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Preliminares Funciones polin omicas y racionales Funci on exponencial y logarıtmica Funciones trigonom etricas

Funciones de una variable (I)

Sesion teorica 7

5 de octubre de 2010


1 Preliminares

2 Funciones polinomicas y racionales

3 Funcion exponencial y logarıtmica

4 Funciones trigonometricas


Funci on

Definici onLlamaremos funcion real de una variable real a toda regla deasignacion f entre subconjuntos X e Y de R de modo que acada elemento x ∈ X le hace corresponder uno y solo unoy = f (x) ∈ Y :

f : X ⊆ R → R.

X se denomina dominio de definicion de f e Y es el codominio.

Ejemplos: f (x) = 1x , g(x) = 1√

x3−8, funcion signo (sg(x)),

funcion valor absoluto.


Representaci on gr afica

Definici onSi f : X ⊆ R → R es una funcion real de una variable real, sedefine la grafica de f de la siguiente manera:

Graf (f ) = {(x , y) ∈ R2 | y = f (x), x ∈ X}.



Funci on inyectiva

Definici onUna funcion f : X ⊆ R → R es inyectiva si, dados x 6= x∗

cualesquiera de X entonces f (x) 6= f (x∗).

Graficamente, una funcion es inyectiva si cualquier rectahorizontal corta a lo sumo una vez a la grafica de la funcion.

La funcion de la izquierda es inyectiva, mientras que la de la derecha no lo

es.


Funci on inversa

Si una funcion es inyectiva en un dominio X entonces, tomandoY = f (X ), la funcion f : X → Y es biyectiva, es decir, a cadaelemento x de X le corresponde exactamente un elemento yde Y y viceversa. Entonces podemos definir la funcion:

f−1 : Y → X

tal que, para cada y ∈ Y , f−1(y) es aquel elemento x de X conf (x) = y .

Se cumple que f−1(f (x)) = x para todo x ∈ X y quef (f−1(y)) = y para todo y ∈ Y .


Graficamente: (y , x) ∈ Graf (f−1) ⇔ (x , y) ∈ Graf (f )Es decir: las graficas de f y f−1 son simetricas respecto a labisectriz del primer cuadrante:


1 Preliminares

2 Funciones polin omicas y racionales




Funciones polin omicas

1 Dominio: R.2 Sus graficas cortan al eje de abcisas, como maximo, en n

puntos distintos (donde n es el grado del polinomio quedefine la funcion).

3 Cuestion: Demuestra que toda funcion polinomica degrado impar corta al eje de abcisas al menos una vez.


f (x) = (x + 1)(x − 1)(x − 2)(x − 4)


f (x) = (x + 1)(x − 2)2(x − 4)


f (x) = (x + 1)(x2 − 4x + 5x)(x − 4)


Funciones racionales

Las funciones racionales son aquellas que son cociente de dospolinomios:

f (x) =p(x)

q(x), p, q ∈ R[x ].

1 Dominio: {x ∈ R | q(x) 6= 0}2 Cada cero de q (que no sea tambien cero de p)

proporciona una asıntota vertical de la grafica de f .


1 Preliminares


3 Funci on exponencial y logarıtmica



Funci on exp(x) (tambi en denotada por ex )

Definici onDado x ∈ R cualquiera definimos:

exp(x) = ex := lımn→∞

(1 +

xn

)n.

Definici onLlamaremos numero e al valor

exp(1) = lımn→∞

(1 +

1n

)n

.

OBSERVACION: e ≈ 2, 718281828459046 . . . es irracional.


Propiedades

1 exp(x) es siempre positiva y monotona creciente.2 exp(0) = 1.3 exp(x)exp(y) = exp(x + y).4 exp(−x) = 1

exp(x)

5 exp(x)exp(y) = exp(x − y).

6 exp(pq ) = ep/q = q

√p para todo racional p/q.

7 exp(x) posee una asıntota horizontal (el eje de abcisas).



Funci on logaritmo natural

La funcion exp(x) es inyectiva, luego tiene funcion inversa.

