Fran˘cois Fillastre Universit e de Cergy{Pontoisefillastre.perso.math.cnrs.fr/pdf/3geometries1.pdf · Universit e de Cergy{Pontoise Les trois g eom etries. Les trois g eom etries

Les trois geometries


Francois FillastreUniversite de Cergy–Pontoise



Geometrie euclidienne

Premiere geometrie





On appelle Geometrie euclidiennel’etude des figures usuelles duplan : droites, segments,longueurs, mesures des angles,aires etc.




On appelle Geometrie euclidiennel’etude des figures usuelles duplan : droites, segments,longueurs, mesures des angles,aires etc.

Son nom vient d’Euclide(IIIe/IVe siecle av. J.C.), qui adefini des axiomes (ou postulats),que verifient la geometrie usuelle.Inversement, a partir de cesaxiomes, on peut redemontrer lesresulats de la geometrie usuelle(euclidienne).




Le postulat le plus celebre est le cinquieme, le postulat desparalleles, qui dit que




Le postulat le plus celebre est le cinquieme, le postulat desparalleles, qui dit que




(Deux droites sont paralleles si elles sont distinctes et ne serencontrent jamais)




(Deux droites sont paralleles si elles sont distinctes et ne serencontrent jamais)

Cet enonce est equivalent a







La somme des mesures des angles d’un triangle est egale a 180degres.





α + β + γ = π





α + β + γ = π

Pendant longtemps (' 25 siecles...) on s’est demande si il etaitvraiment necessaire que ce resultat soit un axiome.





α + β + γ = π


(est-ce qu’on ne peut pas le demontrer a partir des autresaxiomes ?)





α + β + γ = π


(est-ce qu’on ne peut pas le demontrer a partir des autresaxiomes ?)

Tout au long du 19e siecle on s’est apercu qu’il existe d’autresgeometries....



Geometrie spherique

Deuxieme geometrie

Geometrie spherique



Geometrie spherique

Qu’est-ce qu’une droite ?



Geometrie spherique


Definition

Un droite est un chemin qui contient le plus court chemin entredeux de ses points quelconques.

On utilise le mot geodesique.



Geometrie spherique


Definition

Un droite est un chemin qui contient le plus court chemin entredeux de ses points quelconques.

On utilise le mot geodesique.



Geometrie spherique

Comment trouver le chemin le plus court entre deux points sur unesphere ?



Geometrie spherique



Geometrie spherique



Geometrie spherique



Geometrie spherique

Sur la terre (qui n’est pas plate), si on veut trouver le chemin leplus court pour aller de Cergy a Los Angeles, il vaut mieux ne pasfaire confiance a une carte ! (qui est plate)



Geometrie spherique



Geometrie spherique



Geometrie spherique

En effet il n’est pas possible pour une carte usuelle de representerfidelement la surface de la terre.



Geometrie spherique

D’ailleurs il ne peut pas exister de carte qui represente les vraies(rapports de) distances sur la globe.



Geometrie spherique

D’ailleurs il ne peut pas exister de carte qui represente les vraies(rapports de) distances sur la globe.Il y a un moyen simple de s’en convaincre : on prend quatre villeset on liste les distances entre elles.



Geometrie spherique

D’ailleurs il ne peut pas exister de carte qui represente les vraies(rapports de) distances sur la globe.Il y a un moyen simple de s’en convaincre : on prend quatre villeset on liste les distances entre elles.On place une ville n’importe ou, ensuite la seconde a la bonnedistance de la premiere.



Geometrie spherique

D’ailleurs il ne peut pas exister de carte qui represente les vraies(rapports de) distances sur la globe.Il y a un moyen simple de s’en convaincre : on prend quatre villeset on liste les distances entre elles.On place une ville n’importe ou, ensuite la seconde a la bonnedistance de la premiere.Puis la troisieme a la bonne distance des deux premieres.



