fodo98

8/14/2019 fodo98

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E c i e n t R e t r i e v a l o f S i m i l a r T i m e S e q u e n c e s U s i n g D F T

D a v o o d R a e i

d r a e i @ d b . t o r o n t o . e d u

D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e

U n i v e r s i t y o f T o r o n t o

A l b e r t o M e n d e l z o n

m e n d e l @ d b . t o r o n t o . e d u

D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e

U n i v e r s i t y o f T o r o n t o

A b s t r a c t

W e p r o p o s e a n i m p r o v e m e n t o f t h e k n o w n D F T -

b a s e d i n d e x i n g t e c h n i q u e f o r f a s t r e t r i e v a l o f s i m i l a r

t i m e s e q u e n c e s . W e u s e t h e l a s t f e w F o u r i e r c o e -

c i e n t s i n t h e d i s t a n c e c o m p u t a t i o n w i t h o u t s t o r i n g

t h e m i n t h e i n d e x s i n c e e v e r y c o e c i e n t a t t h e e n d

i s t h e c o m p l e x c o n j u g a t e o f a c o e c i e n t a t t h e b e -

g i n n i n g a n d a s s t r o n g a s i t s c o u n t e r p a r t . W e s h o w

a n a l y t i c a l l y t h a t t h i s o b s e r v a t i o n c a n a c c e l e r a t e t h e

s e a r c h t i m e o f t h e i n d e x b y m o r e t h a n a f a c t o r o f

t w o . T h i s r e s u l t w a s c o n r m e d b y o u r e x p e r i m e n t s ,

w h i c h w e r e c a r r i e d o u t o n r e a l s t o c k p r i c e s a n d s y n -

t h e t i c d a t a .

K e y w o r d s s i m i l a r i t y r e t r i e v a l , t i m e s e r i e s i n d e x -

i n g

1 I n t r o d u c t i o n

T i m e s e q u e n c e s c o n s t i t u t e a l a r g e a m o u n t o f d a t a

s t o r e d i n c o m p u t e r s . E x a m p l e s i n c l u d e s t o c k p r i c e s ,

e x c h a n g e r a t e s , w e a t h e r d a t a a n d b i o m e d i c a l m e a -

s u r e m e n t s . W e a r e o f t e n i n t e r e s t e d i n s i m i l a r i t y

q u e r i e s o n t i m e - s e r i e s d a t a A P W Z 9 5 , A L S S 9 5 ] . F o r

e x a m p l e , w e m a y w a n t t o n d s t o c k s t h a t b e h a v e

i n a p p r o x i m a t e l y t h e s a m e w a y ; o r y e a r s w h e n t h e

t e m p e r a t u r e p a t t e r n s i n t w o r e g i o n s o f t h e w o r l d

w e r e s i m i l a r .

T h e r e h a v e b e e n s e v e r a l e o r t s t o d e v e l o p a c c e s s

m e t h o d s f o r e c i e n t r e t r i e v a l o f s i m i l a r t i m e s e -

q u e n c e s A F S 9 3 , F R M 9 4 , R M 9 7 , Y J F 9 8 ] . A g r a w a l

e t a l . A F S 9 3 ] p r o p o s e a n e c i e n t i n d e x s t r u c -

t u r e t o r e t r i e v e s i m i l a r t i m e s e q u e n c e s s t o r e d i n

a d a t a b a s e . T h e y m a p t i m e s e q u e n c e s i n t o t h e

f r e q u e n c y d o m a i n u s i n g t h e D i s c r e t e F o u r i e r T r a n s -

f o r m ( D F T ) a n d k e e p t h e r s t f e w c o e c i e n t s i n

t h e i n d e x . T w o s e q u e n c e s a r e c o n s i d e r e d s i m i l a r i f

t h e i r E u c l i d e a n d i s t a n c e i s l e s s t h a n a u s e r - d e n e d

t h r e s h o l d .

I n t h i s p a p e r , w e p r o p o s e u s i n g t h e l a s t f e w

F o u r i e r c o e c i e n t s o f a t i m e s e q u e n c e i n t h e d i s -

t a n c e c o m p u t a t i o n , t h e m a i n o b s e r v a t i o n b e i n g t h a t ,

e v e r y c o e c i e n t a t t h e e n d i s t h e c o m p l e x c o n j u -

g a t e o f a c o e c i e n t a t t h e b e g i n n i n g a n d a s s t r o n g

a s i t s c o u n t e r p a r t . T h i s o b s e r v a t i o n r e d u c e s t h e

T h e 5 t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n F o u n d a t i o n s

o f D a t a O r g a n i z a t i o n ( F O D O ' 9 8 ) , K o b e , J a p a n ,

N o v e m b e r 1 9 9 8 .

s e a r c h t i m e o f t h e i n d e x b y m o r e t h a n 5 0 p e r c e n t

i n m o s t c a s e s .

T h e r e s t o f t h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . I n

t h e n e x t s e c t i o n w e r e v i e w s o m e b a c k g r o u n d m a t e -

r i a l o n r e l a t e d w o r k a n d o n t h e d i s c r e t e F o u r i e r

t r a n s f o r m . O u r p r o p o s a l o n t h e e c i e n t u s e o f

D F T i n r e t r i e v i n g s i m i l a r t i m e s e q u e n c e s i s d i s -

c u s s e d i n S e c t i o n 3 . I n t h e s a m e s e c t i o n , w e p r e s e n t

a n a l y t i c a l r e s u l t s o n t h e s e a r c h t i m e i m p r o v e m e n t s

o f o u r p r o p o s e d m e t h o d . S e c t i o n 4 d i s c u s s e s t h e

p e r f o r m a n c e r e s u l t s o b t a i n e d f r o m e x p e r i m e n t s o n

r e a l a n d s y n t h e t i c d a t a . S e c t i o n 5 i s t h e c o n c l u s i o n .

2 B a c k g r o u n d

I n t h i s s e c t i o n , w e b r i e y r e v i e w b a c k g r o u n d m a t e -

r i a l o n p a s t r e l a t e d w o r k a n d o n t h e d i s c r e t e F o u r i e r

t r a n s f o r m .

2 . 1 R e l a t e d W o r k

T h e r e h a s b e e n s o m e f o l l o w - u p w o r k o n t h e i n d e x -

i n g t e c h n i q u e p r o p o s e d b y A g r a w a l e t a l . A F S 9 3 ] .

I n a n e a r l i e r w o r k R M 9 7 ] , w e u s e t h i s i n d e x i n g

m e t h o d a n d p r o p o s e t e c h n i q u e s f o r r e t r i e v i n g s i m -

i l a r t i m e s e q u e n c e s w h o s e d i e r e n c e s c a n b e r e -

m o v e d b y a l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s u c h a s m o v -

i n g a v e r a g e , t i m e s c a l i n g a n d i n v e r t i n g . I n a n -

o t h e r w o r k R a f 9 8 ] , w e g e n e r a l i z e t h i s f r a m e w o r k t o

m u l t i p l e t r a n s f o r m a t i o n s . M o r e f o l l o w - u p w o r k i n -

c l u d e s t h e w o r k o f F a l o u t s o s e t a l . F R M 9 4 ] o n s u b -

s e q u e n c e m a t c h i n g a n d t h a t o f G o l d i n e t a l . G K 9 5 ]

o n n o r m a l i z i n g s e q u e n c e s b e f o r e s t o r i n g t h e m i n

t h e i n d e x .

