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Ampliacin de fundamentos de matemtica aplicada. Fernando Luis Garca Alonso. Antonio Prez. Jos Antonio Reyes Perales

ISBN: 9788499480329e-book v.1.0

ISBN edicin en Papel: 978-84-8454-977-2Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33C/. Cottolengo, 25 San Vicente (Alicante)www.ecu.fm

Maqueta y diseo: Gamma. Telf.: 965 67 19 87C/. Decano, 4 San Vicente (Alicante)[email protected]

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse otransmitirse por ningn procedimiento electrnico o mecnico, incluyendo fotocopia, grabacin

magntica o cualquier almacenamiento de informacin o siste ma de reproduccin, sin permisoprevio y por escrito de los titulares del Copyright.
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CORNKCEKP FG HWPFCOGPVQU

FGOCVGOVKEC CRNKECFC

FERNANDO LUIS GARCA ALONSOANTONIO PREZ CARRI

JOS ANTONIO REYES PERALES

Profesores Titulares

de laEscuela Politcnica Superior

de laUniversidad de Alicante


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A nuestras familias


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Prlogo

Las matemticas son una herramienta para los estudiantes de las carreras tcnicas,

tanto conceptual como de clculo. Conceptual porque permite comprender los desarrollostericos de asignaturas fundamentales, de clculo porque ayuda a resolver los problemasque habitualmente se presentan en el ejercicio de la profesin.

Las matemticas tienen un carcter formativo, que genera el hbito de plantear lostrabajos con rigor y contribuye al desarrollo de un autntico mtodo cientfico del futuroprofesional.

El objetivo fundamental que comparten las asignaturas de matemticas en todaslas carreras tcnicas, tanto medias como superiores, es el de proporcionar al estudianteuna formacin matemtica bsica, que le permita acceder al estudio de cualquier disciplinade matemtica aplicada, requerida en su ejercicio profesional, ms adelante. Este objetivopuede ser formulado, ms detalladamente, del modo siguiente:

Familiarizar al alumno con el lenguaje y razonamientos matemticos, situndolo en condicionesde adquirir por s mismo, en el futuro, los conocimientos de matemticas que precise comoinstrumento de su labor tcnica especfica.Proporcionarle asimismo, mtodos tiles para abordar los problemas que aparecen en lasdiferentes disciplinas de su titulacin.Dotarle de un repertorio de conceptos, mtodos y tcnicas de anlisis o clculo adecuados a sus

futuras necesidades profesionales.

La presente obra ha sido concebida para tales fines, y est dirigida preferentemente

a los alumnos que han elegido una carrera tcnica, inspirndose su redaccin en losprogramas de las principales universidades.

Es tambin voluntad de los autores que este texto constituya una herramienta til yeficaz en la preparacin de exmenes, procurando que sea lo ms autosuficiente posible,en el sentido de que pueda leerse sin ms conocimientos previos que los que aparecen encualquier asignatura de Fundamentos de Matemtica Aplicada.

Con esta idea se ha credo conveniente incluir en cada captulo, adems de unaintroduccin terica que proporciona una visin global del tema que intentamos abordar,una coleccin variada de problemas resueltos con observaciones y notas que tienen porobjeto facilitar su comprensin. Al finalizar cada captulo aparece una recopilacin de

problemas propuestos, similares a los resueltos, para que el alumno ejercite y afiance losconocimientos adquiridos.Es tambin intencin de los autores, que el presente libro permita asentar unas bases

slidas para ulteriores estudios.El contenido de esta obra se estructura en siete captulos; en los cinco primeros se

estudian los conceptos de aplicaciones lineales entre espacios vectoriales, valores y vectorespropios de un endomorfismo, transformaciones ortogonales, diagonalizacin ortogonaly su aplicacin al estudio, clasificacin y representacin grfica de cnicas. El captuloseis presenta las ideas de lmite, continuidad y diferenciabilidad de campos escalares y

vectoriales. Por ltimo en el sptimo se efecta el estudio sobre la integracin exacta deecuaciones diferenciales ordinarias bsicas.

