v e r e f o r t h e d i u s i o n p r o c e s s , t h i s

f a c t o r e d f o r m w o u l d a p p e a r t o b e s u p e r i o r t o t h a t p r o v i d e d b y E q . 1 2 . 8 . H o w e v e r ,

t h e i m p o r t a n t a s p e c t o f s t a b i l i t y h a s y e t t o b e d i s c u s s e d .

2

W e d o n o t s u g g e s t t h a t t h i s p a r t i c u l a r m e t h o d i s s u i t a b l e f o r u s e . W e h a v e y e t t o d e t e r m i n e i t s

s t a b i l i t y , a n d a r s t - o r d e r t i m e - m a r c h m e t h o d i s u s u a l l y u n s a t i s f a c t o r y .




W e s h o u l d m e n t i o n h e r e t h a t E q . 1 2 . 9 c a n b e d e r i v e d f o r a d i e r e n t p o i n t o f v i e w

b y w r i t i n g E q . 1 2 . 6 i n t h e f o r m

u

n + 1

; u

n

h

= A

c

u

n

+ A

d

u

n + 1

+

~

( b c ) + O ( h

2

)

T h e n

I ; h A

d

] u

n + 1

= I + h A

c

] u

n

+ h

~

( b c )

w h i c h i s i d e n t i c a l t o E q . 1 2 . 1 0 .

1 2 . 3 F a c t o r i n g S p a c e M a t r i x O p e r a t o r s i n 2 { D

1 2 . 3 . 1 M e s h I n d e x i n g C o n v e n t i o n

F a c t o r i n g i s w i d e l y u s e d i n c o d e s d e s i g n e d f o r t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f e q u a t i o n s

g o v e r n i n g u n s t e a d y t w o - a n d t h r e e - d i m e n s i o n a l o w s . L e t u s s t u d y t h e b a s i c c o n c e p t

o f f a c t o r i n g b y i n s p e c t i n g i t s u s e o n t h e l i n e a r 2 - D s c a l a r P D E t h a t m o d e l s d i u s i o n :

@ u

@ t

=

@

2

u

@ x

2

+

@

2

u

@ y

2

( 1 2 . 1 1 )

W e b e g i n b y r e d u c i n g t h i s P D E t o a c o u p l e d s e t o f O D E ' s b y d i e r e n c i n g t h e s p a c e

d e r i v a t i v e s a n d i n s p e c t i n g t h e r e s u l t i n g m a t r i x o p e r a t o r .

A c l e a r d e s c r i p t i o n o f a m a t r i x n i t e - d i e r e n c e o p e r a t o r i n 2 - a n d 3 - D r e q u i r e s s o m e

r e f e r e n c e t o a m e s h . W e c h o o s e t h e 3 4 p o i n t m e s h

3

s h o w n i n t h e S k e t c h 1 2 . 1 2 .

I n t h i s e x a m p l e M

x

, t h e n u m b e r o f ( i n t e r i o r ) x p o i n t s , i s 4 a n d M

y

, t h e n u m b e r o f

( i n t e r i o r ) y p o i n t s i s 3 . T h e n u m b e r s 1 1 1 2 4 3 r e p r e s e n t t h e l o c a t i o n i n t h e

m e s h o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e b e a r i n g t h a t i n d e x . T h u s u

3 2

r e p r e s e n t s t h e v a l u e o f

u a t j = 3 a n d k = 2 .

M

y

1 3 2 3 3 3 4 3

k 1 2 2 2 3 2 4 2

1 1 1 2 1 3 1 4 1

1 j M

x

M e s h i n d e x i n g i n 2 - D .

( 1 2 . 1 2 )

3

T h i s c o u l d a l s o b e c a l l e d a 5 6 p o i n t m e s h i f t h e b o u n d a r y p o i n t s ( l a b e l e d i n t h e s k e t c h )

w e r e i n c l u d e d , b u t i n t h e s e n o t e s w e d e s c r i b e t h e s i z e o f a m e s h b y t h e n u m b e r o f i n t e r i o r p o i n t s .



1 2 . 3 . F A C T O R I N G S P A C E M A T R I X O P E R A T O R S I N 2 { D 2 2 1

1 2 . 3 . 2 D a t a B a s e s a n d S p a c e V e c t o r s

T h e d i m e n s i o n e d a r r a y i n a c o m p u t e r c o d e t h a t a l l o t s t h e s t o r a g e l o c a t i o n s o f t h e

d e p e n d e n t v a r i a b l e ( s ) i s r e f e r r e d t o a s a d a t a - b a s e . T h e r e a r e m a n y w a y s t o l a y o u t

a d a t a - b a s e . O f t h e s e , w e c o n s i d e r o n l y t w o : ( 1 ) , c o n s e c u t i v e l y a l o n g r o w s t h a t a r e

t h e m s e l v e s c o n s e c u t i v e f r o m k = 1 t o M

y

, a n d ( 2 ) , c o n s e c u t i v e l y a l o n g c o l u m n s t h a t

a r e c o n s e c u t i v e f r o m j = 1 t o M

x

. W e r e f e r t o e a c h r o w o r c o l u m n g r o u p a s a

s p a c e v e c t o r ( t h e y r e p r e s e n t d a t a a l o n g l i n e s t h a t a r e c o n t i n u o u s i n s p a c e ) a n d l a b e l

t h e i r s u m w i t h t h e s y m b o l U . I n p a r t i c u l a r , ( 1 ) a n d ( 2 ) a b o v e a r e r e f e r r e d t o a s x -

v e c t o r s a n d y - v e c t o r s , r e s p e c t i v e l y . T h e s y m b o l U b y i t s e l f i s n o t e n o u g h t o i d e n t i f y

t h e s t r u c t u r e o f t h e d a t a - b a s e a n d i s u s e d o n l y w h e n t h e s t r u c t u r e i s i m m a t e r i a l o r

u n d e r s t o o d .

T o b e s p e c i c a b o u t t h e s t r u c t u r e , w e l a b e l a d a t a { b a s e c o m p o s e d o f x - v e c t o r s w i t h

U

( x )

, a n d o n e c o m p o s e d o f y - v e c t o r s w i t h U

( y )

. E x a m p l e s o f t h e o r d e r o f i n d e x i n g

f o r t h e s e s p a c e v e c t o r s a r e g i v e n i n E q . 1 2 . 1 6 p a r t a a n d b .

1 2 . 3 . 3 D a t a B a s e P e r m u t a t i o n s

T h e t w o v e c t o r s ( a r r a y s ) a r e r e l a t e d b y a p e r m u t a t i o n m a t r i x P s u c h t h a t

U

( x )

= P

x y

U

( y )

a n d U

( y )

= P

y x

U

( x )

( 1 2 . 1 3 )

w h e r e

P

y x

= P

T

x y

= P

; 1

x y

N o w c o n s i d e r t h e s t r u c t u r e o f a m a t r i x n i t e - d i e r e n c e o p e r a t o r r e p r e s e n t i n g 3 -

p o i n t c e n t r a l - d i e r e n c i n g s c h e m e s f o r b o t h s p a c e d e r i v a t i v e s i n t w o d i m e n s i o n s . W h e n

t h e m a t r i x i s m u l t i p l y i n g a s p a c e v e c t o r U , t h e u s u a l ( b u t a m b i g u o u s ) r e p r e s e n t a t i o n

i s g i v e n b y A

x + y

. I n t h i s n o t a t i o n t h e O D E f o r m o f E q . 1 2 . 1 1 c a n b e w r i t t e n

4

d U

d t

= A

x + y

U +

~

( b c ) ( 1 2 . 1 4 )

I f i t i s i m p o r t a n t t o b e s p e c i c a b o u t t h e d a t a - b a s e s t r u c t u r e , w e u s e t h e n o t a t i o n

A

( x )

x + y

o r A

( y )

x + y

, d e p e n d i n g o n t h e d a t a { b a s e c h o s e n f o r t h e U i t m u l t i p l i e s . E x a m p l e s

a r e i n E q . 1 2 . 1 6 p a r t a a n d b . N o t i c e t h a t t h e m a t r i c e s a r e n o t t h e s a m e a l t h o u g h

t h e y r e p r e s e n t t h e s a m e d e r i v a t i v e o p e r a t i o n . T h e i r s t r u c t u r e s a r e s i m i l a r , h o w e v e r ,

a n d t h e y a r e r e l a t e d b y t h e s a m e p e r m u t a t i o n m a t r i x t h a t r e l a t e s U

( x )

t o U

( y )

. T h u s

A

( x )

x + y

= P

x y

A

( y )

x + y

P

y x

( 1 2 . 1 5 )

4

N o t i c e t h a t A

x + y

a n d U , w h i c h a r e n o t a t i o n s u s e d i n t h e s p e c i a l c a s e o f s p a c e v e c t o r s , a r e

s u b s e t s o f A a n d

~

u , u s e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s .




A

( x )

x + y

U

( x )

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

x j o j

x x j o j

x x j o j

x j o j

o j x j o

o j x x j o

o j x x j o

o j x j o

j o j x

j o j x x

j o j x x

j o j x

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

1 1

2 1

3 1

4 1

; ;

1 2

2 2

3 2

4 2

; ;

1 3

2 3

3 3

4 3

a : E l e m e n t s i n 2 - d i m e n s i o n a l , c e n t r a l - d i e r e n c e , m a t r i x

o p e r a t o r , A

x + y

, f o r 3 4 m e s h s h o w n i n S k e t c h 1 2 . 1 2 .

D a t a b a s e c o m p o s e d o f M

y

x { v e c t o r s s t o r e d i n U

( x )

.

E n t r i e s f o r x ! x , f o r y ! o , f o r b o t h ! .

A

( y )

x + y

U

( y )

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

o j x j j

o o j x j j

o j x j j

x j o j x j

x j o o j x j

x j o j x j

j x j o j x

j x j o o j x

j x j o j x

j j x j o

j j x j o o

j j x j o

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

1 1

1 2

1 3

; ;

2 1

2 2

2 3

; ;

3 1

3 2

3 3

; ;

4 1

4 2

4 3

b : E l e m e n t s i n 2 - d i m e n s i o n a l , c e n t r a l - d i e r e n c e , m a t r i x

o p e r a t o r , A

x + y

, f o r 3 4 m e s h s h o w n i n S k e t c h 1 2 . 1 2 .

D a t a b a s e c o m p o s e d o f M

x

y { v e c t o r s s t o r e d i n U

( y )

.

E n t r i e s f o r x ! x , f o r y ! o , f o r b o t h ! .

( 1 2 . 1 6 )




1 2 . 3 . 4 S p a c e S p l i t t i n g a n d F a c t o r i n g

W e a r e n o w p r e p a r e d t o d i s c u s s s p l i t t i n g i n t w o d i m e n s i o n s . I t s h o u l d b e c l e a r t h a t

t h e m a t r i x A

( x )

x + y

c a n b e s p l i t i n t o t w o m a t r i c e s s u c h t h a t

A

( x )

x + y

= A

( x )

x

+ A

( x )

y

( 1 2 . 1 7 )

w h e r e A

( x )

x

a n d A

( x )

y

a r e s h o w n i n E q . 1 2 . 2 2 . S i m i l a r i l y

A

( y )

x + y

= A

( y )

x

+ A

( y )

y

( 1 2 . 1 8 )

w h e r e t h e s p l i t m a t r i c e s a r e s h o w n i n E q . 1 2 . 2 3 .

T h e p e r m u t a t i o n r e l a t i o n a l s o h o l d s f o r t h e s p l i t m a t r i c e s s o

A

( x )

y

= P

x y

A

( y )

y

P

y x

a n d

A

( x )

x

= P

x y

A

( y )

x

P

y x

T h e s p l i t t i n g s i n E q s . 1 2 . 1 7 a n d 1 2 . 1 8 c a n b e c o m b i n e d w i t h f a c t o r i n g i n t h e

m a n n e r d e s c r i b e d i n S e c t i o n 1 2 . 2 . A s a n e x a m p l e ( r s t - o r d e r i n t i m e ) , a p p l y i n g t h e

i m p l i c i t E u l e r m e t h o d t o E q . 1 2 . 1 4 g i v e s

U

( x )

n + 1

= U

( x )

n

+ h

h

A

( x )

x

+ A

( x )

y

i

U

( x )

n + 1

+ h

~

( b c )

o r

h

I ; h A

( x )

x

; h A

( x )

y

i

U

( x )

n + 1

= U

( x )

n

+ h

~

( b c ) + O ( h

2

) ( 1 2 . 1 9 )

A s i n S e c t i o n 1 2 . 2 , w e r e t a i n t h e s a m e r s t o r d e r a c c u r a c y w i t h t h e a l t e r n a t i v e

h

I ; h A

( x )

x

i h

I ; h A

( x )

y

i

U

( x )

n + 1

= U

( x )

n

+ h

~

( b c ) + O ( h

2

) ( 1 2 . 2 0 )

W r i t e t h i s i n p r e d i c t o r - c o r r e c t o r f o r m a n d p e r m u t e t h e d a t a b a s e o f t h e s e c o n d r o w .