Geometrie spherique

D’ailleurs il ne peut pas exister de carte qui represente les vraies(rapports de) distances sur la globe.Il y a un moyen simple de s’en convaincre : on prend quatre villeset on liste les distances entre elles.On place une ville n’importe ou, ensuite la seconde a la bonnedistance de la premiere.Puis la troisieme a la bonne distance des deux premieres.Enfin il faudrait placer la quatrieme a la bonne distance des troispremiere et... on n’y arrive pas !



Geometrie spherique

L’experience montre que les droites de la sphere sont les ”grandscercles” : ce sont les intersections de la sphere avec un planpassant par le centre de la sphere.



Geometrie spherique

L’experience montre que les droites de la sphere sont les ”grandscercles” : ce sont les intersections de la sphere avec un planpassant par le centre de la sphere.



Geometrie spherique

Sur un globe terrestre, les meridiens sont des demi-droites etl’equateur est une droite.Ce qu’on appelle les “paralleles” sur un globe sont simplement...des cercles ! (ensembles de points a distance constante des poles)



Geometrie spherique

Sur un globe terrestre, les meridiens sont des demi-droites etl’equateur est une droite.Ce qu’on appelle les “paralleles” sur un globe sont simplement...des cercles ! (ensembles de points a distance constante des poles)



Geometrie spherique

Et donc sur la sphere, toutes lesdroites se coupent !



Geometrie spherique

Et donc sur la sphere, toutes lesdroites se coupent !Donc

il n’y a pas de droites paralleles !



Geometrie spherique

Et donc sur la sphere, toutes lesdroites se coupent !Donc

il n’y a pas de droites paralleles !

C’est une autre geometrie que la geometrie euclidienne, onl’appelle la geometrie spherique.



Geometrie spherique

On definit l’angle entre deux grands cercles de la sphere commel’angle entre les deux vecteurs tangents au point d’intersection.



Geometrie spherique

On definit l’angle entre deux grands cercles de la sphere commel’angle entre les deux vecteurs tangents au point d’intersection.



Geometrie spherique

Rappelons qu’un triangle est la donnee de trois points et desdroites les joignant.



Geometrie spherique

Rappelons qu’un triangle est la donnee de trois points et desdroites les joignant.Pour differentes raisons, on ne considere que les triangles de lasphere contenus dans un hemisphere.



Geometrie spherique

Rappelons qu’un triangle est la donnee de trois points et desdroites les joignant.Pour differentes raisons, on ne considere que les triangles de lasphere contenus dans un hemisphere.On peut facilement trouver des triangles sur la sphere dont lasomme des mesures des angles est (strictement !) plus grande queπ.



Geometrie spherique



Geometrie spherique

Ce triangle spherique est “plus gros” que le triangle euclidienpassant par les memes sommets (vus comme des points del’espace).



Geometrie spherique

En fait tous les triangles spheriques ont cette propriete.



Geometrie spherique

En fait tous les triangles spheriques ont cette propriete.Plus precisement, on peut montrer la Formule de Girard :



Geometrie spherique


Theoreme

Soit T un triangle sur la sphere de rayon 1. Alors :

α + β + γ = π + aire(T).



Geometrie spherique


Theoreme

Soit T un triangle sur la sphere de rayon 1. Alors :

α + β + γ = π + aire(T).

Corollaire

La somme des angles d’un triangle spherique est > π.



Geometrie spherique

Preuve de la formule de Girard.



Geometrie spherique


Un digone est un polygone sur lasphere a 2 sommets antipodaux.L’angle a chaque sommet est lememe. Appelons-le a.



Geometrie spherique


Un digone est un polygone sur lasphere a 2 sommets antipodaux.L’angle a chaque sommet est lememe. Appelons-le a.

(un fuseau horaire sur un globe terrestre est un digone.)



Geometrie spherique

On sait que l’aire d’une sphere de rayon r est 4πr 2. L’aire de lasphere de rayon 1 est 4π.



Geometrie spherique

On sait que l’aire d’une sphere de rayon r est 4πr 2. L’aire de lasphere de rayon 1 est 4π.

Comme il faudrait 2π/a fois notre digone pour recouvrir la sphere,l’aire du digone est celle de la sphere divisee par 2π/a, soit

4π × a

2π= 2a.