I n t h i s p a p e r , w e u s e t h e i n d e x i n g t e c h n i q u e

p r o p o s e d b y A g r a w a l e t a l . A F S 9 3 ] , b u t i n a d d i t i o n

t o t h e r s t f e w c o e c i e n t s w e a l s o t a k e t h e l a s t

f e w c o e c i e n t s i n t o a c c o u n t . B o t h o u r a n a l y t i c a l

r e s u l t s a n d o u r e x p e r i m e n t s s h o w t h a t t h i s o b s e r -

v a t i o n a c c e l e r a t e s t h e r e t r i e v a l s p e e d o f t h e i n d e x

b y m o r e t h a n a f a c t o r o f 2 . A l l f o l l o w - u p w o r k s

d e s c r i b e d e a r l i e r b e n e t f r o m t h i s p e r f o r m a n c e i m -

p r o v e m e n t .

T h e r e a r e o t h e r r e l a t e d w o r k s o n t i m e s e r i e s

d a t a . A d o m a i n - i n d e p e n d e n t f r a m e w o r k f o r p o s i n g

s i m i l a r i t y q u e r i e s o n a d a t a b a s e i s d e v e l o p e d b y

J a g a d i s h e t a l . J M M 9 5 ] . T h e f r a m e w o r k h a s t h r e e

c o m p o n e n t s : a p a t t e r n l a n g u a g e , a t r a n s f o r m a t i o n

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r u l e l a n g u a g e , a n d a q u e r y l a n g u a g e . T h e f r a m e -

w o r k c a n b e t u n e d t o t h e n e e d s o f t i m e s e q u e n c e s

d o m a i n . Y i e t a l . Y J F 9 8 ] u s e t i m e w a r p i n g a s

a d i s t a n c e f u n c t i o n a n d p r e s e n t a l g o r i t h m s f o r r e -

t r i e v i n g s i m i l a r t i m e s e q u e n c e s u n d e r t h i s f u n c t i o n .

A g r a w a l e t a l . A P W Z 9 5 ] d e s c r i b e a p a t t e r n l a n -

g u a g e c a l l e d S D L t o e n c o d e q u e r i e s a b o u t \ s h a p e s "

f o u n d i n t i m e s e q u e n c e s . A q u e r y l a n g u a g e f o r t i m e

s e r i e s d a t a i n t h e s t o c k m a r k e t d o m a i n i s d e v e l o p e d

b y R o t h R o t 9 3 ] . T h e l a n g u a g e i s b u i l t o n t o p

o f C O R A L R S 9 2 ] , a n d e v e r y q u e r y i s t r a n s l a t e d

i n t o a s e q u e n c e o f C O R A L r u l e s . S e s h a d r i e t a l .

S L R 9 4 ] d e v e l o p a d a t a m o d e l a n d a q u e r y l a n -

g u a g e f o r s e q u e n c e s i n g e n e r a l b u t d o n o t m e n t i o n

s i m i l a r i t y m a t c h i n g a s a q u e r y l a n g u a g e o p e r a t o r .

2 . 2 D i s c r e t e F o u r i e r T r a n s f o r m

L e t a t i m e s e q u e n c e b e a n i t e d u r a t i o n s i g n a l ~x =

x

t

] f o r t = 0 1 n 1 . T h e D F T o f ~ x , d e n o t e d

b y

~

X , i s g i v e n b y

X

f

=

1

p

n

n 1

X

t = 0

x

t

e

j 2 t f

n

f = 0 1 n 1 ( 1 )

w h e r e j =

p

1 i s t h e i m a g i n a r y u n i t . T h r o u g h -

o u t t h i s p a p e r , u n l e s s i t i s s t a t e d o t h e r w i s e , w e

u s e s m a l l l e t t e r s f o r s e q u e n c e s i n t h e t i m e d o m a i n

a n d c a p i t a l l e t t e r s f o r s e q u e n c e s i n t h e f r e q u e n c y

d o m a i n . T h e e n e r g y o f s i g n a l ~x i s g i v e n b y t h e

e x p r e s s i o n

E ( ~x ) =

n 1

X

t = 0

x

t

2

( 2 )

A f u n d a m e n t a l o b s e r v a t i o n t h a t g u a r a n t e e s t h e

c o r r e c t n e s s o f t h e i n d e x i n g m e t h o d f o r t i m e s e r i e s

d a t a i s P a r s e v a l ' s r u l e O S 7 5 ] , w h i c h s t a t e s f o r a

g i v e n s i g n a l ~x i t s e n e r g y r e m a i n s t h e s a m e a f t e r

D F T , i . e .

E ( ~x ) = E (

~

X ) ( 3 )

w h e r e

~

X i s t h e D F T o f ~ x . U s i n g P a r s e v a l ' s r u l e

a n d t h e l i n e a r i t y p r o p e r t y o f D F T ( f o r e x a m p l e ,

s e e O p p e n h e i m a n d S c h a f e r O S 7 5 ] f o r d e t a i l s ) , i t

i s e a s y t o s h o w t h a t t h e E u c l i d e a n d i s t a n c e b e t w e e n

t w o s i g n a l s i n t h e t i m e d o m a i n i s t h e s a m e a s t h e i r

d i s t a n c e i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n .

D

2

( ~ x ; ~ y ) = E ( ~x ~ y ) = E (

~

X

~

Y ) = D

2

(

~

X

~

Y ) ( 4 )

3 S t o r a g e a n d R e t r i e v a l o f S i m i l a r

T i m e S e q u e n c e s

G i v e n a s e t o f t i m e s e r i e s d a t a , w e c a n c o n s t r u c t a n

i n d e x ( A F S 9 3 ] ) a s f o l l o w s : n d t h e D F T o f e a c h

s e q u e n c e a n d k e e p t h e r s t f e w D F T c o e c i e n t s a s

t h e s e q u e n c e f e a t u r e s . L e t ' s a s s u m e t h a t w e k e e p

t h e r s t k c o e c i e n t s . S i n c e a l l D F T c o e c i e n t s

e x c e p t t h e r s t o n e a r e c o m p l e x n u m b e r s , k e e p i n g

t h e r s t k D F T c o e c i e n t s m a p s e v e r y t i m e s e r i e s

i n t o a p o i n t i n a ( 2 k 1 ) - d i m e n s i o n a l s p a c e . T h e s e

p o i n t s c a n b e o r g a n i z e d i n a m u l t i d i m e n s i o n a l i n -

d e x s u c h a s R - t r e e f a m i l y G u t 8 4 , B K S S 9 0 ] o r g r i d

l e s N H S 8 4 ] . K e e p i n g o n l y t h e r s t k F o u r i e r c o e f -

c i e n t s i n t h e i n d e x d o e s n o t a e c t t h e c o r r e c t n e s s

b e c a u s e t h e E u c l i d e a n d i s t a n c e b e t w e e n a n y t w o

p o i n t s i n t h e f e a t u r e s p a c e i s l e s s t h a n o r e q u a l

t o t h e i r r e a l d i s t a n c e d u e t o P a r s e v a l ' s r u l e a n d

t h e m o n o t o n i c p r o p e r t y o f t h e E u c l i d e a n d i s t a n c e .