Los autores


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ndice

Captulo 1.....................................................................................................................1Aplicaciones Lineales..............................................................................................1

1.1 Introduccin ....................................................................................................11.2 Aplicaciones lineales. Clasificacin................................................................2

1.2.1 Definicin de aplicacin lineal.................................................................2

1.2.2 Teorema de caracterizacin......................................................................21.2.3 Ejemplos de aplicaciones lineales............................................................21.2.4 Propiedades..............................................................................................31.2.5 Clasificacin de homomorfismos.............................................................3

1.3 Imagen y ncleo de una aplicacin lineal .......................................................31.3.1 Definiciones y consecuencias ..................................................................31.3.2 Teoremas de caracterizacin de monomorfismos. ...................................41.3.3 Caracterizacin de la imagen recproca de un vector ..............................4

1.4 Homomorfismos entre E.V. de dimensin finita. ............................................51.4.1 Isomorfismos entre E.V. de la misma dimensin.....................................51.4.2 Determinacin de aplicaciones lineales. ..................................................5

1.4.3 Teoremas de caracterizacin de mono, epi e isomorfismos.....................61.5 Matriz de una aplicacin lineal .......................................................................6

1.5.1 Ecuaciones y matriz de un homomorfismo..............................................61.5.2 Operaciones con aplicaciones lineales y matrices asociadas...................7

1.6 Equivalencia de matrices asociadas a una misma A.L....................................81.6.1 Definicin de matrices equivalentes, semejantes y congruentes .............81.6.2 Relacin entre matrices asociadas a una misma A.L. en distintas bases. 9

Ejercicios resueltos................................................................................................10Ejercicios propuestos ............................................................................................28


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Captulo 2...................................................................................................................31Diagonalizacin de Endomorfismos ....................................................................31

2.1 Introduccin ..................................................................................................312.2 Valores y vectores propios ............................................................................32

2.2.1 Definicin de valores y vectores propios de un endomorfismo. ............322.2.2 Subespacio propio asociado a un valor propio. .....................................32

2.3 Determinacin de valores y vectores propios. ..............................................332.3.1 Clculo de valores y vectores propios. Ecuacin caracterstica ............332.4 Definicin de endomorfismo diagonalizable. ...............................................34

2.4.1 Endomorfismo diagonalizable. ..............................................................342.4.2 Teorema de caracterizacin y consecuencias.........................................342.4.3 Primer teorema de diagonalizacin........................................................342.4.4 Teorema fundamental de diagonalizacin..............................................34

2.5 Matrices diagonalizables...............................................................................352.5.1 Definicin de matrices diagonalizables .................................................352.5.2 Caracterizacin ......................................................................................352.5.3 Propiedades............................................................................................352.5.4 Teoremas de anulacin...........................................................................35

Ejercicios resueltos................................................................................................37Ejercicios propuestos ............................................................................................57

Captulo 3...................................................................................................................59Transformaciones Ortogonales............................................................................59

3.1 Introduccin ..................................................................................................593.2 Aplicaciones ortogonales ..............................................................................60

3.2.1 Homomorfismo ortogonal......................................................................603.2.2 Consecuencias........................................................................................60

3.3 Transformaciones ortogonales ......................................................................603.3.1 Definicin de transformacin ortogonal. ...............................................603.3.2 Teoremas de caracterizacin..................................................................61

3.4. Matrices ortogonales....................................................................................613.4.1 Definicin de matrices ortogonales........................................................613.4.2 Teorema de caracterizacin....................................................................613.4.3 Transformaciones ortogonales directas e inversas.................................62

3.4.4 Transformaciones en el E.V.E. ( )2 con el p.e. cannico. ..............63Ejercicios resueltos................................................................................................64Ejercicios propuestos ............................................................................................75

Captulo 4...................................................................................................................77Diagonalizacin Ortogonal...................................................................................77

4.1 Introduccin ..................................................................................................77

4.2 Endomorfismos simtricos de ( )n .........................................................784.3 Valores y vectores propios de un endomorfismo simtrico...........................784.4 Diagonalizacin ortogonal de un endomorfismo simtrico ..........................794.5 Formas cuadrticas........................................................................................79

4.5.1 Definicin de forma cuadrtica..............................................................79

4.5.2 Expresin reducida de una forma cuadrtica .........................................834.5.3 Formas cuadrticas definidas, semidefinidas e indefinidas....................84Ejercicios resueltos................................................................................................85Ejercicios propuestos ..........................................................................................106


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Captulo 5 .....................................................................................................................109Cnicas......................................................................................................................109

5.1 Introduccin .................................................................................................... 1095.2 Definicin y ecuacin reducida ...................................................................... 1105.3 Ecuacin cannica y representacin grfica de cnicas no degeneradas ...... 1125.4 Clasificacin y representacin grfica de cnicas.......................................... 113

Ejercicios resueltos ..................................................................................................118Ejercicios propuestos ..............................................................................................154