Geometrie spherique

L’aire de l’hemisphere delimite par la droite delimitant β et γ estegale a l’aire de T et de trois zones, A, B et C



Geometrie spherique

l’aire de B est l’aire d’un bigone d’angle β moins l’aire de T

l’aire de C est l’aire d’un bigone d’angle γ moins l’aire de T



Geometrie spherique



en considerant l’antipodal de T , on peut voir que l’aire de Aest aussi l’aire d’un bigone d’angle α moins l’aire de T .



Geometrie spherique




A la fin on a :

2π = aire T + (2α− aire T ) + (2β − aire T ) + (2γ − aire T )



Geometrie spherique




A la fin on a :


d’ouπ + aire T = α + β + γ



Geometrie spherique




A la fin on a :


d’ouπ + aire T = α + β + γ

CQFD !



Geometrie spherique



Geometrie spherique

Cette formule montre que sur une petite distance les droiteseuclidiennes ou spheriques sont (quasiment) confondus (“lageometrie est localement euclidienne”) : on peut utiliser un pland’une ville par exemple.



Geometrie hyperbolique

Troisieme geometrie





Dans l’espace on trouve des surfaces — par exemple cellesappelees selles de cheval— qui contiennent des triangles dont lasomme des mesures des angles est (strictement) inferieure a π.




Dans l’espace on trouve des surfaces — par exemple cellesappelees selles de cheval— qui contiennent des triangles dont lasomme des mesures des angles est (strictement) inferieure a π.




Comme pour la sphere, il est impossible d’etudier ce qu’il se passea l’aide du plan euclidien




α + β + γ > π

α + β + γ < π

α + β + γ = π




On note A l’aire du triangle. On a evidemment que

α + β + γ > π

α + β + γ < π

α + β + γ = π + 0× A




On a vu que

α + β + γ = π + 1× A

α + β + γ < π

α + β + γ = π + 0× A




et on peut montrer que

α + β + γ = π + 1× A

α + β + γ = π + (−1)× A

α + β + γ = π + 0× A




Le nombre en rouge est la courbure de la geometrie. Conceptintroduit par Gauss dans la premiere moitie du 19e.




Le nombre en rouge est la courbure de la geometrie. Conceptintroduit par Gauss dans la premiere moitie du 19e.




Ainsi

La geometrie euclidienne est de courbure nulle (elle est plate).

La geometrie spherique est de courbure positive.

La geometrie hyperbolique est de courbure negative.




Mais, contrairement au cas de la sphere, sur une selle de cheval,tous les triangles n’ont pas cette propriete




Mais, contrairement au cas de la sphere, sur une selle de cheval,tous les triangles n’ont pas cette proprietePeut-on trouver une surface dont tous les triangles aient cettepropriete ?




La plus connue est la pseudo-sphere de Beltrami (' 1860)




La plus connue est la pseudo-sphere de Beltrami (' 1860)




obtenue par revolution de la tractrice :




Mais cette surface a un probleme de regularite le long du cerclecentral.




Si on enleve ce cercle, ou qu’on coupe la surface, elle n’est pluscomplete : ses “droites” ne sont pas prolongeables indefiniment.




Existe-t-il une “geometrie” hyperbolique ? (= qui satisfasse lesaxiomes de la geometrie, sauf pour les paralleles.)




Existe-t-il une “geometrie” hyperbolique ? (= qui satisfasse lesaxiomes de la geometrie, sauf pour les paralleles.)Oui. Aux alentours de 1830 (Gauss, Bolyai, Lobachevsky).




Existe-t-il une “geometrie” hyperbolique ? (= qui satisfasse lesaxiomes de la geometrie, sauf pour les paralleles.)Oui. Aux alentours de 1830 (Gauss, Bolyai, Lobachevsky).Definition axiomatique, dite geometrie imaginaire et/ou deLobachevsky.