T h u s , t h e i n d e x a l w a y s r e t u r n s a s u p e r s e t o f t h e

a n s w e r s e t . H o w e v e r , t h e p e r f o r m a n c e o f t h e i n d e x

m a i n l y d e p e n d s o n t h e e n e r g y c o n c e n t r a t i o n o f s e -

q u e n c e s w i t h i n t h e r s t k F o u r i e r c o e c i e n t s . I t

t u r n s o u t t h a t a l a r g e c l a s s o f r e a l w o r l d s e q u e n c e s

c o n c e n t r a t e t h e e n e r g y w i t h i n t h e r s t f e w c o e -

c i e n t s , i . e . t h e y h a v e a s k e w e d e n e r g y s p e c t r u m o f

t h e f o r m O ( F

2 b

) f o r b 0 5 w h e r e F d e n o t e s t h e

f r e q u e n c y . F o r e x a m p l e , c l a s s i c a l m u s i c a n d j a z z

f a l l i n t h e c l a s s o f p i n k n o i s e w h o s e e n e r g y s p e c -

t r u m i s O ( F

1

) ( W S 9 0 , S c h 9 1 ] ) , s t o c k p r i c e s a n d

e x c h a n g e r a t e s f a l l i n t h e c l a s s o f b r o w n n o i s e w h o s e

e n e r g y s p e c t r u m i s O ( F

2

) ( M a n 8 3 , C h a 8 4 ] ) , a n d

t h e w a t e r l e v e l o f r i v e r s f a l l s i n t h e c l a s s o f b l a c k

n o i s e f o r w h i c h b > 1 ( M a n 8 3 , S c h 9 1 ] ) .

T o r e t r i e v e s i m i l a r t i m e s e q u e n c e s s t o r e d i n t h e

i n d e x w e m a y i n v o k e o n e o f t h e f o l l o w i n g s p a t i a l

q u e r i e s :

R a n g e Q u e r y : G i v e n a q u e r y p o i n t

~

Q a n d

a t h r e s h o l d , n d a l l p o i n t s

~

X s u c h t h a t t h e

E u c l i d e a n d i s t a n c e D (

~

X

~

Q )

N e a r e s t N e i g h b o r Q u e r y : G i v e n a q u e r y

p o i n t

~

Q , n d a l l p o i n t s

~

X s u c h t h a t t h e E u -

c l i d e a n d i s t a n c e D (

~

X

~

Q ) i s t h e m i n i m u m . S i m -

i l a r l y , a k - n e a r e s t n e i g h b o r q u e r y a s k s f o r t h e

k c l o s e s t p o i n t s o f a g i v e n p o i n t .

A l l - P a i r Q u e r y : G i v e n t w o m u l t i d i m e n s i o n a l

p o i n t s e t s s

1

s

2

S a n d a t h r e s h o l d , n d a l l

p a i r s o f p o i n t s (

~

X

~

Y ) 2 s

1

s

2

s u c h t h a t t h e

E u c l i d e a n d i s t a n c e D (

~

X

~

Y )

S u p p o s e w e w a n t t o a n s w e r a r a n g e q u e r y u s i n g t h e

i n d e x , i . e . , t o n d a l l s e q u e n c e s

~

X t h a t a r e w i t h i n

d i s t a n c e o f a q u e r y s e q u e n c e

~

Q , o r e q u i v a l e n t l y

D (

~

X

~

Q ) < . A c o m m o n a p p r o a c h t o a n s w e r t h i s

q u e r y i s t o b u i l d a m u l t i d i m e n s i o n a l r e c t a n g l e o f

s i d e 2 ( o r a m u l t i d i m e n s i o n a l c i r c l e o f r a d i u s )

a r o u n d

~

Q a n d c h e c k f o r o v e r l a p b e t w e e n t h e q u e r y

r e c t a n g l e ( c i r c l e ) a n d e v e r y r e c t a n g l e i n t h e i n d e x .

T h a t i s , i n s t e a d o f c h e c k i n g D

2

(

~

X

~

Q ) <

2

w e

c h e c k X

f

Q

f

2

<

2

f o r f = 0 ; : : : ; k 1 . T h e

l a t t e r i s a n e c e s s a r y ( b u t n o t s u c i e n t ) c o n d i t i o n

f o r t h e f o r m e r .

T h e s i z e o f t h e q u e r y r e c t a n g l e h a s a s t r o n g

e e c t o n t h e n u m b e r o f d i r e c t o r y n o d e s a c c e s s e d

d u r i n g t h e s e a r c h p r o c e s s a n d t h e n u m b e r o f c a n d i -

d a t e s w h i c h i n c l u d e s a l l q u a l i f y i n g d a t a i t e m s p l u s

s o m e f a l s e p o s i t i v e s ( d a t a i t e m s w h o s e f u l l d a t a b a s e

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r e c o r d s d o n o t i n t e r s e c t t h e q u e r y r e g i o n ) . O u r g o a l

h e r e i s t o r e d u c e t h e s i z e o f t h e q u e r y r e g i o n , u s i n g

t h e i n h e r e n t p r o p e r t i e s o f D F T , w i t h o u t s a c r i c i n g

t h e c o r r e c t n e s s .

3 . 1 O u r P r o p o s a l

T h e f o l l o w i n g l e m m a i s c e n t r a l t o o u r p r o p o s a l .

L e m m a 1 T h e D F T c o e c i e n t s o f a r e a l - v a l u e d

s e q u e n c e o f d u r a t i o n n s a t i s f y X

n f

= X

f

f o r f =

1 ; : : : ; n 1 w h e r e t h e a s t e r i s k d e n o t e s c o m p l e x c o n -

j u g a t i o n

1

P r o o f : S e e O p p e n h e i m a n d S c h a f e r O S 7 5 , p a g e

2 5 ] .

T h i s m e a n s t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f e v e r y r e a l -

v a l u e d s e q u e n c e i s s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o i t s

m i d d l e . A s i m p l e i m p l i c a t i o n o f t h i s l e m m a i s

X

n f

= X

f

, i . e . e v e r y a m p l i t u d e a t t h e b e g i n -

n i n g e x c e p t t h e r s t o n e a p p e a r s a t t h e e n d .

O b s e r v a t i o n 1 I n t h e c l a s s o f ( r e a l - v a l u e d ) t i m e

s e q u e n c e s t h a t h a v e a n e n e r g y s p e c t r u m o f t h e f o r m

O ( F

2 b

) f o r b 0 5 , t h e D F T c o e c i e n t s a r e n o t

o n l y s t r o n g a t t h e b e g i n n i n g b u t a l s o s t r o n g a t t h e

e n d .

T h i s m e a n s i f w e d o o u r d i s t a n c e c o m p u t a t i o n s

b a s e d o n o n l y t h e r s t k F o u r i e r c o e c i e n t s , w e

w i l l m i s s a l l t h e i n f o r m a t i o n c a r r i e d b y t h e l a s t k

F o u r i e r c o e c i e n t s w h i c h a r e a s i m p o r t a n t a s t h e

f o r m e r . H o w e v e r , t h e n e x t o b s e r v a t i o n s h o w s t h a t

t h e r s t k F o u r i e r c o e c i e n t s a r e t h e o n l y f e a t u r e s

t h a t w e n e e d t o s t o r e i n t h e i n d e x .