Captulo 6 .....................................................................................................................155Clculo Diferencial..................................................................................................155

6.1 Introduccin .................................................................................................... 155

6.2 Nociones de topologa de n ........................................................................156

6.2.1 El espacio normado n ...........................................................................156

6.2.2 Clasificacin de los puntos de n con respecto a un conjunto nD R ..1576.3 Lmites de campos escalares...........................................................................159

6.3.1 Lmites finitos de campos escalares ........................................................1596.3.2 Lmites segn un subconjunto.................................................................1596.3.3 Lmites infinitos de campos escalares.....................................................1616.3.4 Propiedades de los lmites de campos escalares. .................................... 163

6.4 Lmites finitos de campos vectoriales.............................................................1636.5 Continuidad de funciones de varias variables................................................164

6.5.1 Continuidad local de campos escalares...................................................1646.5.2 Continuidad local de campos vectoriales................................................164

6.6 Derivadas direccionales y derivadas parciales...............................................1656.6.1 Derivadas direccionales y derivadas parciales de campos escalares......165

6.6.2 Derivadas direccionales y derivadas parciales de campos vectoriales...1686.7 La diferencial ..................................................................................................169

6.7.1 Diferencial de campos vectoriales...........................................................1696.7.2 Matriz jacobiana ......................................................................................1726.7.3 Interpretacin geomtrica de la diferencial de campos escalares...........175

6.8 Diferenciacin de funciones compuestas .......................................................175Ejercicios resueltos ..................................................................................................177Ejercicios propuestos ..............................................................................................242

Captulo 7 .....................................................................................................................249

Ecuaciones diferenciales .........................................................................................2497.1 Introduccin. ................................................................................................... 2497.2 Definiciones y terminologa............................................................................2507.3 Problema Cauchy o de valores iniciales.........................................................2507.4 Ecuaciones con variables separables..............................................................2527.5 Ecuaciones homogneas. ................................................................................2527.6 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. .......................................2537.7 Ecuaciones de Bernouilli. ...............................................................................2557.8 Ecuaciones diferenciales exactas....................................................................255

7.8.1 Factores integrantes. ................................................................................2557.8.2 Algunos tipos de factores integrantes......................................................256

7.9 Trayectorias isogonales...................................................................................2587.10 Ecuacin diferencial lineal de orden n, con coeficientes constantes. ..........258

7.10.1 Sistema fundamental de soluciones.......................................................259


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7.10.2 Clculo de sistemas fundamentales de soluciones.............................2597.10.3 Solucin general de la ecuacin diferencial lineal de orden n

completa con coeficientes constantes.................................................261Ejercicios resueltos..............................................................................................263Cuadro E.D.O. orden n.......................................................................................305Ejercicios propuestos ..........................................................................................306

Bibliografa ..............................................................................................................309

ndice alfabtico de definiciones ............................................................................311


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1

Ecrvwnq 3

Crnkecekqpgu Nkpgcngu

1.1 Introduccin

Parece lgico que despus de haber manejado Espacios vectoriales intentemosbuscar relaciones entre ellos. Estas aplicaciones entre espacios vectoriales debencumplir al menos con las operaciones que definen la estructura de espacio vectorialy conservar dicha estructura, es decir, deben preservar la suma y el producto por unescalar. En otras palabras estas aplicaciones, llamadas lineales, mantienen la forma yde ah que tambin reciban el nombre de homomorfismos (igual forma).

La palabra lineal con la que se apostillan estas aplicaciones entre espaciosvectoriales, proviene de la expresin en ecuaciones lineales de las imgenes. Cuandolos espacios vectoriales relacionados son de dimensin finita, las ecuaciones lineales

de las imgenes toman cuerpo a travs de su expresin matricial, encontrndonos conun elemento tan ligado a la aplicacin lineal que en ocasiones se identificarn ambosconceptos. Nos estamos refiriendo a la matriz asociada a una aplicacin lineal respectoa dos bases dadas (si los EV son distintos) o respecto de una base (si son iguales), loque finalmente nos llevar respectivamente a la equivalencia o semejanza de matricesque representan a una misma aplicacin lineal.

Son muchos los fenmenos que se comportan de modo lineal a travs de modelosmatemticos aplicados a distintos mbitos cientfico-tcnicos, como por ejemplo, enarquitectura, fsica, ingeniera elctrica, ecologa, economa, telecomunicaciones,...


