This is the demo version of PDF-to-Word. It replacesrandom characters in the destination document withasterisks. Click the link below to order full version:

http://www.avanquest.com/redirections/intelligentconverters/pdftoword_AQUK.htm

3. FLEXIÓN E * VIGAS RECTAS

3.1.- Conceptos Bás*cos

Una vig* se encuentra sometid* a *l**ión Pura cuando el *o*en*o Flector es la ú*ica fuerz* al int*rior de la sección.

Ejemplo:

Una viga simple*ente ap*yada de luz "L" y solicitada por dos *a*gas "P", ubic*da* a una d**tancia "a" de cad* *no de los apo*os.

Calculem*s las *e*cciones e* los apoyos y a **ntin*ación los *iag*amas d* e*fuerzo* internos (N,Q y Mf).

Equi*ib*io:

i)

Fx 0

AH

0

ii) Ma *** Pa P (

a )

DV

P

i*i)

Fy 0

AV

DV

2P

AV P

*sfuerzos *nternos:

Ana*icemos los esfue*zo* en el Tramo BC:

Eq * ilibrio:

i) *y 0*y ( x) PP Qy

( x) * * xa

ii) Mo

* Mf

*x P ( x a ) M f ( x)

Pa a *a

** Tramo BC *e encuentra en Fl*x*ón Pura.

Un* viga se encu*ntra en Flexión Co*pue*ta, cuando el M*men*o F*ecto* está acom*añ*d* por un esf*erz* Normal, para pr*ducir una fuerza al interior de *a sección.

3.2.- Fle*i*n *i*pl*

Se di*e qu* *a Flexión es Simp*e *uand* la deforma*a del eje ** l* barra es una curva conte*ida en *l *lano de la* *o*ici*aciones.

*i el plano d* *as solic*tacion*s pasa por *no de *os ejes pr*ncipale* de ine*cia de la s**ción tran*versal, entonc*s la *l*xión se denomina Sim*l* ó Plana.

*.2.1.- Hipó**sis Fu*damentales de la Teor*a de la **exión

i.

ii.

iii.

iv.

.

*n la *l*xió* Pura se ident*fica un Eje Neutro, es d*cir, una fi

r

A*alicemo* *na p*qu*ñ* *orción de* tramo *entral d* viga someti*a * Flexió* Pura

Existe una sección "c" *e*t*o de la viga q*e no se acorta ni *e **a*g*, *s decir, e x = 0, ta* como lo muestra la *ig*ra ad*unta.

3.2.2.- *cuacione* Básica*

La ecuación (1) representa el Giro Relat**o entre dos secc*ones

1

ddx d

(1) dx

Determina*e*os la def*rmación u*i*a*ia de una fibra a una distancia "*" con resp*c*o al Eje Neutro.

abf

ab*

(

dx

y )

d

x

a*f

x

( y )

d

dx

dx con dx d

x

y(2) *cua*ión de Comp*ti*ilidad

Con*iderando u* materi*l *n r**go l*n*a* *lástic* (Ley *e **oke)

*y E

(3) *

x

*

Ecua*ión d* Tensiones

*o** el Módu*o de El*sticid** d*l material *s constante y su radio de c*rvatura, también lo es, se puede seña*ar que:

y k* y cte.* y x

x

Donde:

1: Cur*atura del Eje Neutro (E.N.)

Por lo tant*, se pue*e señalar que las defo*maciones *nit*rias n*r*ales * las tensiones normale* *arí*n linealme*te con la dist*ncia "y", siendo máximas en las fibras ext**mas.

Veamos como va*ía el radio de curvat*ra con *as diferentes tip*s de momentos Flectores.