O b s e r v a t i o n 2 T h e r s t d ( n + 1 ) = 2 e D F T c o e -

c i e n t s o f e v e r y ( r e a l - v a l u e d ) t i m e s e q u e n c e c o n t a i n

t h e w h o l e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e s e q u e n c e .

T h e p o i n t l e f t t o d e s c r i b e n o w i s h o w w e c a n

t a k e a d v a n t a g e o f t h e l a s t k F o u r i e r c o e c i e n t s

w i t h o u t s t o r i n g t h e m i n t h e i n d e x . W e c a n w r i t e

t h e E u c l i d e a n d i s t a n c e b e t w e e n t w o t i m e s e q u e n c e s

~x a n d ~ q , u s i n g e q u a t i o n s 4 a n d 2 , a s f o l l o w s :

D

2

( ~ x ; ~ q ) = D

2

(

~

X

~

Q ) =

n 1

X

f = 0

X

f

Q

f

2

( 5 )

w h e r e

~

X a n d

~

Q a r e r e s p e c t i v e l y D F T s o f ~x a n d ~ q

S i n c e X

n f

= X

f

a n d Q

n f

= Q

f

f o r

f = 1 ; : : : ; n 1 , w e c a n w r i t e D

2

(

~

X

~

Q ) a s f o l l o w s :

D

2

(

~

X

~

Q ) = X

0

Q

0

2

+

8

>

>

>

<

>

>

>

:

P

n = 2 1

f = 1

2 X

f

Q

f

2

+

X

n = 2

Q

n = 2

2

f o r e v e n n

P

( n 1 ) = 2

f = 1

2 X

f

Q

f

2

f o r o d d n

( 6 )

1

( a + b j )

= ( a b j )

A n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r t h e l e f t s i d e t o b e l e s s

t h a n

2

i s t h a t e v e r y m a g n i t u d e o n t h e r i g h t s i d e

b e l e s s t h a n

2

. F o r t h e t i m e b e i n g a n d j u s t f o r t h e

p u r p o s e o f p r e s e n t a t i o n , w e a s s u m e t i m e s e q u e n c e s

a r e n o r m a l i z e d

2

b e f o r e b e i n g s t o r e d i n t h e i n d e x .

I n g e n e r a l , t i m e s e q u e n c e s m a y b e n o r m a l i z e d b e -

c a u s e o f e c i e n c y r e a s o n s G K 9 5 ] o r o t h e r u s e f u l

p r o p e r t i e s R a f 9 8 ] . S i n c e t h e r s t F o u r i e r c o e -

c i e n t i s z e r o f o r n o r m a l i z e d s e q u e n c e s , t h e r e i s n o

n e e d t o s t o r e i t i n t h e i n d e x . I n a d d i t i o n , s i n c e k i s

u s u a l l y a s m a l l n u m b e r , m u c h s m a l l e r t h a n n w e

c a n a s s u m e t h a t t h e ( n = 2 ) t h c o e c i e n t i s a l s o n o t

s t o r e d i n t h e i n d e x . N o w t h e c o n d i t i o n l e f t t o b e

c h e c k e d o n t h e i n d e x i s

2 X

f

Q

f

2

<

2

f o r f = 1 ; : : : ; k

o r , e q u i v a l e n t l y

X

f

Q

f

<

p

2

f o r f = 1 ; : : : ; k

A c o m m o n a p p r o a c h t o c h e c k t h i s c o n d i t i o n i s

t o b u i l d a s e a r c h r e c t a n g l e o f s i d e

2

p

2

=

p

2 ( o r

a c i r c l e o f d i a m e t e r

p

2 ) a r o u n d

~

Q a n d c h e c k f o r

a n o v e r l a p b e t w e e n t h i s r e c t a n g l e ( c i r c l e ) a n d e v -

e r y r e c t a n g l e i n t h e i n d e x . T h e s e a r c h r e c t a n g l e

s t i l l g u a r a n t e e s t o i n c l u d e a l l p o i n t s w i t h i n t h e E u -

c l i d e a n d i s t a n c e f r o m

~

Q , b u t t h e r e i s a m a j o r d r o p

i n t h e n u m b e r o f f a l s e p o s i t i v e s . T h e e e c t o f r e -

d u c i n g t h e s i z e o f t h e s e a r c h r e c t a n g l e o n t h e s e a r c h

t i m e o f a r a n g e q u e r y i s a n a l y t i c a l l y d i s c u s s e d i n

t h e n e x t s e c t i o n .

T h e s y m m e t r y p r o p e r t y c a n b e s i m i l a r l y u s e d

t o r e d u c e t h e s i z e o f t h e s e a r c h r e c t a n g l e e v e n i f

s e q u e n c e s a r e n o t n o r m a l i z e d . T h e o n l y d i e r e n c e

i s t h a t o n e s i d e o f t h e s e a r c h r e c t a n g l e ( t h e o n e

r e p r e s e n t i n g t h e r s t D F T c o e c i e n t

3

) i s 2 a n d

a l l o t h e r s i d e s a r e

p

2

W e c a n s h o w t h a t a l l - p a i r q u e r i e s a l s o b e n e t

f r o m t h e s y m m e t r y p r o p e r t y o f D F T . S u p p o s e w e

w a n t t o a n s w e r a n a l l - p a i r q u e r y u s i n g t w o R - t r e e

i n d i c e s , i . e . , t o n d a l l p a i r s o f s e q u e n c e s t h a t a r e

w i t h i n d i s t a n c e f o r m e a c h o t h e r . A c o m m o n a p -

p r o a c h f o r p r o c e s s i n g t h i s q u e r y i s t o t a k e p a i r s

o f ( m i n i m u m b o u n d i n g ) r e c t a n g l e s , o n e r e c t a n g l e

f r o m e a c h i n d e x , e x t e n d t h e s i d e s o f o n e b y 2

a n d c h e c k f o r a p o s s i b l e o v e r l a p w i t h t h e o t h e r .

H o w e v e r , t h e s y m m e t r y p r o p e r t y i m p l i e s t h a t i f

w e e x t e n d e v e r y s i d e b y

p

2 , t h e r e s u l t i s s t i l l

g u a r a n t e e d t o i n c l u d e a l l q u a l i f y i n g p a i r s t h o u g h

t h e n u m b e r o f f a l s e p o s i t i v e s i s r e d u c e d .

3 . 2 A n a l y t i c a l R e s u l t s o n t h e S e a r c h T i m e

I m p r o v e m e n t s

T h e r e a r e t w o f a c t o r s t h a t a e c t t h e s e a r c h t i m e

o f a r a n g e q u e r y , i f w e a s s u m e t h e C P U t i m e t o

2

A s e q u e n c e i s i n n o r m a l f o r m i f i t s m e a n i s 0 a n d i t s

s t a n d a r d d e v i a t i o n i s 1 .

3

N o t e t h a t t h e r s t D F T c o e c i e n t i s a r e a l n u m b e r .

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b e n e g l i g i b l e ; o n e i s t h e n u m b e r o f i n d e x n o d e s

t o u c h e d b y t h e q u e r y r e c t a n g l e a n d t h e o t h e r i s

t h e n u m b e r o f d a t a p o i n t s i n s i d e t h e s e a r c h r e c t -

a n g l e ( o r c a n d i d a t e s ) . B o t h f a c t o r s c a n b e a p p r o x -

i m a t e d b y t h e a r e a o f t h e s e a r c h r e c t a n g l e , i f w e

a s s u m e d a t a p o i n t s a r e u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d o v e r a

u n i t s q u a r e , a n d t h e s e a r c h r e c t a n g l e i s a r e c t a n g l e

w i t h i n t h i s s q u a r e

4

. T h u s , t o c o m p a r e t h e s e a r c h

t i m e o f a r e c t a n g l e o f s i d e

p

2 t o t h a t o f a o n e o f

s i d e 2 , w e c o m p a r e t h e i r a r e a s .