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Captulo 1. Aplicaciones lineales

1.2 Aplicaciones lineales. Clasificacin

1.2.1 Definicin de aplicacin lineal

Definicin. Sean U y V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo k . Una

aplicacin f de U en V es toda correspondencia que asocia a cada vector u U

un

nico vector v V , que se llama Imagen o Transformado de u mediante f.

LaAplicacin :f U V esLinealsi verifica las condiciones siguientes:

( ) ( ) ( )1) ,f u v f u f v u v U+ = + .

( ) ( )2)f u f u u U =

k .

Observacin: Terminolgicamente son conceptos idnticos Aplicacin Lineal, Homomorfismo,Transformacin Lineal y Operador lineal.

1.2.2 Teorema de caracterizacin

Teorema.La aplicacin :f U V es lineal u homomorfismo si, y slo si:

( ) ( ) ( )f u v f u f v u v U + = + , , k

1.2.3 Ejemplos de aplicaciones lineales

1.Si [x]nR es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que n,a coeficientes reales y con indeterminada en x, entonces la aplicacin entre espacios

vectoriales 1: [x] [x]n nD R R que a cada polinomio le hace corresponder su derivadarespecto de x es lineal (comprubese por el lector).

2.Sea =U C [ ],a b , a b< el espacio vectorial de las funciones reales que son continuasen el intervalo [a, b].

La aplicacin entre espacios vectoriales: : U R

( ) ( )b

af x f x dx

es lineal (basta utilizar la linealidad de la integral definida).

3.Dado el espacio vectorial 1 2U U U= , entonces las aplicaciones proyeccin de U

sobre 1U y sobre 2U son lineales.

4. La aplicacin identidad : ,i U U tal que ( )i u u u U =

, es lineal.

5. La aplicacin nula 0 :U V , tal que 0( ) 0,u u U=

, es lineal.

6.Los giros y simetras axiales son transformaciones que conservan las distancias ypuede comprobar el lector que son transformaciones lineales.


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3

Resumen terico

1.2.4 Propiedades

Dada la Aplicacin Lineal entre espacios vectoriales sobre el cuerpo ,k :f U V , severifica:

a) (0) 0f =

.b) ( ) ( )f u f u u U =

.

c) Si 1U es subespacio vectorial de 1( )U f U es subespacio vectorial de V .

d) Si 1V es subespacio vectorial de1

1( )V f V es subespacio vectorial de U .

e) Si Ses un sistema generador de 1 ( )U f S es un sistema generador de 1( )f U .

f) Si Ses un sistema ligado en ( )U f S es un sistema ligado en V .

g) Si ( )f S es un sistema libre en V S es un sistema libre en U(contrarrecproco de f).

Observacin :El sistema imagen de un sistema libre puede ser libre o ligado, dependiendo de laaplicacin lineal .

1.2.5 Clasificacin de homomorfismos

Definicin.Una aplicacin :f U V es:

a) inyectiva si ( ) ( )f u f v u v u v U= = ; ,

.

b)sobreyectiva si ( )f U V= . c) biyectiva si es inyectiva y sobre a la vez.

Definicin.Sea :f U V una aplicacin lineal u homomorfismo, entonces:

1) Si f es inyectiva, se le llama monomorfismo.

2) Si f es sobreyectiva, se le llama epimorfismo.

3) Si f es biyectiva, se le llama isomorfismo.

4) SiU V= , entonces a f se le llama endomorfismo.A un endomorfismo biyectivo se le llama automorfismo.

Observacin: En una correspondencia unvoca entre conjuntos con cardinalidad,:f A B, en la que todos los originales tienen una sola imagen, la inyectividad implica que

( ) ( )Card A Card B , la sobreyectividad implica que ( ) ( )Card A Card B y la biyectividad ,

que =( ) ( )Card A Card B . En estas condiciones si f es inyectiva y =( ) ( )Card A Card B entoncesf es biyectiva. Claramente las dimensiones de espacios vectoriales isomorfos son iguales.

1.3 Imagen y ncleo de una aplicacin lineal

1.3.1 Definiciones y consecuencias

Definicin. Sea :f U V una aplicacin lineal entre espacios vectoriales sobre unmismo cuerpo k, entonces:


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4


Se llamaI. Imagende f al conjunto de vectores transformados de todos los

vectores de U y se representa por Im(f). Como Im(f) = ( )f U , entoncespor la propiedad c) es un Subespacio Vectorial de V.

LlamamosRangode f a la dimensin de Im(f).