T h e r e r e s u l t s

h

I ; h A

( x )

x

i

~

U

( x )

= U

( x )

n

+ h

~

( b c )

h

I ; h A

( y )

y

i

U

( y )

n + 1

=

~

U

( y )

( 1 2 . 2 1 )




A

( x )

x

U

( x )

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

x x j j

x x x j j

x x x j j

x x j j

j x x j

j x x x j

j x x x j

j x x j

j j x x

j j x x x

j j x x x

j j x x

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

U

( x )

A

( x )

y

U

( x )

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

o j o j

o j o j

o j o j

o j o j

o j o j o

o j o j o

o j o j o

o j o j o

j o j o

j o j o

j o j o

j o j o

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

U

( x )

T h e s p l i t t i n g o f A

( x )

x + y

.

( 1 2 . 2 2 )




A

( y )

x

U

( y )

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

x j x j j

x j x j j

x j x j j

x j x j x j

x j x j x j

x j x j x j

j x j x j x

j x j x j x

j x j x j x

j j x j x

j j x j x

j j x j x

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

U

( y )

A

( y )

y

U

( y )

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

o o j j j

o o o j j j

o o j j j

j o o j j

j o o o j j

j o o j j

j j o o j

j j o o o j

j j o o j

j j j o o

j j j o o o

j j j o o

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

U

( y )

T h e s p l i t t i n g o f A

( y )

x + y

.

( 1 2 . 2 3 )




1 2 . 4 S e c o n d - O r d e r F a c t o r e d I m p l i c i t M e t h o d s

S e c o n d - o r d e r a c c u r a c y i n t i m e c a n b e m a i n t a i n e d i n a c e r t a i n f a c t o r e d i m p l i c i t m e t h -

o d s . F o r e x a m p l e , a p p l y t h e t r a p e z o i d a l m e t h o d t o E q . 1 2 . 1 4 w h e r e t h e d e r i v a t i v e

o p e r a t o r s h a v e b e e n s p l i t a s i n E q . 1 2 . 1 7 o r 1 2 . 1 8 . L e t t h e d a t a b a s e b e i m m a t e r i a l

a n d t h e

~

( b c ) b e t i m e i n v a r i a n t . T h e r e r e s u l t s

I ;

1

2

h A

x

;

1

2

h A

y

U

n + 1

=

I +

1

2

h A

x

+

1

2

h A

y

U

n

+ h

~

( b c ) + O ( h

3

) ( 1 2 . 2 4 )

F a c t o r b o t h s i d e s g i v i n g

I ;

1

2

h A

x

I ;

1

2

h A

y

;

1

4

h

2

A

x

A

y

U

n + 1

=

I +

1

2

h A

x

I +

1

2

h A

y

;

1

4

h

2

A

x

A

y

U

n

+ h

~

( b c ) + O ( h

3

) ( 1 2 . 2 5 )

T h e n n o t i c e t h a t t h e c o m b i n a t i o n

1

4

h

2

A

x

A

y

] ( U

n + 1

; U

n

) i s p r o p o r t i o n a l t o h

3

s i n c e

t h e l e a d i n g t e r m i n t h e e x p a n s i o n o f ( U

n + 1

; U

n

) i s p r o p o r t i o n a l t o h . T h e r e f o r e , w e

c a n w r i t e

I ;

1

2

h A

x

I ;

1

2

h A

y

U

n + 1

=

I +

1

2

h A

x

I +

1

2

h A

y

U

n

+ h

~

( b c ) + O ( h

3

) ( 1 2 . 2 6 )

a n d b o t h t h e f a c t o r e d a n d u n f a c t o r e d f o r m o f t h e t r a p e z o i d a l m e t h o d a r e s e c o n d - o r d e r

a c c u r a t e i n t h e t i m e m a r c h .

A n a l t e r n a t i v e f o r m o f t h i s k i n d o f f a c t o r i z a t i o n i s t h e c l a s s i c a l A D I ( a l t e r n a t i n g

d i r e c t i o n i m p l i c i t ) m e t h o d

5

u s u a l l y w r i t t e n

I ;

1

2

h A

x

~

U =

I +

1

2

h A

y

U

n

+

1

2

h F

n

I ;

1

2

h A

y

U

n + 1

=

I +

1

2

h A

x

~

U +

1

2

h F

n + 1

+ O ( h

3

) ( 1 2 . 2 7 )

F o r i d e a l i z e d c o m m u t i n g s y s t e m s t h e m e t h o d s g i v e n b y E q s . 1 2 . 2 6 a n d 1 2 . 2 7 d i e r

o n l y i n t h e i r e v a l u a t i o n o f a t i m e - d e p e n d e n t f o r c i n g t e r m .

1 2 . 5 I m p o r t a n c e o f F a c t o r e d F o r m s i n 2 a n d 3 D i -

m e n s i o n s

W h e n t h e t i m e - m a r c h e q u a t i o n s a r e s t i a n d i m p l i c i t m e t h o d s a r e r e q u i r e d t o p e r m i t

r e a s o n a b l y l a r g e t i m e s t e p s , t h e u s e o f f a c t o r e d f o r m s b e c o m e s a v e r y v a l u a b l e t o o l

5

A f o r m o f t h e D o u g l a s o r P e a c e m a n - R a c h f o r d m e t h o d s .



1 2 . 5 . I M P O R T A N C E O F F A C T O R E D F O R M S I N 2 A N D 3 D I M E N S I O N S 2 2 7

f o r r e a l i s t i c p r o b l e m s . C o n s i d e r , f o r e x a m p l e , t h e p r o b l e m o f c o m p u t i n g t h e t i m e

a d v a n c e i n t h e u n f a c t o r e d f o r m o f t h e t r a p e z o i d a l m e t h o d g i v e n b y E q . 1 2 . 2 4

I ;

1

2

h A

x + y

U

n + 1

=

I +

1

2

h A

x + y

U

n

+ h

~

( b c )

F o r m i n g t h e r i g h t h a n d s i d e p o s e s n o p r o b l e m , b u t n d i n g U

n + 1

r e q u i r e s t h e s o l u t i o n

o f a s p a r s e , b u t v e r y l a r g e , s e t o f c o u p l e d s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s h a v i n g t h e m a t r i x

f o r m s h o w n i n E q . 1 2 . 1 6 p a r t a a n d b . F u r t h e r m o r e , i n r e a l c a s e s i n v o l v i n g t h e E u l e r

o r N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s , e a c h s y m b o l ( o x ) r e p r e s e n t s a 4 4 b l o c k m a t r i x w i t h

e n t r i e s t h a t d e p e n d o n t h e p r e s s u r e , d e n s i t y a n d v e l o c i t y e l d . S u p p o s e w e w e r e t o

s o l v e t h e e q u a t i o n s d i r e c t l y . T h e f o r w a r d s w e e p o f a s i m p l e G a u s s i a n e l i m i n a t i o n l l s

6

a l l o f t h e 4 4 b l o c k s b e t w e e n t h e m a i n a n d o u t e r m o s t d i a g o n a l

7

( e . g . b e t w e e n

a n d o i n E q . 1 2 . 1 6 p a r t b . ) . T h i s m u s t b e s t o r e d i n c o m p u t e r m e m o r y t o b e u s e d t o

n d t h e n a l s o l u t i o n i n t h e b a c k w a r d s w e e p . I f N

e

r e p r e s e n t s t h e o r d e r o f t h e s m a l l

b l o c k m a t r i x ( 4 i n t h e 2 - D E u l e r c a s e ) , t h e a p p r o x i m a t e m e m o r y r e q u i r e m e n t i s

( N

e

M

y

) ( N

e

M

y

) M

x

o a t i n g p o i n t w o r d s . H e r e i t i s a s s u m e d t h a t M

y

< M

x

. I f M

y

> M

x

, M

y

a n d M

x

w o u l d b e i n t e r c h a n g e d . A m o d e r a t e m e s h o f 6 0 2 0 0 p o i n t s w o u l d r e q u i r e o v e r 1 1

m i l l i o n w o r d s t o n d t h e s o l u t i o n . A c t u a l l y c u r r e n t c o m p u t e r p o w e r i s a b l e t o c o p e

r a t h e r e a s i l y w i t h s t o r a g e r e q u i r e m e n t s o f t h i s o r d e r o f m a g n i t u d e . W i t h c o m p u t i n g

s p e e d s o f o v e r o n e g i g a o p ,

8

d i r e c t s o l v e r s m a y b e c o m e u s e f u l f o r n d i n g s t e a d y - s t a t e

s o l u t i o n s o f p r a c t i c a l p r o b l e m s i n t w o d i m e n s i o n s . H o w e v e r , a t h r e e - d i m e n s i o n a l

s o l v e r w o u l d r e q u i r e a m e m o r y o f a p p r o x i m a t l y

N

2

e

M

2

y

M

2

z

M

x

w o r d s a n d , f o r w e l l r e s o l v e d o w e l d s , t h i s p r o b a b l y e x c e e d s m e m o r y a v a i l a b i l i t y f o r

s o m e t i m e t o c o m e .

O n t h e o t h e r h a n d , c o n s i d e r c o m p u t i n g a s o l u t i o n u s i n g t h e f a c t o r e d i m p l i c i t e q u a -

t i o n 1 2 . 2 5 . A g a i n c o m p u t i n g t h e r i g h t h a n d s i d e p o s e s n o p r o b l e m . A c c u m u l a t e t h e

r e s u l t o f s u c h a c o m p u t a t i o n i n t h e a r r a y ( R H S ) . O n e c a n t h e n w r i t e t h e r e m a i n i n g

t e r m s i n t h e t w o - s t e p p r e d i c t o r - c o r r e c t o r f o r m

I ;

1

2

h A

( x )

x

~

U

( x )

= ( R H S )

( x )

I ;

1

2

h A

( y )

y

U

( y )

n + 1

=

~

U

( y )

( 1 2 . 2 8 )

6

F o r m a t r i c e s a s s m a l l a s t h o s e s h o w n t h e r e a r e m a n y g a p s i n t h i s \ l l " , b u t f o r m e s h e s o f

p r a c t i c a l s i z e t h e l l i s m o s t l y d e n s e .

7

T h e l o w e r b a n d i s a l s o c o m p u t e d b u t d o e s n o t h a v e t o b e s a v e d u n l e s s t h e s o l u t i o n i s t o b e

r e p e a t e d f o r a n o t h e r v e c t o r .

8

O n e b i l l i o n o a t i n g - p o i n t o p e r a t i o n s p e r s e c o n d .




w h i c h h a s t h e s a m e a p p e a r a n c e a s E q . 1 2 . 2 1 b u t i s s e c o n d - o r d e r t i m e a c c u r a t e . T h e

r s t s t e p w o u l d b e s o l v e d u s i n g M

y

u n c o u p l e d b l o c k t r i d i a g o n a l s o l v e r s

9

. I n s p e c t i n g

t h e t o p o f E q . 1 2 . 2 2 , w e s e e t h a t t h i s i s e q u i v a l e n t t o s o l v i n g M

y

o n e - d i m e n s i o n a l

p r o b l e m s , e a c h w i t h M

x

b l o c k s o f o r d e r N

e

. T h e t e m p o r a r y s o l u t i o n

~

U

( x )

w o u l d t h e n

b e p e r m u t e d t o

~

U

( y )

a n d a n i n s p e c t i o n o f t h e b o t t o m o f E q . 1 2 . 2 3 s h o w s t h a t t h e n a l

s t e p c o n s i s t s o f s o l v i n g M

x

o n e - d i m e n s i o n a l i m p l i c i t p r o b l e m s e a c h w i t h d i m e n s i o n

M

y

.

1 2 . 6 T h e D e l t a F o r m

C l e a r l y m a n y w a y s c a n b e d e v i s e d t o s p l i t t h e m a t r i c e s a n d g e n e r a t e f a c t o r e d f o r m s .

O n e w a y t h a t i s e s p e c i a l l y u s e f u l , f o r e n s u r i n g a c o r r e c t s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n i n a

c o n v e r g e d t i m e - m a r c h , i s r e f e r r e d t o a s t h e \ d e l t a f o r m " a n d w e d e v e l o p i t n e x t .

C o n s i d e r t h e u n f a c t o r e d f o r m o f t h e t r a p e z o i d a l m e t h o d g i v e n b y E q . 1 2 . 2 4 , a n d

l e t t h e

~

( b c ) b e t i m e i n v a r i a n t :

I ;

1

2

h A

x

;

1

2

h A

y

U

n + 1

=

I +

1

2

h A

x

+

1

2

h A

y

U

n

+ h

~

( b c ) + O ( h

3

)

F r o m b o t h s i d e s s u b t r a c t

I ;

1

2

h A

x

;

1

2

h A

y

U

n

l e a v i n g t h e e q u a l i t y u n c h a n g e d . T h e n , u s i n g t h e s t a n d a r d d e n i t i o n o f t h e d i e r e n c e

o p e r a t o r ,

U

n

= U

n + 1

; U

n

o n e n d s

I ;

1

2

h A

x

;

1

2

h A

y

U

n

= h

h

A

x + y

U

n

+

~

( b c )

i

+ O ( h

3

) ( 1 2 . 2 9 )

N o t i c e t h a t t h e r i g h t s i d e o f t h i s e q u a t i o n i s t h e p r o d u c t o f h a n d a t e r m t h a t i s

i d e n t i c a l t o t h e r i g h t s i d e o f E q . 1 2 . 1 4 , o u r o r i g i n a l O D E . T h u s , i f E q . 1 2 . 2 9 c o n v e r g e s ,

i t i s g u a r a n t e e d t o c o n v e r g e t o t h e c o r r e c t s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n o f t h e O D E . N o w w e

c a n f a c t o r E q . 1 2 . 2 9 a n d m a i n t a i n O ( h

2

) a c c u r a c y . W e a r r i v e a t t h e e x p r e s s i o n

I ;

1

2

h A

x

I ;

1

2

h A

y

U

n

= h

h

A

x + y

U

n

+

~

( b c )

i

+ O ( h

3

) ( 1 2 . 3 0 )

T h i s i s t h e d e l t a f o r m o f a f a c t o r e d , 2 n d - o r d e r , 2 - D e q u a t i o n .