S i n c e a s e a r c h r e c t a n g l e h a s 2 k s i d e s , t h e a r e a

( o r t h e v o l u m e ) o f a s e a r c h r e c t a n g l e o f s i d e

p

2

i s (

p

2 )

2 k

= 2

k

2 k

. T h i s i s o n e 2

k

t h o f t h e a r e a

( o r t h e v o l u m e ) o f a r e c t a n g l e o f s i d e 2 w h i c h i s

( 2 )

2 k

= 2

2 k

2 k

. T h u s u n d e r t h e a s s u m p t i o n s w e

h a v e m a d e , u s i n g a s e a r c h r e c t a n g l e o f s i d e

p

2

i n s t e a d o f a o n e o f s i d e 2 s h o u l d r e d u c e t h e s e a r c h

t i m e b y ( 1 1 = 2

k

) 1 0 0 p e r c e n t . F o r e x a m p l e , u s i n g

a r e c t a n g l e o f s i d e

p

2 o n a n i n d e x b u i l t o n t h e

r s t t w o n o n - z e r o D F T c o e c i e n t s s h o u l d r e d u c e

t h e s e a r c h t i m e b y 7 5 p e r c e n t .

H o w e v e r , f o r t h e c l a s s o f t i m e s e q u e n c e s t h a t

h a v e a n e n e r g y s p e c t r u m o f t h e f o r m O ( F

2 b

) , t h e

a m p l i t u d e s p e c t r u m f o l l o w s O ( F

b

) . I n p a r t i c u l a r

f o r b > 0 , t h e a m p l i t u d e r e d u c e s a s a f a c t o r o f f r e -

q u e n c y a n d p o i n t s g e t d e n s e r i n h i g h e r f r e q u e n c i e s .

I f w e a s s u m e t h a t t h e r s t n o n - z e r o D F T c o e c i e n t

( f o r e v e r y d a t a o r q u e r y s e q u e n c e ) i s u n i f o r m l y

d i s t r i b u t e d w i t h i n a u n i t s q u a r e , t h e i t h D F T c o e f -

c i e n t ( f o r i = 1 ; : : : ; k ) m u s t b e d i s t r i b u t e d u n i -

f o r m l y w i t h i n a s q u a r e o f s i d e i

b

. T h u s k e e p -

i n g t h e r s t k F o u r i e r c o e c i e n t s m a p s s e q u e n c e s

i n t o p o i n t s w h i c h a r e u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d w i t h i n

r e c t a n g l e R = ( < 0 1 > < 0 1 > < 0 2

b

>

< 0 2

b

> ; : : : ; < 0 k

b

> < 0 k

b

> )

I n a d d i t i o n , a s e a r c h r e c t a n g l e b u i l t o n a n a r b i -

t r a r i l y c h o s e n q u e r y p o i n t

~

Q ( i n s i d e o r o n R ) i s n o t

n e c e s s a r i l y c o n t a i n e d f u l l y w i t h i n R I f

~

Q h a p p e n s

t o b e a c e n t r a l p o i n t o f R , t h e o v e r l a p b e t w e e n t h e

t w o r e c t a n g l e s r e a c h e s i t s m a x i m u m . W e r e f e r t o

t h i s q u e r y a s ` t h e w o r s t c a s e q u e r y ' s i n c e i t r e q u i r e s

t h e l a r g e s t n u m b e r o f d i s k a c c e s s e s . O n t h e o t h e r

h a n d , i f

~

Q h a p p e n s t o b e a c o r n e r p o i n t o f R

t h e o v e r l a p b e t w e e n t h e t w o r e c t a n g l e s r e a c h e s i t s

m i n i m u m . W e c a l l t h i s q u e r y ` t h e b e s t c a s e q u e r y ' .

T h u s t h e a r e a o f t h e o v e r l a p b e t w e e n t h e s e a r c h

r e c t a n g l e a n d R , a n d a s a r e s u l t t h e s e a r c h t i m e , i s

n o t o n l y a f a c t o r o f b u t a l s o a f a c t o r o f

~

Q

T o c o m p a r e t h e s e a r c h t i m e o f a q u e r y r e c t a n g l e

o f s i d e

p

2 t o t h a t o f o n e o f s i d e 2 , w e c a n c o m -

p a r e t h e i r a r e a o f o v e r l a p w i t h R . T h e p r o j e c t i o n

o f t h e o v e r l a p b e t w e e n a s e a r c h r e c t a n g l e o f s i d e

2 a n d R t o t h e i t h D F T c o e c i e n t p l a n e i s a

s q u a r e o f s i d e m i n ( i

b

2 ) f o r t h e w o r s t c a s e q u e r y

a n d a s q u a r e o f s i d e m i n ( i

b

) f o r t h e b e s t c a s e

q u e r y . T h u s t h e a r e a o f t h e o v e r l a p b e t w e e n t h e

s e a r c h r e c t a n g l e a n d R f o r t h e w o r s t c a s e q u e r y

4

W e r e l a x o u r a s s u m p t i o n s l a t e r i n t h i s s e c t i o n .

: the best case query point

: the worst case query point**

R

i s

Q

k

i = 1

( m i n ( i

b

2 ) )

2

a n d t h a t f o r t h e b e s t c a s e

q u e r y i s

Q

k

i = 1

( m i n ( i

b

) )

2

T o e l i m i n a t e t h e e e c t o f t h e s i z e o f R i n o u r

e s t i m a t e s , w e d i v i d e t h e a r e a o f t h e o v e r l a p b y t h e

a r e a o f R , i . e .

Q

k

i = 1

( i

b

)

2

, t o g e t w h a t w e c a l l

t h e q u e r y s e l e c t i v i t y . T h e q u e r y s e l e c t i v i t y f o r t h e

w o r s t c a s e q u e r y u s i n g a s e a r c h r e c t a n g l e o f s i d e 2

c a n b e e x p r e s s e d a s f o l l o w s :

S ( b ; k ; 2 ) =

Q

k

i = 1

( m i n ( i

b

2 ) )

2

Q

k

i = 1

( i

b

)

2

=

k

Y

i = 1

( m i n ( i

b

2 ) i

b

)

2

( 7 )

T h e t e r m m i n ( i

b

2 ) i

b

i s 1 f o r i

b

2 ( o r i

( 2 )

1 = b

) , a n d i t i s 2 i

b

f o r i

b

> 2 ( o r i <

( 2 )

1 = b

) . T h u s t h e q u e r y s e l e c t i v i t y c a n b e e x -

p r e s s e d a s

S ( b ; k ; 2 ) =

m i n ( k b ( 2 )

1 = b

)

Y

i = 1

( 2 i

b

)

2

( 8 )

I t c a n b e e a s i l y s h o w n t h a t S ( b ; k ; ) g i v e s t h e q u e r y

s e l e c t i v i t y f o r t h e b e s t c a s e q u e r y u s i n g t h e s a m e

s e a r c h r e c t a n g l e . I f w e e m p l o y t h e s y m m e t r y p r o p -

e r t y o f t h e D F T , i . e . u s e a s e a r c h r e c t a n g l e o f

s i d e

p

2 , t h e q u e r y s e l e c t i v i t i e s f o r t h e w o r s t a n d

t h e b e s t c a s e q u e r i e s w o u l d b e S ( b ; k ;

p

2 ) a n d

S ( b ; k ;

p

2

) r e s p e c t i v e l y .