Se denominaII. Imagen recproca de un vector v V

mediante f, y se

representa por 1( )f v

, al conjunto de vectores de U que tienen por imagen

a v

.

Se llamaIII. Ncleo de f, y se representa por N(f) o Ker(f) (del ingls

Kernel, o del alemn kern), al conjunto de vectores de U cuya imagen es

nula (imagen recproca del vector nulo). Por la propiedad d) como {0} es

un subespacio vectorial (impropio) de V y N(f) = 1(0)f

entonces N(f) =

es un subespacio vectorial de U. A la dimensin delncleo de f se le llamanulidadde f .

Si U es de dimensin finita entonces dimU = dim N(IV. f) + dim Im(f) =

nulidad de f + rango de f .

1.3.2 Teoremas de caracterizacin de monomorfismos.

Teoremas:

fi. es un monomorfismo N( f ) = .fii. es un monomorfismo La imagen de todo sistema libre de U es un sistemalibre en V.

Observacin: Como consecuencia del primer teorema resulta obvio que si dim U es finita

entonces, f es monomorfismo sii dimU = rango de f= dimIm(f) = dim U( )f .

1.3.3 Caracterizacin de la imagen recproca de un vector

Sea el homomorfismo :f U V y v

Im( f ), entonces existe un vector 0u U

talque 0( )f u v= .

Si u

es otro vector de Ucuya imagen tambin es v

, es decir , un

vector cualquiera de la imagen recproca de v

, entonces 0( ) ( )f u f u=

por lo que

0 ( ) u u N f , y as podemos concluir fcilmente que :

Observacin: Obviamente si N(f)=

la imagen recproca de cualquier vector ( )v I m f consta de un (mono) solo vector.


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Resumen terico

1.4 Homomorfismos entre E.V. de dimensin finita.

En esta seccin entenderemos que nU quiere decir que el espacio vectorial Usobre elcuerpok tiene dimensin n.

Entonces la aplicacin lineal : n mf U V se entender que parte de un espacio vectorial

de dimensin ny llega a un espacio vectorial de dimensin m. Si no se pone el subndicese entender que no es necesario el dato de la dimensin.

1.4.1 Isomorfismos entre E.V. de la misma dimensin.

Dado el espacio vectorial ( )nU k , una base B = {{ }, 1, 2,...,ie i n=

de ste y el vector x

del mismo, podemos expresar x

como combinacin lineal nica de los vectores de la

base, es decir, 1 1 n nx x e x e= + ...+

, donde los coeficientes de la combinacin lineal son

escalares del cuerpok

, que agrupados de la forma 1( )nx x,..., denotan las coordenadasde x

en la base B.

La aplicacin

1

( ) ( )

( ,..., )

n

n

n

U

x x x

:

k k k

es lineal y biyectiva (comprubese como ejercicio).Lo que establece un isomorfismo entre espacios vectoriales de dimensin ny el espacio

vectorial nk .

Observacin:El isomorfismo definido depender en cada caso de la base elegida. Este isomorfismo

nos permite identificar nU conn

k para de esta forma poder trabajar con mayor simplicidad a la

hora de resolver ejercicios tanto tericos como prcticos.n

k es el modelo analtico de los espacios

vectoriales, n-dimensionales, sobre el cuerpo k y su importancia estriba en que un sistema de

coordenadas permite el estudio de la geometra vectorial de un e.v. V de dimensin n sobre k .

Observacin: Si recordamos la observacin del apartado 1.2.5, toda aplicacin lineal inyectivaentre espacios vectoriales de la misma dimensin finita es biyectiva y por lo tanto isomorfismo.

1.4.2 Determinacin de aplicaciones lineales.

Teorema. Una aplicacin lineal : nf U V queda unvocamente determinada

conociendo las imgenes de los vectores de una base de nU . Si { } 1,2,...,i i nB e ==

es base

de nU y x

nU entonces,

1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n n nx x e x e f x f x e x e x f e x f e= + ...+ = + ...+ = + ... +

.


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1.4.3 Teoremas de caracterizacin de mono, epi e isomorfismos.

Sea : nf U V un homomorfismo,

{ } 1,2,...,i i nB e ==

una base de nU y { } 1,...,( ) ( )i i nf B f e ==

entonces:

Teoremas:

fi. es epimorfismo ( )f B es sistema generador de V.

fii. es monomorfismo ( )f B es libre.

fiii. es isomorfismo ( )f B es base de V.