3.2.3.- Ec*acione* de E*uilibrio

i) Fx

0 F

x F

x

dF

x *

xdA 0 A

x*A E y d A 0

A

Se* Sz, el momen*o est*tico *e la se*ción con respecto al ej* "z":

Sz

ydA 0 (*) A

La ecuaci*n (*) i*dica que la Lí*ea Neutra en la Flexi*n pasará por *l Centro de Gra*edad de la Secc*ón.

ii) Mz 0 Mz

F

x

ydFx A

* *dA M z ( x) E y2dA A

*ea Iz, el momen*o de inercia de la secc*ó* con re*p*cto al eje "z":

Iz A

y2dA M z ( *)

EI z (4) M z ( x)

E*

z

1(5)

De la ecuación (*) y (3) s* p**de obtener:

xM z ( x)

* Iz

(6) Ec*ación Fun*amenta * de la Flexión (Navier)

En *a f*g*ra s* aprecia q*e las tensiones v*rí*n lin*almente con *a d*stan*ia "y", teni*nd* tracciones par* *as dista**ia "y" positivas * c*mpresione* par* la* *istancias "y" nega*i*as.

iii) My 0 My zdFx

z xdA My E *z d A 0

Fx A

A

Iy*

Sea Iyz, el Pro*ucto de I*ercia de la *ec*ión:

*zdA A

D*bido a que Iyz = *, los ej*s "z" e "y" deberán ser Ej*s Pri*ci*ale* de Inercia d* la secc*ón y e* M*mento Flect*r *eb*r* enco*trarse en *l plano qu* pasa po* uno de ést*s ejes.

My M x (Torsor) 0

N Q y *z 0

Se defin* Wz, como e* Momento Resistente de ** sección con *especto *l eje "z"

I z máx M z y máx Mz

Wz

ymáximo x Iz *z (7)

Ejemplo:

*na vig* *im*lemente apoya*a de luz *,* *. se enc*entra so*icitada por una ca*ga un*f*rmemen*e *ep*rti*a de 2,* t*n/m. Si la sección de la viga es tria*gular de base 2* *m. y altura 30 cm. Se *ide determi*ar l*s Máxi**s *ensiones N*rmales qu* se desarrollan *n l* viga y el lugar donde ocurr*n. In*icació*: El plano de c*rga coinci** con el e*e de Sime*ría de *a sección.

Solución:

i. El Plano de *arga p**a por el Cent*oide y *o***i*e *on el *j* de Sim*tría de la Se*ció*.

ii. ** Eje "y" por se* de Simetría es un Eje Principal *e I*er*ia.

iii. De i) y ii) se deduce que la *lexión es Si*ple.

1.- Cálculo del Mome*t* Má*imo:

*ramo AB 0 x

M * ( x)

q * qx2

* 2*,*x x2 dM z (x)

dx q q x *, 0 *x 2

0

x

2 Mmáx M z (x

) 2

q2

8 M*áx 6,25 ton - m Mmáx

6,25x*05 *g/*m 2

2.- Cál*ulo *e Inercia:

** y2*A * bh 3

15000 c*4

*6 A

3.- Cálculo de las *ens***** Normal*s Máximas:

Determinare*os las tensiones normales al centro de ** luz de la vi**, q*e es la s*cción do*de *cur*e ** Momen*o *lector **ximo.

xM z ( x)

y

*,25x105 y 41,67 y máx T

x ( y *0) 416,67 kg/c* *

Iz *5*00

m*

x

Cx (y 20) 833,33 kg/cm *

3.3.- Flexió* Comp*esta

La Flex**n Compuesta *curre, como y* se señalo, c*and* ad*c*on*lmente al Momen** F*ector existe u* E**uerzo N*rmal *ctu*nte en l* Secc**n.

*ara calcul** la dis**ibución de Tensione* Normal*s d*bido a la F*exión Compuest*, utilizare*os el Princi*i* de *upe*posició*.

x ( y) 1

) x

(* Flexión Pura

*

) *

(y **mpresi*nPura

Para Flexió* Pura:

x

*( y) Mz * Iz

( y) N Mz y

Pa*a Carg* A*ia* *ura: x * Iz (8)

x

2 ( y) N

A

Nota:

El Eje N*utr* no coincide co* e* Cen*roid* * las distan*ias se **man d**de el Cen*r* de *r*vedad. La distancia "d" *e puede obtener h**i*ndo σx = *

3.3.*.- Ecu*ci*nes de Equil*br*o

i ) *x 0 N

F

x

*F

x A

***

ii) Mz 0 Mz

*x

ydFx A

y xd*

Obs*rvación:

El Eje Neutro no coincide con el Centro *e Gra*edad de la sección, puesto que:

*A N

0x

A

Veamos que ocur*e si la fuerza "N" es de Tr*cción y e* Momento Flector "M*" es **gativo (*o*o vect*r en la d*rección *os*t*v* del e*e "z").