9

A b l o c k t r i d i a g o n a l s o l v e r i s s i m i l a r t o a s c a l a r s o l v e r e x c e p t t h a t s m a l l b l o c k m a t r i x o p e r a t i o n s

r e p l a c e t h e s c a l a r o n e s , a n d m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n s d o n o t c o m m u t e .



1 2 . 7 . P R O B L E M S 2 2 9

T h e p o i n t a t w h i c h t h e f a c t o r i n g i s m a d e m a y n o t a e c t t h e o r d e r o f t i m e - a c c u r a c y ,

b u t i t c a n h a v e a p r o f o u n d e e c t o n t h e s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c e p r o p e r t i e s o f a

m e t h o d . F o r e x a m p l e , t h e u n f a c t o r e d f o r m o f a r s t - o r d e r m e t h o d d e r i v e d f r o m t h e

i m p l i c i t E u l e r t i m e m a r c h i s g i v e n b y E q . 1 2 . 1 9 , a n d i f i t i s i m m e d i a t e l y f a c t o r e d ,

t h e f a c t o r e d f o r m i s p r e s e n t e d i n E q . 1 2 . 2 0 . O n t h e o t h e r h a n d , t h e d e l t a f o r m o f t h e

u n f a c t o r e d E q . 1 2 . 1 9 i s

I ; h A

x

; h A

y

] U

n

= h

h

A

x + y

U

n

+

~

( b c )

i

a n d i t s f a c t o r e d f o r m b e c o m e s

1 0

I ; h A

x

] I ; h A

y

] U

n

= h

h

A

x + y

U

n

+

~

( b c )

i

( 1 2 . 3 1 )

I n s p i t e o f t h e s i m i l a r i t i e s i n d e r i v a t i o n , w e w i l l s e e i n t h e n e x t c h a p t e r t h a t t h e

c o n v e r g e n c e p r o p e r t i e s o f E q . 1 2 . 2 0 a n d E q . 1 2 . 3 1 a r e v a s t l y d i e r e n t .

1 2 . 7 P r o b l e m s

1 . C o n s i d e r t h e 1 - D h e a t e q u a t i o n :

@ u

@ t

=

@

2

u

@ x

2

0 x 9

L e t u ( 0 t ) = 0 a n d u ( 9 t ) = 0 , s o t h a t w e c a n s i m p l i f y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s .

A s s u m e t h a t s e c o n d o r d e r c e n t r a l d i e r e n c i n g i s u s e d , i . e . ,

(

x x

u )

j

=

1

x

2

( u

j ; 1

; 2 u

j

+ u

j + 1

)

T h e u n i f o r m g r i d h a s x = 1 a n d 8 i n t e r i o r p o i n t s .

( a ) S p a c e v e c t o r d e n i t i o n

i . W h a t i s t h e s p a c e v e c t o r f o r t h e n a t u r a l o r d e r i n g ( m o n o t o n i c a l l y i n -

c r e a s i n g i n i n d e x ) , u

( 1 )

? O n l y i n c l u d e t h e i n t e r i o r p o i n t s .

i i . I f w e r e o r d e r t h e p o i n t s w i t h t h e o d d p o i n t s r s t a n d t h e n t h e e v e n

p o i n t s , w r i t e t h e s p a c e v e c t o r , u

( 2 )

?

i i i . W r i t e d o w n t h e p e r m u t a t i o n m a t r i c e s , ( P

1 2

, P

2 1

) .

1 0

N o t i c e t h a t t h e o n l y d i e r e n c e b e t w e e n t h e O ( h

2

) m e t h o d g i v e n b y E q . 1 2 . 3 0 a n d t h e O ( h )

m e t h o d g i v e n b y E q . 1 2 . 3 1 i s t h e a p p e a r a n c e o f t h e f a c t o r

1

2

o n t h e l e f t s i d e o f t h e O ( h

2

) m e t h o d .




i v . T h e g e n e r i c O D E r e p r e s e n t i n g t h e d i s c r e t e f o r m o f t h e h e a t e q u a t i o n

i s

d u

( 1 )

d t

= A

1

u

( 1 )

+ f

W r i t e d o w n t h e m a t r i x A

1

. ( N o t e f = 0 , d u e t o t h e b o u n d a r y c o n d i -

t i o n s ) N e x t n d t h e m a t r i x A

2

s u c h t h a t

d u

( 2 )

d t

= A

2

u

( 2 )

N o t e t h a t A

2

c a n b e w r i t t e n a s

A

2

=

2

6

4

D U

T

U D

3

7

5

D e n e D a n d U .

v . A p p l y i n g i m p l i c i t E u l e r t i m e m a r c h i n g , w r i t e t h e d e l t a f o r m o f t h e

i m p l i c i t a l g o r i t h m . C o m m e n t o n t h e f o r m o f t h e r e s u l t i n g i m p l i c i t

m a t r i x o p e r a t o r .

( b ) S y s t e m d e n i t i o n

I n p r o b l e m 1 a , w e d e n e d u

( 1 )

u

( 2 )

A

1

A

2

P

1 2

, a n d P

2 1

w h i c h p a r t i t i o n

t h e o d d p o i n t s f r o m t h e e v e n p o i n t s . W e c a n p u t s u c h a p a r t i t i o n i n g t o

u s e . F i r s t d e n e e x t r a c t i o n o p e r a t o r s

I

( o )

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

4

I

4

0

4

0

4

0

4

3

7

5

I

( e )

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

4

0

4

0

4

0

4

I

4

3

7

5



1 2 . 7 . P R O B L E M S 2 3 1

w h i c h e x t r a c t t h e o d d e v e n p o i n t s f r o m u

( 2 )

a s f o l l o w s : u

( o )

= I

( o )

u

( 2 )

a n d

u

( e )

= I

( e )

u

( 2 )

.

i . B e g i n n i n g w i t h t h e O D E w r i t t e n i n t e r m s o f u

( 2 )

, d e n e a s p l i t t i n g

A

2

= A

o

+ A

e

, s u c h t h a t A

o

o p e r a t e s o n l y o n t h e o d d t e r m s , a n d A

e

o p e r a t e s o n l y o n t h e e v e n t e r m s . W r i t e o u t t h e m a t r i c e s A

o

a n d A

e

.

A l s o , w r i t e t h e m i n t e r m s o f D a n d U d e n e d a b o v e .

i i . A p p l y i m p l i c i t E u l e r t i m e m a r c h i n g t o t h e s p l i t O D E . W r i t e d o w n t h e

d e l t a f o r m o f t h e a l g o r i t h m a n d t h e f a c t o r e d d e l t a f o r m . C o m m e n t o n

t h e o r d e r o f t h e e r r o r t e r m s .

i i i . E x a m i n e t h e i m p l i c i t o p e r a t o r s f o r t h e f a c t o r e d d e l t a f o r m . C o m m e n t

o n t h e i r f o r m . Y o u s h o u l d b e a b l e t o a r g u e t h a t t h e s e a r e n o w t r a n g u -

l a r m a t r i c e s ( a l o w e r a n d a n u p p e r ) . C o m m e n t o n t h e s o l u t i o n p r o c e s s

t h i s g i v e s u s r e l a t i v e t o t h e d i r e c t i n v e r s i o n o f t h e o r i g i n a l s y s t e m .






C h a p t e r 1 3

L I N E A R A N A L Y S I S O F S P L I T

A N D F A C T O R E D F O R M S

I n S e c t i o n 4 . 4 w e i n t r o d u c e d t h e c o n c e p t o f t h e r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n , a n d u s e d

i t i n C h a p t e r 7 t o s t u d y t h e s t a b i l i t y , a c c u r a c y , a n d c o n v e r g e n c e p r o p e r t i e s o f t i m e -

m a r c h i n g s c h e m e s . T h e q u e s t i o n i s : C a n w e n d a s i m i l a r e q u a t i o n t h a t w i l l a l l o w

u s t o e v a l u a t e t h e s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c e p r o p e r t i e s o f s p l i t a n d f a c t o r e d s c h e m e s ?

T h e a n s w e r i s y e s | f o r c e r t a i n f o r m s o f l i n e a r m o d e l e q u a t i o n s .

T h e a n a l y s i s i n t h i s c h a p t e r i s u s e f u l f o r e s t i m a t i n g t h e s t a b i l i t y a n d s t e a d y - s t a t e

p r o p e r t i e s o f a w i d e v a r i e t y o f t i m e - m a r c h i n g s c h e m e s t h a t a r e v a r i o u s l y r e f e r r e d

t o a s t i m e - s p l i t , f r a c t i o n a l - s t e p , h y b r i d , a n d ( a p p r o x i m a t e l y ) f a c t o r e d . W h e n t h e s e

m e t h o d s a r e a p p l i e d t o p r a c t i c a l p r o b l e m s , t h e r e s u l t s f o u n d f r o m t h i s a n a l y s i s a r e

n e i t h e r n e c e s s a r y n o r s u c i e n t t o g u a r a n t e e s t a b i l i t y . H o w e v e r , i f t h e r e s u l t s i n d i c a t e

t h a t a m e t h o d h a s a n i n s t a b i l i t y , t h e m e t h o d i s p r o b a b l y n o t s u i t a b l e f o r p r a c t i c a l

u s e .

1 3 . 1 T h e R e p r e s e n t a t i v e E q u a t i o n f o r C i r c u l a n t

O p e r a t o r s

C o n s i d e r l i n e a r P D E ' s w i t h c o e c i e n t s t h a t a r e x e d i n b o t h s p a c e a n d t i m e a n d w i t h

b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h a t a r e p e r i o d i c . W e h a v e s e e n t h a t u n d e r t h e s e c o n d i t i o n s

a s e m i - d i s c r e t e a p p r o a c h c a n l e a d t o c i r c u l a n t m a t r i x d i e r e n c e o p e r a t o r s , a n d w e

d i s c u s s e d c i r c u l a n t e i g e n s y s t e m s

1

i n S e c t i o n 4 . 3 . I n t h i s a n d t h e f o l l o w i n g s e c t i o n

w e a s s u m e c i r c u l a n t s y s t e m s a n d o u r a n a l y s i s d e p e n d s c r i t i c a l l y o n t h e f a c t t h a t a l l

c i r c u l a n t m a t r i c e s c o m m u t e a n d h a v e a c o m m o n s e t o f e i g e n v e c t o r s .

1

S e e a l s o t h e d i s c u s s i o n o n F o u r i e r s t a b i l i t y a n a l y s i s i n S e c t i o n 7 . 7 .

2 3 3





1 3 . 2 . E X A M P L E A N A L Y S I S O F C I R C U L A N T S Y S T E M S 2 3 5

I f t h e s p a c e d i e r e n c i n g t a k e s t h e f o r m

d

~

u

d t

= ;

a

2 x

B

p

( ; 1 0 1 )

~

u +

x

2

B

p

( 1 ; 2 1 )

~

u ( 1 3 . 5 )

t h e c o n v e c t i o n m a t r i x o p e r a t o r a n d t h e d i u s i o n m a t r i x o p e r a t o r , c a n b e r e p r e s e n t e d

b y t h e e i g e n v a l u e s

c

a n d

d

, r e s p e c t i v e l y , w h e r e ( s e e S e c t i o n 4 . 3 . 2 ) :

(

c

)

m

=

i a

x

s i n

m

(

d

)

m

= ;

4

x

2

s i n

2

m

2

( 1 3 . 6 )

I n t h e s e e q u a t i o n s

m

= 2 m = M , m = 0 1 M ; 1 , s o t h a t 0

m

2 .

U s i n g t h e s e v a l u e s a n d t h e r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n 1 3 . 4 , w e c a n a n a l y z e t h e s t a b i l i t y

o f t h e t w o f o r m s o f s i m p l e t i m e - s p l i t t i n g d i s c u s s e d i n S e c t i o n 1 2 . 2 . I n t h i s s e c t i o n w e

r e f e r t o t h e s e a s

1 . t h e e x p l i c i t - i m p l i c i t E u l e r m e t h o d , E q . 1 2 . 1 0 .

2 . t h e e x p l i c i t - e x p l i c i t E u l e r m e t h o d , E q . 1 2 . 8 .