1.5 Matriz de una aplicacin lineal

1.5.1 Ecuaciones y matriz de un homomorfismo

Sean { }1,...,U nB u u=

y { }1 ,...,=V mB v v

bases respectivas de los espacios

vectoriales nU y mV y nx U

e my V

tales que ( )f x y=

.

Si conocemos las imgenes de los vectores de la base UB tendremos determinada la

aplicacin lineal : n mf U V , en efecto:

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

( )

( )

...................................................( )

m m

m m

n n n nm m

f u v v v

f u v v v

f u v v v

= + + ...+

= + + ...+

= + + ...+

Recordemos que por un lado

1 1 m my y v y v= + ...+

y que por otro

1 1

1 11 1 12 2 1 1 1 2 2

1 11 2 21 1 1 1 1 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

n n

m m n n n nm m

n n m m n nm m

y f x x f u x f u

x v v v x v v v

x x x v x x x v

= = + ...+ =

= + + ...+ + ... + + + ... + == + + ...+ + ... + + + ... +

y como la expresin de y

es nica en la base VB , los coeficientes de la combinacinlineal coinciden y as resulta que:

1 1 11 2 21 1

2 1 12 2 22 2

1 1 2 2

..............................................

n n

n n

m m m n nm

y x x x

y x x x

y x x x

= + + ...+

= + + ...+

= + + ...+


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Resumen terico

que son las Ecuaciones de la aplicacin lineal.

Expresando matricialmente el sistema anterior, que relaciona las coordenadas

1( ,..., )nx x de x

en la base UB con las coordenadas 1( ,..., )my y de ( )f x

en la base VB

se obtiene:

1 11 21 1 1

2 12 22 2 2

1 2

n

n

m m m nm n

y x

y x

y x

=

donde

11 21 1

12 22 2

1 2

n

n

m m nm

es la Matriz de la aplicacin lineal f respecto a las basesBUyB

V, cuyas columnas

son las coordenadas de las imgenes de los vectores de UB respecto de la base VB .

Se puede utilizar la notacin U VB Bf para aludir a dicha matriz.

Observacin: A la matriz de un homomorfismo f respecto a las bases dadas tambin se llamamatriz asociada al homomorfismo f respecto a dichas bases.

1.5.2 Operaciones con aplicaciones lineales y matrices asociadas

Sean : n mf U V y : n mg U V y UB una base de nU y VB una base de mV . Las

matrices asociadas a dichos homomorfismos respecto a las bases UB y VB , son

respectivamente:

U VB BF f= y

U VB BG g=

Suma y producto por un escalar

Definicin. Se define la aplicacin lineal suma f g de la siguiente forma:

( )( ) ( ) ( ) nf g u f u g u u U = ;

y la matriz asociada correspondiente es F G.

Del mismo modo se define el homomorfismo producto por un escalar f tal que

( )( ) ( ) , ,nf u f u u U K = y su matriz asociada es F .Con estas operaciones el conjunto de las aplicaciones lineales entre los espacios

vectoriales nU y mV , ( , )n mL U V tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo k


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y es isomorfo al espacio vectorial de las matrices de orden m n, por lo que su dimensines m n.

Composicin de aplicaciones

Sean : n mf U V y : m ph V W y UB una base de nU y VB una base de mV y WB una

base de pW . Las matrices asociadas a dichos homomorfismos respecto a sus bases sonrespectivamente:

U VB BF f= y

V WB BH h=

Definicin:El homomorfismo composicin (f compuesto con h)

: n ph f U W

se define por ( )( ) [ ( )]h f u h f u= y tiene por matriz asociada H F .

De forma natural en caso de existir la aplicacin inversa de f para la composicin ,1

f , su matriz asociada sera la inversa deF, es decir , 1F .

1.6 Equivalencia de matrices asociadas a una misma A.L.

1.6.1 Definicin de matrices equivalentes, semejantes y congruentes

Definicin.Dos matrices , ( )mxnA B M k son equivalentessi existen dos matrices P yQ, cuadradas y regulares, de rdenes n y m respectivamente, tales que :

1B Q A P=

Observacin: Dos matrices que representen a una misma aplicacin lineal pero en distintasbases, son equivalentes, siendo P y Q las matrices de cambio de base (en el siguiente apartado seestudiar esta situacin con detalle).

Definicin.Dos matrices , ( )nA B M k

sonsemejantessi existe una matriz P regular,de orden n, tal que:

1= B P A P

Observacin:Dos matrices que representen al mismo endomorfismo pero en distinta base, sonsemejantes, siendo P la matriz de cambio de base. Es trivial que las matrices semejantes tienen elmismo determinante.