Ejemp * o:

Un* v*ga co* un extremo empot*ado y el otro en *olad**o de l** 5,* m. se **cuentr* s*licita*a por una carga pu*ta* exc*nt*ica 5* to*. Si la sección de la viga es un perf*l "I" d* *l*s iguales de 30x*0*15 cms., tal **mo lo muestra la f*gura adjunt*. Se pide determi**r las Má*im*s *ensi*nes Nor*al*s *ue se de*arrollan en la vig* y el lug** donde o**rren. *ndicación: *l *lano de c*rga coinci*e con el ej* de *imetría d* la secci*n.

Sol*c*ó*:

La carga "*" al estar ex*éntr*ca me genera un Momento Flecto* c/r al eje "z", al *es*laz*r la *arga al ce*troid* (Resu*tante de un Sistema de Fuerzas Copl*n*res)

La secció* es Simétrica, ent*nces e* *je "y" e* Principal y el P*ano *e carg* *oincide con el eje *rin*ipal, po* *o que la Comp*nente de la *lexión es Simp*e.

*a Distribuc*ón d* T**siones N*rmales viene dada *or:

x ( y) N

AMz y *

z

x ( y) P

*Pe * Iz

(*)

L*s Propiedade* de l* *ecc*ón son:

Reemplaz*ndo los *atos *n la ec*a**ón (*):

Iz 506.250 cm4

A 1.350 cm2

e 15 cm

( y) 37,03 1,48y x

*ensiones *ormales *áxim*s en las Fi*r*s Ex*remas:

máx *

x ( y 30) 7,4* kg/*m 2

má* *

x (y 3*) 81,43 kg/cm 2

L* que s* de**laza e* E*e Neutro s* ob*iene de: ( y) 0 x

( y) 37,03 1,48y 0 y 25,02 cm x

3.4.- Flexión De**i*da

La Flex*ó* Desv*ada ocurre si la def*rmada de la vi*a no e*t* con**n*da en uno de los p**no* principa**s *e l* s*cción.

A c*nti*u*ció* reco*daremos *os con*eptos de Ejes Princip*les de Inercia *e una Sec*ión.

3.4.1.- Ejes P*incipale* de una Se*ción:

Mo**ntos de Inercia */r a l*s Ejes Z-Y:

Iz

*y

Iyz

A

A

A

y2dA

z2d*

yzdA

Moment*s de In**cia c/r a los Ejes u-v:

Iu

Iv

Iuv

A

A

v2dA

u2dA

u vd A A

Rotación d * * jes:

u * cos *sen

* zsen

y cos

En forma Matricial:

*

cos

se*

z

vn o y s e c s

R

Reemplazando en el valo* de l*s M*men*os d* Inercia* de los ejes rotad**

Iu v2** ( *sen y co* )2 dA (z2sen2

2z**en *os y2 cos2 )dA

* A

A

Iu

Iv

Iuv

I *sen2

I y cos2

Iz I*

2

Iz cos2

I z se n 2

*en2

I yzsen*

I yzs*n2

I yz cos 2

(9)

(10)

(*1)

Al hacer *ari*r el ángulo a, *as magnitu*es de Iu, Iv e Iuv t*mbién va*ían.

*as ecuaciones (9), (10) y (1*), son las *cu**io*es de Tr*ns*ormación de

M*men*os de Inercia y corr**ponden a ecuaciones *ar*métricas, cuyo parámetr* es el á*gulo α.

El m*xi*o Momento de In*rc*a se obtiene derivando la ecuaci*n (9) con *esp*c*o al p**ámetr* e *gu*lando a cero.

** máximo ocurre cuando:

*Iu

*(I y Iz )sen(2 ) 2I yz cos(2 )

2I

*z

*

tg(2 p ) (I y Iz ) (12)

El subínd**e "*" i*dica que e* *ngulo * define la orie*ta*ión de lo* planos pri*cipa*es.

Para el ángulo αp obtenido de la ecuación (12), las expres*on*s de I* e Iv al*a*zan valo*es *xtremos.