1 . T h e E x p l i c i t - I m p l i c i t M e t h o d

W h e n a p p l i e d t o E q . 1 3 . 4 , t h e c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l o f t h i s m e t h o d i s

P ( E ) = ( 1 ; h

d

) E ; ( 1 + h

c

)

T h i s l e a d s t o t h e p r i n c i p a l r o o t

=

1 + i

a h

x

s i n

m

1 + 4

h

x

2

s i n

2

m

2

w h e r e w e h a v e m a d e u s e o f E q . 1 3 . 6 t o q u a n t i f y t h e e i g e n v a l u e s . N o w i n t r o d u c e t h e

d i m e n s i o n l e s s n u m b e r s

C

n

=

a h

x

C o u r a n t n u m b e r

R

=

a x

m e s h R e y n o l d s n u m b e r

a n d w e c a n w r i t e f o r t h e a b s o l u t e v a l u e o f

j j =

q

1 + C

2

n

s i n

2

m

1 + 4

C

n

R

s i n

2

m

2

0

m

2 ( 1 3 . 7 )



2 3 6 C H A P T E R 1 3 . L I N E A R A N A L Y S I S O F S P L I T A N D F A C T O R E D F O R M S

0 4 8

R∆

Cn

0

0.4

0.8

1.2

Cn

R∆

= 2/

Explicit-Implicit

0 4 8

R∆

Cn

0

0.4

0.8

1.2

Explicit-Explicit

Cn

R∆

= 2/ Cn

R∆

= /2

F i g u r e 1 3 . 1 :

_

S t a b i l i t y r e g i o n s f o r t w o s i m p l e t i m e - s p l i t m e t h o d s .

A s i m p l e n u m e r i c a l p a r a m e t r i c s t u d y o f E q . 1 3 . 7 s h o w s t h a t t h e c r i t i c a l r a n g e o f

m

f o r a n y c o m b i n a t i o n o f C

n

a n d R

o c c u r s w h e n

m

i s n e a r 0 ( o r 2 ) . F r o m t h i s

w e n d t h a t t h e c o n d i t i o n o n C

n

a n d R

t h a t m a k e j j 1 i s

h

1 + C

2

n

s i n

2

i

=

1 + 4

C

n

R

s i n

2

2

2

A s ! 0 t h i s g i v e s t h e s t a b i l i t y r e g i o n

C

n

<

2

R

w h i c h i s b o u n d e d b y a h y p e r b o l a a n d s h o w n i n F i g . 1 3 . 1 .

2 . T h e E x p l i c i t - E x p l i c i t M e t h o d

A n a n a l y s i s s i m i l a r t o t h e o n e g i v e n a b o v e s h o w s t h a t t h i s m e t h o d p r o d u c e s

j j =

q

1 + C

2

n

s i n

2

m

"

1 ; 4

C

n

R

s i n

2

m

2

#

0

m

2

A g a i n a s i m p l e n u m e r i c a l p a r a m e t r i c s t u d y s h o w s t h a t t h i s h a s t w o c r i t i c a l r a n g e s

o f

m

, o n e n e a r 0 , w h i c h y i e l d s t h e s a m e r e s u l t a s i n t h e p r e v i o u s e x a m p l e , a n d t h e



1 3 . 2 . E X A M P L E A N A L Y S I S O F C I R C U L A N T S Y S T E M S 2 3 7

o t h e r n e a r 1 8 0

o

, w h i c h p r o d u c e s t h e c o n s t r a i n t t h a t

C

n

<

1

2

R

f o r R

2

T h e r e s u l t i n g s t a b i l i t y b o u n d a r y i s a l s o s h o w n i n F i g . 1 3 . 1 . T h e t o t a l y e x p l i c i t ,

f a c t o r e d m e t h o d h a s a m u c h s m a l l e r r e g i o n o f s t a b i l i t y w h e n R

i s s m a l l , a s w e

s h o u l d h a v e e x p e c t e d .

1 3 . 2 . 2 A n a l y s i s o f a S e c o n d - O r d e r T i m e - S p l i t M e t h o d

N e x t l e t u s a n a l y z e a m o r e p r a c t i c a l m e t h o d t h a t h a s b e e n u s e d i n s e r i o u s c o m p u -

t a t i o n a l a n a l y s i s o f t u r b u l e n t o w s . T h i s m e t h o d a p p l i e s t o a o w i n w h i c h t h e r e i s

a c o m b i n a t i o n o f d i u s i o n a n d p e r i o d i c c o n v e c t i o n . T h e c o n v e c t i o n t e r m i s t r e a t e d

e x p l i c i t l y u s i n g t h e s e c o n d - o r d e r A d a m s - B a s h f o r t h m e t h o d . T h e d i u s i o n t e r m i s

i n t e g r a t e d i m p l i c i t l y u s i n g t h e t r a p e z o i d a l m e t h o d . O u r m o d e l e q u a t i o n i s a g a i n t h e

l i n e a r c o n v e c t i o n - d i u s i o n e q u a t i o n 1 3 . 4 w h i c h w e s p l i t i n t h e f a s h i o n o f E q . 1 3 . 5 . I n

o r d e r t o e v a l u a t e t h e a c c u r a c y , a s w e l l a s t h e s t a b i l i t y , w e i n c l u d e t h e f o r c i n g f u n c -

t i o n i n t h e r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n a n d s t u d y t h e e e c t o f o u r h y b r i d , t i m e - m a r c h i n g

m e t h o d o n t h e e q u a t i o n

u

0

=

c

u +

d

u + a e

t

F i r s t l e t u s n d e x p r e s s i o n s f o r t h e t w o p o l y n o m i a l s , P ( E ) a n d Q ( E ) . T h e c h a r -

a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l f o l l o w s f r o m t h e a p p l i c a t i o n o f t h e m e t h o d t o t h e h o m o g e n e o u s

e q u a t i o n , t h u s

u

n + 1

= u

n

+

1

2

h

c

( 3 u

n

; u

n ; 1

) +

1

2

h

d

( u

n + 1

+ u

n

)

T h i s p r o d u c e s

P ( E ) = ( 1 ;

1

2

h

d

) E

2

; ( 1 +

3

2

h

c

+

1

2

h

d

) E +

1

2

h

c

T h e f o r m o f t h e p a r t i c u l a r p o l y n o m i a l d e p e n d s u p o n w h e t h e r t h e f o r c i n g f u n c t i o n i s

c a r r i e d b y t h e A B 2 m e t h o d o r b y t h e t r a p e z o i d a l m e t h o d . I n t h e f o r m e r c a s e i t i s

Q ( E ) =

1

2

h ( 3 E ; 1 ) ( 1 3 . 8 )

a n d i n t h e l a t t e r

Q ( E ) =

1

2

h ( E

2

+ E ) ( 1 3 . 9 )




A c c u r a c y

F r o m t h e c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l w e s e e t h a t t h e r e a r e t w o { r o o t s a n d t h e y a r e

g i v e n b y t h e e q u a t i o n

=

1 +

3

2

h

c

+

1

2

h

d

s

1 +

3

2

h

c

+

1

2

h

d

2

; 2 h

c

1 ;

1

2

h

d

2

1 ;

1

2

h

d

( 1 3 . 1 0 )

T h e p r i n c i p a l - r o o t f o l l o w s f r o m t h e p l u s s i g n a n d o n e c a n s h o w

1

= 1 + (

c

+

d

) h +

1

2

(

c

+

d

)

2

h

2

+

1

4

3

d

+

c

2

d

;

2

c

d

;

3

c

h

3

F r o m t h i s e q u a t i o n i t i s c l e a r t h a t

1

6

3

=

1

6

(

c

+

d

)

3

d o e s n o t m a t c h t h e c o e c i e n t

o f h

3

i n

1

, s o

e r

= O ( h

3

)

U s i n g P ( e

h

) a n d Q ( e

h

) t o e v a l u a t e e r

i n S e c t i o n 6 . 6 . 3 , o n e c a n s h o w

e r

= O ( h

3

)

u s i n g e i t h e r E q . 1 3 . 8 o r E q . 1 3 . 9 . T h e s e r e s u l t s s h o w t h a t , f o r t h e m o d e l e q u a t i o n ,

t h e h y b r i d m e t h o d r e t a i n s t h e s e c o n d - o r d e r a c c u r a c y o f i t s i n d i v i d u a l c o m p o n e n t s .

S t a b i l i t y

T h e s t a b i l i t y o f t h e m e t h o d c a n b e f o u n d f r o m E q . 1 3 . 1 0 b y a p a r a m e t r i c s t u d y o f c

n

a n d R

d e n e d i n E q . 1 3 . 7 . T h i s w a s c a r r i e d o u t i n a m a n n e r s i m i l a r t o t h a t u s e d

t o n d t h e s t a b i l i t y b o u n d a r y o f t h e r s t - o r d e r e x p l i c i t - i m p l i c i t m e t h o d i n S e c t i o n

1 3 . 2 . 1 . T h e r e s u l t s a r e p l o t t e d i n F i g . 1 3 . 2 . F o r v a l u e s o f R

2 t h i s s e c o n d - o r d e r

m e t h o d h a s a m u c h g r e a t e r r e g i o n o f s t a b i l i t y t h a n t h e r s t - o r d e r e x p l i c i t - i m p l i c i t

m e t h o d g i v e n b y E q . 1 2 . 1 0 a n d s h o w n i n F i g . 1 3 . 1 .

1 3 . 3 T h e R e p r e s e n t a t i v e E q u a t i o n f o r S p a c e - S p l i t

O p e r a t o r s

C o n s i d e r t h e 2 - D m o d e l

3

e q u a t i o n s

@ u

@ t

=

@

2

u

@ x

2

+

@

2

u

@ y

2

( 1 3 . 1 1 )

3

T h e e x t e n s i o n o f t h e f o l l o w i n g t o 3 - D i s s i m p l e a n d s t r a i g h t f o r w a r d .






m a t r i x t h a t d i a g o n a l i z e s B a n d u s e i t t o d i a g o n a l i z e A

( x )

x

. T h u s

2

6

4

X

; 1

X

; 1

X

; 1

3

7

5

2

6

4

B

B

B

3

7

5

2

6

4

X

X

X

3

7

5

=

2

6

4

3

7

5

w h e r e

=

2

6

6

6

4

1

2

3

4

3

7

7

7

5

N o t i c e t h a t t h e m a t r i x A

( x )

y

i s t r a n s p a r e n t t o t h i s t r a n s f o r m a t i o n . T h a t i s , i f w e

s e t X d i a g ( X )

X

; 1

2

6

4

~

b

0

I

~

b

1

I

~

b

; 1

I

~

b

0

I

~

b

1

I

~

b

; 1

I

~

b

0

I

3

7

5

X =

2

6

4

~

b

0

I

~

b

1

I

~

b

; 1

I

~

b

0

I

~

b

1

I

~

b

; 1

I

~

b

0

I

3

7

5

O n e n o w p e r m u t e s t h e t r a n s f o r m e d s y s t e m t o t h e y - v e c t o r d a t a - b a s e u s i n g t h e p e r -

m u t a t i o n m a t r i x d e n e d b y E q . 1 2 . 1 3 . T h e r e r e s u l t s

P

y x

X

; 1

h

A

( x )

x

+ A

( x )

y

i

X P

x y

=

2

6

6

6

4

1

I

2

I

3

I

4

I

3

7

7

7

5

+

2

6

6

6

6

4

~

B

~

B

~

B

~

B

3

7

7

7

7

5

( 1 3 . 1 4 )

w h e r e

~

B i s t h e b a n d e d t r i d i a g o n a l m a t r i x B (

~

b

; 1

~

b

0

~

b

1

) , s e e t h e b o t t o m o f E q . 1 2 . 2 3 .

N e x t n d t h e e i g e n v e c t o r s

~

X t h a t d i a g o n a l i z e t h e

~

B b l o c k s . L e t

~

B d i a g (

~

B ) a n d

~

X d i a g (

~

X ) a n d f o r m t h e s e c o n d t r a n s f o r m a t i o n

~

X

; 1

~

B

~

X =

2

6

6

6

4

~

~

~

~

3

7

7

7

5

~

=

2

6

4

~

1

~

2

~

3

3

7

5

T h i s t i m e , b y t h e s a m e a r g u m e n t a s b e f o r e , t h e r s t m a t r i x o n t h e r i g h t s i d e o f

E q . 1 3 . 1 4 i s t r a n s p a r e n t t o t h e t r a n s f o r m a t i o n , s o t h e n a l r e s u l t i s t h e c o m p l e t e

d i a g o n a l i z a t i o n o f t h e m a t r i x A

x + y

:

h

~

X

; 1

P

y x

X

; 1

i h

A

( x )

x + y

i h

X P

x y

~

X

i

=

2

6

6

6

6

4

1

I +

~

2

I +

~

3

I +

~

4

I +

~

3

7

7

7

7

5

( 1 3 . 1 5 )



1 3 . 3 . T H E R E P R E S E N T A T I V E E Q U A T I O N F O R S P A C E - S P L I T O P E R A T O R S 2 4 1

I t i s i m p o r t a n t t o n o t i c e t h a t :

T h e d i a g o n a l m a t r i x o n t h e r i g h t s i d e o f E q . 1 3 . 1 5 c o n t a i n s e v e r y p o s s i b l e c o m -

b i n a t i o n o f t h e i n d i v i d u a l e i g e n v a l u e s o f B a n d

~

B .