Definicin.Dos matrices , ( )nA B M k soncongruentessi existe una matriz P regular,

de orden n, tal que:

tB P A P=


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Resumen terico

Observacin:Dos matrices que representen al mismo endomorfismo ortogonal pero en distintabase, son congruentes, siendo P la matriz de cambio de base.

1.6.2 Relacin entre matrices asociadas a una misma A.L. en distintasbases.

Sean : n mf U V , UB una base de nU , VB una base de mV y U VB BF f= la matrizasociada a fen dichas bases.

Consideramos ahora las bases 'UB de nU y 'VB de mV respecto a las que la matriz

asociada afesU VB B

F f= ' '' .

La matriz de cambio de base (cuadrada y regular) de 'B aBse denota por ( )'B B: encada espacio vectorial.

Sea nx U

e my V

tales que ( )f x y=

.

La expresin en forma de matriz columna de x en la base UB viene dada porX,y en

la base 'UB por 'X .

La expresin en forma de matriz columna de y

en la base VB viene dada por Y, y en

la base 'VB por 'Y .

Las relaciones de cambio de base son:

( )' 'U UX B B X= : (1) ( )' 'V VY B B Y = : (2)

Por otro lado: Y F X= (3), ' ' 'Y F X= (4) (relaciones de las matrices asociadas)

Sustituyendo (1) y (2) en (3) se obtiene:

( ) ( )' ' ' 'V V U U B B Y F B B X: = : (5)por lo que

( ) ( )1' ' ' 'V V U U Y B B F B B X

= : : (6)

y como la matriz de una aplicacin lineal respecto a unas bases dadas es nica,comparando (4) y (6) resulta que:

( ) ( )1' ' 'V V U U F B B F B B

= : :

lo que corrobora la equivalencia de las matrices asociadas a una misma aplicacinlineal en distintas bases.


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EJERCICIOS RESUELTOS

1. Dados los espacios vectoriales U y V, estudie si las siguientes aplicacionesf:UV son lineales:

U = V =a) 3( )R R / f(x,y,z) = (2x + y, y z, x + y + z).U =b) 3( )R R ; V = 2 ( )R R / f(x,y,z) = (2xy, x + 3y 4z).

U = V =c) ( )nM R / f(A) = At A.

SOLUCIN:

Para que la aplicacin f : U V (entre espacios vectoriales sobre el mismocuerpo k) sea lineal u homomorfismo debe cumplirse que:

En la prctica se utiliza el teorema de caracterizacin (T.C.):

Dado quea) = + + +R R R R3 3f : ( ) ( )/f(x, y, z) (2x y, y z, x y z)

Utilizando la caracterizacin anterior

+ = + + + =

+ + + + + + + + + + =

+ + + + + + + = +

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1

f( (x , y , z ) (x , y , z )) f( x x , y y , z z )

(2( x x ) ( y y ),( y y ) ( z z ),( x x ) ( y y ) ( z z ))

(2x y , y z , x y z ) (2x y , y z , x y z ) f(x , y , z ) 2 2 2f(x , y , z )

para cualquier R, y R R31 1 1 2 2 2(x , y , z ),(x , y , z ) ( ) por lo que es f unaaplicacin lineal

En este casob) =R R R R3 2f : ( ) ( )/ (x, y, z) (2xy, x+3y-4z)f

Cuando las coordenadas del vector imagen son expresiones polinmicas podemos utilizarun mtodo intuitivo para el reconocimiento de homomorfismos. Cuando las coordenadasmencionadas son polinomios de trminos homogneos de grado 1 ( lineales) entonceses homomorfismo. Por el contrario si alguna coordenada es no lineal o de grado cero (nonulo), no ser aplicacin lineal. En este ltimo caso basta encontrar un ejemplo que nocumpla la definicin o el T.C.


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Ejercicios resueltos

f(2,0,0)=(0,2)

f(1,1,1)=(2,0) f(2,0,0)+f(1,1,1) f(3,1,1)

f(3,1,1)=(6,2)

y como consecuencia f no es homomorfismo

c) = R Rf : ( ) ( )/f( ) tn nM M A A A

Utilizando el T.C.

+ = + + = + =

+ = +

f( ) ( ) ( )

( ) ( ) f( ) f( )

t t t

t t

A B A B A B A B A B

A A B B A B

R R, ( ), ,nA B M con lo que fes una aplicacin lineal.