Al igual q*e las te**iones y las defor*a*iones, *as Ecuacione* de transfo*mació* de Momen*os de Inercias pue*en s*r *ep*esentadas e* u* Círculo *e Mohr de Inercias.

Con*ición para Ejes Princip*le* de I*er*ia

Iu

Iv

Iuv

*áximo

Mín*m

o

es *ulo

3.4.2.- Flexión Desvi*da

(u,*) ejes Principales d* In*rcia

Obse * va * iones:

1. Si un Eje es de Simet*ía en l* sección, entonces el eje es princip*l, puesto que la *i*et*ía indica necesa*ia*ente que e* ej* es centroidal.

*. Si el **a** de carga es de simetría, ento*ces la Flexión e* Simple.

3. La condición anterior *s s*ficient* pero no necesaria, en efecto, el pl*no de ca*ga p*ede no s** de s*metría y *a *lexión *s s*mpl*, puesto que *in eje e* p*in*ipa* no necesariamen*e es por ser de si*etría.

En este caso, el Plano *e *arg* no es de *ime*ría, p*ro pasa p*r un Eje P*i*cipal de Inercia, por lo que la Fle*ió* e* Sim*le.

3.4.2.1- Análisi* General de la *le*i*n D*svi*da

S* *et*rmina el M*men*o Flector que gener* la solicitación. El Plan* *onde actú* el Momento Fle*tor ** "*erpendi*ul*r" al Plano de las Sol*citaci*nes.

Para de*erm*nar *l M*mento F*ecto* que actúa en los Ej*s Principales de Ine*cia, exi*ten do* alternativas:

i.

ii.

Pro*ectar el Momento Flector (M) a l*s Ejes "Z" e "Y" * determinar los Mo*entos Flecto*es "M*" y "My". * con*inuación, a **avés de la Matr*z de Rotación para el est*do Plano, pr**ect*r los Mom*ntos "Mz" y "My" * lo* Ejes "u" y *" y deter*inar los momentos "Mu" * "Mv".

Mu cos α senα M z

M* senα co* α M *

*ro*ect*r el M**ento Flector (M) a l*s Ej** "u" e "v" y determinar los Momentos Flecto*es "Mu" y "Mv".

Se calcula* la distribu*ión de las T*nsiones Norm*l*s como:

Fle*ión B**xial x (*, v) *u v

Iu

M* u Iv

(13)

3.4.2.2- Ecuación Gen*r*l ** ** Flex*ón

Para determinar *a distr*bu*ión de las Tensione* Norm*l*s en la sección, se realiza *e l* misma ma*er* *ue p*ra la Flexión Biaxial, co* la sa*v*dad que se le adiciona *a comp*nent* del Esfuerz* A*ia* (*), el qu* deb* estar ubicado en el Centroide de la Sec*ión.

x* Iu

Mv u Iv

(14)

NF*exión *iaxial Compue**a (u, *) Mu v

Ejemplo:

Un* viga con un extr*mo empotrado y el otro en vol*dizo ** luz 20,0 m. se encuentra solici*a*a po* una ca*ga puntal excéntrica de * ton y una c*rga uniformemente **stribuida *e 15 kg/m. Si la sección de la viga es un pe*fil "Z" de alas desiguales, ta* como lo muestra la figur* adjunta. Se pide determ*nar la* Máximas Tens*o*e* **rma*es q*e se desa*rollan en la viga y el lugar donde ocurren. Indicac*ón: *l plano de carga distri*ui*a coincide con el eje "y" de la se**ión.

Sol **** n:

*a carg* "P" *l es*ar excéntric* *e genera M*mentos *lector*s c/* a los eje "z" e "y", al *esplazar la carga al Cen*roide.

*a c*rga uniformemen*e distri*u*da me g*nera un Momento *lector c/r al eje "z".

Los Ejes "z" e "y" no son Ej*s Pri*cipa*es de I*erc*a, entonces s* desarro*la *lexión Desviada.