N o w w e a r e r e a d y t o p r e s e n t t h e r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n f o r t w o d i m e n s i o n a l s y s -

t e m s . F i r s t r e d u c e t h e P D E t o O D E b y s o m e c h o i c e

4

o f s p a c e d i e r e n c i n g . T h i s

r e s u l t s i n a s p a t i a l l y s p l i t A m a t r i x f o r m e d f r o m t h e s u b s e t s

A

( x )

x

= d i a g ( B ) A

( y )

y

= d i a g (

~

B ) ( 1 3 . 1 6 )

w h e r e B a n d

~

B a r e a n y t w o m a t r i c e s t h a t h a v e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t e i g e n v e c t o r s ( t h i s

p u t s s o m e c o n s t r a i n t s o n t h e c h o i c e o f d i e r e n c i n g s c h e m e s ) .

A l t h o u g h A

x

a n d A

y

d o c o m m u t e , t h i s f a c t , b y i t s e l f , d o e s n o t e n s u r e t h e p r o p -

e r t y o f \ a l l p o s s i b l e c o m b i n a t i o n s " . T o o b t a i n t h e l a t t e r p r o p e r t y t h e s t r u c t u r e o f

t h e m a t r i c e s i s i m p o r t a n t . T h e b l o c k m a t r i c e s B a n d

~

B c a n b e e i t h e r c i r c u l a n t o r

n o n c i r c u l a n t i n b o t h c a s e s w e a r e l e d t o t h e n a l r e s u l t :

T h e 2 { D r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n f o r m o d e l l i n e a r s y s t e m s i s

d u

d t

=

x

+

y

] u + a e

t

w h e r e

x

a n d

y

a r e a n y c o m b i n a t i o n o f e i g e n v a l u e s f r o m A

x

a n d A

y

, a a n d a r e

( p o s s i b l y c o m p l e x ) c o n s t a n t s , a n d w h e r e A

x

a n d A

y

s a t i s f y t h e c o n d i t i o n s i n 1 3 . 1 6 .

O f t e n w e a r e i n t e r e s t e d i n n d i n g t h e v a l u e o f , a n d t h e c o n v e r g e n c e r a t e t o , t h e

s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n o f t h e r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n . I n t h a t c a s e w e s e t = 0 a n d

u s e t h e s i m p l e r f o r m

d u

d t

=

x

+

y

] u + a ( 1 3 . 1 7 )

w h i c h h a s t h e e x a c t s o l u t i o n

u ( t ) = c e

(

x

+

y

) t

;

a

x

+

y

( 1 3 . 1 8 )

4

W e h a v e u s e d 3 - p o i n t c e n t r a l d i e r e n c i n g i n o u r e x a m p l e , b u t t h i s c h o i c e w a s f o r c o n v e n i e n c e

o n l y , a n d i t s u s e i s n o t n e c e s s a r y t o a r r i v e a t E q . 1 3 . 1 5 .





1 3 . 4 . E X A M P L E A N A L Y S I S O F 2 - D M O D E L E Q U A T I O N S 2 4 3

1 3 . 4 . 2 T h e F a c t o r e d N o n d e l t a F o r m o f t h e I m p l i c i t E u l e r

M e t h o d

N o w a p p l y t h e f a c t o r e d E u l e r m e t h o d g i v e n b y E q . 1 2 . 2 0 t o t h e 2 - D r e p r e s e n t a t i v e

e q u a t i o n . T h e r e r e s u l t s

( 1 ; h

x

) ( 1 ; h

y

) u

n + 1

= u

n

+ h a

f r o m w h i c h

P ( E ) = ( 1 ; h

x

) ( 1 ; h

y

) E ; 1

Q ( E ) = h ( 1 3 . 2 0 )

g i v i n g t h e s o l u t i o n

u

n

= c

"

1

( 1 ; h

x

) ( 1 ; h

y

)

#

n

;

a

x

+

y

; h

x

y

W e s e e t h a t t h i s m e t h o d :

1 . I s u n c o n d i t i o n a l l y s t a b l e .

2 . P r o d u c e s a s t e a d y s t a t e s o l u t i o n t h a t d e p e n d s o n t h e c h o i c e o f h .

3 . C o n v e r g e s r a p i d l y t o a s t e a d y - s t a t e f o r l a r g e h , b u t t h e c o n v e r g e d s o l u t i o n i s

c o m p l e t e l y w r o n g .

T h e m e t h o d r e q u i r e s f a r l e s s s t o r a g e t h e n t h e u n f a c t o r e d f o r m . H o w e v e r , i t i s n o t

v e r y u s e f u l s i n c e i t s t r a n s i e n t s o l u t i o n i s o n l y r s t - o r d e r a c c u r a t e a n d , i f o n e t r i e s t o

t a k e a d v a n t a g e o f i t s r a p i d c o n v e r g e n c e r a t e , t h e c o n v e r g e d v a l u e i s m e a n i n g l e s s .

1 3 . 4 . 3 T h e F a c t o r e d D e l t a F o r m o f t h e I m p l i c i t E u l e r M e t h o d

N e x t a p p l y E q . 1 2 . 3 1 t o t h e 2 - D r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n . O n e n d s

( 1 ; h

x

) ( 1 ; h

y

) ( u

n + 1

; u

n

) = h (

x

u

n

+

y

u

n

+ a )

w h i c h r e d u c e s t o

( 1 ; h

x

) ( 1 ; h

y

) u

n + 1

=

1 + h

2

x

y

u

n

+ h a

a n d t h i s h a s t h e s o l u t i o n

u

n

= c

"

1 + h

2

x

y

( 1 ; h

x

) ( 1 ; h

y

)

#

n

;

a

x

+

y

T h i s m e t h o d :





2 . P r o d u c e s t h e e x a c t s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n f o r a n y c h o i c e o f h .

3 . C o n v e r g e s v e r y s l o w l y t o t h e s t e a d y { s t a t e s o l u t i o n f o r l a r g e v a l u e s o f h , s i n c e

j j ! 1 a s h ! 1 .

L i k e t h e f a c t o r e d n o n d e l t a f o r m , t h i s m e t h o d d e m a n d s f a r l e s s s t o r a g e t h a n t h e u n -

f a c t o r e d f o r m , a s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 1 2 . 5 . T h e c o r r e c t s t e a d y s o l u t i o n i s o b t a i n e d ,

b u t c o n v e r g e n c e i s n o t n e a r l y a s r a p i d a s t h a t o f t h e u n f a c t o r e d f o r m .

1 3 . 4 . 4 T h e F a c t o r e d D e l t a F o r m o f t h e T r a p e z o i d a l M e t h o d

F i n a l l y c o n s i d e r t h e d e l t a f o r m o f a s e c o n d - o r d e r t i m e - a c c u r a t e m e t h o d . A p p l y E q .

1 2 . 3 0 t o t h e r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n a n d o n e n d s

1 ;

1

2

h

x

1 ;

1

2

h

y

( u

n + 1

; u

n

) = h (

x

u

n

+

y

u

n

+ a )

w h i c h r e d u c e s t o

1 ;

1

2

h

x

1 ;

1

2

h

y

u

n + 1

=

1 +

1

2

h

x

1 +

1

2

h

y

u

n

+ h a

a n d t h i s h a s t h e s o l u t i o n

u

n

= c

2

6

6

4

1 +

1

2

h

x

1 +

1

2

h

y

1 ;

1

2

h

x

1 ;

1

2

h

y

3

7

7

5

n

;

a

x

+

y

T h i s m e t h o d :


2 . P r o d u c e s t h e e x a c t s t e a d y { s t a t e s o l u t i o n f o r a n y c h o i c e o f h .

3 . C o n v e r g e s v e r y s l o w l y t o t h e s t e a d y { s t a t e s o l u t i o n f o r l a r g e v a l u e s o f h , s i n c e

j j ! 1 a s h ! 1 .

A l l o f t h e s e p r o p e r t i e s a r e i d e n t i c a l t o t h o s e f o u n d f o r t h e f a c t o r e d d e l t a f o r m o f t h e

i m p l i c i t E u l e r m e t h o d . S i n c e i t i s s e c o n d o r d e r i n t i m e , i t c a n b e u s e d w h e n t i m e

a c c u r a c y i s d e s i r e d , a n d t h e f a c t o r e d d e l t a f o r m o f t h e i m p l i c i t E u l e r m e t h o d c a n b e

u s e d w h e n a c o n v e r g e d s t e a d y - s t a t e i s a l l t h a t i s r e q u i r e d .

5

A b r i e f i n s p e c t i o n o f e q s .

1 2 . 2 6 a n d 1 2 . 2 7 s h o u l d b e e n o u g h t o c o n v i n c e t h e r e a d e r t h a t t h e ' s p r o d u c e d b y

t h o s e m e t h o d s a r e i d e n t i c a l t o t h e p r o d u c e d b y t h i s m e t h o d .

5

I n p r a c t i c a l c o d e s , t h e v a l u e o f h o n t h e l e f t s i d e o f t h e i m p l i c i t e q u a t i o n i s l i t e r a l l y s w i t c h e d

f r o m h t o

1

2

h .



1 3 . 5 . E X A M P L E A N A L Y S I S O F T H E 3 - D M O D E L E Q U A T I O N 2 4 5

1 3 . 5 E x a m p l e A n a l y s i s o f t h e 3 - D M o d e l E q u a t i o n

T h e a r g u m e n t s i n S e c t i o n 1 3 . 3 g e n e r a l i z e t o t h r e e d i m e n s i o n s a n d , u n d e r t h e c o n d i -

t i o n s g i v e n i n 1 3 . 1 6 w i t h a n A

( z )

z

i n c l u d e d , t h e m o d e l 3 - D c a s e s

6

h a v e t h e f o l l o w i n g

r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n ( w i t h = 0 ) :

d u

d t

=

x

+

y

+

z

] u + a ( 1 3 . 2 1 )

L e t u s a n a l y z e a 2 n d - o r d e r a c c u r a t e , f a c t o r e d , d e l t a f o r m u s i n g t h i s e q u a t i o n . F i r s t

a p p l y t h e t r a p e z o i d a l m e t h o d :

u

n + 1

= u

n

+

1

2

h (

x

+

y

+

z

) u

n + 1

+ (

x

+

y

+

z

) u

n

+ 2 a ]

R e a r r a n g e t e r m s :

1 ;

1

2

h (

x

+

y

+

z

)

u

n + 1

=

1 +

1

2

h (

x

+

y

+

z

)

u

n

+ h a

P u t t h i s i n d e l t a f o r m :

1 ;

1

2

h (

x

+

y

+

z

)

u

n

= h (

x

+

y

+

z

) u

n

+ a ]

N o w f a c t o r t h e l e f t s i d e :

1 ;

1

2

h

x

1 ;

1

2

h

y

1 ;

1

2

h

z

u

n

= h (

x

+

y

+

z

) u

n

+ a ] ( 1 3 . 2 2 )

T h i s p r e s e r v e s s e c o n d o r d e r a c c u r a c y s i n c e t h e e r r o r t e r m s

1

4

h

2

(

x

y

+

x

z

+

y

z

) u

n

a n d

1

8

h

3

x

y

z

a r e b o t h O ( h

3

) . O n e c a n d e r i v e t h e c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l f o r E q . 1 3 . 2 2 , n d t h e

r o o t , a n d w r i t e t h e s o l u t i o n e i t h e r i n t h e f o r m

u

n

= c

2

6

6

4

1 +

1

2

h (

x

+

y

+

z

) +

1

4

h

2

(

x

y

+

x

z

+

y

z

) ;

1

8

h

3

x

y

z

1 ;

1

2

h (

x

+

y

+

z

) +

1

4

h

2

(

x

y

+

x

z

+

y

z

) ;

1

8

h

3

x

y

z

3

7

7

5

n

;

a

x

+

y

+

z

( 1 3 . 2 3 )

6

E q s . 1 3 . 1 1 a n d 1 3 . 1 2 , e a c h w i t h a n a d d i t i o n a l t e r m .




o r i n t h e f o r m

u

n

= c

2

6

6

4

1 +

1

2

h

x

1 +

1

2

h

y

1 +

1

2

h

z

;

1

4

h

3

x

y

z

1 ;

1

2

h

x

1 ;

1

2

h

y

1 ;

1

2

h

z

3

7

7

5

n

;

a

x

+

y

+

z

( 1 3 . 2 4 )

I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t i c e t h a t a T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n o f E q . 1 3 . 2 4 r e s u l t s i n

= 1 + h (

x

+

y

+

z

) +

1

2

h

2

(

x

+

y

+

z

)

2

( 1 3 . 2 5 )

+

1

4

h

3

h

3

z

+ ( 2

y

+ 2

x

) +

2

2

y

+ 3

x

y

+ 2

2

y

+

3

y

+ 2

x

2

y

+ 2

2

x

y

+

3

x

i

+

w h i c h v e r i e s t h e s e c o n d o r d e r a c c u r a c y o f t h e f a c t o r e d f o r m . F u r t h e r m o r e , c l e a r l y ,

i f t h e m e t h o d c o n v e r g e s , i t c o n v e r g e s t o t h e p r o p e r s t e a d y - s t a t e .