Definici onEl logaritmo natural, o neperiano, o de base e, denotado porlog(x), se define como la funcion inversa de exp(x).

log : R+ → R, y = log(x) ⇔ x = exp(y)


Grafica de log(x)


Propiedades

1 El dominio de log(x) es R+.2 log(x) es estrictamente creciente.3 El eje de ordenadas es una asıntota vertical.4 log(1) = 0.5 log(xy) = log(x) + log(y).6 log(x/y) = log(x)− log(y).7 log(xα) = αlog(x) para todo α ∈ Q.


Funci on exponencial

Definici onDado a > 0 y x ∈ R se define

ax := exp(x · log(a)) = ex ·log(a)

Propiedades:

1 axay = ax+y

2 ax/ay = ax−y

3 axbx = (ab)x

4 ax/bx = (a/b)x

5 log(ax) = x · log(a)

6 (ax)y = axy

7 ap/q = q√

ap si p, q ∈ N



Funci on logaritmo

La funcion exponencial en base a 6= 1 tiene inversa.

Definici onSi a > 0 y a 6= 1, se define la funcion logaritmo en base a, y sedenota por loga(x), como la funcion inversa de la exponencialax .

loga : R+ → R y = loga(x) ⇔ ay = x

Observacion: log ∼= loge.


Grafica de loga(x)


Expresi on de cualquier logaritmo en funci on dellogaritmo natural

y = loga(x) ⇔ x = ay = ey log(a) ⇔ log(x) = y log(a) ⇔ y =log(x)

log(a)

Por tanto:

La funcion logaritmo de base a 6= 1 cualquiera puedeobtenerse a partir del logaritmo neperiano:

loga(x) =log(x)

log(a).


1 Preliminares



4 Funciones trigonom etricas


Funciones seno y coseno

Definici on

Dado un numero real x , se definen cos(x) y sen(x) como las coordenadasdel punto P de la circunferencia unidad tal que el area OPQ es x/2 o,equivalentemente, la longitud del arco de circunferencia que va de Q a P esx .

NOTA: Se entendera que, si x es positivo, el arco QP se recorre en sentido

anti-horario y, si x es negativo, se recorre en sentido horario.


Propiedades

1 sen(x) y cos(x) son funciones periodicas de perıodo 2π.2 sen2(x) + cos2(x) = 13 sen(−x) = − sen(x), cos(−x) = cos(x)

4 sen(x + y) = sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y)

5 cos(x + y) = cos(x) cos(y)− sen(x) sen(y)

6 sen(2x) = 2 sen(x) cos(x)

7 etc.


Tangente y cotangente

A partir de las funciones seno y coseno se definen:

tan(x) =sen(x)

cos(x)cot(x) =

cos(x)

sen(x)


Graficas


Funciones trigonom etricas inversas


Funciones trigonom etricas hiperb olicas

Definici on

Hiperbola unidad: {(x , y) ∈ R2 | x2 − y2 = 1}.

(cosh(x), senh(x)) son las coordenadas del punto P de lahiperbola unidad tal que el area de la region OPQ es x/2.


Propiedades

senh(x) =ex − e−x

2y cosh(x) =

ex + e−x

2cosh2(x)− senh2(x) = 1

cosh(x)− senh(x) = e−x

cosh(x) + senh(x) = ex

Tambien pueden definirse la tangente y la cotangentehiperbolicas:

tanh(x) =sinh(x)

cosh(x)

coth(x) =cosh(x)

senh(x)para x 6= 0


Graficas


Funciones inversas de las hiperb olicas

Inversa de sinh(x): Argumento del seno hiperbolico:

arg senh(x)

Inversa de cosh(x): Argumento del coseno hiperbolico:

arg cosh(x)

Inversa de tanh(x): Argumento de la tangente hiperbolica:

arg tanh(x)

Inversa de coth(x): Argumento de la cotangentehiperbolica:

arg coth(x)

Estas funciones admiten expresiones en terminos delogaritmos (veanse los apuntes).

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