Existe-t-il une “geometrie” hyperbolique ? (= qui satisfasse lesaxiomes de la geometrie, sauf pour les paralleles.)Oui. Aux alentours de 1830 (Gauss, Bolyai, Lobachevsky).Definition axiomatique, dite geometrie imaginaire et/ou deLobachevsky.Des modeles ont ete donnes par Beltrami, qui portent maintenantle nom de ceux qui les ont reinterpretes en connection avecd’autres objets mathematiques.




Fin 19e, premiere moitie du 20e, il a ete montre (Hilbert, Efimov)que, contrairement au cas de la sphere, il est impossible derepresenter cette geometrie dans l’espace euclidien de faconraisonnable (au moins C 2).




Introduisons le disque de Poincare.




1 Le “plan” hyperbolique est contenu dans un disque.




1 Le “plan” hyperbolique est contenu dans un disque. (Disqueunite dans le plan complexe.)

2 Les droites (geodesiques) sont les demi-cercles qui sontperpendiculaires au bord.




1 Le “plan” hyperbolique est contenu dans un disque.2 Les droites (geodesiques) sont les demi-cercles qui sont

perpendiculaires au bord.3 (Un “demi-cercle” qui passe par le centre du disque est une

“vraie” droite du plan !)




Il y a une infinite de paralleles qui passent par un point donne !




On peut aussi voir que la somme des mesures des angles d’untriangle est strictement inferieure a π (le modele est conforme dansle sens ou ses angles sont les memes que les angles euclidiens).




Dans ce modele, le bord est “a l’infini”. Dans ce dessin d’Escher,tous les diables ont la meme taille pour la distance hyperbolique.




Une inversion par rapport au cercle de centre −1 et de rayon√

2donne le modele du demi-plan de Poincare. Cette operation estconforme.







La longueur d’une courbe (C 1) γ entre deux points se calculecomme dans le plan euclidien (on integre la norme du vecteurderive), sauf que la norme est divisee par la hauteur.




La longueur d’une courbe (C 1) γ entre deux points se calculecomme dans le plan euclidien (on integre la norme du vecteurderive), sauf que la norme est divisee par la hauteur.




Il ne faut pas confondre le disque de Poincare avec le disque deKlein, un autre modele du plan hyperbolique.




Dans une representation affine du plan projectif :

d(x , y) = 12 ln([a, b, x , y ])

x y b

a

ou [a, b, x , y ] = birapport =ya

xa

xb

yb.




Les geodesiques sont les droites. Par contre les angles ne sont pasles angles euclidiens.




Les geodesiques sont les droites. Par contre les angles ne sont pasles angles euclidiens.En fait, la moitie du log du birapport permet de definir unedistance dans n’importe quel convexe compact (d’interieur nonvide). Ce sont les exemples de base de la geometrie de Hilbert.




On peut aussi voir le plan hyperbolique comme une “sphere”(pseudo-sphere) dans l’espace-temps de Minkowski : R3 muni de laforme bilineaire

(x , y) = x1y1 + x2y2 − x3y3.




On peut aussi voir le plan hyperbolique comme une “sphere”(pseudo-sphere) dans l’espace-temps de Minkowski : R3 muni de laforme bilineaire

(x , y) = x1y1 + x2y2 − x3y3.

Plus precisement

H2 = {x ∈ R3|(x , x) = −1, x3 > 0}.Obtenu par revolution de la courbe




Avec des projections adequates on retrouve le disque de Klein




et le disque de Poincare




La geometrie hyperbolique trouve son interet avec la naissance dela geometrie riemannienne (fin 19e).




Le theoreme d’uniformisation (fin 19e/debut 20e) indique quequasiment toutes les surfaces (compactes) peuvent etre muniesd’une metrique hyperbolique.




Dans les annes 70, sous l’influence de Thurston, la geometriehyperbolique connait un essor en lien avec la topologie des varietesde dimension 2 et 3.




Dans les annes 70, sous l’influence de Thurston, la geometriehyperbolique connait un essor en lien avec la topologie des varietesde dimension 2 et 3.Thurston a conjecture un analogue du theoreme d’uniformisationpour la dimension 3, dont la preuve (Hamilton, Perelman, · · · ) aete conclue au debut du 21e.


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