7

W i t h r e g a r d s t o s t a b i l i t y , i t f o l l o w s f r o m E q . 1 3 . 2 3 t h a t , i f a l l t h e ' s a r e r e a l a n d

n e g a t i v e , t h e m e t h o d i s s t a b l e f o r a l l h . T h i s m a k e s t h e m e t h o d u n c o n d i t i o n a l l y s t a b l e

f o r t h e 3 - D d i u s i o n m o d e l w h e n i t i s c e n t r a l l y d i e r e n c e d i n s p a c e .

N o w c o n s i d e r w h a t h a p p e n s w h e n w e a p p l y t h i s m e t h o d t o t h e b i c o n v e c t i o n m o d e l ,

t h e 3 - D f o r m o f E q . 1 3 . 1 2 w i t h p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s . I n t h i s c a s e , c e n t r a l

d i e r e n c i n g c a u s e s a l l o f t h e ' s t o b e i m a g i n a r y w i t h s p e c t r u m s t h a t i n c l u d e b o t h

p o s i t i v e a n d n e g a t i v e v a l u e s . R e m e m b e r t h a t i n o u r a n a l y s i s w e m u s t c o n s i d e r e v e r y

p o s s i b l e c o m b i n a t i o n o f t h e s e e i g e n v a l u e s . F i r s t w r i t e t h e r o o t i n E q . 1 3 . 2 3 i n t h e

f o r m

=

1 + i ; + i

1 ; i ; + i

w h e r e , a n d a r e r e a l n u m b e r s t h a t c a n h a v e a n y s i g n . N o w w e c a n a l w a y s n d

o n e c o m b i n a t i o n o f t h e ' s f o r w h i c h , a n d a r e b o t h p o s i t i v e . I n t h a t c a s e s i n c e

t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e p r o d u c t i s t h e p r o d u c t o f t h e a b s o l u t e v a l u e s

j j

2

=

( 1 ; )

2

+ ( + )

2

( 1 ; )

2

+ ( ; )

2

> 1

a n d t h e m e t h o d i s u n c o n d i t i o n a l l y u n s t a b l e f o r t h e m o d e l c o n v e c t i o n p r o b l e m .

F r o m t h e a b o v e a n a l y s i s o n e w o u l d c o m e t o t h e c o n c l u s i o n t h a t t h e m e t h o d r e p -

r e s e n t e d b y E q . 1 3 . 2 2 s h o u l d n o t b e u s e d f o r t h e 3 - D E u l e r e q u a t i o n s . I n p r a c t i c a l

c a s e s , h o w e v e r , s o m e f o r m o f d i s s i p a t i o n i s a l m o s t a l w a y s a d d e d t o m e t h o d s t h a t a r e

u s e d t o s o l v e t h e E u l e r e q u a t i o n s a n d o u r e x p e r i e n c e t o d a t e i s t h a t , i n t h e p r e s e n c e

o f t h i s d i s s i p a t i o n , t h e i n s t a b i l i t y d i s c l o s e d a b o v e i s t o o w e a k t o c a u s e t r o u b l e .

7

H o w e v e r , w e a l r e a d y k n e w t h i s b e c a u s e w e c h o s e t h e d e l t a f o r m .



1 3 . 6 . P R O B L E M S 2 4 7

1 3 . 6 P r o b l e m s

1 . S t a r t i n g w i t h t h e g e n e r i c O D E ,

d u

d t

= A u + f

w e c a n s p l i t A a s f o l l o w s : A = A

1

+ A

2

+ A

3

+ A

4

. A p p l y i n g i m p l i c i t E u l e r t i m e

m a r c h i n g g i v e s

u

n + 1

; u

n

h

= A

1

u

n + 1

+ A

2

u

n + 1

+ A

3

u

n + 1

+ A

4

u

n + 1

+ f

( a ) W r i t e t h e f a c t o r e d d e l t a f o r m . W h a t i s t h e e r r o r t e r m ?

( b ) I n s t e a d o f m a k i n g a l l o f t h e s p l i t t e r m s i m p l i c i t , l e a v e t w o e x p l i c i t :

u

n + 1

; u

n

h

= A

1

u

n + 1

+ A

2

u

n

+ A

3

u

n + 1

+ A

4

u

n

+ f

W r i t e t h e r e s u l t i n g f a c t o r e d d e l t a f o r m a n d d e n e t h e e r r o r t e r m s .

( c ) T h e s c a l a r r e p r e s e n t a t i v e e q u a t i o n i s

d u

d t

= (

1

+

2

+

3

+

4

) u + a

F o r t h e f u l l y i m p l i c i t s c h e m e o f p r o b l e m 1 a , n d t h e e x a c t s o l u t i o n t o t h e

r e s u l t i n g s c a l a r d i e r e n c e e q u a t i o n a n d c o m m e n t o n t h e s t a b i l i t y , c o n v e r -

g e n c e , a n d a c c u r a c y o f t h e c o n v e r g e d s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n .

( d ) R e p e a t 1 c f o r t h e e x p l i c i t - i m p l i c i t s c h e m e o f p r o b l e m 1 b .






A p p e n d i x A

U S E F U L R E L A T I O N S A N D

D E F I N I T I O N S F R O M L I N E A R

A L G E B R A

A b a s i c u n d e r s t a n d i n g o f t h e f u n d a m e n t a l s o f l i n e a r a l g e b r a i s c r u c i a l t o o u r d e v e l o p -

m e n t o f n u m e r i c a l m e t h o d s a n d i t i s a s s u m e d t h a t t h e r e a d e r i s a t l e a s t f a m i l a r w i t h

t h i s s u b j e c t a r e a . G i v e n b e l o w i s s o m e n o t a t i o n a n d s o m e o f t h e i m p o r t a n t r e l a t i o n s

b e t w e e n m a t r i c e s a n d v e c t o r s .

A . 1 N o t a t i o n

1 . I n t h e p r e s e n t c o n t e x t a v e c t o r i s a v e r t i c a l c o l u m n o r s t r i n g . T h u s

~

v =

2

6

6

6

4

v

1

v

2

.

.

.

v

m

3

7

7

7

5

a n d i t s t r a n s p o s e

~

v

T

i s t h e h o r i z o n t a l r o w

~

v

T

= v

1

v

2

v

3

: : : v

m

]

~

v = v

1

v

2

v

3

: : : v

m

]

T

2 . A g e n e r a l m m m a t r i x A c a n b e w r i t t e n

A = ( a

i j

) =

2

6

6

6

4

a

1 1

a

1 2

a

1 m

a

2 1

a

2 2

a

2 m

.

.

.

a

m 1

a

m 2

a

m m

3

7

7

7

5

2 4 9



2 5 0 A P P E N D I X A . U S E F U L R E L A T I O N S A N D D E F I N I T I O N S F R O M L I N E A R A L G E B R A

3 . A n a l t e r n a t i v e n o t a t i o n f o r A i s

A =

h

~

a

1

~

a

2

: : :

~

a

m

i

a n d i t s t r a n s p o s e A

T

i s

A

T

=

2

6

6

6

6

6

4

~

a

T

1

~

a

T

2

.

.

.

~

a

T

m

3

7

7

7

7

7

5

4 . T h e i n v e r s e o f a m a t r i x ( i f i t e x i s t s ) i s w r i t t e n A

; 1

a n d h a s t h e p r o p e r t y t h a t

A

; 1

A = A A

; 1

= I , w h e r e I i s t h e i d e n t i t y m a t r i x .

A . 2 D e n i t i o n s

1 . A i s s y m m e t r i c i f A

T

= A .

2 . A i s s k e w - s y m m e t r i c o r a n t i s y m m e t r i c i f A

T

= ; A .

3 . A i s d i a g o n a l l y d o m i n a n t i f a

i i

P

j 6= i

j a

i j

j i = 1 2 : : : m a n d a

i i

>

P

j 6= i

j a

i j

j

f o r a t l e a s t o n e i .

4 . A i s o r t h o g o n a l i f a

i j

a r e r e a l a n d A

T

A = A A

T

= I

5 .

A i s t h e c o m p l e x c o n j u g a t e o f A .

6 . P i s a p e r m u t a t i o n m a t r i x i f P

~

v i s a s i m p l e r e o r d e r i n g o f

~

v .

7 . T h e t r a c e o f a m a t r i x i s

P

i

a

i i

.

8 . A i s n o r m a l i f A

T

A = A A

T

.

9 . d e t A ] i s t h e d e t e r m i n a n t o f A .

1 0 . A

H

i s t h e c o n j u g a t e t r a n s p o s e o f A , ( H e r m i t i a n ) .

1 1 . I f

A =

a b

c d

t h e n

d e t A ] = a d ; b c

a n d

A

; 1

=

1

d e t A ]

d ; b

; c a






3 . G e r s h g o r i n ' s t h e o r e m : T h e e i g e n v a l u e s o f a m a t r i x l i e i n t h e c o m p l e x p l a n e i n

t h e u n i o n o f c i r c l e s h a v i n g c e n t e r s l o c a t e d b y t h e d i a g o n a l s w i t h r a d i i e q u a l t o

t h e s u m o f t h e a b s o l u t e v a l u e s o f t h e c o r r e s p o n d i n g o - d i a g o n a l r o w e l e m e n t s .

4 . I n g e n e r a l , a n m m m a t r i x A h a s n

~

x

l i n e a r l y i n d e p e n d e n t e i g e n v e c t o r s w i t h

n

~

x

m a n d n

d i s t i n c t e i g e n v a l u e s (

i

) w i t h n

n

~

x

m .

5 . A s e t o f e i g e n v e c t o r s i s s a i d t o b e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t i f

a

~

x

m

+ b

~

x

n

6=

~

x

k

m 6= n 6= k

f o r a n y c o m p l e x a a n d b a n d f o r a l l c o m b i n a t i o n s o f v e c t o r s i n t h e s e t .

6 . I f A p o s s e s e s m l i n e a r l y i n d e p e n d e n t e i g e n v e c t o r s t h e n A i s d i a g o n a l i z a b l e , i . e . ,

X

; 1

A X =

w h e r e X i s a m a t r i x w h o s e c o l u m n s a r e t h e e i g e n v e c t o r s ,

X =

h

~

x

1

~

x

2

: : :

~

x

m

i

a n d i s t h e d i a g o n a l m a t r i x

=

2

6

6

6

6

4

1

0 0

0

2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0

0 0

m

3

7

7

7

7

5

I f A c a n b e d i a g o n a l i z e d , i t s e i g e n v e c t o r s c o m p l e t e l y s p a n t h e s p a c e , a n d A i s

s a i d t o h a v e a c o m p l e t e e i g e n s y s t e m .

7 . I f A h a s m d i s t i n c t e i g e n v a l u e s , t h e n A i s a l w a y s d i a g o n a l i z a b l e , a n d w i t h

e a c h d i s t i n c t e i g e n v a l u e t h e r e i s o n e a s s o c i a t e d e i g e n v e c t o r , a n d t h i s e i g e n v e c t o r

c a n n o t b e f o r m e d f r o m a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f a n y o f t h e o t h e r e i g e n v e c t o r s .

8 . I n g e n e r a l , t h e e i g e n v a l u e s o f a m a t r i x m a y n o t b e d i s t i n c t , i n w h i c h c a s e t h e

p o s s i b i l i t y e x i s t s t h a t i t c a n n o t b e d i a g o n a l i z e d . I f t h e e i g e n v a l u e s o f a m a t r i x

a r e n o t d i s t i n c t , b u t a l l o f t h e e i g e n v e c t o r s a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t , t h e m a t r i x

i s s a i d t o b e d e r o g a t o r y , b u t i t c a n s t i l l b e d i a g o n a l i z e d .

9 . I f a m a t r i x d o e s n o t h a v e a c o m p l e t e s e t o f l i n e a r l y i n d e p e n d e n t e i g e n v e c t o r s ,

i t c a n n o t b e d i a g o n a l i z e d . T h e e i g e n v e c t o r s o f s u c h a m a t r i x c a n n o t s p a n t h e

s p a c e a n d t h e m a t r i x i s s a i d t o h a v e a d e f e c t i v e e i g e n s y s t e m .



A . 4 . E I G E N S Y S T E M S 2 5 3

1 0 . D e f e c t i v e m a t r i c e s c a n n o t b e d i a g o n a l i z e d b u t t h e y c a n s t i l l b e p u t i n t o a c o m -

p a c t f o r m b y a s i m i l a r i t y t r a n s f o r m , S , s u c h t h a t

J = S

; 1

A S =

2

6

6

6

6

4

J

1

0 0

0 J

2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0

0 0 J

k

3

7

7

7

7

5

w h e r e t h e r e a r e k l i n e a r l y i n d e p e n d e n t e i g e n v e c t o r s a n d J

i

i s e i t h e r a J o r d a n

s u b b l o c k o r

i

.

1 1 . A J o r d a n s u b m a t r i x h a s t h e f o r m

J

i

=

2

6

6

6

6

6

6

6

4

i

1 0 0

0

i

1

.

.

.

.

.

.

0 0

i

.

.

.