F i g u r e 1 s h o w s t h e w o r s t c a s e q u e r y s e l e c t i v -

i t y p e r s e a r c h r e c t a n g l e a n d k v a r y i n g t h e q u e r y

t h r e s h o l d f o r B r o w n i a n n o i s e d a t a ( b = 1 ) . A s i s

s h o w n , u s i n g t h e s y m m e t r y p r o p e r t y r e d u c e s t h e

q u e r y s e l e c t i v i t y b y 5 0 t o 7 5 p e r c e n t f o r k = 2 a n d

0 5 . I f w e k e e p t h e r s t t h r e e n o n - z e r o D F T

c o e c i e n t s ( k = 3 ) , u s i n g t h e s y m m e t r y p r o p e r t y

r e d u c e s t h e s e l e c t i v i t y b y u p t o 8 7 p e r c e n t . I n

g e n e r a l , t a k i n g t h e s y m m e t r y p r o p e r t y i n t o a c c o u n t

r e d u c e s t h e s e l e c t i v i t y a n d a s a r e s u l t t h e s e a r c h

t i m e i n t h e w o r s t c a s e b y 5 0 t o ( 1 1 = 2

k

) 1 0 0

p e r c e n t f o r k 2 a n d 0 5

F i g u r e 2 s h o w s t h e b e s t c a s e q u e r y s e l e c t i v -

i t y p e r s e a r c h r e c t a n g l e a n d k v a r y i n g t h e q u e r y

t h r e s h o l d a g a i n f o r t h e B r o w n i a n n o i s e d a t a . A s i s

s h o w n , t a k i n g t h e s y m m e t r y p r o p e r t y i n t o a c c o u n t

r e d u c e s t h e s e l e c t i v i t y b y a t l e a s t 7 5 p e r c e n t f o r

a l l v a l u e s o f 0 5 , i f w e k e e p o n l y t h e r s t

t w o n o n - z e r o D F T c o e c i e n t s . I n g e n e r a l , t a k i n g

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7ORST#ASE1UERY

e

3

E

L

E

C

T

I

V

I

T

Y

K S Y M

K S Y M

K N O S Y M

K N O S Y M

"EST#ASE1UERY

e

3

E

L

E

C

T

I

V

I

T

Y

K S Y M

K S Y M

K N O S Y M

K N O S Y M

8/14/2019 fodo98


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Threshold / MaxAmp

S e l e c t i v i t y

: index: index (sym)

Range Queries

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

Threshold / MaxAmp

R u n n i n g t i m e ( s e c o n d s )

: index

: index (sym)

Range Queries

F i g u r e 3 : B o t h q u e r y s e l e c t i v i t i e s a n d r u n n i n g t i m e s f o r r a n g e q u e r i e s v a r y i n g t h e q u e r y t h r e s h o l d

f o r = 0 2 4 M a x A m p w a s z e r o , s o w e d i d n ' t

t r y s m a l l e r t h r e s h o l d s . S i n c e q u e r y p o i n t s w e r e

c h o s e n r a n d o m l y , w e e x p e c t e d t h e q u e r y s e l e c t i v i t y

f o r e v e r y t h r e s h o l d M a x A m p t o f a l l b e t w e e n

t h e t w o e x t r e m e s e l e c t i v i t i e s ( t h e w o r s t c a s e a n d

t h e b e s t c a s e ) c o m p u t e d a n a l y t i c a l l y f o r . A s i s

s h o w n i n F i g u r e 3 , f o r = M a x A m p 0 5 , u s i n g t h e

s y m m e t r y p r o p e r t y r e d u c e s t h e q u e r y s e l e c t i v i t y b y

5 3 t o 6 4 p e r c e n t a n d t h e s e a r c h t i m e b y 7 0 t o 7 4

p e r c e n t . I t i s c o n s i s t e n t w i t h o u r a n a l y t i c a l r e s u l t s .

F o r 0 5 < = M a x A m p 1 , a s t h e g u r e s h o w s ,

u s i n g t h e s y m m e t r y p r o p e r t y r e d u c e s t h e q u e r y

s e l e c t i v i t y b y 4 5 t o 6 4 p e r c e n t a n d t h e r u n n i n g t i m e

b y 6 2 t o 7 4 p e r c e n t .

4 . 2 V a r y i n g t h e n u m b e r o f D F T c o e c i e n t s

O u r n e x t e x p e r i m e n t w a s a g a i n o n s t o c k p r i c e s

d a t a , b u t t h i s t i m e w e x e d t h e q u e r y t h r e s h o l d f o r

r a n g e q u e r i e s t o 0 9 5 M a x A m p a n d t h a t f o r a l l -

p a i r q u e r i e s t o 0 3 2 M a x A m p . T h i s s e t t i n g g a v e u s

a v e r a g e o u t p u t s i z e s o f 3 0 a n d 2 0 3 r e s p e c t i v e l y f o r

r a n g e a n d a l l - p a i r q u e r i e s . W e v a r i e d t h e n u m b e r

o f D F T c o e c i e n t s k e p t i n t h e i n d e x f r o m 1 t o

4 . F i g u r e 4 s h o w s t h e r u n n i n g t i m e s p e r q u e r y f o r

r a n g e a n d a l l - p a i r q u e r i e s . T a k i n g o u r o b s e r v a t i o n s

i n t o a c c o u n t r e d u c e s t h e s e a r c h t i m e o f t h e i n d e x

b y 6 6 t o 7 2 p e r c e n t f o r r a n g e q u e r i e s a n d b y 6 1 t o

7 2 p e r c e n t f o r a l l - p a i r q u e r i e s .

4 . 3 V a r y i n g t h e n u m b e r o f s e q u e n c e s

I n o u r n e x t e x p e r i m e n t , w e x e d t h e n u m b e r o f

D F T c o e c i e n t t o 2 a n d t h e s e q u e n c e l e n g t h t o

1 2 8 , b u t w e v a r i e d t h e n u m b e r o f s e q u e n c e s f r o m

1 0 0 t o 1 0 6 7 . T h e e x p e r i m e n t c o n d u c t e d o n s t o c k

p r i c e s d a t a s e t . W e a g a i n x e d t h e q u e r y t h r e s h o l d

f o r r a n g e q u e r i e s t o 0 9 5 M a x A m p a n d t h a t f o r

a l l - p a i r q u e r i e s t o 0 3 2 M a x A m p . F i g u r e 5 s h o w s

t h e r u n n i n g t i m e s p e r q u e r y f o r r a n g e a n d a l l - p a i r

q u e r i e s . O u r o b s e r v a t i o n r e d u c e s t h e s e a r c h t i m e

o f t h e i n d e x b y 6 3 t o 7 1 p e r c e n t f o r r a n g e q u e r i e s

a n d b y 6 4 t o 7 2 p e r c e n t f o r a l l - p a i r q u e r i e s .