La D*stribución de Tensiones *orm**es viene dad* por:

*.- Cálc*lo *e *e*tro*d*s:

x (u, v) N

AMu v Iu

*v u Iv

Element* *i zi yi *i*zi ***yi Ai*zi*yi 12*

100 125 50

*0 2 ,5 1 7 ,5 1 7 ,5 20 3 2 ,*

1000 2 1 * 7 ,5 100*

250 2 1 8 7 ,5 1625

2500 3 8 2 8 1 ,2 5

*2**0 = 275 4 1 8 7 ,* 4 0 6 2 ,5 * 3 2 8 1 ,2 5

A* yi Ai

*i * 14,773 cm

z 15,227 cm

Ai

Ai

2.- Cálc*lo ** *nercias:

Base Altura *rea Centroides

Elem*n*o bi

Ine *zi

ias *e**ro*d Iy i

a le *

Iziyi 1 *0 5100

1 5 2 7 0 ,3 1 7 7 * 4 0 ,1 6 9

1 5 * 1 6 ,9 7 7

6 0 6 5 ,7 7 1 9 * 6 ,0 7 8

1 * 5 * ,* 1 3

-19994,835 1 0 1 6 * ,7 0 7 2 1 * 5 * ,5 8 3

= 3 8 5 2 7 ,4 6 2 8 5 * 7 ,4 6 2 1 1 * 2 0 ,4 5 5 rc

I

*

Iy

3

i1

3

i1

3

I

zi

I y

i

*

i1

3

i1

3

bihi3

12

hibi

3

12

( y yi )* Ai

(z zi )2 Ai

I yz

i1 I

yi zi

i1

Ai (z*

yi

z y)

2.1- Inercia* Princi*ales:

2I

*z tg(* )

0,761 18,642

p(I y

*z )

Iu

I

*s*n2 ( 18,642 ) *

z cos2 ( 18,642 ) I

yzsen2( 1*,6*2 ) Iu

42.3*0,23 c*4

I*

Iv

Iy

Iz

47.054,90 c * 4

Iv

4.674,69 cm4

Iz Iy

*u

v

2 se*2( 18,624 ) I *z c*s 2( 18,624 ) Iuv 0

3.- Cálculo *e Moment* Flec*o* Máximo d*bido a *a ca*ga "q":

Tramo AB 0 x 20,0 m.

M qz(*) q*2

2*,0075 x 2 x M*áx M q*(x )

q2

2M*áx

3,00 ton - m

4.- Proyección d* Mo*entos Flect*r*s a lo* Ejes Pr*nc*pal*s:

Determinemos los *omentos Flectore* en los Ejes "z" e "y"

*2

Mz Mq M pz Py 2,261 *on - m

2

My

M py

Pz 0, * 6 * ton - m

A través de *a Matriz de R*tac*ón determi*emos ** y Mv.

Mu cos( 18,642 ) sen( 18,642 ) * z Mu 1,899 to* - m

Mv se*( *8,642 )

*os( 18,642 ) M y M v 1,*44 ton - m

Nota: Si *tilizamos descomposición de vec*ores, utilizare*os a en Valor Absoluto. Si lo hacemos con la matr** de r**ación lo haremos con si*no.

* *u v

Mv * x

(u, v)

A

N

Iu

Mu v

Iv

(u, v)

Mv u x

AIu

Iv

( u , v ) 18,18 4,481 v 30,890 u x

Para determinar la* Te*s*one* Normales Máxi*a*, es compli*ado *tilizar la ecuación anterior en e* sistema "u-v", por lo que nos devol*emos a* s*s*ema "z-y" a tra*és *e:

u cos( 18,642 ) sen( 18,6*2 ) z

v sen( 18,64* ) *os( 18,642 ) *

(z, *) 18,18 27,837* 14,12* *

5.- Cálculo del Eje Neu*r*:

( z, y ) 18,18 27,837z 14,12y 0 x

y 1,*71(z-*,653 ) Ec. Eje Neutro

tg m 1,972 6*,104

b -*,288 cm (i*tersec*ión eje ordenado)

6.- Tensiones Normales Máximas:

Máxima Tracción en el P*nto A

Máxima Compre*ión en e* Pu*to B

y

z

*

y

*,*7 c*

14,7* cm

0,23 cm

20,23 cm

A

B

323,16 kg/cm 2

310,*3 kg/c* 2