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1

0 0 0

i

3

7

7

7

7

7

7

7

5

1 2 . U s e o f t h e t r a n s f o r m S i s k n o w n a s p u t t i n g A i n t o i t s J o r d a n C a n o n i c a l f o r m .

A r e p e a t e d r o o t i n a J o r d a n b l o c k i s r e f e r r e d t o a s a d e f e c t i v e e i g e n v a l u e . F o r

e a c h J o r d a n s u b m a t r i x w i t h a n e i g e n v a l u e

i

o f m u l t i p l i c i t y r , t h e r e e x i s t s o n e

e i g e n v e c t o r . T h e o t h e r r ; 1 v e c t o r s a s s o c i a t e d w i t h t h i s e i g e n v a l u e a r e r e f e r r e d

t o a s p r i n c i p a l v e c t o r s . T h e c o m p l e t e s e t o f p r i n c i p a l v e c t o r s a n d e i g e n v e c t o r s

a r e a l l l i n e a r l y i n d e p e n d e n t .

1 3 . N o t e t h a t i f P i s t h e p e r m u t a t i o n m a t r i x

P =

2

6

4

0 0 1

0 1 0

1 0 0

3

7

5

P

T

= P

; 1

= P

t h e n

P

; 1

2

6

4

1 0

0 1

0 0

3

7

5

P =

2

6

4

0 0

1 0

0 1

3

7

5

1 4 . S o m e o f t h e J o r d a n s u b b l o c k s m a y h a v e t h e s a m e e i g e n v a l u e . F o r e x a m p l e , t h e




m a t r i x

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

2

6

4

1

1

1

1

1

3

7

5

1

1

1

1

2

1

2

3

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

i s b o t h d e f e c t i v e a n d d e r o g a t o r y , h a v i n g :

9 e i g e n v a l u e s

3 d i s t i n c t e i g e n v a l u e s

3 J o r d a n b l o c k s

5 l i n e a r l y i n d e p e n d e n t e i g e n v e c t o r s

3 p r i n c i p a l v e c t o r s w i t h

1

1 p r i n c i p a l v e c t o r w i t h

2

A . 5 V e c t o r a n d M a t r i x N o r m s

1 . T h e s p e c t r a l r a d i u s o f a m a t r i x A i s s y m b o l i z e d b y ( A ) s u c h t h a t

( A ) = j

m

j

m a x

w h e r e

m

a r e t h e e i g e n v a l u e s o f t h e m a t r i x A .

2 . A p - n o r m o f t h e v e c t o r ~v i s d e n e d a s

j j v j j

p

=

0

@

M

X

j = 1

j v

j

j

p

1

A

1 = p

3 . A p - n o r m o f a m a t r i x A i s d e n e d a s

j j A j j

p

= m a x

x 6= 0

j j A v j j

p

j j v j j

p



A . 5 . V E C T O R A N D M A T R I X N O R M S 2 5 5

4 . L e t A a n d B b e s q u a r e m a t r i c e s o f t h e s a m e o r d e r . A l l m a t r i x n o r m s m u s t h a v e

t h e p r o p e r t i e s

j j A j j 0 j j A j j = 0 i m p l i e s A = 0

j j c A j j = j c j j j A j j

j j A + B j j j j A j j + j j B j j

j j A B j j j j A j j j j B j j

5 . S p e c i a l p - n o r m s a r e

j j A j j

1

= m a x

j = 1 M

P

M

i = 1

j a

i j

j m a x i m u m c o l u m n s u m

j j A j j

2

=

q

( A

T

A )

j j A j j

1

= m a x

i = 1 2 M

P

M

j = 1

j a

i j

j m a x i m u m r o w s u m

w h e r e j j A j j

p

i s r e f e r r e d t o a s t h e L

p

n o r m o f A .

6 . I n g e n e r a l ( A ) d o e s n o t s a t i s f y t h e c o n d i t i o n s i n 4 , s o i n g e n e r a l ( A ) i s n o t a

t r u e n o r m .

7 . W h e n A i s n o r m a l , ( A ) i s a t r u e n o r m , i n f a c t , i n t h i s c a s e i t i s t h e L

2

n o r m .

8 . T h e s p e c t r a l r a d i u s o f A , ( A ) , i s t h e l o w e r b o u n d o f a l l t h e n o r m s o f A .






A p p e n d i x B

S O M E P R O P E R T I E S O F

T R I D I A G O N A L M A T R I C E S

B . 1 S t a n d a r d E i g e n s y s t e m f o r S i m p l e T r i d i a g o n a l s

I n t h i s w o r k t r i d i a g o n a l b a n d e d m a t r i c e s a r e p r e v a l e n t . I t i s u s e f u l t o l i s t s o m e o f

t h e i r p r o p e r t i e s . M a n y o f t h e s e c a n b e d e r i v e d b y s o l v i n g t h e s i m p l e l i n e a r d i e r e n c e

e q u a t i o n s t h a t a r i s e i n d e r i v i n g r e c u r s i o n r e l a t i o n s .

L e t u s c o n s i d e r a s i m p l e t r i d i a g o n a l m a t r i x , i . e . , a t r i d i a g o n a l w i t h c o n s t a n t s c a l a r

e l e m e n t s a , b , a n d c , s e e S e c t i o n 3 . 4 . I f w e e x a m i n e t h e c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h t h e

d e t e r m i n a n t o f t h i s m a t r i x i s z e r o , w e n d ( b y a r e c u r s i o n e x e r c i s e )

d e t B ( M : a b c ) ] = 0

i f

b + 2

p

a c c o s

m

M + 1

= 0 m = 1 2 M

F r o m t h i s i t f o l l o w s a t o n c e t h a t t h e e i g e n v a l u e s o f B ( a b c ) a r e

m

= b + 2

p

a c c o s

m

M + 1

m = 1 2 M ( B . 1 )

T h e r i g h t - h a n d e i g e n v e c t o r o f B ( a b c ) t h a t i s a s s o c i a t e d w i t h t h e e i g e n v a l u e

m

s a t i s e s t h e e q u a t i o n

B ( a b c )

~

x

m

=

m

~

x

m

( B . 2 )

a n d i s g i v e n b y

~

x

m

= ( x

j

)

m

=

a

c

j ; 1

2

s i n

j

m

M + 1

m = 1 2 M ( B . 3 )

2 5 7



2 5 8 A P P E N D I X B . S O M E P R O P E R T I E S O F T R I D I A G O N A L M A T R I C E S

T h e s e v e c t o r s a r e t h e c o l u m n s o f t h e r i g h t - h a n d e i g e n v e c t o r m a t r i x , t h e e l e m e n t s o f

w h i c h a r e

X = ( x

j m

) =

a

c

j ; 1

2

s i n

j m

M + 1

j = 1 2 M

m = 1 2 M

( B . 4 )

N o t i c e t h a t i f a = ; 1 a n d c = 1 ,

a

c

j ; 1

2

= e

i ( j ; 1 )

2

( B . 5 )

T h e l e f t - h a n d e i g e n v e c t o r m a t r i x o f B ( a b c ) c a n b e w r i t t e n

X

; 1

=

2

M + 1

c

a

m ; 1

2

s i n

m j

M + 1

m = 1 2 M

j = 1 2 M

I n t h i s c a s e n o t i c e t h a t i f a = ; 1 a n d c = 1

c

a

m ; 1

2

= e

; i ( m ; 1 )

2

( B . 6 )

B . 2 G e n e r a l i z e d E i g e n s y s t e m f o r S i m p l e T r i d i a g -

o n a l s

T h i s s y s t e m i s d e n e d a s f o l l o w s

2

6

6

6

6

6

6

4

b c

a b c

a b

.

.

.

c

a b

3

7

7

7

7

7

7

5

2

6

6

6

6

6

6

4

x

1

x

2

x

3

.

.

.

x

M

3

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

6

6

6

6

6

4

e f

d e f

d e

.

.

.

f

d e

3

7

7

7

7

7

7

5

2

6

6

6

6

6

6

4

x

1

x

2

x

3

.

.

.

x

M

3

7

7

7

7

7

7

5

I n t h i s c a s e o n e c a n s h o w a f t e r s o m e a l g e b r a t h a t

d e t B ( a

; d b

; e c

; f ] = 0 ( B . 7 )

i f

b ;

m

e + 2

q

( a ;

m

d ) ( c ;

m

f ) c o s

m

M + 1

= 0 m = 1 2 M ( B . 8 )

I f w e d e n e

m

=

m

M + 1

p

m

= c o s

m



B . 3 . T H E I N V E R S E O F A S I M P L E T R I D I A G O N A L 2 5 9

m

=

e b ; 2 ( c d + a f ) p

2

m

+ 2 p

m

q

( e c ; f b ) ( e a ; b d ) + ( c d ; a f ) p

m

]

2

e

2

; 4 f d p

2

m

T h e r i g h t - h a n d e i g e n v e c t o r s a r e

~

x

m

=

"

a ;

m

d

c ;

m

f

#

j ; 1

2

s i n j

m

]

m = 1 2 M

j = 1 2 M

T h e s e r e l a t i o n s a r e u s e f u l i n s t u d y i n g r e l a x a t i o n m e t h o d s .

B . 3 T h e I n v e r s e o f a S i m p l e T r i d i a g o n a l

T h e i n v e r s e o f B ( a b c ) c a n a l s o b e w r i t t e n i n a n a l y t i c f o r m . L e t D

M

r e p r e s e n t t h e

d e t e r m i n a n t o f B ( M : a b c )

D

M

d e t B ( M : a b c ) ]

D e n i n g D

0

t o b e 1 , i t i s s i m p l e t o d e r i v e t h e r s t f e w d e t e r m i n a n t s , t h u s

D

0

= 1

D

1

= b

D

2

= b

2

; a c

D

3

= b

3

; 2 a b c ( B . 9 )

O n e c a n a l s o n d t h e r e c u r s i o n r e l a t i o n

D

M

= b D

M ; 1

; a c D

M ; 2

( B . 1 0 )

E q . B . 1 0 i s a l i n e a r O E t h e s o l u t i o n o f w h i c h w a s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 4 . 2 . I t s

c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l P ( E ) i s P ( E

2

; b E + a c ) a n d t h e t w o r o o t s t o P ( ) = 0

r e s u l t i n t h e s o l u t i o n

D

M

=

1

p

b

2

; 4 a c

8

<

:

"

b +

p

b

2

; 4 a c

2

#

M + 1

;

"

b ;

p

b

2

; 4 a c

2

#

M + 1

9

=

M = 0 1 2 ( B . 1 1 )

w h e r e w e h a v e m a d e u s e o f t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s D

0

= 1 a n d D

1

= b . I n t h e l i m i t i n g

c a s e w h e n b

2

; 4 a c = 0 , o n e c a n s h o w t h a t

D

M

= ( M + 1 )

b

2

!

M

b

2

= 4 a c




T h e n f o r M = 4

B

; 1

=

1

D

4

2

6

6

6

4

D

3

; c D

2

c

2

D

1

; c

3

D

0

; a D

2

D

1

D

2

; c D

1

D

1

c

2

D

1

a

2

D

1

; a D

1

D

1

D

2

D

1

; c D

2

; a

3

D

0

a

2

D

1

; a D

2

D

3

3

7

7

7

5

a n d f o r M = 5

B

; 1

=

1

D

5

2

6

6

6

6

6

4

D

4

; c D

3

c

2

D

2

; c

3

D

1

c

4

D

0

; a D

3

D

1

D

3

; c D

1

D

2

c

2

D

1

D

1

; c

3

D

1

a

2

D

2

; a D

1

D

2

D

2

D

2

; c D

2

D

1

c

2

D

2

; a

3

D

1

a

2

D

1

D

1

; a D

2

D

1

D

3

D

1

; c D

3

a

4

D

0

; a

3

D

1

a

2

D

2

; a D

3

D

4

3

7

7

7

7

7

5

T h e g e n e r a l e l e m e n t d

m n

i s

U p p e r t r i a n g l e :

m = 1 2 M ; 1 n = m + 1 m + 2 M

d

m n

= D

m ; 1

D

M ; n

( ; c )

n ; m

= D

M

D i a g o n a l :

n = m = 1 2 M

d

m m

= D

M ; 1

D

M ; m

= D

M

L o w e r t r i a n g l e :

m = n + 1 n + 2 M n = 1 2 M ; 1

d

m n

= D

M ; m

D

n ; 1

( ; a )

m ; n

= D

M

B . 4 E i g e n s y s t e m s o f C i r c u l a n t M a t r i c e s

B . 4 . 1 S t a n d a r d T r i d i a g o n a l s

C o n s i d e r t h e c i r c u l a n t ( s e e S e c t i o n 3 . 4 . 4 ) t r i d i a g o n a l m a t r i x

B

p

( M : a b c ) ( B . 1 2 )



B . 4 . E I G E N S Y S T E M S O F C I R C U L A N T M A T R I C E S 2 6 1

T h e e i g e n v a l u e s a r e

m

= b + ( a + c ) c o s

2 m

M

; i ( a ; c ) s i n

2 m

M

m = 0 1 2 M ; 1

( B . 1 3 )

T h e r i g h t - h a n d e i g e n v e c t o r t h a t s a t i s e s B

p

( a b c )

~

x

m

=

m

~

x

m

i s

~

x

m

= ( x

j

)

m

= e

i j ( 2 m = M )

j = 0 1 M ; 1 ( B . 1 4 )

w h e r e i

p

; 1 , a n d t h e r i g h t - h a n d e i g e n v e c t o r m a t r i x h a s t h e f o r m

X = ( x

j m

) = e

i j

2 m

M

j = 0 1 M ; 1

m = 0 1 M ; 1

T h e l e f t - h a n d e i g e n v e c t o r m a t r i x w i t h e l e m e n t s x

0

i s

X

; 1

= ( x

0

m j

) =

1

M

e

; i m

2 j

M

m = 0 1 M ; 1

j = 0 1

M

; 1

N o t e t h a t b o t h X a n d X

; 1

a r e s y m m e t r i c a n d t h a t X

; 1

=

1

M

X

, w h e r e X i s t h e

c o n j u g a t e t r a n s p o s e o f X .