4 . 4 V a r y i n g t h e l e n g t h o f s e q u e n c e s

100 200 300 400 500 6000

2

4

6

8

10

12

Sequence length

E x e c u t i o n

t i m e ( s e c o n d s )

: index (sym): index

Range Queries

F i g u r e 6 : R u n n i n g t i m e s f o r r a n g e q u e r i e s v a r y i n g

t h e l e n g t h o f s e q u e n c e s

O u r l a s t e x p e r i m e n t w a s o n s y n t h e t i c d a t a w h e r e

w e x e d t h e n u m b e r o f D F T c o e c i e n t s t o 2 a n d

t h e n u m b e r o f s e q u e n c e s t o 2 0 , 0 0 0 , b u t w e v a r i e d

t h e s e q u e n c e l e n g t h f r o m 1 2 8 t o 5 1 2 . T h e s i z e o f

t h e d a t a l e w a s i n t h e r a n g e o f 4 0 M b y t e s ( f o r s e -

q u e n c e s o f l e n g t h 1 2 8 ) t o 1 6 0 M b y t e s ( f o r s e q u e n c e s

o f l e n g t h 5 1 2 ) . W e x e d t h e q u e r y t h r e s h o l d t o

8/14/2019 fodo98


1 2 3 40.1

0.2

0.30.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Number of DFT coefficients

E x e c u t i o n



Range Queries

1 2 3 40

20

4060

80

100

120

140

Number of DFT coefficients

E x e c u t i o n



All−Pair Queries

F i g u r e 4 : R u n n i n g t i m e s f o r r a n g e a n d a l l - p a i r q u e r i e s v a r y i n g t h e n u m b e r o f D F T c o e c i e n t s

0 500 1000 15000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Number of sequences

E x e c u t i o n t i m e ( s e c o n d s ) : index

: index (sym)

Range Queries

0 500 1000 15000

10

20

30

40

50

60

70

Number of sequences

E x e c u t i o n t i m e ( s e c o n d s ) : index

: index (sym)

All−Pair Queries

F i g u r e 5 : R u n n i n g t i m e s f o r r a n g e a n d a l l - p a i r q u e r i e s v a r y i n g t h e n u m b e r o f s e q u e n c e s

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0 4 4 M a x A m p a n d , b a s e d o n o u r a n a l y t i c a l r e -

s u l t s , w e e x p e c t e d u s i n g t h e s y m m e t r y p r o p e r t y t o

r e d u c e t h e s e a r c h t i m e b y 5 0 t o 7 5 p e r c e n t . F i g -

u r e 6 s h o w s t h e r u n n i n g t i m e s p e r q u e r y f o r r a n g e

q u e r i e s . O u r p r o p o s e d m e t h o d r e d u c e s t h e s e a r c h

t i m e o f t h e i n d e x b y 7 3 t o 7 7 p e r c e n t . T h e s e a r c h

t i m e i m p r o v e m e n t i s s l i g h t l y m o r e t h a n o u r a n a -

l y t i c a l e s t i m a t e s m a i n l y b e c a u s e o f t h e C P U t i m e

r e d u c t i o n f o r d i s t a n c e c o m p u t a t i o n s w h i c h i s n o t

a c c o u n t e d f o r i n o u r a n a l y t i c a l e s t i m a t e s . B e c a u s e

o f t h e h i g h v o l u m e o f d a t a , e x p e r i m e n t s o n a l l - p a i r

q u e r i e s w e r e v e r y t i m e c o n s u m i n g . F o r e x a m p l e ,

d o i n g a s e l f - j o i n o n s e q u e n c e s o f l e n g t h 5 1 2 d i d n o t

n i s h a f t e r 1 2 h o u r s o f o v e r n i g h t r u n n i n g . F o r t h i s

r e a s o n , w e d i d n o t r e p o r t t h e m .

5 C o n c l u s i o n s

W e h a v e p r o p o s e d u s i n g t h e l a s t f e w F o u r i e r c o -

e c i e n t s o f t i m e s e q u e n c e s i n t h e d i s t a n c e c o m -

p u t a t i o n , t h e m a i n o b s e r v a t i o n b e i n g t h a t e v e r y

c o e c i e n t a t t h e e n d i s t h e c o m p l e x c o n j u g a t e o f

a c o e c i e n t a t t h e b e g i n n i n g a n d a s s t r o n g a s i t s

c o u n t e r p a r t . O u r a n a l y t i c a l o b s e r v a t i o n s h o w s t h a t

u s i n g t h e l a s t f e w F o u r i e r c o e c i e n t s i n t h e d i s -

t a n c e c o m p u t a t i o n a c c e l e r a t e s t h e s e a r c h t i m e o f

t h e i n d e x b y m o r e t h a n a f a c t o r o f t w o f o r a l a r g e

r a n g e o f t h r e s h o l d s . W e a l s o e v a l u a t e d o u r p r o -

p o s e d m e t h o d o v e r r e a l a n d s y n t h e t i c d a t a . O u r

e x p e r i m e n t a l r e s u l t s w e r e c o n s i s t e n t w i t h o u r a n a -

l y t i c a l o b s e r v a t i o n ; i n a l l o u r e x p e r i m e n t s t h e p r o -

p o s e d m e t h o d r e d u c e d t h e s e a r c h t i m e o f t h e i n d e x

b y 6 1 t o 7 7 p e r c e n t f o r b o t h r a n g e a n d a l l - p a i r

q u e r i e s .

A c k n o w l e d g e m e n t s

T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d b y t h e N a t u r a l S c i e n c e s

a n d E n g i n e e r i n g R e s e a r c h C o u n c i l o f C a n a d a a n d

t h e I n f o r m a t i o n T e c h n o l o g y R e s e a r c h C e n t r e o f O n -

t a r i o .

R e f e r e n c e s

A F S 9 3 ] R a k e s h A g r a w a l , C h r i s t o s F a l o u t s o s ,

a n d A r u n S w a m i . E c i e n t s i m i l a r i t y

s e a r c h i n s e q u e n c e d a t a b a s e s . I n P r o -

c e e d i n g s o f t h e 4 t h I n t e r n a t i o n a l C o n -

f e r e n c e o n F o u n d a t i o n s o f D a t a O r g a -

n i z a t i o n s a n d A l g o r i t h m s ( F O D O ' 9 3 )

p a g e s 6 9 { 8 4 , C h i c a g o , O c t o b e r 1 9 9 3 .

A L S S 9 5 ] R a k e s h A g r a w a l ,

K i n g - I p L i n , H a r p r e e t S . S a w h n e y , a n d

K y u s e o k S h i m . F a s t s i m i l a r i t y s e a r c h

i n t h e p r e s e n c e o f n o i s e , s c a l i n g , a n d

t r a n s l a t i o n i n t i m e - s e r i e s d a t a b a s e s . I n

P r o c e e d i n g s o f t h e 2 1 s t I n t e r n a t i o n a l

C o n f e r e n c e o n V e r y L a r g e D a t a B a s e s

( V L D B ' 9 5 ) , p a g e s 4 9 0 { 5 0 1 , Z u r i c h ,

S e p t e m b e r 1 9 9 5 . M o r g a n K a u f m a n n

P u b l i s h e r s .