2. Determine los subespacios Im(f) y N(f) de la siguientes aplicacioneslineales:

f:a) 3( )R R 3( )R R / f(x,y,z) = ( y, 0, x - y - z).

f:b) 1( )P R 1( )P R / f(p(x)) = xp(x) ( 1( )P R es el e.v. de lospolinomios de grado menor o igual que uno, con indeterminada en x

y a coeficientes reales).SOLUCIN:

Hallaremos unas ecuaciones implcitas y una base del N( f ) y de la Im( f ) en cadacaso.

De la definicin de fa) resulta que

= + +f(x, y, z) x(0,0,1) y(1,0,-1) z(0,0,-1)

por lo que se deduce fcilmente que

Im( f ) =

pues (0,0,-1) es proporcional a (0,0,1) y una base de la imagen es pues {(1,0,-1),(0,0,1)}

Para hallar unas ecuaciones implcitas sea (x,y,z) Im( f ) , por lo que

=

= + = = +

x

(x,y,z) (1,0,-1) (0,0,1) y 0

z


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que constituyen las ecuaciones paramtricas de las que eliminando los parmetrosobtenemos una ecuacin implcita que en este caso es y = 0.

En cuanto al N( f ) ={(x,y,z)/f(x,y,z)=(0,0,0)} nos conduce al sistema

=

=

=

y 0

0 0

x-y-z 0

de

donde N( f ) ={(x,y,z)/y=0, x = z}={(x,0,x)/x real}=, siendo unas ecuacionesimplcitas, y = 0 , x = z y una base, {(1,0,1)}.

En este caso resulta claro que f(ax + b) = ax por lo que Im( fb) ) = = {ax+b/ b = 0}, siendo la ecuacin implcita, b = 0 y una base de Im( f ), {x}.

De la misma forma N( f ) = {ax+b / f(ax+b) = polinomio idnticamente nulo (P.I.N)}Es decir N( f ) = {ax+b/ ax = 0x+0} = {ax+b/ a = 0} = y de esta forma una basede N( f ) es {1} y una ecuacin implcita es a = 0.

3. Clasifique las siguientes aplicaciones lineales:

f:a) ( )nM R ( )nM R / f(A) = At+ A n2.

f:b) 3( )R R 2 ( )R R / f(x,y,z) = ( x + y, y + z).

f:c) 2 ( )R R 3( )R R / f(x,y) = ( 2x - y, 2y x, 2x+2y).

SOLUCIN:a) Dado que A+At es una matriz simtrica entonces Im( f ) = S

n(R) (espacio

vectorial de las matrices simtricas). Por otro lado toda matriz cuadrada real de orden n puede expresarse de forma

nica como suma de una matriz simtrica mas una antisimtrica, es decir,

Mn(R) = S

n(R) AS

n(R)

Adems dim Mn(R) = dim Im( f ) + dim N( f ) = dim S

n(R)+ dim N( f ) y

de la expresin anterior podemos concluir que N( f ) = ASn(R) por lo que f slo esendomorfismo *.

Otra forma de llegar al ncleo de f es:

N( f ) ={A Mn(R)/A+At= 0 (matriz nula)}={A M

n(R)/A= - At} es decir N(f) =

ASn(R).

* Como dim Sn(R) =

( 1)

2

n n+ y dim AS

n(R) =

( 1)

2

n n resulta obvio el

resultado.


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Ejercicios resueltos

b) Im(f) = x(1,0) + y(1,1) + z(0,1) = = 2 ( )R R como consecuenciaf es sobre y dado que las dimensiones de los espacios vectoriales son distintas f no puedeser biyectiva luego no puede ser inyectiva y por tanto f es epimorfismo.

c) N( f ) = {(x,y)/ 2 0;2 0;2 2 0x y y x x y = = + = }={(0,0)} luego f es

inyectiva y como las dimensiones de los espacios vectoriales son distintas f no puede serbiyectiva , por tanto f no es sobre y como consecuencia f es monomorfismo.

NOTA: Si f :U V es una aplicacin lineal (entre espacios vectoriales de dimensinfinita) sabemos que dimU = dim Im(f) + dim N(f). As pues en el caso en que dimU > dimV , f nopuede ser inyectiva (ya que en cualquier caso dim Im(f) dimV < dimU con lo que dim N(f)

0 y entonces N(f) { 0

}).Por otro lado si dimU < dimV, f no puede ser sobreyectiva (ya que dim Im(f) dimU

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