B . 4 . 2 G e n e r a l C i r c u l a n t S y s t e m s

N o t i c e t h e r e m a r k a b l e f a c t t h a t t h e e l e m e n t s o f t h e e i g e n v e c t o r m a t r i c e s X a n d X

; 1

f o r t h e t r i d i a g o n a l c i r c u l a n t m a t r i x g i v e n b y e q . B . 1 2 d o n o t d e p e n d o n t h e e l e m e n t s

a b c i n t h e m a t r i x . I n f a c t , a l l c i r c u l a n t m a t r i c e s o f o r d e r M h a v e t h e s a m e s e t o f

l i n e a r l y i n d e p e n d e n t e i g e n v e c t o r s , e v e n i f t h e y a r e c o m p l e t e l y d e n s e . A n e x a m p l e o f

a d e n s e c i r c u l a n t m a t r i x o f o r d e r M = 4 i s

2

6

6

6

4

b

0

b

1

b

2

b

3

b

3

b

0

b

1

b

2

b

2

b

3

b

0

b

1

b

1

b

2

b

3

b

0

3

7

7

7

5

( B . 1 5 )

T h e e i g e n v e c t o r s a r e a l w a y s g i v e n b y e q . B . 1 4 , a n d f u r t h e r e x a m i n a t i o n s h o w s t h a t

t h e e l e m e n t s i n t h e s e e i g e n v e c t o r s c o r r e s p o n d t o t h e e l e m e n t s i n a c o m p l e x h a r m o n i c

a n a l y s i s o r c o m p l e x d i s c r e t e F o u r i e r s e r i e s .

A l t h o u g h t h e e i g e n v e c t o r s o f a c i r c u l a n t m a t r i x a r e i n d e p e n d e n t o f i t s e l e m e n t s ,

t h e e i g e n v a l u e s a r e n o t . F o r t h e e l e m e n t i n d e x i n g s h o w n i n e q . B . 1 5 t h e y h a v e t h e

g e n e r a l f o r m

m

=

M ; 1

X

j = 0

b

j

e

i ( 2 j m = M )

o f w h i c h e q . B . 1 3 i s a s p e c i a l c a s e .




B . 5 S p e c i a l C a s e s F o u n d F r o m S y m m e t r i e s

C o n s i d e r a m e s h w i t h a n e v e n n u m b e r o f i n t e r i o r p o i n t s s u c h a s t h a t s h o w n i n F i g .

B . 1 . O n e c a n s e e k f r o m t h e t r i d i a g o n a l m a t r i x B ( 2 M : a b a ) t h e e i g e n v e c t o r s u b s e t

t h a t h a s e v e n s y m m e t r y w h e n s p a n n i n g t h e i n t e r v a l 0 x . F o r e x a m p l e , w e s e e k

t h e s e t o f e i g e n v e c t o r s

~

x

m

f o r w h i c h

2

6

6

6

6

6

6

6

6

4

b a

a b a

a

.

.

.

.

.

.

a

a b a

a b

3

7

7

7

7

7

7

7

7

5

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

x

1

x

2

.

.

.

.

.

.

x

2

x

1

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

=

m

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

x

1

x

2

.

.

.

.

.

.

x

2

x

1

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

T h i s l e a d s t o t h e s u b s y s t e m o f o r d e r M w h i c h h a s t h e f o r m

B ( M : a

~

b a )

~

x

m

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

b a

a b a

a

.

.

.

.

.

.

a

a b a

a b + a

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

~

x

m

=

m

~

x

m

( B . 1 6 )

B y f o l d i n g t h e k n o w n e i g e n v e c t o r s o f B ( 2 M : a b a ) a b o u t t h e c e n t e r , o n e c a n s h o w

f r o m p r e v i o u s r e s u l t s t h a t t h e e i g e n v a l u e s o f e q . B . 1 6 a r e

m

= b + 2 a c o s

( 2 m ; 1 )

2 M + 1

!

m = 1 2

M ( B . 1 7 )



B . 6 . S P E C I A L C A S E S I N V O L V I N G B O U N D A R Y C O N D I T I O N S 2 6 3

a n d t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v e c t o r s a r e

~

x

m

= s i n

j ( 2 m ; 1 )

2 M + 1

j = 1 2 M

I m p o s i n g s y m m e t r y a b o u t t h e s a m e i n t e r v a l

b u t f o r a m e s h w i t h a n o d d n u m b e r o f p o i n t s ,

s e e F i g . B . 1 , l e a d s t o t h e m a t r i x

B ( M :

~

a

b a ) =

2

6

6

6

6

6

6

6

6

4

b a

a b a

a

.

.

.

.

.

.

a

a b a

2 a b

3

7

7

7

7

7

7

7

7

5

B y f o l d i n g t h e k n o w n e i g e n v a l u e s o f B ( 2 M

;

1 : a b a ) a b o u t t h e c e n t e r , o n e c a n s h o w

f r o m p r e v i o u s r e s u l t s t h a t t h e e i g e n v a l u e s o f

e q . B . 1 7 a r e

L i n e o f S y m m e t r y

x = 0 x =

j

0

= 1 2 3 4 5 6

M

0

j = 1 2 3

M

a . A n e v e n - n u m b e r e d m e s h

L i n e o f S y m m e t r y

x = 0 x =

j

0

= 1 2 3 4 5

M

0

j = 1 2 3

M

b . A n o d d { n u m b e r e d m e s h

F i g u r e B . 1 { S y m m e t r i c a l f o l d s f o r

s p e c i a l c a s e s

m

= b + 2 a c o s

( 2 m ; 1 )

2 M

!

m = 1 2 M

a n d t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v e c t o r s a r e

~

x

m

= s i n

j ( 2 m ; 1 )

2 M

!

j = 1 2 M

B . 6 S p e c i a l C a s e s I n v o l v i n g B o u n d a r y C o n d i t i o n s

W e c o n s i d e r t w o s p e c i a l c a s e s f o r t h e m a t r i x o p e r a t o r r e p r e s e n t i n g t h e 3 - p o i n t c e n t r a l

d i e r e n c e a p p r o x i m a t i o n f o r t h e s e c o n d d e r i v a t i v e @

2

= @ x

2

a t a l l p o i n t s a w a y f r o m t h e

b o u n d a r i e s , c o m b i n e d w i t h s p e c i a l c o n d i t i o n s i m p o s e d a t t h e b o u n d a r i e s .




N o t e : I n b o t h c a s e s

m = 1 2 M

j = 1 2 M

; 2 + 2 c o s ( ) = ; 4 s i n

2

( = 2 )

W h e n t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e D i r i c h l e t o n b o t h s i d e s ,

2

6

6

6

6

6

6

4

; 2 1

1

; 2 1

1 ; 2 1

1 ; 2 1

1 ; 2

3

7

7

7

7

7

7

5

m

= ; 2 + 2 c o s

m

M + 1

~

x

m

= s i n

h

j

m

M + 1

i

( B . 1 8 )

W h e n o n e b o u n d a r y c o n d i t i o n i s D i r i c h l e t a n d t h e o t h e r i s N e u m a n n ( a n d a d i a g o n a l

p r e c o n d i t i o n e r i s a p p l i e d t o s c a l e t h e l a s t e q u a t i o n ) ,

2

6

6

6

6

6

6

4

; 2 1

1 ; 2 1

1 ; 2 1

1 ; 2 1

1 ; 1

3

7

7

7

7

7

7

5

m

= ; 2 + 2 c o s

( 2 m ; 1 )

2 M + 1

~

x

m

= s i n

j

( 2 m

; 1 )

2 M + 1

( B . 1 9 )



A p p e n d i x C

T H E H O M O G E N E O U S

P R O P E R T Y O F T H E E U L E R

E Q U A T I O N S

T h e E u l e r e q u a t i o n s h a v e a s p e c i a l p r o p e r t y t h a t i s s o m e t i m e s u s e f u l i n c o n s t r u c t i n g

n u m e r i c a l m e t h o d s . I n o r d e r t o e x a m i n e t h i s p r o p e r t y , l e t u s r s t i n s p e c t E u l e r ' s

t h e o r e m o n h o m o g e n e o u s f u n c t i o n s . C o n s i d e r r s t t h e s c a l a r c a s e . I f F ( u v ) s a t i s e s

t h e i d e n t i t y

F ( u v ) =

n

F ( u v ) ( C . 1 )

f o r a x e d n , F i s c a l l e d h o m o g e n e o u s o f d e g r e e n . D i e r e n t i a t i n g b o t h s i d e s w i t h

r e s p e c t t o a n d s e t t i n g = 1 ( s i n c e t h e i d e n t i t y h o l d s f o r a l l ) , w e n d

u

@ F

@ u

+ v

@ F

@ v

= n F ( u v ) ( C . 2 )

C o n s i d e r n e x t t h e t h e o r e m a s i t a p p l i e s t o s y s t e m s o f e q u a t i o n s . I f t h e v e c t o r

F ( Q ) s a t i s e s t h e i d e n t i t y

F ( Q ) =

n

F ( Q ) ( C . 3 )

f o r a x e d n , F i s s a i d t o b e h o m o g e n e o u s o f d e g r e e n a n d w e n d

"

@ F

@ q

#

Q = n F ( Q ) ( C . 4 )

2 6 5



2 6 6 A P P E N D I X C . T H E H O M O G E N E O U S P R O P E R T Y O F T H E E U L E R E Q U A T I O N S

N o w i t i s e a s y t o s h o w , b y d i r e c t u s e o f e q . C . 3 , t h a t b o t h E a n d F i n e q s . 2 . 1 1 a n d

2 . 1 2 a r e h o m o g e n e o u s o f d e g r e e 1 , a n d t h e i r J a c o b i a n s , A a n d B , a r e h o m o g e n e o u s

o f d e g r e e 0 ( a c t u a l l y t h e l a t t e r i s a d i r e c t c o n s e q u e n c e o f t h e f o r m e r ) .

1

T h i s b e i n g

t h e c a s e , w e n o t i c e t h a t t h e e x p a n s i o n o f t h e u x v e c t o r i n t h e v i c i n i t y o f t

n

w h i c h ,

a c c o r d i n g t o e q . 6 . 1 0 5 c a n b e w r i t t e n i n g e n e r a l a s ,

E = E

n

+ A

n

( Q ; Q

n

) + O ( h

2

)

F = F

n

+ B

n

( Q ; Q

n

) + O ( h

2

) ( C . 5 )

c a n b e w r i t t e n

E = A

n

Q + O ( h

2

)

F = B

n

Q + O ( h

2

) ( C . 6 )

s i n c e t h e t e r m s E

n

; A

n

Q

n

a n d F

n

; B

n

Q

n

a r e i d e n t i c a l l y z e r o f o r h o m o g e n e o u s

v e c t o r s o f d e g r e e 1 , s e e e q . C . 4 . N o t i c e a l s o t h a t , u n d e r t h i s c o n d i t i o n , t h e c o n s t a n t

t e r m d r o p s o u t o f e q . 6 . 1 0 6 .

A s a n a l r e m a r k , w e n o t i c e f r o m t h e c h a i n r u l e t h a t f o r a n y v e c t o r s F a n d Q

@ F ( Q )

@ x

=

"

@ F

@ Q

#

@ Q

@ x

= A

@ Q

@ x

( C . 7 )

W e n o t i c e a l s o t h a t f o r a h o m o g e n e o u s F o f d e g r e e 1 , F = A Q a n d

@ F

@ x

= A

@ Q

@ x

+

"

@ A

@ x

#

Q ( C . 8 )

T h e r e f o r e , i f F i s h o m o g e n e o u s o f d e g r e e 1 ,

"

@ A

@ x

#

Q = 0 ( C . 9 )

i n s p i t e o f t h e f a c t t h a t i n d i v i d u a l l y @ A = @ x ] a n d Q a r e n o t e q u a l t o z e r o .

1

N o t e t h a t t h i s d e p e n d s o n t h e f o r m o f t h e e q u a t i o n o f s t a t e . T h e E u l e r e q u a t i o n s a r e h o m o g e -

n e o u s i f t h e e q u a t i o n o f s t a t e c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m p = f ( ) , w h e r e i s t h e i n t e r n a l e n e r g y

p e r u n i t m a s s .



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Fundamentals of Computational Fluid Dynamics - Lomax, Pulliam