A P W Z 9 5 ] R . A g r a w a l , G . P s a i l a , E . L . W i m -

m e r s , a n d M . Z a i t . Q u e r y i n g s h a p e s

o f h i s t o r i e s . I n P r o c e e d i n g s o f t h e

2 1 s t I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n V e r y

L a r g e D a t a B a s e s ( V L D B ' 9 5 ) , p a g e s

5 0 2 { 5 1 4 , Z u r i c h , S e p t e m b e r 1 9 9 5 .

B K S S 9 0 ] N . B e c k m a n n , H . - P . K r i e g e l , R . S c h n e i -

d e r , a n d B . S e e g e r . T h e R * t r e e : a n

e c i e n t a n d r o b u s t i n d e x m e t h o d f o r

p o i n t s a n d r e c t a n g l e s . I n P r o c e e d i n g s

o f t h e A C M S I G M O D I n t e r n a t i o n a l

C o n f e r e n c e o n M a n a g e m e n t o f D a t a

( S I G M O D ' 9 0 ) , p a g e s 3 2 2 { 3 3 1 , A t -

l a n t i c C i t y , M a y 1 9 9 0 .

C h a 8 4 ] C h r i s t o p h e r C h a t e l d . T h e A n a l y s i s o f

T i m e S e r i e s : a n I n t r o d u c t i o n . C h a p -

m a n a n d H a l l , f o u r t h e d i t i o n , 1 9 8 4 .

F R M 9 4 ] C . F a l o u t s o s , M . R a n g a n a t h a n , a n d

Y . M a n o l o p o u l o s . F a s t s u b s e q u e n c e

m a t c h i n g i n t i m e - s e r i e s d a t a b a s e s . I n

P r o c e e d i n g s o f t h e A C M S I G M O D

I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n M a n a g e -

m e n t o f D a t a ( S I G M O D ' 9 4 ) , p a g e s

4 1 9 { 4 2 9 , M i n n e a p o l i s , M a y 1 9 9 4 .

G K 9 5 ] D . Q . G o l d i n a n d P . C . K a n e l l a k i s .

O n s i m i l a r i t y q u e r i e s f o r t i m e - s e r i e s

d a t a : c o n s t r a i n t s p e c i c a t i o n a n d i m -

p l e m e n t a t i o n . I n 1 s t I n t l . C o n f . o n t h e

P r i n c i p l e s a n d P r a c t i c e o f C o n s t r a i n t

P r o g r a m m i n g , p a g e s 1 3 7 { 1 5 3 . L N C S

9 7 6 , S e p t . 1 9 9 5 .

G u t 8 4 ] A n t o n i n G u t t m a n . R - t r e e s : a d y n a m i c

i n d e x s t r u c t u r e f o r s p a t i a l s e a r c h i n g .

I n P r o c e e d i n g s o f t h e A C M S I G M O D



4 7 { 5 7 , B o s t o n , J u n e 1 9 8 4 .

J M M 9 5 ] H . V . J a g a d i s h , A . O . M e n d e l z o n , a n d

T . M i l o . S i m i l a r i t y - b a s e d q u e r i e s . I n

P r o c e e d i n g s

o f t h e 1 4 t h A C M S I G A C T - S I G M O D -

S I G A R T S y m p o s i u m o n P r i n c i p l e s o f

D a t a b a s e S y s t e m s ( P O D S ' 9 5 ) , p a g e s

3 6 { 4 5 , S a n J o s e , M a y 1 9 9 5 .

M a n 8 3 ] B . M a n d e l b r o t . F r a c t a l G e o m e t r y o f

N a t u r e . W . H . F r e e m a n , N e w Y o r k ,

1 9 8 3 .

N H S 8 4 ] J . N i e v e r g e l t , H . H i n t e r b e r g e r , a n d

K . C . S e v c i k . T h e g r i d l e : a n a d a p t -

a b l e , s y m m e t r i c m u l t i k e y l e s t r u c t u r e .

A C M T r a n s a c t i o n s o n D a t a b a s e S y s -

t e m s , 9 ( 1 ) : 3 8 { 7 1 , M a r c h 1 9 8 4 .

8/14/2019 fodo98


O S 7 5 ] A . V . O p p e n h e i m a n d R . W . S c h a f e r .

D i g i t a l S i g n a l P r o c e s s i n g . P r e n t i c e -

H a l l , E n g l e w o o d C l i s , N . J . , 1 9 7 5 .

R a f 9 8 ] D a v o o d R a e i . O n s i m i l a r i t y - b a s e d

q u e r i e s f o r t i m e s e r i e s d a t a . S u b m i t t e d

f o r p u b l i c a t i o n , 1 9 9 8 .

R M 9 7 ] D a v o o d R a e i a n d A l b e r t o M e n d e l z o n .

S i m i l a r i t y - b a s e d q u e r i e s f o r t i m e s e r i e s

d a t a . I n P r o c e e d i n g s o f t h e A C M

S I G M O D I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n

M a n a g e m e n t o f D a t a ( S I G M O D ' 9 7 )

p a g e s 1 3 { 2 4 , T u c s o n , A r i z o n a , M a y

1 9 9 7 .

R o t 9 3 ] W i l l i a m G . R o t h . M I M S Y : A s y s t e m

f o r a n a l y z i n g t i m e s e r i e s d a t a i n t h e

s t o c k m a r k e t d o m a i n . U n i v e r s i t y o f

W i s c o n s i n , M a d i s o n , 1 9 9 3 . M a s t e r

T h e s i s .

R S 9 2 ] R a g h u R a m a k r i s h n a n a n d D i v e s h S r i -

v a s t a v a . C O R A L : C o n t r o l , r e l a t i o n s

a n d l o g i c . I n P r o c e e d i n g s o f 1 8 t h I n -

t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n V e r y L a r g e

D a t a B a s e s ( V L D B ' 9 2 ) , p a g e s 2 3 8 {

2 5 0 , V a n c o u v e r , A u g u s t 1 9 9 2 . M o r g a n

K a u f m a n n .

S c h 9 1 ] M a n f r e d S c h r o e d e r . F r a c t a l s , C h a o s ,

P o w e r L a w s : M i n u t e s f r o m a n I n n i t e

P a r a d i s e . W . H . F r e e m a n , N e w Y o r k ,

1 9 9 1 .

S L R 9 4 ] P . S e s h a d r i , M . L i v n y , a n d R . R a m a k r -

i s h n a n . S e q u e n c e q u e r y p r o c e s s i n g .

I n P r o c e e d i n g s o f t h e A C M S I G M O D



4 3 0 { 4 4 1 , M i n n e a p o l i s , M a y 1 9 9 4 .

W S 9 0 ] B . J . W e s t a n d M . S h l e s i n g e r . T h e

n o i s e i n n a t u r a l p h e n o m e n a . A m e r i c a n

S c i e n t i s t , 7 8 : 4 0 { 4 5 , J a n - F e b 1 9 9 0 .

Y J F 9 8 ] B y o u n g - K e e Y i , H . V . J a g a d i s h , a n d

C h r i s t o s F a l o u t s o s . E c i e n t r e t r i e v a l

o f s i m i l a r t i m e s e q u e n c e s u n d e r t i m e

w a r p i n g . I n P r o c e e d i n g s o f t h e 1 4 t h

I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n D a t a E n -

g i n e e r i n g ( I C D E ' 9 8 ) , p a g e s 2 0 1 { 2 0 8 ,

O r l a n d o , F e b r u a r y 1 9 9 8 .

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fodo98